Apostila Eletromagnetismo pt. 2

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Eletromagnetismo 
 
volume II 
 
 
∇.D=ρ 
 
∇ × = −E B∂∂t 
 
t∂
∂DJH +=×∇
 
 
∇.B=0 
 
∇2Es= jωµ (σ + εjω)ES 
 
 
 
 
Prof. Evandro C. Gondim 
 1 
CAPITULO 9 
 
FÔRÇAS MAGNÉTICAS, MATERIAIS MAGNÉTICOS E INDUTÂNCIA 
 
1 - Forças sobre uma carga em movimento 
 
Experimentalmente pode-se demonstrar que a força F sobre uma partícula discreta de carga positiva Q com 
velocidade v em um campo magnético com densidade de fluxo B é calculada por: 
F=Qv×B Newtons 
 
Como F é perpendicular ao plano que contem v e B consequentemente a partícula Q não é acelerada ou 
freiada pelo campo magnético estacionário. 
Em outras palavras "o campo magnético estacionário no tempo não transfere por si só energia à partícula 
conforme ocorre com o campo elétrico, ele apenas desvia a trajetória da mesma". A transferência da 
energia para a partícula só ocorre nos campos variáveis no tempo conforme determinou Faraday. 
No campo elétrico F=QE. Somando-se os efeitos dos dois campos sobre a partícula vem a "equação da 
força de Lorentz": 
F=Q(E+v×B) Newtons 
 
O campo elétrico atua na partícula como um acelerador de um veiculo, e o campo magnético estacionário 
como o seu volante. 
 
2 - Elemento diferencial de força: dF=dQ(E+v×B) 
 
3 - A força de Lorentz em função de outras grandezas 
J=ρv onde v é a velocidade da densidade volumétrica de cargas ρ 
dQ=ρdv e como dF=dQv×B=ρv×Bdv=J×Bdv dF=J×Bdv 
 
onde: B é um campo provocado por uma fonte externa ou seja não e provocado pela própria densidade de 
corrente J. (a energia do sistema não pode ser aumentada por si mesmo) 
 
Se a densidade de corrente for uniforme Jdv=IdL=Kds logo também: dF=K×Bds ; dF=IdL×B 
F J B= ×∫ dvV ; F K B= ×∫ dsS ; F L B= ×∫ Id 
 
 
 
 
 
4 - Efeito Hall 
 
É muito útil para construção de aparelhos de laboratório para medição de densidade de fluxo elétrico e de 
correntes contínuas tipo alicate que envolve o circuito em medição. 
Dentro de um condutor na presença de um campo elétrico E os elétrons livres com carga Q= −e adquirem 
uma velocidade vd (velocidade de arrastamento). Na presença de uma densidade de campo magnético B 
passa a atuar sobre elas a Força de Lorentz F além da força atrativa exercida pelo núcleo positivo. 
F= − e(vd×B) 
Devido ao grande número de elétrons existirá um acumulo de cargas negativas e positivas nas superfícies do 
condutor que pode ser notada através de uma ddp mensurável em uma direção perpendicular a B e vd. 
Esta ddp é o “Efeito Hall” com notação EH. 
 
??Sobre uma partícula o módulo da força de origem elétrica devido ao efeito Hall é igual ao módulo da 
força de origem magnética que a originou (principio da conservação da energia): 
 
aberta ou 
fechada 
circuito fechado devido 
a continuidade da 
corrente, entretanto vale 
para trechos do circuito. 
 2 
 FQ=Q(EH+v×B)=0 ∴ −evd×B = −(−eEH) ∴ EH = − (vd×B) com vd = −µeE onde: 
 
 
 
onde: vd - velocidade de arrastamento 
 EH - campo elétrico devido ao efeito Hall 
 E - campo elétrico no sentido do deslocamento 
 µe- mobilidade do elétron (m2/V.seg ) 
 
EXEMPLOS 
1 - Calcular vd e µe em um condutor com largura a e espessura d, conhecendo-se a leitura do voltímetro VH, 
I, B (perpendicular a vd), σ 
 
V W
q
Fa
q
qv Ba
q
v BaH d d= = = = ∴ v
V
Bad
H
= e ( )µ σ
σ σ σ
e = = = = =
v
E
V
Ba
J
V
Ba Ida
V da
BaI
V d
BI
d
H
H H H 
 
1 - E9.3 HAYT 
Amostra de germânio tipo "n", µe=0,39 m2/v.seg ; B=0,08az ; E=1200(−ax). 
a) vd=? 
vd= −µeE= −µeEx(−ax)=1200×0,39=468ax m/seg 
 
b) VH=? --> EH= −vd×B= − 468ax×0,08az=37,4 ay V/m 
VH=EH×0,015=0,562 V 
 
c) ddp entre as extremidades? V=EL=1200×0,028=33,60 V 
2 - Calcular a força sobre um condutor retilíneo de comprimento 0,30m conduzindo uma corrente −5az e 
imerso em um campo B=3,5×10−3(ax−ay). 
O campo não varia no espaço logo: F=IL×B=5,0[0,3(−az)× 3,5×10−3(ax−ay)]=5(−0,00105ax−0,00105ay) 
F= −0,00525ax−0,00525ay Newtons 
 
5 - Força entre dois condutores em um percurso qualquer no espaço livre. 
 
Esta força assume um valor considerável por ocasião de um curto-circuito e danifica os motores, 
transformadores, computadores, redes elétricas, barramentos de painéis e subestações. 
Pela Lei de Biot-Savart o elemento de corrente I1dL1 produz no ponto dois onde se situa um segundo 
elemento de corrente I2dL2 uma densidade diferencial de campo magnético: 
 
d I d R12
12
B L a
R2
0 1 1
24
=
×µ
π
 ; dF2=I2dL2×B2 diferenciando-se mais uma vez: d(dF2)=I2dL2×dB2 
 
 
 
d(dF2)=I2dL2×
µ
π
0 1 1
24
I d R12
12
L a
R
× ; d(dF2)= 
( )µ
π
0 1 2 2 1
24
I I d d R12
12
L L a
R
× ×
 
 
Integrando-se em um percurso fechado devido a necessidade de admitir a continuidade da corrente vem: 
 
− 
+ + 
+ + 
+ 
− 
+ 
EH e FH 
E=120
0
B=0,0
8
0,0012 
0,015 m 0,028 m x 
− 
z 
− 
− I 
− 
VH 
− vd 
y 
I1dL1 
I2dL2 aR12 
FHe eletron 
EH e FQ 
B (campo 
externo) 
VH 
+ 
+ + 
+ + 
+ 
− 
− 
− − 
− 
− 
− I 
vd E 
d 
a 
FEe 
 3 
F2=
?
22
12
1R12210
2
12
R121
2
210 dd
4
IIdd
4
II
folha
planofolha
plano
larperpendicu
L
R
La
R
aLL ×










×
=
×
× ∫ ∫∫ ∫
?????
π
µ
π
µ 
 
 
Na integral acima ve-se que a força depende em grande parte da geometria do percurso dos dois fios. 
A força é máxima com dL1 // dL2 e nula com dL1 ⊥ dL2. Colocando-se de outra forma o resultado: 
 
 
F2= µ
π
0 2
1 1
12
2 24
I I d dR12
a L
R
L×





 ×∫∫ 
 
 
 
 
F2= µ 0 2 2I d21− ×∫ H L ou finalmente F2= µ 0 2 2I d 21L H×∫ 
 
6 - Dois fios em paralelo 
Pode destruir fontes de computadores. Intensidade de campo magnético em torno de um fio com corrente I 
H a= I
R2π H
 com aH=aL×aR12 
 
Colocando-se um fio com corrente I2az sobre o eixo z e um segundo 
fio paralelo com corrente I1 na mesma direção em uma distância d: 
 
 F1= µ 0 1 1I d 12L H×∫ F2= µ 0 2 2I d 21L H×∫ 
 
 
H a a a a a12 2 2 2
= × = × = −
I
R
I
d
I
d
2
L R21
2
z y
2
x
π π π
( ) H a a a a a21 2 2 2
= × = × − =
I
R
I
d
I
d
1
L R12
1
z y
2
x
π π π
 
 
F a a a1 0
1
2 2
= × − = −∫µ π µ π0 1 2 z x 0 1 2 yI Id )dz I Id( ( ) N/m ; F a a a2 0
1
2 2
= × =∫µ π µ π0 1 2 z x 0 1 2 yI Id )dz I Id( N/m 
 
Portanto os fios se atraem. 
 
Se invertermos a corrente I1 resulta: 
 
F a a a1 0
1
2 2
= × =∫µ π µ π0 1 2 z x 0 1 2 yI Id )dz I Id( ; F a a a2 0
1
2 2
= × − = −∫µ π µ π0 1 2 z x 0 1 2 yI Id )dz I Id( ( ) N/m 
 
 
Portanto os fios se repelem. 
 
 
 
representa o inverso da direção da 
intensidade campo magnético no ponto 
2 devido ao elemento de corrente no 
ponto 1 ou seja −H21 onde: 
∗ 2: ponto de cálculo de H 
∗ 1: corrente que o origina 
x 
y 
z 
I1 I2 d 
1 Ponto de cálculo 
2 corrente que origina 
Depende 
basicamente da 
geometria dos 
percursos
 4 
 correntes no mesmo sentido correntes em sentido inverso 
 
 
 
 
 
6 - Força e torque em um circuito fechado 
 
O torque T de uma força é definido como: T=R×F N.m 
onde R é um vetor com direção da origem para o ponto onde esta aplicada a força F. 
 
Logo T é perpendicular ao plano que contem R e F e varia conforme a origem escolhida. 
 
Em uma espira plana em que circula uma correnteI e imersa em um campo B uniforme temos: 
??em cada IdL atua uma força dada por dF=IdL×B portanto temos forças iguais e opostas em dois IdL 
simétricos e opostos. 
??Logo: 0Idd =×== ∫∫ BLFF 
 
 
 
 
 
 Logo dF2 = − dF1 desde que B seja constante!! Ou seja um sistema de forças iguais e opostas. 
 
 
Porém o torque não é igual a zero! 
 
 
T=R1×dF1+R2×dF2=(R1−R2)×dF1=R21×dF1 
 
T Independe da origem porque R21 independe da origem . 
 
 
Como R21×dF1 o torque se anula quando os vetores dF1 e R21 estiverem alinhados no mesmo plano, 
portanto a espira rola sobre o seu eixo até alinhar este com B. 
 
Usualmente neste caso escolhe-se como origem o centro de rotação do corpo submetido às forças. 
 
 
7 - Torque em uma espira infinitesimal de corrente imersa em um campo B. 
 
É o modelo matemático para o estudo dos materiais magnéticos. 
 
Seja uma espira infinitesimal centrada na origem com B igual a B0 no centro da espira. Como ela é 
infinitesimal B é igual em toda a espira e portanto com o resultado não se altera vamos escolher o centro 
como origem dos braços de alavanca. 
No lado 1 temos: 
dF1=Idxax×B0=Idxax×(B0xax+B0yay+B0zaz)=Idx(B0yaz−B0zay ) 
 
Utilizando-se um braço médio que neste caso será: R1=(−1/2)dyay 
 
dT1=R1×dF1=(−1/2)dyay×Idx(B0yaz−B0zay)=(−1/2)dxdyIB0yax 
 
F1 F F F
B 
dF1 
dF2= − dF1 
x 
y 
z 
R1 
R2 
R21 
espira 
3 
1 
2 4 
B0xax+B0yay+B0zaz y 
x I 
B 
Idxax 1/2dx(-aY) 
braço médio 
B (externo, não é provocado 
dF2=IdL×B dF1= −IdL×B 
I 
(constante)
 5 
No lado 3 temos:dT3=R3×dF3=(+1/2)dyay×[−Idx(B0yaz−B0zay)]=(−1/2)dxdyIB0yax= dT1 portanto: 
dT1+dT3= −dxdyIB0yax 
 
nos lados 2 e 4: dT2+dT4= dxdyIB0xay 
dT=dT1+dT2+dT3+dT4=Idxdy(B0xay−B0yax) ou dT=Idxdy(az×B0) ou finalmente: 
 
dT=IdS×B 
 
onde: dS tem o sentido dado pela regra da mão direita com o polegar na direção da corrente e os demais 
dedos na direção de dS. 
 
Definindo-se dm=IdS (A.m2) denominando-se isto de "momento magnético diferencial" pode-se 
escrever: 
dT=dm×B 
 
Para uma espira finita desde que B seja uniforme e a espira plana: T=IS×B=m×B 
 
A maneira simples de se saber o sentido do torque é: 
"A espira sofre um torque no sentido de alinhar o campo magnético no seu centro produzido pela corrente 
que nela circula (que tem sentido dado pela regra da mão direita), com o campo magnético externo que 
produz o torque no sentido de reforça-lo." 
 
 
 
Isto tem aplicação prática nas agulhas magnéticas utilizadas hoje em dia em barcos e antigamente em 
aviões. 
 
EXEMPLO 
E9.5 HAYT 
a) Qual a força no lado retilíneo da figura com B=0,8ax−0,7ay+az Wb/m2 
F=IL×B=(50×8×10-2ay)× 0,8ax−0,7ay+az=4ax−3,2az Newtons 
 
b) qual o torque sobre a espira com braço de alavanca cuja origem é o centro do segmento retilíneo? 
No segmento retilíneo os torques para a origem determinada pelo exercício se anulam por simetria. Resta 
uma metade de uma espira circular com B constante. 
T=IS×B, pela regra da mão direita: 
T=(50×π×R2/2) − az )× (0,8ax−0,7ay+az)= −[(50×π×0,042)/2] az= −0,1257 az× (0,8ax−0,7ay+az) 
T= −0,088ax−0,1005ay N.m 
 
8 - Materiais magnéticos. 
a) Um elétron em orbita constitui-se uma pequena espira de corrente (em direção oposta ao movimento do 
mesmo) e portanto existira um torque no sentido de alinhar com o campo magnético externo reforçando 
o campo. Como conseqüência o campo interno ao material será mais intenso que o externo, devido ao 
alinhamento de inúmeras moléculas. 
b) "spins" - sob este aspecto de vista todos os materiais teriam propriedades magnéticas, sendo a diferença 
explicada pela teoria dos "spins" que na física quântica são consideradas partículas e portanto existem 
dois novos tipos de momentos magnéticos: 
• spins dos elétrons (m=±9×10-24 A.m2) 
• spins nucleares (desprezível) 
c) Quando existir a combinação dos momentos magnéticos dos spins dos elétrons e os momentos 
magnéticos dos elétrons o campo interno fica significativamente aumentado como nos materiais 
ferromagnéticos que são os únicos que nos interessam. 
Id
I 
IdS 
I 
B (externo) 
B (gerado por I) 
x 
y 
z 
8 cm 
50 
 6 
d) "domínios" - Nestes materiais existem os "domínios" isto é regiões com extensão de micros a até 
centímetros, em que os alinhamentos já existem ao ser coletada a amostra na natureza. Na natureza estes 
domínios tem direções diferentes anulando o efeito magnético entre eles. 
e) "saturação magnética" - Quando a amostra e submetida a um campo magnético externo estes domínios 
se alinham e esta intensificação do campo interno como em um efeito cascata provoca o alinhamento de 
cada vez mais moléculas até que se atinja a "saturação magnética". A aplicação de outro campo 
magnético com direção diferente, calor (no ferro uma temperatura de 770° C) ou choque pode fazer os 
domínios se desalinharem. 
f) "magnetizado permanentemente" , "historia" - Se a maioria dos domínios se mantiverem alinhados após 
a retirada do campo externo dizemos que o material esta "magnetizado permanentemente" não voltando 
mais a sua configuração inicial e então e dito que a amostra tem "historia". 
g) "magnetização induzida, "magnetização permanente" - A magnetização diante de um campo magnético 
como acontece com um disquete em um driver é chamada de "magnetização induzida" para se 
diferenciar da "magnetização permanente" 
h) Nestes materiais a variação de B e H não é mais linear. 
 
 
9 - Curva B×H e laço de histerese. 
 
Em uma amostra sem história aplica-se um campo magnético crescente H, B no interior do material cresce 
porem não linearmente conforme figura abaixo sendo a saturação atingida quando todos os domínios 
estiverem alinhados com o campo externo: 
Esta curva assim obtida é a "curva de magnetização do material" que é utilizada na solução de circuitos 
magnéticos. A curva do ferro-silício é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir do ponto de difícil magnetização reduz-se H e verificamos que não voltamos à curva original. 
Este fenômeno é chamado de “histerese” e o ciclo é chamado de "ciclo de histerese" que no caso de o 
material ser levado à saturação e denominado de "ciclo de histerese de saturação". 
 
 
 
 
 
 
B (Wb/m2) 
 1,4 
1,2 
1,0 
0,8 
0,6 
0,4 
0,2 
H (Ae/m) 
A partir deste ponto 
vem o 
trecho de difícil 
magnetização 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um bom disquete ou HD tem uma força coercitiva grande. 
 
10 - Densidade de energia magnética em um ponto de um meio com materiais ferromagnéticos. 
Para produzir o campo magnético é necessária uma energia que é aquela que vai produzir a corrente. 
Quando a corrente começa a fluir em um circuito esta energia fica estocada no campo magnético. Uma 
quantidade igual de energia retorna ao circuito quando a corrente diminui ou deixa de fluir. 
??em um material não ferromagnético, onde a relação entre B e H é linear, a área entre a reta que 
representa µH e o eixo de B representa a densidade de energia nestes materiais 
wm = =
1
2
1
2
2B. H µH Joule/m3. 
A demonstração desta relação envolve campos variáveis e indutores e portanto será feita mais adiante. 
 
??Dentro dos materiais ferromagnéticos B não varia linearmente com H. 
• A densidade de energia entregue inicialmente pela fonte é dada pela área entre a curva de 
magnetização inicial e o eixo B 
wm = ∫ H.dBB0 J/m3 
a energia total perdida no volume é dada por ∫ ∫= VmW B0HdBdv Joules 
 
• A integração da área do ciclo em função de B e H representa a perda de energia durante o ciclo de 
magnetização e desmagnetização do material devido ao calor gerado pela rotação das moléculasno 
trabalho do campo para polarizar as moléculas em uma só direção. Portanto aumenta com a freqüência. 
• Assim por diferença de áreas a densidade de energia que fica sendo trocada com a fonte em cada ciclo é 
dada pela integral da área entre o laço de histerese e a parte positiva do eixo B. Quando a corrente 
diminui ou deixa de fluir a energia é devolvida ao sistema correspondendo à integral da área entre o laço 
de histerese e a parte negativa do eixo B. A energia restante fica perdida no material. 
 
H 
B 
(B remanente) Br 
−HC 
−Br 
HC 
(Força 
coercitiva) 
µ0H 
Área que 
representa a 
energia trocada em 
cada ciclo em 
materiais não 
magnéticos 
Área que representa a 
energia trocada em 
cada ciclo em 
materiais 
magnéticos 
Área que representa a 
energia "perdida" ou 
"estocada" no material 
devido ao trabalho das 
moléculas se 
 8 
• Quanto maior for HC (força coercitiva grande) maior será a quantidade de energia retida (ou 
“perdida”) pelo material. Portanto em um disquete, HC deverá ser grande de forma que ele não 
seja facilmente desmagnetizado. 
 
 
10 - Corrente de magnetização. 
A corrente de magnetização com notação Im é proveniente das cargas orbitais dos átomos. O índice m 
diferencia da corrente de condução I que por ser a mais importante não tem índice. 
As cargas orbitais são também chamadas de "cargas ligadas" para diferençar das cargas livres. 
 
11 - Momento de dipolo magnético e magnetização. 
 
No campo elétrico temos o momento de dipolo P já foi definido por: 
 p=Qd C.m onde: 
d a forma vetorial da distância entre cargas voltado da carga negativa para a positiva. 
 
Usando-se o artificio matemático dos "pólos magnéticos" Qm com unidade A.m (que não existem) para criar 
no campo magnético algo semelhante, temos que o campo a uma grande distância deste anel são idênticos a 
aqueles de um pequeno imã e assim o momento magnético deste imã é igual ao momento magnético da 
espira e ambos tem por expressão: 
 
 m=Qmd=ImS A.m2 
 
 
onde d é um vetor com sentido de -Qm para +Qm 
 Qm é a intensidade de polo magnético do imã 
 
Denomina-se então este momento magnético das cargas ligadas que são as partículas atômicas "momento de 
dipolo magnético" que nada mais é então que o "momento magnético" das partículas carregadas do átomo. 
Para um volume ∆v com "n" dipolos temos a soma vetorial mi: 
 
 mtotal= m i
i
n v
=
∑
1
∆
 A.m2 
 
por unidade de volume no limite temos a “magnetização” M: 
 M m=
→
=
∑lim∆
∆
∆v ii
n v
v0 1
1 A.m2/m3=A/m M mesma unidade de H !!! 
 
tomando-se o valor médio m de mi: M m=
→
lim
∆ ∆v
n
v0
 A/m 
 
No campo elétrico temos a polarização P p=
→
=
∑lim∆
∆
∆v ii
n v
v0 1
1 C.m/m3=C/m2 P mesma unidade de D !!! 
tomando-se o valor médio p de pi: P
p
=
→
lim
∆ ∆v
n
v0
 C/m2 
 
12 - Relação entre H , B e M 
−−−−
Qm 
+Qm 
d 
I 
imã 
Espira de 
corrente 
(elétron) 
Cargas ligadas 
passando pela 
superfície 
constituindo Im 
superfície 
Material magnético 
A.m 
 9 
 
 
Quanto maior for M maior será a Im e portanto maior será a sua densidade Jm logo: 
 
I dmSm = ∫ J s. 
As correntes provocam sempre um campo magnético logo temos que acrescentar a Equação de Maxwell na 
forma pontual originada da Lei de Ampère o campo devido a Jm 
 
∇×H =Jt ∴∇×B =µ0Jt com Jt=Jm+J e neste caso temos também: I dtSt = ∫ J s. 
vem ∇×B =µ0J+µ0Jm (1) 
 
Passa-se a definir os dois campos H e M de forma a separar matematicamente o efeito das correntes de 
cargas livres J e ligadas Jm e manter a equação de Maxwell na sua forma original em função de J: 
∇×H =J 
 
 ∇×M =Jm 
Assim M ignora a presença de I e H ignora a presença de Im. 
 
