Cargas Acidentais e Móveis

Prévia do material em texto

Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 1 – Figura 14-57 
 
Na figura abaixo, estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores na seção F e de esforços cortantes 
na seção A. Com base na LIMF, calcule a ordenada da LIQA na seção I indicada. 
 
LIMF F 
I 
A LIQA 
valor pedido 
I 
[m] 
[ ] 
 
 
 
Solução 
 
 
Este é o valor da reação no 
apoio A para que MF = -0.990. 
F 
Este é o valor do momento fletor MF na 
seção F quando a carga unitária passa pela 
seção I. Isto é obtido pela LI MF. 
I 
A 
M 
 
 
Portanto, o valor do esforço cortante na seção A quando a carga passa pela seção I é igual a: 
QA = –0.11. Esta é a ordenada da LI QA pedida. 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 2 – Figura 14-58 
 
Na figura abaixo, estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores nas seções S4 e S10 de uma ponte. 
Calcule a ordenada da LIMS4 na seção indicada. 
 
LIMS4 
LIMS10 
S4 
S10 
valor pedido 
[m] 
[m] 
 
 
 
Solução 
 
 
MS10 = VA x 15 – 1 x 9 = – 1.20 ⇒ VA = 0.52 
MS10 = – 1.20 P = 1 (obtido da LI MS10) 
VA 
MS4 (valor solicitado) 
MS4 = VA x 6 ⇒ MS4 = + 3.12 ⇒ Ordenada solicitada = + 3.12 m 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 3 – Figura 14-59 
 
Na figura abaixo, estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores na seção S7 e de esforços cortantes 
na seção S1 de uma ponte. Calcule a ordenada da LIMS7 na seção indicada. Sugestão: explore a simetria da 
estrutura. 
 
[m] 
[ ] 
LIMS7 
S7 
valor pedido 
LIQS1 
S1 
 
 
 
Solução 
 
 MB = VA x 20 – 1 x 15 = – 1,06 
MB P = 1 
(obtido da LI QS1 = LI VA) 
VA = 0,697 
MS7 = (MB + MC)/2 ⇒ Ordenada solicitada = – 0,37 m 
(obtido da LI VD, que 
é simétrica à LI VA) 
VD = 0,016 
MS7 (valor solicitado) 
MC 
MC = VD x 20 = + 0,32 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 4 – Figura 14-60 
 
Na figura abaixo, estão mostradas as linhas de influência de esforços cortantes nas seções A e D de uma ponte. Os 
valores das ordenadas estão indicados a cada 2 metros. Também está indicada a linha de influência de momentos 
fletores na seção S2. Calcule a ordenada indicada na LIMS2. 
 
[m] 
[ ] 
LIQD 
D 
LIMS2 
S2 
LIQA 
A 
[ ] 
valor pedido 
 
 
 
Solução 
 
 P = 1 
Ordenada solicitada = + 3.343 m 
VA = QA = –0.209 
(obtido da LI QA) 
VD = –QD = –0.051 
(obtido da LI QD) 
1·20/4 = 5 –(2.090+1.224)/2 = –1.657 
5 – 1.657= 3.343 
0.051 · 24 = 1.224 
0.209 · 10 = 2.090 
M 
(carga unitária 
sobre S2) 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 5 – Figura 14-61 
 
Na figura abaixo, estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores e de esforços cortantes na seção S6 
de uma ponte. Calcule a ordenada da LIMS6 na seção indicada. 
 
[m] 
[ ] 
LIMS6 
S6 
LIQS6 
valor pedido 
 
 
 
Solução 
 
 VA = – 0.0667 
P = 1 
(obtido da LI QS6) 
MS6 = VA x 10 ⇒ Ordenada solicitada = – 0.667 m 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 6 – Figura 14-62 
 
Na figura abaixo, estão mostradas as linhas de influência de esforços cortantes na seção S5 e de momentos fletores 
na seção S13 de uma ponte. Calcule as ordenadas indicadas (valores pedidos) da LIQS5. 
 
[m] 
[ ] 
LIQS5 
S13 
valores pedidos 
LIMS13 
S13 
S5 
S5 
A B C 
 
 
 
Solução 
 
 P = 1 
VC = –0.13025 
(obtido da LI MS13) 
VC = –1.0420 ÷ 8 
A 
B 
C 
P = 1 
VC = –0.13025 VA = +0.3958 
VB 
ΣMB = 0 ⇒ – VA x 20 + P x 10 + VC x 16 = 0 
ΣMB = 0 ⇒ – VA x 20 + 1 x 10 + (–0.13025) x 16 = 0 
VA 
+0.3958 
–0.6042 
+0.13025 
LI QS5 
valores pedidos 
S5 
A B C 
–0.6042 
+0.3958 
(esforço cortante em S5 quando a carga unitária 
 está imediatamente à esquerda de S5) 
(esforço cortante em S5 quando a carga unitária 
 está imediatamente à direita de S5) 
M 
Q 
S5 
S5 
MS13 = –1.0420 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 7 – Figura 14-63 
 
Na figura abaixo, estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores nas seções S3 e S7 de uma ponte. 
Calcule a ordenada da LIMS3 na seção indicada. 
 
[m] 
LIMS7 
S7 
valor pedido S3 
LIMS3 
[m] 
 
 
 
Solução 
 
 
S3 P = 1 
S7 
(obtido da LI MS7) MS7 = –0.900 
VC 
VA = +0.425 
MS7 = –0.900 ⇒ VA x 12 – P x 6 = –0.900 
M 
MS3 = VA x 4 = +1.700 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 8 – Figura 14-64 
 
Na figura abaixo, estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores nas seções B e C de uma ponte. Os 
valores das ordenadas estão indicados a cada 2 metros. Também está indicada a linha de influência de momentos 
fletores na seção S2. Calcule a ordenada indicada na LIMS2. 
 
LIMB 
B 
LIMC 
C 
[m] 
LIMS2 
S2 
valor pedido 
[m] 
[m] 
 
 
 
Solução 
 
 P = 1 
Ordenada solicitada = +3.0596 m 
(obtido da LI MB) 
(obtido da LI MC) 
1·8·12/20 = 4.8 –(2.2188·12 +1.0229·8)/20 = –1.7404 
4.8 – 1.7404 = +3.0596 
–1.0229 
–2.2188 
M 
(carga unitária 
sobre S2) 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 9 – Figura 14-65 
 
Para uma viga de ponte, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo, calcule os valores mínimo e 
máximo de momento fletor na seção S3 devidos às cargas permanente e móvel indicadas. Utilize o processo de 
Cross para determinar os momentos fletores dos casos de carregamento identificados. Sabe-se que o valor mínimo 
da linha de influência de momentos fletores na seção S3 está localizado na extremidade esquerda da viga. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI. 
 
S3 
Carga permanente: g = 18 kN/m 
Carga móvel: q = 30 kN/m Q = 200 kN 
(carga de multidão) 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
 
LI MS3 
Carregamento para MS3 mínimo 
Carregamento para MS3 máximo 
 
 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 mínimo: 
 
0 1 1 0 .52 .48 
-1184 +600 -600 +1936 -1936 +144 
 +896 +1792 
 -580 -1161 -1071 -535 
 +1164 +582 
 -151 -303 -279 -139 
 +337 +674 
 -87 -175 -162 -81 
 +238 +119 
 -31 -62 -57 -28 
 +54 +109 
 -14 -28 -26 -13 
 +45 +22 
 -5 -11 -11 -5 
 +9 +18 
 -2 -5 -4 -2 
 +7 +3 
 -1 -2 -1 0 
 +1 0 +1 +2 
 0 -1 0 
-1184 +1184 -1622 +1622 -144 +144 
 
-200⋅4 - 48⋅4
2
/2 18⋅20
2
/12 48⋅22
2
/12 18⋅4
2
/2 
 
 
20 
6 14 
18 
1184 1622 
21.9 21.9 
180 180 
158.1 1184 
18 
(MS3)mín = 158.1 x 6 –1184 
 – 18 x 6 x 3 
(MS3)mín = – 559 kNm 
180 – 21.9 
 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 máximo: 
 
0 1 1 0 .52 .48 
-144 +2188 -1852 +726 -726 +384 
 -2044 -1022 
 +558 +1117 +1031 +515 
 -558 -279 
 +72 +145 +134 +67 
 -120 -240 
 +31 +62 +58 +29 
 -103 -51 
 +13 +27 +24 +12 
 -20 -41 
 +5 +10 +10 +5 
 -18 -9 
 +2 +5 +4 +2 
 -3 -7 
 +1 +2 +1 0 
 -3 -1 
 0 +1 0 
-144 +144 -1845 +1845 -384 +384 
 
-18⋅4
2
/2 
48⋅20
2
/12 + 200⋅6⋅14
2
/20
2
 
18⋅22
2
/12 48⋅4
2
/2 -48⋅20
2
/12 - 200⋅6
2
⋅14/20
2
 
 
 200 
20 
6 1448 
144 1845 
85.1 85.1 
480 480 
140 60 
534.9 144 
48 
(MS3)máx = 534.9 x 6 –144 
 – 48 x 6 x 3 
(MS3)máx = + 2201 kNm 
180 + 480 – 85.1 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução alternativa eliminando os balanços e substituindo as suas cargas por momentos concentrados 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 mínimo: 
 
 
.52 .48 
 +1184 -308 +2832 -144 
 -1312 -1212 
 +1184 -1620 +1620 -144 
 
200⋅4 + 48⋅4
2
/2 -18⋅20
2
/8 + 1184/2 48⋅22
2
/8 - 144/2 18⋅4
2
/2 
1184 144 
 
 
Observa-se que o valor final do momento fletor na seção do apoio 
central difere um pouco da solução anterior. Isto é devido às 
aproximações feitas nos passos do Processo de Cross. 
 
