Estrutura Metalica Pós Graduação rev01

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Estruturas Metálicas – Pós-Graduação em Engenharia Estrutural – Prof. Msc. Igor Leite 
 
CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTA 
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
ESTRUTURAS METÁLICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. MSC. IGOR LEITE 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARÇO/2018 
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Estruturas Metálicas – Pós-Graduação em Engenharia Estrutural – Prof. Msc. Igor Leite 
 
Sumário 
 
1. AÇÕES E SEGURANÇA.................................................................................................................. 4 
1.1 Método dos Estados Limites ........................................................................................................ 4 
1.2 Critérios de Projeto ....................................................................................................................... 5 
1.3 Verificação para estado limite último (ELU) ............................................................................... 5 
1.4 Verificação para estado limite de serviço (ELS) .......................................................................... 5 
1.5 Ações ............................................................................................................................................ 6 
1.6 Carregamentos e combinações de ações ...................................................................................... 9 
1.6.1 Combinações de ações para estados limites últimos ............................................................. 9 
1.6.2 Combinações para estados limites de serviço ...................................................................... 11 
2. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS À TRAÇÃO .............................................. 16 
2.1. Considerações Iniciais ............................................................................................................... 16 
2.2. Estudo da região de ligação ....................................................................................................... 16 
2.2.1. Área líquida ........................................................................................................................ 17 
2.2.2. Área líquida efetiva ............................................................................................................ 18 
2.2.3. Coeficiente de redução Ct ................................................................................................... 19 
2.3. Identificação dos estados-limites últimos ................................................................................. 20 
2.4. Dimensionamento aos estados-limites últimos ......................................................................... 21 
2.5. Limitação do índice de esbeltez ................................................................................................ 22 
2.6. Emprego de barras compostas ................................................................................................... 22 
2.7. Barras redondas com extremidades rosqueadas ........................................................................ 22 
2.8. Efeitos adicionais ...................................................................................................................... 23 
2.8.1. Efeito da excentricidade da ligação .................................................................................... 23 
2.8.2. Efeito do peso próprio da barra .......................................................................................... 23 
3. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS À COMPRESSÃO .................................... 30 
3.1 Instabilidade global – aspectos teóricos ..................................................................................... 30 
3.2. Força axial resistente nominal ................................................................................................... 34 
3.3. Valor da força axial de flambagem elástica .............................................................................. 35 
3.4. Valores dos comprimentos de flambagem por flexão e torção ................................................. 37 
3.5. Instabilidade local – aspectos teóricos ...................................................................................... 41 
3.6. Estado limite de serviço ............................................................................................................ 45 
3.7. Roteiro de dimensionamento ..................................................................................................... 46 
4. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES.............................. 55 
4.1. Mecanismo de colapso plástico ................................................................................................. 55 
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4.2. Flambagem lateral ..................................................................................................................... 57 
4.3. Instabilidade local na flexão ...................................................................................................... 60 
4.4. Dimensionamento ao momento fletor ....................................................................................... 62 
4.5. Resistência à força cortante ....................................................................................................... 65 
4.6. Dimensionamento dos enrijecedores ......................................................................................... 68 
4.7. Aberturas na alma de Perfil I ..................................................................................................... 69 
4.8. Estados limites de serviço ......................................................................................................... 70 
5. DIMENSIONAMENTO DE LIGAÇÕES EM ESTRUTURAS DE AÇO ..................................... 85 
5.1. Classificação e comportamento com relação à rotação ............................................................. 85 
5.2. Parafusos estruturais .................................................................................................................. 87 
5.3. Resistência de parafusos por ligações por contato .................................................................... 90 
5.4. Solda elétrica ............................................................................................................................. 95 
5.5. Verificação das soldas ............................................................................................................... 98 
5.6. Elementos de ligação ............................................................................................................... 101 
5.7. Ligações em base de pilares .................................................................................................... 103 
6. COMPORTAMENTO DE LIGAÇÕES EM ESTRUTURAS DE AÇO ...................................... 119 
6.1. Filosofia do projeto de ligações .............................................................................................. 120 
6.2. Ligações das vigas com as colunas ......................................................................................... 122 
6.3. Sistemas de classificação de ligações viga / coluna ................................................................ 126 
6.4. Ligações viga coluna semirrígidas .......................................................................................... 129 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. AÇÕES E SEGURANÇA 
 
 As estruturas devemser projetadas para resistir a todas as ações atuantes durante a sua vida 
útil com segurança, desempenho e durabilidade adequada a sua utilização, com custos de construção 
e manutenção compatíveis. 
1.1 Método dos Estados Limites 
 O método dos estados limites reconhece a natureza não determinística das ações e das 
resistências na formulação das equações que devem ser utilizadas em projeto. O entendimento do 
Método dos Estados Limites pressupõe a definição de alguns parâmetros/grandezas fundamentais. 
Um desses parâmetros é denominado de variância, que indica o quanto uma certa variável ou dado 
de ação ou resistência apresenta dispersão de valores. 
 A Figura 1.1 mostra um exemplo de distribuição da resistência medida através da 
amostragem da tensão de escoamento de espécimes provenientes de um lote de aço de um 
determinado fabricante. 
 
Figura 1.1 – Resultados de teste de tração do material 
 Além da variação estatística da característica do material ilustrado na Figura 1.1, a resistência 
de uma peça de aço é também afetada pela variação na geometria e pelas incertezas oriundas das 
hipóteses simplificadoras adotadas no método de cálculo. 
 A determinação dos fatores de segurança que são apresentados na NBR 8800/2008 se faz 
através da fixação de uma probabilidade de ruína da estrutura que seja adequada do ponto de vista de 
economia e segurança. 
 A grande vantagem apresentada pelo Método dos Estados Limites é possibilitar ao projetista 
o controle da probabilidade de ruína da estrutura e de componentes de ligações. Quanto menor a 
probabilidade de ruína desejada, maior é o custo da estrutura, e não existe necessidade de que certa 
estrutura projetada apresente riscos de colapso inferiores aos riscos naturais da atividade humana. 
Por isso, a necessidade de serem empregados os fatores de segurança recomendados por normas, de 
modo a ser obtida a probabilidade de ruína aceitável e que se pode pagar. 
 
 
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1.2 Critérios de Projeto 
 O dimensionamento e a execução de uma estrutura pressupõem o atendimento às funções 
para as quais foi concebida, considerando sua vida útil estimada. Neste sentido, devem ser 
verificadas condições de segurança (estado limite último) e condições de desempenho em uso 
(estado limite de serviço). Além disso, devem ser garantidas condições de durabilidade com custos 
compatíveis. 
 Os estados limites últimos estão relacionados ao colapso total ou parcial da estrutura, 
comprometendo a segurança dos usuários, e associados ao esgotamento da capacidade resistente, 
instabilidade e perda de equilíbrio. 
 Os estados limites de serviço estão relacionados a deficiências no desempenho para as 
condições de utilização, como, por exemplo, deformações e vibrações excessivas. 
 No projeto com método dos estados limites, as ações, solicitações e resistência dos materiais 
são tratadas de forma semiprobabilística e a segurança é introduzida de forma qualitativa, majorando 
as solicitações e minorando as resistências dos materiais em função de suas variabilidades. 
 No Brasil, os códigos de projeto adotam o método dos estados limites como critério de 
introdução da segurança estrutural em projeto. 
 As ações são majoradas e combinadas adequadamente e as resistências dos materiais são 
divididas por coeficientes parciais de modo a garantir a segurança estrutural. A NBR 8681/2003 é a 
norma de ações e segurança que serve de referência para as demais normas de projeto estrutural, 
incluindo a NBR 8800/2008. 
 
1.3 Verificação para estado limite último (ELU) 
 Segundo o método dos estados limites, a segurança estrutural é introduzida de forma 
qualitativa e pode ser expressa por: 
Sd ≤ Rd 
Sd – solicitações de cálculo, que são os efeitos gerados por combinações apropriadas de ações de 
cálculos aplicadas à estrutura; 
Rd – resistência de cálculo, que é o limite de resistência do material associado a uma determinada 
forma de colapso. 
 As solicitações de cálculo são obtidas majorando-se adequadamente as solicitações nominais, 
enquanto que as resistências de cálculo são obtidas minorando-se as resistências nominais. 
 
1.4 Verificação para estado limite de serviço (ELS) 
 As condições usuais referentes aos estados limites de serviço são expressas por desigualdades 
do tipo: 
Sser ≤ Slim 
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Sser – representa os valores dos efeitos estruturais de interesse obtidos com base nas combinações de 
serviço; 
Slim – representa os valores limites adotados para esses efeitos em cada caso específico. 
 
1.5 Ações 
 Segundo a NBR 8681/2003, ações são causas que provocam esforços e deformações nas 
estruturas e seus elementos, podendo ser classificadas em: 
 Ações permanentes: não variam de forma significativa em intensidade, direção ou ponto de 
aplicação durante a vida útil da estrutura. Exemplo: peso próprio da estrutura, revestimento, 
alvenaria etc. 
 Ações variáveis: apresentam variações significativas durante a vida útil da estrutura, seja em 
intensidade, direção, sentido ou ponto de aplicação. Exemplo: sobrecargas de utilização. 
 Ações excepcionais: têm baixa probabilidade de ocorrência, com duração bastante curta em 
comparação com a vida útil da estrutura. Exemplo: explosões, impactos, ações sísmicas etc. 
De um modo geral, as estruturas estão sempre sujeitas a ações permanentes e a uma ou mais 
ações variáveis. No caso em que apenas uma ação variável solicita a estrutura, a combinação de 
ações a ser utilizada pode ser obtida simplesmente pela soma do valor característico dessa ação com 
valores característico das ações permanentes. 
Caso atuem na estrutura mais de uma ação variável, é bastante improvável que todas elas 
estejam com valor igual ou superior ao característico ao mesmo tempo, durante o período de vida útil 
da edificação. Para levar isso em conta, com base em estudos probabilísticos, assume-se que o efeito 
mais desfavorável do conjunto de ações ocorre quando uma das ações variáveis está com seu valor 
característico, e as outras, com valores denominados reduzidos, que são valores inferiores ao 
característico em até 50%, dependendo do tipo de ação. 
Ao aplicar essa regra, deve-se considerar o valor característico de cada ação variável, o que 
produz tantas combinações diferentes quantas forem as ações variáveis. Aquela combinação que 
resultar no maior valor do efeito será adotada na verificação dos estados-limites últimos e as demais 
desprezadas. A ação variável com o valor característico na combinação é denominada ação variável 
principal. 
A Figura 1.2 mostra a atuação ao longo do tempo da ação permanente, da sobrecarga e do 
vento sobre um componente estrutural e os valores característico dessas ações, e, para as ações 
variáveis, também os valores reduzidos. Observa-se que valores iguais ou superiores ao característico 
não estão ocorrendo no mesmo intervalo de tempo para as ações variáveis. 
 
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Figura 1.2 – Representação das ações 
 
 A ação permanente é formada pelo peso próprio da estrutura e dos elementos fixos não 
estruturais, como vedações e revestimentos. A NBR 6120:1980 fixa os valores de peso próprio de 
vários materiais estruturais e elementos complementares (Figura 1.3). O peso próprio da estrutura 
avaliado na fase de pré-dimensionamento não deve diferir em mais de 10% do peso próprio real após 
o dimensionamento definitivo. 
 
 
Figura 1.3 – Peso específico de diversos materiais de acordo com a NBR6120/1980. 
 
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 Valores de sobrecarga (cargas acidentais) em função do tipo e da utilização da edificação 
também são indicados na NBR 6120:1980 (Figura 1.4). A ação do vento nas edificações é 
determinada segundo os procedimentos da NBR 6123:1987. 
 
Figura 1.4 – Valores mínimos de sobrecarga de acordo com a NBR 6120/1980. 
 O Anexo B da NBR 8800/2008 apresenta recomendações específicas sobre as ações variáveis 
oriundas do uso e da ocupação para edifícios estruturados em aço. Sob essas ações é importante 
serem conhecidas algumas situações, as quais seguem: 
1) Nas coberturas comuns, não sujeitas a acúmulos de quaisquer materiais, deve-se prever uma 
sobrecarga mínima de 0,25 kN/m², valor que pode englobar as cargas decorrentes de 
instalações elétricas e hidráulicas, isolamento térmico e acústico e pequenas peças fixadas na 
cobertura, até o limite de 0,05 kN/m²; 
2) Na ausência de especificação mais rigorosa, todas as cargas gravitacionais variáveis, em pisos 
e balcões suportados por pendurais, devem ser majoradas em 33%; 
3) Em lajes, na fase construção, deve-se prever uma sobrecarga mínima de 1 kN/m²; 
4) Em pisos, coberturas e outros, deve-se considerar, não cumulativamente com as demais ações 
variáveis, uma força concentrada aplicada na posição mais desfavorável, de intensidade 
compatível com o uso da edificação (a ABNT NBR 6120:1980 prescreve o valor de 1 kN 
para terças e banzo superior de treliças, e de 2,5 kN para degraus isolados de escadas, valor 
que não deve ser considerado na composição das ações que atuam nas vigas que suportam os 
degraus); 
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5) A ação aplicada apenas a uma parte da estrutura ou da barra, se o efeito assim produzido for 
mais desfavorável que o resultante da aplicação da ação sobre toda a estrutura ou toda a 
barra. 
6) Salienta-se que a sucção no telhado, quando supera as cargas gravitacionais, pode levar ao 
arrancamento das telhas, ocorrência comum em galpões e construções similares, ou até ao 
colapso da estrutura de cobertura, caso essa situação não tenha sido devidamente prevista. O 
vento também pode provocar pressão interna, que depende das posições e das dimensões das 
aberturas. (Figura 1.5) 
 
Figura 1.5 – Sobrepressão e sucção devido à ação dos ventos 
 
1.6 Carregamentos e combinações de ações 
 Um carregamento é constituído de um conjunto de ações com probabilidade de atuarem 
simultaneamente na estrutura. As ações devem ser combinadas de várias maneiras diferentes, 
objetivando determinarem-se os efeitos mais nocivos para a estrutura. Portanto, cada carregamento é 
formado por combinações específicas de ações que podem ser classificadas em normal, construtiva 
ou especial e excepcional. 
1.6.1 Combinações de ações para estados limites últimos 
 As combinações para verificação de estados limites últimos podem ser classificadas em 
normais, especiais ou construtivas e excepcionais. 
 Combinação última normal – decorre do uso normal e previsto para a estrutura. 
∑(𝛾𝑔𝑖𝐹𝐺𝑖,𝑘) +
𝑚
𝑖=1
𝛾𝑞1𝐹𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0𝑗𝐹𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
 
 Somatório das ações permanentes multiplicadas pelos respectivos coeficientes de ponderação 
mais a ação variável principal multiplicada pelo seu coeficiente de ponderação mais o somatório das 
demais ações variáveis multiplicadas pelos respectivos coeficientes de ponderação e de combinação. 
 Combinação especial ou construtiva: 
∑(𝛾𝑔𝑖𝐹𝐺𝑖,𝑘) +
𝑚
𝑖=1
𝛾𝑞1𝐹𝑄1,𝑘 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0𝑗,𝑒𝑓𝐹𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
 
 Combinação excepcional: 
10 
 
 
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∑(𝛾𝑔𝑖𝐹𝐺𝑖,𝑘) +
𝑚
𝑖=1
𝐹𝑄,𝑒𝑥𝑐 + ∑(𝛾𝑞𝑗ψ0𝑗,𝑒𝑓𝐹𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
 
 Nas figuras 1.5 e 1.6 podem ser vistos os coeficientes de ponderação e combinação para cada 
carregamento. 
 
Figura 1.5 – Valores dos coeficientes de ponderação de ações 
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Figura 1.6 – Valores dos fatores de combinação e redução para ações variáveis 
 
1.6.2 Combinações para estados limites de serviço 
 Nas verificações de estados limites de serviço devem ser utilizadas ações nominais, ou seja, 
com coeficiente de ponderação das ações γf = 1,0. Nas combinações de ações de serviço são usados 
os fatores de redução ψ1 e ψ2 conforme Figura 1.6. Essas combinações de ações são classificadas em 
quase permanentes, frequentes e raras. 
 Combinações quase permanentes – podem atuar durante um período da ordem da metade da 
vida útil da estrutura e são utilizadas para os efeitos de longa duração e que comprometam a 
aparência da construção, como, por exemplo, deslocamentos excessivos. 
𝐹𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
+ ∑(ψ2𝑗F𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=1
 
 Combinações frequentes – tem duração da ordem de 5% da vida útil da estrutura ou se 
repetem da ordem de 10
5
 vezes em 50 anos. São utilizadas para verificação de estados limites que 
não causam danos permanentes e/ou que estão relacionados ao conforto do usuário, como vibrações, 
movimentos laterais, empoçamento, abertura de fissuras etc. 
𝐹𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
+ ψ1𝐹𝑄1,𝑘 + ∑(ψ2𝑗F𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
 
FQ1 – ação variável principal com seu valor frequente ψ1FQ1,k 
ψ 2FQk – demais ações variáveis com seus valores quase permanentes 
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 Combinações raras – podem atuar no máximo por algumas horas durante o período de vida da 
estrutura. Utilizadas para os estados limites irreversíveis, isto é, que causam danos permanentes à 
estrutura ou a outros componentes da construção, e para aqueles relacionados ao funcionamento 
adequado da estrutura, tais como formação de fissuras e danos aos fechamentos. 
𝐹𝑠𝑒𝑟 = ∑𝐹𝐺𝑖,𝑘
𝑚
𝑖=1
+ 𝐹𝑄1,𝑘 + ∑(ψ1𝑗F𝑄𝑗,𝑘)
𝑛
𝑗=2
 
FQ1,k – ação variável principal com seu valor característico 
ψ1FQk – todas as demais ações com seus valores frequentes 
 
 Na Figura 1.7 são apresentados os valores limites de deslocamentos que devem ser 
obedecidos para o atendimento dos estados limites de serviço em estruturas metálicas, segundo a 
NBR 8800/2008. 
 
Figura 1.7 – Deslocamentos máximos segundo a NBR 8800/2008. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1) Para a barra 1 da treliça em balanço que pertence à estrutura da figura abaixo, determinar 
os esforços de cálculo para as ações atuantes na cobertura. 
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Ações: 
Peso próprio: 30 kg/m² 
Sobrecarga: 25 kg/m² 
Monovia: 15 kN 
Vento 1 sucção: 0,70 kN/m² 
Vento 2 pressão: 0,50 kN/m² 
 
Solução do problema – Determinam-se os carregamentos básicos na treliça para cada uma das 
ações, calculam-se os esforços na barra 1 para estes carregamentos e, posteriormente, fazem-se as 
combinações com estes esforços para se obterem os esforços de cálculo. 
Os carregamentos básicos da treliça são feitos a partir do seguinte processo: as forças aplicadas em 
cada nó são obtidas multiplicando-se o carregamento distribuído no telhado pela área de contribuição 
de cada nó, que é o produto da distância entre as treliças pela distância entre terças. No caso da 
monovia, será a capacidade nominal multiplicada por um coeficiente de impacto igual a 1,25, 
conforme a NBR 8800/2008. 
 Carregamento permanente (CP) = 0,3 x 6 x 2= 3,6 kN 
 Carregamento devido à sobrecarga (SC) = 0,25 x 6 x 2 = 3,6 kN 
 Carregamento devido à monovia (M) = 1,25 x 15 = 18,75 kN 
 Carregamento devido ao vento 1 (V1) = 0,7 x 6 x 2 = 8,4 kN 
 Carregamento devido ao vento 2 (V2) = 0,5 x 6 x 2 = 6 kN 
 
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Para determinar os esforços na barra, deve-se resolver a treliça para cada um dos carregamentos 
básicos, e com isso, encontram-se os esforços na barra 1. Sugere-se a utilização do software Ftool 
para resolução da análise estrutural. 
Esforços na barra 1: 
Carregamentos Esforço barra 1 (kN) 
Permanente (CP) + 17,8 (tração) 
Sobrecarga (SC) + 14,8 (tração) 
Monovia (M) + 26,5 (tração) 
Vento 1 (V1) - 41,6 (compressão) 
Vento 2 (V2) + 29,7 (tração) 
 
São possíveis as seguintes combinações para a estrutura em questão, para a obtenção dos esforços de 
cálculo. 
Combinação 1 = 1,25 CP + 1,5 (SC + M) + 1,4 x 0,6 x V2 (com todos os esforços de tração, 
incluindo-se a sobrecarga + monovia como ação principal. As duas podem ser somadas, pois são da 
mesma natureza) 
Combinação 2 = 1,25 CP + 1,4 V2 + 1,5 x 0,5 x (SC + M) (com todos os esforços de tração, 
considerando-se o carregamento vento 2 como ação principal) 
Combinação 3 = 1,0 CP + 1,4 V1 (com todos os esforços de compressão, e a ação permanente que 
deve estar em todas as combinações. A ação permanente é favorável nesta combinação) 
Com isso, tem-se os seguintes resultados: 
Comb1 = 1,25 x 17,8 + 1,5 x (14,8 + 26,5) + 1,4 x 0,6 x 29,7 = 109,1 kN 
Comb2 = 1,25 x 17,8 + 1,4 x 29,7 + 1,5 x 0,5 x (14,8 + 26,5) = 94,8 kN 
Comb3 = 1,0 x 17,8 + 1,4 x (-41,6) = -40,4 kN 
 Portanto, os esforços de cálculo serão aqueles correspondentes às combinações críticas, ou 
seja, a barra deve ser dimensionada para um esforço de tração de 109,1 kN e para um esforço de 
compressão de 40,4 kN, respectivamente. Esses valores são denominados envoltória de esforços. 
 
2) Seja uma coluna de uma estrutura de suporte de um reservatório elevado, calcular os 
esforços de projeto. 
Dados: 
Capacidade do reservatório: 30.000 litros; 
Altura do reservatório: 4,0 m; 
Altura da torre: 12,0 m; 
Carga de vento nominal atuante no reservatório: 20 kN; 
Carga permanente da torre e do reservatório: 48 kN 
A torre possui base quadrada de 6.0 m por 6.0 m e topo de 4.0 x 4.0 m 
 
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 Como os carregamento são simétricos, a análise estrutural, que pode ser realizada através do 
programa Ftool, da torre fornece os seguintes esforços de compressão na coluna da estrutura: 
- A ação permanente, chamada G, produz uma força nominal de 12 kN; 
- A carga do líquido, chamada Q, no reservatório cheio fornece 75 kN; 
- A carga de vento, chamada V, no topo do reservatório fornece uma força de compressão nominal 
de 23,3 kN. 
 Considerando-se inicialmente a carga Q como sendo a carga variável principal e o vento 
como carga secundária, resulta na combinação 1,25 G + 1,2 Q + 1,4 x 0,6 V e a carga de projeto da 
coluna: 
NSD = 1,25 x 12 + 1,20 x 75 + 1,4 x 0,6 x 23,3 = 119,6 kN 
 E tomando-se a segunda ação variável (vento) como ação principal, faz-se a combinação 1,25 
G + 1,4 V + 0,8 x 1,2 Q: 
NSD = 1,25 x 12 + 1,40 x 23,3 + 0,8 x 1,2 x 75 = 124,6 kN. Com isso, essa é a ação que controla o 
dimensionamento. 
 Agora, considera-se a ocorrência de um evento em que a caixa de água esteja completamente 
vazia (Q = 0) e neste instante a ação do vento seja predominante. Nessa situação a coluna situada a 
barlavento estará sujeita a uma força de tração de 23,3 kN. A combinação de ações de vento e carga 
permanente fornece: - 1,0 G + 1,4 W: 
NSD = -1,0 x 12 + 1,40 x 23,3 = 20,6 kN. Com isso, temos tração na base do reservatório. 
 
 
 
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2. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS À TRAÇÃO 
 
2.1. Considerações Iniciais 
 As barras de aço tracionadas estudadas neste capítulo desta nota de aula são aquelas que são 
exclusivamente por força axial de tração decorrentes de ações estáticas. Nos edifícios de aço, tais 
barras aparecem, na maioria das vezes, compondo treliças planas que funcionam como vigas de piso 
e de cobertura (tesouras de cobertura – Figura 2.1) 
 
Figura 2.1 – Tesoura de cobertura 
 Utilizam-se ainda, treliças planas nas duas faces laterais de passarelas de pedestres. Barras 
tracionadas também compõem treliças espaciais, geralmente empregadas em coberturas de 
edificações que precisam de grande área livre. Também aparecem na composição de treliças de 
pilares. Nos contraventamentos verticais e horizontais, usados para estabilizar as edificações, sempre 
há peças tracionadas. Além disso, utilizam-se tirantes e pendurais, empregados com o objetivo de 
transferir cargas gravitacionais de um piso para componentes estruturais situados em nível superior. 
 Como as barras tracionadas não são suscetíveis à instabilidade, a propriedade geométrica 
mais importante no dimensionamento é a área da seção transversal, e os perfis mais diversos são 
rotineiramente utilizados (I, U, duplo U, L, duplo L, T, barra redonda lisa etc.) No entanto, deve-se 
considera que a área de trabalho dessas barras na região de ligação a outros componentes da estrutura 
pode ser inferior à área bruta da seção transversal, em razão, principalmente da presença de furos (no 
caso de ligação parafusada) e da distribuição não uniforme da tensão de tração em decorrência de 
maior concentração próxima a parafusos e soldas. 
 
2.2. Estudo da região de ligação 
 Como explicitou-se no item anterior, a área de trabalho de ligação de uma barra tracionada 
pode ser inferior à área bruta da seção transversal. Para se chegar à área de trabalho, a área bruta da 
seção transversal pode sofrer uma primeira redução, causada pela presença de furos para passagem 
de parafusos, resultando na chamada área líquida, e uma segunda redução, causada por distribuição 
17 
 
 
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não uniforme da tensão de tração em decorrência de maior concentração junto a parafusos e soldas, 
resultando na denominada área líquida efetiva. 
2.2.1. Área líquida 
 Para obter a área líquida de um elemento plano parafusado, como uma chapa, é preciso, 
inicialmente, determinar sua linha de ruptura, definida como o percurso que passa por um conjunto 
de furos segundo o qual esse elemento se rompe sob solicitação de tração (Figura 2.2) 
 
Figura 2.2 – Elemento tracionado com furos 
 
 Na prática, para determinar a linha de ruptura que prevalece, emprega-se um processo 
empírico que fornece resultados compatíveis com ensaios. Nesse processo, determina-se a área 
líquida de acordo com a seguinte equação: 
𝐴𝑛 = 𝐴 − 𝑛. 𝑑𝑓. 𝑡 + ∑
𝑡. 𝑠
4𝑔
2
 
 Sendo: 
A – Área da seção transversal da peça 
n – número de furos na seção de ruptura 
df – diâmetro do furo 
t – espessura da peça 
s – distância horizontal entre dois furos consecutivos 
g – distância vertical entre dois furos consecutivos 
 Com relação ao diâmetro dos furos, df, sabe-se que estas aberturas são executadas geralmente 
com broca (uma broca de metal, em movimento rotatório, efetua o furo) ou por punção (um bastão 
de metal com uma ponta moldada, chamado punção, pressiona o elemento a ser furado, que fica 
apoiado em uma matriz perfurada). Os furos broqueados podem ser feitos em elementos de qualquer 
espessura; já os furos puncionados são limitados a elementos cuja espessura não ultrapassea medida 
do diâmetro do parafuso em mais de 3 mm. 
 Na maioria das vezes, faz-se nas estruturas de aço furos-padrão com diâmetro nominal 1,5 
mm maior que o diâmetro dos parafusos. Se os furos são feitos com broca, consegue-se boa precisão 
na obtenção desse valor. No entanto, se os furos são feitos por punção, nas suas bordas, do lado da 
saída do bastão, por conta de uma característica inerente ao processo, o diâmetro resultante é da 
ordem de 2,0 mm superior ao valor nominal, portanto, em torno de 3,5 mm superior ao diâmetro do 
parafuso. Assim, será considerada aqui, simplificadamente, sempre a situação mais desfavorável do 
18 
 
 
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ponto de vista estrutural, ou seja, a dos parafusos feito por punção. Dessa forma, o diâmetro dos 
furos deve ser tomado como: 
df = d + 3,5 mm 
onde d é o diâmetro do parafuso. 
 
