Matemática Lista 4 - N2 - AP2

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<p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Números complexos: 14 E forma algébrica INTRODUÇÃO Se a parte real de é igual a zero e a parte imaginária é não nula, então é um número imaginário puro. Ao resolvermos a equação encontramos = 2 + que não são soluções reais. Euler, em 1777, é imaginário puro Re (z) = 0 e Im (z) # 0 chamou -1 de i (unidade imaginária), e Gauss, em 1800, associou a cada símbolo a + bi o par ordenado (a, b). Esse par recebe o nome de número complexo e é representado por um ponto no plano. POTÊNCIAS DE i COM Im EXPOENTE NATURAL b P(a, b) Define-se potência de i com expoente natural da mesma maneira que se define potência de um número real. a Re Assim: número complexo (0, 1) é chamado unidade imaginária e será indicado por i, ou seja, (0, 1) = i. Propriedade fundamental FORMA ALGÉBRICA DE UM No quadro anterior, verificamos que toda potência de i, NÚMERO COMPLEXO com expoente natural n, é igual a um dos quatro valores: Todo número complexo Z = (a, b), com a e b reais, pode Como esse ciclo se repete de quatro em quatro termos, ser escrito na forma Z = bi, chamada de forma algébrica. para calcularmos uma potência in, procedemos da seguinte número real a é chamado de parte real de e é indicado maneira: dividimos n por 4 e tomamos o resto r, fazendo por Re (z). número real b é chamado de parte imaginária de z e é indicado por Im (z). Exemplo Se a parte imaginária de é igual a zero, então z é um Calcular número real. 70 4 2 17 Assim, Editora Bernoulli 61</p><p>Frente E Módulo 14 IGUALDADE ENTRE NÚMEROS Propriedades COMPLEXOS Definição vii) viii) Exemplo Determinar a e b reais, de modo que + 3i = 2 + ai. OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS Resolução: E PROPRIEDADES Pela definição de igualdade, tem-se que: a-b=2 Adição NÚMEROS COMPLEXOS Subtração OPOSTOS E CONJUGADOS - Definição de opostos Exemplo O oposto de um número complexo é Dados os números o número indicado por -z, tal que bi, B) Resolução: Assim: i) oposto 5i ii) oposto de Definição de conjugados Multiplicação Chama-se conjugado do número complexo Z {a, b} C o número indicado por tal a propriedade que distributiva, determinamos = + bdi² Assim: temos: i) conjugado +adi + ii) conjugado de = 2i. iii) conjugado de Z 62 Coleção Estudo</p><p>Números complexos: forma algébrica Exemplo EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Dados os números complexos 01. (UFV-MG) Seja o número complexo Z = é igual a Resolução: A) -1 B) 1 C) 2i D) E) i + i.(-1) + i.(4i) 02. (UFU-MG) Se em que é igual a C) i 03. (UFLA-MG-2006) Determine os valores de X, de modo que Divisão o número complexo xi) seja real. D) Sejam os números complexos = E) e a divisão o número tal que Z chamado quociente de por 04. (UFRGS) igual a A) 64(1+i) Obtém-se a forma algébrica de do seguinte modo: B) 128(1 i) E) i) Toma-se o conjugado de isto é, = C di. C) 128(-1 ii) Multiplicam-se o numerador e o denominador de 05. a bi, em que i = então 1+i por o Assim: 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (UEL-PR) Sejam os números complexos y E R. Se então x = 2y Exemplo B) E) Dados os números complexos 02. (Mackenzie-SP) então uv é A) 20 - 6 D) B) E) Resolução: C) = 03. (UFPA) Qual o valor de m para que o produto (2 seja um imaginário puro? D) 8 E) 10 04. (PUC-SP) é igual a A) i C) Editora Bernoulli 63</p><p>Frente E Módulo 14 05. (UFRN) Se Z = 4 + 2i, então Z 3z vale 13. (UFPR) Dados os números complexos e A) efetuando obtemos A) + 2 i 06. (UFS) Se o número complexo é tal que Z = 3 - 2i, então é igual a A) 5 i 5 B) C) 5 + 12i i 10 07. (UFSM-RS) Sabendo que é um número real e que a parte E) + imaginária do número complexo 2+i é zero, então é 8 8 B) 1 C) 2 E) 4 14. (Mackenzie-SP) Seja o número complexo Z = 08. (PUC-SP) Quantos são os números complexos que vale satisfazem as condições A) 1 B) -1 C) i A) 0 B) 1 C) 2 E) 4 15. (UNESP) então o conjugado de 09. (PUC-SP) número complexo que verifica a equação será dado por A) -3 i B) 1 3i E) i 10. (UFBA) Sendo - i, o inverso de 5+4i A) D) i 41 25 25 GABARITO E) 3 4 i 5 25 25 Fixação 4 3 C) i 25 25 01. E 02. B 03. A 04. B 05. A 11. (PUC Rio) Considere os números complexos - Propostos W 01. A 09. E 02. E 10. D 03. B 11. E 12. (PUC-SP) o conjugado do número complexo é 04. E 12. A -1-7i 05. C 13. D A) 5 06. C 14. A 1-i 5 07. E 15. A C) 1+2i 7 64 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Números complexos: 15 E forma trigonométrica PLANO DE ARGAND-GAUSS Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo sombreado, Considere o plano determinado por um sistema de eixos retangulares xOy. y Essa distância p é chamada módulo de um número P(a, b) complexo e é representada por Assim p = Exemplos X 1°) Calcular o módulo de Seja a correspondência biunívoca que associa a cada ponto Resolução: P(a, b) desse plano o número complexo Z = a + bi, com a e b reais, em que a abscissa a representa a parte real e Parte real: a e parte imaginária: b = 12. a ordenada b, a parte imaginária de z. Então, |z| = = 13. Nessas condições, o ponto P é chamado afixo do número Portanto, = 13. complexo z. Os eixos Ox e Oy são chamados de eixo real (Re) e de eixo imaginário (Im), respectivamente. 