20 
6 14 
18 
1184 1620 
21.8 21.8 
180 180 
158.2 1184 
18 
(MS3)mín = 158.2 x 6 –1184 
 – 18 x 6 x 3 
(MS3)mín = – 559 kNm 
180 – 21.8 
 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 máximo: 
 
 
.52 .48 
 +144 -2874 +897 -384 
 +1028 +949 
 +144 -1846 +1846 -384 
 
48⋅4
2
/2 
-48⋅20
2
/8 - 200⋅6
2
⋅14/20
2
 - 
(200⋅6⋅14
2
/20
2
)/2 + 144/2 18⋅22
2
/8 - 384/2 18⋅4
2
/2 
144 384 
 
 
Observa-se que o valor final do momento fletor na seção do apoio 
central difere um pouco da solução anterior. Isto é devido às 
aproximações feitas nos passos do Processo de Cross. 
 200 
20 
6 14 
48 
144 1846 
85.1 85.1 
480 480 
140 60 
534.9 144 
48 
(MS3)máx = 534.9 x 6 –144 
 – 48 x 6 x 3 
(MS3)máx = + 2201 kNm 
180 + 480 – 85.1 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 10 – Figura 14-66 
 
Para a estrutura cujo modelo é apresentado na figura abaixo, calcule os valores mínimo e máximo de momento 
fletor na seção S8 devidos às cargas permanente e acidental indicadas. Utilize o processo de Cross para analisar a 
estrutura. Todas as barras são inextensíveis e têm a mesma inércia à flexão EI. Utilize duas casas decimais para os 
coeficientes de distribuição de momentos e uma casa decimal para momentos fletores. 
 
S8 
Carga permanente: g = 9 kN/m 
Carga acidental: q = 12 kN/m 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
 
0,25 0,25 
 
0,26 0,39 
g+q g+q g Carregamento que provoca MS8 mínimo 
Carregamento que provoca MS8 máximo 
LI MS8 
Solução pelo Processo de Cross para carregamento que provoca MS8 mínimo: 
0,0 -94,5 +48,0 -48,0 +42,0 0,0 
+23,3 
+11,6 +11,6 +5,8 
0,0 +0,1 
+0,1 
0,0 
0,25 0,25 
 
0,26 0,39 
Solução pelo Processo de Cross para carregamento que provoca MS8 máximo: 
0,0 -40,5 +112,0 +18,0 0,0 
-41,9 
+12,2 -20,9 +24,4 
-10,4 +32,9 
+36,7 
+16,4 
-112,0 
-20,9 
-20,9 
+2,7 
+4,1 
+3,6 
+1,8 
+1,3 -0,7 
-0,3 
-0,3 
-0,3 
-0,1 
+0,1 
+0,0 
+0,0 
-82,9 
+23,3 
+59,6 
-42,2 
+42,1 
+0,1 
0,0 
+11,6 
+11,6 
-61,7 
-42,6 
+104,3 
-95,4 
+58,9 
+36,5 
+18,2 
-21,2 
g g g+q 
104,3 95,4 
168,0 
59,6 42,2 
72,0 
MS8 mínimo = +21,1 kNm 
M 
MS8 máximo = +68,2 kNm 
M 
(Os trechos da LI MS8 nas colunas da estrutura não interessam 
pois as cargas permanente e acidental só atuam nas vigas.) 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 11 – Figura 14-67 
 
Considere o modelo estrutural de uma ponte rodoviária mostrado na figura abaixo. A carga permanente, 
constituída do peso próprio da estrutura, é uniformemente distribuída, tendo sido avaliada em g = 16 kN/m. A 
carga móvel está indicada na figura, sendo que q representa a carga de multidão e as cargas P1 e P2 representam as 
cargas dos eixos do veículo de projeto. Trace as linhas de influência de momentos fletores nas seções A, S1, B e S2, 
indicando valores das ordenadas e das áreas positivas e negativas. Com base na carga permanente e na carga 
móvel, monte uma tabela de momentos fletores mínimos e máximos nas seções A, S1, B e S2. Desenhe as 
envoltórias de momentos fletores máximos e mínimos baseadas nos valores obtidos. 
 
Carga permanente: g = 16 kN/m 
Carga móvel: q = 10 kN/m 
A S1 B S2 
P1 = 50 kN P2 = 100 kN 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Traçado das linhas de influência de momentos fletores nas seções selecionadas e 
posicionamentos críticos da carga móvel 
 S1 S2 A B 
Carga móvel para MS1 mínimo 
Carga móvel para MS1 máximo 
Carga móvel para MB mínimo 
Carga móvel para MB máximo 
Carga móvel para MS2 mínimo 
Carga móvel para MS2 máximo 
LI MS1 
LI MS2 
LI MB 
LI MA 
Carga móvel para MA mínimo 
Carga móvel para MA máximo 
– 
+ 
– 
– 
– 
+ 
q 
q 
q 
q 
q 
q 
P1 P2 
(descarregado) 
(descarregado) 
(descarregado) 
P1 P2 
P2 P1 
P1 P2 
P2 P1 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Determinação dos momentos fletores mínimos e máximos nas seções selecionadas 
(c.p. → carga permanente; c.m. → carga móvel) 
 
( ) kNm00.32)0.2(25.016.. −=−⋅⋅⋅=pcAM 
( ) kNm00.220)0.2(25.010)0.2(100)0(50.. . −=−⋅⋅⋅+−⋅+⋅=
mc
mínAM 
( ) kNm0.. . =
mc
máxAM 
 
( ) [ ] kNm00.8)0.1(85.0)5.1(65.0)0.1(25.016..1 −=−⋅⋅+⋅⋅+−⋅⋅⋅=
pc
SM 
( ) [ ] kNm33.183)0.1(85.0)0.1(25.010)0.1(100)667.0(50.. .1 −=−⋅⋅+−⋅⋅⋅+−⋅+−⋅=
mc
mínSM 
( ) kNm00.220)5.1(65.010)5.1(100)5.0(50.. .1 +=⋅⋅⋅+⋅+⋅=
mc
máxSM 
 
( ) kNm00.128)0.2(85.016.. −=−⋅⋅⋅=pcBM 
( ) kNm67.346)0.2(85.010)0.2(100)333.1(50.. . −=−⋅⋅⋅+−⋅+−⋅=
mc
mínBM 
( ) kNm0.. . =
mc
máxBM 
 
( ) kNm00.72)5.1(65.016..2 +=⋅⋅⋅=
pc
SM 
( ) kNm0.. .2 =
mc
mínSM 
( ) kNm00.220)5.1(65.010)5.1(100)5.0(50.. .2 +=⋅⋅⋅+⋅+⋅=
mc
máxSM 
 
 
 
 Momentos Fletores [kNm] 
Seção Carga Carga Móvel Envoltórias 
 Permanente mínimo máximo mínimo máximo 
A –32.00 –220.00 0.00 –252.00 –32.00 
S1 –8.00 –183.33 +220.00 –191.33 +212.00 
B –128.00 –346.67 0.00 –474.67 –128.00 
S2 +72.00 0.00 +220.00 +72.00 +292.00 
 
 
 
Envoltórias de Momentos Fletores [kNm] 
 
Seção A S1 B S2 
Mín. –252.00 –191.33 –474.67 +72.00 
Máx. –32.00 +212.00 –128.00 +292.00 
 
 
 
Traçado das Envoltórias de Momentos Fletores [kNm] 
 
 
M [kNm] 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 12 – Figura 14-68 
 
Para uma viga de ponte, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo, calcule os valores mínimo e 
máximo de momento fletor na seção S3 devidos às cargas permanente e móvel indicadas. Sabe-se que o valor 
mínimo da linha de influência de momentos fletores na seção S3 está localizado na seção S2 indicada. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI. Utilize o processo de Cross para determinar os momentos fletores, com 
precisão de uma casa decimal para momentos fletores e de duas casas decimais para coeficientes de distribuição de 
momentos. 
 
