EXERCICIO SOBRE CARGA MÓVEL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
 FACULDADE DE TECNOLOGIA 
 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Manaus – AM 
18 de abril de 2015 
 
 
 
 
 
 
 
 
Linhas de influência e análise de cargas móveis 
(Envoltória de esforços) 
 
 
Material didático com exercícios resolvidos 
sobre carga móvel, destinado aos alunos 
da disciplina de Teoria das Estruturas II do 
curso de Engenharia Civil da Universidade 
Federal do Amazonas. 
 
Prof. Winston Zumaeta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. QUESTÃO ................................................................................................................... 3 
1.1 Reações de apoio devido às ações permanentes ................................................. 3 
1.2 Diagrama de esforços cortantes devido às ações permanentes ............................ 4 
1.3 Diagrama de momentos fletores devido às ações permanentes ........................... 5 
a) Reações verticais, máxima e mínima no apoio A ................................................... 6 
a.1) Linha de influência para reação vertical no apoio A (LIVA) ................................... 6 
a.2) Reações máxima e mínima devida à carga móvel ............................................... 7 
a.3) Reações máxima e mínima finais em A (Envoltória)............................................. 8 
b) Reações verticais máxima e mínima no apoio B .................................................... 9 
b.1) Linha de influência para reação vertical no apoio B (LIVB) ................................... 9 
b.2) Reações máxima e mínima devida à carga móvel ............................................. 10 
b.3) Reações máxima e mínima finais em B (Envoltória)........................................... 11 
c) Esforços cortantes, máximo e mínimo no ponto C .............................................. 12 
c.1) Linha de influência para esforço cortante no ponto C (LIQC) .............................. 12 
c.1.1) Trecho AC ..................................................................................................... 12 
c.1.2) Trecho CB ..................................................................................................... 13 
c.2) Esforços cortantes, máximo e mínimo devido à carga móvel ............................. 14 
c.3) Esforços cortantes, máximo e mínimo finais em C (Envoltória) .......................... 15 
d) Momentos fletores, máximo e mínimo no ponto C .............................................. 16 
d.1) Linha de influência para momento fletor no ponto C (LIMC) ............................... 16 
d.1.1)Trecho AC ...................................................................................................... 16 
d.1.2)Trecho CB ...................................................................................................... 17 
d.2) Momentos fletores, máximo e mínimo devido à carga móvel ............................. 18 
d.3) Momentos fletores, máximo e mínimo finais em C (Envoltória) .......................... 18 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 19 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 3 
 
Prof. Winston Zumaeta Análise de carga móvel 18/04/2015 
B
2,0 m 6,0 m
Vão = 8,0 m
20 kN/m
2,0 x 20 =
 40 kN
resultante
1 m 1 m
40 kN/m
6,0 x 40 =
 240 kN
resultante
3,0 m 3,0 m
A
80 kN 240
kN.m
40 x (1,0 + 6,0)
8,0
40 x 1,0
8,0
240
8,0
240
8,0
35 kN=
30 kN=
5 kN=
30 kN=
V = 215 kNA V = 145 kNB
240 x 3,0
8,0
240 x (3,0 + 2,0)
8,090 kN= 150 kN=
80 x 6,0
8,0
80 x 2,0
8,060 kN= 20 kN=
10 kN/m
50 kN 20 kN
2,0 m
Carga móvelC D 2,0 m
A B
2,0 m 4,0 m
Vão = 8,0 m
20 kN/m
40 kN/m
80 kN 240
kN.m
1. QUESTÃO: Para a viga biapoiada abaixo, submetida às ações permanentes e 
acidentais (carga móvel), calcular o que se pede: 
a) As reações verticais, máxima e mínima no apoio A; 
b) As reações verticais, máxima e mínima no apoio B; 
c) Os esforços cortantes, máximo e mínimo no ponto C; 
d) Os momentos fletores, máximo e mínimo no ponto C; 
e) Os esforços cortantes, máximo e mínimo no ponto D; 
f) Os momentos fletores, máximo e mínimo no ponto D; 
 
 
 
 
 
 
1.1 Reações de apoio devido às ações permanentes 
Primeiramente, devem-se calcular as reações de apoio (figura 1) devido às 
ações permanentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Cálculo das reações de apoio devido às ações permanentes (g). 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 4 
 
