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SEMANA 09 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Autor: Anibal Tavares de Azevedo 
ESTATÍSTICA PARA TODOS 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
Variável Aleatória Contínua 
Uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer 
valor ao longo de um ou mais intervalos. Assim, a 
probabilidade de que uma variável aleatória contínua 
assuma um único valor é sempre igual a zero. Por isso, 
ao se construir a distribuição de frequência relativas 
de x, usam-se faixas de valores (classes). 
EXEMPLO 1: 
A tabela fornece a distribuição de frequências das estaturas 
(x) dos alunos de uma turma. 
Estatura em m (x) Frequência Frequência Relativa Probabilidade 
1,50 1 0,01 0,01 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 1: 
A partir da tabela um histograma e um polígono podem ser 
traçados. 
0 
20 
40 
GRÁFICOS 
1 
9 
35 36 
8 
1 
1,5 
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a 
R
e
la
ti
va
 
Classes 
8 
28 
48 
1,6 1,7 1,8 1,9 
Aproximação da curva de 
distribuição de 
probabilidade da variável x 
Função densidade de 
probabilidade da variável x 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
Variável Aleatória Contínua 
A distribuição das probabilidade da variável aleatória 
contínua x possui 2 propriedades. 
x 
A probabilidade de que x assuma 
um valor em qualquer intervalo 
está entre 0 e 1. 
x=a x=b 
1 
P(ax b) = Área 
sob a curva de a 
até b 
x 
A probabilidade total de todos os 
intervalos em que x assume 
valor, mutuamente excludentes, 
é 1,0. 
2 
Área = 1,0 ou 
100% 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 2: 
Calcular a partir do exemplo 1 o valor de P(1,6  x  1,8) e 
mostrar o gráfico. 
0 
20 
40 
GRÁFICOS 
1 
9 
35 36 
8 
1 
1,5 
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a 
R
e
la
ti
va
 
Classes 
8 
28 
48 
1,6 1,7 1,8 1,9 
P(1,6  x  1,8) = 
P(1,6  x  1,7) + 
P(1,7  x  1,8) = 
0,35 + 0,36 = 0,71 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
É a mais importante e utilizada das distribuições de 
probabilidade, pois vários fenômenos do mundo real 
seguem exatamente ou aproximadamente uma normal. 
Exemplos: conjunto dos valores da estatura e peso de 
pessoas, notas em uma prova, pesos de embalagens de 
cereais e biscoitos, quantidade de leite em uma garrafa 
e vida útil de um equipamento como uma lâmpada ou uma 
TV. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
Possui a forma de um sino e é definida pela média  e 
desvio-padrão . Possui 3 propriedades. 
x 
Área = 1,0 ou 
100% 
A área sob uma curva normal 
é 1,0 ou 100%. 
1 
x 
50% dos valores 
tais que x   
É simétrica em torno da 
média . 
2 
 
As caudas de uma normal se estendem em ambas as direções assintoticamente, 
mas, em geral, p(x +3) é praticamente zero. 
3 
x  +3 -3 
p(x > +3)  0 p(x 2,32). Para tanto, encontrar a 
área à direita de z = 2,32. 
Área desejada + 0,4898 = 0,50 
P(z > 2,32) = 0,50 - 0,4850 = 0,0102 
0 1 2,32 z -2 -1 
 
0,4898 dos valores 
tais que z 2,32) 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 6: 
Calcular a probabilidade P(-1,56 -0,75). 
P(-1,56 -0,75) = 
P(z > 0) + P(-0,75 0 
0,2704 dos valores 
tais que -0,75com ma de 54 meses e d-p de 8 meses. A empresa garante que 
qualquer calculadora que comece a apresentar defeitos, dentro 
do período de 36 meses após a compra, será substituída por 1 
nova. Qual a percentagem aproximada de calculadoras serão 
substituídas? 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 10: 
Seja x a vida útil da calculadora. Seja x normal com  = 54 e 
 = 8. Para se calcular o valor de P(x 5 e nq > 5. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 12: 
Em uma estimativa, 50% das pessoas nos EUA possuem pelo menos 
1 cartão de crédito. Caso uma amostra aleatória de 30 pessoas 
seja selecionada, qual a probabilidade de que pelo menos 19 
pessoas tem pelo menos 1 cartão de crédito? 
Sejam: 
n – número de pessoas na amostra, 
p – probabilidade de 1 pessoa com cartão, 
x – número de pessoas com pelo menos 1 cartão. 
Seja n = 30, x = 19 e p = 0,50 e q = 1 – p = 0,50. Então: 
0509,0)19( 1119
1930   qpCqpCxP xnx
xn
Observando-se que nq = np = 30 * 0,50 = 15, então, é possível 
realizar uma aproximação pela normal em 3 etapas. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 12: 
Etapa 1: Calcule  e  da binomial. 
 = np = 15 e  = (npq)1/2 = (30*0,52)1/2 = 2,738612. 
Etapa 2: Converter a variável aleatória discreta em contínua. 
Para tanto, um fator de correção de continuidade deve ser 
aplicado, isto é, é somado e subtraído o valor 0,5 de x. 
15 x 
P(18,5  x  19,5) 
 
18,5 19,5 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
EXEMPLO 12: 
Etapa 3: Calculando a P(x) desejada usando a normal 
padronizada. 
(i) Para x = 18,5: 
28,1
73,2
155,18






x
z
(ii) Para x = 19,5 
64,1
73,2
155,19






x
z
P(18,5