Lista3 Gabarito

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ÁLGEBRA LINEAR BÁSICA 
Lista de Exercícios 3 
 
 
1) Verifique quais das afirmações são verdadeiras e justifique sua resposta. 
(a) O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano 
 z=1) não é um subespaço de R³. 
(b) O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano 
 z=0) não é um subespaço de R³. 
(c) O conjunto S = {(x,y)  IR2 | y = 3 + 2x} é um subespaço vetorial de IR2. 
(d) Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de R². 
(e) O conjunto S = {(x,y,z)  IR3 | x + y – z = 0} não é um subespaço vetorial de IR3. 
 
Solução: 
 
a) Verdadeira. 
Sejam u = (x1, y1, 1) e v = (x2, y2, 1)  S 
Temos que u + v = (x1, y1, 1) + (x2, y2, 1) = (x1 + x2, y2 + y2, 2)  S, Portanto S não é 
subespaço vetorial de IR3 
 
b) Falsa. 
Sejam u = (x1, y1, 0) e v = (x2, y2, 0)  S 
Temos que u + v = (x1, y1, 0) + (x2, y2, 0) = (x1 + x2, y2 + y2, 0)  S 
Além disso, .u = .(x1, y1, 0) = (x1, y1, 0)  S 
Logo S é subespeço vetorial de IR3. 
 
 
c) Falsa 
S = {(x,y)  IR2 | y = 3 + 2x} 
Observe que (0,0)  S, pois para x = 0  y = 3 
 
d) Verdadeira 
De fato, sejam u = (x1, ax1) e v = (x2, ax2)  W. 
i) u + v = (x1, ax1) + (x2, ax2) 
 = (x1 + x2, ax1 + ax2) 
 = (x1 + x2, a.(x1 + x2)) 
Logo u + v  W. 
 
ii) Para u  W e  IR, então 
 .u = .(x1, ax1) 
 = (.x1, a(x1)) 
Logo .u  S 
S é Subespaço Vetorial de IR2 . 
 
e) Falsa 
 2 
Sejam u = (x1, y1, z1)  S  x1 + y1 - z1=0 
e v = (x2, y2, z2)  S  x2 + y2 - z2 = 0 
Entao u + v = x1 + y1 - z1 + x2 + y2 - z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2) – (z1 + z2) = 0 
 Essa igualdade mostra que u + v =( x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)  S 
 
 
2) Escreva o v = (-4, -18, 7) como combinação linear dos vetores v1 = (1, -3, 2) e 
V2 = (2, 4, -1). 
Solução: 
Devemos mostrar que v = av1 + bv2 
 (-4,-18,7) = a(1, -3, 2) + b(2, 4, -1). 
(-4,-18,7) = (a, -3a, 2a) + (2b, 4b, -b). 
(-4,-18,7) = (a+2b, -3a+4b, 2a-b) 
a+2b = -4 
-3a+4b = -18 
2a – b = 7 
Resolvendo o sistema obtemos 
a = 2 e b = - 3 
Logo o vetor v = (-4, -18, 7) = 2(1, -3, 2) + (-3)(2, 4, -1). 
 
3) Determine o valor de k para que o vetor v = (-1, k, -7) seja combinação linear dos 
vetores v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1). 
Solução: 
Devemos mostrar que v = av1 + bv2 
 (-1, k, -7) = a(1, -3, 2) + b(2, 4, -1). 
 (-1, k, -7) = (a, -3a, 2a) + (2b, 4b, -b). 
 (-1, k, -7) = (a+2b, -3a+4b, 2a-b) 
a+2b = -1 
-3a+4b = k 
2a – b = -7 
Resolvendo o sistema, obtemos, a = -3 e b = 1. Logo, -3a+4b = k  k =13 
 
4) Verificar se o conjunto A={ (1,2), (3,5)} gera o IR². 
Solução 
Lembrando que: 
 3 
Para que o conjunto A gere o IR² é necessário que qualquer vetor v=(x,y) 

 IR² seja 
combinação linear de v1,v2, isto é, devem existir números reais a1 e a2, tais que: 
 
V= a1v1+ a2v2 
(x,y)= a1(1,2)+ a2(3,5) 
(x,y)= (a1,2 a1)+ (3a2,5a2) 
 
 a1+3a2 = x  a1 = x - 3a2 
2a1+5a2 = y 
 2(x - 3a2) + 5a2 = y  2x - 6a2 + 5a2 = y  - a2 = y - 2x  a2 = 2x - y 
a1 = x – 3(2x - y) = x – 6x + 3y = -5x +3y 
Assim, 
 
(x,y) = (-5x + 3y)(1,2) + (2x - y)(3,5) 
 
Conclusão: O conjunto A gera o IR², ou G(A)=IR² 
 
5) Mostre que os vetores v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,1) e v3 = (0,0,1) gera o IR
3. 
 
