CINEMATICA PARTICULA

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Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Lopes Morais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UTAD, setembro de 2023 
 
CAPÍTULO 2 
 
CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1. INTRODUÇÃO 
 
A Cinemática ocupa-se dos métodos matemáticos de representação do movimento 
dos corpos. Segundo D’Alembert (1717-1783), é a geometria do movimento, ou seja, a 
descrição da evolução temporal da configuração geométrica dos corpos. “Onde” e 
“quando” são as questões básicas de qualquer problema de Cinemática. As grandezas 
fundamentais desta disciplina são, pois, o comprimento e o tempo, e as respetivas 
unidades, o metro e o segundo, são as unidades fundamentais. 
Em certos problemas é aceitável supor irrelevantes as dimensões dos corpos, 
sendo então considerados como pontos materiais ou partículas. Nos problemas em que é 
necessário levar em conta as dimensões dos corpos, estes são tratados como conjuntos ou 
sistemas de partículas, discretos ou contínuos. O sólido rígido – também conhecido por 
sólido indeformável, sólido perfeito ou sólido de Euclides (~450-350 AC) – é um sistema 
de partículas que permanecem a distâncias fixas umas das outras no decorrer do 
movimento. Tal como a partícula, o sólido rígido é uma entidade abstrata. Na realidade, 
a forma e as dimensões dos corpos variam durante o movimento, se bem que em muitas 
circunstâncias se possam desprezar essas deformações na descrição do seu movimento 
global. 
Neste capítulo iremos apresentar os aspetos fundamentais da cinemática da 
partícula, bem como os métodos de descrição do movimento em coordenadas cartesianas 
e em coordenadas curvilíneas (coordenadas polares, cilíndricas e esféricas). 
 
 
2.2. TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA 
 
Consideremos uma partícula 𝒫 que se move no espaço. Para caracterizar a posição 
de 𝒫 comecemos por escolher uma unidade de comprimento e um sistema de 
coordenadas 𝑆(𝑂; 𝑖, 𝑗, �⃗⃗�), ortonormal e direto (Figura 2.1). Além disso, devemos escolher 
também uma origem e uma unidade de medida para o tempo. Feitas estas escolhas 
(arbitrárias), a posição de 𝒫 fica completamente definida pelas seguintes funções, que a 
cada instante 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] fazem corresponder as coordenadas cartesianas em 𝑆 do ponto 
𝑃(𝑡) onde a partícula 𝒫 se encontra no instante 𝑡 (Figura 2.1): 
 
𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑓(𝑡) e 𝑧 = 𝑓(𝑡) (2.1) 
 
Dar estas três funções reais de variável real equivale a dar a seguinte função vetorial de 
variável real, que a cada instante 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] faz corresponder o vetor de posição da 
partícula 𝒫 relativamente a 𝑂 (Figura 2.1): 
 
𝑟 = 𝑂𝑃
→ 
= 𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)�⃗⃗� (2.2) 
 
Chama-se trajetória da partícula, no intervalo de tempo [𝑡1, 𝑡2], justamente à função 
definida pela expressão (2.2). A imagem da trajetória é a curva Γ constituída pelos pontos 
𝑃 do espaço que são ocupados pela partícula 𝒫 entre os instantes 𝑡1 e 𝑡2 (Figura 2.1). 
 
 
Figura 2.1 – Trajetória de uma partícula (𝑟(𝑡)) e imagem da trajetória (Γ). 
A trajetória contém toda a informação sobre o movimento de uma partícula, sendo 
obtida por via experimental (por exemplo, através de registo e análise de imagem) ou por 
via analítica (através das leis fundamentais da Mecânica). A intuição leva-nos a admitir 
que é uma função contínua, isto é, que a partícula num certo instante t não desaparece 
subitamente, para reaparecer imediatamente noutra posição, ocorrendo uma variação 
finita instantânea do seu vetor de posição. 
 
 
EXEMPLO 1: movimento sobre uma reta. 
 
Consideremos a reta definida pelo ponto A (ou pelo vetor de posição 𝑟𝐴) e pelo versor 𝑒 (Figura 
E1.1): 
 
𝑟 = 𝑟𝐴 + 𝜆𝑒, com 𝜆 ∈ ℝ (E1.1) 
 
A forma geral da trajetória de uma partícula que se move sobre esta reta é: 
 
𝑟 = 𝑟𝐴 + 𝜆(𝑡) 𝑒, com 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] (E1.2) 
 
A função 𝜆 = 𝑓(𝑡) pode ser qualquer, desde que seja fisicamente admissível (isto é, desde que 
seja contínua e derivável no domínio [𝑡1, 𝑡2]). Vejamos dois casos de trajetórias distintas sobre a 
mesma reta: 
 
𝑟 = 6𝑡𝑖 + (1 + 8𝑡)𝑗 (m), com 𝑡 ∈ [0, 1 5⁄ ] (s) (E1.3) 
 
e 
 
𝑟 =
6
5
𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 𝑖 + (1 +
8
5
𝑠𝑖𝑛(2𝑡)) 𝑗 (m), com 𝑡 ∈ [0, 𝜋 2⁄ ] (s) (E1.4) 
 
 
Figura E1.1 – Movimento retilíneo. 
Após algum trabalho de cálculo algébrico, concluímos que estas duas trajetórias representam 
movimentos sobre a mesma reta, que passa pelo ponto 𝐴 e tem a direção do versor 𝑒 (E1.1): 
 
𝑟𝐴 = 𝑗 (m) e 𝑒 = (3 5⁄ )𝑖 + (4 5⁄ )𝑗 (E1.5) 
 
No primeiro caso (E1.3) a função 𝜆 = 𝑓(𝑡) (E1.2) é: 
 
𝜆(𝑡) = 10𝑡 (m), com 𝑡 ∈ [0, 1 5⁄ ] (s) (E1.6) 
 
No segundo caso (E1.4) a função 𝜆 = 𝑓(𝑡) é: 
 
𝜆(𝑡) = 2 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) (m), com 𝑡 ∈ [0, 𝜋 2⁄ ] (s) (E1.7) 
 
Na Figura E1.2 está representada a imagem das duas trajetórias. Em ambas trajetórias, a partícula 
está no ponto 𝐴(0 ; 1) m no instante 𝑡1 = 0. A partir daí, na primeira trajetória (E1.3) a partícula 
desloca-se no sentido de 𝑒 (E1.5) até chegar ao ponto 𝐵(6 5⁄ ; 13 5⁄ ) m no instante 𝑡2 = 1 5⁄ s 
(E1.6). Na segunda trajetória (E1.4) a partícula desloca-se no sentido de 𝑒 até chegar ao ponto 
𝐵(6 5⁄ ; 13 5⁄ ) m no instante 𝑡 = 𝜋 4⁄ , deslocando-se depois no sentido oposto ao de 𝑒 até atingir 
o ponto 𝐴(0 ; 1) m no instante 𝑡2 = 𝜋 2⁄ s. Este exemplo serve para realçar o facto de sobre a 
mesma curva poder haver trajetórias (isto é, movimentos) muito distintas. 
 
 
 
Figura E1.2 – Imagem das trajetórias 𝑟 = 6𝑡𝑖 + (1 + 8𝑡)𝑗, com 𝑡 ∈ [0, 1 5⁄ ] (s), e 
𝑟 = 6 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 5𝑖⁄ + (1 + 8 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 5⁄ )𝑗 , com 𝑡 ∈ [0, 𝜋 2⁄ ] (s). 
 
 
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0,0 0,5 1,0 1,5
y 
(m
)
x (m)
B 
A 
EXEMPLO 2: movimento sobre uma circunferência. 
 
Uma circunferência com raio 𝑅 e centro na origem 𝑂 de um sistema de coordenadas (𝑂; 𝑖, 𝑗) 
admite a seguinte equação paramétrica vetorial (Figura E2.1): 
 
𝑟 = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑖 + 𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑗 (m), com 𝜃 ∈ [0,2𝜋] (rad) (E2.1) 
 
A expressão geral da trajetória de uma partícula que se desloca sobre essa circunferência resulta 
de tomar o parâmetro 𝜃 como uma certa função do tempo, 𝜃 = 𝑓(𝑡): 
 
𝑟 = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡) 𝑖 + 𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑡) 𝑗 (m), com 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] (s) (E2.2) 
 
Sobre a mesma circunferência podemos ter partículas que se movem de formas muito diferentes, 
dependendo da função 𝜃 = 𝑓(𝑡). Deixamos aqui como exemplo os dois casos seguintes: 
 
𝑟 = 0.5 𝑐𝑜𝑠(2𝑡) 𝑖 + 0.5 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 𝑗 (m), com 𝑡 ∈ [0, 𝜋] (s) (E2.3) 
 
e 
 
𝑟 = 0.5 𝑐𝑜𝑠(−2𝑡) 𝑖 + 0.5 𝑠𝑖𝑛(−2𝑡) 𝑗 (m), com 𝑡 ∈ [0,2𝜋] (s) (E2.4) 
 
No primeiro caso a partícula parte (no instante 𝑡1 = 0 s) do ponto 𝐴(0.5 ; 0) m e percorre a 
circunferência no sentido direto, regressando ao ponto 𝐴 no instante 𝑡2 = 𝜋 s. No segundo caso a 
partícula parte também do ponto 𝐴(0.5 ; 0) m, mas percorre duas vezes a circunferência no sentido 
retrógrado até chegar de novo ao ponto 𝐴(0.5 ; 0) m, no instante 𝑡2 = 2𝜋 s. 
 
 
 
 
Figura E2.1 – Movimento circular de uma partícula. 
 