Nestas condições vem em (1): 
∇×B =µ0(∇×H) +µ0 (∇×M)= ∇×(µ0H +µ0M) 
 
portanto B fica redefinido por: B =µ0(H +M) (no campo elétrico D=ε0E+P) 
 
 ∇.B=0 logo também ∇.H = -∇.M 
 
Quando não houver M temos de novo B =µ0H 
 
Aplicando-se o Teorema de Stokes ( )I d d dmSm S= = ∇ × = ∫∫∫ J s M . s M. L. 
Assim temos: I dm = ∫ M. L e I d= ∫ H. L 
 
13 - Suscetibilidade χm (chi minúsculo) e permeabilidade relativa µR 
A susceptibilidade magnética é uma relação adimensional entre H e M (as unidade são as mesmas) com 
notação χm (chi): 
M=χmH (1) 
 
Para simplificar as fórmulas tornando-as mais parecidas com as anteriores define-se também uma 
“permeabilidade relativa µR” (adimensional): χm =µR−1 
 
B = µ0(H +M) = µ0(H+χmH) = µ0(H+(µR−1)H) = µ0H+µ0µRH−µ0H = µ0µRH 
 
B =µ0µRH 
 
adota-se uma “permeabilidade” µ: µ=µRµ0 H/m, e assim: B=µH 
 
A permeabilidade relativa é uma característica do meio. Nos materiais não magnéticos µµµµR=1 
Em geral ela só é diferente de 1 nos materiais ferromagnéticos porém neste caso a relação entre B e H não 
é linear 
 
EXEMPLOS: 
E9.19 HAYT Um certo material isotrópico χm=2 e esta imerso em um campo B=20yax mWb/m2. 
 10 
a)µR=? µR=1+χm=2+1=3 b)µ=? µ=4×π×10-7×3=3,77 µH/m 
 
c) Jm=? Jm=∇×M ; M=χmH=2H=
2
3 0
B
µ
 
 J B a a am x X Z
y
=
∇ ×
=
∇ × ×
=
× − ×
=
− × − ×− − −2
3
2 20 10
3
2 20 10
3
2 20 10
30
3
0
3
0
3
0
( ) ( ) ( )
µ µ µ µ
d y
dy
= − 1,061×104az A/m2 
d)J=? J= ∇×H = 1 10 61
2χ χm
m
m
z∇ × = = −M
J a, = − 5,3az kA/m2 
e) M=? M=χmH=2H=
2
3 0
B
µ
=
× × −2 20 10
3
3
0µ
a x =10610yax A/m 
f) H =? H= M
χ m
= 5305yax A/m 
verificando-se B =µ0(H +M)=4π×10-7(5305+10610)yax=20yax mWb/m2 
 
E9.6 Hayt H=? c) temos 8,1×1028 atomos/m3 e cada átomo possui um momento de dipolo magnético de 
4×10-30 A.m2 e χm=10-4 
M=χmH H=
4 10 8 1 10
10
30 28
4
× × ×−
−
, =3240 A/m 
 
14 - Condições de contorno na interface de dois materiais magnéticos diferentes para o campo magnético 
em condições estáticas. 
Verifica-se como varia na fronteira B, H e M 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)Valores normais: 
Aplicando-se no cilindro a Lei de Gauss dos campos magnéticos na superfície fechada: B. sd
s∫ = =Φ 0 
logo: Bn1∆S − Bn2∆S=0 ; Bn1=Bn2 
logo também Hn1=
µ
µ
1
2
Hn2 e como M=χmH vem Mn2=
χ µ
χ µ
m
m
2 1
1 2
Mn1 
 B é continuo e H e M não. 
 
b)valores tangenciais: 
 
Usa-se a Lei de Ampère no circuito fechado onde K é densidade de corrente superficial de cargas livres no 
plano normal à superfície fechada. Só existe portanto se o material for condutor além de magnético. 
I d= ∫ H. L 
- Para condutores em condições especiais K≠0: 
 Ht1∆L-Ht2∆L=K∆L e Ht1 − Ht2=K 
 
também temos: B Bt1
1
t2
2µ µ
− =K e Mt2=
χ
χ
m
m
2
1
Mt1−χm2K 
 
- Para não condutores K=0 
Bn 
Bt 
b a 
Fronteir
a Hn 
Ht 
H B ∆L 
∆L 
∆s 
∆
∆h 
µ1 
µ2 K∆L=I (só existe se o 
material for também 
condutor 
 11 
 Ht1-Ht2=0 ; Ht1=Ht2 
 
Ht é contínuo através da fronteira porém H não porque Hn é descontínuo. 
 
Bt1=
µ
µ
1
2
Bt2 e Mt2=
χ
χ
m
m
2
1
Mt1 
 
 
A direção de K e dada por: 
 
 ( )H H a K1 2 N12− × = 
 
 
 
15 - Indutância e indutores 
 
Em um meio com variação linear entre Φ ( e portanto também B) e I (e portanto também H), por definição 
indutância é L N
I I
= =
Φ λ 
onde N é a quantidade de enlaces de fluxoλ(lambda)=NΦ são os enlaces totais do fluxo magnético gerado por uma corrente que enlaça a 
própria corrente gerada pela mesma fonte em um outro trecho do percurso. 
 I é a corrente que produz o Φ 
Por isto os indutores são por exemplo: solenóides, toróides, bobinas e espiras. Um fio não tem indutância 
porque o fluxo gerado pela corrente não enlaça a própria corrente. Entretanto existe internamente ao fio 
enlaces de fluxo. 
 
No caso do meio onde esta a espira não for tiver uma variação linear entre Φ e I tal como em um material 
ferromagnético a indutância é calculada por: 
Id
d
Id
dNL λ=Φ= 
 
A sua unidade é o Weber/Ampère=Henry. 
 
Se em um solenóide as espiras forem bem juntas cada linha atravessa o solenóide inteiro enlaçando a 
corrente N vezes e desta forma o enlace total é igual ao fluxo magnético total Φ através da bobina vezes o 
número de espiras: λ=NΦ 
No mundo real sempre existem enlaces de fluxo parciais e desta forma temos que fazer ajustes nas fórmulas 
através de fatores de correção. Se as espiras não forem bem juntas haverá enlaces parciais de fluxo e o fluxo 
total será expresso por: 
 λ=Φ1+Φ2+Φ3+.....+Φn= Φ i
i
N
=
∑
1
 
onde ΦN é o fluxo que enlaça a enesima espira. Porém isto é difícil de ser calculado. 
 
20 - Cálculo de Indutâncias 
 
a)cabo coaxial 
Neste caso N=1 porque o fluxo só enlaça completamente o condutor interno (o condutor externo não é 
enlaçado porque fora do cabo H=0 e portanto assim Φ=0 λ=Φ 
 
λ=Φ= B s .. lnd
S
= =∫∫∫ µπ µπφ φ0a
b 0I
2 r
a drdza I
2
b
a0
1
 logo L
2
b
a
0
=
µ
π
ln 
 
K 
H2 
H1 
H1− aN12 
µ1 
µ2 
 12 
b) toróide 
 
B= µ
π
NI
2 r0
 aφ (r0 raio médio, com o valor médio do fluxo portanto) 
 
 Φ= B s.d
S
=∫ µπNISr2 0 ; λ=NΦ ∴ L
N S
r
2
=
µ
π2 0
 
 
c)Dois fios paralelos de comprimento d cada um com raio "a" e distanciados centro a centro de "D" (fio de 
antena de televisão de 300ohms) 
 
Colocando-se um dos fios sobre o eixo z e em coordenadas cilíndricas e integrando-se: N=2 ; λ=2Φ 
 
 
 
∫∫∫ === SSS dzdr.rIdzdr.r2 I2d2 πµπµλ φφ aasB. = µπ µπ µπIr dzdr Id drr Id D aaa
D ad
a
D+a+∫∫ ∫= = + o ln 
 
 com D>>>>>>>a L= µ
π
d D
a
ln  H/m 
 
16 - Energia magnética WH em materiais não ferromagnéticos. 
 
Pode se definir os indutores como "dispositivos que armazenam energia em um campo magnético" a 
semelhança dos capacitores que armazenam energia no campo elétrico. 
Para se calcular a energia do campo magnético tem-se de considerar a variações dos campos com o 
tempo (é assunto do próximo capítulo). Se esta variação for muito baixa o campo é considerado 
“quase estático”. 
 
Em um indutor 
Id
dNL Φ= ∴ LdI = N dφ 
e a ddp entre seus terminais V = 
dt
dN Φ 
 
A potência instantânea da fonte que alimenta a energia no indutor pode ser expressa por P = VI e 
 
em um intervalo de tempo a energia é: WH = 2LI2
1ILdIINdIdt
dt
dNVIdtPdt ∫ ∫ ∫∫∫ ==Φ=Φ== 
 
Ou: WH = ( ) NI2
1ILI
2
1LI
2
1 2 Φ== (1) 
 
Com uma única espira a interpretação é que a energia é dada pela metade do produto do fluxo pela corrente. 
 
Se tivermos uma distribuição volumétrica de corrente em uma região deve-se considerar os filetes de 
corrente “di” e a energia será passando-se para a forma de integral a equação (1) acima: 
WH = ∫ Φdi21 
 
desde a superfície de um 
dos fios (a) até o ponto 
(D + a) de envolvimento 
total do outro condutor 
pelo fluxo 
fem em cada espira 
(Lei de Faraday) 
d 
z 
D 
2a 
I 
I 
Ndφ = LdI 
 13 
 
com B=∇××××A vem: ( )Φ = = ∇ ×∫ ∫B ds A .ds.S S por Stokes Φ = ∫ A. Ld 
 
WH = ∫∫∫∫ === dv21dlds21Jds21di21 J.AA.JA.dlA.dl 
 
WH = ( )∫∫ ×∇= dv21dv21 .AHJ.A 
 
mas: ∇.(A×H)≡H.(∇×A) − (∇×H).A 
 
( ) ( )[ ] ( )[ ]dv
2
1dv
2
1WH ∫∫ ×∇−=×∇−×∇= HA.B.HHA.AH. 
 
( )A H . s×∫ dS =0 porque: 
♦ A decai na proporção de 
r
1 ; 
♦ H decai na proporção 2
1
r
 ( por Biot-Savart ) e 
♦ apenas a área aumenta na proporção de r2. 
 
Portanto em um volume infinito (não importando que não haja corrente em todo ele): 
 
dv
2
1WH ∫= B.H Joules ou dvH21W 2H ∫= µ 
 
 
 podendo-se definir também uma densidade de energia : 2H H2
1
2
1W µ== B.H Joules/m3 
 
Portanto as áreas da figura no item 9 acima, que mostra o ciclo de histerese representam uma energia 
trocada a cada ciclo, estocada ou perdida no material (neste último caso em corrente alternada). 
 
e como também em um indutor WH = 2LI2
1 segue que: dv
I
L 2∫= B.H ou: L 2WI H2= 
 
17 - Indutância interna nos condutores 
 
O interior de um condutor também tem fluxo magnético que envolve uma porção variável da corrente total. 
Estes enlaces de fluxo foram desprezados nos cálculos anteriores e caso fossem considerados deveriam ser 
somados aos resultados para se ter a indutância total. 
 
A indutância interna ao contrário da indutância externa, independe da existência de espiras. 
 
EXEMPLO: 9.42 Hayt 
 
Em um fio de material condutor não magnético de seção circular, raio "a" e distribuição uniforme de 
corrente I calcular as indutâncias interna e externas: 
 
a) interna: 
 
Pelo teorema da Divergência 
= ( )A H . s×∫ dS 
 14 
I
I
r
a
r
a
envolvida
= =
π
π
2
2
2
2 ; H a=
I
r
envolvida
2π φ
 ; H a= Ir
a2 2π φ
 
 
W H dv = I r
a
rdrd dz IH V
2
00
a
= =∫ ∫∫∫12 4 162
2
2 40
12 2
µ µ
π
φ µ
π
π
 J/m L 2W
I
H
2= =
2
16 8
0 5 10
2
2
7µ
π
µ
π
I
I
= = × −, H/m 
 
 
Só depende do comprimento e não de I e do diâmetro do fio. 
 
b) externa: igual à zero porque não existem enlaces de fluxo. 
 
18 - Indutância mútua 
 
A indutância é melhor denominada de “indutância própria” para 
se diferenciar da “indutância mútua”. 
Só pode existir em duas espiras: 
 
 
 
 
 
 
Φ12 é o fluxo criado pela corrente I1 (no circuito 1) que envolve o caminho do circuito 2. 
O fluxo Φ12 será portanto proporcional à I1 e este coeficiente de proporcionalidade é que a indutância 
mútua: 
 
M
I12 1
=
Φ12 Henrys 
 
 
analogamente fazendo passar a corrente no circuito 2: M
I21 2
=
Φ21 Henrys 
 
 
 
Para N2 espiras no circuito 2, os enlaces de fluxo provocados pela corrente I2 são: 
 
M N
I12
2
1
=
Φ12 e analogamente M N
I21
1
2
=
Φ21 
 
A indutância mútua independe das correntes que circulam nos indutores e só variando com a posição 
geométrica dos mesmos e também M12=M21. 
 
B=∇×A ; Φ12 12 2 12 2 12 2= = ∇ × =∫ ∫ ∫B s A s A . L. ( ).d d dS S (aplicando-se Stokes) 
 
A L12 0 14
= ∫µπ I dR1 ; M I I I dR d d dR12 1 1 1 1 1= =
  =∫∫ ∫∫Φ12 2 21 4 4µπ µπL . L L . L 
Esta integral se resolvida para um percurso tortuoso pode trazer uma complicação matemática considerável. 
 
Com dL1 ⊥ dL2 ⇒ M12=0 
 dL1 // dL2 ⇒ valor máximo de M12 
B2
I2
B12A12
B1
I1R
dS
Φ1
 
corrente 
Caminho envolvido 
 15 
 
Trocando-se os índices na demonstração acima teríamos M21 e observando-se que a operação de produto 
escalar de dois vetores é comutativa podemos concluir também: 
 
M12=M21 
 
EXEMPLOS: 
 
E9.13 (item c) Hayt Um solenóide N=600 ; comprimento d=40 cm ; R=2 cm 
µR1=100 em 0<r<3mm e µR2=1 em 0,3<r<2cm Indutância própria? 
 
L N
I
=
Φ ; B NI
dZ
= µ ; 
d
RN
d
SN
Id
NISN
I
NBSL
222 µπµµ
==== 
 
[ ]L N R R Rd
2
1
2
2
2
1
2
=
+ −
=
× ×
× + × − =
−µ µ π µ π π π0 1 2 2 7 2 2 2600 4 10
0 4
100 0 003 1 0 02 0 003 4 587[ ( )]
,
, ( , , ) ,R R mH 
 
E9.14Hayt: Dois solenóides acoplados: N1=1200 ; d1=60cm ; R1=0,5 cm ; µR1=12 
 N2=800 ; d2=60cm ; R2=1,5 cm ; µR2=1 
 
Considerar em todos os cálculos a presença dos dois solenóides. 
 
 
a) indutâncias próprias: 
d
RNL
22µπ
= 
 
 
solenóide 1: L 1200
0,6
2
=
× × × × ×
=
− −4 10 12 0 5 10 2 843
7 2 4π π , , mH 
 
solenóide 2: 11,2
0,6
))105,0105,1(1105,012(104800L
42424272
=
×−×+××××
=
−−−− ππ mH 
 
b) indutâncias mútuas: 
 
M12= M
N
I12
2
1
=
Φ12 = N B S
I
N N I S
I d
N N S
d
2 12
1
2 1 1
1 1
2 1
1
= =
µ µ1 Henrys 
 
com S=S1 porque o fluxo gerado pela corrente do solenóide de fora enlaça a área do solenóide de dentro e o 
fluxo gerado pela corrente do solenóide de dentro que enlaça o de fora passa todo no seu interior. Difere do 
cabo coaxial porque o percurso do fluxo magnético é na direção do eixo do solenóide enlaçando todas as 
espiras e no cabo coaxial o percurso do fluxo magnético é no plano perpendicular ao eixo e portanto só 
enlaça o condutor interno. 
 
 M12= M21=
800 4 10
0,6
-7× × ×
=
π π12 1200 0 005 1 895
2, , mH 
 16 
CAPITULO 10 
 
CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS VARIANDO NO TEMPO 
 
1 - Força eletromotriz - fem 
 
Os campos elétricos Ee criados por campos magnéticos não são iguais à aqueles criados pela presença de 
cargas estáticas que denomina-se a partir de agora de Ec. 
 
O campo total: E=Ee+Ec 
 
Defini-se geralmente Ee: “campo capaz de produzir força eletromotriz (fem) do mesmo tipo que os 
produzidos por baterias, campos magnéticos variáveis no tempo ou movimentos de condutores dentro de 
um campo magnético invariável no tempo”. 
 
Ee não obedece a relação E= −∇V (necessita a adição de mais um termo nesta relação). 
 
Ee não é um campo conservativo tal como Ec portanto: E . Le d∫ ≠ 0 
 
Entretanto temos em qualquer ponto de um fio de comprimento L: ce EEL
IR
SL
LI
S
IJE +=====
σσσ
 
 
Integrando-se ao longo do circuito condutor vem: ∫∫∫ =+
=
dL
L
IRdd
0
L.EL.E ec ??? logo RId =∫ L.Ee 
 
Logo Ec não tem capacidade de manter a corrente se Ee não estivesse presente não haveria corrente no 
percurso. O lado direito é a queda total de tensão no circuito assim: 
 
E . Lc d RI∫ = =fem com dL positivo e obrigatoriamente dentro de um percurso condutor. 
 
No estudo dos campos elétricos criados por campos magnéticos estaremos se referindo a Ee e portanto 
dispensaremos o índice "e" só utilizando o mesmo quando se tornar necessário se fazer diferenças. 
 
2 - Lei de Faraday 
 
Seja uma espira imersa em um campo magnético, variando com o tempo, de densidade B e que esta na 
direção do eixo perpendicular desta espira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
♦ Quando a parcela do campo B dentro da espira tende a diminuir será produzida na espira uma corrente 
tal que se opõe a esta diminuição reforçando este com o campo B produzido por ela. 
♦ Quando a parcela do campo B dentro da espira tende a aumentar será produzida na espira uma corrente 
tal que se opõe a este aumento diminuindo este campo com o campo B produzido por ela. 
 
⇒ Os campos magnéticos estáticos não fornecem energia às partículas só desviam as partículas. 
⇒ Campos magnéticos variáveis no tempo fornecem energia às partículas produzindo uma corrente. 
B (externo) 
B criado por I 
I 
B externo diminuindo 
B (externo) 
B criado por I 
I 
B externo aumentando 
Forma pontual de lei 
de Ohm 
 17 
 3 - Lei de Lenz 
 
 "Em uma espira imersa em um campo externo variável no tempo, a corrente induzida tem uma direção que 
cria um campo magnético tentando impedir a variação do campo magnético externo" 
 
EXEMPLO: Dizer em relação aos ponteiros de um relógio qual o sentido da corrente na espira 2 quando a 
chave da espira 1 é: a) fechada? b)aberta? 
Solução: Os sentidos de B que interessam são os que estão dentro da espira: 
a) chave é fechada: 
 
∗ B1 aumenta por dentro da espira 2 
∗ B2 tenta diminui-lo 
∗ I2 sentido horário 
 
b) chave é aberta: 
 
⇒ B1 diminui por dentro da espira 2 
⇒ B2 tenta aumenta-lo 
⇒ I2 sentido anti-horário 
 
4 - Expressão matemática da Lei de Faraday: 
a) matematicamente a Lei de Faraday pode ser expressa por: fem d
dt
= −
Φ 
onde dΦ: é a parcela do fluxo que passa por dentro da espira 
 
é uma taxa negativa, significando que o sentido positivo da fem foi fixado quando o campo externo e a 
corrente induzida estão obedecendo o sentido da regra da mão direita. 
 
5 - reformulação da 3ª equação de Maxwell para quaisquer campos inclusive os variáveis no tempo. 
 
• Forma integral: 
fem d d
dt
d d
dt t
dS
S
= = − = − = −∫ ∫ ∫E. L B. s B . sΦ ∂∂ 
 
onde: ds esta orientado de acordo com a regra da mão direita e portanto esta no mesmo sentido de B. 
 
