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As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um fluido. Considere uma placa de metal cuja temperatura (em °C) é dada por , onde x e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto . Determine a temperatura do objeto se este for na direção do vetor . T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2 P = (2, 1) v = (1, 1) .
Determine a temperatura do objeto na direção do vetor v.
−16√2.
16√2.
8√2.
−8√2.
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Funções de várias variaveis e suas derivadas 8 de 10

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Vamos resolver passo a passo. Dada a função da temperatura: T(x, y) = 36 − 2x² − 4y² Ponto P = (2, 1) Vetor direção v = (1, 1) Queremos determinar a variação da temperatura na direção do vetor v no ponto P, ou seja, o derivada direcional de T em P na direção de v. Passos: 1. Calcular o gradiente de T: ∇T = (∂T/∂x, ∂T/∂y) ∂T/∂x = -4x ∂T/∂y = -8y 2. Avaliar o gradiente no ponto P(2,1): ∇T(2,1) = (-4*2, -8*1) = (-8, -8) 3. Normalizar o vetor v: |v| = √(1² + 1²) = √2 v̂ = (1/√2, 1/√2) 4. Derivada direcional = ∇T(P) · v̂ = (-8, -8) · (1/√2, 1/√2) = (-8)(1/√2) + (-8)(1/√2) = -8/√2 - 8/√2 = -16/√2 5. Simplificar: -16/√2 = -16√2 / 2 = -8√2 Resposta correta: −8√2 Alternativa correta: −8√2

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As funções de várias variáveis descrevem relações complexas entre múltiplas grandezas. Sabendo disso, determine o domínio da função escalar , sabendo que e . h (x, y) = g (f (x, y)) = f (x, y) = 1−xy / 1+x2y2 g (t) = t + ln t
Determine o domínio da função h(x,y).
Df = {(x, y) ∈ R2∣∣ xy > 1} .
Df = {(x, y) ∈ R2∣∣ xy < 1} .
Df = {(x, y) ∈ R2∣∣ x2y2 < 1} .
Df = {(x, y) ∈ R2∣∣ x2y2 > 1} .
Df = {(x, y) ∈ R2∣∣ xy ≤ 1} .

Considere uma função f(x,y,z) que representa a temperatura em um ponto do espaço. Suponha que f seja suficientemente suave (possui derivadas contínuas).
Analise as afirmacoes: I) A derivada f em x, y e z representa a taxa de variação da variação da temperatura, considerando mudanças sucessivas nas direções x, y, z. II) Se a função for suficientemente regular, a ordem em que as derivadas parciais são calculadas não altera o resultado final. III) Derivadas parciais mistas de ordem superior sempre possuem significados físicos distintos dependendo da ordem de derivação. Qual(is) está(ão) correta(s)?
I) A derivada f em x, y e z representa a taxa de variação da variação da temperatura, considerando mudanças sucessivas nas direções x, y, z.
II) Se a função for suficientemente regular, a ordem em que as derivadas parciais são calculadas não altera o resultado final.
III) Derivadas parciais mistas de ordem superior sempre possuem significados físicos distintos dependendo da ordem de derivação.
I, apenas.
II, apenas.
I e II, apenas.
II e III, apenas.
I, II e III.

O entendimento e a aplicação correta da regra da cadeia são essenciais para a análise e otimização de funções de várias variáveis em diversos campos científicos e aplicados. Considere a função e a curva espacial .
Determine a derivada da função f(x,y,z) = x2 + 3y2 + z2 − 2xy ao longo da curva α(t) = (x(t), y(t), z(t)) no ponto t = t0, sabendo que x(t0) = 1, y(t0) = 2, z(t0) = −1 e x′(t0) = 2, y′(t0) = √2, z′(t0) = 1.
9√2 − 6.
10√2 − 6.
11√2 − 6.
8√2 − 6.
5√2 − 6.

Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a função composta. Sejam as funções f(x, y) = e^(xy), g(t) = cos t, h(t) = sen t e F(t) = f(g(t), h(t)).
Calcule F′(0).
0.
1.
2.
3.
4.

As funções de várias variáveis são aquelas que possuem mais de uma variável independente e uma variável dependente. Seja f(x, y) uma função diferenciável no ponto (1, 2), e que fx(1, 2) = −1 e que sua derivada direcional segundo a direção do vetor (1, 1) vale 1.
Qual o valor de fy(1, 2)?
1 + √2.
√2.
2.
1.
0.

A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada por T(x,y) = 36 − 2x2 − 4y2, onde x e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P = (2, 1). A trajetória do objeto em cada instante t (segundos) é dada por r(t) = (t, t^2/4).
Determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto P.
80°C/ seg.
48°C/ seg.
-48°C/ seg.
-80°C/ seg.
-28°C/ seg.