medidas de tendencia central

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Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT) 
Instituto de Ciências Exatas e da Terra 
Departamento de Estatística
Medidas de 
Tendência Central
Medidas de Tendência Central
■ São valores calculados com o objetivo de 
representar os dados de uma forma 
condensada/resumida, as principais
medidas são:
□ Média
□ Mediana
□ Moda
Notações:
X → variável
N → tamanho da população
n → tamanho da amostra
xi → medida de cada indivíduo
x → média amostral (estimativa)
n
=
∑ xi
+... + xnx = i=1 = 
x1 + x2
n n
N
 → média populacional (parâmetro)
∑ xi
 = i=1 
N
Média
x1 , x2 , x3 , x4 ,...., xn

x
Generalização dos
Resultados
Média
■ Definição: é a soma dos valores de uma 
variável, dividida pelo número de valores.
■ É o número que representa uma série de 
valores.
■ Representa o valor mais provável de uma 
variável.
■ Também chamado de esperança matemática ou
valor esperado.
■ Existe apenas para variáveis quantitativas 
(discretas ou contínuas).
■ Seu valor é único.
■ Mesma natureza da variável considerada 
(unidade de medida).
■ Sofre influência dos valores extremos.
Média
Média aritmética
■ Pode ser calculada de maneiras diferentes:
□ Valores individuais
□ Valores em distribuição de frequências
□ Valores em intervalos de classe
Média aritmética
■ Valores individuais:
n
∑ xi
1 2 3 n = i=1 
n n
x + x + x +...+ x x =
Média aritmética
■ Exemplo: valores individuais:
x = 
3 + 5 + 8 +12 +12 
= 
40 
= 8
5 5
Média = 8 anos
Média aritmética
■ Valores em distribuição de frequências:
k
∑ xi . ni
x = i=1 
n
❑ ni – frequência de indivíduos no intervalo i
❑ k – número de intervalos
Média aritmética
■ Exemplo: Idade dos 50 alunos de um curso.
■ Valores em distribuição de frequências:
Idade dos
Alunos
Frequência
17 9
18 22
19 7
20 4
21 3
22 0
23 2
24 1
25 2
k
x = i=1 
n
∑ xi . ni
Média aritmética
■ Exemplo: Idade dos alunos do curso.
■ Valores em distribuição de frequências:
k
x = i=1 
n
∑ xi . ni
Idade dos Alunos
(xi)
Frequência
(ni)
(xi) . (ni)
17 9 153
18 22 396
19 7 133
20 4 80
21 3 63
22 0 0
23 2 46
24 1 24
25 2 50
Somatório 50 945
50
x = 
945 
= 18,9 anos
Média aritmética
■ Valores em intervalos de classe:
k
∑ xi pm . ni
x = i=1 
n
□ xi pm – ponto médio do intervalo
□ ni – frequência de indivíduos no intervalo i
□ k – número de intervalos
□ n – número de observações
Média aritmética
■ Exemplo – Nível de colesterol dos funcionários 
do Depto. Estatística da UFMT:
■ Valores em intervalos de classe:
k
x = i=1 
n
∑ xi pm . ni
ni
Média aritmética
k
x = i=1 
n
∑ xi pm . ni
Nível de
Colesterol
Frequência
(fi) xi pm xi pm . fi
180 |--200 2 190 380
200 |--250 10 225 2250
250 |--300 6 275 1650
300 |--350 2 325 650
Total 20 1015 4930
■ Exemplo – Nível de colesterol dos funcionários 
do Depto. Estatística da UFMT:
■ Valores em intervalos de classe:
x = 
4930 
=
20
x = 246,5 mg/100ml
(ni) ni
Média aritmética ponderada
■ Pesos diferentes são atribuídos à determinados valores:
■ Valores individuais:
k
k
x = i=1 
∑ wi . xi
∑ wi
i=1
❑ wi – fatores de ponderação i
❑ k – número de intervalos
Média aritmética ponderada
■ Pesos diferentes são atribuídos à determinados 
valores:
□ Exemplo: Cálculo para obtenção da média final no 
curso de Estatística para Medicina Veterinária:
Média aritmética ponderada
□ Cálculo para obtenção da média final no curso:
□ P1 = 7,5
□ P2 = 8,0
□ P3 = 6,0
□ S = 5,5
(2.7,5)+ (2.8,0)+ (2,5.6,0)+ (1,5 .5,5)
= 6,78125
8
54,25
2 + 2 + 2,5 +1,5
=
k
k
∑ wi
i=1
∑ wi . xi
x = i=1 =
Atividade 6
Filhos
Frequência
simples
(ni)
1 28
2 14
3 6
4 1
7 1
Total 50
Fonte: Fictícia
Tabela 1 - Distribuição de
frequência da variável
Número de filhos na
família.
