UNIDADE 4 LEI DE LENZ E FARADAY

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Autoria: Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues – Revisão técnica: Alexandre de
Moraes Araújo
Eletromagnetismo I
UNIDADE 4 – LEI DE LENZ E FARADAY
Olá, caro aluno.
Compreender as relações eletromagnéticas, além dos
diversos tipos de magnetização dos materiais e
processos (a indução e como se estabelece a força
eletromotriz, por exemplo), é fundamental para o
desenvolvimento de uma série de equipamentos
importantes, como os motores elétricos, e para entender
mecanismos como o fornecimento de energia elétrica. É
nesse mesmo contexto que surgem ainda outras duas
proposições teóricas importantes, além das vistas até então: a Lei de Lenz e a Lei de Faraday.
Em um primeiro momento, revisitaremos as principais premissas para correlacionar a densidade de
fluxo magnético com o campo magnético e também com o próprio fluxo magnético, de modo a
aprender a calculá-la. Logo adiante, veremos as principais especificações da natureza dos materiais
magnéticos, nas suas mais diversas formas, e entenderemos as possíveis classificações sob essa
perspectiva.
No terceiro tópico da unidade, iniciaremos um processo de estudo mais aprofundado de parâmetros e
processos fundamentais para o entendimento dos circuitos magnéticos e materiais, o que inclui o
próprio funcionamento de motores e geradores elétricos. Assim, visualizaremos o que é o fluxo
magnético concatenado para que, em seguida, vejamos questões como indutância mútua e energia
no contexto. Depois, analisaremos mais detalhes da força eletromotriz.
Por fim, entenderemos como foram estabelecidas e em que contextos de análises podemos utilizar
as leis de Faraday e de Lenz, além das equações de Maxwell, importantes bases do
eletromagnetismo.
Aproveite o conteúdo desta última unidade da disciplina.
Bons estudos!
Introdução
4.1 Densidade de fluxo
magnético
Primeiramente, precisamos reforçar conceitos importantes, como a densidade de fluxo magnético e o próprio
campo magnético. É necessário diferenciar ambos para compreender questões importantes, como os diversos
tipos de materiais magnéticos. Vamos lá?
Considerando o espaço livre, no vácuo, a permeabilidade magnética é dada por µ0 e permite entregar uma
importante relação a partir do campo magnético (H): a densidade de fluxo magnético (B). A densidade, medida
em Webers por metro quadrado, está para o campo pela relação:
É possível ainda medir essa densidade em Tesla (T), quando se utiliza, geralmente, , em
Henry por metro. O fluxo magnético (Ф) propriamente dito é medido em Webers e é dado matematicamente
pela seguinte relação, considerando a equivalência com as leis de Biot-Savart e de Gauss:
Mais ainda, novamente considerando as possíveis analogias com o campo elétrico (E), é possível retomarmos
o fluxo elétrico (Ψ) também com relação à área, tomando o fluxo elétrico (D) e a carga Q, sendo que esta é a
fonte das linhas de fluxo (HAYT JR; BUCK, 2013). Assim, tem-se:
Considerando, adicionalmente, que as linhas de fluxo magnético são “fechadas” por não finalizarem em uma
dada “carga magnética”, definimos a Lei de Gauss para o campo magnético, de forma que:
Com o teorema da divergência, temos:
Lembrando que temos a seguinte relação válida com a densidade de corrente (corrente volumétrica):
A correspondência pela relação integral, equivalente à anterior, é dada por:
Considere ainda, como exemplo, que se deseja entender a relação entre o campo magnético e a densidade
nos condutores de uma dada linha coaxial. Sendo as distâncias de referência a e b, e tomando como base que
o campo magnético propriamente dito é, na direção ϕ, dado pela relação , tal que ,
chegamos à seguinte densidade: .
Adiante, veremos mais detalhes das propriedades do magnetismo diretamente aplicadas, de modo que
consigamos compreender como funcionam e a que condições podem estar sujeitos materiais considerados
magnéticos, lembrando que eles podem ser utilizados para as mais diversas aplicações, incluindo o
desenvolvimento de motores elétricos e geradores.
Suponha que você tenha o condutor de uma dada linha de
transmissão, confeccionado de um material não magnético e de
características homogêneas, posicionado no sistema no eixo z.
Sendo o raio de 1 mm e a corrente igual a , qual o campo
magnético na direção ϕ, a 0,5 mm de distância?
Vamos Praticar!
4.2 Materiais
magnéticos
As próprias características do ponto de vista atômico permitem chegar a conclusões importantes acerca do
processo de magnetização, estando os materiais constituídos a partir de um único elemento químico ou da
combinação deles. Agora, veremos os principais conteúdos pertinentes à compreensão da natureza dos
materiais do ponto de vista magnético. Acompanhe o conteúdo!
