Apostila - Elementos de Cálculo

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FGVIDT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FGV IDT 
ELEMENTOS DE CÁLCULO
FGVIDT 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
APRESENTAÇÃO 5 
UNIDADE 01 – CONCEITOS INICIAIS 6 
1.1 – CONCEITOS GERAIS 8 
1.2 – INTERCEPTO 8 
1.3 – RAIZ 8 
1.4 – DOMÍNIO E IMAGEM 9 
1.5 – PONTOS EXTREMOS 11 
UNIDADE 02 – CONCEITOS INICIAIS 13 
2.1 – FUNÇÕES COMPOSTAS 13 
2.2 – FUNÇÃO INVERSA 14 
2.3 – PARIDADE DE FUNÇÕES 15 
UNIDADE 03 – FUNÇÕES POLINOMIAIS 18 
3.1 – FUNÇÕES DE 1º. GRAU 18 
3.2 – COEFICIENTE LINEAR 19 
3.3 – COEFICIENTE ANGULAR 20 
3.4 – RAIZ 21 
3.5 – Y OU F(X)? 22 
3.6 – GRÁFICO 22 
3.7 – CONSTANTES 24 
3.8 – OUTRA FORMA DE REPRESENTAR UMA EQUAÇÃO DE 1º. GRAU 25 
3.9 – CÁLCULO DOS COECIENTES ANGULAR E LINEAR POR DOIS PONTOS 26 
UNIDADE 04 – FUNÇÕES POLINOMIAIS 29 
4.1 – FUNÇÕES DE 2º. GRAU 29 
4.2 – INTERCEPTO 30 
4.3 – CURVATURA 31 
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4.4 – RAÍZES 32 
4.5 – NÚMERO DE RAÍZES 34 
4.6 – VÉRTICE 35 
4.7 – CONCAVIDADE 37 
4.8 – OUTRAS FORMAS DE REPRESENTAR UMA EQUAÇÃO DE 2º. GRAU 38 
UNIDADE 05 – FUNÇÕES POLINOMIAIS DE ORDENS 
SUPERIORES 39 
5.1 – FUNÇÕES POLINOMIAIS 39 
5.2 – PARIDADE 40 
5.3 – NÚMERO DE RAÍZES 41 
5.4 – RAIZES 41 
5.5 – OUTRA FORMA DE REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL 42 
5.6 – REDUÇÃO DE GRAU 42 
5.7 – MULTIPLICIDADE DE RAIZES 44 
5.8 – PRODUTOS NOTÁVEIS 45 
UNIDADE 06 – FUNÇÕES NÃO POLINOMIAIS 48 
6.1 – FUNÇÃO EXPONENCIAL 48 
6.2 – POTENCIAÇÃO 48 
6.3 – MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 49 
6.4 – NÚMEROS ELEVADOS A EXPOENTES NEGATIVOS 49 
6.5 – POTÊNCIAS DE POTÊNCIAS 50 
6.6 – EXPOENTES FRACIONÁRIOS SÃO RAÍZES 51 
6.7 – CONVENÇÃO 51 
6.8 – MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE 52 
6.9 – RESUMO DE PROPRIEDADES 53 
6.10 – FUNÇÃO EXPONENCIAL (PARTE 2) 54 
6.11 – CRESCIMENTO EXPONENCIAL 55 
6.12 – FUNÇÃO EXPONENCIAL (PARTE 3) 56 
6.13 – INTERCEPTO 57 
6.14 – CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO 57 
6.15 – RAÍZES 57 
UNIDADE 07 – FUNÇÕES NÃO POLINOMIAIS 60 
7.1 – LOGARÍTMOS E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 60 
7.2 – LOGARÍTMOS 60 
7.3 – VALORES POSSÍVEIS PARA X E B 61 
7.4 – LOGARITMO DECIMAL (BASE 10) 61 
7.5 – LOGARITMO NEPERIANO (BASE E) 62 
7.6 – PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DOS LOGARITMOS 63 
7.7 – LOGARITMO DE 1 63 
7.8 – LOGARITMO DO PRODUTO E DA DIVISÃO 64 
7.9 – LOGARITMO DA POTÊNCIA 65 
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7.10 – MUDANÇA DE BASE 66 
7.11 – RESUMO DAS PROPRIEDADES 67 
7.12 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA 67 
7.13 – INTERCEPTO 68 
7.14 – RAIZ 69 
7.15 – CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 69 
7.16 – DE VOLTA À APLICAÇÃO 69 
7.17 – TEMPO DE MEIA-VIDA 71 
UNIDADE 08 – FUNÇÕES POLINOMIAIS VERSUS NÃO 
POLINOMIAIS 73 
8.1 – EXEMPLO FINANCEIRO MEDIANTE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL 73 
8.2 – EXEMPLO FINANCEIRO MEDIANTE UMA FUNÇÃO NÃO POLINOMIAL 75 
UNIDADE 09 – FUNÇÕES RACIONAIS E PARTIDAS 77 
9.1 – FUNÇÕES RACIONAIS 77 
9.2 – DOMÍNIO DE FUNÇÕES RACIONAIS 79 
9.3 – FUNÇÕES PARTIDAS 80 
9.4 – CONTINUIDADE DE FUNÇÕES PARTIDAS 82 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 83 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 83 
 
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Apresentação 
 
A disciplina Elementos de Cálculo prevê a revisão, fixação e compreensão de 
recursos matemáticos básicos, desempenhando papel fundamental e alicerce à 
resolução de uma série de ocorrências, problemáticas e necessidades cotidianas, 
promovendo uma abordagem que proporcione, de forma prática e mais objetiva, 
interpretar e contextualizá-las, permitindo uma tomada de decisões mais assertiva. 
Ao percorrer-se tópicos básicos, mas não menos importantes, como conceitos 
que nos ofereçam condições de tratar, abordar e operar a relação entre 
informações (variáveis), nos deparamos com algumas funções comuns que nos 
respaldam na modelagem de cenários, desde a compreensão ao acúmulo de 
capital, no caso de investimentos, passando-se por otimização de algumas 
funções, visando a maximização de recursos ou minimização de custos, ou mesmo 
o tempo demandado ao se verificar dado nível populacional, entre outras tantas 
aplicações usuais. 
 
O que se espera desenvolver nesta disciplina: 
» desenvolvimento associativo entre informações; 
» interpretação de conceitos e a modelagem matemática a contextos usuais; 
» operar e transpor informações de modo assertivo; 
» compreender que a complexidade de contextos pode ser determinada por 
uma estrutura matemática específica; 
» identificar quais expressões podem ser utilizadas e quais recursos estas 
oferecem. 
 
No decorrer da disciplina existirão desafios, naturais a este campo da ciência, 
que proporcionarão maior preparo ao gestor, desenvolvendo competências que 
embasarão e ofecerão suporte a outras disciplinas, nos permitindo operar, com 
maior tranquilidade e segurança, recursos estatísticos, financeiros e contábeis, 
ampliando o aproveitamento continuado na busca pelo desenvolvimento pessoal e 
coletivo. 
 
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Unidade 01 – CONCEITOS 
INICIAIS 
 
Nesta unidade, veremos conceitos que são comuns a todas as funções. Por 
exemplo, veremos o que é uma função, e o que significam o domínio e a imagem 
dessa função. Também falaremos sobre o que são raízes e interceptos de uma 
função, e que aplicações práticas esses conceitos têm na administração. 
Finalmente, discutiremos conceitos como funções compostas, funções inversas, 
funções pares e funções ímpares. 
 
1.1– CONCEITOS GERAIS 
 
Em Administração, muitas vezes, queremos relacionar alguma coisa que desejamos 
com algo que podemos controlar. Por exemplo, em um processo de produção, desejamos 
ter o maior lucro possível. O lucro depende de quanto produzimos. Desse modo, queremos 
decidir quanto produzir para ter o maior lucro possível. Para isso, precisamos entender 
como a quantidade produzida se relaciona com o lucro. Matematicamente, essa relação é 
expressa na forma de uma função. Dizemos que o lucro é uma função da quantidade 
produzida, normalmente. 
Da mesma forma, na fila de um supermercado, o tempo que um cliente espera para 
ser atendido depende do número de caixas atendendo. O gerente do supermercado deve 
decidir quantos caixas colocar para que nenhum cliente demore muito para ser atendido. 
Por outro lado, o custo do supermercado também depende do número de caixas 
atendendo, e o gerente não quer que esse custo seja muito alto. Nesse exemplo, tanto o 
tempo que um cliente espera para ser atendido quanto o custo do supermercado são 
funções do número de caixas atendendo. De forma geral, dizemos que uma variável y é 
função de uma variável x sempre que, se conhecermos x, conhecemos y. Tipicamente, x 
será alguma coisa que conseguimos controlar e, y, será alguma coisa em que estamos 
interessados, mas só conseguimos controlar por meio de x. 
Para frisar que y depende de x, é comum representarmos y por f(x). Onde 
escrevemos f, poderíamos ter escrito qualquer outra letra: g(x), h(x), s(x),... mas 
subentende-se que letras diferentes representam relações diferentes. 
 
 
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Desse modo, são exemplos de funções: 
 
 
 
 
Em quaisquer um desses casos, se conhecemos x, automaticamente conhecemos a 
função de x. Por outro lado, vejamos o seguinte caso: 
 
 
No entanto, o seguinte exemplo não é um exemplo de função, porque conhecer x não 
nos dá certeza sobre o valor de y. De fato, se x = 0, por exemplo, temos y2 = 1, o que 
significa que y pode ser 1 ou −1. Não temos como determinar o valor verdadeiro (único) de 
y e, por isso, não é correto dizer que y é uma função de x. 
Imagine que y seja o lucro de uma fábrica e x seja a quantidade produzida. Uma 
função y = f(x) ajuda a responder várias perguntas de valor gerencial, por exemplo: 
 Qual é o lucro (ou prejuízo) se a fábrica não produzir nada? 
 Quanto a fábrica precisa produzir para começar a ter lucro? 
 Quais são os valores de lucro possíveis? 
 Quanto a fábrica deve produzir para ter o maior lucro possível? 
 
