Aula - Movimento Bidimensional

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Movimento Bidimensional
Guilherme Henrique Siqueira Camargo
guilhermehenrique@unifei.edu.br
Sumário
1 Diferenciação de Vetores 1
2 Cinemática no Plano 2
2.1 Vetor Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Vetor Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Vetor Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Projéteis 5
3.1 Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Altura Máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Coordenadas Polares 7
4.1 Vetores de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Cinemática em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Diferenciação de Vetores
Se t é uma variável escalar, então uma função escalar f vincula para cada t em algum intervalo um
único escalar f (t), chamado valor de f em t. Geralmente, a variável representa ou tempo ou um conjunto de
coordenadas.
Uma função vetorial A de uma só variável escalar t vincula para cada t em algum intervalo um único
vetor A (t).
Num sistema de coordenadas Cartesianas que é independente da variável escalar t, podemos escrever o
vetor A (t) em termos de suas componentes,
A = A (t) = Ax (t) x̂+Ay (t) ŷ +Az (t) ẑ, (1)
onde Ax (t), Ay (t) e Az (t) são funções escalares de t e são chamadas componentes de A (t).
O exemplo mais comum é o de vetores que são funções do tempo, como, por exemplo, a velocidade de uma
partícula em movimento é função do tempo v (t).
Vamos definir a derivada do vetor A em relação a t analogamente à definição da derivada de uma função
escalar,
dA
dt
= lim
∆t→0
∆A
∆t
= lim
∆t→0
A (t+∆t)−A (t)
∆t
. (2)
A (t)
∆A
A (t+∆t)
Figura 1: Acréscimo de um vetor ∆A = A (t+∆t)−A (t).
1
mailto:guilhermehenrique@unifei.edu.br
Usando a Eq. (1), podemos reescrever a Eq. (2) como,
dA
dt
= lim
∆t
A (t+∆t)−A (t)
∆t
= lim
∆t→0
[Ax (t+∆t) x̂+Ay (t+∆t) ŷ +Az (t+∆t) ẑ]− [Ax (t) x̂+Ay (t) ŷ +Az (t) ẑ]
∆t
= lim
∆t→0
[Ax (t+∆t)−Ax (t)] x̂+ [Ay (t+∆t)−Ay (t)] ŷ + [Az (t+∆t)−Az (t)] ẑ
∆t
= lim
∆t→0
Ax (t+∆t)−Ax (t)
∆t
x̂+ lim
∆t→0
Ay (t+∆t)−Ay (t)
∆t
ŷ + lim
∆t→0
Az (t+∆t)−Az (t)
∆t
ẑ
=
dAx
dt
x̂+
dAy
dt
ŷ +
dAz
dt
ẑ.
(3)
Aqui, ressaltamos novamente que essa equação tem certa simplicidade pelo fato dos versores x̂, ŷ e ẑ serem
constantes, caso contrário, deveríamos também considerar suas derivações, como veremos ao tratar o movimento
de uma partícula em coordenadas polares.
As regras para diferenciação de funções vetoriais são semelhantes às das funções escalares, com uma exceção.
Para diferenciar o produto vetorial de funções vetoriais, a ordem dos fatores deve ser mantida, porque o produto
vetorial não é uma operação comutativa.
Propriedades 1 Se A (t) e B (t) são funções vetoriais diferenciáveis e ϕ (t) é uma função escalar diferenciável,
então,
1. d
dt
[A (t) +B (t)] = A′ (t) +B′ (t),
2. d
dt
[ϕ (t)A (t)] = ϕ (t)A′ (t) + ϕ′ (t)A (t),
3. d
dt
[A (t) ·B (t)] = A′ (t) ·B (t) +A (t) ·B′ (t),
4. d
dt
[A (t)×B (t)] = A′ (t)×B (t) +A (t)×B′ (t),
5. Regra da derivação em cadeia: Se t = g (s) é diferenciável, então,
dA (t)
ds
=
dA [g (s)]
ds
=
dA (t)
dt
dg (s)
ds
.