Carga permanente: g= 18 kN/m 
Carga móvel: q= 30 kN/m Q= 150 kN 
(carga de multidão) 
S3 S2 
 
 
 
Solução 
 
 
LI MS3 
Carregamento para MS3 mínimo 
Carregamento para MS3 máximo 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 mínimo: 
 
0 –225.0 +544.0 –616.0 +576.0 0 
 –137.2 –181.8 –90.6 
 +44.4 +88.8 +41.8 
 –19.1 –25.3 –12.6 
 +4.3 +8.6 +4.0 
 –1.8 –2.5 –1.2 
 +0.4 +0.8 +0.4 
 –0.2 –0.2 –0.1 
 0 +0.1 0 
0 –383.3 +383.3 –622.2 +622.2 0 
 
– 150⋅6
2
⋅4/10
2
 – 48⋅10
2
/12 18⋅16
2
/8 
.43 .57 .68 .32 
18⋅10
2
/8 
+ 150⋅6⋅4
2
/10
2
 + 48⋅10
2
/12 
–383.3 
–622.2 
576 
(MS3)mín = +264.9 kNm 
18⋅16
2
/8 
–622.2/2 = –311.1 
[kNm] 
M 
 
 
 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 máximo: 
 
0 –600.0 +150.0 –150.0 +1986.0 0 
 –624.2 –1248.5–587.5 
 +461.9 +612.3 +306.1 
 –104.0 –208.1 –98.0 
 +44.7 +59.3 +29.6 
 –10.0 –20.1 –9.5 
 +4.3 +5.7 +2.8 
 –0.9 –1.9 –0.9 
 +0.4 +0.5 +0.2 
 0 –0.1 –0.1 
0 –88.7 +88.7 –1290.0 +1290.0 0 
 
+ 3⋅150⋅16/16 + 48⋅16
2
/8 
.43 .57 .68 .32 
48⋅10
2
/8 18⋅10
2
/12 
–88.7 
–1290.0 
2136 
(MS3)máx = +1491.0 kNm 
150⋅16/4 + 48⋅16
2
/8 
–1290.0 / 2 = –645.0 
[kNm] 
M 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 13 – Figura 14-69 
 
Considere o modelo estrutural de uma ponte rodoviária mostrado na figura abaixo. A carga permanente, 
constituída do peso próprio da estrutura, é uniformemente distribuída, tendo sido avaliada em g = 10 kN/m. O 
carregamento móvel está indicado na figura, sendo que q representa a carga de multidão e as cargas P1 e P2 
representam as cargas dos eixos do veículo de projeto. Trace as linhas de influência de esforços cortantes nas 
seções A, Besq, Bdir, C, Desq, Ddir, E, F e G, indicando valores das ordenadas e das áreas positivas e negativas. Com 
base na carga permanente e na carga móvel, monte uma tabela de esforços cortantes mínimos e máximos nessas 
seções. Desenhe as envoltórias de esforços cortantes máximos e mínimos baseadas nos valores obtidos. 
 
Carga permanente: g = 10 kN/m 
Carregamento móvel: q = 12 kN/m 
P1 = 40 kN P2 = 80 kN 
A Besq Bdir Desq Ddir C E F G 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
Traçado das linhas de influência de esforços cortantes nas seções selecionadas e 
posicionamentos críticos da carga móvel 
 
LI QBesq 
LI QC 
LI QA 
LI QBdir 
A 
Besq 
Bdir 
C 
Desq LI QDesq 
Carreg. móvel para QA mínimo 
Carreg. móvel para QA máximo 
Carreg. móvel para QBesq mínimo 
Carreg. móvel para QBesq máximo 
Carreg. móvel para QBdir mínimo 
Carreg. móvel para QBdir máximo 
Carreg. móvel para QC mínimo 
Carreg. móvel para QC máximo 
Carreg. móvel para QDesq mínimo 
Carreg. móvel para QDesq máximo 
Nenhum carregamento 
Nenhum carregamento 
LI QG 
LI QF 
Ddir 
E 
F 
G 
LI QDdir 
Carreg. móvel para QDdir mínimo 
Carreg. móvel para QDdir máximo 
Carreg. móvel para QE mínimo 
Carreg. móvel para QE máximo 
Carreg. móvel para QF mínimo 
Carreg. móvel para QF máximo 
Carreg. móvel para QG mínimo 
Carreg. móvel para QG máximo 
Nenhum carregamento 
LI QE 
Nenhum carregamento 
Nenhum carregamento 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Determinação dos esforços cortantes mínimos e máximos nas seções 
(c.p. → carga permanente; c.m. → carregamento móvel) 
 
( ) kN0.. =pcAQ ( ) [ ] kN0.30)0.1(310
..
−=−⋅⋅=
pc
BesqQ 
( ) kN0.80)0.1(80.. . −=−⋅=
mc
mínAQ ( ) [ ] kN0.156)0.1(312)0.1(40)0.1(80
..
.
−=−⋅⋅+−⋅+−⋅=
mc
mínBesq
Q 
( ) kN0.. . =
mc
máxAQ ( ) kN0
..
.
=
mc
máxBesq
Q 
 
( ) [ ] kN5.52)25.0(95.0)0.1(125.0)25.0(35.010.. +=−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=pcBdirQ 
( ) [ ] kN5.38)25.0(95.012)125.0(40)25.0(80..
.
−=−⋅⋅⋅+−⋅+−⋅=
mc
mínBesq
Q 
( ) [ ] kN5.186)0.1(125.0)25.0(35.012)75.0(40)0.1(80..
.
+=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=
mc
máxBesq
Q 
 
( ) [ ] kN5.7)25.0(95.0)5.0(65.0)5.0(65.0)25.0(35.010.. −=−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=pcCQ 
( ) [ ] kN5.81)25.0(95.0)5.0(65.012)5.0(80)25.0(40.. . −=−⋅⋅+−⋅⋅⋅+−⋅+−⋅=
mc
mínCQ 
( ) [ ] kN5.72)5.0(65.0)25.0(35.012)25.0(40)5.0(80.. . +=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=
mc
máxCQ 
 
( ) [ ] kN5.67)25.0(95.0)0.1(125.0)25.0(35.010.. −=−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅⋅=pcDesqQ 
( ) [ ] kN5.195)25.0(95.0)0.1(125.012)0.1(80)75.0(40..
.
−=−⋅⋅+−⋅⋅⋅+−⋅+−⋅=
mc
mínDesq
Q 
( ) [ ] kN5.24)25.0(35.012)0(40)25.0(80..
.
+=⋅⋅⋅+⋅+⋅=
mc
máxDesq
Q 
 
( ) [ ] kN0.60)0.1(65.0)0.1(310.. +=⋅⋅+⋅⋅=pcDdirQ 
( ) kN0.. . =
mc
mínDdirQ 
( ) [ ] kN0.192)0.1(65.0)0.1(312)0.1(40)0.1(80.. . +=⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅=
mc
máxDdirQ 
 
( ) [ ] kN0.30)0.1(65.010.. +=⋅⋅⋅=pcEQ 
( ) kN0.. . =
mc
mínEQ 
( ) [ ] kN0.136)0.1(65.012)5.0(40)0.1(80.. . +=⋅⋅⋅+⋅+⋅=
mc
máxEQ 
 
( ) [ ] kN0)5.0(35.0)5.0(35.010.. =⋅⋅+−⋅⋅⋅=pcFQ 
( ) [ ] kN0.49)5.0(35.012)5.0(80)0(40.. . −=−⋅⋅⋅+−⋅+⋅=
mc
mínFQ 
( ) [ ] kN0.49)5.0(35.012)0(40)5.0(80.. . +=⋅⋅⋅+⋅+⋅=
mc
máxFQ 
 
( ) [ ] kN0.30)0.1(65.010.. −=−⋅⋅⋅=pcGQ 
( ) [ ] kN0.136)0.1(65.012)0.1(80)5.0(40.. . −=−⋅⋅⋅+−⋅+−⋅=
mc
mínGQ 
( ) kN0.. . =
mc
máxGQ 
 
 
Tabela das envoltórias de esforços cortantes mínimos e máximos 
 
Seção A Besq Bdir C Desq Ddir E F G 
Esforço cortante 
 mínimo (kN) 
-80.0 -186.0 +14.0 -89.0 -263.0 +60 +30.0 -49.0 -166.0 
Esforço cortante 
máximo (kN) 
0.0 -30.0 +239.0 +65.0 -43.0 +252.0 +166.0 +49.0 -30.0 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
 
Traçado das Envoltórias de Esforços Cortantes [kN] 
 
 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 14 – Figura 14-70 
 
Na figura abaixo estão mostradas as linhas de influência de esforços cortantes na seção S2 e de momentos fletores 
na seção B de uma ponte. Calcule as ordenadas indicadas (valores pedidos) da LI QS2. 
 
LI QS2 
valores pedidos 
LI MB 
S2 
S2 A B C 
B 
[m] 
[ ] 
 
 
 
Solução 
 
 P = 1 
VC = +0.42788 
(obtido da LI MB) 
VC = (–0.7212 + 1x5) ÷ 10 
A 
B 
C 
VB VA 
M 
S2 
MB = –0.7212 
P = 1 
+0.57212 
–0.42788 
Q 
S2 
VC = +0.42788 
+0.57212 
–0.42788 
valores pedidos 
LI QS2 
A B 
C 
(esforço cortante em S2 quando a carga unitária 
 está imediatamente à esquerda de S2) 
(esforço cortante em S2 quando a carga unitária 
 está imediatamente à direita de S2) 
VB VA 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 15 – Figura 14-71 
 
Na figura abaixo estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores na seção S7 e de esforços cortantes 
na seção S1 de uma ponte. Calcule a ordenada da LI MS7 na seção que está indicada. Sugestão: explore a simetria 
da estrutura. 
 
