Matemática Básica

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MateMática Básica
2009
Prof.ª Maricélia Soares
Copyright © UNIASSELVI 2009
Elaboração:
Profª Maricélia Soares
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
510
S676c Soares, Maricélia
 Caderno de Estudos: Matemática / Maricélia Soares. 
Centro Universitário Leonardo da Vinci – Indaial: Grupo 
UNIASSELVI, 2009. x;
 152 p. : il 
 ISBN 978-85-7830-233-7
 1. Matemática 2. Lógica e Aritmética
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
 II. Núcleo de Ensino a Distância III. Título
Impresso por:
III
apresentação
Caro(a) acadêmico(a)!
Vivemos num mundo em constantes transformações e nos deparamos 
todos os dias com experiências e acontecimentos inesperados, por vezes 
inadiáveis, que exigem habilidades no que diz respeito à tomada de decisões.
A Matemática mostra-se como um recurso crucial neste processo, 
tendo em vista que a ação de decidir não se constitui mero palpite; exige 
conhecimento e mensuração.
Como essas características, tão visíveis na Matemática, podem auxiliar 
um administrador em sua prática ou um contador em seu fazer profissional?
Escolher o instrumento errado ou decidir no momento inoportuno 
pode ser fatal, tanto na administração quanto em qualquer outra ciência. No 
entanto, não se espera de um administrador que ele seja um matemático, 
porém, conforme afirma Leithold (1988, p.15):
Para uma completa compreensão das aplicações, seja a análise 
marginal em economia, a otimização em administração, o 
crescimento de bactérias em biologia, ou o crescimento logístico 
em sociologia, é necessário um conhecimento dos conceitos 
matemáticos envolvidos nesses processos. 
Diversas competências são requeridas aos profissionais da área de 
administração e, algumas delas, refletem bem claramente a necessidade do 
raciocínio lógico-matemático, essa linguagem universal cuja atuação exige 
muito mais do que puramente racionalidade, uma vez que se faz necessário 
sensibilidade para perceber o momento certo e o modo de como atuar.
A habilidade de decidir fazendo uso de recursos matemáticos torna-
se cada vez mais essencial e pode significar o diferencial de um profissional, 
quer seja na conferência da contabilidade, nas análises dos demonstrativos 
estatísticos, nas apreciações mercadológicas, programas financeiros ou 
planejamentos econômicos. A matemática se configura como um instrumento 
elementar, ampliando a perspectiva do administrador e permitindo 
estruturação de técnicas mais arrojadas, assim como planejamentos mais 
consistentes no emprego adequado dos mais variados recursos.
 
Lembre-se, caro(a) acadêmico(a), de que o encantamento com a 
Matemática deriva do seu entendimento; a beleza desta área do conhecimento 
é a compreensão da lógica envolvida na sua construção. Não cabe, em um 
IV
mundo globalizado, uma visão medíocre ou cerceada. É necessário vencer 
o temor e colocá-la ao nosso lado, desenvolvendo nossas habilidades para 
tornarmo-nos profissionais diferenciados.
Bons estudos!
Prof.ª Maricélia Soares
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o 
material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato 
mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação 
no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir 
a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
V
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
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utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
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mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
VI
VII
Sumário
UNIDADE 1 – UNIDADE 1: CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS .................. 1
TÓPICO 1 – A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO ................................... 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 3
2 A NOÇÃO DE CONJUNTO ............................................................................................................. 4
3 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO E RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA ........ 5
3.1 REPRESENTAÇÃO TABULAR (OU DESCRITIVA) ................................................................. 5
3.2 REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE UMA PROPRIEDADE ...................................................... 6
4 TIPOS DE CONJUNTO ...................................................................................................................... 7
4.1 CONJUNTO UNITÁRIO .............................................................................................................. 7
4.2 CONJUNTO VAZIO ....................................................................................................................... 7
4.3 CONJUNTO FINITO ...................................................................................................................... 7
4.4 CONJUNTO INFINITO ................................................................................................................. 8
4.5 CONJUNTO UNIVERSO ............................................................................................................... 8
5 SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO ................................................................. 8
6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS .................................................................................................. 10
6.1 UNIÃO (OU REUNIÃO) DE CONJUNTOS ............................................................................... 10
6.1.1 Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn .......................................... 11
6.2 INTERSECÇÃO (OU INTERSEÇÃO) DE CONJUNTOS .......................................................... 11
6.2.1 Representação da intersecção de conjuntos em diagramas de Venn ................................. 12
6.3 DIFERENÇA DE CONJUNTOS (OU CONJUNTO DIFERENÇA) .......................................... 13
6.3.1 Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn .................................... 14
6.4 COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO (OU CONJUNTO COMPLEMENTAR) .............. 15
6.4.1 Representação do complementar de um conjunto em diagramas de Venn ..................... 16
7 PROBLEMAS SOBRE QUANTIDADES DE ELEMENTOS DE 
 CONJUNTOS FINITOS ...............................................................................................................17
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 24
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 26
TÓPICO 2: CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: OS CONJUNTOS NUMÉRICOS ............... 29
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 29
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) .................................................................. 29
2.1 SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE N .................................................................................. 30
2.2 OPERAÇÕES E PROPRIEDADE DO FECHAMENTO EM N ................................................. 30
3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) .................................................................... 31
3.1 SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE Z ................................................................................... 31
3.2 MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO E NÚMEROS OPOSTOS ......................................... 31
4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) ............................................................... 32
5 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ................................................................. 33
6 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) ............................................................................ 33
6.1 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS ................................................................................ 36
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 37
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 38
VIII
TÓPICO 3: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO ................................................................................ 41
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 41
2 POTENCIAÇÃO EM Z ....................................................................................................................... 41
2.1 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO EM Z ........................................................................... 42
2.2 POTÊNCIAS DE BASE 10 .............................................................................................................. 44
2.3 NOTAÇÃO CIENTÍFICA .............................................................................................................. 45
3 RADICIAÇÃO EM Z ........................................................................................................................... 46
3.1 PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO EM Z ............................................................................... 46
3.2 SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS ................................................................................................ 47
3.3 OPERAÇÕES COM RADICAIS .................................................................................................... 48
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 49
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 50
TÓPICO 4: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ............................................................................................. 53
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 53
2 EQUAÇÕES DO 1º GRAU ................................................................................................................. 53
2.1 PORCENTAGEM ............................................................................................................................ 55
3 EQUAÇÕES DO 2º GRAU ................................................................................................................. 57
4 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS .......................................................................................................... 59
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 61
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 62
UNIDADE 2: A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES .............................................................................. 65
TÓPICO 1: RELAÇÕES E FUNÇÕES ............................................................................................. 67
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 67
2 O CONCEITO DE FUNÇÃO ............................................................................................................. 67
3 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ................................................................................................................ 69
4 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ................................................................................. 70
5 CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES ................................................................................................. 73
5.1 FUNÇÃO INJETORA ..................................................................................................................... 73
5.2 FUNÇÃO SOBREJETORA ............................................................................................................. 74
5.3 FUNÇÃO BIJETORA ...................................................................................................................... 77
6 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE RELAÇÕES MATEMÁTICAS ....................................... 78
6.1 PAR ORDENADO ........................................................................................................................... 78
6.2 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL .................................................................................... 78
6.3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO ................................................... 79
7 FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE ................................................................. 81
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 84
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 85
TÓPICO 2: FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU ................................................................ 89
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 89
2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM ................................................... 89
3 CASOS PARTICULARES DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU .................................. 90
3.1 FUNÇÃO LINEAR ......................................................................................................................... 90
3.2 FUNÇÃO CONSTANTE ................................................................................................................ 91
3.3 FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................................................................... 92
3.4 FUNÇÃO TRANSLAÇÃO ............................................................................................................ 93
4 DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO AFIM A PARTIR DE DOIS PONTOS 
 DISTINTOS ..........................................................................................................................................94
IX
5 FUNÇÃO AFIM CRESCENTE E FUNÇÃO AFIM DECRESCENTE ......................................... 95
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 97
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 98
TÓPICO 3: FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ................................................................ 101
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 101
2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA ................................. 101
3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ................................................... 102
4 PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA .......................................................................................... 104
4.1 OS PONTOS DE INTERSECÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO X (SE EXISTIREM) ....... 104
4.2 OS PONTOS DE INTERSECÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y ..................................... 108
4.3 O VÉRTICE DA PARÁBOLA ........................................................................................................ 109
5 MÁXIMO OU MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU ...................................................... 109
5.1 VALOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU .............................................................. 110
5.2 VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU ............................................................... 110
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 111
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 112
TÓPICO 4: FUNÇÃO EXPONENCIAL ......................................................................................... 113
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 113
2 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................................. 113
3 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................................................................................... 114
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 117
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 118
UNIDADE 3: APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS .............. 121
TÓPICO 1: MODELOS LINEARES ............................................................................................... 123
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 123
2 VANTAGENS DOS MODELOS MATEMÁTICOS ...................................................................... 123
3 FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO DO 1º GRAU .............................................................. 124
3.1 DOMÍNIO DISCRETO E DOMÍNIO CONTÍNUO .................................................................... 127
4 DEPRECIAÇÃO LINEAR .................................................................................................................. 128
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 131
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 132
TÓPICO 2: MODELOS POLINOMIAIS ......................................................................................... 135
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 135
2 OFERTA E DEMANDA ...................................................................................................................... 135
3 FUNÇÃO RECEITA E LUCRO QUADRÁTICAS ......................................................................... 136
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 138
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 139
TÓPICO 3: MODELOS EXPONENCIAIS ....................................................................................... 141
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 141
2 MODELO DE CRESCIMENTO EXPONENCIAL ......................................................................... 141
3 JUROS COMPOSTOS ........................................................................................................................ 143
4 DECAIMENTO EXPONENCIAL DE VENDAS ............................................................................ 144
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 146
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 147
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 149
ANEXO A .................................................................................................................................................. 151
 
X
1
UNIDADE 1
CONCEITOS MATEMÁTICOS 
FUNDAMENTAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• utilizar a linguagem dos conjuntos com propriedade, dominando sua sim-
bologia particular, operações e propriedades, bem como resolver proble-
mas sobre quantidades de elementos de conjuntos finitos;
• reconhecer e classificar conjuntos numéricos e seus subconjuntos;
• realizar operações de potenciação e radiciação, fazendo uso de suas pro-
priedades como forma de minimizar processos de cálculo;
• comunicar-se matematicamente, explicitando uma situação-problema na 
forma de equação algébrica, resolvendo-a através de processos matemáti-
cos adequados.
Esta unidade de ensino está dividida em quatro tópicos. No final de cada um 
deles você encontrará atividades que contribuirão para a apropriação dos 
conteúdos.
TÓPICO 1 – A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
TÓPICO 2 – CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: 
 OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
TÓPICO 3 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
TÓPICO 4 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Assista ao vídeo 
desta unidade.
2
3
TÓPICO 1UNIDADE 1
A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA 
REPRESENTAÇÃO
1 INTRODUÇÃO
Nas ciências de modo geral e, em particular, nas ciências exatas o uso de 
definições é costumeiro. Isso porque, para que uma teoria seja elaborada, faz-se 
necessário definir seus elementos constituintes.
Segundo o Dicionário Aurélio, definir é “enunciar os atributos essenciais e 
específicos de (uma coisa), de modo que a torne inconfundível com outra”. (FERREIRA, 
1999, p. 614). Em Matemática, dizemos que um objeto matemático só está definido 
quando se pronuncia um número finito de palavras que se aplicam a esse objeto 
e somente a ele. No entanto, uma definição de um objeto só pode conter termos 
que foram definidos previamente, pois, do contrário, o seu significado não ficará 
preciso ou corre-se o risco de que a definição a ele atribuída contenha um termo 
cuja definição fará referência ao próprio objeto, de forma redundante. 
Exemplos claros de “definições”que pecam em relação a este aspecto de 
redundância são: um ponto é a intersecção de duas retas e uma reta é um conjunto 
de infinitos pontos. Com estas “definições”, para se entender o que é ponto seria 
necessário, de antemão, saber o que é reta e, para compreender o que é reta, é 
indispensável saber o que é ponto: um ciclo gramatical que não define nem reta, 
nem ponto!
Com relação à teoria dos conjuntos, encontramos em alguns livros de 
Matemática do Ensino Médio as seguintes “definições” para o termo conjunto: 
“Entende-se por conjunto toda coleção de objetos, de animais, de palavras, 
de números, ou seja, de qualquer coisa.” (BIANCHINI; PACCOLA, 2003, p. 36).
“Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos.” (DANTE, 2005, p. 8).
O problema é que estas “definições” dão margem à seguinte pergunta: “o 
que é uma coleção de objetos?” A resposta não poderia ser conjunto, pois cairíamos 
novamente no aspecto de redundância gramatical citado acima. Isso ocorre porque
[...] algumas ciências, como a matemática e a física, necessitam 
considerar entes, relações e grandezas que não são definidos, ditos 
então entes primitivos, grandezas primitivas ou relações estabelecidas 
primitivamente. Por exemplo, ponto, reta e plano são entes primitivos 
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
4
2 A NOÇÃO DE CONJUNTO
Diante do que vimos até aqui, podemos então assumir a noção de conjunto, 
sem nos preocuparmos com a “definição” de conjunto que, por ser um elemento 
primitivo da Matemática, não assume definição.
A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da Matemática, pois 
a partir dela podem se expressar todos os conceitos matemáticos. Assim, na teoria 
dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos. Estes objetos 
são chamados de elementos ou membros do conjunto. Por exemplo:
• conjunto dos países do MERCOSUL: Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai
• conjunto das regiões brasileiras: Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sul, Sudeste
• conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
• conjunto dos números quadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Um objeto x qualquer pode ou não ser elemento de um determinado 
conjunto A. Se x é um membro de A, então também é dito que x pertence a A, ou 
que x está em A.
da geometria euclidiana enquanto que o tempo, a distância e a massa 
são grandezas primitivas da mecânica newtoniana. (EVARISTO; 
PERDIGÃO, 2002, p. 1).
Os conceitos que iniciam uma determinada teoria são aceitos sem definição, 
pois, não existindo ainda a teoria, não há como defini-los; por isso são chamados 
de conceitos primitivos. Estabelecidos alguns entes primitivos de uma ciência, 
podem-se então definir novos objetos e, a partir destes, definir outros novos objetos 
e assim sucessivamente, construindo-se a teoria.
No estudo da Teoria dos Conjuntos trabalhamos com alguns conceitos 
primitivos que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Esses conceitos são: 
conjunto, elemento de um conjunto e pertinência entre elemento e conjunto. 
Sobre estes entes primitivos atribuímos apenas conceitos, ideias do que sejam, 
porém, não os definimos.
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
5
3.1 REPRESENTAÇÃO TABULAR (OU DESCRITIVA)
A representação tabular (forma de tabela) de um conjunto é aquela em que 
os elementos são apresentados entre chaves e separados por vírgula.
Exemplos: M = {Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai}
A = {a, e, i, o, u} 
B = {1, 2, 3, 4}
É usual dar nomes aos conjuntos usando letras maiúsculas do alfabeto 
latino: A, B, C, D, ... Os elementos de um conjunto são comumente representados 
por letras minúsculas do alfabeto latino: a, b, c, d, ...
Note que, no exemplo anterior, u é elemento do conjunto A e não é elemento 
do conjunto B, nem do conjunto M. Esses fatos serão indicados, respectivamente, por:
u ∈ A (lê-se “u pertence a A”) e u ∉ B (lê-se “u não pertence a B”)
Na teoria dos conjuntos, o símbolo matemático para a negação é a barra ( / ).
Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados exclusivamente para relacionar um
elemento a um conjunto. Por exemplo: a ∈ A ou 2 ∈ N.
É errôneo utilizar esta simbologia para relacionar um subconjunto ao seu conjunto, como, 
por exemplo, dizer que o conjunto dos números pares positivos pertence ao conjunto dos 
números naturais. 
Para isso utilizamos outro termo e outra simbologia a qual estudaremos adiante.
A representação de um conjunto através de um diagrama de Venn (John 
Venn, 1834-1923) é aquela em que os elementos são simbolizados por pontos 
interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada que não se entrelaça. 
Essa forma de representação é muito útil para realizar operações com conjuntos.
3 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO E RELAÇÃO DE 
PERTINÊNCIA
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
6
Exemplos:
3.2 REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE UMA PROPRIEDADE
A representação de um conjunto A através de uma propriedade é aquela 
em que os elementos são descritos por uma característica comum que os determina.
Apresenta-se o conjunto A por: A = {x  x tem a propriedade p}. Lê-se: “A é 
o conjunto de todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.
Essa forma de descrição de um conjunto é muito útil, pois, para conjuntos 
grandes, é inconveniente, ou impossível, relacionarmos seus elementos através da 
forma tabular ou descritiva. Ao invés disso, tentamos caracterizar os elementos 
por meio de palavras ou afirmações matemáticas. 
Por exemplo, somos incapazes de relacionar todos os números maiores 
que 5 porque este conjunto inclui não somente inteiros, mas também números 
racionais e irracionais. Consequentemente, introduzimos um elemento variável x 
e caracterizamos os elementos através de uma propriedade, requerendo que x > 5. 
O conjunto é então escrito: S = {x  x > 5}.
Outros exemplos:
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
7
Nos exemplos anteriores, entenda que a propriedade p descreve todos os 
elementos x que possuem a característica em questão, o que pode, inclusive, denotar um 
conjunto infinito, como é o caso dos conjuntos S, C e D.
4 TIPOS DE CONJUNTO
4.1 CONJUNTO UNITÁRIO 
Conjunto unitário é todo conjunto formado por um único elemento.
Exemplos:
a) A = {2}
b) B = {x  x é estrela do Sistema Solar} = {Sol}
4.2 CONJUNTO VAZIO 
Conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum. Representa-se o 
conjunto vazio por ∅ ou por { }.
Exemplos:
a) A = {x  x é número e 0 ⋅ x = 3} = ∅
b) B = {x  x é palavra proparoxítona, da língua portuguesa, não acentuada} = { }
c) C = {x  x ∈ R e é solução da equação x2 + 4 = 0} = { }
4.3 CONJUNTO FINITO
Conjunto finito é todo conjunto que, contando os elementos, um a um, 
chega-se ao fim da contagem.
Exemplos:
a) A = {a, b, c, d, e}
b) B = {x  x é brasileiro}
c) C = ∅
ATENCAO
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
8
4.4 CONJUNTO INFINITO 
Conjunto infinito é todo conjunto que não é finito.
Exemplos:
Um importante conjunto infinito é o conjunto dos números naturais: 
a) IN = {0, 1, 2, 3, ...}
Outro importante conjunto infinito é o conjunto dos números inteiros: 
b) Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
4.5 CONJUNTO UNIVERSO 
Conjunto universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os 
elementos desse estudo.
Exemplos:
a) Quando estudamos a história da humanidade, o conjunto de todos os seres 
humanos que viveram e vivem até hoje é chamado de “Conjunto Universo” (U).
b) Quando estudamos os números que podem resultar da contagem de 
unidades, o “Conjunto Universo” (U) é o conjunto dos números naturais (U = N).
5 SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Consideremos o conjunto B formado por todas as pessoas brasileiras. Com 
os elementos de B podemos formar o conjunto H, de todos os homens brasileiros, 
e o conjunto M de todas as mulheres brasileiras. Dizemos que os conjuntos H e M 
são subconjuntos de B. Se um conjunto T de pessoas possui como elemento pelo 
menos uma pessoa que não seja brasileira, dizemos que T não é subconjunto de B.
Indicamosesses fatos por:
H ⊂ B (lê-se “H está contido em B”);
M ⊂ B (lê-se “M está contido em B”) e
T ⊄ B (lê-se “T não está contido em B”).
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
9
Os símbolos ⊂ e ⊄ são utilizados exclusivamente para relacionar um conjunto a 
outro.
Seja S um dado conjunto. Qualquer conjunto A, cujos elementos são também 
elementos de S, é dito estar contido em S e é denominado um subconjunto de S.
Exemplos:
a) Considere os conjuntos A = {2, 5, 3}, S = {2, 5, 3, 8, 9}.
Então: A ⊂ S, pois ∀x ∈ A, x ∈ S (lê-se: A está contido em S, pois para todo e 
qualquer elemento x pertencente ao conjunto A, x pertence também ao conjunto S).
b) Considere os conjuntos B = {2, 5, 3}, S = {2, 5, 3}.
Neste exemplo, também B ⊂ S, pois atende à definição enunciada 
anteriormente, onde qualquer elemento de B é também elemento de S.
No entanto, como B = S, ou seja, todo elemento de B é elemento de S e, 
reciprocamente, todo elemento de S é elemento de B, costuma-se empregar 
outra simbologia. Podemos escrever B ⊆ S, uma vez que B está contido em S e 
B = S; dizemos que B é um subconjunto impróprio de S, devido à igualdade que 
estabelece com este conjunto. 
A adoção da simbologia B ⊂ S não está errada, uma vez que, conforme 
a propriedade que veremos a seguir, todo conjunto é subconjunto de si mesmo. 
Assim, mesmo que B = S, B está contido em S.
c) Considere os conjuntos C = {2, 5, 3}, S = {2, 5, 7, 9}.
Neste caso, escrevemos que C ⊄ S, pois nem todo elemento de C é também 
elemento de S; 3 ∈ C, mas 3 ∉ S.
d) O diagrama, ao lado, mostra que a região 
que compreende o conjunto B está inserida em A, ou seja, 
compõe a região pertencente a A. Deste modo, concluímos que 
B ⊂ A.
De forma análoga, podemos dizer que, se um dado 
conjunto A está contido em S, então S contém A. 
ATENCAO
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
10
Representamos por:
Assim, quanto aos exemplos anteriores, temos que:
a) S ⊃ A (lê-se: S contém A; A é dito subconjunto próprio de S).
b) S ⊇ B (S contém B e S = B; ou seja, B é subconjunto impróprio de S).
c) S ⊃ C (S não contém C; C não é subconjunto de S).
Se A ⊂ S, então S ⊃ A.
6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Agora que já estamos familiarizados com os conceitos preliminares e a sua 
respectiva simbologia, vamos estudar as operações estabelecidas entre conjuntos 
e a resolução de problemas que envolvem quantidades de elementos de conjuntos 
finitos.
6.1 UNIÃO (OU REUNIÃO) DE CONJUNTOS
Com dois conjuntos arbitrários, A e B, podemos sempre formar um novo 
conjunto, C, simplesmente pelo agrupamento de seus elementos. A esse novo 
conjunto chamamos de união.
A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B, que indicaremos por A ∪ B 
(lê-se “A união B”), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem 
a A ou a B. 
Matematicamente, representamos:
A ∪ B = {x  x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplos: 
a) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, temos que C = A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Observe que A e B possuem alguns elementos em comum, que não são 
repetidos no conjunto C = A ∪ B.
b) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3}, temos que C = A ∪ B = {1, 2, 3}. 
Observe que, como A = B, o conjunto C = A ∪ B será igual ao próprio A (ou 
ao próprio B).
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
11
c) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, temos que C = A ∪ B = {1, 2, 3}.
Observe que A ⊃ B, fazendo com que o conjunto C = A ∪ B resulte no 
próprio A.
d) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {5, 6, 7}, temos que C = A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}.
Observe que A e B são conjuntos distintos (também chamados de conjuntos 
disjuntos), ou seja, não possuem elementos em comum. 
6.1.1 Representação da união de conjuntos em diagramas 
de Venn
Os diagramas a seguir representam as situações apresentadas nos exemplos 
anteriores.
Nas três situações, toda a região hachurada representa A ∪ B.
6.2 INTERSECÇÃO (OU INTERSEÇÃO) DE CONJUNTOS 
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Podemos estar interessados em 
saber se há sobreposição em relação a alguns elementos destes conjuntos, isto é, se 
os dois conjuntos possuem elementos em comum. Chamamos o conjunto de todos 
os elementos comuns, seja ele vazio ou não, a intersecção de A e B.
A intersecção de dois conjuntos A e B, que indicaremos por A ∩ B (lê-se “A 
intersecção B”), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a 
A e a B.
Matematicamente, representamos:
A ∩ B = {x  x ∈ A e x ∈ B}
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
12
Exemplos: 
a) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, temos que C = A ∩ B = {1, 2}.
Observe que A e B possuem alguns elementos em comum, que não são 
repetidos no conjunto C = A ∩ B, como já visto anteriormente na operação de união.
b) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3}, temos que C = A ∩ B = {1, 2, 3}. 
Observe que, como A = B, o conjunto C = A ∩ B será igual ao próprio A (ou 
ao próprio B).
c) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, temos que C = A ∩ B = {1, 2}.
Observe que A ⊃ B, ou B ⊂ A, fazendo com que o conjunto C = A ∩ B resulte 
no próprio B.
d) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {5, 6, 7}, temos que C = A ∩ B = { }.
Observe que A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos 
em comum; assim a operação de intersecção resulta em conjunto vazio.
6.2.1 Representação da intersecção de conjuntos em 
diagramas de Venn
Os diagramas a seguir representam as situações apresentadas nos exemplos 
anteriores.
Nas três situações, toda a região hachurada representa A ∩ B.
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
13
6.3 DIFERENÇA DE CONJUNTOS (OU CONJUNTO DIFERENÇA)
A ideia de diferença de conjuntos é usada frequentemente no nosso dia a 
dia. Um exemplo simples apresenta o conceito envolvido nesta operação: Pergunta-
se a um estudante: “Você tem aulas todos os dias da semana?”. Provavelmente o 
estudante responderá: “Todos os dias menos sábado e domingo”.
Na verdade, para dar essa resposta o estudante utiliza o conceito de 
diferença de conjuntos, ou seja, retira do conjunto A = {segunda, terça, quarta, 
quinta, sexta, sábado, domingo} o conjunto B = {sábado, domingo}. Essa ideia será 
formalizada pela definição de diferença de conjuntos.
A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, que indicaremos por 
A – B (lê-se “A menos B”), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que 
pertencem a A e não pertencem a B.
Matematicamente, representamos:
A – B = {x  x ∈ A e x ∉ B}
Exemplos: 
a) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {3, 6, 7}, temos que A – B = {1, 2} e B – A = {6, 7}.
Observe que não há comutatividade na operação efetuada, ou seja, A – B ≠ 
B – A. No caso de A – B, a operação sugere os elementos que pertencem a A, mas 
não pertencem a B. No caso de B – A, o conjunto solução compõe os elementos que 
pertencem a B, mas não pertencem a A. 
b) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3}, então A – B = { } e B – A = { }.
Neste caso, onde A = B, a propriedade comutativa é possível, porém a 
solução será conjunto vazio.
c) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, temos que A – B = {3} e B – A = { }.
Observe que B – A resulta em conjunto vazio, pois A ⊃ B (A contém B); logo 
não há elementos que pertençam ao conjunto B e não pertençam a A.
d) Sendo A = { } e B = {1, 2, 3}, temos que A – B = { } e B – A = {1, 2, 3}.
 
