Curso Preparatório Concurso Soldado PM

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O Curso Preparatório para a Fase Escrita do Concurso Soldado 
PM tem a finalidade de munir o candidato com os melhores 
professores, conteúdos especializados na prova de acordo com 
o Edital e exercícios elaborados com os critérios exigidos pelo 
Concurso. O curso conta com professores especialistas em Con-
curso Público, que irão explicar todos os tópicos exigidos pelo 
Concurso de Soldado, comentando exercícios e desenvolvendo 
no aluno uma linha racional para que ele possa absorver todo 
o conteúdo e chegar no dia da prova confiante, desenvolvido e 
com sua capacidade aprimorada.
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CANDIDATO PREPARADO,
É CANDIDATO APROVADO!
“
”
4
MATEMÁTICAMATEMÁTICA
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ÍNDICE MATEMÁTICA
NÚMEROS ....................................................................................... 74
RAZÃO E PROPORÇÃO ............................................................... 84
REGRA DE 3 SIMPLES E COMPOSTA ........................................ 100
MMC: MÍNIMO MULTIPLO COMUM ........................................... 105 
MÉDIAS ........................................................................................... 110
PORCENTAGEM ............................................................................. 120
SISTEMAS 1º GRAU ........................................................................ 131
EQUAÇÃO 1º GRAU ........................................................................ 137
GEOMETRIA .................................................................................... 143
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS ..................................................... 151 
VOLUMES DE SÓLIDOS ................................................................ 160
EXERCÍCIOS PARTE 1 .................................................................... 165
EXERCÍCIOS PARTE 2 ................................................................... 177
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NÚMEROSNÚMEROS
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 NÚMEROS
 Antes de entrar no primeiro assunto do sumário, é importante a lembrança de somar, diminuir, 
multiplicar e dividir números, seja em seu formato inteiro, decimal ou fracionário.
Vamos conhecer os conjuntos numéricos:
Natural (N) = (0,1,2,3,4,5,....)
Inteiros (Z) = (...-3,-2,-1,0,1,2,3...)
Obs. Concluímos que o conjunto dos números naturais está contido (dentro) do conjunto dos números 
inteiros.
 
: ontém : stá contidoc e⊃ ⊂Lembrar: 
Tudo que é cortado em exatas significa negação. 3 N− ∉ : -3 não pertence ao conjunto dos números 
naturais
Racionais (Q) = São todas as frações, todos os números naturais, todos os números inteiros e dízimas 
periódicas. 
Exemplo: 2 , -3 , 3/5 , 0,23333...
Obs. Concluímos também que o conjunto dos números naturais (N) está contido (dentro) no conjunto 
dos números inteiros (Z), e este está contido (dentro) no conjunto dos números racionais (Q). N Z Q⊂ ⊂ 
Irracionais (I) = São todas as dízimas não periódicas. Observe que está fora dos três conjuntos mencio-
nados a cima. 
Ex. 
Racionais (R) = São todos mencionados a cima, isto é, N+Z+Q+I 
 Veja o diagrama
 
 
Creio que somar ou diminuir os números inteiros não é mistério para você. Pense em crédito e em dívida. 
Por exemplo: 
5 3 8(créditode5e crédito de 3é iguala créditode 8)
5 3 2(créditode5e dívida de 3é iguala créditode 2)
5 3 2(dívida de5e crédito de 3é iguala dívida de 2)
5 3 8(dívida de5e dívida de 3é iguala dívida de 
+ + = +
+ − = +
− + = −
− − = − 8) 
Observação: Não confundir os sinais usados na multiplicação. Na multiplicação usa-se a regra: Sinais 
iguais resulta o sinal de +, e sinais diferentes resulta o sinal de -.
 
8
 
Agora, vamos relembrar como multiplicar e dividir números com vírgula, os chamados números racio-
nais (Q). Essa lembrança vai ajudar na hora da porcentagem, MMC, Volumes, etc.
Multiplicação de números decimais:
 Ex1.: Resolva: 0,12 0,5x
 
Vamos montar uma regrinha para multiplicar números com vírgula. 
1° passo: No exemplo, esqueça a vírgula. Você verá: 12 x 5. (resultado da multiplicação)
Multiplique-os normalmente: 12 x 5 = 60
2° passo: Verifique quantas casas no total tem após a vírgula em 0,12 0,5x .
Temos 3 casas no total após a vírgula observe em vermelho 0, 0
3
12 ,5
casas total
x

3° regra: Coloque três casas após a vírgula no resultado da multiplicação. 0,12 0,5 0,
3
060x
casas
=
 
 Ex2.: Resolva: 0,015 0,0002 50x x
1° regra: Esqueça a vírgula. Você verá: 15 2 50 1500x x = (resultado da multiplicação)
2° regra: Verifique quantas casas no total tem após a vírgula. Temos 7 casas no total observe em 
vermelho
0, 0,015 00 502
7
0
ca
x
s
x
sa

 
3°regra: Coloque sete casas após a vírgula no resultado da multiplicação. ,00010 500
7casas

Ex3.: Resolva 3(0, 2) . Cuidado! Muitos alunos colocam 0,8 ou 0,6 como resultado. Vamos resolver:
Veja: 3 0, 2.0,(0, 2) 2.0,2=
1° regra: Esqueça a vírgula e multiplica normalmente 2 . 2 . 2 = 8 (resultado da multiplicação)
2° regra: Verifique quantas casas no total temos após a vírgula. Há 3 casas no total. observe em vermelho
, 2. , 2.0 0 0,2
3 casas nototal

3°regra: Coloque 3 casas após a vírgula no resultado da multiplicação 0,008
 Ex4.: Resolva 1,5 0,02 0,015x x
1° regra: Esqueça a vírgula e multiplica normalmente 15 . 2 . 15 = 450
9
2° regra: Verifique quantas casas no total tem após a vírgula. Tem 6 casas no total. observe em vermelho
6
5 021, 0, 0 5,01
casas notota
x x
l

3° regra: Coloque 6 casas após a vírgula no resultado da multiplicação 0,000450
Isso será importante na hora de calcular áreas de figuras planas. Veja:
Ex5.: Um retângulo tem comprimento 2,8 metros por 1,15 metros de largura. Calcule sua área.
Estudaremos que área de retângulo é dado por S= comprimento x largura.
Assim: 2,80 1,15S x=
1° regra: Esquece a vírgula e multiplica normalmente 280 . 115 = 32200
2° regra: Verifique quantas casas no total tem após a vírgula. Tem 4 casas no total. observe em 
vermelho
2, 1,80 15
4casas notota
x
l

3° regra: Coloque 4 casas após a vírgula no resultado da multiplicação 3, 2200
4casas
Observação importante: 
Números decimais, isto é, números com vírgula, zeros à direita não tem valor. Assim: 
0,2 = 0,20 = 0,200 = 0,2000
No exemplo acima, temos como resultado 3,2200 = 3,22
Divisão de números decimais:
 Ex1.: Resolva 
0,12
0,004
Também montaremos uma regrinha para dividir números com vírgula. 
1° passo: Iguale as casas dos números decimais colocando zeros onde for necessário. Lembrar que 
zeros a direita de números com vírgula não altera o número.




0,12 0,12
2 3
0
0,004 0,004
3 3
casas casas
casas casas
=
 
 Igualar os zeros.
2° regra: Após igualar as casas, destrua a vírgula e divida o que você encontrar
0120 120 30
0004 4
= =
3° regra: O resultado é o que você estiver vendo. Assim, na divisão de números decimais, após destruir 
a vírgula, ela não volta. Isso mesmo! Resposta 30
10
 Ex2.: Resolva 
15
0,003
1° passo: Iguale as casas dos números decimais colocando zeros onde for necessário.