LI MS7 
S7 
valor pedido 
LI QS1 
S1 
[m] 
[ ] 
 
 
 
Solução 
 
 MB = VA x 20 – 1 x 15 = – 1,06 
MB P = 1 
(obtido da LI QS1 = LI VA) 
VA = 0,697 
MS7 = (MB + MC)/2 ⇒ Ordenada solicitada = – 0,37 m 
(obtido da LI VD, que 
é simétrica à LI VA) 
VD = 0,016 
MS7 (valor solicitado) 
MC 
MC = VD x 20 = + 0,32 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 16 – Figura 14-72 
 
Na figura abaixo estão mostradas as linhas de influência de esforços cortantes na seção S1 e de momentos fletores 
na seção B de uma ponte. Calcule as ordenadas indicadas (valores pedidos) da LI QS1. 
 
[m] 
[ ] 
LI QS1 
valores pedidos 
LI MB 
S1 
S1 A B C 
B 
 
 
 
Solução 
 
 P = 1 
VA = +0.42788 
(obtido da LI MB) 
VA = (–0.7212 + 1x5) ÷ 10 
A 
B 
C 
VB VA 
M 
S1 
MB = –0.7212 
P = 1 
+0.42788 
Q 
S1 
VA = +0.42788 
+0.42788 
valores pedidos 
LI QS1 
A B C 
(esforço cortante em S1 quando a carga unitária 
 está imediatamente à esquerda de S1) 
(esforço cortante em S1 quando a carga unitária 
 está imediatamente à direita de S1) 
VB VA 
–0.57212 
–0.57212 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 17 – Figura 14-73 
 
Você está envolvido no projeto de um edifício e a sua tarefa é determinar as envoltórias de momentos fletores de 
uma viga cujo sistema estrutural está mostrado na figura abaixo. A viga tem inércia à flexão EI constante ao longo 
de toda a sua extensão. A carga permanente, constituída do peso próprio da estrutura, é uniformemente 
distribuída, tendo sido avaliada em g = 4 kN/m. A carga acidental de projeto também é uniformemente distribuída 
e está estipulada em q = 8 kN/m. A carga acidental não tem extensão definida, isto é, sua atuação deve ser obtida 
de forma a majorar ou minorar o momento fletor em uma determinadaseção. 
 
A B C D S1 S2 S3 
 
Figura 14.73 – Exercício proposto 17. 
As envoltórias de valores mínimos e máximos de momentos fletores devem ser traçadas com base em valores 
calculados nas seções S1, B, S2, C, S3 e D. Momentos fletores são considerados positivos quando tracionam as fibras 
inferiores e negativos quando tracionam as fibras superiores. 
Pede-se: 
(a) Desenhe os aspectos das linhas de influência (LI) de momentos fletores nas seções S1, B, S2, C, S3 e D. 
(b) Com base nas linhas de influência traçadas, defina os carregamentos que devem atuar na viga de forma a 
minorar e majorar os momentos fletores nas seções indicadas. Indique, para cada carregamento, os vãos 
onde atuam somente a carga permanente e os vãos onde atuam a carga permanente e a carga acidental. 
(c) Identifique e numere todos os diferentes casos de carregamento que aparecem no item (b). Com base na 
carga permanente e na carga acidental, para cada caso de carregamento identificado, determine o diagrama 
de momentos fletores utilizando o processo de Cross. Adote precisão de 1 kNm, isto é, faça as aproximações 
para os valores de momentos fletores sem nenhuma casa decimal. Para os coeficientes de distribuição de 
momentos utilize duas casas decimais. 
(d) Monte uma tabela com os valores mínimos e máximos de momentos fletores calculados nas seções S1, B, S2, 
C, S3 e D. 
(e) Desenhe as envoltórias de momentos fletores mínimos e máximos baseadas nos valores obtidos no item (d). 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Itens (a) e (b) – Traçado das Linhas de Influência e definição dos casos de carregamento 
 
 
Carregamento para MS1 mínimo 
Carregamento para MS1 máximo 
Carregamento para MB mínimo 
Carregamento para MB máximo 
Carregamento para MS2 mínimo 
Carregamento para MS2 máximo 
Carregamento para MC mínimo 
Carregamento para MC máximo 
Carregamento para MS3 mínimo 
Carregamento para MS3 máximo 
+ 
– 
– 
– 
– – 
– – 
– 
– – 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ + 
+ 
Carregamento (I) 
Carregamento (II) 
Carregamento (III) 
Carregamento (IV) 
Carregamento (II) 
Carregamento (I) 
Carregamento (II) 
Carregamento (I) 
Carregamento (V) 
Carregamento (VI) 
Carregamento (I) 
Carregamento (II) 
A B C D S1 S2 S3 
g+q 
g 
g 
g 
g+q 
g+q 
LI MS1 
LI MS2 
LI MS3 
LI MB 
LI MC 
LI MD 
Carregamento para MD mínimo 
Carregamento para MD máximo 
g+q g+q 
g 
g+q 
g g 
g+q 
g 
g+q 
g g 
g+q 
g+q g+q 
g 
g g 
g+q 
g g 
g+q 
g+q 
g 
g+q 
g+q 
g 
g+q 
g 
g+
g 
g+q 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (c) – Soluções dos casos de carregamento pelo Processo de Cross 
 
Carregamento (I) 
 
0.36 0.64 0.50 0.50 
 
 0 –32 +36 –36 +12 –12 
 +6 ← +12 +12 → +6 
 –4 –6 → –3 
 0 ← +1 +2 → +1 
 0 –36 +36 –26 +26 –5 
 
 
MI [kNm] 
–36 
–26 
–5 
–18 
–31 
–15 
32 54 18 
+14 
+23 
+3 
 
 (sinal positivo ⇒ traciona as fibras de baixo; sinal negativo ⇒ traciona as fibras de cima) 
 
 
Carregamento (II) 
 
0.36 0.64 0.50 0.50 
 
 0 –96 +12 –12 +36 –36 
 +30 +54 → +27 
 –12 ← –25 –26 → –13 
 +4 +8 → +4 
 –1 ← –2 –2 → –1 
 0 +1 → 0 
 0 –62 +62 –8 +8 –50 
 
 
 
MII [kNm] 
18 
96 
–62 
–50 
–8 
54 
–31 
+65 
–17 
–35 –29 
+25 
 
 (sinal positivo ⇒ traciona as fibras de baixo; sinal negativo ⇒ traciona as fibras de cima) 
 
 
Carregamento (III) 
 
0.36 0.64 0.50 0.50 
 
 0 –96 +36 –36 +12 –12 
 +22 +38 → +19 
 +1 ← +2 +3 → +1 
 0 –1 → 0 
 0 –74 +74 –15 +15 –11 
 
 
MIII [kNm] 
96 
–74 
–11 –15 54 
18 
–13 
–37 
+59 
+9 +5 
–45 
 
 (sinal positivo ⇒ traciona as fibras de baixo; sinal negativo ⇒ traciona as fibras de cima) 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (c) – Soluções dos casos de carregamento pelo Processo de Cross (cont.) 
 
Carregamento (IV) 
 
0.36 0.64 0.50 0.50 
 
 0 –32 +12 –12 +36 –36 
 –6 ← –12 –12 → –6 
 +9 +17 → +8 
 –2 ← –4 –4 → –2 
 +1 +1 → 0 
 0 –22 +22 –20 +20 –44 
 
 
 
32 
MIV [kNm] 
–22 
18 54 
–20 
–44 
–21 
–11 
–32 
+21 
–3 
+22 
 
 (sinal positivo ⇒ traciona as fibras de baixo; sinal negativo ⇒ traciona as fibras de cima) 
 
 
Carregamento (V) 
 
0.36 0.64 0.50 0.50 
 
 0 –32 +36 –36 +36 –36 
 –1 –3 → –1 
 0 ← +1 0 
 0 –33 +33 –36 +36 –36 
 
 
MV [kNm] 
32 
–33 
54 54 
–36 –36 –34 
–16 
–36 
+16 +20 +18 
 (sinal positivo ⇒ traciona as fibras de baixo; sinal negativo ⇒ traciona as fibras de cima) 
 
 
Carregamento (VI) 
 
0.36 0.64 0.50 0.50 
 
 0 –96 +12 –12 +12 –12 
 +30 +54 → +27 
 –6 ← –13 –14 → –7 
 +2 +4 → +2 
 0 ← –1 –1 → 0 
 0 –64 +64 +3 –3 –19 
 
 
MVI [kNm] 
96 
–64 
18 
18 +3 
–19 
–30 –32 
–8 
+64 
–12 
+10 
 
 (sinal positivo ⇒ traciona as fibras de baixo; sinal negativo ⇒ traciona as fibras de cima) 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (d) – Tabela de Envoltórias de Momentos Fletores 
 
Seção S1 B S2 C S3 D 
Mín. +14 –74 –17 –36 +3 –50 
Máx. +65 –22 +23 +3 +25 –5 
 
 (sinal positivo ⇒ traciona as fibras de baixo; sinal negativo ⇒ traciona as fibras de cima) 
 
 
Item (e) – Traçado das Envoltórias de Momentos Fletores 
 
Mmín [kNm] 
Mmáx [kNm] 
–74 
+3 
–50 
+23 
+14 
+3 
+65 
–17 
+25 
–22 
–36 
–5 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 18 – Figura 14-74 
 
Na figura abaixo estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores na seção F e de esforços cortantes na 
seção K de uma ponte. Com base na LI MF, calcule a ordenada da LI QK na seção C indicada. 
 
