Estruturas Metálicas

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Estruturas Metálicas
Profa. Ma. Luana Bernardete Dariva
1ª Edição
Gestão da Educação a Distância
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Autoria
Currículo Lattes:
Possui mestrado em Engenharia de Transportes pelo programa de pós-graduação do Instituto 
Militar de Engenharia - IME, com ênfase em comportamento e propriedades dos solos, gradu-
ada em Engenharia Civil pela Universidade do Sul de Santa Catarina - UNISUL, em 2013. Tenho 
experiência na área de construção civil, com ênfase em desenvolvimento de projetos e orça-
mentos. Como interesse profissional, pretendo atuar nas áreas de Geotecnia e Pavimentação, 
e como docente atuar nas disciplinas de Mecânica dos Solos, Obras de Terra, Engenharia de 
Transportes, Estradas e Pavimentação. 
Profa. Ma.
Luana Bernardete Dariva
http://lattes.cnpq.br/8223852451533522
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Unis EaD
Cidade Universitária – Bloco C
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Bairro Aeroporto. Varginha /MG 
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DARIVA, Luana Bernardete. Estruturas Metálicas. Varginha: GEaD-
-UNIS/MG, 2020.
260 p.
1. Projeto. 2. Estruturas. 3. Aço. 4. Edifícios. 5. Galpões. 6. Industriais.
 Caro (a) aluno (a),
 O Engenheiro Civil é grande protagonista na história de desenvolvimento de um país, 
pois é ele quem cria a infraestrutura necessária para a implantação de empreendimentos dos 
mais diversos vultos e finalidades. 
 Em seu trabalho, o Engenheiro Civil projeta e executa todas as etapas de obras civis. E, 
para tanto, ele estuda um grande conjunto de áreas que são apresentadas em forma de disci-
plinas e compõem a grade curricular do curso de Engenharia Civil. 
 No contexto do desenvolvimento de projetos e execução de empreendimentos indus-
triais, comerciais e residenciais é que surge a necessidade dos conhecimentos apresentados na 
disciplina de Estruturas III. A disciplina de Estruturas III aborda o dimensionamento e concep-
ção de estruturas metálicas de aço carbono ou de liga. Para dimensionar um edifício residen-
cial ou comercial, bem como galpões industriais utilizando perfis metálicos é necessária uma 
sequência de verificações da peça.
 As verificações são baseadas nas resistências do aço (escoamento e ruptura) e nas di-
mensões dos componentes do perfil (espessura da alma e aba, altura e largura aba), para isso 
utilizamos os conhecimentos já adquiridos em outros componentes curriculares do curso de 
Engenharia Civil, como, por exemplo, Mecânica Geral e Resistência dos Materiais. 
 As estruturas concebidas em metal são consideradas leves devido à esbeltez das peças 
e a alta resistência do aço ao escoamento e a ruptura. Dessa forma, ao longo das verificações, 
analisamos cada componente à tração, à compressão, ao esforço cortante, ao momento fletor 
e tão importante quanto à forma que iremos conectar as peças metálicas para formar nossa 
estrutura, seja por meio de ligação parafusada ou soldada. Busca-se entender como a peça irá 
se comportar como uma estrutura rígida e qual elemento poderá apresentar uma instabilidade 
que possa levar ao colapso sem que a peça atinja o limite das resistências.
 A utilização de perfis metálicos, como componentes estruturais, nos permite conceber 
estruturas mais leves e resistentes, com execução em um menor tempo quando comparada 
com o concreto armado ou alvenaria estrutural. Com elementos mais leves há um alívio na 
pressão exercida pela fundação no solo (dissipação de pressões por bulbo de pressões), e a 
resistência permite o uso de seções de pilares esbeltos e vigas com menor altura e vãos livres 
maiores.
 Todas as verificações seguem as recomendações da ABNT NBR 8800/2008: Projeto de 
estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. 
 Bons estudos!
Prof. Luana Dariva
Ementa
Orientações
Palavras-chave
Considerações gerais sobre as estruturas de aço. Aços e perfis estruturais lamina-
dos e com chapa dobradas a frio. Ações, segurança, métodos de cálculo e normas. 
Dimensionamento de peças submetidas à tração, compressão e flexão simples, 
flexão composta normal e flexão composta oblíqua. Solicitações combinadas. Li-
gações e apoios.
Ver Plano de Estudos da disciplina, disponível no ambiente virtual.
Projeto. Estruturas. Aço. Edifícios. Galpões. Industriais.
Unidade I – Condições Gerais dos Aços Estruturais 16
1.1 - Fabricação de Aços Estruturais 16
1.1.1 - Considerações sobre a composição química. 17
1.1.2 - Tipos de aços estruturais. 19
1.2 - Requisitos para Aços Estruturais e Materiais de Ligação 20
1.2.1 - Aços estruturais 20
1.2.2 - Materiais de Ligação. 21
1.3 - Produtos Siderúrgicos e Nomenclatura 22
1.3.1 - Chapas 22
1.3.2 - Perfis Laminados 26
1.3.3 - Barras 30
1.3.4 - Tubos 31
1.3.5 - Fios, Cordoalhas e Cabos. 32
1.3.6 - Perfis Soldados e Compostos. 34
1.3.7 - Perfis de Chapa Fina Formado a Frio. 36
1.4 - Características do Material Aço 37
1.5 - Valores Bases de Resistência 39
Unidade II - Ações, Estabilidade e Análise Estrutural Ações, Estabilidade e 
Análise Estrutural 43
2.1 - Ações 43
2.1.1 - Ações Permanentes 43
2.1.2 - Ações Variáveis 44
2.1.3 - Ações Excepcionais 48
2.1.4 - Valores das Ações. 49
2.2 - Estados Limites. 50
2.2.1 - Estado Limite Último - ELU 51
2.2.2 - Estado Limite de Serviço - ELS 56
2.2.3 - Resistências 60
2.2.4 - Coeficientes de Ponderação e Fatores de Redução das ações nos estados-
-limites último e de serviço 60
2.2.5 - Coeficientes de Ponderação das resistências nos estado-limite último 64
2.3 - Estabilidade e Análise Estrutural 65
2.3.1 - Tipos de análise estrutural 66
2.3.2 - Classificação das estruturas quanto à sensibilidade a deslocamentos late-
rais 67
2.3.3 - Sistemas Resistentes a Ações Horizontais 70
2.4 - Exercícios Resolvidos - Ações 77
Unidade III – Barras Prismáticas Submetidas à Força Axial de Tração e Barras 
Prismáticas Submetidas à Força Axial de Compressão 81
3.1 - Generalidades sobre Tração 81
3.2 - Condição de Segurança para a Tração 81
3.3 - Limitação do Índice de Esbeltez para a Tração 82
3.4 - Força Axial de Tração Resistente de Cálculo – Nt,Rd 84
3.4.1 - Área líquida 86
3.4.2 - Área líquida efetiva 89
3.4.3 - Peças com Extremidade Rosqueadas. 95
3.4.4 - Barras Ligadas por pino 96
3.5 - Exercícios Resolvidos – Tração 98
3.6 - Generalidades Sobre Compressão 103
3.7 - Condição de Segurança 104
3.8 - Limitação do Índice de Esbeltez 105
3.9 - Flambagem Global 108
3.9.1 - Comprimento de Flambagem 108
3.9.2 - Flambagem por Torção e Flexo-Torção 109
3.10 - Flambagem Local 111
3.11 Critérios Gerias da NBR 8800/08 sobre Compressão 114
3.11.1 - Seções com Dupla Simetria 117
3.11.2 - Seções Monossimétricas (exceto cantoneira simples conectada por uma 
aba). 119
3.11.3 - Seções Assimétricas (exceto cantoneira simples conectada por uma 
aba) 120
3.11.4 - Cantoneira Simples Conectada por Uma Aba 120
3.12 - Força Axial de Compressão Resistente de Cálculo – Nc,Rd 123
3.12.1 - Coeficiente de Flambagem por Flexão e Torção 124
3.12.2 - Fator de Flambagem Local Q 126
3.12.2.1 - Elementos Comprimidos AL 127
3.12.2.2 - Elementos Comprimidos AA 129
3.12.2.3 - Paredes de seções tubulares circulares 130
3.13 - Exercícios Resolvidos – Compressão 132
Unidade IV – Barras Prismáticas Submetidas à Flexão e ao Esforço 
Cortante 144
4.1 - Generalidades sobre Barras Fletidas144
4.2 - Condição de Segurança 148
4.3 - Limitações para o Momento Fletor Resistente de Cálculo 148
4.4 - Momento Fletor Resistente de Cálculo, MRd 150
4.4.1 - Efeito do Momento Fletor: Plastificação 151
4.4.2 - Efeito do Momento Fletor: Flambagem Local 157
4.4.3 - Efeito do Momento Fletor: Flambagem Lateral com Torção 162
4.5 - Exercícios Resolvidos – Barras Fletidas (Momento Fletor) 169
4.6 - Resistência ao Esforço Cortante 178
4.7 - Estado limite de serviço: deslocamentos máximos 182
4.8 - Exercícios Resolvidos – Esforço Cortante 185
Unidade V - Ligações Metálicas: Ligações Parafusadas e Ligações 
Soldadas 195
5.1 - Generalidades 195
5.2 - Resistência de cálculo nas ligações 198
5.2.1 - Tração 198
5.2.2 - Cisalhamento 201
5.2.3 - Pressão de contato em furos 204
5.2.4 - Tração e corte combinados 206
5.2.5 - Ligações por atrito 206
5.3 - Disposições construtivas 208
5.3.1 - Distância entre furos 208
5.3.2 - Distância furo-borda 209
5.4 - Distribuição de esforços entre conectores 210
5.4.1 - Ligação excêntrica por corte 210
5.4.2 - Ligação com corte e tração nos conectores 215
5.4.3 - Efeito de alavanca 218
5.5 - Exercícios Resolvidos – Ligações Parafusadas 222
5.6 - Generalidades sobre Ligações Soldadas 230
5.7 - Classificação da Solda 231
5.8 - Tipos de Metal Solda 233
5.9 - Resistência de cálculo 235
5.10 - Disposições construtivas 241
5.11 - Determinação dos esforços na solda 244
5.12 - Exercícios Resolvidos – Ligações Soldadas 249
Glossário 259
Referências Bibliográficas 260
Objetivos da Unidade
Unidade I - 
Condições Gerais dos 
Aços EstruturaisI
- Conhecer o processo de fabricação dos aços estruturais; 
- Identificar os produtos siderúrgicos; e 
- Conhecer os perfis fabricados e normalizados no Brasil.
15
Unidade I – Condições Gerais dos Aços Estruturais
1.1 - Fabricação de Aços Estruturais 
 O aço pode ser definido como uma liga de ferro e carbono, principalmente de ferro e 
pequenas quantidades de carbono (entre 0,008 % e 2,11 %), com a inclusão de outros elemen-
tos provenientes do processo de fabricação (resíduos) ou adicionados propositalmente para 
melhorar as características físicas e mecânicas do material.
 O carbono aumenta a resistência do aço, no entanto o deixa mais frágil (friável), assim, 
para a concepção de estruturas metálicas, dá-se preferência para os aços de baixo teor de car-
bono, pois eles possuem menor resistência à tração, mas possuem a propriedade mecânica 
da ductibilidade. A adição de outros elementos liga visa melhorar o desempenho mecânico 
da peça metálica, como resistência à corrosão e soldabilidade, da mesma forma que a elevada 
adição de tais componentes podem gerar o efeito contrário, por exemplo problemas na solda-
gem. 
 As principais matérias primas para obtenção do aço são o carvão mineral e o minério de 
ferro (limonita e hematita), que não são encontrados puros na natureza. Como resultado final, 
após uma série de etapas, o aço é moldado na forma de chapas, perfis ou bobinas.
A fabricação do aço pode ser dividida em quatro etapas: preparação da carga, redução, refino 
e laminação. No quadro 1, são descritas as etapas de fabricação de aços estruturais.
16 
1.1.1 - Considerações sobre a composição química
 Como já falamos anteriormente, o aço é definido com uma liga metálica contendo ferro 
e pequenas quantidades de carbono. A adição de outros elementos determina as principais 
características para aplicações em estruturas metálicas. 
 O carbono é o principal elemento para o aumento de resistência dos aços estruturais. 
Quadro 1: Etapas de fabricação do aço em siderurgias
Fonte: Arquivo pessoal do autor
17
Em geral, um aumento em 0,01 % no teor de carbono eleva o limite de escoamento em torno 
de 3,5 MPa. No entanto, esse aumento também provoca uma redução de ductibilidade e solda-
bilidade, tornando o material mais suscetível à fratura frágil e ao envelhecimento. Dessa forma, 
limita-se o teor de carbono em 0,30% para aços estruturais. 
 Na Tabela 1, apresentamos os elementos que são adicionados nos aços estruturais para 
melhorar suas características mecânicas e físicas. 
Quadro 2: Elementos presentes nos aços estruturais 
Fonte: MIGUEL e CARQUEJA, 2005.
18 
1.1.2 - Tipos de aços estruturais
 Existe uma grande variedade de tipos de aços disponíveis no mercado, decorrente das 
diferentes aplicações a que esse material se destina. Dentre eles, são denominados aços estru-
turais aqueles que apresentam resistência, ductilidade e outras propriedades mecânicas tais 
que os tornam adequados para suportar cargas provenientes do uso e ocupação e do peso 
próprio dos elementos que compõem a estrutura. 
 Eles são classificados, conforme a composição química, propriedades mecânicas e mé-
todos de obtenção em dois grupos: aços carbono e aços de baixa liga. Quando os mesmos 
recebem tratamentos térmicos, há a alteração de suas propriedades mecânicas (aços de alta 
resistência tratados termicamente).
 Os aços, de forma geral, podem ser classificados de acordo com sua composição quími-
ca. A definição de aço proposta acima permite uma distinção entre os aços carbono comuns e 
os aços ligados:
• Aço-carbono são ligas de Ferro-Carbono que contém geralmente de 0,008 % até 2,0 % 
de carbono, além de certos elementos residuais resultantes dos processos de fabricação 
(manganês de 1,65%, silício de 0,60% e cobre de 0,35%); 
• Aço-liga são os aços carbono que contém outros elementos de liga (cromo colúmbio, 
vanádio, níquel, molibdênio, manganês, fósforo, zircônio), ou apresenta os elementos re-
siduais em teores acima dos que são considerados normais. 
 Os primeiros podemos subdividir em: 
• Aços de baixo teor de carbono, com C < 0,29 %, são aços que possuem grande ductilida-
de, bons para o trabalho mecânico e soldagem (construção de pontes, edifícios, navios, 
caldeiras e peças de grandes dimensões em geral). Esses aços não são temperáveis; 
19
• Aços de médio carbono, com 0,3 < C < 0,59 %, são aços utilizados em engrenagens, bie-
las, etc. São aços que, temperados e revenidos, atingem boa tenacidade e resistência; 
• Aços de alto teor de carbono, com 0,6 < C < 2,0 %, são aços de elevada dureza e resistên-
cia após a tempera, e são comumente utilizados em molas, engrenagens, componentes 
agrícolas sujeitos ao desgaste, pequenas ferramentas, etc. 
 Os aços-liga, por sua vez, podemos subdividi-los em dois grupos: 
• Aços de baixo teor de ligas, contendo menos de 8 % de elementos de liga; 
• Aços de alto teor de ligas, com elementos de liga acima de 8 %. 
 Os aços estruturais são aços carbono (com baixo teor de carbo-
no) ou aços de baixa liga (na verdade a adição de elementos de liga 
apresenta teores bem inferiores a 8%)
1.2 - Requisitos para Aços Estruturais e Materiais de Ligação 
1.2.1 - Aços estruturais
 Os aços aprovados pela NBR 8800/2008 para uso em perfis, barras e chapas devem ter 
qualificação estrutural assegurada por Norma Brasileira ou norma ou especificação estrangei-
ra, desde que possuam resistência ao escoamento máxima de 450 MPa e a relação de resistên-
cia à ruptura e ao escoamento não seja inferior a 1,18.
20 
 O aço a ser empregado na estrutura deve ser especificado para a sua superfície o grau 
de corrosão aceitável, entre os seguintes:
• Substrato de aço sem corrosão, com carepa de laminação ainda intacta;
• Substrato de aço com início de corrosão e destacamento da carepa de laminação;
• Substrato de aço onde a carepa de laminação foi eliminada pela corrosão ou que possa 
ser removida por raspagem, com pouca formação de cavidades visíveis(pites);
• Substrato de aço onde a carepa de laminação foi eliminada pela corrosão e com grande 
formação de cavidades visíveis (pites).
1.2.2 - Materiais de Ligação
 Os parafusos de aço de baixo teor de carbono devem satisfazer a ASTM A307 ou a ISO 
898-1 Classe 4.6. Os parafusos de alta resistência devem satisfazer a ASTM A325 ou a ISO 4016 
Classe 8.8. Os parafusos de aço-liga temperado e revenido devem satisfazer a ASTM A490 ou 
a ISO 4016 Classe 10.9. As porcas e arruelas devem satisfazer as especificações compatíveis, 
citadas no ANSI/AISC 360.
 Os eletrodos, arames e fluxos para soldagem devem obedecer às seguintes especifica-
ções:
21
• Eletrodos de aço doce, revestidos, para soldagem por arco elétrico: AWS A5.1;
• Eletrodos de aço de baixa liga, revestidos, para soldagem por arco elétrico: AWS A5.5;
• Eletrodos nus de aço doce e fluxo, para soldagem por arco submerso: AWS A5.17;
• Eletrodos de aço doce, para soldagem por arco elétrico com proteção gasosa: AWS A5.18
• Eletrodos de aço doce, para soldagem por arco com fluxo no núcleo: AWS A5.20;
• Eletrodos nus de aço de baixa liga e fluxo, para soldagem por arco submerso: AWS A5.23
• Eletrodos de baixa liga, para soldagem por arco elétrico com proteção gasosa: AWS A5.28
• Eletrodos de baixa liga, para soldagem por arco com fluxo no núcleo: AWS A5.29.
1.3 - Produtos Siderúrgicos e Nomenclatura 
 Os aços estruturais são fornecidos em forma de perfis, chapas, barras, fios e cordoalhas. 
Sendo que os elementos estruturais das estruturas metálicas são constituídos primordialmente 
por perfis metálicos. Esses produtos apresentam dimensões padronizadas, logo, o engenheiro 
deve conhecer os catálogos de produtos siderúrgicos, para o emprego em projetos.
1.3.1 - Chapas
 As chapas também são elementos laminados com espessuras variadas e resistências 
variadas. As chapas finas são as que têm espessuras de até 5,0 mm, acima desse valor estão as 
chapas grossas. A nomenclatura das chapas é feita em função da espessura ou de sua resistên-
22 
 As chapas finas podem ser produzidas por laminação a frio ou a quente, sendo as pri-
meiras mais finas (0,30 mm ≤ t ≤ 2,65mm) e empregadas na forma de complemento como es-
quadrias, portas, calhas, rufos, por exemplo. As chapas finas produzidas a quente, por sua vez, 
(1,20 mm ≤ t ≤ 5,00mm) são normalmente empregadas na produção de perfis formados a frio. 
As espessuras padrão das chapas finas a frio e a quente são mostradas na Tabela 2. As larguras 
padrão das chapas finas (a quente e a frio) variam entre 1.000 e 2.000 mm, com comprimentos 
entre 2.000e 6.000 mm.
cia. As Figuras 1 e 2 nos mostram, respectivamente, chapas grossas e bobinas de tiras a frio.
Figura 1 – Chapas grossas
Fonte: Usiminas, 2019
Figura 2 - Tiras a fio
Fonte: Usiminas, 2019
23
Tabela 1 - Espessura padrão de chapas finas
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 As chapas grossas são produtos planos disponíveis nas espessuras de 6,3 mm a 102 
mm, com largura variando entre 900 e 3.900 mm e comprimentos de 2.400 até 18.000 mm. Nas 
estruturas convencionais de aço, as chapas grossas são amplamente utilizadas tanto na forma-
ção de perfis soldados quanto como elementos de ligação entre componentes estruturais ou 
como placas de base de pilares. A Tabela 3 apresenta as bitolas comerciais das chapas grossas.
24 
 Para maiores detalhes sobre as dimensões das chapas forneci-
das no Brasil, recomenda-se uma pesquisa na página da internet dos 
principais fornecedores do nosso país, sendo Usiminas, Arcelor Mittal 
Tubarão e Companhia Siderúrgica Nacional - CSN.
Tabela 2 - Chapas Grossas
Fonte: Arquivo pessoal do autor
25
 Normalmente utiliza-se o símbolo CH seguido da espessura em 
milímetros para se especificar uma chapa, por exemplo, CH 12,7.
 Além das citadas acima, são produzidas no Brasil chapas finas zincadas, que são utiliza-
das como elementos para telhas e tapamentos laterais, dutos de ar condicionado, etc. e chapas 
de piso, que não possuem superfícies lisas, para aumentar o atrito e evitar escorregamento.
1.3.2 - Perfis Laminados
 Existem inúmeros produtos laminados, fabricados em padrões americanos (série ame-
ricana, perfis de faces, em geral, não paralelas) e padrões europeus (série europeia, de faces pa-
ralelas) obtidos por laminação. Como regra geral, sempre é necessário trabalhar com a tabela 
do fornecedor para obter as propriedades do perfil.
 Os laminadores produzem perfis de grande eficiência estrutural, em forma de H, I, C, L, 
os quais são denominados correntemente perfis laminados (Figura 3). Os tubos são produtos 
ocos, de seção circular, retangular ou quadrada. Os trilhos são produtos laminados destinados 
a servir de apoio para as rodas metálicas de pontes rolantes ou trens. A seção do trilho ferrovi-
ário apresenta uma base de apoio, uma alma vertical e um boleto sobre o qual se apoia a roda.
 A nomenclatura dos perfis I ou S, H, C ou U segue certa regra, na qual é fornecida a in-
dicação da forma do perfil seguida de sua altura total (d, em mm) e de sua massa linear (kg/m). 
Por vezes, a referência à altura do perfil e à sua massa linear é arredondada nos nomes de perfis 
das tabelas, de modo que devem ser consultados os valores exatos nas próprias tabelas. Exis-
tem diversos complementos possíveis e algumas nomenclaturas alternativas, como W, HP, HPP. 
Os perfis cantoneira, L, podem seguir a mesma regra anterior, porém é mais comum utilizar 
nomenclatura própria, assim como os trilhos. Tubulares são definidos pelo diâmetro ou dimen-
26 
sões dos lados.
 Os perfis laminados com formato I e H fabricados no Brasil seguem o padrão de nomen-
clatura e dimensões adotados nos Estados Unidos: 
 Perfil I: Série chamada Standard Shape (S), possuindo superfícies internas das abas 
(mesas) inclinadas e estreitas. Essa série é normalmente emprega em vigas. 
 Perfil W: Série chamada Wide Flange Shape, possuindo superfícies internas das abas 
(mesas) paralelas e largas. Essa série é normalmente empregada em vigas ou pilares. 
 Perfil HP: Série chamada H-Pile, possuindo superfícies internas das abas (mesas) para-
lelas e largas. Essa série é normalmente empregada em vigas pesadas ou pilares.
Figura 3 – Perfis laminados – aços longos 
Fonte: Istock
27
 De forma geral, o perfil I (série S) possui altura variando entre 
76 e 502 mm, sendo apropriados para a utilização de peças fletidas em 
torno do eixo (x-x) que passa no seu centro de gravidade e é paralelo 
às abas, visto que o seu momento de inércia em torno do eixo ortogo-
 Adicionalmente, os perfis I e H também podem ser encontrados de acordo com o pa-
drão europeu. Os perfis I são chamados IPE (ou IP), possuindo superfícies internas das abas 
(mesas) paralelas e estreitas. Os perfis H, por sua vez, possuem superfícies internas das abas 
(mesas) paralelas e largas, sendo fornecidos em três séries, HEA (ou HPL), HEB (ou HPM) e HEM 
(HPP), ou seja, perfis leves, médios e pesados, conforme as espessuras das abas e da alma.
nal (y-y) é reduzido (possui abas estreitas). O perfil W possui altura variando entre 150 e 
610 mm sendo apropriado para a utilização em vigas ou colunas (aqueles que são especi-
ficados com uma letra H no nome H). Pelo fato de apresentarem as superfícies internas das 
abas paralelas, as ligações, quando feita nesses elementos, são simplificadas, dispensando 
a utilização de arruelas e cunhas, por exemplo, configurando uma vantagem em relação 
aos perfis da série S. Finalmente, o perfil HP possui variação de altura entre 200 e 310 mm.
28 
 As cantoneiras, ou perfis L, podem apresentar abas iguais ou desiguais, embora essas 
últimas não sejam produzidas no Brasil. Elas são normalmente empregadas como elementosde treliça, contraventamento ou como elementos de união entre componentes da estrutura. 
Comparativamente aos perfis I e H, são consideradas peças pequenas e leves, sendo produzi-
das em série métrica, com abas entre 40 e 100 mm, e série polegadas, com abas não exceden-
do 203 mm.
 Os perfis U apresentam altura em geral variando entre 76 e 381 mm tendo sua maior 
utilização para elementos pouco solicitados como colunas pouco carregadas, terças, degraus 
de escada, travessas de tapamento, etc. Na Figura 1.11 apresentamos os diferentes perfis L e U 
usados em estruturas metálicas. 
Figura 4 – Perfis I e H padrão americano e europeu
Fonte: Arquivo pessoal do autor
29
 Os principais produtores de perfis laminados no Brasil são a 
Gerdau Açominas e a Arcelor Mittal.
1.3.3 - Barras
 Assim como os perfis laminados, as barras são elementos que possuem o comprimento 
com dimensão bem superior às demais (aços longos), sendo produzidas com seção transversal 
circular (barras redondas), seção transversal quadrada (barras quadradas) ou seção transversal 
retangular (barras chatas).
 Na Figura 6, podemos observar os formatos de barras produzidos, bem como a variação 
de dimensões encontradas no mercado nacional.
Figura 5 - Perfis laminados do tipo L e U
Fonte: Arquivo pessoal do autor
30 
 As barras redondas são utilizadas como tirantes ou pendurais para solicitações de tra-
ção, ao passo que as barras quadradas ou chatas têm pouca aplicação em estruturas.
 A especificação dessas barras é feita através do seu símbolo 
com um chanfro, seguido da informação de dimensão. Por exemplo, o 
símbolo Ø 12,7 representa uma barra circular com diâmetro 12,7 mm.
1.3.4 - Tubos
 Os tubos laminados são elementos vazados (ocos) com seção transversal circular, retan-
gular ou quadrada, sendo produzidos com a utilização de laminadores especiais.
Figura 6 – Tipos de barras
Fonte: Arquivo pessoal do autor
31
 Os tubos circulares possuem diâmetro (D) variando entre 26,7 
e 355,6 mm, os tubos quadrados são fabricados com lado (B) variando 
entre 50 e 90 mm, já os tubos retangulares possuem uma variação do 
lado menor (B) entre 40 e 210 mm e do lado maior (H) entre 60 e 360 
 Os tubos são peças bastante eficientes para esforços axiais, peças fletidas, sob torção e 
feitos combinados, resultando em elementos leves quando comparados aos perfis laminados 
mencionados anteriormente, entretanto, devido à dificuldade na execução das ligações aca-
bam não sendo tão utilizados.
1.3.5 - Fios, Cordoalhas e Cabos
 Os fios são barras circulares obtidas por trefilação a frio de barras laminadas, servindo 
como elemento básico para a formação de cordoalhas e cabos. As cordoalhas são elementos 
Figura 7 – Tipos de barras
Fonte: Arquivo pessoal do autor
mm.
32 
formados por fios (3, 7, 19 e 37) em forma de hélice, possuindo um módulo de elasticidade de 
195 GPa, ou seja, quase igual ao de uma barra maciça de aço (200 GPa). Elas são muito utiliza-
das como estais para estruturas do tipo torre de telecomunições ou de linhas de transmissão, 
como elementos de suportes de ponte (pontes pênseis ou estaiadas) e em tensoestruturas. 
 Já os cabos são formados por feixes de fios entrelaçados entre si em formato helicoidal, 
possuindo módulo de elasticidade da ordem de 50 % daquele obtido para uma barra maciça 
de aço. Podem ser utilizados pontes (pênseis ou estaiadas), gruas, ou em sistemas de polias. 
 Nas Figuras 8 e 9, respectivamente, são mostrados os tipos de cordoalhas normalmente 
utilizadas na construção civil e um padrão típico de cabo de aço.
Figura 8 – Cordoalhas (a) três fios, (b) sete fios, (c) dezenove fios e em (d) trinta e sete fios
Fonte: Arquivo pessoal do autor
33
1.3.6 - Perfis Soldados e Compostos
 Perfis soldados e perfis compostos (Figura 10) são aqueles fabricados pela associação 
de dois ou mais produtos siderúrgicos, como as chapas e os perfis laminados, através de uma 
ligação contínua por solda elétrica. Em função da flexibilidade de produção (são obtidos pelo 
corte, composição e soldagem de chapas planas e perfis de aço), os perfis soldados e compos-
tos podem ser fabricados com dimensões e formas variadas, resultando em um menor consu-
mo de aço.
Figura 9 – Cabo de aço
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Figura 10 - Perfil soldado e perfis compostos
Fonte: Arquivo pessoal do autor
34 
 Os perfis soldados mais utilizados são, sem dúvida, os perfis do tipo I e H, formados 
pela união de três chapas. Devido a essa grande versatilidade de combinações, os perfis sol-
dados com formato I foram padronizados pela ABNT (NBR 5884/2005: Perfil I estrutural de aço 
soldado por arco elétrico), a fim de facilitar o trabalho de fornecedores e engenheiros. Eles são 
divididos em três séries (conforme Figura 11):
• Série CS (Coluna Soldada): perfis para a utilização em pilares obedecendo a relação d/bf 
= 1. 
• Série CVS (Coluna/Viga Soldada): perfis para a utilização em pilares obedecendo a rela-
ção1 < d/bf ≤ 1,5. 
• Série VS (Viga Soldada): perfis para a utilização em vigas obedecendo a relação1,5 < d/bf 
≤ 4,0.
Figura 11 - Perfil soldado conforme a ABNT NBR 5884/2005
Fonte: Arquivo pessoal do autor
35
 Podemos utilizar perfis soldados que não apresentem dimen-
sões especificadas na NBR 5884/05, desde que sejam obedecidas as 
demais especificações da ABNT NBR 8800/2008.
 Os perfis soldados são designados pela sua série, seguido da 
sua altura (em milímetros) e de sua massa por unidade de comprimen-
to (em kg/m). Por exemplo, o perfil VS 400 x 58 representa um perfil da 
série viga soldada com altura (d) igual a 400 mm e massa por metro 
 Os perfis soldados são produzidos por empresas especializadas 
(Usiminas Mecânica, Metasa, etc) que possuem os equipamentos ade-
quados para a automatização do processo de soldagem, conseguindo 
atingir uma produção em escala industrial.
1.3.7 - Perfis de Chapa Fina Formado a Frio
 As chapas metálicas de aços dúcteis podem ser dobradas a frio, transformando-se em 
perfis de chapas dobradas. A dobragem das chapas é feita em prensas especiais nas quais há 
gabaritos que limitam os raios internos de dobragem a certos valores mínimos, especificados 
para impedir a fissuração do aço na dobra.
 O uso de chapas finas (em geral menos que 3 mm de espessura) na fabricação desses 
perfis conduz a problemas de instabilidade estrutural não existentes em perfis laminados. Há 
uma grande variedade de perfis que podem ser fabricados, muitos com apenas um eixo de 
equivalente a 58 kg/m. ). 
36 
simetria ou nenhum, alguns simples, outros mais complexos.
 Normas de projeto específicas para esse tipo de perfil metálico foram desenvolvidas, 
como a do American Iron and Steel Institute (AISI) e a norma brasileira NBR 14762, Dimensio-
namento de Estruturas de Aço Constituídas de Perfis Formados a Frio.
 O dimensionamento de perfis de chapa dobrada não é o enfoque desse curso. A Figura 
12 nos mostra os perfis formados a frio utilizados com frequência. Como podemos ver, os can-
tos são sempre arredondados, sendo o raio função da espessura da chapa e das propriedades 
mecânicas do aço empregado.
1.4 - Características do Material Aço 
 A aplicação de um ou de outro material no sistema estrutural é precedida por uma 
avaliação das características de cada sistema, optando pelo mais adequado à situação consi-
derada. Podemos citar algumas vantagens e desvantagens gerais do uso do material aço em 
construções civis que são apresentadas no Quadro 2.
Figura 12 - Perfis de chapa dobrada
Fonte: Arquivo pessoal do autor
37
 Para efeito de cálculo, devem ser adotados, para os aços aqui relacionados, os seguin-
tes valores de propriedades mecânicas:
• Módulo de elasticidade,E = 200.000 MPa;
• Coeficiente de Poisson, ν = 0,3;
• Módulo de elasticidade transversal, G = 77.000 MPa;
• Coeficiente de dilatação térmica, β = 1,2×10−5 °C−1 ou 12×10−6 °C−1;
Quadro 3 – Vantagens e desvantagens gerais do uso do material aço em construções civis
Fonte: Arquivo pessoal do autor
38 
• Massa específica, ρ = 7.850 kg/m³
• Peso específico, γ = 77 kN/m³
 Propriedades geométricas de cordões de soldas de largura unitária são ilustradas na 
Figura 13. No diagrama, é a resistência de ruptura do aço à tração ou limite de resistência 
à tração, é a resistência ao escoamento do aço à tensão normal ou limite de escoamento 
e, o limite de proporcionalidade.
1.5 - Valores Bases de Resistência
 Na Tabela apresentamos os aços especificados por Normas Brasileiras para uso estrutu-
ral:
Figura 13 - Propriedades geométricas de cordões de soldas de largura unitária
Fonte: Arquivo pessoal do autor
39
Tabela 3 – Aços especificados por Normas Brasileiras para uso estrutural
Fonte: Arquivo pessoal do autor
40 
 Na sequência (Tabela 5), são fornecidos os valores mínimos da resistência ao escoamen-
to e da resistência à ruptura de parafusos, de acordo com suas respectivas normas 
ou especificações, bem como os diâmetros nos quais os mesmos podem ser encontrados. Os 
parafusos fabricados com aço temperado não podem ser soldados nem aquecidos.
 Já para os eletrodos, a resistência mínima à tração dos metais de soldas usuais, confor-
me as normas ou especificações das soldas é mostrada na Tabela 5.
Tabela 4 - Valores mínimos da resistência ao escoamento e à ruptura dos parafusos
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Tabela 5 - Resistência mínima à tração dos metais de soldas usuais,conforme as normas ou especificações 
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Objetivos da Unidade
Unidade II - 
Ações, Estabilidade e 
Análise EstruturalII
- Determinar os esforços provenientes da combinação de ações perma-
nentes e variáveis com base no estado limite último (ELU) e no estado 
limite de serviço (ELS), aplicando os coeficientes de ponderação e de re-
dução especificados em norma; 
- Compreender os tipos de análise de estruturas e os sistemas utilizados 
para impedir o deslocamento horizontal da estrutura projetada (sistema 
de contraventamento) visando sua estabilidade; 
- Identificar os tipos de seções transversais, assim como seus elementos 
AA e AL, que submetidas à compressão ou à flexão podem levar a falhas 
por instabilidade antes de atingir a resistência última (seção transversal 
totalmente plastificada). 
42 
Unidade II - Ações, Estabilidade e Análise Estrutural Ações, Estabilidade e 
Análise Estrutural
2.1 - Ações 
 Na análise estrutural, deve ser considerada a influência de todas as ações que possam 
produzir efeitos significativos para a estrutura, levando-se em conta os estados limites últimos 
e de serviço. As ações a considerar classificam-se, de acordo com a ABNT NBR 8681, em perma-
nentes, variáveis e excepcionais.
2.1.1 - Ações Permanentes
 Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante 
toda a vida útil da construção. Também são consideradas permanentes as ações que crescem 
no tempo, tendendo a um valor limite constante.
 As ações permanentes são subdivididas em diretas e indiretas e devem ser considera-
das com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança.
 As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos 
pesos próprios dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes. Constituem 
também ações permanentes os empuxos permanentes, causados por movimento de terra e de 
outros materiais granulosos quando forem admitidos não removíveis.
 Os pesos específicos do aço, do concreto e de outros materiais 
estruturais, além de elementos construtivos fixos correntemente em-
pregados nas construções, na ausência de informações mais precisas, 
podem ser avaliados com base nos valores indicados na ABNT NBR 
6120. Os pesos das instalações permanentes usualmente são considerados com os valores 
indicados pelos respectivos fornecedores.
43
 As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retra-
ção e fluência do concreto, deslocamentos de apoio e imperfeições geométricas.
 A retração e a fluência do concreto de densidade normal de-
vem ser calculadas conforme a ABNT NBR 6118. Para o concreto de 
baixa densidade, na ausência de Norma Brasileira aplicável, devem ser 
calculadas conforme o Eurocode 2 Part 1-1.
 Os deslocamentos de apoio somente precisam ser considerados quando gerarem es-
forços significativos em relação ao conjunto das outras ações. Esses deslocamentos devem ser 
calculados com avaliação pessimista da rigidez do material da fundação, correspondente, em 
princípio, ao quantil de 5% da respectiva distribuição de probabilidade. O conjunto formado 
pelos deslocamentos de todos os apoios constitui-se numa única ação.
2.1.2 - Ações Variáveis
 São as que ocorrem com valores que apresentam variações significativas durante a vida 
útil da construção. As ações variáveis comumente existentes são causadas pelo uso e ocupação 
da edificação, como as ações decorrentes de sobrecargas em pisos e coberturas, de equipa-
mentos e de divisórias móveis, de pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas, pela ação do vento 
e pela variação da temperatura da estrutura.
 Para o uso e ocupação, devem ser observadas as seguintes prescrições complementa-
res introduzidas pela NBR 8800:
• Cargas concentradas: Em pisos, coberturas e outras situações similares, deve ser con-
siderada, além das demais ações variáveis, uma força concentrada aplicada na posição 
mais desfavorável, de intensidade compatível com o uso da edificação como, por exem-
44 
plo, a ação de um macaco para veículo, o peso de uma ou mais pessoas em terças e ban-
zos de treliça de cobertura e em degraus de escada, conforme a ABNT NBR 6120. Não é 
necessário adicionar essa força concentrada às demais ações variáveis.
• Carregamento parcial: Deve ser considerada a ação variável aplicada apenas a uma par-
te da estrutura ou da barra, se o efeito produzido for mais desfavorável que aquele resul-
tante da aplicação da ação sobre toda a estrutura ou toda a barra.
• Elevadores: Na ausência de especificação mais rigorosa, todas as ações de elevadores 
devem ser majoradas em 100%. Os elementos que suportam elevadores devem ser di-
mensionados dentro dos limites de deslocamentos máximos permitidos pelos fabrican-
tes dos mesmos.
• Equipamentos: As ações decorrentes de equipamentos e cargas móveis devem ser ade-
quadamente majoradas. Na ausência de especificação mais rigorosa, nos casos a seguir, 
podem ser usadas as majorações indicadas:
• 20% para talhas e equipamentos leves cujo funcionamento é caracterizado funda-
mentalmente por movimentos rotativos;
• 50% para grupos geradores e equipamentos cujo funcionamento é caracterizado fun-
damentalmente por movimentos alternados.
• Pendurais: Na ausência de especificação mais rigorosa, as cargas gravitacionais variáveis 
(inclusive sobrecarga) em pisos e balcões suportados por pendurais devem ser majora-
das em 33 %.
• Coberturas: Nas coberturas comuns (telhados), na ausência de especificação mais rigo-
rosa, deve ser prevista uma sobrecarga característica mínima de 0,25 kN/m². Admite-se 
45
que essa sobrecarga englobe as cargas decorrentes de instalações elétricas e hidráulicas, 
de isolamentos térmico e acústico e de pequenas peças eventualmente fixadas na cober-
tura, até um limite superior de 0,05 kN/m². Em casos especiais, a sobrecarga na cobertura 
deve ser determinada de acordo com sua finalidade, porém com um valor mínimo igualao anterior.
• Sobrecargas em lajes na fase de construção: Em lajes, na fase de construção, deve ser 
prevista uma sobrecarga característica mínima de 1 kN/m².
 Os esforços causados pela ação do vento devem ser determinados de acordo com a 
ABNT NBR 6123. As forças estáticas devidas ao vento poder ser determinadas simplificadamen-
te do seguinte modo:
• A velocidade básica do vento, V0, adequada ao local onde a estrutura será construída, é 
a velocidade de uma rajada de 3s, excedida em média uma vez em 50 anos, a 10m acima 
do terreno, em campo aberto e plano. A Figura 14, retirada da NBR 6123, ilustra o mapa 
das isopletas da velocidade básica no Brasil, com intervalos de 5 m/s;
• A velocidade básica do vento é multiplicada pelos fatores S1, S2 e S3 para ser obtida a 
velocidade característica do vento, Vk, assim V_k = V_0 × S1 × S2 × S3, para a parte da 
edificação em consideração, de acordo com itens 5.2 a 5.5 da NBR 6123;
• A velocidade característica do vento permite determinar a pressão dinâmica pela expres-
são q = 0,613 × V², sendo (unidades SI): q em N/m² e V em m/s;
• A força global do vento sobre uma edificação ou parte dela, Fg, é obtida pela soma veto-
rial das forças de arrasto do vento que aí atuam (por exemplo, parcela vento a 45° perpen-
dicular a face da edificação com vento perpendicular a edificação, 0°).;
46 
• A componente da força global na direção do vento, força de arrasto Fa é obtida por 
F_a = C_a × q × A_e . Na qual, Ca é o coeficiente de arrasto, dado pelas figuras 4 ou 5 da 
NBR 6123, e Ae a área frontal efetiva: área da projeção ortogonal da edificação, estrutura 
ou elemento estrutural sobre um plano perpendicular à direção do vento.
 Os parâmetros e seus valores podem ser consultados na norma 
NBR-6123.
 Os esforços decorrentes da variação uniforme de temperatura da estrutura são causa-
dos pela variação da temperatura da atmosfera e pela insolação direta e devem ser determina-
dos pelo responsável técnico pelo projeto estrutural, considerando, entre outros parâmetros 
relevantes, o local da construção e as dimensões dos elementos estruturais
Figura 14 - Mapa das isopletas das velocidades básicas do vento – NBR 6123
Fonte: Arquivo pessoal do autor
47
 Recomenda-se, para a variação da temperatura da atmosfera, a 
adoção de um valor considerando 60% da diferença entre as tempera-
turas médias máxima e mínima, no local da obra, com um mínimo de 
10°C. Para a insolação direta, deve ser feito um estudo específico.
 Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significativa-
mente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de 
dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura 
adotados, desde que a variação de temperatura, considerada entre uma face e outra da estru-
tura, não seja inferior a 5°C.
 Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, estiver sujeita 
a choques ou vibrações, os respectivos efeitos devem ser considera-
dos na determinação das solicitações e a possibilidade de fadiga deve 
ser considerada no dimensionamento dos elementos estruturais, de 
2.1.3 - Ações Excepcionais
 Ações excepcionais são as que têm duração extremamente curta e probabilidade mui-
to baixa de ocorrência durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas nos 
projetos de determinadas estruturas. São ações excepcionais aquelas decorrentes de causas 
como explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes e sismos excepcionais.
acordo com o Anexo K da NBR 8800/08.
48 
 No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de 
carregamentos, cujos efeitos não possam ser controlados por outros 
meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores de-
finidos, em cada caso particular, por Normas Brasileiras específicas.
2.1.4 - Valores das Ações
 Os valores característicos, Fk, das ações são definidos em função da variabilidade de 
suas intensidades. 
 Para as ações permanentes, os valores característicos, Fgk, devem ser adotados iguais 
aos valores médios das respectivas distribuições de probabilidade. Para maiores consultas, re-
comendam-se Normas Brasileiras específicas, como a ABNT NBR 6120.
 Os valores característicos das ações variáveis, Fqk, são estabelecidos por consenso e 
indicados em Normas Brasileiras específicas. Esses valores têm uma probabilidade preestabe-
lecida de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos, e, para 
maiores consultas, recomendam-se Normas Brasileiras específicas, como as ABNT NBR 6120 e 
ABNT NBR 6123.
 Para as ações que não tenham sua variabilidade adequada-
mente expressa por distribuições de probabilidade, os valores carac-
terísticos são substituídos por valores característicos nominais, esco-
lhidos de modo a assegurar o nível de exigência da Norma ABNT NBR 
8800/08.
49
2.2 - Estados Limites
 Um carregamento estrutural é definido pela combinação das ações que têm probabili-
dades não desprezáveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período 
preestabelecido. A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determina-
dos os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura.
 Os estados limites são definidos por combinações de ações de forma a estabelecer as 
variações dos efeitos (Esforço Normal, Cortante, Momento Fletor, Momento Torsor) das diver-
sas solicitações que agem sobre a estrutura durante sua vida útil, em função de determinada 
limitação, como por exemplo, o esgotamento da capacidade resistente ou violação dos crité-
rios de durabilidade da estrutura.
 As estruturas de modo geral devem atender a requisitos mínimos de qualidade, duran-
te sua construção e ao longo de toda sua vida útil. Esses requisitos de qualidade podem ser 
classificados em:
• Capacidade resistente – consiste basicamente na segurança quanto à ruína, que pode 
ser devido à ruptura de partes da estrutura ou à própria estabilidade da estrutura como 
um todo. São definidos os Estados Limites Últimos (ELU). 
• Desempenho em serviço – consiste na capacidade de a estrutura manter-se em condi-
ções plenas de utilização, não devendo apresentar deformações ou vibrações, que com-
prometam em parte ou totalmente o uso para que foram projetadas ou deixem dúvidas 
com relação à sua segurança. Essa condição é atendida quando se faz a verificação dos 
Estados Limites de Serviço (ELS).
• Durabilidade – consiste na capacidade de a estrutura resistir às influências ambientais 
previstas. Nessa última condição estão contidas tanto os procedimentos de norma como 
práticas de projeto que asseguram a durabilidade dos elementos estruturais.
50 
2.2.1 - Estado Limite Último - ELU
 Os estados limites últimos são aqueles relacionados a resistência da estrutura, sendo 
definidos por uma envoltória de esforços obtida com as diversas combinações das solicitações 
existentes ou que podem vir a existir durante a vida útil da estrutura.
 Os estados limites últimos são utilizados no dimensionamento das estruturas, porém, 
em certas condições podem ser considerados como secundários e utilizados na verificação, 
como por exemplo, em estruturas metálicas protendidas.
São estados limites últimos:
• Perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como corpo rígido;
• Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;
• Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático;
• Instabilidade por deformação;
• Instabilidade dinâmica.
 Uma combinação última pode ser classificada em: normal, especial ou de construção 
e excepcional. De modo geral, as combinações últimas usuais de ações deverão considerar o 
esgotamento da capacidade resistente de elementos estruturais e a perdade equilíbrio como 
corpo rígido.
 As combinações últimas normais decorrem do uso previsto para a edificação. Devem 
ser consideradas tantas combinações de ações quantas forem necessárias para verificação 
das condições de segurança em relação a todos os estados limites últimos aplicáveis. Em cada 
combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável principal, com seus 
51
valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores 
reduzidos de combinação.
 Em que:
 
• Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última;
 
• FGi,k representa os valores característicos das ações permanentes: diretas (peso próprio 
da estrutura, peso dos elementos construtivos fixos, peso das instalações permanentes 
e empuxos permanentes); indiretas (retração do concreto, fluência do concreto, desloca-
mentos de apoio e imperfeições geométricas).
• FQ1,k representa o valor característico da ação variável principal (cargas acidentais, ação 
do vento, ação da água e ações variáveis durante a construção);
• FQj,k representa os valores característicos das ações variáveis que podem atuar conco-
mitantemente com a ação variável principal;
 
• γgi representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes;
 
• γq1, γqj representam os coeficientes de ponderação para ações variáveis;
 
• Ψ0j representa o fator de redução de combinação para ações variáveis
52 
 No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações 
em que o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela 
consideração de γg = 1,0. No caso de estruturas usuais de edifícios es-
sas combinações, que consideram γg reduzido (1,0) não precisam ser 
consideradas.
 As combinações últimas especiais ou de construção decorrem da atuação de ações va-
riáveis de natureza ou intensidade especial, cujos efeitos superam em intensidade os efeitos 
produzidos pelas ações consideradas nas combinações normais. Os carregamentos especiais 
são transitórios, com duração muito pequena em relação ao período de vida útil da estrutura.
 As combinações últimas de construção devem ser levadas em conta nas estruturas em 
que haja riscos de ocorrência de estados limites últimos, já durante a fase de construção. O car-
regamento de construção é transitório e sua duração deve ser definida em cada caso particular.
 Devem ser consideradas tantas combinações de ações quantas sejam necessárias para 
a verificação das condições de segurança em relação a todos os estados-limites últimos que 
são de temer durante a fase de construção.
 Cada carregamento especial corresponde a uma única combinação última especial de 
ações, na qual devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável especial, com 
seus valores característicos, e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezável de 
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação.
53
 Os fatores Ψ0j,ef são iguais aos fatores Ψ0j adotados nas com-
binações normais, salvo quando a ação variável especial FQ1,k tiver 
um tempo de atuação muito pequeno, caso em que Ψ0j,ef podem ser 
tomados como os correspondentes fatores de redução Ψ2j
 Em que:
• Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última;
 
• FGi,k representa os valores característicos das ações permanentes: diretas (peso próprio 
da estrutura, peso dos elementos construtivos fixos, peso das instalações permanentes 
e empuxos permanentes); indiretas (retração do concreto, fluência do concreto, desloca-
mentos de apoio e imperfeições geométricas).
• FQ1,k representa o valor característico da ação variável principal (cargas acidentais, ação 
do vento, ação da água e ações variáveis durante a construção);
• FQj,k representa os valores característicos das ações variáveis que podem atuar conco-
mitantemente com a ação variável principal;
• γgi representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes;
• γq1, γqj representam os coeficientes de ponderação para ações variáveis;
• Ψ0j,ef representa os fatores de combinação efetivos de cada uma das ações variáveis 
que podem atuar concomitantemente com a ação variável especial FQ1,k.
54 
 As combinações últimas excepcionais decorrem da atuação de ações excepcionais que 
podem provocar efeitos catastróficos. As ações excepcionais somente devem ser considera-
das no projeto de estrutura de determinados tipos de construção, nos quais essas ações não 
possam ser desprezadas e que, além disso, na concepção estrutural, não possam ser tomadas 
medidas que anulem ou atenuem a gravidade das consequências dos seus efeitos. O carrega-
mento excepcional é transitório, com duração extremamente curta.
 A cada carregamento excepcional corresponde uma única combinação última excep-
cional de ações, na qual devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional, 
com seus valores característicos, e as demais ações variáveis com probabilidade não despre-
zável de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme a ABNT 
NBR 8681. Nos casos de ações sísmicas, deve ser utilizada a ABNT NBR 15421.
 Aplica-se a seguinte expressão:
 Em que:
• Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última;
• FGi,k representa os valores característicos das ações permanentes: diretas (peso próprio 
da estrutura, peso dos elementos construtivos fixos, peso das instalações permanentes 
e empuxos permanentes); indiretas (retração do concreto, fluência do concreto, desloca-
mentos de apoio e imperfeições geométricas).
• FQ,exc representa o valor da ação transitória excepcional;
55
• FQj,k representa os valores característicos das ações variáveis que podem atuar conco-
mitantemente com a ação variável principal;
• γgi representa o coeficiente de ponderação para ações permanentes;
• γq1, γqj representam os coeficientes de ponderação para ações variáveis;
• Ψ0j,ef representa os fatores de combinação efetivos de cada uma das ações variáveis 
que podem atuar concomitantemente com a ação variável especial FQ1,k.
2.2.2 - Estado Limite de Serviço - ELS
 Estados limites de serviço são aqueles relacionados ao conforto do usuário e à durabi-
lidade, aparência e boa utilização das estruturas, seja em relação aos usuários ou em relação 
às máquinas e aos equipamentos suportados pelas estruturas. Em construções especiais, pode 
ser necessário verificar a segurança em relação a outros estados limites de serviço não defini-
dos por norma.
 Usualmente, os estados limites de serviço são utilizados para a verificação da estrutura, 
porém, em certos casos, como por exemplo em vigas de pontes metálicas de grandes vãos, são 
utilizados no dimensionamento das peças estruturais.
 
 No período de vida útil da estrutura, são considerados estados limites de utilização:
• Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da construção ou a 
durabilidade da estrutura;
• Deformações excessivas que afetem a utilização normal de estrutura ou seu aspecto es-
tético;
56 
 Os estados limites de serviço são verificados através das combi-
nações quase permanentes, frequentes e raras de ações, em seus valo-
res característicos. Todas as combinações devem ser calculadas para a 
obtenção da uma envoltória final de esforços, a qual deve ser utilizada 
 As combinações de serviço são classificadas de acordo com sua permanência na estru-
tura e devem ser verificadas como estabelecido a seguir:
• Quase-permanentes: podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutu-
ra. São relacionados a deslocamentos excessivos.
• Frequentes: se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura (da ordem 
de 5% do período de vida da estrutura). São relacionados a vibrações excessivas, movi-
mentos laterais excessivos quecomprometam vedação ou provoquem empoçamentos 
em coberturas e aberturas de fissuras.
• Raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura.
 As combinações quase permanentes são aquelas que podem atuar durante grande par-
te do período de vida da estrutura, na ordem da metade desse período. Essas combinações são 
utilizadas para os efeitos de longa duração e para a aparência da construção.
 Nas combinações quase permanentes, todas as ações variáveis são consideradas com 
seus valores quase permanentes ψ2.FQ,k. A equação para o cálculo de solicitações pode ser 
representada por:
• Vibração excessiva ou desconfortável.
para a comparação com valores limites.
57
 Na qual:
 
 FGi,k representa os valores característicos das ações permanentes;
 
 ψ2j representa os fatores de combinação de cada uma das ações variáveis para valores 
quase permanentes;
 
 FQj,k representa os valores característicos das ações variáveis
 As combinações frequentes são aquelas que se repetem muitas vezes durante o perío-
do de vida da estrutura, na ordem de 100 vezes em 50 anos, ou que tenham duração total igual 
a uma parte não desprezável desse período, da ordem de 5 %. Essas combinações são utiliza-
das para os estados limites reversíveis, isto é, que não causam danos permanentes à estrutura 
ou a outros componentes da construção, incluindo os relacionados ao conforto dos usuários e 
ao funcionamento de equipamentos, tais como vibrações excessivas, movimentos laterais ex-
cessivos que comprometam a vedação, empoçamentos em coberturas e aberturas de fissuras.
 Nas combinações frequentes, a ação variável principal FQ1 é tomada com seu valor 
frequente ψ1.FQ1,k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase 
permanentes ψ2.FQ,k.
58 
 Na qual:
 
 FGi,k representa os valores característicos das ações permanentes;
 
 FQ1,,k é o valor característico da ação variável considerada principal para a combina-
ção;
 Ψ1 representa o fator de combinação da ação variável considerada principal para valo-
res frequentes;
 
 ψ2j representa os fatores de combinação de cada uma das ações variáveis para valores 
quase permanentes;
 FQj,k representa os valores característicos das ações variáveis.
 As combinações raras são aquelas que podem atuar no máximo algumas horas duran-
te o período de vida da estrutura. Essas combinações são utilizadas para os estados limites 
irreversíveis, isto é, que causam danos permanentes à estrutura ou a outros componentes da 
construção e para aqueles relacionados ao funcionamento adequado da estrutura, tais como 
formação de fissuras e danos aos fechamentos.
 Nas combinações raras, a ação variável principal FQ1 é tomada com seu valor caracte-
rístico FQ1,k e todas as demais ações variáveis são tomadas com seus valores frequentes ψ1.F-
Q1,k:
59
2.2.3 - Resistências
 As resistências dos materiais são representadas pelos valores característicos definidos 
como aqueles que, em um lote de material, têm apenas 5 % de probabilidade de não serem 
atingidos. O valor característico pode ser substituído pelo valor nominal, quando fornecido por 
norma ou especificação aplicável ao material. Os valores de cálculo das resistências são obtidos 
a partir dos valores característicos dividindo-os pelos respectivos coeficientes de ponderação 
γa
 Sendo que:
 
 γm1 é a parcela que considera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos;
 
 γm2 a parcela que considera a diferença entre a resistência do material no corpo de 
prova e na estrutura;
 