2°) Calcular o módulo de Ox = eixo real (Re); Resolução: Oy = eixo imaginário (Im); = P = afixo de z. Assim, o número complexo Z = 3 + 2i tem afixo (3, 2). Propriedades Im 2 Dados os números complexos que: o 3 Re Z, Z MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO iii) Considere, no plano de Argand-Gauss, o afixo P(a, b) do Exemplo número complexo e seja p a distância do ponto P à origem o do sistema. Calcular Resolução: Im Pela propriedade iv, tem-se b P Z - = p 5.13 a Re = 65 Editora Bernoulli 65</p><p>Frente E Módulo 15 EXERCÍCIO RESOLVIDO Im P, 01. Dar o lugar geométrico dos afixos dos números complexos 3 tais que Resolução: 2 Q 1 Re Elevando-se os dois membros ao quadrado, tem-se: Assim: = Resposta: lugar geométrico é um círculo de centro (1,- -1) e raio 2. No triângulo retângulo sombreado, tem-se: Im E 1 O Re 2 -1 2 Portanto, o argumento principal de ou 2°) Determinar o argumento principal do número complexo Z = ARGUMENTO DE UM NÚMERO Im -1 COMPLEXO Re Seja Z = a + bi, com a e b reais, um número complexo não nulo de módulo e seja P seu afixo no plano de Argand-Gauss. 1 Im Resolução: P(a, b) argumento principal de = b p Q FORMA TRIGONOMÉTRICA DE a Re UM NÚMERO COMPLEXO ângulo de medida Q determinado por OP e pelo semieixo Seja um número complexo na forma algébrica Z = bi, positivo Ox é chamado argumento principal do número complexo z. Tem-se, ainda: Z # 0, de módulo p e argumento Q. Tem-se: Im sen p b As igualdades (i) e (ii) garantem a unicidade do argumento p principal, pois determinam o quadrante do ângulo Q. Q Exemplos a Re 1°) Determinar o argumento principal do número complexo = Resolução: p e No complexo = Q = b parte real a = 1 e parte imaginária b = 3 p 66 Coleção Estudo</p><p>Números complexos: forma trigonométrica Então: Resolução: A forma Q) é chamada forma trigonométrica ou forma polar do número complexo z. Exemplo DIVISÃO Escrever sob a forma trigonométrica o número complexo Dados dois números complexos não nulos tais que Resolução: = + i = Q2). A parte real de z é a = e a parte imaginária é Tem-se: = e Demonstração: 2 6 = Portanto, a forma trigonométrica de MULTIPLICAÇÃO Dados dois números complexos não nulos tais que = sen Q2). P2 Tem-se: POTENCIAÇÃO FÓRMULA DE MOIVRE) Demonstração: Considere o número complexo não nulo Z = p(cos Q + i sen i sen i sen Q2) = Calculando-se algumas potências de z, com expoentes naturais, 0) Exemplo Z.Z = + i sen Sendo = + i sen calcular = = + i sen Editora Bernoulli 67</p><p>Frente E Módulo 15 Pode-se generalizar os resultados anteriores através do De (II), temos 0. seguinte teorema. Substituindo b = 0 em (I), obtemos = -9. Sendo Z = p(cos Q + i sen um número complexo não nulo e n um número inteiro qualquer, Como, por hipótese, a é real, concluímos que não existe a, tal que sen (no)] Substituindo a = 0 em (I), obtemos: Exemplo Logo, as raízes quadradas de -9 são números da forma Dado Z = 6 calcular z4. a + bi com a = +3, isto é, são os números Resolução: Resposta: FÓRMULA DE MOIVRE Dado o número complexo Z = p(cos + i sen 0), não nulo, e o número natural in 2, existem n raízes enésimas de z. Uma das raízes enésimas de é As demais raízes terão mesmo módulo e argumentos formarão, com o argumento de uma progressão aritmética de termo e Sejam um número complexo e n um número natural não nulo. Um número complexo Q é uma raiz enésima de Exemplo se, e somente se, = Calcular as raízes cúbicas de -27. Exemplos Resolução: é uma raiz cúbica de 1, pois = + i sen Im é uma raiz cúbica de 1, pois 2 OBSERVAÇÕES Z -27 Re i) Um número complexo não nulo admite como raízes enésimas n números distintos. Por exemplo, o número 1 admite como raízes cúbicas os três números: São três as raízes cúbicas de -27. Uma raiz é ii) Só se usa o símbolo para indicar raiz real de um número real. Para indicar as raízes enésimas de um número complexo deve-se escrever por extenso "raízes enésimas de z". Chamando as outras duas raízes de e temos: Exemplo Determinar as raízes quadradas de -9. Resolução: Seja a + bi, com a e b reais, uma raiz quadrada de -9. Então: Assim, por definição, deve-se ter: = = (II) 68 Coleção Estudo</p><p>Números complexos: forma trigonométrica Representação geométrica 02. (UEL-PR) A potência (cos 60° + i.sen é igual a Os afixos das raízes cúbicas de -27 dividem a circunferência, de centro o e raio 3, em três partes congruentes, isto é, são vértices de um triângulo equilátero. E) Im 3/3 2 03. (UFSM-RS-2006) um número complexo, -3 as soluções da equação = 5 são representadas Re graficamente por A) uma reta que passa pela origem. 3 3/3 2 2 B) uma circunferência com centro (0, 2) e raio 5. C) uma reta que passa por (0, 2). D) uma circunferência com centro (2, 0) e raio 5. DE DO E) uma reta que passa por (2, 0). 2° GRAU EM C 04. (UNIRIO-RJ) Seja o complexo Z = p.(cos + i.sen 0) escrito na forma trigonométrica. Então, Resolver em C a equação iz + 2 = 0. A) 2p B) Resolução: C) Temos a = 1, D) i.sen E) Logo, A = - As raízes quadradas de são 3i e-3i; logo: 05. (UFU-MG) As representações gráficas dos números complexos = 30° + i.sen 30° ez, = COS 102° + i.sen 102°, = 2i ou 2 no plano complexo, correspondem a vértices consecutivos de um polígono regular inscrito em uma circunferência Portanto, com centro na origem. número de lados desse polígono é igual a A) 12 C) 5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO D) 10 01. (Mackenzie-SP) A forma trigonométrica do número EXERCÍCIOS PROPOSTOS complexo 3 é 01. (UFC-2007) Ao dividir um complexo de argumento igual a B) B) 12 C) C) 12 D) 4 E) E) 12 Editora Bernoulli 69</p><p>Frente E Módulo 15 02. (FGV-SP-2007) A figura indica a representação dos 05. (UEG-2006) conjunto dos números complexos que números e Z, no plano complexo. satisfazem a condição é representado Im no plano cartesiano por uma reta A) cuja inclinação é positiva. 