Aqui, usamos a notação simplificada para indicar a derivada com o uso da linha,
dA (t)
dt
= A′ (t) .
2 Cinemática no Plano
2.1 Vetor Posição
O vetor posição r de uma partícula é um vetor desenhado a partir da origem de um sistema de coordenadas
até a localização da partícula. Para uma partícula no plano xy, localizada no ponto de coordenadas (x, y), o
vetor posição r é,
r = xx̂+ yŷ. (4)
Vamos supor que, no instante inicial t1, a partícula se encontra com vetor posição r1 = x1x̂ + y1ŷ, e, no
instante subsequente t2, ela está em r2 = x2x̂+y2ŷ. O vetor deslocamento ∆r da partícula, entre os instantes
t1 e t2, será,
∆r = r2 − r1 = (x2 − x1) x̂+ (y2 − y1) ŷ. (5)
2
x
y
x
y
r
=
xx̂
+
yŷ
Figura 2: Vetor posição.
x
y
r1
r2
∆r
Figura 3: Vetor deslocamento.
2.2 Vetor Velocidade
A velocidade média estudada no movimento retilíneo foi definida como o deslocamento dividido pelo tempo
decorrido. Analogamente, o resultado do vetor deslocamento dividido pelo intervalo de tempo decorrido ∆t =
t2 − t1 é o vetor velocidade média,
vméd =
∆r
∆t
. (6)
O vetor velocidade média e o vetor deslocamento possuem a mesma orientação.
De modo análogo ao realizado para movimentos retilíneos, definimos o vetor velocidade instantânea
como o limite do vetor velocidade média quando ∆t tende a zero,
v = lim
∆t→0
∆r
∆t
=
dr
dt
, (7)
onde, usamos a definição de derivada de um vetor dada na Eq. (2). O vetor velocidade instantânea é a derivada
do vetor posição em relação ao tempo. Sua direção é a da tangente à curva e seu sentido é o do movimento da
partícula.
x
y
O
r (t)
∆r1
∆r2
∆r3
v (t)
Figura 4: Interpretação geométrica do vetor velocidade. Com o intervalo de tempo diminuindo, o ângulo entre a
orientação de ∆r e a tangente à curva se aproxima de zero.
3
Usando as Eqs. (3) e (4), podemos reescrever a Eq. (7) como,
v =
dx
dt
x̂+
dy
dt
ŷ = vxx̂+ vyŷ, (8)
onde as componentes x e y da velocidade são dadas por,
vx =
dx
dt
, vy =
dy
dt
. (9)
O módulo do vetor velocidade é, então,
v =
√
v2x + v2y. (10)
Exemplo 1 Um objeto se movendo num plano tem o vetor posição r (t) dado por,
r (t) =
(
2t2 + 3t− 4
)
x̂+ cos t ŷ,
onde r é dado em metros e t em segundos.
1. Determine a posição do objeto em t = 1 s.
2. Determine a velocidade do objeto num instante t arbitrário.
3. Determine a velocidade do objeto em t = 1 s.
Solução:
1. Temos que,
r (1) =
(
2× 12 + 3× 1− 4
)
x̂+ cos 1 ŷ = x̂+ cos 1 ŷ.
2. Temos que,
x (t) =2t2 + 3t− 4 ⇒ vx =
dx
dt
= 4t+ 3,
y (t) = cos t ⇒ vy =
dy
dt
= − sen t.
Logo, a velocidade num instante t é,
v (t) = (4t+ 3) x̂− sen t ŷ.
3. Para t = 1s,
v (1) = (4× 1 + 3) x̂− sen 1 ŷ = 7 x̂− sen 1 ŷ.