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A B
Vão = 8,0 m
C
D
2,0 m 4,0 m 2,0 m
65
215
175
95
145
DEC [kN]
2,375 m
A B
2,0 m 4,0 m 2,0 m
V = 215 kNA V = 145 kNB
80 kN 240
kN.m
C D
20 kN/m
40 kN/m
1.2 Diagrama de esforços cortantes devido às ações permanentes 
Após as reações de apoio, deve-se traçar o diagrama de esforços cortantes 
(figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Diagrama de esforço cortante (DEC) devido às ações permanentes (g). 
��� � ��� � 215 
� 
��
��� � ��� � ������������ � 215 � 40 � 175 
� 
������ � ��
��� � �. !"�#���$�%�� � 175 � 80 � 95 
� 
�(� � ������ � �����������( � 95 � 160 � � 65 
� 
�*� � ������ � �����������* � 95 � 240 � � 145 
� "� ��+,é+, 
�*� � �(� � ����������(* � � 65 � 80 � � 145 
� 
Ponto de cortante nulo: 
/0 �
������
1�* �
95
40 � 2,375 + 3� 4�$�5$ %" 4"��" !6 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 5 
 
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A B
Vão = 8,0 m
C D
390
240
450
DMF [kN.m]
2,0 m 4,0 m 2,0 m
2,375 m
502,813
M =máx
A B
2,0 m 4,0 m 2,0 m
V = 215 kNA V = 145 kNB
80 kN 240
kN.m
C D
20 kN/m
40 kN/m
1.3 Diagrama de momentos fletores devido às ações permanentes 
Em seguida, deve-se traçar o diagrama de momentos fletores (figura 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. Diagrama de momento fletor (DMF) devido às cargas permanentes (g). 
7�� � 0 3�4"5" %" 2º 9ê��$" � ��+ +"+���" �4�5#�%"6 
7�� � �� ∙ 2 � 20 ∙ 2 ∙
2
2 � 215 ∙ 2 � 20 ∙ 2 ∙ 1 � 430 � 40 � 390 
�. + 
7(� � �� ∙ 6 � 20 ∙ 2 ∙ <
2
2 = 4> � 80 ∙ 4 � 40 ∙ 4 ∙
4
2 � 215 ∙ 6 � 40 ∙ 5 � 320 � 160 ∙ 2 � 
 � 1290 � 200 � 320 � 320 � 450 
�. + 
7*� � 240 
�. + 3+"+���" �4�5#�%"6 
7?áA� � �� ∙ 32 = 2,3756 � 20 ∙ 2 ∙ <
2
2 = 2,375> � 80 ∙ 2,375 � 40 ∙ 2,375 ∙
2,375
2 � 
 � 215 ∙ 4,375 � 40 ∙ 3,375 � 190 � 95 ∙ 1,1875 � 940,625 � 135 � 190 � 112,8125 
 ≅ 502,813 
�. + 
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P = 1x1
8 - x1
8
8 - x 1
8
x1V =A V =B
A B
Vão = 8,0 m
LIVA
8,0 m
A B
1
a) Reações verticais, máxima e mínima no apoio A 
a.1) Linha de influência para reação vertical no apoio A (LIVA) 
Paraa construção da linha de influência, considera-se que a carga P = 1 irá 
percorrer a viga inteira de A até B, sendo por este motivo, considerada carga móvel. 
Para o traçado em estruturas isostáticas, basta conhecer apenas dois pontos, pois o 
gráfico sempre será uma reta, com valores positivos marcados abaixo do eixo da viga e 
negativos acima. Na figura 4, mostra-se o esquema para o cálculo da reação em A. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Esquema para o cálculo da reação vertical em A. 
A linha de influência para a reação vertical em A, será igual à reação vertical em 
A, calculada conforme mostra a figura 4. E o traçado apresenta-se na figura 5. 
CD�� � �� 
CD��3/E6 � 8 � /E8 
F�$�: 
/E � 0 → CD��306 � 8 � 08 �
8
8 � 1 
/E � 8 → CD��386 � 8 � 88 �
0
8 � 0 
 
 
 
 
Figura 5. Linha de influência para a reação vertical em A 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 7 
 