a) Calcule o valor esperado da tabela a seguir:
Fonte: Fictícia
Tabela 2 - Distribuição de 
frequência da variável Peso dos 
alunos.
Peso
Frequência 
simples
(ni)
44,0 Ⱶ 51,3 10
51,3 Ⱶ 58,6 19
58,6 Ⱶ 65,9 7
65,9 Ⱶ 73,2 7
73,2 Ⱶ 80,5 1
80,5 Ⱶ 87,8 5
87,8 Ⱶ 95,1 1
Total 50
Atividade 6
Fonte: Fictícia
b) Calcule o valor esperado da tabela a seguir: Tabela 2 - Distribuição de 
frequência da variável Peso dos 
alunos.
Peso
Frequência 
simples
(ni)
44,0 Ⱶ 51,3 10
51,3 Ⱶ 58,6 19
58,6 Ⱶ 65,9 7
65,9 Ⱶ 73,2 7
73,2 Ⱶ 80,5 1
80,5 Ⱶ 87,8 5
87,8 Ⱶ 95,1 1
Total 50
Atividade 6
c) Calcule a média salarial da empresa Y.
Cargo Quantidade Salário(R$)
Auxiliar 
administrativo
5 1100,00
Atendente 16 2000,00
Gerente 3 5500,00
Diretor 1 12500,00
Mediana
■ Definição: é o valor que ocupa a posição 
central de uma série de observações, quando 
os dados estão ordenados de forma crescente 
ou decrescente.
■ Divide o conjunto de dados em duas partes.
■ Existe apenas para variáveis quantitativas 
(discretas ou contínuas).
■ Seu valor é único.
■ Mesma natureza da variável considerada.
■ Torna-se inadequada quando há muitos valores 
repetidos.
■ Principal vantagem em relação à média:
NÃO recebe influência dos valores aberrantes.
Mediana
■ Procedimento para o cálculo:
□ 1) Ordenar o conjunto de dados (n valores):
□ Quando o número de observações (n) for impar:
Mediana
A mediana é o valor que ocupa o posto:
2
n +1
■ Postos (rank)
□ é o valor da posição do indivíduo na 
amostra, quando a mesma está ordenada
Considere o seguinte conjunto de idades:
Mediana
Posto 1
0, 3, 4, 7, 14, 22, 23, 25, 30, 40, 41, 48, 50
Posto 5 Posto 13
Ainda considerando o conjunto de dados:
□ n=13 (impar)
□ Mediana = Posto
Mediana
n +1 
→ 
13 +1 
= 
14 
= 7
2 2 2
0, 3, 4, 7, 14, 22, 23, 25, 30, 40, 41, 48, 50
Posto 7
Mediana = 23 anos
□ IMPORTANTE: A mediana é o valor correspondente 
ao posto nº 7 (valor 23 anos) e não o valor 7.
Mediana
■ Quando o número de observações (n) for par:
□ Procedimento para o cálculo:
A mediana é a média aritmética entre os valores 
que ocupam os postos:
2
n
2
n + 2
Considerando outro conjunto de dados:
7, 14, 22, 23, 25, 30, 40, 41, 48, 500
 
□ n=10 (par), então 
Mediana
2
n
2
n + 2
2
10
2
10 + 2
Então obtemos os postos 5 e 6, agora precisamos 
calcular a média aritmética dos valores referentes 
a esses dois postos.
