Funções Vetoriais

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de funções vetoriais.
PROPÓSITO
Conhecer as funções vetoriais e suas operações, a partir do cálculo do limite, da derivada e da integral dessas
funções, para aplicar tais conceitos em problemas de cálculo vetorial.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a
calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas
MÓDULO 2
Aplicar as operações do limite, da derivada e da integral nas funções vetoriais
MÓDULO 3
Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço, bem como no movimento de um objeto
MÓDULO 4
Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas polares
MÓDULO 1
 Definir as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas
INTRODUÇÃO
O vetor é um objeto da Matemática de grande aplicação prática em diversas áreas. Assim, é necessário definir
funções que tenham os elementos vetoriais em suas entradas ou saídas.
A função a variáveis reais, a valores vetoriais ou simplesmente função vetorial é aquela que tem domínio no conjunto
dos números reais e vetores que pertencem ao conjunto Rn como imagem.
Neste módulo, estudaremos as funções vetoriais e suas operações matemáticas básicas.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES VETORIAIS
No cálculo de uma variável, trabalhamos com funções que têm domínio e imagem no conjunto dos números reais.
Elas são denominadas funções reais à variável real, ou simplesmente funções reais.
Há um elemento matemático de grande aplicação prática: o vetor, definido não apenas por seu valor (módulo), mas
também por sua direção e seu sentido.
Fonte: Peshkova/Shutterstock
UM VETOR É REPRESENTADO POR SUAS COORDENADAS. O
NÚMERO DE COORDENADAS DE UM VETOR DEPENDE DO
CONJUNTO AO QUAL PERTENCE. CONSIDERANDO →V O VETOR
PERTENCENTE A RN, →V SERÁ REPRESENTADO POR N
COORDENADAS:
→V = V1, V2, …, VN
No exemplo, v1, v2, ... , vn são números reais que representam a projeção do vetor v na direção e no sentido de cada
uma das dimensões do Rn.
Estamos trabalhando com coordenadas cartesianas. Particularmente, neste tema, nosso interesse está em R2 e R3.
Assim, um vetor →v, pertencente ao R3, é representado por três coordenadas. Veja a figura 1, em que o vetor →v
projetado na direção do eixo x apresenta um tamanho vx; na direção do eixo y, um tamanho vy; na direção do eixo z,
um tamanho vz:
Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo, o sinal da coordenada será
negativo. Portanto, o vetor →v terá coordenadas (vx, vy , vz), em que vx, vy e vz são números reais. No caso do R2,
caso particular do R3, o vetor não terá a componente vz.
Fonte: Autor
 Figura 1: Representação do vetor no espaço
Assim, precisamos definir funções que tenham elementos vetoriais em seus domínios e/ou em suas imagens. Neste
módulo, iniciaremos com as funções que têm como imagens, isto é, como saídas, elementos vetoriais.
Trabalharemos com a função que tem domínio no conjunto real e tem imagem no conjunto Rn. Assim, sua entrada é
um número real, mas sua saída é um vetor. Esta função é denominada função vetorial ou, de forma mais precisa,
função de uma variável real a valores vetoriais.
⟨ ⟩
Uma função de uma variável real a valores vetoriais em Rn é uma função 
→
F: S ⊂ R → Rn, com n inteiro e n > 1, em
que S é um subconjunto dos números reais. Assim, para cada valor real, pertencente ao domínio de 
→
F, teremos como
resultante uma imagem que será um vetor pertencente a Rn. Logo:
Im
→
F = t ∈ S ⊂ R 
→
F(t) = 〈f1(t), f2(t), …, fn t 〉 ∈ Rn
Como a imagem da função é um vetor, cada componente desse vetor dependerá da variável de entrada. Portanto, a
variável de entrada pode ser considerada um parâmetro e a função pode ser também representada por uma equação
paramétrica.
Observe que a entrada da função vetorial será um número real e a saída será um vetor. Veja o exemplo.
 EXEMPLO
→
F : R → R3, tal que 
→
F(m) = (2m + 3, 5m, 2 - m), com m real.
Note que cada vetor da imagem dependerá do elemento do domínio, que, neste caso, será o parâmetro m.
Existem funções denominadas campos vetoriais que apresentam, tanto no domínio quanto na imagem, vetores.
Assim, seriam funções 
→
F : Rn → Rm, com m e n inteiros maiores do que 1. Por exemplo:
→
F: R3 → R4, tal que 
→
F(x, y, z) = (2x + 3y, 2x + 5, y + 3z, 4x + y)
Perceba que as coordenadas dos elementos vetoriais da saída dependem das coordenadas dos elementos vetoriais
da entrada. Aqui, não abordaremos este tipo de funções.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
A função vetorial pode ser representada por sua forma vetorial, já exemplificada, ou por sua forma paramétrica.
Seja 
→
F(t) : t ∈ S ⊂ R →
→
F(t) ∈ R3. Como já vimos, cada componente do vetor de saída depende da variável de
entrada, denominada parâmetro. Dessa forma, a função pode ser representada por:
→
F(t) =
x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
, t real
Observe que f(t), g(t) e h(t) são funções reais, que relacionam cada coordenada ao parâmetro t. Este tipo de
equação é chamado de equação paramétrica. Para funções com imagem no Rn, n inteiro maior do que 1, a
equação paramétrica terá n equações.
 EXEMPLO
{ | ( ) }
{
Seja a função 
→
F(t) = 〈t, t2 + 5, ln t〉, definida para t > 0. Determine o valor de 
→
F(1) e 
→
F(e)
SOLUÇÃO
A função é uma função de variável real a valores vetoriais de R3, 
→
F(t) = 〈f(t), g(t), h(t)〉
Onde:
f(t) = t
g(t) = t2 + 5
h(t) = ln t
Logo, temos:
→
F(t) =
x = t
y = t2 + 5
z = ln t
, para t real e t > 0.
Então,
→
F(1) = 〈f(1), g(1), h(1)〉 = 〈1, 1 + 5 , ln 1〉 = 〈1,6, 0〉
Portanto, para uma entrada t = 1, o resultado da função será o vetor 〈1, 6, 0〉
Para t = e:
→
F(e) = 〈f(e), g(e), h(e)〉 = 〈e, e2 + 5 , ln e〉 = 〈e, e2 + 5,1〉
Por fim, para uma entrada t = e, o resultado da função será o vetor e, e2 + 5, 1
FUNÇÕES VETORIAIS E TRAÇADOS DE CURVA
Para o caso de R2 e R3, a imagem da função vetorial 
→
F pode ser analisada como a trajetória de uma curva (lugar
geométrico) em R2 ou R3 descrita pela equação paramétrica da função. Em outras palavras, a função vetorial
definirá uma curva plana, no caso de sua imagem em R2, ou uma curva espacial, quando sua imagem estiver no R3.
Se considerarmos que a imagem da função vetorial é um vetor com extremidade inicial na origem, a trajetória da
curva será definida pela extremidade final dos vetores obtidos pela imagem da função vetorial.
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considere a função 
→
F(u) = 〈u, u2〉, definida para u ∈ R. Determine a trajetória definida pela imagem da
função.
SOLUÇÃO
{
⟨ ⟩
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Trata-se de uma função de variável real a valores vetoriais de R2.
Repare que a componente x do vetor determinado pela imagem de 
→
F vale u e a componente y vale u2. Então, se
→
F(u) = 〈x, y〉, temos a seguinte representação paramétrica:
→
F(u) =
x = u
y = u2 → y = x2
Esta é a equação de uma parábola vertical. Assim, a imagem da função será a parábola de equação y = x2,
representada a seguir:
Fonte: Autor
 Figura 2: Imagem da função 
→
F(u) = 〈u, u2〉
Conforme o valor do parâmetro u se altera, a imagem obtida pela função vetorial também muda, traçando uma curva,
que, neste exemplo, será uma parábola vertical de vértice na origem.
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Seja a função 
→
F(t) = 〈sen t, cos t, 5〉. Determine a trajetória definida pela imagem da função.
SOLUÇÃO
Trata-se de uma função de variável real a valores vetoriais de R3.
Seja 
→
F(t) = 〈x, y, z〉
Repare que:
→
F(t) :
x = sen t
y = cos t
z = 5
→ x2 + y2 = 1 e z = 5
A imagem da função representará uma circunferência pertencente ao plano z = 5. Assim, será uma circunferência de
centro em 〈0, 0, 5〉 e raio 1, conforme observamos a seguir:
{
{
javascript:void(0)
Fonte: Adaptado de Guidorizzi (2013)
 Figura 3: Imagem da função 
→
F(t) = 〈sen t, cos t, 5〉
Se quisermos dar um sentido à trajetória, este pode ser definido como o sentidoT. M. Cálculo. 1. ed. Barcelona: Editorial Reverte SA, 1985. v. 1, cap. 14, p. 597-640.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. v. 1, cap. 13, p. 422-432.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. v. 2, cap. 7, p. 104-132.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. v. 2, cap. 10, p. 665-679; cap. 13, p. 847-883.
EXPLORE+
√( )
( )
Pesquise mais sobre funções vetoriais na internet e nas referências bibliográficas.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);
javascript:void(0);do crescimento do parâmetro ou do
decrescimento do parâmetro. No caso do exemplo de 
→
F(u) = 〈u, u2〉, a trajetória da parábola é percorrida no sentido
da esquerda para direita, quando cresce o parâmetro u:
Fonte: Autor
 Figura 4: Sentido da trajetória pelo crescimento do parâmetro
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
Uma função de uma variável real a valores do Rn, conforme definida, será composta por n funções reais, definindo
cada uma de suas coordenadas. Assim, temos:
→
F(t) = 〈f1(t), f2(t), …, fn t 〉 ∈ Rn, com t real( )
Tais funções f1, f2, ... , fn são denominadas funções componentes da função 
→
F.
Como a imagem da função 
→
F(t) será um vetor, ela atende todas as propriedades e operações que um vetor possui.
Considerando que 
→
F,
→
G : S ⊂ R → Rn, p(t) uma função real e k uma constante real, é possível definir as seguintes
propriedades:
A) SOMA
→
H(t) =
→
F +
→
G (t) =
→
F(t) +
→
G(t)
→
H(t) = 〈f1(t) + g1(t), f2(t) + g2(t), …, fn(t) + gn(t)〉 ∈ R
B) PRODUTO POR UM ESCALAR K
→
H(t) = k
→
F (t) = k
→
F(t)
→
H(t) = 〈kf1(t), kf2(t), …, kfn(t)〉 ∈ Rn
C) PRODUTO POR UMA FUNÇÃO REAL P(T)
→
H(t) = p.
→
F (t) = p(t)
→
F(t)
→
H(t) = 〈p(t)f1(t), p(t)f2(t), …, p(t)fn(t)〉 ∈ Rn
Cuidado! Não existe produto (multiplicação) entre duas funções vetoriais.
D) PRODUTO ESCALAR ENTRE 
→
F E 
→
G
m(t) =
→
F.
→
G (t) =
→
F(t).
→
G(t)
m(t) = f1(t). g1(t) + f2(t). g2(t) + … + fn(t). gn(t), m t ∈ R
E) PARA N = 3, PRODUTO VETORIAL ENTRE 
→
F E 
→
G
→
H(t) =
→
F x 
→
G (t) =
→
F(t) x 
→
G(t)
→
H(t) =
 x̂ ŷ ẑ
 f1 t f2 t f3 t
 g1 t g2 t g3 t
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando as funções 
→
F(u) = 〈u + 5, cos u, u2〉,
→
G(u) = 〈2 - u2, sen u, 3u〉 e p(u) = 2eu,
determine o valor para t = 0 da função m(t) = 2
→
F(t) . p(t)
→
G(t)
SOLUÇÃO
( )
( )
( )
( )
( )
( )
| ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) |
( ) ( )
javascript:void(0)
Se 
→
F(u) = 〈u + 5, cos u, u2〉, então 2
→
F(u) = 〈2 u + 5 , 2cos u, 2u2〉
Se 
→
G(u) = 〈2 - u2, sen u, 3u〉 e p u = 2 . eu, então: p(u)
 