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a.2) Reações máxima e mínima devida à carga móvel 
Nesta etapa, deve-se aplicar o carregamento móvel, dado no início da questão, 
sobre a linha de influência traçada no item anterior. A maior carga móvel concentrada 
deve ficar sempre sobre o maior valor da linha de influência, e a outra deve ficar no 
próximo maior valor respeitando a distância entre elas dada na questão. Lembrar que a 
carga móvel concentrada não precisa estar na mesma ordem que foi dada, o 
importante é que a maior carga fique sempre no maior valor da linha de influência, isso 
para os casos simples de carga móvel com apenas duas cargas concentradas, que é o 
caso do nosso exemplo. 
Para se calcular o valor máximo ou mínimo de VA, deve-se somar o produto das 
cargas móveis concentradas pelas respectivas ordenadas da LIVA com o produto das 
cargas distribuídas pelas respectivas áreas da LIVA na mesma projeção do 
carregamento. 
O valor máximo da reação em A, será o resultado da análise com o trecho de 
linha de influência positiva e o valor mínimo da reação em A, será o resultado da 
análise com o trecho de linha de influência negativa. Para este caso, não há linha de 
influência negativa, conforme está mostrado na figura 5, dessa maneira, não haverá 
valor mínimo devido à carga móvel. 
Na figura 6, observa-se que carga móvel concentrada de 20 kN ficará a uma 
distância de 2 metros (dada na questão) em relação a carga de 50 kN que deve ficar no 
maior valor da linha de influência, que neste caso é igual a 1, por este motivo será 
necessário conhecer a ordenada da linha de influência em x1 = 2. 
 
F�$�: 
/E = 2 → CD��326 = 8 − 28 =
6
8 =
3
4 = 0,75 
 
O carregamento móvel distribuído de 10kN/m deve cobrir toda a área da linha de 
influência positiva e negativa, porém como já foi dito, neste caso não temos linha de 
influência negativa, dessa maneira, ele será considerado apenas na parte inferior, pois 
estará cobrindo apenas a parte positiva. 
Na mesma figura 6, pode-se ainda observar que na parte superior não foi 
considerado o carregamento distribuído pelos motivos já mencionados e que o valor 
igual a 0,75 calculado acima já está destacado. 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 8 
 
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A B
1
LIVA
2,0 m
Carga móvel para
V mínimo
6,0 m
A carga móvel não atua, pois não há LIVA
0,75
50 kN 20 kN
2,0 m
Carga móvel para
V máximo
10 kN/m
A
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6. Análise de Mínimo e Máximo da reação em A devido à carga móvel (q) 
 
IJKíMN � O 
��PáQR � 50 ∙ 316 = 20 ∙ 30,7506 = 10 ∙ <
8 ∙ 1
2 > 
��PáQR � 50 = 15 = 40 
IJKáSN � TOU VW 
 
a.3) Reações máxima e mínima finais em A (Envoltória) 
��PíXY � ��� = ��PíXR 
��PíXY � 215 = 0 
IJKíMZ � [TU VW 
 
��PáQY � ��� = ��PáQR 
��PáQY � 215 = 105 
IJKáSZ � \[O VW 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 9 
 
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P = 1x1
8 - x1
8
8 - x 1
8
x1V =A V =B
A B
Vão = 8,0 m
A B
1
LIVB
8,0 m
b) Reações verticais máxima e mínima no apoio B 
b.1) Linha de influência para reação vertical no apoio B (LIVB) 
Para a construção da linha de influência, considera-se que a carga P = 1 irá 
percorrer a viga inteira de A até B, sendo por este motivo, considerada carga móvel. 
Para o traçado em estruturas isostáticas, basta conhecer apenas dois pontos, pois o 
gráfico sempre será uma reta, com valores positivos marcados abaixo do eixo da viga e 
negativos acima. Na figura 7, mostra-se o esquema para o cálculo da reação em B. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7. Esquema para o cálculo da reação vertical em B 
A linha de influência para a reação vertical em B, será igual à reação vertical em 
B calculada conforme mostra a figura 7. E o traçado apresenta-se na figura 8. 
CD�* � �* 
CD�*3/E6 � /E8 
F�$� ∶ 
/E � 0 → CD�*306 � 08 � 0 
/E � 8 → CD�*386 � 88 � 1 
 
 
 
 
 
Figura 8. Linha de influência para a reação vertical em B 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 10 
 
