CONJUNTOS - 1 SÉRIE DO ENSINO MÉDIO (1)

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CONJUNTOS – 1.ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO
1. O que são conjuntos?
Conjunto é um conceito primitivo desenvolvido pelo matemático George Cantor. A partir dele se desenvolveu diversos outros estudos matemáticos. 
A teoria dos conjuntos é um ramo da matemática que estuda a coleção de objetos, chamados de elementos. Dessa forma, os elementos (que podem ser qualquer coisa: números, pessoas, frutas) são indicados por letra minúscula e definidos como um dos componentes do conjunto. Já a notação que usamos para conjuntos é sempre uma letra maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B).
Além disso, os elementos são separados por vírgula ou ponto e vírgula.
Exemplo 1. A = {a, e, i, o, u}
A compreensão de conjuntos é a principal base para o estudo da álgebra e de conceitos de grande importância na Matemática, como funções e inequações.
2. Relações de pertinência e inclusão
Relações de pertinência
A relação de pertinência mostra se um elemento está dentro ou não de um conjunto, ou seja, se ele pertence ou não pertence a um conjunto. Vamos utilizar os símbolos abaixo para a relação de pertinência ou não.
· ∈: indica que um elemento pertence a um conjunto. 
Exemplo 2. (6 pertence ao conjunto dos números inteiros).
· : simboliza que um elemento não pertence a um conjunto. 
Exemplo 3. ( não pertence ao conjunto dos números reais).
Além disso, a mesma relação pode ser utilizada para identificar se um conjunto contém ou não contém determinado elemento. Perceba que os símbolos que indicam essa relação são parecidos com os anteriores, estando apenas invertidos.
· : sinaliza que um conjunto possui um elemento especificado. 
Exemplo 4. (A contém 5 como membro), onde A = {1, 2, 3, 4, 5}.
· ∌: significa que um conjunto não possui um elemento especificado. 
Exemplo 5. (B não contém 120 como membro), onde B = {6, 7, 8, 9}.
Nota: , mas onde C = {6, 7, 8, 9, ...}. Isso se deve ao uso das reticências, que indicam a infinidade de elementos. Nesse caso, C contém todos os elementos naturais iguais ou maiores que 6.
Relações de inclusão ou continência
A relação de inclusão mostra-nos se um conjunto está contido ou não dentro de outro. Na relação de inclusão, utilizamos os seguintes símbolos:
· ⊂: simboliza que um conjunto está contido em outro conjunto. 
Exemplo 6. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3}, podemos afirmar que B ⊂ A, isto é, o conjunto B está contido no conjunto A.
· ⊄: significa que um conjunto não está contido em outro conjunto. 
Exemplo 7. Podemos considerar o conjunto C = {9, 10}. Então, afirma-se que B ⊄ C, ou seja, o conjunto C não está contido no conjunto B.
Atenção! No caso das duas relações acima, a leitura deve ser feita de trás para frente.
Podemos ainda utilizar as mesmas relações para determinar o inverso, como fizemos anteriormente; ou seja, identificar se um conjunto contém outro ou não. Inclusive, os símbolos serão muito parecidos, apenas sendo invertidos. Desta forma, e utilizando os exemplos citados anteriormente, tem-se que:
· ⊃: indica que um conjunto contém outro conjunto. 
Exemplo 8. A ⊃ B (o conjunto A contém o conjunto B).
· ⊅: sinaliza que um conjunto não contém outro conjunto.
Exemplo 9. é B ⊅ C (o conjunto B não contém o conjunto C).
3. Descrição, notação e representação de conjuntos
Um conjunto pode ser representado de algumas maneiras. Cada uma delas tem vantagens e desvantagens, a depender do problema ou da situação em sejam usados. Em geral, utilizamos uma letra maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B).
Enumeração, apresentação ou forma tabular
Listam-se os elementos do conjunto entre chaves. Note que os elementos devem ser separados por vírgulas. Caso um conjunto possua infinitos elementos à esquerda ou à direita (nesse caso, os elementos deverão estar em rol), usa-se as reticências (...).
Exemplo 10. A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Exemplo 11. .
Descrição ou representação por propriedade
Descreve-se a regra ou propriedade que vale para todos os elementos do conjunto.
Exemplo 12. Lê-se: “x tal que x é uma letra do alfabeto”.