 
15 15
3
00,
0,003 0,00
0
3
3
3
casasnaotem casa
casas casas
∴

2° regra: Após igualar as casas, destrua a vírgula e divida o que você encontrar
15000 5000
3
=
3° regra: O resultado é o que você estiver vendo. Isso mesmo! Resposta 5000 
 Ex3.: Sebastião calculou o índice de massa corporal de seu filho da seguinte maneira: dividiu 
a massa do garoto, em quilogramas, pelo quadrado da altura e comparou o valor obtido com os 
disponíveis na tabela abaixo.
Sabendo que o filho de Sebastião possui 1,31 m de altura e 65,5 kg, sua classificação é de:
a) Obesidade severa b) Obesidade mórbida
c) Obesidade d) Sobrepeso
Solução: divisão
2
65,5 65,5 65,5
(1,31) 1,31 . 1,31 1,7161
65,
divisão
multiplicaçã
5 655000 38 ( 35 40)
1,7161 17161
o
000 entre e
iguala as casas
Letra A
= = 

= =


Macete: Veja uma forma de você poupar tempo na prova. Na divisão, você poderia trabalhar só com 1 
casa após a vírgula.(custo).
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Também há a possibilidade de aplicar regra de três. Porém, já vi muitos alunos errando este modelo de 
questão ao aplicar regra de três. Veja mais um exemplo:
 Ex. Vendi um objeto por R$ 1200,00 com um lucro de 20% sobre o preço de custo. Qual o preço 
de custo.
Solução: Muito cuidado: Os 20% estão caindo sobre a custo e não sobre a venda de R$ 1200,00,00.
 
Exercícios:
 1) Transformando a fração 3/16 em % , obtemos.
a) 18,25% b) 18,75% c) 20% d) 30% e) 32,5%
 2) A região pintada corresponde a que porcentagem do círculo?
 3) Se 32% do que tenho vale R$ 1 648,00, quanto tenho?
a) R$ 5 000 b) R$ 5 050 c) R$ 5 100 d) R$ 5 150 
 4) A Polícia Militar do Estado do Rio de Janeiro possui um efetivo de 29.000 homens. Se o 
ideal fosse de 34.000, qual é a porcentagem aproximada que representa esse aumento em relação ao 
efetivo?
a) 37,2 % b) 27,2 % c) 12,2 % d) 17,2 % 
 5) Maria obteve um desconto de 25% na compra de um relógio e pagou apenas R$ 93,50. Então, 
o preço do relógio sem o desconto, está, em reais, entre:
a) 100 e 115 b) 115 e 130 c) 130 e 145 d) 145 e 160 e) 160 e 175
 6) Um produto teve três aumentos consecutivos de 8%, 5% e 10%. Qual o aumento final ? 
a) 23 % b)24,74 % c) 26,14 % d)28,45 %
 7) Certa mercadoria custava R$ 360,00 em janeiro de 2000. Em janeiro de 2001 passou a custar 
R$ 324,00. A minoração sobre o antigo preço foi de
a) 0,1% b) 1 % c) 10% d) 36% e) 360% 
60
 8) As promoções do tipo “leve 3, pague 2”, comuns no comércio, acenam um desconto, sobre 
cada unidade vendida, de:
 
 9) A rede “Lojas BBB””, numa promoção relâmpago, estava oferecendo um desconto de 20% em 
todas as suas mercadorias. Ilda se interessou por um sofá e pagou pelo mesmo o valor de R$ 400,00. O 
valor original do sofá, sem o desconto de 20%, era de:
a) R$ 480,00 b) R$ 500,00 c) R$ 520,00 d) R$ 540,00 e) R$ 560,00
 10) Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro, o preço do quilograma de mercadorias num 
determinado “sacolão” sofreu um aumento de 275%. Se o preço do quilograma em 10 de novembro era 
R$67,50, qual era o preço em 10 de fevereiro?
a) R$19,00 b) R$18,00 c) R$18,50 d)R$19,50 e) R$17,00
 11) Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de 
um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: “beba-me e fique 25% mais alta”. A seguir, 
comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: “prove-me e fique 10% mais baixa”; logo após 
tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: “beba-me e fique 10% 
mais alta”. Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito:”prove-me e fique 20% 
mais baixa”. Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela:
a) ficou 1% mais baixa b) ficou 1% mais alta c)ficou 5% mais baixa d) ficou 5% mais alta
e) ficou 10% mais alta
 12) Segundo a revista Programa, de 27/07/2001, do dia 1º de julho de 1994, quando o Brasil 
estreou o real, até o mês anterior à reportagem, o país acumulou uma inflação de 102%, medida 
pelo IPCA. Para exemplificar, foram comparados os preços de 25 itens relativos a lazer, cultura e 
alimentação. Observe na tabela abaixo os preços de alguns desses itens:
 
É correto afirmar que:
a) o preço da passagem do bondinho de Santa Teresa teve um acréscimo de 10%.
b) o percentual de aumento do ingresso do circo foi maior que o percentual de aumento do Jardim 
Zoológico.
c) o preço do pão francês teve um aumento inferior a 100%.
d) o preço da arquibancada do Maracanã teve um aumento de, aproximadamente, 233%.
e) todos os itens da tabela tiveram um aumento de 102%.
 13) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o 
preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que 
a vista sai por 7.000,00 no cartão sairá por:
a)13000 b)11000 c)10010 d)9800 e)7700
 14) As vendas de uma empresa foram em 2012, 60% superiores às vendas de 2011. Em relação a 
2011, as vendas de 2012 foram inferiores em:
a) 60% b)42,4% c) 30% d) 27,5% e) 37,5%
61
 15) João vendeu dois rádios por preços iguais. Um deles foi vendido com lucro de 20% e o outro 
com prejuízo de 20% sobre o preço de custo. No total, em relação ao capital investido, João:
a) Lucrou 4% b) Lucrou 2% c) Perdeu 4% d) Não lucrou nem perdeu e) Perdeu 2%
Recentemente foi realizado, nos EUA, um estudo com 16.608 mulheres entre 50 e 79 anos a respeito 
das conseqüências do tratamento de reposição hormonal. No Brasil, calcula-se que apenas 15% 
das mulheres de classe média e média-alta façam reposição hormonal. Destas, pelo menos 40% 
interrompem o tratamento no primeiro ano, porque já sentem uma melhora satisfatória em alguns 
sintomas da menopausa, como calores e dores nas articulações
(Adaptado de Revista da Folha on-line, 14/07/2007)
 16) A porcentagem aproximada de mulheres de classe média e média-alta que não 
interrompem o tratamento no primeiro ano é de:
a) 6% b) 9% c) 15% d) 50% e) 60%
Suponha que a reserva mundial de água disponível na Terra e o consumo de cada habitante 
permaneçam constantes ao longo do tempo. Estima-se que, em 2025, a população mundial chegará 
a 8 bilhões e 300 milhões de habitantes. Com isso, a quantidade média anual de água disponível para 
cada habitante do planeta será reduzida em 35%.
 17) Com base nestas informações, podemos concluir que, hoje, a população mundial ultrapassa 
os 5 bilhões de habitantes em:
a) 405 milhões b) 400 milhões c) 395 milhões d) 390 milhões
 