 
EXEMPLO 3: movimento sobre uma hélice cilíndrica. 
 
Na Figura E3.1 está representada uma hélice cilíndrica direta, cujo eixo coincide com o eixo 
coordenado 𝑂𝑧 de um sistema de coordenadas 𝑆(𝑂; 𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) . A equação paramétrica dessa curva é: 
 
𝑟 = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑖 + 𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑗 + 𝑏𝜃 �⃗⃗� (m), com 𝜃 ∈ ℝ (rad), 𝑅 > 0 e 𝑏 > 0 (E3.1) 
 
Uma importante caraterística desta curva é o passo 𝑝, que por definição é a variação da coordenada 
z quando o parâmetro 𝜃 varia 2𝜋 (Figura E3.1): 
 
𝑝 = 2𝜋𝑏 (m) (E3.2) 
 
A trajetória de qualquer partícula que se move sobre a hélice definida pela equação E3.1 tem a 
seguinte forma geral: 
 
𝑟 = 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡) 𝑖 + 𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜃 (𝑡) 𝑗 + 𝑏𝜃(𝑡) �⃗⃗� (m), com 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] (s) (E3.3) 
 
Uma trajetória concreta sobre uma hélice direta e com eixo 𝑂𝑧 é, por exemplo (E3.3): 
 
𝑟 = 1.5 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑖 + 1.5 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) 𝑗 + 8𝑡 �⃗⃗� (m), com 𝑡 ∈ [0, 𝜋] (s) (E3.4) 
 
Neste exemplo a partícula parte do ponto 𝐴(1.5 ; 0 ; 0), onde se encontra no instante 𝑡1 = 0 s, e 
desloca-se sempre no mesmo sentido sobre a hélice, até atingir o ponto 𝐵(1.5 ; 0 ; 8 𝜋), no instante 
𝑡2 = 𝜋 s. Notemos que a hélice associada à trajetória E3.4 tem passo 𝑝 = 4𝜋. 
 
 
 
Figura E3.1 – Movimento helicoidal de uma partícula. 
 
 
 
EXEMPLO 4: trajetória plana definida numericamente. 
 
O movimento de uma partícula foi registado com uma câmara CCD, encontrando-se na Tabela 
E4.1 os resultados da análise da respetiva sequência de imagens (10 imagens por segundo). Os 
gráficos das componentes 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) da trajetória estão representados na Figura E4.1a. Usando o 
método dos mínimos quadrados, ajustou-se à função numérica 𝑥(𝑡) um polinómio de primeiro 
grau e à função numérica 𝑦(𝑡) um polinómio de 2º grau, respetivamente: 
 
𝑥 = 2.5𝑡 (m), com 𝑡 ∈ [0 ; 1 . 4] (s) (E4.1) 
 
e 
 
𝑦 = −4.9𝑡2 + 4𝑡 + 3 (m), com 𝑡 ∈ [0 ; 1 . 4] (s) (E4.2) 
 
A imagem da trajetória (Figura E4.1b) obtém-se eliminando o parâmetro 𝑡 entre as funções 
numéricas (Tabela E4.1) ou analíticas (E4.1 e E4.2) que a caraterizam. A expressão analítica da 
imagem da trajetória é a seguinte parábola: 
 
𝑦 = −0.784𝑥2 + 1.6𝑥 + 3, com 𝑥 ∈ [0 ; 3 . 5] (m) (E4.3) 
 
 
Tabela E4.1: Trajetória definida numericamente 
t (s) x(m) y(m) 
0 0.000 3.000 
0.1 0.250 3.351 
0.2 0.500 3.604 
0.3 0.750 3.759 
0.4 1.000 3.816 
0.5 1.250 3.775 
0.6 1.500 3.636 
0.7 1.750 3.399 
0.8 2.000 3.064 
0.9 2.250 2.631 
1.0 2.500 2.100 
1.1 2.750 1.471 
1.2 3.000 0.744 
1.3 3.250 -0.081 
1.4 3.500 -1.004 
 
 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
Figura E4.1 – (a) Identificação experimental da trajetória de uma partícula e (b) da imagem da 
trajetória. 
y = 2,5t
0
1
2
3
4
0,0 0,5 1,0 1,5
x
(m
)
t (s)
Experimental
y = -4,9t2 + 4t + 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0,0 0,5 1,0 1,5
y
(m
)
t (s)
Experimental
y = -0,784x2 + 1,6x + 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
y
(m
)
x (m)
Experimental
2.3. VELOCIDADE DE UMA PARTÍCULA 
 
Seja 𝑟(𝑡) o vetor de posição de uma partícula 𝒫 no instante 𝑡 e 𝑟(𝑡 + Δ𝑡) o vetor 
de posição no instante posterior 𝑡 + Δ𝑡 (Δ𝑡 > 0), como está representado na Figura 2.2. 
Chamamos deslocamento de 𝒫 no intervalo de tempo [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡] ao vetor cuja origem é 
o ponto 𝑃(𝑡), onde a partícula está no instante 𝑡, e cuja extremidade é o ponto 𝑄(𝑡 + Δ𝑡), 
onde a partícula está no instante 𝑡 + Δ𝑡 (Figura 2.2): 
 
𝛥𝑟 = 𝑟(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑟(𝑡) (2.3) 
 
Em termos das coordenadas da partícula nos instantes 𝑡 e 𝑡 + Δ𝑡 (2.2), temos: 
 
Δ𝑟 = [𝑥(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑥(𝑡)]𝑖 + [𝑦(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑦(𝑡)]𝑗 + [𝑧(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑧(𝑡)]�⃗⃗� (2.4) 
 
A velocidade média de 𝒫 no intervalo de tempo [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡] é, por definição: 
 
�⃗�𝑚 =
Δ𝑟
Δ𝑡
 (2.5) 
 
sendo, pois, um vetor com a direção e o sentido do deslocamento entre 𝑡 e 𝑡 + Δ𝑡 (Figura 
2.2). 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Deslocamento (Δ𝑟) e velocidade (�⃗�) de uma partícula. 
Supondo o instante 𝑡 fixo, a velocidade média é uma função de Δ𝑡, conforme está 
ilustrado na Figura 2.2. Fazendo tender Δ𝑡 para zero, o deslocamento Δ𝑟 também tende 
para o vetor zero, mas a velocidade média tende para um vetor de norma finita e em geral 
diferente de 0⃗⃗, a que chamamos velocidade da partícula 𝒫 no instante 𝑡: 
 
�⃗�(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚
Δ𝑡→0
Δ𝑟
Δ𝑡
 (2.6) 
 
ou seja (2.4), 
 
�⃗�(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚
Δ𝑡→0
𝑥(𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝑥(𝑡)
𝛥𝑡
𝑖 + 𝑙𝑖𝑚
Δ𝑡→0
𝑦(𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝑦(𝑡)
𝛥𝑡
𝑗 + 𝑙𝑖𝑚
Δ𝑡→0
𝑧(𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝑧(𝑡)
𝛥𝑡
�⃗⃗� (2.7) 
 
Assim, a velocidade de uma partícula é, por definição, a derivada da trajetória (2.2) em 
ordem ao tempo: 
 
�⃗�(𝑡) =
𝑑𝑟(𝑡)
𝑑𝑡
 (2.8) 
 
ou, indicando explicitamente as componentes cartesianas (2.7), 
 
�⃗�(𝑡) = 𝑣𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑣𝑣(𝑡)𝑗 + 𝑣𝑧(𝑡)�⃗⃗� =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
�⃗⃗� (2.9) 
 
Além da notação de Leibniz (1646–1716) para a derivada, usada na equação anterior 
(2.9), utilizaremos também a notação de Newton (1642–1727), empregue com frequência 
em Mecânica quando se trata da derivada duma grandeza em ordem ao tempo: 
 
�⃗�(𝑡) = �̇�(𝑡) = �̇�(𝑡)𝑖 + �̇�(𝑡)𝑗 + �̇�(𝑡)�⃗⃗� (2.10) 
 
A intuição leva-nos a admitir que a velocidade de uma partícula 𝒫 é uma função 
contínua do tempo, isto é, que 𝒫 não sofre instantaneamente variações finitas de 
velocidade. Isto equivale a dizer que a trajetória (2.2), além de ser contínua, é derivável 
em todo o seu domínio. Por outro lado, a velocidade de uma partícula 𝒫 no instante t, tal 
como a acabamos de definir (equação 2.6 e Figura 2.2), é um vetor tangente à imagem da 
trajetória no ponto 𝑃(𝑡), e cujo sentido é o sentido em que nesse instante se desloca 𝒫. É 
claro que a velocidade de uma partícula 𝒫 pode variar ao longo do tempo, quer em norma 
(que designamos também por rapidez), quer em direção (em diferentes instantes 𝒫 
desloca-se em direções distintas). 
 
 
EXEMPLO 5: velocidade no movimento retilíneo. 
 
No EXEMPLO 1 apresentamos a equação geral da trajetória de uma partícula que se move sobre 
uma reta (E1.2). A partir dessa equação imediatamente se obtém a expressão geral da velocidade 
para o movimento retilíneo (2.8): 
 
�⃗� =
𝑑𝜆
𝑑𝑡
𝑒 (E5.1) 
 
A velocidade tem a direção da reta sobre a qual se desloca a partícula (Figura E5.1), e tem o sentido 
do versor e

 se 𝑑𝜆 𝑑𝑡⁄ > 0ou o sentido oposto se 𝑑𝜆 𝑑𝑡⁄EXEMPLO 7: velocidade no movimento helicoidal. 
 