Cada pergunta está relacionada a um conceito matemático. A relação entre esses 
conceitos e as perguntas está mostrada na tabela a seguir. 
 Qual. (1,01)x 
f(x) = a . bx 
g(x) = (
1
2
)
x
 
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Vamos calcular g(x) em diferentes valores de x: 
x g(x) 
0 
(
1
2
)
0
=1 
1 
(
1
2
)
1
=0,5 
2 
(
1
2
)
2
=0,25 
3 
(
1
2
)
3
=0,125 
4 
(
1
2
)
4
=0,0625 
5 
(
1
2
)
5
=0,03125 
6 
(
1
2
)
6
=0,015625 
7 
(
1
2
)
7
=0,007813 
8 
(
1
2
)
8
=0,003906 
9 
(
1
2
)
9
=0,001953 
10 
(
1
2
)
10
=0,000977 
 
Note que, embora a função sempre se aproxime de zero, ela nunca chega a ficar 
exatamente igual a zero. 
Podemos visualizar o motivo disso da seguinte forma: note que uma linha é sempre 
metade da anterior. Desse modo, ao dividirmos por dois, tiramos metade do que temos 
mas ficamos ainda com a outra metade. 
Como uma analogia, imagine que Daniel tenha uma barra de chocolate de 1000g! 
Se Daniel desse os 1000g de chocolate para alguém, ficaria sem nada. Só que Daniel é 
prudente e nunca dá tudo o que tem. Só dá metade. Desse modo, ele dá 500g, mas fica 
ainda com 500g. Para Daniel ficar com nada, ele teria de dar 500 g para alguém, mas 
Daniel só dá metade. Ele ainda tem 250g. Para que Daniel fique com nada, ele teria de dar 
250g para alguém. Só que Daniel só dá metade. Ele ainda tem 125g. 
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Note que Daniel nunca fica com zero gramas de chocolate porque ele nunca dá a 
quantidade necessária para ficar sem nada. Ele só dá metade. Por isso, a quantidade de 
chocolate que Daniel tem nunca chega a zero. A função exponencial não tem raiz. 
Podemos mostrar que isso acontece com qualquer função exponencial. 
Uma função do tipo f(x) = a.bx nunca tem raiz. Podemos provar isso mostrando que 
a existência de uma raiz levaria a uma implicação absurda. Suponha que existisse um 
valor x1 para o qual f(x1) = a.bx1 = 0. Imagine um ponto qualquer que esteja a uma distância 
d dessa suposta raiz, isso é, um ponto com x = x1 + d. Temos 
 
 
 
Ou seja, se existisse um ponto x1 em que a função exponencial fosse zero, todos os 
outros pontos também teriam que ser zero, isto é: se a exponencial é zero em algum ponto, 
então, ela é zero em todos os pontos. 
Ora, claramente, uma exponencial não é zero em todos os pontos! Desse modo, ela 
não pode ser zero em nenhum ponto. 
 
f(x) = a . bx
1
 + d = a. bx
1. bd = 0. bd =0 
 
 f(x1)=0 
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Unidade 07 – FUNÇÕES NÃO 
POLINOMIAIS 
 
 Neste ponto, continuando a recordação e compreensão sobre funções não 
polinomiais, estudaremos um recurso fundamental a uma série de operações, 
denominada logarítmo (e a função logarítmica). Como veremos, esta função está 
intimamente relacionada à função exponencial, e tão importante quanto. 
 
7.1 – LOGARÍTMOS E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
No nosso estudo sobre funções exponenciais, utilizamos o caso de Daniel como 
exemplo. Daniel pegou um financiamento de 1 milhão para comprar um imóvel. Sua dívida 
crescia a uma taxa de 1% ao mês e, dessa forma, obedecia à função 
 
 
Em quanto tempo Daniel estará devendo 2 milhões? Note que, agora, nós não 
perguntamos mais quanto será a dívida daqui a determinado tempo. Ao contrário, 
perguntamos quanto tempo deverá passar até que a dívida seja um valor determinado. 
Fazemos a pergunta inversa. Para respondê-la, precisamos de uma função inversa à 
exponencial: a função logarítmica. 
 
7.2 – LOGARÍTMOS 
 
O logaritmo de um número (x) em uma base (b) é o expoente (L) que essa base 
precisa ter para que o resultado seja o número (x). Desse modo, se dizemos que o 
logaritmo de x na base b é L, o que estamos dizendo é que x = bL. 
 
 
Observe 
 
 
 
 
 
f(x) = 1 milhão . (1,01)x 
Dizer que logb x = L é o mesmo que dizer x=bL 
log28 = 3, porque 8 =23 
log525 = 2, porque 25 =52 
log6(
1
6
) = -1, porque (
1
6
)= 6-1 
log93 = 
1
2
, porque 3 = 91/2 
 
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7.3 – VALORES POSSÍVEIS PARA x e b 
 
Vimos que 
 
 
 
 
Na expressão logb x = L, x é chamado de logaritmando e b é chamado de base. 
Como vimos na função exponencial, bL é sempre um número positivo, então, x = bL tem 
de ser um número positivo. Desse modo, só existe logaritmo de logaritmando positivo (x > 
0). Além disso, na exponencial, vimos que b > 0 e b ≠ 1. A mesma restrição se aplica aos 
logaritmos: a base tem de ser um número positivo e diferente de 1. 
 
 
7.4 – LOGARITMO DECIMAL (BASE 10) 
 
Embora b possa ocupar qualquer valor positivo e diferente de 1, dois valores são 
muito usuais. O primeiro valor é 10. Esse valor é tão comum que nós nem representamos 
ele na base. Desse modo, se escrevemos log100 sem dizer a base, o que queremos dizer 
é log10100, que é 2. 
A base 10 é muito comum porque o logaritmo de um número na base 10 nos dá 
informações sobre o número de dígitos desse número. Observe: 
a número de dígitos log(a) 
1 1 0 
10 2 1 
100 3 2 
1000 4 3 
10000 5 4 
100000 6 5 
1000000 7 6 
 
Note que o logaritmo é sempre igual ao número de dígitos menos 1. Isso vale para 
qualquer número, desde que a base seja 10. Por exemplo, o número 1.234 está entre 
1.000 e 10.000. Dessa forma, o seu logaritmo está entre o logaritmo de 1.000 (que é 3) e o 
logaritmo de 10.000 (que é 4). Desse modo, o logaritmo de 1.234 é “3 vírgula alguma 
Dizer que logb x = L é o mesmo que dizer x=bL 
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coisa”. A parte inteira desse número é 3, o que indica que o número tem 4 dígitos. De fato, 
1.234 tem 4 dígitos. Nesse caso, é evidente. No entanto quantos dígitos têm o número 
100100? Em breve, vamos aprender que 
 
 
Como o logaritmo é igual ao número de dígitos menos 1, concluímos que 100100 tem 
201 dígitos. Tipicamente, o logaritmo de um número não será um número redondo. Ele 
será um número formado por uma parte inteira e uma parte decimal. Se o logaritmo for 
calculado na base 10, a parte inteira será igual ao número de dígitos do número menos 1. 
Por isso, o logaritmo na base 10 dá uma ideia de ordem de grandeza, o que torna esse 
logaritmo muito útil. 
 
 
7.5 – LOGARITMO NEPERIANO (BASE e) 
 
Existe uma base ainda mais utilizada do que a base decimal. Essa base é um 
número conhecido por 3 nomes distintos, mas que querem dizer a mesma coisa: 
 número de Euler; 
 base dos logaritmos naturais e 
 base dos logaritmos neperianos. 
Esse número, representado pela letra e, é 
 
 
Nós não temos como justificar por que esse número é importante ainda. A 
importância desse número ficará clara, gradualmente. Esse número aparece em situações 
de Matemática Financeira, Análise Estatística de Dados e em outros contextos. 
O logaritmo neperiano – também chamado logaritmo natural – recebe o nome 
neperiano em homenagem a John Napier, inventor dos logaritmos. Ele também recebe 
uma notação própria: 
 
 
Desse modo, ao escrevermos ln (x), queremos dizer o logaritmo de x na base e ~ 
2,71828… 
log 100100 = 100.log 100 = 100.2 = 200 
e ~ 2,71828... 
ln (x) 
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7.6 – PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DOS 
LOGARÍTMOS 
 
Ao definirmos os logaritmos, dissemos que 
 
 
Podemos substituir L da primeira expressão na segunda e obter 
 
 
Essa é a primeira propriedade dos logaritmos. Na verdade, é praticamente a 
definição. Para a base 10, escreveríamos 
 
 
Para a base e, escreveríamos 
 
 
 
Essa propriedade é fundamental porque justifica todas as outras. Vamos estudar 
essas outras propriedades agora. 
 
 
7.7 – LOGARITMO DE 1 
 
O logaritmo de 1 é um número interessante porque é sempre o mesmo, em qualquer 
base. Vamos ver por quê. Pela propriedade fundamental, 
 
 
 
 
 
Isso vale sempre, para qualquer base positiva e diferente de 1. 
Dizer que logb x = L é o mesmo que dizer x=bL 
x = blog
b
 x 
x = 10log x 
x = eln x 
blog
b
 1=1 
 
Sabemos que b0 = 1 
 
blog
b
 1= b0 
 
Desta forma, logb1 = 0 
 
 
 
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7.8 – LOGARITMO DO PRODUTO E DA DIVISÃO 
 
Suponha que a gente saiba quanto é log(2) e log(3): 
 
 
 
Quanto é log(2.3)? Se usarmos a propriedade fundamental, 
 
 
No entanto, também podemosescrever 
 
 
 
Substituindo isso na expressão anterior, ficamos com 
 
 
Como log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, temos log 6 = 0,77. 
Veja que conseguimos transformar um produto em uma soma. Isso funciona 
sempre. De fato, sempre que queremos o logaritmo de um produto x.y em uma base b, 
podemos fazer 
 
 
No entanto, como x = blog x e y = blog y, ficamos com 
 
 
Isso permite igualar 
 
 
 
 
log(2) ~ 0,30 
log(3) ~ 0,48 
10log 2.3 = 2.3 
2 = 10log 2 
3 = 10log 3 
 
10log 2.3 = 10log 2. 10log 3 
blog x.y = x.y 
blog
b
x.y = blog
b
x. blog
b
y = blog
b
x + log
b
y 
logb x.y = logb x + logb y 
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Se tivéssemos uma divisão, veríamos que o sinal que apareceria seria um “−” no 
lugar do “+”, ou seja, 
 
 
 
Essas propriedades foram muito importantes historicamente. Elas têm um detalhe 
sutil, que muita gente nem percebe. Quando escrevemos 
 
 
 
estamos dizendo que é possível transformar uma multiplicação em uma soma. Ora, 
somar é muitomais fácil do que multiplicar. A grande contribuição dos logaritmos foi 
simplificar os cálculos. 
Os logaritmos são descobertos por John Napier em 1614. Em 1622, William 
Oughtred usa as propriedades dos logaritmos para inventar a precursora da calculadora – 
a Régua de Cálculo. 
A Régua de Cálculo permaneceu em uso até a década de 1970, quando vieram os 
computadores. Atualmente, os logaritmos continuam muito úteis, mas por outros motivos. 
 
7.9 – LOGARITMO DA POTÊNCIA 
 
Quanto é log(23)? 
Ora, 23 = 2.2.2. Usando a propriedade do logarítmo da soma, temos 
 
 
Desse modo, 
 
 
Genericamente, 
 
 
logb (
x
y
)= logb x - logb y 
logb (x.y) = logb x + logb y 
log(2.2.2) = log 2 + log 2 + log 2 = 3.log 2 
log(23) = 3.log 2 
 y vezes y vezes 
 
logb(xy) = logb(x.x...x) = logbx + logbx +...+ logbx = y.logbx 
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7.10 – MUDANÇA DE BASE 
 
Sabemos que log(2) = 0,30 e log(3) = 0,48. Ambos os logaritmos estão na base 10. 
Será que conseguimos, a partir disso, descobrir quanto é log23? 
Uma forma de descobrir é usando a propriedade fundamental. Nesse caso, 
sabemos que 
 
 
Temos o logaritmo de 2 e de 3 na base 10. Desse modo, se calcularmos o logaritmo 
na base 10 dos dois lados da equação, ficamos com 
 
 
No entanto, pela propriedade anterior, log (2log
2
3)= log23 . log(2), de modo que 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos considerar o caso genérico em que temos de transformar o logaritmo 
de uma base em outra, ou seja, o caso em que temos logbx e queremos logcx. Sabemos 
que 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, basta saber os logaritmos em uma base e podemos, facilmente, obter 
logaritmos em qualquer outra base. Por exemplo, se queremos converter de logaritmos 
decimais para logaritmos naturais, e vice-versa, basta aplicar a propriedade que vimos 
2log
2
3 = 3 
log 2log
2
3 = log3 
log23 . log2 = log3 
 
ou seja, 
 
log
2
3= 
log3
log2
 = 
0,48
0,30
=1,6 
clog
c
x = x 
 
logb(clog
c
x) = logbX 
 
logcx . logbc = logbx 
 
log
c
x= 
log
b
x
log
b
c
 
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para obter 
 
 
 
 
 
 
7.11 – RESUMO DAS PROPRIEDADES 
 
Vamos resumir as propriedades que vimos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.12 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Uma função logarítmica é uma função da forma f(x) = logbx. 
A função logarítmica existe para qualquer valor de x, desde que b seja positivo e 
diferente de 1. A sua aparência é exatamente igual à da exponencial, desde que se 
troquem os eixos verticais e horizontais de lugar. 
Em particular, se b for maior do que 1, a função será crescente e, se b for menor do 
que 1, a função será decrescente. Além disso, para x = 1, f(x) = 0, de modo que a raiz de 
f(x) será 1 independentemente do valor de b. 
 