 γm3 a parcela que considera os desvios gerados na construção e as aproximações fei-
tas em projeto do ponto de vista das resistências.
 A resistência de cálculo fd de um material é definida como:
2.2.4 - Coeficientes de Ponderação e Fatores de Redução das ações nos esta-
dos-limites último e de serviço
 Os valores base para verificação dos estados-limites últimos são apresentados nas Ta-
60 
belas 5 e 6. As ações permanentes diretas e indiretas são representadas pelo símbolo γg e 
as ações variáveis diretas pelo símbolo γq. O valor do coeficiente de ponderação de cargas 
permanentes de mesma origem, num dado carregamento, deve ser o mesmo ao longo de 
toda a estrutura. Os valores entre parênteses correspondem aos coeficientes para as ações per-
manentes favoráveis à segurança. Ações variáveis e excepcionais favoráveis à segurança não 
devem ser incluídas nas combinações. 
Tabela 6 – Valores dos fatores de combinação ψ0 e de redução ψ1 e ψ2 para as ações variáveis.
Fonte: Arquivo pessoal do autor
61
• Nas combinações normais, as ações permanentes diretas desfavoráveis à segurança po-
dem, opcionalmente, ser consideradas todas agrupadas, com coeficiente de ponderação 
igual a 1,35 quando as ações variáveis decorrentes do uso e ocupação forem superiores 
a 5 kN/m², ou 1,40 quando isso não ocorrer.
• Nas combinações especiais ou de construção, os coeficientes de ponderação são respec-
tivamente 1,25 quando as ações variáveis decorrentes do uso e ocupação forem superio-
res a 5 kN/m², ou 1,30 quando isso não ocorrer.
• Nas combinações excepcionais, 1,15 quando as ações variáveis decorrentes do uso e 
ocupação forem superiores a 5 kN/m², ou 1,20 quando isso não ocorrer.
• Nas combinações normais, se as ações permanentes diretas que são desfavoráveis à se-
gurança forem agrupadas, as ações variáveis que são desfavoráveis à segurança podem, 
opcionalmente, ser consideradas também todas agrupadas, com coeficiente de pon-
deração igual a 1,50 quando as ações variáveis decorrentes do uso e ocupação forem 
superiores a 5 kN/m², ou 1,40 quando isso não ocorrer (mesmo nesse caso, o efeito da 
temperatura pode ser considerado isoladamente, com o seu próprio coeficiente de pon-
deração).
• Nas combinações especiais ou de construção, os coeficientes de ponderação são respec-
tivamente 1,30 quando as ações variáveis decorrentes do uso e ocupação forem superio-
res a 5 kN/m², ou 1,20 quando isso não ocorrer.
• Nas combinações excepcionais, sempre 1,00.
• Ações truncadas são consideradas ações variáveis cuja distribuição de máximos é trunca-
da por um dispositivo físico, de modo que o valor dessa ação não possa superar o limite 
62 
correspondente. O coeficiente de ponderação mostrado nesta Tabela se aplica a este va-
lor limite.
• Os fatores de combinação são representados pelo símbolo ψ0 e são utilizados para a re-
dução de valores de cargas variáveis secundárias em combinações do estado limite últi-
mo, sempre multiplicados pelos coeficientes de ponderação. Os fatores de redução ψ1 e 
ψ2 são utilizados em combinações do estado limite de serviço para a redução de valores 
característicos de cargas variáveis. 
 No caso do estado limite de fadiga, o fator de redução ψ1 deve 
ser usado igual a 1,00. Para combinações excepcionais onde a ação 
principal for sismo, admite-se adotar para ψ2 o valor zero.
63
Tabela 7 – Valores dos fatores de combinação ψ0 e de redução ψ1 e ψ2 para as ações variáveis
Fonte: Arquivo pessoal do autor
2.2.5 - Coeficientes de Ponderação das resistências nos estado-limite último
 Os valores dos coeficientes de ponderação de resistência, γm, do aço estrutural, do con-
creto e do aço das armaduras, representados respectivamente por γa, γc e γs são apresenta-
dos na Tabela 9, em função da classificação da combinação última de ações. No caso do aço 
estrutural, são definidos dois coeficientes, γa1 e γa2, o primeiro para estados-limites últimos 
relacionados a escoamento, flambagem e instabilidade, e o segundo, à ruptura.
64 
 Os limites estabelecidos para os estados-limites de serviço não 
necessitam de minoração, portanto, γm = 1,00.
 Outros valores de coeficientesde ponderação de resistências, 
como os relacionados a conectores de cisalhamento e metal solda, se-
2.3 - Estabilidade e Análise Estrutural
 O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações a estrutura (esforços 
normais, cortantes, fletores, torsores e deslocamentos), visando realizar verificações de esta-
dos-limites últimos e de serviço.
 A análise estrutural deve ser feita com um modelo realista, que permita representar a 
resposta da estrutura e dos materiais estruturais, levando-se em conta as deformações causa-
das por todos os esforços solicitantes relevantes. 
 Análises mais refinadas como, por exemplo, a interação solo-estrutura e o comporta-
mento semirrígido das ligações, devem ser consideradas em casos em que a resposta aproxi-
mada a essas e outras solicitações não seja satisfatória.
Tabela 8 - Valores dos coeficientes de ponderação das resistências γm
Fonte: Arquivo pessoal do autor
rão apresentados nas seções específicas.
65
2.3.1 - Tipos de análise estrutural
 O tipo de análise estrutural pode ser classificado de acordo com considerações do com-
portamento do material e dos efeitos dos deslocamentos da estrutura.
 Quanto aos materiais os esforços internos podem ser determinados por:
 
a ) Análise global elástica (diagrama tensão-deformação elástico-linear);
 
b ) Análise global plástica: diagrama tensão-deformação rígido-plástico, elastoplástico per-
feito ou elastoplástico não-linear.
 A análise global elástica é sempre permitida, de acordo com a NBR 8800, mesmo que os 
esforços resistentes da seção transversal sejam avaliados considerando-se a plasticidade.
 A mesma norma também permite o uso de uma análise global plástica para seções 
compactas, desde que as seções e as ligações possuam capacidade de rotação suficiente para 
formação de rótulas plásticas e redistribuição de esforços solicitantes. A estabilidade da estru-
tura deve ser verificada para essa condição.
 A não-linearidade do material pode ser considerada em alguns 
casos, de forma indireta, realizando-se uma análise elástica reduzin-
do-se a rigidez das barras. Por fim, a NBR 8800/08 permite o uso da 
redistribuição de momentos em vigas.
 Quanto ao efeito dos deslocamentos, os esforços internos podem ser determinados 
por:
 a ) Análise com efeitos de primeira ordem, com base na geometria indeformada da es-
trutura;
66 
 Métodos de análise que podem ser utilizados para a avaliação 
dos efeitos de segunda ordem de acordo com a NBR 8800, são os que 
consideram direta ou indiretamente a influência da geometria de-
formada da estrutura (efeitos P-δ e P-Δ), das imperfeições iniciais, do 
comportamento das ligações e da redução de rigidez dos elementos 
2.3.2 - Classificação das estruturas quanto à sensibilidade a deslocamentos 
laterais
 As estruturas são classificadas quanto à sensibilidade a deslocamentos laterais em es-
truturas de pequena deslocabilidade, média deslocabilidade ou grande deslocabilidade.
 Para uma estrutura ser classificada como de pequena deslocabilidade utiliza-se uma 
relação entre o deslocamento lateral do andar relativo à base obtido na análise de segunda 
 b ) Análise com efeitos de segunda ordem, com base na geometria deformada da estru-
tura.
 A análise com efeitos de segunda ordem deve ser usada sempre que os deslocamentos 
afetarem de forma significativa os esforços internos.
 Em relação aos deslocamentos, a NBR 8800 usa a seguinte classificação:
• P-Δ deslocamentos horizontais dos nós da estrutura ou efeitos globais de segunda or-
dem;
• P-δ deslocamentos decorrentes da não-retilineidade dos eixos das barras ou efeitos lo-
cais de segunda ordem.
componentes (quer pela não-linearidade do material, quer pelo efeito das tensões residu-
ais).
67
 Para uma estrutura ser classificada como de média deslocabilidade quando a máxima 
relação entre o deslocamento lateral do andar relativo à base obtido na análise de segunda 
ordem e aquele obtido na análise de primeira ordem, considerando todos os andares e todas 
as combinações últimas de ações for superior a 1,4.
ordem, Δ2, e aquele obtido na análise de primeira ordem, Δ1, considerando todos os andares, 
verificando para cada um, e todas as combinações últimas de ações (Normais, Especiais e Ex-
cepcionais), for igual ou inferior a 1,1.
 Uma estrutura é classificada como de grande deslocabilidade quando a máxima rela-
ção entre o deslocamento lateral do andar relativo à base obtido na análise de segunda ordem 
e aquele obtido na análise de primeira ordem, considerando todos os andares e todas as com-
binações de ações últimas for superior a 1,4.
 Como visto, a classificação da estrutura depende da combinação última de ações con-
sideradas. Por simplicidade essa classificação pode ser feita uma única vez, tomando-se a com-
binação de ações que fornecerem, além de forças horizontais, a maior resultante de carga gra-
vitacional.
 Para a classificação das estruturas quanto à sensibilidade a deslocamentos laterais não 
necessita, ser consideradas na análise as imperfeições iniciais do material. A relação entre o 
deslocamento lateral do andar relativo à base obtido na análise de segunda ordem e aquele 
obtido na análise de primeira ordem pode ser aproximada de maneira aceitável pelo valor do 
coeficiente B2, sendo:
68 
 Na qual:
 ΣNSd é carga gravitacional total que atua no andar considerado, englobando as cargas 
atuantes nas subestruturas de contraventamento e nos elementos que não pertençam a essas 
subestruturas;
 
 Rs é um coeficiente de ajuste, igual a 0,85 nas estruturas onde o sistema resistente a 
ações horizontais é constituído apenas por subestruturas de contraventamento formadas por 
pórticos nos quais a estabilidade lateral é assegurada pela rigidez à flexão das barras e pela 
capacidade de transmissão de momentos das ligações e igual a 1,0 para todas as outras estru-
turas;
 Δh é o deslocamento horizontal relativo entre os níveis superior e inferior (deslocamen-
to interpavimento) do andar considerado, obtido da análise de primeira ordem, na estrutura 
original. Se Δh possuir valores diferentes em um mesmo andar, deve ser tomado um valor pon-
derado para esse deslocamento, em função da proporção das cargas gravitacionais atuantes 
ou, de modo conservador, o maior valor;
 
 ΣHSd é a força lateral no andar, produzida pelas forças horizontais de cálculo atuantes, 
usadas para determinar Δh e obtida na estrutura original;
 
 H é a altura do andar (distância entre eixos de vigas de dois andares consecutivos ou 
entre eixos de vigas e a base, no caso do primeiro andar).
69
 O Anexo D da Norma NBR 8800/2008 descreve o método de 
amplificação dos esforços solicitantes para a execução da análise elás-
tica aproximada de segunda ordem, levando em conta os efeitos glo-
bais P-Δ e local P-δ.
2.3.3 - Sistemas Resistentes a Ações Horizontais
 Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas 
que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte ou até a totalidade 
dessas ações, sobrando às demais partes da estrutura apenas o efeito das cargas verticais.
 Subestruturas de contraventamento: são responsáveis por absorver os esforços ho-
rizontais, podem ser pórticos em forma de treliça, paredes de cisalhamento, incluindo aquelas 
que delimitam os núcleos de serviço dos edifícios, e pórticos nos quais a estabilidade é asse-
gurada pela rigidez à flexão das barras e pela capacidade de transmissão de momentos das 
ligações.
 Elementos contraventados: são os demais elementos da edificação, elementos que 
não participam dos sistemas resistentes a ações horizontais. As forças que estabilizam esses 
elementos devem ser transferidas para as subestruturas de contraventamento e ser considera-
das no dimensionamento destas últimas.
 Os elementosque não dependem das subestruturas de contraventamento para sua 
estabilidade são ditos elementos isolados. São elementos cujo comportamento independe do 
restante da estrutura. Elementos contraventados podem ser tratados também como elemen-
tos isolados.
70 
2.3.4 - Considerações para dimensionamento
 O comprimento destravado de uma barra é definido como a distância entre dois pontos 
de contenção lateral ou entre um ponto de contenção lateral e uma extremidade. Um ponto de 
contenção lateral pode ser:
• Um nó de uma barra de uma subestrutura de contraventamento formada por um pórtico 
em forma de treliça ou por um pórtico no qual a estabilidade é assegurada pela rigidez à 
flexão das barras e pela capacidade de transmissão de momentos das ligações; 
• Um ponto qualquer das subestruturas de contraventamentos citadas na alínea a) devida-
mente ligado a um nó dessas subestruturas;
• Um nó de um elemento contraventado devidamente ligado a uma subestrutura de con-
traventamento.
 Nos métodos de análises descritos na NBR 8800/2008, permi-
te-se, para barras prismáticas, o uso do comprimento de flambagem 
igual ao comprimento destravado da barra, ou seja, a adoção de coe-
ficiente de flambagem K igual a 1,0. O uso de valores de K superiores a 
 A determinação dos esforços solicitantes, para as combinações últimas de ações, deve 
ser realizada por meio de análise elástica de segunda ordem. Para estruturas de pequena des-
locabilidade, pode ser feita análise de primeira ordem.
 As seções transversais quando submetidas à compressão ou à flexão podem ser clas-
sificadas de acordo com a possibilidade da ocorrência de falhas por instabilidades antes de 
1,0 é substituído por imperfeições geométricas e de material iniciais equivalentes
71
atingir a resistência última (seção transversal totalmente plastificada). Essa classificação é feita 
em função do parâmetro de esbeltez, λ, que relaciona larguras de partes da seção transversal 
com suas respectivas espessuras.
 Dependendo do valor do parâmetro de esbeltez, λ, dos componentes comprimidos em 
relação ao parâmetro de esbeltez de plastificação, λp, que indica a esbeltez limite para que a 
seção seja completamente plastificada, e do parâmetro de esbeltez elástico, λr, que indica a 
esbeltez limite para que não ocorra plastificação da seção transversal, as seções transversais 
são classificadas em:
 Compactas: seções com todos os elementos comprimidos com λ não superior a λp e 
cujas mesas são ligadas continuamente à(s) alma(s) (λ ≤ λp). As seções compactas são capazes 
de desenvolver uma distribuição de tensões totalmente plástica, com grande rotação antes 
do início da flambagem local. Essas seções são adequadas para análise plástica, devendo, no 
entanto, para esse tipo de análise, ter um eixo de simetria no plano do carregamento quando 
submetidas à flexão, e ser duplamente simétricas quando submetidas à força axial de compres-
são (Figura 15);
Figura 15 - Desenvolvimento de tensões de flexão em uma seção compacta
Fonte: Arquivo pessoal do autor
72 
 Semicompactas: seções que possuem um ou mais elementos comprimidos com λ ex-
cedendo λp, mas não λr (λp < λ ≤ λr). Nas seções semicompactas, os elementos comprimidos 
podem atingir a resistência ao escoamento, levando-se em conta as tensões residuais, antes 
que a flambagem local ocorra, mas não apresentam grande capacidade de rotação (Figura 16);
 Esbeltas: seções que possuem um ou mais elementos comprimidos com λ excedendo 
λr (λ > λr). Nas seções esbeltas, um ou mais elementos comprimidos apresentam instabilidades 
em regime elástico, levando-se em conta as tensões residuais (Figura 17).
Figura 16 – Desenvolvimento de tensões de flexão em uma seção semicompacta
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Figura 17 - Desenvolvimento de tensões de flexão em uma seção esbelta, σc e σt são no máximo iguais a fy
Fonte: Arquivo pessoal do autor
73
 Para efeito de flambagem local, os elementos componentes das seções transversais 
usuais, exceto as seções tubulares circulares, são classificados em:
• AA quando possuem duas bordas longitudinais vinculadas (Figura 18);
• AL quando possuem apenas uma borda longitudinal vinculada (Figura 19).
Figura 18 - Exemplo de elemento AA na seção transversal
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Figura 19 - Exemplo de elemento AL na seção transversal
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 O parâmetro de esbeltez λ dos elementos componentes da seção transversal é definido 
pela relação entre largura e espessura (relação b/t).
 A largura b de alguns dos elementos AA mais comuns deve ser tomada como a seguir:
74 
• Para almas de seções I, H ou U laminadas, a distância livre entre mesas menos os dois 
raios de concordância entre mesa e alma;
• Para almas de seções I, H, U ou caixão soldadas, a distância livre entre mesas;
• Para mesas de seções caixão soldadas, a distância livre entre as faces internas das almas;
• Para almas e mesas de seções tubulares retangulares, o comprimento da parte plana do 
elemento (se esse comprimento não é conhecido, pode ser tomado como a largura total 
medida externamente menos três vezes a espessura);
• Para chapas, a distância entre linhas paralelas de parafusos ou solda.
 A largura b de alguns dos elementos AL mais comuns deve ser tomada como a seguir:
• Para mesas de seções I, H e T, a metade da largura total da mesa;
• Para abas de cantoneiras e mesas de seções U, a largura total do elemento;
• Para chapas, a distância da borda livre à primeira linha de parafusos ou de solda;
• Para almas de seções T, a altura total da seção transversal (altura da alma mais a espessura 
da mesa).
 Por fim, a norma NBR 8800/2008 adota em suas considerações que os eixos das rota-
ções na seção transversal e as direções dos comprimentos destravados são os mesmos. Uma 
forma de entender isso é que o comprimento destravado é definido em função da rotação da 
seção transversal, por exemplo, se a deflexão da peça ocorrer com rotações em torno do eixo x, 
75
idealiza-se que a deformada está associada diretamente a esse giro e portanto o comprimento 
destravado medido com essa deformada seria chamado de Lb,x.
 Essa consideração segue à risca a ideia do giro da seção transversal em torno de um 
eixo de flexão, ao qual estão relacionadas as propriedades geométricas como inércia e raio de 
giração,porém viola o conceito de comprimento destravado ou comprimento de flambagem 
(quando se aplicar) (Figura 20).
Figura 20 - Ilustração das direções das flechas e das respectivas rotações na seção transversal.
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Observe que pela definição a inércia, I, e o raio de giração, r, são calculados em torno 
de um eixo, ou seja, Ix e rx é em torno de x, formato presente em muitas tabelas de perfis de 
diversos fabricantes. O comprimento destravado, Lb,x, conforme visto anteriormente, é defini-
do como a distância entre dois pontos de contenção lateral ou entre um ponto de contenção 
lateral e uma extremidade (ligação) e que, portanto, deve ser medido na direção do eixo da 
contenção lateral ou ligação de extremidade. Esses pontos de contenção lateral ou ligações 
76 
de extremos são idealizados como apoios no modelo estrutural, os quais seguem a mesma di-
reção da contenção ou ligação original. Como a definição do comprimento destravado e tam-
bém do comprimento de flambagem seguem a disposição desses apoios, devem ser medidos 
no mesmo plano ou mesma direção.
 Resumindo, se o comprimento destravado é medido na direção x, plano X-Z, Lb,x, o raio 
de giração deve ser tomado em torno do eixo y, ry, utilizando-se assim a correta definição de 
ambos os termos.
 O raio de giração é definido como:
 Em que:
 
 Ag: é área brutada seção transversal;
 
 Ix e Iy: são as inércias.
 Para saber mais sobre deslocabilidade e sistemas de contenção 
e contraventamento, faça uma pesquisa sobre resistência e rigidez das 
contenções laterais, item abordado na NBR 8800, e que estão associa-
dos a integridade da estrutura
77
2.4 - Exercícios Resolvidos - Ações
1 – Uma viga de edifício comercial está sujeita a momentos fletores oriundos de diferentes 
cargas:
- Peso próprio de estrutura metálica M_gl=10kn/m 
- Peso dos outros componentes não metálicos permanentes M_g2=50kn/m 
- Ocupação da estrutura M_q=30kn/m 
- Vento M_v=20kn/m 
 Calcular o momento fletor solicitante de projeto M_dsol
 Solução:
 As solicitações M_st e M_g2 são permanentes e devem figurar em todas as combina-
ções de esforços. As solicitações M_q e M, são variáveis e devem ser consideradas, uma de cada 
vez, como dominantes nas combinações. Têm-se então as seguintes combinações:
 1,25M_gl + 1,5 M_g2 + M_q + 1,4 x 0,6M_v = 149,3kNm
 1,25M_gl + 1,5 M_g2 + M_v + 1,4 x 0,7M_q = 147,0kNm
 O momento fletor solicitante de projeto M_st = 149,3kNm.
2 – Uma diagonal de treliça de telhado está sujeita aos seguintes esforços normais (+ tração) 
oriundos de diferentes cargas:
78 
- Peso próprio da treliça e cobertura metálica N_g=1 kn 
- Vento de sobrepressão v1 N_v1=1,5 kn
- Vento de sucção v2 N_v2=-3 kn 
- Sobrecarga variável N_q=0,5 kn 
 Calcular o esforço normal solicitante de projeto.
 Solução:
 Nestes casos as cargas variáveis v1 e v2 não ocorrem simultaneamente; logo, não se 
combinam. Na combinação em que a carga v2 for dominante, a carga permanente terá efeito 
favorável. Tem-se então:
 1,25N_g + 1,4 N_st + 1,5 x 0,5N_q = 3,87kN
 1,0N_g + 1,4 N_v2 = - 3,20kN
 1,25N_g + 1,5 1,0N_q + 1,4 x 0,6N_v1 = 3,26kN
 Observa-se neste exemplo uma característica típica de cobertura de aço: por ser uma 
estrutura leve, a ação do vento de sucção produziu reversão nos sinais dos esforços devidos 
ao peso próprio. Portanto, a diagonal deverá ser projetada para suportar com segurança os 
seguintes esforços normais de projeto: 
 N_d = 3,87 kN (tração)
 
 N_d = 3,26 kN (compressão)
Objetivos da Unidade
Unidade III - 
 Barras Prismáticas Submetidas à Força 
Axial de Tração e Barras Prismáticas Sub-
metidas à Força Axial de Compressão
III
- Dimensionar barras prismáticas submetidas à força axial de tração pura, 
incluindo barras ligadas por pinos e barras redondas com extremidades 
rosqueadas, de acordo com as premissas estabelecidas na Unidade I. 
- Dimensionar barras prismáticas submetidas à força axial de compressão 
pura aplicada no centro de torção ou cisalhamento, de acordo com as 
premissas estabelecidas na Unidade I. 
80 
Unidade III – Barras Prismáticas Submetidas à Força Axial de Tração e Barras 
Prismáticas Submetidas à Força Axial de Compressão
3.1 - Generalidades sobre Tração
 O aço é um material que apresenta bom desempenho quando tracionado. Dimensio-
nar uma peça tracionada é relativamente simples, no entanto requer o conhecimento sobre o 
comportamento do material e a distribuição de tensões nos elementos. 
 As ligações das extremidades das peças tracionadas com outras partes da estrutura po-
dem ser feitas por:
• Soldagem;
• Conectores (parafusos) aplicados em furos;
• Rosca e porca (caso de barras rosqueadas).
3.2 - Condição de Segurança para a Tração
 
 A condição de segurança para barras metálicas tracionadas, em função do estado limite 
último, é definida por:
 Na qual:
 
 N_(t,Sd) é a força axial de tração solicitante de cálculo, obtida pelo envoltória do estado 
limite último em sua combinação de ações mais desfavorável, sejam elas, normal, especial ou 
excepcional;
 N_(t,Rd) é a força axial de tração resistente de cálculo.
81
3.3 - Limitação do Índice de Esbeltez para a Tração
 Antes de iniciar o cálculo propriamente dito da força axial resistente de cálculo, deve-se 
verificar se as barras atendem ao requisito mínimo quanto ao índice de esbeltez. A Figura 24 
demonstra os eixos x, y e z de uma peça metálica.
 Essa limitação não é uma restrição, porém recomenda-se que o índice de esbeltez das 
barras tracionadas, tomado como a maior relação entre o comprimento destravado e o raio 
de giração correspondente (Lb/r), excetuando-se tirantes de barras redondas pré-tencionadas 
ou outras barras que tenham sido montadas com pretensão, não supere 300. Essa verificação 
deve ser feita para ambas as direções cartesianas da seção transversal, ou seja:
Figura 21 - Eixos na seção transversal, o eixo z é sempre definido como sendo no sentido longitudinal da barra 
(saindo do plano da figura).
Fonte: Arquivo pessoal do autor
82 
 sendo:
 Lb,x o comprimento destravado na direção x (medido no plano X-Z);
 Lb,y o comprimento destravado na direção y (medido no plano Y-Z);
 rx o raio de giração em torno de x (sem usar a regra da mão direita, na direção y);
 ry o raio de giração em torno de y (sem usar a regra da mão direita, na direção x);
 Repetindo o disposto na unidade anterior, observe que pela de-
finição o raio de giração é calculado em torno de um eixo, ou seja, rx é 
em torno de x, formato presente em muitas tabelas de perfis de diver-
sos fabricantes. Define-se comprimento destravado, Lb,x, de uma barra 
 Um ponto de contenção lateral pode ser uma união de um elemento contraventado 
devidamente ligado a uma subestrutura de contraventamento.
 Recomenda-se que perfis ou chapas, separados uns dos outros por uma distância igual 
à espessura de chapas espaçadoras, formando assim uma seção transversal composta, sejam 
interligados através dessas chapas espaçadoras de modo que o maior índice de esbeltez de 
qualquer perfil ou chapa, entre essas ligações, não ultrapasse 300. A Figura 25 exemplifica, sen-
do a distância entre essas chapas espaçadoras e r o mínimo raio de giração da seção trans-
versal dentre os perfis que formam a composição, de maneira a relação sempre resulte em 
como a distância entre dois pontos de contenção lateral ou entre um ponto de contenção 
lateral e uma extremidade (ligação) e que, portanto, deve ser medido na direção do eixo da 
contenção lateral ou ligação de extremidade. Resumindo, se o comprimento destravado é 
medido na direção x, plano X-Z, Lb,x, o raio de giração deve ser tomado em torno do eixo y, 
ry
83
 No caso dessas recomendações não serem adotadas, o responsável técnico pelo pro-
jeto estrutural deve estabelecer novos limites para garantir que as barras tracionadas tenham 
um comportamento adequado em condições de serviço.
3.4 - Força Axial de Tração Resistente de Cálculo – Nt,Rd 
 Segundo a NBR8800/08, a resistência de uma peça sujeita à tração axial possui dois es-
tados limites últimos: 
• Escoamento da seção bruta, isto é, o escoamento generalizado da peça ao longo de seu 
comprimento; 
• Ruptura da seção líquida efetiva (seção com furos). 
 O escoamento da seção com furos (seção líquida) não constitui um estado limite últi-
mo, pois conduz a um pequeno alongamento da peça.
um valor máximo possível, ou seja, máximo admissível e mínimo r existente.
Figura 22 - Barra composta tracionada, as definições se aplicam a quaisquer perfil que formem barras compostas 
tracionadas
Fonte: Arquivo pessoal do autor
84 
 No estado limite último de escoamento da seção bruta supõe-se que toda a seção este-
ja solicitada por tensões de escoamento. Chama-se de resistência de cálculo para escoamento 
da seção bruta ao valor:
 Em que: 
 
 Ag é a área bruta da seção (desprezar a presença de furos); 
 
 fy é a tensão de escoamento do aço.
 No estado limite último de ruptura da seção líquida efetiva considera-se que a ruptura 
deve ocorrerna seção mais frágil da peça, presumivelmente a de menor seção transversal. As-
sim, os furos têm que ser levados em conta:
 Em que:
 Ae é a área líquida efetiva; 
 fu é a tensão de ruptura do aço.
85
 Deve ficar claro que ambos estados limites últimos devem ser 
verificados e atendidos. Deste modo, a força axial de tração resistente 
de cálculo Nt,Rd a ser usada no dimensionamento é o menor dos valo-
res obtidos. 
3.4.1 - Área líquida
 A ruptura de um elemento de aço, com vários furos, quando submetida à tração, pode 
ser difícil de ser determinada teoricamente. Numa barra com furação reta (linha I da Figura 25), 
a área líquida (An) é obtida subtraindo-se da área bruta (Ag) as áreas dos furos contidos em 
uma seção reta da peça. Entretanto, no caso de uma furação enviesada é necessário avaliar 
diversos percursos (linhas III e IV, por exemplo) para encontrar o menor valor de seção líquida, 
uma vez que a peça pode romper segundo qualquer um desses percursos. 
 Há várias maneiras de se resolver este problema, entretanto deve-se ter em mente que 
um processo para ser empregado no trabalho de escritório deve ser simples e confiável. Pro-
cessos complicados tornam o projeto caro, enquanto que processos muito simples podem 
conduzir a resultados pouco confiáveis. Dessa forma, a NBR 8800/08 adota a fórmula de Co-
chrane para cálculo da área líquida, para seções em ziguezague (ver Figura 23):
 Tais expressões não se aplicam para o dimensionamento de barras redondas com 
extremidades rosqueadas e barras ligadas por pinos
86 
 Em que:
 
 bn é a largura líquida da seção, 
 b é a largura bruta da seção, 
 df é o diâmetro efetivo do furo, 
 s é a distância entre furos consecutivos medida na direção do esforço, e 
 g é a distância entre furos consecutivos medida ortogonalmente ao esforço. 
 Assim, a área líquida pode ser representada pela equação:
Figura 23 - Área líquida de peças com furação reta e em ziguezague.
Fonte: Arquivo pessoal do autor
87
 Em que:
 t é a espessura da barra ou chapa.
 É importante lembrar que o diâmetro do furo é obviamente maior do que o do parafuso 
e que o processo mais comum de abrir furos é o puncionamento. Neste processo, o furo é ob-
tido pelo rasgamento da peça, acarretando um orifício de forma aproximadamente tronco-cô-
nica, com paredes de superfície irregular. O material que circunda as paredes do furo apresenta 
algumas trincas, que faz com que seja desprezada sua contribuição na resistência a tração da 
peça. Assim, calcula-se um diâmetro efetivo do furo, dado por:
 Em que:
 
 d é o diâmetro do parafuso, 
 p é a espessura de parede danificada pela punção (tomar 2,0 mm para furos punciona-
dos), 
 f é a folga entre o parafuso e o furo (tomar 1,5 mm ou o valor de projeto). 
 A Tabela 9 apresenta as dimensões máximas de furos para parafusos e barras redondas 
rosqueadas (dimensões em milímetros).
88 
 Caso o furo seja perfurado com brocas, pode-se adotar p = 0 e, para parafusos e furos 
ajustados, isto é, parafusos usinados e furos perfurados por brocas, pode-se reduzir a folga 
(valor de projeto) entre o furo e o fuste do conector. 
Para cantoneiras é comum adotar a área bruta considerando que a seção transversal seja com-
posta de dois retângulos, como podemos ver na Figura 27. Assim, é possível rebater uma das 
abas e determinar as linhas de rupturas através de um problema plano. A área bruta pode ser 
calculada por:
3.4.2 - Área líquida efetiva
 Quando a ligação é feita por todos os segmentos de um perfil, a seção participa inte-
gralmente da transferência do esforço de tração. Isto não acontece, por exemplo, nas ligações 
Tabela 9 - Dimensões máximas de furos
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Figura 24 - Área bruta de cantoneiras
Fonte: Arquivo pessoal do autor
89
 Em que Ct é um coeficiente que depende da forma como é feita a ligação, como segue:
das cantoneiras com a chapa de nó da Figura 25, nas quais a transferência dos esforços se dá 
através de uma aba de cada cantoneira. Nesses casos as tensões se concentram no segmento 
ligado e não mais se distribuem em toda a seção. A consideração deste efeito pode ser feita 
através de um coeficiente Ct. Assim, a área líquida efetiva Ae é dada por:
Figura 25 - Efeito de tensões localizadas: Fluxo de tensões e superfície de ruptura nas abas de uma cantoneira na 
zona de ligação.
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 A área líquida efetiva é considerada igual à área líquida quando uma barra tracionada é 
solicitada na ligação em todos seus elementos (alma e mesas), pois se supõe que a tensão seja 
uniforme ao longo da seção transversal, que na realidade é a tensão média. Em outras palavras, 
transmitindo-se o esforço por todos os elementos da seção é razoável imaginar que ocorra 
uma distribuição quase uniforme de tensões na seção transversal, caso contrário haverá pon-
tos com tensão normal acima da média. Sempre que se consegue distribuição uniforme (ou 
quase) de tensões na seção, pode-se considerar que a área líquida seja igual à efetiva. Quando 
isso não acontece, isto é, quando o detalhe da ligação não é adequado para se obter distribui-
ção uniforme, usa-se uma área efetiva menor do que a líquida. 
 A NBR 8800/08 classifica o problema em função do detalhamento da ligação. A seguir 
apresenta-se a abordagem sugerida: 
90 
 Neste caso a tensão máxima de tração se aproxima da tensão média na seção. Para 
todos ou demais casos (Figura 29a) a tensão máxima diverge da média e é necessário que se 
calcule o coeficiente Ct.
 