Retomemos o EXEMPLO 3 (movimento sobre uma hélice cilíndrica) e o movimento concreto 
caraterizado pela trajetória E3.4. A velocidade nesse movimento é (2.9): 
 
�⃗� = −6 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) 𝑖 + 6 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑗 + 8�⃗⃗� (m/s), com 𝑡 ∈ [0, 𝜋] (s) (E7.1) 
 
Se recordarmos o que foi visto nos EXEMPLOS 1, 2, 5 e 6, facilmente se compreende que o 
movimento descrito pela trajetória E3.4 é a composição de um movimento circular e uniforme no 
plano Oxy (com raio 𝑅 = 1.5m e rapidez ‖�⃗�‖ = 6m/s), com um movimento retilíneo e uniforme 
sobre o eixo Oz (com rapidez ‖�⃗�‖ = 8m/s). Na Figura E7.1 representamos a velocidade num 
instante genérico t, que é um vetor tangente à hélice no ponto onde se encontra a partícula e com 
o sentido em que se move nesse instante. 
 
 
 
 
EXEMPLO 8: velocidade num movimento plano definido numericamente. 
 
Consideremos mais uma vez a trajetória do EXEMPLO 4, definida numericamente (Tabela 4.1). 
Uma vez obtidas as funções polinomiais 𝑥(𝑡) (E4.1) e 𝑦(𝑡) (E4.2), é fácil obter a velocidade (2.9): 
 
�⃗� = 2.5𝑖 + (−9.8𝑡 + 4)𝑗 (m/s), com 𝑡 ∈ [0 ; 1 . 4] (s) (E8.1) 
 
Na Figura E8.1 está representada a velocidade, num instante qualquer 𝑡 ∈ [0 ; 1 . 4]. 
 
 
 
 
Figura E7.1 – Velocidade no movimento helicoidal, definido pela trajetória E3.4. 
 
 
Figura E8.1 – Velocidade para o movimento plano do EXEMPLO 4. 
 
 
 
 
2.4. ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA 
 
No instante genérico 𝑡 uma partícula 𝒫 ocupa a posição 𝑟(𝑡) e tem a velocidade 
�⃗�(𝑡) (Figura 2.3). Mais tarde, no instante 𝑡 + Δ𝑡 (com Δ𝑡 > 0), a partícula está na posição 
𝑟(𝑡 + Δ𝑡) e tem a velocidade �⃗�(𝑡 + Δ𝑡). Chamamos aceleração média de 𝒫 no intervalo 
de tempo [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡] ao vetor: 
 
�⃗�𝑚 =
�⃗�(𝑡 + Δ𝑡) − �⃗�(𝑡)
Δ𝑡
=
Δ�⃗�
Δ𝑡
 (2.11) 
 
ou, explicitamente à custa das componentes cartesianas da velocidade (2.9), 
 
�⃗�𝑚 =
𝑣𝑥(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑣𝑥(𝑡)
Δ𝑡
𝑖 +
𝑣𝑦(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑣𝑦(𝑡)
Δ𝑡
𝑗 +
𝑣𝑧(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑣𝑧(𝑡)
Δ𝑡
�⃗⃗� (2.12) 
 
 
y = -0,784x2 + 1,6x + 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
y
(m
)
x (m)
Experimental
 
Figura 2.3 – Aceleração (�⃗�) de uma partícula. 
 
 
A aceleração da partícula 𝒫 no instante 𝑡 é, por definição, o limite da aceleração média 
em [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡] quando Δ𝑡 tende para zero: 
 
�⃗�(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚
Δ𝑡→0
Δ�⃗�
Δ𝑡
=
𝑑�⃗�(𝑡)
𝑑𝑡
= �̇⃗�(𝑡) (2.13) 
 
ou ainda (2.9), 
 
�⃗�(𝑡) = 𝑎𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑎𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑎𝑧(𝑡)�⃗⃗� =
𝑑𝑣𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑣𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑣𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
�⃗⃗� (2.14) 
 
 
EXEMPLO 9: aceleração no movimento retilíneo. 
 
Recordemos a expressão geral da velocidade de uma partícula animada de um movimento retilíneo 
genérico, apresentada no EXEMPLO 5 (E5.1). A partir dela obtemos imediatamente a expressão 
geral da aceleração (2.13): 
 
�⃗� =
𝑑2𝜆
𝑑𝑡2
𝑒 (m/s2) (E9.1) 
 
Assim, no movimento retilíneo a aceleração é um vetor com a direção da reta sobre a qual se move 
a partícula. No primeiro caso particular de movimento retilíneo do EXEMPLO 5 (E5.2), a 
aceleração é nula (movimento retilíneo e uniforme): 
 
�⃗� = 0⃗⃗ (m/s2), para 𝑡 ∈ [0 ; 1 5⁄ ] (s) (E9.2) 
 
No segundo caso (E5.3), a aceleração é: 
 
�⃗� = −8 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 𝑒 (m/s2), para 𝑡 ∈ [0 ; 𝜋 2⁄ ] (s) (E9.3) 
 
Se substituirmos nessa equação a expressão cartesiana do versor 𝑒 (E1.5), obtemos a expressão 
cartesiana da aceleração: 
 
�⃗� = −
24
5
𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 𝑖 −
32
5
𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 𝑗 (m/s2), para 𝑡 ∈ [0 ; 𝜋 2⁄ ] (s) (E9.4) 
 
Este resultado pode ser obtido diretamente a partir da expressão cartesiana da velocidade (E5.5), 
por derivação em ordem ao tempo (2.14). 
 
 
 
 
EXEMPLO 10: aceleração no movimento circular. 
 
No EXEMPLO 6 vimos qual é a expressão da velocidade de uma partícula que se move sobre uma 
circunferência do plano Oxy, com raio R e centro na origem do sistema de coordenadas (E6.1). A 
aceleração respetiva pode ser assim representada (2.13): 
 
�⃗� = �⃗�𝑡 + �⃗�𝑛 (E10.1) 
 
sendo 
 
�⃗�𝑡 = 𝑅
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
[− 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑡)𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡)𝑗] (m/s2) (E10.2) 
e 
 
�⃗�𝑛 = 𝑅 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
[− 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡)𝑖 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑡)𝑗] (m/s2) (E10.3) 
 
A primeira componente (E10.2), tal como a velocidade (E6.1) tem a direção da tangente à 
circunferência (aceleração tangencial); a segunda componente (E10.3) tem a direção da normal à 
circunferência (aceleração normal) e aponta para o centro da circunferência (Figura E10.1). 
Notemos que a aceleração tangencial é nula se 𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ for constante, ou seja, se a rapidez (E6.2) 
for constante (movimento circular e uniforme). É o que acontece com os dois movimentos 
particulares que foram considerados no EXEMPLO 6 (E6.3 e E6.4), cuja aceleração é: 
 
 
Figura E10.1 – Aceleração no movimento circular. 
�⃗� = �⃗�𝑛 = 2[−𝑐𝑜𝑠(2𝑡) 𝑖 − 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) 𝑗] (m/s2) (E10.4) 
 
e 
 
�⃗� = �⃗�𝑛 = 2[− 𝑐𝑜𝑠(−2𝑡) 𝑖 − 𝑠𝑖𝑛(−2𝑡) 𝑗] (m/s2) (E10.5) 
 
 
EXEMPLO 11: aceleração no movimento helicoidal. 
 
Continuemos com o movimento helicoidal e uniforme do EXEMPLO 7. A partir da expressão 
cartesiana da velocidade (E7.1) facilmente obtemos a expressão da aceleração (2.14): 
 
�⃗� = 24[− 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑖 − 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) 𝑗] (m/s2), com 𝑡 ∈ [0, 𝜋] (s) (E11.1) 
 
É simples verificar que a aceleração é em cada instante normal à velocidade (E7.1) e, portanto, à 
hélice, no ponto 𝑃(𝑡) que a partícula ocupa no instante 𝑡 (aceleração normal). De facto, temos: 
 
�⃗� ⋅ �⃗� = 0 (E11.2) 
 
Além disso, a

 é perpendicular ao eixo Oz e aponta no sentido de 𝑃(𝑡) para Oz (Figura E11.1). É 
interessante notar que a aceleração (E11.1) é precisamente a aceleração do movimento da projeção 
da partícula no plano Oxy (que é um movimento circular e uniforme). 
 
 
Figura E11.1 – Aceleração no movimento helicoidal, definido pela trajetória E3.4. 
 
 
EXEMPLO 12: aceleração num movimento plano definido numericamente. 
 
Para a partícula do EXEMPLO 4 (e do EXEMPLO 8) é muito simples determinar a aceleração, 
derivando em ordem ao tempo velocidade (E8.1): 
 
�⃗� = −9.8𝑗 (m/s2), para 𝑡 ∈ [0 ; 1 . 4𝑡] (s) (E12.1) 
 
Reconhecemos neste resultado a aceleração da gravidade. A trajetória apresentada na Tabela 4.1 
(do EXEMPLO 4) representa, pois, o movimento de uma partícula num campo gravítico, quando 
a resistência do meio é desprezável. 
 
 
 
Figura E12.1 – Aceleração para o movimento plano do EXEMPLO 4. 
 