 
 
lnx= 
logx
loge
 
 
logx= 
lnx
ln10
 
 
logb (x.y) = logb x + logb y 
 
logb (
x
y
)= logb x - logb y 
 
logb(xy) = y.logbx 
 
log
c
x= 
log
b
x
log
b
c
 
 
logb1=0 
 
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Desse modo, para b > 1, f(x) tem a seguinte aparência: 
 
Para b 1 e decrescente se b 1 e decrescente se b 1), o que 
significa que y = log(x) e y = ln(x) são ambas funções crescentes. A diferença entre elas 
está apenas na velocidade de crescimento, reflexo de suas bases. 
 
7.16 – DE VOLTA À APLICAÇÃO 
 
Voltemos ao exemplo de Daniel. Daniel pegou um financiamento de 1 milhão no 
banco a um juro de 1% ao mês. Mostramos que sua dívida aumentava segundo a função a 
blog
b
0 = 0 
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seguir: 
 
 
A pergunta que tínhamos ficado de responder era em quanto tempo Daniel estará 
devendo 2 milhões? Ora, queremos o valor de x para o qual f(x) = 2 milhões. 
Como f(x) = 1 milhão . (1,01)x 
 
 
 
 
Ou seja, queremos descobrir o número ao qual precisamos elevar 1,01 para obter 
como resultado 2. Já sabemos que x é, simplesmente, o logaritmo de 2 na base 1,01, isto 
é, 
 
 
 
 
Alternativamente, podemos tirar o logaritmo em uma base qualquer (digamos, 10) 
de ambos os lados e obter (com auxílio de uma calculadora) 
 
 
 
 
 
 
Desse modo, Daniel estará devendo 2 milhões em 70 meses, o que dá pouco 
menos que 6 anos. 
 
 
 
 
f(x) = 1 milhão . (1,01)x 
1 milhão . (1,01)x = 2 milhões 
 
(1,01)x = 2 
(1,01)x = 2 
 
x=log1,012 
log(1,01)x = log2 
 
x.log(1,01) = log2 
 
x=
log2
log(1,01)
=
0,301
0,004
~ 70meses 
FGVIDT 
 
 
7.17 – TEMPO DE MEIA-VIDA 
 
Vimos que logaritmos podem ser utilizados para fornecer o tempo que uma dívida 
demora para dobrar de tamanho, por exemplo. Nesse caso, temos uma função exponencial 
que cresce. No entanto, também existem funções exponenciais que diminuem e, nesses 
casos, podemos estar interessados em calcular o tempo necessário para que a função caia 
à metade. Por exemplo, após um escândalo sobre uma empresa, o número de comentários 
nas redes sociais evolui segundo uma função 
 
 
 
em que x é o número desemanas desde que o escândalo foi divulgado na grande mídia. 
Queremos ter uma ideia de quanto tempo demora até o público esquecer. Uma 
forma de pensar nisso é calcular o tempo que demora até o número de comentários cair à 
metade do que foi no momento de pico. Esse tempo se chama tempo de meia-vida. 
Primeiro, vemos pela função que, como (
3
4
)comportadas” como as funções vistas anteriormente 
(1º. e 2º. graus, polinômios de ordens superiores, funções exponenciais e 
logarítmicas, em muitas situações nos deparamos com a representação de 
funções em formato racional ou em separadas em “partes”, sendo notadas nos 
mais diversos campos, como finanças, produção, etc. Vamos compreender como 
estas podem nos auxiliar em uma tomada de decisões. 
 
9.1 – FUNÇÕES RACIONAIS 
 
Uma função racional é função f(x) ao qual pode ser representada pela divisão 
(proporção) entre duas ou mais funções (p(x) e q(x), por exemplo), como 
 
 
em que q(x)≠0. 
Considere que a receita obtida (R) com a venda de certo produto dependa da 
quantidade x (em milhares de reais), investida em propaganda. Imagine que obtivemos a 
seguinte expressão para relacionar tais informações: R(x)=
50x+200
x+5
. 
Esta função apresenta uma divisão entre funções, ao qual demanda certa 
complexidade, tanto na interpretação, quanto sua representação gráfica. 
Caso desejássemos verificar qual seu “formato”, uma boa maneira seria a de se criar 
um tabelamento, “ligando-se” alguns de seus pontos, apresentando um esboço sobre seu 
comportamento, como 
 
x R(x) 
-6 100 
-5 não existe 
-4 0 
y = f(x) = 
p(x)
q(x)
 
FGVIDT 
 
 
-3 25 
-2 33,3 
-1 37,5 
0 40 
1 41,6 
2 42,85 
3 43,75 
4 44,44 
5 45 
 
Sua representação seria dada por uma hipérbole, conforme abaixo 
 
 
Como vemos, esta função racional indica um comportamento distinto das vistas 
anteriormente, uma vez que ela apresenta um “salto” (e mudança de sentido) quando x se 
aproxima de -5. 
Uma interpretação para este fato é o de que, quando há investimentos negativos 
(desinvestimento) na proximidade deste valor (região crítica a esta função, como veremos 
mais adiante), a respectiva receita apresenta comportamento incomum, de difícil 
compreensão. 
Mais ainda, ao notarmos que, quando x=0 (investimento nulo), a receita obtida é de 
40. Mas como pode haver receita se não houve investimento em propaganda? 
Neste caso, notamos que, apesar de, em dado momento não haver investimentos, a 
receita existe como que por um efeito inercial, ou seja, o fluxo de vendas permanece em 
FGVIDT 
 
 
função de seu estabelecimento de mercado, por exemplo! 
Ao contrário, o que ocorre quando a receita R(x) for nula (não houver receita)? 
A este tipo de situações, observa-se que x = -4, ou seja, é necessário haver um 
desinvestimento da ordem de 4000, para que sua comercialização “empate”, ou seja, deixe 
de oferecer receita. 
Seria o caso da obtenção da raiz à função R(x)=
50x+200
x+5
, pois se R(x)=0, teríamos 
 
 
 
 
 
Como podemos notar, em situações como neste exemplo, 
Mas, voltando a atenção à tabela, novamente, qual o problema gerado quando ocorre 
um desinvestimento da ordem de x = -5? 
 
9.2 – DOMÍNIO DE FUNÇÕES RACIONAIS 
 
Neste caso em particular, basta notar, como apontado anteriormente, que 
graficamente a função R(x) indica um “salto”, sugerindo que não seria possível determinar 
a receita a este nível de desinvestimento. 
Isto poderia ocorrer quando fossem definidos valores específicos para 
investir/desinvestir (um planejamento ou recebimento automático de patrocinadores), não 
havendo possibilidade de alteração, por exemplo! 
Mais ainda, ao conferirmos a função receita R(x)=
50x+200
x+5
, notamos que este valor 
pode ser determinado por uma condição de existência bem definida, ou seja, para que a 
função receita tenha validade, é necessário que (x + 5) seja diferente de zero, para que 
não ocorram indeterminações. 
Assim, temos 
 
 
 
0 = 
50x+200
x+5
 
 
-50x = 200 
 
x = -4 
(x + 5) ≠ 0 
 
x ≠ -5 
FGVIDT 
 
 
Atenção a este ponto, pois, segundo a função R(x), pode-se considerar uma 
infinidade de valores x (tanto para investimento quanto desinvestimento), com exceção de 
x = 5, pois impediria a determinação desta receita, portanto! 
 
9.3 – FUNÇÕES PARTIDAS 
 
Também é comum nos depararmos com um tipo particular de funções, cuja 
determinação pode ser condicionada, ou seja, atendendo-se intervalos para que possam 
representar comportamentos distintos. Estas funções podem ser denominadas funções 
“por partes” ou “partidas”, normalmente. 
Considere um call center, em que um supervisor auferiu a quantidade de 
atendimentos realizados (em centenas), em uma semana de atividades. De acordo com 
seu levantamento, visando realizar uma alocação de funcionários para períodos de maior 
movimentação, obteve as seguintes informações 
 
Quantidade de atendimentos e tempo médio de chamadas 
tempo (min) quantidade de ligações chamadas perdidas 
0 ≤ xg(x) = 50x – 30 e h(x) = 25x -6 
 
g(2) = 50.2 – 30 = 70 
h(x) = 15.2 – 6 = 24 
 
g(2) ≠ h(2) 
Para x = 4 
 
Substituir em h(x) = 25x -6 e j(x) = 5x - 2 
 
g(4) = 50.4 – 30 = 170 
h(4) = 15.4 – 6 = 44 
 
h(4) ≠ j(4) 
FGVIDT 
 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D.; Pré-cálculo. 2. ed. São 
Paulo: Pearson, 2013. 
 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R. Matemática – volume único. Parte 
1. 6 ed. São Paulo: Atual, 2015. 
 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R. Matemática – volume único. Parte 
3. 6. ed. São Paulo: Atual, 2015. 
 
PAIVA, M. Matemática 1. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2015. 
 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
 
DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D.; Pré-cálculo. 2. ed. São 
Paulo: Pearson, 2013. 
 
PAIVA, M. Matemática 1. 3. ed. São Paulo: Moderna, 2015.é o lucro (ou prejuízo) se a fábrica não produzir nada? intercepto 
 Quanto a fábrica precisa produzir para começar a ter lucro? raiz 
 Quais são os valores de lucro possíveis? domínio e imagem 
 Quanto a fábrica deve produzir para ter o maior lucro possível? Pontos extremos e 
vértices 
 
Vamos estudar cada um desses conceitos. 
 
 
f(x) = 2x +1 
g(x) = 5x 
h(x)=2x - 1 
y2 = 1 – x2 
FGVIDT 
 
 
1.2– INTERCEPTO 
 
O intercepto de uma função é o valor da função quando x = 0. Se observamos o 
gráfico da função, esse é o ponto em que a função intercepta o eixo vertical. Daí o nome 
intercepto. 
No exemplo da função y = f(x), que relaciona o lucro y de uma fábrica à quantidade x 
produzida, o intercepto é o lucro da fábrica, caso ela não produza nada (isso é, caso a sua 
produção x seja zero). Em finanças, isso é o que se denomina custo fixo. 
O custo fixo é o custo que se incorre independentemente da produção. Mesmo que 
uma fábrica não produza nada, ainda assim, ela tem de pagar o aluguel do espaço e o 
salário do pessoal de escritório, por exemplo. 
 
1.3– RAIZ 
 
Se a fábrica não produzir nada, ela terá prejuízo, porque terá de arcar com os seus 
custos fixos. Quanto a fábrica precisa produzir para pagar os seus custos fixos e fechar no 
“zero-a-zero”? A administração chama essa quantidade break-even-point. A matemática, 
por sua vez, chama esse valor de raiz da função lucro. 
A raiz de uma função f(x) é o valor de x para o qual 
 
 
Uma função pode ter várias raízes. Cada raiz será um valor de x para o qual f(x) = 0. 
 