 18) O rendimento da “caderneta de poupança” será de 20% no primeiro trimestre e de 25% no 
segundo trimestre. Uma pessoa que aplicou suas economias, nesta caderneta de poupança no início 
de janeiro e só retirará dinheiro no início de julho, obterá um rendimento de:
a) 45% b) 44% c) 50% d) 40% e) 48% 
 19) Certo objeto adquirido por R$ 66.000,00 deu um lucro de 40% sobre a venda. O lucro foi de:
a) R$ 26.400,00 b) R$ 33.000,00 c) R$ 39.600,00 d) R$ 38.450,00 e) R$ 44.000,00 
 20) Num certo país, o governo resolveu substituir todos os impostos por um imposto único que 
seria, no caso dos salários, de 20% sobre os mesmos. Para que um trabalhador receba, após o desconto, 
o mesmo salário que recebia antes, deverá ter um aumento sobre o mesmo de:
a) 15% b) 20% c) 25% d) 40 e) 50%
 21) Um comerciante aumentou o preço de uma mercadoria em 25%. Contudo a procura por 
essa mercadoria continuou grande. Então ele fez um novo aumento de 10%. Como o preço ficou muito 
alto, a mercadoria encalhou e, além disso, o prazo de validade estava vencendo. Finalmente fez um 
desconto para que o preço voltasse ao valor inicial. Esse último desconto:
a) foi de 35% b) ficou entre 30% e 35% c) ficou entre 27% e 28% d) foi de 25% 
e) ficou entre 22% e 25%
 22) Suponhamos que nos vestibulares de 1996 uma universidade tivesse tido, para os seus 
diversos cursos, uma média de 3,60 candidatos por vaga oferecida. Se para os vestibulares de 1997 o 
número de vagas for aumentado em 20% e o número de candidatos aumentar em 10%, qual a média 
de candidatos por vaga que essa universidade terá?
a) 3,24 b) 3,30 c) 3,36 d) 3,40 e) 3,46
 23) Um salário de R$ 300,00 teve um aumento de 8% e, em seguida, novo aumento, de 5 %. O 
aumento total, relativo a R$ 300,00, foi de:
a) 13,4% b) 13% c) 9,5% d) 14% e) 14,2%
 24) João recebeu um aumento de 10% e com isso seu salário chegou a R$1.320,00. O salário de 
João antes do aumento era igual a?
a) R$ 1.188 b) R$ 1.200 c) R$ 1.220 d) R$ 1.310 e) R$ 1.452
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 25) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor xde uma 
mercadoria é:
a) f(x)= x – 3 b)f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x
 26) Uma pessoa comprou um imóvel a fim de abrir uma empresa e, constatando, algum tempo 
depois, que as instalações estavam pequenas para o seu funcionamento, resolveu vendê-lo.
Sabendo-se que o imóvel foi comprado por R$ 140.000,00 e que a pessoa pretende obter um lucro de 
20 % sobre o preço de venda, então esse imóvel deve ser vendido por
a) R$ 150000,00 b) R$ 168000,00 c) R$ 175000,00 d) R$ 180000,00 e) R$ 182000,00
 
 27) Em uma escola, duas turmas têm o mesmo número de alunos. O percentual de uma dessas 
turmas que deve migrar para a outra, de modo que ela passe a ter 1/3 do número de alunos dessa 
outra, é igual a:
a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60%.
 28) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$50.000,00. Para isso, tomou emprestados 
R$10.000,00 de Edson e R$10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, 
acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3% durante este período de um ano. 
Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de:
a) R$ 400 b) R$ 500 c) R$ 600 d) R$ 700 e) R$ 800
 29) Para custear seus estudos em um curso de culinária, um aluno conseguiu um empréstimo 
no valor de R$ 1.000,00 pelo qual pagará, após 4 meses, uma única parcela de R$ 1.280,00. Portanto, a 
taxa anual de juros simples desse empréstimo é de
a) 84% b) 96% c) 184% d) 196% e) 336%
 30) Uma loja de eletrodomésticos publicou o seguinte anúncio: “Compre uma geladeira por 
R$ 950,00 para pagamento em 30 dias, ou à vista, com um desconto promocional de 20%”. Se um 
cliente optar pela compra com pagamento em 30 dias, a taxa de juros a ser paga, ao mês, é:
a) 20% b) 22% c) 25% d) 28%
Gabarito:
 
63
SISTEMAS 1º GRAUSISTEMAS 1º GRAU
64
 SISTEMAS 1º GRAU
 Não abordaremos discussões de sistemas do 1º grau por entender que sai do nosso foco. 
Procedimentos para resolver uma regra de três simples: 
1º) Montar uma fração, como no exemplo abaixo, com os sinais de menos em cima e em baixo. 
 
2º) Multiplique os coeficientes do sistema em forma de V e depois em forma de ^, colocando os 
resultados no sentido da seta da figura a cima.
 
a.d = coloque embaixo à esquerda (1º posição)
d.m = coloque em cima á esquerda(2º posição)
p.b = coloque em cima á direita(3º posição)
b.c = coloque embaixo á direita(4º posição)
 
Para calcular o y, basta substituir o valor de x em uma das equações.
 
 x + y =4. 
 3 + y = 4 
 Logo, x = 1
Macete: Para facilitar o encontro da resposta, chamaremos de x, a pergunta que for mencionada na 
questão. Pois, em concursos públicos, este assunto aparece em forma de história, a qual nós devemos 
decodifica-la e montar em forma de sistema. 
Ex2. Numa fazenda há porcos e galinhas num total de 76 cabeças. Sabendo-se que o número de pés é 
200, então o número de galinhas é:
a) 24 b) 30 c) 38 d) 48 e) 52 
Solução: Como a pergunta é “calcule o número de galinha”, logo, x será o nº de galinhas
 
 X = nº de galinhas
 y = nº de porcos
65
 
 Ex 3. Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele 
convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao 
clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que 
o número de arremessos convertidos pelo jogador nessa partida foi:
a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20 
Solução: Como a pergunta é “calcule o número de arremessos convertidos”, então, chamaremos de x o 
nº de arremessos convertidos
 
 Ex4. Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 
pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi R$ 1 400,00 e todas as pessoas 
pagaram ingresso.
Sabendo-se que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, o número 
de sócios presentes ao show é
a) 80. b) 100. c) 120. d) 140. e) 160.
Solução: Chamaremos de x o número de sócios presentes
 
 Ex5. Maria tem em sua bolsa R$15,60 em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o número 
de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa 
é:
a) 68. b) 75. c) 78. d) 81. e) 84.
66
 
$0,10
$0,25
0,10 0,25 15,60
2
0,10 0,25.2 15,60
15,600,60 15,60
0,60
26 52
78
x quantidade moedas R
y quantidade moedas R
x y
y x
x x
x x
x e y
total de moedas
=
=
+ =
 =
+ =
= ∴ =
= =
=
 Ex6. Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo 
é R$10,00. O preço do estojo é R$5,00 mais barato que o preço de três lápis. A soma dos preços de 
aquisição de um estojo e de um lápis é:
a) R$3,00. b) R$6,00. c) R$12,00. d) R$4,00. e) R$7,00.
Solução:
 
lápis
2 10
3 5
2 3 5 10
5 15 3
3.3 5 4
7
x preço do
y preço doestojo
x y
x y
x x
x x
y y
x y
=
=
+ =
 − =
+ − =
= ∴ =
− = ∴ =
+ =
Exercícios:
 1) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, por 
apenas 2 pessoas, num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
 2) Numa carpintaria, empilham-se 50 tábuas, umas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. 
A altura da pilha é de 154 cm. A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é de:
a) 12 b) 18 c) 14 d) 25
 3) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. 
Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e 
filhas do casal?
a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
 4) Fernando foi a um caixa eletrônico e fez um saque em cédulas de três tipos diferentes: R$ 
20,00, R$ 10,00 e R$ 5,00. Sabe-se que ele retirou 14 cédulas e que a quantia retirada foi a mesma 
para cada tipo de cédula. A quantia sacada por Fernando foi:
a) R$120 b)R$150 c)R$180 d)R$210 e)R$240
67
 5) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete 
cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, 
juntos, em reais, é:
a) 11. b) 12. c) 13. d) 17. e) 38.
 6) Em um ônibus vazio ingressam n passageiros. Se sentarem 2 passageiros em cada banco, 11 
passageiros ficam de pé. Se cada banco comportar 3 pessoas haverá 4 bancos vazios. O valor de n é:
a) 71 b) 67 c) 63 d) 57 e) 49
 
 7) Todos os alunos de uma turma vão ao laboratório de informática. Se em cada computador 
ficarem 2 alunos, 8 ficarão sem computador. Porém, se em cada computador ficarem 3 alunos, haverá 
4 computadores sobrando. O número de alunos dessa turma é:
a) 42 b) 48 c) 54 d) 60
 8) Num grupo de rapazes e moças, 10 moças foram embora e o número de rapazes ficou igual 
ao número de moças. Após um certo tempo, 24 rapazes foram embora e o número de moças ficou o 
quíntuplo do número de rapazes. Podemos afirmar que, inicialmente, havia no grupo:
a) 30 moças b) 40 moças c) 40 rapazes d) 50 rapazes e) 60 pessoas
 
