MA23 - GRUPO 03 - CAPÍTULO 7 - PARÁBOLAS

Prévia do material em texto

ARTIGO 2: MODELAGEM MATEMÁTICA: UMA PROPOSTA DE ENSINO POSSÍVEL NA ESCOLA PÚBLICA 
Nézio Luiz Carminati
Professor da rede pública estadual do Paraná Participante do PDE 2007 (2008) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR)
GRUPO 3-2 – Guilherme, Davi e Janiel
7 PARÁBOLA
Grupo 3: Davi, Genilson, Guilherme, Janiel, Laés e Marcos Vivian.
Docentes: Dr. Ezequias Esteves e Me. Gildon César.
MA23 – Geometria Analítica – 2025.2 – PROFMAT/IFPI/Floriano
1
7.1 Introdução
Como visto capítulo 5, a origem da teoria das seções cônicas está intimamente ligada ao problema de duplicação do cubo que consiste em, dada a aresta de um cubo, construir, com uso de régua e compasso, a aresta de um segundo cubo cujo volume é o dobro do primeiro.
Muitos matemáticos estudaram as propriedades da parábola, como Arquimedes (287 212 a.C.) que calculou a área delimitada por uma reta e uma parábola, e Galileu Galilei (1564 1642) que provou que a trajetória de um projétil é uma parábola.
A propriedade refletora da parábola, da qual trataremos mais adiante, é a mais explorada nas aplicações práticas, como na modelagem de espelhos para telescópios, antenas parabólicas ou faróis refletores. Isaac Newton desenhou e construiu o primeiro telescópio refletor parabólico.
7.1 Introdução
O objetivo deste capítulo é estudar a equação 
 
nos casos em que exatamente um dos coeficientes A ou C é nulo.
7.2 Parábola
Seja 𝓛 uma reta e F um ponto do plano não pertencente a 𝓛. A Parábola 𝒫 de foco F e diretriz 𝓛 é o conjunto de todos os pontos do plano cuja distância a F é igual à sua distância a 𝓛. 
𝒫 = {P| d(P,F) = d(P, 𝓛)}
Terminologia
Como já dissemos, o ponto F é o foco e a reta 𝓛 é a diretriz da parábola 𝒫. 
A reta focal ℓ da parábola 𝒫 é a reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz. 
O ponto V da parábola 𝒫 que pertence à reta focal é o vértice de P.
 Em particular, se A é o ponto onde 𝓛 intersecta ℓ , então V é o ponto médio do segmento AF. 
O número 2p = d(F, 𝓛) é o parâmetro da parábola 𝒫. Note que d(V, F) = d(V, 𝓛) = p.
Parábola
Toda Parábola é simétrica em relação à sua reta focal.
De fato, seja 𝒫 uma parábola de foco F, vértice V , diretriz 𝓛 e reta focal ℓ(Figura 7.4).
Seja P 𝒫 e seja P’ o ponto simétrico de P em relação à reta ℓ.
O segmento PP’ ℓ intersecta a reta focal ℓ num ponto Q que é o ponto médio do segmento PP’. 
Os triângulos PQF e P’QF são congruentes (LAL). Em particular, d(P, F) = d(P’, F).
Parábola
Além disso, d(P, 𝓛) = d(Q, 𝓛) = d(’, 𝓛), pois BPQA e AQP’B’ são retângulos.
Como 𝒫, temos d(P, F) = d(P, 𝓛).
Portanto, 
d(,’ F) = d(’, 𝓛), isto é, ’ 𝒫. 
7.3 Formas canônicas da parábola
Vamos obter as formas canônicas da parábola em relação a um sistema de coordenadas OXY. Começamos com os casos em que o vértice da parábola é a origem e a reta focal é um dos eixos coordenados. Depois trataremos dos casos em que o vértice é um ponto qualquer e a reta focal é paralela a um dos eixos coordenados.