Sabe-se que cada átomo de um dado material, devido ao fato de possuir muitos componentes de momentos
magnéticos diferentes, possuirá propriedades magnéticas também distintas, ainda considerando que as
diversas combinações entre os momentos também proporcionarão características variadas.
Considere então átomos através dos quais existem combinações entre pequenos campos magnéticos do
movimento dos elétrons nas órbitas e os produzidos pelo spin eletrônico, que produzem um campo líquido igual
a zero que enfatiza a independência de qualquer campo magnético externo (HAYT JR; BUCK, 2013). O
momento magnético permanente (m0) para cada átomo é nulo; assim, tem-se um material diamagnético, o que
significa também que não há torque e realinhamento dos campos de dipolo. Isso é aproximadamente válido, de
forma geral, para boa parte dos elementos. O bismuto, na forma metálica, é um exemplo prático do efeito
diamagnético, maior ainda quando comparamos com outros materiais, como é o caso de gases “inertes” e
semicondutores. Mais ainda, embora possa não ter ficado tão claro à primeira vista, o efeito diamagnético é
uma propriedade de todo tipo de material bruto, inerente a eles; entretanto, em certas situações, esse efeito
pode não sobressair ou até se anular por uma série de fatores, a serem vistos adiante.
Assim, considere agora um átomo no qual não ocorra aquele cancelamento dos campos magnéticos, de forma
que o átomo em si terá um pequeno momento magnético, mas a orientação aleatória dos átomos em uma
dada amostra maior produzirá um momento magnético médio nulo (HAYT JR; BUCK, 2013). Desse modo, o
magnetismo é estabelecido quando um dado campo magnético externo é aplicado, de forma que, caso o
resultado líquido seja uma diminuição da densidade do fluxo magnético, o material ainda será do tipo
diamagnético; entretanto, se houver um aumento da densidade de fluxo, o material será paramagnético, como
é o caso do potássio, do tungstênio e de outros elementos, além de sais como o óxido de ítrio.
Sobram ainda os materiais ferromagnéticos, antiferromagnéticos, ferrimagnéticos e superparamagnéticos. No
caso dos ferromagnéticos, cada átomo possuirá um momento de dipolo relativamente grande, que é gerado
por momentos não compensados de spin de elétron, além de forças interatômicas que levam ao alinhamento
desses momentos paralelamente, em regiões com vários átomos (domínios) (HAYT JR; BUCK, 2013). No caso
dos ferromagnéticos virgens, há domínios de momentos magnéticos fortes, os quais fazem com que o material
Para relembrar mais detalhes acerca das teorias atômicas, bem
como a respeito do modo como os modelos foram estabelecidos,
de modo a consolidar o conhecimento necessário para
compreender as possíveis relações magnéticas nos materiais,
sugerimos a leitura da seção “8.5: Natureza dos materiais
magnéticos” do livro Eletromagnetismo, de Hayt Jr. e Buck.
Você quer ler?
como um todo não possua momento magnético, mas, na presença de um dado campo magnético externo,
tenha um aumento do momento magnético interno. Além disso, outra propriedade importante desses tipos de
materiais é que, mesmo após o campo magnético externo ser removido, há uma certa “memória magnética”,
que faz com que o estado magnético do material não seja o mesmo. Isso está diretamente relacionado à
propriedade de histerese.
Além disso, sabe-se que os únicosmateriais ferromagnéticos a temperatura ambiente são o ferro, o níquel e o
cobalto, embora seja possível obter ligas com tais características, como o alnico. Nos materiais
antiferromagnéticos, as forças entre os átomos adjacentes fazem com que os momentos atômicos sejam
alinhados de maneira antiparalela; assim, o momento magnético líquido é zero e, na prática, o campo
magnético externo pouco afeta esses materiais (HAYT JR; BUCK, 2013). Como exemplos desses elementos,
temos o sulfeto de ferro e o óxido de níquel, sendo que, para que tais características sejam observadas, é
preciso que o material esteja em temperatura bem baixa (principalmente considerando uma temperatura
ambiente por volta de 20 °C).
As substâncias ferrimagnéticas também apresentarão o mesmo tipo de alinhamento antiparalelo mencionado
anteriormente; entretanto, os momentos não serão iguais, o que faz com que haja uma resposta mediante o
campo magnético externo, embora ela seja menos intensa que no caso dos ferromagnéticos. São exemplos
desses materiais o grupo dos ferrites, que, devido às características intermediárias, podem ser utilizados em
equipamentos como os transformadores elétricos para o desenvolvimento do núcleo por oferecerem boas
propriedades em frequências mais altas, por exemplo. Por fim, os superparamagnéticos são formados por
partículas ferromagnéticas em uma matriz não ferromagnética, como é o caso da fita magnética.