 
 
 
 
2.5. DISTÂNCIA PERCORRIDA E RAPIDEZ 
 
 No instante particular 𝑡0, uma partícula encontra-se no ponto 𝑃0, cujo vetor de 
posição é 𝑟0 (Figura 2.4). No instante corrente 𝑡 a partícula encontra-se no ponto 𝑃(𝑡), 
tendo percorrido a distância 𝑠(𝑡0, 𝑡). Esta distância, uma vez fixado o instante 𝑡0, é, pois, 
uma função do tempo: 
 
𝑠(𝑡0, 𝑡) = ℎ(𝑡) (2.15) 
 
Esta função é positiva ∀ 𝑡 > 𝑡0, sendo nula para 𝑡 = 𝑡0. Além disso, a distância 
percorrida entre o instante 𝑡, quando a partícula está no ponto 𝑃(𝑡), e o instante 𝑡 + Δ𝑡 
(Δ𝑡 > 0), quando a partícula se encontra no ponto 𝑄(𝑡 + Δ𝑡) (Figura 2.4), é também 
positiva ou, eventualmente, nula: 
 
y = -0,784x2 + 1,6x + 3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
y
(m
)
x (m)
Experimental
 
Figura 2.4 – Deslocamento (Δ𝑟), distância percorrida (Δ𝑠(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡)), comprimento do arco (𝑃�̂�) e 
distância entre 𝑃 e 𝑄 (𝑃𝑄). 
 
 
 
Δ𝑠(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) ≥ 0, ∀ 𝑡, 𝑡 + Δ𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1] (2.16) 
 
A função 𝑠(𝑡0, 𝑡) = ℎ(𝑡) é, portanto, uma função positiva e crescente em sentido lato. 
Na Figura 2.5 apresentamos o gráfico de uma função 𝑠(𝑡0, 𝑡) = ℎ(𝑡) que é fisicamente 
admissível. 
Intuitivamente compreendemos que a distância percorrida no intervalo de tempo 
[𝑡, 𝑡 + Δ𝑡] é em geral maior (podendo eventualmente ser igual) que o comprimento do 
arco 𝑃�̂� e este, por sua vez, é em geral maior que a distância entre os pontos 𝑃 e 𝑄 (Figura2.4): 
 
 
 
Figura 2.5 – Exemplo de uma função distância percorrida desde 𝑡0 até 𝑡, 𝑠(𝑡0, 𝑡) = ℎ(𝑡). 
 
Δ𝑠(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) ≥ 𝑃�̂� ≥ ‖Δ𝑟‖ (2.17) 
 
Designemos por rapidez média, no intervalo [𝑡, 𝑡 + Δ𝑡], o quociente entre Δ𝑠(𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) 
e Δ𝑡: 
 
𝑣𝑚 =
Δ𝑠
Δ𝑡
 (2.18) 
 
É evidente que (2.17) 
 
Δ𝑠
Δ𝑡
 ≥ 
𝑃�̂� 
𝛥𝑡
≥ ‖
Δ𝑟
Δ𝑡
‖ (2.19) 
 
ou seja, a rapidez média (2.18) é maior ou igual que a norma da velocidade média (2.5). 
Mas a intuição leva-nos a admitir que são iguais os seguintes limites: 
 
𝑙𝑖𝑚
Δ𝑡→0
Δ𝑠
Δ𝑡
 = 𝑙𝑖𝑚
Δ𝑡→0
 
𝑃�̂� 
Δ𝑡
= ‖ 𝑙𝑖𝑚
Δ𝑡→0
Δ𝑟
Δ𝑡
‖ (2.20) 
 
Chamamos rapidez de uma partícula à derivada em ordem ao tempo da função 𝑠(𝑡0, 𝑡) =
ℎ(𝑡): 
 
𝑣(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚
Δ𝑡→0
Δ𝑠
Δ𝑡
 = 
𝑑𝑠(𝑡) 
𝑑𝑡
= ṡ(𝑡) (2.21) 
 
A equação 2.20 mostra que a rapidez no instante 𝑡 é a norma da velocidade da partícula 
nesse instante: 
 
𝑣(𝑡) = ‖�⃗�(𝑡)‖ (2.22) 
 
 Suponhamos que a rapidez é conhecida em função do tempo 𝑡 ∈ [𝑡0, 𝑡1]. Então, a 
distância percorrida pela partícula desde o instante 𝑡0 até ao instante corrente 𝑡 é (teorema 
fundamental do cálculo integral): 
𝑠(𝑡0, 𝑡) = ∫ 𝑣(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
𝑡𝑜
 (2.23) 
 
É claro que a distância percorrida pela partícula no intervalo [𝑡0, 𝑡1] é: 
 
Δ𝑠(𝑡0, 𝑡1) = ∫ 𝑣(𝜏)𝑑𝜏
𝑡1
𝑡𝑜
 (2.24) 
 
 
EXEMPLO 13 
Determinar a distância percorrida pela partícula dos EXEMPLOS 1 e 5, desde o instante inicial 
até ao instante corrente. 
 
Em geral, a rapidez duma partícula que se move sobre uma reta é (E5.1): 
 
𝑣 = |
𝑑𝜆
𝑑𝑡
| (E13.1) 
 
Consideremos o caso concreto da partícula cuja trajetória é definida pela equação E1.3, com 
rapidez (E5.2): 
𝑣 = 10 m/s (E13.2) 
 
Então, a distância percorrida pela partícula desde o instante inicial até ao instante 𝑡 ∈ [0, 1 5⁄ ]s é 
a seguinte função do tempo (2.23): 
 
𝑠(0, 𝑡) = ∫ 10𝑑𝜏
𝑡
0
= 10𝑡, com 𝑡 ∈ [0, 1 5⁄ ]s (E13.3) 
 
Consideremos agora o caso da partícula cuja trajetória é dada pela equação E1.4 e que tem rapidez 
(E5.3): 
 
𝑣 = 4|𝑐𝑜𝑠(2𝑡)|, com 𝑡 ∈ [0, 𝜋 2⁄ ] s (E13.4) 
 
Neste caso, a distância percorrida desde 𝑡 = 0 até 𝑡 ∈ [0, 𝜋 2⁄ ] s é (2.23): 
 
𝑠(0, 𝑡) =
{
 
 
 
 4∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝜏) 𝑑𝜏
𝑡
0
, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 4⁄
𝑠(0, 𝜋 4⁄ ) − 4∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝜏) 𝑑𝜏
𝑡
𝜋 4⁄
, 𝜋 4⁄ ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2⁄
 (E13.5) 
 
Efetuando os cálculos indicados, obtemos: 
 
𝑠(0, 𝑡) = {
2 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 4⁄
4 − 2 𝑠𝑖𝑛(2𝑡) , 𝜋 4⁄ ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2⁄
 (E13.6) 
 
Na Figura E13.1 estão representados os gráficos das funções E13.3 e E13.6. 
 
 
 
EXEMPLO 14 
Determinar a distância percorrida pela partícula dos EXEMPLOS 2 e 6, desde o instante inicial 
até ao instante corrente. 
 
Foi já determinada a velocidade da partícula (E6.1). A rapidez é a norma da velocidade, ou seja 
(E6.2): 
 
𝑣 = ‖�⃗�‖ = 𝑅 |
𝑑𝜃
𝑑𝑡
| (E14.1) 
 
Assim sendo, a distância percorrida desde o instante 𝑡 = 0 até ao instante atual 𝑡 é dada pelo 
seguinte integral definido (2.23): 
 
 
Figura E13.1 – Distância percorrida em função do tempo: equações E13.3 e E13.6. 
 
 
 
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
D
is
tâ
n
ci
a,
s 
(m
)
Tempo, t (s)
E13.3
E13.6
𝑠(0, 𝑡) = 𝑅 ∫ |
𝑑𝜃
𝑑𝜏
| 𝑑𝜏
𝑡
0
 (E14.2) 
 
Vejamos o problema particular em que 𝜃 é a seguinte função linear e crescente do tempo, como 
acontece com um dos casos particulares do EXEMPLO 6 (E6.3): 
 
𝜃 = 𝜔 𝑡, com 𝜔 > 0 (E14.3) 
 
Neste caso, a distância percorrida (E14.2) é o comprimento do arco de circunferência 
compreendido entre a posição da partícula no instante 𝑡 = 0 e a posição da partícula no instante 
𝑡 (Figura E6.1): 
 
𝑠(0, 𝑡) = 𝑅𝜃(𝑡) (E14.4) 
 
 
 
 
2.6. MOVIMENTOS UNIFORMES, ACELERADOS E RETARDADOS 
 
Dizemos que uma partícula tem movimento uniforme num dado intervalo de 
tempo  21 , tt se nesse intervalo de tempo a rapidez for constante (Figura 2.6a), ou seja: 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0, ∀ 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] (2.25) 
 
Por sua vez, dizemos que o movimento de uma partícula é acelerado no intervalo de 
tempo [𝑡1, 𝑡2] se a rapidez for estritamente crescente nesse intervalo de tempo (Figura 
2.6b), isto é: 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
> 0, ∀ 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] (2.26) 
 
Por último, o movimento de uma partícula é retardado no intervalo de tempo [𝑡1, 𝑡2], se 
neste intervalo de tempo a rapidez é uma função estritamente decrescente (Figura 2.6c): 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
as equações paramétricas do 
plano osculador obtêm-se imediatamente, procedendo conforme está indicado na equação 2.28: 
 
[
𝑥𝜋
𝑦𝜋
𝑧𝜋
] = [
1.5 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) − 6𝜆 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) − 24𝜇 𝑐𝑜𝑠(4𝑡)
1.5 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) + 6𝜆 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) − 24𝜇 𝑠𝑖𝑛(4𝑡)
8𝑡 + 8𝜆
] (E17.2) 
 
Nesta equação 𝑥𝜋, 𝑦𝜋 e 𝑧𝜋 são as coordenadas do ponto genérico 𝑀 ∈ 𝜋; além disso, 𝑡 ∈
[0 ; 𝜋]s, 𝜆 ∈ ℝ e 𝜇 ∈ ℝ. Em alternativa, podemos obter a equação cartesiana do plano osculador, 
usando a equação 2.29. Após algum trabalho de cálculo algébrico, chegamos à seguinte equação: 
 