6) Verifique quais dos conjuntos de vetores abaixo são LI e quais são LD 
a) A= {(1,2), (3,5)} 
b) A= {(12,6), (4,2)} 
c) A= {(2,1), (-2,2),(0,3)} 
d) A= {(1,-1,1), (-1,1,1)} 
e) A= {(2,-1,0), (-1,3,1),(3,-4,0)} 
f) A= {(2,1,3), (0,0,1),(1,5,2),(1,0,-1)} 
 
Solução 
a) Sejam a e b escalares quaisquer pertencentes a IR, então. 
 a(1,2) + b(3,5) = (0,0)  (a,2a) + (3b, 5b) = (0,0)  (a+3b, 2a+5b) = (0,0) 
a + 3b = 0 e 2a + 5b = 0. Resolvendo o sistema, obtemos a = b = 0, portanto o 
conjunto A= {(1,2), (3,5)} é LI. 
 
b) O Conjunto A= {(12,6), (4,2)} é LD, pois os vetores (12,6) e (4,2) são múltiplos um 
do outro, isto é, um pode ser escrito como múltiplo do outro: (12,6) = 3(4,2). 
Sejam a e b escalares quaisquer pertencentes a IR, então. 
 
c) O conjunto é LD, pois é um conjunto do IR², constituído por 03 vetores. 
 
 4 
d) O conjunto é LI. De fato, 
a(1,-1,1) + b(-1,1,1) = (0,0,0) 
(a,-a,a) + (-b,b,b) = (0,0,0) 
(a – b, -a + b, a+b) = (0,0,0) 
Resolvendo o sistema, conclui-se que a = b = 0, Logo os vetores são LI. 
 
e) O conjunto é LI. De fato, é fácil verificar que, 
e a1(2, -1, 0) + a2(-1, 3, 1) + a3(3, -4, 0) = (0, 0, 0) 
Devemos ter a1 = 0, a2 = 0 e a3 = 0. 
 
f) O conjunto é LD, pois sendo um conjunto do IR3 , para ser LI deveria ter no 
máximo três vetores. 
 
7) Mostre que o conjunto {(2,1),(3,0)} é uma base do IR2. 
Solução: 
i) Mostrar que o conjunto é LI. 
Devermos ter: 
a(2,1) + b(3,0) = (0,0)  (2a, b) + (3b, 0) = (0,0)  (2a+3b, a+0) = (0,0) 
Obtemos o sistema 
2a + 3a = 0 
a = 0 
Logo a = b = 0 
Portanto os vetores são LI. 
Falta mostrar que o conjunto gera o IR2. 
Devemos mostrar que, dado qualquer vetor de IR2, este pode se rescrito como 
combinação linear dos dois vetores. 
 
Seja v = (x, y) um vetor qualquer de IR2, então existem escalares a e b tais que 
(x, y) = a(2,1) + b(3,0) = (2a, a) + (3b, 0) 
(x, y)= (2a + 3b, a) 
x = 2a + 3b e y = a 
Da primeira equação temos que 3b = x – 2a  b = 
3
2y -x 
3
2a -x 

 
Assim , a = y e b = 
3
2y -x 
 
 5 
(x, y) = y(2,1) + 
3
2y -x (3,0) 
Logo o conjunto
 )0,3(),1,2(
 gera o IR2, e portanto é base de IR2. 
 