LI MF 
F 
C LI QK 
valor pedido 
[m] 
[ ] 
K 
C 
 
 
 
Solução 
 
 
F 
Portanto, o valor do esforço cortante na seção K quando a 
carga passa pela seção C é igual a: QK = +0.11, pois, pela 
convenção de sinais, o esforço cortante para uma força 
transversal que vem pela direita com sentido para baixo é 
positivo. Esta é a ordenada da LI QK pedida: +0.11. 
 
K 
C 
Este é o valor da reação no 
apoio K para que MF = -0.990. 
Este é o valor do momento fletor MF na 
seção F quando a carga unitária passa pela 
seção I. Isto é obtido pela LI MF. 
M 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 19 – Figura 14-75 
 
Para uma viga de ponte, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo, calcule os valores mínimo e 
máximo de momento fletor na seção S3 devidos às cargas permanente e móvel indicadas. Sabe-se que o valor 
mínimo da linha de influência de momentos fletores na seção S3 está localizado na seção S2 indicada. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI. Utilize o processo de Cross para determinar os momentos fletores, com 
precisão de uma casa decimal para momentos fletores e de duas casas decimais para coeficientes de distribuição de 
momentos. 
 
Carga permanente: g= 18 kN/m 
Carga móvel: q= 30 kN/m Q= 200 kN 
(carga de multidão) 
S2 S3 
 
 
 
Solução 
 
 
LI MS3 
Carregamento para MS3 mínimo 
Carregamento para MS3 máximo 
 
 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS1 mínimo: 
 
0 –729.0 +592.0 –688.0 +225.0 0 
 +131.9 +263.9 +199.1 
 +1.5 +3.6 +1.8 
 –0.5 –1.0 –0.8 
 +0.1 +0.4 +0.2 
 0 –0.1 –0.1 
0 –727.4 +727.4 –423.2 +423.2 0 
 
– 200⋅4⋅6
2
/10
2
 – 48⋅10
2
/12 18⋅10
2
/8 18⋅18
2
/8 
+ 200⋅4
2
⋅6/10
2
 + 48⋅10
2
/12 
–727.4 
–423.2 
225 
(MS3)mín = +13.4 kNm 
–423.2/2 = –211.6 [kNm] 
M 
.29 .71 .57 .43 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz FernandoMartha 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS1 máximo: 
 
0 –1944.0 +150.0 –150.0 +975.0 0 
 +520.3 +1273.7 +636.8 
 –416.6 –833.2 –628.6 
 +120.8 +295.8 +147.9 
 –42.1 –84.3 –63.6 
 +12.2 +29.9 +14.9 
 –4.2 –8.5 –6.4 
 +1.2 +3.0 +1.5 
 –0.4 –0.9 –0.6 
 +0.1 +0.3 +0.1 
 0 –0.1 0 
0 –1289.4 +1289.4 –275.8 +275.8 0 
 
48⋅18
2
/8 + 3⋅200⋅10/16 + 48⋅10
2
/8 18⋅10
2
/12 
[kNm] 
M 
.29 .71 .57 .43 
–1289.4 
–275.8 
1100 
(MS3)máx = +962.1 kNm 
200⋅10/4 + 48⋅10
2
/8 
–275.8/2 = –137.9 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 20 – Figura 14-76 
 
Para a viga Gerber mostrada na figura abaixo, trace as linhas de influência de esforços cortantes nas seções A, Besq, 
Bdir, C, Desq, Ddir, E, F e G, indicando valores das ordenadas positivas e negativas. 
 A Besq Bdir Desq Ddir C E F G 
 
 
 
Solução 
 
 
LI QBesq 
LI QC 
LI QA 
LI QBdir 
A 
Besq 
Bdir 
C 
Desq LI QDesq 
LI QG 
LI QF 
Ddir 
E 
F 
G 
LI QDdir 
LI QE 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 21 – Figura 14-77 
 
Para uma viga de ponte, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo, calcule os valores mínimo e 
máximo de momento fletor na seção S3 devidos à carga permanente e à carga móvel, indicadas na figura. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI. Utilize o processo de Cross para determinar os momentos fletores, com 
precisão de 1 kNm para momentos fletores (nenhuma casa decimal) e de duas casas decimais para coeficientes de 
distribuição de momentos. Considere que o valor mínimo da LI S3 está localizado na extremidade do balanço da 
direita da viga. 
 
S3 
Carga permanente: g = 18 kN/m 
Carga móvel: q = 30 kN/m Q = 200 kN 
(carga de multidão) 
 
 
 
Solução 
 
 
LI MS3 
Carregamento para MS3 mínimo 
Carregamento para MS3 máximo 
3S 
 
 
 
 
Solução eliminando os balanços e substituindo as suas cargas por momentos concentrados 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 mínimo: 
 
 
.48 .52 
 +144 –2832 +308 –1184 
 +1212 +1312 
 +144 –1620 +1620 –1184 
 
200⋅4 + 48⋅4
2
/2 
+18⋅20
2
/8 –1184/2 –48⋅22
2
/8 + 144/2 
18⋅4
2
/2 
48⋅22
2
/8 18⋅20
2
/8 
144 1184 144/2 1184/2 
144 1184 
22 m 20 m 
 
 
20 
6 14 
18 
1184 1620 
21.8 21.8 
180 180 
3
18 14 (20 14)
2
1620 6 1184 14
20
SM
⋅ ⋅ −
= +
⋅ + ⋅
−
 
( )3 mín 559 kNmSM = − 
3S 
3S 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
 
[kNm] 
M 3S
 
 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 máximo: 
 
 
 +384 –897 +2874 –144 
 –949 –1028 
 +384 –1846 +1846 –144 
 
18⋅4
2
/2 
200⋅(2⋅14⋅6
2
+14
2
⋅6)/(2⋅20
2
) 
+ 48⋅20
2
/8 – 144/2 –18⋅22
2
/8 + 384/2 
48⋅4
2
/2 
.48 .52 
18⋅22
2
/8 48⋅20
2
/8 
384 144 384/2 144/2 
384 144 
22 m 20 m 
200⋅(2⋅14⋅6
2
+14
2
⋅6)/(2⋅20
2
) 200 
6 14 
 
 200 
48 
144 1846 
85.1 85.1 
480 480 
140 60 
20 
6 14 
3
48 14 (20 14)200 14 6
20 2
1846 6 144 14
20
S
M
⋅ ⋅ −⋅ ⋅
= + +
⋅ + ⋅
−
( )3 máx 2201 kNmSM = + 
3S 
3S 
3S 
 
 
 
[kNm] 
M 
3S 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução alternativa sem eliminar os balanços 
 
Observa-se que os valores finais do momento fletor na seção do apoio central diferem um pouco da solução 
anterior. Isto é devido às aproximações feitas nos passos do Processo de Cross. 
 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 mínimo: 
 
0 1 1 0 .48 .52 
–144 +1936 –1936 +600 –600 +1184 
 –1792 –896 
 +535 +1071 +1161 +580 
 –582 –1164 
 +139 +279 +303 +151 
 –674 –337 
 +81 +162 +175 +87 
 –119 –238 
 +28 +57 +62 +31 
 –109 –54 
 +13 +26 +28 +14 
 –22 –45 
 +5 +11 +11 +5 
 –18 –9 
 +2 +4 +5 +2 
 –3 –7 
 0 +1 +2 +1 
 –2 –1 
 0 +1 0 
 0 –1 
–144 +144 –1622 +1622 –1184 +1184 
 
+200⋅4 + 48⋅4
2
/2 18⋅20
2
/12 48⋅22
2
/12 –18⋅4
2
/2 
 
 
20 
6 14 
18 
1184 1622 
21.9 21.9 
180 180 
3
18 14 (20 14)
2
1622 6 1184 14
20
SM
⋅ ⋅ −
= +
⋅ + ⋅
−
 
( )3 mín 559 kNmSM = − 
3S 
3S 
 
 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca MS3 máximo: 
 
–384 +726 –726 +1852 –2188 +144 
 +1022 +2044 
 –515 –1031 –1117 –558 
 +279 +558 
 –67 –134 –145 –72 
 +240 +120 
 –29 –58 –62 –31 
 +51 +103 
 –12 –24 –27 –13 
 +41 +20 
 –5 –10 –10 –5 
 +9 +18 
 –2 –4 –5 –2 
 +7 +3 
 0 –1 –2 –1 
 +1 +3 
 0 –1 0 
–384 +384 –1845 +1845 –144 +144 
 
+18⋅4
2
/2 
–48⋅20
2
/12 – 200⋅6⋅14
2
/20
2
 
18⋅22
2
/12 –48⋅4
2
/2 +48⋅20
2
/12 + 200⋅6
2
⋅14/20
2
 
0 1 1 0 .48 .52 
 
 200 
48 
144 1845 
85.1 85.1 
480 480 
140 60 
20 
6 14 
3
48 14 (20 14)200 14 6
20 2
1845 6 144 14
20
S
M
⋅ ⋅ −⋅ ⋅
= + +
⋅ + ⋅
−
( )3 máx 2202 kNmSM = + 
3S 
3S 
3S 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 22– Figura 14-78 
 
Na figura abaixo estão mostradas a linha de influência de esforços cortantes na seção A e a linha de influência de 
momentos fletores na seção C de uma ponte. Os valores das ordenadas das linhas de influência estão indicados a 
cada 2 metros. Também está indicada a linha de influência de momentos fletores na seção S2. Calcule a ordenada 
indicada na LI MS2. 
 
