NIVELAMENTO_MAT_UNIDADE_II

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UNIVERSIDADE DE ITAÚNA 
Nivelamento em Matemática 
Prof. Tarcísio Valério Diniz 1
UNIDADE II – NOÇÕES ALGÉBRICAS 
I - ) MONÔMIOS 
1-) Monômio a uma variável 
Chamamos monômio a uma variável a toda expressão da forma nxa . onde Ra ∈ (coeficiente), 
Nn ∈ ( expoente da variável ). A letra “x” é chamada de variável, pois pode assumir qualquer 
valor real. 
Exemplo: 3
7
5
x− 







=
=
=−
iávelx
iáveldaoente
ecoeficient
var
varexp3
7
5
 
Obs: A variável não tem necessariamente de ser representada pela letra “x” , podendo ser 
qualquer letra do alfabeto. 
Se no monômio 3
7
5
x− fizermos 2−=x , seu valor numérico passa a ser ( ) ( )8.
7
52.
7
5 3
−−=−− 
= 
7
40
+ 
O grau de um monômio de uma variável é dado pelo valor do expoente dessa variável. O 
monômio do exemplo acima é de terceiro grau. 
2-) Monômio com mais de uma variável 
Como o nome já indica, é o monômio que possui mais de uma variável e elas formam um 
produto. Exemplo: 23
7
5 yx− é um monômio de duas variáveis ( x e y ). 
Neste caso, o grau do monômio é dado pela soma dos expoentes das variáveis. O monômio 
do nosso exemplo é de quinto grau. 
Um monômio é dividido em duas partes: coeficiente ( parte numérica ) e parte literal 
( expressão formada pelas letras ). 
No nosso exemplo, o coeficiente é 
7
5
− e a parte literal é 23 yx . 
3-) Monômios semelhantes 
Dois monômios são semelhantes quando têm a mesma parte literal. Ex: 23
7
5 yx− e 
239 yx são monômios semelhantes. 
 
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4-) Operações com monômios 
A-) Adição e Subtração 
Somente podemos somar ou subtrair monômios que forem semelhantes e para isto, somamos 
ou subtraímos os coeficientes e conservamos a parte literal. 
Exemplos 
1-) 222 853 xxx =+ 
2-) 535353 572 yxyxyx =+− 
Obs: A adição 23 32 xx + não pode ser efetuada pois os monômios não são semelhantes. 
B-) Multiplicação 
Mostraremos a multiplicação através de exemplos: 
1-) ( ) ( ) 853253 105.2 yxyxyx = ( veja que multiplicamos os coeficientes e somamos os 
expoentes das variáveis pois para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base 
e somamos os expoentes. ) 
2-) ( ) ( ) 28525332 62.3 dcbadbacba = 
C-) Divisão 
Procedemos do mesmo modo da multiplicação 
Exemplos: 
1-) ( ) ( ) 32525 43123:12 xxxxx == ( na divisão de potências de mesma base conservamos a base 
e subtraímos os expoentes. 
2-) ( ) ( ) 332 45245 23232:3 yxyx yxyxyx == 
D-) Potenciação 
Para elevarmos um monômio a um expoente, elevamos o coeficiente e a parte literal a esse 
expoente. 
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Exemplos: 
1-) ( ) ( ) 20124534453 16.22 yxyxyx == ( Para efetuarmos uma potência de outra potência, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes.) 
2-) 246
2
23
9
4
3
2
cbacba =





− 
E-) Radiciação 
Procedemos do mesmo modo da potenciação 
Exemplos: 
1-) 53106 525 yxyx = ( Note que os expoentes das variáveis foram divididos por 2, que é o 
índice da raiz.) 
2-) 53106 77 yxyx = 
II - ) POLINÔMIOS 
Chamamos polinômio à soma indicada de dois ou mais monômios não semelhantes. 
Se forem dois monômios, teremos um polinômio chamado de binômio e se forem três, 
trinômio. Se forem quatro ou mais, será chamado simplesmente de polinômio 
Exemplos: 
1-) 53 2 +x
 
é um binômio de uma variável. 
2-) yxyxyx 352 5423 +− é um trinômio de duas variáveis. 
O grau de um polinômio é dado pelo grau do monômio de maior grau. Assim, nos exemplos 
acima, o primeiro é um polinômio de segundo grau e o segundo, um polinômio de nono grau. 
Valor Numérico de um Polinômio 
É o valor que o polinômio assume quando atribuímos valores numéricos às suas variáveis. 
Exemplo: calcule o valor numérico do polinômio ( ) 51032 23 −++−= xxxxP quando 2−=x . 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
35201216
52104382
521023222 23
=−−+=
−−×++×+−×−=
−−+−+−−=−P
 