O fato de A ser conjunto vazio faz com que A – B também seja vazio, pois 
não há elementos exclusivos de A que não pertençam a B. Consequentemente, B – 
A será igual ao próprio B.
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
14
6.3.1 Representação da diferença de conjuntos em 
diagramas de Venn
Os diagramas a seguir representam a operação de diferença entre conjuntos, 
onde a região hachurada é o conjunto solução.
1ª situação: A e B possuem elementos em comum.
2ª situação: A e B são conjuntos disjuntos.
3ª situação: B está contido em A.
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
15
6.4 COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO (OU CONJUNTO 
COMPLEMENTAR)
No Dicionário da Língua Portuguesa, encontramosque complemento é 
“aquilo que completa; palavra ou expressão que completa o sentido de outra” 
(BUENO, 1981, p. 280). 
Em teoria dos conjuntos essa mesma ideia é utilizada para expressar o 
complemento de um conjunto. Por exemplo: dado o conjunto A = {1, 2} e o conjunto 
B = {1, 2, 5, 6}, poderíamos analisar o complementar de A, tomando como parâmetro 
o conjunto B e, de igual forma, o complementar de B em relação ao conjunto A. 
No primeiro caso teríamos que analisar os elementos que B possui e que 
faltam ao conjunto A para que ele fique igual ao conjunto B. Esses elementos são 
{5, 6}. Assim, dizemos que o conjunto {5, 6} é o complementar de A em relação a B.
Na segunda situação, queremos analisar o complementar de B em relação 
ao conjunto A. Neste caso o conjunto complementar é inexistente, pois não há 
elementos que acrescentaríamos em B e o tornariam igual a A. 
Como outro exemplo, poderíamos sugerir a pergunta qual é o conjunto 
complementar do conjunto A = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, 
agosto} em relação ao conjunto dos meses do ano?. A solução é o conjunto B = 
{setembro, outubro, novembro, dezembro}, isto é, o conjunto dos meses que faltam 
em A para completar todos os meses do ano. 
Os exemplos anteriores podem ser formalizados pela definição de conjunto 
complementar que segue.
Sejam A e B dois conjuntos tais que A ⊂ B. Chama-se ‘complementar de 
A em relação a B’, que indicamos por , o conjunto cujos elementos são todos 
aqueles que pertencem a B e não pertencem a A.
Matematicamente, representamos:
A ⊂ B ⇔ = {x  x ∈ B e x ∉ A}
Observe que a definição do complementar de A em relação a B é a mesma 
que a diferença entre os conjuntos B e A, estudada no item anterior. Assim, temos 
que = B – A, pois em ambos os casos o conjunto solução é composto deelementos 
x, tal que x pertence a B e não pertence a A, simbolicamente: = B – A = {x  x ∈ B 
e x ∉ A}. Desse modo, podemos reescrever a definição de complementar de A em 
relação a B como: A ⊂ B ⇔ = B – A.
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
16
Observe também que a condição necessária e suficiente para que exista 
 é que A ⊂ B. Caso contrário, dizemos que não existe .
Exemplos: 
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}; como A ⊂ B, então existe , que é o 
mesmo que B – A = {4, 5}. Em contrapartida, como B ⊄ A, então não existe , 
ou seja, não há elementos que poderíamos acrescentar em B que o tornariam igual 
a A.
Sendo N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, ou seja, o conjunto dos número naturais incluso 
o zero, e Z = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, ou seja, o conjunto dos números 
inteiros incluso o zero. Então temos que = Z – N = {... -5, -4, -3, -2, -1}; em outras 
palavras, o complementar dos números naturais em relação aos inteiros são os 
inteiros negativos.
6.4.1 Representação do complementar de um conjunto em 
diagramas de Venn
Os diagramas a seguir representam a operação de complementar de um 
conjunto, onde a região hachurada é o conjunto solução.
Neste caso, a operação só existirá quando A ⊂ B, logo, não teremos as 
mesmas situações apresentadas nas operações anteriores, resumindo-se a duas 
situações: 
1ª situação: A condição necessária e suficiente é atendida: A está contido 
em B.
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
17
2ª situação: Complementar de A em relação a um conjunto universo.
7 PROBLEMAS SOBRE QUANTIDADES DE ELEMENTOS DE 
CONJUNTOS FINITOS
Agora que estudamos as operações entre conjuntos, vamos analisar alguns 
exemplos de problemas práticos que envolvem quantidades de conjuntos finitos. 
Apresentaremos alguns problemas resolvidos e proporemos outros para você.
Vamos em frente!
 Exemplos:
 
Situação 1: Num grupo de 22 universitários há 8 que cursam Ciências 
Contábeis, 10 que cursam Administração e 2 que cursam ambos. Quantos não 
estão cursando nem Contábeis nem Administração?
Resolução: 
Primeiramente, vamos fazer a representação do problema em diagramas 
de Venn:
C. Contábeis
Administração
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
18
Atente para o fato de que apenas colocamos as informações do problema 
no diagrama, agora precisamos “limpar” as intersecções. 
Observe que o texto se refere a 8 estudantes, que estudam Ciências 
Contábeis, mas isso não significa que eles estudem apenas Ciências Contábeis, 
pois destes 8, temos 2 que estudam também Administração. Igualmente para os 10 
alunos que cursam Administração, destes, 2 estudam também Ciências Contábeis. 
Desse modo, vamos reorganizar as informações no diagrama, retirando a 
intersecção de ambos os conjuntos.
Organizadas as informações, podemos fazer a seguinte leitura dos dados 
anteriores:
 08 estudantes cursam Ciências Contábeis, mas 06 cursam apenas Ciências 
Contábeis;
 10 estudantes cursam Administração, destes, 08 cursam somente Administração;
 02 estudantes cursam Ciências Contábeis e Administração.
Acadêmico(a), você percebe a diferença nas informações? 
Agora que os dados foram organizados, podemos responder à 
questão enunciada: quantos não estão cursando nem Ciências Contábeis nem 
Administração?
Como o enunciado do problema nos revela de que se trata de um total de 
22 estudantes, então, temos que, destes 22, 6 estudam apenas Ciências Contábeis, 
8 estudam apenas Administração e 2 estudam ambos, totalizando 16 estudantes 
envolvidos com estes dois cursos. Assim, concluímos que os outros 6 estudantes 
(22 – 16 = 6) não cursam nem Ciências Contábeis, nem Administração.
Situação 2: Em um levantamento com 100 vestibulandos, verificou-se que 
o número de alunos que estudou para as provas de Matemática, Física e Português 
foi o seguinte: Matemática: 47, Física: 32, Português: 21, Matemática e Física: 7, 
C. Contábeis Administração
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
19
Matemática e Português: 5, Física e Português: 06, as três matérias: 2. Quantos dos 
100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias?
Resolução:
Representando o problema em diagramas de Venn:
Antes de solucionarmos este problema, vamos analisar o que significa cada 
região destes diagramas:
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
20
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
21
Voltando ao problema, podemos observar que a única informação que está 
colocada na região correta é a de que 02 alunos estudaram para as três provas. Os 07 
alunos que estudaram Matemática e Física estão colocados na região que pertence 
àqueles que estudaram apenas Matemática e Física, ou seja, precisamos subtrair 
destes 07, os 02 alunos que estudaram também Português. O mesmo procedimento 
se dá para as outras intersecções. Observe:
Quanto aos alunos que estudaram apenas uma das disciplinas:
 Matemática: dos 47 alunos que estudaram esta disciplina, 05 deles estudaram 
também Física, 03 estudaram Português e 02 estudaram, além de Matemática, 
Física e Português.
 Física: dos 32 estudantes considerados, 05 estudaram também para Matemática, 
04 para Português e 02 para Matemática e Português.
 Português: dos 21 estudantes que estudaram Português, 03 estudaram também 
Matemática, 04 estudaram Física e 02 estudaram Matemática e Física.
Organizando estas informações no diagrama, temos:
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
22
Organizadas as informações, podemos concluir que, dos 47 alunos que 
estudaram para a prova de Matemática, apenas 37 estudaram só Matemática; a 
mesma leitura se dá para as demais disciplinas.
Voltando à questão inicial do problema: “Quantos dos 100 alunos incluídos 
no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias?”
Para responder a esta questão, vamos retirar do total de 100 alunos, todos 
os que estudaram para alguma ou algumas das disciplinas. Assim, temos então:
100 – 37 – 21 – 12 – 5 – 3 – 4 – 2 = 100 – 84 = 16 alunos
Concluímos que, dos 100 alunos envolvidos no levantamento, 16 não 
estudaram para nenhuma das disciplinas consideradas.
Situação 3: Uma pesquisasobre a preferência dos consumidores revelou 
que, dos 350 entrevistados: 
• 197 preferem o televisor x; • 85 preferem tanto x como y; 
• 183 preferem o televisor y; • 92 preferem tanto x como z;
• 210 preferem o televisor z; • 103 preferem tanto y como z
• 20 não têm preferência por estas marcas;
a) Quantos consumidores preferem as três marcas?
b) Quantos preferem somente uma das marcas?
Resolução: Organizando as informações na forma de diagrama:
Observe que U representa o 
conjunto universo de todas as 
marcas de TV. Os 20 entrevistados 
que não têm preferência pelas 
marcas em questão pertencem 
ao conjunto universo das demais 
marcas.
A incógnita x representa os 
entrevistados que têm preferência 
pelas três marcas. Como no 
exemplo anterior, vamos organizar 
as informações no diagrama, 
retirando as intersecções: 
 
