Teoria dos Conjuntos

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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO - CCT0350 
 
Teoria dos Conjuntos 
 
Todos os ramos da matemática utilizam a noção de conjuntos de diversas maneiras 
diferentes. Sendo assim, a noção de conjunto ganha um lugar de destaque no ensino da 
matemática. As três noções básicas da teoria dos conjuntos são: conjunto, elemento e 
pertinência, as quais denominamos noções intuitivas. Reconhecer se um elemento pertence 
ou não a um dado conjunto se torna imprescindível. Nesta aula trataremos de conceitos 
básicos da Teoria de Conjuntos. 
1. Conceitos Primitivos (não-definidos) - Conjunto e Elemento 
A ideia de conjunto é a mesma de coleção. 
Exemplos: 
(a) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um elemento desse 
conjunto. 
(b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse 
conjunto. 
2. Representação de um Conjunto 
Podemos representar os conjuntos de diversas maneiras. Veremos as representações tabular, 
Diagrama de Venn Euler e utilizando uma propriedade comum. 
2.1. Representação tabular 
Notação: Podemos representar um conjunto sob forma de tabela, escrevendo seus 
elementos entre chaves {} e separados por vírgula. 
É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... 
É usual representarmos os elementos por letra minúsculas a,b,c,d, ... 
Exemplos: 
 A = {a, e, i, o, u} 
 B = {1, 2, 3, 4} 
2.2. Representação através de diagramas de Venn-Euler 
Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, 
limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça. 
Exemplo: 
 