A seguir, veja um resumo dos materiais e suas propriedades.
A histerese pode ser definida, no contexto dos materiais ferromagnéticos,
basicamente como a tendência de eles manterem certas características
mesmo após a retirada do estímulo. No caso específico desses materiais,
são mantidas as modificações no campo magnético mesmo com a retirada
do campo externo, o que deve ser amplamente considerado, especialmente
quando pensamos no desenvolvimento de equipamentos e circuitos com
esses itens.
Você sabia?
#PraCegoVer: trata-se de uma tabela com 7 linhas e 4 colunas. Na linha 1, há a classificação momentos
magnéticos, valores de B e comentários. Na linha 2: diamagnético, mórbita + mspin = 0, Binterno > Baplicado,
Binterno ≈ Baplicado. Na linha 3: paramagnético, mórbita + mspin = pequeno, Binterno > |mórbita|, Binterno >> Baplicado, domínios. Na linha 5:
antiferromagnético, |mspin| >> |mórbita|, Binterno = Baplicado, momentos adjacentes opostos. Na linha 6:
ferrimagnético, |mspin| >> |mórbita|, Binterno > Baplicado, momentos adjacentes opostos desbalanceados;
baixo σ. Na linha 7: ferromagnético, |mspin| >> |mórbita|, Binterno > Baplicado, matriz não magnética, fita de
gravação.
Outro ponto importante é o fato de que, no projeto de equipamentos e dispositivos com materiais magnéticos,
especificamente os ferromagnéticos e os ferrimagnéticos, devemos considerar que tanto o ferromagnetismo
como o ferrimagnetismo não prevalecem acima da temperatura de Curie.
Figura 1 - Resumo geral dos materiais magnéticos e suas características
Fonte: Adaptada de Hayt Jr. e Buck, 2013, p. 247.
Sabe-se que os materiais ferromagnéticos não são os mais adequados ao
desenvolvimento do núcleo dos transformadores. Por isso, geralmente
opta-se por utilizar ferrimagnéticos, que apresentam como vantagem
frente aos ferromagnéticos a resistência maior. Além disso, quais outros
possíveis benefícios os materiais ferrimagnéticos fornecem,
especificamente considerando a construção de um transformador elétrico?
Vamos Praticar!
4.3 Fluxo magnético
concatenado
Para compreender mais detalhes acerca do cálculo do fluxo magnético concatenado, precisamos definir
algumas questões importantes com relação aos circuitos magnéticos. Para isso, utilizaremos conceitos já
vistos em outro momento, a partir de definições de circuitos elétricos, por exemplo. Acompanhe o conteúdo!
Por conveniência, podemos fazer várias alusões com os circuitos resistivos, como é o caso do potencial
eletrostático. Clique nos ícones! 
Dado um certo campo elétrico, como mostra a equação matemática adiante, com E para o campo elétrico e
V para o potencial, temos:
O potencial escalar magnético (Vm) pode ser definido a partir do campo magnético (H), de forma que
temos a seguinte relação:
Supondo dois pontos, A e B, adicionalmente define-se o potencial elétrico pela diferença que ele
apresenta entre os dois pontos a partir do campo elétrico:
Analogamente com o campo magnético, temos:
Considerando que V = RI, pela Lei de Ohm, temos a seguinte relação para o potencial Vm, que também é
chamado de força magnetomotriz:
Nessa relação, 
 é o fluxo magnético total e 
Agora, vamos considerar a Lei de Ohm. Podemos definir a densidade da corrente elétrica (J) em função do
campo elétrico e da condutância (σ), tal que:
Analogamente, em função da densidade de fluxo magnético, é possível discorrer a seguinte relação
matemática:
Por outro lado, caso desejássemos encontrar a corrente elétrica a partir da densidade de corrente,
poderíamos calculá-la como mostra a integral adiante:
Para o fluxo magnético, define-se similarmente que:
 é a relutância, um novo parâmetro, fundamental para os circuitos magnéticos. Considerando as unidades de
medida de Vm e do fluxo, a relutância é medida em A-e/Wb (Ampère-espira por Weber). Agora, novamente de
forma análoga, considerando o uso de materiais homogêneos, isotrópicos e lineares, sabe-se que a resistência
elétrica pode ser definida em função da condutância, do comprimento do condutor (d) e da área de sua seção
transversal (HAYT JR; BUCK, 2013). Dessa forma, a resistência total é:
Similarmente, sendo um material magnético também homogêneo, isotrópico e linear, a seguinte característica
pode ser obtida para o cálculo da relutância (válido utilizando o ar, por exemplo):
ℜ
Outro ponto a ser recordado é a correlação entre o campo elétrico e um dado caminho fechado. Dessa forma,
matematicamente, sabemos que a seguinte relação é válida:
Pela lei das tensões de Kirchhoff, o aumento de potencial pela fonte é exatamente o mesmo que a queda de
potencial na carga (HAYT JR; BUCK, 2013). Por outro lado, quando analisamos os circuitos magnéticos, uma
conclusão diferente deve ser feita, porque, nesse caso, temos a corrente total envolvida:
Ainda temos:
Na relação anterior, N representa a quantidade de espiras do enrolamento utilizado. Note então que, ao passo
que no circuito elétrico a fonte de tensão é parte do caminho fechado, no magnético o enrolamento através do
qual a corrente circula se envolverá ou encadeará no circuito magnético. Dessa forma, ao desenharmos um
circuito magnético, podemos não ser capazes de identificar um par de terminais através dos quais a força
magnetomotriz seja aplicada. Uma forma análoga é compararmos esse fenômeno com o acoplamento de
circuitos através dos quais existam tensões induzidas (HAYT JR; BUCK, 2013).