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
23
Observe que em cada uma das marcas foram retiradas as intersecções com 
as demais. Por exemplo, na marca X, que possui 197 adeptos, (85 – x) preferem 
também a marca Y, (92 – x) preferem também a marca Z e ( x ) preferem a marca X, 
mas também as outras duas.
Assim, efetuamos: 197 – (85 – x) – (92 – x) – x = 197 – (177 – x). O mesmo 
ocorreu com as demais.
Agora, vamos responder às questões: 
a) Quantos consumidores preferem as três marcas?
Como o total de entrevistados é 350, então:
x = 20 consumidores.
Resposta: 20 consumidores.
b) Quantos preferem somente uma das marcas?
Somente a marca X: 197 – 177 + x = 20 + 20 = 40 consumidores
Somente a marca Y: 183 – 188 + x = - 5 + 20 = 15 consumidores
Somente a marca Z: 210 – 195 + x = 15 + 20 = 35 consumidores
Resposta: 90 consumidores preferem somente uma das marcas.
X e Z X e Z
24
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
 Quanto à representação de um conjunto:
- Tabular (ou descritiva)
- Diagrama de Venn
- Propriedade
 Quanto à relação de pertinência:
- O símbolo ∈ (pertence) e sua negação ∉ (não pertence) são usados, exclusivamente, 
para relacionar elemento a conjunto.
 Quanto à relação de inclusão:
- Um conjunto A está contido num conjunto S quando todos os elementos de A 
pertencem a S.
- O símbolo ⊂ (está contido) e sua negação ⊄ (não está contido) são usados, 
exclusivamente, para relacionar dois conjuntos.
- Dizemos que, se um conjunto A está contido num conjunto S (A ⊂ S), então S 
contém A (S ⊃ A).
 Quanto à operação de união entre A e B:
- É o agrupamento dos elementos de A com os elementos de B.
- Matematicamente: A ∪ B = {x  x ∈ A ou x ∈ B}
 Quanto à operação de intersecção entre A e B:
- É o agrupamento dos elementos comuns entre A e B.
- Matematicamente: A ∩ B = {x  x ∈ A e x ∈ B}
 Quanto à operação de diferença entre A e B:
- A diferença A – B consiste nos elementos que pertencem a A e não pertencem 
a B, ou seja, “o que tem no A que não tem no B”.
- Matematicamente: A – B = {x  x ∈ A e x ∉ B}
 Quanto à operação de complementar de um conjunto A em relação a B:
- Consiste nos elementos de B que não pertencem a A e que complementariam o 
conjunto A, fazendo com que A = B.
- Para que exista o complementar de A em relação a B é condição necessária 
e suficiente que A esteja contido em B (A ⊂ B), caso contrário a operação será 
RESUMO DO TÓPICO 1
25
inexistente.
- Matematicamente: A ⊂ B ⇔ = {x  x ∈ B e x ∉ A}
- A definição de complementar de A em relação a B é a mesma que B – A, quando 
A ⊂ B.
 Quanto à resolução de problemas com conjuntos finitos:
- Organizar as informações em diagramas de Venn e retirar as intersecções dos 
dados.
26
As autoatividades que seguem são fundamentais para averiguar a 
aprendizagem do tópico que você acabou de estudar. Portanto, lápis, caderno 
e mãos à obra!
1 Determine os seguintes conjuntos, apresentando os seus elementos na forma 
tabular ou descritiva:
a) A = {x  x é estado brasileiro da Região Sul}
b) B = { x x é algarismo do sistema de numeração}
c) C = { x  x é número par entre 9 e 21}
d) D = { x  x é vogal da palavra Brasil}
2 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em verdadeiras 
(V) ou falsas (F):
AUTOATIVIDADE
a) ( ) 1 ∈ A f) ( ) 4 ∉ B 
b) ( ) 2 ∈ A g) ( ) 5 ∈ A 
c) ( ) 2 ∉ B h) ( ) 5 ∉ B 
d) ( ) 3 ∈ A i) ( ) 7 ∉ B 
e) ( ) 3 ∈ B j) ( ) 8 ∈ B 
3 Sejam A = { x  x é número par compreendido entre 3 e 15},
 B = { x  x é número par menor que 15} e
 C = { x  x é número par diferente de 2}.
Usando os símbolos ⊂ ou ⊄, complete:
a) A ________ B b) A _________ C c) B __________ C
4 No diagrama seguinte, A, B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou 
F a cada uma das seguintes sentenças conforme ela seja verdadeira ou falsa, 
respectivamente:
a) ( ) A ⊂ B b) ( ) C ⊂ B
c) ( ) B ⊂ A d) ( ) A ⊂ C
e) ( ) B ⊄ A f) ( ) A ⊄ C
g) ( ) B ⊃ A h) ( ) A ⊃ C
27
5 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em verdadeiras 
(V) ou falsas (F):
a) ( ) 1 ∈ A 
b) ( ) 4 ∈ A
c) ( ) 7 ∈ A
d) ( ) 7 ∈ B
e) ( ) 3 ∈ B
f) ( ) 11 ∈ C
g) ( ) 10 ∉ C
h) ( ) 14 ∉ C
i) ( ) 15 ∉ U
j) ( ) 9 ∉ A
k) ( ) 17 ∉ A
l) ( ) 14 ∉ B
m) ( ) A ⊂ B
n) ( ) B ⊂ C
o) ( ) A ⊄ C
p) ( ) C ⊂ U
q) ( ) A ⊄ U
r) ( ) U ⊂ B
6 Sendo A = {0, 1, 2, 3}, 
 B = {0, 2, 3, 5}, 
 C = {x  x é número par positivo menor que 10} e 
 D = {x  x é número ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine:
a) A ∪ B = b) A ∪ C = 
c) A ∪ D = d) C ∪ D = 
e) B ∪ D = f) C ∩ D =
g) A ∩ B = h) A ∩ C =
i) A ∩ D = j) B ∩ C =
k) (A ∩ B) ∩ C = l) (A ∩ C) ∩ D =
7 O que se pode dizer do conjunto A ∪ B, sabendo que A = ∅ ? Justifique sua 
resposta.
8 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, determine o conjunto 
A – B e B – A.
28
9 Dados os conjuntos A = {x  x é número inteiro par entre 1 e 11} e B = {x  x 
é número inteiro entre 0 e 10}, determine A – B e B – A.
10 Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. 
Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 
20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
11 Numa pesquisa feita com 1.000 famílias para se verificar a audiência dos 
programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 
famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 ao 
programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 
60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem 
aos três programas.
a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas?
b) Quantas famílias assistem somente ao programa A?
c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?
12 Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem 
o jornal B, 22% leem o jornal C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A 
e C e 6% leem os três jornais.
a) Quanto por cento não lê nenhum desses três jornais? 
b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C?
c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
13 Uma empresa fabricante de achocolatados pretende lançar um novo produto 
no mercado. Para isso encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos 
consumidores entre duas embalagens A e B. Foram consultadas 402 pessoas, 
e o resultado foi precisamente o seguinte:
• 150 pessoas gostaram somente da embalagem A;
• 240 pessoas gostaram da embalagem B;
• 60 pessoas gostaram das duas embalagens.
Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas embalagens, sabendo 
que todas as 402 pessoas opinaram?
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 11
29
TÓPICO 2
CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: 
OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Os dois principais objetos com que se ocupa a Matemática são os números 
e as figuras geométricas. O objetivodesse tópico é um estudo sobre conjuntos 
numéricos. Damos o nome de conjuntos numéricos a certos conjuntos importantes 
cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. 
Neste tópico abordaremos apenas as características que definem o conjunto 
dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e, enfim, o conjunto dos 
números reais.
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de contagem: 
quantos dias no mês, quantos meses no ano, quantas luas para a colheita, quantas 
cabeças de gado etc. 
O conjunto dos números naturais é representado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
..., n, ...}, n representa o elemento genérico do conjunto e as reticências fornecem a 
ideia de infinito.
Podemos considerar uma representação geométrica do conjunto dos 
números naturais através da ordenação de seus elementos sobre uma reta, como 
mostra o gráfico a seguir:
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
30
2.1 SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE N
Conjunto dos números naturais não nulos: N* = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...}.É comum 
utilizarmos o símbolo * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se quer 
suprimir o elemento zero. 
Deste modo, o conjunto dos números naturais não nulos corresponde ao 
conjunto dos números naturais, excluso o zero: N* = N – {0}.
 Conjunto dos números naturais pares: Np = {0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...}, com n ∈ N.
 Conjunto dos números naturais ímpares: Ni = {1, 3, 5, 7, ..., 2n + 1, ...}, com n ∈ N.
 Conjunto dos números naturais primos: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}. Consiste no 
conjunto dos números naturais divisíveis por 1 e por eles próprios.
2.2 OPERAÇÕES E PROPRIEDADE DO FECHAMENTO EM N
No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: adição 
e multiplicação. Adicionando-se ou multiplicando-se dois números naturais, a 
soma ou o produto será também um número natural. 
Matematicamente, representamos:
∀m, n ∈ N, temos que m + n ∈ N e m ⋅ n ∈ N
Esta propriedade é chamada de Fechamento, ou seja, o conjunto dos 
números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. O mesmo não 
se verifica no caso da subtração, por exemplo, onde, 5 – 3 = 2 ∈ N, mas 3 – 5 = - 2 ∉ 
N, ou seja, não há fechamento com relação à subtração.
Por esse motivo, ampliou-se o conjunto dos números naturais, surgindo o 
conjunto dos números inteiros.
TÓPICO 2 | CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS OS CONJUNTOS NUMÉRICOS: 
31
3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado por: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 
3, ...}. Observe que todos os elementos de N pertencem a Z, o que equivale a dizer 
que N é subconjunto de Z ou N ⊂ Z ou ainda Z ⊃ N.
Podemos considerar o conjunto dos números inteiros ordenados sobre 
uma reta, conforme mostra o gráfico a seguir:
3.1 SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE Z
 Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}.
Este conjunto equivale ao conjunto dos números inteiros, excluso o zero: 
Z* = Z – {0}.
 Conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Observe que este conjunto equivale ao conjunto dos números naturais: Z
+
 = IN.
Conjunto dos números inteiros positivos: = {1, 2, 3, 4, ...}. Corresponde 
ao conjunto dos números naturais, excluso o zero.
Conjunto dos números inteiros não positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}.
Conjunto dos números inteiros negativos: = {..., -4, -3, -2, -1}.
3.2 MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO E NÚMEROS 
OPOSTOS
Módulo, ou valor absoluto, de a, o qual é representado por a , é a distância 
da origem ao ponto que representa o número a. Assim, tomando como origem o 
ponto que representa o número zero, na reta numérica dos inteiros, temos que 
NOTA
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
32
o módulo de 5 corresponde a 5 unidades, assim como também o módulo de -5 
corresponde a 5 unidades de distância com relação ao zero. Logo, 5  = -5  = 5.
Dois números inteiros são ditos opostos um ao outro quando sua soma 
é zero, deste modo ambos distam a mesma medida da origem, ou seja, possuem 
mesmo módulo. Desta forma, o oposto de 2 é -2 e vice-versa, pois ambos distam a 
mesma medida com relação à origem representada pelo número zero.
O conjunto dos números inteiros não apresenta fechamento com relação à 
divisão. Observe que, apesar de (-10) ÷ (+2) = -5 ∈ Z, a recíproca não é válida, ou 
seja, (+2) ÷ (-10) = -0,2 ∉ Z e sim ao conjunto dos números racionais, que estudamos 
na sequência.
4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma 
de fração (com o numerador pertencente a Z e o denominador pertencente a Z*). 
Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números 
inteiros com as frações positivas e negativas.
Então: são exemplos de números racionais.
Outros exemplos:
a) b) 
Assim, podemos generalizar representando matematicamente o conjunto 
dos números racionais por:
Q = {x  x = , com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0}
É interessante considerar a representação decimal de um número racional 
, que se obtém dividindo a por b, formando uma dízima periódica.
Exemplos:
a) decimais exatas ou finitas
TÓPICO 2 | CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS OS CONJUNTOS NUMÉRICOS: 
33
b) decimais periódicas ou infinitas
5 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os 
números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). 
Como exemplos de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2, a 
raiz quadrada de 3, de modo geral, números que não formam dízimas periódicas, 
os algarismos após a vírgula não se repetem periodicamente, não comportando, 
portanto, a representação fracionária.
a) = 1,4142135.. 
b) = 1,7320508..
c) 1, 212112111...
Um número irracional bastante conhecido é o número π = 3.1415926535...
A representação do conjunto dos números irracionais é variável. Alguns 
autores utilizam a letra I de irracionais, outros utilizam a simbologia QC, indicando 
que os irracionais são os complementares dos racionais com relação ao conjunto 
dos números reais, considerado aqui como conjunto universo.
6 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos 
o conjunto dos números reais como:
NOTA
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número.
ATENCAO
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
34
R = Q ∪ {irracionais} = {x  x é racional ou x é irracional}
O diagrama a seguir mostra a relação entre os conjuntos numéricos 
estudados:
Observe pelo diagrama que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e ainda {irracionais} ⊂ R, então: 
R = Q ∪ {irracionais} e Q ∩ {irracionais} = ∅ Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e 
irracionais são todos números reais.
Como subconjuntos importantes de IR temos:
 R* = conjunto dos números reais não nulos: R – {0}
 R+ = conjunto dos números reais não negativos
 R_ = conjunto dos números reais não positivos
Observe que entre dois números inteiros existem infinitos números reais. 
Entre os números inteiros 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 
1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 19999 ...
IMPORTANT
E
ATENCAO
TÓPICO 2 | CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS OS CONJUNTOS NUMÉRICOS: 
35
Intuitivamente, podemos construir o conjunto dos números reais a partir 
dos racionais da seguinte forma: uma reta formada por números racionais tem 
“buracos” (por exemplo, existe um buraco onde deveria estar a raiz quadrada de 
2); assim como também entre dois inteiros existe “um buraco”, pois sabemos que 
entre 1 e 2, por exemplo, podemos assumir infinitos números fracionários. 
O conjunto dos números reais completa essa reta, “tapando todos os 
buracos”, de forma que é classificado como um conjunto denso (assunto abordado 
com maior propriedade na disciplina de Análise Matemática).
FONTE: Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Real_number_line.svg>.Acesso em: 20 set. 2009.
Observe, então, que se x ∈ R ⇒ x é racional ⇒ x = inteiros, infinitos periódicos 
ou então, se x ∈ R ⇒ x é irracional ⇒ x = inteiros, infinitos não periódicos, sendo 
ambas possibilidades excludentes, ou seja, ou x é racional ou x é irracional. 
Resumindo, esta também poderia ser uma definição de número real: 
todo número real possui uma forma decimal com parte inteira e parte decimal 
infinita, ou x ∈ R ⇒ x é do tipo: x = inteiro, decimal infinito; observando que esse 
decimal infinito será periódico ou não, dependendo do caso em que seja racional 
ou irracional.
Exemplos:
FIGURA 1 – NÚMEROS REAIS
Observe que todos os exemplos possuem uma parte inteira e uma parte 
decimal.
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
36
6.1 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS
No conjunto dos números reais são válidas todas as técnicas operatórias, 
tais como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação, 
logaritmação.
Costumeiramente usamos a forma decimal para operarmos em R, mas 
devemos observar que, como não podemos operar com demais infinitos, esses 
cálculos são aproximados. Ao usarmos as calculadoras ou os computadores, mesmo 
os de grande porte, devemos lembrar que eles possuem uma certa capacidade, 
sempre finita, e que por isso “trabalham” com um certo número limitado de 
“casas” após a vírgula. Isso significa que estaremos trabalhando com números 
racionais decimais exatos.
Em geral os cálculos são efetuados na forma decimal, isto é, usando a base 
10 para o sistema de numeração, porém, se usarmos outra base, as representações 
serão completamente diferentes. “Um exemplo bem ilustrativo é quando usamos 
a base binária ou hexadecimal nos cálculos na área de informática”. (MAIO, 2007, 
p.169).
Devemos atentar para os erros de aproximação que são introduzidos nos 
cálculos operacionais em R; observe alguns exemplos:
Exemplos:
a) Seja calcular 
Erros de aproximação ficam evidentes quando efetuamos o cálculo anterior 
trabalhando com decimais: 0,33 + 0,14 = 0,47. Observe que “tende mais” para 
0,48 do que para 0,47; o cálculo com duas casas decimais impossibilita verificar 
isso.
b) Seja calcular . Se efetuássemos esse cálculo como 1,41 ⋅ 
1,41, obteríamos 1,98, apresentando um erro de arredondamento que, em alguns 
casos, pode ser expressivo.
É evidente que o erro depende da capacidade da calculadora; aqui estamos 
dando exemplos extremos onde o arredondamento foi feito para duas casas 
decimais, mas, por melhor que seja, sempre dará resultados aproximados, pois sempre 
limitará seu número de casas decimais em algum valor e sabemos que os reais apresentam 
dízimas infinitas periódicas (racionais) ou não (irracionais).
37
RESUMO DO TÓPICO 2
 Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
 Quanto ao conjunto dos números naturais:
- É representado por N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}, as reticências fornecem a ideia 
de infinito.
 Quanto ao conjunto dos números inteiros:
- É representado por: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. 
- Todos os elementos de N pertencem a Z, o que equivale a dizer que N é 
subconjunto de Z ou N ⊂ Z ou ainda Z ⊃ N.
 Quanto ao conjunto dos números racionais:
- Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de 
fração (com o numerador pertencente a Z e o denominador pertencente a Z*).
- Matematicamente, representamos: Q = {x  x = , com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0}.
 Quanto ao conjunto dos números irracionais:
- São decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser 
escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). 
 Quanto ao conjunto dos números reais:
38
Prezado(a) acadêmico(a)!
As autoatividades que seguem buscam fazer com que você elabore 
conceitos apropriados para cada um dos conjuntos numéricos estudados neste 
tópico.
Bom trabalho!
1 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
a) ( ) Z+ é o conjunto dos números inteiros positivos.
b) ( ) Z– é o conjunto dos números inteiros negativos. 
c) ( ) Z ⊂ Q, ou seja, todo número inteiro é racional.
d) ( ) ∃ x ∈ Q x ∉ R (verifique tabela de símbolos no anexo A).
2 Usando os símbolos ∈ ou ∉, complete os espaços:
AUTOATIVIDADE
3 Observe os números a seguir:
Dentre esses números, determine quais são:
 a) naturais b) inteiros c) racionais d) irracionais
39
4 Localize, na reta, aproximadamente, o ponto correspondente a cada número 
da questão anterior:
Exportações Importações Balança Comercial
1999 25 18
2000 30 -2
2001 26,8 -2,1
b) Quais são os números naturais que constam nessa tabela?
c) Quais são os números inteiros que constam nessa tabela?
d) Quais são os números racionais que constam nessa tabela?
e) Quais são os números racionais não inteiros que constam nessa tabela?
f) Quando a balança comercial é positiva, diz-se que houve um superávit; 
quando é negativa, diz-se que houve um déficit. No triênio 1999/2001, em que 
ano(s) houve superávit? Em que ano(s) houve déficit?
5 Identifique quais dos números a seguir não são números reais:
6 A balança comercial de um país, em um determinado período, é a diferença 
entre o valor total das exportações e o das importações, nessa ordem.
a) Complete a tabela a seguir com os valores correspondentes às importações, 
às exportações e à balança comercial de certo país nos anos de 1999, 2000 e 2001, 
em bilhões de dólares:
40
41
TÓPICO 3
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Potenciação é uma operação unária usada em Aritmética para indicar a 
multiplicação de uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar 
o expoente. O uso desta operação é muito costumeiro, tendo em vista que as 
potências estão envolvidas em grande variedade de problemas de cálculo e técnicas 
estatísticas.
Em Matemática, denominamos unária a operação que possui apenas um 
operador, ou seja, trata-se de uma função com somente uma variável de entrada.
A notação científica, ou seja, a escrita de um número com o auxílio de 
potências de base 10 é um recurso comum para a representação simplificada de 
números muito grandes ou muito pequenos, tendo em vista a facilidade de operar 
com esses números diante de seus equivalentes numéricos. Na utilização dos 
computadores ou máquinas de calcular, por exemplo, a notação científica tem uso 
regular, tornando os cálculos mais rápidos devido às propriedades da potenciação.
Por sua vez, o termo radiciação pode ser entendido como uma operação 
que, se fornecida uma potência de um número e o seu grau, pode-se determinar 
esse número, ou seja, uma operação recíproca à potenciação.
Neste tópico vamos estudar ambas as operações e suas propriedades 
fundamentais.
2 POTENCIAÇÃO EM Z
Dados dois números naturais a e n, chama-se potência n de a, e representa-
se por an ao número obtido efetuando o produto de n fatores iguais a a.
NOTA
42
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
n parcelas iguais
Chamamos a de base, n de expoente e ao resultado da operação an 
denominamos potência.
2.1 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO EM Z
Decorrentes da definição e das propriedades da multiplicação têm-se que:
 1n = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ... ⋅ 1 = 1
 0n = 0
Das propriedades básicas da potenciação de números inteiros, destacamos 
as seguintes:
 Produto de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
am ⋅ an = am + n
Exemplos: 
a) 23 ⋅ 24 = 23+4 = 27 b) 3-3 ⋅ 34 = 3-3+4 = 31 = 3 c) 105 ⋅ 103 = 108
 Quociente de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
am : an = am – n
IMPORTANT
E
TÓPICO 3 | POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
43
Exemplos:
 Distributiva em relação ao produto e divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que:
(a ⋅ b)m = am ⋅ bm
e
(a : b)m = am : bm
Exemplos:
 Potência de potência: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
(am)n = am ⋅ n
Exemplos:
a) (23)2 = 26 = 64 
 
b) (3-3)2 = 3-6 = 
 
c) (102)3 = 106 = 1.000.000
Observe a diferença entre as expressões (am)ne amn:
• (23)2 = 23.2 = 26 = 64
• 232 = 23.3 = 29 = 512
IMPORTANT
E
44
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
 Se n = 1, então: a1 = a  Se n = 0 e a ≠ 0, então: a0 = 1
Exemplo: Exemplo: 
 Se n = -1 e a ≠ 0, então: a-1 = 
Exemplos: a) b) 
 