Exemplo 13. . Lê-se: “a sobre b, tal que a e b são inteiros e b é diferente de zero”.
Diagrama de Euler-Venn
Proposto pelo matemático inglês John Venn (1834-1923), busca representar graficamente conjuntos por meio de diagramas, isto é, figuras planas fechadas, onde são colocados seus respectivos elementos. Ele é o mais indicado para indicar conjuntos disjuntos (sem elementos em comum), bem como conjuntos que se intersectam e para realizar operações com conjuntos.
Exemplo 14. 
Imagem 1: Fonte: ASTH, Rafael C. Teoria dos conjuntos: entenda o que é (com exemplos). Disponível em: https://www.todamateria.com.br/teoria-dos-conjuntos/. Acesso em: 6 dez. 2025.
Exemplo 15. 
Imagem 2: Fonte: ENEM, PrePara. Conjuntos numéricos: quais são eles? Disponível em: https://www.preparaenem.com/matematica/conjuntos-numericos-suas-operacoes.htm. Acesso em: 6 dez. 2025.
4. Conjuntos especiais
Existem alguns conjuntos que são considerados especiais devido à sua quantidade de elementos ou às relações de pertinência e inclusão. São eles: conjunto unitário, conjunto vazio, conjunto universo, conjunto verdade, subconjuntos, conjunto das partes, conjunto finito, conjunto infinito e conjuntos iguais.
Conjunto unitário 
Como o nome indica, um conjunto unitário é aquele que apresenta um único elemento.
Exemplo 16. X = {0}.
Conjunto vazio
Com nome também sugestivo, não apresenta elementos. Ele costuma ser representado por duas chaves {} ou pelo símbolo Ø. Note que o conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Exemplo 17. C = {x / x é natural e 0 > x}, portanto C = {} ou C = Ø.
Atenção! Não se indica um conjunto vazio por {Ø}.
Conjunto universo
Consideramos o conjunto universo como o conjunto que contém todos os outros conjuntos. Ele costuma estar presente no contexto de equações, e indicamo-lo por meio da letra U. 
Exemplo 18. Dado os conjuntos X = {¾, 2, 3}, Y = {0, 1, 2} e Z = {-1, 0, 1}, pode-se observar que os elementos estão todos contidos no conjunto dos números racionais. Portanto, U = .
Observação: caso o conjunto universo não seja citado, devemos considerá-lo igual ao conjunto dos números racionais, isto é, U = .
Conjunto verdade ou conjunto solução
O conjunto verdade aparece no contexto das equações, e é representado pelos valores do conjunto universo que tornam uma equação verdadeira. Como ele também é conhecido por conjunto solução, podemos indicá-lo tanto por V quanto por S.
Exemplo 19. Na equação 2x – 4 = 0, considerando U = , temos que x = 4/2 = 2, logo o conjunto verdade é igual a V = {2}, tratando-se também de um conjunto unitário.
Note que, por definição, o conjunto verdade está contido no conjunto universo. Ou seja, V ⊂ U.
Subconjuntos
Ao ocorrer uma relação de inclusão, como em B ⊂ A, podemos afirmar que o conjunto B é um subconjunto de A. Um subconjunto permanece sendo conjunto, e é importante observar que um conjunto pode ter vários subconjuntos.
Exemplo 20. (o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros), então é um subconjunto de .
Conjunto das partes
Os conjuntos das partes correspondem a todos os subconjuntos, possíveis e distintos, dentro de um determinado conjunto.
Exemplo 21. Consideremos o conjunto E = {6, 7, 8, 9}. Podemos obter 1 conjunto vazio, 4 conjuntos unitários ({6}, {7}, {8} e {9}), 6 conjuntos com dois elementos ({6, 7}, {6, 8}, {6, 9}, {7, 8}, {7, 9} e {8, 9}), 4 conjuntos com três elementos ({6, 7, 8}, {6, 7, 9}, {6, 8, 9} e {7, 8, 9}), e 1 conjunto com quatro elementos ({6, 7, 8, 9}). O total de subconjuntos possíveis é, portanto, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16.
Em vez de utilizarmos a forma trabalhosa aplicada no exemplo 21, podemos descobrir a quantidade total de subconjuntos possíveis de um conjunto através da fórmula:
onde P(A) corresponde ao conjunto das partes, e n à quantidade de elementos.
