Prova Métodos Determinísticos I

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Determińısticos I – 2/2024
Código da disciplina EAD06075
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
� Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
� Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula,
Polo e Data.
� Não é permitido o uso de calculadora.
� Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
� Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
Respostas.
� Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,
pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
� As Folhas de Respostas serão o único material con-
siderado para correção. Quaisquer anotações feitas
fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,
serão ignoradas.
� Todas as soluções devem estar cuidadosamente jus-
tificadas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 1 , 2 E 3.
Sobre três conjuntos, A, B e C, sabe-se que
(i) Para todo elemento x, se x ∈ A, então x /∈ B.
(ii) PAra todo elemento x, se x ∈ A ou x ∈ B, então x ∈ C.
(iii) C tem 20 elementos a mais que A.
(iv) B tem o dobro de elementos de A.
(v) C tem 20 elementos a mais do que A.
(vi) 10 elementos de C não estão nem em A e nem em B.
Observe que as informações (iii) e (v) são iguais. Isto não compromete a informação; sendo dito uma ou duas vezes,
o fato é que C tem 20 elementos a mais que A.
Métodos Determińısticos I AP3 2
Questão 1 [0,5 pt] Para todo elemento x, pode-se afirmar que se x ∈ B então x /∈ A? Justifique cada passagem
de sua solução.
Solução 1: Se x ∈ B, podemos afirmar que x /∈ A, pois, se tivéssemos x ∈ A, pela informação (i), teŕıamos que
x /∈ B.
Solução 2: Lembre que p ⇒ q equivale a ∼ q ⇒∼ p. Portanto, “se x ∈ A, então x /∈ B”equivale a “se ∼ (x /∈ B),
então ∼ (x ∈ A)”, que equivale a “se x ∈ B, então x /∈ A”.
Questão 2 [0,5 pt] Esboce um diagrama de Venn representando os conjuntos A, B e C. Se um conjunto estiver
contido em outro, se dois conjuntos não tiverem interseção, ou qualquer outra situação do tipo deve ser devidamente
representada no diagrama.
Solução: Pela informação (i), vemos que A ∩ B = ∅, uma vez que todo elemento de A não é um elemento de B.
Além disso, pela informação (ii), todo elemento de A ou de B também é um elemento de C, logo A ⊂ C e B ⊂ C.
Assim, o diagrama de Venn com estes conjuntos é:
Questão 3 [1,0 pt] Quantos elementos possui o conjunto A? Justifique sua resposta, apresentando todos os cálculos
necessários e dizendo qual das informações (i) a (vi) foi utilizada em cada argumento.
Solução: Vamos chamar de a o número de elementos de A. Pela informação (iv), B possui 2a elementos.
Pela informação (vi), 10 elementos de C não estão nem em A e nem em B, logo temos o diagrama abaixo
Assim, vemos que C possui a+2a+10 = 10+3a elementos. Porém, pela informação (iii) (ou (v), já que são iguais),
C possui o 20 elementos que o número a de elementos de A, ou seja,
10 + 3a = a + 20.
Com isso,
2a = 10
e então a = 5.
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Métodos Determińısticos I AP3 3
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 4 E 5.
Uma loja adquire, junto ao fornecedor, um produto por 148 reais e vai vendê-lo por P reais, devendo ainda recolher
20% do preço P de venda como impostos.
Questão 4 [1,0 pt] Encontre, em função de P , o lucro com a venda do produto, já descontando os impostos.
Justifique.
Solução: O produto tem custo de 148 reais para a loja, e impostos dados por
20% P = 20 P
100 = P
5 .
Assim, o lucro com a venda do produto é dado por
L = P − 148 − P
5 = 5 P
5 − 148 − P
5 = 4 P
5 − 148.
Questão 5 [1,0 pt] Determine o preço ḿınimo de venda P para que a venda não resulte em prejúızo. Justifique
por meio da solução de uma inequação.
Solução: Não haverá prejúızo na venda se, e só se,
L ⩾ 0,
que equivale a
4 P
5 − 148 ⩾ 0,
ou ainda
4 P
5 ⩾ 148,
que nos dá
P ⩾
5 · 148
4 ⩾ 185.
Assim, o preço ḿınimo para não haver prejúızo na venda é de 185 reais.
Questão 6 [2,0 pt] Resolva cuidadosamente e com toda as justificativas a equação
x − x2 − 2
2(x − 1) = x + 1
2 ,
para x ̸= 1.