 
 c) 
2.2 POTÊNCIAS DE BASE 10
Observe, no quadro a seguir, algumas potências de base 10, seus expoentes 
inteiros positivos e a quantidade de zeros da potência.
Expoente Inteiro 
Positivo (n)
Indicação de 10n Potência (resultado)
Número de zeros da 
potência
1 101 10 1
2 102 100 2
3 103 1.000 3
4 104 10.000 4
n 10n n
FONTE: A autora
Agora observe neste outro quadro algumas potências de base 10, seus 
expoentes inteiros negativos e a quantidade de algarismos à direita da vírgula.
QUADRO 1 – POTÊNCIAS DE BASE 10
ATENCAO
TÓPICO 3 | POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
45
2.3 NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Expoente Inteiro 
Negativo (n)
Indicação de 10n
Potência 
(resultado)
Número de algarismos à 
direita da vírgula
-1 10-1 0,1 1
-2 10-2 0,01 2
-3 10-3 0,001 3
-4 10-4 0,0001 4
n 10n n
FONTE: A autora
As notações científicas são baseadas no uso de potências de base 10. Um 
número escrito em notação científica segue a seguinte configuração:
m · 10e
Onde: 
• m é denominado mantissa e corresponde a um valor numérico maior ou igual a 
1 e menor que 10, ou seja, 1 ≤ m < 10.
• e, dado sob a forma de expoente, é denominado ordem de grandeza.
Observe os exemplos de números grandes e pequenos, expressos em 
notação científica:
• 600.000 = 6 · 105
• 30.000.000 = 3 · 107
• 500.000.000.000.000 = 5 · 1014
QUADRO 2 – POTÊNCIAS DE BASE 10
A observação feita a partir dessas tabelas vai auxiliá-lo(a) a escrever 
potências de base 10 na representação decimal e vice-versa.
Por exemplo:
a) 1.000.000.000.000 = 1012 b) 10-8 = 0,00000001
12 zeros 8 algarismos
46
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
• 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 7 · 1033
• 0,0004 = 4 · 10-4
• 0,00000001 = 1 · 10-8
• 0,0000000000000006 = 6 · 10-16
Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois 
apresenta a vantagem de representar adequadamente a quantidade de algarismos 
significativos, em detrimento de seus equivalentes numéricos que trazem pouco 
significado prático. 
Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase 
inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como Física, Química e Engenharias 
de um modo geral, esses valores são frequentes. Também na área de Economia, ao 
se fazer referência a um valor monetário, em bilhões de dólares, por exemplo, é 
comum o uso da notação científica.
3.1 PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO EM Z
Das propriedades básicas da radiciação, destacamos as seguintes:
• Distributiva em relação ao produto e à divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que:
3 RADICIAÇÃO EM Z
A operação pela qual, dada a potência e o expoente, se determina a base 
denomina-se radiciação.
Dados três números naturais a, b, n tais que a = bn. O número b é dito raiz 
de índice n de a e representa-se pelo símbolo .
Assim, a = bn implica que = b, 
onde a é dito radicando e n índice do radical, a b chamamos de raiz enésima.
TÓPICO 3 | POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
47
3.2 SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
Para viabilizar o trabalho com radicais é conveniente transformá-los, 
colocando-os na forma mais simples possível. Essa forma simplificada é obtida 
através das propriedades dos radicais.
Exemplos: 
a) b) 
• ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
Exemplos:
• ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
Exemplos:
a) b) 
• ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
As propriedades são válidas apenas para as divisões e radiciações possíveis.
48
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
Vejamos alguns exemplos:
3.3 OPERAÇÕES COM RADICAIS
Para operar com radicais, usamos suas propriedades e as propriedades 
operatórias da adição e multiplicação de números reais (comutativa, associativa e 
distributiva). 
Vejamos alguns exemplos:
a) 
Lembre-se de que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e 
mesmo radicando.
b) 
Observe que neste exemplo fez-se necessário, inicialmente, o processo de 
simplificação de radicais, tendo em vista que só é possível adicionar radicais com 
mesmo índice e mesmo radicando.
c) 
Lembre-se de que só é possível o produto de radicais com mesmo índice.
d) 
De igual modo ao produto, só é possível o quociente de radicais com 
mesmo índice.
49
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
 Quanto à operação de potenciação:
 - an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a, com n parcelas iguais, onde chamamos a de base, n de 
expoente e ao resultado da operação an denominamos potência.
 Quanto às propriedades da potenciação:
- Produto de potências de mesma base: am ⋅ an = am + n
- Quociente de potências de mesma base: am : an = am – n
- Distributiva em relação ao produto e divisão: (a ⋅ b)m = am ⋅ bn e (a : b)m = am : bn
- Potência de potência: (am)n = am ⋅ n
 Quanto à definição de notação científica:
- Um número escrito em notação científica configura-se na forma m · 10e, onde 
m é denominado mantissa e corresponde a um valor numérico maior ou igual 
a 1 e menor que 10, ou seja, 1 ≤ m < 10, enquanto que e, dado sob a forma de 
expoente, é denominado ordem de grandeza.
 Quanto à operação de radiciação:
 - Dados três números naturais a, b, n tais que a = bn. O número b é dito raiz de 
índice n de a e representa-se pelo símbolo .
 Quanto às propriedades da radiciação:
- Dados a, b, m ∈ Z, temos que: 
50
Prezado(a) acadêmico(a), realize todas as autoatividades propostas, 
a fim de averiguar sua aprendizagem sobre as operações de potenciação e 
radiciação abordadas neste tópico.
Bons estudos!
1 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso). Não esqueça as propriedades que você 
acabou de estudar.
AUTOATIVIDADE
2 Efetue, observando as definições e propriedades:
3 Calcule o valor da expressão:
51
4 Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de  para 
que se tenha:
a) 56,754 ·  = 567.540 c)  · 23 = 0,000023
b) 0,003 ·  = 30 d)  · 4,5 = 0,00045
5 Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica:
a) b) 
6 O produto 0,000015 · 0,000000002 é igual a:
a) ( ) 3 . 10-40 d) ( ) 30 . 10-13
b) ( ) 3 . 10-14 e) ( ) 3 . 10-4
c) ( ) 30 . 10-14
7 O valor da expressão (-2)-2 + (-2)-1 + (-2)1 + (-2)2 é igual a:
8 Efetue as adições algébricas com radicais, observando as propriedades 
estudadas:
9 Reduza os radicais a uma expressão da forma , com a e b inteiros, fazendo 
uso de simplificação de radicais:
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 7
52
53
TÓPICO 4
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Existem vários caminhos para resolver um problema. Um deles é representar 
a solução do problema por uma letra e escrever uma sentença envolvendo uma 
igualdade, as operações e a letra escolhida, o que denominamos equação algébrica.
Em documentos antigos, o registro da resolução de um problema 
normalmente é bastante longo. Isso se deve ao raciocínio aritmético detalhado e ao 
tipo de linguagem utilizada. 
Com o avanço da Matemática no campo da Álgebra, essas resoluções 
puderam ser resumidas em algumas linhas. O processo algébrico envolve, muitas 
vezes, igualdades que são as equações dos problemas. Esse é um procedimento 
bastante recente.
Um dos objetivos do estudo de equações é determinar soluções dos 
problemas do dia a dia nas diversas áreas de trabalho.
Neste tópico vamos estudar os principais tipos de equações que serão o 
aporte teórico para a fundamentação das Unidades 2 e 3: equações do 1º grau, 
equações do 2º grau e equações exponenciais.
2 EQUAÇÕES DO 1º GRAU
As equações do 1º grau são aquelas que podem ser representadas 
sob a forma ax + b = 0, em que a e b são constantes reais, 
com a ≠ 0e x é a incógnita.
A resolução desse tipo de equação é fundamentada nas propriedades da 
igualdade, descritas a seguir:
54
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
Princípio aditivo: adicionando um mesmo número a ambos os membros de 
uma igualdade ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a igualdade se 
mantém.
Princípio multiplicativo: multiplicando ou dividindo ambos os membros de uma igualdade 
por um mesmo número não nulo, a igualdade se mantém.
Resolver uma equação é um modo tradicional de se indicar ou dizer que se 
deseja(m) obter a(s) sua(s) raiz(es). 
A raiz de uma equação é a solução que satisfaz a igualdade quando 
substituída pela incógnita.
Vejamos alguns exemplos de equações do 1º grau e seu processo de 
resolução:
a) Resolver a equação: 4x - 12 = 8 - 6x.
• Transpondo os termos com x para o 1º membro, e os números para o 2º membro, 
 obtemos:
4x + 6x = 8 + 12
• Agrupando os termos semelhantes:
10x = 20
• Dividindo ambos os membros por 10:
• Conjunto solução: S = {2}.
b) Resolver a equação: 2(2x + 7) + 3(3x - 5) = 3(4x + 5) - 1
• Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição:
4x + 14 + 9x - 15 = 12x + 15 - 1
• Transpondo os termos com x para o 1º membro, e os números para o 2º membro, 
 obtemos:
IMPORTANT
E
TÓPICO 4 | EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
55
4x + 9x - 12x = 15 - 1 - 14 + 15
• Agrupando os termos semelhantes:
x = 15
• Conjunto solução: S = {15}.
c) Resolver a equação: .
• Multiplicando todos os termos da equação por 6 (em que 6 é o mínimo múltiplo 
 comum dos denominadores):
• Efetuando as operações indicadas:
2(x - 2) + 3(x - 3) = 1
2x - 4 + 3x - 9 = 1
• Transpondo os termos com x para o 1º membro, e os números para o 2º membro, 
 obtemos:
2x + 3x = 1 + 4 + 9
• Agrupando os termos semelhantes:
5x = 14
• Dividindo ambos os membros por 5:
• Conjunto solução: .
2.1 PORCENTAGEM
Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano.
Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número 
b, com b ≠ 0, à razão , tal que .
Denomina-se de taxa percentual e representa-se por x%, que se lê “ x por 
cento”, onde x é um número real qualquer.
56
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
Assim, porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão 
centesimal a um determinado valor. 
A razão centesimal, como o próprio nome já diz, é uma expressão fracionária 
cujo denominador é igual a 100.
Exemplos:
a) (lê-se: “dez por cento”) 
 
b) (lê-se: “cento e cinquenta por cento”) 
Como se calcula porcentagem em uma calculadora?
Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500?
• Digite: 500
• Aperte a tecla de multiplicação: X
• Digite: 20
• Aperte a tecla de porcentagem: %
• O resultado, como pode ser visto, é 100.
Vejamos alguns exemplos de situações envolvendo porcentagem e seu 
processo de resolução:
a) Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto 
de 20%. Qual foi o valor pago?
• Aplicando a taxa percentual sobre o valor da compra, obteremos o valor do 
 desconto: 
• Portanto, o valor a ser pago será: 1.500 - 200 = 1.300,00.
b) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) 
de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?
• Aplicando a taxa percentual sobre o valor do carro, obteremos o valor acrescido, 
ou seja, a valorização sobre o automóvel: .
IMPORTANT
E
TÓPICO 4 | EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
57
• Portanto, o automóvel passou a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200, 00.
c) Um computador que custava R$ 2.000,00 apresentou um lucro de R$ 
100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de venda?
• Neste caso, queremos determinar a taxa percentual, portanto: . 
• Logo, ⇒ ⇒ x = 5%
• Portanto, o lucro de R$ 100,00 representa 5% do seu valor de venda.
d) Um comerciante, que não possuía conhecimentos de matemática, 
comprou uma mercadoria por R$ 200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo 
dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% 
sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante 
teve lucro ou prejuízo? 
• Vamos acrescentar 50% sobre o valor de compra da mercadoria: 
⇒ 200 + 100 = 300,00. Assim, a mercadoria passou a custar R$ 300,00.
• Sobre o novo valor da mercadoria, vamos calcular o desconto dado pelo 
comerciante ao seu freguês: ⇒ 300 - 120 = 180,00. Desse modo, o 
comerciante vendeu a mercadoria ao freguês por R$ 180,00. Como a mercadoria foi 
comprada por R$ 200,00, podemos concluir que o comerciante teve um prejuízo.
3 EQUAÇÕES DO 2º GRAU
As equações do 2º grau são aquelas que podem ser representadas 
sob a forma ax2 + bx + x = 0, em que a,b e c são constantes reais, 
com a ≠ 0 e x é a incógnita.
As raízes desse tipo de equação podem ser obtidas por meio da seguinte 
fórmula resolutiva:
58
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
O valor numérico resultante da expressão b2 - 4ac, indicado usualmente 
por ∆ (delta), é chamado discriminante da equação, e nos dá indicativos quanto à 
quantidade de raízes:
• Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais distintas.
• Se ∆ = 0, a equação terá uma única raiz real.
• Se ∆ < 0, a equação não terá raízes reais.
Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau e seu processo de 
resolução:
a) Resolver a equação: x2 - 4x = -3.
• Escrever a equação na sua forma padrão ax2 + bx + c = 0:
x2 - 4x + 3 = 0
• Determinar os coeficientes a,b e c:
a = 1 b = -4 c = 3
• Aplicar a fórmula resolutiva:
• Conjunto solução: S = {1,3}.
As equações do 2º grau com b = 0 ou c = 0 são chamadas incompletas. 
Sua resolução pode ser feita pela fórmula resolutiva, ou ainda como veremos nos 
exemplos a seguir.
TÓPICO 4 | EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
59
b) Resolver a equação incompleta do 2º grau: x2 - 3x = 0.
• Reescrever a equação colocando a incógnita x em evidência:
x(x - 3) = 0
• Observe que a expressão acima representa o produto de um valor x por um valor 
(x - 3). O produto entre dois fatores somente será 0 se um ou outro fator for 0. 
Assim, concluímos:
x’ = 0 ou x - 3 = 0 (x’’ = 3)
• Conjunto solução: S = {0,3}.
c) Resolver a equação incompleta do 2º grau: x2 - 9 = 0.
• Temos que:
x2 = 9
• Se x elevado ao quadrado dá 9, então:
 ou 
• Conjunto solução: S = {-3,3}.
4 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de uma 
ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é chamada equação 
exponencial.
A resolução de uma equação exponencial baseia-se na seguinte propriedade:
Para a > 0 e a ≠ 1, temos: ax = ay ⇔ x = y
Vejamos alguns exemplos de equações exponenciais e seu processo de 
resolução:
a) Resolver a equação: 125x = 625.
• Resolvemos essa equação transformando-a numa igualdade de duas potências 
de mesma base. Para isso, fatoramos os números 125 e 625:
60
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
• Assim, temos:
125x = 625
(53)x = 54
53x = 54 
• Pela propriedade enunciada anteriormente, temos:
3x = 4
• Conjunto solução: .
61
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Quanto às equações do 1º grau:
- As equações do 1º grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax 
+ b = 0, em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0 e x é a incógnita.
- A resolução desse tipo de equação é fundamentada nas propriedades da 
igualdade, descritas a seguir:
Princípio aditivo: adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma 
igualdade ou subtraindo um mesmo número de ambos os membros, a igualdade 
se mantém.
Princípio multiplicativo: multiplicando ou dividindo ambos os membros de uma 
igualdade por um mesmo número não nulo, a igualdade se mantém.
• Quanto às equações de 2º grau:
- As equações do 2º grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma ax2 + 
bx + x = 0, em que a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0 e x é a incógnita.- As raízes desse tipo de equação podem ser obtidas por meio da seguinte fórmula 
resolutiva: . O valor numérico resultante da expressão b2 - 4ac, 
indicado usualmente por ∆ (delta), é chamado discriminante da equação, e nos 
dá indicativos quanto à quantidade de raízes:
• Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais distintas.
• Se ∆ = 0, a equação terá uma única raiz real.
• Se ∆ < 0, a equação não terá raízes reais.
• Quanto às equações exponenciais:
- Toda equação cuja incógnita se apresenta no expoente de uma ou mais potências 
de bases positivas e diferentes de 1 é chamada equação exponencial.
- A resolução de uma equação exponencial baseia-se na seguinte propriedade: 
Para a > 0 e a ≠ 1, temos: ax = ay ⇔ x = y.
62
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a), realize todas as autoatividades propostas e teste 
sua aprendizagem sobre os conteúdos abordados neste tópico.
1 Resolva as equações do 1º grau:
a) 5(x - 2) = 4x + 6 e) 2(x + 1) = 2
b) -4(4-x) = 2(x-1) f) -3(x + 2) = -6
c) -2x = -6 g) 0,1(x - 2) + 0,5x = 0,7
d) -3x +1 = -8 h) 0,4(x + 3) - 0,2x = 4
2 Resolva as equações do 1º grau:
3 O lucro mensal de uma empresa é dado por L = 50x - 2000, em que x é a 
quantidade mensal vendida de seu produto e L o lucro, em reais. Qual a 
quantidade que deve ser vendida mensalmente para que o lucro mensal seja 
igual a R$ 5.000,00?
4 Uma certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. 
Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas 
receberia R$ 5.000,00 a mais. Calcule a importância.
5 O custo mensal C, em reais, para produção de x camisetas em uma fábrica é 
dado pela expressão C = 5.000 + 15x. Qual a quantidade mensal produzida 
sabendo-se que o custo mensal é R$ 8.000,00?
6 O preço de um produto sofreu um reajuste de 12%, indo para R$ 60,48. Qual 
era o preço desse produto antes do reajuste?
7 Um comerciante comprou um produto por R$ 84,00 e o vendeu por R$ 105,00.
a) Calcule o percentual de lucro sobre o preço de custo.
b) Calcule o percentual de lucro sobre o preço de venda.
63
8 O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. 
Supondo que o preço atual seja R$ 100,00, daqui a três anos o preço será:
a) ( ) R$ 300,00 d) ( ) R$ 600,00
b) ( ) R$ 400,00 e) ( ) R$ 1.000,00
c) ( ) R$ 800,00 
9 Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após algum tempo, vendeu as ações por 
R$ 2.100,00. Determine o percentual de aumento sobre o capital investido.
10 Uma loja aumenta o preço de determinado produto, cujo valor é de R$ 600,00, 
para, em seguida, a título de promoção, vendê-lo com desconto de 20% e 
obter ainda os mesmos R$ 600,00. Para que isso aconteça, qual deverá ser o 
aumento percentual do preço do produto?
11 Um artigo é vendido em uma loja por R$ 125,00. Sobre esse preço são dados 
dois abatimentos sucessivos: um de 16% e outro de p%. Se o preço de tal 
artigo passou a ser R$ 81,90, então p é igual a: 
a) ( ) 18 b) ( ) 20 c) ( ) 22 d) ( ) 24 e) ( ) 26
12 O preço de uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos, de 10% e de 
20%. De quantos por cento foi o aumento total dessa mercadoria?
a) ( ) 30% b) ( ) 32% c) ( ) 25% d) ( ) 22% e) ( ) 12%
13 Resolva as equações do 2º grau:
a) x2 - 5x + 4 = 0 e) -x2 + 3x - 2 = 0
b) x2 - 7x + 12 = 0 f) -m2 + 5m = 0
c) t2 - 6t + 8 = 0 g) y2 - 6y - 3 = 0
d) x2 - 4x + 4 = 0 h) t2 - 2t - 5 = 0
14 Resolva as equações incompletas do 2º grau:
a) x2 - 5x = 0 d) 2x2 - 8 = 0
b) -2x2 + 6x = 0 e) -m2 + 16 = 0 
c) x2 - 25 = 0 f) 3x2 = 0 
15 O lucro mensal de uma empresa é dado por L = - x2 + 10x - 16, em que x é a 
quantidade vendida. Para que valores de x o lucro é nulo?
16 Em relação ao exercício anterior, para que valores de x o lucro é igual a $ 9?
17 A receita diária de um estacionamento para automóveis é R = 100p - 5p2, em 
que p é o preço cobrado por dia de estacionamento por carro. Qual o preço 
que deve ser cobrado para dar uma receita diária de $ 375?
64
18 Resolva as equações exponenciais:
a) 64x = 256 c) 9x - 1 - 81 = 0
b) 92x - 1 = 275x + 1 d) 
 
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 4
65
UNIDADE 2
A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• reconhecer relações entre grandezas variáveis dadas por gráficos, tabelas 
e fórmulas;
• desenvolver o conceito de função;
• reconhecer e definir função;
• analisar e determinar o domínio, contradomínio e imagem de uma função;
 