→
G(u) = 
Portanto,
 m(u) = 2(u + 5) . 2 . eu . 2 - u2 + 2 cos u . 2 . eu . sen u + 2 . u2 . 2 . eu . 3 . u
Assim,
m(0) = 2 (0 + 5) . 2 . e0 . 2 - 02 + 2 cos 0 . 2 . e0 . sen 0 + 2 . 02 . 2 . e0 . 3 . 0 = 8 . 5 + 0 + 0 = 40
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considerando as funções 
→
F(u) = 〈u, cos u, 3u〉 e 
→
G(u) = 〈u2, sen u, u〉 determine a função
→
H(t) =
→
F(t) x 
→
G(t) e seu valor
para t=π.
SOLUÇÃO
→
H(t) =
→
F x 
→
G (t) =
→
F(t) x 
→
G(t)
→
H(t) =
 x̂ ŷ ẑ
 t cos t 3t
 t2 sen (t) t
= t cost x̂ + t sent ẑ + 3t t2ŷ - t2cos t ẑ - 3t sen t x̂ - t. t ŷ
→
H(t) = (t cost - 3t sent)x̂ + 3t3 - t2 ŷ + t sent - t2cost ẑ
→
H(t) = 〈t cost - 3t sent, 3t3 - t2, t sent - t2cost〉
Assim,
→
H(π) = 〈π. cos π - 3. π sen π, 3 π3 - π2, π sen π - π2cosπ〉 = 〈-π, 3 π3 - π2, π2〉
( )
( )
( )
( )
( )
( )
| |
( ) ( )
javascript:void(0)
TEORIA NA PRÁTICA
Desejamos traçar, com um computador, uma curva espacial denominada toroide espiral. A função vetorial que
define essa curva espacial é a seguinte:
→
F(t) = 〈(4 + sen(kt))cost, (4 + sen(kt))sent, cos (kt)〉, com k real e 02 + 1 = 2 . 0 + 3 → 3 = 3
Assim, a imagem obtida para v = 2 na função G ou t = 0 na função H será a mesma com valor:
x = 0
y = 2.02 + 3 = 3
z = 4
 ou 
x = 3.2 - 6 = 0
y = 2 + 1 = 3
z = 22 = 4
→〈0,3,4〉
Para v = – 2, na primeira equação, obtemos: t = 3 . (– 2) – 6 = – 12
Substituindo v = – 2 e t = – 12 na segunda equação, obtemos: – 2 + 1 = 2 . (– 12)2 + 3 → – 1 ≠291
Assim, não existe imagem comum para o caso de v= – 2
{
)
{
{
{
{ {
6. Considerando as funções 
→
F(u) = 〈u + cos u, 1, 3u 〉 e 
→
G(t) = 〈
2t
3 , - 1, 2t -
1
3 sen t 〉, definidas para
u e t ∈ [0,2π], qual é a equação do lugar geométrico formado pela imagem da função 
→
H(t), sendo
 
→
H(t) = 2
→
F(t) - 3
→
G(t)?
A alternativa "C " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJAM AS FUNÇÕES 
→
G(T) = 〈T2 - 1, 3 - T, T + 3〉 E 
→
F(U) = 〈U + 1, U2 + 2, U2〉, COM U E
T REAIS. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA O VALOR DA FUNÇÃO M(U)=
→
F(U).
→
G(U), PARA U=1:
A) 〈0,6,4〉
B) 〈2,3,1〉
C) 8
D) 10
2. CONSIDERANDO A FUNÇÃO 
→
F(T) = 〈2T SEN T, LN T , TCOS T 〉, DEFINIDA PARA T
REAL MAIOR DO QUE 0 (ZERO), ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A
EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA DA CURVA ESPACIAL DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO
→
F(T):
A) x2 - 4e2y + 4z2 = 0
B) x2 - e2y + z2 = 0
C) x2 - y2 + 4z2 = 0
D) x2 + 4ln y + 4z2 = 1
GABARITO
1. Sejam as funções 
→
G(t) = 〈t2 - 1, 3 - t, t + 3〉 e 
→
F(u) = 〈u + 1, u2 + 2, u2〉, com u e t reais. Assinale a
alternativa que representa o valor da função m(u)=
→
F(u).
→
G(u), para u=1:
A alternativa "D " está correta.
A função m(u) é o resultado de um produto escalar de duas funções vetoriais. Assim, ela será uma função real.
Se m(u) =
→
F(u).
→
G(u) → m(u) = f1(u)g1(u) + f2(u)g2(u) + f3(u)g3(u)
m(u) = u2 - 1 (u + 1) + (3 - u) u2 + 2 + (u + 3)u2
m(u) = u3 + u2 - u - 1 + 3u2 + 6 - u3 - 2u + u3 + 3u2 = u3 + 7u2 - 3u + 5
m(1) = 1 + 7 - 3 + 5 = 10 
2. Considerando a função 
→
F(t) = 〈2t sen t, ln t , tcos t 〉, definida para t real maior do que 0 (zero), assinale a
alternativa que apresenta a equação da trajetória da curva espacial definida pela imagem da função 
→
F(t):
A alternativa "A " está correta.
Usando as definições de função vetorial, encontramos a equação paramétrica de:
→
F(t) =
x = 2t sen t
y = ln t
z = tcos t
, t > 0
( ) ( )
{
Eliminando a variável t na primeira e na terceira equações: t sent =
x
2 e t cos t = z, temos:
x
2 )2 + z2 = t sent)2 + t cost)2 = t2cos2t + t2sen2t = t2 cos2t + sen2t = t2
Porém, pela segunda equação: y = ln t → t = ey.
Logo:
x
2 )2 + z2 = t2 = ey)2 = e2y
Então:
x2 + 4z2 = 4e2y → x2 - 4e2y + 4z2 = 0
MÓDULO 2
 Aplicar as operações do limite, da derivada e da integral nas funções
vetoriais
INTRODUÇÃO
Da mesma forma que definimos as operações de limite, derivada e integral para uma função real, também o faremos
para as funções vetoriais.
Neste módulo, definiremos, então, as operações de limite, derivada e integral e as aplicaremos em alguns problemas
de cálculo diferencial e integral. Veremos que essas operações se relacionam com aquelas correspondentes às
funções reais, que são componentes da função vetorial.
LIMITE E CONTINUIDADE
O limite de uma função vetorial é alcançado obtendo-se o limite de cada uma de suas funções componentes.
Assim, seja 
→
F(t) = 〈f1(t), f2(t), …, fn t 〉 ∈ Rn, com t real.
lim
t → a
 
→
F(t) = 〈lim
t → a
 f1 t , lim
t → a
 f2(t), …, lim
t → a
 fn t 〉
O limite existirá se houver o limite de todas as funções componentes.
A existência do limite implica que, toda vez que t se aproximar do valor a, a função vetorial 
→
F se aproximará do valor
do limite. No caso da função real, a aproximação da função a seu valor do limite ocorre por valores acima ou abaixo.
( ( ( ( )
( (
( )
( ) ( )
No caso da função vetorial, essa aproximação acontece por infinitos caminhos. Porém, existindo o limite 
→
L, a função
sempre tenderá ao vetor 
→
L, quando t tender ao valor de a.
A definição foi feita para t → a, mas pode ser extrapolada para todos os tipos de limite para t → a+ , t→ a- ou t → ±
∞.
Observe que o limite de cada função componente é um limite de uma função real, já estudado anteriormente. Assim,
todos os métodos e as propriedades já conhecidas podem ser utilizados. A única diferença, neste caso, é que, para a
função vetorial, serão resolvidos n limites diferentes, cada um relacionado a uma das n funções componentes.
 EXEMPLO
Determine o limite de 
→
F(t) = 〈2t + 1,
2sen t
t ,
t3 - 3t + 2
t + 2 〉 quando t tende a 0
SOLUÇÃO
lim
t → 0
 