Exercício
10. Vamos descrever um procedimento para efetuar a construção da parábola usando o GeoGebra: 
numa janela do GeoGebra, trace a reta a por dois pontos A e B (diretriz da parábola). 
escolha um ponto C, para ser o foco da parábola, fora da reta a;
escolha um ponto D na reta a;
 trace a reta mediatriz b do segmento CD; 
trace a reta c perpendicular à diretriz a que passa pelo ponto D;
 determine a interseção E da mediatriz b com a reta c; 
habilite o rastro no ponto E; 
descreva a parábola de foco C e diretriz a, movendo o ponto D na diretriz
7.3 Formas canônicas da parábola
7.3.1 Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OX
CASO I - O foco F está à direita da diretriz L 
P
V
7.3 Formas canônicas da parábola
7.3.1 Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OX
CASO I - O foco F está à direita da diretriz L
Y
X
Como o vértice da parábola P é a origem V =(0,0) ;
O foco é o ponto F = (p,0);
F
E a diretriz é a reta L : x = -p, onde 2p=d(F,L )
L
Logo, P =(x,y) ∈ P
P
7.3 Formas canônicas da parábola
7.3.1 Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OX
CASO II - O foco F está à esquerda da diretriz ん
P
7.3 Formas canônicas da parábola
7.3.1 Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OX
CASO II - O foco F está à esquerda da diretriz L
Y
X
Como o vértice da parábola P é a origem V =(0,0) ;
V
O foco é o ponto F = (-p,0);
F
E a diretriz é a reta L : x = p, onde 2p=d (F,L )
L
Logo, P =(x,y) ∈ P
P
7.3 Formas canônicas da parábola
7.3.2 Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OY
CASO I - O foco F está acima da diretriz L 
P
7.3 Formas canônicas da parábola
7.3.2 Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OY
CASO I - O foco F está acima da diretriz L
Y
X
Como o vértice da parábola P é a origem V =(0,0) ;
V
O foco é o ponto F = (0, p);
F
E a diretriz é a reta L : y = - p, onde 2p=d (F,L )
L
Logo, P =(x,y) ∈ P
P
7.3 Formas canônicas da parábola
7.3.2 Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OY
CASO II - O foco F está abaixo da diretriz L 
P
7.3 Formas canônicas da parábola
7.3.2 Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OY
CASO II - O foco F está abaixo da diretriz L
Y
X
Como o vértice da parábola P é a origem V =(0,0) ;
V
O foco é o ponto F = (0, -p);
F
E a diretriz é a reta L : y = p, onde 2p=d (F,L )
L
Logo, P =(x,y) ∈ P
P
P
Exemplo 1
Determine a equação da parábola P com vértice V na origem, cujo o foco é:
Como p = d(V, F) = 3 e, 
F = (3,0)
Y
X
L
F
P
V
como a reta focal é o eixo OX
temos pelo caso I que 
Portanto, 
y2 = 12x 
P
Exemplo 1
Determine a equação da parábola P com vértice V na origem, cujo o foco é:
Como p = d(V, F) = 2 e, 
(b) F = (0,-2)
como a reta focal é o eixo OY
temos pelo caso II que 
Portanto, 
x2 = -8y 
Y
X
V
F
L
P
P
Exemplo 2
Uma parábola P passa pelo ponto (4,-2), tem vértice V na origem, e o eixo OY como reta focal. Encontre sua equação, seu foco F e a equação da sua diretriz L .
Como a reta focal é o eixo OY
Y
X
V
F
L
P
.
Como ( 4, -2) ∈ P , usaremos P : x2 = - 4py
Logo, p = 2 
⇒ 42 = - 4.p.(-2) 
⇒16 = 8p
F = ( 0, -2)
P : x2 = - 8y é a equação da parábola.
⇒ p = 2
L : y = 2
Exemplo 3
Como P : x2 = - 16y, a reta focal é o eixo OY, assim
Y
X
V
F
L
P : x2 = - 4py
Logo, 16 = 4p, ou seja p = 4 
Como p = 4, temos que : 
 F (0,-4) e L : y = 4
P
.