Mediana
Considerando outro conjunto de dados:
7, 14, 22, 23, 25, 30, 40, 41, 48, 500
Posto 5 Posto 6
□ n=10 (par)
Mediana = 
Posto nº5 + Posto nº6 
=
2
2
Mediana = 
25 + 30 
= 27,5 anos
Mediana
■ Procedimento para o cálculo:
□ Quando os valores estiverem um uma tabela de 
frequências:
Idade dos Alunos Frequênci
(xi) (ni)
a Freq.
Acumulada
17 9 9
18 22 31
19 7 38
20 4 42
21 3 45
22 0 45
23 2 47
24 1 48
25 2 50
Somatório 50 -
n 50
2 2
= = Posto nº25
n + 2 
= 
52 
= Posto nº26
2 2
Mediana = 18 anos
Mediana
■ Procedimento para o cálculo:
□ Quando os valores estiverem um uma tabela com 
intervalos de classe:
(ni)
Mediana
■ Procedimento para o cálculo:
□ Quando os valores estiverem um uma tabela com 
intervalos de classe:
% acumulada 
19,5
52,8
75,0
(ni)
Mediana
■ Utiliza-se a seguinte fórmula:
Mediana
■ Procedimento para o cálculo:
□ Quando os valores estiverem um uma tabela com 
intervalos de classe:
% acumulada 
19,5
52,8
75,0
Mediana
■ Atividade 7
□ Calcule a mediana dos pesos (em kg) de 40 pessoas:
Fac
3
8
17
29
40
Mediana
■ Exercício
□ Calcule a mediana dos pesos (em kg) de 40 pessoas:
Fac
3
8
17
29
40
Moda
■ Definição: é o valor que ocorre com mais 
frequência (o que mais se repete).
■ Mesma natureza da variável considerada.
■ Pode ser calculada também para variável qualitativa
■ Pode haver nenhuma, uma ou mais modas
□ Nenhuma moda (amodal)
□ 2 modas (bimodal)
□ 3 modas (trimodal)
Moda
Considere os seguintes conjunto de idades:
0, 3, 4, 4, 4, 22, 23, 23, 30, 40, 41, 48, 50
Moda = 4 anos
0, 3, 4, 4, 4, 22, 23, 23, 30, 36, 36, 36, 40, 48, 50
Moda = 4 anos Moda = 36 anos
Conjunto bimodal
Moda
Idade dos Alunos Frequência
(xi) (fi)17 9
18 22
19 7
Idade dos Alunos 
(xi)
Frequência 
(ni)
20 4
21 3
22 0
23 2
24 1
25 2
Somatório 50
17
18
19
20
21
22
23
24
25
9
22
7
4
3
0
2
1
2
Somatório 50
Moda = 18 anos Intervalo modal: 69,4 |-- 73,2
(ni)
Moda de Czuber:
■ Para dados em intervalos de classe utiliza-se a seguinte fórmula:
Moda
■ Procedimento para o cálculo:
□ Quando os valores estiverem um uma tabela com 
intervalos de classe:
Moda de Czuber
Moda de Czuber:
■ Utiliza-se a seguinte fórmula:
□ Pelo exemplo anterior:
Separatrizes
■ São as medidas que separam um 
conjunto de dados ordenados em partes 
iguais.
