Exercícios de Mecânica Estatística

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UFPEL - DEPARTAMENTO DE FÍSICA – IFM – Lista 5 – Disciplina: Mec. Estat́ıstica
1 Gás Clássico em Campo Gravitacional
Exerćıcio 1: Considere um gás clássico unidimensional de N part́ıculas idênticas de massa m sob
a ação de um campo gravitacional uniforme, de modo que o potencial de cada part́ıcula é dado por
V (z) = mgz para z ≥ 0. O sistema está em equiĺıbrio térmico à temperatura T dentro de uma coluna
vertical semi-infinita.
a) Escreva o Hamiltoniano clássico do sistema e calcule a função de partição canônica ZN (T,N).
b) Determine a densidade de número local de part́ıculas, ρ(z), em função da altura z.
c) Calcule a altura média ⟨z⟩ ocupada pelas part́ıculas e mostre que ela é diretamente proporcional
à temperatura T .
d) Obtenha a capacidade térmica a volume constante CV e compare-a com a de um gás livre
unidimensional.
2 Ensemble das Pressões (Isotérmico-Isobárico - N,P, T )
Exerćıcio 2: O ensemble das pressões descreve sistemas onde o número de part́ıculas N , a pressão P
e a temperatura T são mantidos constantes, permitindo que o volume V flutue livremente. A função
de partição deste ensemble (Y ) é definida por:
Y (N,P, T ) =
1
V0
∫ ∞
0
ZN (V, T )e−βPV dV
Onde V0 é um volume de escala conveniente e β = 1/kBT .
a) Mostre que o potencial termodinâmico associado a este ensemble é a Energia Livre de Gibbs,
isto é, G(N,P, T ) = −kBT lnY (N,P, T ).
b) Verifique que a média do volume pode ser obtida a partir de Y por:
⟨V ⟩ = −kBT
(
∂ lnY
∂P
)
N,T
3 Ensemble Grande Canônico (T, V, µ)
Exerćıcio 3: No ensemble grande canônico, a grande função de partição para um sistema clássico é
dada por Ξ(z, V, T ) =
∑∞
N=0 z
NZN (V, T ), onde z = eβµ é a fugacidade. Para um gás ideal clássico, a
função de partição canônica é ZN (V, T ) = V N
N !λ3N .
a) Mostre que a grande função de partição pode ser expressa na seguinte forma fechada exponencial:
Ξ = ezV/λ
3
.
b) A partir do grande potencial Ω = −kBT ln Ξ = −PV , demonstre que a pressão é dada por
P = zkBT/λ
3.
c) Deduza a expressão para o número médio de part́ıculas ⟨N⟩ e mostre que as flutuações no número
de part́ıculas são dadas por:
⟨(∆N)2⟩ = ⟨N2⟩ − ⟨N⟩2 = kBT
(
∂⟨N⟩
∂µ
)
T,V
d) Calcule o valor de ⟨(∆N)2⟩ para o gás ideal e discuta o desvio relativo no limite termodinâmico.
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