2.2.2. Área líquida efetiva 
 Uma barra tracionada, ligada com parafusos ou soldas, por apenas alguns dos elementos 
componentes da seção transversal, fica submetida a uma distribuição de tensão não uniforme na 
região da ligação. Isso ocorre porque o esforço tem de passar pelos elementos conectados, que ficam 
submetidos a uma tensão média maior que a dos elementos não conectados (elementos soltos). 
 A Figura 2.3 mostra o comportamento de uma cantoneira ligada a uma chapa por meio de 
parafusos (somente os furos são mostrados). Observa-se que as tensões se concentram mais no 
elemento conectado e, ainda, que a seção com furos é a mais solicitada na região da ligação. 
 
 
Figura 2.3 – Comportamento de uma cantoneira conectada por apenas uma aba 
 A seção, portanto, fica submetida a uma tensão normal não uniforme. Essa distribuição não 
uniforme de tensão, para efeitos práticos, é substituída por uma tensão uniforme, de intensidade 
máxima, atuando em apenas uma parte da seção transversal. Em síntese, considera-se que uma parte 
da seção transversal trabalha sob tensão uniforme, com a parte restante sendo desprezada, conforme 
a figura 2.4. 
 
Figura 2.4 – Área líquida efetiva 
 A área da parte da seção transversal que trabalha é a área líquida efetiva, representada por Ae. 
Essa área é dada por: 
Ae = Ct . An 
 Onde Ct é um coeficiente de redução da área líquida An, fornecido no próximo subitem desta 
nota de aula. 
 
19 
 
 
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2.2.3. Coeficiente de redução Ct 
 Nas barras com seção transversal aberta, não incluindo os elementos planos (chapas), quando 
a força de tração é transmitida somente por parafusos ou por soldas longitudinais, ou, ainda, por uma 
combinação de soldas longitudinais e transversais, para alguns elementos da seção transversal (pelo 
menos um elemento da seção transversal fica solto), o coeficiente Ct é dado pela seguinte expressão: 
𝐶𝑡 = 1 −
𝑒𝑐
𝑙𝑐
 
Onde: 
ec é a excentricidade da ligação, igual à distância do centro geométrico da seção da barra, G, ao plano 
de cisalhamento da ligação. Em perfis com um plano de simetria, exceto cantoneiras, a ligação deve 
ser simétrica em relação a esse plano, e, no cálculo de ec, consideram-se duas barras fictícias e 
simétricas, cada uma correspondente a um plano de cisalhamento da ligação, por exemplo, duas 
seções T, no caso de perfis I ou H ligados pelas mesas, ou duas seções U, no caso de esses perfis 
serem ligados pela alma (Figura 2.5) 
lc é o comprimento efetivo da ligação. Seu valor, nas ligações soldadas, é igual ao comprimento da 
solda na direção da força axial e, nas ligações parafusadas, é igual a distância do primeiro ao último 
parafuso da linha de furação com maior número de parafusos, na direção da força axial. 
 
Figura 2.5 – Valores de ec 
 Não é permitido o uso de ligações que resultem em um valor do coeficiente Ct menor que 
0,60 (caso isso ocorra, a ligação é pouco eficiente e deve ser modificada). Contudo, se o valor obtido 
ultrapassar 0,90, por razões de segurança, deve ser usado nos cálculos esse valor como limite 
superior. 
 Se a ligação é feita por meio de todos os elementos da seção transversal do perfil, como em 
cantoneiras ligadas por duas abas ou perfis I ligados pela mesa e pela alma, então a tensão normal na 
barra tem distribuição próxima da uniforme e pode-se considerar Ct igual a 1,0. 
 Nos elementos planos ligados exclusivamente pelas bordas longitudinais por meio de solda, 
como é o caso da chapa da figura 2.6, o comprimento dos cordões de solda (lw) não pode ser inferior 
à largura da chapa (b), que por sua vez não pode ser superior a 200 mm, e os seguintes valores para o 
coeficiente Ct devem ser utilizados: 
Ct = 1,00, para lw ≥ 2b 
Ct = 0,87, para 2b > lw ≥ 1,5b 
Ct = 0,75, para 1,5 b > lw ≥ b 
20 
 
 
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Figura 2.6 – Chapa soldada apenas pelas bordas longitudinais 
 
2.3. Identificação dos estados-limites últimos 
 Um modo de colapso de barras tracionadas está relacionado à região de ligação e se manifesta 
quando a tensão atuante na área líquida efetiva (Ae) atinge o valor da resistência à ruptura do aço (fu). 
Nessa situação, a barra se rompe, em um estado-limite último que recebe a denominação de ruptura 
da seção líquida. 
 Outro modo de colapso se manifesta quando a tensão de tração atuante ao longo do 
comprimento da barra, portanto, na sua seção bruta (Ag), atinge o valor da resistência ao escoamento 
do aço (fy). Nessa circunstância, a barra está em situação de escoamento generalizado e sofre 
alongamento excessivo, o que pode provocar a ruína da estrutura da qual faz parte. A esse estado-
limite último dá-se o nome de escoamento da seção bruta. 
 É importante observar que o escoamento da seção líquida, ao contrário do escoamento da 
seção bruta, não representa um estado-limite último. No escoamento da seção bruta, praticamente 
toda a barra entra em estado de escoamento, o que faz seu aumento de comprimento ser excessivo. 
No escoamento da seção líquida, apenas a região de ligação escoa, e a barra como um todo sofre um 
aumento do comprimento pouco significativo. O colapso dessa seção, portanto, só fica caracterizado 
quando ela se rompe. A Figura 2.7 ilustra esse comportamento. A Figura 2.8 mostra a distribuição de 
tensões em uma chapa tracionada com furos. 
 
Figura 2.7 – Plastificação das áreas brutas e líquida efetiva 
21 
 
 
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Figura 2.8 – Tensões numa chapa tracionada com furos 
 
2.4. Dimensionamento aos estados-limites últimos 
 No dimensionamento aos estados-limites últimos de uma barra tracionada, é preciso satisfazer 
a seguinte relação: 
Nt,Sd ≤ Nt,Rd 
 Onde Nt,Sd é a força axial de tração solicitante de cálculo, obtida com a combinação de ações 
de cálculo apropriada, e Nt,Rd a força axial resistente de cálculo, considerando os estados-limites 
últimos de escoamento da seção bruta e ruptura da seção líquida. 
 Para o escoamento da seção bruta, tem-se: 
𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
𝐴𝑔. 𝑓𝑦
𝛾𝑎1
 
 Onde o produto Ag fy é a força axial resistente nominal e, γa1 é o coeficiente de ponderação da 
resistência para escoamento, igual a 1,10. 
 Para a ruptura da seção líquida, tem-se: 
𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
𝐴𝑒. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
Onde o produto Ae fu é a força axial resistente nominal e, γa2 é o coeficiente de ponderação da 
resistência para escoamento, igual a 1,35. 
 Os coeficientes de ponderação da resistência, respectivamente iguais a 1,10 e 1,35 para os 
estados-limites de escoamento da seção bruta e de ruptura da seção líquida, expressammaior nível de 
incerteza quanto ao valor da capacidade resistente nominal deste último. 
 
 
 
22 
 
 
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2.5. Limitação do índice de esbeltez 
 É recomendável que o índice de esbeltez das barras tracionadas, tomado como a maior 
relação entre o comprimento destravado L e o raio de giração r correspondente, com exceção das 
barras redondas rosqueadas que são montadas com pré-tensão, não supere 300, ou seja, que: 
(
𝐿
𝑟
)
𝑚á𝑥
≤ 300 
 Essa recomendação tem o objetivo de evitar que as barras tracionadas fiquem 
demasiadamente flexíveis e, como consequência, apresentem: 
 Deformação excessiva causada pelo peso próprio ou por choques durante o transporte e a 
montagem; 
 Vibração de grande intensidade, que pode se transmitir para toda a edificação, quando houver 
ações variáveis, como vento, ou quando existirem solicitações de equipamentos vibratórios, 
como compressores, causando sensação de desconforto aos usuários. 
 
2.6. Emprego de barras compostas 
 É usual projetar barras compostas, constituídas, por exemplo, por duas cantoneiras ou dois 
perfis U, em que a ligação entre os perfis seja feita por meio de chapas espaçadoras, soldadas ou 
parafusadas a esses perfis, conforme ilustra a Figura 2.9. Nesse caso, para assegurar um 
comportamento conjunto adequado dos perfis da barra composta, a distância máxima (l) entre duas 
chapas espassadoras adjacentes deve ser tal que: 
(
𝐿
𝑟𝑚𝑖𝑛
) ≤ 300 
 Onde rmin é o raio de giração mínimo de apenas um perfil isolado que forma a barra 
composta. 
 
Figura 2.9 – Barra composta tracionada 
 
2.7. Barras redondas com extremidades rosqueadas 
 O emprego de barras redondas com extremidades rosqueadas nas estruturas de aço é comum, 
principalmente como tirantes e peças de contraventamento, ligadas ao restante da estrutura por meio 
de porca e arruela. 
23 
 
 
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 O dimensionamento das barras redondas é similar ao das demais barras tracionadas. Deve-se 
verificar o estado limite-último de escoamento da seção bruta, com a força axial de tração resistente 
de cálculo, dada pela equação vista no item 2.4, na qual a área da bruta da seção transversal Ag é a 
área do fuste, ou seja: 
𝐴𝑔 =
𝜋𝑑𝑏
2
4
 
 sendo db o diâmetro nominal do fuste. 
 O outro estado-limite último a se considerar é a ruptura da parte rosqueada, para o qual a 
força axial de tração resistente de cálculo é dada pela equação vista no item 2.4, na qual a área 
líquida efetiva corresponde à área efetiva à tração da rosca, igual, nas roscas usualmente utilizadas 
nas estruturas de aço, a aproximadamente 75% da área bruta do fuste Ab, ou seja: 
Ae = 0,75.Ab 
 As barras redondas rosqueadas não precisam atender a quaisquer limitações relacionadas à 
esbeltez. Isso ocorre pelo fato de serem montadas com pré-tensão de tração, proporcionada por 
aperto forçado da porca, esticando-as perfeitamente, de modo que fiquem pouco suscetíveis a 
vibrações. 
2.8. Efeitos adicionais 
2.8.1. Efeito da excentricidade da ligação 
 Muitas vezes, a força de tração introduzida por uma ligação não tem a resultante coincidente 
com o eixo da barra, o que causa flexão. A rigor, a barra estaria submetida, então, a uma solicitação 
de flexo-tração. No entanto, em barras de baixa rigidez à flexão, como as cantoneiras e os perfis U 
laminados, que possuem seção transversal de altura reduzida, com ligações de pequena 
excentricidade (Figura 2.9), a flexão pode ser desprezada. 
 
Figura 2.10 – Excentricidade da ligação 
2.8.2. Efeito do peso próprio da barra 
 Todas as barras estão submetidas a uma flexão decorrente do peso próprio quando não estão 
na posição vertical. Quando se situam nessa posição, estão submetidas à variação da força axial ao 
longo do comprimento e, quando se situam em posição inclinada, ficam submetidas simultaneamente 
à flexão e à variação da força axial. 
 A influência do peso próprio das barras tracionadas deve ser avaliada, mas sabe-se que é 
pouco significativa para a maioria dos casos comuns, especialmente quando a projeção horizontal do 
comprimento da barra é pequena. 
 
 
24 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
3) Dimensionar a diagonal da treliça AB, com comprimento de 2 m, mostrada na figura abaixo, 
para força axial de tração. Será utilizada cantoneira dupla em forma de tê, em aço ASTM A36. 
Os parafusos da ligação têm diâmetro de 16 mm. 
 
 Sabe-se que as forças axiais na diagonal apresentam os seguintes valores característicos: 
-40 kN decorrentes de peso próprio predominantemente de estruturas metálicas; -260 kN 
decorrentes de sobrecarga na cobertura; 200 kN decorrentes de ação do vento. 
 
Solução do problema – Como a carga permanente e a sobrecarga reduzem a tração na barra AB, a 
força axial de tração solicitante de cálculo é dada pela seguinte combinação, envolvendo a carga 
permanente favorável à segurança e a sucção do vento: 
Nt,Sd = 1,0.(-40) + 1,4.(200) = 240 kN 
 Pré-dimensionamento pelo escoamento da seção bruta: 
𝐴𝑔 ≥
1,1 × 240
25
→ 𝐴𝑔 ≥ 10,56𝑐𝑚² 
 Portanto, cada cantoneira deverá ter área mínima de 10,56/2 = 5,28 cm² e se tentará usar o 
duplo L 63,5 x 4,76 (Ag = 2 x 5,80 = 11,60 cm²) 
 Ruptura da seção líquida: 
𝑁𝑡,𝑆𝑑 = 240𝑘𝑁 ≤ 𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
𝐴𝑒𝑓𝑢
𝛾𝑎1
=
𝐴𝑒 × 40
1,35
→ 𝐴𝑒 ≥ 8,10𝑐𝑚² 
Ae = Ct . An 
Para o cálculo da área líquida An, obtém-se o diâmetro dos furos: 
Df = 16 + 3,5 = 19,5 mm = 1,95 cm 
Como a furação padrão uniforme, basta fazer: 
An = 2(5,80 – 1,95 x 0,476) = 9,74 cm² 
25 
 
 
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 O coeficiente Ct vale: 
Ct = 1 – ec / lc = 1 – 1,75 /5 = 0,65 (valor entre 0,65 e 0,90) 
 Logo: 
Ae = 0,65 x 9,74 = 6,33 cm² < 8,10 cm² → insuficiente! 
 A primeira tentativa para resolver o problema seria elevar o coeficiente Ct. Assim: 
Ct . An ≥ 8,10 cm² → 9,74 Ct ≥ 8,10 cm² → Ct ≥ 0,832 
 Como o valor necessário de Ct não supera 0,90, essa solução é viável. Para que Ct seja igual 
ou superior a 0,832, é preciso aumentar o comprimento da ligação lc, conforme segue: 
Ct = 1 – ec / lc ≥ 0,832 → 1 – 1,75 / lc ≥ 0,832 → lc ≥ 10,42 cm 
 Esse valor de lc pode ser atingido ao se aumentar a distância entre os dois parafusos da linha 
de furação para 105 mm. Trata-se de uma solução interessante, apesar de, possivelmente, levar ao 
uso de uma chapa de nó com maiores dimensões. 
 A segunda forma de resolver o problema é substituir o perfil por outro com maior capacidade 
resistente. 
 Esbeltez 
Para o uso do perfil duplo L 635 x 4,76 com espaçamento entre os furos de 105 mm, tem-se: 
(
𝐿
𝑟
)
𝑚𝑎𝑥
=
200
𝑟𝑥
=
200
1,53
= 130,72 < 300 → 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒! 
 Chapas espaçadoras 
(
𝐿
𝑟𝑚𝑖𝑛
) ≤ 300 →
𝑙
1,5
≤ 300 → 𝑙 ≤ 450𝑐𝑚 
 Como o comprimento da diagonal é de apenas 200 cm, não são necessárias chapas 
espassadoras. 
4) Dimensionar a barra inclinada da mão francesa da figura abaixo, usando um perfil da série 
“T”. O aço a ser utilizado é o MR250 e a carga P é de 50 kN e a ligação da barra é feita com 
parafusos ϕ3/4”. Utilizar o espaçamento entre os furos com 5 cm. 
26 
 
 
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O valor da força na barra inclinada é fornecido pelo equilíbrio de forças verticais no nó de 
aplicação da carga P, ou seja: 
F.sen α – P = 0 
α = arctg 2/4 = 26,56°→ F = 105,2 kN 
 A área mínima necessária para o T é: 
𝐴𝑚𝑖𝑛 =
105,2 × 1,1
25
= 4,63𝑐𝑚² 
 Podemos, portanto, especificar incialmente um perfil T 2 x ¼”, com área de 6,05 cm². 
 Ruptura da seção líquida: 
Ae = Ct . An 
Para o cálculo da área líquida An, obtém-se o diâmetro dos furos: 
Df = 19,2 + 3,5 = 22,7 mm = 2,27 cm 
Como a furação padrão uniforme, basta fazer: 
An = (6,05 – 2 x 2,27 x 0,635) = 3,16 cm² 
 O coeficiente Ct vale: 
Ct = 1 – 1,5 / 5 = 1 – 1,75 /5 = 0,70 (valor entre 0,65 e 0,90) 
 
 Logo: Ae = 0,70 . 3,16 = 2,12 cm² 
𝑵𝒕,𝑹𝒅 =
𝑨𝒆. 𝒇𝒖
𝜸𝒂𝟏
=
𝟐, 𝟏𝟐. 𝟒𝟎
𝟏, 𝟑𝟓
= 𝟔𝟐, 𝟖𝒌𝑵 < 𝟏𝟎𝟓, 𝟐 𝒌𝑵 → 𝑵ã𝒐 𝑨𝒕𝒆𝒏𝒅𝒆! 
 O perfil T (maior da série da Gerdau) não atende às solicitações. Para atender às solicitações, 
deve-se utilizar dois perfis T (um em cada lado). Com isso, dobra-se a área: 
𝑵𝒕,𝑹𝒅 =
𝑨𝒆. 𝒇𝒖
𝜸𝒂𝟏
=
𝟐. 𝟐, 𝟏𝟐. 𝟒𝟎
𝟏, 𝟑𝟓
= 𝟏𝟐𝟓, 𝟔𝒌𝑵 > 𝟏𝟎𝟓, 𝟐 𝒌𝑵 → 𝑨𝒕𝒆𝒏𝒅𝒆! 
27 
 
 
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 Esbeltez 
Para o uso do perfil duplo T 2 x ¼” com espaçamento entre os furos de 105 mm, tem-se: 
(
𝐿
𝑟
)
𝑚𝑎𝑥
=
447
𝑟𝑥
=
447
1,5
= 298 < 300 → 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒! 
 Chapas espaçadoras 
(
𝐿
𝑟𝑚𝑖𝑛
) ≤ 300 →
𝑙
1,5
≤ 300 → 𝑙 ≤ 450𝑐𝑚 
 Como o comprimento da diagonal é de 447 cm cm, não são necessárias chapas espassadoras. 
5) Dimensionar a diagonal de apoio da treliça da figura abaixo para a envoltória de esforços 
obtida no exercício 1 desta nota de aula. No pré-dimensionamento foi definida uma seção dupla 
cantoneira 2L 63 x 4,75 mm em aço ASTM A36. O detalhe da ligação na extremidade da barra 
também é apresentado na figura. Neste exemplo, a seção 2L 63 x 4,75 mm será verificada para 
o esforço de tração de cálculo Nsd = 109 kN. 
 
Verificação do estado limite último de escoamento da seção bruta: 
𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
11,6 × 25
1,1
= 263,6𝑘𝑁 
Verificação do estado limite último de ruptura da seção efetiva: 
Ae = Ct.An 
An = Ag – 2t (dt + 0,35) = 11,6 – 2 x 0,475 (1,25 + 0,35) = 10,08 cm² 
Ct = 1 – ec / L → 1 – 1,75 / 8 = 0,78 ≥ 0,6 
Ae = 0,78 x 10,08 = 7,86 cm² 
𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
7,86 × 40
1,35
= 231,2𝑁 
 Portanto, a resistência de cálculo à tração do elemento é Nt,Rd = 233 kN. Para a verificação da 
segurança: Nt,Rd ≥ Nt,Sd = 190 kN (Ok!) 
28 
 
 
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 Para a verificação do estado limite de serviço, a esbeltez da seção composta de dupla 
cantoneira, não poderá superar 300. A esbeltez de uma cantoneira isolada em relação ao eixo de 
menor inércia também não poderá superar 300. 
𝜆𝑥 = (
𝐿
𝑟𝑥
) =
282,8
1,98
= 143 < 300 → 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒! 
𝜆𝑦 = (
𝐿
𝑟𝑦
) =
282,8
2,87
= 98,5 < 300 → 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒! 
𝜆𝑧 = (
𝐿
𝑟𝑧
) =
282,8
1,24
= 228 < 300 → 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒! 
 Portanto, a seção 2L 63 x 4,75 mm está verificada para os estados limites últimos e de 
serviço. 
6) As barras redondas rosqueadas Ac e BD compõem um contraventamento em forma de X, 
como se vê na figura a seguir. Supondo apena a atuação da força característica Hk de vento 
mostrada, que pode ser os dois sentidos indicados, determine o diâmetro das barras redondas, 
sabendo-se que elas serão fabricadas com aço ASTM A36. 
 
 
O valor de cálculo da força decorrente do vento é: 
Hw,d = 1,4 x 280 – 392 kN 
 Considerando a força de vento com sentido da esquerda para a direita, o que faz a barra 
redonda AC ficar tracionada e a barra BD não trabalhar, e estabelecendo as equações de equilíbrio do 
nó C, tem-se: 
 
ΣFH = 0 → 392 – NAC,Sd cos α = 0 
𝑐𝑜𝑠 ∝=
6
√62 + 42
= 0,832 
NAC,Sd = 392 / 0,832 = 471,15 kN 
 Escoamento da seção bruta: 
𝑁𝑡,𝑆𝑑 ≤ 𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
𝐴𝑔 × 𝑓𝑦
𝛾𝑎1
→ 471,75 ≤
𝐴𝑔 × 25
1,10
→ 𝐴𝑔 ≥ 20,73𝑐𝑚² 
29 
 
 
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 Portanto, a barra redonda rosqueada deverá ter área bruta mínima de 20,73 cm², e se tentará 
usar o diâmetro comercial de 52,39 mm (5,239 cm), correspondente a uma área bruta de 21,56 cm². 
 Ruptura da parte rosqueada: 
𝑁𝑡,𝑆𝑑 ≤ 𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
𝐴𝑒 × 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
=
0,75𝐴𝑔𝑓𝑢
1,35
=
0,75 × 21,56 × 40
1,35
= 479,11𝑘𝑁
> 471,15𝑘𝑁 (𝑂𝑘, 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒!) 
 Conclusão: podem ser usadas barras redondas rosqueadas com diâmetro de 52,39 mm nas 
barras AC e BD, mas deve-se observar que, quando o sentido da força de vento se inverte, a barra 
BD fica tracionada e a barra AC deixa de trabalhar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
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3. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS À COMPRESSÃO 
 
 O projeto de treliças e de pórticos com ligações rotuladas envolve o dimensionamento de 
barras submetidas a uma carga axial de compressão que passa no centro da área da seção transversal.
 No projeto de pórticos com ligações rígidas, a ocorrência de barras com compressão pura não 
é tão frequente, ocorrendo apenas em pilares interiores onde os momentos provenientes das vigas se 
anulam. Em geral, nesses pórticos o dimensionamento leva em conta a ação conjunto de compressão 
e flexão. 
 Ainda que membros sujeitos a compressão pura, sem flexão, não ocorram com muita 
frequência na prática, o estudo de seu comportamento é fundamental para o entendimento de 
membros sujeitos a flexo-compressão. O estudo do comportamento de membros comprimidos 
envolve, além do fenômeno de plastificação no estudo de peças tracionadas, o fenômeno de 
instabilidade. Outros fenômenos que contrastam o comportamento de peças tracionadas com o 
comportamento de peças comprimidas é o fenômeno de imperfeições iniciais. 
 Outro fenômeno recorrente é a flambagem local dos elementos componentes da seção 
transversal da barra, como a flambagem da alma ou das mesas de uma seção I ou H. 
 
3.1 Instabilidade global – aspectos teóricos 
 A flambagem, que é um problema de estabilidade estrutural, se caracteriza pela ocorrência de 
grandes deformações transversais em elementos submetidos a esforços de compressão. Em estruturas 
metálicas, os problemas de instabilidade são particularmente importantes, já que os seus elementos 
apresentam elevada esbeltez em função da grande resistência do aço. 
 O fenômeno da flambagem foi inicialmente estudado por Euler. Nos seus estudos, Euler 
considerou uma barra ideal com as seguintes simplificações e/ou aproximações: 
 Material é homogêneo, de comportamento elástico linear perfeito; 
 Barra é prismática e sem imperfeições; 
 Extremidades rotuladas (vínculos ideais); 
 Força aplicada sem excentricidade; 
 Não ocorre instabilidade local dos elementos da seção. 
Segundo essas hipóteses simplificadoras, e admitindo-se o equilíbrio da barra em uma 
posição levemente deformada, é possível deduzir a equação diferencial que rege o problema 
partindo-se da equação da linha elástica provocada por uma flexão (Figura 3.1). Como o equilíbrio 
do elemento estrutural é estabelecido na posição deformada, trata-se de uma análise não linear 
geométrica ou análise de 2
a
 ordem. 
 
𝐸𝐼
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
= 𝑀 = −𝑁𝑣 𝑜𝑢 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
+ (
𝑁
𝐸𝐼
) 𝑣 = 0 
 
31 
 
 
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Figura 3.1 – Barra para estudo da flambagem 
A solução geral para essa equação diferencial homogênea de segunda ordem é do tipo: 
𝑣 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 (√
𝑁
𝐸𝐼
𝑥) + 𝐶2𝑐𝑜𝑠(√
𝑁
𝐸𝐼
𝑥) 
 As constantes C1 e C2 podem ser determinadas utilizando-se as condições de contorno nos 
apoios. Ou seja, no caso de apoios rotulados, tem-se v = 0 em x = 0 e x = L, que resulta em, 
respectivamente: 
C2 = 0 e 𝐶1𝑠𝑒𝑛 (√
𝑁
𝐸𝐼
𝐿) = 0 
 A segunda condição será satisfeita se 𝑠𝑒𝑛 (√
𝑁
𝐸𝐼
𝐿) = 0, o que ocorre para (√
𝑁
𝐸𝐼
𝐿) = 𝑛𝜋, o 
que permite determinar a carga crítica: 
𝑁 =
𝑛2𝜋2𝐸𝐼
𝐿2
 
 Na Figura 3.2, pode-se ver os modos de flambagem de uma coluna. O primeiro modo de 
flambagem ocorre para n = 1, e a força correspondente é a força crítica de Euler: 
𝑁 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿2
 
 
Figura 3.2 – Modos de flambagem 
 
32 
 
 
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 A fim de auxiliar o entendimento do fenômeno de instabilidade, será estudado o 
comportamento de uma barra birrotulada com curvatura inicial submetida a uma força axial de 
compressão crescente até o colapso (Figura 3.3). 
 