 9) Dois mercadores de vinho chegaram a uma cidade, um deles com 64 garrafas de vinho e 
outro com 20. Como eles não tinham dinheiro suficiente para pagar os impostos, o 1º pagou com 5 
garrafas e 40 moedas e o 2º com 2 garrafas, recebendo 40 moedas de troco. O preço do imposto pago 
por cada garrafa de vinho é de quantas moedas:
a) 5 b) 120 c) 5 d) 10
 10) Luiza vai a escola de ônibus ou de metrô. Quando ela vai de metrô, volta de ônibus. Durante 
n dias letivos, Luiza foi de ônibus 8 vezes, voltou de ônibus15 vezes e tomou metrô (ida e volta) 9 vezes. 
O valor de n é:
a) 19 b) 18 c) 17 d) 16 e) 15
 11) Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der 
um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a 
metade do que tem, ficará
com uma quantia igual a um terço do que possui Maria. Quanto possui Amélia ? 
a) R$ 18,00 b) R$ 24,00 c) R$ 36,00 d) R$ 44,00 e) R$ 54,00
 
 12) Num escritório há 3 impressoras: A, B e C. Em um período de 1 hora:
A e B juntas imprimem 150 folhas;
A e C juntas imprimem 160 folhas;
B e C juntas imprimem 170 folhas.
Em 1 hora, a impressora A imprime sozinha:
a) 60 folhas b) 65 folhas c) 75 folhas d) 70 folhas e) 80 folhas
 13) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e 
constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é 
o dobro do número de
carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros 
roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é:
a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. e) 60.
 14) Um supermercado vende três marcas diferentes A, B e C de sabão em pó, embalados em 
caixas de 1kg. O preço da marca A é igual à metade da soma dos preços das marcas B e C. Se uma 
cliente paga R$14,00 pela compra de dois pacotes do sabão A, mais um pacote do sabão B e
mais um do sabão C, o preço que ela pagaria por três pacotes do sabão A seria: 
a) R$12,00 b) R$10,50 c) R$13,40 d) R$11,50 e) R$13,00
68
 15) Um pai dividiu a quantia de R$ 750,00 entre seus três filhos. A quantia recebida por Carlos 
correspondeu a 10/7 da recebida por André e esta correspondeu a 7/8 da recebida por Bruno. É verdade 
que:
a) Carlos recebeu R$ 60,00 a mais que Bruno. 
b) André recebeu R$ 100,00 a menos que Carlos. 
c) Bruno recebeu R$ 70,00 a menos que Carlos. 
d) Carlos recebeu R$ 100,00 a mais que André.
e) André recebeu R$ 40,00 a menos que Bruno.
Gabarito:
 
69
EQUAÇÃO 1º GRAUEQUAÇÃO 1º GRAU
70
 EQUAÇÃO 1º GRAU
 É uma igualdade entre duas expressões algébricas que apenas se verifica uma resposta.
Ex. Calcule a equação x + 3 = 5
Vamos aos originais: A palavra “calcule” vem de cálculo que significa “pedra’. Por isso falamos cálculo 
renal = pedra nos rins.
Já equação, vem da palavra “equilíbrio” ou “balança”. 
Assim, “calcule a equação” que dizer “equilibre pedras na balança”
 
 No exemplo acima, o que devemos fazer é deixar o cálculo (triângulo) sozinho no prato da 
balança.
 
Vamos tirar 3 “pedras” de um lado e 3 “pedras” do outro lado. Chegando a conclusão que um triângulo 
vale duas bolinhas.
 
Ex. Nas figuras abaixo as embalagens de mesmo formato tem peso iguais. Essas embalagens se 
equilibram conforme indicam as balanças representadas pelas figuras.
 
Solução: Na primeira balança, podemos tirar um triângulo de cada lado, chegando a conclusão que um 
quadrado equivale a 3 bolas. Na segunda balança podemos colocar no lugar do quadrado essas três 
bolas. Chegando a conclusão que:
 
 Agora, um macete muito legal: Como representar dois elementos quando estão relacionados a 
uma proporcionalidade? Veja o exemplo:
Ex. João é triplo de Pedro, e este é o dobro de André
71
É interessante começar do final para o início. Assim não cairemos em fração. Lembrar a aula de razão e 
proporção.
 
Esse “este” é sempre referente ao próximo. No caso “este” é o Pedro. Assim, comece pela segunda 
oração em destaque.
 João = 6x (6x é triplo de 2x)
Pedro = 2x (2x é o dobro de x)
Andre = x
Ex. João é metade de Pedro, e este é o quádruplo de Andre
João = 2x (2x é a metade de 4x)
Pedro = 4x (4x é quádruplo de x)
Andre = x
Ex. João é triplo Pedro, e este é a quarta parte de Andre
João = 3x (3x é o triplo de x)
Pedro = x (x é a quarta parte de 4x)
Andre = 4x
Há exercícios de equação do 1º grau que não há histórias, poucas chances de cair em concurso, 
embora, vamos desenvolver um exemplo. 
Ex1. Determine o valor de x na equação.
3 – 2.(x + 3) = x – 18 
 
3 2.( 3) 18
3 2 6 18
2 18 3 6
3 21 6 3 15
153 15 5
3
x x
x x
x x
x x
x x x
− + = −
− − = +
− − = − − +
− = − + ∴− = −
= ∴ = ∴ =
Questões diversas resolvidas:
Ex2. Um arquiteto pretende fixar em um painel de 40 m de comprimento horizontal sete gravuras com 
4 m de comprimento horizontal cada. A distância entre duas gravuras consecutivas é d, enquanto que 
a distância da primeira e da última gravura até as respectivas laterais do painel é 2d. Sendo assim, é 
correto afirmar que d é igual a:
a)0,85m b)1,15m c)1,20m d)1,25m e) 1,35m
Solução:
O comprimento total do painel é igual a 40 m e são 7 gravuras com 4m, então, para encontrar a 
medida que sobrará iremos fazer:
40 - 7 . 4 = 40 - 28 = 12 m
72
Olhando para a figura, observamos que temos 6 espaços com distância iguais a d e 2 espaços com 
distância iguais a 2d. Assim, a soma dessas distâncias deve ser igual a 12m, então:
6d + 2.2d = 12
6d + 4d = 12
10d = 12
Alternativa: c) 1,20 m
 Ex3. A idade de Bruno é o triplo da idade de Pedro, e este tem a metade da idade de Maria. 
Juntos eles somam 36 anos. Qual a idade do mais velho.
a) 32 b) 36 c) 40 d) 44
Solução : Primeiramente começaremos a representar as idades começando do final para o início. 
Representando Maria, depois Pedro e por último João. Veja
 
 Ex4. Em um concurso os participantes devem responder a um total de 20 questões. Para cada 
resposta correta o candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada perde 2 pontos. Determine o 
número de acertos e erros que um candidato obteve considerando que ele totalizou 35 pontos.
 Acertos: representados pela letra x.
Erros: representados por 20 − x.
Portanto:
3 x – 2 (20 – x) = 35
3x – 40 + 2x = 35
5x = 35 + 40
5x = 75
x = 75/5
x = 15
O candidato obteve 15 acertos e 5 erros
Exercícios:
 1) 
a) {-1} b) {1} c) {2} d) {-2}
73
 2)
 