A função 
 
 
 
 
tem raízes 1, 2 e −3, porque: 
 
 
 
 
 
 
f(x) = 0 
f(x) = (x − 1).(x − 2).(x + 3) 
 
f(1) = (1 − 1).(1 − 2).(1 + 3) = 0 
f(2) = (2 − 1).(2 − 2).(2 + 3) = 0 
f(−3) = (−3 − 1).(−3 − 2).(−3 + 3) = 0 
 
FGVIDT 
 
 
1.4– DOMÍNIO E IMAGEM 
 
Domínio é o conjunto de todos os valores que x pode assumir. Por sua vez, imagem é 
o conjunto de todos os valores que x pode assumir. 
Uma fábrica não pode produzir uma quantidade negativa, então x 1.000 também está fora do domínio. Nesse exemplo, o domínio 
da função seria x ∈ [0 ; 1000]. 
A notação x ∈ [0 ; 1000] indica que qualquer valor entre 0 e 1000 são possíveis. Se 
produzir exatamente 1.000 não fosse possível, por exemplo, representaríamos x ∈ [0 ; 
1000), indicando que podemos ter uma produção muito próxima de 1.000, mas, ainda 
assim, não exatamente 1.000. 
Se a nossa fábrica não tivesse capacidade, o domínio seria qualquer número maior 
ou igual a zero. Poderíamos representar isso de várias formas, por exemplo: 
 
 
O símbolo ∞ significa infinito. Ele sempre recebe um parêntesis para indicar que 
nunca conseguimos produzir exatamente infinitas peças. Nunca alcançamos o infinito. 
Agora, imagine que a nossa função lucro seja 
 
 
E que a nossa fábrica tenha capacidade de 1.000, de modo que o domínio dessa 
função é x ∈ [0 ; 1000]. Se x pode assumir qualquer valor entre 0 e 1000, então, f(x) pode 
assumir qualquer valor entre −10 e 1990. Ou seja, podemos ter qualquer lucro entre um 
prejuízo de 10 e um lucro de 1.990. Simbolicamente, 
 
 
O conjunto desses valores possíveis para y é a imagem da função. 
A maior parte das funções que você verá ao longo do curso tem um dos seguintes 
conjuntos como domínio e imagem: 
notação significado 
ℝ qualquer número real 
x ∈ [0;∞) 
x ∈ ℝ+ 
f(x) = 2x – 10 
y ∈ [-10 ; 1990] 
FGVIDT 
 
 
ℝ
∗
 qualquer número real exceto o zero 
ℝ
+
 
qualquer número real positivo ou o zero 
ℝ
−
 
qualquer número real negativo ou o zero 
ℝ
∗
+
 qualquer número real positivo (o zero não!) 
ℝ
∗
−
 qualquer número real negativo (o zero não!) 
ℝ
∗
+
- {1} qualquer número real positivo (o zero não) exceto o 1 
 
Por exemplo, o domínio da função 
 
 
é ℝ
∗
, porque x pode ser qualquer número real, desde que não seja zero. Da mesma 
forma, f(x) pode assumir qualquer valor, exceto o zero. Desse modo, a imagem de f(x) 
também é ℝ
∗
. 
Existe uma forma sucinta de dizer que o domínio de f(x) é ℝ
∗
 e sua imagem também 
é ℝ
∗
: 
 
 
Nessa notação, podemos escrever para a função g(x) = √𝑥 que 
 
 
 
Com isso, dizemos que, na função g(x), x pode assumir qualquer valor positivo (ou o 
zero) e que o resultado sempre será um valor positivo (ou o zero). 
 
 
 
f(x) = 
1
𝑥
 
f: ℝ
∗
→ ℝ
∗
 
g: ℝ
+
→ ℝ
+
 
FGVIDT 
 
 
A seguir, listamos o domínio e a imagem de algumas funções mais importantes: 
função domínio e imagem 
1
x
 ℝ
∗
→ ℝ
∗
 
√x ℝ
+
→ ℝ
+
 
b
x
 ℝ → ℝ
∗
+
 
log
b
(x) ℝ
∗
+
→ ℝ 
 
Note que o domínio da função 𝑏𝑥 é a imagem da função 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥), e vice-versa. Isso 
acontece porque essas funções são a inversa uma da outra. Mais tarde, veremos o que 
isso significa. 
 
1.5– PONTOS EXTREMOS 
 
Algumas funções têm um valor máximo (ou mínimo) possível. Esses valores se 
chamam pontos extremos. Para ilustrar, suponha que, na fábrica do nosso exemplo, a 
relação entre lucro e quantidade produzida seja 
 
 
Se a fábrica produz 100 unidades, ela fecha no zero-a-zero. Se a fábrica produz um 
pouco mais, ela começa a lucrar. No entanto, se produzir muito mais, ela passa a lucrar 
menos e, quando a sua produção chega a 300, ela volta a fechar no zero-a-zero. (Quando 
estudarmos funções do segundo grau, vamos justificar por que isso acontece). 
 
Em algum ponto no meio do caminho entre 100 e 300, o lucro da fábrica para de 
crescer e começa a cair. Nesse ponto, o lucro atinge um valor máximo possível. Na função 
do nosso exemplo, esse valor é 
 
 
 
f(x) = -10.(x – 100).(x – 300) 
x = 200 
 
que corresponde a um lucro de 
 
f(200) = 100.000 
FGVIDT 
 
 
 
Não existe nenhum valor na função inteira que dê um lucro maior do que 100.000. 
Dizemos que esse valor é um ponto extremo e, no caso especifico da função de 
segundo grau, chamamos esse valor também de vértice. 
A existência de um valor máximo para o lucro tem implicações muito importantes para 
a prática. Se sabemos que uma produção de 200 nos leva ao maior lucro possível, vamos 
voltar todo o nosso planejamento produtivo para produzir 200 unidades. 
Se a nossa capacidade for inferior a 200 (por exemplo, 190), a nossa produção será a 
mais próxima possível de 200 (ou seja, 190) e a estratégia da fábrica envolverá uma 
expansão de capacidade para que atinja uma capacidade de 200. Por outro lado, se a 
capacidade for superior a 200 (por exemplo, 210), a fábrica trabalhará com capacidade 
ociosa e fábrica poderá considerar alugar essa capacidade ociosa para outra empresa (se 
for possível). 
 
FGVIDT 
 
 
Unidade 02 – CONCEITOS 
INICIAIS 
 
Nesta unidade, daremos continuidade à apresentação da relação entre 
variáveis, aos quais nos depararemos com conceitos como funções compostas, 
funções inversas, funções pares e funções ímpares. 
 
2.1 – FUNÇÃO COMPOSTA 
 
Uma função composta é a função de uma função. Considere, no nosso exemplo, 
como o imposto de renda pago pela fábrica depende da quantidade produzida. A 
quantidade produzida determina o lucro por meio de uma relação 
 
 
O lucro auferido, por sua vez, determina o imposto de renda (IR) a ser pago segundo 
a relação. Considere que IR possa ser calculado por 
 
 
 
Podemos calcular o imposto de renda a ser pago diretamente a partir da quantidade produzida. 
Obteremos com isso uma nova função, h(x). Note que 
 
 
 
No entanto, 
 
 
 
 
Isso significa que 
 
 
 
 
 
 
 
Essa é uma nova função, f(x), que relaciona diretamente o imposto de renda à 
Lucro = f(x) = 2x - 10 
IR = g(Lucro) = 
Lucro
4
 
IR = g(Lucro) = 
Lucro
4
 
Lucro = f(x) = 2x - 10 
IR = 
2x - 10
4
= 
x
2
 - 2,5 
FGVIDT 
 
 
quantidade produzida. Sabendo-se a quatidade produzida, podemos calcular o imposto de 
renda diretamente, sem precisar calcular o lucro como passo intermediário.Para obter 
essa relação, pegamos g(Lucro) e substituimos Lucro = f(x), obtendo g[f(x)]. 
Às vezes, essa função é representada por g ∘ f(x). 
 
2.2 – FUNÇÃO INVERSA 
 
Vamos continuar com o exemplo da fábrica que produz uma quantidade x e obtém 
um lucro 
 
 
 
 
Podemos perguntar qual será o lucro, caso a fábrica tenha uma produção de x = 
100. A resposta será f(100) = 2.100 − 10 = 190. No entanto, suponha que a nossa 
pergunta fosse outra: sabendo-se que a fábrica teve um lucro de 190, quanto que a fábrica 
produziu? 
Estamos fazendo a pergunta inversa. Em vez de sabermos o valor do x e 
querermos descobrir o valor de y, agora, sabemos o valor de x e queremos o valor de y. 
Podemos descobrir o valor de y por simples manipulação algébrica: 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo y=190, obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
Exatamente o valor correto! Para descobrir esse valor, usamos a função 
 
 
 
 
 
Essa função se chama função inversa de f(x) = 2x − 10. Na verdade, falta apenas 
um retoque: usarmos a notação usual de chamar de x a informação que temos e de y o 
que queremos descobrir. Se fizermos isso, a função acima se escreverá 
y = f(x) = 2x - 10 
y = 2x -10 
 
y+10 = 2x 
 
x= 
y+10
2
 
 
x= 
190+10
2
= 
200
2
 = 100 
x= 
y+10
2
 
y= 
x+10
2
 
FGVIDT 
 
 
 
 
Essa, sim, é a função inversa de y = f(x) = 2x − 10, e representamos isso por 
 
 
Essas duas funções têm uma relação muito especial. O “x” de uma é o “y” da outra, 
e vice-versa. Elas são obtidas trocando-se o x pelo y e rearrumando. Em um plano 
cartesiano, o gráfico de uma é igual ao gráfico da outra, trocando-se o eixo horizontal pelo 
vertical. Mais ainda, para qualquer valor de x, 
 
 
 
Ou seja, se sabemos a quantidade produzida, podemos calcular o lucro f(x). No 
entanto, se jogarmos esse lucro dentro da função inversa, f
-1
[f(x)], voltaremos a ter a 
quantidade produzida. A função f faz e a f
-1
 desfaz. Por isso, uma é chamada função 
inversa da outra. 
Um cuidado com notação merece destaque. Quando falamos x-1, isso é o mesmo 
que 
1
x
 , e chamamos isso de “inverso de x”. Quando escrevemos f
-1(x), estamos falando 
em outra coisa. Isso é, f
-1(x) não é 
1
f(x)
! De fato, no nosso exemplo, f
-1(x) = 
x+10
2
, que é 
totalmente diferente de 
1
f(x)
= 
1
2x-10
. 
Desse modo, não confunda as notações. 
 
2.3 – PARIDADE DE FUNÇÕES 
 
Algumas funções têm uma propriedade interessante: são pares. Outras funções têm 
outra propriedade interessante: são ímpares. Existem ainda outras funções que não são 
nem pares nem ímpares, o que é uma pena. 
Uma função par é uma função f(x) que é exatamente igual à direita e à esquerda do 
eixo vertical. Ou seja, 
 
 
 
y= f
-1(x) = 
x+10
2
 
f
-1
[f(x)] = x 
f(x) = f(-x) 
FGVIDT 
 
 
 
 
Funções pares se chamam assim porque a função f(x) = x2, por exemplo. Esta é 
uma função par, pois é idêntica à esquerda e à direita do eixo vertical. De fato, 
 
 
 
 
Isso vale para qualquer número! 
 
