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3a LISTA DE EXERCÍCIO
01. Para conjuntos quaisquer A e B, prove que:
a) }(A \B) = }(A) \ }(B):
b) }(A) [ }(B) � }(A [B):
c) se A � B, então }(A) � }(B):
d) A � B se, e somente se, A \ {B = ?.
e) (A�B) [ (B �A) = (A [B)� (A \B).
02. Sejam R e S relações em um conjunto A. Prove que:
a) Se R é simétrico, R�1 é simétrico.
b) Se R é anti-simétrico, R�1 é anti-simétrico.
c) Se R é re�exivo, R \R�1 6= ?:
d) Se R e S são transitivos, R \ S é transitivo.
e) Se R e S são anti-simétricos, R \ S é anti-simétrico.
f) Se R e S são re�exivos, R [ S é re�exivo.
g) Se R e S são re�exivos, R \ S é re�exivo.
03. Seja f : A ! B uma função e sejam X e Y subconjuntos quaisquer de
B. Então:
a) f�1(X � Y ) = f�1(X)� f�1(Y ):
b) Z � f�1(f (Z)) para todo Z � A.
c) Para todo X � B, tem-se f(f�1(X)) � X.
04. Sejam f : A! B e g : B ! C duas funções e X � C:
a) Se f e g são injetoras, então gof é injetora.
b) Se f e g são sobrejetoras, então gof é sobrejetora.
c) Se gof é injetora, então f é injetora.
d) Se gof é sobrejetora, então g é sobrejetora.
e) (gof)�1(X) = f�1(g�1(X)).
05. Nas funções reais f e g, de�nidas por f(x) = x2+2 e g(x) = x� 3, obter
as leis que de�nem:
a) fog b) gof c) fof d) gog
06. Dadas as funções reais f e g de�nidas por f(x) = 3x� 2 e g(x) = 2x+5,
determinar a função inversa de fog, gof , fof e gog.
07. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Prove que:
1
a) A \B = ? se, e somente se, A � {B.
b) A � B se, e somente se, A \ {B = ?.
c) (A�B)� C = (A� C)� (B � C).
d) {(A \B) = {A [ {B.
08. Mostre as seguintes proposições:
a) Sejam R e S relações de A em B. Prove que (R [ S)�1 = R�1 [ S�1.
b) Sejam A um conjunto e R uma relação em A. Prove que se R é simétrica,
então R �R�1 e R�1 �R são simétricas.
c) Sejam R e S relações simétricas de A em B. Prove que R-S é simétrica.
d) Seja a seguinte relação:
x � y (mod 5) , 5j(x� y);
prove que esta relação é uma equivalência.
09. Dada a função f : A ! B. Sejam X;Y subconjuntos de A e Z;W
subconjuntos de B. Prove que:
a) f(X)� f(Y ) � f(X � Y ).
b) Z �W ) f�1(Z) � f�1(W ).
c) f�1({Z) = {(f�1(Z)).
10. Considere as funções f(x) =
5 + 7x
4
, g(x) =
5� 7x
4
e h(x) = arctgx. Se
� é um número real tal que:
(h � f)(�) + (h � g)(�) = �
4
;
determine � e f(�)� g(�). Use a seguinte relação:
tg(a+ b) =
tga+ tgb
1� tgatgb ;
para encontrar o valor de �.
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