 b ) Quando a força de tração for transmitida somente por soldas transversais:
 Em que Ac é a área da seção transversal dos elementos conectados e Ag é a área bruta 
da seção transversal da barra, conforme mostra a Figura 27.
 a ) Supõe-se que a distribuição de tensões seja uniforme (Figura 28b) quando a força de 
tração for transmitida diretamente para cada um dos elementos da seção transversal da 
barra, por soldas ou parafusos: 
Figura 26 - Distribuição de tensões de tração em um perfil I: (a) apenas nas mesas, na qual Ct<1,0; (b) à direita em 
toda a seção, na qual Ct = 1,0
Fonte: Arquivo pessoal do autor
91
c ) Nas barras com seções transversais abertas, quando a força de tração for transmitida so-
mente por parafusos ou somente por soldas longitudinais ou ainda por uma combinação 
de soldas longitudinais e transversais para alguns dos elementos da seção transversal, 
mas não todos:
Figura 27 - Ligação com soldas transversais
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Deve-se adotar 0,90 como limite superior, e não são permitidos detalhes que condu-
zam a valores inferiores a 0,60. 
 Em que ec é a excentricidade da ligação, igual à distância do centro geométrico da 
seção da barra, G, ao plano de cisalhamento da ligação. No caso de perfis I ou U, ligados pelas 
mesas, que têm simetria em relação a um plano paralelo ao das chapas de ligação, deve-se 
fazer uma conexão simétrica e trata-se como duas barras fictícias tracionadas excentricamente 
de seção em forma de T, também simétricas, cada uma correspondente a um dos planos de ci-
salhamento. O valor de ec será a distância do centroide da seção T à face externa da mesa, isto 
é, ao plano de cisalhamento. No caso de ligação pela alma os perfis I serão divididos em duas 
seções fictícias em forma de U e Ct será a distância do centroide à superfície de cisalhamento. 
 Alguns detalhes são mostrados na Figura 28.
92 
 Nas ligações soldadas ℓc é o comprimento da ligação, igual ao comprimento da solda e 
nas ligações parafusadas é a distância do primeiro ao último parafuso da linha de furação com 
maior número de parafusos, na direção da força axial; 
d ) Nas chapas planas, quando a força de traçãofor transmitida somente por soldas longitu-
dinais ao longo de ambas suas bordas, conforme a Figura 29:
 Ct = 1,0 para ℓw ≥ 2b
 
 Ct = 0,87 para 2b > ℓw ≥ 1,5b 
 Ct = 0,75 para 1,5b > ℓw ≥ b 
Figura 28 - Ligação com soldas transversais
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Figura 29 - Ligação com soldas transversais
Fonte: Arquivo pessoal do autor
93
 Em que ℓw é o comprimento dos cordões de solda e b é a largura da chapa (distância 
entre as soldas situadas nas duas bordas).
e ) Nas barras com seções tubulares retangulares, quando a força de tração for transmitida 
por meio de uma chapa de ligação concêntrica ou por chapas de ligação em dois lados 
opostos da seção, desde que o comprimento da ligação, ℓc , não seja inferior a dimensão 
da seção na direção paralela às chapas de ligação, o valor ec será a distância do centroide 
do U fictício até o plano de cisalhamento, conforme mostrado na Figura 30.
Figura 30 - Ligação com soldas transversais
Fonte: Arquivo pessoal do autor
f ) Nas barras com seções tubulares circulares, quando a força de tração for transmitida por 
meio de uma chapa de ligação de eixo longitudinal concêntrico com o do tubo: 
• Se o comprimento da ligação, ℓc, for superior ou igual a 1,30 do diâmetro externo da 
barra; 
94 
• Se o comprimento da ligação for superior ou igual ao diâmetro externo da barra e menor 
que 1,30 vezes esse diâmetro, ec será a distância entre o centroide de cada uma das se-
mi-sessões fictícias e o plano de cisalhamento, conforme Figura 34.
 Em todos os casos, quando as ligações forem parafusadas deve-se garantir que haja 
pelo menos dois parafusos por linha de furação, na direção das tensões normais. No caso de 
barras com extremidades ligadas por pinos, o coeficiente de redução Ct = 1, 0.
3.4.3 - Peças com Extremidade Rosqueadas
 As barras com extremidades rosqueadas são barras com diâmetro igual ou superior a 
12 mm (1/2”), nas quais o diâmetro externo da rosca é igual ao diâmetro nominal da barra. 
 Para os tipos de rosca utilizados na indústria, a relação entre a área efetiva à tração na 
rosca (Aef ) e a área bruta da barra redonda (Ag) varia dentro de uma faixa limitada (0,73 a 0,80). 
Assim, é possível calcular a resistência das barras redondas tracionadas em função da área bru-
ta Ag, com um coeficiente médio de 0,75. Nessas condições, a resistência de projeto de barras 
Figura 31 - Valor de ec em seção tubular circular
Fonte: Arquivo pessoal do autor
95
rosqueadas pode ser obtida pela expressão:
3.4.4 - Barras Ligadas por pino
 Os pinos são conectores de grande diâmetro que trabalham isoladamente, sem com-
primir transversalmente as chapas. Os pinos são utilizados em estruturas fixas desmontáveis 
ou em estruturas móveis. 
 No caso de chapas ligadas por pinos, a resistência de projeto à tração da chapa é de-
terminada pelo menor valor entre o escoamento da seção bruta, a ruptura da seção líquida 
efetiva e o rasgamento da seção entre o furo e a borda da chapa. 
• Ruptura da seção líquida por tração
• Ruptura da seção líquida por cisalhamento
 Na verificação das extremidades de barras ligadas por pinos através de chapas, a área 
de cisalhamento da chapa ligada por pino é dada por:
96 
 Na qual:
 
 a é a menor distância da borda do furo à extremidade da barra medida na direção para-
lela à força axial atuante, sendo que a≥ 4/2 b_ef ;
 
 dp é o diâmetro do pino;
 
 t é a espessura da chapa de ligação.
 
 bef é uma largura efetiva, igual a 2t + 16mm, mas não mais que a distância entre a bor-
da do furo e a borda da peça medida na direção perpendicular à força axial atuante,
 fu é a resistência de ruptura do aço. 
 A Figura 32 mostra uma ligação por pino
Figura 32 - Valor de ec em seção tubular circular
Fonte: Arquivo pessoal do autor
97
 É obrigatório que o furo do pino esteja igualmente distante das bordas da barra na 
direção transversal ao esforço normal atuante, isto é, deve haver simetria na região da ligação. 
Quando o pino tiver função permitir rotações relativas entre as partes conectadas o diâmetro 
do furo dh pode ser, no máximo, 1,0mm maior que o do pino dp.
3.5 - Exercícios Resolvidos – Tração
 1 – Chapa simples tracionada. Calcular a espessura necessária de uma chapa de 100 
mm de largura, sujeita a um esforço axial de 100 kN (10tf ) de cálculo. Resolver o problema para 
o aço MR250.
Figura 33 - Chapa simples tracionada
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Solução:
 Para aço MR250, tem-se:
 A área bruta necessária pode ser determinada através do escoamento da seção bruta:
 Desta forma, a espessura necessária (t) é:
98 
 Deve-se procurar a espessura comercial acima do mínimo definido, mas o mais perto 
possível deste, sendo então, sugerido adotar uma chapa de 3/16” (equivalente a aproximada-
mente 4,75mm).
 2 – Chapa Simples Parafusada: Uma chapa de 1/2 x 5” (1,27 x 12,7cm) de aço 
A36(MR250) é solicitada à tração conforme indicado. Ela está conectada à uma chapa gusset 
por quatro parafusos de diâmetro 5/8 “ (15,875mm). Determine o esforço de tração resistente 
pelo método dos estados limites.
 Solução:
a ) Primeiro calculam-se os parâmetros necessários:
Figura 34 - Chapa Simples Parafusada
Fonte: Arquivo pessoal do autor
b ) Cálculos dos esforços de tração resistentes de cálculo utilizando o método dos Estados 
Limites
99
 Como o menor valor é o referente à = 331, 85kN, esse é o limitador da resistên-
ciado elemento.
 3 – Tirante Rosqueado: Calcular o diâmetro do tirante capaz de suportar uma carga 
permanente especial axial de 150 kN de um equipamento, sabendo-se que a transmissão de 
carga será feita por um sistema de roscas e porcas. Admitindo-se aço MR250 (ASTM A36).
 
 Solução:
 Primeiro será determinado a força de tração solicitante de cálculo:
 O dimensionamento de barras rosqueadas é feito através das equações a seguir para os 
casos de ESB e RSL
100 
 Como o caso crítico é o RSL (necessita de área maior que o caso ESB para ter força de 
tração resistente mínima necessária), tem-se:
 4 – Emenda de Chapas Parafusadas: Duas chapas de 22x300mm são emendadas por 
meio de talas, também de 22x300mm, com 2x8 parafusos de diâmetro 7/8” (aproximadamen-
te 22,2mm). Verificar se as dimensões das chapas são satisfatórias, admitindo-se aço MR250 
(ASTM A36), força permanente de 300kN (equipamentos) tracionando as chapas e B = 300mm.
 Solução: 
 O esforço solicitante de cálculo será:
Figura 35 - Chapa Simples Parafusada
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Há duas checagens que teoricamente seriam necessárias a partir daqui: a conferência 
das chapas com a força de tração solicitante de cálculo atuando igual à 450kN e a conferência 
101
das talas (chapas curtas superior e inferior de ligação) com uma força de tração solicitante de 
cálculo de 450/2 = 225kN atuando em cada uma. Entretanto, é fácil observar que o caso crítico 
é para as chapas ao se saber que ambas chapas e talas possuem a mesma espessura. Sendo 
assim, apenas esse caso será verificado.
 Define-se então as áreas brutas e líquida:
 Como a força de tração é transmitida diretamente por todos os elementos da seção 
transversal das chapas por furos, tem-se:
 São então calculados os calores dos esforços resistente de cálculo para as situações ESB 
e RSL:
 Como os esforços resistentes de cálculo para os casos ESB e ESL, respectivamente 
1513,64kN e 1297,19kN, são maiores que os esforços solicitantes de cálculo, 450kN, conclui-se 
que as dimensões das chapas são satisfatórias, com fato de segurança FS = = 0,347 <1,0, 
ou seja, está sendo utilizada apenas 34,7% da resistência total de cálculo das chapas.
102 
3.6 - Generalidades Sobre CompressãoComo vimos na Unidade 1, a verificação de segurança de uma estrutura é realizada com 
base no Método dos Estados Limites (ELU e ELS), estando associados a situações de colapso 
global ou local (ELU) ou inadequação para a utilização (ELS). Deste modo, os fenômenos de 
instabilidade estrutural correspondem sempre a situação de ELU. 
 Assim, o projeto de uma estrutura não pode basear-se unicamente em conceitos de se-
gurança relacionados com a resistência e deformabilidade dos seus elementos, especialmente 
no caso de estruturas esbeltas submetidas à compressão. Desta forma, torna-se indispensável 
considerar também os chamados fenômenos de instabilidade estrutural. 
 A flambagem está associada as ocorrências de instabilidade estrutural, e podemos divi-
dir o problema em: 
• Flambagem global – A flambagem global trata-se do problema tradicional de instabili-
dade de barras, e seu exemplo mais simples é a flambagem por flexão, determinada pela 
carga de Euler (Figura 36a). 
• Flambagem local – A flambagem local ocorre em elementos constituído por chapas fi-
nas (i.e., placas carregadas no seu plano, portanto, em estado plano de tensão), casos 
típicos dos elementos metálicos utilizados na engenharia estrutural, principalmente os 
perfis soldados de grandes dimensões e os perfis formados a frio (Figura 37b).
103
Figura 37 - (a) Flambagem global, (b) Flambagem local
Fonte: Reis e Camotin, 2001.
3.7 - Condição de Segurança 
 A condição de segurança de barras metálicas comprimidas, em função do estado limite 
último, é definida por:
 Na qual:
 
 Nc,Sd é a força axial de compressão solicitante de cálculo, obtida pelo estado limite 
último em sua combinação mais desfavorável;
 
 Nc,Rd é a força axial de compressão resistente de cálculo, determinada de acordo com 
os as seções a seguir.
104 
3.8 - Limitação do Índice de Esbeltez 
 
 Antes de iniciar o cálculo propriamente dito da força axial de compressão resistente de 
cálculo, deve-se, da mesma forma que para barras tracionadas, verificar se as barras atendem 
ao requisito mínimo quanto ao índice de esbeltez.
 O índice de esbeltez das barras comprimidas, tomado como a maior relação entre o 
produto KLb e o raio de giração correspondente r, não deve ser superior a 200. Essa verificação 
deve ser feita para ambas as direções, ou seja:
 nas quais:
 
 K é o coeficiente de flambagem;
 Lb,x comprimento destravado em x (plano X-Z);
 Lb,y comprimento destravado em y (plano Y-Z);
 rx o raio de giração em torno de x (regra da mão direita);
 ry o raio de giração em torno de y (regra da mão direita);
 Barras compostas (Figura 38), formadas por dois ou mais perfis trabalhando em conjun-
105
to, em contato ou com afastamento igual à espessura de chapas espaçadoras, devem possuir 
ligações entre esses perfis a intervalos tais que o índice de esbeltez entre duas chapas espa-
çadoras adjacentes ou ligações _min de qualquer perfil formador da seção composta, não 
seja superior a 1/2 do máximo índice de esbeltez da barra composta, KLb/r, ou seja:
 Na qual:
 
 é o maior comprimento entre chapas espaçadoras ou ligações entre os perfis;
 rmin raio de giração mínimo de um perfil da composição;
 K é o coeficiente de flambagem da barra composta;
 Lb é o comprimento destravado da barra composta;
 r é o raio de giração da seção composta em torno do eixo perpendicular à direção onde 
é medido o comprimento destravado, Lb (Exemplo, se mede-se Lb,x usa-se ry).
106 
 As relações a serem comparadas devem sempre apresentar um máximo valor possível, 
ou seja, para a relação de esbeltez dos perfis, , deve ser encontrado o perfil, dentre os 
constituintes da seção composta, que apresenta o menor valor de rmin. Já para a relação de es-
beltez da barra composta, KLb/r, deve ser encontrada a direção da seção transversal composta, 
X ou Y, que fornece o menor raio de giração r, no maior comprimento destravado Lb e com as 
restrições da direção fornecendo um maior valor de K. Por exemplo, se os comprimentos des-
travados em x e em y da barra composta forem iguais, assim como seus travamentos, resultado 
em um coeficiente de flambagem igual, a máxima relação é atingida para a direção que possuir 
o menor raio de giração
 Não confundir ℓ com Lb, ℓ é medido entre os conectores que 
mantém os perfis unidos dispostos em intervalos regulares dentro do 
comprimento destravado do perfil composto, Lb.
 Adicionalmente, pelo menos duas chapas espaçadoras devem ser colocadas ao longo 
do comprimento, uniformemente espaçadas.
Figura 38 - Barra composta comprimida.
Fonte: Arquivo pessoal do autor
107
3.9 - Flambagem Global 
 O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) formulou a primeira equação para o 
problema de uma haste submetida à carga de compressão sob efeito de instabilidade geo-
métrica. Para isso, considerou uma barra ideal, ou seja, perfeitamente reta, isenta de tensões 
residuais, com comportamento elástico linear e carga perfeitamente centrada (sem efeito da 
excentricidade).
 A partir do último século, numerosos estudos foram conduzidos a fim de determinar 
relações mais precisas de cálculo, que levassem em consideração os itens mencionados. Estas 
pesquisas incluíram um grande número de testes em colunas de tamanho real, levando a uma 
sistemática de cálculo baseada em curvas de resistência, que são o enfoque da NBR 8800/08.
3.9.1 - Comprimento de Flambagem
 O comprimento de flambagem de uma coluna é a distância entre os pontos de momen-
to nulo da barra comprimida, deformada lateralmente (Figura 37). Na Figura 38 estão indica-
dos os valores teóricos do parâmetro de flambagem K para barras com diferentes condições 
de vinculação. Os comprimentos de flambagem podem ser visualizados pela forma da linha 
elástica da barra deformada, portanto por considerações puramente geométricas. Eles podem 
também ser obtidos por processos analíticos. 
 Como nos pontos de inflexão da linha elástica o momento fletor é nulo, a carga crítica 
de uma barra com qualquer tipo de vinculação é igual à carga crítica da mesma barra, bi rotula-
da, com o comprimento de flambagem, , em que K é o parâmetro de flambagem e 
é o comprimento real não contraventado (sem contenção lateral) da barra. Portanto, para uma 
barra qualquer com comprimento real a carga de flambagem, em regime elástico, dada pela 
Fórmula de Euler fica: 
108 
3.9.2 - Flambagem por Torção e Flexo-Torção
 Em barras de seção aberta de paredes finas que esteja submetida a uma carga axial 
de compressão, pode ocorrer a instabilidade por torção ao passo que seu eixo permanecerá 
longitudinalmente reto (Figura 40a). Concomitantemente, pode ocorrer uma combinação de 
flambagem por flexão e torção, originando a flambagem por flexo torção. Este último caso 
pode ocorrer em seções perfis em que o centro de gravidade não coincide com o centro de 
corte como, por exemplo, os perfis cantoneira, conforme mostrado na Figura 40b.
Figura 39 - Comprimentos de flambagem
Fonte: Arquivo pessoal do autor
109
 A equação de Timoshenko é válida para seções transversais nas quais o centro de corte 
é coincidente com o centro de gravidade. Assim temos a tensão crítica de flambagem por tor-
ção:
Figura 40 - (a) Flambagem por torção e (b) Flambagem por flexo-torção
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Em que:
 
 Ip é o momento polar de inércia;
 Cw é a constante de empenamento, 
 G é o módulo de elasticidade transversal; e 
 J é o momento de inércia a torção (torção de Saint-Venant).
110 
 Para cantoneiras, o centro de corte não coincide com o centro de gravidade, entretanto, 
a aplicação da equação acima leva a aproximações razoáveis, pois a distância entre eles não 
é grande. De fato, quando o centro de cortenão é coincidente com o centro de gravidade, a 
flambagem ocorrerá através de uma combinação entre flexão e torção. Nesta situação, três 
equações diferenciais (1) flambagem por flexão em torno do eixo x, (2) flambagem por flexão 
em torno do eixo y e (3) torção em relação ao centro de corte devem ser combinadas.
3.10 - Flambagem Local 
 Vimos anteriormente que a flambagem local é um fenômeno de instabilidade de pla-
cas, e há ocorrência em elementos metálicos, pois estes são constituídos por chapas finas, prin-
cipalmente os perfis soldados de grandes dimensões e os perfis formados a frio. No início do 
carregamento as placas sofrem um encurtamento devido à compressão axial e, ao atingir a 
carga crítica, subitamente sofrem translações normais ao seu plano médio, passando então a 
uma trajetória de pós-flambagem estável (Figura 41).
Figura 41 - Placa comprimida. Trajetórias de equilíbrio.
Fonte: Reis e Camotin, 2001
111
 Com a evolução da trajetória da pós-flambagem, surgem tensões de tração de mem-
brana que aumentam a rigidez da placa, possibilitando que a placa resista ao aumento de 
carga para além da carga crítica. Assim, uma diferença fundamental entre os problemas de 
flambagem de barra e flambagem de placa é o comportamento pós-flambagem. Considere-se 
o problema de uma placa retangular, simplesmente apoiada, com dimensões axb (Figura 42).
Figura 42 - Placa simplesmente apoiada sujeita a compressão
Fonte: Reis e Camotin, 2001
 Existem várias resoluções propostas para a equação diferencial de Saint-Venánt (1883), 
e uma resulta na conhecida fórmula para o cálculo da tensão crítica de flambagem da placa:
 Em que:
 , sendo a o comprimento do bordo longitudinal não carregado 
da placa, b comprimento do bordo transversal carregado, m o número de semi-comprimentos 
de onda na instabilidade na direção longitudinal e n o número de semi-comprimentos de onda 
na instabilidade na direção transversal.
112 
 Para outras condições de vínculo ao longo das bordas longitudinais, pode-se demons-
trar que a para placas longas continua válida, mas com um coeficiente Kmn modificado, con-
forme mostra Tabela 11.
 Assim como para a flambagem global, desconsiderando a influência das tensões re-
siduais e supondo um diagrama elasto-plástico ideal, não haveria flambagem local em uma 
placa desde que:
 Substituindo o valor de D, obtém-se:
 Para se obter a tensão crítica, é necessário determinar a combinação de valores de m e 
n que minimiza o valor de σb. Verifica-se que, independentemente do valor de m o mínimo de 
K se dá para n = 1. Para o caso de placas longas, ou seja, com a > 4b, Km = 4, o que significa que 
a placa flamba com semi-comprimentos de onda longitudinais iguais à largura da placa. Assim, 
para placas longas, vem:
Tabela 10 - Valores de K para distintas condições de contorno
Fonte: Arquivo pessoal do autor
113
 A fim de levar em conta a presença de tensões residuais e imperfeições geométricas, a 
NBR 8800/08 reduz o valor encontrado na equação anterior, multiplicando por um coeficiente 
empírico 0,7.
 Logo, a carga que leva ao colapso pode ser determinada como . Cabe sa-
lientar que os elementos com uma borda livre, como as abas de cantoneiras, possuem uma 
reserva pós-crítica bem menor do que os elementos com duas bordas apoiadas.
3.11 Critérios Gerias da NBR 8800/08 sobre Compressão 
 Devido aos efeitos de imperfeições geométricas e de tensões residuais, o conjunto de 
valores de tensões últimas obtido em resultados experimentais tem a distribuição ilustrada na 
Figura 43, estando abaixo da curva da coluna perfeita. Para colunas curtas os valores experi-
mentais de fc são maiores que fy devido ao encruamento do aço.
Figura 43 - Variação da resistência de uma coluna bi rotulada comprimida em função do índice de esbeltez λ
Fonte: Pfeil, 2009
114 
 A curva em linha cheia da Figura 43 (denominada curva de resistência à compressão 
com flambagem, ou simplesmente curva de flambagem) representa o critério de resistência 
de uma coluna, considerando os efeitos mencionados anteriormente. Nesta curva, podem ser 
observadas três regiões: 
• Colunas muito esbeltas (valores elevados de λ = ℓ ⁄r) na qual ocorre flambagem em regi-
me elástico (fcr < fy) e em que fc fcr 
• Colunas de esbeltez intermediária, nas quais há maior influência das imperfeições geo-
métricas e das tensões residuais; 
• Colunas curtas (valores baixos de λ = ℓ/r), nas quais a tensão última fc, é tomada igual à 
tensão de escoamento do aço fy. 
 Posteriormente, normas internacionais passaram a optar pela representação das dife-
rentes situações pela a adoção de uma curva única. A norma americana AISC e NBR 8800/08 
adotaram a curva chamada 2P definida pelo Structural Stability Research Council (SSRC), sen-
do descrita pelo parâmetro adimensional χ:
 O fator de redução associado à flambagem global, χ, é calculado em função do índice 
de esbeltez reduzido, λ0. O índice de esbeltez reduzido é calculado em função da força axial de 
flambagem elástica, Ne, e é dado por:
115
 Sendo Q o fator de redução associado à flambagem local calculado.
 A força axial de flambagem elástica, Ne, (Figura 44) de uma barra pode ser entendida 
como a máxima força axial de compressão que pode ser aplicada a barra, sem que a mesma 
apresente instabilidade por flambagem global. A força axial de flambagem elástica também 
é conhecida como carga crítica de Euler. A partir desse valor de carregamento, a barra sofrerá 
algum modo de flambagem local. 
Figura 44 – Formas de ocorrência de flambagem elástica
Fonte: Arquivo pessoal do autor
116 
 O cálculo da força axial de flambagem elástica é definido em função do tipo de simetria 
existente na seção transversal da barra: seções com dupla simetria; seções monossimétricas; 
seções assimétricas; Cantoneira simples conectadas por uma aba.
3.11.1 - Seções com Dupla Simetria
 A força axial de flambagem elástica, Ne, de uma barra com seção transversal duplamen-
te simétrica é dada por:
• Flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia x da seção transversal (regra 
da mão direita): 
• Flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia y da seção transversal (regra 
da mão direita):
• Flambagem por flexão em relação ao eixo longitudinal z:
 Nas quais:
 KxLx é o comprimento de flambagem por flexão na direção do eixo x (medido no plano 
X-Z), sendo Kx o coeficiente de flambagem da direção x e Lx o comprimento destravado na 
direção x;
117
 KyLy é o comprimento de flambagem por flexão na direção do eixo y (medido no plano 
Y-Z), sendo Ky o coeficiente de flambagem da direção y e Ly o comprimento destravado na 
direção y;
 KzLz é o comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo longitudinal z, sen-
do Kz o coeficiente de flambagem da direção z e Lz o comprimento destravado na torção;
 Ix é o momento de inércia em torno do eixo x;
 Iy é o momento de inércia em torno do eixo y;
 Cw é a constante de empenamento da seção transversal;
 E é o modulo de elasticidade do aço;
 G é o modulo de elasticidade transversal do aço;
 J é a constante de torção pura da seção transversal (constante de Saint-Venant);
 é o raio de giração polar ao quadrado da seção bruta em relação ao centro de cisa-
lhamento, dado por:
 Sendo:
 
 rx o raio de giração em torno do eixo central x;
 ry o raio de giração em torno do eixo central y;
118 
• Flambagem elástica por flexo torção:
 x0 a coordenada do centro de cisalhamento na direção do eixo central x, em relação ao 
centro geométrico da seção;
 
 y0 a coordenada do centro de cisalhamento na direção do eixo central y, em relação ao 
centro geométrico da seção;
3.11.2 - Seções Monossimétricas (exceto cantoneirasimples conectada por 
uma aba)
 A força axial de flambagem elástica, Ne, de uma barra com seção transversal monossi-
métrica, adotando eixo y é o eixo de simetria, é dada por:
• Flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia x da seção transversal (regra 
da mão direita): 
 Na qual Ney e Nez são obtidas pelas equações vistas na seção com dupla simetria.
 A força axial de flambagem elástica, Ne, de uma barra com seção transversal monossi-
métrica, adotando eixo x é o eixo de simetria, é dada por:
119
• Flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia y da seção transversal (regra 
da mão direita): 
• Flambagem elástica por flexo torção:
 Na qual Nex e Nez são obtidas pelas equações vistas na seção com dupla simetria.
3.11.3 - Seções Assimétricas (exceto cantoneira simples conectada por uma 
aba)
 A força axial de flambagem elástica, Ne, de uma barra com seção transversal assimétrica 
(sem nenhum eixo de simetria) é dada pela menor das raízes da seguinte equação cúbica:
3.11.4 - Cantoneira Simples Conectada por Uma Aba
 Os efeitos da excentricidade da força de compressão atuante em uma cantoneira sim-
ples podem ser considerados por meio de um comprimento de flambagem equivalente, desde 
que essa cantoneira:
• Seja carregada nas extremidades através da mesma aba;
120 
• Seja conectada por solda ou por pelo menos dois parafusos na direção da solicitação;
• Não esteja solicitada por ações transversais intermediárias (somente solicitações axiais).
 Nesse caso, a força axial de flambagem elástica da cantoneira, Ne, é dada por (regra da 
mão direita):
 Sendo:
 