a) V = {-4/5} b) V = {21/10} c) V = {16/5} d) V = {4} e) V = {6}
 3) Uma pessoa tem 53 anos e uma outra tem 13 anos. Daqui a quantos anos a idade da primeira 
será o triplo da idade da segunda? 
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 10
 4) Um pai tem 54 anos e seu único filho tem 12 anos, Há quanto tempo a idade do pai foi igual 
ao quadrado da idade do filho?
a) 5 anos b) 6 anos c) 7 anos d) 8 anos e) 9 anos
 5) Um pai tem o triplo da idade de seu filho que está com 10 anos. A soma das idades dos dois, 
em anos, quando o filho tiver a idade atual do pai será
a) 70 b) 80 c) 90 d) 10 e) 120
 6) Um fabricante de jarros vende por R$0,80 a unidade. O custo de produção consiste de 
uma fixa de R$40,00 mais o custo de produção de R$0,30 por unidade. O número mínimo de jarros 
fabricados e vendidos, para que o fabricante obtenha lucro, é:
a) 125 b) 80 c) 79 d) 81 e) 119
 7) Uma empresa apresenta dois tipos de pagamento para serviços telefônicos: 
Plano A: taxa de R$40,00 mais R$1,20 por ligação.
Plano B: taxa de R$100,00 mais R$0,80 por ligação.
Qual é o maior número de ligações que podem ser feitas de modo que o plano A continue sendo mais 
econômico que o plano B?
a) 139 b) 149 c) 151 d) 157 e) 166
 8) Uma sorveteria tem um custo fixo mensal de R$2.000,00 (custo este que engloba o aluguel, 
salários e outras despesas que independem da quantidade produzida). Sabendo-se que o custo da 
fabricação de cada sorvete é de R$2,50 e o preço de venda por unidade é R$5,00, quantos sorvetes, no 
mínimo, devem ser vendidos mensalmente para não haver prejuízo?
a)400 b)500 c)600 d)700 e)800
 9) Maria faz hoje 44 anos e tem dado um duro danado para sustentar suas três filhas: Marina, 
de 10 anos; Marisa, de 8 anos e Mara, de 2 anos. Maria decidiu que fará uma viagem ao Nordeste para 
visitar seus pais, no dia deseu aniversário, quando sua idade for igual à soma das idades de suas três 
filhas. Com que idade Maria fará a viagem?
a) 56 anos b) 50 anos c) 48 anos d) 46 anos
 10) Usando uma balança de dois pratos, verificamos que 4 abacates pesam o mesmo que 9 
bananas e que 3 bananas pesam o mesmo que 2 laranjas. Se colocarmos 9 laranjas num prato da 
balança, quantos abacates deveremos colocar no outro prato, para equilibrar a balança?
 
74
 11) Na balança a seguir temos pesadas bolas de chumbo, todas iguais, e leves saquinhos de 
plástico, todos com a mesma quantidade de bolinhas, iguais às que estão fora dos mesmos. Quantas 
bolinhas há em cada saquinho?
 
 12) Um pai tem 46 anos e seu filho tem 16 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o 
dobro da idade do filho? 
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
 13) João mediu o comprimento do seu sofá com o auxílio de uma régua. Colocando 12 vezes 
a régua na direção do comprimento, sobraram 15cm da régua; por outro lado, estendendo 11 vezes, 
faltaram 5cm para atingir o comprimento total. O comprimento do sofá, em centímetros, equivale a:
 
 14) Roberto disse a Valéria: “pense um número; dobre esse número; some 12 ao resultado; 
divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Valéria disse “15”, ao que Roberto imediatamente revelou o 
número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
Gabarito:
 
75
GEOMETRIAGEOMETRIA
76
 GEOMETRIA
 Sabe-se que o universo chamado geometria é extremamente grande. Assim, abordaremos de 
forma direta os principais assuntos cobrados em concurso.
 
 
Teorema de Pitágoras, é a favorita das bancas em concurso. Veja os exemplos a seguir: Esta equação 
tem como raízes.
 Ex1. Calcule o perímetro:
 
Solução: Sabe-se que perímetro é a soma de todos os lados externos de uma figura. Assim, temos: 
Perímetro = 8+9+12+4 + X = 33 + X
 
Aplicando Pitágoras:
 
2 2 2 23 4 25 25
5. , erímetro = 33+5
Perímetro=38
x x x
x Assim p
= + ∴ = ∴ =
=
∴
 Por ser muito cobrado em provas, sugiro gravar este triângulo pitagórico de lados 3 , 4 e 5 e 
seus múltiplos.
77
 Esse esforço de gravar tal triângulo será recompensado em não aplicação da fórmula do 
teorema de Pitágoras. Há outros triângulos pitagóricos que também o ajudará nas soluções das 
questões. Veja a lista dos triângulos pitagóricos:
 
 
 Ex.: Observe a figura e responda a questão.
 
 Ela sugere um caminhão auto-bomba A e dois focos de incêndio F1 e F2. As distâncias , em 
linha reta , estão representadas em Km. A distância entre F1 e F2 é:
 
Solução: Observe que o segundo triângulo de nossa lista tem lados iguais a 5 (cateto), 12 (cateto) e 13 
(hipotenusa). Perceba que o triângulo da questão está ampliado 2 vezes em relação a aquele. Assim, o 
lado F1 e F2 (hipotenusa) vale 26. Neste caso, não há a necessidade de aplicar Pitágoras. Letra B
 Ex.: Na situação do mapa da figura abaixo, deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A 
à estrada BC, com o menor comprimento possível. Essa estrada medirá, em quilômetros:
 
Solução: Observe que o primeiro triângulo da nossa lista tem lados iguais a 3 , 4 e 5. Repare que o 
triângulo da questão está ampliado 10 vezes em relação a aquele. Assim, a distância AC vale 3 vezes 10, 
isto é, igual a 30. Letra C
Observação: O teorema de Pitágoras é baseado em áreas de quadrados que se formam pelos lados do 
triângulo. Observe a figura:
78
 
Lembrar: Área de quadrado é (lado) 2.
Portanto, a área do quadrado vermelho é igual a soma das áreas dos quadrados amarelo e azul.
Exercícios:
 1) A figura abaixo ilustra uma escada de 30m com uma de suas extremidades apoiada no topo 
de um prédio. Sabendo que a distância do pé da escada até o rodapé do prédio é de 18m, qual a altura 
do prédio?
 
a) 28m b) 26m c) 25m d) 24m e) 20
 2) A localização do móvel representado esquematicamente na figura fica 
perfeitamente caracterizado as coordenadas cartesianos.
Entre A e B seu deslocamento retilíneo é de:
 
 
79
 3) Observe a figura abaixo que sugere um prédio de 10 m de altura, com uma 
escada telescópica desenvolvida do ponto A ao ponto B, em que = 10 m.
 
Sabendo-se que a distância do pé da escada ao prédio é de 8 m, pode-se concluir que a distância do 
ponto B ao topo do prédio corresponde a:
a) 2 m b) 2,5 c) 3 m d) 3,5 m e) 4 m
 4) Uma árvore quebrou durante uma tempestade na altura de 60 centímetros, conforme a 
figura:
 
Sabendo que a copa da árvore se encontra à 0,8 metros de distância de sua base, qual é a altura da 
árvore?
a) 1m b) 10m c) 1,6m d) 16m e) 20m
 5) Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um 
muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do muro.
a) 3,8 b) 3,2 c) 2,3 d) 3,0 e) 4,1
 6) Em um jardim, um canteiro de flores, formado por três retângulos congruentes, foi dividido 
em cinco regiões pelo segmento AB, conforme mostra a figura.
 
Se AB mede 20 m, então a área total desse canteiro é, em
 m², igual a:
 (A) 162. (B) 126. (C) 135. (D) 153. (E) 144.
80
 7) Na figura temos:
AB= 2, BC=CD=DE= 1cm. Calcule x.
 
 
 8) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o 
comprimento total do corrimão é igual a:
 
a) 1,8 m b) 1,9m c) 2,0m d) 2,1m e) 2,2m
 9) A figura representa o quadrado MNPQ de lado l = 4cm.
 
Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, o valor da medida do segmento YK é:
 
81
 10) Duas estacas de madeira, perpendiculares ao solo e de alturas diferentes, estão distantes 
uma da outra, 1,5 m. Será colocada entre elas uma outra estaca de 1,7 m de comprimento, que ficará 
apoiada nos pontos A e B, conforme mostra a figura:
 
A diferença entre a altura da maior estaca e a altura da menor estaca, nessa ordem, em cm, é:
a) 95 b) 75 c) 85 c) 80 e) 90
 12) Na Figura a seguir, PQ mede 6 cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm.
 A distância entre P e T, em cm, mede
a) 17 b) 21 c) 18 d) 20 e) 19
82
 13) A figura abaixo mostra a trajetória percorrida por uma pessoa para ir do ponto X ao ponto Y, 
caminhando em um terreno plano e sem obstáculos.
 