2.3 . Representação através de uma propriedade 
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses 
elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = {x | x tem a 
propriedade p}. 
Lê-se: "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p". 
Exemplos: A = {x | x é par}- o conjunto A é formado por todos os pares. 
3. Relação de Pertinência 
Nos exemplos: 
 A = {a, e, i, o, u} 
 B = {1, 2, 3, 4} 
note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. 
Tais fatos serão respectivamente indicados por: 
u A (lê-se "u pertence a A") e u B (lê-se "u não pertence a B") 
De modo geral, para relacionar elemento e conjunto, devemos utilizar os símbolos: 
(pertence) e (não pertence) 
4. Tipos de Conjunto 
4.1. Conjunto Unitário - Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. 
 Exemplos: C = {5} 
4.2. Conjunto Vazio - Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. 
Representa-se o vazio por Ø ou { }. 
 Exemplos: E = {x | x é computador sem memória} = { } 
4.3.Conjunto Finito - Conjunto finito é aquele que conseguimos contar do início ao 
fim todos os elementos. 
 Exemplos: B = {1, 2, 3, 4} 
4.4. Conjunto Infinito - é aquele que não é possível contar do início até o fim todos os 
elementos. 
 Exemplos: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
5. Conjuntos Iguais 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, se A é o 
conjunto das letras da palavra "arte": A = {a, r, t, e} e B é o conjunto das letras da palavra 
"reta": B = {r, e, t, a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não 
importando a ordem em que os elementos foram escritos. Se A não é igual a B, escrevemos 
A B (lê-se "A é diferente de B"). 
6. Conjunto Universo (U) 
Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos 
desse estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja 
trabalhar. 
 Exemplo: Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto 
universo considerado. 
· Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o 
conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}. 
· Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como conjunto 
solução S = {0, 2, 4}. 
7 - Subconjunto 
Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo 
elemento de A pertence a B. 
Indica-se que A é subconjunto de B por: (lê-se "A está contido em B"), ou ainda, 
por (lê-se "B contém A"). 
Exemplos: 
(a) {2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9} 
(b) {6, 9, 6, 5} {9, 6} 
Duas propriedades importantes envolvendo subconjuntos 
1 - O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: 
Simbolicamente: 
Exemplos: 
(a) 
(b) 
2 - Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. 
Simbolicamente: 
8 - Conjunto das Partes de um Conjunto 
Podemos ter um conjunto cujos elementos podem também ser conjuntos. 
Exemplo: Considere o conjunto A = {a, b}. Vamos determinar os subconjuntos de A, 
pensando em termos de número de 
elementos. 
 Subconjuntos com nenhum elemento: Ø 
 Subconjuntos com um elemento: {a}, {b} 
 Subconjuntos com dois elementos: {a,b} 
Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os 
subconjuntos de A. 
Notação: P(A) (lê-se P de A) 
Exemplos. Determinando o conjunto das partes do conjunto A = {a, b}. 
P(A) = {Ø , {a}, {b}, {a,b}}. 
Exemplos. Determinando o conjunto das partes do conjunto B = {a, b, c}: 
Vamos determinar primeiramente os subconjuntos de A, pensando em termos de número de 
elementos. 
 Subconjuntos com nenhum elemento: Ø 
 Subconjuntos com um elemento: {a}, {b}, {c} 
 Subconjuntos com dois elementos: {a,b}, {a,c}, {b,c} 
 Subconjuntos com três elementos: {a,b,c} 
 P(B) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} 
8.1 - Número de Elementos do Conjunto das Partes de um Conjunto 
Observando os exemplos anterior, o conjunto A tem dois elementos e o conjunto das partes 
de A, ou seja P(A), possui 4 elementos. Podemos observar que 4 = 2
2
 elementos. 
No segundo exemplo, o conjunto B tem três elementos e o conjunto das partes de B possui 
8 subconjuntos. Podemos observar que 8 = 2
3
 elementos. 
De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, os números de elementos de P(A) é 
2
 n
. 
Observe que este procedimento de definir os subconjuntos e mais ainda, sabendo quantos 
elementos um conjunto possui podemos saber quantos subconjuntos o conjunto partes deste 
terá nos leva a lembrar que este é uma importante definição no momento de programar e 
precisar definir o espaço de uma tabela, espaço de um vetor, eficiência de um 
procedimento, etc. 
EXERCÍCIOS 
1) Indique se cada um dos elementos -4 ; 1/3 ; 3 ; 0,25 pertence ou não a cada um destes 
conjuntos: 
a) A = {xx é um número inteiro} 
b) B = {xx < 1} 
c) C = {x15x – 5 = 0} 
d) D = {x-2  x  1/4} 
2) Se H = {-1, 0, 2, 4, 9}, reescreva cada um dos conjuntos seguintes enumerando seus 
elementos. 
e) A = {xx  H e x < 1} 
f) B = {xx  H e (2x – 1)/3 = 1} 
g) C = {xx  H e x é um quadrado perfeito} 
h) D = {xx  H e x < 0} 
i) E = {xx  H e 3x + 1 = 10} 
3) Sendo M = {0, 3, 5}, classifique as sentenças seguintes em (V) ou falsas (F). 
a) 5  M 
b) 3  M 
c)   M 
d) 0  M 
e)   M 
f) 0 =  
g) 0   
h) 0  M 
4) Dados os conjuntos X = {1, 2, 3, 4}, Y = {0, 2, 4, 6, 8} e Z ={0, 1, 2} 
a) Determine todos os subconjuntos de X, cada qual com exatamente três elementos; 
b) Dê três exemplos de subconjuntos de Y, cada qual com apenas quatro elementos; 
c) Determine o conjunto P(Z). 
5) Dê os elementos dos seguintes conjuntos: 
A = {x | x é letra da palavra matemática} 
B = {x | x é cor da bandeira brasileira}6) Descreva por meio de uma propriedade características dos elementos cada um dos 
conjuntos seguintes: 
A = {0, 2, 4, 6, 8, ...} 
B = {+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6} 
C = {0, -10, -20, -30, -40, ...} 
D = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...} 
7) Quais dos conjuntos abaixo são unitários e quais são vazios? 
A = {xx < 9/4 e x > 6/5} 
B = {x0 . x = 2} 
C = {xx é inteiro e x² = 9} 
D = {x2x + 1 = 7} 
E = {x0 . x = 0} 
F = {xx > 9/4 e x < 6/5} 
G = {xx é divisor de zero} 
8) Descreva o conjunto das partes do seguinte conjunto A = {2, 5, 7} 
9) Dado um conjunto A, chamam-se subconjuntos triviais de A: o próprio A e o conjunto 
vazio. Todos os demais são chamados de subconjuntos próprios. Se o conjunto A tem 254 
subconjuntos próprios, determine n(A).