Prof. Winston Zumaeta Análise de carga móvel 18/04/2015 
b.2) Reações máxima e mínima devida à carga móvel 
Nesta etapa, deve-se aplicar o carregamento móvel, dado no início da questão, 
sobre a linha de influência traçada no item anterior. A maior carga móvel concentrada 
deve ficar sempre sobre o maior valor da linha de influência, e a outra deve ficar no 
próximo maior valor respeitando a distância entre elas dada na questão. Lembrar que a 
carga móvel concentrada não precisa estar na mesma ordem que foi dada, o 
importante é que a maior carga fique sempre no maior valor da linha de influência, isso 
para os casos simples de carga móvel com apenas duas cargas concentradas, que é o 
caso do nosso exemplo. 
Para se calcular o valor máximo ou mínimo de VB, deve-se somar o produto das 
cargas móveis concentradas pelas respectivas ordenadas da LIVB com o produto das 
cargas distribuídas pelas respectivas áreas da LIVB na mesma projeção do 
carregamento. 
O valor máximo da reação em B, será o resultado da análise com o trecho de 
linha de influência positiva e o valor mínimo da reação em B, será o resultado da 
análise com o trecho de linha de influência negativa. Para este caso, não há linha de 
influência negativa, conforme está mostrado na figura 8, dessa maneira, não haverá 
valor mínimo devido à carga móvel. 
Na figura 9, observa-se que carga móvel concentrada de 20 kN ficará a uma 
distância de 2 metros (dada na questão) em relação a carga de 50 kN que deve ficar no 
maior valor da linha de influência, que neste caso é igual a 1, por este motivo será 
necessário conhecer a ordenada da linha de influência em x1 = 6. 
 
F�$�: 
/E = 6 → CD�*3/E6 = 68 =
3
4 = 0,75 
 
O carregamento móvel distribuído de 10kN/m deve cobrir toda a área da linha de 
influência positiva e negativa, porém como já foi dito, neste caso não temos linha de 
influência negativa, dessa maneira, ele será considerado apenas na parte inferior, pois 
estará cobrindo apenas a parte positiva. 
Na mesma figura 9, pode-se ainda observar que naparte superior não foi 
considerado o carregamento distribuído pelos motivos já mencionados e que o valor 
igual a 0,75 calculado acima já está destacado. 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 11 
 
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A B
1
LIVB
2,0 m
50 kN20 kN
2,0 m
Carga móvel para
V mínimo
Carga móvel para
V máximo
6,0 m
A carga móvel não atua, pois não há LIVB
0,75
10 kN/m
B
B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9. Análise de Mínimo e Máximo da reação em B devido à carga móvel (q) 
 
I^KíMN � O 
�*PáQR � 50 ∙ 316 = 20 ∙ 30,756 = 10 ∙ <
8 ∙ 1
2 > 
�*PáQR � 50 = 15 = 40 
I^KáSN � TOU VW 
 
b.3) Reações máxima e mínima finais em B (Envoltória) 
�*PíXY � �*� = �*PíXR 
�*PíXY � 145 = 0 
I^KíMZ � T_U VW 
 
�*PáQY � �*� = �*PáQR 
�*PáQY � 145 = 105 
I^KáSZ � [UO VW 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 12 
 
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A B
2,0 m 6,0 m
Vão = 8,0 m
C
P = 1x1
8 - x1
V =A V =B8
8 - x 1
8
x1
c) Esforços cortantes, máximo e mínimo no ponto C 
c.1) Linha de influência para esforço cortante no ponto C (LIQC) 
c.1.1) Trecho AC 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10. Esquema para o cálculo da reação vertical em A 
CD�� � �� 
CD��3/E6 � �� � 1 � 8 � /E8 � 1 �
8 � /E � 8
8 � 
CD��3/E6 � � /E8 
F�$�: 
/E � 0 → CD��306 � 08 � 0 
/E � 2 → CD��326 � � 28 � �
1
4 � � 0,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 13 
 
Prof. Winston Zumaeta Análise de carga móvel 18/04/2015 
A B
2,0 m 6,0 m
C
0,25
0,75
LIQC
A B
2,0 m 6,0 m
Vão = 8,0 m
C
P = 1x2
6 - x2
V =A V =B8
6 - x2
8
x + 22
c.1.2) Trecho CB 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11. Esquema para o cálculo da reação vertical em A 
CD�� � �� 
CD��3/`6 � �� � 6 � /`8 
F�$�: 
/` � 0 → CD��306 � 6 � 08 �
6
8 �
3
4 � 0,75 
/` � 2 → CD��366 � 6 � 68 �
0
8 � 0 
 
 
 
 
 
 
Figura 12. Linha de influência para esforço cortante em C 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 14 
 