9) Mostre que o conjunto de vetores {(1,2,3), (0,1,2),(1,0,1)} é uma base de IR3. 
Solução: 
Primeiro vamos mostrar que os vetores de A são LI. 
Devemos mostrar que para quaisquer escalares a, b, c de IR, se 
a(1,2,3) + b(0,1,2) + c(1,0,1) = (0,0,0) 
(a,2a,3a) + (0,b,2b) + (c,0,c) = (0,0,0) 
(a+c,2a+b,3a+2b+c) = (0,0,0) 
Obtemos o seguinte sistema 
a + c = 0 
2a+b = 0 
3a+2b+c = 0 
Resolvendo, obtemos que a = b = c = 0 
Logo os vetores são LI. 
Agora vamos mostrar que o conjunto de vetores gera o IR3. 
Para qualquer vetor (x,y,z) de IR3, devemos ter que existem escalares a, b, c tal que 
(x,y,z) = a(1,2,3) + b(0,1,2) + c(1,0,1) 
(x,y,z) = (a,2a,3a) + (0,b,2b) + (c,0,c) 
(x,y,z) = (a,2a+b,3a+2b+c) 
Obtemos 
a + c = x 
2a + b = y 
3a + 2b + c = z 
Resolvendo, obtemos 
a = 
 
22
 c , b , 
22
z
y
x
zyx
z
y
x

 
 
9) Explique porque o conjunto de vetores {(1,2,3), (1,1,2),(0,-1,1), (1,3,-2)} não é 
base de IR3. 
Resposta: Porque o conjunto pertence ao IR3 e possui 04 vetores. Para ser base de 
IRn o conjunto deve possui n vetores. 
 6 
 
10) Mostre que o vetor w = (2,1,2) pode ser expresso como combinação linear dos 
vetores u = (1,1,1,) e v = (1,2,1). 
Solução: 
Devemos encontrar a e b tal que w = au + bv 
 
(2, 1, 2) = a(1, 1, 1) + b(1, 2, 1) = (a, a, a) + (b, 2b, b) = (a + b, a = 2b, a = b) 
 
Obtemos o sistema 
 a + b = 2 
 a + 2b = 1 
 a + b = 2 
 
resolvendo, encontramos a = 3 e b = -1 
 
Logo (2,1,2) = 3(1,1,1) + (-1)(1,2,1) 
 
11) Verifique se o conjunto S = {(1,2,3),(4,1,2)} é base do IR3 . 
 
12) Classifique cada afirmação como verdadeira (v) ou falsa (F). 
( F ) O espaço vetorial {0} constituído apenas pelo vetor nulo tem dimensão 1. 
( V ) Duas bases de um mesmo subespaço vetorial V de IRn tem sempre o mesmo 
número de elementos. 
( F ) O conjunto {(1,0), (0,1), (7,4)} não é base do IR2 . 
( V ) Se S é um conjunto de geradores de V com 5 elementos, então dim V .5 
 
13) Verifique quais das transformações abaixo são lineares 
 
a) T: IR  IR, f(x) = 3x 
b) T: IR2  IR3 , T(x,y) = (3x,-2y,x-y). 
c) T: IR2  IR3 , T(x,y) = (3y,-2x,0). 
d) T: IR2  IR2 , T(x,y) = (x +1,y). 
e) T: IR3  IR3 , T(x,y,z) = (x+y,x-y,-x). 
f) T: IR2  IR2 , T(x,y) = (x2,y2). 
 
Solução: 
a) Seja u = x1 e v = x2 vetores genéricos de IR . 
 
T(u+v) = T(x1 + x2) 
 = 3(x1 + x2) 
 = (3x1 + 3x2) 
 = T(u) + T (v) 
 
 7 
Para todo a  IR , tem-se 
T(au) = T(ax1) 
 = 3ax1 
 = a(3x1) 
 = aT(u) 
 
 
b) Sejam u = (x1,y1) e v= (x2,y2) vetores genéricos do IR
2 . 
Tem-se que 
 
T(u+v) = T(x1 + x2, y1 + y2) 
 =(3(x1 + x2), -2(y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 - y2)) 
 = (3x1 + 3x2, -2y1 - 2y2, x1+x2 - y1-y2) 
 = (3x1 , -2y1 , x1-y1) + (3x2 , -2y2 , x2-y2) 
 = T(u) + T(v) 
 
Para todo a  IR , tem-se 
T(au) = T(ax1, ay1) 
 = (3ax1, -2ay1,ax1 – ay1) 
 = a(3x1, -2y1, x1 – y1) 
 = aT(u) 
 
T(x,y) = (3y,-2x,0). 
c) Sejam u = (x1,y1) e (x2,y2) vetores genéricos do IR
2 . 
Tem-se que 
T(u+v) = T(x1 + x2, y1 + y2) 
 = (3(y1 + y2), -2(x1 + x2), 0) 
 = (3y1 + 3y2, -2x1 – 2x2,0) 
 = (3y1 , -2x1 , 0) + (3y2 , -2x2 , 0) 
 = T(u) + T(v) 
 
Para todo a  IR , tem-se 
T(au) = T(ax1, ay1) 
 = (3ay1, -2ax1, 0) 
 = a(3y1, -2x1, 0) 
 = aT(u) 
 
14) Mostre que: 
a) A transformação identidade é linear. 
b) A transformação nula é linear. 
 