 Ix2 é o momento de inércia da seção transversal em torno do eixo que passa pelo centro 
geométrico e é paralelo à aba conectada, x2 (x2 pode ser o eixo x ou o eixo y da seção transver-
sal dependendo da aba conectada);
 Kx1Lx1 é o comprimento de flambagem equivalente na direção do eixo perpendicular 
à aba conectada (x1 também pode ser o eixo x ou o eixo y dependendo da aba conectada, se 
x1 é o eixo x, então x2 é o eixo y).
 A simplificação do comprimento de flambagem de cantoneiras conectadas por uma 
aba é de específica aplicação para barras de treliças planas ou espaciais ou submetidas a esfor-
ços axiais puros. Além disso, as seguintes condições devem ser verificadas:
a ) Cantoneiras de abas iguais ou de abas desiguais conectadas por uma aba apenas;
b ) Cantoneiras que são barras individuais ou diagonais ou montantes de treliças planas;
c ) As barras adjacentes devem estar conectadas do mesmo lado das chapas de nó (ou gus-
set) ou das cordas (ou banzos) da treliça.
121
• Para cantoneiras de abas iguais ou de abas desiguais conectadas pela aba de maior largu-
ra, que são barras individuais ou diagonais ou montantes de treliças planas com as barras 
adjacentes conectadas do mesmo lado das chapas de nó ou das cordas: 
 Em que:
 
 rmin é o raio de giração mínimo da cantoneira; 
 
 be é a largura da maior aba da cantoneira; e 
 bs é a largura da menor aba da cantoneira.
• Para cantoneiras de abas iguais ou de abas desiguais conectadas pela aba de maior lar-
gura, que são diagonais ou montantes de treliças espaciais com as barras adjacentes 
conectadas do mesmo lado das chapas de nó ou das cordas:
 Em que Lx1 é o comprimento da cantoneira, tomado entre os pontos de trabalho situa-
dos nos eixos longitudinais das cordas da treliça, rx1 é o raio de giração da seção transversal em 
relação ao eixo que passa pelo centro geométrico e é paralelo à aba conectada. 
 Nas cantoneiras de abas desiguais com relação entre as larguras das abas de até 1,7 e 
conectadas na menor aba, o produto Kx1Lx1 não pode ser tomado inferior ao valor:
122 
 Nas cantoneiras de abas desiguais com relação entre as larguras das abas de até 1,7 e 
conectadas na menor aba, o produto Kx1Lx1 não pode ser tomado inferior ao valor:
 Cantoneiras simples com ligações diferentes das descritas acima, com relação entre as 
larguras das abas maior que 1,7 ou com forças transversais, devem ser tratadas como barras 
submetidas à combinação de força axial e momentos fletores.
 Consulte a Norma 8800/08 para conhecer as orientações de 
comprimento de flambagem equivalente para treliças planas e espa-
ciais.
3.12 - Força Axial de Compressão Resistente de Cálculo – Nc,Rd 
 A força normal de compressão resistente de cálculo, Nc,Rd, de uma barra, considerando 
os estados limites de flambagem por flexão, por torção ou flexo-torção e de flambagem local, 
deve ser determinada pela expressão:
123
 Em que:
 γ_a1 é o coeficiente de ponderação da resistência para compressão, igual a 1,10; 
 χ é o fator de redução associado à flambagem global;
 Q é o coeficiente de flambagem local; 
 Ag é a área bruta da seção transversal da barra; e 
 fy é a resistência ao escoamento do aço.
3.12.1 - Coeficiente de Flambagem por Flexão e Torção
 A Figura 46 fornece os valores recomendados para o coeficiente de flambagem por 
flexão (Kx ou Ky). O coeficiente de flambagem por torção, Kz, deve ser determinado por análise 
estrutural, ou, simplificadamente, tomado igual a: 
• 1,00, quando ambas as extremidades da barra possuírem rotação em torno do eixo lon-
gitudinal impedida e empenamento livre; 
• 2,00, quando uma das extremidades da barra possuir rotação em torno do eixo longitu-
dinal e empenamento livres e, a outra extremidade, rotação e empenamento impedidos.
124 
 Rotação em torno do eixo longitudinal livre significa que todos os pontos da seção 
transversal podem rotacionar livremente em torno desse eixo, caso esteja impedida, nenhum 
ponto rotaciona. O empenamento da seção transversal faz com que a seção não permaneça 
plana após a torção, quanto está impedido a seção permanece plana após a torção.
Figura 45 - Rotação da seção transversal (a) e empenamento (b) causada pela torção
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Figura 45 - Rotação da seção transversal (a) e empenamento (b) causada pela torção
Fonte: Arquivo pessoal do autor
125
3.12.2 - Fator de Flambagem Local Q
 A NBR 8800/08 classifica os elementos das seções transversais, excetuando-se as tubu-
lares, em: 
• AA – duas bordas longitudinais vinculadas (apoiadas), sendo também chamados de ele-
mentos enrijecidos; 
• AL – uma borda longitudinal vinculada e outra livre, sendo também chamados de ele-
mentos não enrijecidos. 
 Se houver apenas elementos AL, Q = Qs; se houver apenas AA, Q = Qa. Define-se borda 
não vinculada, ou não enrijecida, o elemento (mesa, aba ou qualquer chapa que a componha) 
que tenha extremidade livre paralela ao esforço. 
 O tratamento dado pela norma é calcular um coeficiente Q ≤ 1,0 que será tanto menor 
quanto mais a seção for propensa a flambar localmente. Quando a relação de esbeltez dos ele-
mentos da seção não superar os valores dados na Tabela, considera-se a seção livre 
de flambagem local. Quando deve-se calcular Q, que é dado por:
 Em que:
 
 Qs é o fator de redução que leva em conta a flambagem local dos elementos AL; e 
 
 Qa é o fator de redução que leva em conta a flambagem local dos elementos AA.
126 
3.12.2.1 - Elementos Comprimidos AL
 Os valores de Qs a serem usados são dados a seguir. Se existirem dois ou mais elemen-
tos AL com fatores de redução Qs diferentes, deve-se adotar o menor destes fatores.
• Elemento do grupo 3 da Figura 47: 
• Elemento do grupo 4 da Figura 47:
127
 Com o coeficiente kc é dado por:
 Em que, h é a altura da alma e tw é a espessura da alma.
• Elemento do grupo 6 da Figura 47: 
 Em que b e t são a largura e a espessura do elemento, respectivamente (ver Figura 47). 
Se existirem dois ou mais elementos AL com fatores de redução Qs diferentes, deve-se adotar 
o menor destes fatores.
• Elementodo grupo 5 da Figura 47:
128 
3.12.2.2 - Elementos Comprimidos AA
 Quando a relação largura/espessura de um elemento comprimido AA ultrapassa os va-
lores indicados na Figura 47, deve ser determinada uma largura efetiva bef para esse elemento, 
como indicado a seguir:
 Em que:
 ca é um coeficiente, igual a 0,38 para mesas ou almas de seções tubulares retangulares 
e 0,34 para todos os outros elementos 
 σ é a tensão que pode atuar no elemento analisado, tomada igual a:
 σ = χ . f_y
 Em que:
 χ é obtido a partir da flambagem global, considerando Q = 1,0. Opcionalmente, de for-
ma conservadora, pode-se escolher σ = f_y. 
 b e t são respectivamente a largura e a espessura de um elemento comprimido AA, 
conforme Figura 46, e 
 bef é a largura efetiva. 
 Determinadas as larguras efetivas de todos os elementos AA da seção, o valor Qa é de-
129
finido pela relação entre a área efetiva Aef e a área bruta Ag de toda a seção da barra:
 Em que:
 Com o somatório estendendo-se a todos os elementos AA.
 Em que: 
 D é o diâmetro externo; e 
 t é a espessura da parede.
 Não é recomendada a utilização de seções circulares com 
3.12.2.3 - Paredes de seções tubulares circulares.
 Nas seções tubulares circulares, o coeficiente de flambagem local da parede é dado por:
130 
Quadro 4 - Valores de λ
Fonte: Arquivo pessoal do autor
131
3.13 - Exercícios Resolvidos – Compressão 
 1 – Determinar a resistência de cálculo à compressão do perfil W 150x37,1kg/m de aço 
MR-250 (ASTM A36) com comprimento de 3,00m, sabendo-se que suas extremidades são ro-
tuladas com rotação impedida no eixo longitudinal e que há contenção lateral impedindo a 
flambagem em torno do eixo y-y. Ainda, comparar o resultado obtido com o resultado de uma 
peça sem contenção lateral, ou seja, podendo flambar em torno dos eixos x-x e y-y. Assumir 
Figura 46 - Peça
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Solução:
 Será calculada a resistência de cálculo à compressão para quando há contenção lateral 
contínua em torno do eixo y-y. Devido à esta contenção, a peça pode apenas flambar em torno 
do eixo x-x, sendo assim começa-se calculando o índice de esbeltez da seção em torno do eixo 
x-x( lembrando que para o caso de ambas as extremidades serem rotuladas tem-se K=1,0).
 O próximo passo é calcular os valores dos fatores de redução de flambagem local Q_a,-
Q_s e Q. Os cálculos serão apresentados a seguir na ordem indicada:
132 
 Na sequência, determina-se o fator de redução associado à flambagem global x e seus 
respectivos parâmetros (lembrando novamente que a flambarem em torno do eixo y-y está 
impedida):
 N_ez não precisa ser calculado pelo fato de existir contenção lateral contínua em y-y.
 Com estes valores pode-se então determinar a resistência de cálculo à compressão do 
perfil como sendo:
133
 Na sequência, deve-se fazer o mesmo cálculo para o caso onde não há nenhuma con-
tenção lateral. Primeiramente calcula-se o índice de esbeltez da seção em torno do eixo y-y(am-
bas as extremidades continuam sendo rotuladas, portanto tem-se K=1,0):
 É evidente que os valores de Q continuem os mesmos, mas deve-se agora checar N_ey 
e N_ez para ver qual é o valor crítico:
 Como N_ey < N_ex < N_ez, N_ey é crítico, devendo-se então recalcular o valor do favor 
de redução associado à flambagem global x e seus respectivos parâmetros:
 Assim, finalmente, calcula-se o valor da resistência de cálculo à compressão do perfil 
como sendo:
 É possível ver que houve uma redução de aproximadamente de 20,0% quando se com-
para o segundo caso com o primeiro, devido à diferença nos valores de raios de giração em 
torno dos eixos x-x e y-y.
134 
 2 – Calcular o esforço normal resistente ao mesmo perfil do exercício anterior (caso sem 
contenção lateral), considerando-o engastado numa extremidade e livre na outra. Comparar o 
resultado com o da mesma peça engastada em uma extremidade e rotulada na outra (empe-
namento livre).
 Solução:
 Primeiro, o cálculo para o caso engastado-livre. Começa-se calculando o índice de es-
beltez da seção (lembrando que para o caso engastado-livre, tem-se K_recomenrado = 2,1).
 Os valores de Q continuam os mesmos do exercício anterior (Q = 1,0), então iremos 
diretamente para o cálculo de X e seus parâmetros:
 Portanto, o caso crítico é para N_ey, como é esperado, uma vez que ele possui o menor 
valor de raio de giração.
135
 Assim, calcula-se então o valor da resistência de cálculo à compressão do perfil como 
sendo:
 Na sequência, o mesmo cálculo é feito para o caso engastado-rotulado (K_recomenrado 
= 0,8).
 Os valores que Q, novamente, continuam os mesmos (Q=1,0), então iremos diretamen-
te para o cálculo de X e seus parâmetros:
 A questão agora é determinar o valor de K_z para o caso onde uma das extremidades 
possui rotação e empenamento restringidos (engaste) e a outra rotação impedida e o empe-
namento livre (apoio simples), caso não previsto pela norma. Sendo conservador, indo a favor 
da segurança, pode-se adotar o valor de K_z = 2,0, pois quando menos for a força elástica de 
flambagem, maior será o índice de esbeltez reduzido resultante e, portanto, menor o valor de 
X.
136 
 Portanto, o caso crítico é para N_ey, como já esperado, uma vez que ele possui o menor 
valor de raio de giração.
 Assim, calcula-se então o valor da resistência de cálculo à compressão do perfil, sendo:
 Resumindo, os quatro casos apresentados nos exercícios 2 e 3, é possível a grande influ-
ência das condições de apoio e da existência de contenções laterais na resistência à compres-
são:
• Rotulado-rotulado (com contenção em y-y) 
 
• Rotulado-rotulado (sem contenção) 
• Engastado-livre (sem contenção) 
• Engastado-rotulado (sem contenção) 
 3 – Calcular o esforço resistente de projeto à compressão em dois perfis H200x$1,7k-
g/m sem ligação estre si e comparar o resultado com obtido para os perfis ligados por solda 
longitudinal. Considerar uma peça de 4m, rotulada nos dois planos de flambagem nas duas 
extremidades, aço MR-250 (ASTM A36), 
137
Figura 47 - Peça
Fonte: Arquivo pessoal do Autor
 Solução:
 Para os perfis separados começa-se calculando o índice de esbeltez da seção (lembran-
do que para o caso rotulado-rotulado tem-se K_recomenrado = 1,0).
 O próximo passo é calcular os valores dos fatores de redução de flambagem local, Q_a,-
Q_s e Q. Os cálculos são apresentados a seguir na ordem indicada:
138 
 Na sequência, determina-se o fator de redução associado à flambagem global x e seus 
respectivos parâmetros:
 Portanto, o caso crítico é para N_ey, como já esperado, uma vez que ele possui o menor 
valor de raio de giração.
139
 Assim, calcula-se então o valor da resistência de cálculo à compressão do perfil como 
sendo:
 Agora, os cálculos para o caso dos perfis ligados por solda serão apresentados.
 O primeiro passo é determinar o eixo com o menor raio de giração (o qual terá, obri-
gatoriamente, o menor momento de inércia) para este novo perfil composto de dois perfis H 
soldados.
 Para o eixo x-x-, tem-se que o momento de inércia do conjunto é o dobro do momento 
de inércia de um perfil em relação ao mesmo eixo. Analogamente, a área do conjunto também 
da área de apenas um perfil. Sendo assim, o valor do raio de giração em torno do eixo x-x- r_y 
do conjunto é o mesmo do perfil isolado, ou seja:
 Já para o eixo y-y, o momento de inércia do perfil composto se obtém a partir do teore-
ma dos eixos paralelos, como segue:
140 
 Destacando que a distância entre o novo centro de gravidadedo perfil composto e o 
centro de gravidade de um perfil isolado é de .
 Determina-se então o índice de esbeltez da seção (lembrando que para o caso rotula-
do-rotulado tem-se K_recomenrado = 1,0).
 Deve-se então reavaliar os valores dos fatores de redução de flambagem local, Q_a,Q_s 
e Q.Com esta nova configuração, as flanges externas continuarão sendo elementos AL, como já 
havia sido calculado (Q_s=1,0) e as almas também continuarão sendo elementos AA análogo 
ao que já havia sido calculado (Q_a=1,0), mas as falges internas que estão soldados formam 
agora um novo elemento único AA que deve ser calculado (o qual será assumindo como sendo 
parte de uma seção caixão soldada – grupo2). Os cálculos são mostrados a seguir:
141
 Na sequência, determina-se o fator de redução associado à flambagem global x e seus 
respectivos parâmetros:
 Ao perfis compostos, pelo fato da inércia torcional ser muito elevada, N_ez não precisa 
ser calculado pois sempre será um valor maior que as demais forças axiais elásticas de flamba-
gem. 
 Portando, o caso crítico é para N_ex como já esperado, uma vez que ele possui o menor 
valor de raio de giração.
 Assim, calcula-se então o valor da resistência de cálculo à compressão do perfil como 
sendo:
 Como pode ser visto, quando os perfis estão soldados o esforço resistente de projeto à 
compressão ( ) = 2315,09kN), é praticamente 44,0% maior que para o caso dos dois perfis 
isolados ( )=1021,36kN). 
Objetivos da Unidade
Unidade Iv - 
Barras Prismáticas Subme-
tidas à Flexão e ao Esforço 
Cortante
IV
143
Unidade IV – Barras Prismáticas Submetidas à Flexão e ao Esforço Cortante
4.1 - Generalidades sobre Barras Fletidas
 Denominam-se barras fletidas as barras submetidas a cargas transversais ao seu eixo 
longitudinal, sujeitas a momento fletor e esforço cortante. Uma barra fletida na horizontal é 
denominada viga. 
 As barras fletidas são encontradas nas estruturas de aço principalmente em vigas dos 
sistemas contraventados de edifícios com ligações rotuladas. Nos pórticos de edifícios com 
ligações rígidas as vigas podem estar submetidas a esforços normais, junto com momento fle-
tor, caracterizando a flexo-tração ou a flexo-compressão. 
 Os tipos de seções transversais mais adequados para o trabalho à flexão são aqueles 
com maior inércia no plano da flexão, isto é, com as áreas mais afastadas da linha neutra (eixo 
x). O ideal, portanto, é concentrar as áreas em duas chapas, uma superior e uma inferior, ligan-
do-as por uma chapa fina. Assim, pode-se concluir que as vigas em forma de I (Figura 48) são 
as mais funcionais, devendo, entretanto, seu emprego obedecer às limitações de flambagem. 
As vigas com muita área próxima ao eixo neutro, como, por exemplo, peças maciças de seção 
quadrada ou circular, trabalham com menor eficiência na flexão, isto é, para o mesmo peso de 
viga, têm menor capacidade de carga.
144 
Figura 48 - Perfil série I simétrica: (a) laminado e (b) soldado
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 A resistência à flexão das vigas pode ser afetada pela flambagem local da mesa (FLM), 
pela flambagem local da alma (FLA) e pela flambagem lateral com torção (FLT). 
 A flambagem local é a perda de estabilidade das chapas comprimidas componentes 
do perfil (Figura 49a), a qual reduz o momento resistente da seção. Na flambagem lateral com 
torção a viga perde seu equilíbrio no plano de flexão (normalmente o plano vertical) e passa a 
apresentar deslocamentos laterais e rotações de torção (Figura 49b). Para evitar a flambagem 
de uma viga I, cuja rigidez à torção é muito pequena, é preciso prover contenção lateral à viga.
145
 A resistência ao esforço cortante de uma viga pode ser reduzida pela ocorrência de 
flambagem da chapa de alma sujeita às tensões cisalhantes. As vigas têm por finalidade su-
portar cargas normais ao seu eixo longitudinal e os perfis mais utilizados para vigas são os de 
seção I ou H (laminados ou soldados). Na maioria dos casos as cargas são aplicadas no plano da 
alma do perfil, produzindo assim flexão em relação ao eixo de maior momento de inércia do 
perfil (eixo x). 
 No dimensionamento de vigas devem ser verificados os seguintes estados limites:
 Estados limites últimos (ELU): 
• Resistência ao momento fletor; 
• Resistência ao esforço cortante (cisalhamento); 
• Flambagem local da mesa comprimida (FLM); 
Figura 48 - Perfil série I simétrica: (a) laminado e (b) soldado
Fonte: Arquivo pessoal do autor
146 
• Flambagem local da alma (FLA); 
• Flambagem lateral com torção (FLT). 
 Estados limites de serviço (ELS): 
• Deformações máximas; 
• Vibrações excessivas.
 Na verificação dos estados limites últimos (ELU) de vigas sujeitas à flexão simples devem 
ser determinadas a resistência de projeto ao momento fletor (MRd) e a resistência de projeto 
ao esforço cortante (VRd) para compará-las com as respectivas solicitações de projeto nas se-
ções críticas (MSd e VSd), além da verificação da flambagem local (FLA e FLM) e da flambagem 
lateral com torção (FLT). 
 Na prática, a maior parte das vigas são contidas lateralmente, pela laje ou outros dis-
positivos (contenção lateral contínua). Neste caso, o estado limite da flambagem lateral com 
torção (FLT) não precisa ser verificado. 
 Para os estados limites de serviço (ELS) de vigas sujeitas à flexão simples devem ser ve-
rificados os deslocamentos máximos das vigas. 
 A metodologia apresentada no capítulo é somente aplicável às seguintes condições:
 a ) Seções I e H com dois eixos de simetria, fletidas em relação a um desses eixos;
 b ) Seções I e H com apenas um eixo de simetria, situado no plano médio da alma, fletidas 
em relação ao eixo central de inércia perpendicular à alma;
 c ) Seções T fletidas em relação ao eixo central de inércia perpendicular à alma;
147
 d ) Seções constituídas por duas cantoneiras em forma de T, fletidas em relação ao eixo 
central de inércia perpendicular ao eixo de simetria;
 e ) Seções U fletidas em relação a um dos eixos centrais de inércia;
 f ) Seções caixão e tubulares retangulares com dois eixos de simetria fletidas em relação 
a um desses eixos;
 g ) Seções sólidas circulares ou retangulares fletidas em relação a um dos eixos centrais 
de inércia;
 h ) Seções tubulares circulares fletidas em relação a qualquer eixo que passe pelo centro 
geométrico.
 O carregamento transversal deve sempre estar em um plano de simetria, exceto no 
caso de perfis U fletidos em relação ao eixo perpendicular à alma, quando a resultante do car-
regamento transversal deve passar pelo centro de cisalhamento da seção transversal ou a tor-
ção deve ser impedida.
4.2 - Condição de Segurança
 
 No dimensionamento das barras submetidas a momento fletor deve ser atendida a se-
guinte condição:
4.3 - Limitações para o Momento Fletor Resistente de Cálculo
 A validade da análise estática fica assegurada se:
148 
 na qual :
 Wmin é o modulo de resistência elástico mínimo (ou o menor) da seção transversal da 
barra, em relação ao eixo de flexão.
 Além disso, caso a viga possua ligação parafusada nos extremos ou chapas de reforço 
na mesa conectadas por parafusos, o momento fletor resistente de cálculo pode ser determi-
nado com base nas propriedades da seção bruta, sem a consideração dos furos, desde que:
 Caso o momento fletor resistente de cálculo não puder ser determinado com base nas 
propriedades da seção bruta, o momento fletor deve ser limitado pelo estado limite último por 
flexão na região dos furos na mesa tracionada, sendo dado por:
 Sendo:
 
 Afe é a área líquida da mesa tracionada, mas somente para a mesa que submetida a tra-
ção (não se leva em consideração a alma do perfil nem a mesa que está comprimida, somente 
a área de mesa tracionada subtraída da áreados furos nessa mesa!); 
 
 Afg é a área bruta da mesa tracionada;
 Yt é um coeficiente que vale:
149
 A compacidade da seção transversal é definida como a capa-
cidade de plastificação da seção em função da solicitação de flexão. 
As seções das vigas podem ser divididas em três classes conforme a 
influência da flambagem local sobre os respectivos momentos fletores 
 Na qual 
 Wt é o módulo de resistência elástico do lado tracionado da seção relativo ao eixo de 
flexão, ou seja, é determinado com a distância da linha neutra até a fibra mais tracionada na 
seção transversal.
4.4 - Momento Fletor Resistente de Cálculo, MRd
 O cálculo do momento fletor resistente de cálculo considerando a seção transversal 
bruta ´e definido em função de:
a ) Tipo da seção transversal (Perfil I, H, T, Tubular, Caixão, etc.);
b ) Esbeltez da alma (esbelta e não esbelta);
c ) Estado limite de instabilidade (Flambagem local por torção, flambagem local da mesa, 
flambagem local da alma, flambagem local da aba e flambagem local da parede do tubo);
d ) Compacidade da seção transversal (Compacta, semicompacta e esbelta).
resistentes.
• Seção Compacta: É aquela que atinge o momento de plastificação total (Mpl) e exibe 
suficiente capacidade de rotação inelástica para configurar uma rótula plástica. Todas as 
tensões na seção transversal são iguais a tensão de escoamento do aço, fy. 
150 
 Em que
 
 σ é a tensão normal num ponto P, 
 
 M é o momento fletor atuante na seção, 
• Seção Semicompacta: É aquela em que a flambagem local ocorre após ter desenvolvido 
plastificação parcial, mas sem apresentar significativa rotação. Algumas tensões na seção 
transversal são iguais a tensão de escoamento, porém mais próximo a linha neutra a se-
ção ainda está no regime elástico
• Seção Esbelta: Seção na qual a ocorrência da flambagem local impede que seja atingido 
o momento de início de plastificação. Todas as tensões na seção transversal ainda se en-
contram no regime elástico sendo que as fibras mais tracionadas e comprimidas podem 
apresentar tensão igual a de escoamento do aço.
4.4.1 - Efeito do Momento Fletor: Plastificação
 Na Figura 50 é mostrado o comportamento de uma viga de aço bi apoiada sob carga 
distribuída crescente, através da relação momento x curvatura da seção mais solicitada e dos 
diagramas de tensões normais nesta seção.
 Admitindo que não há flambagem local (FLA e FLM) ou flambagem lateral com torção 
(FLT) da viga, o comportamento será linear enquanto a tensão máxima for menor que a tensão 
de escoamento do aço. A teoria de vigas (Euler-Bernoulli) postula que para uma barra de seção 
reta com dois eixos de simetria (Figura 51 e 52), em regime elástico, submetida a momento fle-
tor atuante em um plano paralelo ao eixo longitudinal que contenha um dos eixos de simetria 
da seção, as tensões normais podem ser calculadas por:
151
Figura 50 - Viga bi apoiada submetida a um carregamento crescente
Fonte: Pfeil, 2009
 Então, o momento que leva a peça ao limiar do escoamento (limite elástico) é dado por:
Figura 51 - Tensões normais em uma seção submetida a momento fletor
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 y é a distância do ponto P ao eixo x, ymax é a distância do centro de gravidade da seção 
transversal até a fibra extrema (ymax = d/2), 
 I é o momento de inércia da seção em torno do eixo de flexão, e 
 W = I/ymax é o módulo elástico da seção, em torno do eixo de flexão
152 
 Note que agora foi utilizado o sub-índice y denotando escoamento (yield). O momen-
to My caracteriza o limite do comportamento elástico da peça, isto é, qualquer incremento 
no valor do momento fletor vai provocar incremento não linear nas tensões. Para momentos 
atuantes de valores iguais ou menores do que My as deformações são reversíveis, isto é, todas 
as fibras submetidas a tensões maiores do que o limite elástico, apresentarão deformações 
residuais uma vez cessada a solicitação. Para momentos atuantes maiores do que My as defor-
mações não desaparecem totalmente após a descarga.
 A equação do momento mostra que uma seção submetida ao momento My tem, atu-
ando em sua fibra mais solicitada, a tensão de escoamento, ou seja, o alongamento dessa fi-
bra é o alongamento ε_y. Se, agora, é dado um incremento de deformação (giro) na seção, 
mais fibras vão atingir ou ultrapassar o alongamento ε_y nas quais as tensões permanecem 
constantes no valor fy, de acordo com o diagrama tensão-deformação idealizado, mostrado na 
Figura 53. Diz-se, então, que a seção está se plastificando, pois, as deformações das fibras que 
ultrapassam o limite de proporcionalidade não são mais reversíveis.
Figura 52 - Limite elástico a flexão de uma seção retangular
Fonte: Arquivo pessoal do autor
153
 Como pode se perceber, o momento My não representa a capacidade resistente da viga 
à flexão, já que é possível continuar aumentando carga, e consequentemente o momento da 
seção. À medida que a deformação (giro da seção) aumenta, maior fica o patamar de tensões 
constantes (Figura 54c). No limite, quando as deformações longitudinais tendem a infinito, ob-
tém-se um diagrama de tensões como o da Figura 54d, dizendo-se que a seção está totalmente 
plastificada.
Figura 53 - Diagrama de tensão/deformação de material elastoplástico ideal
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Figura 54 - Plastificação total de uma seção retangular
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Sendo:
 