• construir, ler e interpretar gráficos de funções;
• reconhecer quando uma função é sobrejetora, injetora e bijetora;
• analisar gráficos para estabelecer crescimento, decrescimento e raízes de 
 uma função;
• reconhecer e definir função polinomial e função exponencial.
Esta unidade de ensino está dividida em quatro tópicos. No final de cada um 
deles você encontrará atividades que contribuirão para a apropriação dos 
conteúdos.
TÓPICO 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES
TÓPICO 2 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
TÓPICO 3 – FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
TÓPICO 4 – FUNÇÃO EXPONENCIAL
Assista ao vídeo 
desta unidade.
66
67
TÓPICO 1
RELAÇÕES E FUNÇÕES
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Na Unidade 1 abordamos conceitos matemáticos que fundamentarão 
nossos estudos nesta unidade e na próxima. Conjuntos numéricos, operações de 
potenciação e radiciação e equações algébricas servirão de aporte para os tópicos 
subsequentes. 
Neste tópico estamos interessados em um caso particular de relações entre 
dois conjuntos A e B: são relações em que cada elemento de A está relacionado 
com um único elemento de B. Uma relação que satisfaz a essa propriedade recebe 
o nome de função ou aplicação binária.
Este tipo de relação infere em muitas aplicações nas mais diversas áreas, 
pois no estudo científico de qualquer fato sempre se procuram identificar grandezas 
mensuráveis ligadas a ele, verificando a existência ou não de possíveis padrões e, 
em seguida, estabelecendo as relações entre essas grandezas. Os diferentes tipos 
de funções possibilitam modelar diversas situações reais, servindo de aporte e 
ferramental matemático para compreensão de fenômenos científicos.
2 O CONCEITO DE FUNÇÃO
Para conceituar função, considere a seguinte situação: 
Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: 
uma parte fixa, no valor de R$ 1.200,00, e uma parte variável, que corresponde a 
uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês.
• Como expressar, através de uma lei matemática, o salário mensal deste vendedor?
• Qual o salário do vendedor se, no período de um mês, ele vender 10.000 produtos?
Nestas condições, podemos dizer que:
Salário mensal = 1.200,00 + 0,08 · (total das vendas do mês)
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
68
FONTE: A autora
FIGURA 2 – COMPORTAMENTO DE UMA SUBSTÂNCIA INTRAVENOSA EM 
 PACIENTE COM CÂNCER
Observamos então que o salário mensal desse vendedor é dado em função 
do total de vendas que ele faz durante o mês, ou seja:
S(q) = 1.200,00 + 0,08q
ou
y = 1.200,00 + 0,08x
S e q expressam, respectivamente, as variáveis salário e quantidade vendida. 
A expressão S(q) simboliza que o salário depende da quantidade vendida, ou seja, 
q é variável independente e S é variável dependente.
Esse é um exemplo de função, cuja relação é expressa por duas variáveis: 
salário e quantidade, onde uma depende da outra.
Vejamos outra situação:
O gráfico a seguir representa o comportamento de uma substância 
intravenosa em um paciente com câncer. O mesmo modelo se aplicaria à ingestão 
de uma bebida alcoólica ou de um entorpecente, porém com variações distintas de 
tempo.
Neste gráfico, as variáveis envolvidas são tempo (em meses) e quantidade de 
substância. Observe que, conforme o tempo aumenta, a quantidade de substância 
no organismo tende à redução.
O comportamento dessa função,denominada função exponencial, a qual 
estudaremos com maior propriedade no Tópico 4 desta unidade, pode ser expresso 
algebricamente pela lei matemática:
TÓPICO 1 | RELAÇÕES E FUNÇÕES
69
3 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
No item anterior, verificamos que, uma relação entre variáveis pode ser 
classificada como função se, a cada elemento atribuído à variável independente, 
estiver relacionado um único valor para variável dependente.
Desse modo, estamos aptos a compreender a definição matemática de 
função, fazendo uso de elementos estudados em teoria dos conjuntos, no Tópico 1 
da unidade anterior:
Se x ∈ A e y ∈ B são duas variáveis, dizemos que y é uma função de 
A em B ou uma função f(x) (lê-se “f de x”), se:
i) todos os elementos x de A estão envolvidos na relação;
ii) para cada elemento x ∈ A existe um único 
elemento y ∈ B que lhe corresponde.
O primeiro item da definição declara que todos os elementos de A devem 
estar relacionados com elementos de B, enquanto que o segundo item da definição 
garante que um elemento de A deve estar associado com apenas um elemento em 
B.
Q(t) = ou, simplesmente: y = 
Q e t expressam, respectivamente, as variáveis quantidade de substância 
e tempo em meses. A expressão Q(t) simboliza que a quantidade de substância 
depende do tempo, logo, podemos classificar o tempo como variável independente 
e a quantidade de substância como variável dependente.
Assim, verificamos que a existência de uma função está diretamente ligada 
à relação entre variáveis. Porém, nem toda relação é função. Outra característica 
importante que define uma função é o fato de que cada valor atribuído à variável 
independente deve estar associado a um único valor da variável dependente.
Por exemplo, na situação apresentada anteriormente, cada valor da variável 
tempo (em meses) está associado com um único elemento da variável quantidade 
de substância. Em outras palavras, a cada mês o paciente possui uma determinada 
quantidade da medicação em seu organismo. Desse modo não faria sentido algum, 
e também descaracterizaria a definição de função, se disséssemos que após um 
mês há 0,5 e 0,7 unidades da substância no organismo do paciente.
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
70
O conjunto A de valores que podem ser atribuídos a x é chamado de 
domínio da função e usualmente representado pela letra D. A variável x é chamada 
de variável independente.
O valor de y, correspondente a determinado valor atribuído a x, é chamado 
imagem de x pela função f e é representado por f(x). A variável y é chamada de 
variável dependente, porque y assume valores que dependem dos correspondentes 
valores de x.
Existe um interesse especial no estudo de funções em que y ∈ B pode ser 
calculado a partir de x ∈ A por meio de uma fórmula, regra ou lei algébrica, isto 
porque muitos fenômenos físicos podem ser melhor compreendidos se modelados 
matematicamente através de uma função.
 Exemplos:
a) A lei de correspondência f que associa cada x ∈ R ao número y ∈ R, sendo y o 
dobro de x, é uma função definida pela fórmula: f: R  R  f(x) = y = 2x.
b) A regra f que associa a cada número real x ∈ R o número y ∈ R, sendo y o cubo 
de x, é f: R  R  f(x) = y = x3.
4 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Quando estamos analisando uma função, é importante sabermos qual o 
domínio dessa função, pois é ele que vai determinar os valores possíveis para a 
variável independente.
Matematicamente, representamos:
D( f ) = {x ∈ A y = f(x)} f ⊂ (A × B)
Ou seja, o domínio de uma função f corresponde aos valores de x que 
pertencem ao conjunto A e que estão relacionados com os valores de y pertencentes 
a B, através de uma lei matemática f(x).
 Exemplos:
a) Seja a função real dada pela expressão f(x) = .
TÓPICO 1 | RELAÇÕES E FUNÇÕES
71
A função f expressa anteriormente pela lei algébrica f(x) = foi definida 
no conjunto dos números reais. Isto implica que qualquer valor de entrada x ∈ R 
e, consequentemente, em detrimento do valor de x, obteremos um valor de y = f(x) 
∈ R. Disto deduziríamos que o domínio desta função é D( f ) = R. No entanto, é 
importante observar que para x = 2 teríamos a expressão 
0
3 , que não é definida nos 
reais, ou seja, que não resultará em uma imagem para y = f(x). Assim, o conjunto 
domínio desta função passa a ser um subconjunto de R, pois a restrição a x = 2 é 
necessária. Temos então que:
D( f ) = {x ∈ R x ≠ 2}, ou simplesmente: D( f ) = R – {2}
b) Seja a função real f: R  R (lê-se: f de R em R), dada pela expressão f(x) = .
Assim como o exemplo anterior, também esta função, apesar de definida no 
conjunto dos números reais, sofre restrições quanto ao seu domínio. Considerando 
que no conjunto dos números reais não está definida a operação de radiciação com 
índice par para radicando negativo, ou seja, para esta lei apresentada, não existe 
a possibilidade de atribuirmos valores para x < 0, pois invalidarão a operação de 
raiz quadrada. Há que se fazer uma restrição no conjunto domínio desta função. 
Assim, temos que:
D( f ) = {x ∈ R x ≥ 0}, ou simplesmente: D( f ) = R+
c) Seja a função real f: R  R, expressa pela lei algébrica f(x) = 2x.
Observe que esta lei algébrica não impõe qualquer tipo de restrição quanto 
ao seu domínio, exceto se estivermos nos referindo a determinado contexto onde 
x represente tempo ou unidade monetária ou quantidades inteiras, por exemplo. 
Neste caso, temos apenas que:
D( f ) = {x ∈ R}, ou simplesmente: D( f ) = R
d) A situação seguinte nos remete a restrições acerca do domínio de uma função, 
dado o contexto a que se refere: 
“Uma microempresa especializada em lanches investe R$ 1.500,00 em 
equipamentos e gasta mais R$ 1,50 para cada lanche produzido. A equação C(q) 
= 1.500 + 1,50q representa esta situação algebricamente, onde C é a variável que 
expressa o custo em função da quantidade q de lanches.”
Neste caso, o domínio da função refere-se ao conjunto de possíveis valores 
atribuídos a q (quantidade de lanches produzida) que determinarão o custo C. 
Observe que q pressupõe um valor inteiro não negativo, ou simplesmente um 
número natural, assim temos:
D( f ) = {q ∈ N}, ou simplesmente: D( f ) = N
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
72
Com relação à imagem de uma função, definimos que dado x ∈ A, y ∈ B 
e uma relação do tipo função de A em B, chamamos de imagem de f ao conjunto 
composto pelos elementos y ∈ B que estão associados a x ∈ A através de f. 
Matematicamente, representamos:
Im( f ) = { y ∈ B y = f(x)} f ⊂ (A × B)
A existência da imagem y pressupõe um valor x que esteja associado a y 
através de uma relação do tipo função f(x).
Exemplos: Vamos analisar os mesmos casos que tomamos como exemplo 
para o estudo do domínio de uma função.
a) Seja a função real dada pela expressão f(x) = .
Ao domínio de f(x) atribuímos o conjunto D( f ) = {x ∈ R x ≠ 2}, devido à 
restrição quanto ao valor x = 2. Já a imagem consiste no conjunto de valores que 
f(x) pode assumir dados os valores atribuídos a x. Observe que f(x) pode assumir 
valores inteiros, positivos, negativos dependendo do valor que x assumir, mas 
jamais poderá ser zero, pois não existe um valor para o qual 3 possa ser dividido, 
resultando em um quociente zero. Assim, determinamos o conjunto imagem desta 
função:
Im( f ) = {y ∈ R y ≠ 0}, ou simplesmente: Im( f ) = R*
b) Seja a função real f: R  R, dada pela expressão f(x) = .
 Para o domínio temos D( f ) = {x ∈ R x ≥ 0}, ou seja, todos os reais não 
negativos, o que ocasionará um conjunto imagem com a mesma característica. 
Assim:
Im( f ) = {y ∈ R y ≥ 0}, ou simplesmente: Im( f ) = R+
c) Seja a função real f: R  R, expressa pela lei algébrica f(x) = 2x.
Para o domínio desta função não houve restrições, exceto que x fosse 
um número real, o qual simbolizamos por D( f ) = {x ∈ R}. Igualmente a imagem 
terá a mesma característica, ou seja, para valores reais atribuídos a x na função f, 
resultarão valores reais y.
Im( f ) = {y ∈ R}, ou simplesmente: Im( f ) = R
d) Para a situação que analisamosno exemplo (d) ao estudarmos o domínio de 
uma função, cuja lei de formação é expressa por C(q) = 1.500 + 1,50q, o domínio 
ficou restrito ao conjunto dos números naturais, pois se referia à quantidade de 
lanches produzidos. Já o conjunto imagem será os reais não negativos, visto que a
TÓPICO 1 | RELAÇÕES E FUNÇÕES
73
produção de 9 lanches, por exemplo, irá gerar um custo de C(9) = 1.500 + 1,50(9) = 
1.513,50 que não pertence ao conjunto dos números naturais.
Im( f ) = {C ∈ R+}, ou simplesmente: Im( f ) = R+
5 CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES
5.1 FUNÇÃO INJETORA
Uma função f ⊂ (A × B) é dita injetora se é uma relação um a um, ou seja, 
se para cada elemento distinto do domínio, x ∈ A, está associado um elemento 
distinto da imagem, y ∈ B.
Matematicamente, representamos:
Se f ⊂ (A × B) é injetora, então, ∀x ∈ A, y ∈ B, x1 ≠ x2 ⇒ ∃y1 ≠ y2
Exemplos:
a) Seja a função f: A  B, definida pela lei matemática f(x) = x + 1.
Observe que f é injetora, pois a cada elemento do conjunto de entrada A 
está associado um elemento do conjunto de saída B.
A representação por diagramas de Venn permite visualizar melhor esta 
relação um a um:
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
74
b) Sejam A = B = Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, ou seja, A e B correspondem ao 
conjunto dos números inteiros, e admita a função f: Z  Z, dada pela lei algébrica 
y = f(x) = x, também chamada de função identidade, pois a cada elemento x faz-se 
corresponder um y de mesmo valor. 
Observe que esta função é sobrejetora, pois para cada valor de Z do 
domínio, há relacionada uma imagem de mesmo valor em Z. Assim, dizemos que 
Im( f ) = Z = B.
A representação gráfica desta função é apresentada a seguir:
b) Seja f: R  R, expressa pela lei algébrica f(x) = x2. Esta aplicação não é injetora, 
pois dois valores distintos do conjunto de entrada estão associados a um mesmo 
valor do conjunto de saída. Por exemplo, para x = 3 e para x = -3, temos que f(3) = 
f(-3) = 9, o que não atende à definição de função injetora.
5.2 FUNÇÃO SOBREJETORA
Uma função f ⊂ (A × B) é dita sobrejetora se a imagem for constituída 
por todo o conjunto B, ou seja, todos os elementos de B estiverem envolvidos na 
relação.
Matematicamente, representamos:
Se f ⊂ (A × B) é sobrejetora, então, Im( f ) = B
Exemplos:
a) Seja f: A  B, expressa pela lei algébrica f(x) = x2. Observe que f é sobrejetora, 
pois o conjunto imagem é Im( f ) = R, que é o próprio conjunto B. Observe a relação 
explicitada no diagrama a seguir:
TÓPICO 1 | RELAÇÕES E FUNÇÕES
75
FONTE: A autora
Para a representação gráfica das funções, foi usado um software gratuito chamado 
GRAPHMATICA for Win32 v.2., disponível em:< windows.dailydownloads.net/.../graphmatica_
for_win32_2-0-download/>. Acesso em: 24 maio 2009.
c) Seja A = B = R, onde R é o conjunto dos números reais. A função f: R  R definida 
pela lei algébrica f(x) = 2x² + 4x – 1 não é sobrejetora, pois não existe x em R tal que 
f(x) = -4, por exemplo. 
 Observe que, ao tentarmos encontrar um valor de x para o qual f(x) = -4, 
obtemos uma equação do 2º grau completa que, resolvida através da fórmula de 
Bhaskara, não admite soluções reais:
f(x) = 2x² + 4x – 1 (função do 2º grau)
- 4 = 2x² + 4x – 1 (equação do 2º grau)
2x² + 4x + 3 = 0 (equação do 2º grau completa, onde a = 2, b = 4, c = 3)
∆ = b2 – 4ac
GRÁFICO 1 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO 
NOTA
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
76
∆ = 42 – 4⋅2⋅3
∆ = 16 – 24 
∆ = - 8 
x = 
x = , como f está definida em R, não há solução, uma vez que 
∉ R.
Segue a representação gráfica desta função:
FONTE: A autora
Observe pelo gráfico que as coordenadas do ponto de mínino para o qual 
existe imagem é x = -1 que gera y = -3, que são as coordenadas do vértice desta curva 
denominada parábola, gerada pela função f(x) = 2x² + 4x + 3, a qual estudaremos 
com propriedade no próximo tópico.
Como f: A  B, onde A = B = R, então Im( f ) ≠ B, o que não a classifica como 
uma função sobrejetora.
GRÁFICO 2 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO 
TÓPICO 1 | RELAÇÕES E FUNÇÕES
77
5.3 FUNÇÃO BIJETORA
Uma função f ⊂ (A × B) é dita bijetora se for, simultaneamente, injetora 
e sobrejetora, ou seja, se para diferentes valores de x ∈ A estiverem associados 
diferentes valores de y ∈ B e ainda se todos os elementos de B possuírem um 
elemento do domínio associado através de f.
Matematicamente, representamos:
Se f ⊂ (A × B) é bijetora, então f é, simultaneamente, injetora e sobrejetora.
 Exemplos:
a) Considere o diagrama que representa a função f: A  B, definida por fl(x) = 2x + 1.
De acordo com o que vimos anteriormente, a função f é, ao mesmo tempo, 
sobrejetora e injetora. Trata-se, portanto, de uma função bijetora, pois cada 
elemento distinto de A possui uma imagem distinta em B (injetora) e o conjunto 
Im( f ) = B (sobrejetora).
b) O exemplo (b) que apresentamos para as funções sobrejetoras, cuja função 
definida em Z e dada pela lei algébrica f: Z  Z  y = f(x) = x, além de sobrejetora 
é também injetora, pois diferentes elementos x ∈ Z (conjunto de entrada) estão 
associados com diferentes elementos y ∈ Z (conjunto de saída). Assim, a função y = 
x é uma função bijetora. O gráfico apresentado, no item (b) das funções sobrejetoras, 
evidencia isto.
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
78
6 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE RELAÇÕES 
MATEMÁTICAS
6.1 PAR ORDENADO 
No estudo das funções, necessitamos trabalhar com pares ordenados de 
elementos de dois conjuntos dados, considerando-os numa ordem preestabelecida. 
Desse modo definimos que:
Sejam os conjuntos A e B (não vazios); chamamos de par ordenado dos 
elementos de A e B ao par (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B, nesta ordem.
 Exemplos: Sejam A = {1, 3, 8} e B = {2, 5, 7, 9}, logo, temos:
(1, 2) é par ordenado de A e B, pois 1 ∈ A e 2 ∈ B.
(4, 2) não é par ordenado de A e B, pois 4 ∉ A e 2 ∈ B.
(8, 2) é par ordenado de A e B, pois 8 ∈ A e 2 ∈ B.
(1, 9) é par ordenado de A e B, pois 1 ∈ A e 9 ∈ B.
(7, 12) não é par ordenado de A e B, pois 7 ∉ A e 12 ∉ B.
Observe que a é a primeira componente do par ordenado e b é a segunda 
componente, permitindo que se distinga o par ordenado de coordenadas (a, b) do 
par ordenado de coordenadas (b, a), exceto no caso em que a = b. 
Observe também que a definição indica a ∈ A e b ∈ B. Naturalmente que 
os conjuntos A e B podem ser iguais, definindo-se assim pares ordenados de dois 
elementos de um mesmo conjunto. Os conjuntos A e B não são, necessariamente, 
conjuntos numéricos. Podemos relacionar, por exemplo, “o conjunto A dos nomes” 
com “o conjunto B dos números dos registros gerais ou CPF”.
Podemos ter também ternas ordenadas, implicando uma terceira 
componente, por exemplo, a relação entre “o conjunto A dos anos de fabricação dos 
automóveis” com “o conjunto B dos modelos dos automóveis” com “o conjunto C 
das cores dos automóveis”. Ternas ordenadas do tipo (2007, Gol, preto) podem 
pertencer a essa relação entre A, B e C.
6.2 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Consideremos num plano os eixos x e y, perpendiculares, que se cruzam 
num ponto O, chamado origem. Eles determinam quatro quadrantes: I, II, III e IV.
Cada ponto do plano é determinado por um par ordenado de números.
TÓPICO 1 | RELAÇÕES E FUNÇÕES
79
FONTE: A autora
• Ponto A(5, 4)  ponto A de coordenadas 5 e 4: a abscissa (x) é 5 e a ordenada 
(y) é 4. O ponto A pertence ao I quadrante.
• Ponto C(-3, 1)  ponto C de coordenadas –3 e 1: a abscissa (x) é –3 e a ordenada 
(y) é 1. O ponto C pertence ao II quadrante.
A ordem em que os números aparecem no par é importante; o ponto A(5, 
4) é distinto do ponto B(4, 5).
A um sistema de eixos perpendiculares com essa característica damos o 
nome de sistema cartesiano ortogonal ou sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais.
GRÁFICO 3 – SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
6.3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO
Vamos agora construir gráficos de funções determinadas por leis y = f(x) 
em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.Para construir o gráfico de uma função dada por y = f(x), com x ∈ D, no 
plano cartesiano, devemos:
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
80
x y = 3x (x, y)
-2 -6 (-2, -6)
-1 -3 (-1, -3)
0 0 (0, 0)
3 (1, 3)
2 6 (2, 6)
3 9 (3, 9)
FONTE: A autora
GRÁFICO 4 – GRÁFICO DA FUNÇÃO f: R  R, dada por f(x) 
 = 3x
• construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente em D e com 
valores correspondentes para y = f(x);
• a cada par ordenado (x, y) da tabela associar um ponto do plano cartesiano;
• marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico 
da função.
 Exemplo:
a) Construir o gráfico da função f: R  R, dada por f(x) = 3x.
TÓPICO 1 | RELAÇÕES E FUNÇÕES
81
b) Construir o gráfico da função f: R  R, dada por f(x) = -x2.
x y = x2 (x, y)
-2 -4 (-2, -4)
-1 -1 (-1, -1)
0 0 (0, 0)
1 -1 (1, -1)
2 -4 (2, -4)
FONTE: A autora
Para a execução dos gráficos, usou-se o software Grapes 6.71, disponível em: 
<www.baixaki.com.br/busca.asp?q=funcoes...3->. Acesso em: 20 maio 2009.
7 FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE
Vamos analisar as seguintes situações.
• O gráfico a seguir mostra a população brasileira de 1940 a 1990. 
Pelo gráfico, notamos o aumento da população em função do aumento do 
tempo (dado em anos), ou seja, a relação é crescente.
GRÁFICO 5 – GRÁFICO DA FUNÇÃO f: R  R, dada por f(x) = -x2
NOTA
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
82
FONTE: A autora
• Este gráfico mostra um tanque de água se esvaziando. Pelo gráfico, notamos 
a diminuição do volume de água em função do aumento do tempo (dado em 
minutos), ou seja, a curva é decrescente.
FONTE: A autora
Algumas relações não são apenas crescentes ou decrescentes, podendo 
assumir as duas características em intervalos diferentes do seu domínio. 
Por exemplo, o gráfico ao lado apresenta o comportamento de um projétil 
ao ser lançado, relacionando sua altura h (em metros) e o tempo t (em segundos). 
GRÁFICO 6 – POPULAÇÃO BRASILEIRA DE 1940 A 1990 (DADOS FICTÍCIOS)
GRÁFICO 7 – TANQUE DE ÁGUA SE ESVAZIANDO (DADOS FICTÍCIOS)
TÓPICO 1 | RELAÇÕES E FUNÇÕES
83
Observe que no intervalo de 0 a 3 segundos a função é crescente e no 
intervalo de 3 a 6 segundos a função é decrescente.
FONTE: Giovanni; Bonjorno, 2000, p. 143
Considerando dois elementos quaisquer x1 e x2 de um subconjunto A 
do domínio de uma função f, dizemos que:
• f é função crescente em A, quando para x1 < x2 temos f(x1) < f(x2);
• f é função decrescente em A, quando para x1 < x2 temos f(x1) > f(x2).
GRÁFICO 8 – COMPORTAMENTO DE UM PROJÉTIL
84
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Quanto à definição de função:
Uma relação R ⊂ (A × B) é dita aplicação, função ou transformação se:
i) D(R) = A, todos os elementos x de A estão envolvidos na relação;
ii) para cada elemento x ∈ A existe um único elemento y ∈ B que lhe corresponde.
• Quanto ao domínio e imagem de uma função f: A  B:
• D( f ) = {x ∈ A y = f(x)} f ⊂ (A × B);
• Im( f ) = { y ∈ B y = f(x)} f ⊂ (A × B)
• Quanto às classificações das funções:
• Injetora: diferentes elementos x ∈ A, estão associados diferentes elementos y 
∈ B.
• Sobrejetora: todos os elementos de y ∈ B são imagens de elementos x ∈ A, ou 
seja, Im(f) = B.
• Bijetora: é simultaneamente injetora e sobrejetora.
• Quanto ao comportamento das funções:
• Crescente: f é função crescente em A, quando para x1 < x2 temos f(x1) < f(x2).
• Decrescente: f é função decrescente em A, quando para x1 < x2 temos f(x1) > f(x2).
85
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades referentes 
aos conceitos e definições estudadas neste tópico.
1 Determine a lei algébrica de cada uma das seguintes funções reais:
a) f1 associa a cada número real seu dobro.
b) f2 associa cada número real a seu quadrado.
c) f3 associa cada número real a seu triplo menos 1.
2 Determine a lei algébrica de cada uma das seguintes funções, estabelecendo 
os conjuntos domínio e imagem:
a) f1 é a função de R* em R*, que associa a cada número real seu inverso.
b) f2 é a função de N em N, que associa a cada número natural o quadrado de 
seu sucessor.
c) f3 é a função de R+ em R+, que associa a cada número real sua raiz quadrada.
3 Determine o domínio de cada uma das seguintes funções reais:
4 Associe V para verdadeiro ou F para falso a cada uma das seguintes 
afirmações:
a) ( ) A função f: R+  R+ definida por f(x) = x2 é injetora.
b) ( ) A função f: R  R definida por f(x) = x + 1 é bijetora.
c) ( ) A função f: {0, 1, 2, 3}  R definida por y = x – 1 não é sobrejetora.
d) ( ) A função f: {0, 1, 2, 3}  N definida por y = x + 1 é injetora.
e) ( ) A função f: R  R definida por f(x) = x2 + 1 é bijetora.
f) ( ) A função f: N  R+ definida por y = x é bijetora.
5 Seja a função real dada por f(x) = x + 2. Represente-a graficamente e 
classifique-a em crescente ou decrescente.
6 Observe o gráfico da função a seguir:
86
FONTE: Giovanni; Bonjorno (2000, p. 144)
a) Determine os intervalos em que a função é crescente.
b) Determine os intervalos em que a função é decrescente.
c) O que ocorre com a função no intervalo de x = 1 a x = 2?
7 Construa o gráfico da função f: R  R dada por f(x) = x2. Analise e verifique 
se ela é crescente ou decrescente.
8 Num tanque, as variações na população de espécies de peixes A, B e C são 
descritas, no período de 10 meses, pelo gráfico:
FONTE: Disponível em: <http://www.portalimpacto.com.br/docs/
AldoUEPARevisao03.pdf>. Acesso em: 24 ago. 2009.
GRÁFICO 9 – GRÁFICO DE FUNÇÃO
GRÁFICO 10 – VARIAÇÕES NA POPULAÇÃO DE ESPÉCIES DE PEIXES
87
 Quais afirmações a seguir são verdadeiras?
a) ( ) No período de 0 a 2 meses, a população B manteve-se menor que a C.
b) ( ) No quinto mês, havia menos de 3.500 peixes nesse tanque.
c) ( ) No período de 0 a 5 meses, as populações B e C mantiveram-se crescentes.
d) ( ) A população C atingiu o seu máximo no terceiro mês.
e) ( ) No período de 3 a 7 meses, a população B manteve-se maior que a A.
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 8
88
89
TÓPICO 2
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 
1º GRAU
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
As funções polinomiais de uma variável aparecem com frequência em 
diversos tipos de problemas nas mais variadas áreas do conhecimento. 
O estudo mais detalhado de algumas funções polinomiais, em especial a de 
1º e 2º graus, pode nos levar mais facilmente a resolver diversos tipos de problemas 
relacionados às áreas de Administração e Contabilidade.
Neste tópico vamos estudar características que definem a função polinomial 
do 1º grau, sua representação algébrica e gráfica.
2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO 
AFIM
Observe a situação a seguir:
“Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 230,00. Após um 
saque no caixa eletrônico que fornece apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo é 
dado em função do número x de notas retiradas. A lei da função é dada por f(x) = 
230 – 50x ou f(x) = -50x + 230 ou y = -50x + 230.” (DANTE, 2005, p. 73).
A lei de formação y = -50x + 230 é uma função polinomial do 1º grau ou 
função afim, pois atende à seguinte definição:
Uma função f: R  R chama-se função polinomial do 1º grau ou função 
afim quando existem dois números reais a e b, tal que f(x) = ax + b, 
para todo x ∈ R.
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
90
3 CASOS PARTICULARES DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 
1º GRAU
3.1 FUNÇÃO LINEAR
É toda função f: R  R, definida por f(x) = ax, para todo x ∈ R. Observe que, 
neste caso, a ≠ 0 e b = 0, por isso se trata de um caso particular de função do 1º grau.
Essa função pode ser utilizada para representar o faturamento de uma 
empresa (receita); por exemplo: um produto é vendido a R$ 15,00 a unidade (preço 
constante). A função receita pode ser representada por R(x) = 15x, ou seja, trata-se 
de uma função linear.
Outros exemplos: 
• f(x) = 2x (a = 2, b = 0)
• f(x) = -4x (a = -4, b = 0) 
• f(x) = x (a = , b = 0)
A representação gráfica da função polinomialdo 1º grau ou função afim é 
uma reta não vertical. No caso da função linear, esta reta sempre conterá o ponto 
de coordenadas (0, 0), ou seja, sempre passará pela origem do sistema cartesiano.
Como exemplo, observe a seguir os gráficos das funções lineares f(x) = 2x 
e f(x) = -2x. Para isso, vamos construir uma tabela, atribuindo alguns valores a x e 
determinando os respectivos correspondentes de f(x) através da lei de formação 
de cada uma das funções.
a) f(x) = 2x
x -2 -1 0 1 2
f(x) -4 -2 0 2 4
b) f(x) = -2x
x -2 -1 0 1 2
f(x) 4 2 0 -2 -4
TÓPICO 2 | FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
91
3.2 FUNÇÃO CONSTANTE
FONTE: A autora FONTE: A autora
É toda função f: R  R, definida por f(x) = b, para todo x ∈ R. Observe que, 
neste caso, a = 0.
Essa função pode ser utilizada para representar os custos fixos de uma 
empresa, tais como aluguel, despesas administrativas etc. Por exemplo: uma 
empresa tem um custo fixo de R$ 1.200,00 mensais referente a aluguel de imóvel. 
Observe que este valor não depende de nenhuma variável, ou seja, independente 
da produção mensal ou das vendas, o valor do aluguel é constante.
Outros exemplos: 
• f(x) = 3 (a = 0, b = 3)
• f(x) = -1 (a = 0, b = -1) 
• f(x) = 0 (a = b = 0)
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x, que passa pelo 
ponto (0, b). Nesse caso, a Im( f ) = {b}, pois, qualquer variação provocada em x, não 
altera o valor de y. Observe isto nos exemplos dos gráficos a seguir:
GRÁFICO 11 – FUNÇÃO LINEAR F(X) = 2X GRÁFICO 12 – FUNÇÃO LINEAR f(x) = -2x
x -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2
f(x) 3 3 3 3 3 f(x) -3 -3 -3 -3 -3
a) f(x) = 3 b) f(x) = -3
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
92
FONTE: A autora FONTE: A autora
3.3 FUNÇÃO IDENTIDADE
É toda função f: R  R, definida por f(x) = x, para todo x ∈ R. Observe que, 
neste caso, a = 1 e b = 0.
O gráfico da função identidade é bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, 
divide o 1º e 3º quadrantes, definindo ângulos de 45º em cada um deles.
f(x) = x
x -2 -1 0 1 2
f(x) -2 -1 0 1 2
FONTE: A autora
GRÁFICO 13 – FUNÇÃO CONSTANTE f(x) = 3 GRÁFICO 14 – FUNÇÃO CONSTANTE f(x) = -3
GRÁFICO 15 – FUNÇÃO IDENTIDADE f(x) = x 
TÓPICO 2 | FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
93
3.4 FUNÇÃO TRANSLAÇÃO
É toda função f: R  R, definida por f(x) = x + b, para todo x ∈ R. Observe 
que, neste caso, a = 1 e b ≠ 0.
a) f(x) = x + 2 b) f(x) = x - 2
x -2 -1 0 1 2 x -2 -1 0 1 2
f(x) 0 1 2 3 4 f(x) -4 -3 -2 -1 0
FONTE: A autora FONTE: A autora
O gráfico da função translação f(x) = x + b é uma reta paralela à função 
identidade, ou seja, à bissetriz do 1º e do 3º quadrante. 
Observe que o “deslocamento” ou a “translação” é dado a partir do valor 
de b da função, que determinará a intersecção com o eixo das ordenadas (eixo 
y). No exemplo (a) o valor de b corresponde a 2 e o gráfico sofre uma translação 
com relação à função identidade (em pontilhado) de duas unidades para cima. No 
exemplo (b) o valor de b corresponde a -2, provocando uma translação de duas 
unidades para baixo, interceptando o eixo y no ponto de coordenadas (0, -2).
GRÁFICO 16 – FUNÇÃO TRANSLAÇÃO f(x) 
 = x + 2
GRÁFICO 17 – FUNÇÃO TRANSLAÇÃO f(x) 
 = x - 2
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
94
4 DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO AFIM A PARTIR DE 
DOIS PONTOS DISTINTOS
Demonstra-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. 
Um dos importantes postulados da Geometria Plana, sintetizado por 
Euclides, afirma que “dois pontos distintos determinam uma reta”. De acordo com 
esse postulado, a construção do gráfico de uma função do 1º grau é feita obtendo-
se dois de seus pontos distintos e traçando-se a reta determinada por eles.
Também é possível determinar a lei de formação de uma função afim se 
conhecidos dois pontos distintos dessa função.
Para determinar a lei de formação de uma função afim y = ax + b, faz-se 
necessário encontrar os coeficientes que definem este tipo de função, ou seja, a e b.
Os exemplos a seguir apresentam uma forma de determinar f(x) a partir de 
dois pontos conhecidos:
 Exemplo 1: Dados o ponto P(2, 3), ou seja x = 2 e y = 3 (par ordenado) e o 
ponto Q(4, 5), ou seja x = 4 e y = 5, podemos encontrar a função que passa por estes 
pontos, montando um sistema de equações, levando em consideração que y = ax + b.
• Vamos substituir as coordenadas dos pontos P e Q, determinando o seguinte 
 sistema:
• Resolvendo o sistema através do Método da Adição, vamos multiplicar a 1ª 
 equação por (-1) e somar as equações, determinando assim o coeficiente a:
• Substituindo o valor de a em uma das equações que compõem o sistema, 
 determinamos o coeficiente b:
• Conhecidos os coeficientes a e b, podemos escrever a lei de formação da função 
 procurada, que neste caso é y = x + 1.
TÓPICO 2 | FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
95
 Exemplo 2: Determinar a função polinomial do 1º grau, cujo gráfico passa 
pelos pontos P(1, 2) e Q(3, 7).
• Sistema linear correspondente: 
• Resolução através do Método da Adição: 
• Substituindo o valor de a em uma das equações e determinando o coeficiente b:
• Função procurada: .
5 FUNÇÃO AFIM CRESCENTE E FUNÇÃO AFIM 
DECRESCENTE
Já vimos que uma função afim f(x) = ax + b (ou, simplesmente, y = ax + b) 
tem como gráfico uma reta não vertical, ou seja, não paralela ao eixo y.
A ordenada do ponto onde a reta intersecta o eixo y é sempre correspondente 
ao valor de b da função. 
O ângulo ∝ que a reta faz com o eixo x (quando a ≠ 0) é chamado ângulo 
de declividade da reta. Ele pode ser agudo, ou seja, entre 0o e 90º, ou obtuso, entre 
90º e 180º.
Ao valor de a da função, denominamos coeficiente angular ou inclinação 
da reta em relação ao eixo horizontal x. Quanto maior o valor absoluto de a, mais 
a reta se afasta da posição horizontal.
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
96
Sendo assim, para a ≠ 0, há duas possibilidades a se considerar:
• Função Crescente: a > 0
Quando a > 0, dizemos que a 
função afim é crescente, pois 
para qualquer x1 < x2 teremos 
f(x1) < f(x2). O ângulo ∝ é agudo.
• Função Decrescente: a < 0
Quando a < 0, dizemos que a função 
afim é decrescente, pois para 
qualquer x1 < x2 teremos f(x1) > f(x2).
O ângulo ∝ é obtuso.
Assim, o que determina se a função afim f(x) = ax + b, com a ≠ 0, é crescente 
ou decrescente é o sinal de a. Se a é positivo, ela é crescente; se a é negativo, ela é 
decrescente.
No caso de a = 0, o valor de f(x) permanece constante [f(x) = b] e o gráfico 
de f é a reta paralela ao eixo x que passa por (0, b).
97
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Quanto à definição de função afim:
Uma função f: R  R chama-se função polinomial do 1º grau ou função 
afim quando existem dois números reais a e b, tal que f(x) = ax + b, para todo x ∈ R.
• Quanto aos casos particulares da função afim:
• Função Linear: É toda função f: R  R, definida por f(x) = ax, para todo x ∈ R. 
Neste caso, a ≠ 0 e b = 0.
• Função Constante: É toda função f: R  R, definida por f(x) = b, para todo x ∈ 
R. Neste caso, a = 0.
• Função Identidade: É toda função f: R  R, definida por f(x) = x, para todo x 
∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0.
• Função Translação: É toda função f: R  R, definida por f(x) = x + b, para todo 
x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b ≠ 0.
• Quanto ao comportamento da função afim:
• Quando a > 0, dizemos que a função afim é crescente, pois para qualquer x1 < 
x2, teremos f(x1) < f(x2). O ângulo ∝ é agudo.
• Quando a < 0, dizemos que a função afim é decrescente, pois para qualquer x1 
< x2, teremos f(x1) > f(x2). O ângulo ∝ é obtuso.
98
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a)!
Resolva as seguintes autoatividades e verifique sua aprendizagem sobre 
os conteúdos abordados neste tópico.
1 Uma gerente de uma fábrica de móveis tem um custo fixo de R$ 10.000,00 por 
mês para manter a fábrica em condições de funcionamento, ou seja, mantero 
salário dos seus funcionários e os gastos com energia elétrica, água e telefone. 
Para cada unidade de móvel produzido na fábrica, há um custo variável de 
R$ 100,00. 
 