→
F(t) = 〈lim
t → 0
 2t + 1, lim
t → 0
 
2sen t
t , lim
t → 0
 
t3 - 3t + 2
t + 2 〉
Resolvendo os limites das funções componentes, temos:
✓ Por substituição direta: lim
t → 0
 2t + 1 = 2. 0 + 1 = 1
✓ Pelo limite trigonométrico fundamental: lim
t → 0
 
2sen t
t = 2 lim
t → 0
 
sen t
t = 2. 1 = 2
✓ Pelo teorema de Leibniz: lim
t → 0
 
t3 - 3t + 2
t + 2 =
2
2 = 1
Portanto,
lim
t → 0
 
→
F(t) = 〈1,2, 1〉 = x̂ + 2ŷ + ẑ
TEOREMA DE LEIBNIZ
De acordo com este teorema:
Todo polinômio é equivalente a seu termo de maior grau, quando sua variável independente tende a mais
ou menos infinito (+∞ ou - ∞).
Todo polinômio é equivalente a seu termo de menor grau, quando sua variável independente tende a 0
(zero).
Algumas propriedades para o limite de funções vetoriais podem ser demonstradas pela definição do limite e pelas
operações das funções vetoriais. Por exemplo:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
✓ lim
t → a
 k1
→
F(t) ± k2
→
G(t) = k1lim
t → a
 
→
F(t) ± k2lim
t → a
 
→
G(t), onde k1 e k2 são números reais
✓ lim
t → a
 
→
F(t).
→
G(t) = lim
t → a
 
→
F(t). lim
t → a
 
→
G(t)
✓ lim
t → a
 
→
F(t) x 
→
G(t) = lim
t → a
 
→
F(t) xlim
t → a
 
→
G(t)
CONTINUIDADE
De forma semelhante à função real, vamos definir a continuidade de uma função vetorial em um ponto do seu
domínio t = t0
Considerando 
→
F(t) = 〈f1(t), f2(t), …, fn t 〉 ∈ Rn, com t real, e t0 um ponto do domínio da função, a função 
→
F(t) será
contínua em t = t0 se e somente se: lim
t → t0
 
→
F(t) =
→
F t0
Em outras palavras, é necessário existir o limite para quando t tende a t0, e esse limite precisa ter o valor da função
no ponto t = t0
A função 
→
F(t) só será contínua em um ponto t0 se todas as suas funções componentes forem contínuas no ponto t0
 EXEMPLO
Considerando a função 
→
F(t) = 〈2t + 1,
2sen t
t ,
t3 - 3t + 2
t + 2 〉, para t real diferente de 0 (zero) e de – 2, determine o valor de
→
F(0) e 
→
F(-2) para que a função seja contínua para todo t real.
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, já foi obtido o limite:
lim
t → 0
 
→
F(t) = 〈1,2, 1〉 = x̂ + 2ŷ + ẑ
O limite existe. Para que seja contínua, a função deve ter valor em t = 0 igual ao valor do limite no ponto. Portanto,
temos:
→
F(0) = 〈1,2, 1〉 = x̂ + 2ŷ + ẑ
Para o caso de t = – 2, necessitamos, inicialmente, verificar se o limite existe. Vejamos:
lim
t → - 2
 
→
F(t) = 〈lim
t → - 2
 2t + 1, lim
t → - 2
 
2sen t
t , lim
t → - 2
 
t3 - 3t + 2
t + 2 〉
Resolvendo os limites das funções componentes, temos:
✓ Por substituição direta: lim
t → - 2
 2t + 1 = 2. (-2) + 1 = - 3
( )
( )
( )
javascript:void(0)
✓ Por substituição direta: lim
t → - 2
 
2sen t
t =
2 sen ( - 2 )
- 2 = - sen (-2) = sen (2)
✓ Pelo método da substituição de funções: lim
t → - 2
 
t3 - 3t + 2
t + 2 =
- 8 + 6 + 2
- 2 + 2 =
0
0
Porém, t3 - 3t + 2 = t + 2 t2 - 2t + 1
Logo, lim
t → - 2
 
t3 - 3t + 2
t + 2 = lim
t → - 2
 
t + 2 t2 - 2t + 1
t + 2 = lim
t → - 2
 t2 - 2t + 1 = 4 + 4 + 1 = 9
Portanto, lim
t → - 2
 
→
F(t) = 〈-3, sen(2), 9〉 = - 3x̂ + sen(2)ŷ + 9ẑ
O limite existe. Para que seja contínua, a função deve ter valor em t = – 2 igual ao valor do limite no ponto. Assim:
→
F(-2) = 〈-3, sen(2), 9〉 = - 3x̂ + sen(2)ŷ + 9ẑ
DERIVADA DE FUNÇÕES VETORIAIS
A derivada de uma função vetorial será definida de forma similar às funções reais.
Assim, seja 
→
F(t) = 〈f1(t), f2(t), …, fn t 〉 ∈ Rn, com t real:
→
F' (t) =
d
→
F
dt =lim
h → 0
 
→
F ( t + h ) -
→
F ( t )
h
Se o limite existir, a função será derivável ou diferençável, e sua derivada terá o valor fornecido pelo limite. Para ser
derivável ou diferençável em um intervalo, a função deve ser derivável para todos os pontos desse intervalo.
A definição anterior pode ser obtida pela derivada das funções componentes da seguinte forma:
→
F' (t) = 〈f'1(t), f'2(t), …, f'n t 〉 ∈ Rn, com t real
Observe, portanto, que devemos empregar todas as formas e regras de derivação aprendidas para as funções reais,
com a única diferença de que derivaremos n funções componentes.
 EXEMPLO
Vamos obter a derivada da função 
→
G(u) = 〈sec u, u2 + 1, 3eu〉 para u=
π
4
SOLUÇÃO
→
G'(u) = 〈g ,
1(u), g ,
2(u), g ,
3 u 〉
g1 u = sec u → g ,
1 u = sec u tg u
g2 u = u2 + 1 → g ,
3 u = 2u
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
javascript:void(0)
g3 u = 3eu → g ,
3 u = 3eu
Assim,
→
G'(u) = 〈sec u tg u , 2u , 3e2〉 = (sec u tg u)x̂ + 2u ŷ + 3 euẑ
→
G'
π
4 = 〈sec 
π
4 tg 
π
4 , 2
π
4 , 3e
π
4 〉 = 〈√2 , 
π
2 , 3e
π
4 〉 = √2x̂ +
π
2 ŷ + 3e
π
4 ẑ
Geometricamente, a derivada de 
→
F(t) representará um vetor que será tangente à trajetória definida pela função
vetorial. Esse vetor será denominado vetor tangente à curva de
→
F(t) no ponto analisado. No próximo módulo,
estudaremos a aplicação da derivada no cálculo do vetor e da reta tangente à trajetória definida pela função.
PROPRIEDADES DA DERIVAÇÃO
Por meio da definição da derivada e das operações das funções vetoriais, podemos obter algumas
propriedades para a derivação de uma função vetorial. São elas:
✓ 
d
dt
→
F(t) +
→
G(t) =
d
dt
→
F(t) +
d
dt
→
G(t)
✓ 
d
dt k
→
F(t) = k
d
dt
→
F(t) , k real
✓ 
d
dt u(t)
→
F(t) = u'(t)
→
F(t) + u(t)
d
dt
→
F(t) ,u(t) função real
✓ 
d
dt
→
F(t).
→
G(t) =
d
dt
→
F(t) .
→
G(t) +
→
F(t).
d
dt
→
G(t) 
✓ 
d
dt
→
F(t) x 
→
G(t) =
d
dt
→
F(t) x 
→
G(t) +
→
F(t) x 
d
dt
→
G(t)
✓ 
d
dt
→
F(u(t)) =
d
dt
→
F(u(t)) u'(t) , com u(t) função real – Regra da Cadeia
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando uma função vetorial 
→
G(t), tal que, para todo t de seu domínio, a norma (módulo) de
→
G(t) seja sempre igual a uma constante k, determine o valor do produto escalar de 
→
G(t).
d
dt
→
G(t)
SOLUÇÃO
Como 
→
G(t) é um vetor, então: ||
→
G(t)||2 =
→
G(t).
→
G(t)
Pelo enunciado, temos: ||
→
G(t)||2 =
→
G(t).
→
G(t) = k2
Como 
→
G(t).
→
G(t) é uma constante, então sua derivada é nula. Usando a regra da derivada do produto escalar,
temos:
( ) ( )
( )
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
javascript:void(0)
d
dt
→
G(t).
→
G(t) =
d
dt
→
G(t) .
→
G(t) +
→
G(t).
d
dt
→
G(t) = 2
→
G(t).
d
dt
→
G(t) = 0
Logo, 
→
G(t).
d
dt
→
G(t) = 0
Como o produto escalar será 0 (zero), o vetor 
→
G(t) e o vetor 
→
G'(t) serão ortogonais.
Por fim, as derivadas de ordem superior serão definidas de forma semelhante, isto é, a derivada de ordem n
da função vetorial será obtida pelas derivadas de ordem n das funções componentes.
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Vamos obter a derivada de segunda ordem da função 
→
G(u) = 〈sec u, u2 + 1, 3eu〉.
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, já foi obtido que: 
→
G'(u) = 〈sec u tg u , 2u , 3eu〉
Assim, 
→
G''(u) =
→
G'(u)
,
g1 u = sec u → g ,
1 u = sec u tg u → g , ,
1 u = sec u tg2u + sec3u
g2 u = u2 + 1 → g ,
3 u = 2u → g , ,
2 u = 2
g3 u = 3eu → g ,
3 u = 3eu → g , ,
3 u = 3eu
Portanto,
→
G''(u) = 〈sec u tg2u + sec3u, 2, 3eu〉 
INTEGRAIS DAS FUNÇÕES VETORIAIS
De forma semelhante à operação do limite e da derivada, a integração de funções vetoriais segue a mesma
definição da integração de uma função real e será calculada por meio da integração de suas funções
componentes.
Assim, seja 
→
F(t) = 〈f1(t), f2(t), …, fn t 〉 ∈ Rn, com t real, definida em [a,b]:
∫ba
→
F(t)dt = 〈
b
∫
a
f1(t)dt, 
b
∫
a
f2(t)dt, …, 
b
∫
a
fn(t)dt〉 ∈ Rn
Portanto, a integração definida de uma função vetorial terá como resultado um vetor. A função será
integrável se existirem todas as integrais definidas das funções componentes.
Também podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo e verificar que:
[ ] [ ] [ ] ( [ ])
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
javascript:void(0)
javascript:void(0)
∫ba
→
F(t)dt =
→
G(t) b
a =
→
G(b) -
→
G(a)
Onde 
→
G(t) é uma primitiva de 
→
F(t), isto é, 
→
G'(t) =
→
F(t)
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
∫baf(x)dx = [F(x)]b
a = F(b) - F(a)
 EXEMPLO
Considerando a função 
→
H(u) = u x̂ + cos u ŷ - sec2u ẑ para u > 0, determine ∫
π
40
→
H(u)du.
SOLUÇÃO
∫
π
40
→
H(u)du = ∫
π
40 u x̂ + cos u ŷ - sec2u ẑ du = ∫
π
40u du x̂ + ∫
π
40cos u du ŷ - ∫
π
40sec2u du ẑ
∫
π
40
→
H(u)du =
u2
2
π
4
0
x̂ + sen u|
π
40 ŷ - tg u|
π
40 ẑ
∫
π
40
→
H(u)du =
1
2
π
4
2
- 0 x̂ + sen
π
4 - sen 0 ŷ - tg
π
4 - tg 0 ẑ
∫
π
40
→
H(u)du =
π2
32 x̂ +
√2
2 ŷ - ẑ
|
( )
|
( ( ) ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
javascript:void(0)
TEORIA NA PRÁTICA
Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função 
→
F(t) =
x = t3 - t2 + 1
y = t2 - 8t + 4
z = t + 8
, com t > 0 e as
componentes medidas em metro.
Considere como sentido positivo da trajetória o sentido do crescimento do parâmetro t. Determine o valor do
módulo da velocidade e da aceleração do objeto para o instante t = 2.
SOLUÇÃO
Como o enunciado informa, a posição do objeto será dada pela imagem da função vetorial.
Como a velocidade será a taxa de variação instantânea da posição, a velocidade será a derivada da posição
em relação ao parâmetro t. Portanto, será derivada da função vetorial.
Assim, temos:
→v(t) =
→
F'(t) = 〈 t3 - t2 + 1 , , t2 - 8t + 4 , , (t + 8) , 〉
→v(t) =
→
F'(t) = 〈3t2 - 2t, 2t - 8, 1〉 m/s
Para t = 2→ →v(2) = 〈3.4 - 2.2, 2.2 - 8, 1〉 = 〈8, - 4,1〉 m/s
→v 2 = √82 + ( - 4)2 + 12 = √64 + 16 + 1 = √81 = 9 m/s
Como a aceleração será a taxa de variação instantânea da velocidade, a aceleração será a derivada da
velocidade em relação ao parâmetro t. Portanto, será derivada da função vetorial.
Assim, temos:
→a(t) =
→
F''(t) = 〈 3t2 - 2t , , (2t - 8) , , (1) , 〉
→a(t) =
→
F ' ' (t) = 〈6t - 2, 2, 0〉 m/s2
Para t = 2→ →a(2) = 〈6.2 - 2, 2, 0〉 = 〈10,2, 0〉 m/s2
→a 2 = √102 + 22 + 02 = √100 + 4 + 0 = √104 = 2√26 m/s2
{
( ) ( )
| ( )|
( )
| ( )|
javascript:void(0)
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO A FUNÇÃO 
→
F(T) = 〈ET - 2,
T + 6
T + 2 ,
√T -√2
T - 2 〉, CASO EXISTA, QUAL É O LIMITE
DE 
→
F(T) QUANDO T TENDE A 2?
A) O limite não existe.
B) lim
t → 2
 