Exemplo 22. Para o conjunto W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, tem-se que a quantidade total de subconjuntos possíveis éigual a .
Demonstração disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=EKH74i_STAc.
Conjunto finito 
Definimos como o conjunto que possui início e fim definidos. Por isso, não utilizamos reticências.
Exemplo 23. G = {12, 13, 14, 15}.
Conjunto infinito
Um conjunto infinito pode ter início e/ou fim não definidos. Para representá-lo, organizamos os elementos em rol, de modo que possamos prever os próximos elementos, e utilizamos reticências no começo ou no final.
Exemplo 24. .
Conjuntos iguais
Conjuntos são considerados iguais se eles apresentarem, independentemente da ordem ou da frequência (desde que seja um natural igual ou maior que 1), os mesmos elementos.
Exemplo 25. Ao analisar os conjuntos G = {120, 125, 130} e H = {130, 130, 130, 125, 120, 120, 120, 120, 120, 120, 120}, percebe-se que eles possuem os mesmos elementos, apesar de possuírem ordem e frequência distintas. Logo, G = H.
5. Operações com conjuntos
Existem três operações com conjuntos: união, intersecção e diferença. Para melhor visualização, utilizaremos o Diagrama de Venn.
Nesse caso, consideraremos os conjuntos A = {10, 20, 30, 40, 50} e B = {20, 40, 60, 80, 100}. Desta forma:
60
10
30
80
20
40
A
B
100
50
União de conjuntos 
A união de conjuntos se caracteriza pela junção de dois conjuntos, de modo que elementos iguais não se repitam. Ela é definida pelo símbolo .
Exemplo 26. No caso acima, temos que A B = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100}.
Intersecção de conjuntos
A intersecção de conjuntos é formada pelos elementos que pertencem a ambos os conjuntos. Ela é definida pelo símbolo .
Exemplo 27. Pelo exemplo acima, obtém-se A B = {20, 40}.
Diferença entre conjuntos
Nesta operação, busca-se encontrar os elementos pertencentes a apenas um determinado conjunto. Note que a subtração não é comutativa, isto é, os elementos encontrados ao realizar A – B não serão os mesmos de B – A.
Exemplo 28. Vamos calcular A – B. Note que A B = {20, 40}, então A – B = {10, 30, 50}.
Exemplo 29. Calculemos B – A. Como A B = {20, 40}, segue que B – A = {60, 80, 100}.
Especial: complementar de um conjunto
Este conceito deriva da diferença entre conjuntos, e será explicado por meio do exemplo a seguir.
Exemplo 30. Consideremos os conjuntos E e M, tais que M ⊂ E. Desta forma, o conjunto complementar de M em relação a E corresponderá a todos os elementos do conjunto E que não estão presentes no conjunto M; isto é, o complementar será igual a E – M.
São usadas duas denotações para este conteúdo: , onde C corresponde a “complementar”, e o conjunto contido fica acima do conjunto pertencente; e . Ambas possuem o mesmo significado.
Referências
1. OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Conjuntos"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjunto.htm. Acesso em: 1 dez. 2025.
2. SODRÉ, Ulysses; PEREIRA, Rossana M. Martins. “Teoria dos Conjuntos”; Matemática Essencial. Disponível em: https://www.uel.br/projetos/matessencial/basico/medio/conjuntos.html. Acesso em: 6 dez. 2025.
3. ASTH, Rafael C. Teoria dos conjuntos: entenda o que é (com exemplos); Toda Matéria. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/teoria-dos-conjuntos/. Acesso em: 6 dez. 2025.
4. OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Teoria dos conjuntos"; Mundo Educação. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/teoria-dos-conjuntos.htm. Acesso em: 1 dez. 2025.
5. SANTOS, Adecio. “DEMONSTRAÇÃO CONJUNTO DAS PARTES: P(A)=2^n”; YouTube. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=EKH74i_STAc. Acesso em: 7 dez. 2025.
6. RAMOS, Danielle de Miranda. "Notações Importantes sobre conjunto"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/notacoes-importantes-sobre-conjunto.htm. Acesso em: 7 dez. 2025.
Tabela – símbolos matemáticos
Consulte, quando necessário, a tabela a seguir, que contém os principais símbolos e abreviações utilizados na matemática. Estes não se limitam ao estudo da teoria dos conjuntos.
naturais
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