A função f(x) = x2 não é a única função par. Todas as funções de expoente par também 
são funções pares: 
 
 
 
 
Existem também funções ímpares. Funções ímpares são funções que mudam o 
sinal de umlado para o outro do lado vertical. Ou seja, se a função é positiva de um lado do 
eixo vertical, então, do outro lado, ela é igualzinha, mas negativa, e vice-versa. Em outras 
palavras, uma função é ímpar se 
 
 
Funções ímpares se chamam funções ímpares porque a função f(x)=x1 é ímpar, por 
exemplo! 
 
 
 
 
 
Isso vale para qualquer número! 
A função f(x)=x1 não é a única função ímpar. Todas as funções de expoente 
(1)2 = (-1)2 
(2)2 = (-2)2 
(3)2 = (-3)2 
(4)2 = (-4)2 
(5)2 = (-5)2 
... 
g(x) = x4 
h(x) = x6 
j(x) = x8 
... 
f(x) = -f(-x) 
(1)1 = -(-1)1 
(2)1 = -(-2)1 
(3)1 = -(-3)1 
(4)1 = -(-4)1 
(5)1 = -(-5)1 
... 
FGVIDT 
 
 
ímpar também são funções ímpares. 
 
 
 
 
Existem algumas funções que são pares, mas não parecem pares; assim como 
existem funções que são ímpares, mas não parecem ímpares. Por exemplo, a função f(x) = 
cos (x) é par, porque cos(x) = cos (−x). Já a função sen(x), por exemplo, é ímpar, porque 
sen(x) = −sen (−x). Aliás, a função f(x) = cos (
3
7
x) é par e, a função g(x) = sen (8x) é ímpar, 
pelos mesmos motivos. 
Finalmente, vale notar que algumas funções não são nem pares nem ímpares. Por 
exemplo, a função 
 
 
Note que 
 
 
 
São números totalmente diferentes. Como consequência, f(x) = x - 1 não é par nem 
ímpar. Outro exemplo é a função 
 
 
Nesse caso, vemos que a função não é par nem ímpar porque, escolhendo-se x = 1, 
por exemplo, temos 
 
 
g(x) = x3 
h(x) = x5 
j(x) = x7 
... 
f(x) = x - 1 
f(1) = 0 
f(-1) = -2 
g(x) = 2x 
g(1) = 2 
g(-1) = 
1
2
 
FGVIDT 
 
 
Unidade 03 – FUNÇÕES 
POLINOMIAIS 
 
Nestas próximas unidades estaremos revendo uma “família” importante de 
funções, que podem ser representadas como polinômios. Mas especificamente 
nesta unidade, nos depararemos com a função de primeiro grau, importante a uma 
série de ocorrências cotidianas. 
 
3.1 – FUNÇÕES DE 1º. GRAU 
 
Funções do primeiro grau são funções do tipo 
 
 
Com a ≠ 0. Essa função pode ser representada por uma reta que corta o eixo y em y 
= b e cuja inclinação vale a. Vejamos: 
 
Para ver uma aplicação à administração, imagine uma fábrica. A fábrica tem dois 
tipos de custos: 
 custos fixos, ou seja, custos que não dependem de quanto a fábrica produz, como 
aluguel do espaço e salário dos diretores, e 
 custos variáveis, ou seja, custos que dependem de quanto a fábrica produz, como 
material, luz e água. 
f(x) = ax + b 
f(x) = ax + b 
FGVIDT 
 
 
Suponha que: 
 os custos fixos da fábrica sejam de R$ 1.000; 
 cada item produzido custe R$ 5 para produzir, fora o custo fixo, de modo que, se a 
fábrica produz x itens, eles custam 5x para produzir, fora o custo fixo, e 
 os itens sejam todos vendidos, custando R$ 15, de forma que, se a fábrica produz x 
itens, ela tem uma receita de 15x. 
 
O lucro da empresa é 
 
 
ou, simplesmente, 
 
 
Veja que essa equação é do tipo 
 
 
Com a = 10 e b = −1000. 
 
Vamos analisar esse exemplo por partes... 
 
 
3.2 – COEFICIENTE LINEAR 
 
A fábrica tem dois tipos de custo: custos fixos, que não dependem da quantidade 
produzida, e custos variáveis, que dependem. O que acontece se uma fábrica não produzir 
nada? 
Ela não terá custos de material gasto, mas ainda terá de pagar o aluguel do espaço. 
Em outras palavras, ela não terá os custos variáveis, mas ainda terá de arcar com os 
custos fixos. 
 
y = 15x – 5x -1000 
y = 10x -1000 
y = ax + b 
FGVIDT 
 
 
 
Vejamos isso na equação. Se a fábrica não produz nada, isso significa x = 0, o que dá 
 
 
 
Note que esse é exatamente o valor de b. Isso vale em qualquer caso. Se tivéssemos 
 
 
 
fazendo x = 0, teríamos 
 
 
 
 
Desse modo, no nosso exemplo, b é o custo fixo pura e simplesmente. Em matemática, ele 
recebe outro nome: intercepto ou coeficiente linear. Em um gráfico, b é o valor marcado no eixo y 
quando a reta cruza esse eixo. 
 
 
3.3 – COEFICIENTE ANGULAR 
 
Agora, vejamos o outro coeficiente. Note que, se a empresa vende cada item por R$ 15, 
mas lhe custa R$ 5 para produzi-lo, então, ela ganha R$ 10 com a venda de cada item adicional. 
Em administração, chamamos isso de lucro marginal. Em matemática, note que 10 é, 
simplesmente, o valor de a, que chamamos de coeficiente angular. Isso nos permite interpretar o 
valor de a. 
 
O coeficiente angular é o aumento que observamos em y (por exemplo, o lucro) quando x 
(por exemplo, a quantidade produzida) aumenta uma unidade. Para mostrar que isso vale sempre, 
basta calcular f(x + 1) e comparar com f(x): 
 
 
y = 10.0 -1000 
y = 0 – 1000 
y = -1000 
y = ax + b 
y = a.0 + b 
y = b 
f(x + 1) = a.(x +1) + b 
f(x + 1) = ax + a + b 
FGVIDT 
 
 
 
 
 
 Ou, mudando a ordem dos termos, 
 
 
 
 
 
 
 
Desse modo,a representa quanto o y aumenta quando x vai para x + 1. No nosso exemplo, 
a representa o aumento no lucro quando produzimos uma unidade a mais do item a ser vendido. 
Em um gráfico, a está relacionado com a inclinação da reta. 
 
3.4 – RAIZ 
 
Já vimos que, se a fábrica não produzir nada, ela tem que arcar com o custo fixo. Desse 
modo, se a fábrica não produzir nada, ela tem um prejuízo de R$ 1000. A cada item que a fábrica 
produz, o seu lucro aumenta em R$ 10. Uma pergunta natural que um administrador dessa fábrica 
pode fazer é: 
 “Quantos itens a fábrica deve produzir para pagar o seu custo fixo?” ou 
 “A partir de quantos itens produzidos a fábrica começa a dar lucro?” 
 
Intuitivamente, pensamos que, se cada item dá à fábrica um lucro de R$ 10, então, para 
pagar um custo fixo de R$ 1.000, é preciso produzir e vender 100 itens. Matematicamente, 
podemos calcular a quantidade x1 que deve ser produzida para que o lucro da fábrica fique zerado 
(isso é, deixe de ser negativo): 
 
 
 
 
f(x + 1) = ax + b + a 
 
f(x +1 ) = f(x) + a 
 
ou, ainda, 
 
a = f(x +1) – f(x) 
 
y = 10x – 1000 
0 = 10x1 – 1000 
10x1 = 1000 
x1 = 
1000
10
 
x1=100 
FGVIDT 
 
 
Desse modo, a fábrica precisa produzir e vender 100 unidades para pagar o seu custo fixo. 
Se a fábrica produzir menos, ela tem prejuízo. Se ela produzir mais, ela passa a ter lucro. 
Em administração, dizemos que 100 é o ponto de break-even da empresa. Em matemática, 
dizemos que 100 é a raiz da função lucro. 
Uma função do primeiro grau tem uma única raiz. Isso fica claro a partir do gráfico da 
função: uma reta inclinada só pode cortar o eixo x (isso é, só pode ter y = 0) uma única vez. Se 
não, não seria uma reta. 
 
3.5 – y ou f(x)? 
 
Qual é diferença entre as seguintes equações do primeiro grau? 
A resposta é: nenhuma. No nosso exemplo, a quantidade produzida é representada por x, e o lucro 
pode ser representado tanto por f(x) como por y, ou por qualquer outra letra, como L. 
 
 
 
Quando queremos deixar claro que o lucro depende da quantidade produzida (x), 
representamos o lucro por f(x). Quando estamos desenhando um gráfico e queremos deixar claro 
que o lucro fica no eixo vertical (chamado eixo y), representamos o lucro por y. 
 
3.6 – GRÁFICO 
 
O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta. Como vimos, quando x = 0, y = b. Por 
isso, a reta corta o eixo vertical em y = b. Isso faz com que seja muito simples adivinhar o valor de 
a partir do gráfico de uma reta: basta olhar onde essa reta corta o eixo vertical. Quanto maior o 
valor de b, mais longe da origem o gráfico corta o eixo vertical. Na figura a seguir, observe o ponto 
em que cada reta corta o eixo vertical. Perceba que, quanto mais longe do zero a reta corta o eixo 
y, maior é o valor do seu b. 
f(x) = 10x – 1000 
y = 10x - 1000 
FGVIDT 
 
 
 
Também vale notar que b pode ser positivo ou negativo. Se for positivo, a reta cruza o eixo y em 
um valor positivo, ou seja, acima da origem. Se for negativo, a reta cruza o eixo y em um valor 
negativo, ou seja, abaixo da origem. Finalmente, se b for igual a zero, então, a reta passa pela 
origem. 
Vemos isso na figura a seguir. 
 
 
Além de estudarmos o coeficiente linear, estudamos também o coeficiente angular. 
Vimos que, quando o x aumenta uma unidade, o valor de y aumenta o valor do coeficiente 
angular (a). Isso significa que retas com um valor de a grande serão muito inclinadas, porque o seu 
y aumenta muito quando x aumenta uma unidade. Já retas com um valor de a pequeno serão 
pouco inclinadas, porque o seu y aumenta pouco quando x aumenta uma unidade. Por esse 
motivo, o coeficiente angular também é chamado de inclinação da reta. 
FGVIDT 
 
 
 
Um coeficiente angular também pode ser negativo. Isso significa que, quando o x aumenta 
uma unidade, o y aumenta um valor negativo, ou seja, o y diminui! Essas retas se movem para 
baixo. 
 
