Funções de várias variaveis e suas derivadas 8 de 10

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B
C
D
E
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

As funções de várias variáveis descrevem relações complexas entre múltiplas
grandezas. Sabendo disso, determine o domínio da função escalar 
, sabendo que  e .
h (x,  y) = g (f (x,  y))
= f (x,  y) =
1−xy
1+x2y2 g (t) = t + ln t


Df = {(x, y) ∈ R
2∣∣  xy > 1} .


Df = {(x, y) ∈ R
2∣∣  xy 1} .


Df = {(x, y) ∈ R
2∣∣  xy ≤ 1} .
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Determinando 
Verificando as restrições:
Para :
h (x,  y) :
h (x,  y) = g (f (x,  y)) = f (x,  y) + ln (f (x,  y))
h (x,  y) = + ln( )
1−xy
1+x2y2
1−xy
1+x2y2
1−xy
1+x2y2
1 + x
2
y
2 ≥ 1
Questão 2
de
10
Corretas (8)
Incorretas (2)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Funções De Várias Variáveis e Sua… Sair
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A
B
C
D
E
Para : não corta o eixo  nunca. O termo dentro do logaritmo tem que
ser estritamente positivo.
Como o denominador é sempre positivo, então o sinal do numerador é o sinal da
função:
Portanto,  é contínua nos pontos cujo produto das coordenadas é estritamente
menor que 1.
Logo,
x
2
y
2 ≥ 0
( )
1−xy
1+x2y2 y
> 0
1−xy
1+x2y2
1 − xy > 0
xyy2+z
(x+2)
2
y2+z
 


((x + 2)ln(y2 + z),   ,   )2z(x+2)
2
y2+z
y(x+2)
2
y2+z
 


(2ln(y2 + z),   ,   )(x+2)
2
y2+z
y(x+2)
2
y2+z
 


((x + 2)ln(y + z), ,   )
xyz
y2+z
z(x+2)2
y2+z
 


(2(x + 2)ln(y
2
+ z), ,   )2y(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
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A
B
C
D
E
O vetor gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior
aumento da função e cuja magnitude é a taxa de aumento nessa direção. Para a
função dada, o vetor gradiente é calculado tomando as derivadas parciais da função
em relação a cada variável. A alternativa correta é a E, que apresenta o vetor
gradiente correto para a função dada: (2(x + 2)ln(y2 + z), ,   )2y(x+2)2
y2+z
(x+2)2
y2+z
8 Marcar para revisão
A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e
ciências naturais, onde muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis.
Uma placa de metal tem sua temperatura dada por , onde  e 
 são medidos em centímetros e um objeto está no ponto . A trajetória do objeto
em cada instante  (segundos) é dada por , dessa forma, determine a taxa
de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto  .
T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2
x y
P = (2,  1)
t r (t) = (t, )t
2
4
Q = (4,  4)
80°C/ seg.
48°C/ seg.
-48°C/ seg.
-80°C/ seg.
-28°C/ seg.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
As coordenadas do objeto dependem do tempo:
Assim:
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
A posição do objeto é dada por:
x = x (t) ; y = y (t)
T = T (x (t) , y (t))
= ∙ + ∙
dT
dt
∂T
∂x
∂x
∂t
∂T
∂y
∂y
∂t
= −4x,    = −8y
∂T
∂x
∂T
∂y
r (t) = (x (t) , y (t)) = (t, )t
2
4
dx
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A
B
C
D
E
Voltando:
Como  e  :
Foi pedido a taxa no tempo t = 4, logo:
Logo,
{
x(t) = t
y(t) =
→ {
= 1
=t
2
4
dx
dt
dy
dt
t
2
= ∙ + ∙ = −4x ∙ 1 ± 8y ∙
dT
dt
∂T
∂x
∂x
∂t
∂T
∂y
∂y
∂t
t
2
x (t) = t y (t) = t
2
4
= 4t ∙ 1 ± 8 ∙ = −4t − t
3dT
dt
t
2
4
t
2
= −4t − t
3 = −4 ∙ 4 − 4
3
= −80°C/seg.
dT
dt
= −80°C/seg.
dT
dt
9 Marcar para revisão
Seja a função , onde x = (u+1) , y = u+ 2v e z = v cos u.
Determine o valor da derivada parcial de f em relação a v para u = 0 e v = 1.
f(x,  y,  z)  = x
3
y − z
4
y
2
e
v−1
10
-12
14
-19
20
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para resolver essa questão, é necessário calcular a derivada parcial da função f em
relação a v. Primeiro, substituímos x, y e z pelas expressões dadas em termos de u e
v. Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para obter a derivada parcial de f em
relação a v. Ao substituir u = 0 e v = 1 nas expressões obtidas, encontramos o valor
da derivada parcial, que é -19. Portanto, a alternativa correta é a D.
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A
B
C
D
E
10 Marcar para revisão
As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento
de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto
ou a variação da pressão em um fluido. Dessa forma, determine a derivada direcional
  no ponto  na direção do vetor .f (x, y, z) = xy + y
2
z P = (7, −2,  1) v = (2,  2,  1)
0.
-2.
6.
-6.
2.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Calculando o vetor :
Calculando o vetor gradiente:
Calcular o vetor gradiente no ponto :
Cálculo da derivada direcional:
Logo,
v
∥v∥ =
√
(2)
2
+ (2)
2
+ (1)
2
= √4 + 4 + 1 = √9 = 3
f (x, y, z) = xy + y
2
z
∇f (x, y, z) = ( , , ) = (y,  x + 2yz, y
2
 )
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂y
P
∇f (x, y, z) = (y,  x + 2yz, y2 )
∇f (P) = ∇f (7, −2, 1) = ((−2) ,   (7) + 2 (−2) (1) , (2)
2) = (−2,  7 − 4,  4) = (−2,  3,  4)
(P) = ∇f (P) ∙ = (−2,  3,  4) ∙ = [(−2,  3,  4) ∙ (2, 2, 1)] =
∂f
∂x
v
∥v∥
(2, 2, 1)
3
1
3
(P) = [(−2) (2) + (3) (2) + (4) (1)] = [−4 + 6 + 4] = (6) = 2
∂f
∂x
1
3
1
3
1
3
(P) = 2
∂f
∂x
11/06/2026, 19:40 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6a2b3686386521451905a314/gabarito/
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