Figura 3.3 – Barra com curvatura inicial 
 Esse comportamento, estabelecido com base na relação entre a força axial atuante Nc, e o 
deslocamento transversal na seção central, vt, é composto das seguintes etapas (Figura 3.4): 
1) Etapa elástica: a etapa elástica se inicia quando a força axial começa a atuar o deslocamento 
é igual ao inicial, ou seja, v0, e se encerra quando a força axial alcança Ncr, valor 
correspondente ao início do escoamento da seção central. A seção central é tomada como 
referência por ser a seção em que o momento fletor atuante é máximo. 
2) Etapa elastoplástica: a etapa elastoplástica começa com o aumento do valor da força axial 
para além de Ncr. O escoamento se propaga para o interior da seção central do lado da face 
interna, se inicia e propaga para o interior da seção transversal também do lado da face 
externa e avança para as seções vizinhas, o que faz a rigidez da barra à flexão se reduzir 
gradativamente, uma vez que as regiões plastificadas não suportam acréscimo de tensão, com 
o deslocamento transversal aumentando em ritmo mais acelerado. 
3) Etapa de colapso: o escoamento atinge toda a seção central da barra, que entra em colapso 
por instabilidade. A força axial que causa o colapso é a força máxima suportada pela barra, 
ou seja, é a força axial resistente nominal, representada por Nc,Rkin. Após o escoamento da 
seção transversal, o deslocamento vt aumenta muito, a força axial se reduz e a barra se torna 
um mecanismo “V”. 
 
Figura 3.4 – Colapso das barras com curvatura inicial por instabilidade 
 
33 
 
 
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 Matematicamente, esse efeito é expresso da seguinte forma: considere a coluna estudada com 
uma imperfeição v0 no estado de carregamento nulo. Ao ser aplicado a carga axial N, o modelo se 
deslocará para uma nova posição (como já visto) e o equilíbrio de forças internas e externas é dado 
por: 
𝑁(𝑣 + 𝑣0) = 𝐾(2𝛼 − 2𝛼0) =
4𝑘
𝑙
𝑣 
 Ou usando-se que 4k/l é igual a Ncr 
𝑁(𝑣 + 𝑣0) = 𝑁𝑐𝑟𝑣 
 Então: 
𝑣 =
𝑁
𝑁𝑐𝑟 − 𝑁
𝑣0 
 E o deslocamento total será: 
𝑣𝑡 =
1
1 − (
𝑁
𝑁𝑐𝑟
)
𝑣0 
 
O comportamento de colunas com imperfeições iniciais v0 não apresentam bifurcação, pois 
segundo a última expressão vista, vt = v0 quando N = 0 e a curva carga-deslocamento rapidamente 
torna-se não linear com o aumento de carga axial, tendendo a atingir um deslocamento infinito 
quando N se aproxima de Ncr, como é mostrada na Figura 3.5 
 
Figura 3.5 – Diagrama carga/deslocamento de coluna com imperfeição inicial 
 Consequentemente, uma coluna imperfeita não atinge Ncr, mas chega ao colapso por flexão 
com deslocamentos excessivos quando a carga aproxima Ncr. 
 O termo 
1
1−(
𝑁
𝑁𝑐𝑟
)
 é conhecido como “Fator de Amplificação”, uma vez que representa a 
amplificação do deslocamento inicial em função do nível de carga axial aplicado. 
 
34 
 
 
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3.2. Força axial resistente nominal 
 A força axial de compressão resistente nominal de uma barra para instabilidade, de acordo 
com a NBR 8800/2008 é dada por: 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
𝜒𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝛾𝑎1
 
 Nessa expressão, o produto Ag fy é a força de escoamento da seção bruta, que, assim como nas 
barras tracionadas, representa a capacidade resistente nominal da seção bruta, Q é igual a 1,0 na 
ausência de instabilidade local (ver item 3.5), γa1 é tomado como 1,10 e χ é um redutor da capacidade 
resistente, tendo em vista as tensões residuais e a curvatura inicial da barra. Denominado fator de 
redução associado à resistência à compressão, esse redutor é obtido por meio de ensaios laboratoriais 
e análises numéricas e, conforme a NBR 8800/2008, para barras com curvatura inicial de geométrica 
praticamente senoidal e deslocamento transversal v0 da ordem de L/1500, deve ser tomado como: 
 Para λ0 ≤ 1,5: 
𝜒 = 0,658λ0
2
 
 Para λ0 > 1,5 
𝜒 =
0,877
λ0
2 
 Sendo λ0 é o índice de esbeltez reduzido da barra. Esse índice é dado pela seguinte expressão: 
λ0 = √
𝑄. 𝐴𝑔𝑓𝑦
𝑁𝑒
 
 Onde Ne é a menor força crítica entre as flambagens por flexão, torção e flexotorção. A 
distribuição de tensões residuais varia de perfil para perfil e, como o fator χ depende dessa 
distribuição, a rigor deveriam existir inúmeras curvas para esse fator. Apesar disso, a NBR 
8800/2008 adota uma curva única, que conduz obviamente a resultados superiores para uma série de 
situações, mas dentro de limites considerados aceitáveis em relação à segurança estrutural. (Figura 
3.6) 
 
Figura 3.6 – Relação entre χ e λ0 conforme NBR 8800/2008 
35 
 
 
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3.3. Valor da força axial de flambagem elástica 
 O menor valor de Ne (força axial de flambagem elástica) deve ser determinado com os 
possíveis modos de flambagem da barra, que dependem do tipo de simetria da seção transversal. 
Como nas estruturas metálicas em geral se utiliza seção transversal duplamente simétrica ou 
monossimétrica, somente essas duas seções serão estudadas neste item. 
 Deve-se sempre procurar fazer a resultante das forças de compressão introduzida pelas 
ligações coincidir com o eixo longitudinal da barra comprimida, evitando, assim, a transmissão de 
momento fletor. Uma exceção é o caso das cantoneiras simples conectadas por uma das abas, muito 
comum na prática. 
Seção duplamente simétrica 
 As barras com seção duplamente simétricas, como as I ou H, podem flambar por flexão em 
relação aos eixos centrais de inércia x e y, com as forças axiais de flambagem elásticas dadas, 
respectivamente, por: 
𝑁𝑒𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝐾𝑥𝐿𝑥)²
 
𝑁𝑒𝑦 =
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝐾𝑦𝐿𝑦)²
 
 onde KxLx e KyLy são os comprimentos de flambagem por flexão em relação aos eixos x e y, 
respectivamente. 
 Essas barras também podem flambar por torção, situação em que a força axial de flambagem 
elástica é igual a: 
𝑁𝑒𝑧 =
1
𝑟0
2 [
𝜋2𝐸𝐶𝑤
(𝐾𝑧𝐿𝑧)²
+ 𝐺𝐽] 
 Nessa equação: 
 KzLz é o comprimento de flambagem por torção; 
 J é a constante de torção (dado em tabela do anexo A); 
 Cw é a constante de empenamento da seção transversal (fornecida na Figura 3.7); 
 r0 é o raio de giração polar da seção transversal em relação ao centro de cisalhamento, dado 
por: 
𝑟0 = √𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦2 + 𝑥0
2 + 𝑦0
2 
onde rx e ry são os raios de giração em relação aos eixos centrais de inércia x e y, respectivamente, e 
xo e y0, as distâncias do centro geométrico da seção G ao centro de cisalhamento S na direçãodos 
eixos x e y, respectivamente. 
36 
 
 
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Figura 3.7 – Valor da constante de empenamento Cw e posição do centro de cisalhamento S em 
seções duplamente simétricas 
 
 O valor da força axial de flambagem elástica por torção envolve duas rigidezes, a saber: a 
rigidez à torção uniforme GJ e a rigidez ao empenamento ECw. Isso ocorre porque, na flambagem 
por torção, a barra apresenta, além da torção uniforme, outro tipo de movimento, denominado 
empenamento, caracterizado por deslocamentos longitudinais diferentes de pontos das seções 
transversais, seções estas que perdem a forma plana, conforme mostra a Figura 3.8. 
 
Figura 3.8 – Movimentos de torção uniforme e empenamento na flambagem por torção 
 
 Só é necessário verificar a possibilidade de flambagem por torção se a barra tiver: 
 seção transversal com constante de empenamento nula, como seções cruciformes; 
 comprimento de flambagem por torção (KzLz) superior ao comprimento de flambagem por 
flexão ao eixo de menor inércia, independente da forma da seção; 
Barras monossimétricas 
 As barras monossimétricas somente podem flambar por flexão em relação ao eixo centro de 
inércia que não é o eixo de simetria e por flexão em relação ao eixo central de inércia de simétrica 
combinada com torção (flambagem por flexo-torção), com as forças axiais de flambagem elásticas 
dadas respectivamente: 
 
37 
 
 
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𝑁𝑒𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝐾𝑥𝐿𝑥)²
 
𝑁𝑒𝑦𝑧 =
𝑁𝑒𝑦 + 𝑁𝑒𝑧
2[1 − (
𝑦0
𝑟0⁄ )²]
[1 − √1 −
4𝑁𝑒𝑦𝑁𝑒𝑧[1 − (
𝑦0
𝑟0⁄ )²]
(𝑁𝑒𝑦 + 𝑁𝑒𝑧)²
] 
 No cálculo de Nez, as constantes de empenamento são fornecidas na Figura 3.9. 
 
Figura 3.9 – Valor da constante de empenamento Cw e posição do centro de cisalhamento S em 
seções monossimétricas 
 
 Uma explicação simples para a ocorrência da torção associada à flambagem por flexão em 
relação ao eixo y é que as forças transversais fictícias que provocam a flambagem em relação ao eixo 
y têm a direção do eixo x e não passam pelo centro de cisalhamento S da seção transversal, mas sim 
pelo centro geométrico G. Como toda força excêntrica a S provoca torção, a flexão em relação ao 
eixo y é acompanhada necessariamente de torção da seção em relação a S. 
 
3.4. Valores dos comprimentos de flambagem por flexão e torção 
 Para elementos isolados com as seis condições de contorno mais comuns, o comprimento de 
flambagem por flexão, igual ao produto entre o coeficiente de flambagem por flexão K e o 
comprimento destravado L é fornecido na Figura 3.10. Nesta figura, a primeira linha mostra os 
valores teóricos de K. Como na prática, raramente consegue-se executar um engastamento perfeito, a 
NBR 8800/2008 prescreve a utilização dos valores recomendados, apresentados na segunda linha. 
Observa-se que a imperfeição do engastamento permite à barra uma pequena rotação, o que faz o 
coeficiente de flambagem K ser um pouco maior que o teórico. 
 
 
38 
 
 
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Figura 3.10 – Comprimento de flambagem por flexão de elementos isolados 
 
 O comprimento de flambagem por torção, por sua vez, é igual ao produto KzLz, onde Kz é o 
coeficiente de flambagem por torção, que pode ser tomado como: 
a) Kz = 1,00 – para rotação impedida e empenamento livre em ambas extremidades; 
b) Kz = 2,00 – uma extremidade com rotação e empenamento livres e a outra com rotação e 
empenamento impedidos (Figura 3.11) 
 
Figura 3.11 – Representação do coeficiente de flambagem por torção. 
 
 Segundo a NBR 8800/2008, o valor de K = 1,0 pode ser usado para as colunas de pórticos, 
cuja estabilidade lateral seja garantida por um sistema estrutural adequado. Valores menores que 1,0 
são permitidos desde que justificados por uma análise estrutural. 
 Para colunas de pórticos, cuja estabilidade lateral depende da rigidez, da flexão das vigas e 
dos pilares, o parâmetro de flambagem K, segundo a NBR 8800 deve ser determinado por uma 
análise estrutrual e não deve ser menor que 1,0. 
39 
 
 
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 A análise estrutural a que se refere a NBR 8800 para a determinação de K nas colunas de 
pórticos, pode, tanto envolver um cálculo sofisticado de cargas de flambagem com o uso de 
computador, quanto envolver simplesmente o uso de ábados. A CISC06 (Canadian Institute of Steel 
Construction) recomenadam o uso de um ábaco mostrado na Figura 3.12 para pórticos 
contraventados. 
 O valor de K, segundo o ábaco, é obtido pela reta que une os valores de GA e Gb, onde: 
𝐺𝐴 =
∑(
𝐼𝑐
𝑙𝑐
)
∑ (
𝐼𝑣
𝑙𝑣
)
 
 Ic e lc são os momentos de inércia e os comprimentos das colunas que chegam ao nó A (ver 
Figura 3.13). Iv e lv são os momentos de inércia e os comprimentos das vigas que chegam ao nó A. O 
somatório é feito para todas as vigas e colunas ligadas rigidamente à coluna em consideração. 
 
Figura 3.12 – Ábaco para o cálculo do coeficiente de flambagem de colunas de pórticos 
contraventados 
 O cálculo de GB é análogo ao de GA apenas referido à extremidade B da coluna em 
consideração. Utilizar o valor de G = 10 para base de colunas rotuladas e G = 1 para base de colunas 
engastadas. 
 A equação que fornece os resultados do coeficiente de flambagem, é tomada de forma 
aproximada como: 
𝐾 =
0,64 + 1,4(𝐺𝐴 + 𝐺𝐵) + 3𝐺𝐴𝐺𝐵
1,29 + 2(𝐺𝐴 + 𝐺𝐵) + 3𝐺𝐴𝐺𝐵
 
 
40 
 
 
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Figura 3.13 – Pórtico contraventado lateralmente 
 
Situação particular das cantoneiras simples 
 Muitas vezes se utiliza como barra comprimida uma cantoneira simples ligada nas duas 
extremidades por meio da mesma aba (a outra aba fica solta), como mostra a Figura 3.14. Nessas 
circunstâncias, haverá uma excentricidade da força de compressão, assumida como a distância do 
plano de cisalhamento da ligação ao centro geométrico da barra, que provocará momento fletor na 
cantoneira. No entanto, a influência dessa excentricidade pode ser considerada simplificadamente se 
a ligação for feita por solda ou por pelo menos dois parafusos na direção da solicitação. 
 
Figura 3.14 – Situação da cantoneira simples conectada nas duas extremidades pela mesma aba 
 Nessa consideração simplificada, parte-se do princípio de que o movimento de flexão da 
cantoneira em relação ao eixo centroidal y (perpendicular à aba conectada) fica restringido e a 
flambagem ocorre com flexão em relação ao eixo centroidal x. Para o comprimento de flambagem, 
utiliza-se a seguinte proposição: 
Para Lx / rx ≤ 80 KxLx = 72 rx + 0,75 Lx 
Para Lx / rx > 80 KxLx = 32 rx + 1,25 Lx 
 
41 
 
 
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3.5. Instabilidade local – aspectos teóricos 
 Além da instabilidade global descrita anteriormente, os perfis metálicos também podem 
apresentar o fenômeno de instabilidade local, que é a perda de instabilidade dos elementos que 
compõem a seção transversal da barra e que pode ocorrer antes que a tensão crítica determinada na 
análise global seja atingida. Na Figura 3.15, vê-se um elemento que sofreu flambagem local. 
 
Figura 3.15 – Exemplo de flambagem local em perfis de aço 
 As chapas que compõem a seção transversal dos perfis de aço solicitadas por esforços de 
compressão ou de flexão estão submetidas a tensões axiais de compressão e, consequentemente,sujeitas à instabilidade. Trata-se, portanto, de instabilidade de chapas, e é denominada local porque o 
eixo da barra permanece indeformado. 
 A tensão crítica de flambagem elástica para uma chapa quadrada com bordas apoiadas é dada 
pela expressão: 
𝑓𝑐𝑟 =
𝑘𝜋²𝐸
12(1 − 𝑣2) (
𝑏
𝑡) ²
 
 Para o entendimento do fenômeno, é possível fazer uma analogia com o caso da instabilidade 
da barra. A tensão crítica depende: do material representado pelo seu módulo de elasticidade; de uma 
esbeltez – aqui denominada esbeltez local (relação largura-espessura b/t); do coeficiente de Poisson, 
por se tratar de um fenômeno bidimensional; e de um coeficiente de flambagem, que, para este caso, 
é função das condições de vinculação, das condições de carregamento e da relação entre largura e 
comprimento do elemento – Figura 3.16. 
 No caso de plastificação da seção, ou seja, sem ocorrência de flambagem local, a tensão 
crítica de flambagem será igual à tensão de escoamento do material. Fazendo-se a expressão vista 
anteriormente igual a fy, define-se a esbeltez limite para a flambagem de chapa. 
𝑓𝑐𝑟 =
𝑘𝜋²𝐸
12(1 − 𝑣2) (
𝑏
𝑡) ²
= 𝑓𝑦 → (
𝑏
𝑡
)
𝑙𝑖𝑚
= λ𝑙𝑖𝑚 = 0,95√
𝐾𝐸
𝑓𝑦
 
 
 
42 
 
 
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Figura 3.16 – Coeficientes de flambagem local 
 Portanto, em chapas com relação b/t inferior a (b/t)lim não há flambagem local, e a mesma 
consegue atingir a plastificação. 
 Ao contrário do que ocorre nas barras, a flambagem de chapa não implica no esgotamento de 
sua capacidade resistente. Nestes elementos, existe a possibilidade de redistribuição de tensões, e em 
função disto, ocorre o fenômeno denominado efeito pós-crítico ou pós-flambagem, que permite que a 
resistência ao escoamento seja alcançada. 
 A partir da observação desse comportamento pós-crítico, foi possível definir o conceito de 
largura efetiva. Ou seja, despreza-se, para efeito de cálculo, a região da chapa que apresenta 
instabilidade e considera-se uma largura efetiva com a mesma resultante de tensões aplicadas na 
largura real do elemento. Este procedimento implica em considerar a redução da resistência da seção 
de forma indireta, por meio da redução da área. 
𝑏𝑒𝑓 = 1,92𝑡√
𝐸
𝜎
[1 −
0,34
𝑏/𝑡
]√
𝐸
𝜎
≤ 𝑏 
 Portanto, se não houver instabilidade local, a largura efetiva é a própria largura do elemento 
e, em caso de instabilidade, passa-se a trabalhar com uma largura efetiva menor. Desta forma, a 
redução na resistência de um elemento estrutural em função da instabilidade local pode ser 
considerada reduzindo-se as propriedades geométricos da seção transversal, que passam a ser 
determinadas com base nas larguras efetivas. 
 A expressão acima, com ajustes devidos a imperfeições iniciais e baseada em ensaios 
experimentais, é a mesma que aparece nas normas de dimensionamento, inclusive a NBR 8800/2008. 
 
Coeficiente de Instabilidade Local 
 O coeficiente de instabilidade local, Q, considera a influência da flambagem local na 
resistência do elemento e é dividido em dois coeficientes: 
 
43 
 
 
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Qs – coeficiente de redução da resistência devido à flambagem local em elementos apoiados e livres 
– AL, por exemplo, a mesa de perfis tipo I; 
Qa – coeficiente de redução da resistência devido à flambagem local em elementos apoiados e 
apoiado – AA, por exemplo, almas de perfis tipo I. 
 Em seções compostas de elementos AA e Al, como, por exemplos, perfis I e U, o coeficiente 
Q é dado pelo produto dos coeficientes Qs e Qa: 
Q = Qs Qa 
 Em seções compostas apenas de elementos AL, como por exemplo, perfis L e T, o coeficiente 
Q será o menor dos coeficientes Qs entre os diversos elementos que compõem a seção. Para seções 
compostas apenas de elementos AA, como em seções caixão, o coeficiente de redução Q será o 
menor dos coeficientes Qa. 
 O parâmetro de instabilidade local Q será igual 1 se a relação largura-espessura dos 
elementos componentes da seção não ultrapassar os limites indicados nas Figuras 3.17 e 3.18. Isto 
indica que não há redução de resistência em função da instabilidade local, ou que esta não ocorre. 
Seções com essas características podem ser denominadas de seções compactas. 
 
 
Figura 3.18 – Limites de relação largura-espessura (NBR 8800/2008) 
 Para barras submetidas à força axial de compressão, nas quais elementos componentes da 
seção transversal possuem relações b/t maiores que os valores de (b/t)lim da Figura 3.18 e 3.19, deve-
se determinar o parâmetro de instabilidade local para elementos AA e elementos AL, de acordo com 
as expressões apresentadas nas Figuras 3.19 e 3.20. 
44 
 
 
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Figura 3.19 - Limites de relação largura-espessura (NBR 8800/2008) 
 
Figura 3.20 – Expressões para o cálculo do parâmetro de instabilidade local Q – Elementos AL 
 
 
45 
 
 
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Figura 3.21 – Expressões para o cálculo do parâmetro de instabilidade local Q – Elementos AA 
 
Interação entre instabilidade local da barra e flambagem local: 
 Viu-se anteriormente que o fator de redução total relacionado à flambagem local Q, provoca 
diminuição no valor da força de escoamento Ag fy da seção transversal. Assim, essa força menor deve 
ser utilizada na determinação do índice de esbeltez reduzido, que passa a ser: 
λ0 = √
𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝑁𝑒
 
 Essa equação, portanto, deve ser utilizado no dimensionamento no lugar da mesma equação, 
no item 3.2, sempre que houver flambagem local do elemento. 
 
3.6. Estado limite de serviço 
 Os estados limites de serviço em barras comprimidas estão ligados à esbeltez da barra. Nesse 
sentido, a NBR 8800/2008 limita em 200 a esbeltez de barras comprimidas. 
 Em barras com seção composta formadas por mais de um perfil, o índice de esbeltez de 
qualquer perfil não deve ultrapassar ½ do índice de esbeltez máxima do conjunto. Podem ser 
utilizadas chapas espaçadoras a intervalos de comprimentos que garantam essa condição – Figura 
3.22 
 
Figura 3.22 – Verificação de esbeltez em barras compostas comprimidas 
46 
 
 
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3.7. Roteiro de dimensionamento 
 A fim de resumir todo o conteúdo visto no Capítulo 3 desta nota de aula, segue na Figura 
3.23 um roteiro de dimensionamento de acordo com a NBR 8800/2008. 
 
Figura 3.23 – Roteiro de dimensionamento de acordo com a NBR 8800/2008. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
7) O pilar ABC a seguir, travado por contraventamento, está submetido a uma força axial de 
compressão solicitante de cálculo igual a 1.500 kN. Propõe-se verificar se o perfil soldado 
escolhido para o pilar, produzido em aço estrutural ASTM A242, resiste a essa força. Notar 
que o eixo x do perfil é paralelo ao eixo global U. Supor que em A (base do pilar) o 
empenhamento e a rotação em torno do eixo longitudinal estejam impedidos, e que em B e C 
apenas a rotação esteja impedida. 
 
 
47 
 
 
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Aço estrutural: ASTM A242, com chapas de espessura t ≤ 19 mm → fy = 345 MPa ou 34,5 kN/cm² 
 Flambagem local: 
- Mesas: 
𝑏
𝑡
=
400/2
9,5
= 21,05 
(𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 = 0,64√
𝐸𝑘𝑐
𝑓𝑦
 
𝑘𝑐 =
4
√ℎ/𝑡𝑤
=
4
√(650 − 2.9,5)/8
= 0,45 
(𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 = 0,64√
20000.0,45
34,5
= 10,34 
Verificaçãode Elementos do Grupo 5 – Soldados 
𝑏
𝑡
= 21,05 > (
𝑏
𝑡
)𝑙𝑖𝑚 = 10,34 → (
𝑏
𝑡
)𝑠𝑢𝑝 = 1,17√
𝐸𝑘𝑐
𝑓𝑦
= 1,17√
20000.0,45
34,5
= 18,90 
𝑏
𝑡
= 21,05 > (
𝑏
𝑡
)𝑠𝑢𝑝 = 18,90 → 𝑄𝑠 =
0,90𝐸𝑘𝑐
𝑓𝑦 (
𝑏
𝑡) ²
=
0,90.20000.0,45
34,5(21,05)²
= 0,53 
- Alma: 
𝑏
𝑡
=
650 − 2.9,5
8
= 78,88 
(𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 = 1,49√
𝐸
𝑓𝑦
= 1,49√
20000
34,5
= 35,87 
𝑏
𝑡
= 78,88 > (
𝑏
𝑡
)𝑙𝑖𝑚 = 35,87 → 𝑏𝑒𝑓 = 1,91𝑡√
𝐸
𝑓𝑦
[1 −
0,34
𝑏/𝑡
]√
𝐸
𝑓𝑦
≤ 𝑏 
𝑏𝑒𝑓 = 1,92.0,8√
20000
34,5
[1 −
0,34
78,88
]√
20000
34,5
= 33,14 𝑐𝑚 ≤ 63,1 𝑐𝑚 
Aef = 126,5 – 0,8(63,1 – 33,14) = 102,53 cm² 
𝑄𝑎 =
𝐴𝑒𝑓
𝐴
=
102,53
126,5
= 0,81 
Fator de redução total: Q = Qa . Qs = 0,81 x 0,53 = 0,43 
 
48 
 
 
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 Instabilidade da barra e esbeltez 
Como o pilar possui seção duplamente simétrica, devem ser obtidas, em princípio, as forças de 
flambagem elástica por flexão em relação aos eixos x e y da seção transversal e a força de 
flambagem elástica por torção. Assim: 
𝑁𝑒𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝐾𝑥𝐿𝑥)²
=
𝜋220000.94701
(1000)²
= 18693𝑘𝑁 
𝑁𝑒𝑦 =
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝐾𝑦𝐿𝑦)²
=
𝜋220000.10136
(500)²
= 8003𝑘𝑁 
 Observar que o comprimento de flambagem KyLy é a distância entre A e B ou entre B e C, 
portanto, igual a 500 cm. 
 Veja que não é necessário determinar a força de flambagem por torção, pois a seção possui 
constante de empenamento não nula, e o comprimento de flmabagem por torção não supera o 
comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo y (eixo de menor inércia), tendo em vista 
as condições de contorno à torção em A, B e C. 
 Esbeltez máxima: 
λ =
𝐾𝑦𝐿𝑦
𝑟𝑦
=
500
8,95
= 55,86 < 200 (𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒!) 
 Resistência de acordo com a NBR 8800/2008: 
λ0 = √
0,43.126,5.34,5
8003
= 0,48 < 1,5 
𝜒 = 0,658λ0
2
= 0,6580,48
2
= 0,908 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
𝜒𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝛾𝑎1
=
0,908.0,43.126,5.34,5
1,1
= 1549𝑘𝑁 
Nc,Sd ≤ Nc,Rd = 1500 kN ≤ 1549 kN → Atende! 
 