Se ela tivesse usado o caminho mais curto para ir de X a Y, teria percorrido:
a) 15m b) 16m c) 17m d) 18m e) 19m
 14) A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e um de seus lados mede 8 cm. A superfície desse 
retângulo mede: 
a)40 cm² b) 48 cm² c) 60 cm² d) 70 cm² e) 80 cm²
Gabarito:
 
83
ÁREAS DE FIGURASÁREAS DE FIGURAS 
PLANASPLANAS
84
 ÁREAS 
 Antes de entrar no assunto de áreas e volumes, precisamos relembrar como transformar os 
sistemas de medidas: comprimento, áreas, volumes, massa e tempo.
Transformação de comprimento, área, volume:
 
10 ,100 1000
10,100 1000
divide por ou
km hm dam m dm cm mm
multiplica por ou
←
→
Se a transformação ocorrer na direção de km, devemos dividir ao pular cada “casinha”.
Se a transformação ocorrer na direção de mm, devemos multiplicar ao andar cada “casinha”.
Quando que multiplicamos ou dividimos por 10, 100 e 1000?
Se a grandeza for (comprimento)¹, usa-se 10
Se a grandeza for (área)², usa-se 100
Se a grandeza for (volume)³, usa-se 1000
 Ex.: Transforme 3m² para cm²:
Solução:
Estamos falando de área e devemos caminhar na direção de mm, parando em cm². 
 
2 2 2 2 2 2 2
100
2 200 20000
multiplicar por
km hm dam m dm cm mm
→
 Ex.: Transforme 15000m² para hm²:
Estamos falando de área e devemos caminhar na direção de km, parando em hm².
 
2 2 2 2 2 2 2
100
1,5 150 15000
dividir por
km hm dam m dm cm mm
←
Ex.: Transforme 20m³ para cm³:
Estamos falando de volume e devemos caminhar na direção de mm, parando em cm³.
 
3
3 3 3 3 3 3 3
3 6
1000 10
20 20.10 20.10
multiplicar por ou
km hm damm dm cm mm
→
Observação muito importante: Não há a possibilidade de transformar área para volume, comprimento 
para área, comprimento para volume e vice–versa. As transformações devem estar na mesma 
grandeza. Por exemplo, não existe essa transformação: m² para cm³.
 Observação importante: Caso queira hectares (área) é o mesmo que hm².
85
 Ex.: Transforme 80000 m² para hec:
Solução:
Estamos falando de área e devemos caminhar na direção de km, parando em hm².
 
2 2 2 2 2 2 2
100
8 800 80000
dividir por
km hm dam m dm cm mm
←
 
 Ex.: Transforme 5 km² para hec:
Solução:
Estamos falando de área e devemos caminhar na direção de mm, parando em hm².
 
2 2 2 2 2 2 2
100
5 500
multiplicar por
km hm dam m dm cm mm
→
 Ex.: Transforme 3 km para dam:
Solução:
Estamos falando de comprimento e devemos caminhar na direção de mm, parando em dam. 
 
10
3 30 300
multiplicar por
km hm dam m dm cm mm
→
Áreas das principais figuras planas:
 
86
Obs.: Para o triângulo equilátero, há duas maneiras de calcular a área:
 
 
Exercícios resolvidos:
 Ex1.: Para fazer a distribuição de soldados em um pavilhão, foi necessário o cálculo da área desse 
pavilhão. Com base nas dimensões da figura essa área é:
 
Solução: 
Normalmente as questões de área são resolvidas recortando a figura principal em figuras conhecidas.
87
 
2
1
2
2
2
3
2
4
2
50.100 5000
10.80 800
10.10 50 50
2
10.10 50 50
2
5900
S m
S m
S m
S m
Total m
= =
= =
= = =
= = =
=
Ex2.: Calculando a área da região sombreada abaixo, que valor encontramos: (use π = 3)
 
a) 120m2 b) 138m2 c) 150m2 d) 170m2
Solução: Área sombreada é igual a área do retângulo menos a área do círculo.
 
2
. : 8 4
8 . 25 4 200 3,14.16
200 50,24 149,76
Obs Raio metade de raio m
S S
S S
LetraC
π
∴ =
= − ∴ = −
= − ∴ =
 Ex3.: Observe a figura a seguir, formada por quatro quadrados iguais. Se o perímetro desta 
figura é igual a 15 cm. Sua área é igual a:
 
Solução: Lembrando que perímetro é a soma de todos os lados externos.
88
 Ex4.: Na figura a seguir, temos duas circunferências concêntricas de raios iguais a 2 cm e a 6 
cm, respectivamente, divididas em 12 partes iguais. A área hachurada vale:
 
Solução: Área do círculo grande menos a área do círculo menor é igual a coroa circular.
 
 
Temos uma coroa com 12 pedaços iguais.
Para achar o pedaço em destaque, dividiremos por 12.
 
2 2
2 2
2
.Área da 
12
.6 2 32Área da 
12 12
8Área da 
3
R rCoroa
Coroa
Coroa cm
π π
π π π
π
−
=
−
= =
=
 Ex5.: O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km2. Se 
o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre:
a) 200 m e 201 m. b) 220 m e 221 m. c) 401 m e 402 m. d) 632 m e 633 m e) 802 m e 803 m.
Solução:
 
2 2
2
0, 4 400.000
área? L 400.000
400.000 632
Passando km m
qual o lado do quadrado quetem
essa
L L m
=
=
= ∴ = 
 
Exercicios: 
 1) A figura abaixo, há dois quadrado: ABCD e AEFG. A área do quadrado do quadrado maior 
mede 25m2 e GD = 2m. Qual a área hachurada?
 
a) 10m² b) 12m² c) 16m² d) 20m² e) 30m²
89
 2) Um empresário possui um espaço retangular de 110 m por 90 m para eventos. Considerando 
que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas, a capacidade máxima de pessoas que esse espaço 
pode ter é:
a) 32.400 b) 34.500 c) 39.600 d) 42.500 e) 45.400
 3) Ricardo esteve em um lançamento imobiliário onde a maquete, referente aos terrenos, 
obedecia a uma escala de 1:500. Ricardo se interessou por um terreno de esquina, conforme mostra a 
figura da maquete.
 
a) 300. b) 755. c) 120. d) 525. e) 600.
 4) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um 
terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para 
confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 11 e) 12
 5) Se 1 hectare corresponde a 104 m², então a área ocupada pela fazenda Cantagalo, representa 
na figura por um retângulo, é:
 6) Em 2008, nos 200 anos do Banco do Brasil, os Correios lançaram um selo comemorativo 
com uma tiragem de 1.020.000 unidades. No selo, cujo formato é de um retângulo medindo 40 mm × 
30 mm, a estampa ocupa um retângulo que mede 35 mm × 25 mm. Dadas essas condições, é correto 
afirmar que a área do retângulo da estampa é:
a) superior a 90% da área do retângulo do selo.
b) inferior a 75% da área do retângulo do selo.
c) superior a 75% e inferior a 80% da área do retângulo do selo.
d) superior a 80% e inferior a 85% da área do retângulo do selo.
90
 7) Uma escola de Educação Artística tem seus canteiros em forma geométrica. Um deles éem 
formato do trapézio retângulo, com as medidas indicadas na figura. Calcule a área desse canteiro.
 
 8) Se com uma lata de tinta pintam-se 6 m2, quantas latas de tinta são necessárias para pintar a 
parte externa das paredes de um galpão, com uma única abertura de 2m por 3 m, e dimensões dadas 
pela figura.
 
 9) Na planta de um bairro, feita na escala 1:800, uma praça aparece como um retângulo de dimensões 
10 cm e 6 cm. A área real dessa praça é de:
a) 3840 m² b) 3890 m² c) 3950 m² d) 4020 m²
 10) A figura abaixo mostra um quadrado de lado 6. Se a área do triângulo sombreado é igual a 20% 
da área do quadrado, então o valor de x é:
 11) A figura abaixo, os triângulos retângulos são congruentes e possuem catetos com medidas a e b.
 