2.3 Vetor Aceleração
O vetor aceleração média é a razão entre a variação do vetor velocidade instantânea, ∆v, e o intervalo
de tempo transcorrido, ∆t,
améd =
∆v
∆t
. (11)
Já o vetor aceleração instantânea é o limite desta razão quando ∆t tende a zero, ou seja, é a derivada
do vetor velocidade em relação ao tempo,
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
=
dv
dt
. (12)
Como vimos na Eq. (8), podemos expressar v em coordenadas Cartesianas. De modo análogo, tomando
novamente a derivada,
a =
dvx
dt
x̂+
dvy
dt
ŷ =
d2x
dt2
x̂+
d2y
dt2
ŷ = axx̂+ ayŷ, (13)
onde as componentes de a são,
ax =
dvx
dt
=
d2x
dt2
, ay =
dvy
dt
=
d2y
dt2
. (14)
Exemplo 2 Qual é a aceleração no instante t do objeto do Exemplo 1?
Solução: Temos que,
v (t) = (4t+ 3) x̂− sen t ŷ,
logo,
ax =
dvx
dt
= 4, ay =
dvy
dt
= − cos t.
Portanto,
a = 4 x̂− cos t ŷ.
4
x
y
O
r (t)
v (t)
r (t+∆t)
v (t+∆t)
v (t)
v (t+∆t)
∆v
Figura 5: Interpretação geométrica do vetor velocidade. Com o intervalo de tempo diminuindo, o ângulo entre a
orientação de ∆r e a tangente à curva se aproxima de zero.
3 Projéteis
Após o chute, uma bola segue um determinado caminho curvo no ar. Este tipo de movimento, conhecido
como movimento de projéteis, ocorre quando um objeto é lançado no ar e fica livre para se movimentar. Se
a resistência do ar é desprezível, então dizemos que o projétil está em queda livre. Para objetos em queda livre
próximo à superfície da Terra, a aceleração é a aceleração da gravidade, apontada para baixo.
Na ausência de resistência, a aceleração a é constante. O projétil não tem aceleração horizontal, de forma
que a única aceleração é a aceleração de queda livre g, que aponta para baixo,
a =
d2r
dt2
=
d2x
dt2
x̂+
d2y
dt2
ŷ = −gŷ. (15)
x
y
O Axm
ym
v0
θ
v0xx̂
v0yŷ
v = v0xx̂
Figura 6: Lançamento de um projétil.
Para resolver a Eq. (15), comparamoscada uma das componentes isoladamente, obtendo as equações de
movimento para as coordenadas x e y,
d2x
dt2
= 0,
d2y
dt2
= −g. (16)
Essas equações já foram estudadas nas aulas sobre movimento retilíneo. A equação para x descreve um movi-
mento com aceleração nula. Já para y descreve um movimento com aceleração constante, a = −g. Desse modo,
as soluções para x e y são da forma,
x (t) = x0 + v0x (t− t0) , y (t) = y0 + v0y (t− t0)−
1
2
g (t− t0)
2
, (17)
onde usamos as condições iniciais,
r (t0) = x0x̂+ y0ŷ, v (t0) = v0 = v0xx̂+ v0yŷ.
Por simplicidade, vamos considerar o caso em que x0 = y0 = 0 m, tomando a posição inicial como origem,
vamos tomar t0 = 0 s. Além disso, vamos chamar de θ o ângulo formado entre v0 e o eixo x, de modo que,
como ilustrado na Fig. 6,
v0x = v0 cos θ, v0y = v0 sen θ. (18)
5
Desse modo, as Eq. (17) se tornam,
x (t) = v0 cos θ t, y (t) = v0 sen θ t− 1
2
gt2. (19)
Para obter as componentes da velocidade basta tomarmos a derivada com relação ao tempo das coordenadas
da posição do projétil,
vx (t) =
dx
dt
= v0 cos θ, vy (t) =
dy
dt
= v0 sen θ − gt. (20)
A Eq. (19) nos fornece a relação entre as coordenadas com o tempo, entretanto, para um movimento
bidimensional, também é interessante obter a relação das coordenadas entre si, obtendo, então, a trajetória.
Para isso, vamos isolar o tempo t em função da coordenada x na primeira equação, e então substituir na segunda,
x = v0 cos θ t ⇒ t =
x
v0 cos θ
.
Logo,
y = v0 sen θ t− 1
2
gt2 = v0 sen θ
x
v0 cos θ
− g
2
x2
v20 cos
2 θ
= x tan θ − gx2
2v20 cos
2 θ
. (21)
A Eq. (21) fornece a equação da trajetória do projétil, produzindo a relação entre as coordenadas x e y.