8) Dimensionar a diagonal de apoio da treliça da figura abaixo para a envoltória de esforços 
obtida no exercício 1 desta nota de aula. No pré-dimensionamento foi definida uma seção dupla 
cantoneira 2L 63 x 4,75 mm em aço ASTM A36. O detalhe da ligação na extremidade da barra 
também é apresentado na figura. Neste exemplo, a seção 2L 63 x 4,75 mm será verificada para 
o esforço de tração de cálculo Nsd = 40,4 kN. 
49 
 
 
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 Flambagem local: 
Elemento AL – Grupo 3. A relação largura-espessura para a aba da cantoneira é: 
𝑏
𝑡
=
63
4,75
= 13,3 
(𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 = 0,45√
𝐸
𝑓𝑦
= 0,45√
20000
25
= 12,7 
𝑏
𝑡
= 13,3 > (
𝑏
𝑡
)𝑙𝑖𝑚 = 12,7 → (
𝑏
𝑡
)𝑠𝑢𝑝 = 0,91√
𝐸
𝑓𝑦
= 0,91√
20000
25
= 25,7 
𝑏
𝑡
= 13,3 < (
𝑏
𝑡
)𝑠𝑢𝑝 = 25,7 → 𝑄𝑠 = 1,34 − 0,76
𝑏
𝑡
√
𝐸
𝑓𝑦
= 1,34 − 0,76.13,3√
20000
25
= 0,98 
Como a seção é composta somente de elementos AL, Q = Qs = 0,98. Determinado o parâmetro de 
flambagem local Q, parte-se para a verificação da flambagem global com o cálculo da esbeltez 
reduzida. Porém, antes disso, é necessário determinar a normal de flambagem elástica da barra. 
Trata-se se uma seção monossimétrica (o eixo y é o eixo de simetria); portanto, os modos de 
flambagem possíveis são a flambagem por flexotorção (Neyz) ou a flambagem por flexão em x (Nex). 
O comprimento de flambagem da barra é o próprio comprimento da barra. 
𝑁𝑒𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝐾𝑥𝐿𝑥)²
=
𝜋2. 2000.46
(282,8)²
= 113,4𝑘𝑁 
𝑁𝑒𝑦 =
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝐾𝑦𝐿𝑦)²
=
𝜋2. 20000.95,5
(282,8)²
= 235,5𝑘𝑁 
 
50 
 
 
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𝑁𝑒𝑧 =
1
𝑟0
2 [
𝜋2𝐸𝐶𝑤
(𝐾𝑧𝐿𝑧)²
+ 𝐺𝐽] 
𝑟0 = √𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦2 + 𝑥0
2 + 𝑦0
2 = √1,98² + 2,87² + 0 + 1,745² = 3,9𝑐𝑚 
𝑁𝑒𝑧 =
1
3,9²
[
𝜋2. 20000.0
(282,8)²
+ 7700.0,9] = 455,6𝑘𝑁 
𝑁𝑒𝑦𝑧 =
𝑁𝑒𝑦 + 𝑁𝑒𝑧
2[1 − (
𝑦0
𝑟0⁄ )²]
[1 − √1 −
4𝑁𝑒𝑦𝑁𝑒𝑧[1 − (
𝑦0
𝑟0⁄ )²]
(𝑁𝑒𝑦 + 𝑁𝑒𝑧)²
]
=
235,5 + 455,6
2 [1 − (1,98 3,9⁄ ) ²]
[
 
 
 
 
 
 
1 −
√
1 −
4.235,5.455,6 [1 − (1,98 3,9⁄ ) ²]
(235,5 + 455,6)²
]
 
 
 
 
 
 
= 202,8𝑘𝑁 
A força normal de flambagem elástica será o menor valor entre a força normal de flambagem 
elástica por flexão em x e por flexotorção. Neste caso, predomina flambagem por flexão em x com: 
Ne = Nex = 113,4 kN 
 Resistência de acordo com a NBR 8800/2008: 
λ0 = √
0,98.11,6.20
113,4
= 1,59 > 1,5 
𝜒 =
0,877
λ0
2 =
0,877
1,59²
= 0,35 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
𝜒𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝛾𝑎1
=
0,35.0,98.11,6.20
1,1
= 90,4𝑘𝑁 
Nc,Sd ≤ Nc,Rd = 40,4 kN ≤ 90,4 kN → Atende! 
 
 Esbeltez máxima: 
λ𝑦 =
𝐾𝑦𝐿𝑦
𝑟𝑦
=
282,8
2,87
= 98,5 < 200 (𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒!) 
λ𝑥 =
𝐾𝑥𝐿𝑥
𝑟𝑥
=
282,8
1,98
= 143 < 200 (𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒!) 
λ𝑧 =
𝐾𝑧𝐿𝑧
𝑟𝑧
≤
1
2
(
𝐾𝑧𝐿𝑧
𝑟𝑧
)
𝑚𝑎𝑥,𝑐𝑜𝑛𝑗
→ λ𝑧 ≤
1
2
143 = 71,5 → λ𝑧 =
282,8
1,27
= 222,7 > 71,5 
51 
 
 
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 Não ok, utilizar chapas espaçadoras (também denominadas presilhas) para reduzir o 
comprimento destravado da cantoneira isolada. 
 Distância entre presilhas: Lz,max = λz,max . rz = 71,5 . 1,27 = 88,7 cm 
 Número de presilhas: npresilhas = (L / Lz,max) – 1 = (2828/887 – 1) = 2,2 
 Utilizar então 3 chapas de presilhas. 
 
8) Verificar se o perfil HP 310 x 93, de aço ASTM A572 Gr. 50 resistem as solicitações, 
conforme figura abaixo. Para o cálculo do comprimento de flambagem, utilizar o método da 
CISC06. No plano perpendicular ao plano do pórtico, as colunas são contraventadas na base e 
no topo. 
 
 Flambagem local: 
- Mesas: 
𝑏
𝑡
= 11,8 
(𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 = 0,56√
𝐸
𝑓𝑦
= 0,56.√
20000
34,5
= 13,48 
𝑏
𝑡
= 11,8 < (
𝑏
𝑡
)𝑙𝑖𝑚 = 13,48 → 𝑄𝑠 = 1,0 
- Alma: 
𝑏
𝑡
= 18,7 
52 
 
 
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(𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 = 1,49√
𝐸
𝑓𝑦
= 1,49√
20000
34,5
= 35,87 
𝑏
𝑡
= 18,7 < (
𝑏
𝑡
)𝑙𝑖𝑚 = 35,87 → 𝑄𝑎 = 1,0 
Fator de redução total: Q = Qa . Qs = 1,00 x 1,00 = 1,00. 
 Determinação do coeficiente de flambagem: 
𝐺𝐴 =
∑(
𝐼𝑐
𝑙𝑐
)
∑ (
𝐼𝑣
𝑙𝑣
)
=
(
19682
640 )
2. (
115000
1200 )
= 0,161 
Com esse valor e sendo GB = 10, obtém-se a partir do ábaco da Figura 3.12 = 0,75 
 Instabilidade da barra: 
𝑁𝑒𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝐾𝑥𝐿𝑥)²
=
𝜋220000.19682
(0,75.640)²
= 16862,3𝑘𝑁 
𝑁𝑒𝑦 =
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝐾𝑦𝐿𝑦)²
=
𝜋220000.6387
(0,75.640)²
= 5472𝑘𝑁 
 Esbeltez máxima: 
λ =
𝐾𝑦𝐿𝑦
𝑟𝑦
=
0,75.640
7,32
= 65,57 < 200 (𝐴𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒!) 
 Resistência de acordo com a NBR 8800/2008: 
λ0 = √
1,0.119,2.34,5
5472
= 0,87 < 1,5 
𝜒 = 0,658λ0
2
= 0,6580,87
2
= 0,728 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
𝜒𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝛾𝑎1
=
0,728.1,00.119,2.34,5
1,1
= 2721,7𝑘𝑁 
Nc,Sd ≤ Nc,Rd = 1680 kN ≤ 2721,7 kN → Atende! 
 
9) Suponha que a diagonal de treliça AB da figura esteja submetida a uma força axial de 
compressão solicitante de cálculo igual a 380 kN e que se deseje usar para essa barra a 
cantoneira dupla na forma de T (2L 88,9 x 7,94 com os perfis afastados entre si de 8 mm). É 
sabido que essa barra possui uma força axial de compressão resistente decálculo de apenas 
273,07 kN, teve-se a ideia de acrescentar na treliça a barra DE para reduzir o comprimento de 
flambagem da diagonal em relação ao eixo de maior esbeltez (eixo x). Verifique se essa ideia 
pode ser implementada como solução do problema. Aço ASTM A36. 
53 
 
 
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 Verificação da flambagem local: 
𝑏
𝑡
=
88,9
7,94
= 11,20 
(𝑏/𝑡)𝑙𝑖𝑚 = 0,45√
𝐸
𝑓𝑦
= 0,45√
20000
25
= 12,73 
𝑏
𝑡
= 11,20 < (
𝑏
𝑡
)𝑙𝑖𝑚 = 12,73 → 𝑄𝑠 = 1,0 
Q = Qs = 1,0. 
 Propriedades geométricas relevantes 
Para a cantoneira dupla em forma de T, uma seção monossimétrica onde os eixos x e y são os 
centrais de inércia, as propriedades geométricas relevantes são: 
Ag = 2.Ag,L = 2 x 13,5 = 27 cm² 
Ix = 2.Ix,L = 2 x 102 = 204 cm
4
 
rx = rx,L = 2,75 cm 
e = 2,52 + 0,8 /2 = 2,92 cm 
Iy = 2(Iy,L + Ag,L . e²) = 2.(102 + 13,5 . 2,92²) = 434,21 cm
4
 
𝑟𝑦 = √
𝐼𝑦
𝐴𝑔
= √
434,21
27
= 4,01𝑐𝑚 
J = 2.JL = 2 x 2,83 = 5,66 cm
4
 
 Força de flambagem por flexão em relação ao eixo x: 
 
𝑁𝑒𝑥 =
𝜋2𝐸𝐼𝑥
(𝐾𝑥𝐿𝑥)²
=
𝜋2. 2000.204
(170)²
= 1393𝑘𝑁 
𝑁𝑒𝑦 =
𝜋2𝐸𝐼𝑦
(𝐾𝑦𝐿𝑦)²
=
𝜋2. 20000.434,21
(340)²
= 741,43𝑘𝑁 
 
54 
 
 
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𝑁𝑒𝑧 =
1
𝑟0
2 [
𝜋2𝐸𝐶𝑤
(𝐾𝑧𝐿𝑧)²
+ 𝐺𝐽] 
𝑟0 = √𝑟𝑥2 + 𝑟𝑦2 + 𝑥0
2 + 𝑦0
2 = √2,75² + 4,01² + 0 + 2,12² = 5,30𝑐𝑚 
𝑁𝑒𝑧 =
1
5,30²
[
𝜋2. 20000.0
(340)²
+ 7700.5,66] = 1552𝑁 
𝑁𝑒𝑦𝑧 =
𝑁𝑒𝑦 + 𝑁𝑒𝑧
2[1 − (
𝑦0
𝑟0⁄ )²]
[1 − √1 −
4𝑁𝑒𝑦𝑁𝑒𝑧[1 − (
𝑦0
𝑟0⁄ )²]
(𝑁𝑒𝑦 + 𝑁𝑒𝑧)²
]
=
741,43 + 1552
2 [1 − (2,12 5,30⁄ ) ²]
[
 
 
 
 
 
 
1 −
√
1 −
4.741,43.1552 [1 − (2,12 5,30⁄ ) ²]
(741,43 + 1552)²
]
 
 
 
 
 
 
= 662,49𝑘𝑁 
 
 Resistência de acordo com a NBR 8800/2008: 
λ0 = √
1,0.27.25
662,49
= 1,01 < 1,5 
𝜒 = 0,658λ0
2
= 0,6581,01
2
= 0,652 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
𝜒𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝛾𝑎1
=
0,652.1,00.27.25
1,1
= 400,09𝑘𝑁 
Nc,Sd ≤ Nc,Rd = 380 kN ≤ 400,09 kN → Atende! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
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4. DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS SUBMETIDAS À FLEXÃO SIMPLES 
 
 No dimensionamento, as vigas devem ser verificadas aos estados-limites últimos relacionados 
ao momento fletor e à força cortante. Sob atuação do momento fletor, o colapso pode ocorrer por 
plastificação total da seção transversal, por flambagem da viga (flambagem lateral com torção) ou 
por flambagem local dos elementos parcial ou totalmente comprimidos da seção transversal. Caso 
haja furos na mesa tracionada, pode ocorrer também o estado-limite último de ruptura por flexão 
dessa mesa. Sob a atuação da força cortante, o colapso pode se dar por escoamento, flambagem ou 
ruptura dos elementos da seção transversal que têm a função de resistir a esse esforço. É possível, 
ainda, que ocorram diversos modos de colapso causados por atuação de forças localizadas ou pela 
existência de aberturas para passagens de dutos. 
 As vigas precisam também ser verificadas segundo os estados-limites de serviço, limitando-se 
a flecha e a vibração dos pisos a níveis aceitáveis. 
 
4.1. Mecanismo de colapso plástico 
 O colapso de uma barra de aço submetida à flexão pode ocorrer pela formação de rótulas 
plásticas, por instabilidade local dos elementos constituintes da seção ou por flambagem lateral. 
 Será investigado inicialmente o comportamento relativo ao colapso plástico que ocorre na 
ausência de instabilidades, ou seja, em seções compactas e semicompactas travadas lateralmente. 
 A formação de uma rótula plástica consiste na plastificação de uma seção transversal desde as 
fibras mais externas (mais afastadas do eixo neutro) até a plastificação total da seção. O mecanismo 
de formação da rótula plástica apresenta uma fase elástica que corresponde ao início da plastificação 
da fibra mais externa e uma fase elastoplástica até se atingir a plastificação total – Figura 4.1 
 
Figura 4.1 – Mecanismo de formação de rótulas plásticas 
 O limite elástico corresponde ao momento elástico My; o elastoplástico corresponde ao 
momento de plastificação total, Mpl, que é o momento, devido às tensões normais na situação, em 
que a seção se encontra totalmente plastificada, e a Linha Neutra Plástica divide a seção em duas 
partes de áreas iguais. Fazendo-se o equilíbrio de tensões para a seção retangular da figura, tem-se: 
a) Em regime elástico: 
My = Wfy 
56 
 
 
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Em que W é o módulo resistente elástico da seção. 
b) Em regime elastoplástico: 
Mpl = C2 . h2 = T2 . h2 = 
𝑓𝑦.𝐴
2
.
ℎ
2
=
𝑓𝑦.𝑏ℎ²
4
 = Z . fy 
Em que Z é o módulo resistente plástico da seção. 
 O módulo resistente plástico pode ser quantificado por uma relação entre este e o módulo 
resistente elástico denominado fator de forma α. Para seções tipo I, o fator de forma é α = 1,12, e 
para seções retangulares chega a α = 1,5. Para perfis do tipo U, α = 1,17. 
 Em seções assimétricas, a linha neutra plástica divide a seção em áreas iguais e, portanto, não 
coincide com a linha neutra elástica. É o caso de seções de dupla cantoneira e seções de tipo T 
submetidas à flexão em torno do eixo de maior inércia. 
 O momento de plastificação corresponde à máxima capacidade da seção submetida à flexão 
pura. Um elemento submetido à flexão pode atingir essa capacidade máxima nas seguintes situações: 
 Na ausência de instabilidades locais, ou seja, em seções compactas ou semicompactas; 
 Com flexão em torno do maior eixo de inércia; 
 Elementos com deslocamentos laterais impedidos na zona comprimida da seção. A contenção 
lateral pode se conseguida por uma laje de concreto ou barras de aço secundárias, 
convenientemente posicionadas; 
 Em seções com rigidez a torção e a flexão lateral elevadas, como, por exemplo, seções tipo 
caixão. 
No caso de atuação de outros esforços axiais, torção ou mesmo flexão em outro eixo, é 
necessário quantificar o efeito da interação entre as tensões geradas por cada um destes esforços 
combinados. 
 Considerando-se tensões residuais em perfis laminados e soldados, o início do escoamento se 
dará num momento menor que My. Se as tensões residuais forem estimadas em 30% de fy, o início de 
escoamento na seção se dará a aproximadamente 70% de My, conforme mostrado na Figura 4.2. 
Assim como no caso de barras tracionadas, as tensões residuais apressam o início do escoamento do 
material sem produzir alteração no momento último da seção Mpl. 
 
Figura 4.2 – Relação momento (M) x curvatura (k) 
57 
 
 
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4.2. Flambagem lateral 
 Na ausência de travamentos laterais, um elemento de aço submetido à flexão pode sofrer um 
fenômeno de instabilidade denominado flambagem lateral com torção – FLT. Este fenômeno é 
particularmente importante no caso de seções abertas, usuais nas estruturas metálicas. 
 A flambagem lateral com torção é caracterizada por deslocamentos laterais da porção 
comprimida da seção de um elemento submetido à flexão. A parte comprimida da seção pode ser 
encarada como uma barra comprimida continuamente travada pela parte tracionada, que não 
apresenta tendência de deslocamentos laterais. Em função disso, os deslocamentos laterais na parte 
comprimida provocam também a rotação da seção transversal; daí a denominação flambagemlateral 
com torção – Figura 4.3. Nesta condição, ou seja, sem contenções laterais, o momento máximo 
resistente para uma viga corresponde ao momento crítico de flambagem lateral com torção. 
 
Figura 4.3 – Representação da flambagem lateral com torção 
 Para a determinação do momento crítico de flambagem lateral com torção, parte-se de uma 
viga ideal (Figura 4.4), ou seja, sem imperfeições geométricas ou de material, comportamento 
elástico linear, regime de pequenos deslocamentos, seção transversal com dois eixos de simetria e 
sujeita a momento fletor constante ao longo do comprimento. Nas extremidades desta viga, são 
admitidos vínculos de garfo que restringem os deslocamentos laterais e de rotação em torno do eixo 
longitudinal da barra, e deixa livre o empenamento da seção. 
 
Figura 4.4 – Configuração deslocada para análise da FLT 
 Analisando-se o equilíbrio da viga da Figura 4.4 na posição deslocada definem-se as três 
equações diferenciais que seguem: 
 Para flexão em torno do eixo x: 
58 
 
 
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𝐸𝐼𝑥 =
𝑑²𝑣(𝑧)
𝑑𝑧²
+ 𝑀𝑥 = 0 
 Para flexão em torno do eixo y: 
𝐸𝐼𝑦 =
𝑑²𝑢(𝑧)
𝑑𝑧²
+ 𝜙(𝑧)𝑀𝑥 = 0 
 Para torção em torno do eixo z: 
𝐸𝐶𝑤 =
𝑑³𝜙(𝑧)
𝑑𝑧³
− 𝐺𝐼𝑡
𝑑𝜙(𝑧)
𝑑𝑧
+ 𝑀𝑦
𝑑𝑢(𝑧)
𝑑𝑧
= 0 
 A equação da flexão em torno do eixo x é independente das demais. Trabalhando-se 
algebricamente as equações para flexão em torno do eixo y e rotação em torno do eixo z, que são 
dependentes, é possível deduzir a equação diferencial que rege o problema: 
𝐸𝐶𝑤 =
𝑑4𝜙(𝑧)
𝑑𝑧4
− 𝐺𝐼𝑡
𝑑2𝜙(𝑧)
𝑑𝑧2
+
𝑀𝑦
2
𝐸𝐼𝑦
𝜙(𝑧) = 0 
 Resolvendo-se a equação acima com a aplicação conveniente das condições de contorno, 
encontra-se o momento crítico elástico de flambagem lateral com torção dado por: 
𝑀𝑐𝑟 =
𝜋
𝑙
√𝐸𝐼𝑦𝐺𝐼𝑡 (1 +
𝜋²𝐸𝐶𝑤
𝑙²𝐺𝐼𝑡
) 
 A equação acima, para o cálculo do momento crítico, é válida para o caso padrão ideal, 
apresentado no Figura 6.4. Para outras condições de vínculos e/ ou diagrama de momentos fletores, o 
momento crítico pode ser obtido de forma absolutamente análoga. Na realidade de projeto, seria 
pouco prático deduzir e resolver as equações diferenciais para cada tipo específico de seção, 
carregamento e condições de vinculação. Por isso, as normas apresentam expressões aproximadas 
para os casos mais comuns de perfis de aço, incluindo ajustes, para considerar as imperfeições 
iniciais geométricas e de materiais. 
 Para o caso de seções do tipo I duplamente simétrico fletido em relação ao eixo perpendicular 
à alma (eixo x), desconsiderando as imperfeições geométricas iniciais, o valor do momento fletor 
resistente nominal à flambagem lateral com torção em regime elástico, chamado momento fletor de 
flambagem elástica, ou momento crítico elástico, e representado por Mcr, em dado comprimento 
destravado Lb, é calculado por: 
𝑀𝑐𝑟 =
𝐶𝑏𝜋²𝐸𝐼𝑦
𝐿𝑏²
√
𝐶𝑤
𝐼𝑦
(1 + 0,039
𝐽𝐿𝑏²
𝐶𝑤
) 
 Onde Cb é um fator que será definido a seguir; Iy é o momento de inércia da seção transversal 
em relação ao eixo y; J é a constante de torção; Cw é a constante de empenamento. 
 Nota-se que Mcr se eleava com o aumento dos valores de Iy, J e Cw, pois, quanto maior for Iy, 
mais difícil é a ocorrência da translação lateral u, um dos deslocamentos que compõem a FLT e, 
quanto maiores forem J e Cw, mais difícil é a ocorrência da torção ϕ, o outro deslocamento que 
compõe a FLT. Além disso, Mcr é tanto maior quanto menor for o comprimento destravado Lb. 
59 
 
 
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Fator Cb 
 O fator Cb, que recebe a denominação de fator de modificação para diagrama de momento 
fletor não uniforme, tem a função de levar em conta a influência da variação de momento fletor ao 
longo do comprimento destravado Lb, sendo dado, para as situações mais comuns, por: 
𝐶𝑏 =
12,5𝑀𝑚𝑎𝑥
2,5𝑀𝑚𝑎𝑥 + 3𝑀𝐴 + 4𝑀𝐵 + 3𝑀𝐶
≤ 3,0 
Onde: 
MA é o valor do momento fletor, em módulo, na seção situada a um quarto do comprimento 
destravado, medido a partir da extremidade da esquerda; 
MB é o valor do momento fletor, em módulo, na seção central do comprimento destravado; 
MC é o valor do momento fletor, em módulo, na seção situada a três quarto do comprimento 
destravado, medido a partir da extremidade da esquerda; 
MMAX é o valor do momento fletor máximo, em módulo, no comprimento destravado; 
 A Figura 4.5 fornece alguns valores desse fator de formas de diagrama comumente 
encontrados na prática. 
 
Figura 4.5 – Cb em função do diagrama de momento fletor no comprimento Lb 
 Em trechos em balanço, entre uma seção com restrição a deslocamento lateral, torção e 
extremidade livre, deve-se tomar Cb = 1,0. 
60 
 
 
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 No fenômeno da instabilidade de elementos submetidos à flexão analisados até agora, 
considerou-se o material elástico linear. No limite do comportamento elástico linear do aço, tem-se 
Mcr ≤ Mr, em que Mr é o momento de proporcionalidade calculado para a tensão de 
proporcionalidade do aço na seção. Para essa situação, determina-se a esbeltez λr a partir da qual é 
válida a expressão em que ocorre flambagem em regime elástico linear. 
 Em outro elemento, é possível calcular a esbeltez máxima λp do elemento no qual a falha 
ocorrerá por plastificação total da seção. A esbeltez λp pode ser obtida fazendo-se Mcr = Mpl na 
equação vista anteriormente. 
 Para elementos com esbeltez intermediária entre λp e λr, ocorrerá flambagem lateral com 
torção, porém em regime inelástico. O gráfico da Figura 4.6 apresenta a resistência ao momento 
fletor em função da esbeltez do elemento. O trecho correspondente à flambagem em regime 
inelástico é aproximado por uma reta. 
 
Figura 4.6 – Momento resistente em função da esbeltez 
 A norma brasileira NBR 8800/2008 apresenta as expressões e os valores de λp e λr e Mcr para 
diferentes tipos de seções transversais. 
4.3. Instabilidade local na flexão 
 Em elementos estruturais de aço submetidos à flexão pode surgir também o fenômeno de 
instabilidade local em função das tensões normais de compressão na seção transversal. 
 No caso de seções tipo I, as mais comumente utilizadas em elementos submetidos à flexão, é 
analisada a possibilidade de flambagem local na mesa comprimida (FLM) e na alma (FLA). A figura 
4.7 mostra um exemplo de FLA. 
 A mesa é considerada um elemento AL (apoiado-livre) com tensões uniformes de 
compressão; enquanto a alma é considerada elemento AA (apoiado-apoiado) submetido a tensões 
com variação linear com parte da alma comprimida e parte da alma tracionada. 
 
 
61 
 
 
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Figura 4.7 – Viga com FLA 
 O momento crítico de flambagem local pode ser obtido de maneira análoga ao estudo 
apresentado para barras submetidas à compressão axial. É possível traçar uma curva de resistência 
para FLM e FLA semelhante àquela obtida para FLT. 
 
Figura 4.8 – Curvas de resistência para FLM e FLA, respectivamente 
 Os valores de λp e λr e Mcr podem ser calculados para cada situação de seção transversal, 
condição de vínculo e tensão solicitante. As normas apresentam esses valores tabelados para as 
situações mais usuais. 
 Em vigas de almas esbeltas, com λw > λr, a flambagem da alma pode levar consigo a mesa, 
exigindo-se uma verificação particularizada para a FLA, que não será tratado nesse curso. A 
utilização de vigas de almas esbeltas épouco comum em edifícios, sendo mais frequente em pontes. 
A NBR 8800/2008, com isso, classifica as seções em Compacta, Semicompacta ou Esbeltas. 
A Figura 4.9 mostra a classificação quanto à flambagem local. 
 
Figura 4.9 – Classificação das seções quanto à flambagem local 
62 
 
 
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4.4. Dimensionamento ao momento fletor 
Condição necessária 
 No dimensionamento aos estados-limites últimos de uma barra submetida ao momento fletor, 
deve-se satisfazer a seguinte relação: 
MSd ≤ MRd 
Onde Msd é o momento fletor de cálculo, obtido com a combinação última de ações apropriada, e 
MRd é o momento fletor resistente de cálculo. 
Momento fletor resistente de cálculo, devido a FLT: 
a) Para λ ≤ λp 
𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
 
b) Para λp < λ ≤ λr 
𝑀𝑅𝑑 =
𝐶𝑏
𝛾𝑎1
[𝑀𝑝𝑙 − (𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑟)
λ − λ𝑝
λ𝑟 − λ𝑝
] ≤
𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
 
c) Para λ > λr 
𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑐𝑟
𝛾𝑎1
≤
𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
 
 
Momento fletor resistente de cálculo, devido à FLM e FLA: 
a) Para λ ≤ λp 
𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
 
b) Para λp < λ ≤ λr 
𝑀𝑅𝑑 =
𝐶𝑏
𝛾𝑎1
[𝑀𝑝𝑙 − (𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑟)
λ − λ𝑝
λ𝑟 − λ𝑝
] 
c) Para λ > λr (não aplicável à FLA) 
𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑐𝑟
𝛾𝑎1
 
 
 As expressões para a determinação dos parâmetros necessários para o cálculo do momento 
resistente estão resumidas na Figura 4.10 
 
 
63 
 
 
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Figura 4.10 – Parâmetros para o cálculo do momento fletor resistente 
 
 As notas relacionadas na tabela da Figura 4.10 são mostradas a seguir. 
 
 
 
64 
 
 
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65 
 
 
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4.5. Resistência à força cortante 
 A ocorrência de flexão pura é bastante rara nos casos práticos, portanto, os elementos 
estruturais submetidos à flexão estão também submetidos à esforço cortante. No caso de seções tipo 
I, admite-se, com base na observação da distribuição das tensões de cisalhamento, que a força 
cortante é resistida exclusivamente pela alma. 
 Para ilustrar os estados-limites últimos causados pela força cortante, será abordada uma viga 
de perfil I fletido em relação ao eixo perpendicular à alma (eixo x), a situação mais comum na 
prática. Supondo que essa viga seja birrotulada, com uma força concentrada P atuando na região 
central, o diagrama de cortante é constante e igual a P/2 em cada metade do vão L. Sabe-se que a 
alma é o elemento que mais sofre a ação da força cortante, na qual as tensões de cisalhamento τ 
66 
 
 
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provocam compressão e tração nas direções principais dos semivãos da viga, conforme mostrada na 
Figura 4.11. 
 