91
 12) Uma área retangular de 12 hm2 vai ser loteada de acordo com um projeto de urbanização, 
que destina a quarta parte dessa área para ruas internas no loteamento. A parte restante está dividida 
em 200 lotes iguais, retangulares, com comprimento igual ao dobro da largura. O perímetro, em 
metros, de cada lote será de:
a) 450 b) 225 c) 120 d) 90 e) 75
 13)Em torno de um campo de futebol, construiu-se uma pista de atletismo com 3 metros de 
largura, cujo preço por metro quadrado é de R$ 500,00. O custo total desta construção é:
 
a) R$ 300.000.00 b) R$ 202.530,00 c) R$ 464.500,00 d) R$ 502.530,00 e) R$ 667.030,00
 
 14)Após um pequena explosão num bueiro no meio de uma esquina de uma rua movimentada, 
um soldado recebeu ordem para manter os curiosos a um raio de pelo menos 8m de distância do 
ponto da explosão. A área interditada é aproximadamente ...m²
a) 320 b) 300 c) 280 d)200 e) 70
Gabarito:
 
 
92
VOLUMES DEVOLUMES DE
SÓLIDOSSÓLIDOS
93
 VOLUMES DE SÓLIDOS
 Vamos abordar nesta aula apenas o cálculo do volume do cubo e do paralelepípedo. Os demais 
sólidos, como pirâmides, cilindros, cones e esfera, serão estudados na aula de geometria espacial.
Exercícios resolvidos:
 Ex1.: Um hidrômetro marca o consumo de 3m³ de água. Então, foram gastos ..... litros.
a) 3 b) 300 c) 30 d) 3.000
3
3
: .1000
3 .1000 3000
Lembrar que m litros
m litros
=
=
 Ex2.: Um reservatório tem 5m de comprimento, 4m de largura e 2m de altura. Sua capacidade, 
em L, será de:
a) 40.000 b) 4.000 c) 400 d) 40 e) 4
 
 Ex3.:Em quanto tempo uma torneira de razão igual a 60 l/min, enche uma caixa d’água de 3m x 
4m x 5m?
a) 10mim b) 1h 40min c) 9h 10min d) 12h 30min e) 16h 40min
 
94
 
 Ex4.: Uma caixa de leite do tipo “ longa vida” contém 1 litro de leite . Sua base tem dimensões 
6,3cm e 9,6cm. Sua altura mede ,aproximadamente :
a) 14cm b) 15,8cm c) 16,5cm d) 17,2cm
 
 
 Ex5.: Um volume de 1000 litros de água, preenche exatamente um espaço de:
 
 
 Ex6. Foram apreendidos vinte pacotes na forma de paralelepípedos (Fig.1) de uma determinada 
droga. Sabendo-se que cada cm³ pesa 2 gramas, então a quantidade de droga apreendida é igual a: 
 
95
 
 Ex7. Uma empresa que possui carros-pipa, todos com 9.000 l decapacidade foi chamada para 
encher uma cisterna de dimensões 3,0m x 4,0m x 1,4m.
Para a realização dessa tarefa, podemos concluir que a capacidade de:
a) 1 carro pipa é suficiente para encher totalmente a cisterna, sem sobrar água.
b) 1 carro pipa é maior do que a capacidade da cisterna.
c) 2 carros pipa é insuficiente para encher totalmente a cisterna.
d) 2 carros pipa ultrapassa em 1200 l a capacidade da cisterna.
e) 1 carro pipa mais 1200 l é suficiente para encher totalmente a cisterna.
 
 Ex8. Quantos copos de água de 160 mililitros cabem num cubo com as medidas indicadas na 
figura?
 
 
96
Exercicios:
 1) Num paralelepípedo, o comprimento é 24cm. A largura é igual a 2/3 do comprimento e altura 
é igual a metade da largura. O seu volume, em cm³, é:
a) 384 b) 768 c) 2.016 d)3 .072
 2) Sabe–se que o volume de um cubo de aresta é dado por ³ . Considerando que a aresta de 
um cubo seja multiplicada por 2, em quantas vezes seu volume aumentará?
a) Duas. b) Três. c) Quatro. d) Seis. e) Oito.
 3) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com 
o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm 
de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras 
geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:
a) 5 cm b) 6 cm c) 12 cm d) 24 cm e) 25 cm
 4) Determinado cubo possui volume de 729 cm³. Cada face desse cubo possui área de:
a) 3 cm². b) 9 cm². c) 27 cm². d) 54 cm². e) 81 cm².
 5) Sobre uma mesa, estão dois recipientes: o primeiro tem um formato de um cubo, tal que 
cada aresta desse cubo mede x cm; o segundo tem o formato de um paralelepípedo reto, cujas 
dimensões são 5 cm, 25 cm e 125 cm. Sabendo que os dois recipientes possuem o mesmo volume, 
então a medida da aresta x do cubo é igual a
a)5cm. b)12cm. c)25cm. d)50cm. e)125 cm.
 6) Os produtos de uma empresa são embalados em caixas cúbicas, com 20 cm de aresta. Para 
transporte, essas embalagens são agrupadas, formando um bloco retangular, conforme mostrado na 
figura. Sabe-se que 60 desses blocos preenchem totalmente o compartimento de carga do veículo 
utilizado para o seu transporte. Pode-se concluir, então, que o volume máximo, em metros cúbicos, 
transportado por esse veículo é:
 
 7) Nos Correios, são utilizados vários tipos de caixas para o envio de encomendas, entre elas, a 
caixa do tipo 4B, um paralelepípedo retângulo, em papel ondulado, com arestas medindo 360 mm, 270 
mm e 180 mm. O volume dessa caixa, em dm³, é:
a) superior a 18 e inferior a 21. b) superior a 21 e inferior a 24. c) superior a 24.
d) inferior a 15. e)superior a 15 e inferior a 18.
 8) Na fabricação da peça abaixo, feita de um único material que custa R$ 5,00 o cm3, deve-se 
gastar a quantia de:
a) R$ 400,00 b) R$ 380,00 c) R$ 360,00 d) R$ 340,00 e) R$ 320,00
 
97
 9) Um paralelepípedo retângulo é obtido dobrando-se as linhas pontilhadas da folha de metal 
representada abaixo.
 
 Calcule o volume desse paralelepípedo.
a) 280m³ b) 140m³ c) 80m³ d) 60m³
 10) O menor valor de x ,para que a cisterna na forma de um paralelepípedo retângulo, ilustrada 
na figura, tenha capacidade igual a seis milhões de litros:
 
a) 10m b) 30m c) 15cm d) 2m e) 20m
 11) A figura representa um reservatório de água pesada, utilizada no resfriamento de um reator.
 
 
O volume de égua pesada que o reservatório comporta é de, em litros:
a) 100 b) 115 c) 120 d) 135
 
98
 12) Um cubo mágico de volume 512 cm³ foi montado com 64 cubos iguais, conforme a figura a 
abaixo.
 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Gabarito:
 