192 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) ⋅ 𝑥𝜋 − 192𝑠𝑖𝑛(4𝑡) ⋅ 𝑦𝜋 + 144𝑧𝜋 − 1152𝑡 = 0 (E17.3) 
 
 
 
 
2.8. REFERENCIAL DE FRENET-SERRET 
 
Em muitas aplicações práticas de cinemática da partícula importa caraterizar 
localmente, em cada ponto 𝑃(𝑡), a orientação da trajetória de uma partícula, em relação 
a um referencial cartesiano (𝑂; 𝑖, 𝑗, �⃗⃗�). Essa orientação é definida pelo referencial de 
Frenet-Serret (Jean Frenet, 1816-1900; Joseph Serret, 1819-1885), que iremos apresentar 
nesta secção. 
Admitamos que é conhecida a trajetória de uma partícula (2.2) e, por conseguinte, 
a sua velocidade (2.9) e a sua aceleração (2.14) em qualquer instante 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2]. Vimos 
na secção 2.3 que a velocidade é tangente à imagem  da trajetória, no ponto 𝑃(𝑡) onde 
a partícula se encontra no instante corrente 𝑡 (Figura 2.2). Assim sendo, em cada ponto 
𝑃(𝑡) podemos definir um versor tangente a  e com o sentido da velocidade (𝑒𝑡), do 
seguinte modo: 
 
𝑒𝑡 =
�⃗�
𝑣
 (2.32) 
 
No mesmo ponto 𝑃(𝑡) podemos também definir um versor normal ao plano osculador 
(2.28), como se segue (Figura 2.8): 
 
𝑒𝑏 =
�⃗� ∧ �⃗�
‖�⃗� ∧ �⃗�‖
 (2.33) 
 
e que é conhecido por versor binormal. Finalmente, podemos definir em 𝑃(𝑡) um terceiro 
vetor, simultaneamente perpendicular a 𝑒𝑡 e a 𝑒𝑏, através da seguinte equação (Figura 
2.8): 
 
𝑒𝑛 = 𝑒𝑏 ∧ 𝑒𝑡 (2.34) 
 
ao qual chamamos versor normal principal. 
Os versores 𝑒𝑡, 𝑒𝑛 e 𝑒𝑏, por esta ordem, formam em cada ponto 𝑃(𝑡) ∈ Γ um 
referencial ortonormal e direto, conhecido por referencial de Frenet-Serret. É este 
referencial (𝑃; 𝑒𝑡, 𝑒𝑛, 𝑒𝑏) que é empregue para caraterizar localmente a orientação de uma 
trajetória, relativamente ao referencial (𝑂; 𝑖, 𝑗, �⃗⃗�). 
 
 
 
Figura 2.8 – Referencial de Frenet-Serret: (𝑃; 𝑒𝑡, 𝑒𝑛, 𝑒𝑏). 
EXEMPLO 18 
Determinar a base do referencial de Frenet-Serret para a trajetória descrita pela equação E3.4, do 
EXEMPLO 3. 
 
Uma vez conhecida a expressão cartesiana da velocidade (E7.1), facilmente se calcula a rapidez 
(2.22), 
 
𝑣 = 10 m/s (E18.1) 
 
e, em seguida, o versor 𝑒𝑡 (2.32): 
 
𝑒𝑡 = −0.6 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) 𝑖 + 0.6 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑗 + 0.8�⃗⃗� (E18.2) 
 
Quanto ao versor binormal (2.33), comecemos por achar o vetor �⃗� ∧ �⃗� (E7.1 e E11.1): 
 
�⃗� ∧ �⃗� = 192 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) 𝑖 − 192 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑗 + 144�⃗⃗� (E18.3) 
 
A norma deste vetor é 
 
‖�⃗� ∧ �⃗�‖ = 240 (E18.4) 
 
pelo que o versor 𝑒𝑏 vem (2.33): 
 
𝑒𝑏 = 0.8 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) 𝑖 − 0.8 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑗 + 0.6�⃗⃗� (E18.5) 
 
Por fim, o versor normal principal (2.34) obtém-se efetuando o produto vetorial de 𝑒𝑏 (E18.5) por 
𝑒𝑡 (E18.2): 
 
𝑒𝑛 = −𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑖 − 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) 𝑗 (E18.6) 
 
 
 
EXEMPLO 19 
Determinar a base do referencial de Frenet-Serret para a trajetória do EXEMPLO 4. 
 
A partir da velocidade da partícula, determinada no EXEMPLO 8 (E8.1), é fácil obter o versor 
tangente (2.32): 
 
𝑒𝑡 =
�⃗⃗�
𝑣
=
2.5𝑖+(−9.8𝑡+4)𝑗
√2.52+(−9.8𝑡+4)2
 (E19.1) 
 
Por outro lado, a partir da velocidade (E8.1) e da aceleração, calculada no EXEMPLO 12 (E12.1), 
imediatamente se constata que o versor binormal (2.33) é: 
𝑒𝑏 =
�⃗⃗�∧�⃗⃗�
‖�⃗⃗�∧�⃗⃗�‖
= −�⃗⃗� (E19.2) 
 
Por último, o versor normal principal (2.34) é: 
 
𝑒𝑛 = 𝑒𝑏 ∧ 𝑒𝑡 =
(−9.8𝑡+4)𝑖−2.5�⃗�
√2.52+(−9.8𝑡+4)2
 (E19.3) 
 
 
 
 
2.9. COMPONENTES NATURAIS DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO 
 
Chamamos componentes naturais da velocidade e da aceleração de uma partícula 
às componentes dessas grandezas cinemáticas no referencial de Frenet-Serret. É evidente 
que a velocidade tem apenas componente na direção (e sentido) do versor tangente 𝑒𝑡 
(Equação 2.32 e Figura 2.9): 
 
�⃗� = 𝑣 𝑒𝑡 (2.35) 
 
Por sua vez, a aceleração tem uma componente na direção do versor 𝑒𝑡 (representada por 
𝑎𝑡) e uma componente na direção do versor normal principal (representada por 𝑎𝑛), 
conforme está ilustrado na Figura 2.9: 
 
�⃗� = 𝑎𝑡𝑒𝑡 + 𝑎𝑛𝑒𝑛 (2.36) 
 
 
 
Figura 2.9 – Projeções naturais da aceleração: aceleração tangencial (�⃗�𝑡) e aceleração normal (�⃗�𝑛). 
A componente tangencial e a componente normal da aceleração podem ser 
calculadas diretamente a partir da velocidade e da aceleração, apenas com operações 
algébricas. Comecemos por determinar a componente tangencial, efetuando o produto 
escalar de �⃗� (2.35) por �⃗� (2.36): 
 
�⃗� ⋅ �⃗� = 𝑣𝑒𝑡 ⋅ (𝑎𝑡𝑒𝑡 + 𝑎𝑛𝑒𝑛) = 𝑣𝑎𝑡 (2.37) 
 
Daqui concluímos imediatamente que 
 
𝑎𝑡 =
�⃗� ⋅ �⃗�
𝑣
 (2.38) 
 
Para acharmos a componente normal façamos o produto vetorial de �⃗� (2.35) por �⃗� (2.80): 
 
�⃗� ∧ �⃗� = 𝑣𝑒𝑡 ∧ (𝑎𝑡𝑒𝑡 + 𝑎𝑛𝑒𝑛) = 𝑣𝑎𝑛𝑒𝑏 (2.39) 
 
Desta última equação concluímos que 
 
𝑎𝑛 =
‖�⃗� ∧ �⃗�‖
𝑣
 (2.40) 
 
Derivando em ordem ao tempo a expressão cartesiana da velocidade no referencial 
de Frenet-Serret (2.35), obtemos: 
 
�⃗� =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑒𝑡 + 𝑣
𝑑𝑒𝑡
𝑑𝑡
 (2.41) 
 
Comparando esta expressão da aceleração com a expressão 2.36 fica claro que a 
aceleração tangencial (2.38), 
 
�⃗�𝑡 =
�⃗� ⋅ �⃗�
𝑣
𝑒𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑒𝑡 (2.42) 
 
está relacionada com a variação da rapidez do movimento e que a aceleração normal 
(2.40), 
�⃗�𝑛 =
‖�⃗� ∧ �⃗�‖
𝑣
𝑒𝑛 = 𝑣
𝑑𝑒𝑡
𝑑𝑡
 (2.43) 
 
está relacionada com a variação da direção do movimento. A aceleração tangencial (2.42) 
tem o sentido de 𝑒𝑡 (isto é, da velocidade) se o movimento for acelerado (2.26), ou tem o 
sentido oposto ao de 𝑒𝑡 se o movimento for retardado (2.27). Por sua vez, a aceleração 
normal (2.43) tem sempre o sentido de 𝑒𝑛. Importa não esquecer que a aceleração 
tangencial e a aceleração normal são ortogonais entre si (Equação 2.36 e Figura 2.9), pelo 
que devemos ter: 
 
𝑎2 = 𝑎𝑡
2 + 𝑎𝑛
2 (2.44) 
 
 
EXEMPLO 20 
Determinar a aceleração normal e a aceleração tangencial para a trajetória E2.2, do EXEMPLO 2. 
 