Figura 4.11 – Tensões de cisalhamento 
 A compressão em uma das direções principais pode causar a ondulação da alma, nos dois 
comprimentos L/2, o que constitui um estado-limite relacionado à força cortante, denominado 
flambagem por cisalhamento. Quando esse fenômeno ocorre, a alma deixa de cumprir suas funções 
adequadamente, caracterizando uma situação de colapso estrutural. 
 Os modos de falha ou estados limites associados, então, a força cortante em vigas são a 
plastificação da alma por cisalhamento ou a flambagem local por cisalhamento. 
 A força cortante correspondente à plastificação por cisalhamento é dada por: 
Vpl = 0,60 Aw fy 
 Em que Aw é a área efetiva de cisalhamento, ou seja, a área da alma. 
 No caso da flambagem local, a alma é um elemento AA (apoiado-apoiado) solicitado por 
tensões de cisalhamento e, semelhante a outras situação de flambagem local, pode ser definida uma 
curva de resistência (cortante resistente versus esbeltez da alma) que apresenta um trecho de 
plastificação, um trecho de flambagem em regime elástico e um trecho de flambagem inelástica. 
Desta forma, a resistência à força cortante é determinada como segue: 
a) Para λ ≤ λp 
𝑉𝑅𝑑 =
𝑉𝑝𝑙
𝛾𝑎1
 
b) Para λp < λ ≤ λr 
𝑉𝑅𝑑 =
λ𝑝
λ
𝑉𝑝𝑙
𝛾𝑎1
 
c) Para λ > λr 
𝑉𝑅𝑑 = 1,24(
λ𝑝
λ
)
2
𝑉𝑝𝑙
𝛾𝑎1
 
 
Em que: 
67 
 
 
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λ =
ℎ
𝑡𝑤
 
λ𝑝 = 1,10.√
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
 
λ𝑟 = 1,37.√
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
 
 
a – distância entre as linhas de centro de dois enrijecedores transversais adjacentes 
h – altura da alma tomada como a distância entre as faces internas das mesas 
tw – espessura da(s) alma(s). 
 Os enrijecedores (Figura 4.12) são chapas soldadas na alma, com o objetivo de melhorar o 
comportanto quanto à instabilidade por força cortante e/ ou falhas localizadas. 
 
Figura 4.12 – Enrijecedores de alma 
 Os enrijecedores podem ser de apoio, utilizados em pontos de aplicação de carga 
concentrada., para melhor distribuição de tensões na seção e prevenção de falhas localizadas na 
alma. Já os enrijecedores intermediários, ou de alma, dividem a alma em painéis, limitando ou 
eliminando os efeitos da flambagem por força cortante. 
 Segundo a NBR 8800/2008, em vigas sem enrijecedores, que são comuns em edifícios, o 
coeficiente de flambagem por cisalhamento tende para kv = 5,00 e a esbeltez local da alma não deve 
ultrapassar 260. 
 Para que os enrijecedores de alma cumpram sua função, é necessário que seja impedida a 
flambagem do conjunto alma-enrijecedor; para tal, a inércia, ISt, em relação ao eixo do plano médio 
da alma deve ser superior a: 
68 
 
 
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𝐼𝑚𝑖𝑛 =
2,5
(
𝑎
ℎ)
2 − 2 ≥ 0,5 
 O cálculo da inércia Ist deve ser feito conforme indicado nas duas situações da Figura 4.13, 
com enrijecedor em apenas um lado da alma ou em ambos os lados. 
 
Figura 4.13 – Cálculo da inércia dos enrijecedores 
 
4.6. Dimensionamento dos enrijecedores 
 Quando existe uma força localizada atuando diretamente na mesa de um perfil I, 
comprimindo a alma, quatro estados-limites últimos podem ocorrer: escoamento local da alma, 
enrugamento da alma, flambagem lateral da alma e flambagem da alma por compressão. Esses 
modos de colpaco são mostrados na Figura 4.14, observando-se que o último deles só ocorre quando 
forças opostas atuarem comprimindo a alma pelas duas mesas. 
 
Figura 4.14 – Estados-limites últimos causados por força localizada de compressão 
69 
 
 
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 A NBR 8800/2008 fornece métodos para verificar se a viga resiste a cada um dos estados-
limites últimos citados e, no caso de não resistir, deve-se aumentar a espessura da alma ou, o que é 
mais comum, usar enrijecedores transversais na seção de atuação da força localizada para resolver o 
problema. Neste curso, a afim de simplificar, recomenda-se o uso de enrijecedores constituídos por 
chapas dos dois lados da alma sempre que houver força localizada comprimindo a alma, atendendo 
as seguintes condições (Figura 4.15): 
 
Figura 4.15 – Exigências para enrijecedores sob forças localizadas de compressão 
 Adicionalmente, os enrijecedores devem ser dimensionados como barras axialmente 
comprimidas, de acordo com o capítulo 3 desta nota de aula, submetidas à força localizada, em valor 
de cálculo. Nesse dimensionamento, deve ser levado em conta o estado limite último de instabilidade 
por flexão em relação a um eixono plano médio da alma, considerando, de forma simplificada, uma 
seção transversal resistente formada pelos enrijecedores dos dois lados da alma, mais a área da alma 
entre eles, portanto, com a área bruta igual a: 
Ag = (2bs + tw)ts 
 E comprimento de flambagem igual à altura da alma h: 
 
Figura 4.16 – Seção transversal e eixo de instabilidade para enrijecedores comprimidos 
 
4.7. Aberturas na alma de Perfil I 
 Um procedimento para reduzir a altura de uma edificação consiste na execução de abertura na 
alma dos perfis I das vigas para passagem de dutos de instalações de ar condicionado, de transporte 
de água, de instalações elétricas etc. 
 Com base na NBT 8800/2008, admite-se a execução de aberturas circulares e sem reforço na 
alma de vigas de aço birrotoladas constituídas de perfis I ou H com dois eixos de simetria ou com 
70 
 
 
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apenas um eixo de simetria situado no plano médio da alma, fletidos ao eixo x, sem a necessidade de 
cálculos adicionais, desde que: 
 O carregamento seja uniformemente distribuído; 
 Para os estados-limites últimos de FLM e FLA, a viga consiga atingir o momento de 
plastificação, ou seja, não possua λ maior que λp; 
 A força cortante solicitante de cálculo nos apoios não seja menor que 50% da força cortante 
resistente de cálculo da viga sem considerar a presença de aberturas. 
Além disso, as aberturas precisam estar situadas dentro do terço médio da altura e nos dois 
quartos centrais do vão da viga, e a distância longitudinal entre os centros de duas aberturas 
adjacentes deve ser, no mínimo, igual a 2,5 vezes o diâmetro da maior dessas aberturas (Figura 4.17) 
 
Figura 4.17 – Condições para execução de aberturas circulares sem reforço 
 
4.8. Estados limites de serviço 
 O estado limite de serviço predominante nos elementos submetidos à flexão é o deslocamento 
ou flecha. Os limites de flecha admissíveis para situações mais comuns de elementos estruturais 
submetidos à flexão são apresentados na Figura 4.18. 
 
Figura 4.18 – Limites de deslocamentos previstos na NBR 8800/2008 
71 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
10) Dimensione uma viga de cobertura birrotulada mostrada a seguir, com perfil I laminado 
da série W, em aço ASTM A572 Gr. 50. Sabe-se que essa viga tem um vão de 12 m e que está 
submetida a uma força uniformemente distribuída de cálculo (qd1) de sentido gravitacional 
igual a 50 kN/m e, quando o vento causa sucção no telhado, a uma força uniformemente 
distribuída de cálculo (qd2) de sentido antigravitacional igual a 20 kN/m. Sabe-se também que 
a mesa superior da viga, ao longo de todo o seu comprimento, está contida lateralmente. 
 
Para efeito de obtenção da flecha, supor que a força distribuída de serviço é igual a 52% da 
força distribuída de cálculo. Adicionalmente, será determinada a região da alma da viga onde é 
possível fazer aberturas circulares sem reforço. 
 
 Esforços solicitantes internos 
Para a força gravitacional qd1 = 50 kN/m 
 
Para a força antigravitacional qd2 = 20 kN/m 
 
 Pré-dimensionamento: 
72 
 
 
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Considerando, para efeito de pré-dimensionamento, o momento fletor solicitante de cálculo 
máximo e supondo que o perfil escolhido atingirá o momento de plastificação Mpl, tem-se: 
𝑀𝑆𝑑1,𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑝𝑙
1,1
=
𝑍𝑥. 𝑓𝑦
1,1
 
90000 ≤
𝑍𝑥. 34,5
1,1
→ 𝑍𝑥 ≥ 2870 𝑐𝑚³ 
 Na tabela de perfis I laminados da série W, observa-se que deve ser tomado o perfil W 610 x 
101, que possui Zx = 2923 cm³. 
 Verificação do perfil W 610 x 101 ao momento fletor: 
- FLM: 
𝜆 =
𝑏
𝑡
=
228/2
14,9
= 7,65 
𝜆𝑝 = 0,38√
𝐸
𝑓𝑦
= 0,38√
20000
34,5
= 9,15 
λ = 7,65 < λp = 9,15 → Mpl = Zxfy = 2923 x 34,5 = 100.844 kN.cm 
- FLA: 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
= 51,54 
𝜆𝑝 = 3,76√
𝐸
𝑓𝑦
= 90,53 
λ = 51,54 < λp = 90,53 → Mpl = Zxfy = 2923 x 34,5 = 100.844 kN.cm 
- Resumo: 
Msd1,max = 90.000 kN.cm < MRd = 
100.844
1,10
= 91.676 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 – Atende! 
- FLT: 
Força distribuída gravitacional qd1: 
Para a força distribuída gravitacional qd1, uma vez que a mesa superior, que está toda comprimida, 
possui contenção lateral contínua, o comprimento destravado é nulo e, como consequência, toma-se 
o momento de plastificação como referência. Como já verificado, atende à condição de segurança. 
Força distribuída antigravitacional qd2: 
Para a força distribuída antigravitacional qd2, uma vez que a mesa inferior, que está toda comprimida, 
não possui contenção lateral, o comprimento destravado Lb é igual ao vão da viga, ou seja, 12 m. 
Logo: 
73 
 
 
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𝜆 =
𝐿𝑏
𝑟𝑦
=
1200
4,76
= 252,10 
𝜆𝑝 = 1,76√
𝐸
𝑓𝑦
= 42,38 
 
𝜆 = 252,10 > 𝜆𝑝 = 42,38 → 𝜆𝑟 =
1,38√𝐼𝑦𝐽
𝑟𝑦 𝐽 𝛽1
√1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽1
2
𝐼𝑦
 
𝛽1 =
(𝑓𝑦 − 𝜎𝑟)𝑊𝑥
𝐸𝐽
=
(0,7.34,5)2554
20000 . 81,68
= 0,038/𝑐𝑚 
𝜆𝑟 =
1,38√2951 . 81,68
4,76 . 81,68 . 0,038
√1 + √1 +
27.2544966.0,038²
2951
= 120,32 
𝜆 = 252,10 > 𝜆𝑟 = 120,32 →
𝐶𝑏𝜋²𝐸𝐼𝑦
𝐿𝑏²
√
𝐶𝑤
𝐼𝑦
(1 + 0,039
𝐽𝐿𝑏²
𝐶𝑤
) ≤ 𝑀𝑝𝑙 
Como a mesa superior tracionada possui contenção lateral contínua, o fator Cb é dado pela equação 
sitada no item 4.2, com M0 e M1 iguais a zero (os momentos de extremidades são nulos), o que 
significa que esse coeficiente é igual a 2,0. 
𝑀𝑛 =
2,0. 𝜋2. 20000.2951
1200²
√
2544966
2951
(1 + 0,039
81,68.1200²
2544966
) = 39773 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
Msd1,max = 36.000 kN.cm < MRd = 
39.773
1,10
= 36.157 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 – Atende! 
 Verificação à força cortante 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
= 51,54 
Supondo que a viga inicialmente não tenha enrijecedores transversais, kv = 50,0 e: 
λ𝑝 = 1,10.√
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 59,22 
λ = 51,54 < λp = 59,22 → Vpl = 0,60.Aw.fy = 0,60 . 60,3 x 1,05 x 34,5 = 1311 kN 
VSd1,max = 300 kN < VRd = 
1311
1,10
= 1192 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 – Atende! 
 Verificação à flecha: 
74 
 
 
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A flecha máxima tem sentido gravitacional (qd1 > qd2) e, conforme formulação da resistência dos 
materiais (lembra-se que a força distribuída de serviço é igual a 52% da força distribuída de cálculo): 
𝛿𝑡 =
5(0,52𝑞𝑑1)𝐿
4
384. 𝐸. 𝐼𝑥
=
5(0,52.50. 10−2). 12004
384.20000.77003
= 4,56 𝑐𝑚 
Comparando esse valor com a flecha máxima permitida, igual a L/250 para vigas de cobertura, 
conforme a NBR 8800/2008, tem-se: L/250 = 1200/250 = 4,80 cm. Com isso, a flecha da viga está 
dentro dos limites aceitáveis, mesmo sem a execução de contraflecha. 
 Região da alma da viga onde é possível fazer aberturas: 
De acordo com o item 4.7, nessa viga é possível executar aberturas circulares e sem reforço na 
alma, sem a necessidade de cálculos adicionais, tendo em vista que: 
1) λ < λp para FLM e FLA; 
2) O carregamento atuante é uniformemente distribuído; 
3) A força cortante solicitante de cálculo nos apoios (igual, no máximo, a 300 kN) não supera 50% 
da força cortante resistência de cálculo da viga sem considerar a presença de aberturas. 
 
 
11) Dimensionar a viga V1 da figura com travamentos somente nos apoios (ou seja, a laje não 
trava a viga continuamente). Considere aço ASTM A36 e os seguintes carregamentos: peso 
próprio da laje + revestimento de 150 kgf/m², peso próprio de ferro + divisórias de 100 kgf/m² e 
uma sobrecargade 200 kgf/m². 
 
Para pré-dimensionamento da altura da seção da viga, podemos utilizar um recurso distinto do 
utilizado no exercício 11. Utilizaremos a relação altura vão de L/20 a L/15, ou seja: 
75 
 
 
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L/20 = 6000/20 = 300 mm 
L/15 = 3000/20 = 400 mm 
Testaremos então o perfil VS 400 x 49 kg/m 
 Ações nominais na viga: 
A laje em questão é unidirencional, portanto, para determinar o carregamento sobre a viga, basta 
multiplicar a ação distribuída na laje pela largura de influência destas vigas. Ou seja: 
Peso próprio da viga (PP): 49 kgf/m (0,49 kN/m) 
Peso próprio da laje + revestimentos (CP1): 3 m x 150 kgf/m² = 450 kgf/m (4,5 kN/m) 
Peso próprio de forro + divisório (CP2) 3 m x 100 kgf/m² = 300 kgf/m (3,0 kN/m) 
Sobrecarga (SC): 3 m x 200 kgf/m² = 600 kgf/m (6,0 kN/m) 
 
 Determinação dos esforços de cálculo: 
Para a verificação dos estados limites últimos, deve ser utilizada a seguinte combinação normal de 
ações: 
q = 1,25(PP) + 1,35(CP1 + CP2) + 1,5(SC) = 1,25.0,49 + 1,35.(4,5 + 3,0) + 15.6,0 = 19,8 kN/m 
Portanto, os esforços de cálculo são: 
MSd = 89,1 kNm 
VSd 59,4 kN 
 
 Resistência de cálculo a flexão: 
- FLM: 
𝜆 =
𝑏
𝑡
= 10,5 
𝜆𝑝 = 0,38√
𝐸
𝑓𝑦
= 0,38√
20000
25
= 10,7 
λ = 10,5 < λp = 10,7 → Mpl = Zxfy = 971 x 25 = 24.275 kN.cm 
- FLA: 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
= 60,5 
𝜆𝑝 = 3,76√
𝐸
𝑓𝑦
= 106,3 
76 
 
 
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λ = 60,5 < λp = 106,3 → Mpl = Zxfy = 971 x 25 = 24.275 kN.cm 
- Resumo: 
Msd1,max = 8910 kN.cm < MRd = 
24275
1,10
= 22068 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 – Atende! 
 
 
- FLT: 
𝜆 =
𝐿𝑏
𝑟𝑦
=
600
4,25
= 132,7 
𝜆𝑝 = 1,76√
𝐸
𝑓𝑦
= 49,8 
𝜆 = 132,7 > 𝜆𝑝 = 49,8 → 𝜆𝑟 =
1,38√𝐼𝑦𝐽
𝑟𝑦 𝐽 𝛽1
√1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽1
2
𝐼𝑦
 
𝛽1 =
(𝑓𝑦 − 𝜎𝑟)𝑊𝑥
𝐸𝐽
=
(0,7.25)870
20000 . 15
= 0,051 
𝜆𝑟 =
1,38√1267 . 15
4,25 . 15 . 0,051
√1 + √1 +
27.483188.0,051²
1267
= 143 
Como λp ≤ λ ≤ λr, haverá flambagem lateral com torção em regime inelástico, e a resistência ao 
momento fletor será dada por: 
𝑀𝑅𝑑 =
𝐶𝑏
𝛾𝑎1
[𝑀𝑝𝑙 − (𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑟)
𝜆 − 𝜆𝑝
𝜆𝑟 − 𝜆𝑝
] ≤
𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
 
Mpl = Zxfy = 971 x 25 = 24.275 kN.cm 
Mr = Wx(fy – σr) = 870 . 0,7. 25 = 15225 kN.cm 
Para o cálculo de Cb utiliza-se o valor pronto da Figura 4.5. Cb = 1,14. 
𝑀𝑅𝑑 =
1,14
1,1
[24275 − (24275 − 15225)
132,7 − 49,8
143 − 49,8
] = 16226 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
Para a verificação de segurança: MRd = 162,35 kN.m ≥ MSd = 89,1 kN.cm (Ok, Atende!) 
 Resistência de cálculo a força cortante 
77 
 
 
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A força cortante em vigas de seção tipo I é resistida somente pela alma. Em função da esbeltez, 
podem ocorrer estados limites de escoamento da alma ou a flambagem local provocados por tensões 
de cisalhamento. 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
= 60,5 
Supondo que a viga inicialmente não tenha enrijecedores transversais, kv = 5,0 e: 
λ𝑝 = 1,10.√
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 69,6 
λ = 60,5 < λp = 69,6 → Vpl = 0,60.Aw.fy = 0,60 . (38,1 x 0,63) x 25 = 360 kN 
VSd1,max = 59,4 kN < VRd = 
360
1,10
= 327 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 – Atende! 
 Estado limite de serviço: 
A limitação da flecha máxima desta viga é L/350, calculada para a combinação quase permanente, 
dada por: 
q = PP + CP1 + CP2 + 0,3.(SC) = 0,46 + 4,5 + 3,0 + 0,3.60 → q = 9,8 kN/m 
𝛿𝑡 =
5𝑞𝐿4
384. 𝐸. 𝐼𝑥
=
5(9,8. 10−2). 6004
384.20000.17393
= 0,48 𝑐𝑚 
A flecha máxima é L/350 = 1,7 cm. Com isso, a viga atende ao ELS. 
 
12) A viga birrotulada da figura a seguir pertence ao piso de uma edificação comercial. A viga 
CD descarrega em AB uma reação de 688,20 kN (de cálculo) e a viga EF descarrega em AB 
reações de 225 kN (também de cálculo). Dimensione esta viga, em perfil soldado da série VS. 
Utilizar aço USI CIVIL 350. 
 
 Cálculo dos esforços solicitantes internos: 
78 
 
 
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Aplicando um software de análise estrutural para a resolução deste problema, tem-se os seguintes 
valores máximos de momento e cortante, respectivamente: 
MSd = 1867,2 kN.m 
VSd = 622,40 kN 
 Pré-dimensionamento 
Considerando, para efeito de pré-dimensionamento, o momento fletor solicitante de cálculo 
máximo e supondo que o perfil escolhido atingirá o momento de plastificação Mpl, tem-se: 
𝑀𝑆𝑑1,𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑝𝑙
1,1
=
𝑍𝑥. 𝑓𝑦
1,1
 
186720 ≤
𝑍𝑥. 35
1,1
→ 𝑍𝑥 ≥ 5.868 𝑐𝑚³ 
 Na tabela de perfis I laminados da série W, observa-se que deve ser tomado o perfil VS 800 x 
143, que possui Zx = 5910 cm³. 
- FLM: 
𝜆 =
𝑏
𝑡
=
300/2
19
= 8,42 
𝜆𝑝 = 0,38√
𝐸
𝑓𝑦
= 0,38√
20000
35
= 9,08 
λ = 8,42 < λp = 9,08 → Mpl = Zxfy = 5910 x 35 = 206850 kN.cm 
- FLA: 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
= 95,25 
𝜆𝑝 = 3,76√
𝐸
𝑓𝑦
= 89,88 
λp = 89,88 < λ = 95,25 
𝜆𝑟 = 5,70√
𝐸
𝑓𝑦
= 136,26 
𝑀𝑅𝑑 =
1
𝛾𝑎1
[𝑀𝑝𝑙 − (𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑟)
𝜆 − 𝜆𝑝
𝜆𝑟 − 𝜆𝑝
] 
Mr = fyWx = 35 x 5374 = 188090 kN.cm 
𝑀𝑅𝑑 =
1
1,1
[206850 − (206850 − 188090)
95,25 − 89,88
136,26 − 89,88
] = 186071𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
79 
 
 
Estruturas Metálicas – Pós-Graduação em Engenharia Estrutural – Prof. Msc. Igor Leite 
 
Como MSd = 186.720 kN.cm > MRd = 186071 kN.cm, não atende, o perfil deve ser alterado. 
 Nova escolha de perfil: 
Será tomado como nova tentativa, o perfil tabelado imediatamente superior: VS 850 x 155. 
- FLM: 
𝜆 =
𝑏
𝑡
=
350/2
19
= 9,21 
𝜆𝑝 = 0,38√
𝐸
𝑓𝑦
= 0,38√
20000
35
= 9,08 
𝜆𝑟 = 0,95√
𝐸. 𝑘𝑐
𝑓𝑦
 → 𝑘𝑐 =
4
√
ℎ
𝑡𝑤
= 0,40 → 𝜆𝑟 = 17,17 
λp = 9,08 < λ = 9,21 < λr = 17,17 
𝑀𝑅𝑑 =
1
𝛾𝑎1
[𝑀𝑝𝑙 − (𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑟)
𝜆 − 𝜆𝑝
𝜆𝑟 − 𝜆𝑝
] 
Mr = (fy – σx) . Wx = 24,5 x 6243 = 152.954 kN.cm 
Mpl = Zx . fy = 6845 x 35 = 239.575 kN.cm 
𝑀𝑅𝑑 =
1
1,1
[239575 − (239575 − 152954)
9,21 − 9,08
17,17 − 9,08
] = 216530 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
- FLA: 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
= 101,50 
𝜆𝑝 = 3,76√
𝐸
𝑓𝑦
= 89,88 
λp = 89,88 < λ = 95,25 
𝜆𝑟 = 5,70√
𝐸
𝑓𝑦
= 136,26 
𝑀𝑅𝑑 =
1
𝛾𝑎1
[𝑀𝑝𝑙 − (𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑟)
𝜆 − 𝜆𝑝
𝜆𝑟 − 𝜆𝑝
] 
Mr = fyWx = 35 x 6243 = 218505 kN.cm 
80 
 
 
Estruturas Metálicas – Pós-Graduação em Engenharia Estrutural – Prof. Msc. Igor Leite 
 
𝑀𝑅𝑑 =
1
1,1
[239575 − (239575 − 218505)
101,50 − 89,88
136,26 − 89,88
] = 212996 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
Como MSd = 186.720 kN.cm > MRd = 212.996 kN.cm, Atende! 
- FLT: 
𝜆 =
𝐿𝑏
𝑟𝑦
=
500
8,28
= 60,39 
𝜆𝑝 = 1,76√
𝐸
𝑓𝑦
= 42,07 
𝜆 = 132,7 > 𝜆𝑝 = 49,8 → 𝜆𝑟 =
1,38√𝐼𝑦𝐽
𝑟𝑦 𝐽 𝛽1
√1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽1
2
𝐼𝑦
 
𝛽1 =
(𝑓𝑦 − 𝜎𝑟)𝑊𝑥
𝐸𝐽
=
(24,5). 6243
20000 . 174,2
= 0,044 
𝜆𝑟 =
1,38√13581 . 174,2
8,28 . 174,2 . 0,044
√1 + √1 +
27𝑥23439511𝑥. 0,044²
13581
= 108,64 
Como λp ≤ λ ≤ λr, haverá flambagem lateral com torção em regime inelástico, e a resistência ao 
momento fletor será dada por: 
𝑀𝑅𝑑 =
𝐶𝑏
𝛾𝑎1
[𝑀𝑝𝑙 − (𝑀𝑝𝑙 − 𝑀𝑟)
𝜆 − 𝜆𝑝
𝜆𝑟 − 𝜆𝑝
] ≤
𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
 
Mr = Wx(fy – σr) = 6243 . 0,7. 35 = 152.954 kN.cm 
Para o cálculo de Cb utilizou-se resultados da análise estrutural e utilizou-se a equação do item 4.2. 
Cb = 1,67. 
𝑀𝑅𝑑 =
1,67
1,1
[239575 − (239575 − 152954)
60,39 − 42,07
108,64 − 42,07
] = 327528,2 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 ≤ 
𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
= 217795 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
Utilizar, então, o momento de plastificaçãocomo resistência. 
MSd = 160400 kN.cm < MRd = 217795 kN.cm (Ok, Atende!) 
 