LI MS2 
S2 
valor pedido 
LI MC 
C 
LI QA 
A 
[m] 
[ ] 
[m] 
 
 
 
Solução 
 
 
MS2 = +2.9847 m 
P = 1 (obtido da LI MC) 
VA = – 0.1451 
MS2 (valor solicitado) (obtido da LI QA) 
VA x 12 = 
2
1.7412 10 1.1080 8 1 8 10
18 18
S
M
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= − + 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 23– Figura 14-79 
 
Para a viga mostrada na figura abaixo, calcule os valores mínimo e máximo do esforço cortante na seção Cdir (seção 
transversal localizada imediatamente à direita do apoio C) devidos à carga permanente e à carga acidental 
indicadas na figura. Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI. Utilize o processo de Cross para determinar 
os momentos fletores na viga, com precisão de 1 kNm para momentos fletores (nenhuma casa decimal) e de uma 
casa decimal para coeficientes de distribuição de momentos. 
 
Carga permanente: g = 8 kN/m 
Carga acidental: q = 12 kN/m 
A B C Cdir D E 
 
 
 
Solução 
 
 Carregamento para QCdir mínimo 
Carregamento para QCdir máximo 
LI QCdir 
dirC 
 
 
 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca QCdir mínimo: 
 
 
0.4 0.6 
 +40 –16 –4 –40 
 +8 +12 
 +40 –8 +8 –40 
 
20⋅2
2
/2 
+8⋅4
2
/8 –40/2 –8⋅6
2
/8 + 40/2 
20⋅2
2
/2 
8⋅6
2
/8 8⋅4
2
/8 
40 40 40/2 40/2 
40 40 
 
 
[kNm] 
M 
 
 
 
 
40 8 
8 8 
16 16 
( )dir mín 8 kNCQ = + 
dirC 
dirC 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução pelo Processo de Cross para o carregamento que provoca QCdir máximo: 
 
 
 +16 –82 +32 –16 
 _+20 +30 
 +16 –62 +62 –16 
 
8⋅2
2
/2 
+ 20⋅4
2
/8 – 16/2 –20⋅6
2
/8 + 16/2 
8⋅2
2
/2 
0.4 0.6 
20⋅6
2
/8 20⋅4
2
/8 
16 16 16/2 16/2 
16 16 
 
 
[kNm] 
M 
 
 
16 62 
11.5 11.5 
40 40 
( )dir máx 51.5 kNCQ = + 
dirC 
dirC 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 24– Figura 14-80 
 
Na figura abaixo estão mostradas a linha de influência de momentos fletores na seção S1 e a linha de influência de 
momentos fletores na seção C de uma viga. Os valores das ordenadas das linhas de influência estão indicadosa 
cada metro. Calcule a ordenada indicada na LI MS1. 
 
LI MS1 
S1 
valor pedido 
LI MC 
C 
[m] 
[m] 
 
 
 
Solução 
 
 
MS1 = VA x 2 VA x 6 – P x 3 = –0.6750 VA = +0.3875 MS1 = +0.7750 m 
P = 1 
(obtido da LI MC) 
VA MS1 
(valor solicitado) 
MC = – 0.6750 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 25– Figura 14-81 
 
Na figura abaixo estão mostradas as linhas de influência de esforços cortantes nas seções S1 e S3 de uma ponte. Os 
valores das ordenadas estão indicados a cada 2 metros. Também está indicada a linha de influência de momentos 
fletores na seção S2. Calcule a ordenada indicada na LI MS2. 
 
S1 
LI MS2 
valor pedido 
S2 
LI QS1 
S3 LI QS3 
[m] 
[ ] 
[ ] 
 
 
 
Solução 
 
 
P = 1 
Ordenada solicitada = + 3.3199 m 
VA = QS1 = –0.15681 
(obtido da LI QS1) 
VD = –QS3 = –0.08214 
(obtido da LI QS3) 
1·20/4 = 5 
–(1.8817 + 1.4785) / 2 = –1.6801 
5 – 1.6801 = 3.3199 
–0.08214 · 18 = –1.4785 
–0.15681 · 12 = –1.8817 
M 
(carga unitária 
sobre S2) 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 26– Figura 14-82 
 
Considere o modelo estrutural de uma ponte. Na figura abaixo estão mostradas as linhas de influência de 
momentos fletores nas seções S7 e S9 e a linha de influência de esforço cortante na seção S1. Calcule a ordenada da 
LI MS7 na seção que está indicada. 
 
LI MS7 
S7 
valor pedido 
S9 
LI MS9 
LI QS1 
S1 
[m] 
[ ] 
[m] 
 
 
 
Solução 
 
 MS5 = VA x 20 – 1 x 10 = – 1,7260 
MS5 P = 1 
(obtido da LI QS1 = LI VA) 
VA = 0,4137 
MS7 = (MS5 + MS9)/2 ⇒ Ordenada solicitada = –0,5820 m 
(obtido da LI MS9) 
MS7 
(valor solicitado) 
MS9 
MS9 = +0,5621 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 27– Figura 14-83 
 
Você está envolvido no projeto de uma ponte rodoviária cujo sistema estrutural está mostrado na figura abaixo. A 
carga permanente, constituída do peso próprio da estrutura, é uniformemente distribuída (g), com valor indicado 
na figura. O carregamento móvel está indicado na figura, sendo que q representa a carga acidental de multidão e 
as cargas P1 e P2 representam as cargas dos eixos do veículo de projeto. A carga de multidão não tem extensão 
definida, isto é, a sua área de atuação deve ser obtida de forma a majorar ou minorar um determinado efeito. 
Pede-se: 
(a) Trace as Linhas de Influência (LI) de esforços cortantes na seções A, Besq, Bdir, C, Desq, Ddir, Eesq, Edir e F, 
indicando valores das ordenadas e das áreas positivas e negativas. 
(b) Indique as posições do carregamento móvel que provocam os valores mínimo e máximo do esforço cortante 
para cada uma dessas seções. 
(c) Com base na carga permanente e na carga móvel, monte uma tabela de esforços cortantes mínimos e 
máximos nessas seções. 
(d) Desenhe as envoltórias de esforços cortantes máximos e mínimos baseadas nos valores obtidos no item (c). 
 
A 
Carga permanente: g = 12 kN/m 
Carga móvel: 
q = 4 kN/m 
Besq Bdir C Desq Ddir Eesq Edir F 
P1 = 10 kN P2 = 20 kN 
(carga acidental de multidão) 
 
 
 
Solução 
 
Esforços cortantes da carga permanente 
 
Carga Permanente: 
Esforços Cortantes [kN] 
A Besq Bdir C Desq Ddir Eesq Edir F 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Itens (a) e (b): Determinação dos esforços cortantes mínimos e máximos da carga móvel 
 
 
Posição da carga móvel 
para QA mínimo 
Posição da carga móvel 
para QA máximo 
(carga móvel não atuando) 
LIQA A 
 
 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 20.0 kN
c m
A mín
Q = ⋅ − = − 
( ) 0.. . =
mc
máxAQ 
 
Posição da carga móvel 
para QBesq mínimo 
Posição da carga móvel 
para QBesq máximo 
(carga móvel não atuando) 
LIQBesq 
Besq 
 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 10 ( 1.00) 4 4 ( 1.00) 46.0 kN
c m
Besq
mín
Q = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ − = − 
( ) 0..
.
=
mc
máxBesq
Q 
 Posição da carga móvel 
para QBdir mínimo 
Posição da carga móvel 
para QBdir máximo 
LIQBdir 
Bdir 
(carga móvel não atuando) 
 
 
( )
. .
.
0
c m
Bdir mín
Q = 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 10 ( 0.50) 4 0.5 4 ( 1.00) 4 0.5 4 ( 1.00) 41.0 kN
c m
Bdir máx
Q = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + = + 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
 