2 B) que contém a origem do sistema. Z, C) que não intercepta o eixo real. 2 D) cuja inclinação é negativa. Re 06. (FGV-SP) Admita que o centro do plano complexo Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de Se Z1.Z2 = a + bi, então a + b é igual a ponteiros, como indica a figura. A) Imaginário B) C) D) Real E) 03. (UFRGS) O ângulo formado pelas representações geométricas dos números complexos Z Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, às 11h55min sua ponta estará sobre qual número complexo? B) 07. (FUVEST-SP) Entre os números complexos 04. (UFPE) Considere o seguinte gráfico que representa o não nulos, que têm argumento igual a 4 número complexo representação geométrica está sobre a parábola Im Z 6 Re Sabendo-se que o segmento OZ mede duas unidades de 08. (Cesgranrio) conjunto dos pontos do plano comprimento, assinale a alternativa CORRETA. complexo que A) o conjunto vazio. B) B) uma região não limitada do plano. C) todos os pontos X + yi tais que y 2. D) uma reta. E) diferente dos quatro anteriores. 70 Coleção Estudo</p><p>Números complexos: forma trigonométrica 09. (Cesgranrio-RJ) A representação geométrica dos números 11. (Mackenzie-SP) Seja 3i um número complexo. Se, complexos e é a da figura. y W então, no plano de Argand-Gauss, Z A) um conjunto vazio. X B) uma C) um semicírculo. A representação geométrica POSSÍVEL para o produto zw é D) uma A) y E) um círculo. zw 12. (Cesgranrio) No plano complexo, o conjunto dos pontos B) y yi, tais A) uma circunferência. X zw B) um círculo. C) y C) um quadrado centrado na origem. D) um semicírculo. X E) um segmento de reta. D) y 13. (PUC Minas) A forma trigonométrica do número complexo y = 4/3 + 4i é A) 8.(cos 30° + i.sen 30°) E) y B) 8.(cos 45° + i.sen 45°) zw C) 8.(cos 60° + i.sen 60°) D) 8.(cos 120° + i.sen 120°) 10. (UFU-MG) Sejam e dois números complexos + i.sen 150°) representados geometricamente, na figura a seguir, pelos pontos A e B, 14. (UEBA) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do número complexo z. B y Im (z) P A 1 30° 3 Re (z) X Sabendo-se que OA = 3 cm e que OB = 6 cm, pode-se A forma trigonométrica de é afirmar que A) 4.(cos 15° + i.sen 15°) tem módulo igual a 2 cm. B) 4.(cos 60° + i.sen 60°) B) tem módulo igual a 9 cm. C) 2.(cos 60° + i.sen 60°) C) o argumento de é igual a D) 2.(cos 30° + i.sen 30°) D) argumento de é igual a 50°. E) COS 15° Editora Bernoulli 71</p><p>Frente E Módulo 15 15. (UEL-PR) Sejam e os números complexos 20. (Cesgranrio) que Z1 = .(cos 30° + i.sen = 5. (cos 45° + i.sen 45°). eb>0, e seja seu conjugado. A área do quadrilátero o produto de por é o número complexo de vértices W, W, e é A) 15.(cos 350° + i.sen 1 350°) A) B) 8.(cos + i.sen 75°) B) 4b/ab C) 8.(cos 1 + i.sen C) 4ab D) 15.(cos + i.sen 15°) E) 15.(cos + i.sen 75°) D) 3 16. (UNIFESP-2007) Quatro números complexos representam, no plano complexo, vértices de um paralelogramo. Três dos quarto número tem as partes real e imaginária positivas. GABARITO Esse número é Fixação 01. E E) 02. C 2 03. B 04. C 17. (FUVEST-SP) Dado o número complexo Z = + i, qual 05. C é o MENOR valor do inteiro 1 para o qual é um número real? Propostos A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 01. E 18. (PUC-Campinas-SP) o módulo e o argumento do complexo 02. A são, respectivamente, 03. D 04. B 05. A 06. A 07. A 9 08. A 09. D 19. (Unifor-CE-2007) Seja o número complexo 3i, 10. D em que um número real negativo. Se então a forma trigonométrica de é 11. C 12. D A) 6. 13. A 14. B B) 6. 15. E 16. B C) 6. 17. C 18. A D) 6. 3 19. B E) 6. 6 6 20. C 72 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Polinômios I 17 E DEFINIÇÃO DE POLINÔMIO Resolução: Igualando os coeficientes dos termos correspondentes, obtemos: Um polinômio é uma função na variável da forma: a=b+3 Em que: os coeficientes do polinômio. ii) Os expoentes são números naturais. Resolvendo o sistema, obtemos a = 6, b = Exemplos RAIZ OU ZERO DE UM POLINÔMIO 1°) Dizemos que um número k é raiz de um polinômio P(x) se, 2°) P(x) = -4x5 + 8x4 + 18x2 + 7x - 1 e somente se, P(k) = 0. Um polinômio é dito nulo se todos os seus coeficientes Do ponto de vista geométrico, a raiz representa o ponto no são iguais a zero. qual a curva, correspondente ao gráfico de P(x), intercepta o eixo das abscissas no plano cartesiano. Portanto, P(x) = é nulo se, e somente GRAU DO POLINÔMIO k k X Considere o polinômio Dizemos que o grau de P(x) é igual a n, se # 0. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS Exemplos Adição e subtração 1°) o grau de P(x) = 3x2 + 8 é igual a 4. Dados os polinômios: 2°) grau de P(x) : 2x2 + 8 é igual a 2. = e 3°) grau de P(x) = 13 é igual a zero. = OBSERVAÇÃO i) A adição A(x) + B(x) é dada por: Não se define o grau de um polinômio nulo. POLINÔMIOS IDÊNTICOS ii) A subtração é dada por: A(x) Os polinômios e Q(x) = ... se, e somente se, = Portanto, nessas operações, basta adicionarmos ou subtrairmos os termos semelhantes. e escrevemos Exemplo Exemplo Considerar os polinômios A(x) = 5x4 + 18x2 12 Determinar os valores de os quais os polinômios e temos: P(x) = ax2 + 3x + 9 e B(x) = (b + + (c 1)x + 3b - + 15 são idênticos. A(x) - B(x) = 4x4 26x3 + 25x2 10x + 9 Editora Bernoulli 51</p><p>Frente E Módulo 17 Multiplicação Repetindo o processo, dividimos -6x2 por produto dos polinômios A(x) e B(x) é obtido através da multiplicação de cada termo de A(x) por todos os termos 4x-6 de B(x), reduzindo os termos semelhantes. grau do polinômio A(x).B(x) é igual à soma dos graus de A(x) e B(x). Multiplicamos -6 por todos os termos do divisor, da direita para a esquerda. resultado de cada multiplicação Exemplo é colocado, com o sinal trocado, abaixo de cada termo correspondente, no dividendo. Em seguida, somamos esses Sejam os polinômios 1. termos. Assim, temos: A(x).B(x) = 4x-6 A(x).B(x) = -x+19 Divisão (método da chave) Observe que não podemos continuar a divisão, pois o grau Da divisão de dois polinômios A(x) e B(x) não nulos são do termo obtido é menor do que 2. obtidos os polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto), tais que: Portanto, temos: A(x) B(x) Quociente: : = 0 R(x) Resto: Em que: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS A(x): Dividendo gr(R): grau de R(x) B(x): Divisor gr(B): grau de B(x) 01. (UFMG) O valor de a para que seja raiz do Q(x): Quociente polinômio R(x): Resto -1 C) 1 D) 3 Para esclarecermos o método da chave, vamos efetuar a divisão do Resolução: Inicialmente, devemos verificar se o grau do dividendo é maior ou igual ao grau do divisor. Caso contrário, não é Desenvolvendo os termos, obtemos: possível efetuar a divisão. No problema, o grau do dividendo é igual a 3 e o grau do divisor é igual a 2. Portanto, podemos 0 efetuar a divisão. = Escrevemos os polinômios no seguinte formato: Igualando os termos correspondentes, temos a = -3. 