 
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Operações com polinômios 
Iremos enfocar em nosso curso as operações com polinômios a uma variável. 
1-) Adição e Subtração 
Fazemos as adições e subtrações dos monômios semelhantes , montando um novo polinômio 
Veja o exemplo seguinte: 
Sejam ( ) 51032 23 −++−= xxxxP e ( ) 1745 23 ++−= xxxxQ 
Calcule: 
A) ( ) ( )xQxP + 
B) ( ) ( )xQxP − 
Solução: 
A) ( ) ( )xQxP + = ( ) +−++− 51032 23 xxx ( )1745 23 ++− xxx 
 = 51032 23 −++− xxx + 1745 23 ++− xxx 
 = 157104352 2233 +−++−++− xxxxxx 
 = 4173 23 −+− xxx 
B) ( ) ( )xQxP − = ( ) −−++− 51032 23 xxx ( )1745 23 ++− xxx 
 = 51032 23 −++− xxx - 1745 23 −−+ xxx 
 = 157104352 2233 −−−+++−− xxxxxx 
 = 6377 23 −++− xxx 
2-) MULTIPLICAÇÃO 
Multiplicamos cada monômio do primeiro polinômio por cada monômio do segundo, juntamos os 
monômios semelhantes e formamos um novo polinômio 
Ex: Considerando os polinômios ( )xP = 532 23 −+− xx e ( )xQ = 1745 23 ++− xxx calcule 
 
 
( ) ( )xQxP ×
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15754555 13734353
12724252
23
222232
332333
+×−++×−+−×−×+×−+
+×+++×++−×+++×++
+×−++×−+−×−++×−=
xxx
xxxxxxx
xxxxxxx
 
Fazendo os produtos, temos: 
53520253211215214810 2323453456 −−+−++−+−−+− xxxxxxxxxxx 
Agrupando e ordenando os termos semelhantes: 
( ) ( ) ( ) ( ) 53520325212121415810 2233344556 −−+++−+−+−−++++− xxxxxxxxxxx 
= 535236262310 23456 −−+−−+− xxxxxx que é o resultado da multiplicação. 
3-) Divisão 
Trataremos neste item operações que envolvem polinômios de uma variável. 
A-) Divisão de polinômio por monômio 
Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio 
Ex: ( ) ( ) xxxxxxx 5346301824 24235 −+−=−÷+− 
B-) Divisão de polinômio por polinômio 
Usaremos o método da chave que montaremos a seguir: 
- Ordenamos e completamos os polinômios dividendo e divisor 
- Colocamos na chave de divisão e começamos a operação que descreveremos passo a passo a seguir, 
utilizando de um exemplo. 
Seja calcular o quociente e o resto da divisão seguinte: 
( ) ( )37353 234 +÷−+− xxxx 
1º passo: 3073053 2234 ++−++− xxxxxx 
Observe que os termos 20 x e x0 foram colocados para completar os polinômios em potências 
decrescentes de x 
 
 
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2º passo: Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, colocamos 
abaixo da chave e, a seguir, multiplicamos o resultado encontrado por cada termo do 
polinômio divisor, invertemos os sinais e colocamos abaixo do dividendo, somando as 
parcelas e obtendo o primeiro resto. 
 3073053 2234 ++−++− xxxxxx 
 
 
3º passo: Baixamos o próximo termodo dividendo,dividimos o primeiro termo do resto pelo 
primeiro termo do divisor, colocamos abaixo da chave e, a seguir, multiplicamos o resultado 
encontrado por cada termo do polinômio divisor, invertemos os sinais e colocamos abaixo do 
resto, somando as parcelas e obtendo o segundo resto. 
 
 3073053 2234 ++−++− xxxxxx 
 
 
 
4º passo: procedemos como no terceiro passo e concluímos a divisão. 
 
 
 3073053 2234 ++−++− xxxxxx 
 
 
 
 
 
 
Observe que neste método, repetimos a operação até que o resto da divisão ficou com o grau 
menor que o grau do divisor. 
Portanto, o quociente da divisão é ( ) 953 2 −−= xxxQ e o resto ( ) 2018 += xxR 
Quando o resto da divisão é zero, dizemos que um polinômio é divisível pelo outro. 
 