Assim, considere agora o circuito magnético exibido na próxima figura, obtido a partir da utilização de dois
enrolamentos em um núcleo de material ferromagnético, com alimentação através do enrolamento 1, do lado
esquerdo do circuito:
#PraCegoVer: o desenho ilustra um núcleo ferromagnético formado por duas bases circulares com dois
cilindros separados unindo-as. Esses cilindros estão enrolados com dois fios de cobre, de espessuras
diferentes.
Figura 2 - Circuito magnético simples
Fonte: Adaptada de Fouad A. Saad, Shutterstock, 2021.
Ao introduzir-se um campo magnético variável nesse núcleo através do arranjo, é produzida uma força
eletromotriz, que será vista mais detalhadamente adiante. O fluxo magnético concatenado (λ) é:
Ou seja, isso é definido em função do enrolamento, considerando-se o fluxo magnético total (ϕ) e a quantidade
de espiras utilizadas nesse enrolamento (N). Dessa forma, a unidade de medida no caso será, devido à do
fluxo, estabelecida como Weber-espira (Wb-e).
A seguir, veremos mais detalhes a respeito da indutância mútua e as principais proposições acerca das
relações de energia nesse contexto eletromagnético,de modo a consolidar o conteúdo que foi visto até agora
com relação ao cálculo do fluxo magnético concatenado.
Para ter uma ideia mais completa não só das relações de fluxo
magnético, mas também das de indutância, sugerimos que assista
a uma videoaula que discute o fluxo magnético em espiras e a
consequência da variação desse fluxo para a produção de corrente
elétrica. Clique no ícone e confira!
Acesse (https://www.youtube.com/watch?v=PlD0OTDrc8c)
Você quer ver?
A curva de magnetização é um parâmetro visual e prático importante
quando analisamos circuitos magnéticos ou materiais sujeitos à
magnetização. Dessa forma, suponha que, para um dado material,
seja necessário obtê-la. Quais parâmetros devem ser considerados
nesse processo? Como fazer isso?
Vamos Praticar!
4.4 Indutância mútua e
energia
https://www.youtube.com/watch?v=PlD0OTDrc8c
Para entender relações importantes acerca da indutância e questões de energia nos circuitos magnéticos, é
necessário conhecer uma série de novos parâmetros. Eles serão definidos a partir de circuitos simples e outros
já mais completos, considerando todas as possíveis relações de circuitos magnéticos práticos, utilizados para a
aproximação do funcionamento de equipamentos reais, como transformadores elétricos, por exemplo. Vamos
lá?
4.4.1 Tensão de autoindução
Começando as definições necessárias, podemos considerar o circuito magnético simples apresentado na
figura a seguir, formado por um enrolamento simples de N espiras e sujeito a um fluxo magnético total variável
no tempo, como mostram ainda as linhas ( ):
#PraCegoVer: o desenho mostra um enrolamento circular, com N espiras e dois terminais do lado esquerdo
atravessado por linhas que representam o fluxo.
Uma tensão é induzida e pode ser compreendida pela Lei de Faraday, que será vista com mais detalhes
adiante. Matematicamente, ela pode ser definida como função do fluxo magnético, que é variável e
estabelecido para todas as espiras de forma igual:
Similarmente, a autoindutância dessa bobina é definida matematicamente como:
Analogamente, sabemos que a tensão induzida em função dessa indutância é, em função da corrente elétrica
que circula na bobina (i):
A presença de materiais ferromagnéticos é considerada para calcularmos a autoindutância, como você pode
imaginar. Se o meio for o espaço livre, tanto o fluxo quanto as autoindutâncias terão uma grande
responsabilidade na composição de materiais ferromagnéticos (EDMINISTER; NAHVI-DEKHORDI, 2013).