Vale ressaltar que, na Eq. (19), temos a relação entre as coordenadas e o tempo, já na (21), temos a relação das
coordenadas entre si. Apesar de tanto a relação entre y e t quanto a relação de y e x serem equações quadráticas,
elas possuem significados completamente diferentes, uma expressa y em termos de t e a outra expressa y em
termos de x.
3.1 Alcance
Uma informação importante sobre o lançamento é a distância atingida pelo projétil, ou seja, o alcance A.
Esse alcance nada mais é do que o valor da coordenada x quando a coordenada y é nula. Por isso, como
queremos obter o valor de x dada uma condição sobre o valor de y, é conveniente usar diretamente a Eq. (21).
Fazendo y = 0 em (21), e chamando x = A, obtemos,
0 = A tan θ − gA2
2v20 cos
2 θ
= A
(
tan θ − gA
2v20 cos
2 θ
)
⇒ A = 0 ou tan θ − gA
2v20 cos
2 θ
= 0. (22)
A solução A = 0 nada mais é do que o ponto onde o lançamento é executado. No momento do lançamento,
temos x = y = 0, por isso uma das soluções encontradas é com A = 0, o que não representa o valor do alcance
do lançamento. Desse modo, estamos interessados na outra solução,
tan θ − gA
2v20 cos
2 θ
= 0 ⇒ A =
2v20 sen θ cos θ
g
=
v20 sen (2θ)
g
, (23)
onde usamos a relação trigonométrica sen (2θ) = 2 sen θ cos θ.
Para um dado valor de v0, temos da Eq. (23) que o alcance é máximo quando sen (2θ) atinge o seu maior
valor. Sendo θ = θm o valor do ângulo para o qual ocorre o alcance máximo, temos,
sen (2θm) = 1 ⇒ 2θm =
π
2
⇒ θm =
π
4
. (24)
Nesse caso, o alcance máximo Am será,
Am =
v20 sen (2θm)
g
=
v20
g
. (25)
E por fim, podemos obter o tempo de voo do projétil, ou seja, o tempo que o projétil leva para atingir o
solo. Assim como fizemos para determinar o alcance, o tempo de voo está relacionado com a condição y = 0.
Como queremos obter o tempo, vamos precisar usar a equação que expressa a relação entre a coordenada y e o
tempo t, ou seja, a Eq. (19). Desse modo, o tempo de voo tA é tal que,
0 = v0 sen θ tA − 1
2
gt2A = tA
(
v0 sen θ −
1
2
gtA
)
⇒ tA = 0, ou v0 sen θ −
1
2
gtA = 0. (26)
A solução tA = 0 indica o instante do lançamento, portanto, estamos interessados na outra solução,
v0 sen θ −
1
2
gtA = 0 ⇒ tA =
2v0 sen θ
g
. (27)
6
3.2 Altura Máxima
Outra informação essencial sobre o lançamento de um projétil é o valor da altura máxima ym atingida por
ele. Fisicamente, a altura máxima é atingida no instante em que a componente vy da velocidade se anula, como
ilustrado na Fig. 6. Desse modo, o instante tm no qual a altura máxima é atingida é tal que,
vy (tm) = v0 sen θ − gtm = 0 ⇒ tm =
v0 sen θ
g
=
tA
2
, (28)
ou seja, o tempo que leva para atingir a altura máxima é metade do tempo de voo do projétil, o que poderíamos
ter concluído pela simetria da trajetória.
Agora, para obter o valor de ym, basta fazer t = tm na Eq. (19),
ym = y (tm) = v0 sen θ tm − 1
2
gt2m = v0 sen θ
v0 sen θ
g
− 1
2
g
v20 sen
2 θ
g2
=
v20 sen
2 θ
2g
. (29)
E finalmente, podemos obter o valor xm da coordenada x quando o projétil atinge a altura máxima. Assim,
precisamos, novamente, fazer t = tm na Eq. (19), mas agora para x,
xm = x (tm) = v0 cos θ tm = v0 cos θ
v0 sen θ
g
=
v20 sen (2θ)
2g
=
A
2
, (30)
ou seja, a altura máxima é atingida quando a coordenada x vale metade do alcance do lançamento, como deveria
ser dada a simetria do problema.