a) Apresente uma função que expresse o valor “y” do custo total mensal da 
indústria na produção de “x” unidades de móveis.
b) Calcule o custo da produção de 200 móveis.
c) Calcule o número de móveis produzidos, sabendo-se que o custo mensal de 
produção foi de R$ 58.000,00.
2 Dada a função y = - 4x + 20, faça o que se pede: 
 
a) Calcule o valor de x para que se tenha y = 48.
b) Calcule o valor de y para x = 3.
3 O gerente de uma loja compra um sapato por R$ 45,00 e o vende por R$ 75,00. 
A despesa com frete é de R$ 70,00. 
 
a) Determine uma função que represente o lucro do fabricante.
b) Quantos sapatos desse modelo a loja deverá comprar para ter um lucro de 
R$ 980,00?
4 Uma fábrica de móveis vende mesas por R$ 700,00 cada uma. O custo total de 
produção do fabricante consiste em uma sobretaxa de R$ 80.000,00, somada 
ao custo de produção de R$ 300,00 por mesa. 
a) Determine uma função que represente o lucro do fabricante.
b) Determine o número de mesas que o fabricante precisa vender para obter um 
lucro de R$ 60.000,00.
5 Classifique as funções a seguir em afim, linear, identidade, constante e translação:
a) y = 5x + 2 b) y = -x + 3 c) y = 7 d) y = x
e) y = 3x f) y = x + 5 g) y = -x + 2 h) y = -5
99
6 Esboce o gráfico das funções a seguir, classificando-as em crescentes, 
decrescentes ou constantes.
a) y = x + 1 b) y = 2x c) y = 6 d) y = -x
e) y = 2 – x f) y = -2 – 2x g) y = x h) y = 2x + 3
7 Escreva a função afim y = ax + b, cujo gráfico passa pelos seguintes pontos:
a) P(1, 5) e Q(-3, -7) b) P(-1, 7) e Q(2, 1) c) P(2, -2) e Q(1, 1)
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 4
100
101
TÓPICO 3
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 
2º GRAU
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, continuaremos com nosso estudo sobre funções polinomiais, 
agora apresentando as características que definem a função do 2º grau, ou função 
quadrática, sua representação algébrica e gráfica.
Este estudo envolve situações que requerem conhecimentos sobre plano 
cartesiano, pontos de máximo e mínimo, zeros da função e relações entre o gráfico 
e os coeficientes da função, os quais abordaremos na sequência.
2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU OU FUNÇÃO 
QUADRÁTICA
Observe a seguinte situação:
O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone 
é dado pela função C(x) = x2 – 86x + 2500, onde C(x) é o custo em dólares e x 
é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos 
diariamente para que o custo seja mínimo? (PAIVA, 2002, p.166).
A expressão que define o custo, C(x) = x2 – 86x + 2500, é uma função 
polinomial do 2º grau ou função quadrática, pois atende à seguinte definição:
Uma função f: R  R chama-se função polinomial do 2º grau ou função 
quadrática quando existem números reais a, b e c, tais que f(x) = ax2 + bx + c, 
com a ≠ 0, para todo 
x ∈ R.
102
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
Na função apresentada na situação anterior, temos que a = 1, b = -86 e c = 
2.500.
Outros exemplos:
• y = 2x2 – 4x + 3 (a = 2, b = -4, c = 3)
• f(x) = x2 – 4 (a = 1, b = 0, c = -4)
• y = 5x – 3x2 (a = -3, b = 5, c = 0)
• f(x) = - x2 (a = -1, b = 0, c = 0)
3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
Demonstra-se que o gráfico de uma função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com 
a, b e c ∈ R, e a ≠ 0, é uma parábola.
Essa parábola tem o eixo de simetria perpendicular ao eixo x e sua 
concavidade é voltada para o sentido positivo do eixo y, se a > 0, ou voltada para 
o sentido negativo do eixo y, se a < 0.
Observe os exemplos:
 Exemplo 1: Construir o gráfico da função y = x2 – 1, a partir da tabela de 
valores a seguir:
x y = x2 – 1 (x, y)
-3 8 (-3, 8)
-2 3 (-2, 3)
-1 0 (-1, 0)
0 -1 (0, -1)
1 0 (1, 0)
2 3 (2, 3)
3 8 (3, 8)
FONTE: A autora
GRÁFICO 18 – GRÁFICO DA FUNÇÃO y = x2 – 1
TÓPICO 3 | FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
103
Na função y = x2 – 1, a = 1, b = 0 e c = -1.
Observe que, como a > 0, a abertura da parábola, ou seja, a concavidade é voltada 
para cima.
Exemplo 2: Construir o gráfico da função y = -2x2 – 1, a partir da tabela de 
valores a seguir:
x y = -2x2 – 1 (x, y)
-2 -9 (-2, -9)
-1 -3 (-1, -3)
0 -1 (0, -1)
1 -3 (1, -3)
2 -9 (2, -9)
FONTE: A autora
Na função y = -2x2 – 1, a = -2, b = 0 e c = -1.
GRÁFICO 19 – GRÁFICO DA FUNÇÃO y = -2x2 – 1
Observe que, como a < 0, a abertura da parábola, ou seja, a concavidade é voltada 
para baixo.
IMPORTANT
E
IMPORTANT
E
104
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
4 PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA
Alguns pontos da parábola indicam características importantes em muitas 
situações-problema, como vértice e raízes. 
Essas situações-problema serão abordadas na próxima unidade de estudo. 
Agora, vamos nos limitar ao cálculo destes pontos notáveis.
4.1 OS PONTOS DE INTERSECÇÃO DA PARÁBOLA COM O 
EIXO X (SE EXISTIREM)
Os pontos de intersecção da parábola com o eixo x podem ser obtidos a 
partir da lei de formação da função, y = ax2 + bx + c, atribuindo-se zero à variável y 
e resolvendo a equação polinomial do 2º grau ax2 + bx + c = 0. 
Esta equação pode ser resolvida através da fórmula de Bhaskara, quando 
completa, ou através dos procedimentos estudados no Tópico 4 da Unidade 1, 
quando incompleta. Os valores decorrentes do processo de resolução são ditos 
raízes ou zeros da função.
Fórmula resolutiva para equações do 2º grau: , sendo que: ∆= b2 
- 4ac.
A partir das raízes resultantes da equação ax2 + bx + c = 0, temos alguns 
casos a considerar:
1º Caso: ∆ > 0 implica 2 raízes reais e distintas
Se a equação ax2 + bx + c = 0 tiver ∆ > 0, então ela terá duas raízes reais e 
distintas, ou seja, x1 ≠ x2. Assim, os pontos de intersecção da parábola com o eixo x 
são (x1, 0) e (x2, 0). 
Exemplo: Dada a função do 2º grau y = 2x2 – x – 1, para obtermos os pontos 
de intersecção da parábola com o eixo x, atribuímos zero à variável y e resolvemos 
a equação decorrente 2x2 – x – 1 = 0.
 Temos que: a = 2; b = -1; c = -1
NOTA
TÓPICO 3 | FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
105
Portanto, os pontos 
de intersecção da parábola 
com o eixo x serão (1, 0) e 
(-0,5; 0). Sabemos ainda que 
o coeficiente a = 2, o que 
implica que a concavidade 
da parábola seja para cima, 
gerando a curva apresentada 
na figura ao lado.
FONTE: A autora
2º Caso: ∆ = 0 implica 2 raízes reais e iguais
Se a equação ax2 + bx + c = 0 tiver ∆ = 0, então ela terá duas raízes reais 
e iguais, ou seja, x1 = x2. Assim, a parábola será tangente ao eixo x no ponto de 
abscissa x1 = x2.
 Exemplo: Dada a função do 2º grau y = -x2 + 6x – 9, obtenha o ponto de 
intersecção da parábola com o eixo x, atribuindo zero à variável y e resolvendo a 
equação decorrente -x2 + 6x – 9 = 0.
 Temos que: a = -1; b = 6; c = -9
FIGURA 3 – PARÁBOLA DA FUNÇÃO y = 2x2 – x – 1
106
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
O ponto de 
intersecção da parábola 
com o eixo x será (3, 0). 
Como o coeficiente a 
= -1, a concavidade da 
parábola será voltada 
para baixo, gerando a 
curva apresentada na 
figura ao lado.
FONTE: A autora
3º Caso: ∆ < 0 implica a inexistência de raízes reais
Se a equação ax2 + bx + c = 0 tiver ∆ < 0, então ela não terá raízes reais, ou 
seja, x1, x2 ∈ R. Assim, a parábola não terá ponto em comum com o eixo x.
 Exemplo: Dada a função do 2º grau y = -x2 + 4x – 5, verifique a inexistência 
de raízes reais, atribuindo zero à variável y e resolvendo a equação decorrente -x2 
+ 4x – 5 = 0.
 Temos que: a = -1; b = 4; c = -5
-x2 + 4x - 5 = 0 
∆ = b2 + 4ac
∆ = 42 - 4 . (-1) . (-5)
∆ = -4 
FIGURA 4 – PARÁBOLA DA FUNÇÃO y = -x2 + 6x – 9
TÓPICO 3 | FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
107
Como ∆ < 0, não 
há raízes reais, o que 
significa que a parábola 
correspondente à 
função não tem ponto 
em comum com o eixo 
x. Sabemos ainda que o 
coeficiente a =-1 e que, 
portanto, a concavidade 
é voltada para baixo, 
resultando na curva 
apresentada na figura ao 
lado.
FONTE: A autora
O quadro a seguir sintetiza o estudo que acabamos de fazer, sobre as raízes 
ou zeros da função polinomial do 2º grau.
FIGURA 5 – PARÁBOLA DA FUNÇÃO y = -x2 + 4x – 5
FONTE: A autora
QUADRO 3 – SÍNTESE SOBRE AS RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO 
 POLINOMIAL DO 2º GRAU
108
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
4.2 OS PONTOS DE INTERSECÇÃO DA PARÁBOLA COM O 
EIXO Y
Para obtermos o ponto de intersecção da parábola com o eixo y a partir da 
função y = ax2 + bx + c, basta atribuirmos zero à variável x:
y = ax2 + bx + c
y = a . 02 + b . 0 + c
y = c
Portanto, o ponto de intersecção da parábola com o eixo y possui 
coordenadas (0, c).
Exemplo: Dada a função y = x2 – 6x + 5, construa o gráfico da parábola, 
apresentando a(s) intersecção(ões) com eixo x e a intersecção com eixo y.
 Cálculo das raízes ou zeros da função:
Temos que: a = 1; b = -6; c = 5
TÓPICO 3 | FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
109
 Intersecção com eixo y: y = x2 - 6x + 5 ⇒ y = 02 - 6 . 0 + 5 ⇒ y = 5 
FONTE: A autora
FIGURA 6 – PARÁBOLA DA FUNÇÃO y = x2 – 6x + 5
4.3 O VÉRTICE DA PARÁBOLA
O vértice da parábola também é um ponto notável, pois determina valores 
de máximo, ou de mínimo, que expressam importantes informações acerca de 
uma determinada situação-problema que seja descrita pela função polinomial do 
2º grau.
Por se tratar de um ponto da parábola, o vértice fica determinado a partir da 
identificação de sua abscissa (xv) e de sua ordenada (yv), que podem ser calculadas 
da seguinte forma:
5 MÁXIMO OU MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Na fabricação de um produto, busca-se sempre o custo mínimo de produção 
e o lucro máximo. 
IMPORTANT
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110
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
5.1 VALOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Se o ponto V é vértice da parábola que representa graficamente a função do 2º 
grau f(x) = ax2 + bx + c, com a < 0, então a abscissa do vértice V, , é o ponto de 
máximo e a ordenada do vértice V, , é o valor máximo da função f.
 Exemplo: A estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser 
estudada através da função definida por y = – x2 + 120x – 2000, sendo y o lucro 
em reais quando a empresa vende x unidades de determinado produto. Com base 
nisso, determine quantas unidades do produto devem ser produzidas para que a 
empresa atinja o lucro máximo e qual é esse lucro máximo.
 unidades.
Assim, concluímos que devem ser fabricadas 60 unidades do produto para 
que o lucro seja máximo; e esse lucro é de R$ 1.600,00.
5.2 VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Se o ponto V é vértice da parábola que representa graficamente a função do 2º 
grau f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0, então a abscissa do vértice V, , é o ponto de 
mínimo e a ordenada do vértice V, , é o valor mínimo da função f.
 Exemplo: Em uma indústria de óleo comestível, o custo de produção y, 
por minuto, em função do número x de litros de óleo fabricados, por minuto, é 
dado por y = 2x2 – 40x + 250. Quantos litros de óleo devem ser fabricados, por 
minuto, para que o custo de produção, por minuto, seja mínimo? E qual é esse 
custo? (PAIVA, 2002, p.164).
 litros de óleo por minuto.
Assim, concluímos que devem ser fabricados 10 litros de óleo por minuto 
para que o custo seja mínimo; e esse custo é de R$ 50,00.
Os conceitos de valor máximo e de valor mínimo, fundamentais na 
Engenharia, Economia, Administração, Física etc. serão estudados neste item, 
especificamente para funções polinomiais do 2º grau.
111
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Quanto à definição de função do 2º grau ou função quadrática:
Uma função f: R  R chama-se função polinomial do 2º grau ou função 
quadrática quando existem números reais a, b e c, tais que f(x) = ax2 + bx + c, com 
a ≠ 0, para todo x ∈ R.
• Quanto às raízes ou zeros da função quadrática:
FONTE: A autora
• Quanto às coordenadas do vértice da parábola:
 