• Forma pontual: 
com Stokes na ultima expressão obtida: E. L E . s B . sd d
t
d
S
= ∇ × = −∫ ∫ ∫( )S ∂∂ 
 considerando-se as superfícies idênticas temos a 3ª equação de Maxwell: ∇ × = −E B∂∂t 
se B for invariável temos de novo ∇ × =E 0 
 
5 - Criação de uma fem por um campo magnético estático através do movimento de um condutor dentro 
deste campo. 
 
Neste caso a energia que movimenta a partícula é dada pelo agente que provoca o movimento. 
 
Supondo-se primeiro a experiência abaixo. Neste caso particular em que B é invariável no espaço e 
perpendicular ao sentido do movimento a leitura no voltímetro será: 
 
 
Porque só B 
varia, (a área 
é constante) 
t 
I I2 chave 
fechand
I2 
chave
B2 
I2 (chave fechando) 
I2 (chave abrindo) 
B2 
B1 
I1 
 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BLv
dt
dyBL
dt
dyd
BL
dt
LdyBd
dt
dd
dt
dfem S
zzS
−=−=−=−=−=
Φ
−=
∫∫∫ a.asB. =Vab 
 
As respostas ficam de acordo com a regra da mão direita! 
 
Para um campo estático B em qualquer direção, constante no espaço no sentido do movimento. 
 
Força sobre uma partícula (elétron) em movimento em um campo magnético: F= Qv×B logo no caso de 
um elétron livre: F= − eQ v×B, na barra móvel da figura acima sem os trilhos tem-se: 
 
 
 
 
 
Deslocando-se a barra condutora no espaço sem os trilhos haveria um movimento de elétrons e portanto 
uma corrente elétrica de duração quase instantânea, pois as cargas progressivamente acumuladas nas pontas 
da barra criariam um campo crescente do tipo originado por cargas que anulariam depois de um certo tempo 
a "fem" induzida pelo movimento, fazendo cessar a corrente. Um campo elétrico tipo fem é gerado. 
 
Na barra: 
BvFE ×−=
−
=
qe
 e ∫= ab d.fem LE com sentido de integração definido pela me 
mostrado acima , tem-se: 
ab
a
b
a
b
VBvLd.d.fem =−=×−== ∫∫ LBvLE 
 
 
Vab tem valor negativo, conforme obtido acima com a Lei de Faraday, fican
que se obedeceu o sentido de integração. 
 
Colocando-se a barra deslocando-se sobre os trilhos tem-se um percurso fecha
 
fem d d= = ×∫ ∫E L v B L. . 
 
Um percurso fechado pode ser dividido em "n" parcelas e calcula-se cada parc
o angulo entre os vetores velocidade vn e densidade de fluxo magnético Bn
integração sempre realizada no sentido obtido pela regra da mão direita. 
 
fem d d
1
2
2
3
n
1
= × + × ×∫ ∫ ∫v B L v B L v B1 1 1 2 2 2. . ......... n n
velocidade de 
deslocamento da barra 
fim início 
B B 
+ 
+ 
− 
− 
−
EC EE 
F e vd 
v 
I 
−eQ 
a b 
E 
I 
V 
B (uniforme e estático) 
X 
D = 
v 
X=L 
a 
b 
Barra móvel
Y vd 
Sentido da 
regra da 
mão direita 
Sentido de integração 
definido pela regra da mãodireita conforme mostrado 
na Figura acima 
eixo x 
fim 
regra da mão direita confor
do as respostas iguais desde 
do onde: 
ela do circuito de acordo com 
 na parcela do circuito com a 
dL. n 
início 
 19 
 
pode-se então deduzir: 
 
• a contribuição do trecho é nula quando v // B logo: só contribui a parcela do percurso que corta as 
linhas de fluxo. 
• a contribuição do trecho também é nula quando v×B ⊥ dL ( a força fica perpendicular ao condutor) 
 
Na experiência acima teríamos integrando-se no sentido da corrente dada pela Lei de Faraday, apenas na 
parcela do circuito em movimento: 
 
BvLdx..Bvfem
0a
Lb
−=×= ∫ =
=
xzy aaa =Vab=Va−Vb 
 
 
Se o circuito condutor estiver em movimento dentro de um campo variável no tempo (esta variação no 
tempo pode ser ocasionada pela variação de B na direção do movimento) temos o caso mais geral: 
 
 
 
 
 
fem d d
dt t
d d
S
= = − = − + ×∫ ∫ ∫E. L B . s v B. LΦ ∂∂ 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
10.5 Hayt: Calcular a potência dissipada na resistência, 
e traçar gráfico . 
 
1a solução: O campo varia na direção do movimento logo: 
 
 fem = vxB dL B ds
s
. .− ∫∫ ∂∂t =fem1+fem2 
 
• fem1: movimento em campo estático (parcela considerando o movimento que no caso é constante) 
nos lados paralelos ao eixo x vem: dL = dxaX e com v××××B=6ax××××2x2yaz= 12x2y(−ay) (v××××B).dL =0 
 
integrando-se no sentido da corrente dada pela Lei de Faraday que pode ser obtido pela regra da mão direita 
e que é contrário ao da corrente no exercício: 
 
fem1= ( ( , ) ).
,
6 0 2
0
0 3 2a a aX Z2 x y dy∫ × + y + ( )., 60 30 a a aX 2 Z2x y dy∫ × y 
 (lado em x+0,2) (lado em x=0) 
fem1= [ ( , ) ( )]
,
0
0 3 20 2∫ + −12 x y dya . aY y + [ ( )], 12x y dy2 −∫ a . aY y0 30 = − 0,54[(x2+0,04x+0,04) − x2] 
 
fem1= − 0,54 (0,04x+0,04) 
 
Devido à variação 
de B com o tempo 
Devido ao movimento. 
Se v for constante é produzida 
corrente contínua 
Campo 
estático 
20 ΩΩΩΩ 
B = 2x2yaz 
B (gerado pela 
 corrente) 
v = 6ax m/s x 
z 
0,2 m 
0,3 m 
I 
y 
Sentido de 
integração 
 20 
A componente só depende da velocidade v (que no problema é constante), e como B é considerado estático 
consideramos t=0 portanto na expressão obtida x=0: 
 
fem1= − 0,54(0,04) = − 0,0216V (componente contínua ao longo do tempo) 
 
• fem2: (parcela devido a variação B=2x2yaz com o tempo desde que ele não é constante no sentido do 
movimento) 
computando-se a variação de B com o tempo: v dx
dt
= =6 ∴ x=6t+C como em x=0 temos t=0 ⇒ C=0. 
B(t)az = 2x2yaz = 2x36t2yaz = 72t2yaz 
 
fem2= − = −∫ ∫ ∫ ∫
0
0 3
0
0 2
0
0 3
0
0 2, , , ,
.∂∂
B ds
t
144tydxdy = −1,3t (componente que varia com o tempo, porque para um 
observador sobre a espira, B varia com cada valor de x) 
 
• fem1+fem2= −1,3t − 0,0216 V 
 
 
2a solução: Calculando-se direto pela lei de Faraday que já considera os dois efeitos 
temos que integrar em função de x pois ele varia com o tempo. O vetor ds tem o mesmo sentido de B: 
 
Φ(x)= B ds.
, ,
= =∫ ∫∫ +
0
0 3 0 2
2x ydxdy2
X
X
S
0,09[(0,2+x)3 − x3]=0,03(0,6x2+0,12x+0,008) 
 
como x=6t: Φ(t)=0,03(0,6(6t)2+0,12(6t)+0,008)=0,646t2+0,0216t+0,008 
 
fem d
dt
= −
Φ = −1,3t −0,0216 V 
 
Finalmente: P(t)=V2/R=(−1,3t −0,0216)2/20 Watts 
 
 
E10.2 Na figura y=0,1 em t=0 ; v=200yay ; L=0,15m e B=0,4zaz Wb/m2 calcule em t=10mseg: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) vy = ? 
 
v= dy/dt = 200y m/s∴ dy/y=200dt ∴ lny=200t+C 
em y=0,1 , t=0 ∴ C = ln0,1 ∴ lny − ln0,1=200t ---> ln y
0,1
=200t ---> y=0,1e200t 
em t=10−2 ---> ---> y=0,1e2 ---> y=0,7389 e v=200y=147,78 m/s 
 
b)V12=? 
Com B constante no espaço e perpendicular ao sentido do deslocamento 
 
1 E 
B=0,4az (uniforme no sentido 
 do movimento e estático) 
X 
D = 
v=200yay 1 
2 
Barra móvel 
vd 
I 
V 
X=0,15 
Y 
2
fem1= −1,3t 
fem2= − 0,0216 
t 
 21 
Φ =ByL=0,4×0,15y=0,06y Wb ; 
 
1a solução: y=0,1e200t ; Φ =ByL = 0,06y = 0,06×0,1e200t Wb 
V12= fem
d
dt
= −
Φ = − d(0,006e
dt
200t ) = − 200×0,006e200t = − 1,2 e200t 
com t=10 mseg ---> V12= −1,2e2= − 8,87 V 
 
2a solução: integrando-se no sentido da corrente dada pela Lei de Faraday que pode ser obtido pela regra da 
mão direita 
 
V (v dx12 t=10 mseg0,15
0
= ×∫ a a ay z x0,4 ). = − B×v×0,15= − 0,4×147,78×0,15 = − 8,87 V ∴V21=8,87 V 
 
c)corrente entrando no terminal 1 (errado no livro) do voltímetro com R=50 KΩ no medidor? 
I=
50000
87,8
R
V21
= = 177,3 µA 
 
6 - Corrente de deslocamento 
 
Tipos de corrente: condução, convecção, magnetização e de deslocamento. 
 
• Em um capacitor as cargas não passam de uma placa para a outra, ou seja fluem muito pouco através de 
um dielétrico real pela ação do campo aplicado entre as placas e em conseqüência existe corrente de 
condução desprezível através dele a menos que o dielétrico seja rompido pela intensidade do campo. 
• Entretanto as cargas que chegam em uma placa provocam a saída de cargas de mesmo sinal da outra 
placa nas mesmas quantidades das que chegam. Portanto, apesar de não existir corrente tudo se passa 
como se houvesse. 
• Esta corrente embora pequena, também existe em resistências não sendo uma característica de 
capacitores. 
 
7 - Corrente de deslocamento Jd e reformulação da 3ª equação de Maxwell. 
 
Equação de Maxwell: ∇×H=J ∴ ∇.∇×H=∇.J=0 
porém pela equação da continuidade de corrente: ∇.J= − ∂ρ∂t 
Logo com esta formulação a 3ª Equação de Maxwell só vale para campos estáticos 
 
Existe então um termo que será nulo com campos invariáveis no tempo. Para pesquisar adicionamos um 
termo desconhecido G: 
∇×H=J+G ∴ ∇.∇×H=∇.(J+G)=0 com ∇.J= − ∂ρ∂t vem
∂ρ
∂t =∇
.G 
com ∇.D=ρ ∴ ∇ = ∇ = ∇. ( . ) .G D D∂ ∂
∂
∂t t ∴ 
G D= ∂∂t logo ∇×
H=J+ ∂∂
D
t
 
 
 
A dimensão de ∂∂
D
t
 é: C
m t
m C
t
A
m2
2
2= =
− 
 
Esta dimensão é a mesma de uma densidade de corrente J e resulta de campo variável no tempo. Entretanto 
não esta de acordo com a definição de corrente I= dQ
dt
. Assim denomina-se este termo de “densidade de 
 22 
corrente de deslocamento” com notação Jd=
∂
∂
D
t
 e com ela temos a nova formulação da 2ª equação de 
Maxwell. 
• Forma pontual ∇×H=J+ ∂∂
D
t
= J+Jd com Id = J . sd d∫ 
 
• Forma integral 
Integrando-se em uma superfície e usando-se Stokes: ∇ × = = +∫ ∫∫∫H. s H. L J. s D . sd d d dS SS t∂∂ 
 
EXEMPLO: Qual o valor de Jd em um condutor metálico tendo uma condutividade de 5×107 mho/m e uma 
densidade de corrente de J=106sen(ωt − z)ax A/m2 com f = 60 Hz , 200 MHz , 10 GHz. 
Em um condutor εR=1. Com E
J
=
σ
 vem: Jd=
ε ∂
σ∂
0 J
t
 
Jd= 

 −
×
× −=+−
t
)zt(
105
10854,8
7
6612
∂
ω∂ sen =1 77 10 1 77 1013 13, cos( ) ( ) , cos( )× − −

 = × −
− −ω
∂ ω
∂ ω ωt z
z
t
zt t 
 
Pequena mais existe e aumenta com a freqüência! 
 
Freqüência freqüência angular (rad/seg) 
ω=2πf 
Densidade de corrente de deslocamento 
Jd Ampère/m2 
60 Hz 
 
ω=2×3,14×60=377 66,75×10−12 cos(377t −z) 
200 MHz 
 
ω=2×3,14×200×106=1,256×109 0,000222 cos(1,256×109t −z) 
10GHz 
 
ω=2×3,14×10×109=6,28×1010 0,01112 cos(6,28×1010t −z) 
 
8 - Relação entre E, V e A nos campos variáveis no tempo. 
 
B=∇×A satisfaz as eq. de Maxwell: ∇.B=0 (4ª eq.) ; ∇.B = ∇.∇×A=0 (4ª equação) logo OK! 
 
Entretanto: E= −∇V ⇒ ∇×E=∇×(−∇V)=0 logo não satisfaz a 2ª equação de Maxwell ∇ × = −E B∂∂t 
 
 
 
 
 
Será necessário acrescentar um termo: 
 
E= −∇V+N ⇒ ∇×E=∇×(−∇V)+∇×N ⇒ ∇×E=∇×N 
 
B=∇×A ; 
tt)(
t ∂
∂
∂
∂
∂
∂ AABE ×−∇=×∇−=−=×∇ N= − ∂∂
A
t
 logo E= −∇V − ∂∂
A
t
 e B=∇×A 
 
 
 
9 - Condições de contorno para campos variáveis no tempo nos meios reais, ou seja K=0 e com ρs nas 
fronteiras: 
 
As demonstrações anteriores permanecem válidas para os campos estacionários. 
porque o rotacional do gradiente de uma função escalar é zero: 
0=



−



xadz
dx
dV
dy
dx
dV
 
 23 
 
 Resumindo todas elas: 
 
CAMPO COMPONENTES TANGENCIAIS COMPONENTES NORMAIS 
 ELÉTRICO 
 
Et1=Et2 Dn1−Dn2=ρ s 
 MAGNÉTICO 
 
Ht1=Ht2 Bn1=Bn2 
 
 
10 - Condutor perfeito 
 
Definição: “Condutor perfeito é aquele que tem condutividade infinita porém densidade de corrente 
finita”: 
 
Para J ser finita e a σ infinita obriga J= lim
E
E
→0
σ e na prática E=0 e também como conseqüência: 
 ∇ × = −E B∂∂t =0 logo 
B=0 e H=0 e também ∇×H=0=J ⇒ J=0 
 
Em resumo dentro de um condutor perfeito: E=0 ; B=0 ; H=0 e J=0 
 
como E=0 e a corrente é finita (por definição): toda a corrente que exista flui pela superfície em forma 
de K. 
 
Portanto na fronteira se o meio 2 for um condutor perfeito: Et1=0 ; Ht1=K ; Dn1= ρ s e Bn1=0 
 
Em condições estáticas basta que um meio seja um condutor para que E=0 dentro dele, em condições 
variáveis no tempo precisamos que o meio seja um condutor perfeito. 
 
11 - As quatro equações de Maxwell para campos estáticos ou variáveis no tempo. 
 
Forma pontual 
(válida em um ponto) 
Forma integral 
(válida em uma região) 
∇.D=ρ D s.d
S∫ = ρdvV∫ 
∇ × = −E B∂∂t 
E L.d∫ = − ∂∂Bt 
∇×H =J+ ∂∂
D
t
 H L.d∫ = I + ∂∂D st dS∫ . 
∇.B=0 B s.d
S∫ =0 
 
 
EXEMPLO: 
 
E10.6 Hayt Na figura entre os planos condutores perfeitos: E=200cos(108t − z)ay 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
Dielétrico com: 
εR=9 
σ=0 
não magnético 
logo µR=1 
Dir. de 
2 2,1 
 24 
a)H=? em P(5; 2,06; 1,1; t=2nseg) 
 
H ⊥ E logo H=Hxax apenas 
 
∇ × = − = − = −E a a a
∂
∂
∂
∂ µ
∂
∂
E
z
B
t
H
t
y
x x x0 ∴ xx aa t
H
z
)zt10cos(200
0
8
∂
∂µ∂
∂
=
− 
 
− − ×
−
=200 0sen( )10 t z
d(10 t z)
dz
H
t
8
8
µ ∂∂ ∴ 200 0sen( )10 t z
H
t
8
− = µ ∂∂ com sen(ax)dx
cos(ax)
a
= −∫ 
 
 
H 10 t z 10 t zx
8 8
= − − = − −
200
10
1598
0µ
cos( ) , cos( ) 
 
em z=1,1 e t=2nseg ---> Hx= −1,59cos(108×10−9×2 −1,1) = −1,59cos(− 0,9) = − 0,99 A/m 
 
b)|K| em (0,7; 0; 2; t=0)=? esta na superfície do condutor perfeito logo K≠0: |K|=Hx, t=0,z=2= 0,662 A/m 
= −1 
 25 
CAPITULO 11 
 
 PROPAGAÇÃO DE ONDAS PLANAS UNIFORMES OU ONDAS "TEM" 
 
FASÔRES OU VETOR GIRATÓRIO - É o método mais simples de se trabalhar com grandezas reais que 
variam harmonicamente no domínio do tempo e da freqüência. Define-se um pseudo - vetor giratório 
unitário com: 
 
⇒ notação exponencial ejωt 
⇒ transformado pela fórmula de Euler para a ‘notação trigonométrica” ou “complexa” cosωt + jsenωt 
⇒ que também pode usar a notação polar 1|ωt 
 
ejωt= cosωt + jsenωt= 1|ωt 
 
onde ω - freqüência angular unidade rad/s 
 t - tempo em seg. 
 
ejωt pode ser representado sobre um plano de eixos complexos dando 
uma volta por ciclo no sentido anti-horário: 
 
outras relações úteis: 
• período: T = 2π
ω
 intervalo de tempo em que o ângulo ωt varia de 2π radianos (1 ciclo) 
• freqüência f 1
T
= =
ω
π2
 ciclos /s 
 
Exemplo do uso de fasores: 
a) Resolução no domínio do tempo e da freqüência de um circuito RL com excitação Ecosωt : 
a lei das malhas nos dá: RI0cosωt + L
d(I t)
dt
0 cosω =E0cosωt = I0( − ωLsenωt+Rcosωt) 
I E t
Rcos t Lsen t0
0
=
−
cosω
ω ω ω
 
 
Uma vantagem de uma função exponencial é que a derivada não muda a sua notação matemática: basta 
multiplicarmos por jω 
 
 de
dt
j tω
=jω ejωt em vez de 
dE t
dt
0 cosω = − ωE0 senωt 
 
Assim faz-se a excitação E=Eoejωt e portanto também a resposta do circuito I= Ioejωt porém a parte real dos 
fasores serão as verdadeiras excitação e corrente. 
Eoejωt é um n° complexo enquanto E é um n° real. Para se resolver este problema criou-se o operador “Re” 
que é do mesmo tipo que ∇. 
 
E = Re(E0ejωt) = Re(E0 cosωt + E0 jsenωt) = E0 cosωt 
 
onde: Re significa "a parte real de" e serve para nos lembrar que a verdadeira excitação é Eocosωt. 
 Na prática não se escreve a notação Re ficando ela subtendida. 
 
b) Resolução do mesmo circuito com uso de fasores portanto no domínio da freqüência apenas. 
1 t=0 
reais 
imaginários 
ωt 
 26 
R ReI e LdReI e
dt
ReE e0
j t 0
j t
0
j t× + =ω
ω
ω ou RI e LdI e
dt
E e0
j t 0
j t
0
j tω
ω
ω+ = 
 
RI e Lj I e E e0
j t
0
j t
0
j tω ω ωω+ = RI Lj I E0 0 0+ =ω I
E
R + j L0
0
=
ω
 que é mais simples. 
 
Poderíamos também supor que a excitação do circuito tenha valores E1 adiantados ou atrasados no tempo 
por um ângulo de fase φ em relação a um vetor de referência E. 
O vetor de referência E atinge a amplitude máxima em t=0 tomando-se como referência o eixo dos reais. 
 
 
adiantado: E1=E01ej(ωt+φ) atrasado: E1=E01ej(ωt−φ) 
 
No caso do circuito temos I E
R + j L
E
R + ( L)
0
0 0
2 2
= =
ω ω
−arctg wL
R
 
 
 
 
Se em E1=E01ej(ωt+φ) omitirmos além de "Re" também ejωt indicando-se isto por um índice "s" temos a 
notação fasorial: 
ES= E0ejφ 
 
Vetores fasores 
 
Se os números complexos forem escalares são chamados de fasores ou vetor giratório, porém se forem 
também grandezas vetoriais são chamados “vetores fasores”. 
 