02. (UFES) polinômio + ax2 + bx + 7, com coeficientes reais, é divisível por valor da soma a + b Inicialmente, dividimos o primeiro termo do dividendo é igual a pelo primeiro termo do divisor. A) 7 B) 14 C) 15 D) 16 E) 21 Resolução: 4x Vamos efetuar a divisão pelo método da chave. Em seguida, multiplicamos 4x por todos os termos do divisor, da direita para a esquerda. resultado de cada multiplicação é colocado, com o sinal trocado, abaixo de cada termo correspondente, no dividendo. Em seguida, somamos esses termos. Como o polinômio é divisível, então devemos igualar o 4x resto ao polinômio nulo, ou seja, a = b = Portanto, a + b = 16. 52 Coleção Estudo</p><p>Polinômios EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 02. (UFMG) Considere o polinômio: 01. (UFOP-MG-2008) Sejam os polinômios = polinômio p(x) é igual a e a, b e são números reais. Suponha que p(x) e q(x) sejam iguais para todo Então, a vale B) 1) A) -7 03. (UFMG) Considere os polinômios: 02. (UFMG) Sejam p(x) = 4x3 + bx2 + CX + d e p(x) = + (2a 3b)x2 + (a + + 4c)x 4bcd e q(x) = 3, polinômios com coeficientes reais. q(x) = 6x2 + em que a, b, e d são números Sabe-se reais. Sabe-se que p(x) = q(x), para todo E R Assim essas informações, é INCORRETO afirmar que sendo, o número d é igual a A) se 10 é raiz de q(x), então 10 também é raiz de p(x). B) p(3) = -7 2 3 18 8 3 D) 04. (UFMG) 03. (UFMG-2006) Neste plano cartesiano, está representado em que Q(2) = 0. o resto da divisão de Q(x) por P(x) é o gráfico do polinômio p(x) = + + CX + d, sendo A) 2 a, b, e d números B) 9x 18 D) 0 05. (PUC Rio) Se + 2x + 5 divide + + q exatamente 5 (isto é, o resto da divisão do segundo polinômio pelo primeiro é zero), então A) D) +1 6 E) Considere estas afirmativas referentes a esse polinômio: I. e 06. (UFJF-MG) Ao dividirmos um polinômio p(x) por outro II. polinômio q(x), encontramos um resto r(x) = 1. Então, é CORRETO afirmar que É CORRETO afirmar que o A) nenhuma das afirmativas é verdadeira. A) grau de p(x) é igual a 2. B) apenas a afirmativa I é verdadeira. B) grau de é igual a 2. C) apenas a afirmativa II é verdadeira. D) ambas as afirmativas são verdadeiras. C) grau de q(x) é maior que 1. D) grau de p(x) é igual a 1. 04. (UFMG-2007) Sejam p(x) = ax2 + (a 15)x + 1 e b com coeficientes reais. 07. (UFES) polinômio P(x), quando dividido por Sabe-se que esses polinômios possuem as mesmas raízes. fornece o quociente + 1 e o resto X - 1. coeficiente Então, é CORRETO afirmar que o valor de a + b é do termo do primeiro grau no polinômio P(x) é A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 05. (UFOP-MG-2007) resto da divisão do polinômio 08. (UFMG) Os valores de m e n, para os quais o resto da divisão de P(x) B) 6 C) 8 D) seja 2x + 1, são EXERCÍCIOS PROPOSTOS A) D) B) E) 01. (Unifor-CE) Se os polinômios C) 09. (UFMG) quociente do polinômio pelo são idênticos, então A) a D) E) ab = -1 B) E) D) C) Editora Bernoulli 53</p><p>Frente E Módulo 17 10. (UFTM-MG) Sendo k um número real e 02. Observe a notícia a seguir: P(x) = -x5 + + um polinômio divisível pelo Robô-bombeiro feito no Brasil ensaia entrada no polinômio D(x) = 1, pode-se concluir que é um mercado internacional número Por Guilherme Felitti, repórter do IDG Now! Publicada A) natural. D) irracional. em 19 de out. de 2006 às 18h19 Atualizada em 20 de out. de 2006 às 11h17 B) inteiro negativo. E) imaginário puro. São Paulo Desenvolvido em Fortaleza para C) racional não inteiro. incêndios, SACI já é testado pela Petrobrás e desperta interesses nos EUA, Índia e Austrália. 11. (UFV-MG) resto da divisão do polinômio mx + pelo polinômio Então, o produto mn é igual a A) B) -32 C) -16 D) 16 E) 12 12. (UFF-RJ) As raízes de um polinômio P(x) de grau 3 são r, Então, as raízes do polinômio Q(x) = são Além de dálmatas, bombeiros poderão ter outra companhia dentro das brigadas a partir de 2007, com A) D) funções mais interessantes que os cães malhados. B) 2r, 2s, 2t E) robô-bombeiro SACI, construído como projeto de conclusão por um grupo do curso de Engenharia da Computação da Universidade de Fortaleza, deverá começar a ganhar o mundo já no próximo ano. 13. (UFRGS) Sabendo-se que o polinômio Já usado em testes dentro da Petrobrás, o robô, que tem + divisível por + + 9x + 3, a sigla de Sistema de Apoio ao Combate de Incidentes segue que p é igual a como nome, está em sua terceira versão e será vendido A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 para a Brigada de Chicago até o final do ano. "O Corpo de Bombeiros da cidade entrou em contato 14. (UFPR-2007) Sabendo-se que o polinômio para adquirir uma unidade que subisse escadas", + ax2 + bx - a é divisível pelo polinômio afirma Roberto Macedo, diretor técnico de pesquisa e desenvolvimento da Armtec, responsável pelo SACI. CORRETO afirmar: Considere que o robô descrito anteriormente se desloque A) D) ao longo do gráfico do polinômio P(x) = 7x2 + 14x 8. O sistema cartesiano de eixos foi posicionado de modo que E) as raízes reais desse polinômio indicam possíveis focos de incêndio, os quais serão combatidos pelo robô. Portanto, pode-se afirmar que o robô bombeiro será utilizado A) Nenhuma vez D) três vezes. SEÇÃO ENEM B) uma vez. E) quatro vezes. C) duas vezes. 