No EXEMPLO 6 foi obtida a rapidez do movimento (E6.2): 
 
𝑣 = 𝑅 |
𝑑𝜃
𝑑𝑡
| = 𝑅√(
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
 (E20.1) 
 
Daqui resulta que 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑅 𝑠𝑔𝑛 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 (E20.2) 
 
onde 𝑠𝑔𝑛(𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ ) representa o sinal de 𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ , 
 
𝑠𝑔𝑛 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
) =
𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄
|𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ |
= {
1, 𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ > 0
−1, 𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄𝑑𝑡
[−𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑡)𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡)𝑗] (E20.7) 
 
Substituindo esta expressão e a rapidez (1ª equação E20.1) na 2ª equação 2.43, e atendendo a 
E20.3, resulta: 
 
�⃗�𝑛 = 𝑅 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
[− 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡)𝑖 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑡)𝑗] (E20.8) 
 
como já tínhamos concluído no EXEMPLO 10 (E10.3). Na base do referencial de Frenet-Serret a 
aceleração normal tem, portanto, a seguinte expressão cartesiana (E20.12 e equações 2.43): 
 
�⃗�𝑛 = 𝑅 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
𝑒𝑛 (E20.9) 
 
 
 
EXEMPLO 21 
Determinar a aceleração normal e a aceleração tangencial para o movimento descrito pela trajetória 
E3.4, do EXEMPLO 3. 
 
Uma vez que a rapidez do movimento é constante (E18.1), então a aceleração tangencial (2.42) é 
nula: 
 
�⃗�𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑒𝑡 = 0⃗⃗ (E21.1) 
 
Podemos também determinar na

 com a 1ª equação 2.43, usando as expressões cartesianas da 
velocidade (E7.1) e da aceleração (E11.1), juntamente com a rapidez (E18.1) e a expressão 
cartesiana do versor 𝑒𝑛 (E18.6). Porém, neste problema particular, de E21.1 concluímos 
imediatamente que (2.36 e E11.1): 
 
�⃗�𝑛 = �⃗� = 24[− 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) 𝑖 − 𝑠𝑖𝑛(4𝑡) 𝑗] (E21.2) 
 
 
EXEMPLO 22 
Determinar a aceleração normal e a aceleração tangencial para o movimento do EXEMPLO 4. 
 
Tirando partido dos resultados obtidos no EXEMPLO 16 (E16.2) e no EXEMPLO 19 (E19.1), 
determinamos facilmente a expressão cartesiana da aceleração tangencial através da 2ª equação 
2.42: 
 
�⃗�𝑡 =
−9.8(−9.8𝑡 + 4)
√2. 52 + (−9.8𝑡 + 4)2
𝑒𝑡 =
−9.8(−9.8𝑡 + 4)[2.5𝑖 + (−9.8𝑡 + 4)𝑗]
2. 52 + (−9.8𝑡 + 4)2
 (E22.1) 
 
Neste problema, a forma mais eficiente de obter a expressão cartesiana da aceleração normal é 
(2.36, E12.1 e E22.1): 
 
�⃗�𝑛 = �⃗� − �⃗�𝑡 = −9.8𝑗 +
9.8(−9.8𝑡 + 4)[2.5𝑖 + (−9.8𝑡 + 4)𝑗]
2. 52 + (−9.8𝑡 + 4)2
 (E22.2) 
 
No referencial de Frenet-Serret, temos (1ª equação 2.43): 
 
�⃗�𝑛 =
‖�⃗� ∧ �⃗�‖
𝑣
𝑒𝑛 =
24.5
√2. 52 + (−9.8𝑡 + 4)2
𝑒𝑛 (E22.3) 
 
 
 
 
 
2.10. CINEMÁTICA DA PARTÍCULA EM COORDENADAS CURVILÍNEAS 
 
Em alguns problemas, nomeadamente naqueles que envolvem certas simetrias, é 
possível simplificar os cálculos das grandezas cinemáticas recorrendo a outros sistemas 
de coordenadas, diferentes dos sistemas cartesianos e conhecidos pelo nome genérico de 
sistemas de coordenadas curvilíneas. As coordenadas curvilíneas mais utilizadas no plano 
são as coordenadas polares; no espaço, as coordenadas curvilíneas empregues com mais 
frequência são as coordenadas cilíndricas e as coordenadas esféricas. Nesta secção vamos 
apresentar as expressões gerais da trajetória, da velocidade e da aceleração nos citados 
sistemas de coordenadas. 
 
 
 
2.10.1. Cinemática em coordenadas polares 
 
 As coordenadas polares (𝜌, 𝜃) dum ponto 𝑃 com coordenadas cartesianas (𝑥, 𝑦) 
são definidas através das seguintes de transformação (Figura 2.10): 
 
[
𝑥
𝑦] = [
𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃
] (2.45) 
 
com 𝜌 ∈ ℝ0
+ e 𝜃 ∈ [0,2𝜋[. A cada ponto 𝑃 do plano, exceto a origem 𝑂, associamos 
dois versores (Figura 2.10): o versor 𝑒𝜌, com a direção e o sentido de 𝑂𝑃
→ 
, e o versor 𝑒𝜃, 
com a direção ortogonal a 𝑂𝑃
→ 
 e com o sentido de crescimento de 𝜃 (que por convenção é 
o sentido direto). As expressões cartesianas desses versores no referencial (𝑂; 𝑖, 𝑗) são: 
 
[
𝑒𝜌
𝑒𝜃
] = [
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑖 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑗
− 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑗
] = [
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃
− 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
] [
𝑖
𝑗
] (2.46) 
 
Deste modo, em cada ponto 𝑃 está definido um referencial (𝑃; 𝑒𝜌, 𝑒𝜃), ortonormal e 
direto, designado por referencial polar; ao eixo 𝑂𝑥 chamamos eixo polar e ao ponto 𝑂 
chamamos polo do referencial polar. 
Em coordenadas polares o movimento de uma partícula 𝒫 é completamente 
caraterizado pelas seguintes funções do tempo (2.45): 
 
[
𝜌
𝜃
] = [
𝜌(𝑡)
𝜃(𝑡)
], com 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] (2.47) 
 
 
Figura 2.10 – Coordenadas polares. 
Também os versores 𝑒𝜌 e 𝑒𝜃 associados ao ponto 𝑃(𝑡) onde está a partícula no instante 
corrente 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2], variam no tempo (embora a norma permaneça constante): 
 
[
𝑒𝜌(𝑡)
𝑒𝜃(𝑡)
] = [
𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑡)
− 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡)
] [
𝑖
𝑗
], com 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] (2.48) 
 
Esta relação entre a base polar (𝑒𝜌, 𝑒𝜃) e a base cartesiana (𝑖, 𝑗) pode ser invertida, 
resultando: 
 
[
𝑖
𝑗
] = [
𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡) − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑡)
𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝑡)
] [
𝑒𝜌(𝑡)
𝑒𝜃(𝑡)
], com 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] (2.49) 
 
A partir destas expressões (2.48 e 2.49) é fácil mostrar que as derivadas em ordem ao 
tempo de 𝑒𝜌(𝑡) e 𝑒𝜃(𝑡) podem ser assim representadas: 
 
𝑑
𝑑𝑡
[
𝑒𝜌
𝑒𝜃
] = 𝜔 [
0 1
−1 0
] [
𝑒𝜌
𝑒𝜃
] (2.50) 
 
onde 𝜔 é a velocidade angular (rad/s), 
 
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 (2.51) 
 
 A expressão cartesiana do vetor de posição de uma partícula no referencial polar 
(Figura 2.11) é: 
 
𝑟 = 𝜌(𝑡) 𝑒𝜌(𝑡) = [𝜌(𝑡) 0] [
𝑒𝜌(𝑡)
𝑒𝜃(𝑡)
] (2.52) 
 
Derivando em ordem ao tempo esta equação, e tendo em atenção a equação 2.50, obtemos 
a seguinte expressão cartesiana da velocidade de uma partícula no referencial polar: 
 
�⃗� = [𝑑𝜌 𝑑𝑡⁄ 𝜌𝜔] [
𝑒𝜌
𝑒𝜃
] =
𝑑𝜌
𝑑𝑡
𝑒𝜌 + 𝜌𝜔 𝑒𝜃 (2.53) 
 
Figura 2.11 – Componentes polares do vetor de posição e da velocidade de uma partícula. 
 
 
 
A primeira componente tem a ver com a variação no tempo da coordenada 𝜌 e é conhecida 
por velocidade radial (Figura 2.11): 
 
�⃗�𝜌 =
𝑑𝜌
𝑑𝑡
𝑒𝜌 (2.54) 
 
A segunda componente, denominada velocidade transversal, está relacionada com a 
variação temporal da coordenada 𝜃 (Figura 2.11): 
 
�⃗�𝜃 = 𝜌𝜔 𝑒𝜃 (2.55) 
 
 Regressemos à expressão 2.53 para, por nova derivação em ordem ao tempo, 
obtermos a aceleração da partícula, na base do referencial polar (2.51): 
 
�⃗� = (
𝑑2𝜌
𝑑𝑡2
− 𝜌𝜔2) 𝑒𝜌 + (𝜌
𝑑𝜔
𝑑𝑡
+ 2𝜔
𝑑𝜌
𝑑𝑡
) 𝑒𝜃 (2.56) 
 
À semelhança da velocidade, chamamos aceleração radial a 
 
�⃗�𝜌 = (
𝑑2𝜌
𝑑𝑡2
− 𝜌𝜔2) 𝑒𝜌 (2.57) 
 
e chamamos aceleração transversal a 
 
�⃗�𝜃 = (𝜌
𝑑𝜔
𝑑𝑡
+ 2𝜔
𝑑𝜌
𝑑𝑡
) 𝑒𝜃 (2.58) 
 
 
EXEMPLO 23 
Na Figura E23.1 está representado o esquema de um mecanismo, conhecido por mecanismo de 
retorno rápido. Este mecanismo é constituído por um disco que roda em torno do ponto A, de tal 
forma que 𝛼 = 𝑘 𝑡 (com 𝑘 > 0). No disco está montado um dado, através duma rótula B. O dado 
pode deslizar ao longo da barra, a qual por sua vez é livre de rodar em torno de O. Determinar as 
componentes polares da velocidade e da aceleração do ponto B, considerando o eixo Ox como eixo 
polar. 
 