Figura 7: Lançamento oblíquo para diferentes valores de θ.
4 Coordenadas Polares
O sistema de coordenadas polares é uma maneira alternativa de descrever a posição de um ponto no
plano. Em coordenadas Cartesianas, identificamos um ponto no plano com base nas suas coordenadas x e y,
ou seja, usamos a distância do pontos aos eixos. Já no sistema de coordenadas polares, usamos como base a
distância r do ponto até a origem do sistema e também o ângulo φ entre a linha que conecta o ponto à origem
e o eixo x 1.
1A mudança entre coordenadas Cartesianas e polares é bastante parecida com o método visto no ensino médio para representar
um número complexo no plano de Argand-Gauss (plano complexo). Um número complexo z pode ser escrito em termos da sua
parte real z1 e imaginária z2, ou seja, z = z1 + iz2. Alternativamente, o mesmo número imaginário z podia ser escrito em termos
do seu módulo |z| e seu argumento θ, dessa forma z = |z| eiθ.
7
Coordenadas Polares: As coordenadas polares r e φ relacionam-se com as coordenadas Cartesianas x e y
por,
x = r cosφ, y = r senφ, (31)
onde a coordenada r, por se tratar da distância do ponto P até a origem, assume apenas valores positivos,
r ≥ 0, e a coordenada φ é o ângulo formado entre o segmento OP e o eixo x, portanto, pode assumir qualquer
valor positivo menor que 2π, uma vez que 2π representa uma volta completa,
r ≥ 0, 0 ≤ φponto, o vetor que aponta radialmente para
fora, indicando o sentido de crescimento da coordenada r, seria um vetor apontando para a direita. Já para
um segundo ponto P2, de coordenadas Cartesianas x2 = 0 e y2 = 1, o vetor que aponta radialmente para fora
seria um vetor apontando para cima. Desse modo, em coordenadas polares, os vetores de base dependem
do ponto tomado.
Além do vetor de base apontando no sentido do crescimento da coordenada r, que chamamos de r̂, também
temos um vetor que aponta no sentido da coordenada φ, que é denotado por φ̂. No caso anterior, para o ponto
P1, vimos que o vetor que aponta no sentido de crescimento da coordenada r aponta para a direita, porém,
para aumentar a coordenada φ, é necessário deslocar o ponto para cima, mantendo a distância até o centro fixa.
Desse modo, para o ponto P1, o vetor que aponta no sentido de crescimento da coordenada φ é um vetor que
aponta para cima. Já para o ponto P2, para aumentar a coordenada φ, mantendo a distância r fixa, é preciso
deslocar o ponto para a esquerda. Portanto, no ponto P2, o vetor que aponta no sentido de crescimento da
coordenada φ é um vetor que aponta para a esquerda.
De modo geral, os vetores de base r̂ e φ̂, que apontando no sentido de crescimento da coordenada r e φ,
respectivamente, dependem do ponto tomado. O vetor r̂ aponta radialmente para fora, já o φ̂ num sentido
perpendicular ao r̂, indicando uma direção de rotação em torno da origem.
x
y
P1
P2
P
r̂1
φ̂1
r̂2
φ̂2
r̂φ̂
Figura 9: Os vetores de base em coordenadas polares depende do ponto tomado.
A grande complicação do uso de coordenadas polares é o fato dos vetores de base não serem constantes,
dependendo de ponto a ponto. Entretanto, em muitos casos, a interpretação física de um problema acaba se
tornando bastante simplificada ao usar coordenadas polares, pois se um vetor é escrito em termos de r̂ e φ̂,
podemos desmembrar suas componentes em uma componente radial e outra angular. Essa característica ficará
mais clara quando formos tratar um movimento circular.