 
Retas cujo y vai aumentando à medida que o x aumenta se chamam retas crescentes. 
Essas retas têm a > 0, fazendo com que o y fique maior quando x aumenta. Nessas retas, quanto 
maior for o valor de x, maior será o valor de y. Por outro lado, retas cujo y vai diminuindo à medida 
que o x aumenta se chamam retas decrescentes. Essas retas têm a 0 é uma reta crescente, e que uma função 
FGVIDT 
 
 
do primeiro grau com apor a= 
y - y0
x - x0
 . Desse modo, a é igual à diferença vertical entre os dois pontos dividido pela 
diferença horizontal entre os dois pontos. Ilustramos isso na figura a seguir: 
 
 
 
Usando os pontos que temos, fazemos 
 
 
 
Desse modo, podemos escrever a equação da reta como 
 
 
 
 
 
a= 
4000 - 2000
500 - 300
=10 
y = 2000 + 10(x – 300) 
ou 
y = 4000 + 10(x -500) 
FGVIDT 
 
 
Se quisermos obter a equação na forma tradicional, basta rearrumar essas expressões 
(qualquer uma delas!) para obter 
 
 
 
Alternativamente, podemos fazer x = 0 em qualquer uma das duas expressões 
anteriores e obter b = −1000. 
É interessante que, dados 2 pontos, conseguimos encontrar uma equação única. 
Euclides, quando inventou a geometria na Grécia, partiu de alguns axiomas, ou seja, 
verdades que ele parte por princípio, sem provar. Um dos axiomas diz o que acabamos de 
ver: “por dois pontos passa uma reta.” 
Um último comentário sobre os “dois pontos”. Na vida real, nenhuma empresa toma 
decisões usando apenas dois pontos. Na prática, a fábrica observa os lucros obtidos para 
várias diferentes quantidades produzidas e tenta encontrar uma equação que relaciona as 
duas coisas. Como fazer isso é algo que você vai aprender ao longo do seu curso. 
 
y = 10x - 1000 
FGVIDT 
 
 
Unidade 04 – FUNÇÕES 
POLINOMIAIS 
 
Quando estudamos funções do primeiro grau, usamos o exemplo de uma 
fábrica. A fábrica tinha um custo fixo de 1.000 e recebia 10 por unidade produzida. 
Nesse exemplo, o ganho da empresa por unidade produzida era fixo: 10, sempre, 
independentemente do número de unidades produzidas. 
Muitas vezes, o ganho da empresa por unidade produzida não é fixo. Um 
exemplo clássico disso acontece na agricultura tradicional. Por exemplo, imagine 
uma empresa de plantio que cultiva trigo orgânico. Cada cultivo de trigo consome 
um pouco dos nutrientes da terra. Por isso, a cada ano, a colheita é ligeiramente 
menor. Uma delas é a rotação de culturas, que consiste em plantar alguma outra 
coisa no local, deixando a terra recompor os nutrientes usados pelo trigo. 
Em uma fábrica, isso também acontece. Se a nossa fábrica resolver aumentar 
muito a sua produção, pode ter de pagar horas extras para os seus funcionários ou 
enfrentar custos adicionais devido ao desgaste excessivo das máquinas. Tudo isso 
acabará por reduzir o quanto ela ganha por unidade produzida. Desse modo, 
vamos fazer alguns ajustes ao exemplo que usamos para falar de funções de 
primeiro grau. Desta forma, representações podem ocorrer por meio de uma 
função de segundo grau, como veremos. 
 
4.1 – FUNÇÕES DE 2º. GRAU 
 
Imagine que a fábrica tenha um ganho de 25 – 0,1x por cada uma das x unidades 
produzidas. Isso significa que o ganho da fábrica reduz linearmente, começando de 25 e 
reduzindo 0,1 (ou seja, 10 centavos) por cada unidade produzida. Ao produzir x unidades, 
a fábrica aufere um ganho de 
 
 
No entanto, essa fábrica tem um custo fixo de 1.000 que precisa ser pago. Desse 
modo, o lucro da fábrica é igual a 
 
 
(25-0,1x).x 
f(x) = (25 – 0,1x).x - 1000 
FGVIDT 
 
 
Se expandirmos essa equação, obtemos: 
 
 
Essa equação já não é mais do primeiro grau. Essa é uma equação do segundo grau. 
Funções do segundo grau são funções do tipo 
 
 
em que a pode ser positivo ou negativo, mas não pode ser zero (se for, a equação se 
torna de primeiro grau!). Essa função pode ser representada por uma curva chamada 
parábola. 
 
4.2 – INTERCEPTO 
 
No nosso exemplo, o lucro de uma fábrica depende da quantidade vendida segundo a 
equação 
 
 
Qual é o lucro da fábrica, se ela não produzir nada? Ora, produzir nada é o mesmo que 
produzir zero. Fazendo x = 0, obtemos 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a fábrica terá um prejuízo de 1.000. 
Esse resultado é o mesmo que tínhamos obtido no nosso exemplo para função do primeiro 
grau. Faz sentido. De lá para cá, o que mudamos foi o retorno obtido por cada unidade produzida. 
Se não estamos produzindo nada, não há por que se observar mudança. 
Do ponto de vista da Administração, 1000 é o custo que se incorre independente de se 
produzir ou não. É o que se denomina custo fixo da fábrica. A matemática chama esse valor de 
intercepto, já que, no gráfico, é nesse valor que a parábola intercepta o eixo vertical. 
 
 
 
f(x) = -0,1x2 + 25x -1000 
f(x) = ax2 + bx + c 
f(x) = -0,1x2 + 25x -1000 
f(0) = -0,1.02 + 25.0 -1000 
f(0)=-1000 
FGVIDT 
 
 
4.3 – CURVATURA 
 
Na fábrica que usamos de exemplo para estudar a função do primeiro grau, quanto mais ela 
produzia, mais ela lucrava. Isso porque ela ganhava uma quantidade fixa para cada item que ela 
produzia. Nesse sentido, mais itens produzidos significava uma quantidade maior recebida e, 
consequentemente, um lucro maior. 
Agora, enfrentamos um caso diferente. A quantidade que a fábrica ganha por item diminui 
quanto mais itens ela produz. Isso porque produzir mais aumenta os custos por unidade produzida. 
O que isso muda, na prática, para a fábrica? Para responder isso, observe quanto a fábrica lucra se 
produzir diferentes quantidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a fábrica não produz nada, ela tem prejuízo de -1000. No entanto, se ela resolve 
produzir 50 unidades, ela zera esse prejuízo. Com isso, os seus ganhos foram de 1000. Se 
ela resolver produzir mais 50 unidades (passando a 100 unidades), o seu lucro aumenta de 
zero para 500. 
As primeiras 50 unidades produzidas pela fábrica lhe deram um aumento no lucro 
de 1000. As segundas 50 unidades produzidas pela fábrica lhe deram um aumento no 
lucro de apenas 500. 
Por que isso acontece? 
Quantidade produzida (x) Lucro ( f(x)= 0,1x2 + 25x -1000) 
0 -1000 
25 -437,5 
50 0 
75 312,5 
100 500 
125 562,5 
150 500 
175 312,5 
200 0 
225 -437,5 
250 -1000 
... ... 
FGVIDT 
 
 
Do ponto de vista da Matemática, isso acontece porque a parábola tem curvatura. 
Ela não é uma linha reta, em que um aumento no x sempre corresponde ao mesmo 
aumento no y. 
Do ponto de vista da Administração, isso acontece porque o ganho que a fábrica 
tem por item diminui com a quantidade de itens produzidos. Desse modo, quando ela está 
produzindo apenas 50 itens, o seu custo por item é menor do que quando ela está 
produzindo 100 itens. Por isso, ela ganha mais pelos primeiros 50 itens do que pelos 50 
segundos. Podemos justificar isso pensando que, para produzir o segundo grupo de 50 
itens, é preciso contratar outro turno ou forçar as máquinas de forma a desgastá-las mais 
rápido, aumentando os custos com manutenção. 
Vamos observar como o aumento do lucro vai mudando à medida que produzimos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que, à medida que a empresa vai aumentando a quantidade produzida de 50 
em 50, o aumento no lucro é cada vez menor. Aliás, é possível reparar que o aumento no 
lucro segue uma função do primeiro grau. De fato, a cada aumento de 50 unidades, o 
aumento nos lucros diminui sempre a mesma quantidade: 500 reais a menos para cada 50 
unidades adicionais produzidas (ou, o que dá no mesmo, 10 reais para cada 1 unidade 
adicional produzida). 
 
4.4 – RAIZES 
 
Quando estudamos funções do primeiro grau, vimos que, se a fábrica produzisse muito 
pouco, ela não conseguia pagar os seus custos fixos. Desse modo, ela tinha de ter uma produção 
mínima para pagar os seus custos e começar a ter lucro. 
 
Quantidade produzida (x) Lucro (f(x)= 0,1x2 + 25x -1000) aumento no lucro 
0 -1000 
50 0 1000 
100 500 500 
150 500 0 
200 0 -500 
250 -1000 -1000 
FGVIDT 
 
 
No caso que estamos enfrentando agora, os custos de se produzir um item 
aumentam quanto mais se produz. Desse modo, se uma fábrica produzir demais, o custo 
de produzir cada item pode ser tão alto que acabe não valendo a pena produzir (ou não 
valendo a pena produzir tanto). De fato, observe a tabela, novamente, com diferentes 
quantidades produzidas e os seus respectivos lucros.Vemos que, se a fábrica produz menos do que 50 unidades, ela tem prejuízo. No 
entanto, se ela produzir mais do que 200 unidades, ela também tem prejuízo! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na equação de primeiro grau, existia apenas um valor que fazia o lucro da fábrica 
ser zero. Na equação de segundo grau, existem dois. Esses dois valores são dados pela 
fórmula de Bháskara: 
 
 
 
 
 
em que Δ = b2 – 4ac é chamado, discriminante, de Bháskara. 
 
Quantidade produzida (x) Lucro ( f(x)= 0,1x2 + 25x -1000) 
0 -1000 
25 -437,5 
50 0 
75 312,5 
100 500 
125 562,5 
150 500 
175 312,5 
200 0 
225 -437,5 
250 -1000 
... ... 
x1=
-b+√∆
2a
 
 
x2=
-b-√∆
2a
 
 
FGVIDT 
 
 
No caso da nossa fábrica, lembre que o seu lucro é dado por 
 
 
Desse modo, a = −0,1, b = 25 e c = −1000. Substituindo em Δ, obtemos 
 
 
 
 
Finalmente, para obtermos suas raízes, temos 
 
 
 
 
 
Ou seja, a fábrica precisa produzir, pelo menos, 50 unidades, senão, dá prejuízo. No 
entanto, ela também não pode produzir mais do que 200. Se produzir, ela também dá 
prejuízo! 
 
4.5– NÚMERO DE RAÍZES 
 
Uma função do segundo grau não precisa, necessariamente, ter duas raízes. Ela pode ter 
só uma raiz ou não ter raiz nenhuma. Geometricamente, podemos visualizar isso pensando em 
uma parábola em diferentes posições. Uma parábola pode cortar o eixo horizontal duas vezes. Ela 
também pode só encostar no eixo horizontal uma única vez. Finalmente, ela pode nunca encostar 
no eixo horizontal, ficando sempre acima ou abaixo dele. Essas visualizações ilustram, 
respectivamente, o que é uma função do segundo grau com duas, uma ou nenhuma raiz. Também 
podemos enxergar isso na fórmula de Bháskara. Vejamos: 
 
 
 
 
 
f(x) = -0,1x2 + 25x -1000 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = 252 – 4.(-0,1).(-1000) 
Δ = 625-400 
Δ = 225 
x1=
-b+√∆
2a
=
-25+√225
2.(-0,1)
=50 
 
x2=
-b-√∆
2a
=
-25-√225
2.(-0,1)
=200 
 
x1=
-b+√∆
2a
 
 
x2=
-b-√∆
2a
 
 
FGVIDT 
 
 
Se Δ for um número positivo, então, cada expressão dará um valor diferente. 
Teremos duas raízes. 
Por outro lado, se Δ for igual a zero, √Δ = √0 = 0. Nesse caso, teremos 
 
 
 
 
 
As duas expressões dão o mesmo valor! Nesse caso, teremos apenas uma raiz. 
Finalmente, se Δ 0 → duas raízes
∆=0 → uma raiz
∆0, existe um valor para f(x) que é o menor possível. 
Se a0, f(x) tem um ponto de mínimo. 
Se aprimeiro grau e a função de segundo 
grau. Aqui, a0, a1, ... an e n são números fixos. Os números a0, a1, ... an se chamam 
coeficientes ou parâmetros da função. O número n, por sua vez, se chama grau da função. 
Nessa notação, uma função do primeiro grau seria escrita 
 
 
E uma função do segundo grau se escreveria 
 
 
Desse modo, uma função polinomial não traz nada de fundamentalmente diferente do 
que já vimos. Seria muito natural pensar em uma função do terceiro grau como 
 
 
Ou pensar em uma função de quarto grau como 
 
 
y = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +... an 
y = a0x + a1 
y = a0x2 + a1x + a2 
y = a0x3 + a1x2 + a2x + a3 
y = a0x4 + a1x3 + a2x2 + a1x + a4 
FGVIDT 
 
 
A vantagem de falar em funções polinomiais é falar, de uma vez só, de funções do 
terceiro, quarto, quinto grau, e assim por diante. Em outras palavras, as funções de 
primeiro e de segundo grau são muito importantes e merecem ser estudadas 
separadamente. As funções de graus maiores não são tão importantes e, por isso, 
podemos estudá-las todas juntas. 
O gráfico de uma função polinomial é, tipicamente, uma curva. A única exceção é a 
função de 1o grau, que é uma reta. 
 
