Exemplos de subanéis

Prévia do material em texto

Exemplos de subanéis 
 
Exemplo 1 
O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois, dado o conjunto S = {2n/ n
Z
}, veja que: 
 
ZnmeSyx  ,,
, temos x = 2n e y = 2m. 
 
Usando a proposição 1, temos que 
x - y = 2n - 2m = 2(n - m), onde (n - m) 
Z
, então, x - y 
S
 
xy = (2n)(2m) = 2(n2m), onde n2m 
Z
, então, xy 
S
. 
Portanto, o conjunto dos números pares é um subanel de Z. 
A partir desse exemplo, podemos dizer que 2Z é um subanel de Z. 
 
Exemplo 2 
O conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z, pois, dado o conjunto S = 
{2n + 1/ n
Z
}, veja que: 
 
ZnmeSyx  ,,
, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
 
Usando a proposição 1, temos que 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m), que é um número 
par. 
Logo, onde x - y 
S
. 
Portanto, o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z, ou seja, dados 
dois elementos de S, 1 e 3, por exemplo, note que 3 - 1 = 2 
S
. 
 
Exemplo 3 
O conjunto 
6
_
3Z
 é um subanel de Z6. Veja que: 
 
     3,03,0,3,0,3,05,4,3,2,1,033
_
6
_
Z
. 
 
Usando a proposição 1, temos que 
0 - 0 = 0 _
63Z
 0.0 = 0 _
63Z
 
0 - 3 = 3 _
63Z
 0.3 = 0 _
63Z
 
3 - 0 = 3 _
63Z
 3.0 = 0 _
63Z
 
3 - 3 = 0 _
63Z
 3.3 = 9 = 3 _
63Z
 
 
Exemplo 4 
Dado o conjunto S = {0, 3, 6}, observe que ele não é um subanel de Z12, pois, dados 
dois elementos de S, por exemplo, 3 e 6, verificamos que 3 - 6 = 3 + 6 = 9 
12Z
. 
 
Exemplo 5 
Seja o conjunto S = 
 Zyxyx  ,/2
. Este conjunto é denotado por 
   ZyxyxZ  ,/22
 e chamado, na literatura, de anel Z adjunção 
2
. Vamos 
verificar se ele é um subanel do anel (R,+,.). 
 
Vamos considerar dois elementos do conjunto  .2Z 
 
 
 
    
 2,
22222
.,,22
.,,22
ZbaLogo
wyzxwzyxwzyxba
ZwzwzbZb
ZyxyxaZa
ZZ






















 
 
 
  
 2,
2222222
ZabLogo
zyxwywxzxwywzyxzwzyxab
ZZ




















 
 
 
Portanto, 
 2Z
 é subanel de (R,+,.). 
 
Observação 
O anel 
   ZyxpyxpZ  ,/
 é chamado, na literatura, de anel Z adjunção 
p
 e ele é subanel de (R,+,.). 
 
Sendo assim, podemos dizer que 
 
 Z é subanel de 
 pZ
 
 
 pZ
 é subanel de 
 pQ
 
 
 pQ
 é subanel de R 
 
Agora, vamos verificar que 
 pZ
 não é subanel de Q. 
Nesse caso, temos que 
 pZ 
Q. Veja que podemos escrever 
p
 = (0+1.
p
)
Z
, ou seja, 
p
Z
. Agora, podemos verificar que
.Qp
 
Suponhamos, por absurdo, que 
.Qp
 
Então, podemos escrever 
yexyZyxonde
y
x
p ,0,,, 
 são primos entre si. 
  )2(||
pwxfazendo
)1(||
22222222
222
2
2
ypypypwpywppypw
xpxppyx
y
x
p



 
 
 
De (1) e (2) temos um absurdo, pois, x e y são primos entre si. Logo, 
.Qp
 
Portanto, concluímos, pela teoria dos conjuntos, que 
 pZ 
Q. 
 
Exemplo 6 
O conjunto 












 Ryx
y
x
S ,/
0
0 é um subanel de M2(R), pois usando a proposição 1 
verificamos que dado dois elementos do conjunto S: 
Rwzyx
w
z
e
y
x












,,,,
0
0
0
0
onde
, temos: 
   
    Ryzexz
yz
xz
w
z
y
x
Rwyezx
wy
zx
w
z
y
x
S
S








































onde
onde
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
  
  
 
Logo, S é subanel de M2(R). 
 
Exemplo 7 
O conjunto dos múltiplos de n, onde n é um elemento do conjunto N e n ≥ 2 
definido por nZ = {nk / k
Z
} é um subanel de Z, mas não tem unidade. Vejamos: 
Usando a proposição 1: 
Sejam k1, k2 Z , onde a = nk1 e b = nk2, 
nZba  ,
. 
 
 a - b = nk1 - nk2 = n(k1 - k2), onde (k1 - k2) Z , então, a - b nZ 
 ab = (nk1)(nk2) = n(nk1k2), onde nk1k2 Z , então, ab nZ 
Portanto, nZ é um subanel do anel (Z,+,.) 
 
Agora, observe que ele não possui unidade, pois, considerando que y = nk
nZ
 seja 
a unidade de nZ, teremos yw = w, para todo w
nZ
. 
 
 
 
 
Fazendo w = n = n.1
nZ
, temos yw = w → yn = n → yw.n = n → yw = 1. Isso é um 
absurdo, pois falamos, inicialmente, que n ≥ 2. Logo, nZ não tem unidade.