→
F(t) = 〈1, 2 , 
√2
4 〉
C) lim
t → 2
 
→
F(t) = 〈∞, 2 , 
√2
4 〉
D) lim
t → 2
 
→
F(t) = 〈1, 2 , 0〉
2. CONSIDERANDO A FUNÇÃO 
→
F(U) = 〈TG U, U2 + 3, SEN U + COS U〉, PARA U REAL,
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM VETOR COM DIREÇÃO PARALELA À
DIREÇÃO TANGENTE À CURVA DEFINIDA PELA IMAGEM DA FUNÇÃO NO PONTO U = 
Π
4 :
A) 〈4 ,π ,0〉
B) 〈-4 ,2π ,0〉
C) 〈4 ,0 ,8〉
D) 〈0 ,2π ,4〉
3. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE ∫Π0
→
G(U)DU, SENDO
→
G(U) =
X = U - EU
Y = 1 - U2
Z = SEN U
, U REAL:
A) 
π2
2 + eπ - 1 x̂ + π +
π3
3 + 1 ŷ + (π + 2)ẑ
B) eπ + 1 x̂ +
π3
3 ŷ + cos 2ẑ
{
( ) ( )
( ) ( )
C) π3 + 1 x̂ + (π + 1)ŷ + 2ẑ
D) 
π2
2 - eπ + 1 x̂ + π -
π3
3 ŷ + 2ẑ
4. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE ∫10
→
H(T) X 
→
F(T) DT, SENDO
→
H(T) = 〈2T, 2 , 1〉 E 
→
F(T) =
X = 3
Y = T2 + 1
Z = 2T - 1
, T REAL:
A) 〈 -
4
3 ,
8
3 ,
9
2 〉
B) 〈
2
3 ,
1
3 ,
7
2 〉
C) 〈
4
3 ,
8
3 ,
9
2 〉
D) 〈 -
2
3 ,
5
3 ,
1
2 〉
5. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES 
→
F(U) = 〈
U
2 SENU ,
U2 + 6U - 1
U + 1 ,
U + 8
U + 4 〉 E
→
G(U) = 〈
U
( U - 1 ) 2 - 1
,
2U
COS U , 8〉, CASO EXISTA, QUAL SERÁ O LIMITE DE 
→
F(U) X 
→
G(U) QUANDO
U TENDE A 0 (ZERO)?
A) 〈 - 8, - 5, -
1
2 〉
B) 〈 - 1, 2,
1
2 〉
C) O limite não existe.
D) 〈8, 5,
1
2 〉
6. CONSIDERANDO AS FUNÇÕES 
→
F(U) = 〈3U2 + EU, 2 SEN 2U, √U〉 E
→
G(U) = 〈4, U2 + 1, U + 1〉, DEFINIDAS PARA U > 0 E A FUNÇÃO REAL V(U) = U2, QUAL
SERÁ A DERIVADA DA FUNÇÃO M(U) =→
F(U).
→
G(V(U)) PARA M=1?
A) 8 – 2e + 4 cos 2 – 16 sen 2
B) 12 + 2e – 2 sen 2 – 8 cos 2
C) 29 + 4e + 8 cos 2 + 16 sen 2
( )
( ) ( )
( )
{
D) 4e2 + sen 2 – cos 2
GABARITO
1. Considerando a função 
→
F(t) = 〈et - 2,
t + 6
t + 2 ,
√t -√2
t - 2 〉, caso exista, qual é o limite de 
→
F(t) quando t tende a 2?
A alternativa "B " está correta.
lim
t → 2
 
→
F(t) = 〈lim
t → 2
 et - 2, lim
t → 2
 
t + 6
t + 2 , lim
t → 2
 
√t -√2
t - 2 〉
✓ Por substituição direta: lim
t → 2
et - 2 = e2 - 2 = e0 = 1
✓ Por substituição direta: lim
t → 2
t + 6
t + 2 =
2 + 6
2 + 2 = 2
✓ Por substituição de função: lim
t → 2
√t -√2
t - 2 =
0
0
Porém, (t - 2) = √t + √2 √t - √2
Logo, lim
t → 2
√t -√2
t - 2 = lim
t → 2
√t -√2
√t +√2 √t -√2
= lim
t → 2
1
√t +√2
=
1
2√2
=
√2
4
Assim, lim
t → 2
 