01. Ao estudar a variação entre os valores de duas grandezas P e X, um pesquisador concluiu que a relação GABARITO matemática que caracterizava essa variação era dada pelo polinômio C, em que era o Fixação valor da grandeza e P(x) era o valor correspondente da grandeza P. Parte dos dados coletados pelo pesquisador 01. D 02. 03. D 04. C 05. A encontram-se a seguir: Propostos P 01. E 04. B 07. D 10. A 13. D 0 2 02. A 05. D 08. B 11. B 14. A 1 5 03. A 06. 09. E 12. 2 10 Com base nas informações apresentadas, pode-se afirmar Seção Enem que o valor do coeficiente a é 01. B 02. D A) -3 B) -2 C) 0 D) 2 E) 3 54 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Polinômios II 18 E TEOREMA DO RESTO TEOREMA DE D'ALEMBERT O resto da divisão de P(x) por um binômio ax + b é P P(x) por se, se, é divisível ax + b e somente Podemos verificar esse fato facilmente. Temos: Observe que o Teorema de D'Alembert é uma consequência imediata do Teorema do Resto. Eis a demonstração: P(x) ax + b R Q(x) Seja P(x) = (ax + b).Q(x) + R. Podemos escrever na forma P(x) = (ax + b).Q(x) + R. Conforme vimos anteriormente, fazendo temos Para X = temos: a Porém, o polinômio P(x) é divisível por ax + b se, P e somente se, R for igual a zero. Desse modo, o teorema está demonstrado. P DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI É um dispositivo prático que permite determinar o quociente e o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma - Como exemplo, vamos efetuar a divisão do polinômio por B(x) = X - 2. Em outras palavras, para encontrarmos o resto da Inicialmente, vamos posicionar os termos indicados, divisão de um polinômio P(x) por um binômio do conforme o esquema a seguir: 1° grau, basta calcularmos a raiz do binômio do 1° grau e, em seguida, substituirmos no polinômio P(x). Raiz do divisor Coeficientes do dividendo Exemplo Coeficientes do quociente Resto Calcular o resto da divisão do polinômio P(x) = + 4x2 + 5 por B(x) Assim, temos: 2 1 4 Resolução: Cálculo da raiz de B(x): Repetimos o coeficiente do termo de maior grau. resto R é dado por: 2 1 3 -1 4 1 Editora Bernoulli 55</p><p>Frente E Módulo 18 Multiplicamos essa raiz (2) pelo coeficiente que foi Demonstração: repetido (1) e, em seguida, somamos com o próximo Se P(x) é divisível por podemos escrever coeficiente (3). resultado é colocado à direita de 1. da seguinte forma: Fazemos 2.1 + 3 = 5. P(x) (x-a)(x-b) 2 1 3 -1 4 0 Q(x) 1 5 Em que Q(x) é o polinômio quociente. Repetimos o processo, agora com o último termo obtido (5). Logo, temos Fazemos 2.5 1 = 9. Pelo Teorema de D'Alembert, P(x) é divisível por - a se, 213-14 e somente se, P(a) = 1 5 9 Assim, temos P(a) 0. Logo, P(x) é divisível por a. Finalmente, repetimos para o termo Assim, obtemos o último termo, separado por uma linha tracejada. Analogamente, P(x) será divisível por b se, e somente Esse número é o resto da divisão de P(x) por B(x). se, P(b) = 0. Fazemos 2.9 + 4 = 22. Assim, temos que P(b) 0. Logo, P(x) é divisível por b. 2 1 3 -1 4 1 5 9 22 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Os números obtidos (1, 5 e 9) são os coeficientes do polinômio quociente. Como P(x) é do grau e B(x) é do 1° grau, o dividendo deverá ser, necessariamente. 01. (FGV-SP) Se o polinômio n do grau. Por isso, costumamos dizer que o Dispositivo de é divisível por X 1 e por X + 1, então m + in é igual a Briot-Ruffini serve para abaixar o grau do polinômio P(x). A) 7 B) -7 C) 6 D) -6 E) 0 Mais à frente, veremos uma importante aplicação desse fato no cálculo de raízes de equações. Portanto, temos Resolução: o quociente Q(x) = + 5x + 9 e o resto R(x) = 22. Pelo Teorema de D'Alembert, temos P(1) = P(-1) 0. Assim: OBSERVAÇÃO P(-1) = Podemos utilizar o Método de Briot-Ruffini também quando o divisor é um polinômio da forma ax + b. Nesse caso, Observe que não foi necessário fazer P(1) = 0, pois a devemos dividir os coeficientes do polinômio quociente por a. pergunta envolvia m + n. Exemplo 02. (Mackenzie-SP) Efetuar a divisão de P(x) = + 1 por P(x) Q(x) Resolução: 4 Q(x) 1 Q,(x) A raiz do binômio do 1° grau é igual a 2. Assim, temos: Considerando as divisões de polinômios dadas, podemos 2 5 1 -2 1 afirmar que o resto da divisão de P(x) por 5 11 20 41 A) D) Para obtermos o polinômio quociente, devemos dividir B) E) cada termo obtido por 2. É importante observar que o resto não se altera. Assim, temos como quociente Resolução: = Podemos escrever do seguinte modo: + + 1 TEOREMA DA DIVISÃO PELO Substituindo a expressão para Q(x) em P(x), temos: PRODUTO P(x) = (x - P(x) = (x - Um polinômio P(x) é divisível por se, P(x) = e somente se, P(x) é divisível separadamente e Logo, o resto da divisão de P(x) por 12 é igual 56 Coleção Estudo</p><p>Polinômios 03. Um polinômio P(x) deixa resto 1 quando dividido por 04. (FUVEST-SP) Seja p(x) um polinômio divisível por e deixa resto 4 quando dividido por + 2. Determinar o Dividindo-se p(x) por 1, obtemos quociente e resto da divisão do polinômio P(x) por (x resto r = 10. o resto da divisão de g(x) por 3 é Resolução: A) -5 B) -3 C) 0 D) 3 E) 5 Vamos representar os dados da seguinte forma: 05. (FUVEST-SP-2009) polinômio p(x) = + bx, P(x) x-1 Pelo Teorema do Resto, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando temos que P(1) = 1. dividido por respectivamente. Assim, o valor P(x) Pelo Teorema do Resto, de a é 4 temos que P(-2) = 4. B) -7 C) -8 D) -9 E) -10 Agora, observe que (x é um polinômio do segundo grau. Na divisão de P(x) por EXERCÍCIOS PROPOSTOS o grau do resto deve ser menor do que o grau do divisor. Portanto, o resto R(x) é da forma R(x) = ax + em que 01. resto da divisão a e b são números reais. por = Nessas condições, o valor de a P(x) (x-1)(x+2) 1 2 3 02. (UFJF-MG-2006) polinômio p(x) é divisível por por X + 5. Podemos dizer que o seu grau g é Fazendo 1, temos: 03. (UEL-PR) Sobre um polinômio