Em resumo, precisamos saber como expressar um determinado vetor também em termos da base das coor-
denadas polares, r̂ e φ̂. Para isso, da Fig. 8, podemos escrever os vetores r̂ e φ̂ em termos dos já conhecidos x̂ e
ŷ. O ângulo formado entre r̂ e x̂ é o próprio φ, já o ângulo entre r̂ e ŷ é π
2
−φ, logo, sendo |r̂| = 1, temos que,
r̂ = |r̂|
[
cosφ x̂+ cos
(π
2
− φ
)
ŷ
]
= cosφ x̂+ senφ ŷ. (34)
Analogamente, para o vetor φ̂, o ângulo entre φ̂ e x̂ vale π
2
+φ, e o ângulo entre φ̂ e ŷ é φ. Logo, impondo
|φ̂| = 1,
φ̂ = |φ̂|
[
cos
(π
2
+ φ
)
x̂+ cosφ ŷ
]
= − senφ x̂+ cosφ ŷ. (35)
As Eqs. (34) e (35) nos mostram como os vetores r̂ e φ̂ dependem do ponto tomado, eles dependem apenas
da coordenada φ. Novamente, em coordenadas Cartesianas, a base era formada pelos vetores x̂ e ŷ, que
eram constantes, sendo independente do ponto tomado. Já em coordenadas polares, os vetores de base r̂ e φ̂
dependem do ponto, cuja dependência é dada pelas Eqs. (34) e (35). Essa é uma grande desvantagem no uso
de coordenadas polares.
Nesse momento, retornemos à Eq. (8). Note que ao derivar o vetor posição r, não precisamos nos preocupar
com os versores x̂ e ŷ, uma vez que eles são constantes. Porém, ao trabalhar em coordenadas polares, como
vimos nas Eqs. (34) e (35), os versores r̂ e φ̂ dependem do ponto, mais especificamente do ângulo φ. Por isso,
ao tomar a derivada do vetor posição r em coordenadas polares, precisaremos também levar em consideração a
mudança na direção dos versores da base.
Um resultado que será bastante útil é o valor das derivadas com relação a φ dos versores r̂ φ̂. Assim,
dr̂
dφ
=
dcosφ
dφ
x̂+
d senφ
dφ
ŷ = − senφ x̂+ cosφ ŷ = φ̂, (36)
9
e,
dφ̂
dφ
= −d senφ
dφ
x̂+
dcosφ
dφ
ŷ = − cosφ x̂− senφ ŷ = − (cosφ x̂+ senφ ŷ) = −r̂. (37)
4.2 Cinemática em Coordenadas Polares
Uma grande simplicidade do uso de coordenadas polares é ao expressar o vetor posição r nesse sistema.
Seja uma partícula situada num ponto P , o seu vetor posição r é o vetor que sai da origem do sistema de
coordenadas de vai até o ponto P . Então, o módulo do vetor posição da partícula é a distância que ela está
situada da origem, o que, em coordenadas polares, é justamente a coordenada r do ponto. Já a direção e sentido
do vetor posição são dadas pelo vetor unitário que aponta na sentido da origem até o ponto P , o que, como
vimos, é simplesmente o versor r̂. Portanto, em coordenadas polares, a posição de um objeto é escrito de uma
forma bastante simples,
r = rr̂. (38)
Como vimos, em coordenadas Cartesianas, determinar a dependência temporal da posição r (t) é feita
obtendo como as coordenadas x (t) e y (t) dependem do tempo. Em coordenadas polares o processo é idêntico,
na Eq. (38) o vetor posição r possui uma dependência temporal devido ao fato de r (t) e φ (t) dependerem do
tempo. A dependência de r aparece diretamente no módulo do vetor r, já a dependência do φ aparece devido
ao versor r̂.