Ademais, sabe-se que a unidade de medida da autoindutância será Henry, sendo que 1 H corresponde a
1 Weber para cada 1 Ampère, uma vez que 1 H = 1 Wb/A.
4.4.2 Indutores e indutância
O indutor é formado basicamente por dois condutores separados por um espaço livre, de maneira que o fluxo
magnético de um deles enlaçará o do outro. Assim, sendo a corrente I contínua ou com frequência muito baixa,
o fluxo total enlaçado (fluxo concatenado) pode também ser definido adicionalmente, além da forma que vimos
anteriormente, como:
De maneira geral, o fluxo total enlaçado será igual a para bobinas e para as demais configurações
(EDMINISTER; NAHVI-DEKHORDI, 2013). A indutância de um indutor é, em função do fluxo concatenado,
igual a:
Figura 3 - Circuito magnético simples por um enrolamento de N espiras
Fonte: Adaptada de Edminister e Nahvi-Dekhordi, 2013, p. 166.
Analogamente, aqui podemos ainda comparar com as expressões de circuitos elétricos, obtidas para o cálculo
tanto da resistência de um resistor elétrico quanto da capacitância de um capacitor qualquer, lembrando que a
indutância corresponde ao produto da permeabilidade no vácuo (µ0) com um dado fator geométrico de
dimensão do seu comprimento.
4.4.3 Exemplos práticos de indutores
Podemos citar algumas formas padronizadas e a indutância correspondente, assim como fazemos para o
cálculo do campo magnético e do campo elétrico em algumas situações práticas mais comuns. Dessa forma,
veremos alguns exemplos de expressões obtidas para as indutâncias externas, considerando os núcleos
toroidais adiante como exemplo:
#PraCegoVer: do lado esquerdo, há o desenho de um núcleo ferromagnético toroidal (redondo) com seção
transversal de área a, quadrada, raio interno r1 e externo r2. Do lado direito, um núcleo ferromagnético toroidal
com raio r e seção transversal circular, de área S.
A indutância para o núcleo com seção quadrada é, em Henry:
Para o de seção circular, o cálculo será:
Para isso, devemos considerar que se estabeleça densidade de fluxo magnético média no raio médio r. Por
outro lado, podemos ter um indutor formado ainda por dois condutores filamentares, de comprimento
aproximadamente infinito, separados, tal como apresenta o exemplo a seguir:
#PraCegoVer: o desenho mostra condutores filamentares de comprimento muito longo, iguais, distantes a uma
distância d, de raios a e através dos quais utiliza-se um dado comprimento para avaliação.
Figura 4 - Núcleos toroidais de diferentes seções transversais
Fonte: Adaptada de Edminister e Nahvi-Dekhordi, 2013, p. 167.
Figura 5 - Condutores filamentares paralelos, a uma distância d
Fonte: Adaptada de Edminister e Nahvi-Dekhordi, 2013, p. 168.
As relações entre a indutância e um dado comprimento de referência, como demonstrado na figura para um
dos condutores, podem ser tomadas considerando um valor qualquer menor de distância entre eles:
Ou, considerando que :
Todas essas indutâncias estão expressas, em função do comprimento, em Henries por metro. Sabe-se, ainda,
com relação a esse último exemplo especificamente, que temos uma situação aproximada bastante similar ao
que pode ocorrer em linhas de transmissão, lado a lado. Isso demonstra por que efeitos como a indutância – e
também a capacitância, analogamente – devem ser considerados na prática em casos como o projeto de um
sistema de transmissão.
A indutância externa de um cabo coaxial pode ainda ser delineada na prática, similarmente ao que fizemos
para os cabos em paralelo, em função do comprimento. Então, sendo a o raio interno e b o raio externo do
arranjo, tem-se a seguinte relação: .
4.4.4 Indutância mútua
Como base para a análise da indutância mútua, utilizaremos a figura a seguir, com duas espiras condutoras
que possuem acoplamento magnético, de comprimentos dados pelas circulações C1 e C2, desenvolvidas a
partir de fio condutor estacionário:
#PraCegoVer: do lado esquerdo, há uma espira circular, nomeada como 1, definida pelo contorno C1,
percorrida pela corrente i1 no sentido horário, que tem o comprimento elementar dl1 definido como um vetor
tangente à espira. Do lado direito, aparece a espira 2, distante em R da primeira, definida pelo contorno C2. O
fluxo magnético 2 está estabelecido nessa espira, saindo dela; sua área é S2 e seu elemento de área, dS2,
aponta para fora e está com o vetor B1 apontando também para fora, a um ângulo de dS2. A tensão induzida
nessa espira está em torno do contorno C2 e a induzida devido à espira 1 está apontando para dentro da
espira 2, partindo do vetor dl2 definido tangente, assim como na espira 1.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Figura 6 - Acoplamento magnético de duas espiras condutoras
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 230.