QUADRO 4 – SÍNTESE SOBRE AS RAÍZES OU ZEROS DA FUNÇÃO 
 POLINOMIAL DO 2º GRAU
112
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a)!
As autoatividades a seguir buscam averiguar seus conhecimentos sobre 
conceitos relacionados às funções quadráticas.
1 Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando:
(i) raízes da função (quando existirem); 
(ii) intersecção com eixo y;
(iii) coordenadas do vértice.
a) y = x2 - 3x + 2 e) y = 3x - x2
b) y = x2 - 5x + 4 f) y = 4 - x2 
c) y = -x2 + 7x - 12 g) y = x2 - 48
d) y = x2 - 2x + 1 h) y = 2x2 - 7x - 4
2 Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura h atingida por uma bala, em 
metros, em função do tempo t, em segundos, é dada por h(t) = -20t2 + 200t. 
Qual a altura máxima atingida pela bala? Em quanto tempo, após o tiro, a 
bala atinge a altura máxima?
3 Determine o valor máximo (mínimo) e o ponto de máximo (mínimo) de cada 
uma das funções:
a) y = 2x2 - 12x + 10 e) y = 3x2
b) y = -x2 + 4x + 5 f) y = x2 - 2x + 4
c) y = x2 - 9 g) y = -x2 + 3x - 5
d) y = -x2 + 16 h) y = -x2
113
TÓPICO 4
FUNÇÃO EXPONENCIAL
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento 
característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos 
juros compostos, importantes na matemática financeira.
Geralmente o crescimento de determinados seres vivos microscópicos, 
como as bactérias, acontece exponencialmente. Dessa forma, é comum o uso 
de funções exponenciais relacionado a problemas dessa natureza. Também a 
decomposição ou desintegração de determinadas substâncias acontece segundo 
um padrão exponencial. A chamada meia vida de uma substância é o tempo 
necessário para que ela reduza a sua massa pela metade. Eis aqui outro caso de 
aplicação das funções exponenciais.
O sistema de juros compostos também funciona de forma exponencial, 
assim como determinados processos de depreciação de um bem, ambos os modelos 
utilizados em Economia.
Neste tópico vamos estudar as características que definem uma função 
exponencial e sua representação gráfica.
2 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Observe a situação a seguir:
Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após 
aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O 
montante pode ser calculado pela fórmula M = C(1 + i)t. Supondo que o capital 
aplicado é de R$ 2.000.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante t anos, apresente 
a expressão algébrica que descreve esta situação.
Substituindo os dados na fórmula M = C(1 + i)t, obtemos a seguinte 
expressão algébrica M = 2.000.000·(1,12)t. Esta expressão que relaciona o montante 
M para um determinado tempo t é exemplo de uma função exponencial, tendo em 
vista que a variável independente t aparece no expoente.
114
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
Dado um número a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a 
toda função f: R  R*+ definida por f(x) = a
x ou y = ax.
No exemplo anterior, a função não está apresentada na forma ax, mas 
sim modificada por uma constante característica do fenômeno, que, no caso, 
corresponde ao capital inicial de R$ 2.000.000,00.
Outros exemplos:
• f(x) = 3x • f(x) = (0,4)x
• y = 5x • f(x) = ( )x
• f(x) = • f(x) = 10x
As restrições a > 0 e a ≠ 1 dadas na definição são necessárias, pois:
• Para a = 0 e x negativo, não existiria ax (não teríamos uma função definida em R).
• Para a < 0 e x = 
1_
2 , por exemplo, não haveria a
x (não teríamos uma função em R).
• Para a = 1 e x qualquer número real, ax = 1 (função constante).
3 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
A construção de gráficos de funções exponenciais segue dois modelos: 
quando o valor da base é maior que 1 (a > 1) e quando o valor da base está entre 0 
e 1 (0 < a < 1).
Observe os exemplos:
NOTA
TÓPICO 4 | FUNÇÃO EXPONENCIAL
115
FONTE: A autora
Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes, essas são 
características para qualquergráfico de função exponencial. 
No entanto, algumas particularidades devem ser observadas, quanto à 
base da função.
Observe que no exemplo (a) a função y = 2x é crescente. Isso ocorre sempre 
que a base for maior que 1. Observe também que, quanto menor for o valor de x, 
mais o gráfico da função se aproxima da reta suporte do eixo x, sem, no entanto, 
atingi-la. 
No exemplo (b), a função y = é decrescente. Isso ocorre sempre que a 
base estiver entre 0 e 1. Neste caso, quanto maior for o valor de x, mais o gráfico da 
função se aproxima do eixo x, sem, no entanto, atingi-lo.
Assim, pela observação das tabelas e dos gráficos dos exemplos anteriores, 
podemos concluir que, para uma função exponencial:
• D(f) = R, CD(f) = R*+, Im(f) = R
*
+, f(1) = a.
• O gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0, 1).
• O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV.
• Para a > 1 a função é crescente.
• Para 0 < a < 1, a função é decrescente.
• A função exponencial é sobrejetora: Im(f) = CD(f).
• A função exponencial é injetora.
• A função exponencial é bijetora.
• A função exponencial é ilimitada superiormente.
GRÁFICO 20 – FUNÇÃO EXPONENCIAL f(x) = 2x
116
UNIDADE 2 | A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES
Caso sinta necessidade, revise os conceitos de função sobrejetora, injetora e 
bijetora estudados no Tópico 1 desta unidade.
As ideias desenvolvidas no estudo da função exponencial f(x) = ax podem 
ser aplicadas em outras funções em que a variável aparece no expoente, como, por 
exemplo:
• f(x) = 2·3x
• f(x) = 5x-2
• f(x) = 5x – 2
ATENCAO
117
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
 Quanto à definição de função exponencial:
Dado um número a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base toda 
função f: R  R*
+
 definida por f(x) = ax ou y = ax.
 Quanto às restrições da função exponencial:
As restrições a > 0 e a ≠ 1 dadas na definição são necessárias, pois:
 Para a = 0 e x negativo, não existiria ax (não teríamos uma função definida em 
R).
 Para a < 0 e x = 1_
2
, por exemplo, não haveria ax (não teríamos uma função em 
R).
 Para a = 1 e x qualquer número real, ax = 1 (função constante).
 Quanto aos modelos exponenciais:
A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento 
característico de alguns fenômenos da natureza, bem como o funcionamento dos 
juros compostos, importantes na matemática financeira.
118
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a)!
Seguem algumas autoatividades acerca do conceito de função 
exponencial. 
Bom trabalho!
1 Identifique as seguintes funções como crescentes (C) ou decrescentes (D):
2 Construa o gráfico das seguintes funções, apresentando domínio e imagem:
a) f (x) = 3x b) 
3 O gráfico ao lado refere-se à função .
a) A função é crescente ou decrescente?
b) Qual o domínio e qual a imagem da função?
c) Para que valor de x tem-se y = 27__8 ?
d) Para quais valores de x tem-se y > 8__27 ?
e) Para quais valores de x tem-se y < 81__16 ?
FONTE: Bianchini; Paccola (2003, 
p. 134)
FIGURA 7 – GRÁFICO DA FUNÇÃO 
119
4 Estima-se que daqui a t anos o valor de uma fazenda seja igual a 500(3t) 
milhares de reais. Após dois anos, a valorização (aumento de valor) em 
relação a hoje será de:
a) ( ) 4 milhões de reais.
b) ( ) 3,5 milhões de reais.
c) ( ) 2 milhões de reais.
d) ( ) 1,5 milhão de reais.
e) ( ) 1 milhão de reais.
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 4
120
121
UNIDADE 3
APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E 
ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• compreender a importância do uso de modelos matemáticos na área de 
Administração e Economia, como recurso para tomada de decisões;
• reconhecer diferentes tipos de modelos: linear, quadrático, exponencial, 
bem como algumas de suas aplicações;
• identificar as funções custo, lucro e receita, enquanto modelos lineares e 
polinomiais de grau 2;
• reconhecer, sob a ótica matemática, conceitos como depreciação linear e 
ponto de nivelamento.
Esta unidade de ensino está dividida em três tópicos. No final de cada um 
deles você encontrará atividades que contribuirão para a apropriação dos 
conteúdos.
TÓPICO 1 – MODELOS LINEARES
TÓPICO 2 – MODELOS POLINOMIAIS
TÓPICO 3 – MODELOS EXPONENCIAIS
Assista ao vídeo 
desta unidade.
122
123
TÓPICO 1
MODELOS LINEARES
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Os modelos econômicos muitas vezes envolvem questões como fixação 
de preços, controle de custos e otimização de lucros. O lucro de uma empresa, 
por exemplo, pode ser expresso em função do preço de venda de um produto, o 
que nos permite representar algebricamente esta relação, fazendo uso de funções 
matemáticas.
 
Na unidade anterior procuramos dar uma ideia geral das principais 
funções utilizadas para modelar problemas nas áreas de Administração, Economia 
e Finanças. 
Após o estudo dessas funções, veremos, nesta unidade, algumas de suas 
aplicações.
2 VANTAGENS DOS MODELOS MATEMÁTICOS
Em Administração, Finanças e áreas correlatas, a Matemática demonstra 
grandes contribuições sob a forma de modelos que permitem realizar soluções de 
problemas empresariais, seja em âmbito de produção, comercialização, financeiro 
ou na própria área de administração geral. 
Grande parte das decisões administrativas pode ser tomada na base de 
soluções apresentadas em equações matemáticas que simulam algumas situações 
reais, que obedecem à determinada lei ou regularidade passível de ser representada 
matematicamente.
Em síntese, os modelos matemáticos servem para representar simplificações 
da realidade. Sua vantagem reside nisto; manipular simuladamente as complexas 
e difíceis situações reais por meio da simplificação da realidade, fazendo uso de 
técnicas matemáticas e lógicas que conduzem a soluções quantitativas.
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS
124
3 FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO DO 1º GRAU
Uma importante aplicação da Matemática está presente na Economia 
através das Funções Custo, Receita e Lucro. 
A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, 
indústria, loja, na produção ou aquisição de algum produto.
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção 
(ou simplesmente custo) depende de x, e a relação entre eles chamamos de função 
custo total (ou simplesmente função custo), e a indicamos por C.
“Por custos se entende o conjunto dos valores gastos por uma empresa 
para advir à venda de um produto, de uma mercadoria de serviço.” (SÁ; SÁ, 1989, 
p. 101).
No entanto, existem custos que não dependem da quantidade produzida, 
tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses custos que não dependem da 
quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por CF. A parcela do 
custo que depende de x chamamos de custo variável, e indicamos por CV.
Assim, temos que:
C = CF + CV
Verificamos também que, para x variando dentro de certos limites 
(normalmente não muito grandes), o custo variável é geralmente 
igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante 
é chamada de custo variável por unidade. (MORETTIN; HAZZAN; 
BUSSAB, 2003, p.59).
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma empresa ou 
entidade, dependendo, portanto, do número de vendas de determinado produto. 
Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita ao 
produto de x pelo preço de venda e a indicamos por:
R(x) = p·x
onde p representa o preço de mercado e x o número de mercadorias vendidas. 
A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a 
função custo C. Assim, indicando a função lucro por L, temos que:
L(x) = R(x) – C(x)
Seguem alguns exemplos de situações abordando as funções custo, receita 
e lucro do 1º grau.
TÓPICO 1 | MODELOS LINEARES
125
 Exemplo 1: O custo fixo mensal de fabricação de um produto é $ 5.000,00 
e o custo variável por unidade é $ 10,00. Então a funçãocusto total é dada por: C(x) 
= 5.000 + 10x. Representando a função custo no plano cartesiano, temos:
FONTE: A autora
Agora, suponha que este mesmo produto é vendido a $ 15,00 a unidade. A 
função receita será dada por: R(x) = 15x. O gráfico dessa função será uma semirreta 
passando pela origem, pois se trata de uma função polinomial do 1º grau com 
coeficiente linear igual a zero, ou seja, trata-se de uma função linear, conforme 
estudamos na Unidade 2.
FONTE: A autora
GRÁFICO 22 – GRÁFICO DA FUNÇÃO CUSTO C(X) = 5.000 + 10X
GRÁFICO 23 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA R(X) = 15X
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS
126
Se colocarmos o gráfico da função receita anterior e o da função custo num 
mesmo sistema de eixos obteremos a figura a seguir:
FONTE: A autora
Nessa figura, podemos observar que os gráficos interceptam-se num ponto; 
nesse ponto a receita e o custo são iguais e, consequentemente, o lucro é zero. 
A abscissa desse ponto é chamada de ponto de nivelamento ou ponto 
crítico e indicada por x*.
Observe que:
 Se x > x*, então R(x) > C(x) e portanto L(x) > 0 (lucro positivo).
 Se x < x*, então R(x) < C(x) e portanto L(x) < 0 (lucro negativo ou prejuízo).
 Exemplo 2: Dadas as funções custo C(x) = 5.000 + 10x e receita R(x) = 15x 
do exemplo anterior, determine:
GRÁFICO 24 – GRÁFICO DA FUNÇÃO RECEITA E DA FUNÇÃO CUSTO 
 NUM MESMO SISTEMA DE EIXOS 
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | MODELOS LINEARES
127
a) O ponto de nivelamento.
b) A função lucro.
O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x), assim, temos que:
15x = 5.000 + 10x
15x - 10x = 5.000
5x = 5.000
x = 5000____
5
 