 A = Ac + At a área da seção transversal retangular;
154 
 Esta condição leva a conclusão de que a linha neutra plástica (LNP) é a linha que divide 
a seção transversal em duas áreas iguais. Vale lembrar que a linha neutra elástica (LNE) é no 
centro de gravidade da seção transversal, ou seja, para seções duplamente simétricas, LNP e 
LNE são coincidentes (na metade da altura).
 Do equilíbrio de rotação:
 Em que zc e zt são os braços de alavanca internos. Notando que o termo entre parênte-
ses é uma propriedade geométrica da seção transversal, pode-se agrupar:
 Em que: 
 Z é o módulo plástico da seção. 
 A relação entre os módulos plástico e elástico é denominada de coeficiente de forma 
da seção, e pode representar a resistência adicional que a seção possui após o início do escoa-
mento. Para algumas das seções mais usuais, esta relação vale:
 Rt = At . fy a força resultante de tração
 Rc = Ac . fy a força resultante de compressão
 O equilíbrio à translação será: 
155
 Seções circulares: Z/W = 1,70 
 Seções retangulares: Z/W = 1,50 
 Seções “I” (duplamente simétrica): Z/W 1,12
 Uma vez atingido o momento plástico Mpl, a seção não mais 
oferece resistência à rotação, comportando-se como uma rótula, con-
dição conhecida como rótula plástica. Em uma viga simplesmente 
apoiada, a rótula plástica coloca a viga numa situação de instabilidade, 
conhecida como mecanismo de colapso.
 A adoção de um diagrama elastoplástico ideal para o aço é uma aproximação. Para de-
formações de valores até não muito maiores do que os da deformação de escoamento a apro-
ximação é adequada. Em determinados casos, a deformação das fibras mais afastadas pode ser 
muito grande, acarretando a ruptura do material antes da plastificação total da seção. Por isso, 
a NBR 8800/08 limita o valor da relação entre o módulo plástico e o módulo elástico em 1,5. 
 Adicionalmente, considerando que as tensões residuais estão sempre presentes nos 
perfis metálicos, causada, por exemplo, pelo resfriamento desuniforme das vigas laminadas 
ou soldadas, o início do escoamento se dará em um valor inferior do que My, como pode ser 
visto na Figura 55. Pode ser visto que as tensões residuais antecipam o início do escoamento, 
entretanto, não afetam o momento último da seção Mpl.
156 
 O momentoresidual é o momento que leva a fibra mais solicitada ao limite elástico, isto 
é, quando a máxima tensão de compressão atinge o valor fy. É definido como
 A NBR-8800 estabelece que a tensão residual seja adotada σ_r = 0,3.fy que leva ao mo-
mento residual:
4.4.2 - Efeito do Momento Fletor: Flambagem Local.
 Nem todas as seções são capazes de desenvolver tensões e deformações tais que atin-
jam o estado de plastificação (Mpl), devido ao fenômeno de flambagem local. Seções de pare-
des grossas têm bom desempenho, chegando à plastificação, enquanto que vigas de paredes 
finas podem sofrer instabilidade local para baixas tensões normais de compressão na flexão. 
Para prevenir a ocorrência da flambagem local deve-se limitar a relação largura/espessura 
(λ=b⁄t) da mesa comprimida e da alma do perfil da viga (Figura 56). A NBR 8800/2008 estabe-
lece as relações largura/espessura limites para seções compactas (λ_p) e semicompactas (λ_r) 
(Figura 57). As seções que não são classificadas como compactas nem semicompactas são con-
Figura 55 - Diagrama momento/rotação de uma seção de viga
Fonte: Arquivo pessoal do autor
157
sideradas esbeltas. A saber: 
• Seção compacta (λ ≤ λ_p): quando a seção pode atingir a plastificação total antes de 
qualquer outra instabilidade, ou seja, alcançar o momento de plastificação Mpl, além de 
exibir suficiente capacidade de rotação inelástica para configurar uma rótula plástica; 
• Seção semicompacta (λ_p < λ ≤λ_r): quando a flambagem local ocorre após a seção ter 
desenvolvido plastificação parcial, isto é, com um momento maior do que My, mas sem 
apresentar significativa rotação; 
• Seção esbelta (λ_r < λ): quando a flambagem local ocorre antes que seja atingido o mo-
mento de início de plastificação My na seção.
Figura 56 - Notações utilizadas para efeito de flambagem local sobre a resistência à flexão de vigas I ou H com 
um ou dois eixos de simetria: (a) perfil laminado; (b) perfil soldado
Fonte: Pfeil, 2009
158 
 Os elementos comprimidos de um perfil podem estar em di-
ferentes classes. O perfil como um todo é classificado pelo caso mais 
desfavorável.
 O problema de flambagem local na flexão também deve ser tratado como um proble-
ma de flambagem de placa. As mesas dos perfis de seção abertas podem ser assimiladas a 
chapas com uma borda apoiada e a outra livre e, as almas e as mesas de perfis caixão se assimi-
lam a chapas com as duas bordas apoiadas, definindo comportamentos diferentes, limitados 
pelos estados limites de Flambagem local da mesa (FLM) e a Flambagem local da alma (FLA), 
respectivamente. Diferentemente da compressão, na flexão uma parte da seção fica traciona-
da, o que garante maior estabilidade na seção e permite determinar os parâmetros referentes 
à flambagem com menos rigor do que foi considerado, não necessitando da análise particular 
introduzida com os efeitos devidos à pequena espessura das chapas, fatores Qs e Qa.
 As mesas dos perfis abertos, na flexão, são submetidas a tensões de compressão que se 
Figura 57 - Momento resistente em função da esbeltez
Fonte: Arquivo pessoal do autor
159
distribuem ao longo da largura da chapa, uniformemente no início do carregamento e, com a 
continuação e aumento do carregamento as tensões alteram a sua distribuição, concentrando-
-se próximo da ligação com a alma, que é a região da seção com maior resistência às deforma-
ções. 
 O valor teórico do coeficiente K, para este caso, é 0,425, entretanto, as especificações 
costumam adotar valores maiores, confirmados em ensaios. A NBR 8800/08 adota 0,76 a fim de 
levar em conta a contribuição da alma à rigidez da mesa, conduzindo para a tensão crítica de 
flambagem elástica da mesa:
 Igualando esta expressão à tensão de proporcionalidade, encontra-se a expressão para 
a esbeltez da chapa no limite de aplicação da flambagem elástica:
 A esbeltez para que não ocorra flambagem, é determinada considerando a chapa com 
o coeficiente teórico, pois próximo da plastificação a contribuição da alma deve ser despreza-
da.
 As almas dos perfis metálicos são assumidas como chapas engastadas em suas bordas e 
submetidas a tensões contidas no seu plano, com variação linear ao longo da altura, tracionan-
do e comprimindo metades alternadas da altura da chapa. Para esta situação de carregamento 
os valores para as esbeltez limites entre a plastificação e a flambagem inelástica são determi-
nados por meio da mesma expressão de flambagem elástica de chapas. Os valores para o coe-
160 
 Entretanto, para as almas não é considerada a flambagem elástica, pois quando ocorre 
o valor de λ maiores que λr a viga é classificada como esbelta e o dimensionamento é parti-
cularizado. O Anexo H da NBR 8800/08 é exclusivamente dedicado a este problema. Pode ser 
observado que as seções esbeltas praticamente não ocorrem nos perfis laminados ou soldados 
fabricados em série e, mesmo nos perfis soldados projetados, sua ocorrência não é comum.
 Concluindo, o perfil apresentará flambagem local elástica quando (λ > λ_r ), sendo Mn 
= Mcr. Para (λ ≤ λ_p ), ocorrerá plastificação e Mn = Mp l= Z.fy. Por fim, ocorrerá flambagem 
inelástica para valores de λ, intermediários entre λp e λr e os valores do momento resistente 
são obtidos por interpolação linear: 
ficiente k consideram o engastamento das bordas da chapa e a influência das tensões residuais 
é desconsiderada. Para os perfis laminados, são fornecidas:
 Cabe salientar que a MRd, que é definido como o momento resistente de projeto, pode 
ser obtido dividindo-se Mn pelo coeficiente de resistência:
 A norma NBR 8800/08 fornece os demais valores dos limites e das resistências para to-
das as seções aplicáveis.
161
4.4.3 - Efeito do Momento Fletor: Flambagem Lateral com Torção
 Uma barra reta submetida a momentos iguais (e positivos) em suas extremidades tem a 
parte, acima do plano neutro, comprimida e a parte abaixo tracionada. As tensões de compres-
são variam com a distância à linha neutra e têm uma resultante que atua a partir das seções 
onde estão aplicados os momentos, comprimindo a parte superior da viga, da mesma maneira 
que uma coluna sob a ação de uma força R. Esta força pode levar o talão comprimido a instabi-
lidade geométrica (flambagem) tal como ocorre em uma coluna.
 Se o plano do momento fletor coincidir com o eixo de menor inércia da seção transver-
sal da peça, pode ocorrer flambagem em torno deste eixo, fazendo-se analogia com o compor-
tamento de peças sob compressão. Por outro lado, a parte inferior da viga é tracionada e tende 
a manter a linha reta. Como as partes tracionada e comprimida são continuamente ligadas 
através da alma, o efeito estabilizador oriundo da região tracionada faz com que a instabilidade 
seja caracterizada por um deslocamento lateral acrescido de uma rotação. Este fenômeno é 
chamado de flambagem lateral com torção, mostrado nas Figuras 58. 
 A flambagem lateral pode ser restritiva à resistência da haste. Pode ocorrer antes da ru-
ína por plastificação ou por flambagem local, fenômenos já estudados. O comportamento de 
uma viga quanto à flambagem lateral depende de vários fatores:
• Esbeltez transversal da mesa comprimida: o momento de inércia da mesa, em rela-
ção ao eixo paralelo ao do plano do momento (eixo vertical ou eixo lateral) tem grande 
importância, pois quanto maior o momento de inércia transversal, maior a resistência à 
flambagem lateral. É importante saber que não há flambagem lateral em vigas fletidas 
em torno de seu eixo de menor inércia.
• Comprimento não contraventado: Para que haja flambagem lateral é necessário que a 
mesa possa se deslocar transversalmente e girar em torno de seu eixo longitudinal. Peças 
com contraventamento contínuo não estão sujeitas à flambagem lateral, como é o caso 
162das vigas que suportam lajes de concreto, ou qualquer piso ligado continuamente como 
chapas de aço, etc. 
• Rigidez à torção da seção: Seções com grande rigidez à torção têm, obviamente, me-
lhor comportamento quanto à flambagem lateral.
Figura 58 - Flambagem lateral: (a) posição inicial antes da flambagem, (b) posição deslocada após flambagem
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 A determinação da carga crítica de flambagem lateral com torção é feita estabelecendo 
o equilíbrio na configuração deformada para um par de momento atuando nas extremidades 
de uma viga bi apoiada (momento uniforme). A equação é dada por:
 Em que Lb é o comprimento não contraventado da viga. Para se levar em conta situa-
ções em que a viga possua momento fletor variável, a NBR 8800/08 introduz um fator de corre-
ção Cb.
163
 O coeficiente Cb é um fator de modificação para diagrama de momento fletor não-
-uniforme para o comprimento destravado analisado. Esse coeficiente somente possui valor 
diferente de 1,0 para certas condições dentro do estado limite de flambagem lateral por torção.
 
 Para todos os estados limites FLA e FLM o coeficiente Cb sempre vale: Cb = 1,0.
 
 Para os estados limites de flambagem lateral por torção (FLT) deve-se determinar Cb 
com base nas seções, como segue.
• Mesa com contenção lateral contínua: Nas vigas com seções I, H e U, fletidas em relação 
ao eixo central de inércia perpendicular à alma, e seções caixão e tubulares retangulares 
fletidas em relação a um eixo central de inércia, simétricas em relação ao eixo de flexão, 
em um comprimento destravado (Lb) no qual uma das mesas encontra-se livre para se 
deslocar lateralmente e a outra mesa possui contenção lateral contínua contra esse tipo 
de deslocamento, o coeficiente Cb é dado por:
a ) Quando a mesa com contenção lateral contínua estiver tracionada em pelo menos uma 
extremidade do comprimento destravado:
 Sendo:
 M0 é o valor do maior momento fletor solicitante de cálculo, tomado com sinal negati-
vo, que comprime a mesa livre nas extremidades do comprimento destravado;
 M1 é o valor do momento fletor solicitante de cálculo na outra extremidade do com-
primento destravado. Se esse momento comprimir a mesa livre, deve ser tomado com sinal 
164 
negativo nos segundo e terceiro termos da equação. Se tracionar a mesa livre, deve ser tomado 
com sinal positivo no segundo termo da equação e igual a zero no terceiro termo;
 M2 é o momento fletor solicitante de cálculo na seção central do comprimento des-
travado, com sinal positivo se tracionar a mesa livre e sinal negativo se tracionar a mesa com 
contenção lateral contínua.
b ) Em trechos com momento nulo nas extremidades, submetidos a uma força transversal 
uniformemente distribuída, com apenas a mesa tracionada contida continuamente con-
tra deslocamento lateral:
c ) Nos demais casos não previstos nos itens anteriores para seções com contenção lateral 
contínua:
• Mesa com contenção lateral contínua:
a ) Nos trechos em balanço entre uma seção com restrição a deslocamento lateral e à torção 
e a extremidade livre:
b ) Nos demais casos:
 sendo:
 
 Mmax é o valor do momento fletor máximo solicitante de cálculo, em módulo, no com-
primento destravado;
165
 MA é o valor do momento fletor solicitante de cálculo, em módulo, na seção situada a 
um quarto do comprimento destravado, medido a partir da extremidade da esquerda;
 MC é o valor do momento fletor solicitante de cálculo, em módulo, na seção situada a 
um quarto do comprimento destravado, medido a partir da extremidade da direita;
 MB é o valor do momento fletor solicitante de cálculo, em módulo, na seção central do 
comprimento destravado;
 Rm é um parâmetro de monossimetria da seção transversal, que vale:
 Com:
 Iyfc é o momento de inércia da mesa comprimida em relação ao eixo de simetria (como 
a curvatura é reversa, esse momento de inércia refere-se à mesa de menor momento de inér-
cia);
 Iy é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de simetria.
 Em seções com um eixo de simetria, fletidas em relação ao eixo que não é de simetria, 
sujeitas à curvatura reversa, a verificação à FLT deve ser feita para as duas mesas (cada mesa 
terá um momento fletor resistente de cálculo, que deve ser igual ou superior ao máximo mo-
mento solicitante de cálculo que causa compressão na mesma). Nos demais casos, o momento 
fletor resistente de cálculo é constante ao longo do comprimento destravado e deve ser igual 
ou superior ao máximo momento solicitante de cálculo (positivo ou negativo) nesse compri-
mento.
166 
 Similarmente à flambagem local, pode-se dividir o comportamento de uma viga des-
travada lateralmente em três regiões, conforme a Figura 59. Chamando-se de Lb o comprimen-
to não contraventado e de o parâmetro de esbeltez, sendo y o eixo lateral, tem-se:
 
 Vigas curtas (λ≤λ_p): não há flambagem lateral. Ocorre a plastificação total da seção 
sem que ocorra flambagem lateral. 
 Vigas longas (λ > λ_r): ocorre flambagem lateral antes que as fibras mais solicitadas 
atinjam a tensão de escoamento. O momento resistente nominal Mn será o valor denominado 
momento crítico Mcr que deve ser calculado. 
 Vigas intermediárias (λ_p < λ ≤ λ_r): o limite de resistência destas vigas é a flamba-
gem lateral inelástica, isto é, a flambagem lateral ocorre simultaneamente ao escoamento de 
algumas fibras da seção. 
Figura 59 - Relação de esbeltez versus flambagem lateral com torção
Fonte: Arquivo pessoal do Autor
 Nesta expressão, Mr representa o momento residual, assim denominado por ser de-
terminado como o produto da tensão residual pelo módulo de resistência elástico à flexão do 
perfil, ou seja: 
 Mr = Wx (fy - σr)
167
 Como a norma estabelece o valor das tensões residuais em 30% da tensão de escoa-
mento, a equação anterior pode ser simplificada para: 
 Mr = 0,7f�W�
 Os valores de λr pode ser determinado igualando o momento crítico ao momento Mr. 
Por exemplo, para determinar a expressão de λr em vigas de seção aberta e bissimétricas:
 Obtém-se:
 Para:
 Os valores de λp, são obtidos considerando a viga como coluna curta, ou seja, para per-
fis I e “U”:
 Concluindo, o perfil apresentará flambagem elástica quando (λ>λ_r ), sendo Mn=Mcr. 
Para (λ≤λ_p ), ocorrerá plastificação e Mn=Mpl=Z.fy. Por fim, ocorrerá flambagem inelástica 
para valores de λ, intermediários entre λp e λr e os valores do momento resistente são obtidos 
por interpolação linear:
168 
 Cabe salientar que a MRd, que é definido como o momento resistente de projeto, pode 
ser obtido dividindo-se Mn pelo coeficiente de resistência:
4.5 - Exercícios Resolvidos – Barras Fletidas (Momento Fletor)
 1 – Comparar os momentos resistentes de projeto de uma viga de perfil laminado W 
530x85,0 kg/m com uma solda VS 500x86,0kg/m de peso próprio aproximado, supondo as 
vidas contidas lateralmente e fletidas na maior inércia, com aço MR 250 (ASTM A36).
Figura 60 - Dimensões da seção transversal dos perfis (fora de escala)
Fonte: Arquivo pessoal do autor
169
 Solução:
 Das tabelas dos fabricantes tem-se os seguintes valores (destacando-se a diferença 
existente entre as espessuras da alma, o que torna a alma do perfil soldado mais esbelta):
 
 W 530x85,0 (massa linear = 85,0kg/m):
 VS 500x86,0 (massa linear = 85,9kg/m):
 Primeiro a análise do perfil W 530x85,0 (duplamente simétrico, fletido na maior inércia: 
GRUPO 1 – TIPO 1):
 FLA
 FLM
170 
 Como já se sabe qual o tipo de seção do perfil pode-se partir para o cálculo do momen-
to fletor resistente de cálculo uma vez que, como o perfil está contido lateralmente, não é 
necessário conferir FLT!
 Na sequência, o mesmo procedimento será adotado paraa análise do perfil VS 500x86,0 
(duplamente simétrico, fletido na maior inércia: GRUPO 1- TIPO1):
 FLA
 FLM
 Como já se sabe qual o tipo de seção do perfil pode-se partir para o cálculo do momen-
to fletor resistente de cálculo uma vez que, como o perfil está contido lateralmente, não é 
necessário conferir FLT!
171
 Observa-se então que o perfil soldado (VS 500x 86,0), apesar de ter uma altura um pou-
co menor que o perfil laminado de peso equivalente (W 530 x 85,0), tem maior eficiência à 
flexão, devido ao módulo de resistência plástico maior.
 2- Verificar o perfil I 254x37,7 de aço MR (ASTM A36) mostrado na figura abaixo par ao 
momento fletor de cálculo (ou de projeto) igual a 83kNm, que solicita uma viga na região da li-
gação rígida ao pilar conforme o detalhe da figura a seguir. Assumir o perfil contido lateralmen-
te o furo padrão para parafusos de 19mm e 
Figura 62 - figura exemplo
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Solução:
 
 Como há furos nas mesas da seção é necessário realizar a seguinte conferência?
172 
 Com:
 Para a determinação da área líquida, deve-se determinar o valor do diâmetro teórico 
dos furos (como foi feito no capítulo de tração):
 Área Líquida da Mesa Tracionada (a área bruta da mesa tracionada foi considerada apro-
ximadamente retangular):
 Para se levar em consideração a influência dos furos no cálculo do momento fletor re-
sistente de cálculo, utiliza-se a seguinte equação (sendo o módulo elástico da 
seção no lado tracionado):
 Esse valor acima é a resistência do perfil na região dos furos, onde é solicitado por 
 M_d = 83,0kNm, o que se verifica! Por questão didáticas, o valor obtido com a consideração 
dos furos será comparado com a resistência do perfil sem a consideração dos furos:
173
 FLA
 FLM
 Como já se sabe qual o tipo de seção do perfil pode-se partir para o cálculo do momen-
to fletor resistente de cálculo uma vez que, como o perfil está contido lateralmente, não é 
necessário conferir FLT!
 Mostrando assim que a situação com furos é a mais crítica. Portanto:
 3 – Uma viga biapoiada de piso de edifício de vão L e de perfil VS 500x86, 
, está submetida à cargas uniformemente distribuídas per-
manentes (peso próprio de estruturas pré-moldadas) g_k, e variáveis g_k (ações devido ao uso 
e ocupação residencial), sendo L/h = 20. Assumir ação MR (ASTM A36) e a vig contida lateral-
mente.
174 
 Solução:
 
 A carga máxima que pode ser aplicada é determinada de modo a garantir a segurança 
em relação ao colapso por flexão ou cisalhamento (que não será calculado nesse exemplo) no 
estado limite último (ELU) e o comportamento adequado para cargas de serviço (verificação de 
deslocamentos no estado limite de utilização).
 Determinam-se os comprimentos L como sendo:
Figura 62 - figura exemplo
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 A análise para o ELU será apresentada primeiro. O valor da carga distribuída majorada 
q_d pode ser calculada como (uma viga simplesmente apoiada, o valor crítico das combina-
ções geralmente é o máximo valor combinado):
 É possível então expressar o máximo momento fletor solicitante de cálculo como sen-
do:
175
 Deve-se checar na sequência se a seção é compacta, semicompacta ou esbelta (lem-
brando que não será checado FLT porque a seção está contida lateralmente). Duplamente si-
métrica, fletida na maior inércia (GRUPI 1 – TIPO1):
 FLA
 FLM
 Como a seção é compacta, pode-se determinar o valor do momento fletor resistente de 
cálculo como sendo:
 Como o momento fletor resistente de cálculo dever ser maior ou igual que o momento 
fletor solicitado de cálculo, tem-se:
176 
 Agora, será analisado o ELS da viga. O valor de carga distribuída para o ELS é calculada 
com combinações quase permanente e frequentes para análise de deslocamentos:
 
 Quase permanentes: 
 Frequentes:
 Como a carga acidental é de uso e ocupação residencial os calores de 
e portanto, a combinação crítica é a frequente:
 Pela NBR 8800, para uma viga de piso tem-se a flecha máxima limitada por:
 Pela equação da linha elástica para uma viga biapoiada com carga distribuída q por 
toda a sua extensão pode-se determinar a flecha da viga em questão (com q_k em kN/cm):
177
 Note que foi usado I = Ix porque a viga está sendo fletida ao redor do eixo x-x.
 
 Como a flecha não pode ser maior que a flecha máxima permitida por norma, tem-se:
 Comparando-se então ambas as restrições da carga distribuída q_(k )(para os casos ELU 
e ELS) observa-se que o ELU é o determinante para L/h=8 e para L/h=13, mas para L/h=20 o ELS 
é o determinante.
4.6 - Resistência ao Esforço Cortante 
 A teoria técnica de vigas fornece a seguinte expressão para determinar a tensão de ci-
salhamento desenvolvida na flexão:
 Em que:
 V é o esforço cortante; 
 Qs é o momento estático da área acima da linha em estudo, em relação a linha neutra 
da seção; 
 b é a largura (ou espessura) da seção na linha de estudo; e 
178 
 Portanto a tensão de cisalhamento pode ser assumida como atuando apenas na alma, 
com distribuição uniforme ao longo da altura. A Figura 60 ilustra a distribuição da tensão de 
cisalhamento em uma viga I. As tensões na mesa podem ser explicadas através do conceito de 
fluxo de cisalhamento em elementos formados por seções abertas de paredes finas, tratado 
em cursos de resistência dos materiais. Entretanto, estas tensões são secundárias, não sendo 
consideradas para o dimensionamento de estruturas metálicas.
 Adicionalmente a falha por plastificação, em elementos de pequena espessura, as ten-
sões de cisalhamento podem provocar problemas de instabilidade da alma. Novamente, apa-
rece um problema de flambagem de placa de deve ser considerado. Assim, as chapas (alma) 
 I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão.
 Para um Perfil I, as tensões de cisalhamento são praticamente absorvidas pela alma, 
em função da significativa espessura inferior. Então, simplificadamente, pode-se fazer 
 resultando:
Figura 63 - Tensões de cisalhamento em um perfil I na mesa e na alma
Fonte: Arquivo pessoal do autor
179
submetidas ao cisalhamento puro apresentam flambagem elástica quando τ ≥ σ_b sendo σb a 
tensão crítica de flambagem de placa:
 Nestas equações, Vpl é o esforço cortante de plastificação, definido como Vpl = Awfvy. 
Lembrando que, para cisalhamento puro, o critério da energia de distorção (ou de Von Mises) 
estabelece que fvy = 0,6fy, logo Vpl = 0,6Awfy.
Figura 64 - Índice de esbeltez: (a) perfis laminados e (b) perfis soldados
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Lembrando que o coeficiente K leva em consideração as condições de contorno e car-
regamento (agora para um estado de cisalhamento). Assim, em função do índice de esbeltez 
λ = h ⁄ t_w (ver Figura 64), mais uma vez, divide-se o problema em três regiões:
180 
 Para ocorrer flambagem elástica quando a tensão de escoamento não for ultrapassada 
pela soma da tensão crítica com a tensão residual. Definindo a tensão limite de proporcionali-
dade como :
 kv é um coeficiente que modifica os valores de λp e λr em função da existência ou não 
de enrijecedores de alma. Em que a é a distância entre enrijecedores de alma, mostrada na 
Figura 65. Ele vale:
 Para λ > λ_r ocorre a flambagem inelástica da placa. Dada por:
Figura 65 - Enrijecedores de alma
Fonte: Arquivo pessoal do autor
181
 Os enrijecedores de alma atenuam a flambagem da alma, isolando-as em painéis, con-
forme mostrado na Figura 65. O seu projeto deve seguir algumas recomendações, a fim de 
garantir que eles tenham uma rigidez mínima para não flambar junto com a chapa da alma. 
Eles devem ser soldados à alma e às mesas, permitindo-seque não sejam soldados à mesa 
tracionada, desde que mantenham uma distância do ponto mais próximo da solda com a alma 
até o da solda da mesa deve-se entre 4tw e 6tw. A relação entre a largura b e a espessura t do 
enrijecedor deve atender:
 O momento de inércia de um enrijecedor singelo ou do par (quando houver um de 
cada lado da alma) em relação ao eixo do plano médio da alma (zz), conforme Figura 66, deverá 
atender a:
 Com
Figura 66 - Rigidez dos enrijecedores de alma
Fonte: Arquivo pessoal do autor
4.7 - Estado limite de serviço: deslocamentos máximos
 As condições usuais referentes ao estado limite de serviço (ELS) de deslocamento má-
ximo das vigas de edifícios são expressas por:
182 
 Em que 
 
 δ_ser representa os valores dos deslocamentos obtidos com base nas combinações de 
serviço de ações;
 δ_lim representa os valores limites adotados, fornecidos no Quadro 3. Esses limites de-
vem estar de acordo com a função prevista para a estrutura. Os limites são dados normalmente 
como um porcentual do vão da viga. 
 Algumas fórmulas para o cálculo da deformação máxima em vigas simplesmente apoia-
das são mostradas na Figura 67.
Figura 67 - Fórmulas para o cálculo de deslocamentos máximos em vigas simplesmente apoiadas
Fonte: Arquivo pessoal do autor
183
Quadro 5 - Valores limites de deslocamentos
Fonte: Arquivo pessoal do autor
184 
4.8 - Exercícios Resolvidos – Esforço Cortante
 1 – Verificação de perfil laminado ao cortante. A viga da figura utiliza um perfil I-152x18,6 de 
aço ASTM A36. Verifique se a viga atende aos requisitos da NBR 8800 para resistência ao cisalhamen-
to. Dados: 
Figura 68 - Figura exemplo
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Solução:
 Através da mecânica das estruturas é possível afirmar que o máximo esforço cortante 
solicitante de cálculo para a viga simplesmente apoiada em questão é numericamente igual à 
reação de apoio máxima. Sendo assim, tem-se:
185
 Portanto, tem-se . Determina-se então o valor do esforço cortante resis-
tente de cálculo como mostrado a seguir. Destaca-se ainda que deve-se descontar o raio de 
concordância da altura da alma por se tratar de uma viga laminada.
 Para a seção compacta, tem-se:
 Como , não é necessário adotar enrijecedores interme-
diários, ou seja, a viga resiste sozinha ao esforço cortante solicitante de cálculo.
 2 – Recalcular o exercício de flexão número 3, apresentando na seção 4.5, mas agora 
devendo-se calcular também o esforço cortante resistente.
 Solução:
 