Nota-se, pela imagem, que a espira 1 (do lado esquerdo) conduz uma corrente elétrica de intensidade i1, que é
ligeiramente variável ao longo do tempo. Surge então um fluxo magnético, expresso pela densidade B1, que
atravessa inclusive a segunda espira, gerando o fluxo a seguir:
Também podemos expressar assim:
Agora, clique nos ícones e observe outras relações. 
A constante L21 é a indutância mútua, referente às duas espiras, que pode ser diretamente obtida no
exemplo como:
A força eletromotriz no contexto, que será mais detalhada adiante, pode ser definida em função da
indutância mútua, para a espira 2, tal que:
Analogamente, tomando agora a influência da espira 2 na 1, podemos obter:
Isso permite concluir que: 
Ou seja, existe reciprocidade entre as indutâncias mútuas. Consideremos ainda quea tensão induzida 1 pode
ser definida por:
Analogamente, para a tensão induzida 2, temos:
Chegamos então à relação denominada como Fórmula de Neumann, que permite definir a indutância mútua a
partir dos caminhos, tendo como base a seguinte relação integral:
Ademais, similarmente, existem também outras relações práticas que podem ser desenvolvidas para situações
que se repetem com frequência, como a indutância mútua entre uma espira e um fio fino, por exemplo. Para
esses casos mais complexos, utilizaremos os princípios básicos e discorreremos com a análise das condições
de acoplamento.
4.4.5 Questões de energia
A energia armazenada pelo campo magnético, denominada de W, pode ser um parâmetro necessário em
análises práticas. Dessa forma, podemos utilizar sua expressão a partir da indutância no contexto, além de
empregar o valor da corrente elétrica, de forma que chegamos à seguinte equação:
Em função diretamente do campo magnético, podemos obter a seguinte relação, com base no valor da
densidade do fluxo magnético e do próprio campo:
Essas expressões são obtidas para analisarmos o armazenamento de energia pelo campo magnético através
das análises já conhecidas, de circuitos elétricos, juntamente com a teoria de campo magnético. Note ainda
que, por meio dessas expressões, é possível obter a própria indutância.
Considere, novamente, o caso prático do cabo coaxial. Com as expressões
obtidas anteriormente, podemos dizer que a indutância nesse caso será dada
em função do comprimento, como mostra a equação a seguir:
Com base no cálculo da energia, podemos afirmar, inclusive, que a indutância
também é correspondente à seguinte relação integral:
Embora esse cálculo possa parecer desnecessário, ou até mesmo mais difícil,
essa relação com base na energia pode ser bastante útil, tanto quando não
possuímos certos parâmetros necessários à outra expressão ou mesmo quando
desejamos fazer a analogia direta com a energia.
Caso
A seguir, veremos mais detalhes a respeito da força eletromotriz nesse contexto dos circuitos magnéticos e
como ela pode ser estabelecida e calculada. Entenderemos, inclusive, o papel dessa força no funcionamento
dos equipamentos a partir do estudo da Lei de Faraday.
Os condutores cilíndricos (de um dado sistema de transmissão, por
exemplo) podem estar a uma certa distância do solo. Nesse caso, é
possível analisar a indutância. Considerando então que o raio de um
condutor seja a e que a distância ao plano seja d/2, pense em como
é possível calcular a indutância externa.
Vamos Praticar!
4.5 Lei de Faraday e Lei de
Lenz
Como você já pôde perceber, os estudos acerca dos fenômenos eletromagnéticos e a explicação de diversas
relações a partir de campos elétricos e magnéticos em geral são estabelecidos a partir da análise de leis
importantes. Por isso, agora analisaremos outras duas importantes relações: a Lei de Faraday e a Lei de Lenz.
Michael Faraday nasceu em 1791, na Inglaterra, e foi um físico e químico
que atuou diretamente em áreas como o eletromagnetismo e a
eletroquímica, com diversas descobertas relacionadas à indução
eletromagnética e ao diamagnetismo. Ele também foi capaz de explicar
fenômenos como a eletrólise, além de oferecer outras contribuições mais
gerais e específicas às áreas de física e química. Até hoje, Faraday é
conhecido como um dos maiores cientistas que já existiu. Para mais
detalhes, clique no ícone e conheça mais a respeito da vida desse
pesquisador.
Acesse (https://super.abril.com.br/historia/michael-faraday/)
Você o conhece?
https://super.abril.com.br/historia/michael-faraday/
Para iniciarmos nossa análise, considere o seguinte experimento, que consiste em um esboço do que foi
realizado por Faraday em 1831 em seus estudos eletromagnéticos para a observação da relação de deflexão
da agulha:
#PraCegoVer: a imagem mostra um núcleo ferromagnético toroidal, feito de ferro, com duas bobinas
conectadas dos lados esquerdo e direito, denominadas como primária e secundária, respectivamente. Na
bobina primária, há a ligação de uma fonte de tensão contínua, conectada a uma chave simples, que está
aberta na visualização. Na bobina direita, aparece uma bússola conectada sob o fio.