 Verificação a força cortante: 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
= 101,50 
81 
 
 
Estruturas Metálicas – Pós-Graduação em Engenharia Estrutural – Prof. Msc. Igor Leite 
 
Supondo que a viga inicialmente não tenha enrijecedores transversais, kv = 5,0 e: 
λ𝑝 = 1,10.√
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 58,80 
λ𝑟 = 1,37.√
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 73,23 
λ = 101,50 > λr = 73,23, então: 
𝑉𝑅𝑑 =
1,24
𝛾𝑎1
(
λ𝑝
λ
)
2
𝑉𝑝𝑙 
Vpl = 0,60.Aw.fy = 0,60 x 85 x 0,80 x 35 = 1428 kN 
𝑉𝑅𝑑 =
1,24
1,1
(
73,23
58,80
)
2
1428 = 540,23 𝑘𝑁 
VSd = 622,40 kN > VRd = 540,23 kN (Não atende!) – Deve-se dimensionar enrijecedores transversais 
Propõe-se enrijecedor transversais em AC (maior região de esforço cortante), dividindo seu 
comprimento de 3 m em dois painéis de 1,5 m. 
Logo: 
a/h = 150/81,2 = 1,82 – Pelo item 4.5 desta nota de aula, este valor deve ser menor que 3 ou menor 
que 
(
260
ℎ/𝑡𝑤
)
2
= 6,56 – Atende! 
Logo, 5 +
5
(
𝑎
ℎ
)²
= 6,46 
Se a/h fosse igual ou superior a 3,0, os enrijecedores não teriam eficiência, pois kv continuaria sendo 
igual a 5,0. 
λ𝑝 = 1,10.√
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 66,83 
λ𝑟 = 1,37.√
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 83,24 
λ = 101,50 > λr = 73,23, então: 
𝑉𝑅𝑑 =
1,24
𝛾𝑎1
(
λ𝑝
λ
)
2
𝑉𝑝𝑙 
𝑉𝑅𝑑 =
1,24
1,1
(
66,83
101,50
)
2
1428 = 697,9 𝑘𝑁 
82 
 
 
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VSd = 622,40 kN < VRd = 697,9 kN (Atende!) 
 Dimensionamento dos enrijecedores nas seções de atuação de forças localizadas: 
Há, nos apoios, força localizada na mesa inferior produzindo compressão na alma. Nas seções C e E 
também existem forças localizadas decorrentes das vigas CD e EF, respectivamente, comprimindo a 
alma. Assim, enrijecedores transversais devem ser usados, nos dois apoios e em C e E, com as 
seguintes dimensões: 
 
𝑏𝑠 +
1
2
𝑡𝑤 ≥
1
3
𝑏𝑓 
𝑏𝑠 ≥
1
3
𝑏𝑓 −
1
2
𝑡𝑤 
𝑏𝑠 ≥
350
3
−
8
2
= 112,67 𝑚𝑚 
 
Adotar bs = 120 mm 
ts deve ser maior que: 
tf/ 2 = 19 / 2 = 9,5 mm 
𝑏𝑠
0,56.√
𝐸
𝑓𝑦
=
120
0,56.√
20000
35
= 8,96 𝑚𝑚 
Usar ts = 9,5 mm (comercial) 
 
 
Os enrijecedores precisam, ainda, ser verificados como barras comprimidas. Logo, é preciso realizar 
essa verificação para a maior força localizada, ou seja, a reação transmitida pela viga CD, igual a 
688,20 kN: 
Ags = (2 x 12 + 0,8) . 0,95 = 23,56 cm² 
𝐼𝑖,𝑠 =
0,95(2 𝑥 12 + 0,3)³
12
= 1208 𝑐𝑚4 
(KL)s = h = 81,2 cm 
𝑁𝑒𝑖,𝑠 =
𝜋2𝐸𝐼𝑖,𝑠
(𝐾𝐿)²
=
𝜋2. 20000.1208
(81,2)²
= 36.165 𝑘𝑁 
λ = √
𝐴𝑔,𝑠. 𝑓𝑦
𝑁𝑒𝑖,𝑠
= √
23,56 . 36
36165
= 0,15 
𝜒 = 0,658λ0
2
= 0,6580,15
2
= 0,99 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
𝜒𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝛾𝑎1
=
0,99.1,00.23,56.35
1,1
= 742,89𝑘𝑁 
83 
 
 
Estruturas Metálicas – Pós-Graduação em Engenharia Estrutural – Prof. Msc. Igor Leite 
 
Atende! Logo, os enrijecedores devem ter largura de 120 mm e espessura de 9,5 mm, e ser soldados 
às duas mesas e à alma do perfil da viga AB. 
 
13) Determine o momento e o cortante resistente da viga birrotulada composta por perfil U 
152,4 x 12,2 fletido em relação ao maior eixo de inércia (eixo x), com vão de 3 metros, 
considerando apenas o Estado Limite Último. Utilizar aço ASTM A572 Gr. 50. 
- FLM: 
𝜆 =
𝑏
𝑡
=
48,8
8,7
= 5,61 
𝜆𝑝 = 0,38√
𝐸
𝑓𝑦
= 0,38√
20000
34,5
= 9,15 
Zx / Wx = 1,17 → Zx = 1,17 x 71,7 = 83,9 
λ = 5,61 < λp = 9,15 → Mpl = Zxfy = 83,9 x 34,5 = 2.894,55 kN.cm 
- FLA: 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
=
152,4 − 2(8,7)
5,08
= 26,57 
𝜆𝑝 = 3,76√
𝐸
𝑓𝑦
= 90,53 
λ = 60,5 < λp = 90,53 → Mpl = Zxfy = 83,9 x 34,5 = 2.894,55 kN.cm 
- FLT: 
𝜆 =
𝐿𝑏
𝑟𝑦
=
300
1,36
= 220,59 
𝜆𝑝 = 1,76√
𝐸
𝑓𝑦
= 42,38 
𝜆 = 220,59 > 𝜆𝑝 = 42,38 → 𝜆𝑟 =
1,38√𝐼𝑦𝐽
𝑟𝑦 𝐽 𝛽1
√1 + √1 +
27𝐶𝑤𝛽1
2
𝐼𝑦
 
𝐽 =
1
3
(2𝑏𝑡𝑓
3 + ℎ𝑡0
3) = 2,9 𝑐𝑚4 
𝛽1 =
(𝑓𝑦 − 𝜎𝑟)𝑊𝑥
𝐸𝐽
=
(0,7.34,5)71,7
20000 . 2,90
= 0,030 
84 
 
 
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𝜆𝑟 =
1,38√28,9 . 2,9
1,36 . 2,9 . 0,030
√1 + √1 +
27.1040.0,030²
28,8
= 164,10 
Como λ > λr: 
𝑀𝑐𝑟 =
𝐶𝑏𝜋²𝐸𝐼𝑦
𝛾𝑎1. 𝐿𝑏²
√
𝐶𝑤
𝐼𝑦
(1 + 0,039
𝐽𝐿𝑏²
𝐶𝑤
) 
Cb = 1,14 – pode ser visto na Figura 4.5 
𝑀𝑐𝑟 =
1,14. 𝜋2. 20000.28,8
300²
√
1040
28,8
(1 + 0,039
2,9.300²
1040
) = 1291,8 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
Deve-se então adotar o valor de MRd = 1291,8 kN.cm (menor valor entre FLA, FLM e FLT). 
 
 Verificação à força cortante: 
𝜆 =
ℎ
𝑡𝑤
= 26,57 
Supondo que a viga inicialmente não tenha enrijecedores transversais, kv = 5,0 e: 
λ𝑝 = 1,10.√
𝑘𝑣𝐸
𝑓𝑦
= 59,22 
λ = 26,57 < λp = 59,22 → Vpl = 0,60.Aw.fy = 0,60 . (15,24 x 0,508) x 34, 5= 160,26 kN 
VRd = 160,26 / 1,1 = 145,7 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
85 
 
 
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5. DIMENSIONAMENTO DE LIGAÇÕES EM ESTRUTURAS DE AÇO 
 As estruturas devem ser projetadas para resistir a todas as ações atuantes durante a sua vida 
útil, com segurança, desempenho e durabilidade adequados à sua utilização, com custos de 
construção e manutenção compatíveis. Neste sentido, as ligações têm fundamental importância tanto 
no que se refere ao comportamento estrutural como aos aspectos construtivos, de fabricação e 
montagem. 
 As ligações, por vezes denominadas nós, são utilizadas para transferir esforços entre os 
elementos que formam a estrutura e entre estes e seus apoios. Alguns autores e normas definem de 
formas diferentes os termos ligações e nós da estrutura. A ligação consiste dos dispositivos (ou 
meios) de conexão como parafusos, pinos ou soldas, e os elementos são chapas, placas de base, 
enrijecedores e cantoneiras de assento. Já o nó é definido como a região onde os elementos são 
conectados, incluindo os dispositivos e elementos de ligações, bem como o trecho dos elementos 
estruturais que devem ser conectados, possibilitando a transferências de esforços. 
 Este capítulo apresenta as características e o comportamento estrutural dos principais 
dispositivos e elementos de ligação, bem como os procedimentos de dimensionamento de ligações 
soldas e parafusadas segundo as recomendações da NBR 8800/2008. 
5.1. Classificação e comportamento com relação à rotação 
 De acordo com o grau de impedimento da rotação relativa das barras unidas, uma ligação 
pode ser classificada como rígida, flexível ou semirrígida. 
Na ligação rígida, o ângulo entre as barras que se interceptam permanece praticamente 
inalterado após a estrutura ser carregada, mesmo quando atuam momentos fletores elevados. Na 
ligação flexível, a rotação relativa entre as barras que se interceptam varia consideravelmente. há 
transmissão integral de força cortante e pode haver transmissão de força axial. A ligação 
semirrígida apresenta um comportamento intermediário entre o da rígida e o da flexível. Esse tipo 
de ligação não será abordado nesta nota de aula, pois apresenta a dificuldade do estabelecimento da 
relação de dependência entre a rotação relativa e o momento transmitido, sendo menos empregado na 
prática. 
Na Figura 5.1 é apresentado um gráfico Momento versus Rotação, mostrando os tipos de 
ligação disponíveis. 
 
86 
 
 
Estruturas Metálicas – Pós-Graduação em Engenharia Estrutural – Prof. Msc. Igor Leite 
 
Figura 5.1 – Gráfico momento verus rotação para definição de rigidez das ligações 
 Quando se desejauma ligação flexível, é comum não conectar as mesas da viga ao pilar ou a 
outro elemento de suporte, deixando uma folga para permitir a rotação da viga, e quando se deseja 
uma ligação rígida, conectar as mesas da viga. (Figura 5.2) 
 
Figura 5.2 – Transmissão de força cortante e momento fletor por viga de seção I 
 Nas ligações rígidas entre vigas e pilares é comum a colocação de enrijecedores na alma do 
pilar para impedir a ocorrência de estados-limites últimos relacionados às forças localizadas C e T na 
mesa do pilar, bem como prevenir deformações da mesa e da alma do pilar. (Figura 5.3) 
 
Figura 5.3 – Comportamento de pilar com seção I ou H em ligação rígida 
Ligações de viga e pilar de alma cheia 
 A Figura 5.3 mostra algumas ligações comumente empregadas na prática, consideradas como 
flexível, entre viga e pilar constituídos por perfis I ou H, usando parafusos e soldas. Essas ligações, 
com pequenas adaptações, também podem ser executadas com outros perfis de alma cheia, como 
perfis U. 
 Nessas ligações flexíveis, recomenda-se utilizar elementos de ligação (chapas e cantoneiras) 
com altura igual a, no mínimo, metade da altura total do perfil da viga suportada. Essa recomendação 
visa a assegurar que a viga não apresente rotação a seu eixo longitudinal nos apoios, o que pode lhe 
causar diversos problemas, como a perda de estabilidade sob pequenas deformações. 
87 
 
 
Estruturas Metálicas – Pós-Graduação em Engenharia Estrutural – Prof. Msc. Igor Leite 
 
 
 
Figura 5.3 – Ligações flexíveis entre viga e pilar constituídos por perfis I ou H 
 Na Figura 5.4 mostram-se duas ligações consideradas rígidas, também entre viga e pilar 
constituídas por perfis I ou H. Na Figura 5.4a uma chapa de topo é soldada à extremidade da viga e 
parafusada à mesa do pilar, ao passo que na Figura 5.4b, a viga é soldada diretamente na mesa do 
pilar. 
 
Figura 5.4 – Ligações rígidas entre viga e pilar constituídos por perfis I ou H 
 
 No capítulo 6 desta nota de aula, será apresentado uma melhor explicação sobre o 
comportamento das ligações flexíveis, semirrígidas e rígidas. 
5.2. Parafusos estruturais 
Tipos, diâmetros e propriedades mecânicas dos parafusos 
Os parafusos são disponibilizados (mediante consulta) com resistência à corrosão atmosférica 
comparável à dos aços com essa propriedade. Podem também ser galvanizados. 
Parafusos comuns: feitos de aço-carbono e podem possuir especificação ASTM A307 ou 
ISO Classe 4.6. 
88 
 
 
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Parafusos de alta resistência: fabricados com aços de alta resistência mecânica tratados 
termicamente e podem ter dois níveis de resistência: 
 De menor resistência, constituído pelos parafusos de especificação ASTM A325 ou ISO 
Classe 8.8; 
 De maior resistência, constituído pelos parafusos de especificação ASTM A490 ou ISO 
Classe 10.9. 
A Figura 5.4 fornece as resistências ao escoamento e à ruptura dos parafusos estruturais e os 
diâmetros com que esses parafusos podem ser encontrados normalmente no mercado. 
 
Figura 5.4 – Dimensões usuais e propriedades mecânica dos parafusos estruturais 
 
Parafusos comuns 
Os parafusos comuns são utilizados com cabeça e porca hexagonais (Figura 5.5). Para 
diâmetros de até 1½” também são fabricados com cabeça e porca quadradas. As porcas obedecem a 
normas específicas. Nos parafusos ASTM A307, as porcas hexagonais possuem espessura da ordem 
de 70% do diâmetro do parafuso para diâmetro de até 1½”, ou aproximadamente igual ao diâmetro 
do parafuso, para todos os diâmetros (porcas pesadas). Nos parafusos ISO Classe 4.6, a porca tem 
espessura aproximadamente igual ao diâmetro do parafuso para o diâmetro de 12 mm e igual a cerca 
de 90% do diâmetro para o diâmetro de 36 mm, variando quase linearmente no intervalo entre esses 
extremos. 
 
Figura 5.5 – Parafusos comuns 
89 
 
 
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Parafusos de alta resistência 
 Possuem cabeça e porca hexagonais e têm sua especificação anotada na face externa da 
cabeça (Figura 5.6). Não devem ser soldados ou aquecidos, nem mesmo para facilitar a montagem. 
Parafusos ASTM A490 e ISO Classe 10.9 precisam de arruela também sob o elemento que não gira. 
Parafusos ASTM A325 e ASTM A490 são utilizados com porcas pesadas. Parafusos ISO Classe 8.8 
e ISO Classe 10.9 são empregados com porcas de espessura de cerca de 80% de seu diâmetro. 
 
Figura 5.6 – Parafusos de alta resistência ASTM A325 e ASTM A490 
Tipos e aplicações 
 Há quatro tipos de furos usados nas ligações parafusadas (Figura 5.7): furos-padrão, furos 
alargado, furos pouco alargados e muito alargados. 
 
Figura 5.7 – Tipos de furo 
Disposições construtivas dos furos 
A distância entre centros de furos, eff, não pode ser inferior a 3,0 db, entretanto, permite-se, 
em situações de necessidades construtivas, adotar 2,7 db. Por sua vez, a distância entre centro de furo 
e chapa, efc, não deve ser inferior a 1,35 db, para permitir o uso dos instrumentos de aperto. 
Para qualquer borda de uma parte ligada, simplificadamente, a distância do centro do furo 
mais próximo até essa borda, efb, não pode ser inferior a 1,25 db. (Figura 5.8) 
A distância entre centros de furos e a distância entre centro de furo e borda, de modo 
simplificado, não pode exceder 12 vezes a espessura da parte ligada menos espessa, nem 150 mm, 
principalmente para evitar a penetração de umidade, que pode causar problemas relacionados à 
corrosão. 
90 
 
 
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Figura 5.8 – Indicação das dimensões de distância entre furos e chapas 
 
5.3. Resistência de parafusos por ligações por contato 
Tração nos parafusos 
Cada parafuso de uma ligação submetida à tração deve atender à seguinte condição: 
Ft,Sd ≤ Ft,Rd 
Força de tração solicitante de cálculo: 
𝐹𝑡,𝑆𝑑 =
𝐹𝑆𝑑
𝑛𝑡
 
Sendo Fsd a força solicitante de cálculo atuante na região da ligação e nt o número de 
parafusos utilizados nessa região. A Figura 5.9 mostra um exemplo simples de distribuição da força 
solicitante na ligação pelo número de parafusos utilizados. 
 
Figura 5.9 – Força de tração solicitante de cálculo em cada parafuso 
 
Força de tração resistente de cálculo 
 A força de tração resistente de cálculo de um parafuso está relacionada ao estado limite 
último de ruptura por tração da região da rosca: 
𝐹𝑡,𝑅𝑑 =
𝜙𝑎𝐴𝑏𝑒𝑓𝑢𝑏
𝛾𝑎2
 
91 
 
 
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 Sendo: 
fub = resistência à ruptura do aço do parafuso, 
γa2 = coeficiente de ponderação da resistência do aço para ruptura, igual a 1,35 
ϕa = fator de redução da força resistente, que considera o efeito de alavanca que surge por causa da 
flexão das chapas ligadas; 
 Nas ligações com parafusos tracionados, a restrição à deformação das extremidades laterais 
da chapa de ligação provoca o aparecimento das forças Q nessas extremidades, como mostra a Figura 
5.10. 
 
Figura 5.10 – Efeito alavanca 
A determinação precisa do efeito de alavanca é complexa e depende de vários parâmetros, 
principalmente da espessura da chapa de ligação e da geometria da ligação. 
Pode-se adotar um procedimento simplificado pelo qual se aumenta sempre a força de tração 
solicitante nos parafusos em 50%, o que equivale a tomar da Equação o valor ϕa = 0,67 (em vez de 
aumentar a força de tração solicitante, reduz-se a força resistente). 
 As chapas de ligação não são suscetíveis à instabilidade e devem ter suas espessuras(t1 e t2) 
determinadas com base no momento de plastificação Z.fy. Esse momento é obtido considerando a 
força atuante em um parafuso e a largura de influência, p, igual à soma das menores dimensões de 
cada lado do parafuso analisado (Figura 5.11). 
 Para parafuso de extremidade: 
 
 Para parafusos internos: 
 
92 
 
 
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Figura 5.11 – Grandezas para determinação das espessuras t1 e t2 das chapas ligadas 
 Em resumo, deve-se ter nas chapas: 
MSd ≤ MRd 
Com: 
MSd = Ft,Sd b 
𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=
𝑝𝑡²𝑓𝑦
4𝛾𝑎1
 
Cisalhamento nos parafusos 
 Cada parafuso de uma ligação submetido à cisalhamento deve atender à seguinte condição: 
Ft,Sd ≤ Ft,Rd 
Força cortante solicitante de cálculo 
 A força cortante solicitante de cálculo Ft,Sd deve ser determinada no plano de corte mais 
solicitado do parafuso. Na Figura 5.12 são mostrados alguns exemplos de solicitações em parafusos. 
93 
 
 
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Figura 5.12 – Força cortante solicitante de cálculo nos planos de corte dos parafusos 
 
Força cortante resistente de cálculo 
𝐹𝑣,𝑅𝑑 =
𝛼𝑏𝐴𝑏𝑓𝑢𝑏
𝛾𝑎2
 
αb é um fator igual a 0,4 para parafuso comum e para qualquer tipo de parafuso quando o plano de 
corte se situa na rosca ou 0,5 para parafuso de alta resistência quando o plano de corte se situa fora 
da rosca. (Figura 5.13) 
 
Figura 5.13 – Simulação teórica de colapso de parafusos por cisalhamento 
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Interação entre tração e cisalhamento 
 Para parafusos solicitados simultaneamente a tração e a cisalhamento, deve-se verifica a 
interação entre esses dois esforços, que deve atender à equação a seguir: 
(
𝐹𝑡,𝑆𝑑
𝐹𝑡,𝑅𝑑
)
2
+ (
𝐹𝑣,𝑆𝑑
𝐹𝑣,𝑅𝑑
)
2
≤ 1,0 
 
Pressão de contato em furos 
 A pressão que os parafusos submetidos ao cisalhamento exercem nas paredes dos furos pode 
causar a ruína dessas parades por esmagamento (Figura 5.14a), rasgamento entre dois furos 
consecutivos e rasgamento entre um furo e a borda (Figura 5.14b), na direção da força atuante. 
 
Figura 5.14 – Colapso pela pressão de contato de parafusos nas paredes de furos 
A força resistente de cálculo à pressão de contato, fc,Rd, tendo em vista os três estados-limites 
últimos, é dada, conservadoramente, por: 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
1,2. 𝑙𝑓 . 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
2,4. 𝑑𝑏. 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
Lf = distância, na direção da força, entre a borda do furo e a borda do furo adjacente ou entre a borda 
do furo e a borda da parte ligada — a que for menor 
db = diâmetro do parafuso 
t = espessura da parte ligada 
fu = resistência à ruptura do aço da parede do furo 
γa2 = coeficiente de ponderação da resistência do aço para ruptura, igual a 1,35. 
95 
 
 
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Figura 5.15 – Distância livre e espessura de uma chapa e cantoneira ligada 
 
5.4. Solda elétrica 
 Segundo a American Society Welding (AWS), soldagem é um processo para união de metais 
e/ou não metais obtendo coalescência (união) localizada produzida por aquecimento dos elementos a 
serem conectados com ou sem adição de material e pressão. Além disso, a soldagem é um processo 
de ligação que visa garantir a continuidade física e química na junta (região em que as peças serão 
unidas por soldagem); o resultado dessa operação é denominada solda. 
Tipos de Solda 
Empregam-se principalmente três tipos de solda em estruturas de aço (Figura 5.16): solda de 
penetração total ou parcial, solda de filete e solda de tampão em furos ou rasgos. A solda de 
penetração, via de regra, pode ser usada nas juntas de topo, em tê, de canto e de aresta; a solda de 
filete, nas juntas com trespasse e em tê; e a solda de tampão, nas juntas com trespasse. 
 
Figura 5.16 – Tipos de Solda 
Solda de penetração 
Na solda de penetração, o metal da solda é depositado diretamente entre as faces das peças a 
serem unidas, dentro de chanfros (canaletas ou aberturas preparadas para conter adequadamente a 
solda). 
Solda de penetração total → quando alcança as duas faces das peças, proporcionando a 
essas peças continuidade completa 
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Solda de penetração parcial → quando apenas uma parte da seção transversal das peças tem 
continuidade através da solda. 
 Para chapas de espessura até 6,3 mm, pode-se utilizar chanfro reto. Por questões econômicas 
e de ordem prática, Para chapas de espessura superior a 6,3 mm, utilizar: 
 meio V ou bisel para chapas de espessura até 19 mm; 
 V para chapas de espessura maior que 19 mm, até 25,4 mm; 
 K para chapas de espessura maior que 16 mm; 
 X para chapas de espessura maior que 25,4 mm. 
Para garantir a qualidade da solda de penetração total, deve-se efetuar a soldagem de um dos 
lados e, antes de se fazer o mesmo do outro lado, executar a extração da raiz. 
 
Figura 5.17 – Exemplo de chanfros para solda de penetração total 
 
Soldas de Filete 
 Na solda de filete, o metal da solda possui seção transversal aproximadamente triangular e se 
situa externamente às superfícies, geralmente ortogonais, das peças de aço soldadas. (Figura 5.18). 
 Pernas do filete, dw = Lados do filete, junto às faces de fusão das peças de aço soldadas, e 
podem ser iguais ou diferentes. 
97 
 
 
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 seção transversal do filete, aw, = A menor dimensão de espessura efetiva ou garganta efetiva. 
As soldas de filete podem ser contínuas ou intermitentes e são mais econômicas e simples de 
executar que as soldas de penetração. 
 
Figura 5.18 – Solda de filete 
Simbologia 
 Para representar as soldas, os símbolos adequados são colocados junto a uma linha horizontal 
de referência, nas posições indicadas na Figura 5.19. De uma das extremidades dessa linha sai uma 
reta inclinada que aponta o local da solda. 
 
Figura 5.19 – Colocação dos símbolos de soldagem 
 Os exemplos da Figura 5.20, esclarecem o emprego da simbologia de soldagem. Observa-se 
que: 
 o tamanho do filete é o comprimento da sua perna; 
 quando houver a mesma solda do lado da seta e do lado oposto, colocam-se os símbolos 
abaixo e acima da linha horizontal de referência, mas os números que indicam o tamanho do 
filete, a profundidade do entalhe e a abertura da raiz podem ficar em apenas um dos lados 
caso sejam os mesmos; 
 em soldas de penetração com apenas uma chapa chanfrada, quando houver dúvida sobre qual 
é a chapa chanfrada, a seta deve apontar para ela, 
98 
 
 
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 nas soldas de filete e nas de penetração com apenas uma chapa chanfrada, a face vertical do 
símbolo da solda deve sempre ficar à esquerda; 
 em solda de filete intermitente, o comprimento dos filetes e a distância entre o centro de dois 
comprimentos adjacentes devem ser indicados ao lado da face inclinada do símbolo da solda, 
sendo separados por um traço, a unidade de todas as dimensões indicadas é o milímetro. 
 
Figura 5.20 – Exemplo do uso da simbologia da soldagem 
 
5.5. Verificação das soldas 
 O eletrodo deve ser escolhido de modo a garantir uma solda com resistência pelo menos igual 
à do metal-base. A Tabela 5.1 fornece as classes de resistência dos eletrodos, a resistênciamínima à 
tração do metal da solda proporcionada por esses eletrodos, fw, e a resistência ao escoamento fy dos 
metais-base compatíveis. 
 
Eletrodo Resistência fw (MPa) Metal-base compatível 
E60 415 fy ≤ 250 MPa e espessura t ≤ 19 mm 
E70 485 fy ≤ 380 MPa 
E80 550 fy ≤ 450 MPa 
Tabela 5.1 – Resistência mínima à tração do metal da solda, eletrodos e compatibilidade 
Tensões solicitantes em grupo de soldas 
99 
 
 
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 Um grupo de soldas, localizado em um plano xy, submetido a uma força solicitante de 
cálculo normal ao plano, Fz,Sd, e aos momentos solicitantes de cálculo no plano, Mx,Sd e My,Sd, está 
sujeito a tensões normais na direção z. 
Os eixos x e y são eixos centroidais (que passam pelo centro geométrico do grupo de soldas). 
𝜎𝑤,𝑆𝑑 =
𝐹𝑧,𝑆𝑑
𝐴𝑒𝑤
+
(𝑀𝑥,𝑆𝑑 . 𝐼𝑥 + 𝑀𝑦,𝑆𝑑 . 𝐼𝑦). 𝑦 − (𝑀𝑦,𝑆𝑑 . 𝐼𝑥 + 𝑀𝑥,𝑆𝑑 . 𝐼𝑦). 𝑥
(𝐼𝑥𝐼𝑦 − 𝐼𝑥𝑦2 )
 
 
Sendo, 
Aew = Σlwi awi → área efetiva do metal do grupo de soldas 
Ix e Iy → momentos de inércia à flexão em relação aos eixos x e y 
Ixy → produto de inércia do grupo de soldas 
Iz → momento polar de inércia 
 
Se os eixos x e y, além de centroidais, forem principais (centrais), o 
produto de inércia do grupo de soldas é nulo: 
 
𝜎𝑤,𝑆𝑑 =
𝐹𝑧,𝑆𝑑
𝐴𝑒𝑤
+ (
𝑀𝑥,𝑆𝑑 . 𝑦
𝐼𝑥
) − (
𝑀𝑦,𝑆𝑑 . 𝑥
𝐼𝑦
) 
 
Caso surjam surgem tensões de cisalhamento nas direções x e y: 
 
𝜏𝑤,𝑥,𝑆𝑑 =
𝐹𝑥,𝑆𝑑
𝐴𝑒𝑤
+ (
𝑀𝑧,𝑆𝑑 . 𝑦
𝐼𝑧
) 
 
𝜏𝑤,𝑦,𝑆𝑑 =
𝐹𝑦,𝑆𝑑
𝐴𝑒𝑤
+ (
𝑀𝑧,𝑆𝑑 . 𝑥
𝐼𝑧
) 
 
 
Figura 5.21 – Esforços 
solicitantes gerando 
tensões normais em um 
grupo de solda 
 
Critério de Verificação 
Soldas de penetração total 
A área efetiva do metal-base, AMB, é igual nos dois elementos conectados, e também é igual à 
área efetiva do metal da solda, Aew, que apresenta resistência à ruptura bastante superior à resistência 
ao escoamento do metal-base compatível. (Figura 5.22) Basta verificar a resistência ao escoamento 
do metal-base por tensões normal e de cisalhamento, caso essas tensões existam: 
σMB,Sd ≤ σMB,Rd 
τMB,Sd ≤ τMB,Rd 
100 
 
 
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Figura 5.22 – Áreas de trabalho das soldas de penetração total 
Onde: 
σMB,Sd e τMB,Sd são, respectivamente, as tensões normal e de cisalhamento solicitantes de cálculo no 
metal-base. 
σMB,Rd e τMB,Rd são as tensões normal e de cisalhamento resistentes de cálculo no metal-base. 
 As tensões resistentes são: 
𝜎𝑀𝐵,𝑅𝑑 =
𝑓𝑦
𝛾𝑎1
 
𝜏𝑀𝐵,𝑅𝑑 =
0,60. 𝑓𝑦
𝛾𝑎1
 
 Caso atuem tensões normais e de cisalhamento em um mesmo ponto: 
√𝜎𝑀𝐵,𝑆𝑑
2 + 3𝜏𝑀𝐵,𝑆𝑑
2 ≤
𝑓𝑦
𝛾𝑎1
 
 
Soldas de filete 
Nas soldas de filete, o único estado-limite último aplicável é ruptura por cisalhamento da 
área efetiva do metal da solda, Aew. (Figura 5.23) As tensões resistentes são: 
𝜎𝑤,𝑅𝑑 =
0,60. 𝑓𝑤
𝛾𝑎2
 
𝜏𝑤,𝑅𝑑 =
0,60. 𝑓𝑤
𝛾𝑎2
 
Caso atuem tensões normais e de cisalhamento em um mesmo ponto: 
√𝜎𝑤,𝑆𝑑
2 + 𝜏𝑤,𝑆𝑑
2 ≤
0,6. 𝑓𝑤
𝛾𝑎2
 
 
 
101 
 
 
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Figura 5.23 – Área de trabalho das soldas de filete 
A dimensão mínima da perna da solda é limitada em função da espessura da chapa mais fina, 
para garantir a fusão adequada dos elementos a serem unidos. (Figura 5.24) 
 
Figura 5.24 – Dimensões mínimas das soldas de filete 
5.6. Elementos de ligação 
 No dimensionamento de uma ligação, devem ser verificados também os enrijecedores, as 
chapas de ligação, as cantoneiras, os consoles e todas as partes ligadas afetadas localmente pela 
ligação. 
Elementos submetidos à tração 
Nas chapas de ligação tracionadas de emendas parafusadas, a área líquida efetiva não pode 
ser tomada com valor superior a 85% da área bruta. Para outras chapas de ligação tracionadas, a 
largura, lwh, a ser considerada no cálculo da área bruta da seção transversal, é definida como a 
largura da seção de Whitmore (Figura 5.25), obtida por uma distribuição das tensões de tração em 
um ângulo de 30° a partir do início da ligação, de cada lado, ao longo da linha de ação da força. 
 