→
F(t) = 〈1, 2 , 
√2
4 〉
2. Considerando a função 
→
F(u) = 〈tg u, u2 + 3, sen u + cos u〉, para u real, assinale a alternativa que apresenta
um vetor com direção paralela à direção tangente à curva definida pela imagem da função no ponto u = 
π
4 :
A alternativa "A " está correta.
A direção tangente à curva em um ponto é dada pela derivada da função vetorial no ponto desejado.
Se 
→
F(u) = 〈tg u, u2 + 3, sen u + cos u〉 →
→
F'(u) = 〈(tg u) , , u2 + 3 , , (sen u + cos u) , 〉
→
F'(u) = 〈sec2u, 2u , cos u - sen u〉
→
F'
π
4 = 〈sec2 π
4 , 2
π
4 , cos 
π
4 - sen 
π
4 〉 = 〈2 , 
π
2 , 0〉
Qualquer vetor paralelo à direção tangente terá componente dado por:
→w = k 
→
F'
π
4 = k〈2 , 
π
2 , 0〉 = 〈2k , 
πk
2 , 0〉 , k real
Se k = 2 → →w = 〈4 , π , 0〉
3. Assinale a alternativa que apresenta o valor de ∫π0
→
G(u)du, sendo 
→
G(u) =
x = u - eu
y = 1 - u2
z = sen u
, u real:
A alternativa "D " está correta.
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
{
∫π0
→
G(u)du = ∫π0 u - eu du x̂ + ∫π0 1 - u2 du ŷ + ∫π0sen u du ẑ
∫π0
→
G(u)du =
u2
2 - eu
π
0
x̂ + u -
u3
3
π
0
ŷ + (-cos u|π0ẑ
∫π0
→
G(u)du =
π2
2 - eπ - 0 + e0 x̂ + π -
π3
3 - 0 + 0 ŷ + (-cosπ + cos 0)ẑ
∫π0
→
G(u)du =
π2
2 - eπ + 1 x̂ + π -
π3
3 ŷ + 2ẑ
4. Assinale a alternativa que apresenta o valor de ∫10
→
H(t) x 
→
F(t) dt, sendo 
→
H(t) = 〈2t, 2 , 1〉 e 
→
F(t) =
x = 3
y = t2 + 1
z = 2t - 1
,
t real:
A alternativa "A " está correta.
5. Considerando as funções 
→
F(u) = 〈
u
2 senu ,
u2 + 6u - 1
u + 1 ,
u + 8
u + 4 〉 e 
→
G(u) = 〈
u
( u - 1 ) 2 - 1
,
2u
cos u , 8〉, caso exista, qual será o
limite de 
→
F(u) x 
→
G(u) quando u tende a 0 (zero)?
A alternativa "A " está correta.
( ) ( )
( | ( |
( ) ( )
( ) ( )
( ) {
6. Considerando as funções 
→
F(u) = 〈3u2 + eu, 2 sen 2u, √u〉 e 
→
G(u) = 〈4, u2 + 1, u + 1〉, definidas para u > 0 e
a função real v(u) = u2, qual será a derivada da função m(u) =
→
F(u).
→
G(v(u)) para m=1?
A alternativa "C " está correta.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SABENDO QUE 
→
G(U) = 〈2 COS 2U, U3 + 2, LN U 〉, PARA U > 0, QUAL É A DERIVADA DE
→
G(U) PARA U=
Π
4 ?
A) 〈4, 
π2
16 ,
2
π 〉
B) 〈-1, 
3π2
8 , 4 〉
C) 〈-4, 
3π2
16 ,
4
π 〉
D) 〈4, 
π2
6 ,
1
π 〉
2. SABENDO QUE 
→
G(U) = 〈U, 
3U2
4 , 
1
2 〉, PARA U REAL, QUAL É O MÓDULO DO VETOR →W,
JÁ QUE →W =
4
∫
0
→
G(U)DU?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
GABARITO
1. Sabendo que 
→
G(u) = 〈2 cos 2u, u3 + 2, ln u 〉, para u > 0, qual é a derivada de 
→
G(u) para u=
π
4 ?
A alternativa "C " está correta.
De acordo com o conceito da derivada de uma função vetorial:
Se 
→
G(u) = 〈2 cos 2u, u3 + 2, ln u 〉 →
→
G'(u) = 〈(2 cos 2u)', u3 + 2 ', (ln u)' 〉
→
G'(u) = 〈-4sen 2u , 3u2,
1
u 〉 →
→
G'
π
4 = 〈-4sen 2
π
4 , 3
π
4
2
,
1
π
4
 〉
→
G'
π
4 = 〈-4, 
3π2
16 ,
4
π 〉
2. Sabendo que 
→
G(u) = 〈u, 
3u2
4 , 
1
2 〉, para u real, qual é o módulo do vetor →w, já que →w =
4
∫
0
→
G(u)du?
A alternativa "B " está correta.
De acordo com o conceito da integral de uma função vetorial:
→w = ∫40
→
G(u)du = ∫40u du x̂ + ∫40
3u2
4 du ŷ + ∫40
1
2 du ẑ
→w = ∫40
→
G(u)du =
u2
2
4
0
x̂ +
u3
4
4
0
ŷ +
1
2 u
4
0
ẑ
→w = ∫40
→
G(u)du =
16
2 - 0 x̂ +
64
4 - 0 ŷ + (2 - 0)ẑ
→w = 8x̂ + 16ŷ + 2
^
z → →w = √82 + 162 + 22 = √324 = 18
MÓDULO 3
 Empregar as funções vetoriais no estudo das curvas no plano e no espaço,
bem como no movimento de um objeto
INTRODUÇÃO
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( | ( | ( |
( ) ( )
| |
A imagem de uma função vetorial pode ser analisada como o traçado de uma curva, que é percorrida
conforme o parâmetro varia. Assim, uma aplicação da função vetorial é o estudo de curvas no plano e no
espaço.
Os vetores e as retas normais e tangenciais à curva, bem como o comprimento do arco e a curvatura, podem
ser obtidos por meio da função vetorial.
Este módulo apresentará tal estudo e a aplicação do conceito na análise do movimento de um objeto.
VETOR E RETA TANGENTE À CURVA
Como já vimos, a imagem de uma função vetorial pode ser analisada como a trajetória de uma curva no
plano ou no espaço.
Como também já analisamos, a derivada da função vetorial terá a direção tangente à trajetória da curva
traçada pela função. Assim, podemos, por meio da função derivada, obter um versor que definirá a direção
tangente à curva no ponto 
→
F t0 .
Como a derivada da função é um vetor tangente à curva no ponto t0, então, conforme se estuda em
geometria analítica, o versor que definirá a direção tangente à curva será dado por:
→
T t0 =
→
F ' t0
→
F ' t0
Para 
→
F' t0 ≠ 0.
Lembre-se de que o versor é um vetor unitário, isto é, de módulo igual a 1.
Se soubermos um ponto da reta e sua direção (vetor diretor), poderemos definir sua equação.
A reta tangente à curva passa pelo ponto 
→
F t0 e tem vetor diretor dado pelo valor de 
→
F' t0 . Portanto, a
equação paramétrica da reta tangente à curva pode ser obtida por:
→r (λ) -
→
F t0 = λ
→
F' t0 , λ real
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considerando a função 
→
F(t) = 〈2 sen t, 2 cos t, 5〉, definida para t ∈ [0,2π], determine o vetor, de
módulo 3, tangente à curva para t = 
π
4
SOLUÇÃO
Vamos obter a derivada da função vetorial:
( )
( ) ( )
| ( ) |
| ( ) |
( ) ( )
( ) ( )
javascript:void(0)
→
F'(t) = 〈(2 sen t)', (2 cos t)', (5)'〉 = 〈2 cos t, - 2 sen t , 0〉
Então,
||
→
F'(t)|| = √(2 cost)2 + ( - 2 sen t)2 + 0 = √4((cost)2 + (sen t)2 = 2
Assim, o versor tangente à curva no ponto t0 será:
→
T(t) =
→
F ' ( t )
→
F ' ( t )
=
1
2 〈2 cos t, - 2 sen t , 0〉 = 〈 cos t, - sen t , 0〉
Para t0=
π
4 →
→
T
π
4 = 〈cos 
π
4 , - sen 
π
4 , 0〉 = 〈
√2
2 , -
√2
2 , 0〉 = 
√2
2 x̂ -
√2
2 ŷ
Como o vetor →u terá módulo 3, então:
→u = 3
→
T
π
4 = 〈
3√2
2 , -
3√2
2 , 0〉
Portanto, no ponto t = 
π
4 , isto é, 
→
F
π
4 = 〈2 sen 
π
4 , 2 cos 
π
4 , 5〉 = 〈√2, √2, 5〉, o versor tangente será
→
T
π
4 = 
√2
2 x̂ -
√2
2 ŷ e o vetor pedido será →u =
3√2
2 x̂ -
3√2
2 ŷ
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considerando a função 
→
F(t) = 〈2 sen t, 2 cos t, 5〉, definida para t ∈ [0,2π], determine a reta
tangente à curva para t = 
π
4
SOLUÇÃO
Vamos obter a derivada da função vetorial:
→
F'(t) = 〈(2 sen t)', (2 cos t)', (5)'〉 = 〈2 cos t, - 2 sen t , 0〉
Obtendo a equação da reta tangente a curva, temos:
→r (λ) -
→
F t0 = λ
→
F' t0 →→r (t) =
→
F t0 + λ
→
F' t0 , λ real
→r (λ) = 〈2 sen t0, 2 cos t0, 5〉+ λ 〈2 cos t0, - 2 sen t0 , 0〉
Substituindo t =
π
4 , temos:
→r(λ) = 〈2 sen 
π
4 , 2 cos 
π
4 , 5〉 + λ 〈2 cos 
π
4 , - 2 sen 
π
4 , 0〉
→r (λ) = 〈√2, √2, 5〉 + λ 〈√2, - √2, 0〉 = 〈√2 + λ√2, √2 - λ√2, 5〉
→r (λ) =
x = √2 + λ√2
y = √2 - λ√2
z = 5
, λ real
)
| |
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{
javascript:void(0)
VETOR NORMAL E BINORMAL À CURVA
Outro vetor que pode ser obtido é o vetor normal à curva no ponto t0.
Qualquer vetor que apresente um produto escalar com o vetor tangente igual a 0 (zero) será normal à curva.
Lembre-se de que, no caso do plano, só existe uma direção normal, mas, no caso do espaço, existem
infinitas direções normais.
Vamos usar um conceito que já foi visto em um exemplo anterior. Se o módulode um vetor for constante
para todos os valores do parâmetro, então o vetor será ortogonal a sua derivada.
Considere o versor tangente à curva 
→
T(t) =
→
F ' ( t )
→
F ' ( t )
 Como já é de nosso conhecimento, por ser um versor,
→
T(t) = 1 para todos os valores de t; assim, obrigatoriamente: 
→
T(t).
→
T'(t) = 0
Portanto, o vetor 
→
T'(t) será perpendicular ao vetor tangente 
→
T(t) e, então, normal à curva. Basta, agora,
transformar o mesmo em um versor.
Definimos o versor normal principal ou vetor normal principal unitário 
→
N(t) como:
→
N(t) =
→
T ' ( t )
→
T ' ( t )
 EXEMPLO
Exemplo 1- Considere a função 
→
F(t) = 〈2 sen t, 2 cos t, 5〉, definida para t ∈ [0,2π]. Determine o versor normal
principal à curva para t = 
π
4
SOLUÇÃO
Como calculado nos exemplos anteriores:
→
T(t) =
→
F ' ( t )
→
F ' ( t )
= 〈 cos t, - sen t , 0〉
→
T'(t) = 〈( cos t)', ( - sen t)' , (0)'〉 = 〈- sen t , - cos t , 0〉
Observe como 
→
T(t) e 
→
T , (t) são ortogonais:
→
T(t).
→
T , (t) = cost(-sent) + (-sent t)(-cost) + 0.0 = - sent cost + sen t cost = 0
Isso era o esperado!
| |
| |
| |
| |
javascript:void(0)
Calculando o módulo do vetor 