Em um sistema cartesiano as componentes deste vetor fasor serão fasores: 
 
E=E1ax+E2ay+E3az 
onde E1; E2; E3 fasores escalares e f (x, y, ou z) 
 ax , ay , az indicam a direção da variação do fasor ou vetor giratório 
 
A resultante de dois vetores fasores é a soma das resultantes ao longo de cada eixo. 
 
EXEMPLO: 
 
notação fasorial: Es=3ej(30º − z) ax+4ej(40° − x) ay+5ej(50° − y) az 
 
notação trigonométrica: 
(adicionado-se eωt e usando o operador “Re”) 
 
E=3cos(ωt+30°−z) ax+4cos(ωt+40°−x) ay+5cos(ωt+50°−y) az 
 
 
 
Pode-se fazer quaisquer operações vetoriais com estes vetores 
fasores incluindo-se produto vetorial, escalar etc. 
 
EXERCICIOS BÁSICOS: 
 
a - Expressar em notação fasorial Ez=100cos(10t−x) e calcular a sua derivada em relação ao tempo. 
x
y
z
3ax (30º)
5az (50º)
4ay
 
Ângulo de atraso 
da corrente em 
relação a tensão 
E0 
I0 
reais 
imaginários 
(40º) 
 27 
 
exponencial: Ez = Re[100ej(10t−x)] ∴ fasorial: Ezs=100e−jx 
 
∂
∂
∂
∂ ω
E
t
e
t
j e j e jezs = = = =
−
− − −
100 100 100 10 1000
jx
jx jx jx 
 
b - Dado Ezs=100e−jx qual a parte real com ω=10 rad/seg 
 
em notação exponencial: Ez=100ejωte−jx=100ej(10t−x) 
em notação complexa: Ez=100cos(10t−x)+j100sen(10t−x) ∴ Ez=100cos(10t−x) 
 
c - dada a expressão ∂∂
∂
µ ∂
E
t
H
z
x y
= −
0
 escreva a equação fasorial correspondente. 
 Os campos elétrico e magnéticos podem ser representados por tjx0eE
ω e tjy0eH
ω 
z
eH
eEj
t
eE
0
tj
y0tj
x0
tj
x0
∂µ
∂
ω∂
∂ ωωω
−== ∴ − =
∂
µ ∂ ω
H
z
j EyS xS
0
 
 
só se efetua a derivada em relação ao tempo deixando-se indicada a derivada em relação a distância pois 
não sabemos como Hy varia com a distância. 
 
1 - Escopo dos estudos 
 
Limita-se o estudo a "onda plana uniforme" também chamada de onda "transversal eletromagnética" ou 
"TEM" entretanto ela é suficiente para se estudar interligação decomputadores em redes, ondas de radar e 
telecomunicações. Estuda-se ondas se propagando em: 
 
* meios não dissipativos que se caracteriza por ρ ≅ 0 e σ=0 e são: vácuo e dielétricos perfeitos 
 
* meios dissipativos ρ≠0 e σ≠0 que são: dielétricos e bons condutores 
 
3 - Equações de Maxwell com notação fasorial. 
 
1ª Equação ∇.D=ρ com E = EC+ Ee (ver cap. 10) logo D = DC + De 
 
∇.D = ∇.DC + ∇.De assim ∇.DC= ρ e ∇.De = 0 como DS é do tipo De vem ∇.DS = 0 e também ∇.ES = 0 
 
2ª Equação ∇×HS = JS+
∂
∂
DS
t
 = JS + εjωES = σES + εjωES = ES(σ + εjω) 
 
3ª Equação ∇ × = −E BS St
∂
∂ = − jωµ
HS 
 
4ª Equação ∇.BS=0 
 
3.2 - Equação da onda. 
 
∇ × =ES − jωµHS ∴ ∇× ∇ × =ES − jωµ∇×HS (1) 
 
 ∇×∇×Es≡ ?
0
S.
=
∇ E − ∇2Es ∴ ∇×∇×Es= − ∇2Es igualando-se e usando-se ∇×HS = ES(σ + εjω) em (1) 
 jωµ∇×HS=∇2Es= jωµ (σ + εjω)ES ∇2Es= jωµ (σ + εjω)ES 
Equação da onda 
ou de Helmholtz 
 28 
NOS MEIOS NÃO DISSIPATIVOS 
 
como σ=0 ∇2Es= − µεω2ES 
 
e também como ρ = 0 e σ = 0: ∇×HS = JS + εjωES = εjωES (parcela devido à corrente de deslocamento) 
 
 
Onde: E=Exsax+Eysay+Ezsaz com Exs , Eys e Ezs = f(x, y, z) e tem-se a expansão para três equações com três 
termos cada uma. 
∇2(Exsax+Eysay+Ezsaz)= − µεω2 (Exsax+Eysay+Ezsaz) 
 
 
 
 
2.3 - ONDA PLANA UNIFORME NOS MEIOS NÃO DISSIPATIVOS. 
 
Em uma região distante da fonte de uma onda eletromagnética tal como por exemplo uma antena as 
diferença de fase da onda (em uma área não muito grande) pode ser pequena de forma a se considerar que 
ela atinge um objeto com uma frente plana se propagando diretamente na direção do mesmo. 
 
Esta distância da fonte de radiação em que uma onda eletromagnética pode ser considerada plana é 
proporcional à freqüência da onda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto limitando-se o estudo das propagações do campo eletromagnético com o campo elétrico na direção 
do eixo x e com variações ao longo do eixo z atinge a maioria dos casos práticos. 
 
∇2(EXSax+EYSay+EZSaz)= − µεω2 (EXSax+EYSay+EZSaz) fica limitada a ∇2EXS= − ω2µεEXS 
 
como EXS , EYS e EZS = f(x, y, z): 
 
 ∇2EXS= 2XS
2
2
XS
2
2
XS
2 EEE
zyx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
++ = − ω2µεExs que fica limitada a 2
XS
2
z
E
∂
∂
= − ω2µεExs 
 
esta é uma equação diferencial ordinária cuja solução por integração direta é: 
 
Exs=A e j zω εµ ou Ex = A cos(ωt − ωz µε ) 
 
onde A é a amplitude arbitrária do fasor que pode ser substituída pelo seu valor em t=0 e z=0 com notação 
Ex0 . 
Para uma onda se propagando para a direita a partir da origem tem-se: 
 
 Ex=Ex0cos(ωt − ωz µε ) 
 
FONTE DE 
RADIAÇÃ
E1ax (direção da variação do campo) 
z (direção da propagação 
Portanto: ∂ ∂
E
z
xa x 
xs
xsxsxs E
z
E
y
E
x
E 2
2
2
2
2
2
2
µεω=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 
 29 
Outra solução para esta equação: Ex=Ex0cos(ωt + ωz µε ) que representa uma onda se propagando para a 
esquerda a partir da origem conforme mais adiante será provado. 
 
Para um dado "t" o termo cos(ωt − ωz µε ) define o formato da onda todo o espaço (harmônica 
cosenoidal) e para um dado "z" veríamos um ponto da onda oscilando como se fosse uma bola de 
pingue-pongue no chão. 
 
 
2.4 - Constantes de atenuação, fase e de propagação α, β e γ 
 
A propagação de uma onda eletromagnética em um meio homogêneo pode sofrer atenuações. Ao passar de 
um meio para o outro pode sofrer mudança de fase 
Pode-se exprimir isto por uma equação do tipo: 
 
 Ex=Exo e− αzcos(ωt − βz) ou em notação fasorial Exs=Exoe− αz e−jβz 
 
 
onde ß é a “constante de fase” com unidade radianos/m, e assim ßz é o ângulo de fase em radianos 
 α é a "constante de atenuação" com unidade Neper/m ou Np/m sendo o Neper adimensional do mesmo 
tipo do radiano e do decibel (dB = 20 log
1
2
x
x
E
E ). 
Com z2 > z1 Nepers= − ln
E
E
X2
X1
 ∴ e−Nepers= E
E
X2
X1
 
onde: EX1 e EX2 são as amplitudes máximas do fasor em z1 e z2 
 
 
 
 
α varia a amplitude máxima da onda 
ß varia o comprimento da onda 
 
??Os valores de α e ß são f (f, σ, µ, ε) 
(freqüência e características do 
meio) e tem valor constante em um 
meio homogêneo para uma dada 
freqüência. 
??Quanto maior for o valor de ββββ, 
menor será o comprimento de onda 
λ desde que o mesmo valor 
numérico do coseno se verifica com 
menores valores de z. 
 
 
 
Para tornar as fórmulas mais compactas tem-se γ "constante de propagação" ou “número de o
unidade m−1 que em meios homogêneos á dada por: 
 
γ=α +jß m− 1 e assim ExS=Exoe− γz 
 
Substituindo-se esta ultima expressão na equação da onda temos: 
 
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1
300
200
100
0
100
200
300
Valores da distância em m no eixo z
Ex
Ex1
Ex2
Envelope Exe−αz
λ constante
Exo 
nda” com 
.2 1.3 1.4
ββββz 
 30 
2
xs
2
z
E
∂
∂
= − ω2µεExs ∴ 2
x0
2
z
E
∂
∂ γze− = − ω2µεExoe−γz =γ2Exoe− γz ∴ − ω2µε = γ2 ∴ 
 γ ω µε= ± j e γ = α +jß m−1 como só possui o termo imaginário: α=0 e β ω µε= j tomando-se a 
raiz no sentido positivo de z 
 
A onda não sofre atenuação. Com ω constante, se o meio for homogêneo e isotrópico, não sofre mudanças 
de comprimento de onda ao se propagar. 
 
Substituindo-se os valores de α e ß em Ex = Exo e− αzcos(ωt − βz) vem Ex = Ex0cos(ωt − ωz µε ) 
que é o mesmo resultado obtido pela solução direta da equação da onda. 
 
2.5 - Formato da onda plana uniforme no espaço e expressão do comprimento de onda . 
 
Ex= Exo e− αzcos(ωt − βz) em t=0 Ex=Exo e− αzcos(−βz) 
 
O período deste coseno, ou seja a distância medida sobre o eixo z para que ßz=2π é o "comprimento de 
onda" λ assim: 
 ßλ=2π ∴ λ πβ=
2 metro ∴ β πλ=
2 radianos/metro 
 
2.6 - Onda "viajante" ou "onda plana progressiva" e velocidade de propagação. 
 
Variando-se t varia a posição da onda do campo elétrico. 
Ex assume o mesmo valor para um mesmo ângulo de fase, ou seja para um dado valor constante do ângulo 
de fase: 
(ωt − zβ)=constante 
derivando-se em relação ao tempo: 
 ω − 
dt
dz β=0 ∴ β
ω
=
dt
dz =v m/seg 
onde v= "velocidade de propagação" ou de deslocamento da onda. 
 
Com Ex=Ex0cos(ωt +βz): dzdt = −
ω
β = − v m/seg 
ou seja uma onda se deslocando com igual velocidade em direção contrária ao eixo z. 
 
 
Seja P um ponto de fase constante, a medida que o tempo passa ele se desloca para a direita, ou seja um 
observador que esteja "montado na onda" viajaria na mesma velocidade. O ponto P tem uma velocidade 
constante de deslocamento com uma taxa de dz/dt para a direita. 
 
dz
dt
= = =
ω
β
ω
ω εµ εµ
1 = v m/s 
 
A onda é portanto uma onda plana cosenoidal com 
deslocamento uniforme ou uma "onda plana 
uniforme" 
 
Como a sua variação é perpendicular ao 
deslocamento ela chamada de "onda transversal 
eletromagnética" ou onda TEM 
P
t=0
t=T/4
t=T/2
x
z
P
P
 
 31 
no vácuo v = 1 1
8 854 10 4 10
2 9979 10
0 0
12 7
8
ε ε µ µ πR R
=
× × ×
= ×
− −,
, m/s 
 
que é o valor da velocidade da luz no espaço livre "c" que pode ser aproximado para 3×108 m/s 
No vácuo c=v=3×108 m/seg e portanto nestas condições o ponto de fase constante esta se deslocando na 
velocidade da luz. 
 
2.8 - Relações entre v, ß e ω em ondas propagando-se em quaisquer meios. 
 
 β πλ=
2 rad/metro v = ωβ m/s
 v= 1
εµ
 m/sλ πβ
π
ω µε
π
ω
= = = =
2 2 2 v v
f
 m λ = v
f
 m 
 
Em função da velocidade da luz temos: 
 
v = =1
0 0ε ε µ µ ε µR R R R
c v c=
ε µR R
 m/s 
 
como em qualquer meio µRεR ≥ 1 a maior velocidade de propagação é no vácuo. 
 
λ
µ ε
= =
v
f
c
f R R
 λ
µ ε
=
c
f R R
 m 
 
no vácuo como µR=1 e εR=1 ∴ λ 0 =
c
f
 e λ λ
µ ε
=
0
R R
 
 
como em qualquer meio µRεR ≥ 1 o maior comprimento de onda é também no vácuo. 
 
Em 60 Hertz λ 0
83 10
60
5000= = × ≈c
f
km (teoria dos circuitos) 
Na freqüência de um Pentium de 200 MHz λ 0
8
6
3 10
200 10
1 5= = ×
×
≈
c
f
, m (linha de transmissão) 
Entretanto a freqüência da onda emitida pela fonte não varia com o meio não dependendo da característica 
deste. 
 β πλ=
2 ; v= ωβ
 ; f
v
= =λ
ω
π2 independe do meio só depende da fonte! 
 
 
2.9 - Variação de H no espaço em meios não dissipativos e impedância intrínseca: 
 
Todo campo elétrico gera uma corrente nos meios não dissipativos σ=0 logo ρ=0 porém temos também H 
provocado pela corrente de deslocamento e eventual condutividade do meio. Portanto ele é pequeno em 
relação ao campo magnético. 
 
 32 
∇ × ES = − jωµHS ∇ × ES =
a a a zx y
XS
d
dx
d
dy
d
dz
E 0 0
= ∂∂
∂
∂
E
z
E
y
XS XSa aY Z− 
 
∂
∂
E
z
XS aY = − jωµHYS ∴ 
∂
∂
ω µεE e
z
X0
j z−
aY = − jωµHYS ∴ 
 
 −HYS = ( )1j E j eX0 j zωµ ω µε ω µε− − ∴ HYS= E e E eX0 j z X0 j zεµ εµω µε β− −= 
 
como EXS=EX0e−jβz vem 
E
H
X0
Y0
=
µ
ε
 que é a impedância intrínseca η µ
ε
= =
E
H
X0
Y0
 (um nº real) 
 
a sua dimensão é 
Volts
m
A
m
= Ω 
 
assim: H E eY X0
j z
=
−
η
ω µε ou na forma trigonométrica: H E t zY X0= −η
ω βcos( ) 
no vácuo o seu valor é: η π= ×
×
−
−
4 10
8 854 10
7
12,
=120π Ω ≅ 377 Ω 
 
Em todo o espaço para meios não dissipativos a onda TEM: 
 
 
Como no meio σ=0 e ρ=0 não existe corrente de condução e H 
esta sendo mantido apenas pela corrente de deslocamento no meio. 
∇×HS = JS + εjωES = εjωES (corrente de deslocamento apenas) 
 
Entretanto a energia do campo de E é igual a de H: 
ε µ µ
η
µ
µ
ε
εE H E E EX0
2
Y0
2 X0
2
X0
X0
2
= =



 =






=
2
 
EXEMPLOS 
E11.2 Hayt Hs=[(5ej20º)ax − (3+j1) ay)]e−jkz e f=6MHz no vácuo 
 
a) Hs = ? em (0; 0; 0) e t=0 
 
Que tipo de vetor fasor é ? Equação de uma onda TEM se propagando na direção z e com direção inclinada 
em relação aos eixos x e y, assim: 
 
k
c
f
c
= = = = =
×
×
=β ω µ ε ω π π π0 0
6
8
2 2 6 10
3 10
0 04, rad/seg 
 
Hs=[(5ej20º)ax − (3+j1) ay)]e−j0,04πz = 5ej20ºe−j0,04πzax − 3,16 ej18,43º e−j0,04πz ay 
 
Hy= Ex/η
Ex
x
y
z
 
 33 
H = 5cos(ωt + 20º − 0,04πz)ax − 3,16cos(ωt + 18,43º − 0,04πz)ay 
 
como t=0 e z=0 H = 5cos(20º)ax − 3,16cos(18,43º)ay = 4,69ax − 3ay 
 
os outros itens são variações de pontos e tempos e portanto calcula-se com: 
 
H = 5cos(ωt + 20º − 0,04πz)ax − 3,16cos(ωt + 18,43º − 0,04πz)ay 
 
3 - ONDAS PLANAS SE PROPAGANDO EM MEIOS DISSIPATIVOS OU SEJA DIELÉTRICOS 
E BONS CONDUTORES. 
 
As perdas são ocasionadas pela condutividade que no caso dos dielétricos é pequena existe cargas livres no 
meio. 
 
Nos meios dissipativos ρ≠0 e σ≠0 entretanto ∇.DS = 0 e não = ρ porque DS é um campo tipo “fem” 
 
 
A equação da onda nestes meios é ∇2Es= jωµ (σ + εjω)ES 
 
 
Para uma onda TEM vem: ∂∂
2
2
E
z
xs = jωµ (σ + εjω)Exs 
 
=
−
2
x0
2
z
E
∂
∂ γze jωµ (σ + εjω)Ex0 e−γz ∴ γ2Ex0 e−γz =jωµ (σ + εjω)Ex0 e−γ z ∴ γ2 =jωµ (σ + εjω) 
 
da qual se toma a raiz positiva que representa uma propagação no sentido positivo do eixo z, que após 
manipulações algébricas resulta em: 
γ σωµ ω εµ ω εµ σ
ωε
= − = −j j 1 j2 
 
as manipulações algébricas visaram colocar em evidência o termo: 
σ
ωε
 que possui o significado de “tangente de perdas” 
 
 
e com σ = 0 γ ω µε= j tem-se o valor da constante de propagação já encontrada para os meios sem 
perdas. 
 
Portanto ß≠0 e α≠0 
Os valores de se α e ß são normalmente calculados utilizando-se α+jß = j 1 jω εµ σ
ωε
− 
 
3.4 - Variação de H no espaço. 
 
Todo campo elétrico gera uma corrente logo temos também H que neste meios é maior porque temos a σ≠0 
e portanto a presença de I. 
∇ × ES = − jωµHS ∇ × ES =
a a a zx y
XS
d
dx
d
dy
d
dz
E 0 0
= ∂∂
∂
∂
E
z
E
y
XS XSa aY Z− 
∇2Es = γ2 Es como mostrado 
abaixo 
 34 
 
∂
∂
E
z
XS aY = − jωµHYS ∴ 
∂
∂
γE e
z
X0
z−
aY = − jωµHY0e
−γz
 
 
γEX0e−γz = jωµHY0e−γz mas γ= j 1 jω εµ
σ
ωε
− ∴ εµ σ
ωε
1 j− EX0= µHY0 
η
µ
ε
σ
ωε
ωµ
σ ωε
= =
−
=
+
E
H j
j
j
X
Y 1
Ω 
 
 
que com σ = 0 resulta em η µ
ε
= =
E
H
X0
Y0
 que o valor para meios não dissipativos 
sua dimensão é 
Volts
m
A
m
= Ω 
Desta vez a impedância intrínseca é uma grandeza complexa logo os campos magnéticos e elétricos não 
estão mais em fase no tempo. 
 
O ângulo de atraso θ de Hy em relação a Ex é o angulo deste complexo calculado por: η = ηm|θm 
 
 
 
E assim: )ztcos(eEH m
m
X0Y θβωη
α
−−=
− z
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
Propagação na água destilada de uma onda TEM com ω=1011 rad/seg, com µR=1 , εR=50 e σ=20 mho/m 
admita que nesta freqüência ela atua como um dielétrico pobre. 
f = = = ×ω
π π2
10
2
1 59 10
11
10, Hz ou 15,9 GHz (uma freqüência bastante alta da ordem do radar, ou do 
infravermelho). 
 
σ
ωε
=
× × ×
=
−
20
10 50 8 854 10
0 45211 12,
, 
γ ω εµ σ
ωε
ε µ= − = − = ∠ − = × ∠ −j 1 j j 1 j0,452 j j2360 1,0476 12,6010 50 1 2360 1 097 24 311 0 0 0, , 
 
γ = × ∠ − = ∠ = −2360 1,0476 12,6 j2410090 2470 77 48 5200 0, m−1 ∴ α=520 Np/m e β=2410 rad/m 
 
O módulo de E=Exoe−αz para um deslocamento z =
1
α
 a partir de z=0 é: e−z(1/z)= e −1=0,368 logo existe uma 
 
x 
z 
y HY=EX/ηm 
θm Onda amortecida 
EX 
 35 
atenuação do módulo de E de 0,368 quando a onda percorre uma distância z = 1
α
. 
 
 
Com α=520 Np/m esta atenuação ocorre em uma distância de z = =1
520
1 92, mm. 
 
z atenuação distância (mm) 
z = 2
α
 e
−z(2/z)
= e −2=0,135 3,84 
z = 3
α
 e
−3=0,05 5,88 
z = 4
α
 e
−4=0,018 7,84 
 
Em uma curta distância de 3×1,96 = 5,88 mm a onda praticamente desaparece. 
 
O radar não funciona embaixo da água porque existe reflexão entre os meios (ar e água) e também devido a 
esta atenuação da onda que penetra na água. 
 