□ Quartis (divide em 4 partes iguais)
□ Decis (divide em 10 partes iguais)
□ Percentis (divide em 100 partes iguais)
Separatrizes
Quartis
■ Definição: os quartis dividem um conjunto 
de dados ordenados em 4 partes iguais:
□ 25% - Primeiro quartil
□ 50% - Segundo quartil = Mediana
□ 75% - Terceiro quartil
25% 50% 75%
Quartis
■ Distância interquartílica: diferença entre 
o terceiro e o primeiro quartil
25% 50% 75%
50% dos dados 
estão nessa faixa
Quartis
■ Cálculo:
■ 1º quartil:
■ 3º quartil:
4
Q1 = p1
(n+1)
(n+1)
Q 3 = p3
4
Quartis
■ 🡪 11 valores de idades
3, 4, 7, 14, 22, 23, 25, 30, 40, 41, 48
■ 1º quartil:
■ 3º quartil:
Q1 = p1 = p1 = p12 = p3
(n+1) (11+1)
4 4 4
= p36 = p9
4
Q 3 = p3 = p3
4 4
(11+1)(n+1)
Quartis
■ 🡪 13 valores de idades
0, 3, 4, 7, 14, 22, 23, 25, 30, 40, 41, 48, 50
= p14
4
= p1
4
■ 1º quartil: Q1 = p1
4
(13+1)(n+1)
= p42
4
■ 3º quartil: Q 3 = p3 = p3
4 4
(13+1)(n+1)
Quartis
■ 1º quartil: = p3,5Q1 = p14 = p7
4 2
0, 3, 4, 7, 14, 22, 23, 25, 30, 40, 41, 48, 50
Posto 3 Posto 4
Q1 = p3,5 = p3 + 0,5.( p4 − p3 )
Q1 = 4 + 0,5.(7 − 4) = 4 +1,5 = 5,5
Q1 = 5,5 anos
Quartis
■ 3º quartil:
0, 3, 4, 7, 14, 22, 23, 25, 30, 40, 41, 48, 50
Posto 10 Posto 11
Q 3 = p10,5 = p10 + 0,5.( p11 − p10 )
Q3 = 40 + 0,5.(41− 40) = 40 + 0,5 = 40,5
Q3 = 40,5 anos
= p21 = p10,5
2
Q 3 = p42
4
Quartis
■ 🡪 Exercício: 8 valores de renda (mil 
R$)
R$ 1, R$ 3, R$ 4, R$ 7, R$ 14, R$ 22, R$ 24, R$ 35
Q1 = p1
(n+1)
4
Q 3 = p3
(n+1)
4
■ 1º quartil: = p2,25
Q1 = p1 = p1 = p9
(n+1) (8+1)
4 4 4
Q1 = p2,25 = p2 + 0,25.( p3 − p2 )
Q1 = 3 + 0,25.(4 − 3) = 3 + 0,25 = 3,25
1º quartil = 3,25 mil reais
Quartis
■ 🡪 Exemplo: 8 valores de renda (mil 
R$)
R$ 1, R$ 3, R$ 4, R$ 7, R$ 14, R$ 22, R$ 24, R$ 35
Q 3 = p3
(n+1)
4
■ 3º quartil: = p6,75
Q 3 = p3 = p3 = p27
(n+1) (8+1)
4 4 4
Q 3 = p6,75 = p6 + 0,75.( p7 − p6 )
Q3 = 22 + 0,75.(24 − 22) = 22 +1,5 = 23,5
3º quartil = 23,5 mil reais
Decis e Percentis
■ Decis dividem um conjunto de dados em 
10 partes iguais.
, i = 1,...,9
■ Percentis dividem um conjunto de dados 
em 100 partes iguais.
□
10 10
(n+1) (n+1)
□ D1 = p 1 Di = p i 
100
1 (n+1)
100
, i = 1,...,99P1 = p Pi = p
(n+1)
i
Bibliografia
■ Arango HG. Bioestatística Teórica e Computacional. Guanabara 
Koogan. 2ª ed. Rio de Janeiro, 2005.
■ Bergamaschi DP. Bioestatística (Apostila Graduação) FSP/USP, 2010.
■ Callegari-Jacques SM. Bioestatística – Princípios e Aplicações. 
Artmed. Porto Alegre, 2003.
■ ENCE – Escola Nacional de Ciências Estatísticas www.ence.ibge.gov.br
■ Latorre MRDO. Bioestatística (Apostila graduação) FSP/USP, 2009.
■ Magalhães MN; Lima ACP. Noções de Probabilidade e Estatística. 
EDUSP. São Paulo, 2002.
■ Salsa IS; Moreira JA; Pereira MG. O emprego das separatrizes na 
análise dos dados estatísticos. EDUFRN, 2005.
■ Vieira S. Introdução à Bioestatística. ELSEVIER. 4ª ed. Rio de 
Janeiro, 2010.
http://www.ence.ibge.gov.br/