Prof. Winston Zumaeta Análise de carga móvel 18/04/2015 
50 kN 20 kN
2,0 m
Carga móvel para
Q máximo
10 kN/m
A B
2,0 m 4,0 m
C
0,25
0,75
LIQC
2,0 m
0,50
c
Carga móvel para
Q mínimoc
50 kN20 kN
2,0 m
10 kN/m
c.2) Esforços cortantes, máximo e mínimo devido à carga móvel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13. Análise de Mínimo e Máximo do esforço cortante em C devido à carga móvel (q) 
��PíXR = 50 ∙ 3− 0,256 + 20 ∙ 306 + 10 ∙ a2 ∙ 3− 0,2562 b 
��PíXR = − 12,5 + 0 − 2,5 
cdKíMN = − TU VW 
��PáQR = 50 ∙ 30,756 + 20 ∙ 30,506 + 10 ∙ <6 ∙ 0,752 > 
��PáQR = 37,5 + 10 + 22,5 
cdKáSN = eO VW 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 15 
 
Prof. Winston Zumaeta Análise de carga móvel 18/04/2015 
c.3) Esforços cortantes, máximo e mínimo finais em C (Envoltória) 
��PíXY = ������ + ��PíXR 
��PíXY = 95 − 15 
cdKíMZ = fO VW 
 
��PáQY = ��
��� + ��PáQR 
��PáQY = 175 + 70 
cdKáSZ = [_U VW 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 16 
 
Prof. Winston Zumaeta Análise de carga móvel 18/04/2015 
A B
2,0 m 6,0 m
Vão = 8,0 m
C
P = 1x1
8 - x1
V =A V =B8
8 - x 1
8
x1
d) Momentos fletores, máximo e mínimo no ponto C 
d.1) Linha de influência para momento fletor no ponto C (LIMC) 
d.1.1)Trecho AC 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14. Esquema para o cálculo da reação vertical em A 
CD7� � 7� 
CD7�3/E6 � �� ∙ 2 � 1 ∙ 32 � /E6 
CD7�3/E6 � 8 � /E8 ∙ 2 � 2 = /E �
8 � /E
4 � 2 = /E �
8 � /E � 8 = 4/E
4 �
3/E
4 
F�$�: 
/E � 0 → CD7�306 � 04 � 0 
/E � 2 → CD7�326 � 3 ∙ 24 �
6
4 �
3
2 � 1,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 17 
 
Prof. Winston Zumaeta Análise de carga móvel 18/04/2015 
A B
2,0 m 6,0 m
C
1,50
LIMC
A B
2,0 m 6,0 m
Vão = 8,0 m
C
P = 1x2
6 - x2
V =A V =B8
6 - x2
8
x + 22
d.1.2)Trecho CB 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15. Esquema para o cálculo da reação vertical em A 
CD7� � 7� 
CD7�3/`6 � �� ∙ 2 
CD7�3/`6 � 6 � /`8 ∙ 2 �
6 � /`
4 
F�$�: 
/` � 0 → CD7�306 � 6 � 04 �
6
4 �
3
2 � 1,5 
/` � 2 → CD7�366 � 6 � 64 �
0
4 � 0 
 
 
 
 
 
Figura 16. Linha de influência para momento fletor em C 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 18 
 
Prof. Winston Zumaeta Análise de carga móvel 18/04/2015 
A B
2,0 m 4,0 m
C
1,50
LIMC
2,0 m
1,00
50 kN 20 kN
2,0 m
10 kN/m
Carga móvel para
M máximoc
Carga móvel para
M mínimoA carga móvel não atua, pois não há LIMC c
d.2) Momentos fletores, máximo e mínimo devido à carga móvel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17. Análise de Mínimo e Máximo do momento fletor em C devido à carga móvel (q) 
gdKíMN � O 
7�PáQR � 50 ∙ 31,506 = 20 ∙ 31,006 = 10 ∙ <
8 ∙ 1,5
2 > 
7�PáQR � 75 = 20 = 60 
gdKáSN � TUU VW 
 
d.3) Momentos fletores, máximo e mínimo finais em C (Envoltória) 
7�PíXY � 7�� = 7�PíXR 
7�PíXY � 390 = 0 
gdKíMZ � \hO VW 
 
7�PáQY � 7�� = 7�PáQR 
7�PáQY � 390 = 155 
gdKáSZ � U_U VW 
 
Teoria das Estruturas II Universidade Federal do Amazonas 19 
 
Prof. Winston Zumaeta Análise de carga móvel 18/04/2015 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
� SUSSEKIND, J.C. Curso de análise estrutural: Estruturas isostáticas. vol. I. 
Editora globo: Porto Alegre, 1979. 
� MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos. Rio de 
Janeiro: Editora Campus, 2010. 
� SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna 
Ltda., 2010.