λ = ×
× ×
=
3 10
1,59 10
8
10 1 50
2 61, mm , ou 
2410
22 π
β
πλ == =2,61 mm 
 
se fosse no ar: λ 0 18 8= =
×
×
=
c
f
3 10
1,59 10
8
10 , mm (7,2 vezes maior) 
 
velocidade de propagação v: 
 
v c 3 10
8
= =
×
×
=
ε µR R 50 1
0 42, ×108 m/s se fosse no ar 3×108 m/s 
 
η
µ
ε
σ
ε
= =
−
=
−
E
H j j0,452
X
Y 1
377
50
1
w
=50,9|12,2° η = ηm|θm =50,9|12,2° 
 
 
H E e t zY X0
m
m= − −
−γ
η
ω β θ
z
cos( ) = )2,12z2410t10cos(
9,50
eE 011
520
X0 −−
− z
 
 
 
portanto o campo magnético esta atrasado de 12,2° em relação ao campo elétrico. 
 
 
 
4 - Tangente de perdas (tg θ) 
 
 
2ª Equação de Maxwell∇×HS =JS+
∂
∂
DS
t
 = JS + JDS = σES + εjωES 
 36 
J
J
σ σ
ωε
S
DS
= que é a “tangente de perdas” sendo adimensional 
é adimensional e tem esta denominação porque pode ser associada a uma tangente. 
 
A tangente de perdas é função de ωωωω portanto da freqüência e portanto o material muda o seu 
comportamento com esta: 
 
 
TANGENTE DE 
PERDAS 
RELAÇÃO ENTRE A CORRENTE 
DE DESLOCAMENTO E DE 
CONDUÇÃO 
O MEIO SE 
COMPORTA COMO 
0,01 > σ
ωε
 ≥ 0 JσS <<<< JDS dielétrico perfeito 
100 > σ
ωε
 > 0,01 JσS ≅ JDS quase condutor ou dielétrico real 
σ
ωε
 > 100 JσS >>>> JDS condutor 
 
EXEMPLO: água do mar tem µR=1 , εR=80 e σ=4 mho/m ∴ f1011,1
1
80
4
9
0
−×
==
ωεωε
σ assim: 
 
AGUA DO MAR 
FREQÜÊNCIA 
(HZ) 
TANGENTE DE PERDAS SE COMPORTA COMO 
f < 107 102 < σ
ωε
 condutora 
107 < f < 1011 10−2 < σ
ωε
< 102 quase condutora ou dielétrico real 
1011 < f σ
ωε
< 10−2 dielétrico perfeito 
 
 
5 - Associação da tangente de perdas como uma tangente. 
 
∇×HS = JσσσσS + JDS = σES + εjωES 
 
O diagrama de fase no tempo para estes fasores em um dado t é: 
 
 
 
Existe um desfasamento de 90° entre as 
densidades de correntes de 
deslocamento e de condução assim 
como um capacitor e uma resistência em 
paralelo em um circuito elétrico. 
 
 
 
(90°− θ ) é o fator de potência que é usado para se medir o estado de um dielétrico pois através dele 
podemos quantificar a relação entre as densidades de correntes de condução e total que irão se modificando 
a medida que o dielétrico se envelhece e passa a conduzir mais. 
JS=σES+ εjωESJDS =εjωES=j2πfεES
JσS = σES
θ=arctg σ
ωε
90º−θ
 
 37 
 
EXEMPLOS 
Para uma onda com freqüência angular ω=1011 rad/seg dizer como se comporta a agua destilada cuja 
permissividade relativa é 50 e a condutividade é 20 mho/m (dados do exercício anterior). Se a onda 
estivesse na freqüência industrial de 60 Hz? 
σ
ωε
=
× × ×
=
−
20
10 8 854 10 50
0 451811 12,
, 
 
tangente de perdas 100 > 0,4518 > 0,01 --->quase condutora que são tratados como dielétricos com perdas. 
 
Então o tratamento dado no exercício anterior estava correto. Na freqüência de 60 Hz 
 
ω = 60×2×π=376,99 rad/seg 
 σ
ωε
=
× × ×
= ×
−
20
376 9 8 854 10 50
119 1012
8
, ,
, > > > 100 então boa condutora na freqüência de 60 Hz 
 
E11.5 Hayt 
α =? ; ß=? εR = 5,2 e tg θ = 0,05 deve-se considerar εR e tg θ constantes entre 2 e 50 MHz. 
tg θ = 0,05 > 0,01 logo quase-condutor que é associado a um dielétrico com perdas, o material é não 
magnético logo µR = 1 
 
γ ω εµ σ
ωε
π ε µ= − = × × − = × ∠ − = ∠j 1 j j2 3 1 j0,05 j143,38 10 88,57-3 010 5 2 1 1 0025 2 86 0 14356 0 0 0, , , ,
 
γ= 0,00358 + j0,134 α = 0,00358 ; ß = 0,134 
 
6 - Ondas guiadas - características da propagação em bons condutores. 
 
6.1 - Valores de α e ß 
 
Com σ
ωε
 >> 100 existem simplificações nas fórmulas. 
 
γ ω εµ σ
ωε
ω εµ σ
ωε
σεµω
ωε
σµω σµ π σµ π= − = − = − = − = − = ∠ −j 1 j j j j j j j j j f j 1 90 f0
2
2 2 
 
( )γ σµ π σµ π σµπ= ∠ − = −

 = +j1 45 f j
1
2
j 1
2
f j1 f0 2 2 1 α β σµπ= = f 
 
portanto em um condutor: )fztcos(EE fzX0X σµπωσµπ −= −e 
 
6.2 - Profundidade de penetração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
z 
y 
VÁCUO BOM CONDUTOR 
E E t z fX X0
z f
= −
−e σµπ ω σµπcos( ) E E t zX X0= −cos( )ω ω µε 
E E tX X0= cos( )ω 
 38 
 
 
Quando z = 1
α
 o módulo de E atenua de e−z(1/z)= e −1=0,368 ou seja z
f
=
1
σµπ
 
 
Esta distância em que a onda sofre esta atenuação é denominado de “coeficiente de penetração” ou δ 
 
δ
σµπ α β= = =
1 1 1
f
 
 
com f → 0 tem-se δ → ∞ portanto em corrente contínua o campo penetra totalmente no condutor! Em 
corrente com variações no tempo: 
z atenuação 
2δ e−z(2/z) = e −2 = 0,135 
3δ e−3 = 0,05 
4δ e−4 =0,018 
5δ e−5 =0,0067 
6δ e−6 = 0,0025 
 
como J = σE a densidade de corrente se atenua da mesma forma. 
 
Pode-se escrever: )ztcos(E)fztcos(EE
z
X0
fz
X0X δ
ωσµπω δσµπ −=−=
−
− ee 
 
No cobre tem-se: σ=5,8×107 mho/m δ
σµπ π π
= =
× × × × × ×
=
1 1
5 8 107f 4 10 1 f
0,0661
f-7,
 
 
Freqüência δ 
60 Hz 8,53 mm 
1 MHz 66 mícron 
200 MHz (Pentium) 4,67 mícron 
30 GHz 0,381 mícron 
 
• Em computadores basta colocar uma fina camada de material nobre para diminuir as perdas no condutor. 
• Em subestações e usinas (60 Hz) quando se deseja transmitir mais corrente usamos tubos com paredes de 
apenas no máximo 1cm, em lugar de barras circulares. 
• Acima da freqüência de 1 MHz um pedaço de vidro com uma fina camada de cobre ou até folheado a 
ouro transmite tanto ou até mais que um grosso fio de cobre. 
 
6.3 - Distribuição da corrente em um condutor 
Neste caso JS = σES logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
z 
y 
VÁCUO BOM CONDUTOR 
J J t - zX X0= cos( )ω ω µε 
J J tX X0= cos( )ω
δ 2δ 3δ 
J J e t zX X 0
z
= −
− δ ω
δ
c o s ( ) 
Curva com 
equação JX0e− z/δ y = b (b é a largura 
de penetração) 
 
 
A parede do condutor esta no plano xy. Em uma área incremental: 
 
I=Jxsdydz e e
e
a
ax
ax∫ = ∴ Itotal= ?J dydz J e e dydz J b J e
modulo
e
fase
dzXS X0
z jzb
X0 X0
z jz
= =
− −∞ − −∞∫∫ ∫δ δ δ δ00 0 ??? 
 Considerando-se apenas o módulo: 
 
Itotal= δδ
δ
δ
bJ))(10(bJ1
ebJ X0X0
0
 z
X0 =−−=
−
∞
−
 
 que em uma largura incremental dy é uma corrente Idy= JX0δdy 
 
O valor total de I em dy eqüivale à área sob a curva e que é igual a JX0δ (área em vermelho). 
 
• Conclui-se que se o cálculo de I tivesse sido feito considerando uma amplitude constante JXS até a 
profundidade de penetração (tal como se fosse decorrente de um campo invariável no tempo) os 
resultados seriam os mesmos em termos de corrente transportada pelo condutor e potência absorvida. 
A área em vermelho é a “Área equivalente de um condutor” e assim: 
• Defini-se “resistência efetiva” como 
R L= 
 onde S é a ár
 
 Em um co
 
C
e
c
u
 
 
 
Considerando
 
Itotal = J dydzXS
 
Itotal =
+
J b
j
X0 δ
1 1
 
 
A "largura" d
onda penetra 
 
 
δ
a
 
39 
Sσ
ea em vermelho que depende de δ (em CC a área S seria igual a do condutor). 
ndutor circular 
om a >>>>>> δ as paredes internas e externa do volume Lδ2πa que contem a “área 
quivalente do condutor” S, atravessada pela corrente, são praticamente iguais e pode-se ser 
onsiderado como um volume de um paralelepípedo e a área atravessada pela corrente como 
m retângulo S=δ2πa, nestas condições: 
R L
S
L
2 a
= =
σ σ π δ 
-se módulo e também o angulo de fase: 
J b J dz =J b j
J b
j
J b
jX0 X0
jz 
X0
jz 
X0 X0
=
−
+
= − −
+
=
+
−
+
∞
−
+
∞
∫ σ
δ
δ δδ δe e
1 1
0
1 1
0
1 1 0 1 1 1 1 1
( ) 
= ∠ − =
−J b J b eX0 X0
j
4δ δ
π
2
45
2
0 ou I J b t
4
X0
= −
 
δ
ω
π
2
cos ou 


−=
4
tcos
2
bEI X0 πωδσ 
e penetração em um condutor circular de raio “a” é toda a sua periferia ou perímetro porque a 
em todos os pontos do perímetro ou periferia logo neste caso: 
 b=2πa 
 40 
EXEMPLO: 
 
a) Deduzir uma fórmula para a variação da resistência de um condutor cilíndrico em função da freqüência 
tendo raio “a” =10cm ; comprimento “L”=1m ; cobre com σ=5,8×107mho/m e calcular para os seguintes 
casos numéricos: f = 50, 60 e 1000 Hz e f = 1 e 200 MHz 
b) Calcular ocomprimento de onda e a velocidade de propagação para f = 60 Hz neste condutor. 
 
 
R L
2 a
L f
2 a
L
2a
f 3,16 10 L f
a
-4
= = =
×
=
×−
σ π δ
µσπ
σ π
π σπ
π σ σ
4 10 7
2 2 
 
com os dados do exercício para o cobre R=0,000415 f Ω/m 
Rcc=
L
Sσ
= L
a2σπ
= 0 000548, Ω/m 
 
freqüência Refetiva =0,000415 f Ω/m 
50 Hz 0,00291 
60 Hz 0,00321 
1000 Hz 0,0131 
1 MHz 0,415 
200 MHz 5,87 
 
b) Colocando-se o comprimento de onda e velocidade de propagação em função de δ 
 
β πλ=
2 ∴ λ = 2πδ v = f λ = 2πfδ ∴ v = ωδ 
 
Para uma onda com f=60Hz e portanto com δ = 8,53×10−3 (cobre). 
 
material λ v (m/seg) v (km/h) 
cobre 5,3 cm 3,204 11,535 
vácuo 5000 km 3×108 10,8×108 
 
Por onde se propaga a energia? 
 
6.6 - Relação entre Hy e Ex em bons condutores. 
 
Com σ
ωε
 >> 100 existem simplificações nas fórmulas. 
 
E
H
j
+ j
j j2 f 2jX
Y
= = = =
×
×
= =
∠
= ∠η ωµ
σ ωε
ωµ
σ
π µ σ
σ σ σ δ σ δ σδ
π
2 2
0
2 2
2 90 2
4
 
 
 ηηηη é um complexo com angulo de 45º independente do material η=ηm|θm = 
2
4σδ
π∠ 
E assim: H E e t zY X0= − −
 
−
z
m
m
δ
η
ω δ θcos logo H E
e
2
t zY X0= − −
 
−
σδ
ω δ
πδ
z
cos
4
 
 
Este atraso, ao contrário do que ocorre nos dielétricos, independe da característica do condutor sendo o 
mesmo para todos eles. 
 41 
 
7 - Vetor de Poynting 
 
2ª Equação ∇×H =J+ ∂∂
D
t
 3ª Equação ∇ × = −E B∂∂t 
 
H. ∇ × = −E H. B∂∂t subtraindo-se (
H.) 
E.∇×H =J.E+E. ∂∂
D
t
 (E.) 
H. E E. H E. D H. B J.E( ) ( )∇ × − ∇ × = − +

 −
∂
∂
∂
∂t t 
 
usando-se a identidade no lado esquerdo: H.(∇×E) −E.(∇×H)=∇.(E×H) 
 
 ∇ × = − +

 − = − +



 −. E H E.
D H. B J.E E. E H. H J.E( ) ∂∂
∂
∂
∂ε
∂
∂µ
∂t t t t 
 
mas: 
t
H
2
1
t
2
∂
∂
=
∂
∂ µµHH. porque: 
t
2
t
2
∂
∂
=
∂
∂ HH.H µµ ∴ 
tt
H
2
1 2
∂
∂
=
∂
∂ HH. µµ 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) J.EJ.EHE. +


 +
=+



+=×∇−
t
HE
2
1
t
H
2
1
t
E
2
1)(
2222
∂
µε∂
∂
µ∂
∂
ε∂ 
 
integrando-se em um volume, aplicando-se o teorema da divergência no lado esquerdo e considerando-se 
que E e H são positivos ou nulos: 
 
 dv
2
H
2
E
t
dv)d()(
22∫∫∫ 



++=−×
VS
µε
∂
∂J.Es.HE 
 
Analisando-se as integrais do lado direito temos: 
 
a) como J e E tem a mesma direção e é constante ao longo de um condutor: 
 
 2
V
RI=VI=EdLJds=JEdvdv ∫ ∫∫∫ =VJ.E 
 
portanto representa a potência ativa instantânea dissipada em um condutor. 
 
b) dv
2
H
2
E
t
22∫ 


+
V
µε
∂
∂ como W E dvE = ∫ ε 22V e dv2HW
2
M ∫= V µ 
 
representa a taxa de acréscimo em função do tempo da soma 
magnética acumuladas dentro de um volume. 
 
Em um volume ds é sempre orientado para fora. As integrais da direita representa
flui para dentro do volume através da superfície do mesmo porque ds esta 
volume. A energia que sai de um volume é: 
Para que ambos os
lados sejam escalares 
Efetua-se a derivada 
em relação ao 
expoente deixando 
indicada a da função ( ) ( )
dt
dunu
dt
ud nn 1−
= 
ou seja 
dt
du fica 
indicada 
da energia elétrica e 
m portanto a energia que 
orientado para dentro do 
 42 
 
( )E H . s S. s× =∫ ∫
Poynting
S S??? d d 
 
O produto vetorial E×H=S é o vetor de Poynting que portanto é um fluxo de densidade de energia saindo 
perpendicularmente pela superfície de um volume. 
 
A unidade de S = V
m
A
m
W
m2
× = 
 
S indica a direção do fluxo de energia. Em uma onda TEM 
 
 Exax × Hyay = Szaz 
 
que é a direção do fluxo de energia para uma onda se propagando na direção positiva de z 
 
A potência saindo por uma superfície: 
 
P d= ∫ S s.S Watts 
 
 
Em um circuito elétrico formado por fios condutores temos que: 
 
♦ E penetra muito pouco em um bom condutor (efeito pelicular) 
♦ H é criado em volta da corrente (lei de Ampère). Existe H dentro do condutor devido aos enlaces 
parciais de corrente dentro do condutor porém a parcela mais significativa de H esta fora do condutor. 
♦ A menos da potência ômhica instantânea dissipada no condutor e parcela do campo magnético, toda a 
potência esta sendo transmitida no espaço em torno do fio servindo este apenas como guia. 
♦ O "preço" que o condutor cobra para servir de guia é a potência ômhica instantânea dissipada no 
condutor. 
♦ A onda senoidal de corrente se desloca no cobre na direção do eixo do condutor com v = 11,53 km/h 
mantendo o campo magnético que se propaga com v = 300000 km/seg. 
 
 
Em torno de um circuito com dois condutores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
? ?P dl
V
dl
I
VI'= × = × =∫ ∫E H.ds E HS S 
 
 assim: H pode ser representado por I e E pode ser representado por V 
 
5δ 
EE 
EC E 
H Sar 
S 
I 
EE 
Scondutor 
S só é 
paralelo se 
o condutor 
for 
− − −
+++
5δ 
H 
E 
S 
ds=dl×dl’ 
dl 
dl’ 
 43 
8 - Potência em uma onda plana 
 
a) em meios não dissipativos: 
 
Em uma TEM se propagando no sentido +z: Exax × Hyay = Szaz 
 
com: Ex=Exo cos(ωt − βz) Hy=(Exo/η)cos(ωt − βz) 
 
 
S E t zZ
2
X0
= −
η
ω βcos ( )2 W/m2 
 
Valor médio: cos cos2 1 2
2
α
α
=
+ ∴ ∫∫ −+=−= ωπ βωπηωβωη
2
0
X0
2T
0
2X0
2
Z dt)z2t2cos(14
Edt)zt(cos
T
ES 
 



−−−+=−+= )20sen(
2
1)z24sen(
2
12
4
E)z2t2sen(
2
1t
4
ES X0
22
0
X0
2
Z zβ
ω
βπ
ωω
π
πη
ωβω
ωπη
ω ω
π
 
sen(a − b)= sen(a)cos(b) − cos(a)sen(b) 
 
 e como: sen(4π) = sen(0) e cos(4π) = cos(0) = 1 logo )z20sen()z24sen( ββπ −=− , portanto: 
 
S E
4
2 E
2Z,med
2
X0
2
X0
=
  =
ω
πη
π
ω η
 S E
2Z,med
2
X0
=
η
 W/m2 
 
A potência que flui em uma área “s” normal ao eixo z é: 
 
 P d= ∫ S s.S Pz,med= E s2
2
X0
η
 W 
 
9 - Potência de uma onda plana em meios dissipativos 
 
Hy e Ex não estão em fase e a impedância intrínseca é um complexo η=ηm|θm 
 
)ztcos()ztcos(ES 2X0
2
Z m
z
m
e θβωβω
η
α
−−−=
− e com cos(a)cos(b) = ½ [cos(a − b)+cos(a + b)] vem: 
[ ])z2t2cos(cos
2
ES 2X0
2
Z mm
z
m
e θβωθ
η
α
−−+= − 
m
z
m
mm
z
m
ee θ
η
θβωθ
η
αα cos
2
Edt)z2t2cos(cos
T2
ES 2X0
2T
0
2X0
2
Z
−−
=−−+= ∫ 
Sz,med=
E
2
2
X0
η
θα
m
z
me
−2 cos W/m2 
 
 
Com a potência média na área “s” normal ao eixo z: 
 
 Pz,med=
E s
2
e
2
X0
η
θα
m
z
m
−2 cos W 
 
0)z2t2(
2
1dt)z2t2cos(
2
0
2T
0
=−−=−−∫ = ωπωπ θβωωθβω mm sen
 44 
No caso de um condutor existem algumas simplificações desde que nestes: 
 
η=ηm|θm portanto θm =
π
4
=45º e η
σδm =
2 
 
 
Sz,med =
E
2
e E
2 2
e E
2 2
e E
4
e
2
X0
2
X0
2
X0
2
X0
η
θ σδ π σδ σδα δ δ δ
m
z
m
z z z
−
− − −
= = =
2
2 2 2
4
2
2
cos cos 
 
 
 
 Sz,med =
σδ δE
4
e
2
X0 −
2z
 W/m2 Pz,med=
σδ δE s
4
e
2
X0 −
2 z
 W 
 
 
 
Portanto a potência absorvida em um meio condutor ou "preço cobrado" pelo condutor para servir de guia 
pode ser calculada por integraçãoda potência que atravessa a parede do condutor. 
 