p(x) de grau 1, sabe-se que Fazendo -2, temos: I. sua raiz é igual a 2 P(-2) = II. p(-2) é igual ao dobro de sua raiz Nessas condições, é CORRETO afirmar: Resolvendo o sistema temos A) p(x) = + 2 D) p(x) = -2a+b=4 B) p(x) = 2x 4 E) p(x) Portanto, o resto é igual a C) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 04. (UNIFESP) Dividindo-se os polinômios e obtêm-se, respectivamente, como restos. Sabendo-se que são os zeros da função quadrática 01. Um polinômio P(x), quando dividido y pelo polinômio resto r(x) = y Então, o resto da divisão de P(x) por é igual a A) -2 B) C) 0 D) 1 02. (FUVEST-SP) Dividindo-se o polinômio p(x) por 5 obtêm-se quociente 3x2 + 1 e resto Nessas 3 condições, o resto da divisão de p(x) por A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) V (vértice) 03. (UFJF-MG) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio o resto da divisão do polinômio produto por (x + a) usou-se o Dispositivo prático de Briot-Ruffini e encontrou-se: A) 3 B) 5 C) 8 D) 15 E) 21 -2 1 p -3 4 -5 05. (PUCPR) Se o polinômio + + q é divisível pelo q -4 5 r 7 polinômio 6x 5, então p + q vale A) -1 B) 3 C) 5 D) E) 10 Os valores de r, q, p e a são, respectivamente, A) 6, 1, -6, -2 D) -6, -2, 1, 2 06. A divisão do polinômio p(x) B) -6, -2, -2, 2 1, -4, 2 = 1 é exata, valor de m é C) -6, 1, -2, 2 A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 Editora Bernoulli 57</p><p>Frente E Módulo 18 07. (Mackenzie-SP) Observando a divisão dada, de 02. Uma importante área da Matemática é a chamada Pesquisa polinômios, podemos afirmar que o resto da divisão de Operacional (PO). Trata-se de um conjunto de técnicas de P(x) por + 1 é modelagem matemática aplicado a diversos problemas P(x) práticos. Atualmente, a Pesquisa Operacional é bastante 2x-1 Q(x) utilizada para a maximização do lucro de empresas. A) -1 B) -2 C) 2 D) 3 E) -3 Considere que um profissional da área de Pesquisa Operacional tenha efetuado a modelagem da maximização 08. (AFA-SP) parâmetro a, de modo que o resto da divisão do lucro de uma empresa. Na sua pesquisa, ele descobriu de + (2a 3)x2 + ax - 2 por + 2 seja 6, é igual a que havia dois valores correspondentes à produção para A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 os quais o lucro seria nulo. o menor desses valores não é 09. (UFLA-MG-2009) o polinômio + ax2 é divisível suficiente para atingir uma região de lucratividade, pois o Então, o valor de a b é valor adquirido com a venda do produto é o mesmo gasto A) 2 B) -10 C) 10 para produzi-lo, e o maior desses valores eleva muito o 10. (UFJF-MG) o resto da divisão do polinômio custo da produção, devido à necessidade de aquisição de p(x) = 3x2 17x + 27 por equipamentos, e também não gera lucro. Após analisar A) 4 B) 7 C) 2x D) 5 E) os dados, ele obteve uma expressão que descreve o lucro 11. (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por - X resulta L(x) dessa empresa em função do número de toneladas no quociente 6x2 + 5x + 3 e resto -7x. resto da divisão produzidas X. A expressão é a seguinte: de P(x) por 2x + 1 é igual a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 12. (UFJF-MG) Um polinômio p(x) dividido por X - 1 deixa resto 2. o quociente desta divisão é, então, dividido por Diante disso, o número de toneladas a serem produzidas, obtendo resto 1. o resto da divisão de p(x) por a fim de que a empresa tenha a máxima lucratividade, B) 2 C) D) é igual a 13. (UFMG) polinômio P(x) = + + in é divisível por A) 3 B) 3,5 C) 4 D) 4,5 E) 5 e também por 3. valor do produto mn é B) -12 C) -1 D) 12 E) 14 GABARITO 14. (UFMG) polinômio P(x) = 3x5 3x4 + é divisível por de m é Fixação 8 C) 16 9 D) 2 E) 4 01. B 02. B SEÇÃO ENEM 03. C 01. Um pesquisador estudou a variação entre duas grandezas 04. A E e T. Os resultados da sua pesquisa encontram-se no 05. A gráfico a seguir: E Propostos 01. A 08. B 02. C 03. A 10. B T 04. E 11. E 05. A Sabe-se que E(T) é uma função polinomial de T. Portanto, 06. E 13. A é possível afirmar que E A) E(T) é um polinômio do grau. B) E(T) é uma função periódica. C) E(T) possui grau maior ou igual a 3. Enem D) E(T) é uma função injetora. 01. C 02. B E) E(T) é uma função par. 58 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Equações polinomiais 19 E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 2°) Resolver, em C, a equação Chamamos de equação algébrica ou equação polinomial Resolução: a toda equação na variável que pode ser escrita na forma 0, em que os coeficientes são números 2 complexos e E N. Portanto, no conjunto dos números complexos, Exemplos o conjunto solução é dado por = 2 2 2°) RAÍZES OU ZEROS DE UMA TEOREMA FUNDAMENTAL EQUAÇÃO POLINOMIAL DA ÁLGEBRA Dizemos que um número complexo a é raiz de uma equação polinomial do tipo P(x) = 0 se, e somente se, P(a) = 0. Toda equação de grau n, 1, possui pelo Por exemplo, a equação + 4x - 5 = 0 admite 1 como menos uma raiz complexa. raiz, pois Portanto, para verificarmos se um determinado número complexo é raiz de uma equação, devemos substituir a Esse teorema foi enunciado no final do século XVIII pelo variável por esse número e verificar se a igualdade é satisfeita. matemático Carl Friedrich Gauss. Uma das consequências mais importantes desse teorema é a seguinte: CONJUNTO SOLUÇÃO OU VERDADE Um polinômio de grau n, 1, possui n raízes complexas. Chamamos de conjunto solução de uma equação P(x) = 0, em um determinado conjunto universo U, ao De acordo com o Teorema Fundamental da Álgebra, conjunto formado por todas as raízes dessa equação. Resolver podemos afirmar que existe pelo menos uma raiz complexa. uma equação significa determinar o seu conjunto solução. Sendo essa raiz, temos = 0. Exemplos Logo, o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio X - k1 1°) Resolver, em R, a equação (Teorema de D'Alembert). Resolução: Portanto, podemos escrever o seguinte: P(x) No conjunto a equação não apresenta soluções, ou seja, S : 0 Editora Bernoulli 59</p><p>Frente E Módulo 19 Observe que, para P(x) = 0, temos que ou EXERCÍCIOS RESOLVIDOS = 0. Portanto, podemos concluir que as raízes de também são raízes de P(x). 