derivada por tabela

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Derivação por tabela
PROF. DR. LUCIANO VENELLI COSTA
VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Conteúdo
• Regra da cadeia (derivada da função
composta)
• Atividade 2.4
• Tabela das derivadas das funções principais
• Atividade 2.5
• Derivação implícita e derivadas sucessivas
• Regras de L'Hospital
• Atividade 2.6
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Referência
• Livro: FLEMMING, D. M.; Gonçalves, 
M. B. Cálculo A: funções, limite, 
derivação e integração. 6ª edição 
revisada e ampliada, São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2006.
• Página 138
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Uma cadeia de funções
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• ℎ 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔°𝑓
• Ex: ℎ 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 2
• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2
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Regra da cadeia
• Se ℎ 𝑥 = 𝑔 𝑓(𝑥) , então:
• ℎ′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑓(𝑥) = 𝑔′ 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)
• Se escrevermos: 
• 𝑦 = ℎ 𝑥 = 𝑔 𝑢 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑓 𝑥 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
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Ex: Em potência de funções
• Se a função f é diferenciável e
• ℎ 𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑛 (n sendo um número real), 
• então:
• ℎ′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) 𝑛 = 𝑛 𝑓(𝑥) 𝑛−1𝑓′(𝑥)
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Ex: ℎ 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 2
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• 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1
• 𝑔 𝑥 = 𝑥2
• 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 1
• 𝑔′ 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 2𝑥2 + 2𝑥 + 2
• ℎ′ 𝑥 = (2𝑥2 + 2𝑥 + 2) 2𝑥 + 1
• ℎ′ 𝑥 = 4𝑥3+ 6𝑥2+ 6𝑥 + 2
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Exercício 1:
• Encontre a derivada da função:
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R: 18x + 6 ou 6(3x+ 1)
𝐹 𝑥 = (3𝑥 + 1)2
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Exercício 2:
• Diferencie a função:
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R:
𝑥
𝑥2+1
𝐺 𝑥 = 𝑥2 + 1
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Solução 2
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Exercício 3:
• Determine a derivada usando a Regra do 
Quociente:
•𝑓 𝑥 =
1
(4𝑥2−7)2
•R: −
16𝑥
(4𝑥2−7)3
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Solução 3:
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Exercício 4:
• Determine a declividade da reta tangente ao 
gráfico da função:
•𝑓 𝑥 =
2𝑥+1
3𝑥+2
3
no ponto (0, 1/8)
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R: 3/16
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Solução 4:
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No ponto (0, 1/8)
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Exercício 5: Aplicação
O número de sócios de uma academia de ginástica aberta há 
algumas semanas é dado aproximadamente pela função:
𝑁 𝑡 = 100(64 + 4𝑡)2/3 (0 ≤ 𝑡 ≤ 52)
Onde N(t) expressa o número de sócios no início da 
semana t.
a. Determine N’(t).
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Solução 5:
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b. Com a fórmula da taxa...
Com que rapidez o número de sócios da academia 
estava aumentando inicialmente (t = 0)?
𝑁′ 0 =
800
3(64)1/3
≅ 66,7
Ou aproximadamente 67 pessoas 
por semana.
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c. Mais uma questão
• A razão pela qual o número de sócios 
aumentava no início da 40ª semana é dada 
por:
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𝑁′ 40 =
800
3(64+160)1/3
≅ 43,9
Ou aproximadamente 44 pessoas por semana.
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d. Mais uma...
Qual era o número de sócios quando a 
academia foi aberta? E na 40ª semana?
R: 𝑁 0 = 100(64)2/3 = 1600 sócios.
𝑁 40 = 100(64 + 160)2/3 ≅ 3688,3.
Cerca de 3688 sócios.
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Exercícios complementares
• Exercícios sobre derivadas – 2ª parte
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Livro: FLEMMING, D. M.; Gonçalves, M. 
B. Cálculo A: funções, limite, derivação 
e integração. 6ª edição revisada e 
ampliada, São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006.
Exercícios 
complementares
Página 158 – 4.16. exs.: 1 a 11 e 
43 a 48.
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Exercícios 2.4
• Fazer os exercícios 1 a 10 da lista.
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Tabela das funções principais
• A tabela leva em consideração que todas as 
regras valem para uma função “u” no lugar 
de x. Então, todas as derivadas ficam com a 
resposta:
• f’(x) = f’(u) * u’(x)
Tabela
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Exercícios 2.5
• Fazer os exercícios 1 a 8 da lista.
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Derivadas sucessivas
• Seja f uma função derivável. Se f’ também
for derivável, então a sua derivada é 
chamada derivada segunda de f e é 
representada por f’’(x) (lê-se f duas linhas 
de x) ou lê-se (derivada segunda de f
em relação a x)
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Exemplo 1:
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Encontre a primeira e a
segunda derivadas
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R: 
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Pode-se ter mais derivadas?
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Exemplo:
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Derivação implícita
• Seja uma função (1):
• A função y = f(x) é definida implicitamente 
se, ao substituirmos f(x) no lugar de y na 
função 1, ela se torna uma identidade. Ex.:
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Derivada de uma função na 
forma implícita:
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A função tem que ser 
derivável
A função implícita só é derivável (não há 
descontinuidade) se a substituição de y=f(x) 
na função original resultar em uma 
identidade para todos os pontos.
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Exemplo:
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Exercício
• Determinar a equação à reta tangente à 
curva 
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Regras de L’Hospital
• Fórmula de Cauchy: se f e g são duas 
funções contínuas em [a,b], deriváveis em 
(a,b), e se g’(x)≠0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 
então existe um número 𝑧 ∈ 𝑎, 𝑏 tal que:
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Utilização: resolver 
indeterminações 0/0
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Utilização: resolver 
indeterminações ∞/ ∞
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Ainda...
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Exemplo:
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Exercício
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Exerc. 2:
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Exercícios 2.6
• Fazer os exercícios 1 a 10 da lista.
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