x = 1.000
Assim, se x > 1.000, o lucro será positivo e, se x < 1.000, o lucro será negativo, 
indicando prejuízo.
A função lucro, por sua vez, é determinada através da diferença entre a 
receita e o custo, ou seja: L(x) = R(x) – C(x), assim, temos que:
L(x) = 15x - (5.000 + 10x)
L(x) = 15x - 5.000 - 10x
L(x) = 5x - 5.000
Observe que, para x = 1.000, obteremos L(x) = 0, ou seja, o ponto de 
nivelamento indica a quantidade para a qual não há nem lucro, nem prejuízo. E, 
como já havíamos inferido acima, a partir deste valor, x > 1.000, teremos L(x) > 0 e 
abaixo, implicará L(x) < 0.
3.1 DOMÍNIO DISCRETO E DOMÍNIO CONTÍNUO
Nas funções custo, receita e lucro, a variável x geralmente representa a 
quantidade de determinado produto.
Se o produto em questão for indivisível (por exemplo, número de camisetas 
produzidas/vendidas), os valores de x serão 0, 1, 2, 3, ..., e o gráfico será um conjunto 
de pontos alinhados. 
Caso o produto seja divisível (como toneladas de grãos produzidos), os 
valores de x serão reais positivos, e o gráfico será a semirreta da figura a seguir, 
pois trata-se de uma função do 1º grau.
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS
128
FONTE: Morettin; Hazzan; Bussab (2003, p. 59) FONTE: Morettin; Hazzan; Bussab (2003, 
p. 59)
Quando nada for dito a respeito das características do produto, admitiremos 
que o mesmo seja divisível, sendo o gráfico então uma curva contínua.
4 DEPRECIAÇÃO LINEAR
Devido ao desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem 
diminui com o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo chama-se depreciação.
Assim, o gráfico do valor em função do tempo é uma curva decrescente. 
Nesse item, vamos admitir que a curva de valor seja retilínea.
 Exemplo: O valor de uma máquina hoje é de R$ 10.000,00 e estima-se que 
daqui a 6 anos seja R$ 1.000,00.
a) Qual o valor da máquina daqui a x anos?
b) Qual sua depreciação total daqui a x anos?
Considerando que o valor decresça linearmente com o tempo, o gráfico do 
valor é dado pela figura a seguir:
FIGURA 8 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO 
 DISCRETO
FIGURA 9 – FUNÇÃO CUSTO COM DOMÍNIO 
 CONTÍNUO
TÓPICO 1 | MODELOS LINEARES
129
FONTE: A autora
Para determinar a expressão algébrica que expressa o valor da máquina 
daqui a x anos, vamos considerar os dois pontos conhecidos: A(0, 1.000) e B(6, 
1.000) e determinar a função dos coeficientes da função y = ax + b, conforme 
estudamos no item 4 do Tópico 2 da unidade anterior.
Desse modo, temos que:
y = ax + b
Da primeira equação, concluímos que b = 10.000. Substituindo o valor de b 
na segundo equação, temos que:
6a + 10.000 = 1.000
6a = 1.000 - 10.000
6a - 9.000
a = -9.000______6
a = 1.500
Portanto, considerando que a depreciação da máquina é linear, a função 
que determina seu valor daqui a x anos é expressa por V(x) = -1.500x + 10.000, cuja 
representação foi apresentada no gráfico anterior.
GRÁFICO 25 – GRÁFICO DO VALOR DA MÁQUINA EM FUNÇÃO DO TEMPO
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS
130
A depreciação total para determinada data x, será a expressão resultante 
da diferença entre o valor inicial do bem e a função que determina sua variação 
de valor no decorrer do tempo x, ou seja: D(x) = Vo – V(x), onde Vo corresponde ao 
valor do equipamento quando novo, que, no nosso exemplo, é de R$ 10.000.
Portanto:
D(x) = V0 - V(x)
D(x) = 10.000 - (-1.500x + 10.000)
D(x) = 10.000 + 1.500x - 10.000
D(x) = 1.500x
Como a variável x é expressa em anos, a função que determina a depreciação 
D(x) para x anos, expressa por D(x) = 1.500x, apresenta uma desvalorização anual 
do equipamento correspondente a R$ 1.500,00.
131
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Quanto à função custo:
À soma dos custos de um determinado produto que não depende da quantidade 
produzida chamamos de custo fixo e indicamos por CF. À parcela do custo que 
depende de x, onde x representa a quantidade produzida, chamamos de custo 
variável, e indicamos por CV. Assim, estabelecemos que o custo C para fabricação 
de determinado produto é dado por C = CF + CV.
• Quanto à função receita:
A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma empresa e depende 
do número de vendas de determinado produto. Assim, chamamos de função 
receita ao produto de x unidades produzidas pelo preço de venda p e indicamos 
por R(x) = p·x.
• Quanto à função lucro:
A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função 
custo C. Assim, indicando a função lucro por L, temos que L(x) = R(x) – C(x).
• Quanto ao ponto de nivelamento:
O ponto de nivelamento expressa a igualdade entre as funções custo total e receita. 
Neste ponto não há lucro, nem prejuízo, apenas a remuneração dos fatores de 
produção.
• Quanto ao conceito de depreciação linear:
Devido ao desgaste, obsolescência e outros fatores, o valor de um bem diminui 
com o tempo. Essa perda de valor ao longo do tempo se chama depreciação. 
A depreciação é dita linear quando se assume que a desvalorização do bem se 
comporta segundo uma função polinomial do 1º grau.
RESUMO DO TÓPICO 1
132
Prezado(a) acadêmico(a)!
Realize as seguintes autoatividades para averiguar seus conhecimentos 
sobre o tópico estudado.
1 Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade 
vendida:
a) obtenha a função receita;
b) calcule R(40);
c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 
700,00?
2 O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x) 
= 100 + 2x.
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades?
b) Faça o esboço do gráfico da função custo.
3 Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais:
Empresa A – Fixo de R$ 800,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção vendida;
Empresa B – Fixo de R$ 600,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção vendida.
a) Faça uma análise e avalie qual a melhor proposta salarial. 
b) Qual a quantidade de coleções vendidas em que o salário das duas empresas 
será o mesmo?
c) Apresente a situação-problema por meio de um gráfico.
4 O custo total de um fabricante consiste em uma quantia fixa de R$ 200,00 
somada ao custo de produção que é de R$ 15,00 por unidade. Nessas 
condições:
a) Expresse o custo total como função do número de unidadesproduzidas.
b) Determine o número de unidades que devem ser produzidas para que o 
custo total seja de R$ 700,00.
c) Determine o custo total para produzir 1.500 unidades.
d) Faça o gráfico da função obtida no item (a).
5 O custo fixo mensal de uma empresa é de R$ 30.000,00, o preço unitário de 
venda é R$ 8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00.
AUTOATIVIDADE
133
a) Obtenha a função lucro mensal.
b) Qual o lucro obtido na venda de 50.000 unidades?
c) A partir de quantas unidades vendidas esta empresa começa a obter 
lucro?
d) Qual a quantidade que determina o ponto de nivelamento?
e) Faça o gráfico indicando as coordenadas do ponto de nivelamento.
f) Represente o esboço do gráfico da função lucro.
6 O preço de venda de um produto é R$ 25,00. O custo variável por 
unidade é dado por: matéria-prima: R$ 6,00 por unidade, mão de obra 
direta: R$ 8,00 por unidade. Sabendo-se que o custo fixo mensal é de R$ 
2.500,00, pergunta-se:
a) qual o ponto crítico (ponto de nivelamento)?
b) qual o lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por mês?
c) de quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar de 
1.000 para 1.500 unidades por mês?
7 Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico) e esboce os gráficos 
da função receita e custo em cada caso:
a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x
b) R(x) = 200x e C(x) = 10.000 + 150x
c) R(x) = 1_
2
 x e C(x) = 20 + 1_
4
 x 
8 Quando 10 unidades de um produto são fabricadas por dia, o custo é igual 
a R$ 6.600,00. Quando são produzidas 20 unidades por dia, o custo é R$ 
7.200,00. Obtenha a função custo supondo que ela seja uma função de 1º 
grau. 
9 O valor de um equipamento hoje é de R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será de 
R$ 200,00. Admitindo a depreciação linear, responda:
a) qual o valor do equipamento daqui a 3 anos?
b) qual o total da sua depreciação daqui a 3 anos?
c) daqui a quanto tempo o valor do equipamento será nulo?
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 6
134
135
TÓPICO 2
MODELOS POLINOMIAIS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
No tópico anterior conceitos como custo, lucro, receita, foram abordados 
do ponto de vista matemático, a partir de funções do 1º grau.
Neste tópico, faremos esta mesma abordagem, mas de forma mais sucinta, 
haja vista que os conceitos envolvidos já foram estudados no tópico antecedente, 
porém agora sob a ótica das funções polinomiais de grau 2.
2 OFERTA E DEMANDA
Numa economia de livre mercado, a demanda de consumo por um certo 
bem depende do preço unitário desse bem. 
Uma equação de demanda expressa a relação entre o preço por unidade e 
a quantidade demandada. O gráfico da equação de demanda é chamado de curva 
de demanda. Em geral, a quantidade demandada de um bem decresce à medida 
que o preço por unidade desse bem cresce, e vice-versa. De modo semelhante, uma 
função demanda definida por p = f (x), onde p mede o preço por unidade e x mede 
o número de unidades do bem em questão, é geralmente uma função decrescente 
de x.
Num mercado competitivo existe também a relação entre o preço por 
unidade de um bem e sua disponibilidade no mercado. Em geral, um 
aumento no preço por unidade de um bem leva o produtor a aumentar 
a oferta desse bem. Reciprocamente, uma diminuição no preço por 
unidade geralmente leva a uma queda na oferta. A equação que expressa 
a relação entre o preço por unidade e a quantidade oferecida é chamada 
de equação de oferta, e seu gráfico é chamado de curva de oferta. (TAN, 
2005, p. 80).
136
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS
Uma função oferta definida por p = f (x) é geralmente uma função crescente 
de x.
Dizemos que o preço de um bem se estabiliza quando a oferta do bem 
seja igual à demanda pelo mesmo. Se o preço é muito alto, o consumidor não 
comprará, e se o preço é muito baixo, o fornecedor não produzirá. 
O chamado equilíbrio de mercado prevalece quando a quantidade 
produzida é igual à quantidade demandada. A quantidade produzida 
num equilíbrio de mercado é chamada de quantidade de equilíbrio, e 
o preço correspondente é chamado de preço de equilíbrio. (TAN, 2005, 
p. 81).
O equilíbrio de mercado corresponde ao ponto no qual a curva de demanda 
e a curva de oferta se interceptam. Na figura a seguir, S representa a curva de 
oferta (função crescente) e D representa a curva de demanda (função decrescente). 
O ponto de abscissa Q e ordenada P representa o ponto de equilíbrio.
FONTE: A autora
3 FUNÇÃO RECEITA E LUCRO QUADRÁTICAS
No tópico anterior vimos como obter a função receita quando o preço era 
constante. Neste tópico vamos verificar como obter a função receita quando o 
preço pode ser modificado, com consequente alteração da demanda, de acordo 
com a função de demanda.
FIGURA 10 – PONTO DE EQUILÍBRIO DE MERCADO
TÓPICO 2 | MODELOS LINEARES
137
Exemplo: “A função de demanda de um produto é p(x) = 10 - x, e a função 
custo é c(x) = 20 + x. Vamos obter:
a) A função receita e o preço que a maximiza. 
b) A função lucro e o preço que a maximiza.” (MORETTIN; HAZZAN; 
BUSSAB, 2003, p. 79).
a) Pela definição de receita, estudada no tópico anterior, temos que:
R(x) = p . x
R(x) = (10 - x) . x
R(x) = 10x - x2
O valor de x que maximiza a função receita é dado pela abcissa do vértice, 
conforme estudamos na Unidade 2, Tópico 3.
xv = - 
b__
2a
xv = - 
10____
2(-1)
 = 5
Como consequência, o correspondente preço é dado pela função demanda 
p(x) = 10 - x, onde x = 5. Então p(x) = 10 - 5 = 5.
b) A função lucro, por definição, é dada por L(x) = R(x) - C(x). Então:
L(x) = 10x - x2 - (20 + x)
L(x) = 10x - x2 - 20 - x
L(x) = - x2 + 9x - 20
O valor de x que maximiza o lucro é dado pela abcissa do vértice da função 
L(x) = - x2 + 9x - 20. Portanto:
xv = - 
b__
2a
xv = - 
9____
2(-1) = 4,5
O correspondente preço é dado pela função de demanda p(x) = 10 - x, onde 
x = 4,5. Então p(x) = 10 - 4,5 = 5,5.
138
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
 Quanto aos conceitos de oferta e demanda de um produto:
 Uma equação de demanda expressa a relação entre o preço por unidade e a 
quantidade demandada. Dizemos que o preço de um bem se estabiliza quando 
a oferta do bem for igual à demanda pelo mesmo. Se o preço é muito alto, 
o consumidor não comprará e, se o preço é muito baixo, o fornecedor não 
produzirá. 
 Quanto às funções lucro e receita no modelo polinomial de grau 2:
 Para obter a função receita quando o preço pode ser modificado, com consequente 
alteração da demanda, basta considerar a função de demanda p(x) na expressão 
R(x) = p(x) . x, obtendo assim, uma função polinomial de grau 2.
RESUMO DO TÓPICO 2
139
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a)!
Realize as seguintes autoatividades para averiguar seus conhecimentos sobre 
o tópico estudado.
1 Sejam R(q) = -2q2 + 40q e C(q) = 2q + 68 as funções receita e custo para certo 
produto. Determine os pontos em que o lucro é igual a zero.
2 O modelo funcional que descreve a receita em função da quantidade 
comercializada é dada por R(q) = -2q2 + 12q. Se o custo desse produto pode ser 
descrito pela equação C(q) = 3q + 10, determine:
a) O modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, 
em função da quantidade produzida e comercializada.
b) A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor 
do lucro.
3 Sabendo que o modelo funcional que descreve a receita R pela venda de uma 
quantidade q de um bem é dada pela equação R(q) = 10q - 2q2 e que o modelo 
que descreve o custo total do bem em função da quantidade produzida é C(q) 
= 2q + 2,50, determine:
a) Um modelo funcional que descreve o lucro pela produção e venda do produto, 
em função da quantidade produzida e comercializada.
b) A quantidade vendida que torna o lucro máximo, e o correspondente valor 
do lucro.
4 Uma empresa possui um custo fixo de R$ 39,00 somados ao custo de produção 
de R$ 2,00. Sua receita total é dada pela função R(q) = 18q - q2. A partir destes 
dados apresente:
a) A função custo total.
b) Qual o lucro parauma quantidade de 11 unidades?
c) A quantidade que garante o lucro máximo.
5 A equação receita de um certo produto é R(q) = 85q - 2q2 e o custo é determinado 
por C(q) = 5q - 600. Qual a quantidade que maximiza o lucro?
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 2
140
141
TÓPICO 3
MODELOS EXPONENCIAIS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Nos tópicos anteriores estudamos o modelo linear e polinomial de grau 
2 enquanto recursos para modelar problemas relacionados à Administração e 
Economia.
Também o modelo exponencial se apresenta como alternativa para 
descrição ou previsão de determinados fenômenos. A função exponencial é uma 
das funções matemáticas mais utilizadas em estudos ambientais, aplicável, entre 
outros exemplos, ao crescimento das populações e das suas necessidades (consumo 
de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de poluentes.
Neste tópico, nos deteremos em sua utilização relacionada a situações 
envolvendo crescimento populacional, juros compostos e decaimento exponencial 
de vendas.
2 MODELO DE CRESCIMENTO EXPONENCIAL
Suponhamos que uma população tenha hoje 40.000 habitantes e que haja 
um crescimento populacional de 2% ao ano. Assim:
• daqui a 1 ano o número de habitantes será:
y1 = 40.000 + (0,02) . 40.000 = 40.000 (1+ 0,02);
• daqui a 2 anos o número de habitantes será:
y2 = y1 + 0,02 y1 = y1 (1+0,02) = 40.000 (1,02)
2;
• daqui a 3 anos o número de habitantes será:
y3 = y2 + 0,02 y2 = y2 (1+0,02) = 40.000 (1,02)
3
De modo análogo, podemos concluir que o número de habitantes daqui a 
x anos será y = 40.000 (1,02)x
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS
142
“De modo geral, se tivermos uma grandeza com valor inicial y0 e que cresça 
a uma taxa igual a k por unidade de tempo, então, após um tempo x, medido 
na mesma unidade de k, o valor dessa grandeza y será dado por: y = y0 (1 + k)x.” 
(MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB, 2003, p. 95).
 Exemplo: Uma cidade tem hoje 20.000 habitantes e esse número cresce a 
uma taxa de 3% ao ano. Então:
a) Determine o número de habitantes daqui a 10 anos.
A partir do modelo exponencial y = y0 (1 + k)x e considerando y0 = 20.000 
e k = 0,03 (constante de crescimento anual), temos que: y = 20.000 (1 + 0,03)x, ou 
simplesmente y = 20.000 (1,03)x.
Desse modo, após um período de 10 anos, teremos y = 20.000 (1,03)10 = 
26.878 habitantes nesta cidade.
b) Se daqui a 10 anos o número de habitantes for igual a 30.000, qual será a 
taxa de crescimento anual?
Partindo do modelo exponencial y = y0 (1 + k)x e considerando as seguintes 
condições de contorno: y0 = 20.000(população inicial); y = 30.000 (população após 
um período de 10 anos) e t = 10 anos, temos que:
Portanto, a taxa de crescimento será de 4,14% para que, daqui a 10 anos, a 
população desta cidade seja de 30.000 habitantes.
TÓPICO 3 | MODELOS EXPONENCIAIS
143
Procedendo de modo análogo, obteremos o montante após n períodos que 
é dado por:
M = C(1 + i)n
Este é um modelo exponencial, tendo em vista que a variável n, que 
determina tempo, encontra-se no expoente.
Exemplo 1: Um capital de R$ 3.000,00 é aplicado a juros compostos durante 
5 meses à taxa de 2% ao mês. Determine o montante ao final da aplicação.
Partindo do modelo exponencial M = C(1 + i)n, temos que:
3 JUROS COMPOSTOS
Consideremos um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos à taxa 
de 10% ao ano. Isso significa que:
• no 1º ano o juro auferido é 1.000 . (0,10) = 100 e o montante após 1 ano 
será: M1 = 1.000 + 100 = 1.100;
• no 2º ano o juro auferido é 1.100 . (0,10) = 110 e o montante após 2 anos 
será: M2 = 1.100 + 110 = 1.210;
• no 3º ano o juro auferido é 1.210 . (0,10) = 121 e o montante após 3 anos 
será: M3 = 1.210 + 121 = 1.331, e assim por diante.
“Portanto, no regime de juros compostos o juro auferido em cada período 
se agrega ao montante do início do período, e essa soma passa a gerar juros no 
período seguinte.” (MORETTIN; HAZZAN; BUSSAB, 2003, p.103).
Consideremos um capital C, aplicado a uma taxa de juros i por período, e 
obtenhamos a fórmula do montante após n períodos.
Temos:
UNIDADE 3 | APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS
144
Portanto, a taxa mensal de juros será de 1,5% para que, daqui a 4 meses, o 
montante seja de R$ 1.061,36.
M = 3.000 (1 + 0,02)5
M = 3.000 (1,02)5
M = 3.312,24
Portanto, ao final do período de 5 meses, o montante da aplicação será de 
R$ 3.312,24.
Exemplo 2: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, 
durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 1.061,36. Qual a taxa mensal de 
juros desta aplicação?
Partindo do modelo exponencial M = C(1 + i)n , temos que:
4 DECAIMENTO EXPONENCIAL DE VENDAS
Estudos de mercado têm demonstrado que se a propaganda e outras 
promoções de um produto particular são interrompidas e se outras 
condições de mercado permanecem constantes, então, em qualquer 
instante t, as vendas do produto irão declinar a uma taxa proporcional 
ao número de unidades que estão sendo vendidas no instante t. 
(GOLDSTEIN; LAY; SCHNEIDER, 2000, p. 215).
TÓPICO 3 | MODELOS EXPONENCIAIS
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Se S0 é o número de vendas no último mês após a interrupção dos esforços 
promocionais, então um bom modelo matemático para S(t) é:
S(t) = So·e-λt
em que λ é um número positivo chamado constante de decaimento das vendas. 
O valor de λ depende de vários fatores, tais como o tipo de produto, o número 
de anos durante os quais houve esforços promocionais, o número de produtos 
concorrentes e outras características do mercado.
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RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
• Quanto ao modelo de crescimento exponencial:
Dada uma grandeza com valor inicial y0 e que cresça a uma taxa igual a k por 
unidade de tempo, então, após um tempo x, medido na mesma unidade de k, o 
valor dessa grandeza y será dado por: y = y0 (1 + k)x.
• Quanto ao modelo exponencial para juros compostos:
M = C(1 + i)n, onde M é o montante, C é o capital aplicado, k é a taxa de juros e 
n é o período da aplicação.
147
AUTOATIVIDADE
Prezado(a) acadêmico(a)!
Realize as seguintes autoatividades para averiguar seus conhecimentos sobre 
o tópico estudado.
1 O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7.000 e cresce a uma 
taxa de 3% ao ano.
a) Qual o número de habitantes daqui a 8 anos?
b) Qual o número de habitantes daqui a 30 anos?
2 O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 20.000 e cresce 
exponencialmente a uma taxa de 2% ao ano.
a) Qual o número de habitantes y daqui a x anos?
b) Faça o gráfico de y em função de x.
3 Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 4 meses à 
taxa de 1,8% ao mês. Qual é o montante?
4 Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros compostos durante 1 ano e meio 
à taxa de 2% ao mês. Qual é o montante?
5 Qual é o capital que, aplicado a juros compostos durante 1 ano, à taxa de 7% 
ao trimestre, produz um montante de R$ 5.000,00?
6 Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado durante 5 meses a juros compostos 
produzindo um montante de R$ 2.400,00. Qual é a taxa mensal?
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 5
148
149
REFERÊNCIAS
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de matemática. 3. ed. São Paulo: 
Moderna, 2003.
______. Matemática. São Paulo: Moderna, 2004. v. 1.
BUENO, Francisco da Silva. Dicionário da Língua Portuguesa. 11. ed. Rio de 
Janeiro: FENAME, 1981.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. São Paulo: Ática, 1999. v. 1.
______. Matemática. São Paulo: Ática, 2005. v. 1.
EVARISTO, Jaime; PERDIGÃO, Eduardo. Introdução à álgebra abstrata. Maceió: 
EDUFAL, 2002. 
FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo Aurélio século XXI: o dicionário 
da língua portuguesa. 3. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1999.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova 
abordagem. São Paulo: FTD, 2000.
GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática aplicada: 
Economia, Administração e Contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.
GRAPES 6.71 pt. GRAphPresentation & Experiment System. Desenvolvedor: 
KATSUHISA, Tomoda com apoio de ISODA, Masami; BALDIN, Yuriko Yamamoto; 
YAHARA, Hiroki. (Software Freeware) Disponível em: <http://www.baixaki.com.
br/download/grapes.htm>. Acesso em: 1 maio 2009.
HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e 
suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
LEITHOLD, Louis. Matemática aplicada à economia e administração. Tradução 
de Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Harbra, 1988. 
MAIO, Waldemar de. Fundamentos de matemática: álgebra: estruturas algébricas 
básicas e fundamentos da teoria dos números. São Paulo: LTC, 2007. 
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo: funções 
de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, 2002. v. 1.
______. Matemática. São Paulo: Moderna, 2002.
150
SÁ, Antônio Lopes de; SÁ, Ana Maria Lopes de. Dicionário de contabilidade. 7. 
ed. São Paulo: Atlas, 1989.
TAN, S. T. Matemática aplicada à administração e economia. 5. ed. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2005.
151
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS UTILIZADOS EM TEORIA DOS CONJUNTOS
SÍMBOLO SIGNIFICADO
∅ ou { } Conjunto vazio
∩ Intersecção
∪ União
⊂ Está contido (conjunto para conjunto)
⊄ Não está contido
⊃ Contém (conjunto para conjunto)
⊃ Não contém
∈ Pertence (elemento para conjunto)
∉ Não pertence
∃ Existe
∃ Não existe
⇔ Se, e somente se
⇒ Se ..., então ...
> Maior
< Menor
≥ Maior ou igual
≤ Menor ou igual
∞ Infinito
∀
Para todo e qualquer ou 
qualquer que seja
| Tal que
∴ Portanto
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ANOTAÇÕES
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