A força eletromotriz (fem) nesse contexto pode ser definida, para dois pontos quaisquer no espaço (M e N),
pela tensão induzida. Então, temos:
Note que, embora seja uma “força”, essa relação é expressa em Volts (V). Mais ainda, considerando que essa
relação pode ser revelada em função da integral do contorno, na forma de derivada, chegamos à equação a
seguir, denominada como Lei de Faraday da indução eletromagnética em função do fluxo total:
A partir dessa lei, é possível concluir que os campos elétricos e magnéticos estão correlacionados de forma
não estática. Por isso, é possível afirmar que um campo magnético que varia no tempo produz, a partir da
indução, um campo elétrico e uma dada força eletromotriz, assim como uma corrente elétrica no meio
condutor, conforme explica a Lei de Ohm (NOTAROS, 2012).
Considerando, adicionalmente, a expressão do fluxo magnético pela densidade de fluxo em função do campo
elétrico, temos:
Então, a seguinte expressão para o campo induzido, referente à sua circulação, torna-se válida:
Logo, temos a seguinte expressão na forma integral para a Lei de Faraday:
Analogamente, podemos expressar a corrente induzida considerando a resistência total do circuito equivalente
fechado (R):
Figura 7 - Experimento de Faraday
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 194.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Na forma diferencial, temos que a Lei de Faraday pode ser expressa como mostra a equação a seguir,
considerando formulações matemáticas como o Teorema de Stokes:
Por outro lado, o sinal negativo da relação , já mencionada anteriormente, indica que a força
eletromotriz induzida no contorno está em uma direção oposta à mudança no fluxo magnético. É através desse
fluxo que o condutor causou a fem em primeiro lugar, algo observado experimentalmente e que levou à
proposição de Heinrich Lenz (1804-1865), na Lei de Lenz (NOTAROS, 2012). Assim, essa última lei
estabelece, basicamente, que o sentido da corrente elétrica induzida será definido considerando que o campo
magnético gerado por ela é oposto ao fluxo magnético variável, responsável por ela. Uma diminuição no fluxo
magnético faz, inclusive, com que a corrente elétrica induzida gere um campo magnético com o mesmo sentido
do fluxo magnético que é estabelecido pela fonte utilizada, por exemplo.
Para compreender com clareza a Lei de Lenz, analise a figura apresentada a seguir:
#PraCegoVer: no lado esquerdo, uma ilustração simples traduz o que foi feito na Lei de Lenz e, do direito, o
que ocorre nela. Assim, no lado esquerdo aparece o condutor cilíndrico com uma bobina de N espiras,
atravessado por pelo fluxo magnético total. No lado direito, a tensão induzida nos terminais da bobina (positivo
no terminal superior e negativo no inferior) e a corrente saindo desta, sendo que o fluxo magnético é crescente
e é estabelecido de baixo para cima.
Se a intensidade do fluxo magnético aumenta, a tensão que é induzida na bobina tende a produzir um fluxo
que se opõe ao incremento dado ao fluxo. Além disso, uma corrente fluindo, como mostrado no lado direito, é
capaz de produzir um fluxo que se opõe ao incremento. Dessa forma, a tensão na bobina é produzida com a
polaridade necessária para impulsionar a corrente que circula externamente. Logo, a tensão é estabelecida
como mostrado do lado direito da figura e, considerando essa inversão de polaridade, que resulta no sinal
negativo (o qual, conforme já mencionado, frequentemente é esquecido), a expressão da tensão induzida se
torna . Por fim, é necessário reiterar que a combinação entre a Lei de Faraday e a de Lenz permite
definir as expressões do fluxo concatenado, por exemplo.
Figura 8 - Representação gráfica da Lei de Lenz
Fonte: Adaptada de Chapman, 2013, p. 30.
Vamos Praticar!
Na prática, sabe-se que, embora matematicamente consideremos que
o fluxomagnético é o mesmo em todas as espiras de uma dada
bobina, seja ela simples ou não, isso não é verdade. Então, tendo
como base as relações estudadas anteriormente, e baseando-se no
cálculo do fluxo concatenado, explique por que existe essa dispersão.
4.6 Equações de
Maxwell
Para encerrar esta unidade, veremos como as diversas relações eletromagnéticas podem ser sintetizadas em
algumas relações matematicamente simples. Assim, teremos mais um embasamento teórico para a análise das
mais diversas situações. Vamos lá?