Solução: 
a) Seja I a transformação identidade I : V  V tal que I (v) = v, v  V 
i) Para u e v  V, tem-se que I (u+v) = u + v = I (u) + I (v) 
ii) Para u  V e   IR, tem-se que I (u) = u =  I (u) 
 
b) T: V  W tal que f (v) = 0, v  V 
 8 
i) Para u e v  V, tem-se que T(u+v) = 0 + 0 = T(u) + T(v) 
ii) T((u) = 0 = .0 =  T(u) 
 
15) Um operador linear T: IR2  IR2 , é definido por T(1,0) = (2,-3) e T(0,1) = (-4,1). 
Determine T(x,y). 
 
T(1,0) = (2,-3) e T(0,1) = (-4,1)? 
Obseve que {(1,0),(0,1)} é a base canônica do IR2 e que 
(x,y) = x(1,0) + y(0,1) 
Aplicando T, obtemos 
T(x,y) = xT(1,0) + y(0,1) 
 = x(2,-3) + y(-4,1) 
 = (2x,-3x) + (-4y,y) 
 = (2x - 4y,-3x+y) 
Logo a aplicação é dada por: T: IR2  IR2 , T(x,y) = (2x - 4y, -3x + y); 
 
16) Ache a transformação linear T: IR3  IR2 tal que T(1,0,0) = (2,0), 
 T(0,1,0) = (1,1) e T(0,0,1) = (0,-1) 
 
 
 
17) Seja T: IR3  IR2 uma transformação linear e B = { v1, v2, v3} uma base de IR3, 
onde v1= (1,1,0), v2 = (1,1,1), v3 = (0,1,0). 
Sabendo que T(v1) = (-1,2), T(v2) = (2,1), e T(v3) = (1,0). Determinar: 
 a) T(3,0,-2) ; b) T(x,y,z) 
 
18) Prove que T: R2  R, dada por T(x,y) = x + y é uma transformação linear e 
determine o núcleo e a imagem de T. 
 
19) Determine o núcleo das seguintes transformações lineares 
a) T: IR2  IR2 , T(x,y) = (x - 2y,x + 3y); 
b) T: IR3  IR2 , T(x,y,z) = (x - y + 4z, 3x + y + 8z); 
 
Solução: 
a) N(f) = {(x,y)  IR2 | T(x,y) = (0,0)} é o conjunto 
(x - 2y, x + 3y) = (0,0) 
Ou 
x – 2y = 0 
x + 3y = 0 
Resolvendo o sistema obtemos x = y = 0, 
Logo, N(f) = {(0,0)} 
 
b) (x - y + 4z, 3x + y + 8z )= (0,0) 
 
x - y + 4z = 0 
3x + y + 8z = 0 
 9 
 
Resolvendo o sistema, obtemos que x = -3z e y = z 
 
Logo 
N(f) = { (-3z, z, z)  IR3 | z  IR } = {z(-3, 1, 1) | z  IR } 
Ou N(f) = {(-3, 1, 1)} 
 
 
20) Seja T: IR2. IR3 definida por T(x,y) = (x+y, x-y,y). 
 
a) Mostre que T é linear; 
 
b) Determine N(T) e Im(T) 
 
Solução: 
a) Lembre-se que para provar que T é linear devemos verificar a validade das duas 
condições abaixo: 
 
i) T(u+v) = T(u) + T(v) 
ii) T(u) = T(u),   IR 
 
i) Sejam u = (x1,y1) e (x2,y2) vetores genéricos do IR
2 . 
Tem-se que 
T(u+v) = T(x1 + x2, y1 + y2) 
 = (x1 + x2+ y1 + y2, x1 + x2 – (y1 + y2), y1 + y2) 
 = (x1 + y1, x1 - y1, y1 ) + (x2 + y2, x2 - y2, y2 ) 
 = T(u) + T(v) 
. 
 
b) Para todo a  IR , tem-se 
T(u) = T(x1, y1) 
 = ((x1+y1), (x1 -y1), y1) 
 = (x1+y1, x1 -y1, y1)) 
 = T(u)