23 x234 903 xxx −−−
23 95 xx −−
x3+
23 x
234 903 xxx −−−
23 95 xx −−
x5−
xxx 1505 23 ++
x3+
xx 189 2 +− 7−
9−
2709 2 ++ xx
2018 +x
x5−234 903 xxx −−−
23 95 xx −−
xxx 1505 23 ++
23 x
xx 189 2 +−
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4-) Divisão por ( )cx − 
Teorema do resto: 
 
 O resto da divisão de um polinômio por ( )cx − é igual a ( )cP 
 
Exemplo: Determine o resto da divisão de ( ) 3752 23 −+−= xxxxP por ( ) 2−= xxQ 
( ) ( ) ( ) ( ) 32.72.52.22 23 −+−=P = 7 
Assim, o resto da divisão de ( ) 3752 23 −+−= xxxxP por ( ) 2−= xxQ é igual a 7 
Verificação: 3752 23 −+− xxx 2−x 
 
 
 
 
Observe que o resto da divisão ficou igual a 7 como estava previsto. 
Para efetuarmos a divisão de um polinômio por podemos usar um dispositivo 
chamado dispositivo prático de Briot-Ruffini, que descreveremos a seguir, utilizando o 
exemplo anterior: 
1º passo: 
 
 
O número 2 colocado no dispositivo é o valor de c em x - c 
 
 
Os número 2 , - 5, 7, - 3 são os coeficientes do polinômio dividendo. 
 
 
22 x
23 42 xx +−
xx 72 +−
x−
xx 22 −
35 −x
5+
105 +− x
7
( )cx −
2
2 3752 −−
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2º passo: baixamos o primeiro coeficiente : 
 
 
3º passo: Efetuamos as operações indicadas abaixo, pelas setas 
 
 
 
4º passo: procedemos como no terceiro passo até chegarmos ao último número. 
 
 
5º passo: colocamos as variáveis no quociente obtido: 
 
 
 
 
 
Portanto, o resultado da divisão é 52 2 +− xx e o resto é ,o que confere integralmente com 
o resultado obtido pelo método da chave feito anteriormente. 
A nossa sugestão é que você refaça os exemplos contidos neste texto, seguindo as 
orientações dos mesmos e, a partir daí, resolva os exercícios que serão sugeridos. 
III- PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
A-) Quadrado da soma de dois termos 
( ) ( ) ( ) 22222 2 bbaababbaabababa ++=+++=+×+=+ 
Então, ( ) 222 2 bbaaba ++=+ 
Aplicação: calcule: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )255323253 3322232 yyxxyx +××+=+ 
2 3752 −−
2
2 3752 −−
2 1−
+
5
2 3752 −−
2
× +
1−
7
2 3752 −−
2 1−
+
5 7
2x x
7
RESTO
DIVISOR
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Daí, ( ) 10536253 912432 yyxxyx ++=+ 
B-) Quadrado da diferença entre dois termos 
( ) ( ) ( ) 22222 2 bbaababbaabababa +−=+−−=−×−=− 
Temos, ( ) 222 2 bbaaba +−=− 
Aplicação: calcule: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )255323253 3322232 yyxxyx +××−=− 
Portanto, ( ) 10536253 912432 yyxxyx +−=− 
 
C-) Produto da soma pela diferença de dois termos 
( ) ( ) 2222 bababbaababa −=−+−=−×+ 
Então, ( ) ( ) 22 bababa −=−×+ 
Aplicação: calcule: ( ) ( ) ( ) ( ) 6423223232 259535353 yxyxyxyx −=−=−×+ 
Concluímos : ( ) ( ) 643232 2595353 yxyxyx −=−×+ 
D-) Quadrado da soma de três termos 
( ) ( ) ( ) 2222 cbcaccbbabcabaacbacbacba ++++++++=++×++=++ 
Ou seja, ( ) cbcabacbacba 2222222 +++++=++ 
Veja o exemplo: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )532522322532532 232322223223 ×−×+××+−××++−+=+− yxyxyxyx 
Teremos: ( ) 232346223 3020122594532 yxyxyxyx −+−++=+− 
E-) Cubo da soma de dois termos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3222232223 222 bbabababaabbaababababa +++++=++×+=+×+=+ 
Daí, ( ) 32233 33 bbabaaba +++=+ 
Veja o exemplo: 
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3222322333323 3323323232 yyxyxxyx +××+××+=+ 
Efetuando os cálculos: 
 