Posição da carga móvel 
para QC mínimo 
Posição da carga móvel 
para QC máximo 
LIQC 
C 
 
 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 10 ( 0.50) 4 0.5 4 ( 1.00) 33.0 kN
c m
C mín
Q = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − = − 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 10 ( 0.50) 4 0.5 4 ( 1.00) 33.0 kN
c m
C máx
Q = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + = + 
 
Posição da carga móvel 
para QDesq mínimo 
Posição da carga móvel 
para QDesq máximo 
LIQDesq 
Desq 
 
 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 10 ( 1.00) 4 0.5 4 ( 1.00) 4 4 ( 1.00) 54.0 kN
c m
Desq mín
Q = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − = − 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 10 ( 0.50) 4 0.5 4 ( 1.00) 33.0 kN
c m
Desq máx
Q = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + = + 
 
Posição da carga móvel 
para QDdir mínimo 
Posição da carga móvel 
para QDdir máximo 
LIQDdir 
Ddir 
 
 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 0.67) 10 ( 0.33) 4 0.5 4 ( 0.67) 4 0.5 3 ( 0.50) 25.0 kN
c m
Ddir mín
Q = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − = − 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 10 ( 0.67) 4 0.5 8 ( 0.67) 4 0.5 6 ( 1.00) 49.3 kN
c m
Ddir máx
Q = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + = + 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
 
Posição da carga móvel 
para QEesq mínimo 
Posição da carga móvel 
para QEesq máximo 
LIQEesq 
Eesq 
 
 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 10 ( 0.67) 4 0.5 4 ( 0.67) 4 0.5 6 ( 1.00) 4 0.5 3 ( 0.50) 47.0 kN
c m
Eesq mín
Q = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − = − 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 0.67) 10 ( 0.33) 4 0.5 8 ( 0.67) 27.3 kN
c m
Eesq máx
Q = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + = + 
 Posição da carga móvel 
para QEdir mínimo 
Posição da carga móvel 
para QEdir máximo 
LIQEdir 
Edir 
(carga móvel não atuando) 
 
 
( )
. .
.
0
c m
Edir mín
Q = 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 10 ( 1.00) 4 3 ( 1.00) 42.0 kN
c m
Edir máx
Q = ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ⋅ + = + 
 Posição da carga móvel 
para QF mínimo 
Posição da carga móvel 
para QF máximo 
LIQF 
(carga móvel não atuando) 
F 
 
 
( )
. .
.
0
c m
F mín
Q = 
( ) [ ]
. .
.
20 ( 1.00) 20.0 kN
c m
F máx
Q = ⋅ + = + 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
 
Item (c): 
 
 Envoltórias de Esforços Cortantes [kN] 
Seção Carga Carga Móvel Envoltórias 
 Permanente mínimo máximo mínimo máximo 
A 0.0 –20.0 0.0 –20.0 0.0 
Besq –48.0 –46.0 0.0 –94.0 –48.0 
Bdir +48.0 0.0 +41.0 +48.0 +89.0 
C 0.0 –33.0 +33.0 –33.0 +33.0 
Desq –48.0 –54.0 +33.0 –102.0 –15.0 
Ddir +43.0 –25.0 +49.3 +18.0 +92.3 
Eesq –29.0 –47.0 +27.3 –76.0 –1.7 
Edir +36.0 0.0 +42.0 +36.0 +78.0 
F 0.0 0.0 +20.0 0.0 +20.0 
 
 
 
Item (d): 
 Envoltórias: 
Esforços Cortantes [kN] 
 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 28– Figura 14-84 
 
Na figura abaixo estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores na seção S33 e na seção S27 de uma 
ponte. Calcule a ordenada da LI MS33 na seção que está indicada. 
 
LI MS33 
S33 
valor pedido 
S27 
LI MS27 
[m] 
[m] 
 
 
 
Solução 
 
 MS27 = –1.0912 (obtido da LI MS27) P = 1 
MS33 
(valor solicitado) 
VD = MS27 / 10 = –0.10912 
MS33 = VD x 4 = –0,43648 Ordenada solicitada = –0,43648 m 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 29– Figura 14-85 
 
Considere a viga contínua com dois vãos mostrada na figura abaixo. A carga permanente é uniformemente 
distribuída, tendo sido avaliada em g = 20 kN/m. A carga móvel está indicada na figura, sendo que q representa acarga acidental de multidão e a carga P1 representa o veículo de projeto. A carga de multidão não tem extensão 
definida, isto é, a sua área de atuação deve ser obtida de forma a majorar ou minorar um determinado efeito. 
Também estão indicadas os pontos de mínimos e máximos das linhas de influência (LIs) de momentos fletores nas 
seções C, F e I da viga contínua. Com base na carga permanente e na carga móvel, monte uma tabela de momentos 
fletores míninos e máximos nas seções C, F e I e desenhe as envoltórias de momentos fletores míninos e máximos 
baseadas nos valores obtidos. Utilize o processo de Cross para calcular os valores do momentos fletores da tabela. 
Utilize uma casa decimal para representar momentos fletores com unidade kNm e duas casas decimais para 
coeficientes de distribuição de momentos. 
 
P1 = 100 kN 
A 
B D C 
q = 10 kN/m 
E 
F 
G I H J 
K 
Carga permanente: 
g = 20 kN/m 
atuando nos dois 
vãos. 
LI MC 
Ponto de mínimo da LI MC 
no segundo vão 
Ponto de máximo da LI MC 
no primeiro vão 
LI MF 
Ponto de maior mínimo em 
módulo da LI MF 
LI MI 
Ponto de máximo 
da LI MI 
Ponto de mínimo 
da LI MI 
[m] 
[m] 
[m] 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Posições críticas das cargas móveis de acordo com as Linhas de Influência de momentos fletores nas seções 
 
Posição da carga móvel 
para MC máximo 
Posição da carga móvel 
para MI mínimo 
Posição da carga móvel 
para MI máximo 
Posição da carga móvel 
para MF mínimo 
Sem carga móvel 
para MF máximo 
A 
B D C E 
F 
G I H J 
K 
Posição da carga móvel 
para MC mínimo 
LI MC 
LI MF 
LI MI 
 
 
Processos de Cross para os carregamentos das posições críticas da carga móvel, incluindo carga permanente 
 
Processo de Cross para 
MC máximo 
Processo de Cross para 
MF mínimo 
Processo de Cross para 
MC mínimo 
0.55 0.45 
0.55 0.45 
0.55 0.45 
–202.5 0 0 +645.2 
–243.5 –199.2 
–446.0 +446.0 0 0 
–455.0 0 0 +291.6 
+89.9 +73.5 
–365.1 +365.1 0 0 
–303.8 0 0 +645.2 
–187.8 –153.6 
–491.6 +491.6 0 0 
–20⋅9.0
2
/8 100⋅(2⋅4.52⋅6.28
2
+4.52
2
⋅6.28)/(2⋅10.8
2
) + 30⋅10.8
2
/8 
–100⋅(2⋅3.6
2
⋅5.4+3.6⋅5.4
2
)/(2⋅9.0
2
) – 30⋅9.0
2
/8 20⋅10.8
2
/8 
–30⋅9.0
2
/8 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
 
Processo de Cross para 
MI mínimo 
Processo de Cross para 
MI máximo 
Processo de Cross para 
MF máximo 
0.55 0.45 
0.55 0.45 
0.55 0.45 
–202.5 0 0 +291.6 
–49.0 –40.1 
–251.5 +251.5 0 0 
–476.9 0 0 +291.6 
+101.9 +83.4 
–375.0 +375.0 0 0 
–202.5 0 0 +618.8 
–229.0 –187.3 
–431.5 +431.5 0 0 
–100⋅(2⋅5.25
2
⋅3.75+5.25⋅3.75
2
)/(2⋅9
2
) – 30⋅9
2
/8 
100⋅(2⋅6.48⋅4.32
2
+6.48
2
⋅4.32)/(2⋅10.8
2
) + 30⋅10.8
2
/8 
 
 
 
Diagramas de momentos fletores para os carregamentos das posições críticas da carga móvel, incluindo carga 
permanente 
 
 
Diagrama de momentos 
fletores para MC máximo 
Diagrama de momentos 
fletores para MF mínimo 
Diagrama de momentos 
fletores para MC mínimo 
30 3.60 5.40 100 3.60 5.40
2 9.00
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ 
–446.0 
16.0 
365.1 3.60
9.00
− ⋅
 
–146.0 
507.6 
361.6 
–365.1 
MC máximo 
 
(kNm) 
(kNm) 
446.0 3.60
9.00
− ⋅
 
20 3.60 5.40
2
⋅ ⋅
 
194.4 
 
(kNm) 
–178.4 
MC mínimo 
MF mínimo –491.6 
Diagrama de momentos 
fletores para MF máximo 
–251.5 MF máximo 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
 
Diagrama de momentos 
fletores para MI mínimo 
Diagrama de momentos 
fletores para MI máximo 
30 6.48 4.32 100 6.48 4.32
2 10.80
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ 
431.5 4.32
10.80
− ⋅
 
–172.6 
679.1 
506.5 
–431.5 
MI máximo 
(kNm) 
375.0 4.32
10.80
− ⋅
 
–150.0 
–375.0 
20 6.48 4.32
2
⋅ ⋅
 
279.9 
129.9 
MI mínimo 
 
 
 
 Envoltórias de Momentos Fletores [kNm] 
Seção mínimo máximo 
C +16.0 +361.6 
F –491.6 –251.5 
I +129.9 +506.5 
 
 
 
Envoltórias de momentos fletores (kNm) 
A 
C 
F I K 
16.0 
361.6 
–491.6 
–251.5 
506.5 
129.9 
 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 14 – Cargas Acidentais e Móveis – Exercício proposto 30– Figura 14-86 
 
Considere a viga mostrada na figura abaixo, com carga permanente e carga acidental uniformemente distribuídas 
mostradas. A linha de influência de momentos fletores na seção E (LI ME) é conhecida, conforme indicado na 
figura. 
 