Desse modo, dado o vetor posição em coordenadas polares (38), para determinar a velocidade v basta
tomarmos a derivada temporal, assim como fizemos anteriormente em coordenadas Cartesianas. A diferença
crucial com relação à Eq. (8) é que anteriormente não consideramos a variação dos versores x̂ e ŷ. Usando os
itens 2 e 5 das Propriedades 1, nesse caso, temos,
v =
dr
dt
=
d (rr̂)
dt
=
dr
dt
r̂+ r
dr̂
dt
=
dr
dt
r̂+ r
dr̂
dφ
dφ
dt
=
dr
dt
r̂+ r
dφ
dt
φ̂, (39)
onde, usamos a Eq. (36) e a regra da cadeia,
dr̂
dt
=
dr̂
dφ
dφ
dt
=
dφ
dt
φ̂.
Na Eq. (39) foi possível desmembrar a velocidade em uma componente na direção radial e outra angular, de
modo que,
v = vr r̂+ vφφ̂, (40)
onde,
vr =
dr
dt
, vφ = r
dφ
dt
. (41)
E agora, para o vetor aceleração em coordenadas polares, derivando a Eq. (40),
a =
dv
dt
=
d
dt
(
dr
dt
r̂+ r
dφ
dt
φ̂
)
=
d2r
dt2
r̂+
dr
dt
dr̂
dt
+
dr
dt
dφ
dt
φ̂+ r
d2φ
dt2
φ̂+ r
dφ
dt
dφ̂
dt
=
d2r
dt2
r̂+
dr
dt
dφ
dt
dr̂
dφ
+
dr
dt
dφ
dt
φ̂+ r
d2φ
dt2
φ̂+ r
dφ
dt
dφ
dt
dφ̂
dφ
=
d2r
dt2
r̂+
dr
dt
dφ
dt
φ̂+
dr
dt
dφ
dt
φ̂+ r
d2φ
dt2
φ̂− r
dφ
dt
dφ
dt
r̂
=
[
d2r
dt2
− r
(
dφ
dt
)2
]
r̂+
(
r
d2φ
dt2
+ 2
dr
dt
dφ
dt
)
φ̂,
(42)
onde, usamos que,
dφ̂
dt
=
dφ
dt
dφ̂
dφ
− dφ
dt
r̂.
Assim, em coordenadas polares, podemos escrever a aceleração como,
a = ar r̂+ aφφ̂, (43)
onde,
ar =
d2r
dt2
− r
(
dφ
dt
)2
, aφ = r
d2φ
dt2
+ 2
dr
dt
dφ
dt
. (44)
10
Exemplo 4 Movimento Circular: Um tipo de movimento bidimensional muito importante é o movimento
circular, em que a trajetória descrita pela partícula é um círculo. Desse modo, seja R o raio dessa trajetória
circular, ou seja, temos que r = R. Assim, obtemos que,
dr
dt
= 0,
fazendo com que a velocidade (40) se torne,
v = R
dφ
dt
φ̂ = Rωφ̂,
onde ω =
dφ
dt
é a taxa de variação temporal da coordenada φ, ou seja, nos fornece a informação de como a
coordenada angular do movimento está variando, por isso, é chamada de velocidade angular. A velocidade
possui componente apenas na direção de φ̂, ou seja, não há componente radial da velocidade.
O módulo v da velocidade é,
v = ωR,
onde v é o módulo do vetor velocidade, R o raio da trajetória e ω a velocidade angular. Essa expressão é
bastante conhecida do ensino médio.
Já para a aceleração, fazendo dr
dt
=
d2r
dt2
= 0 na Eq. (44), obtemos,
a = −R
(
dφ
dt
)2
r̂+R
d2φ
dt2
φ̂.
Diferente da velocidade, num movimento circular, a aceleração tem tanto componente radial quando angular.
O termo radial ar = −R
(
dφ
dt
)2
= −Rω2 = −v2
r
é denominado aceleração centrípeta, uma vez que aponta
radialmente para dentro, e originado dela variação da coordenada φ, ou seja, devido ao movimento angular.
Esse termo também é bastante estudado no ensino médio.
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	Diferenciação de Vetores
	Cinemática no Plano
	Vetor Posição
	Vetor Velocidade
	Vetor Aceleração
	Projéteis
	Alcance
	Altura Máxima
	Coordenadas Polares
	Vetores de Base
	Cinemática em Coordenadas Polares