 
F-) Cubo da diferença de dois termos 
Quando fazemos ( ) 3ba − , do mesmo modo que fizemos o cubo da soma no item E, 
encontramos: 
 
Veja o exemplo: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3222322333323 3323323232 yyxyxxyx −××+××−=− 
Efetuando os cálculos: 
 
 
OBSERVAÇÃO 
Existem dois produtos que não são muito difundidos no ensino médio, porém são de grande 
importância para facilitarem vários cálculos algébricos. 
A-) ( ) ( ) 3332222322 babbaabbabaabbaaba +=+−++−=+−×+ 
Portanto, ( ) ( ) 3322 babbaaba +=+−×+ 
Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) 363322242 12527532515953 yxyxyyxxyx +=+=+−×+ 
B-) ( ) ( ) 3332222322 babbaabbabaabbaaba −=−−−++=++×− 
Portanto, ( ) ( ) 3322 babbaaba −=++×− 
Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) 363322242 12527532515953 yxyxyyxxyx −=−=++×− 
 
IV-) FATORAÇÃO 
Uma parte da álgebra que é de grande importância para simplificações de expressões, é a 
fatoração. 
Fatorar um polinômio, significa transformá-lo em um produto. 
Existem algumas regras básicas de fatoração que merecem ser estudadas. 
 
( ) 643269323 275436832 yyxyxxyx +++=+
( ) 32233 33 bbabaaba −+−=−
( ) 643269323 275436832 yyxyxxyx −+−=+
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A-) Colocar em evidência um fator comum 
Considere o polinômio ( ) 423453 241812 yxyxyxxP −+= . 
Este polinômio poderia ser escrito sob a forma: 
( ) ( )yxyxyxxP 432.6 2232 −+= que é a forma fatorada do polinômio. 
Observe que os monômios dentro dos parênteses são o resultado da divisão de cada 
monômio do polinômio dado por 326 yx que é chamado fator comum entre os termos do 
polinômio e foi colocado em evidência ( à vista, destacado ). 
Quando efetuamos as operações indicadas no polinômio fatorado, voltamos ao polinômio 
original. 
O fator comum deve ser o maior divisor comum entre os termos. 
B-) Fatoração por agrupamento 
Existem polinômios que não tem um fator comum em todos os termos, porém, quando os 
agrupamos, temos fatores comuns dentro dos grupos. 
Para fatorar esses polinômios, usamos a mesma técnica da fatoração por evidência duas 
vezes. 
Veja o exemplo: 
( ) 162045 23 +−−= xxxxP 
 
 
Ou seja, ( ) ( ) ( )45.445.2 −−−= xxxxP 
O polinômio ainda não está fatorado mas contém em seus dois termos um fator comum que é 
45 −x 
Usando novamente a técnica da fatoração por evidência: 
( ) ( ) ( )4.45 2 −−= xxxP que é a forma fatorada do polinômio dado. 
As outras técnicas de fatoração são oriundas dos produtos notáveis, através de uma análise 
invertida. 
 
 
( )45.2 −xx ( )45.4 −− x
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C-) Trinômio quadrado perfeito 
( ) 222 2 babbaa +=++ 
( ) 222 2 babbaa −=+− 
Vejamos como identificar um trinômio quadrado perfeito e como efetuar sua fatoração através 
de exemplos: 
Ex 1: 93025 3264 ++ yxyx 
Observemos que o último sinal é + ( condição obrigatória ) e a seguir: 
 
3264 525 yxyx = ( o primeiro e o último termos têm raízes exatas ) 
 39 = 
A seguir, façamos o seguinte teste: 
 
3264 525 yxyx = 
 39 = 
Quando acontecem as condições acima, o trinômio é quadrado perfeito e sua fatoração 
consiste em escrevê-lo na forma de um quadrado da soma, ou seja, 
 ( ) ( ) ( )35353593025 32322323264 +•+=+=++ yxyxyxyxyx , que é 
sua forma fatorada. 
Ex 2: 93025 3264 +− yxyx 
Observemos que o último sinal é + ( condição obrigatória ) e a seguir: 
 
3264 525 yxyx = ( o primeiro e o último termos têm raízes exatas ) 
 39 = 
A seguir, façamos o seguinte teste: 
 