→
T , (t), temos:
→
T '(t) = √( - sent)2 + ( - cost)2 + 02 = 1
Portanto, o vetor unitário principal será:
→
N(t) =
→
T ' ( t )
→
T ' ( t )
=
→
T ' ( t )
1 =〈- sen t , - cos t , 0〉
Para t = 
π
4 → 
→
N(t) = 〈- sen 
π
4 , - cos 
π
4 , 0〉 = 〈-
√2
2 , -
√2
2 , 0〉
Outro vetor que pode ser definido para uma curva é o vetor binormal 
→
B(t) =
→
T(t) x 
→
N(t)
Como o vetor binormal é o resultado de um produto vetorial entre 
→
T(t) e 
→
N(t), ele será ortogonal à direção
tangente à curva e ortogonal à direção normal principal da curva. Por isso, ele é denominado binormal. Por
ser um produto vetorial entre dois vetores ortogonais e unitários, o vetor binormal também é um vetor
unitário.
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considere a função 
→
F(t) = 〈2 sen t, 2 cos t, 5〉, definida para t ∈ [0,2π], e determine o vetor
binormal à curva para t = 
π
4
SOLUÇÃO
Como calculado nos exemplos anteriores:
→
T(t) =
→
F ' ( t )
→
F ' ( t )
= 〈 cos t, - sen t , 0〉
→
N(t) = 〈- sen t , - cos t , 0〉
→
B(t) =
→
T(t) x 
→
N(t) =
x̂ ŷ ẑ
cos t - sent 0
- sent - cost 0
→
B(t) = - cos2t ẑ - sen2t ẑ = - cos2t + sen2t ẑ = - 1 ẑ
→
B(t) = 〈0,0, - 1〉
COMPRIMENTO E CURVATURA DE UMA CURVA
| |
| |
| |
| |
( )
javascript:void(0)
Considere uma curva em que conhecemos a equação paramétrica da trajetória dada pela função vetorial 
→
F(t):
→
F(t) =
x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
, t real
Podemos definir uma equação que determina o comprimento da curva entre dois pontos de seu domínio.
Imagine uma curva C descrita pelas equações paramétricas de 
→
F(t) = 〈f(t), g(t), h(t)〉, com f’(t), g’(t) e h’(t)
contínuas, para a≤t≤b. Caso a trajetória de C seja percorrida apenas uma vez, quando t varia de a até b, o
comprimento da curva C, entre a e b, será dado por:
L = ∫ba||
→
F'(t)||dt = ∫ba
d
dt x(t)
2
+
d
dt y(t)
2
+
d
dt z(t)
2
L = ∫ba||
→
F'(t)||dt = ∫ba√(f'(t))2 + (g'(t))2 + (h'(t))2dt
Para o caso do plano, não existirá a componente z, e a fórmula se reduzirá a:
L = ∫ba||
→
F'(t)||dt = ∫ba
d
dt x(t)
2
+
d
dt y(t)
2
dt=∫ba√(f'(t))2 + (g'(t))2 dt
Também podemos obter uma função comprimento de arco que mede desde um ponto inicial t = a:
s(t) = ∫ t
a||
→
F'(t)||dt = ∫ t
a√(f'(t))2 + (g'(t))2 + (h'(t))2dt
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Considere a função 
→
F(t) = 〈2 sen t, 2 cos t, 5〉, definida para t ∈ [0,2π], e determine o
comprimento da curva entre t = 0 e t =2π.
SOLUÇÃO
→
F'(t) = 〈(2 sen t)', (2 cos t)', (5)'〉 = 〈2 cos t, - 2 sen t , 0〉
L = ∫2π
0 ||
→
F'(t)||dt = ∫2π
0 √(2 cost)2 + (-2 sent)2 + (0)2dt
L = ∫2π
0 √4 cos2t + 4sen2tdt = ∫2π
0 2dt = 2t|2π
0 = 4π
 EXEMPLO
Exemplo 2 - Considere a função 
→
F(t) = 〈2 sen t, 2 cos t, 5〉, definida para t ∈ [0,2π], e determine a função
comprimento do arco que mede o comprimento da curva desde o ponto t = 0.
SOLUÇÃO
{
√( ) ( ) ( )
√( ) ( )
javascript:void(0)
javascript:void(0)
→
F'(t) = 〈(2 sen t)', (2 cos t)', (5)'〉 = 〈2 cos t, - 2 sen t , 0〉
s(t) = ∫ t
0||
→
F'(t)||dt = ∫ t
0√(2 cost)2 + (-2 sent)2 + (0)2dt
s(t) = ∫ t
0√4 cos2t + 4sen2tdt = ∫ t
02dt = 2t| t
0 = 2t
Uma curva pode ser parametrizada por meio do parâmetro comprimento do(s) arco(s). A vantagem dessa
parametrização é que o comprimento ficará visível na própria imagem obtida pela variação do parâmetro.
As curvas parametrizadas pelo comprimento de arco têm a derivada da função, isto é, sua velocidade com
módulo 1, pois, a cada variação de uma unidade do parâmetro, ocorrerá a variação de uma unidade de
comprimento de arco.
 EXEMPLO
Exemplo 3 - Parametrize a curva definida pela função 
→
F(t) = 〈2 sen t, 2 cos t, 5〉 para t ∈ [0,2π] por meio de
seu comprimento de arco.
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, foi obtido que: s(t) = 2t, assim t = s/2
Portanto, com o novo parâmetro, a equação da curva será: 
→
F(s) = 〈2 sen 
s
2 , 2 cos 
s
2 , 5〉
Assim, para obtermos dois pontos com uma diferença de comprimento entre eles de 2 unidades, basta
obtermos um ponto com s = s0 e o outro com s = s0 + 2, por exemplo.
Sua derivada será:
→
F'(s) = 〈 2 sen 
s
2
,
, 2 cos 
s
2
,
, (5)'〉 = 〈 cos t, - sen t , 0〉
||
→
F'(s)|| = √cos2t + ( - sen t)2 + 0 = √cos2t + sen2t = 1
CURVATURA
A curvatura indica quão rapidamente uma trajetória muda com a variação do parâmetro, ou seja:
k =
d
→
T
ds
CURVATURA
( ) ( )
| |
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Taxa de variação do módulo do versor tangente em relação ao comprimento do arco.
Conhecemos o valor de 
→
T em relação ao parâmetro t, e não em relação ao comprimento s. Por isso, devemos
usar a regra da cadeia:
d
→
T
dt =
d
→
T
ds
ds
dt →
d
→
T
ds =
d
→
T / dt
ds / dt =
→
T ' ( t )
s ' ( t ) 
No entanto, pelo teorema fundamental do cálculo, aplicado na fórmula da função comprimento de arco,
temos:
s(t) = ∫ t
a||
→
F'(t)||dt → s’(t)=||
→
F'(t)||
Portanto:
k(t) =
→
T ' ( t )
→
F ' ( t )
Caso a curvatura seja diferente de 0 (zero), definimos o raio de curvatura ρ(t) como o inverso da curvatura.
Logo:
ρ(t) =
1
k ( t ) , para k(t) ≠ 0
Existe outra fórmula que pode ser obtida pelas definições apresentadas, a partir da manipulação matemática,
que determina a curvatura apenas em relação à função vetorial que define a curva.
Observe:
k(t) = 
→
F ' ( t ) x 
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t )
3
 SAIBA MAIS
A demonstração dessa fórmula pode ser estudada pelas referências apresentadas ao final do tema.
 EXEMPLO
Considere a função 
→
F(t) = 〈2 sen t, 2 cos t, 5〉, definida para t ∈ [0,2π] Determine a curvatura da curva
definida pela função.
SOLUÇÃO
Já foi calculado anteriormente para esta função que:
| |
| |
| |
| |
javascript:void(0)
→
T ' (t) = 〈( cos t)', ( - sen t)' , (0)'〉 = 〈- sen t , - cos t , 0〉 
→
T '(t) = √( - sent)2 + ( - cost)2 + 02 = 1
Além disso,
→
F , (t) = 〈(2 sen t) , , (2 cos t) , , (5) , 〉 = 〈2 cos t, - 2 sen t , 0〉
||
→
F'(t)|| = √(2 cost)2 + (-2 sent)2 + (0)2 = 2
k(t) =
→
T ' ( t )
→
F ' ( t )
=
1
2
Neste exemplo, por se tratar de uma circunferência, a curvatura não dependeu do parâmetro, isto é, da
posição na curva.
MOVIMENTO NO ESPAÇO: VELOCIDADE E
ACELERAÇÃO
Os vetores normais e tangenciais definidos no início deste módulo podem ser usados para estudarmos o
movimento de determinado objeto, sua velocidade e aceleração, quando ele estiver percorrendo uma
trajetória estipulada por uma curva plana ou espacial.
Agora, veremos a função
→
F(t), que define a trajetória percorrida pelo objeto.
A velocidade é uma grandeza vetorial expressa como a taxa de variação (derivada) da posição com o tempo.
A velocidade tem direção tangencial à curva. Assim:
→v(t) =
d
dt s(t) =
→
F , (t) =
→
F , (t)
→
T(t)
Da mesma forma, a aceleração é uma grandeza vetorial obtida pela taxa de variação (derivada) da velocidade
pelo tempo. Dessa forma:
→a(t)=
→
v '(t) =
→
F'(t)
Porém,
→v(t) = →v(t)
→
T(t)
→a(t) =
d
dt
→v(t) =
d
dt
→v(t)
→
T(t) =
→
v '(t)
→
T(t) + →v(t)
→
T'(t)
| |
| |
| |
| |
| |
( | | ) | | | |
Como pode ser verificado, a aceleração tem uma componente tangencial e uma normal (ortogonal à
tangencial).
A aceleração tangencial, 
→
v , (t)
→
T(t), que tem a direção tangencial à curva, é responsável pela mudança do
módulo da velocidade.
A aceleração normal, →v(t)
→
T'(t), que é ortogonal à curva, é responsável pela mudança da direção do vetor
velocidade.
Logo,
→a(t) =
→
v '(t)
→
T(t) + →v(t)
→
T'(t)
Entretanto,
k(t) =
→
T ' ( t )
→
F ' ( t )
→
→
T'(t) =
→
F'(t) k(t)
→
N(t) =
→
T ' ( t )
→
T ' ( t )
→
→
T'(t) =
→
T'(t)
→
N(t) =
→
F'(t) k(t)
→
N(t)
Como →v(t) =
→
F , (t) , então a parcela anormal terá valor:
→v(t)
→
T'(t) =
→
F'(t)
→
T'(t) =
→
F'(t)
→
F'(t) k(t)
→
N(t) =
→
F'(t) 2k(t)
→
N(t)
Assim,
→a(t) =
d
dt
→v(t) =
→
v '(t)
→
T(t) +
→
F'(t) 2k(t)
→
N(t)
Repare que a aceleração sempre estará contida no plano formado pelos vetores 
→
T(t) e 
→
N(t). Esse plano é
denominado plano osculador. Podemos manipular esta fórmula para depender apenas da função vetorial e
de suas derivadas.
Substituindo a fórmula da curvatura k(t) = 
→
F ' ( t ) x 
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t ) 3
Então,
→
F'(t) 2k(t) =
→
F ' ( t ) x 
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t )
 