 
 
 Pz,med =
σδ σδδE
4
e dxdy E
4
bL
2
X0
2
X0−∫∫ =200
zLb
 
 
 
 e com JX0=σEX0 
 
 Pz,med =
δ
σ
J
4
bL
2
X0 
 
 
EXEMPLOS: 
 
E11.6 Hayt 
a) Gelo feito com água pura ; onda plana com amplitude 100V/m. 
Qual a potência média no tempo que atravessa uma área de 1m2 em z=0 e z=5m para uma freqüência de 
1MHz? 
εR = 4,15 e tgθ = 0,12 
 
Pz,med=
E s
2
e
2
X0
η
θα
m
z
m
−2 cos η=ηm|θm onda plana com amplitude 100V/m: EX0 = 100 V/m 
a) em z=0 
( ) 012
7
42,328,184
j0,121
15,410854,8
104
j1
−∠=
−
××
×
=
−
=
−
−π
ωε
σ
ε
µ
η 
 
Pz,med=
100 1
2
1
2 ×
×
× − =
184 28
3 42 27 10
,
cos( , ) , W 
 
b) em z=5m 
BOM CONDUTOR 
x 
z 
y 
δ 2δ 3δ b 
L 1 porque z=0 na 
f i
 45 
 
γ ω εµ σ
ωε
π ε µ= = × = × ∠j 1- j j2 1- j0,12 j4,27 10-210 4 15 1 1 00717 6 846 0 0 0, , , 
 
γ= 4,27×10−2 ×1,0035|90º−3,42º γ = 0,00256 +j 0,04277 α = 0,00256 β = 0,04277 
 
 
Pz,med= 27,1×e− 0,00256×10 = 26,41 W 
 
 
E11.7 Hayt Condutor de aço com: σ = 5,1×106 mho/m ; µR = 200 ; comprimento 300m ; raio a=0,0025 m 
corrente I(t)=1,5cos(3×104t) Amp. 
 
a)profundidade de penetração 
228,01028,2
101,5200104
2
103
1
f
1 4
67
4
=×=
×××××
×
×
==
−
−π
π
π
µπσ
δ mm 
 
b)resistência efetiva 
R L
2 a
300
2
= =
× × × × ×
=
−σ π δ π51 10 0 0025 2 28 10 16 426 4, , , , Ω 
 
c)resistência em CC 
 
R L
S
300
= =
× × ×
=
σ π51 10 0 0025
36 2, ,
Ω 
 
d)a perda de potência média 
 
I J b t -
4
X0
=
 
δ
ω
π
2
cos e Pz,med =
δ
σ
J
4
bL
2
X0 
I(t)=1,5cos(3×104t) ∴ 1,5
J b J 2 aX0 X0
= =
δ π δ
2 2
 ∴ J
2 aX0
=
×2 1 5,
π δ 
 
Pz,med =
×


 ×
=
× ×
× × × × × ×
=
−
δ
π δ
σ
π
σπ δ π
2 1 5
2
0 2 10
184
,
,0025 ,28
,47
a
4
2 aL = 2L 1,5
8 a
2 300 1,5
8 5,1 10
2
2 2
6 W 
 
 
ou P=RI2= R I
2



 = × =
2
21
2
16 42 1 5 18 47, , , W 
 
 46 
REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS PLANAS UNIFORMES (TEM) 
 
1. Ondas incidentes, refletidas e transmitidas 
 
Perpendicularmente à uma fronteira e com o campo magnético na direção Hy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Relações na fronteira: 
 
Supondo-se que toda a energia da onda atravesse a fronteira tem-se em z=0: 
 
E EXS1
+
XS2
+
= 
 
Em um meio real sempre K = 0 ( K ≠ 0 só em condutores perfeitos) , na fronteira: 
 
 Ht1 = Ht2 ∴ H HXS1
+
XS2
+
= ∴ 
E EXS1
+
XS2
+
η η1 1
= 
 
isto implica em η1 = η2 e como η
ωµ
σ ωε
=
+
j
j
 isto só ocorre em casos muito especiais. 
 
Logo existe uma terceira onda na fronteira que é a onda refletida: z0S1XS1 1eE
γ−−
=E 
 
 
portanto na fronteira: H H HYS1
+
YS1 YS2
++ =− e E E EXS1
+
XS1 XS2
++ =− 
 
 
 
A direção do vetor fasor HXS1
− é S = E×H ∴ S×E = H ∴ Sz(−az) × Exax = Hy(− ay) 
 
 
 
 
logo na fronteira: E
H
X01
Y01
−
−
= −η1 ; z
1
0S1z
y01YS1
11 eEeH γγ
η
−
−−
−==H e 
E E EXS1
+
XS1 XS2
+
η η η1 1 2
+ =
−
 
 
 
Meio 1 
µ1 ε1 σ1 
Meio 2 
µ2 ε2 σ2 
z+
0S1
+
XS1
1eE γ-=E
EXS2
+
0S2
+ -E e 2= γ z 
z-
0S1
-
XS1
1eE γ=E 
Fronteira 
em z=0 z 
x 
Sz 
Ex H
Cresce na direção positiva do eixo 
z ou seja a variação exponencial e 
crescente na direção do eixo z 
 47 
2.1 Coeficiente de reflexão Γ (tau maiusculo) 
 
E E EX01
+
X01 X02
++ =− 
+
X02X01
+
X01 HHH =+
− ∴ −+− −=+ X01
1
2
X01
1
2
X01
+
X01 EEEE η
η
η
η ÷ por EX01+ e arrumando-se: 
2
+
X02
1
X01
1
+
X01 EEE
ηηη
=−
−
 tem-se o coeficiente de reflexão Γ = = −
+
−
+
E
E
X01
X01
η η
η η
2 1
2 1
 
 
 
• Γ complexo Γ=Γm |φm haverá desfasamento angular entre as duas ondas na fronteira 
• Γ real elas estão em fase na fronteira 
 
O módulo do coeficiente de reflexão que varia de ≅ + 1 (η2 >>>η1) a −1 (η2→0). 
 
Existem dois valores importantes: 
 
* Γ = 0 (η2 =η1) ∴ EXS1− = 0 logo não existe reflexão, toda a potência é transmitida e diz-se que o sistema 
esta “casado” 
 
* Γ = − 1 (η2→0) ∴ E EXS1+ XS1= − toda a energia é refletida que corresponde à reflexão total. No caso do 
meio 1 for sem perdas resulta na “onda estacionária pura”. 
 
EXEMPLO: Fronteira vácuo água do mar onda de radar com f = 1012 Hz : εR = 80 , σ = 4 mho/m 
η1= η0 = 377∴ η2 = 12,42
80
3770
==
RRεµ
η e 
0
12 80102
4
επϖε
σ
××××
= = 8,99×10-4 < 0,1 sem perdas 
mas Γ = −
+
=
−
+
= −
η η
η η
2 1
2 1
42 12 377
42 12 377
0 8,
,
, 
 
logo o Radar de um navio não detecta um submarino apesar que neste freqüência o meio (água do mar) é 
sem perdas. 
 
9.3 - Coeficiente de transmissão ξ (xi minúsculo) E E EXS1+ XS1 XS2++ =− 
 
 
E
E
E E
E
X01
X01
X02 X01
X01
−
+
+ +
+
=
−
=
−
+
η η
η η
2 1
2 1
 ∴ 
E
E
X02
X01
+
+
− =
−
+
1 2 1
2 1
η η
η η
 ∴ ξ
η
η η
= =
+
+
+
E
E
X02
X01
2 2
2 1
 
 
• ξ complexo ξ=ξm |φm haverá desfasamento angular entre as duas ondas na fronteira 
• ξ real elas estão em fase na fronteira 
 
O módulo do coeficiente de transmissão varia de 2 (η2 >>>η1 ) até ≅0 (η2 <<<η1). 
 
Existem dois casos importantes: 
 
* ξ = 0 (η2→0) ∴ EXS2+ = 0 toda a energia é refletida que corresponde à reflexão total. No caso do meio 1 
for sem perdas resulta na “onda estacionária pura”. 
 
 
Gama maiúsculo 
 48 
* ξ = 1 (η2 =η1) ∴ E EXS1+ XS2= + não existe reflexão, toda a potência é transmitida e diz-se que o sistema 
esta “casado” 
 
A relação entre ξ e Γ é Γ− ξ = η η
η η
2 1
2 1
−
+
 −
+
2 2
2 1
η
η η
= −1 ou ξ = Γ+1 
 
4 - Onda estacionária pura. 
Existiria apenas quando toda a energia da onda incidente fosse refletida sem perdas. 
Para se idealizar esta situação precisamos de duas condições: 
 
??o meio 2 tem que ser um condutor perfeito e portanto σ = ∞: 
lim lim
σ
δ
σ π µσ→∞
=
→∞
1
f
=0 ; lim lim
σ
η
σ
ωµ
σ ωε→∞
=
→∞ +
2
j
j
=0 ; Γ = 0
0
1
1
−
+
η
η
= −1 e ξ = 0 
??o meio 1 um meio sem dissipação σ = 0 assim η1 é um real e assim: Γ = 00
1
1
−
+
η
η
= − 1 
Em um meio sem dissipação α=0 somando-se as ondas: 
 
E E EXS1 = +
+ −
XS1 XS1 = E e E e E e E e E (e e jsen( EX01
j z
X01
j z
X01
j z
X01
j z
X01
j z +j z
X01
+ − + + − + + − ++ = − = − = −β β β β β β βΓ ) )2 z 
 
(e e z) sen( z) sen( j (j z +j z− − = − − + = −β β β β β β β) cos( ) [cos( )] sen )z z z2 
 
colocando-se na forma trigonométrica (multiplicando-se por ejωt e tomando-se a parte real) vem: 
 
 
E X1 = − = − + = − −
+ + +2 2 2jsen( E je jsen( E [cos( j ( sen( E [jcos( (X01
t
X01 X01β β ω ω β ω ωωz z t t z t t) ) ) sen )] ) ) sen )] 
 
 
tomando-se a parte real: Ex1= 2E sen( ( zX01
+ ω βt )sen ) 
 
 
onde: sen(βz) indica uma variação senoidal ao longo do eixo z. 
 
 sen(ωt) é a parte variável com o tempo. 
 
• O valor da função se anula com sen(βz)=sen(nπ) ∴ ßz = nπ ∴ β πλ=
2 ∴ 2πλ π
z n= 
n zλ
2= com n=1,2,3... 
A cada meio comprimento de onda a função assume o valor zero o tempo todo 
 
• Em t=0 a onda é nula em todo o espaço. 
• Os valores máximos estão em ßz = nπ
2
 e nestes pontos a função se resume a: Ex1= 2E sen(X01
+ ωt ) 
• calculando-se os valores de sen(ωt) no ponto π
2
 para intervalos de tempo: t = nT n= 2π
ω
 
 
t = 0,05×T = ×0 05 2, π
ω
 ∴ sen(ωt)= sen(0,1π) = 0,309 
 
 
 49 
tempo sen(ωt) tempo sen(ωt) 
0,05×T sen(0,1π) = 0,309 0,75×T sen(1,5π) = −1 
0,075×T sen(0,15π) = 0,454 0,875×T sen(1,75π) = − 0,707 
0,125×T sen(0,25π) = 0,707 0,925×T sen(1,85π) = − 0,454 
0,25×T sen(ωt)= sen(0,5π) = 1 0,95×T sem(1,9π) = − 0,309 
 
Plotando-se para estes pontos vem:
 
0 0.78 1.56 2.33 3.11 3.89 4.67 5.44 6.22 7
2
1.6
1.2
0.8
0.4
0.4
0.8
1.2
1.6
2
E( ),βz ..1 π
E( ),βz ..15 π
E( ),βz ..25 π
E( ),βz ..5 π
E( ),βz .1.5 π
E( ),βz .1.75 π
E( ),βz .1.85 π
E( ),βz .1.9 π
βz
 
Um ponto P de fase constante não se desloca no eixo z apenas oscila no sentido de x em torno do mesmo 
valor z. A onda esta "estacionária". 
 
O campo magnético associado a esta onda é dado por: 
 
zj
Y01
zj+
Y01YS1
+
YS1YS1 ee
ββ +−− Γ+=+= HHHHH com η1 um número real (meio sem perdas) e Γ =
0
0
1
1
−
+
η
η
= −1 
HYS1= 
E e E e E e E eX01 j z X01 j z X01 j z X01 j z
+
−
+ +
−
+
− − = +
η η η η
β β β β( )1 
 
Portanto em uma onda pura estacionária HYS1 = zjX01zjX01 e
EeE ββ
ηη
+
−
+
+ e E XS1 = E e E eX01
j z
X01
j z+ − +
−
β β 
 
 
As densidades de energias instantâneas das ondas incidentes e refletidas em cada ponto de uma superfície 
perpendicular ao eixo z, pelo vetor de Poynting são: ZaS
zj2
2
X01
S1 e
E β
η
−
+
+
= e ( )ZaS −=
+
− zj2
2
X01
1S e
E β
η
 
 
Nestas superfícies, para qualquer valor de z, a soma vetorial é: 0S1S1S1 =+=
−+ SSS logo: 
 
??A potência transmitida nesta onda é nula. 
??Como só existe energia na direção do eixo z a energia é conservada dentro de um volume porque 
não esta saindo energia pela superfície do volume. 
 
 50 
Fica claro que as ondas incidentes e refletidas de H se somam tendo valor máximo nos pontos em que as 
mesmas ondas de E se subtraem tendo valores mínimos e nulos e S=0, assim: 
◊ Tem-se uma onda estacionária do campo magnético atrasada em relação a onda do campo elétrico de π
2
 
◊ A potência da onda no meio 1 é constante ao longo do espaço porque ambos os campos são estacionários 
tendo um valor máximo nos pontos onde o outro é nulo. 
◊ A energia fica concentrada ao longo da onda alternando entre o campo magnético e o campo 
elétrico. 
EXEMPLO: E11.8 Hayt 
 
em y=0 EZS1
+ = 500V/m com ω = 108 rad/seg 
 
a) Ez1(t)=? σ1=σ2=0 ∴ β ω µε= 
 
β1 8 12 610 10 2 5 10 10 0 5= × × × =− −, , 
 
EZ1
+ =500cos(108t−0,5y) 
 
b) HX1(t)=? 
 
σ1=σ2=0 ∴ 
E
H
XS
YS
= η ∴ η µ
ε1
1
1
6
12
2 5 10
10 10
= =
×
×
−
−
, = 500 Ω H X1
+ = cos(108t −−−− 0,5y) 
 
c) EZ1
− (t) = ? η µ
ε2
2
2
6
12
4 10
9 10
= =
×
×
−
−
= 667 Ω Γ = 667 500
500 667
1
7
−
+
= 
 
EZ1
500
7
−
= cos(108t−0,5y)= 71,43 cos(108t + 0,5y) 
 
d) EZ2
+ (t) = ? β 2 8 12 610 4 9 10 10 0 6= × × × =− − , ξ = Γ+1= 17 +1 = 1,1428 
 
EZ2
+ =500×1,1428 cos(108t−0,6y) = 571,43 cos(108t − 0,6y) 
 
 
em y=0 E E EXS1
+
XS1 XS2
++ =− ∴ 500 + 71,43 = 571,43 
 
 
O módulo do campo elétrico cresceu no meio 2, entretanto a potência da onda não varia (meios sem 
perdas): 
 
 Py,med = 4,24404,52506672
571,43
5002
71,43
5002
500
2
E
2
E
2
E 222
2
2
2
1
2
1
1
2
1 +≅∴
×
+
×
=
×
∴+=
+−+
ηηη
W/m2 
 
 
5 - Em um meio sem perdas: onda semi - estacionária e taxa de onda estacionária "s". 
 
E E EXS1 = +
+ −
XS1 XS1 = E e E eX01
j z
X01
j z+ − ++β βΓ 
 
z 
EZ1
− 
EZ2
+ 
EZ1
+ 
Meio 1; σ1=0 
ε1= 10 pF/m 
µ1= 2,5 µH/m 
Meio 2 ; σ2=0 
ε2= 9 pF/m 
µ2= 4 µH/m 
y 
500 V/m 
571 V/m 
71 V/m 
 51 
com Γ= −1 temos a onda pura nos casos mais gerais Γ ≠ −1 e existe transmissão de energia entre os dois 
meios e reflexões. 
 
Admiti-se neste caso que o meio 2 possa ser um meio com perdas e portanto η e Γ são números 
imaginários. 
(significando uma onda refletida defasada da incidente em z=0 e t=0 por um ângulo øm) 
 
 
E E EXS1 = +
+ −
XS1 XS1 = E e E e e e EX01
j z
X01
j z+ j z j z+
X01
m m+ − + − ++ = +β β φ β β φΓ Γm m( ) 
 
 
Desenvolvendo-se a expressão de Exs1 por Euler e colocando-se na forma trigonométrica tem-se: 
 
 
( ) ( )E X X m X X m Xt t1 01 01 01 01= + + −+ + + +E E z + E E z + )m mΓ Γsen( )cos( ) cos( )sen(ω β φ ω β φ 
 
 
por exemplo com EX01
+
= 1e Γ= − 0,5 tem-se: 
 
 
0 1.56 3.11 4.67 6.22 7.78 9.33 10.89 12.44 14
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
E2( ),βz ..125 π
E2( ),βz ..25 π
E2( ),βz ..375 π
E2( ),βz ..5 π
E2( ),βz ..625 π
E2( ),βz ..75 π
E2( ),βz ..875 π
E2( ),βz .1 π
E2( ),βz .1.125 π
E2( ),βz .1.25 π
E2( ),βz .1.375 π
E2( ),βz .1.5 π
E2( ),βz .1.625 π
E2( ),βz .1.75 π
E2( ),βz .1.875 π
E2( ),βz .2 π
βz
Diferença λ
4
 
Emax (ponto de máximo 
do envoltório) 
Emin (ponto de 
mínimo do 
envoltório) 
Em uma onda 
estacionária 
pura Emin = 0 
t=125 π ...etc
 52 
 
Todos os formatos de onda considerando-se diferentes valores de t ficam contidos dentro de uma envoltório 
estacionário não senoidal, que é a onda “onda semi - estacionária”. 
 
 
⇒ Os valores máximos deste envoltório ocorrem quando + 01E X e 
−
01E X estão em fase: E = E Emax X X01 01
+ −+ 
 
 
⇒ Os mínimos ocorrem quando + 01E X e 
−
01E X estão defasadas de 180°: E = E Emin X X01 01
+ −
− 
 
 
⇒ A relação entre estes valores é o que se denomina “taxa de onda estacionária” com notação "s" sendo 
portanto um real porque é simplesmente uma relação entre amplitudes: 
 
s E E
E E
E
E
E
E
E
E
E
E
=
+
−
=
+
−
=
+
−
+ −
+ −
+
+
−
+
+
+
−
+
X X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X
m
m
01 01
01 01
01
01
01
01
01
01
01
01
1
1
Γ
Γ
 s = +
−
1
1
Γ
Γ
m
m
 com Γ = Γm|φm e também Γm = −+
1
1
s
s
 
Em uma onda pura estacionária os mínimos do envoltório são nulos logo: s lim E
EE 0
max
minmin
= = ∞
→
 
 
Os pontos no eixo z de ocorrência dos valores de máximos e de mínimo do envoltório da onda semi - 
estacionária são: 
 
E XS1 = ( )e e E
j z
fase(incidente)
j z+
fase(refletida) X01
m− ++β β φΓm 
 
Distancias em que ocorrem os: 
 
• Pontos de máximo: 
as ondas deverão estar em fase se reforçando logo: e ej z j z+ m− =β β φ : 
 
 − βz=βz+φm+2πn com n=0; ±1; ±2; ±3...etc e assim: z nmax = − +φ πβ
m 2
2
 
 
 
• Pontos de mínimo: 
as ondas deverão estar defasadas de π de forma a se subtraírem: 
 
− βz=βz+φm+2πn + π com n=0; ±1; ±2; ±3...etc e assim: z n +min = − +φ π πβ
m 2
2
 
 
 
• Diferença entre as duas distancias: 
z z n + n n + + nmin max− = −
+
− −
+


 =
− − +
= = =
φ π π
β
φ π
β
φ π π φ π
β
π
β
π
π
λ
λm m m m2
2
2
2
2 2
2 2 2 2 4
 
z zmin max− =
λ
4
 
 
 
 53 
Valor dos módulos 
 
♦ Pontos de máximo 
desde que e ej z j z+ m− =β β φ pode-se colocar-se em evidência o angulo: Ex1max = ( )1 EX01+
+Γm 
 
♦ Pontos de mínimo e e e e ej z j z+ +j j z+ j z+m m m− = = = −β β φ β φ β φ180 180
0 0
1 ∴ Ex1min = ( )1 EX01−
+Γm 
 
 
Os valores de z em que ocorrem os mínimos de H continuam ser os mesmos dos máximos de E: 
 
H H HXS1 = +
+ −
XS1 XS1 =(e e
Ej z j z+ X01m−
+
−
β β φ
η
Γm ) E E EXS1 = +
+ −
XS1 XS1 =
+− Γ+ X01
+zjzj E)ee( mφββ m 
 
 
6 - Intervalos de variação de s 
O valor máximo ocorre em uma onda estacionária pura onde Emin = 0: s lim
E
EE 0
max
minmin
= = ∞
→
 
O valor mínimo ocorre com o sistema casado Γ = Γm|φm=0 ∴ s = +
−
=
1
1
1Γ
Γ
m
m
 
 
assim ∞ ≥ s ≥ 1 
 
Em um sistema casado: s=1 ; Γ (tau maiúsculo) = 0 ; ξ (xi minúsculo) =1 
 
Na onda pura estacionária s= ∞ ; Γ (tau maiúsculo) = −1 ; ξ (xi minúsculo) = 0 
 
 
7 - “Impedância de entrada” ou “impedância refletida” em meios não dissipativos. 
 