5.2 – PARIDADE 
 
Agora, vejamos a reta y = x. Ela “começa” no lado de baixo do eixo horizontal e 
“termina” no lado de cima desse eixo. Ela cruza o eixo horizontal e não volta. 
Algo muito diferente acontece com a parábola. A parábola y = x2 - 9, por exemplo, 
“começa” no lado de cima do eixo horizontal, cruza para o lado de baixo (em x1> = −3), 
volta a subir (em xv = 0), cruza o eixo horizontal de novo (em x2 = +3) e segue toda a vida 
no lado de cima do eixo horitontal. Ela começa e termina do mesmo lado. Isso porque, 
quando x é muito grande (positivo ou negativo), x2 - 9 será positivo, independentemente do 
x ser positivo ou negativo. 
Uma função polinomial de terceiro grau se comporta como uma reta: ela nasce em 
um lado do eixo horizontal e morre do outro; uma função polinomial do quarto grau se 
comporta como uma parábola: ela nasce e morre do mesmo lado do eixo horizontal; uma 
função polinomial do quinto grau se comporta como uma reta e uma função polinomial do 
sexto grau se comporta como uma parábola. 
Genericamente, as funções polinomiais de graus ímpares funcionam como uma reta: 
elas nascem de um lado do eixo horizontal e morrem do outro. Por sua vez, as funções 
polinomiais de graus pares funcionam como a parábola: elas nascem e morrem do mesmo 
lado do eixo horizontal. 
Em funções do tipo f(x) = axn é fácil entender o porquê disso. 
Se n é ímpar, então, 
 
 
Ou seja, se f(x) é positivo, então, f(−x) é negativo. Um lado da função está na parte de cima 
do eixo horizontal, e o outro lado da função está na parte de baixo desse eixo. 
 
f(-x) = a(-x)n = -axn = -f(x) 
FGVIDT 
 
 
No entanto, se v é par, então 
 
 
Ou seja, se f(x) é positivo, f(−x) também é, e vice-versa. Os lados da função estão ambos 
acima (ou ambos abaixo) do eixo horizontal. O que importa é que estão do mesmo lado. Isso tem 
implicações para o número de raízes das funções polinomiais de graus ímpares. Como as funções 
polinomiais de graus ímpares nascem de um lado do eixo horizontal e morrem do outro, isso 
significa que elas atravessam o eixo horizontal, pelo menos, uma vez. Isso significa que elas têm, 
no mínimo, uma raiz. 
 
5.3 – NÚMERO DE RAÍZES 
 
Já vimos que uma função do primeiro grau possui uma raiz. Vimos que uma função do 
segundo grau pode possuir até duas raízes. Genericamente, uma função polinomial de grau n 
poderá ter até v raízes. 
Como vimos, se a função foi de grau ímpar, ela terá que ter pelo menos uma raiz. Se a 
função for de grau par, não. Então, por exemplo, uma função polinomial de terceiro grau poderá ter 
1, 2 ou 3 raízes. Por sua vez, uma função polinomial do quarto grau poderá ter 0, 1, 2, 3 ou 4 
raízes. 
 
5.4 – RAÍZES 
 
As raízes de uma função polinomial são os valores de X para os quais ela assume o valor 
zero. Desse modo, encontrar as raízes de uma função polinomial de grau N é resolver a equação 
 
 
Isso é muito difícil. Só é fácil no caso da função de primeiro e segundo grau (uma solução 
para funções do terceiro grau também existe e se chama Equação de Tartaglia, mas não é 
simples). 
Felizmente, existem formas de se obter boas aproximações para as raízes desse polinômio 
a partir de ferramentas de cálculo numérico (menos difíceis, mas não triviais, no entanto). 
 
 
 
f(-x) = a(-x)n = +axn = f(x) 
a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +... an = 0 
FGVIDT 
 
 
5.5 – OUTRA FORMA DE REPRESENTAÇÃO DE 
UMA FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
Uma função polinomial de grau n e raízes x1, x2, ... xn pode ser escrita como 
 
 
De fato, note que temos v valores de x para se multiplicarem (formando o xn). Além disso, 
note que, quando x for igual a qualquer uma das raízes, y será igual a zero. Por exemplo, se x = x1, 
teremos 
 
 
 
Da mesma forma, se tivermos x = x2 
 
 
 
A mesma lógica se aplica sempre que x assume o valor de alguma raiz da função 
polinomial. Por outro lado, se x não for igual a nenhuma raiz, nenhum dos termos será zero, de 
modo que o produto deles também será diferente de zero. 
 
5.6 – REDUÇÃO DE GRAU 
 
Suponha a seguinte função polinomial de grau 3: 
 
 
Sabe-se que x1 = −2 é uma raiz dessa função. Como podemos descobrir as demais? 
Se x1 = −2 é uma raiz dessa função, então 
 
 
No entanto, note que 
 
 
y = a0(x – x1).(x – x2)... .(x – xn) 
y = a0(x – x1).(x – x2)... .(x – xn) = 0 
 
 0 
y = a0(x – x1).(x – x2)... .(x – xn) = 0 
 
 0 
f(x) = x3 + 2x2 – x – 2 
f(x) = (x + 2).(x – x2).(x – x3) 
f(x)
x+2
 = (x – x2).(x – x3) 
FGVIDT 
 
 
É uma função de segundo grau! Ora, nós podemos calcular as raízes de uma equação do 
segundo grau usando a fórmula de Bháskara. Com isso, o próximo passo, é calcular 
 
 
 
Uma forma de fazer essa divisão é usando o algoritmo inventado por Briot e Ruffini. Esse 
algoritmo divide uma função polinomial por uma expressão do tipo x - m. No caso, estamos 
dividindo por x + 2 e, portanto, m = −2. Vamos ilustrar o funcionamento desse algoritmo. 
Traçamos uma linha horizontal e, quase no canto esquerdo, uma linha vertical. À esquerda a 
linha, colocamos o valor de m, no caso, 3. À direita, os coeficientes da função polinomial que está 
sendo dividida. Se não houver algum termo (por exemplo, se não houver termo em x2, deve ser 
colocado um zero no lugar do coeficiente ausente). No nosso caso, o algoritmo fica montado assim: 
 
 
 
Baixamos o primeiro coeficiente: 
 
 
 
Multiplicamos o coeficiente baixado pelo -2 e somamos com o próximo coeficiente (2). 
Escrevemos o resultado abaixo: 
 
 
 
Novamente, multiplicamos 0 por -2, obtendo 0. Somamos com o próximo coeficiente, -1, 
obtendo -1: 
 
 
 
 
Finalmente, multiplicamos -1 por -2, obtendo 2, e somamos ao próximo coeficiente, -2, 
obtendo zero. 
 
 
 
 
f(x)
x+2
= 
x3 + 2x2 – x – 2
x+2
 
FGVIDT 
 
 
O último zero é o resto da divisão. O fato de ter dado zero significa que -2 divide a função 
polinomial, ou seja, que -2 é, realmente, uma raiz. Os outros termos (1, 0 e -1) são os coeficientes 
da função polinomial que resta da divisão. Desse modo, 
 
 
 
 
 
Para descobrir as outras raízes de f(x), basta encontrar as raízes de x2 − 1. Essas raízes 
são 1 e −1. Desse modo, as 3 raízes de f(x) = x3 + 2x2 – x - 2 são −2, 1 e −1. Nesse caso, essa 
função também pode ser escrita na forma a seguir: 
 
 
 
5.7 – MULTIPLICIDADE DE RAÍZES 
 
Uma função polinomial pode ter duas raízes iguais. O número de vezes que uma raiz 
aparece é chamado de multiplicidade dessa raiz. Vamos considerar um exemplo para ilustrar essa 
ideia. Considere o polinômio de segundo grau 
 
 
Vamos encontrar as raízes dessa função polinomial. As raízes dessa função polinomial são 
as soluções da equação 
 
 
Podemos encontrar as raízes do polinômio usandoa equação da Bháskara com a = 1, b = 
−8 e c = 16: 
 
 
 
 
 
 
f(x)
x+2
= 
x3 + 2x2 – x – 2
x+2
= x2 + 0x2 – 1 
 
ou, simplesmente 
 
f(x) = (x + 2).(x2 – 1) 
f(x) = (x + 2).(x - 1).(x + 1) 
f(x) = x2 – 8x + 16 
x2 – 8x + 16 = 0 
Δ = b2 – 4ac = (-8)2 – 4.1.16 = = 
 
x1=
-b+√∆
2a
=
-(-8)+√0
2.1
= 4 
 
x2=
-b-√∆
2a
=
-(-8)-√0
2.1
= 4 
 
FGVIDT 
 
 
Vemos que as duas soluções da equação de Bháskara deram o mesmo valor: 4. Em outras 
palavras, esse polinômio tem duas raízes iguais. Mais tecnicamente, dizemos que esse polinômio 
tem uma raiz de multiplicidade 2. 
Graficamente, podemos visualizar a função x2 – 8x + 16 como uma parábola que encosta 
uma única vez no eixo x, mas não chega a atravessá-lo. Desse modo, essa parábola tem um único 
ponto de contato com o eixo x e, com isso, um único ponto em que y = 0. Esse ponto acontece 
quando x = 4. 
Se fossemos representar a função polinomial y = x2 – 8x + 16 na sua forma alternativa, 
escreveríamos 
 
 
 
Note o expoente 2. Ele é exatamente a multiplicidade da raiz 4. Isso nos dá uma intuição 
para casos mais gerais, por exemplo, a função polinomial de décimo grau 
 
 
Temos uma raiz x = 1 com multiplicidade 6, uma raiz em x = 2 com multiplicidade 1 e uma 
raiz em x = 3 com multiplicidade 4. 
 
 
5.8 – PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Ao discutirmos multiplicidade de raízes, vimos que, frequentemente, aparecem produtos de 
termos do tipo (A ± B). Desse modo, encontramos, por exemplo: 
 
 
 
 
 
Alguns desses produtos são muito fáceis de serem calculados. Nesta seção, abordaremos 3 
deles: 
 
 
 
y = (x – 4).(x – 4) 
ou 
y = (x – 4)2 
 
 
y = (x – 1)6.(x – 2).(x – 3)4 
 
 
(x – 1)2 
 
(x + 1)2 
 
(x + 1).(x – 1) 
 
 
 
(A + B)2 = A2 + 2A.B + B2 
(A - B)2 = A2 - 2A.B + B2 
A2 + B2 = A2 – B2 
 
 
 
FGVIDT 
 
 
O primeiro produto notável diz que: 
 
 
Para compreender esse resultado, imaginemos um quadrado de lado A + B. 
 