01. Resolver a equação + 4x Podemos proceder de maneira análoga ao analisarmos o polinômio Resolução: Fatorando a equação, temos: Sendo k, uma raiz de podemos escrever: Assim, temos: Substituindo na expressão para P(x), obtemos: Aplicando sucessivamente esse raciocínio, obtemos: Portanto, o conjunto solução é dado por S = {-2i, 2i, 3}. 02. Determinar a multiplicidade de cada uma das raízes na equação Em que é um polinômio de grau zero. Observe que o coeficiente de em P(x) é Logo, temos Resolução: Observe que existem 3 fatores que possuem raiz igual a 5. Portanto, a multiplicidade da raiz 5 é igual a 3. Portanto: Existe um único fator que possui raiz -2. Logo, a raiz -2 possui multiplicidade igual a 1 (raiz simples). Existem 4 fatores que possuem 7 como Logo, a multiplicidade da raiz 7 é igual a 4. Essa é a chamada forma fatorada do polinômio P(x). EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO 01. (UFJF-MG) Marque a alternativa CORRETA. A) Se a e b são raízes da equação algébrica p(x) = 0, Como consequência do exposto, enunciamos a seguir o então o grau de p(x) é exatamente 2. chamado Teorema da Decomposição. B) Toda equação algébrica de grau n > 1 com coeficientes reais admite n raízes reais. Um polinômio P(x) de grau n, 1, pode ser decomposto C) Se a, b e d são três raízes da equação algébrica em n fatores do 1° grau, ou seja, pode ser escrito na forma: p(x) = 0 de grau n, então > 2. D) Se p(x) = 0 é uma equação algébrica de grau 3 cujas raízes são a, b e d, então p(x) = 02. (UFOP-MG) Considere a equação 7x(x Então, podemos afirmar que Observe que uma consequência imediata desse teorema A) 1 é raiz tripla. D) -1 é raiz dupla. é que toda equação de grau n, n > 1, possui n raízes B) 1 é raiz dupla. E) -1 é raiz tripla. complexas, distintas ou não. C) 1 é raiz simples. OBSERVAÇÃO 03. (UFOP-MG) Se p(x) então a equação p(x) = 0 admite Consideremos o polinômio P(x) de grau n, 1. Sabemos A) 8 raízes reais simples. que esse polinômio pode ser decomposto em n fatores do 1° grau. Suponhamos que um mesmo número seja raiz de B) 6 raízes reais simples. k fatores de P(x), k n. Dizemos que esse número é uma C) 3 raízes reais duplas. raiz de multiplicidade k do polinômio P(x). D) 2 raízes reais duplas. 60 Coleção Estudo</p><p>Equações polinomiais 04. (FUVEST-SP) Sabendo-se que p(x) é um polinômio, a é 05. (PUC Minas) A equação de terceiro grau cujas raízes são a cos 1, uma constante real e p(x) = é uma identidade em X, DETERMINE B) 0 A) o valor da constante a. JUSTIFIQUE sua resposta. C) 0 B) as raízes da D) 05. (Unicamp-SP) E) A) VERIFIQUE que = 2 é raiz de p(x). 06. (UFRN) Uma das soluções da equação + 16 = B) USE fatoração para mostrar que se > 2, então p(x) > 0. -2 C) -3 D) -4 E) -5 07. (Cesgranrio) Sejam a e b respectivamente, a maior e EXERCÍCIOS PROPOSTOS a menor das A diferença 01. (FUVEST-SP) número de pontos de interseção dos A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 gráficos das funções reais é 08. (UFRN) Seja então D) 3 o conjunto solução de P(x) = B) 1 E) 4 A) {-2,-3, -5} C) 2 B) {2, -3, -5} C) {2, -2, -2} 02. Minas) Sendo p(x) = + 4x e D) {2,3,5} nota-se que p(1) = q(1) = 0. E) {2, 6, 30} A forma mais simples da 09. (UFRGS) A raiz da equação A) D) x-2 x-2 B) E) C) D) x-1 C) x-2 03. (UCS-RS) Sabe-se que o polinômio f(x) é divisível o quociente 10. (Cesgranrio) A soma das raízes da equação 5 105 da divisão de f(x) por g(x), quais são as raízes de q(x)? A) 5 B) 10 C) 15 D) 18 E) 21 A) B) 11. (Cesgranrio) produto das raízes da equação C) 1 e -3 vale 04. (PUC-SP) número de raízes reais do polinômio é B) 1 C) 2 625 D) 3 E) 4 225 Editora Bernoulli 61</p><p>Frente E Módulo 19 12. (UFPR) Dadas as equações SEÇÃO ENEM podemos afirmar que A) apenas uma das raízes de = 0 satisfaz 01. Um professor de Matemática propôs à turma a seguinte questão: Resolver a equação 0. B) a soma das raízes Diante da dificuldade da turma, o professor forneceu C) as raízes da equação satisfazem uma dica: "Sabe-se que é solução dessa equação." D) as raízes da equação = 0 não satisfazem Com base nessas afirmações, é possível afirmar que A) a soma das raízes da equação é igual a 3. E) as raízes da equação estão em progressão B) a equação admite apenas uma raiz real. aritmética. C) a equação admite uma raiz dupla. D) o produto das raízes da equação é igual a 2. 13. (FCMSC-SP) Os valores reais de p e q para os quais a E) as outras duas raízes são irracionais. equação raiz de 3 02. Uma viga possui o formato de um prisma quadrangular multiplicidade 3 são, respectivamente, regular. Sabe-se que essa viga é e que suas dimensões, em metros, são também soluções da equação polinomial + 2x = 0. Portanto, pode-se afirmar que o volume dessa viga, em é igual a A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16 E) N.d.a. GABARITO 14. (PUC-SP) Em relação ao Fixação o que se pode afirmar sobre o número 1? 01. C A) É raiz simples. 02. A B) É raiz dupla. 03. D C) É raiz tripla. 04. A) B) S {0, 1, 2} D) É raiz quádrupla. 05. A) Verifique que P(2) = 0 E) Não é raiz. B) Demonstração 15. (UFV-MG-2009) Considere os conjuntos numéricos: Propostos 01. A 06. B 11. = 02. C 07. A 12. 03. D 08. B 13. o número total de subconjuntos do conjunto interseção 04. C 09. D 14. 