Seja →v(t). →a(t) =
→
F'(t)
→
T(t) .
→
v '(t)
→
T(t) +
→
F'(t) 2k(t)
→
N(t) =
→
F'(t)
→
v '(t)
Logo,
| |
| |
| | | |
| |
| | | | | |
| | | | | |
| | | |
| | | | | | | | | |
| | | |
| |
| |
| | | |
| |
( | | ) ( | | | | ) | | | |
→
v , (t) =
→
v ( t ) . →
a ( t )
 
→
F , ( t )
=
→
F , ( t ) .
→
F , , ( t )
→
F , ( t )
Portanto,
→a(t) =
→
F ' ( t ) .
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t )
→
T(t) +
→
F ' ( t ) x 
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t )
→
N(t)
Consequentemente, temos:
→aT(t) =
→
F ' ( t ) .
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t )
→
T(t) e →aN(t) =
→
F ' ( t ) x 
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t )
→
N(t)
TEORIA NA PRÁTICA
Um objeto se desloca em uma trajetória definida pela função 
→
F(t) = 〈4t2, 4t2, 4t3〉, com t ≥ 0. Determine o
módulo da velocidade, da aceleração tangencial e da aceleração normal para o instante de t = 1.
| | | | | |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
FUNÇÃO VETORIAL – MOVIMENTO NO ESPAÇO
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERANDO A CURVA C IMAGEM DA FUNÇÃO 
→
G(P) =
X = P2 + 2
Y = P
Z = 1 - P3
, P REAL,
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM VETOR PARALELO AO VETOR
TANGENTE À CURVA C NO PONTO (3,1,0):
A) 〈1, 3, 5〉
B) 〈4, 2, – 6〉
{
C) 〈1 , 2, 6〉
D) 〈2, 0, – 3〉
2. CONSIDERANDO A CURVA DEFINIDA PELA FUNÇÃO 
→
G(T) =
X = 2COS T + 2
Y = 2T
Z = 3 - 2SEN T
, T ∈ [0,2Π],
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VERSOR NORMAL PRINCIPAL NO PONTO
T = 
Π
3 :
A) 〈
√3
2 , 0,
1
2 〉
B) 〈
1
2 , 1,
√2
2 〉
C) 〈-
1
2 , 0,
√3
2 〉
D) 〈
1
2 , 0, -
√3
2 〉
3. CONSIDERANDO A CURVA DEFINIDA PELA FUNÇÃO
→
H(T) =
X = 4
Y = 3 SEN T + 3
Z = 3 - 3COS T
, T ∈ [0,2Π], ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O
VETOR BINORMAL PRINCIPAL NO PONTO T = 
Π
6 :
A) 
→
B(t) = 〈0, 
1
2 ,
√3
2 〉
B) 
→
B(t) = 〈1 , 0 , 1〉
C) 
→
B(t) = 〈1 , 0 , 0〉
D) 
→
B(t) = 〈
1
2 , 
√3
2 , 0〉
4. A RETA R É TANGENTE À CURVA, DEFINIDA PELA FUNÇÃO VETORIAL
→
F(U) = 〈SEN U, 3 + 3TGU, 2U〉, PARA O PONTO U = Π. O PONTO DA RETA R QUE TEM
ORDENADA NULA É:
A) ( 1 , 0 , π)
B) (-1 , 0 , 2π)
{
{
C) ( 1 , 0 , 2π - 2)
D) ( 2 , 0 , π - 2)
5. O RAIO DE CURVATURA DA IMAGEM DA FUNÇÃO 
→
F(T) = 〈√2T , ET, E - T〉, PARA T = 0, É:
A) √2
B) 3√2
C) 4√2
D) 2√2
6. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A PARAMETRIZAÇÃO DA CURVA GERADA
PELA FUNÇÃO 
→
F(U) = 〈4 SEN U , - 4COS U , 3U〉 POR MEIO DE SEU COMPRIMENTO DE
ARCO:
A) 
→
F(s) = 〈4 sen s , - 4cos s , 3s〉
B) 
→
F(s) = 〈4 sen 
s
5 , - 4 cos 
s
5 , 
3
5 s〉
C) 
→
F(s) = 〈4 cos 
s
5 , 4 sen 
s
5 , 
3
5 s〉
D) 
→
F(s) = 〈 sen 
s
5 , - cos 
s
5 , 3s〉
GABARITO
1. Considerando a curva C imagem da função 
→
G(p) =
x = p2 + 2
y = p
z = 1 - p3
, p real, assinale a alternativa que apresenta
um vetor paralelo ao vetor tangente à curva C no ponto (3,1,0):
A alternativa "B " está correta.
O vetor tangente à função 
→
G(p) será o vetor: 
→
G ' (p) = 〈 p2 + 2 ', (p)', 1 - p3 '〉 = 〈2p, 1, - 3p2〉
O ponto (3,1,0) pertence à curva. Necessitamos obter o valor do parâmetro p para obter esse ponto.
Vamos aos cálculos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
{
( ) ( )
x = p2 + 2 = 3 → p = ± 1
y = p = 1 → p = 1
z = 1 - p3 = 0 → p = 1
Assim, o valor do parâmetro será p = 1
O vetor tangente à curva C no ponto onde p = 1 será 
→
G'(1) = 〈2.1, 1 , - 3. 12〉 = 〈2,1, - 3〉
Portanto, todo vetor do tipo 〈2,1, - 3〉k , k real → 〈2k, k, - 3k〉
Analisando as alternativas, apenas a letra B tem um vetor deste tipo, que é obtido para k = 2
Dessa forma, o vetor 〈4,2,– 6〉 é paralelo ao vetor tangente no ponto (3,1,0)
2. Considerando a curva definida pela função 
→
G(t) =
x = 2cos t + 2
y = 2t
z = 3 - 2sen t
, t ∈ [0,2π], assinale a alternativa que
apresenta o versor normal principal no ponto t = 
π
3 :
A alternativa "C " está correta.
O vetor tangente à função 
→
G(t) será o vetor: 
→
G'(t) = 〈(2cos t + 2)', (2t)', (3 - 2sen t)'〉
→
G'(t)=〈 - 2 sen t, 2, - 2cos t〉=
→
G'(t) = √(-2 sen t)2 + 22 + (-2cos t)2 = √4 + 4sen2t + 4cos2t = √8
→
T(t) =
→
G ' ( t )
→
G ' ( t )
=
1
√8
〈-2 sen t, 2, - 2cos t〉 = 〈-
1
√2
 sen t, 
1
√2
, -
1
√2
cos t〉
→
T(t) = 〈-
√2
2 sen t, 
√2
2 , -
√2
2 cos t〉
Portanto, obtemos:
→
T'(t) = 〈 -
√2
2 sen t
'
, 
√2
2
'
, -
√2
2 cos t
'
〉 = 〈-
√2
2 cos t, 0, 
√2
2 sen t〉
→
T'(t) = -
√2
2 cos t
2
+ 02 +
√2
2 sen t
2
=
1
2 cos2t +
1
2 sen2t =
1
√2
=
√2
2
Assim,
→
N(t) =
→
T ' ( t )
→
T ' ( t )
=
1
√2 / 2
〈-
√2
2 cos t, 0, 
√2
2 sen t〉 = 〈-cos t, 0, sen t〉
→
N
π
3 = 〈-cos 
π
3 , 0, sen 
π
3 〉 = 〈-
1
2 , 0,
√3
2 〉
3. Considerando a curva definida pela função 
→
H(t) =
x = 4
y = 3 sen t + 3
z = 3 - 3cos t
, t ∈ [0,2π], assinale a alternativa que
apresenta o vetor binormal principal no ponto t = 
π
6 :
{
{
| |
| |
( ) ( ) ( )
| | √ ( ) ( ) √
| |
( )
{
A alternativa "C " está correta.
4. A reta r é tangente à curva, definida pela função vetorial 
→
F(u) = 〈sen u, 3 + 3tgu, 2u〉, para o ponto u = π. O
ponto da reta r que tem ordenada nula é:
A alternativa "C " está correta.
Vamos obter a derivada da função vetorial:
→
F'(u) = 〈(sen u)', (3 + 3 tg u )', (2u)'〉 = 〈cos u , 3sec2u , 2〉
Agora, vamos obter a equação da reta tangente a curva:
✓ Ponto de tangência: 
→
F(π) = 〈sen π, 3 + 3tg π, 2u〉 = 〈0, 3, 2π〉
✓ Vetor diretor: 
→
F'(π) = 〈cos π, 3sec2π , 2〉 = 〈-1, 3 , 2〉
Assim, a equação da reta será:
→r (t) =
→
F u0 + λ
→
F' u0 , λ real
→r (λ) = 〈0, 3,2π 〉 + λ 〈-1, 3 , 2〉 → →r (λ) =
x = λ( - 1)
y = 3 + λ 3
z = 2π + λ 2
, λ real
Para y = 0 → 3 + 3λ = 0 → λ = – 1. Logo, temos:
( ) ( )
{
→r( - 1) =
x = - (-1) = 1
y = 3 - 3 = 0
z = 2π - 2
Portanto, o ponto será: (1 ,0 ,2π-2)
5. O raio de curvatura da imagem da função 
→
F(t) = 〈√2t , et, e - t〉, para t = 0, é:
A alternativa "D " está correta.
k(t) = 
→
F ' ( t ) x 
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t ) 3
→
F'(t) = 〈 √2t , , et , , e - t , 〉 = 〈√2, et, - e - t〉
||
→
F'(t)|| = √2 2 + et 2 + e - t 2 = 2 + e2t +
1
e2t
||
→
F'(t)|| =
e4t + 2e2t + 1
e2t =
e2t + 1 2
e2t =
e2t + 1
et
→
F''(t) = 〈 √2 , , et , , -e - t ,
〉 = 〈0, et, e - t〉 
→
F'(t) x 
→
F''(t) =
x̂ ŷ ẑ
√2 et -e - t
0 et e - t 
= x̂ + √2 et ẑ - √2 e - t ŷ + x̂ = 2x̂ - √2 e - t ŷ + √2 et ẑ
||
→
F'(t) x 
→
F''(t)|| = (2)2 + -√2 e - t 2 + √2 et 2
= 4 + 2 e2t +
2
e2t
||
→
F'(t) x 
→
F''(t)|| =
4e2t + 2e4t + 2
e2t =
2 e2t + 1 2
e2t = √2
e2t + 1
et
Assim,
k(t) = 
→
F ' ( t ) x 
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t ) 3
=
√2
e2t + 1
et
e2t + 1
et
3
= √2
e2t
e2t + 1 2
k(0) = √2
e0
e0 + 1 2
=
√2
4 → ρ(0) =
4
√2
= 2√2
6. Assinale a alternativa que apresenta a parametrização da curva gerada pela função
→F(u) = 〈4 sen u , - 4cos u , 3u〉 por meio de seu comprimento de arco:
A alternativa "B " está correta.
{
| |
| |
( ) ( ) ( )
√( ) ( ) ( ) √
√ √ ( )
( ) ( ) ( )
| |
√ ( ) ( ) √
√ √ ( )
| |
| | ( ) ( )
( )
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A FUNÇÃO 
→
H(U) = 〈- 4COS U , 8, 4 SEN U〉, DEFINIDA PARA U ∈ [0,2Π].
QUAL É O VERSOR NORMAL PRINCIPAL À CURVA PARA U =
Π
6 ?
A) 〈-
1
2 , 0, 
√3
2 〉
B) 〈
1
2 , 0, -
√3
2 〉
C) 〈
√3
2 , 0, -
1
2 〉
D) 〈-
√3
2 , 0, 
1
2 〉
2. CONSIDERE A FUNÇÃO 
→
F(T) = 〈2T , COS 2T, SEN 2T〉, DEFINIDA PARA T ∈ [0, Π].
QUAL É A CURVATURA DA CURVA?
A) 
t
2
B) t
C) 2
D) 
1
2
GABARITO
1. Considere a função 
→
H(u) = 〈- 4cos u , 8, 4 sen u〉, definida para u ∈ [0,2π]. Qual é o versor normal
principal à curva para u =
π
6 ?
A alternativa "C " está correta.
→
H'(u) = 〈( - 4cos u)', (8)', (4 sen u)'〉 = 〈4 sen u, 0, 4cos u〉 
Como calculado nos exemplos anteriores:
||
→
H'(u)|| = √16cos2u + 0 + 16sen2u = 4
Assim:
→
T(u) =
→
H ' ( t )
→
H ' ( t )
= 〈 sen u , 0, cos u〉
→
T'(u) = 〈( sen u)', (0)' , (cos u)'〉 = 〈cos u , 0, - sen u〉
→
T'(u) = √(cos u)2 + 0 + ( - sen u)2 = 1
Portanto, o vetor unitário principal será: 
→
N(u) =
→
T ' ( u )
→
T ' ( u )
=
→
T ' ( u )
1 =〈cos u , 0, - sen u〉
Para u = 
π
6 →
→
N(u) = 〈cos 
π
6 , 0, - sen 
π
6 〉 = 〈
√3
2 , 0, -
1
2 〉
2. Considere a função 
→
F(t) = 〈2t , cos 2t, sen 2t〉, definida para t ∈ [0, π]. Qual é a curvatura da curva?
A alternativa "D " está correta.
k(t) = 
→
F ' ( t ) x 
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t ) 3
→
F'(t) = 〈(2t)', (cos 2t)', (sen 2t)'〉 = 〈2, - 2 sen 2t, 2cos 2t〉
| |
| |
| |
| |
| |
||
→
F'(t)|| = √(2)2 + (-2 sen 2t)2 + (2cos 2t)2 = √4 + 4sen22t + 4cos22t = √4 + 4 = 2√2
→
F''(t) = 〈(2)', (-2 sen 2t)', (2cos 2t)'〉 = 〈0, - 4cos 2t, - 4 sen 2t〉
→
F'(t) x 
→
F''(t) =
x̂ ŷ ẑ
2 -2 sen 2t 2cos 2t
0 -4cos 2t -4 sen 2t
 