 
A área desse quadradão é igual ao seu lado elevado ao quadrado, ou seja, é igual a (A + 
B)2. Esse quadrado pode ser dividido em: 
 um quadrado de lado A (azul), cuja área é A2; 
 outro quadrado de lado B (em azul também), cuja área é B2, e 
 dois retângulos (em verde), cada um com lados A e B e área. A área de cada retângulo de 
lados A e B é A.B. Como são dois retângulos, a área deles é 2A.B. 
 
Dessa forma, 
 
Para fazermos (A – B)2, basta trocarmos o B na expressão acima por −B. 
De fato, (A – B)2 = (A + (-B)2) = A2 - 2A.(-B) + (-B)2, de modo que podemos usar o produto 
notável anterior para calcularmos (A – B)2. 
Podemos visualizar isso da seguinte forma: imagine que, agora, o quadrado tenha lado A e 
que estejamos em calcular a área de um quadrado de lado A - B dentro dele. Vejamos: 
 
(A + B)2 = A2 + 2A.B + B2 
 
 
(A + B)2 = A2 + 2A.B + B2 
 
 
FGVIDT 
 
 
Notamos que o quadrado de lado A tem área A2 e que ele é composto por: 
 um quadrado de lado A − B (azul), cuja área é (A − B)2; 
 outro quadrado de lado B (em azul também), cuja área é B2, e 
 dois retângulos (em verde), cada um com lados A - B e área. A área de cada retângulo de 
lados A – B e B é (A – B).B. Como são dois retângulos, a área deles é 2(A – B).B. 
Desse modo, temos 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos ao terceiro e último produto notável desta seção: (A + B).(A – B). 
Multiplicando diretamente obtemos 
 
 
 
 
A2 = (A - B)2 + B2 + 2(A – B).B 
 
A2 = (A - B)2 + B2 + 2A.B – 2B2 
 
A2 = (A - B)2 + 2A.B – B2 
 
 (A - B)2 = A2 - 2A.B + B2 
 
 
 
 
 
(A = B).(A – B) = A2 – A.B + A.B - B2 = A2 - B2 
 
 0 
FGVIDT 
 
 
Unidade 06 – FUNÇÕES NÃO 
POLINOMIAIS 
 
Nesta unidade, discutiremos algumas funções muito importantes que, no 
entanto, não são polinomiais. Em particular, estudaremos a função exponencial, ao 
qual aproveitaremos a oportunidade de apresentar essas funções para revisar as 
propriedades da potenciação – em particular, da radiciação –, inclusive. 
 
6.1 – FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Se multiplicamos um número x duas vezes, obtemos a função f(x) = x2. Se 
multiplicamos o número 2 x vezes, obtemos a função g(x) = 2x. As duas funções são muito 
diferentes. Observe: 
 
 
 
Para introduzir a função exponencial, vamos recordar a propriedade da potenciação. 
 
6.2 – POTENCIAÇÃO 
 
A potenciação é a multiplicação de potências iguais. Observe: 
 
 
 
 
Quando escrevemos 23, o número 2 é chamado de base e o número 3 é chamado de 
expoente. 
 
 
 
f(3) = 32 = 3.3 = 9 
g(3) = 23 = 2.2.2 = 8 
25 = 2.2.2.2.2 = 32 
52 = 5.5 = 25 
43 = 4.4.4 = 64 
34 = 3.3.3.3 = 81 
FGVIDT 
 
 
6.3 – MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS 
DE MESMA BASE 
 
Calcular 23 significa multiplicar “dois” 3 vezes. Calcular 22 significa multiplicar “dois” 
2 vezes. Desse modo, se calculamos 23 e multiplicamos por 22, no total, estaremos 
multiplicando “2” 5 vezes. Observe: 
 
 
 
Poderíamos ter usado a mesma lógica com quaisquer números. Genericamente, multiplicar 
bx_ por by é o mesmo que multiplicar b “x vezes” e, depois, mais “y vezes”, ou seja, é multiplicar 
b “x + y vezes”. Isso pode ser escrito, simbolicamente, da seguinte forma: 
 
Poderíamos ter aplicado a mesma lógica à divisão, bastando substituir o "+" por um “−”. 
Desse modo, 
 
 
 
 Inclusive, cabe uma consideração especial a potenciações: qualquer número elevado a zero 
vale 1. Considere x=0, para qualquer b. Temos 
 
 
 
 
 
6.4 – NÚMEROS ELEVADOS A EXPOENTES 
NEGATIVOS 
 
Se escrevemos 92, estamos dizendo que multiplicamos 9 duas vezes, obtendo 81. 
Nessa 
23 . 22 = 2.2.2.2.2 = 25 
 
 3 + 2 
bx . by = bx+y 
b
x
b
y = bx-y
 
b
x
b
y = bx-y
 
 
b
0
b
0
 = b
0
=1 
 
FGVIDT 
 
 
definição, não faz muito sentido falar em 9-1. Como podemos entender o que significa 9-1? 
Uma forma de entender o que significa 9-1 é perceber que -1 + 1 =0. 
Isso significa que 
 
 
No entanto, 9-1+1 = 9-1 . 91 = 9-1 . 9, de forma que 
 
 
 
Como −1 + 1 = 0 sempre, isso vale para qualquer número (exceto o zero): 
 
 
Logo, 
 
 
Isso vale para qualquer número exceto o zero (porque não faz sentido falar em 1/0). 
 
 
6.5 – POTÊNCIAS DE POTÊNCIAS 
 
O que significa (23)4? Significa que calculamos 23 e multiplicamos, quatro vezes. 
Dessa forma, 
 
 
O número “dois” foi multiplicado, no total, 12 vezes. Agora, vamos considerar o caso geral, 
(bx)y.Ora, isso significa multiplicar bx “ y vezes”. 
Em cada vez, o número b é multiplicado x vezes. Com isso, o número b é multiplicado x.y 
vezes no total. Desse modo, 
 
 
9-1+1 = 90 = 1 
 9
-1
=
1
9
 
 
b-1+1 = b0 = 1 
 b
-1
=
1
b
 
 
(23)4 = 23.23. 23.23 = 23+3+3+3 = 23.4 = 212 
(bx)y= bx.y 
FGVIDT 
 
 
6.6 – EXPOENTES FRACIONÁRIOS SÃO RAÍZES 
 
Se escrevemos 92, estamos dizendo que multiplicamos 9 duas vezes, obtendo 81. 
Nessa definição, não faz muito sentido falar em 91/2. Como podemos entender o que 
significa 91/2? Ora, nós sabemos que 
 
 
Ou seja, 91/2 é o número que, multiplicado por ele mesmo, dá 9. Esse número é, 
simplesmente, a raiz quadrada de 9. Desse modo, 
 
 
Poderíamos ter pensado em um caso mais complicado. Por exemplo, o que significa 
161/4? 
Para resolver isso, podemos observar que 
 
 
Dessa forma, 161/4 é o número que, multiplicado por si mesmo 4 vezes, dá 16. Esse 
número se chama raiz quarta de 16 e é o número 2: 
 
 
 Nesse sentido, para entender o que significa um número elevado a uma fração (por 
exemplo, b1/n), basta notar que 
 
 
 
6.7 – CONVENÇÃO 
 
Na Matemática, as operações devem ser realizadas em uma determinada ordem. 
Desse modo, por exemplo, se temos 2 + 3.4, devemos primeiro fazer a multiplicação e, 
depois, a soma. Por isso, fazemos 3.4 = 12 e, depois, 12 + 2 = 14. 
Se quisermos não obedecer essa convenção e fazer a soma antes da multiplicação, 
91/2 . 91/2 = 91/2 + 1/2 = 91 = 9 
91/2 = √9=3 
(161/4)4= 161=16 
24 = 16 
√16
4
=2 
b1/n = √b
n
 
FGVIDT 
 
 
devemos colocar a somaentre parêntesis e escrever assim: 
 
 
Nesse caso, teremos 2 + 3 = 5 que, multiplicado por 4 dá 20. 
Na matemática, a ordem das operações é a seguinte: primeiro fazemos as potências 
e raízes; em seguida, fazemos as multiplicações e divisões; finalmente, fazemos as somas 
e subtrações. Para trocar a ordem, é preciso usar parêntesis. Uma consequência disso é 
que 
 
 
Quando vemos 2
4
3
, o “2” está elevado a “quatro ao cubo”. Ou seja, o “quatro” é 
multiplicado três vezes e o “dois” é elevado a esse resultado. Ora, 43
=64. Desse modo, 24
3
 
é 264 que é um número bem grande! Quando vemos (2
4)
3
, os parêntesis nos dizem para 
primeiro calcular o “dois à quarta” e, depois, elevar ao cubo. Isso dá “dois à quarta” 
multiplicado três vezes ou, como já sabemos, 212. 
Desse modo, é preciso estar atento para não confundir: 
 
 
 
6.8 – MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE POTÊNCIAS 
DE MESMO EXPOENTE 
 
Já vimos que, quando multiplicamos potencias de mesma base, basta repetir a base 
e somar o expoente: 
 
 
O que acontece se as bases são diferentes mas os expoentes são iguais? Ou seja, 
quanto seria 
 
 
 
(2 + 3).4 
2
4
3
≠(2
4)
3
 
b
xy
 ≠ (b
x)
y
 
bx . by = bx+y 
ax . bx = ? 
FGVIDT 
 
 
Vamos tomar como exemplo o caso 23 . 53. Tanto o 2 quanto o 5 estão sendo 
multiplicados 3 vezes, isto é 
 
 
 
Como o 2 e o 5 aparecem o mesmo número de vezes, podemos colocá-los juntos: 
 
 
Aliás, esse é um belo exemplo das vantagens de uma propriedade. Calcular 2.5 = 
10 e, depois, 103 = 1000 é muito mais fácil do que calcular 23 = 8, depois 53 = 125 e, 
depois, multiplicar 8.125 = 1000! 
Essa agrupamento que fizemos, juntando os “2” e os “5”, poderia ter sido feito com 
quaisquer números. Desse modo, ao calcularmos ax.bx, temos o mesmo número x de 
parcelas a e b. Juntando cada a com cada b, ficamos com o produto a.b se multiplicando x 
vezes. Isso dá simplesmente (a.b)x. Dessa forma, 
 
 
 
6.9 – RESUMO DE PROPRIEDADES 
 
Na discussão anterior, chegamos às seguintes propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 . 53 = 2.2.2.5.5.5 
 
 3 3 
23 . 53 = (2.5).(2.5).(2.5) = (2.5)3 
ax . bx = (a.b)x 
bx . by = bx+y 
 
b
x
b
y = bx-y
 
 
(bx)y= bx.y 
 
ax . bx = (a.b)x 
 
b0=1 
 
 b
-1
=
1
b
 
 
b1/n = √b
1n
=√b 
 
FGVIDT 
 
 
6.10 – FUNÇÃO EXPONENCIAL (PARTE 2) 
 
Uma função exponencial é uma função do tipo 
 
 
Com b > 0 e b ≠ 1. 
O gráfico dessa função é uma curva que cresce (se b > 1) ou diminui (se b 1. Nesse caso, a curva é crescente, isso é, quanto maior for 
o valor de x, maior será o valor de f(x). 
 
 
A seguir, mostramos o caso b 0 e, descrecente, quando 0