 
Figura E23.1 – Mecanismo de retorno rápido. 
 
 
Tendo em atenção a relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares (2.45), o 
vetor de posição do ponto B é (Figura E23.2): 
 
𝑟 = 𝑂𝐵
→ 
= 𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑖 + 𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑗 (E23.1) 
 
Por outro lado, temos (Figura E23.2): 
 
𝑟 = 𝑂𝐴
→ 
+ 𝐴𝐵
→ 
= (𝑑 + 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 𝑖 + 𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑗, com 𝛼 = 𝑘 𝑡 (E23.2) 
 
Pelas equações anteriores (E23.1 e E23.2) chegamos ao seguinte sistema de equações não lineares, 
nas incógnitas 𝜌 e 𝜃: 
 
[
𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃
] = [
𝑑 + 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝛼
] (E23.3) 
 
Para determinar 𝜌, tomemos os quadrados de ambos os membros destas equações: 
 
[
𝜌2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝜌2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
] = [
(𝑑 + 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼)2
𝑅2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
] (E23.4) 
 
Adicionando (membro a membro) as duas últimas equações, imediatamente se obtém: 
 
𝜌 = √𝑑2 + 𝑅2 + 2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼, com 𝛼 = 𝑘 𝑡 (E23.5) 
 
Agora, para determinar  , dividamos as equações E23.3, membro a membro: 
 
𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃
=
𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑑 + 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 (E23.6) 
 
Dado que o ângulo 𝜃 pertence ao intervalo ]−𝜋 2⁄ , 𝜋 2⁄ [ (Figuras E23.1 e E23.2) concluímos que 
 
𝜃 = 𝐴𝑇𝐴𝑁
𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑑+𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛼
, com 𝛼 = 𝑘 𝑡 (E23.7) 
 
Uma vez obtidas as coordenadas polares em função do tempo (E23.5 e E23.7), as componentespolares da velocidade podem ser determinadas usando as seguintes expressões (2.54 e 2.55): 
 
𝑣𝜌 =
𝑑𝜌
𝑑𝑡
 e 𝑣𝜃 = 𝜌
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 (E23.8) 
 
De igual modo, as componentes polares da aceleração (2.57 e 2.58) podem ser calculadas através 
das seguintes expressões: 
 
 
 
Figura E23.2 – Componentes polares da velocidade e da aceleração do ponto B. 
𝑎𝜌 =
𝑑2𝜌
𝑑𝑡2
− 𝜌 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
 e 𝑎𝜃 = 𝜌
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝜌
𝑑𝑡
 (E23.9) 
 
Como os cálculos envolvidos nas equações E23.8 e E23.9 são demorados, tem interesse recorrer 
a uma via alternativa mais fácil, conforme vamos apresentar a seguir. Comecemos por obter as 
componentes dos versores 𝑒𝜌 e 𝑒𝜃 na base (𝑖, 𝑗) (Figura E23.2): 
 
𝑒𝜌 =
𝑂𝐵
→ 
‖𝑂𝐵
→ 
‖
=
(𝑑+𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛼) 𝑖+𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑗
√𝑑2+𝑅2+2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛼
 e 𝑒𝜃 =
−𝑅 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑖+(𝑑+𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛼) 𝑗
√𝑑2+𝑅2+2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛼
 (E23.10) 
 
Depois disto, determinemos as componentes na base (𝑖, 𝑗) da velocidade e da aceleração do ponto 
B a partir da sua trajetória (E23.2): 
 
�⃗� = 𝑅𝑘(− 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑗) e �⃗� = −𝑅𝑘2(𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑖 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑗) (E23.11) 
 
A partir das equações E23.10 e da primeira das equações E23.11, obtemos facilmente as 
componentes polares da velocidade (Figura E23.2): 
 
𝑣𝜌 = �⃗� ⋅ 𝑒𝜌 =
−𝑑𝑅𝑘 𝑠𝑖𝑛 𝛼
√𝑑2+𝑅2+2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 e 𝑣𝜃 = �⃗� ⋅ 𝑒𝜃 =
(𝑅+𝑑 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑅𝑘
√𝑑2+𝑅2+2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛼
 (E23.12) 
 
Procedendo de forma idêntica, determinamos as componentes polares da aceleração (Figura 
E23.2): 
 
𝑎𝜌 = �⃗� ⋅ 𝑒𝜌 =
−(𝑅+𝑑 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑅𝑘2
√𝑑2+𝑅2+2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 e 𝑎𝜃 = �⃗� ⋅ 𝑒𝜃 =
−𝑑𝑅𝑘2 𝑠𝑖𝑛 𝛼
√𝑑2+𝑅2+2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠𝛼
 (E23.13) 
 
Uma vez obtida a velocidade transversal 𝑣𝜃 (E23.12), determinamos facilmente a velocidade 
angular 𝜔 (2.51) através da segunda equação E23.8 e da equação E23.5, apenas com operações 
algébricas: 
 
𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
𝑣𝜃
𝜌
=
(𝑅 + 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝛼)𝑅𝑘
𝑑2 + 𝑅2 + 2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 (E23.14) 
 
A aceleração angular 𝜀 = 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2⁄ também pode ser obtida unicamente com operações 
algébricas, através da segunda equação E23.9, substituindo nela a expressão velocidade angular 
que acabamos de obter (E23.14), bem como as expressões da aceleração transversal (E23.13) e da 
velocidade radial (E23.8 e E23.12): 
 
𝜀 =
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
=
𝑎𝜃 − 2𝜔 𝑣𝜌
𝜌
=
(𝑅2 − 𝑑2)𝑑𝑅𝑘2 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑑2 + 𝑅2 + 2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼
 (E23.15) 
 
Finalmente, recorrendo mais uma vez apenas a operações algébricas, podemos determinar 
𝑑2𝜌 𝑑𝑡2⁄ usando a primeira das equações E23.9, substituindo nessa equação as expressões da 
aceleração radial (E23.13), da velocidade angular 𝜔 (E23.14) e da coordenada 𝜌 (E23.5): 
 
𝑑2𝜌
𝑑𝑡2
= 𝑎𝜌 + 𝜌 𝜔
2 = −
𝑅𝑑2𝑘2(𝑅 + 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝛼)
√(𝑑2 + 𝑅2 + 2𝑑𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝛼)3
 (E23.16) 
 
 
 
2.10.2. Cinemática em coordenadas cilíndricas 
 
 As coordenadas cilíndricas (𝜌, 𝜃, ℎ) dum ponto 𝑃, com coordenadas cartesianas 
(𝑥, 𝑦, 𝑧), são definidas pelas seguintes equações de transformação (Figura 2.12): 
 
[
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝜌 𝑠𝑖𝑛 𝜃
ℎ
] (2.59) 
 
onde 𝜌 ∈ ℝ0
+, 𝜃 ∈ [0,2𝜋[ e ℎ ∈ ℝ. A designação de coordenadas cilíndricas tem origem 
no facto das superfícies 
 
𝜌 = 𝑟, ∀𝜃, ℎ (2.60) 
 
serem cilíndricas, com raio r. Os versores do referencial cilíndrico (𝑃; 𝑒𝜌, 𝑒𝜃, 𝑒ℎ), definido 
em cada ponto 𝑃 do espaço, estão representados na Figura 2.12 e as suas expressões 
cartesianas no referencial (𝑂, 𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) são: 
 
[
𝑒𝜌
𝑒𝜃
𝑒ℎ
] = [
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑖 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑗
− 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑗
�⃗⃗�
] = [
𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 0
−𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0
0 0 1
] [
𝑖
𝑗
�⃗⃗�
] (2.61) 
 
Esta relação entre as bases (𝑒𝜌, 𝑒𝜃, 𝑒ℎ) e (𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) pode também ser expressa da seguinte 
forma: 
 
 
Figura 2.12 – Coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
[
𝑖
𝑗
�⃗⃗�
] = [
𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑠𝑖𝑛 𝜃 0
𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0
0 0 1
] [
𝑒𝜌
𝑒𝜃
𝑒ℎ
] (2.62) 
 
Consideremos uma partícula móvel 𝒫, que no instante t se encontra no ponto 𝑃 
(Figura 2.12) cujas coordenadas cilíndricas são: 
 
[
𝜌
𝜃
ℎ
] = [
𝜌(𝑡)
𝜃(𝑡)
ℎ(𝑡)
], com 𝑡 ∈ [𝑡1, 𝑡2] (2.63) 
 
Conhecidas estas funções é fácil obter as componentes na base (𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) do vetor de posição 
(2.2 e 2.59), da velocidade (2.9) e da aceleração (2.14). Mas por vezes tem interesse 
exprimir essas quantidades na base cilíndrica (𝑒𝜌, 𝑒𝜃, 𝑒ℎ). Para isso, é conveniente 
determinar previamente as derivadas em ordem ao tempo dos versores 𝑒𝜌, 𝑒𝜃 e 𝑒ℎ, 
expressas na própria base (𝑒𝜌, 𝑒𝜃, 𝑒ℎ), usando as relações 2.61 e 2.62: 
 
𝑑
𝑑𝑡
[
𝑒𝜌
𝑒𝜃
𝑒ℎ
] = 𝜔 [
0 1 0
−1 0 0
0 0 0
] [
𝑒𝜌
𝑒𝜃
𝑒ℎ
] (2.64) 
 
onde também aplicamos a definição de velocidade angular 𝜔 (2.51). 
O vetor de posição de uma partícula móvel tem a seguinte expressão cartesiana no 
na base cilíndrica (Figura 2.12): 
 