→
F'(t) x 
→
F''(t) = 8 sen22t x̂ - 8cos 2t ẑ + 8 cos22t x̂ + 8 sen 2t ŷ
→
F'(t) x 
→
F''(t) = 8 x̂ + 8 sen 2t ŷ - 8cos 2t ẑ 
||
→
F'(t) x 
→
F''(t)|| = √(8)2 + (8 sen 2t)2 + (-8cos 2t)2 = √64 + 64sen22t + 64cos22ts
= √64 + 64 = 8√2
Assim,
k(t) = 
→
F ' ( t ) x 
→
F ' ' ( t )
→
F ' ( t ) 3
=
8√2
2√2 3
=
1
2
MÓDULO 4
 Aplicar o sistema de coordenadas polares ao estudo das curvas polares
INTRODUÇÃO
Já estudamos o sistema cartesiano, no qual o ponto é definido pelas coordenadas (x, y).
Este módulo apresentará o sistema polar e sua aplicação ao estudo de comprimento e de área de curvas
planas polares.
COORDENADAS E CURVAS POLARES
Um sistema de coordenadas é um sistema de referência para que possamos identificar a posição de um
ponto no plano ou no espaço por meio da definição de suas coordenadas.
Até aqui, trabalhamos com coordenadas cartesianas no R2, em que as coordenadas de um ponto eram
definidas por meio de (x, y), que eram, respectivamente, as distâncias do ponto ao eixo y e ao eixo x.
Outro sistema que pode ser utilizado para as curvas no plano é o sistema de coordenadas polares. Para
defini-lo, precisaremos de um ponto (origem) e de uma semirreta que parta dessa origem, denominada eixo
| |
| |
| | ( )
polar.
Usando os eixos cartesianos x e y, colocamos a origem do sistema polar na origem do sistema cartesiano,
isto é, no ponto O, que é a interseção dos dois eixos. O eixo polar será o eixo positivo do eixo x.
As coordenadas polares de um ponto serão:
A distância do ponto à origem do sistema polar, representada por ρ.
O ângulo que a reta OP faz com o eixo polar, representada por θ, medido no sentido anti-horário.
Dessa forma, o ponto P em coordenadas polares será representado por P(ρ, θ), como mostra o gráfico:
Fonte: Autor
 Figura 5: Coordenadas polares
Como ρ é uma distância, ele será um número real não negativo, porém, no sistema polar, também se trabalha
com ρx - x0 → y = - 2 x - (-2) = - 2 x + 2
y = - 2x - 4 → 2x + y + 4 = 0
ÁREA E COMPRIMENTO DE UMA CURVA POLAR
A área de uma curva polar, definida pela equação ρ=f(θ), compreendida entre dois valores de θ, é obtida pela
equação:
A = ∫θ1
θ0
1
2 (f(θ))2dθ
 SAIBA MAIS
Esta fórmula não será demonstrada neste módulo, pois se baseia na divisão da figura em setores circulares
infinitesimal e monta um somatório semelhante à soma de Riemann. Caso seja de seu interesse, a
demonstração pode ser estudada nos livros que constam na lista de referências ao final deste tema.
SOMA DE RIEMANN
∫baf(x)dx = lim
∆ umax → 0
∑ n
i = 1f pi ∆ ui
{
{
( ) ( ( )
( )
javascript:void(0)
 EXEMPLO
Exemplo 1 - Determine a área da figura definida pela equação ρ=2 sen2θ para o intervalo -
π
4