 
+0.6 
+0.4 
–1.6 / 3 –2 / 3 
–0.3 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em A 
LI ME 
P = 1 
P = 1 
P = 1 
P = 1 
P = 1 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em C 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em D 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em F 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em H 
[m] 
Carga permanente: g = 8 kN/m 
Carga acidental: q = 16 kN/m 
A B D C E F G H 
 
 
Pede-se: 
(a) Com base na LI ME, determine os diagramas de momentos fletores para uma carga vertical unitária aplicada 
nas seções indicadas, conforme indica a figura acima. Os valores dos diagramas devem ser calculados nas 
seções indicadas (a cada 2 metros). 
(b) Mostre os aspectos das linhas de influência de momentos fletores para as seções B, C, D, E, F e G. Com base no 
item (a), calcule as ordenadas dessas linhas de influência nas seções indicadas (a cada 2 metros). 
(c) Com base nas linhas de influência traçadas no item (b), defina os carregamentos que devem atuar na viga de 
forma a minorar e majorar os momentos fletores nas seções indicadas. Indique, para cada carregamento, os 
vãos onde atuam somente a carga permanente e os vãos onde atuam a carga permanente e a carga acidental. 
(d) Utilize a regra dos trapézios para calcular as áreas dos trechos negativos e positivos das linhas de influência. 
Isto é, calcule aproximadamente as áreas considerando que as linhas de influência são linhas poligonais com 
valores conhecidos nas seções indicadas. Com base nas áreas das linhas de influência, calcule os valores 
mínimos e máximos de momentos fletores nas seções indicadas para a carga permanente e carga acidental. 
(e) Crie uma tabela com os valores mínimos e máximos de momentos fletores calculados no item (d) nas seções 
indicadas. Adote precisão de 0.1 kNm para momentos fletores (uma casa decimal). Desenhe as envoltórias de 
momentos fletores mínimos e máximos. 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Solução 
 
Item (a): 
 
Diagramas de momentos fletores para carga vertical unitária nas seções indicadas 
 
 
+0.6 
+0.4 
–1.6 / 3 –2 / 3 
–0.3 
(obtido da LI ME) +0.6 
–2 
+0.3 
–3.4 / 3 
–0.8 / 3 
–1.6 / 3 
–0.8 / 3 
–2 / 3 
–1 / 3 
+4 / 9 
+8 / 9 
+10.4 / 9 
+2.8 / 9 
(obtido da LI ME) 
(obtido da LI ME) 
–0.1 –0.2 
–0.3 
(obtido da LI ME) 
+1.7 / 2 
+0.4 
(obtido da LI ME) 
+0.4 / 3 +0.8 / 3 
–2 
–0.8 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em A 
LI ME 
A B D C E F G H 
P = 1 
P = 1 
P = 1 
VB x 6 – 1 x 2 = –2 / 3 
VB = +2 / 9 
VB x 6 – 1 x 4 = –1.6 / 3 
VB = +5.2 / 9 
VB x 6 – 1 x 8 = +0.6 
VB = +4.3 / 3 
VG x 4 = +0.6 
VG = +0.15 
VG x 4 = –1.6 / 3 
VG = –0.4 / 3 
VG x 4 = –2 / 3 
VG = –1 / 6 
VB x 6 = –0.3 
VB = –0.05 
VG x 4 – 1 x 2 = –0.3 
VG = +1.7 / 4 
P = 1 
VB = +0.2 / 3 
VB x 6 = +0.4 
P = 1 
VG x 4 – 1 x 6 = +0.4 
VG = +1.6 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em C 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em D 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em F 
Diagrama de momentos 
fletores para carga 
unitária em H 
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Itens (b) e (c): 
 
 
+0.6 
+0.4 
–1.6 / 3 –2 / 3 
–0.3 
–2 
–2 
–3.4 / 3 
–0.8 / 3 
+0.3 
+10.4 / 9 
+2.8 / 9 
–0.8 / 3 
+4 / 9 
+8 / 9 
–1 / 3 
–0.1 
–0.2 
+1.7 / 2 
+0.4 / 3 
+0.8 / 3 
–0.8 
LI ME 
A B D C E F G H 
LI MB 
LI MC 
LI MD 
LI MF 
LI MG 
Carregamento para 
MBmínimo – Caso ( I ) 
Carregamento para 
MB máximo – Caso ( II ) 
Carregamento para 
MC mínimo – Caso ( III ) 
Carregamento para 
MC máximo – Caso ( IV ) 
Carregamento para 
MD mínimo – Caso ( III ) 
Carregamento para 
MD máximo – Caso ( IV ) 
Carregamento para 
ME mínimo – Caso ( V ) 
Carregamento para 
ME máximo – Caso ( VI ) 
Carregamento para 
MF mínimo – Caso ( IV ) 
Carregamento para 
MF máximo – Caso ( III ) 
Carregamento para 
MG mínimo – Caso ( VII) 
Carregamento para 
MG máximo – Caso ( II ) 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Item (d): 
 
Cálculo dos valores mínimos e máximos de momentos fletores nas seções indicadas com base no cálculo 
aproximado das áreas negativas e positivas das Linhas de Influência 
 
Seção B 
( ) ( )min 0.5 2 2 24 48.0 kNmBM = ⋅ − ⋅ ⋅ = −   
( ) ( )max 0.5 2 2 8 16.0 kNmBM = ⋅ − ⋅ ⋅ = −   
 
Seção C 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )min 0.5 3.4 /3 2 24 10.4 /9 4 /9 2 8 0.1 2 24 0.5 0.4 /3 2 8 5.3 kNmCM = ⋅ − ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = −               
( ) ( ) ( ) ( ) ( )max 0.5 3.4 /3 2 8 10.4 /9 4 /9 2 24 0.1 2 8 0.5 0.4 /3 2 24 69.3 kNmCM = ⋅ − ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = +               
 
Seção D 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )min 0.5 0.8 /3 2 24 2.8 /9 8 /9 2 8 0.2 2 24 0.5 0.8 /3 2 8 5.3 kNmDM = ⋅ − ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = +               
( ) ( ) ( ) ( ) ( )max 0.5 0.8 /3 2 8 2.8 /9 8 /9 2 24 0.2 2 8 0.5 0.8 /3 2 24 58.7 kNmDM = ⋅ − ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = +               
 
Seção E 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )min 0.5 0.6 2 8 1.6 /3 2 /3 2 24 0.3 2 24 0.5 0.4 2 8 64.0 kNmEM = ⋅ + ⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = −               
( ) ( ) ( ) ( ) ( )max 0.5 0.6 2 24 1.6 /3 2 /3 2 8 0.3 2 8 0.5 0.4 2 24 0.0 kNmEM = ⋅ + ⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =               
 
Seção F 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )min 0.5 0.3 2 8 0.8 /3 1 /3 2 24 1.7 /2 2 8 0.5 0.8 2 24 32.0 kNmFM = ⋅ + ⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = −               
( ) ( ) ( ) ( ) ( )max 0.5 0.3 2 24 0.8 /3 1 /3 2 8 1.7 /2 2 24 0.5 0.8 2 8 32.0 kNmFM = ⋅ + ⋅ ⋅ + − − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = +               
 
Seção G 
( ) ( )min 0.5 2 2 24 48.0 kNmGM = ⋅ − ⋅ ⋅ = −   
( ) ( )max 0.5 2 2 8 16.0 kNmGM = ⋅ − ⋅ ⋅ = −   
 
 
Item (e): 
 
Tabela de Envoltórias de Momentos Fletores [kNm] 
 
Seção B C D E F G 
Mín. –48.0 –5.3 +5.3 –64.0 –32.0 –48.0 
Máx. –16.0 +69.3 +58.7 0.0 +32.0 –16.0 
 
 
Traçado das Envoltórias de Momentos Fletores [kNm] 
 
 
A B D C 
E 
F G H 
–48.0 
–16.0 –5.3 
+69.3 
+5.3 
+58.7 
–64.0 
0.0 
–32.0 
+32.0 
–48.0 
–16.0