 Como já havia sido calculado, tem-se os valores das relações L/h e o valor da carga dis-
tribuída majorada q_d:
186 
 Define-se então o máximo esforço cortante solicitante de cálculo como sendo:
 Calcula-se então o valor do esforço cortante resistente de cálculo considerando a viga 
sem enrijecedores transversais. Para isto, define-se primeiro se a seção é compacta, semicom-
pacta ou esbelta?
 Como esta informação e também sendo a seção do tipo I fletida em relação ao eixo 
perpendicular à alma, tem-se:
187
 Como o esforço cortante resistente de cálculo deve ser maior ou igual que o esforço 
cortante solicitante de cálculo, tem-se:
 São apresentados a seguir os resultados que já haviam sido obtidos para o momento 
fletor máximo e deslocamento máximos permitido:
188 
 Ao analisar estes resultados é possível afirmar, portanto que o esforço cortante é deter-
minante para o caso L/h=8, o momento fletor é determinante para o caso L/h=13 e o desloca-
mento é determinante para o caso L/h=20.
 3 – A viga da figura utiliza um perfil VC 550 x 64, de aço MR-250. Verifique se a viga 
atende aos requisitos da NBR 8800 para resistência ao cisalhamento. Se necessário, utilize enri-
jecedores de alma. Dados: 
 Solução:
 Através do diagrama de esforços cortante da viga é possível ver que o máximo valor do 
esforço cortante solicitante de cálculo V_Sd = 440kN.Deve-se então determinar que é o esforço 
cortante resistente de cálculo da seção para ver se é necessário adotar enrijecedores interme-
diários ou não. Tem-se então:
Figura 69 - Figura exemplo
Fonte: Arquivo pessoal do autor
189
 Com esta informação e também sendo a seção do tipo I fletida em relação ao eixo per-
pendicular à alma, tem-se:
 Como , o perfil não resiste sozinho ao esforço cortante 
solicitante de cálculo. O projetista pode então trocar o perfil ou adotar enrijecedores interme-
diários para a seção. Neste caso, tentaremos adotar os enrijecedores intermediários.
Para saber se a seção poderá resistir ao esforço solicitante de cálculo com a ajuda dos enrijece-
dores deve-se determinar qual é o máximo esforço cortante resistente de cálculo da seção, ou 
seja, para o caso de a seção ser compacta. Tem-se: 
190 
 Como , a seção poderá resistir ao esforço solicitante 
de cálculo máximo com a ajuda de enrijecedores intermediários. Como o valor de λ_ da seção 
não pode ser alterado, deve-se alterar os valores de λ_p e λ_r através do coeficiente k_vpara 
que a seção se torne compacta. Assumindo que λ_ <= λ_p.tem-se:
 Verificando a condição para k_v = 5,0, com enrijecedores com o valor calculado do a:
 Então, com enrijecedores posicionados ao menos a cada 1016,65mm a seção consegui-
ra resistir ao esforço cortante solicitante de cálculo. Como este valor é mais econômico (a_max 
para ) que para o caso de transformar a seção em uma seção compacta, essa última 
opção será adotada.
 Como pode ser visto na figura do enunciado, somente há necessidade de adotar enri-
jecedores intermediários junto ao apoio da esquerda, uma vez esta é a única região em que 
o esforço cortante solicitante de cálculo ultrapassa o valor do esforço cortante resistente de 
cálculo da seção sem enrijecedores (aproximadamente 390kN).
191
 Sendo assim, serão adotados dois enrijecedores com a = 1000 mm, um no apoio A e um 
sob a carga concentrada P.
 Deve-se, por último, dimensionar os enrijecedores de modo que todas as disposições 
construtivas sejam atendidas. Primeiro, a determinar-se o valor de b_enratravés da limitação 
física do espaço disponível:
 Por opção do projetista, tentaremos adotar b_enr=100mm para o enrijecedor. Em se-
guida, tem-se:
 Do lado da mesa tracionada, os enrijecedores podem ser interrompidos de forma que 
a distância entre os pontos mais próximos das soldas entre mesa e alma e entre enrijecedor e 
alma fique entre os seguintes valores:
 Por opção do projetista, será assumido . Sendo assim, a altura 
do enrijecedor será: 
 Finalmente, o momento de inércia do enrijecedor em relação ao plano médio da alma, 
no qual a base é o valor da espessura do enrijecedor e a altura é o valor da base do enrijecedor, 
deve atender ao exposto a seguir:
192 
Objetivos da Unidade
Unidade V - 
Ligações Metálicas: Ligações Parafusadas e 
Ligações Soldadas
V
- Verificar as ligações segundo critérios de resistência e de rigidez dos 
meios de ligação e dos componentes de ligação; 
- Identificar os vários elementos de ligação além das partes das peças li-
gadas envolvidas localmente na ligação
194 
Unidade V - Ligações Metálicas: Ligações Parafusadas e Ligações Soldadas
5.1 - Generalidades 
 Os parafusos estruturais são compostos de uma haste rosqueada tendo de um lado 
uma cabeça hexagonal ou quadrada e do outro uma porca, e, ainda, uma ou duas arruelas que 
podem ser de formas variadas (Figura 70). 
 O comprimento nominal de um parafuso é a medida de sua haste, desprezando a cabe-
ça; é a soma dos comprimentos rosqueados mais a parte lisa. Define-se pega (grip) ao compri-
mento da haste não rosqueadaou, também, à espessura total das partes ligadas. 
 Sob o ponto de vista da resistência mecânica, os parafusos podem ser classificados em 
comuns, regidos pelas normas ASTM A307 ou ISO 898-1 classe 4.6, ou de alta resistência, re-
gidos pelas normas ASTM A 325, ASTM A 490, ISO 4016 Classe 8.8 e ISO 4016 Classe 10.9. Na 
Tabela 11 são fornecidos os valores mínimos da resistência ao escoamento e da resistência à 
ruptura de parafusos, de acordo com suas respectivas normas ou especificações, bem como os 
diâmetros nos quais os mesmos podem ser encontrados. 
Figura 70 - Componentes de parafuso estrutural com cabeça e porca hexagonais
Fonte: Arquivo pessoal do autor
195
 Adicionalmente aos maiores valores de resistência mecânica, outra diferença importan-
te entre os parafusos comuns e de alta resistência, diz respeito ao procedimento de instalação. 
A instalação de parafusos comuns não requer cuidados especiais. O instalador aperta o co-
nector até sentir que as partes conectadas estejam firmemente ligadas. Não há especificação 
de torque ou de esforço a serem aplicados. Em contrapartida, os parafusos de alta resistência 
podem ser protendidos, isto é, podem estar solicitados por um esforço de tração igual a 70% 
da resistência nominal à tração. 
 O aperto normal pode ser obtido por alguns impactos de uma chave de impacto ou 
pelo esforço máximo de um operário usando uma chave normal, garantindo sempre firme 
contato entre as partes ligadas. Parafusos montados sem controle de protensão inicial devem 
ser claramente indicados nos desenhos de projeto, fabricação e montagem. 
 Quando o aperto normal não for permitido, os parafusos devem ser montados de forma 
a desenvolver uma força de protensão mínima (70% da força de ruptura à tração), adequada 
a cada diâmetro e tipo de parafuso usado. O aperto deve ser aplicado, basicamente, por uma 
chave de impacto ou uma chave manual. Adicionalmente, o controle do torque deve ser feito 
Tabela 11 - Materiais usados em parafusos
Fonte: Arquivo pessoal do autor
196 
através de torquímetro ou pelo método da rotação da porca. 
 Quando for usado o método de aperto pela rotação da porca para aplicar a força de 
protensão mínima especificada na Tabela 12, deve haver número suficiente de parafusos na 
condição de pré-torque, de forma a garantir que as partes estejam em pleno contato. A condi-
ção de pré-torque é definida como o aperto obtido após poucos impactos aplicados por uma 
chave de impacto, ou pelo esforço máximo aplicado por um operário usando uma chave nor-
mal. Após esta operação inicial, devem ser colocados parafusos nos furos restantes e tais para-
fusos também levados a condição de pré-torque. Todos os parafusos da ligação deverão então 
receber um aperto adicional, através da rotação aplicável da porca, como indicado na Tabela 
13, devendo esta operação começar na parte mais rígida da ligação e prosseguir em direção às 
bordas livres. 
 Durante essa operação, a parte oposta àquela em que se aplica a rotação não pode gi-
rar. 
Tabela 12 - Força de protensão mínima em parafusos, dada em quilonewton (A)
Fonte: Arquivo pessoal do autor
197
5.2 - Resistência de cálculo nas ligações 
5.2.1 - Tração 
 A resistência de cálculo de uma barra tracionada com extremidade rosqueada é o me-
nor dos valores obtidos com base no estado limite de escoamento da seção bruta e no estado 
limite de ruptura da parte rosqueada. A resistência de cálculo para esse último estado limite, 
aplicável também a parafusos tracionados, é:
Tabela 13 - Rotação da porca a partir da posição de pré-torque
Fonte: Arquivo pessoal do autor
198 
 Em que:
 fub é a resistência à ruptura do material do parafuso ou barra rosqueada especificada na 
Tabela 1, 
 Abe é a área bruta, baseada no diâmetro nominal, 
 db, do parafuso ou barra rosqueada, 
 γ_a2 = 1,35; e 
 A área efetiva pode ser tomada aproximadamente por:
 Torna-se prático elaborar tabelas de resistência para os vários diâmetros e especifica-
ções mais comuns. Aplicando-se as equações apresentadas acima se obtêm a resistência à tra-
ção para os parafusos ASTM A307, ASTM A325 e A490 nas Tabelas 15, 16 e 17.
 Em que
199
Tabela 14 - Parafusos ASTM A307 – Resistência à tração
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Tabela 15 - Parafusos ASTM A325 – Resistência à tração
Fonte: Arquivo pessoal do autor
200 
5.2.2 - Cisalhamento 
 A ação de força cortante em conectores se dá concomitantemente com flexão. A flexão 
no conector é consequência da excentricidade das ações nas partes ligadas, conforme pode 
ser visto na Figura 67 e seu efeito pode ser negligenciado. Duas verificações devem ser feitas:
 
• Resistência ao corte do conector; 
• Resistência à pressão de contato do conector e as paredes dos furos. 
Tabela 16 - Parafusos ASTM A490 - Resistência à tração
Fonte: Arquivo pessoal do autor
201
 Em ligações feitas com parafusos de alta resistência, caso não seja especificado o con-
trário, supõe-se que o corte sempre se dê na região das roscas. Parafusos comuns não podem 
ser dimensionados considerando-se que o corte se dê fora das roscas. A resistência de cálculo 
ao corte de um conector, com corte nas roscas é dada por:
 Em ligações com parafusos A325 e A490 quando se garantir que o plano de corte não 
passa pelas roscas:
Figura 70 - Esforços de corte no conector
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Cabe salientar que os valores das resistências características apresentados referem-se a 
apenas um plano de corte. Da mesma forma, são construídas as Tabela 18, 19 e 20.
202 
Tabela 17 - Parafusos ASTM A307 - Resistência ao corte simples
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Tabela 18 - Parafusos ASTM A325 - Resistência ao corte simples. Plano de corte através das roscas
Fonte: Arquivo pessoal do autor
203
Tabela 19 - Parafusos ASTM A490 - Resistência ao corte simples. Plano de corte através das roscas.
Fonte: Arquivo pessoal do autor
5.2.3 - Pressão de contato em furos 
 Para a verificação da pressão de contato entre parafuso e chapa metálica toma-se, sim-
plificadamente, uma pressão média obtida dividindo-se a força aplicada pela área que é a pro-
jeção do conector na chapa (dxt ), conforme se vê na Figura 71. 
Figura 71 - Pressão de contato na parede do furo
Fonte: Arquivo pessoal do autor
204 
 A pressão de contato dos conectores com as paredes dos furos pode levar ao esmaga-
mento do furo ou do conector, ou ao rasgamento de uma das partes conectadas, caso o furo 
esteja muito próximo de sua borda. Além disso, a NBR-8800/08 considera dois casos, quando a 
deformação do furo para ações de serviço for limitante no projeto ou não. 
Para o caso de deformação no furo ser limitante a resistência de projeto é o menor dos dois 
valores: 
 Em que: a primeira equação corresponde à resistência ao rasgamento e a segunda a re-
sistência ao esmagamento; e l_f é a distância entre a borda de furos consecutivos ou da borda 
furo à borda da parte ligada, medido na direção do esforço e de borda de furo a borda de furo 
ou de borda de furo a extremidade da chapa. 
 Caso a deformação do furo não seja limitante: 
 No caso de uso de furos muito alongados na direção da força a resistência de cálculo 
será:
 Para furos alargados e furos pouco ou muito alongados na direção da força, o Estado 
Limite Último é dado por ligações por atrito, explicado a seguir. Adicionalmente, a resistência 
total de uma ligação é igual à soma das resistências à pressão de contato calculadas para todos 
os furos. 
205
5.2.4 - Tração e corte combinados 
 Quando um parafuso ou barra rosqueada estiver sujeito à ação simultânea de tração e 
cisalhamento, além das verificaçõespara os dois esforços isolados, deverá ser atendida a equa-
ção de interação abaixo ou, alternativamente, podem ser aplicadas as equações mostradas na 
Quadro 4. 
Quadro 6 - Tração e força cortante combinadas
Fonte: Arquivo pessoal do autor
5.2.5 - Ligações por atrito 
 Os parafusos de alta resistência, em função da protensão mínima, podem ser emprega-
dos de forma a tirar proveito da força de atrito que se desenvolve entre as partes conectadas. 
Como as condições de superfície variam pouco para as estruturas metálicas correntes, a NBR 
8800/08 oferece valores de coeficiente de atrito padronizados. 
 Nas ligações com furos alargados e furos pouco alongados ou muito alongados com 
206 
alongamentos paralelos à direção da força aplicada, o deslizamento deve ser considerado esta-
do limite último. Nas ligações com furos-padrão e furos pouco alongados ou muito alongados 
com alongamentos transversais à direção da força aplicada, o deslizamento deve ser conside-
rado estado-limite de serviço 
 Nas situações em que o deslizamento é um estado-limite último, a força resistente de 
cálculo de um parafuso ao deslizamento, FRd,f, deve ser igual ou superior à força cortante so-
licitante de cálculo no parafuso, calculada com as combinações últimas de ações. A resistência 
nominal é numericamente igual à de cálculo e é dada por: 
 Em que
 FTb é a força de protensão no parafuso, 
 Ft,Sd é a força de tração solicitante de cálculo no parafuso, 
 η_s é o número de planos de cisalhamento, 
 μ é o coeficiente de atrito e
 Ch é um fator devido ao tipo de furo. 
 Os valores do coeficiente de atrito são μ = 0,35 para superfícies laminadas, limpas, isen-
tas de óleos ou graxas. Sem pintura e para superfícies galvanizadas a quente com rugosidade 
aumentada manualmente por meio de escova de aço, μ = 0,5 para superfícies jateadas sem 
pintura ou μ = 0,2 para superfícies galvanizadas a quente. 
207
 O fator Ch devido ao tipo de furo é Ch = 1,0 para furos padrão, Ch = 0,85 para furos alar-
gados ou pouco alongados ou Ch = 0,70 para furos muito alongados. 
 Nas situações em que o deslizamento é um estado-limite de serviço, a força resistente 
nominal de um parafuso ao deslizamento, FRk,f, deve ser igual ou superior à força cortante 
solicitante característica, calculada com as combinações de ações raras de serviço, ou, sim-
plificadamente, tomada igual a 70% da força cortante solicitante de cálculo. O valor da força 
resistente nominal é dado por: 
5.3 - Disposições construtivas 
5.3.1 - Distância entre furos 
 A distância entre centros de furos padrão, alargados ou alongados, não pode ser infe-
rior a 2,7db, de preferência 3db, sendo db o diâmetro nominal do parafuso ou barra rosqueada. 
Além desse requisito, a distância livre entre as bordas de dois furos consecutivos não pode ser 
inferior a db. 
 O espaçamento máximo entre parafusos que ligam uma chapa a um perfil ou a outra 
chapa, em contato contínuo, deve ser determinado como a seguir. 
• Em elementos não sujeitos a corrosão, pintados ou não, o espaçamento não pode exce-
der 24 vezes a espessura da parte ligada menos espessa, nem 300 mm; 
• Para elementos de aço resistente à corrosão atmosférica, não pintados, o espaçamento 
não pode exceder 14 vezes a espessura da parte ligada menos espessa, nem 180 mm. 
208 
5.3.2 - Distância furo-borda 
 A distância do centro de um furo padrão a qualquer borda de uma parte ligada não 
pode ser inferior ao valor indicado na Tabela 20, na qual db é o diâmetro do parafuso ou barra 
rosqueada. 
Tabela 20 - Distância mínima do centro de um furo padrão à borda
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Para furo alargado ou alongado, a distância do centro de um furo a qualquer borda de 
uma parte ligada não pode ser inferior ao valor indicado para furos padrão, dado na Tabela 20, 
acrescido de βd_b sendo db o diâmetro do parafuso e β definido como a seguir: 
• β = 0 para furos alongados na direção paralela à borda considerada; 
• β = 0,12 para furos alargados;
209
• β = 0,20 para furos pouco alongados na direção perpendicular à borda considerada; 
• β = 0,75 para furos muito alongados na direção perpendicular à borda. 
 Para qualquer borda de uma parte ligada, a distância do centro do parafuso (ou barra 
rosqueada) mais próximo até essa borda não pode exceder 12 vezes a espessura da parte liga-
da considerada, nem 150 mm. 
5.4 - Distribuição de esforços entre conectores 
5.4.1 - Ligação excêntrica por corte 
 Quando uma carga, que produz apenas corte nos conectores, é aplicada excentrica-
mente na ligação torna-se necessário estudar a distribuição das ações nos vários conectores. 
Para isso, será estudada uma ligação com 3 parafusos, cujo resultado poderá ser facilmente 
expandido para um número maior, com as hipóteses que: 
• As partes ligadas são rígidas; 
• Os conectores são todos iguais e perfeitamente elásticos. 
 Para determinação do esforço de cisalhamento em um parafuso genérico de uma liga-
ção solicitada com carga excêntrica, deve-se decompor o problema em dois: uma carga aplica-
da diretamente no c.g. e um momento, conforme pode ser visto na Figura 72. 
210 
Figura 72 - Decomposição de uma carga excêntrica numa ligação em uma carga centrada e um momento aplica-
do no centro de gravidade
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Como as partes ligadas são rígidas, a carga centrada será igualmente suportada por to-
dos os parafusos da ligação e os esforços terão direções paralelas à da carga P, conforme Figura 
73. No conector A (em todos os demais) tem-se o esforço
 Sendo: 
 n o número de parafusos na ligação. 
 Pode-se decompor a carga P em componentes cartesianas, o mesmo acontecendo para 
os esforços em cada parafuso: 
211
Figura 73 - Decomposição da carga centrada em componentes ortogonais
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 O momento puro deforma a ligação provocando uma rotação em torno do centro de 
gravidade. Como supõe-se que as chapas sejam rígidas, cada furo será deslocado de um va-
lor proporcional ao seu raio vetor que é a deformação do conector, uma vez que os ângulos 
percorridos pelos raios vetores são iguais, conforme Figura 74. Sendo linear a relação entre as 
deformações e os esforços, tem-se que: 
Figura 74 - Esforços nos parafusos para ação de momento puro
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 As forças são ortogonais aos raios vetores e, então, o produto de cada força por seu 
respectivo raio vetor é momento da força em relação ao c.g. Observando-se que a soma dos 
212 
momentos dos esforços atuantes nos parafusos deve ser igual ao momento M, tem-se:
 Tem-se:
 Substituindo vem:
 Definindo-se como momento de inércia polar:
Figura 75 - Componentes cartesianas no parafuso A
Fonte: Arquivo pessoal do Autor
213
 Da Figura 75, tem-se:
 E analogamente,
 Somando ambos os membros:
 Com a definição:
 Vem que:
 Observando-se que os triângulos retângulos da Figura 72 são semelhantes, tem-se: 
 Por fim tem-se:
 A determinação do valor final é uma soma vetorial dos esforços. 
214 
 A ação do momento provoca tração nos conectores situados na parte superior da liga-
ção e comprime as partes conectadas na parte inferior, mas não exerce, obviamente, ação de 
compressão nos parafusos. Dois enfoques distintos são possíveis aqui. Para o caso dos para-
fusos de alta resistência, a tração de instalação (protensão) de 70% da resistência nominal de 
ruptura, praticamente garante que as partes ligadas não podem ser separadas, pois o esforço a 
ser aplicado no parafuso será supostamente menor do que o esforço de protensão. Assim sen-
do, pode-se imaginar que se está diante de uma situação de flexão composta onde o esforçonormal é a resultante das cargas de protensão dos conectores, onde não pode haver tração 
pela condição acima. Então, tratando-se o problema de forma linear, como uma viga de seção 
retangular igual à área da seção de contato entre as partes ligadas, tem-se: 
• Módulo resistente da seção 
5.4.2 - Ligação com corte e tração nos conectores 
 Quando o esforço de tração no conector é consequência da ação de momento na liga-
ção deve-se adotar um procedimento mais específico, conforme Figura 76. 
Figura 76 - Ligação com conectores tracionados sem descolamento entre as partes ligadas. Parafusos de alta 
resistência
Fonte: Arquivo pessoal do autor
215
• E a tensão máxima de tração entre as superfícies na borda, vale:
 Na verdade, não existe tal tensão, pois as superfícies não estão coladas. Todas as ten-
sões são suportadas pelos conectores. Então, os parafusos mais afastados da L.N. são os mais 
solicitados e pode-se determinar o esforço de tração em cada um deles com a hipótese simpli-
ficadora de que a tensão seja uniforme e igual ao valor máximo atuando em uma área da qual 
o conector seja o centro de gravidade, conforme se vê na Figura 77c. A resultante das tensões 
na área marcada é:
 E sendo duas filas de parafusos, o esforço em cada um deles será 
 Equação semelhante pode ser determinada para mais filas de parafusos. Generalizando 
para n filas, tem-se:
 O outro enfoque para o problema supõe que a ação sobre o conector supere o esforço 
de protensão inicial e ocorra um descolamento entre as superfícies, caso atribuído a ligações 
com parafusos comuns. Assim, tem-se que acima da L.N. há um descolamento onde os parafu-
sos são o elemento de ligação e abaixo existe um contato total entre as superfícies das partes 
conectadas, conforme Figura 77.
216 
 Havendo descolamento entre as partes acima da LN, tem-se como seção efetiva a seção 
dos parafusos, conforme a Figura 74b. Pode-se substituir as várias seções de parafusos por uma 
única seção equivalente de forma retangular. Sendo p o passo entre parafusos de uma mesma 
fila, determina-se a largura a do retângulo equivalente fazendo com que a área n.Ab de uma 
mesma linha de parafusos seja igual à área de uma parte do retângulo total, que é outro retân-
gulo de altura p e largura a. Assim, tem-se a largura do retângulo:
Figura 77 - Ligação com conectores tracionados com descolamento entre as partes conectadas
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 A LN tem que passar pelo c.g. da seção, o que significa que os momentos estáticos dos 
retângulos, acima e abaixo da LN, tem que ser iguais. Com isso e a partir da condição geomé-
trica de que a soma das alturas igual à altura total, tem-se:
 A partir das equações acima determina-se a posição da LN e pode-se calcular o valor do 
momento de inércia, lembrando que é a soma dos momentos de inércia de dois retângulos em 
relação a eixo que passa pela base:
217
 A tensão na borda superior é dada por:
 Uma vez obtida a tensão na borda, pode-se usar de raciocínio semelhante ao caso ante-
rior, tomando-se a tensão como uniforme e igual à máxima atuando em toda a área do retângu-
lo equivalente que tem o conector no seu c.g. Mais ainda, observando-se que tal área é igual à 
área dos parafusos pode-se aplicar a tensão diretamente ao conector obtendo-se o esforço de 
tração.
 A experiência mostra que na prática o valor de c1 varia entre 1/6 e 1/7 da altura. Então, 
pode-se simplificar os cálculos adotando-se para c1 um valor igual a 1/7 da altura d, conforme 
sugere o manual de detalhamento do AISC, segundo o qual, o erro cometido com este proce-
dimento é pequeno. 
5.4.3 - Efeito de alavanca 
 Nas ligações com conectores tracionados pode ocorrer acréscimo no esforço de tração 
aplicado ao parafuso, por efeito de alavanca (prying action). Este efeito resulta da maneira 
como a chapa conectada transfere o esforço ao parafuso. Inversamente, o esforço de tração no 
parafuso provoca na chapa uma flexão que tende a deformá-la com uma configuração de ba-
lanços com cargas concentradas (Figura 78a). Para chapas com pouca flexibilidade (espessas) a 
deformação será pequena e nenhum efeito de alavanca será notado (Figura 78b). 
218 
Figura 78 - Efeito de alavanca: (a) Flexão da chapa pela ação do parafuso tracionado e (b) Chapa grossa
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Sob a ação de cargas de tração no conector a chapa se deforma apoiando-se na borda, 
formando uma alavanca, daí o nome do efeito, e aumenta o esforço aplicado no parafuso, con-
forme pode ser observado pelo equilíbrio de forças na Figura 76. 
Figura 79 - Forças com efeito de alavanca
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Uma abordagem do problema é mostrada a seguir. Chamando de p (Figura 77) a largu-
ra tributária de cada parafuso, tem-se: 
 Largura efetiva em vão interno (adotar o menor valor): 
219
 Largura efetiva em vão externo (adotar o menor valor): 
 A largura p será a soma das larguras efetivas ℓ de cada lado do parafuso. Na seção II-II, 
que é a seção de engaste da chapa, tem-se:
Figura 80 - Momentos nas chapas provocados por efeito de alavanca
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Limitando Z≤1,25.W, então, a resistência ao momento será:
 A seção I-I situa-se num plano que passa pela face do parafuso, isto é, desloca-se d/2 em 
direção à seção II-II. A resistência de cálculo ao momento fletor da seção será:
 Sendo d’ o diâmetro do furo. 
 
220 
 A ruína será atingida quando se formarem rótulas plásticas em ambas as seções. O dia-
grama de momentos fletores correspondente a esta configuração está apresentada na Figura 
80. O valor máximo para a carga Q depende do momento na seção I-I, isto é, o momento de 
cálculo MdI = Q.a’ não pode ser maior do que o momento resistente. Então a condição de equi-
líbrio impõe:
 Fazendo-se MdII = MRII , que é a condição limite, pode-se obter o valor de q:
 Tem-se, então: 
 Ou
 Definindo-se
 Ou seja, q ≤ 1,0 
 Tem-se que 
 Discussão dos valores de q: 
• Para q≤0 não há efeito de alavanca, isto é, o dimensionamento é governado pelos para-
fusos, estando a chapa folgada. 
221
• Para q ≥ 1,0 existe o efeito de alavanca, mas a espessura da chapa é insuficiente, pois a 
condição de equilíbrio não está atendida. 
• Para 0 < q ≤ 1,0 existe o efeito de alavanca. Esta é a faixa usual de emprego das chapas e 
o acréscimo de carga de tração nos conectores é dado por 
5.5 - Exercícios Resolvidos – Ligações Parafusadas
 1 – Duas chapas de 204mm x 12,7mm (1/2”) de aço ASTM A36 são emendadas 
com chapas laterais de 9,5mm (3/8”) e parafusos comuns diâmetro igual à 22mm e aço 
A307 ,conforme figura abaixo. Se as chapas estão sujeitas às forças 
,oriundas de cargas permanentes e variáveis decorrentes do uso da es-
trutura, respectivamente, verificar a segurança da emenda no estado limite último para com-
binações normais. Não é necessário verificar as chapas à tração, assumir que a deformação do 
furo para forças de serviço é uma limitação de projeto e assumir também que as distâncias 
máximas e mínimas entre furos, bem como entre furos e bordas, atendam aos critérios da NBR 
8800.
Figura 81 - Figura exemplo
Fonte: Arquivo pessoal do autor
222 
 A ligação em questão é um caso clássico de ligação sujeita apenas à esforço cortante, 
sendo, portanto, necessário checar a ligação ao cisalhamento no parafuso, à pressão de conta-
to na parede dos furos e ao colapso por rasgamento (cisalhamento de bloco).
 É apresentado primeiro o cálculo para o cisalhamento no parafuso, destacando que 
todos os parafusos são do tipo comum , apresentam dois planos de corte, são de 
aço A307 e que a força é resistida por 6 (não por 12) parafusos. Dessa 
maneira, para um parafuso com um único plano de cortetem-se: 
 Solução:
 Primeiramente é necessário determinar qual é o esforço solicitante de cálculo. Este 
pode ser calculado como:
 Como esse é o valor para um parafuso com um plano de corte e a ligação é composta 
por 6 parafusos com 2 planos de corte cada, é necessário multiplicar esse valor por 6 x 2 =12, 
como mostrado a seguir:
 O valor da força solicitante de cisalhamento total para os parafusos é 
menor que a força resistente de cisalhamento total dos parafusos , a ligação 
atende à esse critério.
 O próximo passo é verificar a ligação em relação à pressão de contato na parede dos 
furos.
 O primeiro aspecto que deve ser notado é que tanto as chapas de 12,7mm quanto 
223
as chapas de 9,5mm de espessura, devem ser checadas, entretanto a força atuando em cada 
uma não é a mesma. A força atuando na chapa de 12,7mm tem o valor igual à N_Sd=430kN, 
enquanto a força nas chapas de 9,5mm tem valor igual à N_Sd/2= 430kN/2 = 215kN já que me-
tade é resistida pela chapa de 9,5mm no topo e a outra metade pela chapa de 9,5mm de baixo.
Ambos os casos serão calculados.
 Ainda, é importante observar que no cálculo de l_f é necessário considerar o diâmetro 
do furo padrão igual à d_furo = d_b + 1,5mm.Sendo assim serão checados portanto os casos 
dos parafusos externos (parafuso mais próximo à borda da ligação) e os parafusos internos 
(mais distantes da borda da ligação).
 Por último, tem-se que C_pl = 1,2 e C_fp = 2,4 pois trata-se de um furo padrão e a defor-
mação do furo para forças de serviço é uma limitação de projeto.
 É apresentado primeiro o caso para um único parafuso externo da chapa 
12,7mm:
 Na sequência, o mesmo é feito para um único parafuso interno da chapa de 
12,7mm:
224 
 Como há 6 parafusos por ligação, 3 internos e 3 externos, os respectivos valores de 
devem ser multiplicados pelo número de parafusos. Dessa forma, tem-se:
 Como o valor encontrado da força resistente de cálculo à pressão de contato to-
tal da ligação é maior que a força solicitante de cálculo à pressão de contato da ligação 
, a chapa de 12,7mm a ligação atende ao critério exigido.
 O mesmo cálculo será apresentado para a chapa de 9,5mm. Percebendo-se que os valo-
res de l_fsão iguais aos mesmos valores para a outra chapa (uma vez que, nesse caso específico, 
as distâncias até ambas as bordas das chapas são iguais, o que não ocorrerá obrigatoriamente 
todas as vezes), tem-se para os parafusos externos:
 Analogamente, para os parafusos internos tem-se:
 Para a ligação como um todo o cálculo é apresentado na sequência:
 Novamente, percebe-se que a força resistente de cálculo à pressão de contato to-
tal da ligação é maior que a força solicitante de cálculo à pressão de contato da ligação 
225
, a chapa de 9,5mm a ligação atende ao critério 
exigido.
 O caso para a chapa de 12,7mm é o caso crítico entre as duas já que é apenas 2,62 
vezes maior que , enquanto que para a chapa de 9,5mm esse valor é 3,92 vezes maior.
 Por último, é necessário checar o colapso por rasgamento da ligação. Deve-se notar 
que o valor para o diâmetro do furo para a conferência é igual à . Sendo 
assim, calcula-se para o caso crítico (mostrado na imagem hachurado) a área bruta sujeita à 
cisalhamento , a área líquida sujeita à cisalhamento e a área líquida à tração , 
sendo n o número de vezes que a área se repete na ligação:
 Com esses valores e sendo este um dos casos em que C_t = 1,0, calcula-se a força resis-
tente de cálculo ao colapso por rasgamento como sendo:
 Como , a ligação atende ao último critério, estan-
do, portanto, corretamente dimensionada. 
 Destaca-se que não foram checadas as distâncias mínimas e máximas entre parafusos, 
bem como entre parafusos e bordas, apenas pelo fato do enunciado ter explicitamente dito 
que estavam de acordo com a norma. Caso contrário, esses deveriam ser checados. 
 2 – Desprezando o pequeno efeito da excentricidade introduzida pela ligação, calcular 
qual é a força resistente de cálculo ao colapso por rasgamento para a ligação apresentada a 
226 
seguir. Assumir parafusos com diâmetro igual à 12,7mm (1/2”) de aço A307 e que se trata da 
ligação de um tirante de uma treliça de telhado constituído por duas cantoneiras 63x6,3mm (2 
½”x1/4”) conectadas à uma chapa de 6,3mm.
Figura 82 - Figura exemplo
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Solução
 Antes de calcularas áreas líquidas e bruta, deve-se notar que o rasgamento não pode 
ocorrer sobre a aba da cantoneira, pois este tem uma área muito superior à área do lado em 
que não há aba. Ainda, como a distância dos parafusos ao limite da chapa de 6,3mm não foi in-
formada, pode-se assumir que essa distância será tão grande que não representará a situação 
crítica da ligação.
 A partir disso, calcula-se para o caso crítico (mostrado no exercício 01 em hachurado) a 
área bruta sujeita à cisalhamento( A_gv), a área líquida sujeita à cisalhamento (A_nv) e a área 
líquida sujeita à tração (A_nt), sendo n o número de vezes que a área se repete na ligação. O 
diâmetro do furo deve ser utilizado em seu valor efetivo, acrescentando-se 2,0mm ao diâmetro 
real do furo.
227
 Com esses valores e sendo este um dos casos em que C_t=1,0, calcula-se a força resis-
tente de cálculo ao colapso por rasgamento como sendo:
 3 - Desprezando o pequeno efeito da excentricidade introduzida pela ligação, calcular 
qual é a força resistente de cálculo da ligação apresentada a seguir. A ligação é composta por 
4 parafusos (2 por barra) com diâmetro igual à 12,7mm (1/2”) de aço A36 sendo constituída a 
barra por duas cantoneiras 50,8 x 6,3mm conectadas à uma chapa de 6,3mm.
Figura 83 - Figura exemplo
Fonte: Arquivo pessoal do autor
228 
 Solução:
 Iniciando pelo colapso por rasgamento:
 Área cisalhada:
 Área tracionada
 Resistência ao colapso por rasgamento:
 Cisalhamento dos parafusos por barra:
 Força resistente de 1 parafuso em 1 plano de corte:
 Como são 2 parafusos submetidos a 1 plano de corte:
 Pressão de contato por barra:
 