Figura 5.25 – Largura da seção de Whitmore 
102 
 
 
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Elementos submetidos à compressão 
No caso de chapas de ligação comprimidas, como as chapas de nó (gusset) de treliças, a área 
resistente também deve ser determinada pela seção de Whitmore. 
Elementos submetidos à força cortante 
a) Para o estado-limite último de escoamento 
𝐹𝑅𝑑 =
0,60. 𝐴𝑔𝑣. 𝑓𝑦
𝛾𝑎1
 
b) Para o estado-limite último de ruptura 
𝐹𝑅𝑑 =
0,60. 𝐴𝑛𝑣. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
Agv = áreas bruta sujeita a cisalhamento 
Anv = área líquida sujeita a cisalhamento 
 
Elementos submetidos a momento fletor 
Deve-se verificar o estado-limite de ruptura, com o momento resistente de cálculo: 
𝑀𝑅𝑑 =
𝑍𝑒𝑓 . 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
Zef = módulo de resistência plástico efetivo 
No caso de vigas com furos ou recortes na mesa tracionada, o momento fletor resistente de 
cálculo à ruptura é: 
𝑀𝑅𝑑 =
𝑓𝑢. 𝐴𝑓𝑛.𝑊𝑡
𝛾𝑎1. 𝐴𝑓𝑔
 
Afn = área líquida e à área bruta da mesa tracionada, 
Afg = área bruta da mesa tracionada 
Wt = módulo de resistência elástico do lado tracionado da seção bruta, relativo ao eixo de flexão. 
 
Elementos submetidos a esforços combinados 
Deve-se verificar a capacidade resistente desses elementos a tensões combinadas. Aplica-se o 
critério de escoamento de Von Mises: 
√𝜎𝑥,𝑆𝑑
2 + 𝜎𝑥,𝑆𝑑𝜎𝑦,𝑆𝑑 + 𝜎𝑦,𝑆𝑑
2 + 3𝜏𝑆𝑑
2 ≤
𝑓𝑦
𝛾𝑎1
 
σx,Sd = Tensão normal solicitante na direção x (positiva para tração) ortogonal entre si 
σy,Sd = Tensão normal solicitante na direção y (positiva para tração) ortogonal entre si 
τSd = Tensão de cisalhamento solicitante de cálculo no plano formado pelas direções x e y. 
103 
 
 
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Colapso por rasgamento 
Em ligações de extremidade da alma de vigas com a mesa recortada para encaixe e de barras 
e chapas tracionadas ou submetidas à cisalhamento e em situações similares, as áreas submetidas a 
tração e cisalhamento podem se romper simultaneamente, no estado-limite último colapso por 
rasgamento. (Figura 5.26) 
 
Figura 5.26 – Situações em que pode ocorrer colapso por rasgamento 
 A força resistente de cálculo é dada por: 
 
Anv = área líquida sujeita ao cisalhamento (área bruta, descontando-se a área dos furos) 
Ant = área líquida sujeita a tração (área bruta, descontando-se a área dos furos) 
Agv = área bruta sujeita a cisalhamento 
Cts = coeficiente relacionado ao nível de uniformidade da tensão de tração na área líquida (1,0 em 
geral) 
 
5.7. Ligações em base de pilares 
 As bases de colunas podem ser classificadas em duas categorias: 
a) bases destinadas a transmitir à fundação forças de compressão e de corte; 
b) bases para transferência de momento à fundação, além da força vertical e horizontal. 
No primeiro caso, a base da coluna é considerada rotulada na fundação, e as tensões de 
compressão são consideradas uniformemente distribuídas. Neste caso, não há, teoricamente, 
necessidade de tirantes de ancoragem, adotando-se ancoragens construtivas convencionais. (Figura 
5.27) 
Na segunda, para pequenas excentricidades de carga, as tensões de compressão se estendem 
por toda superfície de contato,bastando adotar ancoragens construtivas. (Figura 5.27) 
 
104 
 
 
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Figura 5.27 – Bases de pilares flexíveis e rígidas 
 
Dimensionamento de placas de bases rotuladas: 
 Neste modelo, os esforços de compressão são absorvidos diretamente através da placa de 
concreto. Já os esforços de tração na coluna são suportados pelos chumbadores, solidário à placa de 
base. 
 Além disso, sendo as forças atuantes somente de compressão, os esforços horizontais, podem 
ser resistidos apenas pelo atrito entre a placa de base e o concreto de enchimento. 
 Entre o topo da fundação e o fundo da placa de base é deixado um espaço mínimo de 25 mm 
para enchimento com argamassa, cuja função é transmitir para as fundações os esforços de 
compressão da placa da base. Por este motivo, a abertura para enchimento deve ser tal que permita o 
completo preenchimento do espaço com argamassa, sem vazios ou falhas. 
Chumbadores: 
 Para compor a base das colunas existem diversos tipos de chumbadores, entre eles, 
chumbadores com chapas ou porcas na extremidade inferior (Figura 5.28b) e chumbadores com 
extremidade inferior dobrado a 90°, o que é o caso da Figura 5.28a. 
 
Figura 5.28 – Chumbadores para placa de base 
 É importante ressaltar que, segundo o Steel Designe Guide 1, 2
a
 edição, da AISC, o diâmetro 
mínimo para barras de chumbadores deve ser de 19 mm (3/4”). 
 
105 
 
 
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Dimensionamento dos chumbadores: 
De acordo com a NBR 8800/2008, a área necessária do chumbador só atuando por 
cisalhamento é dada por: 
𝐴𝑛𝑣 =
𝐻𝑢
0,3. 𝑓𝑢
 
Sendo: 
Hu = força horizontal na placa de base 
fu = tensão de ruptura do aço do chumbador 
 Na tração, a área necessária é dada por: 
𝐴𝑛𝑡 =
𝑇𝑢
0,56. 𝑓𝑢
 
Sendo: 
Tu = força de tração na placa de base 
 O comprimento de ancoragem é definido pelo AISC (2005) de forma diferenciada para 
chumbadores com extremidade inferior a 90° e para chumbadores com extremidade inferior com 
porca ou chapa. 
 No caso de chumbadores com extremidade inferior a 90°, são indicadas as expressões: 
𝑇𝑢 = 0,56. 𝑓𝑢. 𝐴𝑐ℎ𝑢 
𝐿𝑢 =
𝑇𝑢
1,4. 𝑓𝑐𝑘. 𝑑𝑐
 
 Sendo: 
Achu = área da seção transversal do chumbador; 
dc = diâmetro da barra do chumbador; 
fck = resistência a compressão característica do concreto; 
Lc = comprimento vertical de ancoragem do chumbador; 
Lh = comprimento horizontal do chumbador; 
Tu = carga axial fatorada de tração. 
 Para o comprimento Lc, é recomendado utilizar os valores descritos na tabela abaixo: 
Tipo de aço Comprimento Lc Distância entre chumbadores 
ASTM A36 12.dc 5.dc ≥ 100 mm 
ASTM A325 12.dc 7.dc ≥ 100 mm 
 
 
 
106 
 
 
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Dimensionamento da placa de base 
 A espessura da placa base é determinada em função de um percentual da resistência 
característica do concreto. De posse da carga axial de compressão Nu, determina-se a área mínima da 
chapa, cujas dimensões devem ser um pouco maiores que as dimensões do perfil. Determinam-se a 
seguir a tensão efetiva no concreto e a espessura da placa. (Figura 5.29) 
 
Figura 5.29 – Dimensionamento da placa de base 
𝐴1 =
𝑁𝑢
0,7. 𝑓𝑐𝑘
 
𝐶 = √𝐴 + ∆ 
Δ = 0,5(0,95.d – 0,8.bf) 
B = A1 / C 
 Para o cálculo da espessura, tem-se: 
𝑡 = 1,49. 𝑙. √
𝑓𝑐𝑢
𝑓𝑦
 
𝑓𝑐𝑢 =
𝑁𝑢
𝐴1
 
Para: 
fy = 25 kN/cm² 𝑡 = 0,30. 𝑙. √𝑓𝑐𝑢 
fy = 30 kN/cm² 𝑡 = 0,27. 𝑙. √𝑓𝑐𝑢 
fy = 35 kN/cm² 𝑡 = 0,25. 𝑙. √𝑓𝑐𝑢 
 
 Sendo “l” o maior valor entre m, n ou n´, dados nas equações abaixo. É importante ressaltar 
que é recomendável usar placas de base com espessura maior que 12 mm. 
107 
 
 
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𝑚 =
𝐶 − 0,95𝑑
2
 
𝑛 =
𝐵 − 0,8𝑏𝑓
2
 
𝑛´ = 
√𝑑. 𝑏𝑓
4
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
14) Verificar a ligação da figura abaixo para a solicitação de cálculo Nt,Sd = 120 kN, 
considerando parafusos ϕ 19 mm do tipo ASTM A325 e aço ASTM A36. 
 
Em primeiro lugar, calcula-se a resistência dos parafusos à tração, que será dada por: 
Abe = 0,75 . Ab = 2,13 cm² 
ϕa = 0,67 (por causa do efeito alavanca) 
𝐹𝑡,𝑅𝑑 =
𝜙𝑎. 𝐴𝑏𝑒𝑓𝑢𝑏
𝛾𝑎2
=
0,67.2,13.82,5
1,35
= 87,2 𝑘𝑁/ 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜 
 Como se trata de um grupo de parafusos submetidos à esforço centrado de tração, o esforço 
de cálculo é distribuído igualmente entre os parafusos. Então: 
𝐹𝑡,𝑆𝑑 =
𝐹𝑆𝑑
𝑛𝑡
=
120
4
= 30 𝑘𝑁 
Ft,Rd = 87,2 kN > Ft,Sd = 30 kN (Ok, Atende!) 
 Deve-se verificar a flexão da chapa de 19 mm do T. 
MSd = Ft,Sd b 
MSd = 30 . 4 = 120 kN.cm 
108 
 
 
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p = < 40 mm + < 80/2 = 40 mm = 40 + 40 = 80 mm = 8 cm 
 40 + 0,5.19 = 49,5 mm 40 + 0,5.19 = 49,5 mm 
𝑀𝑅𝑑 =
𝑀𝑝𝑙
𝛾𝑎1
=
𝑝𝑡²𝑓𝑦
4𝛾𝑎1
=
8.1,92. 25
4.1,1
= 164,1 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
MRd = 164,1 kN.cm > MSd = 120 kN.cm (Ok, Atende!) 
15) Verifique os parafusos da ligação de um contraventamento da figura abaixo, para o esforço 
de cálculo aplicado na ligação. O parafuso é do tipo ASTM A325 com diâmetro de 12,5 mm 
 
 Como se trata de uma força centrada no grupo de parafusos, o esforço de cálculo em cada 
parafuso será a componente da força aplicada à ligação dividida pelo número de parafusos. 
𝐹𝑣,𝑆𝑑 =
𝑁𝑡,𝑆𝑑 . 𝑠𝑒𝑛 45°
𝑛𝑡
=
290. 𝑠𝑒𝑛 45°
8
= 25,63 𝑘𝑁 
𝐹𝑡,𝑆𝑑 =
𝑁𝑡,𝑆𝑑 . 𝑐𝑜𝑠 45°
𝑛𝑡
=
290. 𝑐𝑜𝑠 45°
8
= 25,63 𝑘𝑁 
 A resistência ao cisalhamento de um parafuso para um plano de corte será: 
𝐹𝑣,𝑅𝑑 =
0,5. 𝐴𝑏𝑓𝑢𝑏
𝛾𝑎2
=
0,5.1,23.82,5
1,35
= 29,8 𝑘𝑁 / 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜 
 A resistência a tração isolada será: 
Aeb = 0,75 x Ab = 0,92 cm² 
𝐹𝑡,𝑅𝑑 =
𝜙𝑎. 𝐴𝑏𝑒𝑓𝑢𝑏
𝛾𝑎2
=
0,67.0,92.82,5
1,35
= 37,67 𝑘𝑁 / 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜 
 Para a interação entre cisalhamento e tração utiliza-se a seguinte fórmula: 
(
𝐹𝑡,𝑆𝑑
𝐹𝑡,𝑅𝑑
)
2
+ (
𝐹𝑣,𝑆𝑑
𝐹𝑣,𝑅𝑑
)
2
≤ 1,0 
109 
 
 
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(
25,63
37,67
)
2
+ (
25,63
29,8
)
2
≤ 1,0 
1,202 ≤ 1,0 
 Não atende! Recomenda-se utilizar um parafuso com maior diâmetro para o aumento da 
resistência, principalmente ao cisalhamento, que está bem próxima da solicitação. 
 
16) Verifique a ligação mostrada a seguir, representativa de um nó de uma treliça com gusset. 
As diagonais são cantoneiras duplas em forma de tê, fabricadas com aço ASTM A36, a chapa 
de nó possui espessura de 9,5 mm, e aço USI CIVIL 350. Os parafusos utilizados são ISO 
Classe 8.8, com diâmetro de 20 mm (fub = 80 kN/cm²). Nas soldas, utilizou-se eletrodo E70. As 
cantoneiras e a chapa de nó são pintadas. As diagonais comprimida e tracionada possuem 
forças resistentes de cálculo iguais a 205 kN e 365 kN, respectivamente. 
 
- Disposições construtivas: 
Diâmetro do furo: hh = 20 + 3,5 = 23,5 mm 
Distância entre furos: 
3db = 3 x 20 – 60 mm < eff = 100 mm < 24 x 6,35 = 152,4 mm Atende! 
 300 mm 
Distância entre furos e aba da cantoneira: 
76,2 – 30 – 6,35 = 39,85 mm > 1,35db = 1,35 x 20 = 27 mm → Atende! 
Distância dos furos às bordas: 
1,25db = 1,25 x 20 = 25 mm < efb = 40 mm 12x 6,35 = 76,2 mm → Atende! 
 150 mm 
110 
 
 
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Dimensão mínima da perna do filete: 
t = 6,35 mm ≤ 6,35 mm → dw = 4 mm > dwmin = 3 mm → Atende 
- Cisalhamento nos parafusos: 
𝐹𝑣,𝑅𝑑 =
𝛼𝑏𝐴𝑏𝑓𝑢𝑏
𝛾𝑎2
 
Ab = 3,14 cm² 
𝐹𝑣,𝑅𝑑 =
0,4.3,14.80
1,35
= 74,43𝑘𝑁 
Como a ligação encontra-se em corte duplo, pode-se multiplicar a resistência do parafuso por dois e 
como são dois parafusos: Fv,Rd = 74,43 x 2 x 2 = 297,72 kN 
Fv,Sd = 200 kN < Fv,Rd 297,72 kN → Atende 
 
- Pressão de contato na chapa de nó: 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
1,2. 𝑙𝑓 . 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
2,4. 𝑑𝑏. 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
Lf deve ser o menor valor entre: 
100 – 23,5 = 76,5 mm 
40 – 11,75 = 28,25 mm – Logo, esse será o valor de lf a ser considerado. 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
1,2. 𝑙𝑓. 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
=
1,2.2,825.0,95.50
1,35
= 119,5𝑘𝑁 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
2,4.2,0.0,95.50
1,35
= 168,9 𝑘𝑁 
Logo, Fc,Rd = 119,5 kN. 
Então: Fc,Sd = 200 / 2 = 100 kN (duas cantoneiras dividindo a força na chapa) 
Fc,Sd = 100 kN < Fc,Rd = 119,5 kN → Atende 
 
- Pressão de contato na cantoneira: 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
1,2. 𝑙𝑓 . 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
2,4. 𝑑𝑏. 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
111 
 
 
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Lf deve ser o menor valor entre: 
100 – 23,5 = 76,5 mm 
40 – 11,75 = 28,25 mm – Logo, esse será o valor de lf a ser considerado. 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
1,2. 𝑙𝑓. 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
=
1,2.2,825.0,635.40
1,35
= 63,9𝑘𝑁 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
2,4.2,0.0,635.40
1,35
= 90,31 𝑘𝑁 
Logo, Fc,Rd = 63,9 kN. 
Então: Fc,Sd = 200 / (2 x 2) = 50 kN (duas cantoneiras dividindo a força na chapa e corte duplo) 
Fc,Sd = 50 kN < Fc,Rd = 63,9 kN → Atende 
 
- Colapso por rasgamento da cantoneira: 
 
Agv = (10 + 4) x 0,635 = 8,89 cm² 
Anv = 8,89 – 1,5 x 2,35 x 0,635 = 6,65 cm² 
Ant = 3 x 0,635 – 0,5 x 2,35 x 0,635 = 1,16 cm² 
𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 6,65 × 40 + 1,0 × 1,16 × 40
1,35
= 152,6 𝑘𝑁 
𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 8,89 × 25 + 1,0 × 1,16 × 40
1,35
= 133,1 𝑘𝑁 
Fr,Rd = 133,1 kN 
Fr,Sd = 100 kN < Fc,Rd = 133,1 kN → Atende 
- Colapso por rasgamento da chapa de nó: 
 
112 
 
 
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Agv = (10 + 4) x 0,95 = 13,3 cm² 
Anv = 13,3 – 1,5 x 2,35 x 0,95 = 9,95 cm² 
Ant = [3 + 2 + (10 + 4)tg 30° – 0,5 x 2,35] x 0,95 = 11,31 cm² 
𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 9,95 × 50 + 1,0 × 11,31 × 50
1,35
= 430,6 𝑘𝑁 
𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 13,3 × 35 + 1,0 × 11,31 × 35
1,35
= 416,3 𝑘𝑁 
Fr,Sd = 200 kN < Fc,Rd = 416,3 kN → Atende 
 
- Tração na chapa de nó: 
𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
𝐴𝑔. 𝐹𝑦
𝛾𝑎1
 
Seção de Whitmore: 
Ag = 11,55 x 0,95 = 10,97 cm² 
𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
10,97 𝑥 35
1,10
= 349,0 𝑘𝑁 
Nt,Sd = 200 kN < Nt,Rd = 349,0 kN → Atende 
 
- Compressão na chapa de nó: 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
𝜒𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝛾𝑎1
 
λ0 = √
𝑄. 𝐴𝑔𝑓𝑦
𝑁𝑒
 
Ag = 0,95 x 11,55 = 10,97 cm² (área definida pela seção de Whitmore) 
𝑁𝑒 =
𝜋2𝐸𝐼
(𝐾𝐿)²
 
I = (11,55 x 0,95³) / 2 = 0,83 cm
4
 
L é a maior distância entre a seção de Whitmore a solda 
𝑁𝑒 =
𝜋2𝐸𝐼
(𝐾𝐿)²
=
𝜋2. 20000.0,83
(10,2)²
= 1573,2 𝑘𝑁 
Q = 1,0 – não há flambagem local 
113 
 
 
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λ0 = √
𝑄. 𝐴𝑔𝑓𝑦
𝑁𝑒
= √
1,00.10,97.35
1573,2
= 0,49 
λ0 ≤ 1,5: 
𝜒 = 0,658λ0
2
= 0,6580,49
2
= 0,90 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
0,90 𝑥 1,0 𝑥 10,97 𝑥 36
1,10
= 314,14 𝑘𝑁 
Nc,Sd = 200 kN < Nc,Rd = 314,14 kN → Atende 
 
- Solda na chapa de nó: 
Será considerado que apenas os files próximos das diagonais absorvem as forças, de modo a evitar a 
análise da distribuição de tensões entre todos os filetes, que seria complexa neste caso. Também, a 
excentricidade não será considerada. 
𝜏𝑤,𝑆𝑑 = √𝜏𝑤,𝑥,𝑆𝑑
2 + 𝜏𝑤,𝑦,𝑆𝑑
2 
τw,x,Sd = 0 
𝜏𝑤,𝑆𝑑 =
𝐹𝑦,𝑆𝑑
𝐴𝑒𝑤
+ (
𝑀𝑧,𝑆𝑑 . 𝑥
𝐼𝑧
) 
aw = 0,7 x 0,4 = 0,28 cm 
Aew = Σ lw . aw = 2 x 41,6 x 0,28 = 23,30 cm² 
Fx,Sd = 0 
Fy,Sd = 200 kN 
Mz,Sd = 0 
𝜏𝑤,𝑆𝑑 =
200
23,30
+ 0 = 8,58 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜏𝑤,𝑆𝑑 = √0² + 8,58² = 8,58 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜏𝑤,𝑅𝑑 =
0,6. 𝑓𝑤
𝛾𝑎2
=
0,6.48,5
1,35
= 21,56 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
τw,Sd = 8,58 kN < τw,Rd = 21,56 kN → Atende 
 
 
 
114 
 
 
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17) Verifique a ligação do exercício 16, supondo agora que as cantoneiras estão soldadas à 
chapa de aço, utilizando-se eletrodo E70. 
 
- Disposições construtivas: 
As disposições construtivas relativas aos furos e ao comprimento da ligação não são aplicáveis, prevalecendo a 
necessidade de se atender às disposições relacionadas às soldas que permanecem inalteradas e, adicionalmente, nessa 
ligação será verificado o comprimento efetivo da solda 
- Colapso por rasgamento da chapa de nó: 
valor de FRd depende do perímetro de rasgamento da chapa de nó, que define as áreas Anv, Ant e Agv e o coeficiente Cts. 
No caso, esses perímetros podem ser dois, conforme mostra a figura a seguir: 
 
(a) Perímetro 1: 
Anv = Agv = 18 x 0,95 = 17,1 cm² 
Ant = (7,62 + 2 + 18 x tg 30°).0,95 = 19,01 cm² 
Cts = 0,5 
115 
 
 
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𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 17,1 × 50 + 0,5 × 19,01 × 50
1,35
= 732 𝑘𝑁 
𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 17,1 × 35 + 1,0 × 19,01 × 35
1,35
= 618 𝑘𝑁 
Fr,Sd = 200 kN < Fc,Rd = 618 kN → Atende 
 
(b) Perímetro 2: 
Anv = Agv = 2 x 18 x 0,95 = 34,2 cm² 
Ant = 7,62 x 0,95 = 7,24 cm² 
Cts = 1,0 
𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 34,2 × 50 + 1,0 × 7,24 × 50
1,35
= 1.028 𝑘𝑁 
𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 34,2 × 35 + 1,0 × 7,24 × 35
1,35
= 800,1 𝑘𝑁 
Fr,Sd = 200 kN < Fc,Rd = 800,1 kN → Atende 
 
- Tração na chapa de nó: 
A tração na chapa de nó, similar ao exercício anterior, não precisa ser novamente verificada, pois, 
apesar de a força solicitante de cálculo ser ligeiramente superior ao valor anterior, a seção de 
Whitmore é muito superior nessa ligação, Ag = 28,4 × 0,95 = 26,98 cm². 
 