3264 525 yxyx = 
 39 = 
médiotermooéqueyxyx 3232 30352 =••
médiotermooéqueyxyx 3232 30352 =••
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Quando acontecem as condições acima, o trinômio é quadrado perfeito e sua fatoração 
consiste em escrevê-lo na forma de um quadrado da soma, ou seja, 
( ) ( ) ( )35353593025 32322323264 −•−=−=+− yxyxyxyxyx , que é sua forma fatorada. 
D-) Diferença de dois quadrados 
Observe o binômio 2549 46 −yx 
( ) ( )5757525
749
2323
2346
−•+⇒=
=
yxyx
yxyx
 
Que é a forma fatorada do polinômio. 
E-) Soma e diferença de dois cubos 
A-) 278 3 +x 
( ) ( )96432327
28
23
3 3
+−•+⇒=
=
xxx
xx Portanto, =+ 278 3x ( ) ( )96432 2 +−•+ xxx 
 
 
B-) 6427 63 −yx 
( ) ( )1612943464
327
24223
23 63
++•−⇒=
=
yxyxyx
yxyx
 
 
 
Portanto, =+ 278 3x ( ) ( )1612943 422 ++•− xyxyx 
F-) Usando o dispositivo de Briot-Ruffini 
Quando conhecemos um número que anula um polinômio podemos fatorá-lo utilizando o 
dispositivo de Briot-Ruffini. Este método de fatoração é muito utilizado no cálculo de limites. 
Veja o exemplo: O número -2 anula o polinômio ( ) 652 3 +−= xxxP pois quando calculamos 
 
a b
2a ba . 2b
a b
2a
ba . 2b
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( ) ( ) ( ) 061016625222 3 =++−=+−×−−×=−P 
0342
65022
−
−−
 Portanto, ( ) 3422652 23 +−=+÷+− xxxxx e daí, 
 ( ) ( )3422652 23 +−•+=+− xxxxx 
EXERCÍCIOS 
01-) Calcule: 
• A) 





−×





−
232
4
5
3
2
zyxyx Resp: 243
6
5
zyx 
• B) 
4
23
2
3






− ba Resp: 812
16
81 ba 
• A) 6425 yx Resp: 325 yx 
02-) Sendo ( ) 452 3 +−= xxxP , calcule: 
• A) ( )1−P Resp: 7 
• B) 





2
1P Resp: 
4
7
 
03-) Considere os polinômios ( ) 13 35 +−+= xxxxP , ( ) 324 +−= xxxQ e ( ) 2+= xxR . 
Calcule: 
• A) ( ) ( )xQxP + Resp: 43 2345 +−−++ xxxxx 
• A) ( ) ( )xQxP × Resp: 334723 234579 +−−+++− xxxxxxx 
04-) Considerando os polinômios ( )xP e ( )xR do exercício anterior, determine o quociente e 
o resto da divisão de ( )xP por ( )xR através do método da chave. 
 Resp: quociente: 51261363 234 +−+− xxxx 
 resto: 101− 
05-) Resolva o exercício anterior utilizando o método de Briot-Ruffini 
 Resp: quociente: 51261363 234 +−+− xxxx 
 resto: 101− 
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06-) Calcule o resto da divisão de 172 23 ++ xx por 3+x utilizando o teorema do resto. 
 Resp: 10 
07-) Desenvolva as operações indicadas utilizando os produtos notáveis: 
• A) ( )23 12 +x Resp: 144 36 ++ xx 
• B) ( ) 22 23 −x Resp: 4129 24 +− xx 
• C) 





−×





+ 5252 3
3
23
3
2 yxyx Resp: 104 9
9
4 yx − 
• D) ( )32 1+x Resp: 133 246 +++ xxx 
• E) ( )33 12 −x Resp: 16128 369 −+− xxx 
• F) ( )( )46923 242 ++− xxx Resp: 827 6 −x 
• G) ( )( )96432 2 +−+ xxx Resp: 278 3 +x 
08-) Fatore os polinômios seguintes: 
• A) 3223 64 yxyx − Resp: ( )yxyx 322 22 − 
• B) 1535 23 +−− xxx Resp: ( ) ( )532 −− xx 
• C) 2549 64 −ba Resp: ( ) ( )5757 3232 −+ baba 
• D) 25204 2 ++ xx Resp: ( ) 252 +x 
• E) 133 23 −+− xxx Resp: ( ) 31−x 
• F) 278 6 −x Resp: ( ) ( )96432 242 ++− xxx 
09-) Considere o polinômio ( ) 2652 3 −+= xxxP . 
• A) Calcule ( )2P Resp: 0 
• B) Fatore o polinômio ( )xP Resp: ( ) ( )13422 2 ++− xxx