Em uma região sem onda refletida E
H
XS
YS
= η 
 
Porem se existir uma onda refletida esta relação não pode ser aplicada porque os campos da onda incidente 
e refletida se somam. Calculando-se esta relação em uma região sem perdas (σ=0) com o meio 2 também 
um meio sem perdas e portanto Γ um número real (φm=0 em Γ = Γm|φm) 
 
E XS1 = ( )e e E
j z j z+
X01
m− ++β β φΓm ∴ 
 
E XS1 = ( )e e E
j z j z
X01
− ++β βΓ ; H XS1 = (e e
Ej z j z X01−
+
−
β β
η
Γ ) 
E
H
XS1
YS1
j z j z
X01
j z j z X01
j z j z
j z j z
j z j z
j z j z
e e E
e e E
e e
e e
e e
e e
=
+
−
=
+
−
=
+
−
+
−
−
+
− +
−
+
−
−
−
−
( )
( )
β β
β β
β β
β β
β β
β β
η
η η
η η
η η
η η
η η
Γ
Γ
Γ
Γ
1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
E
H
XS1
YS1
j z j z
j z j z
j z j z
j z j z
e e
e e
e e
e e
=
+ × +
−
+




+ × −
−
+




=
+ + −
+ − −
−
−
−
−
η
η η η η
η η
η η η η
η η
η η η η η
η η η η
β β
β β
β β
β β1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1
2 1 2 1
2 1 2 1
 
 
=0 
 54 
Que é a relação em um ponto qualquer situado a uma distância z a partir da fronteira com o eixo voltado na 
direção da propagação e a origem sobre a fronteira. 
Esta relação entre E e H em um ponto é a “impedância de entrada” ηηηηent 
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )η η
η η η η
η η η η
β β
β βen
XS1
YS1
j z j z
j z j z
e e
e et
= =
+ + −
+ − −
−
−
E
H 1
2 1 2 1
2 1 2 1
 
 
 
• Γ em −z = L: Γ =
−
+
− =
− =
η η
η η
ent z L
ent z L
( )
( )
0
0
 
• Na fronteira z=0 logo η η η η η η
η η η η
η η
η
ηent =
+ + −
+ − +
= =1
2 1 2 1
2 1 2 1
1
2
1
2
2
2
 
 
Generalizando-se: como ejπ = e−jπ = −1 logo tem-se η ηent = 2 a cada βz = nπ com n = 0; ±1; ±2; ±3...etc, 
ou seja a cada λ
2
. 
• Com casamento na fronteira não existe onda refletida e η1= η2 ∴ 
( )
( )η η
η η
η η
ηent =
+
+
=1
1 1
1 1
1 em todo o meio 1. 
• Se o meio dois for um condutor perfeito η2=0 (onda estacionária pura) vem: 
 
η η η ββ η β
β β
β βent
j z j z
j z j z
e e
e e
j z
z
jtg z= −
+
=
−
−
=
−
−
1 1 1
2
2
sen( )
cos( )
( ) 
 
Fazendo-se L= |z| , colocando-se na forma trigonométrica e simplificando-se vem: 
 
η η η η β
η η βent z− =
+
+
1
2 1 1
1 2 1
j tg L
j tg L
( )
( )
 
 
EXEMPLOS: 
Projeto de um radome para um radar operando a 10 GHz. Radome é uma cobertura para abrigar um radar 
do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As reflexões da onda devem ser mínimas para que não haja perda de potência. Deverá ser também um 
material leve e resistente usa-se um plástico na base de polipropileno que tem εR=2,25 e σ=0,25. 
 
Porque sem(π)=0 
x 
z η0 η1 η2 
Γ em −z = L 
Γ =
−
+
− =
− =
η η
η η
ent z L
ent z L
( )
( )
0
0
 
σ1 = 0 σ2 = 0 
E0
+ 
E0
− 
E1
+ 
E1
− 
E2
+ 
L 
z η0 η1 η0=η2 
ηent em −z = L 
Γ = −
+
η η
η η
ent
ent
0
0
 
Radome 
σ1 = 0,25 
εR=2,25 σ2 = 0 
E0
+ E1
+ 
E1
− 
E2
+ 
x 
 55 
Nesta freqüência no polipropileno tgθ = 2,0
10854,825,2102
25,0
1210 =×××
=
−πωε
σ >0,1 logo pode ser 
considerado dielétrico real e a onda se propaga com perdas entretanto, por serem pequenas, pode-se 
desprezar. 
 
A antena esta no ar logo η0=377. Para que não haja reflexão da onda ao penetrar na cobertura Γ=0 na 
fronteira ar×cobertura Γ = −
+
=
−
+
η η
η η
η
η
ent
ent
ent
ent
1
1
377
377
= 0 portanto deve-se ter ηent = 377 Ω 
 
A cada λ
2
 tem-se η ηent = 2 = 377 Ω ou seja com βz = nπ sendo n = 0; ±1; ±2; ±3...etc. Fazendo-se n=1, 
para que tenha-se a menor espessura possível vem: 
 
 β1L= π = 2
1
π
λ
L ou L = λ1
2
 ∴ L= λ
µ ε
1
2 1 2 25
0 01= = = ×
× ×
=
v
2f
v
2f
3 10
2 10
1 0
8
10
R R ,
, m 
 
Ou seja uma cobertura de 1cm de espessura de polipropileno protegeria o radar sem perda de potência da 
antena na entrada do radome. Mas na região com polipropileno dentro da cobertura existe uma onda 
refletida devido a não existir casamento na saída para o espaço da onda emitida pelo radar. 
 
η µ
ε1
0
0
1
2 25
377
1 5
251 33= ×
×
= =
, ,
, Γ = −
+
= +
377 251 33
377 251 33
0 201,
,
, 
 
 Logo existe uma potência perdida de 
Γ
×
Γ
=×=
−−
+++ YX
YXZ
HEHES ou 
++−−+
=×=×=Γ ZZ
2
YXZ
2 S04,0S2,0HES 
 
 
Ou seja 4% da potência da onda emitida pelo radar é perdida na reflexão ao atravessar o radome 
considerando-se apenas a primeira reflexão. 
 
 
 
E11.9 Hayt f=4 GHz 
 
 a) s na região 1= ? 
 
η η1 05
= e η η µ
ε
η η2 0 0 0
10
2
5= = =R
R
 
 
Γ =
−
+
=
−
+
=
η η
η η
0
0
0
0
5
5
5
5
5 1
5
5 1
5
2
3
 ∴ s =
+
−
=
1 2
3
1 2
3
5 
 
b) z= − 0,6 ηent=? σ1=σ2=0 ∴ β ω µε= 
 
46,18710854,8104151042 12791 =×××××××=
−−ππβ rad./m β1L=187,46×0,6×10-2=1,1247 rad. 
 
Meio 1; σ1=0 
εR1= 5 
µR1= 1 
Meio 2; σ2=0 
εR2= 2 
µR2= 10 
 56 
η η1 05
= e η η2 0 5= η η
η η β
η η βent z− =
+
+
1
2 1 1
1 2 1
j tg L
j tg L
( )
( )
 
 
ηent
−
=
+
+
= ∠ −0 6
0377
5
5 11247
5
1
5
5 11247
86 9 62
,
( , )
( , )
,
j tg
j tg
 
c) s na região 2= ? 1
01
01
1
1s =
−
+
=
Γ−
Γ+
=
m
m 
 57 
CAPITULO 12 
 
LINHAS DE TRANSMISSÃO OU ONDAS TEM GUIADAS 
 
1- Definição 
 
Quando os comprimentos de um circuito são comparáveis ao λ existem defasamentos angulares 
importantes ao longo do circuito e portanto o módulo da corrente de E e H não são iguais em todo o 
circuito. 
Isto não pode ser desprezado nos cálculos exigindo um tratamento especial que consiste em dividi-lo em 
comprimentos infinitesimais onde então se aplica as leis dos circuitos e posteriormente se integra os 
resultados. Estas são as Linhas de transmissão. 
Devem ser consideradas linhas de transmissão os circuitos cujos comprimentos L são L > 0,1 λ 
 
Os condutores mais utilizados em LT’s para uma propagação no modo TEM são: 
• cabos paralelos (linha aberta) - a propagação é pelo ar com β ω µ ε π= =0 0 2 fc rad/m 
• cabos coaxiais (linha fechada) - a propagação é pelo dielétrico com β ω µε π µ ε= = 2 f
c
R R rad/m e 
podem ser usados até 3GHz. Acima disto a propagação não é mais TEM. 
 
• linha de tiras paralelas - propagação pelo dielétrico 
são utilizadasquando se deseja baixa impedância. 
 
 
 
 
 
 
• micro-strip 
 
 
 
 
 
 
 
λ πβ=
2 λ πβ0
2
= =
c
f
 e λ πβ µ εdieletrico R R
= =
2 c
f
 
 
freqüência λ0 λdieletrico 
 com εR=2,25 
60 Hz 5000 Km 3333 Km 
3 MHz 100 m 66,7 m 
200 MHz 1,5 m 1 m 
3GHz 0,1 m 0,067 m 
 
 
Um exemplo de LT com propagação em modo TE ou TM não permitindo o modo TEM são os guias de 
ondas e as fibras óticas (cavidades ocas). 
 
 
H 
E 
dielétrico 
CPU Chip 
Micro - strip 
H 
E 
Placa do circuito 
de material 
 58 
2 - Parametros "distribuídos" e parâmetros "concentrados" 
 
♦ Na teoria "elementar" dos circuitos trabalha-se com "elementos" ou sejam parâmetros concentrados. 
♦ Na teoria das linhas de transmissão trabalhamos com parâmetros "distribuídos" imaginando-se que os 
mesmos estão distribuídos ao longo de toda a extensão da linha. 
 
parâmetros distribuídos: 
 
• resistência R (Ω/m) que representa as perdas ohmicas na linha. Em uma linha sem perdas R=0. 
 
• indutância L (H/m) - devido a geometria dos condutores da linha. 
 
• capacitância C (F/m) - existente entre os condutores da linha e condutor terra provocando uma corrente 
de deslocamento. 
 
• impedância com valor Z = R+jωL (Ω/m) 
• condutância G (mho/m = Siemens/m) em um volume: R L
S
=
σ
 e G S
L
=
σ 
onde L é o comprimento do volume na direção que se deseja calcular R, 
 S a área transversal à esta direção e, 
 σ condutividade do volume. 
No dielétrico entre os condutores de um cabo coaxial o volume é um cilindro que aumenta em função de r 
(em um fio de seção circular esta área é constante e igual à seção do fio), assim: 
L = dr , em um metro S = 2πr×1 metro e σ = σDielétrico logo: 
Dieletrico
b
a
Dieletrico πσσπ 2
a
bln
r2
drR == ∫ Ω/m ∴ G = 2πσ Dieletricoln ba mho/m 
O produto GV = V
R
= I Ampères com V a ddp entre os condutores. Se o isolamento da linha não for um 
dielétrico perfeito haverá circulação de corrente pelo dielétrico entre condutores, provocando perdas de 
potência na linha. Em uma linha sem perdas G=0. 
• admitância shunt ou paralela Y com valor Y=G+jωC (mho/m) - geralmente nas linhas G e C estão 
em paralelo e como fazemos para a resistência e a indutância criando a impedância com valor 
Z=R+jωL criamos neste caso a admitância shunt ou paralela Y. A existência de Y é que causa a variação 
da corrente ao longo da linha. 
 
 
3 - Cálculo da variação de I e V em linha de transmissão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simbologia: 
 
◊ A propagação é TEM se propagando na direção z onde: 
P Q 
z z+∆∆∆∆z 
R∆z L∆z IZ IZ+∆z 
G∆z C∆z 
∆z 
I ID 
Z 
Q 
z+∆∆∆∆z 
~ 
Rg 
Vg Ve 
Ie 
VC 
IC I 
V 
P 
z 
d L 
Z 
Z=0 
ZC Ze 
 59 
• V no sentido longitudinal representa E e 
• I no sentido do condutor representa H (sem que signifique que existe uma propagação de I na 
mesma velocidade de H) 
◊ Os dados no gerador tem o índice “g”, no ponto de entrada da linha tem o índice “e” e os do lado da 
carga tem o índice “c”, finalmente no meio da linha não temos índices. 
◊ A impedância Ze não tem existência física. 
 
⇒ Taxa de variação de V longitudinal: 
 
O potencial no ponto Q será igual ao potencial no ponto P menos a queda de potencial ao longo de PQ e 
portanto do circuito equivalente tiramos: 
 Vz+∆z=Vz − (R∆z)I − (L∆z)
∂
∂
I
t
 ∴ Vz+∆z−Vz=∆V = (− RI − L
∂
∂
I
t
)∆z 
 ∆
∆
∆
v
z
z→0
= − RI − L ∂∂
I
t
 ∴ ∂∂
V
z
= −RI − L ∂∂
I
t
 ou em fasores d
dz
VS = − RIS−jωLIS 
 dV
dz
S = − (R+jωL)IS 
 
⇒ Taxa de variação de I no condutor: 
 
Da mesma forma a corrente em Q é igual: 
(corrente em P) − (corrente de condução I das perdas através do isolamento da linha, GV=I) − (ID corrente 
de deslocamento através da capacitância, C ∂∂
V
t
= ID): 
 
Iz+∆z= Iz − 
??????????
DI
I
t∂
∂Vz)C(z)VG( ∆−∆ ∴ Iz+∆z − Iz=∆I = (− GV − C ∂∂
V
t
)∆z 
∆
∆
∆
I
z
z 0→
= − GV − C ∂∂
V
t
 ∴ ∂∂
I
z
= − GV − C ∂∂
V
t
 ou em fasores dI
dz
S = −GVS−jωCVS ou finalmente: 
 dI
dz
S = − (G + jωC)VS 
 
Portanto para qualquer ponto dentro da linha temos: dV
dz
S = − (RIS+jωL)IS e 
dI
dz
S = − (G + jωC)VS 
 
ou em termos de impedância e admitância : dV
dz
S = − ZIS e 
dI
dz
S = − YVS 
 
 
4 - Soluções gerais para V e I em linhas com reflexões e com perdas. 
 
dV
dz
S = − ZIS ∴ 
d V
dz
2
2
S = − Z dI
dz
S com dI
dz
S = − YVS vem 
d V
dz
2
2
S =ZYVS e como VS= VS
+ + VS
− 
 
 
 d V
dz
2
2
S =ZY( VS
+ + VS
− ) que é a equação geral da onda TEM guiada 
 
 
 60 
 
a solução desta equação tem que ser uma expressão que derivada duas vezes seja igual à função original 
mutiplicada por ZY e isto pode ser satisfeito por: 
 
 zz YZ2
YZ
1S eV+eVV
−
= que é a solução geral para V 
 
onde: V1 e V2 são constantes com dimensão de tensão cujos valores devem ser levantados a partir de pontos 
conhecidos da função; 
zYZ
1S eVV
−+
= é a onda incidente e 
zYZ
2S eVV =
− é a onda refletida. 
 
A solução geral para I é obtida por: dI
dz
S = − Y( VS
+ + VS
− ) 
mas Y = Y YZZ
Y
YZ
Z
Y
2
= = 
 
vem: dI
dz
S = − YZ
Z
Y
 ( VS
+ + VS
− ) como zYZ1S eVV
−+
= e zYZ2S eVV =
− integrando-se: ∫ = aee
ax
ax 
 
( )zz YZ2YZ1S eVeV
Y
Z
1I −= − que é a solução geral para I 
 
 5 - Impedância característica Z0 de uma linha e a constante de propagação. 
 
sem uma onda refletida (linha casada) em toda a linha a relação entre VS e IS é: 
 V
I
V e
Z
Y
V e
Z
Y
S
S
1
YZ
1
YZ
= 





=
−
−
z
z1
 
 
sendo portanto função unicamente das característica da linha. A dimensão de ZY é: 
Ω
Ω Ωm mho
m
= =
2 
 
Denomina-se esta relação de “impedância característica” com símbolo Z0 
 
Pode-se definir então: “Impedância característica de uma linha é a relação entre a tensão e a corrente em 
uma linha casada”. 
 
Z0 = 
R + j L
G + j C
ω
ω
 
 
É portanto um número imaginário assim como ηηηη no espaço livre! 
 
em freqüências altas R <<<<< jωL e G <<<<< jωC e a equação se aproxima de uma linha sem perdas 
(R=0 e G=0): 
 61 
 
 
Z0 = 
L
C
 
 
É portanto um número real assim como ηηηη no espaço livre! 
 
V representa a propagação de E assim como I representa a propagação de H. Portanto: 
 
ExS=E+xoe−γz+ E−xoeγz e zz YZ2
YZ
1S eV+eVV
−
= vem que a constante de propagação é γ = YZ ou 
 
 γ = ( )( )R + j L G + j Cω ω 
 
que em freqüências altas R <<<<< jωL e G <<<<< jωC e a equação se aproxima de uma linha sem 
perdas (R=0 e G=0): 
γ = ( )( )j L j C j LC j LCω ω ω ω= =2 ∴ β ω= LC 
 
 
6 - Tensões e correntes em fasores vistas do gerador (a uma distância "d" do gerador) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
nas soluções gerais: zz YZ2
YZ
1S eV+eVV
−
= e ( ) ( )zzzz YZ2YZ 1
0
YZ
2
YZ 
1S eVeVZ
1eVeV
Y
Z
1I −=−= −− 
 
• Tensões e correntes em fasores vistas da geração: 
 
nos terminais de alimentação z=0 ; Vs = IeZe e Is=Ie: IeZe=V1+V2 e IeZ0=V1 −V2 
 
portanto: ( )
2
ZZIV 0ee1
+
= e ( )
2
ZZIV 0ee2
−
= 
 
e assim à uma distância "d" da geração e portanto com z=dvem: 
 
 ( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z ed e e 0 d e 0 d( ) = + + −−γ γ 
 
 ( ) ( )[ ]I I2Z Z Z e Z Z ed e 0 e 0
d
e 0
d
( ) = + − −
−γ γ 
 
• Tensões e correntes em fasores vistas da carga: 
 
~ 
Rg 
Vg Ve 
Ie 
VC 
IC I 
V 
d L 
Z 
Z=0 
ZC Ze 
 62 
Com a origem dos eixos na geração para um comprimento de linha igual a z estamos na carga e portanto 
temos: Vs = ICZC e Is = IC 
 
 Substituindo-se nas equações gerais vem: 
 
2
)Z(ZIV 0CC1
+
= e 
2
)Z(ZIV 0CC2
−
= ∴ invertendo-se a direção do eixo z e levando-se a origem para a 
carga, em uma distância L contada a partir da carga tem-se: 
 
( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z eL C C 0 L C 0 L( ) = + + − −γ γ 
 
 
( ) ( )[ ]I I2Z Z Z e Z Z eL C0 C 0 0( ) = + − −
−γ γL
C
L 
 
 
7 - Coeficiente de reflexão generalizado Γ(L) em qualquer ponto da linha a L metros da carga e linha casada: 
 
( ) ( )[ ]I I2Z Z Z e Z Z eL C0 C 0 0( ) = + − −
−γ γL
C
L 
 
( )
( )Γ( )L +
C 0
0
C 0
0
V
V
Z Z e
Z Z e
Z Z
Z Z
e= =
−
+
=
−
+
−
−
−
γ
γ
γ
L
C
L
C
L2 Γ( )L C 0
0
Z Z
Z Z
e= −
+
−
C
L2γ que um complexo e Γ(L)=ΓLm|φLm 
 
• na carga com L=0 resulta em ΓC C 0
0
Z Z
Z Z
=
−
+C
 ∴ Γ Γ( )L e=
−
C
L2γ e 
 
 
• com a linha em curto circuito ZC = 0 logo ΓC C 0
0
0
0
Z Z
Z Z
0 Z
0 Z
=
−
+
=
−
+
= −
C
1 (onda pura estacionária) 
 
• com ZC=Z0 a linha esta casada com a carga e não tem reflexões e Γ(L)= ΓC = 0 . Não existe perda de 
potência a ser transmitida para a carga. exceto aquela perdida no condutor e dielétrico. A carga pode ser 
uma continuação da linha de transmissão em uma outra placa de um computador e no caso de cabos um 
dispositivo externo adicional pode prover este casamento de impedâncias. 
 
