Lista de Exercícios de Matemática

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2a LISTA DE EXERCÍCIO
01. Mostre que se n é um inteiro e n3+5 é ímpar, então n é par.
02. Mostre que as seguintes a�rmações são equivalentes para n inteiro:
a) 3n+2 é par.
b) n+5 é ímpar.
c) n2 é par.
03. Mostre que as seguintes a�rmações são equivalentes para n inteiro:
a) n2 é ímpar.
b) 1-n é par.
c) n3 é ímpar.
d) n2+1 é par.
04. Prove as seguintes a�rmações:
a) Se ajx e aj(x+ y), então ajy.
b) Se x é irracional e x � 0, então
p
x é irracional.
c) Se x3 é irracional, então x é irracional.
d) Se a e b são inteiros ímpares, então 8j(a2 � b2).
e) Se aj(2x� 3y) e aj(4x� 5y), então ajy.
f) O inteiro 3n+2 é ímpar se, e somente se, o inteiro 9n+5 é par, onde n é
um inteiro.
05. Demonstrar por indução matemática:
a) 12 + 22 + 32 + :::+ n2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
8n 2 N
b) 13 + 23 + 33 + :::+ n3 =
n2(n+ 1)2
4
8n 2 N
c) 1:2 + 2:3 + 3:4 + :::+ n(n+ 1) =
n(n+ 1)(n+ 2)
3
8n 2 N
d) 5j(8n � 3n);8n 2 N
e) 7j(23n � 1);8n 2 N
f) 12 + 32 + 52 + :::+ (2n� 1)2 = n(4n2 � 1)
3
8n 2 N:
1
g) 24j(52n � 1);8n 2 N
h) 6j(n3 � n);8n 2 N:
i) 8j(32n + 7);8n 2 N:
j) 81j(10n+1 � 9n� 10);8n 2 N:
2