- Compressão na chapa de nó: 
A compressão na chapa de nó, similar ao exercício anterior, deve ser novamente verificada, pois, 
apesar de a seção de Whitmore ser superior, o comprimento de flambagem aumentou nessa ligação, 
o que pode diminuir a capacidade resistente. 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
𝜒𝑄𝐴𝑔𝑓𝑦
𝛾𝑎1
 λ0 = √
𝑄.𝐴𝑔𝑓𝑦
𝑁𝑒
 
Ag = 0,95 x 28,4 = 26,98 cm² (área definida pela seção de Whitmore) 
𝑁𝑒 =
𝜋2𝐸𝐼
(𝐾𝐿)²
 
I = (28,4 x 0,95³) / 2 = 2,03 cm
4
 
L é a maior distância entre a seção de Whitmore a solda 
𝑁𝑒 =
𝜋2𝐸𝐼
(𝐾𝐿)²
=
𝜋2. 20000.2,03
(11,6)²
= 2.974,9 𝑘𝑁 
116 
 
 
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Q = 1,0 – não há flambagem local 
λ0 = √
𝑄. 𝐴𝑔𝑓𝑦
𝑁𝑒
= √
1,00.26,98.35
2974,9
= 0,563 
λ0 ≤ 1,5: 
𝜒 = 0,658λ0
2
= 0,6580,563
2
= 0,88 
𝑁𝑐,𝑅𝑑 =
0,88 𝑥 1,0 𝑥 26,98 𝑥 35
1,10
= 755,44 𝑘𝑁 
Nc,Sd = 200 kN < Nc,Rd = 755,44 kN → Atende 
 
- Solda das diagonais com a chapa de nó: 
𝜏𝑤,𝑆𝑑 = √𝜏𝑤,𝑥,𝑆𝑑
2 + 𝜏𝑤,𝑦,𝑆𝑑
2 
τw,x,Sd = 0 
𝜏𝑤,𝑆𝑑 =
𝐹𝑦,𝑆𝑑
𝐴𝑒𝑤
+ (
𝑀𝑧,𝑆𝑑 . 𝑥
𝐼𝑧
) 
aw = 0,7 x 0,4 = 0,28 cm 
Aew = Σ lw . aw = 0,28. (2 x 18 + 7,62) = 12,21 cm² 
Fx,Sd = 0 
Fy,Sd = 200 / 2 = 100 kN (em cada cantoneira que forma o duplo L) 
Mz,Sd = 0 
𝜏𝑤,𝑆𝑑 =
100
12,21
+ 0 = 8,19𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜏𝑤,𝑆𝑑 = √𝜏𝑤,𝑥,𝑆𝑑2 + 𝜏𝑤,𝑦,𝑆𝑑
2 = √0² + 8,19² = 8,19 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜏𝑤,𝑅𝑑 =
0,6. 𝑓𝑤
𝛾𝑎2
=
0,6.48,5
1,35
= 21,56 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
τw,Sd = 8,58 kN < τw,Rd = 21,56 kN → Atende 
 
 
 
 
 
 
117 
 
 
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18) Dimensionar uma placa de base, tomada como rotulada, com as seguintes combinações de 
esforços (W310 x 32,7 – Aço MR250) 
Comb1: N = -42,8 kN (Compressão) H = 13,67 kN 
Comb2: N = 27,7 kN (Tração) H = 2,5 kN 
 
 
De acordo com o AISC, o diâmetro mínimo dos chumbadores deve ser 19 mm (3/4”). Assim, 
utilizando-se de chumbadores com diâmetro de 19 mm e aço ASTM A36, os chumbadores devem ser 
verificados para resistir aos esforços de arrancamento da coluna, conforme o que se segue: 
- Área necessária ao cisalhamento: 
Considerando fu = 40 kN/cm² e cisalhamento apenas, o diâmetro do chumbador é (usando Hc = 13,7 
kN e dois chumbadores, nc = 2) 
2.
𝜋. 𝑑²
4
=
𝐻𝑢
0,3. 𝑓𝑢
= 2.
𝜋. 𝑑²
4
=
13,7
0,3.40
→ 𝑑 = 0,85 𝑐𝑚 
Logo, utilizar o mínimo prescrito: 1,9 cm ou 19 mm. 
- Área necessária à tração: 
𝐴𝑛𝑡 =
𝑇𝑢
0,56. 𝑓𝑢
→ 2.
𝜋. 𝑑²
4
=
27,7
0,56.40
→ 𝑑 = 0,89 𝑐𝑚 
Logo, utilizar o mínimo prescrito: 1,9 cm ou 19 mm. 
- Comprimento de ancoragem: 
𝑇𝑢 = 0,56. 𝑓𝑢. 𝐴𝑐ℎ𝑢 = 0,56.40.
𝜋. 1,9²
4
= 63,5 𝑘𝑁 
𝐿𝑏 =
𝑇𝑢
1,4. 𝑓𝑐𝑘. 𝑑𝑐
=
63,5
1,4.2.1,9
= 12 𝑐𝑚 
- Comprimento total do chumbador: 
Lc = 12 . dc = 12 x 1,9 = 22,8 cm = 23 cm 
Sendo o comprimento total do chumbador: L = Lc + Lh 
L = 23 + 12 = 35 cm 
118 
 
 
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Distância mínima entre chumbadores: 
5 x 19 ≥ 100 mm → 95 mm ≥ 100 mm (Não atende!) 
Logo, utilizar a distância entre os chumbadores, o mínimo de 100 mm. 
 
- Verificação do chumbador à tração: 
Resistência à tração pela ruptura da seção na rosca: 
𝑁𝑡,𝑅𝑑 =
0,75. 𝐴𝑔. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
=
0,75.2,83.40
1,35
= 63 𝑘𝑁 
Como Nt,Sd = 27,7 / 2 = 13,85 kN < Nt,Rd = 63 kN, então atende! 
 
- Cálculo da placa de base: 
Cálculo da área: 
𝐴1 =
𝑁𝑢
0,7. 𝑓𝑐𝑘
=
42,8
0,7.2
= 30,6 𝑐𝑚2 
𝐶 = √𝐴 + ∆ 
Δ = 0,5(0,95.d – 0,8.bf) = 0,5(0,95.31,3 – 0,8.10,2) = 10,78 cm 
𝐶 = √30,6 + 10,78 = 16,31 𝑐𝑚 
B = 30,6 / 16,31 = 2,83 cm 
Como as dimensões não chegam próximos aos valores do perfil e que as dimensões da base devem 
ser maiores que o perfil, será adotado – B = 15 cm e C = 35 cm. 
𝑚 =
𝐶 − 0,95𝑑
2
=
35 − 0,95.31,3
2
= 2,63 𝑐𝑚 
𝑛 =
𝐵 − 0,8𝑏𝑓
2
=
15 − 0,8.10,2
2
= 3,42 𝑐𝑚 
𝑛´ = 
√𝑑. 𝑏𝑓
4
=
√31,3.10,2
4
= 4,47 𝑐𝑚 
- Cálculo da espessura da placa de base: 
Fcu = Nu / A1 = 42,8 / 525 = 0,08 
No caso deste problema, fy = 25 kN/cm². Então: 
𝑡 = 0,30. 𝑙. √𝑓𝑐𝑢 = 0,30.4,47. √0,08 = 0,38 𝑐𝑚 𝑜𝑢 3,8 𝑚𝑚 
Como o mínimo recomendado é 12 mm, essa será a dimensão usada. 
 
119 
 
 
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6. COMPORTAMENTO DE LIGAÇÕES EM ESTRUTURAS DE AÇO 
 Para que o projeto de uma estrutura de aço seja considerado econômico e seguro, é essencial 
que as ligações entre os membros dessa estrutura recebam atenção e tratamento apropriados. A 
modelagem de uma ligação é muito complexa, devido ao grande número de parâmetros envolvidos. 
Por outro lado, o uso de recursos experimentais se apresenta como uma ferramenta fundamental para 
uma adequada avaliação do comportamento estrutural de uma ligação. 
 O uso de métodos numéricos como, por exemplo, o método dos Elementos Finitos (MEF), 
utilizado para modelar determinados tipos de ligações, parece ser mais racional e econômico, desde 
que devidamente calibrado com resultados experimentais. 
 Observa-se, de um modo geral, que a curva momento versus rotação para ligações 
parafusadas é função de alguns fatores, como: 
1 – Tipo e tamanho dos parafusos; 
2 – Distância dos parafusos à face da coluna; 
3 – Espessura das cantoneiras e placas de ligação; 
4 – Altura da viga e da ligação; 
5 – Presença ou não de enrijecedores nas colunas; 
6 – Se a ligação ocorre na mesa ou na alma da coluna; 
7 – Se a ligação ocorre na mesa ou na alma da viga; 
8 – Espessura da mesa ou alma da coluna; 
9 – Propriedades mecânicas da viga, coluna e dos componentes adicionais da ligação. 
 O projeto de ligações basicamente envolve duas diferentes estratégias que podem ser 
identificadas para minimizar seus custos: 
 Simplificação do detalhe da ligação, reduzindo-se os custos de fabricação; 
 Redução das dimensões dos elementos estruturais diminuindo os custos de material. 
Dependendo da ligação e das restrições inerentes aos projetos estruturais e de fabricação, 
utiliza-se preferencialmente a primeira estratégia, ou então a segunda, ou ambas as estratégias 
citados. Um tipo de classificação de ligações frequenetemente empregado por engenheiros estruturais 
está relacionado às forças atuantes nos elementos de ligação. Dessa forma, indentificam-se ligações 
com cisalhamento centrado e excêntrico, tração e combinação entre cisalhamento e tração. 
 O tipo mais comum de ligação a cisalhamento centrado ocorre na emenda de uma placa plana 
através da utilização de chapas de cobrejunta, como mostrado na Figura 6.1 e vista no capítulo 5 
desta nota de aula. 
 
Figura 6.1 – Ligação sujeita a cisalhamento centrado 
 Nessa ligação, a simetria em relação aos planos de cisalhamento (dois planos de corte) evita a 
flexão da placa e a torna bastante eficiente. Por outro lado, se a emenda for executada simplesmente 
120 
 
 
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por uma justaposição das placas, conforme a Figura 6.2, os parafusos estarão sujeitos ao corte 
simples, mas a excentricidade da carga axial gerará uma flexão secundária na placa que surge devido 
à tendência das mesmas de alinhamento axial. Normalmente, esse tipo de detalhe só é utilizado em 
ligações de menor importância ou de montagem. 
 
Figura 6.2 – Flexão secundária em ligações sujeitas ao cisalhamento 
 Quando a linha de ação da força cortante não se encontra no centro da ligação, ocorre o 
surgimento de esforços de flexão nos parafusos. É o chamado cisalhamento excêntrico, que ocorre 
em emendas de perfis, consolos curtos e algumas ligações viga/coluna de pórticos de edifícios. 
 Ligações com parafusos de alta resistência submetidos à tração direta não são um caso muito 
frequente, como a ligação de montantes de treliças. Já as ligações sujeitas a cisalhamento e tração 
combinadas são muito comuns em edifícios como: ligações de diagonais empregadas em 
contraventamento lateral (visto no capítulo 5) e em ligações viga/coluna com placa de extremidade, 
como na Figura 6.3 
 
Figura 6.3 – Ligação com placa de extremidade 
 
6.1. Filosofia do projeto de ligações 
 O método das trajetórias de forças é baseado em uma análise simplificada, na qual os esforços 
atuantes são substituídos por um sistema de força equivalentes que podem ser atribuídos a trajetórias 
específicas na ligação. Nesse processo de dimensionamento deve-se levar em conta a complexidade e 
a variabilidade do comportamento dos elementos estruturais envolvidos. As quatro fases que 
compõem o método são descritas a seguir. 
121 
 
 
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a) Determinação da distribuição de forças atuantes na ligação: 
 Nesta fase, estabelece-se o caminho por onde os esforços de flexão, cisalhamento e axial 
seguem de um elemento estrutural (viga,coluna etc) para o outro. As excentricidades desses esforços 
são consideradas, gerando binários que atuarão nas mesas, nas almas dos perfis e nos conectores 
(soldas e parafusos) de acordo com a configuração da ligação. 
 Deve-se assegurar, acima de tudo, que a análise seja consistente durante todo o processo. A 
flexibilidade dos componentes da ligação também deve ser assegurada, e sabe-se que, na grande 
maioria dos casos, os elementos mais flexíveis da ligação é que governam o seu dimensionamento 
b) Dimensionamento de cada componente presente na trajetória de forças: 
 É necessário que se garanta que cada elemento incluído na trajetória do sistema de forças 
equivalentes tenha resistência suficiente ao esforço solicitado. Numa ligação viga/coluna, por 
exemplo, há que se verificar individualmente a capacidade de cada componente da ligação, desde as 
mesas e a alma da viga, passando pelos elementos conectores (soldas, parafusos e placas) até que se 
alcance a coluna, que também deve ser verificada localmente. 
c) Garantia do comportamento dúctil dos componentes determinados anteriormente: 
 As fases descritas nos itens anteriores garantem que uma ligação possui resistência adequada. 
Esta fase do projeto visa garantir que as condições anteriores serão satisfeitas antes que haja a ruína 
da ligação ou flambagem de um de seus componentes. Um modelo simplificado pode ser adotado, 
desde que se garanta a ductilidade dos elementos. Esse fato torna viável a hipótese das duas posições 
de linha neutra, uma para a solda e outra para o conjunto de parafusos. (Figura 6.4) 
 
Figura 6.4 – Análise de ligação de forma simplificada 
 De forma geral, devido ao ajuste das peças de uma ligação após o início do seu carregamento, 
ou em função de simplificações no modelo adotado, é necessário assegurar que estas possuam 
suficiente ductilidade, evitando um colapso prematuro. Isso implica que uma redistribuição das 
forças se faz necessária, até que se atinja a configuração adotada no dimensionamento. Isso se 
esclarece melhor a partir da ligação mostrada na Figura 6.5, que quando dimensionada como 
flexível, deve permitir uma rotação na extremidade da viga, produzindo assim, deformações nas 
cantoneiras, mesa da coluna e alma da viga entre outros, que devem acomodar e redistribuir esses 
esforços. Esse fato está diretamente ligado à capacidade necessária de rotação de uma ligação, que 
será descrita nesta nota de aula. 
122 
 
 
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Figura 6.5 – Comportamento estrutural de uma ligação flexível 
d) Garantia de aceitação em todos os estados limites: 
 Considerando que o critério de dimensionamento da fase (b) só atende aos estados limites 
últimos, ainda é necessário verificar se a ligação não ultrapassa nenhum estado limite de utilização. 
6.2. Ligações das vigas com as colunas 
 No passado, os pórticos eram modelados como uma simples montagem de vigas e colunas de 
comportamento independentes conectados por ligações. Para que o projeto se tornasse simples, já 
que as ferramentas e métodos de análise computacional eram escassos e dispendiosos, as ligações 
eram consideradas totalmente rígidas ou totalmente flexíveis. 
 A utilização de ligações flexíveis refere-se ao modelo no qual os carregamentos são 
suportados pelas vigas, e as colunas são membros trabalhando a compressão. A estabilidade lateral é 
assegurada pelos contraventamentos. Já em pórticos deslocáveis se torna necessário o uso de ligações 
rígidas, para a garantia da estabilidade global da estrutura. Esse método representam dois casos 
extremos reais, em que se permite ou não a transmissão de momentos das vigas para as colunas 
(viga-coluna). 
 No dimensionamento de pórticos indeslocáveis, é comum a utilização de ligações flexíveis 
viga/coluna. Conclui-se, nesse caso, que não há rigidez suficiente nestas para a transmissão de 
momento das vigas para as colunas. Se as ligações são projetadas para resistir ao esforço cortante e, 
eventualmente, esforço normal, é coerente se afirmar que, devido à rigidez de seus componentes, a 
ligação oferece certa resistência à rotação e, consequentemente, o momento fletor é transmitido entre 
os elementos do pórtico. Dessa forma, deixa de se aproveitar no seu dimensionamento características 
reais apresentadas pelo comportamento das ligações que poderiam levar a um menor custo das 
mesmas. Além disso, a transmissão de momentos da viga para a coluna que não é considerada em 
seu dimensionamento pode vir a comprometer a segurança estrutural. 
 Por outro lado, no caso de estruturas deslocáveis com ligações rígidas, o dimensionamento é 
feito considerando-se a transmissão total dos esforços de flexão das vigas para as colunas. Se, por 
falhas na fabricação e montagem, essas ligações permitirem algum tipo de rotação e não se transmitir 
todo o esforço de flexão, o momento positivo na viga será ampliado e pode levar ao seu colapso. A 
isso se soma a desvantagem do alto custo de fabricação e montagem, devido à complexidade do seu 
detalhamento. Dessa forma, não se consegue manter o custo da estrutura em um nível aceitável e 
competitivo. 
123 
 
 
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 A resposta do sistema estrutural às ações é, em geral, influenciada pelas propriedades 
estruturais dos elementos que a constituem, tais como vigas, colunas e as ligações. As propriedades 
mais relevantes são resistência, rigidez e capacidade de deformação. Para uma viga submetida à 
flexão simples, esses parâmetros podem ser estimados através do diagrama momento versus rotação. 
Então, da mesma forma que vigas e colunas, as propriedades das ligações são representadas por este 
diagrama, conforme Figura 6.6. Nota-se que para a maioria das ligações, as deformações axiais e de 
cisalhamento são pequenas quando comparadas com a deformação rotacional, sendo esta deformação 
função da ação do momento fletor na ligação. Com base na ação de um momento fletor M, aplicado 
na região da ligação, ela gira de um ângulo φ, que nada mais é do que a rotação relativa entre seus 
membros, viga e coluna, conforme mostra a Figura 6.7 
 
 
Figura 6.7 – Curvas momento x rotação para ligações entre vigas e colunas. 
 Apresenta-se, na Figura 6.8, uma proposta para um melhor entendimento do significado da 
rotação relativa das ligações para um projeto elástico. Nota-se também nessa figura que a ligação de 
cantoneira de única alma representa uma ligação muito flexível e, opostamente a esse 
comportamento, a ligação com “T-SUB” representa uma ligação rígida. As demais ligações têm 
características semirrígidas. 
 O comportamento da curva momento versus rotação de ligações entre vigas e colunas exibe 
um comportamento não linear, como mostra a Figura 6.8. O comportamento da maior das ligações 
estruturais entre vigas e colunas se situa entre os dois casos extremos de ligações totalmente rígidas e 
idealmente rotuladas, caracterizando ligações do tipo semirrígidas, presentes em uma variedade de 
tipos de ligações comumente usadas, conforme Figura 6.9. 
124 
 
 
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Figura 6.8 – Tipos de ligações segundo a rotação relativa 
 Se, por um lado, as ligações representam uma parcela pouco significativa sobre o peso total 
da estrutura, elas possuem preços de fabricação e montagem excessivamente altos. Essa filosofia 
conduz a soluções que levam em conta a economia apresentada pelo uso de ligações semirrígidas. 
Uma das razões para essa economia vem do fato de que as ligações rígidas aparafusadas são caras e 
difíceis de ser montadasquando comparadas com a solução semirrígida. Por outro lado, as ligações 
flexíveis desprezam uma parcela significativa de resistência, que podem ser consideradas de forma a 
minimizar o custo global da estrutura. 
 A consideração do comportamento semirrígido permite a otimização da redistribuição dos 
esforços de flexão, fornecendo valores menores que os de engastamento perfeito nas ligações viga-
coluna. Além disso, os sistemas semirrígidos têm melhor desempenho sob ações sísmicas, 
absorvendo melhor a energia dessas solicitações. 
 
Figura 6.9 – Curvas momento versus rotação de ligações mais utilizadas 
125 
 
 
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Figura 6.10 – Ligações mais utilizadas 
 
6.3. Sistemas de classificação de ligações viga / coluna 
 Os modos de comportamento de ligação em pórticos podem ser diferenciados de acordo com 
a magnitude dos esforços transmitidos na ligação viga versus coluna. Como critério de classificação 
poderia se definir ligações rígidas como aquelas, cujo momento transmitido da viga para a coluna é 
igual ao momento de engastamento perfeito, e as ligações flexíveis como sendo aquelas que não 
transmitem nenhum momento fletor. Esse modelo não representa exatamente o que ocorre na vida 
real. Por um lado, sempre existe alguma parcela de momento transmitido em ligações ditas flexíveis 
e, por outro, a transferência em ligações consideradas rígidas não é completa. Costuma-se dizer que, 
quando as ligações transmitem mais que 90% do momento de engastamento perfeito da viga para a 
coluna, são denominadas rígidas, e quando a absorção for inferior a 20% desse momento, são 
denominadas flexíveis. A Figura 6.11 fornece uma comparação entre curvas momento versus rotação 
de ligações. 
127 
 
 
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Figura 6.11 – Comparação entre curvas momento versus rotação de ligações 
6.4. Ligações viga coluna semirrígidas 
 Uma análise de estabilidade de pórticos com ligações semirrígidas requer uma modelagem 
adequada e precisa desta ligação. A curva momento versus rotação dessas ligações apresentam um 
comportamento não linear que pode ser avaliado através do Método dos Estados Limites. Na 
avaliação desses pórticos, a flexibilidade da ligação e os efeitos de segunda ordem estão 
intrinsecamente relacionados. 
 Os trabalhos experimentais já realizados permitiram a observação da natureza não linear, ao 
longo da faixa de carregamento, da resposta das curvas momento x rotação e a caracterização do 
comportamento semirrígido das ligações executadas em estruturas metálicas. Essa característica 
marcante faz com que a concepção de modelos semirrígidos para ligações de estruturas de aço esteja 
intrinsecamente ligada à modelagem de curvas momento x rotação, e isso seja feito em conjunto com 
resultados de análises experimentais. 
 O comportamento não linear de uma curva momento x rotação está associado a três 
propriedades da ligação: a rigidez inicial, a sua capacidade de rotação (através da ductilidade do 
conjunto) e sua capacidade resistente. Essas três propriedades variam conforme o tipo de detalhe 
construtivo da ligação e, consequentemente, os modelos matemáticos de curvas momento x rotação 
têm de refletir essas características. A curva momento x rotação deve caracterizar a perda gradativa 
de rigidez da ligação à medida que o carregamento é incrementado até alcançar um valor de 
momento resistente inicialmente avaliado. A estimativa da rigidez inicial do conjunto é ainda um 
ponto muito discutido, já havendo uma proposta normativa do Eurocode 3, que trata os elementos 
que compõem a ligação como um conjunto de molas. 
 
 
 
 
 
 
128 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
18) Dimensione a ligação flexível viga x coluna com cantoneira dupla de alma aparafusada, 
conforme mostrada na figura abaixo, para suportar um esforço cortante de projeto de 700 kN; 
Utilizar aço ASTM A36 e parafusos ASTM A325. 
 
 
- Pré-dimensionamento: 
Como a espessura da alma da viga é igual a 22,4 mm, adota-se um par de cantoneiras com abas 
iguais a 9,5 mm de espessura. A partir dessa escolha, determina-se o diâmetro do parafuso através de 
uma fórmula empírica dada por: 
𝑑 = √50𝑡𝑚𝑖𝑛 − 2 
𝑑 = √50 𝑥 9,5 − 2 = 19,8 𝑚𝑚 
Onde tmin é a espessura da chapa mais fina da ligação em milímetros. Adota-se um diâmetro igual a 
19 mm, de alta resistência A325. 
- Resistência ao corte dos parafusos: 
𝐹𝑣,𝑅𝑑 =
𝛼𝑏𝐴𝑏𝑓𝑢𝑏
𝛾𝑎2
 
Ab = 2,83 cm² 
𝐹𝑣,𝑅𝑑 =
0,5.2,83.82,5
1,35
= 86,47𝑘𝑁 
Como a ligação encontra-se em corte duplo, pode-se multiplicar a resistência do parafuso por dois: 
Fv,Rd = 86,47 x 2 = 172,94 kN 
 
- Pressão de contato na cantoneira: 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
1,2. 𝑙𝑓 . 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
129 
 
 
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𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
2,4. 𝑑𝑏. 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
 
Lf é admitido, a título de pré-dimensionamento como 75 mm: 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
1,2. 𝑙𝑓. 𝑡. 𝑓𝑢
𝛾𝑎2
=
1,2.7,5.0,95.40
1,35
= 235,9𝑘𝑁 
𝐹𝑐,𝑅𝑑 ≤
2,4.1,9.0,95.40
1,35
= 128,35 𝑘𝑁 
O valor da resistência à pressão de contato é Fc,Rd = 128,35 x 2 = 256,7 kN 
- A partir desse valor pode-se dizer que a resistência ao corte dos parafusos controla o 
dimensionamento, por ser inferior à resistência ao esmagamento. O número de parafusos necessários 
para resistir a um esforço cortante de 700 kN é igual a: 
N = 800 / 172,94 = 4,04 → são adotados 5 parafusos 
- Espaçamento entre os parafusos: 
e > 3d = 3 x 19 = 57 mm → 75 mm > 57 mm (Ok, Atende!) 
 
- Distância mínima do furo à borda: 
1,25db = 1,25 x 19 = 23,75 mm → Será adotado 40 mm 
 
- Colapso por rasgamento: 
 
Agv = (4 x 7,5 + 4) x 0,95 = 32,3 cm² 
Anv = 32,3 – 4 x 1,9 x 0,95 = 25,08 cm² 
Ant = 4 x 0,95 – 0,5 x 1,9 x 0,95 = 2,9 cm² 
𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 25,08 × 40 + 1,0 × 2,9 × 40
1,35
= 531,8 𝑘𝑁 
𝐹𝑟,𝑅𝑑 =
0,6 × 32,3 × 25 + 1,0 × 1,16 × 40
1,35
= 393,25 𝑘𝑁 
Como a cantoneira fica nos dois lados Fr,Sd = 700 / 2 = 350 kN < Fr,Rd = 393,25 kN (Atende!) 
 
130 
 
 
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- Detalhamento final: 
 
19) Dimensione a ligação flexível viga x coluna com cantoneira dupla de alma soldada 
mostrada na figura abaixo, para um esforço cortante de projeto de 450 kN. Aço ASTM A572 
Gr. 50 e eletrodo E70. A cantoneira utilizada é 2L 102 x 102 x 9,5 – A mesma do exercício 
anterior. 
 
Essa ligação possui apenas uma trajetória força relativa ao esforço cortante. A principal verificação 
dessa trajetória é relativa à solda e compreende a avaliação da resistência do metal da solda e do 
metal base. 
- Resistência do grupo soldado 
Admitindo uma folga de 10 mm entre a viga e a coluna, pode-se avaliar a largura do cordão de solda 
b, através de: 
b = 102 – 10 = 92 mm 
O centroide pode ser avaliado por: 
𝑥0 =
𝑏2
2𝑏 + 𝑑
=
922
2.92 + 380
= 15 𝑚𝑚 
A excentricidade é dada por: 
131 
 
 
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e = 102 – x0 = 102 – 15 = 87 mm 
O momento polar de inércia da solda, admitindo uma garganta unitária (tw = 1) vale: 
𝐼𝑝 =
8𝑏3 + 6𝑏𝑑 + 𝑏³
12
−
𝑏4
2𝑏 + 𝑑
=
8. 923 + 6.92.380 + 3803
12
−
924
2.92+ 380
= 4,98𝑥106 𝑚𝑚4 
O comprimento total do cordão de solda vale: 
lw = 2 x 92 + 380 = 564 mm 
- Tensões de cisalhamento no grupo: 
𝜏𝑤,𝑥,𝑆𝑑 =
𝐹𝑥,𝑆𝑑
𝐴𝑒𝑤
+ (
𝑀𝑧,𝑆𝑑 . 𝑦
𝐼𝑧
) 
𝜏𝑤,𝑦,𝑆𝑑 =
𝐹𝑦,𝑆𝑑
𝐴𝑒𝑤
+ (
𝑀𝑧,𝑆𝑑 . 𝑥
𝐼𝑧
) 
Mz,Sd = 450 x (10,2 – 1,5) = 3915 kN.cm 
𝜏𝑤,𝑥,𝑆𝑑 =
0
564
+ (
3915. (
38
2 )
498
) = 149,4 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝜏𝑤,𝑦,𝑆𝑑 =
450
56,4
+ (
3915. (9,2 − 1,5
498
) = 68,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
Logo, a resultante de tensões atuantes vale: 
𝜏𝑟 = √149,42 + 68,5² = 164,3 𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
 
A determinação da resistência da solda para uma garganta unitária vale: 
Aw = 1 mm; 
𝑉𝑅𝑑 =
0,60. 𝐴𝑒𝑤. 𝑓𝑤
𝛾𝑎2
=
0,6.1,0.0,485
1,35
= 0,22 𝑘𝑁/𝑚𝑚 
Considerando que foram consideradas duas cantoneiras, a garganta da solda necessária é 
determinada através: 
𝑡𝑤 =
𝜏𝑟
2. 𝑉𝑟𝑑
=
1,643
2.0,22
= 3,73 𝑚𝑚 
A dimensão da solda valerá: 
Tw = 0,7 x b → b = 3,73 / 0,7 = 5,32 mm 
Como a espessura da cantoneira é igual a 9,5 mm e a chapa mais grossa é igual a 22,4 mm, o valor 
mínimo é 5 mm. Com isso, utilizam-se dois cordões com 6 mm de perna.