 Parafusos externos l_f= 18,65mm e parafusos internos l_f= 17,3mm:
229
 Resistência das duas cantoneiras:
 A resistência fica limitada ao cisalhamento dos parafusos
5.6 - Generalidades sobre Ligações Soldadas
 A soldagem é o processo de união entre dois ou mais elementos metálicos, em que as 
propriedades físicas e químicas são mantidas. Nesta operação, torna-se necessário adicionar 
um material à junta para completar a união, sendo chamado material de adição ou metal solda. 
Para os aços estruturais, o processo de soldagem mais aplicado é a chamada solda elétrica por 
arco voltaico. Neste procedimento, a ação de um arco elétrico mantido entre a extremidade de 
um eletrodo metálico revestido (metal solda) e a peça de trabalho produz uma grande concen-
tração de calor em um espaço muito concentrado fundindo o metal, a alma do eletrodo e seu 
revestimento de fluxo, conforme Figura 78. 
230 
Figura 84 - Soldagem por arco voltaico
Fonte: Istock
 Existem diferentes tipos de soldagem por arco voltaico, como, por exemplo, a solda-
gem por eletrodo revestido, arco submerso ou com proteção gasosa. 
 No processo de soldagem a eletrodo revestido, o eletrodo (metal solda), que é o res-
ponsável pela manutenção do arco elétrico e pelo material de adição, possui um revestimento 
que ao queimar produz uma atmosfera protetora que tem as funções de isolamento elétrico, 
isolamento térmico, direcionamento do arco, ionização e proteção do metal fundido. O reves-
timento pode ainda fornecer elementos de liga que podem ser úteis no processo de soldagem 
ou entrar na composição química da junta. 
5.7 - Classificação da Solda 
 Existem três tipos básicos de solda, definidos conforme a posição do material desolda 
em relação ao material a soldar (metal base), são eles: entalhe, filete e tampão. A solda de filete 
representa cerca de 80% das soldas utilizadas em estruturas metálicas. 
231
• Solda de Entalhe: O principal uso é para conectar elementos que estão alinhados no 
mesmo plano, conforme Figura 85. Quando a solda preenche completamente a espes-
sura das partes que estão sendo ligadas, costuma ser chamada de solda de entalhe de 
penetração total (Figura 85a), caso contrário é chamada solda de entalhe de penetração 
parcial (Figura 85b). 
Figura 85 - Solda Tipo Entalhe em (a) com penetração total e em (b) com penetração parcial
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 As soldas de entalhe necessitam um preparo específico do chanfro, recebendo nomes 
específicos, de acordo com o seu formato. A Figura 86 mostra vários tipos de soldas de entalhe
Figura 86 - Tipos de solda de entalhe
Fonte: Arquivo pessoal do Autor
• Solda de Filete: Este tipo de soldagem (Figura 87) exige normalmente menor precisão, 
em função da sobreposição das peças a serem ligadas, por isso são de mais fácil exe-
cução, econômicas e adaptáveis. Estas razões fazem com que seja o tipo de solda mais 
frequente em estruturas metálicas.
232 
• Solda de tampão: A principal aplicação deste tipo de solda (Figura 88) se dá quando a di-
mensão da conexão limita o comprimento necessário para soldas de filete, por exemplo. 
Os diâmetros e dimensões da solda podem ser variados.
5.8 - Tipos de Metal Solda 
 Os eletrodos são varas de aço-carbono ou aço de baixa liga, sendo o elemento que de-
fine a resistência da solda. Os eletrodos com revestimento são designados por expressões do 
tipo E70XY, que utiliza o seguinte critério de nomenclatura: 
• E – eletrodo 
• 70 – indica resistência à ruptura da solda (em ksi) 
Figura 87 - Solda de filete
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Figura 88 - Solda de tampão circular (plug weld) e alongado (slot weld)
Fonte: Arquivo pessoal do autor
233
• X – posição de soldagem 
• Y – corrente do eletrodo e tipo de revestimento. 
 As posições de soldagem são identificadas comercialmente por números (ver Figura 
83): 
• Posição 1: o eletrodo se presta para soldas em qualquer posição (todas) 
• Posição 2: o eletrodo se presta para soldas planas e horizontais.
• Posição 3: o eletrodo se presta apenas para soldas na posição plana. 
Figura 89 - Posições de soldagem
Fonte: Sáles, 2009
 Os revestimentos mais empregados são: 3 - rutílico (com potássio) e 8 - básico (com pó 
de ferro).
 Eletrodos sem revestimentos (usados em soldas com arco submerso) recebem conven-
ções numéricas convencionais indicativas de resistência e outras propriedades, iniciadas pela 
letra F. De acordo com a NBR 8800/08, são disponíveis três tipos de metal de solda, conforme a 
Tabela 22 abaixo. 
234 
 A resistência de uma ligação soldada deve ser maior do que seria se o material fosse 
contínuo com a mesma área efetiva, isto é, o metal da solda deve ser mais resistente do que o 
metal-base. Com esse princípio a NBR 8800/08 estabelece quais devem ser os metais de solda 
para cada aço normalmente empregado na construção metálica.
5.9 - Resistência de cálculo 
 A resistência de cálculo, FRd, dada pela relação entre a resistência característica FRk e o 
coeficiente de ponderação da resistência γ, dos diversos tipos de solda, está indicada na Tabela 
22. Nesta tabela, AMB é a área do metal-base (produto do comprimento da solda pela espes-
sura do metal-base menos espesso), Aw é a área efetiva da solda, fy é a menor resistência ao 
escoamento entre os metais base da junta e fw a resistência mínima à tração do metal da solda, 
obtida da Tabela 21. 
 Como pode ser observado, dispensa-se a verificação da resistência da solda em alguns 
casos de carregamento. Estes casos são mostrados na Figura 90. 
Tabela 21 - Resistência mínima à tração do metal da solda Metal da solda (MPa)
Fonte: Arquivo pessoal do autor
235
Figura 90 - Verificações da resistência da solda dispensada segundo a NBR8800/08
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 A Figura 83c ilustra o caso de perfis soldados. Nesta situação, as soldas ligando os ele-
mentos componentes dos perfis (mesas e almas), podem ser calculadas sem considerar as 
tensões de tração ou de compressão nesses elementos, paralelas ao eixo da solda; devendo 
ser consideradas, entretanto, as tensões de cisalhamento causadas pelas forças cortantes e os 
efeitos locais. 
 A área efetiva das soldas Aw deve ser calculada como o produto do comprimento efeti-
vo da solda pela espessura da garganta efetiva tw. A abordagem difere entre soldas de entalhe 
e filete. 
 Para soldas de entalhe de penetração total e parcial, o comprimento efetivo da solda é 
igual ao seu comprimento real, o qual deve ser igual à largura da parte ligada. A espessura da 
garganta efetiva de uma solda de penetração total deve ser tomada igual à menor das espes-
suras das partes soldadas. A espessura da garganta efetiva de uma solda de penetração parcial 
está indicada na Tabela 24. 
 Em soldas de filete, a determinação da resistência é feita através da premissa de que 
todas as solicitações se comportem como cisalhamento, independentemente da direção atu-
ante, isto é, a resistência é dada pelo produto da área efetiva Aw pela tensão de escoamento 
no cisalhamento. A razão de tal procedimento é a constatação de que o cisalhamento puro é o 
236 
estado mais crítico sob o ponto de vista da resistência da solda, conforme Figura 91. 
 A Figura 92 mostra as dimensões da seção transversal do filete e da garganta, que é o 
menor apótema do triângulo (altura). Para o caso mais comum em que as dimensões d1 e d2 
são iguais, pode-se aproximar para o valor tw =0,7.d , que pode ser facilmente obtido. Assim, 
para solda de filete, a área de solda Aw será o retângulo cujo comprimento é o comprimento 
do filete e a altura o valor da garganta. 
 Segundo o critério de resistência de Von Mises, a tensão de escoamento de cisalhamen-
to é: 
Figura 91 - Seção crítica da solda de filete
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Que a NBR 8800/08 aproxima para 0,6. 
 O valor d normalmente é chamado de perna da solda, enquanto tw é chamado de gar-
ganta da solda. 
237
Figura 92 - Perna d e garganta tw da solda
Fonte: Arquivo pessoal do autor
238 
Tabela 22 - Resistências de cálculo FRd de soldas
239
Fonte: Arquivo pessoal do autor
240 
5.10 - Disposições construtivas 
 As espessuras mínimas de gargantas efetivas de soldas de entalhe de penetração par-
cial estão indicadas na Tabela 24. A dimensão da solda deve ser estabelecida em função da 
Tabela 23 - Espessura da garganta efetiva de soldas de entalhe de penetração parcial
Fonte: Arquivo pessoal do autor
241
parte mais espessa soldada, exceto que tal dimensão não necessita ultrapassar a espessura da 
parte menos espessa, desde que seja obtida a resistência de cálculo necessária. Não podem ser 
usadas soldas de penetração parcial em emendas de peças fletidas. 
 A dimensão nominal (dimensão da perna) mínima de uma solda de filete é dada na 
Tabela 26, em função da parte mais espessa soldada, exceto que, no caso de ligações entre 
mesa e alma de perfis soldados e situações similares, tal dimensão não precisa ultrapassar a 
necessária para desenvolver a resistência de cálculo da alma. 
Tabela 24 - Espessura mínima da garganta efetiva de uma solda de entalhe de penetração parcial
Fonte: Arquivo pessoal do autor
Tabela 25 - Dimensão mínima de uma solda de filete
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 A dimensão nominal (dimensão da perna) máxima de uma solda de filete que pode ser 
usada ao longo de bordas de partes soldadasé a seguinte (Figura 87): 
242 
 Atenção também deve ser dada aos comprimentos dos cordões, que não podem ser 
inferiores a quatro vezes a dimensão da perna ou 40 mm. Caso isso não seja atendido o compri-
mento efetivo para efeito de determinação da resistência de cálculo será 25% do comprimento 
executado (ou projetado). 
 No caso de serem executados apenas filetes longitudinais em ligações de extremida-
des, os seus comprimentos não podem ser menores do que a distância transversal entre eles 
(Figura 94). 
• Ao longo de bordas de material com espessura inferior a 6,35 mm, não mais do que a 
espessura do material; 
• Ao longo de bordas de material com espessura igual ou superior a 6,35 mm, não mais do 
que a espessura do material subtraída de 1,5 mm, a não ser que nos desenhos essa solda 
seja indicada como reforçada durante a execução, de modo a obter a espessura total 
desejada da garganta. 
Figura 93 - Dimensões máximas da solda de filete
Fonte: Arquivo pessoal do autor
243
Figura 93 - Dimensões máximas da solda de filete
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Podem ser usadas soldas intermitentes de filete, dimensionadas para transmitir solici-
tações de cálculo, quando a resistência de cálculo exigida for inferior à de uma solda contínua 
da menor dimensão nominal permitida, e também para ligar elementos de barras compostas. 
 O comprimento efetivo de qualquer segmento de solda intermitente de filete não pode 
ser menor que 4 vezes a dimensão nominal, nem menor que 40 mm. O uso de soldas intermi-
tentes requer cuidados especiais com flambagens locais e com corrosão. 
 O cobrimento mínimo, em ligações por superposição, deve ser igual a 5 vezes à es-
pessura da parte ligada menos espessa e não inferior a 25 mm. Chapas ou barras, ligadas por 
superposição apenas com filetes transversais e sujeitas a solicitação axial, devem ter soldas de 
filete ao longo das extremidades de ambas as partes, exceto quando a deformação das partes 
sobrepostas for suficientemente contida de modo a evitar abertura da ligação por efeito das 
solicitações de cálculo. 
5.11 - Determinação dos esforços na solda 
 Para solução do problema de carga excêntrica na ligação (Figura 99), supõe-se que as 
peças ligadas sejam rígidas e que as soldas sejam elásticas. Uma carga excêntrica pode ser de-
composta em uma carga no c.g. da ligação e um momento que pode ser decomposto em um 
244 
 Se o comprimento total da solda for ℓ, a carga P aplicada no c.g., vai produzir uma taxa 
de força cortante
 O momento em torno do eixo x (fletor) produz tensões normais e é sempre calculado 
a partir da distância da carga ao plano da solda (excentricidade ez). O esforço P não é necessa-
riamente paralelo a um dos eixos principais de inércia da ligação, mas qualquer que seja sua 
direção ele pode ser decomposto em duas forças paralelas aos eixos e superpor os efeitos. Ob-
tém-se, analogamente ao esforço cortante, uma taxa de força normal em um ponto genérico 
da solda:
momento fletor e um momento de torção. 
Figura 94 - Ligação soldada em filetes com carga excêntrica
Fonte: Arquivo pessoal do autor
245
 Em que I é o momento de inércia do cordão de solda em relação ao eixo ortogonal a P 
(eixo de flexão) e c é a distância do ponto da solda ao eixo. 
 O momento de inércia I pode ser obtido para uma espessura unitária do cordão de 
solda. Dessa forma, qp e qm possuem unidade de força por unidade de distância e devem ser 
somadas vetorialmente. A espessura da solda, então, é determinada como o mínimo valor que 
gera uma resistência superior a este valor resultante. 
 O momento de torção é obtido a partir da distância da força P ao eixo normal ao plano 
da solda que passa pelo c.g. (no caso da figura é a excentricidade ex). A tensão de cisalhamento 
devida ao momento de torção (Figura 99) em um ponto genérico do cordão é: 
 Em que T é o momento de torção (T = Pex), Ip é o momento de inércia polar do cordão 
em relação ao c.g. (Ip = Ix + Iy) e r é o raio vetor do ponto da solda.
Figura 95 - Taxa de carga no cordão para ação de momento de torção
Fonte: Arquivo pessoal do autor
246 
 A tensão de cisalhamento qt pode ser decomposta em componentes paralelas aos ei-
xos coordenados:
 Da mesma forma, o momento polar de inércia Ip pode ser obtido para uma espessura 
unitária do cordão de solda. Assim, qp e qT possuem unidade de força por unidade de distân-
cia e devem ser somadas vetorialmente. A espessura da solda, então, é determinada como o 
mínimo valor que gera uma resistência superior a este valor resultante. 
 Para os casos mais comuns de cordão de solda, é comum o uso de tabelas (Tabela 26), 
que apresenta o momento de inércia polar em relação ao centro de gravidade. 
247
Tabela 27 - Propriedades geométricas de cordões de soldas de largura unitária
248 
Fonte: Arquivo pessoal do autor
5.12 - Exercícios Resolvidos – Ligações Soldadas 
 1 – Uma placa de aço de 12mm está sujeita à uma força de tração axial (do tipo carga va-
riável decorrente de uso e ocupação) de 40kN. Ela está conectada a uma outra placa de 12mm 
formando um perfil T por meio de solda de filete. Dimensionar a solda usando eletrodo E60XX. 
Dados: aço A36 (MR250).
249
Figura 95 - Taxa de carga no cordão para ação de momento de torção
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Solução:
 Primeiro é necessário determinar qual é o esforço solicitante de cálculo. Este pode ser 
calculado como:
 Tem-se então as seguintes disposições construtivas para a solda:
 Há três casos que devem ser checados: esforços de tração no metal base, esforço de 
cisalhamento no metal base e esforço de cisalhamento na solda. Apresenta-se a seguir os cál-
culos para o esforço de tração no metal base, o qual ocorre na chapa 1.
250 
 Como , na chapa 1 não ocorrerá falha 
sob a solda. Checa-se, em seguida, o esforço cortante no metal base, o qual ocorre na chapa 
2. Destaca-se que é necessário multiplicar a área do metal base por 2, pois a ruptura terá que 
acontecer em duas regiões simultaneamente como mostrado na figura.
 
 Tem-se então:
 Como , na chapa 2 não ocorrerá 
falha sob a solda. Finalmente, deve-se checar o esforço de cisalhamento na solda. Para com-
binações normais e lembrando que há duas fileiras de solda (uma de cada lado da chapa), 
tem-se então:
 Para eletrodo E60XX
251
 Como , a solda resiste ao esforço solicitante. 
Portanto, como todos os elementos foram checados, o dimensionamento é satisfatório.
 2 – Qual é o comprimento e qual é a espessura da solda de filete requeridos para a co-
nexão da figura? Admitir aço A36e eletrodo E60XX.O esforço solicitante é variável decorrente 
da ação do vento;
Figura 96 - Figura exemplo
Fonte: Arquivo pessoal do Autor
 Solução:
 É necessário determinar qual é o esforço solicitante de cálculo. Este pode ser calculado 
como: 
252 
 Tem-se então as seguintes disposições construtivas para a solda:
 Para esse caso, há duas verificações na ligação: esforço de cisalhamento no metal base 
e esforço de cisalhamento na solda.
 Além disso, é possível abordar o problema para as soldas de duas maneiras distintas, 
mas que chegam ao mesmo resultado. A primeira é considerar que as 4 soldas resistem ao 
esforço solicitante de cálculo integral . A segunda é sonsiderar que soldas re-
sistem à metade do esforço solicitante de cálculo . Será utilizada a primeira 
abordagem nos cálculos do problema. 
 Calculando-se o esforço resistente da solda ao cisalhamento em função do comprimen-
to da solda e comparando-se esse valor com o esforço solicitante de cálculo é possível deter-
minar qual o menor valordo comprimento de solda necessário. Tem-se então:
 Para eletrodo E60XX 
 Sendo assim, será adotado l_w=100mm, já que este valor atende à todos os critérios 
apresentados.
253
 Como se trata de soldas de filete longitudinais nas ligações extremas de elementos 
axialmente solicitados, o comprimento efetivo deve ser tomado como o comprimento total da 
solda multiplicado pelo fator de redução , dado por:
 Portanto
 E, por fim, a verificação no metal base para ambas as chapas é função da área do metal 
base, definida pelo comprimento de solda pela respectiva espessura da chapa:
Para escoamento da chapa 2:
 Na avaliação da ruptura no metal base, usa-se o coeficiente C_t para a avaliação da 
transmissão dos esforços. Nesse caso, como a força de tração é transmitida somente por soldas 
longitudinais ao longo de ambas as suas bordas, e l_w = b, sendo b = 100mm, o coeficiente de 
redução C_t = 0,75.
 Para a ruptura da chapa 2:
 Como , o metal base está verificado.
 3 – Calcular a ligação do tipo solda de filete de um perfil L 127 x 12,7mm, submetido à 
tração axial permanente de pequena variabilidade, com uma chapa gusset como indicando na 
figura. Adorar aço ASTM A36 (MR250), eletrodo E70XX e força oriunda de ações permanentes 
(peso próprio de estruturas pré-moldadas). Não há a necessidade de verificar o colapso por 
254 
rasgamento.
Figura 97 - Figura exemplo
Fonte: Arquivo pessoal do autor
 Solução:
 
 Começa-se checando as seguintes disposições construtivas a seguir, lembrando que a 
chapa e o perfil possuem a mesma espessura de 12,7mm
255
 Os esforços desenvolvidos nas soldas devem ter resultante passando pelo centro de 
gravidade do perfil L para que não surjam efeitos de flexão na ligação soldada e no perfil. 
Sendo l_w1 e l_w2 os comprimentos das soldas, pode-se determinar as forças F_1 e F_2que 
atuam nas soldas através das equações de equilíbrio, como mostrado a seguir:
 Entretanto, esses valores ainda não foram majorados. Sendo F_i = N_ki,deve-se então 
fazê-lo para obter-se os seguintes esforços solicitantes de cálculo:
 Para determinar os valores dos comprimentos de solda l_w1 e l_w2 deve-se calcular 
o valor dos esforços resistentes de cálculo para então compará-lo com os valores dos esforços 
solicitantes de cálculo já determinados. Para esse caso, devem ser checados os casos de esforço 
de cisalhamento na solda e de esforço de cisalhamento no metal base (chapa). Tem-se, respec-
tivamente:
256 
Para eletrodo E70XX 
 Pode-se então repetir o mesmo processo para determinar o valor de l_w2ou pode-se 
calculá-lo ao perceber que a relação entre l_w1 e l_w2 com os esforços N_(1,Sd) e N_(2,Sd) 
deve ser mantida constante. Adotando o segundo método por simplicidade, tem-se:
 Como 
 Checa-se finalmente, o valor do comprimento efetivo da solda através da seguinte 
equação:
 Entretanto, pode-se notar que o valor do comprimento efetivo da sol-
da somente será reduzido caso o valor de 0,002 (L_w/w)≥0,2,ou seja, se o valor de 
. Então, pode-se optar por valores aproximadamen-
te iguais aos calculados, mas que sejam mais facilmente executáveis em obra. Por exemplo, 
pode-se determinar:
257
 É necessário ainda garantir que há um valor de, ao menos, w = 6mm, entre a borda da 
peça e o final do filete de solda, como indicado na figura. 
258 
Glossário
 Ductilidade: Denomina-se ductilidade a capacidade de o material apresentar grandes 
deformações (plásticas na maioria das vezes), sem romper, sob a ação de cargas normalmente 
elevadas. Os aços dúcteis, quando sujeitos a tensões locais elevadas sofrem deformações plás-
ticas capazes de redistribuir as tensões. Esse comportamento plástico permite, por exemplo, 
que se considere numa ligação parafusada a distribuição uniforme da carga entre parafusos. 
Além desse efeito local, a ductilidade tem importância porque conduz a mecanismos de rup-
tura acompanhados de grandes deformações que fornecem avisos da atuação de cargas ele-
vadas. 
 Fragilidade: É o oposto da ductilidade. Os aços podem se tornar frágeis pela ação de 
diversos agentes: baixas temperaturas ambientes, efeitos térmicos locais causados, por exem-
plo, por solda elétrica, fogo, entre outros.
 Resiliência: é a capacidade de absorver energia mecânica em regime elástico, ou, o que 
é equivalente, a capacidade de restituir energia mecânica absorvida. Denomina-se modulo de 
resiliência ou simplesmente resiliência a quantidade de energia elástica que pode ser absorvi-
da por unidade de volume do metal tracionado. Ela é igual a área do diagrama σ X ε até o limite 
de proporcionalidade.
 Tenacidade: é a energia total, elástica e plástica que o material pode absorver por uni-
dade de volume até a sua ruptura. Em tração simples, a tenacidade é representada pela área 
total do diagrama σ X ε.
 
 Dureza: é a resistência ao risco ou abrasão. Na prática mede-se dureza pela resistência 
que a superfície do material oferece à penetração de uma peça de maior dureza.
259
 Fadiga: Quando as peças metálicas trabalham sob efeito de esforços repetidos em 
grande número, pode haver ruptura em tensões inferiores às obtidas em ensaios estáticos. 
Esse efeito denomina-se fadiga do material.
 Temperatura: As temperaturas elevadas reduzem as resistências ao escoamento (fy) e 
ruptura (fu), bem como o módulo de elasticidade E. Após 100 °C, os aços tendem a perder o li-
mite de escoamento bem definido, tornando o diagrama arredondado. Em temperaturas mais 
elevadas, acima de 250 °C começa a ocorrer a fluência nos aços.
 Corrosão: é o processo de reação do aço com alguns elementos presentes no ambiente 
em que se encontra exposto, sendo o produto dessa reação muito similar ao minério de ferro. 
A corrosão promove a perda de seção das peças de aço, podendo se constituir em causa de 
colapso.
Referências Bibliográficas
DIAS, Luís Andrade de Mattos. Estruturas de Aço: Conceitos, Técnicas e Linguagem. São Paulo 
– SP: Zigurate Editora, 1997.
PFEIL, Walter e PFEIL, Michele. Estruturas de Aço: dimensionamento Prático. RJ: LTC, 2002.
PINHEIRO, Antonio Carlos da Fonseca Bragança. Estruturas metálicas: cálculos, detalhes, exer-
cícios e projetos. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2005.
	Unidade I – Condições Gerais dos Aços Estruturais
	1.1 - Fabricação de Aços Estruturais 
	1.1.1 - Considerações sobre a composição química.
	1.1.2 - Tipos de aços estruturais.
	1.2 - Requisitos para Aços Estruturais e Materiais de Ligação 
	1.2.1 - Aços estruturais.
	1.2.2 - Materiais de Ligação.
	1.3 - Produtos Siderúrgicos e Nomenclatura 
	1.3.1 - Chapas
	1.3.2 - Perfis Laminados.
	1.3.3 - Barras.
	1.3.4 - Tubos.
	1.3.5 - Fios, Cordoalhas e Cabos.
	1.3.6 - Perfis Soldados e Compostos.
	1.3.7 - Perfis de Chapa Fina Formado a Frio.
	1.4 - Características do Material Aço 
	1.5 - Valores Bases de Resistência
	Unidade II - Ações, Estabilidade e Análise Estrutural Ações, Estabilidade e Análise Estrutural
	2.1 - Ações 
	2.1.1 - Ações Permanentes.
	2.1.2 - Ações Variáveis.
	2.1.3 - Ações Excepcionais.
	2.1.4 - Valores das Ações.
	2.2 - Estados Limites. 
	2.2.1 - Estado Limite Último - ELU
	2.2.2 - Estado Limite de Serviço - ELS
	2.2.3 - Resistências
	2.2.4 - Coeficientes de Ponderação e Fatores de Redução das ações nos estados-limites último e de serviço
	2.2.5 - Coeficientes de Ponderação das resistências nos estado-limite último
	2.3 - Estabilidade e Análise Estrutural. 
	2.3.1 - Tipos de análise estrutural
	2.3.2 - Classificação das estruturas quanto à sensibilidade a deslocamentos laterais
	2.3.3 - Sistemas Resistentes a Ações Horizontais
	2.4 Exercícios Resolvidos - Ações
	Unidade III – Barras Prismáticas Submetidas à Força Axial de Tração e Barras Prismáticas Submetidas à Força Axial de Compressão
	3.1 - Generalidades sobre Tração
	3.2 - Condição de Segurançapara a Tração
	3.3 - Limitação do Índice de Esbeltez para a Tração
	3.4 - Força Axial de Tração Resistente de Cálculo – Nt,Rd 
	3.4.1 - Área líquida
	3.4.2 - Área líquida efetiva
	3.4.3 - Peças com Extremidade Rosqueadas.
	3.4.4 - Barras Ligadas por pino.
	3.5 Exercícios Resolvidos – Tração
	3.6 Generalidades Sobre Compressão
	3.7 - Condição de Segurança 
	3.8 - Limitação do Índice de Esbeltez 
	3.9 - Flambagem Global 
	3.9.1 - Comprimento de Flambagem.
	3.9.2 - Flambagem por Torção e Flexo-Torção.
	3.10 - Flambagem Local 
	3.11 Critérios Gerias da NBR 8800/08 sobre Compressão 
	3.11.1 - Seções com Dupla Simetria.
	3.11.2 - Seções Monossimétricas (exceto cantoneira simples conectada por uma aba).
	3.11.3 - Seções Assimétricas (exceto cantoneira simples conectada por uma aba).
	3.11.4 - Cantoneira Simples Conectada por Uma Aba.
	3.12 - Força Axial de Compressão Resistente de Cálculo – Nc,Rd 
	3.12.1 Coeficiente de Flambagem por Flexão e Torção.
	3.12.2 Fator de Flambagem Local Q.
	3.12.2.1 - Elementos Comprimidos AL.
	3.12.2.2 Elementos Comprimidos AA.
	3.12.2.3 Paredes de seções tubulares circulares.
	3.13 - Exercícios Resolvidos – Compressão 
	Unidade IV – Barras Prismáticas Submetidas à Flexão e ao Esforço Cortante
	4.1 Generalidades sobre Barras Fletidas
	4.2 - Condição de Segurança
	4.3 - Limitações para o Momento Fletor Resistente de Cálculo
	4.4 - Momento Fletor Resistente de Cálculo, MRd
	4.4.1 - Efeito do Momento Fletor: Plastificação.
	4.4.2 - Efeito do Momento Fletor: Flambagem Local.
	4.4.3 - Efeito do Momento Fletor: Flambagem Lateral com Torção.
	4.5 - Exercícios Resolvidos – Barras Fletidas (Momento Fletor)
	4.6 - Resistência ao Esforço Cortante 
	4.7 - Estado limite de serviço: deslocamentos máximos
	4.8 - Exercícios Resolvidos – Esforço Cortante
	Unidade V - Ligações Metálicas: Ligações Parafusadas e Ligações Soldadas
	5.1 - Generalidades 
	5.2 - Resistência de cálculo nas ligações 
	5.2.1 - Tração 
	5.2.2 - Cisalhamento 
	5.2.3 - Pressão de contato em furos 
	5.2.4 - Tração e corte combinados 
	5.3 - Disposições construtivas 
	5.3.1 - Distância entre furos 
	5.3.2 - Distância furo-borda 
	5.4 - Distribuição de esforços entre conectores 
	5.4.1 - Ligação excêntrica por corte 
	5.4.2 Ligação com corte e tração nos conectores 
	5.4.3 - Efeito de alavanca 
	5.5 - Exercícios Resolvidos – Ligações Parafusadas
	5.6 - Generalidades sobre Ligações Soldadas
	5.7 - Classificação da Solda 
	5.8 - Tipos de Metal Solda 
	5.9 - Resistência de cálculo 
	5.10 - Disposições construtivas 
	5.11 - Determinação dos esforços na solda 
	5.12 - Exercícios Resolvidos – Ligações Soldadas 
	Glossário