C
4
-1
4
7.3.3 Parábola com vértice V = e reta focal paralela ao eixo OX
Da mesma forma como fizemos para a elipse e a hipérbole nos capítulos anteriores, para obtermos a forma canônica da parábola de vértice no ponto V = e reta focal paralela ao eixo OX, vamos considerar o sistema de eixos ortogonais , com origem = V = e eixos que têm a mesma direção e mesmo sentido dos eixos OX e OY, respectivamente.
Caso I. O foco F está à direita da diretriz .
Sabemos que, no sistema de coordenadas , a equação da parábola é : ; o foco é = (p,0); o vértice é = (0,0); a diretriz é : = –p e a reta focal é = 0.
Caso I. O foco F está à direita da diretriz .
Sabemos que, no sistema de coordenadas , a equação da parábola é : ; o foco é = (p,0); o vértice é = (0,0); a diretriz é : = –p e a reta focal é = 0.
p
p
=(p,0)
(-p,0)
=V= 
=(x,y)
Como x = + e y = + = x – e = y – . Logo, a equação da parábola : será:
 : 
Como x = + e y = + = x – e = y – . Logo, a equação da parábola : será:
 : 
p
p
=(p,0)
(-p,0)
V= 
= (x,y)
Como x = + e y = + = x – e = y – . Logo, a equação da parábola : será:
 : 
e seus elementos são:
foco: F = 
vértice: V = 
diretriz: : x - = – p : x = – p;
Reta focal: l : y – = 0 l : y = 
Caso II. O foco F está à esquerda da diretriz .
Sabemos que, no sistema de coordenadas , a equação da parábola é : ; o foco é = (–p,0); o vértice é = (0,0); a diretriz é : = p e a reta focal é = 0.
Como x = e y = += -x + e = y – . Logo, a equação da parábola : será:
 : 
 : 
F=(-p,0)
V= 
(x,y) =
Como x = e y = + = -x + e = y – . Logo, a equação da parábola : será:
 : 
e seus elementos são:
foco: F = 
vértice: V = 
diretriz: : x = p : x = + p;
Reta focal: l : y = 0 l : y = 
7.3.3 Parábola com vértice V = e reta focal paralela ao eixo OY
Como no caso anterior, considerando o sistema de eixos ortogonais , com origem = V = e eixos que têm a mesma direção e mesmo sentido dos eixos OX e OY, respectivamente, podemos obter as equações e os elementos das parábolas com vértice V = e reta focal paralelo ao eixo OY.
Caso I. O foco F está acima da diretriz .
Neste caso, o foco é F = ; a diretriz é : y = ; reta focal é l : x = é a equação da parábola é:
 : 
Observação:
Quando tiver sobre o OY
(acima)
Caso II. O foco F está abaixo da diretriz .
Neste caso, o foco é F = ; a diretriz é : y = ; reta focal é l : x = é a equação da parábola é:
 : 
Observação:
Quando tiver sobre o OY
(abaixo)
QUESTÃO 6.B
Determine a equação da parábola P que tem: vértice V = (6,-3) e diretriz L : 3x - 5y + 1 = 0
Determine a equação da parábola P que tem: vértice V = (6,-3) e diretriz L : 3x - 5y + 1 = 0
Inicialmente, sabemos que o vértice está no meio do segmento que liga o foco à reta diretriz, cujo vetor normal da reta L : 3x – 5y +1 = 0 é = (3,-5). Assim, calculando a distância entre o vértice V à diretriz L, obtemos que
Logo, como d = , o foco estará a mesma distância do vértice, mas no lado oposto da reta. Dessa, segue-se que o vetor unitário será
Logo, as coordenadas do foco é
F = V + d·u = (6,-3) + = (6,-3) + (3,-5) = (9, -8)
Portanto, pela definição de parábola, temos que d(F,V) = d(V,L), segue-se que, para um P = (x,y),
Elevando ao quadrado e multiplicando por 34:
VERIFICAÇÃO: 
Tomando o vértice V = (6, -3) na equação da parábola segue-se que
25(36) + 9(9) + 30(6⋅(−3)) − 618(6) + 554(−3) + 4929
= 900 + 81 – 540 – 3708 – 1662 + 4929
= 0
EXEMPLO 4
Determine a equação da parábola de vértice V = (3, 4) e foco F = (3, 2). Encontre também a equação de sua diretriz.