𝑟 = 𝜌(𝑡) 𝑒𝜌(𝑡) + ℎ(𝑡) 𝑒ℎ(𝑡) = [𝜌(𝑡) 0 ℎ(𝑡)] [
𝑒𝜌(𝑡)
𝑒𝜃(𝑡)
𝑒ℎ(𝑡)
] (2.65) 
 
Procedendo como no caso das coordenadas polares, a representação analítica da 
velocidade na base cilíndrica determina-se facilmente derivando em ordem ao tempo o 
vetor de posição (2.64 e 2.65): 
 
�⃗� = [𝑑𝜌 𝑑𝑡⁄ 𝜌𝜔 𝑑ℎ 𝑑𝑡⁄ ] [
𝑒𝜌
𝑒𝜃
𝑒ℎ
] =
𝑑𝜌
𝑑𝑡
 𝑒𝜌 + 𝜌𝜔 𝑒𝜃 +
𝑑ℎ
𝑑𝑡
 𝑒ℎ (2.67) 
 
Por segunda derivação em ordem ao tempo obtemos a expressão cartesiana da aceleração 
na base cilíndrica: 
 
�⃗� = (
𝑑2𝜌
𝑑𝑡2
− 𝜌𝜔2) 𝑒𝜌 + (𝜌
𝑑𝜔
𝑑𝑡
+ 2𝜔
𝑑𝜌
𝑑𝑡
) 𝑒𝜃 +
𝑑2ℎ
𝑑𝑡2
 𝑒ℎ (2.68) 
 
 
 
EXEMPLO 24 
Consideremos novamente o movimento de uma partícula sobre uma hélice cilíndrica (EXEMPLO 
3). Determinemos as componentes cilíndricas da trajetória, da velocidade e da aceleração. 
 
Consideremos a trajetória particular que no EXEMPLO 3 foi representada na base (𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) pela 
equação E3.4. Essa trajetória, na base (𝑒𝜌, 𝑒𝜃 , 𝑒ℎ) é definida por (Figura E24.1): 
 
 
Figura E24.1 – Componentes cilíndricas da velocidade e da aceleração, no movimento helicoidal. 
 
 
𝑟 = 1.5 𝑒𝜌 + 8𝑡 𝑒𝜃 (E24.1) 
 
As componentes cilíndricas da velocidade são (2.67): 
 
�⃗� = 6 𝑒𝜃 + 8 𝑒ℎ (m s⁄ ) (E24.2) 
 
pelo que imediatamente se conclui que a rapidez é constante e vale 
 
𝑣 = 10 (m s⁄ ) (E24.3) 
 
Por sua vez, as componentes cilíndricas da aceleração são (2.68): 
 
�⃗� = −24 𝑒𝜌 (m s2⁄ ) (E24.4) 
 
A descrição deste movimento em coordenadas cilíndricas (E24.1, E24.2 e E24.4) é mais simples 
que a descrição em coordenadas cartesianas (E3.4, E7.1 e E11.1). 
 
 
2.10.3. Cinemática em coordenadas esféricas 
 
 As coordenadas esféricas (𝑟, 𝜙, 𝜃) de um ponto 𝑃, com coordenadas cartesianas 
(𝑥, 𝑦, 𝑧), são definidas através das seguintes equações de transformação (Figura 2.13): 
 
[
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜙
] (2.69) 
 
 
Figura 2.13 – Coordenadas esféricas. 
 
 
onde 𝑟 ∈ ℝ0
+, 𝜙 ∈ [0, 𝜋] e 𝜃 ∈ [0,2𝜋[. Em coordenadas esféricas, a equação de uma 
superfície esférica centrada em 𝑂 e com raio 𝑟0 é 𝑟 = 𝑟0 (∀𝜙, 𝜃), e daí a designação 
dessas coordenadas. Em cada ponto 𝑃 define-se um referencial local (𝑃; 𝑒𝑟 , 𝑒𝜙, 𝑒𝜃) 
associado às coordenadas esféricas, conforme está ilustrado na Figura 2.13. As expressões 
cartesianas dos versores 𝑒𝑟, 𝑒𝜙 e 𝑒𝜃 na base (𝑖, 𝑗, �⃗⃗�) são: 
 
[
𝑒𝑟
𝑒𝜙
𝑒𝜃
] = [
𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙
𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑠𝑖𝑛 𝜃 −𝑠𝑖𝑛 𝜙
−𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0
] [
 𝑖
𝑗
�⃗⃗�
] (2.70) 
 
Por sua vez, as componentes dos versores 𝑖, 𝑗 e �⃗⃗� na base (𝑒𝑟 , 𝑒𝜙, 𝑒𝜃) são: 
 
[
 𝑖
𝑗
�⃗⃗�
] = [
𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜙 −𝑠𝑖𝑛 𝜙 0
] [
𝑒𝑟
𝑒𝜑
𝑒𝜃
] (2.71) 
 
Podemos obter as componentes do vetor de posição, da velocidade e da aceleração 
noreferencial esférico procedendo de forma semelhante ao que fizemos atrás para o caso 
das coordenadas polares e das coordenadas cilíndricas. Comecemos então por achar as 
derivadas em ordem ao tempo dos versores 𝑒𝑟, 𝑒𝜙 e 𝑒𝜃 no próprio referencial esférico 
(2.70 e 2.71): 
 
𝑑
𝑑𝑡
[
𝑒𝑟
𝑒𝜙
𝑒𝜃
] = [
0 𝑑𝜙 𝑑𝑡⁄ (𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ ) 𝑠𝑖𝑛𝜙
−𝑑𝜙 𝑑𝑡⁄ 0 (𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ ) 𝑐𝑜𝑠 𝜙
−(𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ ) 𝑠𝑖𝑛 𝜙 −(𝑑𝜃 𝑑𝑡⁄ ) 𝑐𝑜𝑠 𝜙 0
] [
𝑒𝑟
𝑒𝜙
𝑒𝜃
] (2.72) 
 
Tendo em conta estas derivadas, chegamos às expressões cartesianas da velocidade e da 
aceleração derivando sucessivamente, em ordem ao tempo, o vetor de posição da partícula 
(Figura 2.13): 
 
𝑟 = 𝑟𝑒𝑟 = [𝑟 0 0] [
𝑒𝑟
𝑒𝜙
𝑒𝜃
] (2.73) 
 
Depois de algum trabalho de cálculo, obtemos a seguinte expressão para a velocidade: 
 
�⃗� = [𝑣𝑟 𝑣𝜙 𝑣𝜃] [
𝑒𝑟
𝑒𝜙
𝑒𝜃
] = 𝑣𝑟𝑒𝑟 + 𝑣𝜙𝑒𝜙 + 𝑣𝜃𝑒𝜃 (2.74) 
 
com 
𝑣𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 (2.75) 
 
𝑣𝜙 = 𝑟
𝑑𝜙
𝑑𝑡
 (2.76) 
 
𝑣𝜃 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜙
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 (2.77) 
 
Quanto à aceleração, a expressão cartesiana no referencial esférico é (2.72 e 2.74-2.77): 
 
�⃗� = 𝑎𝑟𝑒𝑟 + 𝑎𝜙𝑒𝜙 + 𝑎𝜃𝑒𝜃 (2.78) 
 
sendo 
 
𝑎𝑟 =
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
− 𝑟 (
𝑑𝜙
𝑑𝑡
)
2
− 𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜙 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
 (2.79) 
 
a aceleração radial, 
 
𝑎𝜙 = 𝑟
𝑑2𝜙
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝜙
𝑑𝑡
− 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜙 (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
 (2.80) 
 
a aceleração meridional e 
 
𝑎𝜃 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜙
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 2𝑠𝑖𝑛 𝜙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 2𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜙
𝑑𝜙
𝑑𝑡
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 (2.81) 
 
a aceleração transversal. 
 
 
 
EXEMPLO 25 
Uma partícula A desloca-se sobre um arco de raio R, que roda em torno de um eixo vertical, como 
se mostra na figura E25.1. Os ângulos 𝜙 e 𝜃 são funções lineares do tempo: 𝜙 = 𝜔1𝑡 e 𝜃 = 𝜔2𝑡, 
sendo 𝜔1 e 𝜔2 constantes positivas. Determinar as componentes esféricas da trajetória, da 
velocidade e da aceleração. 
 
O vetor de posição da partícula tem a seguinte representação analítica na base esférica (𝑒𝑟 , 𝑒𝜙, 𝑒𝜃) 
(equação 2.73 e figura E25.1): 
 
𝑟 = 𝑅 𝑒𝑟 (E25.1) 
 
 
 
Figura E25.1 – Partícula (A) móvel sobre um arco que roda em torno do eixo Oz. 
As componentes da velocidade na base (𝑒𝑟 , 𝑒𝜙, 𝑒𝜃) obtêm-se imediatamente a partir das equações 
2.74 a 2.77: 
 
𝑣 = [
𝑣𝑟
𝑣𝜙
𝑣𝜃
] = [
0
𝑅𝜔1
𝑅𝜔2 𝑠𝑖𝑛 𝜙
] (E25.2) 
 
Quanto às componentes esféricas da aceleração, temos (2.78 a 2.81): 
 
𝑎 = [
𝑎𝑟
𝑎𝜙
𝑎𝜃
] = [
−𝑅𝜔1
2 − 𝑅𝜔2
2 𝑠𝑖𝑛2 𝜙
−𝑅𝜔2
2 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑐𝑜𝑠 𝜙
2𝑅𝜔1𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝜙
] (E25.3)