05. A 10. E 15. B A) 8 B) 4 Seção Enem 01. C 02. B D) 1 62 Coleção Estudo</p><p>MATEMÁTICA MÓDULO FRENTE Equações polinomiais 20 E DE GIRARD Exemplos 1°) Sejam X1 as raízes da equação São as relações estabelecidas entre as raízes e os Calcular coeficientes da equação algébrica P(x) 0. Vamos estudá-las caso a caso. A) Resolução: 1° caso: Equação do grau b Sejam suas raízes. As relações entre essas raízes são as seguintes: B) X1.X2 Resolução: 2° caso: Equação do grau + bx2 + CX + d = 0, com a # 0. Sejam X2 e X3 suas As relações entre essas raízes são as seguintes: Resolução: D) Resolução: Generalizando para uma equação do grau n, 1, temos: a,x + Elevando ao quadrado os dois membros, temos: suas raízes. As relações de Girard são: 2°) Sejam raízes da equação: - Calcular A) Resolução: Editora Bernoulli 63</p><p>Frente E Módulo 20 B) PESQUISA DE RAÍZES Resolução: RACIONAIS 2 Em determinadas situações, podemos pesquisar acerca da existência de uma raiz racional de uma equação da forma C) P(x) = 0, baseados na seguinte propriedade: Resolução: Caso o número seja uma raiz racional irredutível da 2 q equação algébrica = 0 de coeficientes inteiros, com # 0 e # 0, podemos afirmar que p é divisor de e q é divisor de Exemplo Resolução: Resolver a equação + Resolução: 2 Efetuando a pesquisa de raízes racionais, temos: i) um divisor de 2, ou seja, p pode ser igual a E) 2. Resolução: ii) um divisor de 1, ou seja, q pode ser igual a Portanto, a fração p pode assumir os seguintes valores: Elevando os dois membros ao quadrado, temos: q -2,-1,1 ou 2 Entre esses valores, verificamos que 1 é raiz. Portanto, o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio Ao efetuarmos a divisão desses polinômios pelo Método de Briot-Ruffini (abaixamento do grau do polinômio), encontraremos um polinômio quociente cujas raízes são também raízes de P(x). Portanto, temos o seguinte: TEOREMA DAS RAÍZES 1 1 2 -5 2 COMPLEXAS 1 3 -2 0 quociente é dado por Se uma equação P(x) = 0, com coeficientes reais, Calculando as raízes de Q(x), temos: possui uma raiz complexa a + bi (b # 0), então 0 o seu conjugado a - bi também é raiz desse polinômio. A = = 17 Observe algumas consequências imediatas desse teorema: 2 i) As raízes complexas sempre aparecem aos pares. Portanto, o conjunto solução é dado por: ii) Se o grau de um polinômio é então esse polinômio possui pelo menos uma raiz real. 2 64 Coleção Estudo</p><p>Equações polinomiais EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 02. (UFJF-MG) Seja S a soma das raízes do polinômio = bx + C, em que a, b e são números reais 01. (Cesgranrio) Se a, b e são as raízes da equação e Se a soma das raízes de p(x 1), então a 2x + 20 = 0, então o valor da expressão diferença + + abc2 é igual a A) 400 B) 200 C) -100 03. (FUVEST-SP) Se a equação + = tem D) -200 raízes reais a e -a, então o valor de k é E) -400 9 D) -2 4 02. (UFOP-MG) Sabendo que é raiz da equação polinomial a e b as outras raízes dessa equação, pode-se afirmar que + vale 1 8 A) -1 04. (UFSCar-SP) Sabendo-se que a soma de duas das raízes 13 B) 1 da equação + 14x - 8 é igual a 5, pode-se 36 afirmar a respeito das raízes que A) são todas iguais e não nulas. 03. (UFOP-MG-2009) Considere o polinômio B) somente uma raiz é nula. + 2x + 24. Sabendo-se que o produto de duas raízes de p(x) é -12, o produto das C) as raízes constituem uma progressão geométrica. outras duas raízes é D) as raízes constituem uma progressão aritmética. E) nenhuma raiz é real. B) 2 C) 4 05. (UFMG) A soma de todas as raízes da equação A) C) 2 D) 5 E) 6 04. (UFMG) Os números e 1 são duas raízes do polinômio p(x) = ax2 + bx + 2c. A terceira raiz de p(x) é 06. (UFMG) Se a equação = 0 admite raízes reais A) -3 simétricas, então A) B) C) 1 D) E) E) 2 05. (Mackenzie-SP) Se a soma de duas raízes de 07. (FUVEST-SP) Sabe-se que o produto de duas raízes da então o número real k é igual a equação a 1. Então, A) -6 o valor de k é B) -3 C) -2 E) 6 E) 8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 08. (UFRGS) Se os números -3, a e b são raízes da equação 01. (FUVEST-SP) Seja + e um o valor de a + b é polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as A) -6 quatro raízes de p(x) são inteiras e que três delas são pares e uma é Quantos coeficientes pares tem o polinômio p(x)? D) 2 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 E) 6 Editora Bernoulli 65</p><p>Frente E Módulo 20 09. (Cesgranrio) Se as raízes da equação + bx + 27 = 0 02. Os números primos fascinam os matemáticos há são múltiplos positivos de 3, então o coeficiente b vale Diversas tentativas já foram feitas para se determinar A) 12 um polinômio gerador de números primos. Um desses B) -12 polinômios, conhecido como polinômio de Goetgheluck, C) 9 é dado por - 1 Tal polinômio gera números primos para valores inteiros de variando de 0 até 25. Um dos números primos gerados é Sabendo-se que o polinômio admite não somente valores 10. (FUVEST-SP) As três raízes de 9x3 31x 10 = 0 são p, inteiros para pode-se afirmar que o produto de todos q e 2. valor de os valores de X, para os quais P(x) = -1 163, é A) 1 A) 5 9 B) 10 9 C) 20 9 D) 26 9 E) 31 9 B) C) 381 11. (Cesgranrio) tem uma raiz D) -348 então as outras raízes da equação são E) 348 A) complexas não reais. B) racionais. GABARITO C) positivas. D) negativas. Fixação E) reais de sinais opostos. 01. D 12. (UFU-MG-2009) Sabendo-se que os números reais não 02. D nulos, a e-a, são soluções da equação = 0, 03. A então, pode-se afirmar que 04. E 05. A B) Propostos 01. D 02. D SEÇÃO ENEM 03. E 04. C 01. matemático Cardano, no século XVI, publicou o livro Ars Magna, no qual apresentava uma fórmula para 05. A resolver equações do tipo 06. E A fórmula era a seguinte: 07. A 08. B = b 2 VE + 2 b sendo E = 3 09. B 10. D Acerca da equação + 63x 316 = 0, podemos afirmar que 11. A (Dado: = 185) 12. D A) possui uma raiz racional. Enem B) possui uma raiz irracional. C) possui apenas raízes complexas. 01. A D) não possui nenhuma raiz, real ou complexa. 02. E E) possui três raízes idênticas. 66 Coleção Estudo</p>