Solução:
MA23 – GEOMETRIA ANALÍTICA
Como V = (3, 4) e F = (3, 2), : x = 3 é a reta focal e F está abaixo de V, ou seja, abaixo da diretriz . Logo, a equação da parábola é da forma:
	 : (x – 3)2 = – 4p(y – 4).
Sendo p = d(V, F) = 2, temos que : y = 6 é a diretriz e : (x – 3)2 = –8(y – 4) é a equação da parábola.
EXEMPLO 5
Encontre a equação da parábola com reta focal paralela ao eixo OX, que passa pelos pontos (, -1), (0, 5) e (-6, -7).
Solução:
Como a reta focal da parábola é paralela ao eixo OX, sua equação deve ser da forma : (y – y0)2 = 4p(x – x0) e, mais ainda, por inspeção, é da forma: (y – y0)2 = 4p(x – x0) que se escreve também na forma:
MA23 – GEOMETRIA ANALÍTICA
(y – y0)2 = 4p(x – x0) y2 – 2yy0 + yo2 = -4px + 4px0
			y2 – 2yy0 + yo2 + 4px - 4px0 = 0
			 y2 + 4px – 2yy0 + yo2 - 4px0 = 0
Onde D = 4p, E = -2y0, F = y02 – 4px0.
EXEMPLO 5
Substituindo as coordenadas dos pontos dados nessa equação, temos o seguinte sistema:
Resolvendo o sistema, obtemos D = 8, E = -2 e F = -15. Portanto, a equação da parábola é
			 y2 + 8x – 2y – 15 = 0,
isto é, 
			y2 – 2y + 1 = 15 – 8x + 1,
ou, ainda, 
			 : (y – 1)2 = -8(x – 2).
MA23 – GEOMETRIA ANALÍTICA
			 : (y – 1)2 = -8(x – 2)
Assim, a parábola tem vértice V = (2, 1) e reta focal : y = 1, paralela ao eixo OX. Como 4p = 8, isto é, p = 2, e o foco F está à esquerda da diretriz, segue que F = (0, 1) e : x = 4 é a diretriz de P.
MA23 – GEOMETRIA ANALÍTICA
7.4 A equação geral do segundo grau com B = 0 e AC = 0
Consideremos a equação canônica da parábola de vértice V = (x0, y0) e reta focal paralela ao eixo OX:
			(y – y0)2 = 4p(x – x0).
Desenvolvendo e agrupando os termos dessa equação, obtemos:
		y2 4px – 2y0y + y02 4px0 = 0.
Esta equação é da forma
		Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Onde A = 0, B = 0, C = 1, D = 4p, E = -2y0 e F = y02 4px0.
	
MA23 – GEOMETRIA ANALÍTICA
Analogamente, desenvolvendo a equação da parábola de vértice V (x0, y0) e reta focal paralela ao eixo OY
		(x – x0)2 = 4p(y – y0),
Obtemos a equação
		x2 – 2x0x 4py + x02 4py0 = 0,
Que é da forma
	Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Onde A = 1, B = 0, C = 0, D = -2y0, E = 4p e F = x02 4py0.
No primeiro caso, A = 0, B = 0 e C 0 e, no segundo caso, A 0, B = 0 e C = 0. Portanto, em qualquer caso, B = 0 e AC = 0.