Neste caso nas equações a partir da carga tem-se: 
( )V I
2
2Z e I Z e V eL C C
L
C C
L
C
L
( ) = = =
γ γ γ e ( )I I
2Z
2Z e I eL C
0
0
L
C
L
( ) = =
γ γ 
também V
I
Z0= em qualquer ponto da linha e 
V
I
V
I
= Z Z(L)
(L)
C
C
C 0= = 
 
resumindo em uma linha casada: V V eL C
L
( ) =
γ ; I I eL C
L
( ) =
γ e V
I
Z0= 
 
 
8 - Impedância refletida ou impedância de entrada 
 
V+ V− 
 63 
Ao longo de uma linha sem casamento a impedância é obtida pela relação entre V e I. Esta seria uma 
impedância que seria lida através de um aparelho medidor de impedâncias conectado a um ponto situado a 
uma distância "L" da carga. Usando-se as formulas de V e I visto do terminal de saida ou seja onde esta 
situada a carga, vem: 
 
 ( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z eL C C 0 L C 0 L( ) = + + − −γ γ e ( ) ( )[ ]I I2Z Z Z e Z Z eL C0 C 0 0( ) = + − −
−γ γL
C
L ∴ 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
V
I
Z
I
2
Z Z e Z Z e
I
2Z
Z Z e Z Z e
Z
Z Z e Z Z e
Z Z e Z Z e
L
L
(L)
C
C 0
L
C 0
L
C
0
C 0
L
C 0
L
C 0
L
C 0
L
C 0
L
C 0
L
( )
( )
= =
+ + −
+ − −
=
+ + −
+ − −
−
−
−
−
γ γ
γ γ
γ γ
γ γ0 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]Z Z
Z Z e Z Z e
Z Z e Z Z e(L)
C 0
L
C 0
L
C 0
L
C 0
L=
+ + −
+ − −
−
−
0
γ γ
γ γ (1) 
 
 
onde eγL =eαejβ= eα(cosβ + jsenβ) e e−γL =e−αe−jβ= e− α (cosβ − jsenβ) 
 
• Se ZC=Z0 (linha casada) resulta Z(L)=Z0 ou seja constante em toda a linha mesmo em uma linha com 
perdas. 
 
• Se L=0 estamos na carga e substituindo-se acima temos ZL=ZC 
 
Em (1) pode-se fazer: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )Z Z
Z e e Z e e
Z e e Z e e
Z
2Z L Z L
2Z L Z L(L)
C
L L
0
L L
C
L L
0
L L
C 0
C 0
=
+ + −
− + +
=
+
+
− −
− −
0 0
2
2
γ γ γ γ
γ γ γ γ
γ γ
γ γ
cosh senh
senh cosh
 
 
dividindo-se o denominador e o numerador por 2cosh(γL) vem: 
 
 Z Z Z jZ tgh
Z jZ tghL
C 0
0 C
=
+
+
0
γ
γ
L
L
 que em uma linha sem perdas: 
 
( )
( )
( )
( ) ( )LtgLcos2j
L2j
ee
ee
Ljcosh
Ljsenh=L)tgh(j LjLj
LjLj
ββ
β
β
ββ ββ
ββ
==
+
−
=
−
− sen 
 
portanto resulta em: ( )
( )
( )LtgjZZ
LtgjZZZZ
C0
0C
0L β
β
+
+
= 
 
• Para o caso especial de uma linha sem perdas com comprimento igual a L= λ
4
 ou para a impedância 
de entrada nesta distância tem-se nesta última relação: 
 ( )tg tg tgβ πλ
λ πL = ×  =   = ∞
2
4 2
 fazendo-se ( )
( )
( ) C
2
0
C
0
0
C
0L Z
Z
jZ
Ltg
Z
jZ
Ltg
Z
ZZ =
+
+
=
β
β ( )
C
2
0
L Z
ZZ = 
2senh(γL) 
Desenvolvendo-se por Euler 
2cosh(γL) 
 64 
• Podemos também comparar esta expressão para uma onda guiada com a obtida para a onda livre se 
propagando em um meio sem perdas: η η η η β
η η βent z− =
+
+
1
2 1 1
1 2 1
j tg L
j tg L
( )
( )
 e ve-se que é a mesma. 
 
 
9 - Tensão em um ponto dentro da linha vista da carga e em função de ΓC e V+ 
 
( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z eL C C 0 L C 0 L( ) = + + − −γ γ 
 
dividindo-se ZC+Z0 vem: 
 
[ ]VZ Z I2 e Z ZZ Z e I2 e eLC 0 C
L C 0
C 0
L C L L( )
+
= +
−
+




= +− −γ γ γ γΓC com I
V
ZC
C
C
= 
 
[ ]VZ Z V2Z e eLC 0 CC
L L( )
+
= + −γ γΓC ∴ [ ]V Z Z2Z V e eL C 0C C
L L
( ) =
+
+ −γ γΓC 
 
 
2Z
Z Z
Z Z
Z Z
V V
V
V
V
C
C 0
C 0
C 0
C
+
= +
−
+
= + =
+
=
+ −
+ +
1 1 ΓC C C
C C
 
 
 
logo [ ] [ ]V VV V e e e e VL CC C
L L L L
C( ) = + = +
+
− − +γ γ γ γΓ ΓC C assim 
 
[ ]V e e VL L L C( ) = + − +γ γΓC ≡ ( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z eL C C 0 L C 0 L( ) = + + − −γ γ 
 
 
 
10 - Para uma linha sem perdas pode-se também definir: 
 
♦ Taxa de onda estacionária. 
−+
−+
−
+
=
VV
VVs ou s = +
−
1
1
Γ
Γ
Cm
Cm
 com ΓC=ΓCm |φCm 
 
♦ A partir da carga pontos de máximo e mínimo do valor de V(L) sobre o eixo z: 
 
conforme já deduzido para a reflexão de ondas em um meio sem perdas com n=0±1;±2;±3...: 
 
⇒ Pontos de máximo: com ΓC=ΓCm |φCm 
 
βz= − βz+φCm+2πn com n=0; ±1; ±2; ±3...etc e assim: z nmax = +φ πβ
Cm 2
2
 
 
⇒ Pontos de mínimo: com ΓC=ΓCm |φCm 
 
 
as ondas deverão estar defasadas de π de forma a se subtraírem: 
 
 65 
 βz= − βz+φCm+2πn + π com n=0; ±1; ±2; ±3...etc e assim: z n +min = +φ π πβ
Cm 2
2
 
 
Os pontos de máximo e de mínimo diferem de λ
4
 
 
♦ Módulos de Zmax e Zmín 
 
( ) ( ) LCL ββ −−+ −++=+= eZZ2
IeZZ
2
IVVV 0C0CC)L( e 
( ) ( ) LCL ββ −−+ −−+=+= eZZ2Z
IeZZ
2Z
IIII 0
0
C
0C
0
C
)L( 
 
Para um ponto da linha em que V+ e V− estão em fase eβL = e− βL e tem-se uma interferência construtiva 
para a tensão e uma interferência destrutiva para a corrente. 
 
0+
+
Z
I
V
= e 0ZI
V
=
−
−
 ∴ Vmáx=V++V− e Imin= I I
V
Z
V
Z
+
0 0
− = −
−
+ −
 ∴ Z
V
I
Z V V
V V
Z smax
max
min
0 0= =
+
−
=
+ −
+ −
 Ω 
 
Para um ponto da linha em que V+ e V− estão desfasadas de π temos o oposto: 
 
Vmín= V+ − V− e Imáx= 
V
Z
V
Z0 0
+ −
+ ∴ Z
V
I
Z V V
V V
Z
smin
min
max
0
0
= =
−
+
=
+ −
+ −
 
 
 
11 - Outras relações válidas em quaisquer linhas: 
 
∗ Comprimento de onda λ= 2πβ metros 
 
∗ Velocidade de fase v = ωβ m/seg que em uma linha sem perdas v LC=
1 m/seg portanto independe 
da freqüência não existedistorção na transmissão de sinais. 
 Para que o mesmo aconteça em uma linha com perdas tem-se que obrigar: 
C
G
L
R
= 
 
γ = ( )( )R + j L G + j Cω ω = ( ) ( )LjR
L
CCj+
L
RCLj+R ωωω +=

 ∴ 
L
CR=α e β ω= LC 
 
assim v
LC
=
1 e existem perdas porém a velocidade de propagação independe da freqüência. 
 
Neste caso tem-se também: Z0 = C
L
Cj+L
RC
Lj+R
Cj+G
Lj+R
==
ω
ω
ω
ω constante ao longo da linha. 
 
∗ Em uma linha casada e sem perdas o comprimento elétrico Ψ de uma linha: Ψ=βz’ rad. 
 onde: z’ é igual ao comprimento da linha. 
 Ψ corresponde ao desfasamento total ao longo da linha 
 
 66 
 
 
 
12 - Obtenção de parâmetros de linhas de transmissão 
 
a) para um cabo coaxial 
C= 2πε
ln b
a
 F/m ; Lext= 
π
µ
2
a
b
ln
 H/m 
 
Existem fórmulas que permitem o cálculo das indutâncias internas tanto do condutor interno quanto do 
externo, mas como já visto são insignificantes e portanto na prática não são normalmente usadas. 
 
A resistência é encontrada pela soma das resistências dos dois condutores. Para um coeficiente de 
penetração pequeno nos dois condutores e portanto δ <<< a e δ <<< c − b: 
R 1
a
1
b
= +
 
1
2πσ δCondutor
Ω/m 
 
onde σCondutor é a condutividade do condutor na freqüência de operação. 
 
A condutância G já foi demonstrada: 
 G= 2πσ Dieletrico
ln b
a
 mho/m 
 
onde σDielétrico é a condutividade do dielétrico entre os condutores na freqüência de operação. 
 
 
b) para uma linha paralela bifilar 
 
 
 
C d
a
=
πε
arccosh
2
 F/m L
d
a
ext =
µ
π
arccosh 2 H/m 
Condutorπδσa
1R = Ω/m G d
2a
=
πσ Dieletrico
arccosh
 
mho/m 
 
onde σDielétrico também é a condutividade do dielétrico entre os condutores na freqüência de operação e 
σCondutor a condutividade do metal utilizado no condutor. 
 
 
c) para linha com planos paralelos 
 
 
 
 
C b
d
=
ε F/m L d
bext
=
µ H/m R
b
=
2
σ δCondutor
 Ω/m G b
d
=
σ Dieletrico mho/m 
 
onde σDielétrico também é a condutividade do dielétrico entre os condutores na freqüência de operação e 
σCondutor a condutividade da tira. 
a b 
c 
d 
t 
b Dielétrico ε; µ; σD 
Dielétric
o 
µ ;ε ; σ 
d a 
Dielétrico ε; µ; σD 
σCondutor 
σ 
 67 
 
EXEMPLO: Calcular a largura de uma tira paralela com Z0=50 Ω em um circuito impresso tendo um 
substrato com 2mm de espessura e com a) εR = 2,25 b) εR = 10. Considere que as perdas são desprezíveis. 
 
R=0 e G=0 
rε
π
ε
µ
ε
µ 1
b
d120
b
d
db
bd
C
LZ0 ==== ∴ 
rε
π
1
b
0,00212050 = ∴ 
rε
10151,0b = 
 
a) εR = 2,25 ? b=0,0101 m b) εR = 10 ?b= 0,0048 m 
 
 
EXEMPLOS: 
 
 
1) Linha "linha casada" e sem perdas. 
 
Dados: 
α=0 
β=0,8π rad/m 
Vg=60 V (pico) 
ZG =300 Ω 
ZC = Z0= 300 Ω 
z = 2 metros 
f=100 MHz 
Pede-se: IC=? ; VC = ? ; PC=? 
 
Este exemplo corresponde a alimentação de um monitor por uma placa de vídeo com tensão aumentada de 
105 vezes. 
 
Como ZC = Z0= 300 Ω a linha é casada e Ze =ZC = Z0= 300 Ω 
 
Ψ=βz’=2×0,8π = 1,6π radianos ou 288° e representa a defasagem total ao longo da linha. 
 
10,0
300300
60
ZZ
V
I
e
g
e =
+
=
+
=
g
 A ou Ie=0,1cos(2π108t) (com z = 0) 
 
Ve= Ie×Ze=0,1x300=30 V ou Ve=30cos(2π108t) 
 
 ( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z ed e e 0 d e 0 d( ) = + + −−γ γ com Ze=Z0 e α=0 
 
 V(d)=IeZee−jβd= Vee−jβd em notação exponencial V(d) = Vee−jβd ejωt com ω=2πf=2π×108 
 
com d=2 estamos na carga logo V(C)= 30ejωt e−j0,8π×2 V(C)=30cos(2π×108t −1,6π) V 
 
I V
ZC
C
C
= ∴ I(C)=
30
300
cos(2π×108 −1,6π)= I(C)=0,1 cos(2π×108t −1,6π) Amp. 
 
PC=
1
2
 |Ve||Ie|=
1
2
30×0,1 =1,5 W 
 
~ 
ZG
Vg Ve 
Ie 
VC 
IC I 
V 
d L 
Z 
Z=0 
ZC Ze 
 68 
V e I estão em fase em toda a linha porque a linha é casada e a carga puramente resistiva 
 
 
2) Linha com reflexão e sem perdas. 
 
Coloca-se mais uma carga de 300 W em paralelo e assim ZC=150 Ω que eqüivale a um novo monitor 
ligado na mesma placa de vídeo. Nesta hipótese temos que calcular Ze: (no outro caso tinha-se Ze porque a 
linha era casada) 
 
∗ Impedância na entrada da linha: 
 
Linha sem perdas e L=2metros da carga: 
 
( )
( )
( )
( )Z Z
Z jZ tg L
Z jZ tg L
300
150 j300tg
300 j150tge 0
C 0
0 C
=
+
+
=
+
+
= ∠ −
β
β
π
π
1 6
1 6
510 23 80
,
,
, =466,63 − j205,81 Ω 
 
que é uma impedância capacitiva significando a linha se comporta como um capacitor para o gerador da 
placa de vídeo. 
 
∗ Corrente e tensão na entrada: 
 
0
e
g
e 150765,081,205j63,466300
60
ZZ
V
I ∠=
−+
=
+
=
g
 
 
Ve= Ie×Ze = 0,0765|150×510|−23,80 = 38,5|−8,80 
 
contra 30 V do caso anterior e esta diferença para mais pode ser explicada pela soma da onda refletida com 
a do gerador na entrada. 
 
∗ Potência entregue à linha pela placa de vídeo e recebida pelo monitor: 
 
como a linha é sem perdas: Pe = PC=
1
2
 R|Ie|2=
1
2
466,63×0,07652 =1,333 W 
 
Não existe perdas na linha mas só foi entregue à linha e chegou na carga um valor 1,333 W contra 1,5 W 
do exemplo anterior em que a linha estava "casada". Parte da potência fica armazenada na linha sob forma 
de "potência reativa" e cada monitor só recebe 1,333/2=0,667 watts apenas piorando a imagem. 
 
 
∗ Corrente e tensão na carga: 
 
( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z ed e e 0 d e 0 d( ) = + + −−γ γ com Ze ≠ Z0 , α=0 e d=2 para estar na carga e demais dados já 
calculados. 
 
( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z ee e 0 d e 0 dC j j= + + −− β β 
 
( ) ( )[ ] 06,1006,1000 28820e030023,8510e030023,8510
2
150,0756V −∠=∠−−∠+∠+−∠∠= − ππ jjC V 
 
 69 
I V
ZC
C
C
= =
∠ −
= ∠ −20 288
150
0 139 288
0
0, em fase com VC porque a carga é resistiva! 
 
 
A presença da onda refletida modifica o angulo de defasagem 
 entre a entrada e a carga de −288° (1,6π) para: 
− 288 −(−8,8)= −279,2°. 
 
 
∗ Pontos de máximos valores do módulo da tensão, com ΓC=ΓCm |φCm 
 
ΓC C 0
0
Z Z
Z Z
150 300
150 300
=
−
+
=
−
+
= − = ∠
C
1
3
1
3
1800 ∴ ΓCm =
1
3
 e φCm = 1800 =π 
 
 
z n n nmax =
+
=
+
×
=
+φ π
β
π π
π
m 2
2
2
2 0 8
1 2
1 6, ,
 com n=0; ±1; ±2; ±3...etc e assim com distâncias a partir da carga: 
 
n=0 : zmax=0,625 m ; n=1 : zmax= 1,875 m ; n=2 : zmax= 3,13 m (fora da linha!!) 
 
∗ A tensão em um ponto de máximo: 
 
( ) ( )[ ]625,08,000625,08,0000max(L) e03000150e030001502
2880,139V ××− ∠−∠+∠+∠−∠= ππ jj = 016240∠ V 
∗ taxa de onda estacionária: s = +
−
=
+
−
=
1
1
1 1
3
1 1
3
2Γ
Γ
Cm
Cm
 
portanto também |Zmax| = Z0s = 300×2=600 Ω e |Zmin| = Z0/s = 150 Ω 
 
∗ corrente mínima: I
V
Z
V
Z smin
max
max
max
0
= = =
×
=
40
2 300
0 067, A como Imin ocorre com Vmax tem-se: 
Imin=0,067 |162º 
 
∗ Pontos de mínimo diferem dos pontos de máximo de 625,0
8,04
2
4
=
×
=
π
πλ m logo: 
 zmin = (0,625+0,625)=1,25 m , (0,625−0,625) = 0 (na carga) e (1,875+0,625)= 2,5 m (fora da linha!!). 
 
∗ Tensão no ponto de mínimo situado na carga: 0min 28820V −∠= (valor da tensão na carga já 
calculado) 
 logo 2
20
40
VV
VV
V
V
min
max
==
−
+
=
−+
−+
= s 
 
∗ Módulo da corrente máxima: 
150
20I
Z
V
Z
V
I C
C
C
min
min
max ==== = 0,133 A 
 
como a carga é puramente resistiva na carga: Imax= 0,133| − 288ºVccasado=30 
V
Vec/refletida=38,5 
Vecasado=30 720 
8,80 
−279,20 
 70 
pode-se fazer também com o mesmo resultado: 133,0
2
300
200
s
Z
V
I
0
min
max === A 
 
Gráficos dos módulos da tensão corrente e impedância ao longo da linha com distancias contadas a 
partir da geração: 
 
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
V( )d
d
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0.05
0.1
0.15
I( )d
d
 
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
200
400
600
Z( )d
d
 
 
3) Linha com perdas: linha telefônica interligando dois computadores de grande porte com: 
 
L= 160 km 
Z0=685−j92 Ω 
γ=0,0031+j0,022 km−1 
ZC=2000+j0 Ω 
Eg=10 V (eficazes) 
Zg=700+j0 Ω 
 
pergunta-se Ze ; Ie ; Ve ; Pe ; I C ; VC ; PC=? 
 
Defasagem ao longo das linha: Ψ=βz’=160x0,022=3,52 rad.=201,680 
 
Atenuação total: αL=0,0031x160=0,496 Nepers 
 
γL=0,496+j3,52=3,555|81,98° 
 71 
 
eγL =e0,497ej3,52=1,6438(cos3,52+jsen3,52)= −1,52− j0,615=1,639| −157,97° 
 
 
e−γL = e−0,497e−j3,52=0,6084(cos3,52−jsen3,52)= −0,5654+j0,2247= 0,6084|158,33° 
 
 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]Z Z
Z Z e Z Z e
Z Z e Z Z e(L)
C 0
L
C 0
L
C 0
L
C 0
L=
+ + −
+ − −
−
−
0
γ γ
γ γ 
 
 
( ) ( )
( ) ( )Z j
2000 j 1,639 159,97 2000 j 0,6084 158,33
2000 j 1,639 159,97 2000 j 0,6084 158,33e
0 0
0 0= −
+ − ∠ − + − + ∠
+ − ∠ − − − + ∠
685 92
685 92 685 92
685 92 685 92
 
 
 
Ze=861−j325= 919|−20,70 Ω 
 
 
I
V
Z Z
10
700 j325e
g
g e
=
+
=
+ −
= ∠
861
0 00627 11 760, , 
 
 
Ve= Ze × Ie =919|−20,70 ×0,00627|11,760=5,75|8,940 
 
 
Pe = R|Ie|2=861×0,006272 =33,8 mW 
 
na carga tem-se: 
 
( ) ( )[ ]V I2 Z Z e Z Z ee e 0 d e 0 dC = + + −−γ γ 
( ) ( )[ ]V 0,00627 11,762 j j 0,6084 158,3 j j
0
0
C =
∠
− + − ∠ + − − + ∠ −861 325 685 92 861 325 685 92 1 639 157 970, , 
 
VC=4,49|156,940 V 
 
I V
Z
4,49 156,94
2000C
C
C
0
= =
∠
= ∠0 002245 156 940, , A 
 
PC=0,002245x4,49=10,86 mW <<<<<< Pe 
 
Se a linha fosse “casada” Ze = Zc = Z0 = 685 − j92 
 
I
V
Z Z
10
700 j92e
g
g e
=
+
=
+ −
= ∠
685
0 0072 0 0663, , rad = 0,00720 ej0,0663 
 
Ve=ZeIe= 0 0072 0 0663 6911505 0 1335 4 98 0 0672, , , , , ,∠ × ∠ − = ∠ − rad = 4,98 e−j0,0672 
 
Pe = 685 × 0,00722 = 0,03551 = 35,51 mW (aumentou a potência de entrada) 
 
 72 
V V = V = Z I e V ed (d=160) C e e
d
e
d
( ) = =
− −γ γ = 4,98×e−0,496×e−j3,52× e−j0,0672 = 3,032 |2,69 rad 
 
I I = I = I e =d (d=160) C e
d
( ) =
−γ 0,0072×e−0,496×e−j3,52× ej0,0663 = 0,00438 |2,83 rad 
 
PC = VI = 3,032 × 0,00438 = 0,01327 = 13,27 mW 
 
♦ desfasamentos 
ângulo na entrada = − 0,0672 − 0,0663 = − 0,1335 
 
ângulo na carga = 2,69 − 2,83 = − 0,1335 
 
para Z0 = 685 − j92 = 6911505 0 1335, ,∠ − , 
 
portanto V
I
Z0= constante ao longo da linha ainda que com atenuação