4.6.1 Forma pontual
Considerando que é estabelecido um campo magnético variável no tempo, a partir da densidade de fluxo
magnético é possível expressar a seguinte relação matemática a partir do rotacional do campo elétrico:
Adicionalmente, e com base no campo magnético, temos, a partir da densidade de corrente (J) e da densidade
de fluxo elétrico (D):
Em comparação com a não variação temporal, as formas das equações permanecem inalteradas, utilizando
ainda o valor da densidade volumétrica de cargas ( ) (HAYT JR; BUCK, 2013):
Além disso, temos:
Pela correlação do divergente de D com a densidade volumétrica, conclui-se que a densidade de carga é uma
fonte (ou sorvedouro) de linhas de fluxo elétrico, sendo importante lembrar que não é mais possível dizer que
todo fluxo elétrico inicia e finaliza nas cargas, uma vez que há circulação se um campo magnético variável está
presente, conforme indicado pela própria Lei de Faraday (NOTAROS, 2012). Dessa forma, podemos notar que
as linhas do fluxo elétrico poderão formar caminhos fechados; entretanto, ainda sabemos que, para cada
quantidade de carga, há um fluxo elétrico divergindo dela. Ademais, o fluxo magnético sempre estará em
caminhos fechados, mas não diverge de nenhuma fonte pontual, conforme observamos na última relação.
São essas quatro equações apresentadas no subtópico que sintetizam toda a teoria eletromagnética. Podemos
considerar ainda as seguintes relações como auxiliares ao desenvolvimento das equações anteriores:
1
2
3
Note que, na primeira equação, 
representa a permissividade; na penúltima, σ representa a densidade local; na última equação, v é o volume.
Adiante, veremos mais detalhes acerca da forma integral, também extremamente necessária nas análises
eletromagnéticas.
4.6.2 Forma integral
Pela integração de , tem-se:
Com a integração de , temos:
Por fim, fazendo com que e sejam também integrados, e considerando o teorema da
divergência, conclui-se que podem ser definidas as seguintes equações, respectivamente:
Sabe-se, na prática, que as formas integrais das relações de Maxwell geralmente são mais fáceis de serem
reconhecidas quando são consideradas as generalizações das relações reais, eletromagnéticas, vistas na
prática, e a dedução delas. Além disso, perceba que, por conveniência, você pode utilizar uma ou outra
relação.
4
Considerando as relações sintéticas vistas anteriormente, propostas
por Maxwell em conjunto com todas as leis eletromagnéticas,
podemos sintetizar também as principais observações acerca de
vários fenômenos e processos. Com base nisso, cite exemplos da
propagação de ondas – mais especificamente, propriedades
fundamentais.
Vamos Praticar!
Para compreender e consolidar diversos conhecimentos agregados até aqui, é
fundamental entender como se estabelecem importantes relações
eletromagnéticas, como o fluxo magnético concatenado em certos tipos de
materiais, e as relações da força eletromotriz. Além disso, é primordial
conhecer as propriedades das leis de Faraday e de Lenz e das equações de
Maxwell.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
Conclusão
compreender mais detalhes sobre como se dá, de fato, a densidade de fluxo
magnético e como funcionam os materiais magnéticos;
analisar propriedades e fenômenos importantes, como o fluxo magnético
concatenado, a indutância mútua e a força eletromotriz;
conhecer a Lei de Lenz;
aprender como se estabelece a Lei de Faraday;
entender e aplicar as equações de Maxwell.
EDMINISTER, J. A.; NAHVI-DEKHORDI, M. Eletromagnetismo. São
Paulo: Bookman, 2013.
FLUXO MAGNÉTICO – Indução eletromagnética – Eletromagnetismo –
Aula 10 – Prof. Marcelo Boaro. [S. l.: s. n.], 8 ago. 2014. 1 vídeo (25 min).
Publicado pelo canal Professor Boaro. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=PlD0OTDrc8c (https://www.youtube.com/watch?
v=PlD0OTDrc8c). Acesso em: 8 jan. 2021.
HAYT JR, W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. São Paulo: Bookman, 2013.
NOTAROS, B. Eletromagnetismo. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.
SUPER INTERESSANTE. Michael Faraday. Super Interessante, São Paulo, 22 ago. 2017. Disponível
em: https://super.abril.com.br/historia/michael-faraday/
(https://super.abril.com.br/historia/michael-faraday/). Acesso em: 8 jan. 2021.
Referências
https://www.youtube.com/watch?v=PlD0OTDrc8c
https://www.youtube.com/watch?v=PlD0OTDrc8c
https://www.youtube.com/watch?v=PlD0OTDrc8c
https://super.abril.com.br/historia/michael-faraday/
https://super.abril.com.br/historia/michael-faraday/