Solução: O menor denominador comum a 1, 2(x − 1) e 2 é 2(x − 1), logo
x − x2 − 2
2(x − 1) = x + 1
2 ⇔ 2(x − 1)x
2(x − 1) − x2 − 2
2(x − 1) = (x − 1)(x + 1)
2(x − 1)
⇔ (2x − 2)x
2(x − 1) − x2 − 2
2(x − 1) = x2 − 1
2(x − 1)
⇔ 2x2 − 2x
����2(x − 1) − x2 − 2
����2(x − 1) = x2 − 1
����2(x − 1)
⇔ 2x2 − 2x − (x2 − 2) = x2 − 1
⇔ 2x2 − 2x − x2 + 2 = x2 − 1
⇔ 2x2 − x2 − 2x − x2 = −1 − 2
⇔ −2x = −3
⇔ x = 3
2
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Métodos Determińısticos I AP3 4
Questão 7 [2,0 pt] Resolva o sistema de equações{
x2 + y2 = 25
y2 − x2 + 2x + 15 = 0.
Solução: A primeira equação nos dá y2 = 25 − x2. Substituindo na segunda, temos
(25 − x2) − x2 + 2x + 15 = 0 ⇔ 25 − x2 − x2 + 2x + 15 = 0 ⇔ −2x2 + 2x + 40 = 0.
Dividindo a equação obtida por −2, obtemos
⇔ x2 − x − 20 = 0,
que tem ráızes
x = 5 ou x = −4.
Quando x = −4, temos, pela primeira equação,
(−4)2 + y2 = 25 ⇔ 16 + y2 = 25 ⇔ y2 = 9 ⇔ y = −3 ou y = 3.
Assim, temos os pares (−4, 3) e (−4, −3).
Quando x = 5, temos
52 + y2 = 25 ⇔ 25 + y2 = 25 ⇔ y2 = 0 ⇔ y = 0.
Assim, temos o par (5, 0).
Com isso, a solução do sistema é dada por
S = {(−4, 3), (−4, 3), (5, 0)}.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 8, 9 E 10.
Considere que a função de demanda de um determinado produto é dada por
D(P ) = −P 2
4 + 2 P + 6,
onde P é o preço do produto em reais, com P ⩾ 4, e D é a demanda em milhões de unidades.
Questão 8 [1,0 pt] Qual é o preço máximo do produto, isto é, o valor de P acima do qual não há demanda?
Justifique cuidadosamente sua resposta. Considere
√
10 = 3,2
Solução: O preço máximo é aquela para o qual D(P ) = 0, ou seja,
−P 2
4 + 2 P + 6 = 0,
ou, equivalentemente,
−P 2 + 8 P + 24 = 0,
ou ainda
P 2 − 8 P − 24 = 0.
As soluções desta equação são
P =
−(−8) ±
√
(−8)2 − 4 · 1 · (−24)
2 · 1 = 8 ±
√
64 + 96
2 = 8 ±
√
160
2 .
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Métodos Determińısticos I AP3 5
Como 160 = 16 · 10 e como foi pedido para aproximar
√
10 = 3,2, temos
P = 8 ± 4 ·
√
10
2 = 4 + 2 ·
√
10 ≈ 4 + 2 · 3,2,
logo
P ≈ 10,4 ou P ≈ −2,4.
Como P ⩾ 4, temos
P ≈ 10,4.
Questão 9 [0,5 pt] Qual é a demanda máxima do produto? Justifique cuidadosamente sua resposta.
Solução: A demanda máxima é dada pela coordenada vertical do vértice da parábola que corresponde ao gráfico da
função quadrática D(P ) = −P 2
4 + 2 P + 6. Assim,
Dmax = − ∆
4a
= −
22 − 4 ·
(
−1
4
)
· 6
4 ·
(
−1
4
) = −4 + 6
−1 = 10.
Assim, a demanda máxima é de 10 milhões de unidades.
Questão 10 [0,5 pt] Represente o gráfico da função de demanda D, destacando o ponto de demanda máxima e
o ponto onde a demanda se anula. No esboço, o eixo horizontal representa ao preço P em reais e o eixo vertical
representa a demanda em milhões de unidades. Justifique cuidadosamente sua resposta.
Solução: A demanda máxima de 10 milhões de unidades acontece para
P = − b
2a
= − 2
2 ·
(
−1
4
) = − 2
−1
2
= −2 ·
(
−2
1
)
= 4.
Assim, o gráfico da demanda será uma parábola com vértice para baixo (pois a = −1
4