MA23 – GEOMETRIA ANALÍTICA
Proposição 3
Reciprocamente, temos a seguinte proposição:
MA23 – GEOMETRIA ANALÍTICA
Seja a equação do 2º grau com B = 0:
				Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.				7.1
Se A = 0 e C 0, esta equação representa um dos seguintes conjuntos:
Uma parábola cuja reta focal é paralela ao eixo OX, se D 0;
Um par de retas paralelas ao eixo OX, se D = 0 e E2 – 4CF > 0;
Uma reta paralela ao eixo OX, se D = 0 e E2 – 4CF = 0;
O conjunto vazio, se D = 0 e E2 – 4CF 0;
MA23 – GEOMETRIA ANALÍTICA
uma reta paralela ao eixo OX,
		
Se E2 – 4CF = 0;
O conjunto vazio, se E2 – 4CFobtemos
 
que representa uma parábola com:
vértice: V = (3,-2); 
reta focal = y = -2 
parâmetro: 4p = ( p = ); 
foco: F = (3, -2)=, à esquerda da diretriz; 
diretriz: : x = +3=
(c) 
Como A=B=D=0
, logo o discriminante é 121>0
, ou seja, e , paralelas ao eixo OX.
(d) 
Como B=C=E=0
, logo o discriminante é 0
x, simplificando xou seja, paralelas ao eixo OY.
(e) 
Como A=B=D=0
, logo o discriminante é -84
⇒
 (x - 1)2 = 1 (y - 3) 
 4
⇒
y0 = 3 
x0 = 1 e 
4p = 1 ⇒ p = 1
 4 16
Questão
V = ( 1 , 3 )
F = ( 1 , 49 )
 16
L : y = 47
 16
l : x = 1
Muito obrigado!
image2.png
image3.png
image4.png
image5.png
image6.png
image7.png
image8.png
image9.png
image410.png
image10.png
image610.png
image11.png
image12.png
image13.png
image14.png
image15.png
image16.png
image17.png
image18.png
image19.png
image20.png
image21.png
image22.png
image23.png
image24.png
image25.png
image26.png
image27.png
image28.png
image29.png
image30.png
image31.png
image32.png
image33.png
image34.png
image35.png
image36.png
image37.png
image38.png
image101.png
image111.png
image121.png
image39.png
image141.png
image151.png
image161.png
image170.png
image180.png
image190.png
image200.png
image210.png
image220.png
image230.png
image40.png
image250.png
image260.png
image41.png
image282.png
image292.png
image302.png
image42.png
image321.png
image331.png
image340.png
image43.png
image44.png
image360.png
image45.png
image46.png
image450.png
image510.png
image47.png
image470.png
image48.png
image49.png
image102.png
image50.png
image122.png
image51.png
image131.png
image52.png
image152.png
image53.png
image54.png
image55.png
image56.png
image57.png
image58.png
image59.png
image60.png
image61.png
image62.png
image590.png
image211.png
image311.png
image63.png
image65.png
image511.png
image64.png
image710.png
image83.png
image90.png
image103.png
image112.png
image613.png
image142.png
image66.png
image162.png
image67.png
image182.png
image191.png
image68.png
image212.png
image221.png
image69.png
image240.png
image251.png
image261.png
image272.png
image283.png
image73.png
image74.png
image75.png
image293.png
image303.png
image312.png
image70.png
image71.png
image72.png
image380.png
image390.png
image270.png
image120.png
image76.png
image140.png
image150.png
image160.png
image281.png
image500.png
image291.png
image301.png
image310.png
image320.png
image330.png
image110.png
image730.png
image290.png
image300.png
media1.mp4
image77.png
media2.mp4
image78.png
image79.png
image80.png
image313.png
image411.png
image512.png
image612.png
image600.png
image711.png
image85.png
image91.png
image800.png
image81.png
image100.png
image113.png
image82.png
image132.png
image143.png
image153.png
image163.png
image171.png
image183.png
image192.png
image202.png
image213.png
image222.png
image84.png
image241.png
image86.png
image262.png
image271.png
image280.png
image294.png
image304.png
image87.png
image2900.png
image97.png
image88.png
image89.png
image92.png
image93.png
image94.png
image95.png
image96.png
image98.png
image108.png
image99.png
image104.png
image105.png
image106.png
image107.png
image109.png
image114.png
image115.png
image116.png
image117.png
image1.jpg