Bateria de exercícios:
 RAZÃO E PROPORÇÃO
 1)(FGV-2021) Duas urnas contêm a mesma quantidade de fichas. Nas duas urnas só há fichas 
vermelhas ou azuis. Na primeira urna, a razão do número de fichas vermelhas para o número de fichas 
azuis é de 5:1 e, na segunda urna, de 3:1. No total, há 45 fichas azuis. O total 
a) 180 b) 175 c) 171 d) 165 e) 162
 2)(FGV-2013) Em uma sala há advogados, juízes e desembargadores, e apenas eles. Para cada 
dois desembargadores há três juízes e para cada quatro juízes há sete advogados. A razão entre a 
quantidade de juízes e a quantidade total de pessoas na sala é
a) 11/39 b) 12/41 c) 14/43 d) 13/45 e) 15/47
 3)(FGV-2013) João caminhava de sua casa para o colégio quando, em um determinado 
ponto, resolveu voltar a casa e pegar sua bicicleta para ir para o colégio. De bicicleta João vai a uma 
velocidade que é 5 vezes a velocidade com que caminha. Ao final, para voltar a casa de caminhada 
e ir de bicicleta até o colégio João gastou exatamente o mesmo tempo que a levaria se continuasse 
caminhando de onde estava até o colégio. A razão entre a distância que João caminhou de volta até 
sua casa para a distância total de sua casa até o colégio é
a) 1/3 b) ¼ c) 1/5 d) 2/5 e) 3/5
 4)(FGV-2018) O piso do pátio da escola será pintado com tinta antiderrapante. Na quinta-feira os 
operários realizaram a quarta parte do trabalho e, na sexta-feira, pintaram a terça parte do restante. A 
fração do trabalho que ficou para a semana seguinte foi:
a) ½ b) 1/3 c) 2/3 d) ¾ e) 5/6
 5)(FGV-2017) Uma árvore é 4 m mais alta do que outra árvore. As alturas das duas árvores estão 
na razão 2/3. A árvore mais alta mede
a) 6m b) 8m c) 9m d) 12m e) 15m
 6)(FGV-2017) A quantia de 900 mil reais deve ser dividida em partes proporcionais aos números 
4, 5 e 6. A menor dessas partes corresponde a:
a) 210 mil reais b) 270 mil reais c) 360 mil reais d) 240 mil reais e) 300 mil reais
99
 7)(FGV-2016) Para ser aprovado em um concurso, o candidato precisaria acertar 3 de cada 
5 questões de uma prova. Considerando que havia 45 questões na prova, quantas questões, no 
máximo, o candidato poderia errar para não ser reprovado e com quantos pontos, no mínimo, ele seria 
aprovado, se cada questão valesse um ponto?
a) Errar, no máximo, 15 questões; ter um mínimo de 30 pontos.
b) Errar, no máximo, 10 questões; ter um mínimo de 20 pontos.
c)Errar, no máximo, 15 questões; ter um mínimo de 35 pontos.
d)Errar, no máximo, 18 questões; ter um mínimo de 30 pontos.
e)Errar, no máximo, 18 questões; ter um mínimo de 27 pontos.
 8)(FGV-2014) Em uma turma do 9º ano de um colégio de ensino fundamental, para cada três 
meninas há dois meninos. Uma das meninas saiu do colégio e em seu lugar entrou um menino nessa 
turma do 9º ano. Agora, para cada quatro meninas há três meninos. A quantidade total de alunos 
nessa turma é
a) 20. b) 25. c) 28. d) 30. e) 35.
 9)(FGV-2014) Em um grupo de agentes a razão entre o número de mulheres e o número de 
homens era 4/5. Com a chegada de duas novas mulheres e a saída de um dos homens o número de 
mulheres ficou igual ao número de homens. O número inicial de agentes nesse grupo é:
a) 9; b) 15; c) 27; d) 36; e) 40.
 10)(FGV-2014) Suponha que uma herança de R$ 1 milhão deva ser repartida entre três filhas em 
partes proporcionais a suas idades, que são de 70, 85 e 95 anos. Da mais nova para a mais velha, as 
heranças recebidas serão, respectivamente (em milhares de R$):
a) 270, 350 e 380 b) 280, 340 e 380 c) 290, 340 e 370 d) 280, 320 e 400 e) 290, 350 e 380.
 11)(FGV-2022) Os alunos de uma turma estavam se preparando para um concurso. Constatou-
se que: a terça parte do total de alunos torce pelo Manaus FC, a quarta parte do total de alunos torce 
pelo Nacional-AM, e os 35 alunos restantes torcem por outros clubes ou não são ligados em futebol. O 
número de alunos dessa turma que torcem pelo Manaus FC é
a) 21 b)25 c) 26 d) 28 e) 35
 12)(FGV-2021) Certa quantia foi repartida entre os irmãos Alceu, Breno e Caio. Alceu recebeu a 
terça parte do total e Breno recebeu dois quintos do total. A fração do total que coube a Caio é
a) 3/8 b)5/8 c) 11/15 d) 9/15 e) 4/15 
 13)(FGV-2021) Em um colégio, 1/4 dos alunos da Turma A e 2/5 dos alunos da Turma B foram 
infectados com a Covid-19. Sabe-se que o número de alunos infectados da Turma A é igual ao número 
de alunos infectados da Turma B. Em relação ao total de alunos das Turmas A e B, os infectados com a 
Covid-19 representam
a) 13/20 b)19/20 c) 2/9 d) 4/13 e) 9/20
 14)(FGV-2021) Denise deu 2/5 das balas que possuía para Vera e, das balas que sobraram, deu 
30% para Joana e ainda sobraram 21 balas. O número de balas que Denise deu para Vera é
a) 15 b) 20 c) 21 d) 30 e) 45
 15)(FGV-2021) Em um grupo de esportistas, 1/3 deles só gostam de vôlei e, dos demais, 2/5 
gostam de vôlei e também de basquete. Todos os esportistas desse grupo gostam de, pelo menos, um 
desses dois esportes. Em relação ao total de membros desse grupo, a fração daqueles que só gostam 
de basquete é:
a) 2/3 b) 2/5 c) 3/5 d) 4/15 e) 1/15
 16)(FGV-2018) Um tanque A está completamente cheio de modo que 80% do volume 
corresponde a gasolina e o restante a álcool. Um tanque B, cujo volume total é 50% maior do que o 
do tanque A, também está completamente cheio de modo que 60% do volume corresponde a álcool 
e o restante a gasolina. Juntando-se os conteúdos dos dois tanques, a porcentagem de gasolina com 
relação à soma dos volumes desses dois tanques passa a ser:
a) 60% b)56% c)50% d) 44% e) 40%
100
 17)(FGV-2022) Geraldo resolveu se desfazer de sua coleção de miniaturas. Assim, ele deu 2/5 das 
suas miniaturas para seu irmão Gerson; das que sobraram, ele deu 1/3 para seu irmão Gilson e as 48 
restantes ele deu para sua irmã Glória.
O número de miniaturas que Gilson recebeu foi
a) 12 b) 16 c) 18 d) 24 e) 48
18) (FGV-2022) Em um grupo de pessoas, há somente amazonenses, paraenses e cariocas. Para 
cada paraense há dois amazonenses e para cada três amazonenses há dois cariocas.
Em relação ao total de pessoas no grupo, os amazonenses representam 
a) 3/5 b) 4/7 c) 6/13 d) 4/15 e)7/12
Gabarito:
 
 REGRA DE 3:
 1) Uma máquina trabalha continuamente produzindo 1 objeto a cada 22 minutos. O tempo 
necessário para que essa máquina produza 25 objetos é
a) 7h32min b) 8h24min c) 8h48min d) 9h00min e) 9h10min.
 2)(FGV-2021) Débora fez uma maquete de um condomínio na escala 1:150. No condomínio há 
uma praça quadrada com 900 m2 de área. Na maquete, essa praça é um quadrado de lado
a) 30 cm b) 27 cm c) 25 cm d) 20 cm e) 15 cm
 3)(FGV-2017) Felipe usou 800 gramas de feijão para fazer 6 acarajés e, agora, ele quer fazer 15 
acarajés, usando a mesma proporção. Para isso, Felipe precisará de
a) 2,0 kg de feijão b) 1,8 kg de feijão c) 1,6 kg de feijão d) 1,5 kg de feijão e) 1,4 kg de feijão.
 4)(FGV-2021) Um pintor foi contratado para pintar a parte externa de um prédio de 6 andares e 
calculou que gastará 25 litros de tinta por andar. A tinta será comprada em latas de 18 litros. O número 
mínimo de latas de tinta que deverá ser comprada é
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
 5)(FGV-2020) Um pintor de paredes pinta uma parede retangular com 3m de altura e 4m de 
comprimento em 18 minutos. Com a mesma eficiência, esse pintor pintará uma parede retangular 
com 4m de altura e 5m de comprimento em:
a) 20 minutos b) 24 minutos c) 25 minutos d) 28 minutos e) 30 minutos.
 6)(FGV-2020) Um caminhão pesado leva cinco horas e meia para fazer o percurso entre as 
cidades A e B. De carro, leva-se apenas a terça parte desse tempo. O tempo de percurso de carro para ir 
da cidade A até a cidade B é de:
a) 1h45min b) 1h50min c) 1h55min d) 2h05min e) 2h10min
101
 7)(FGV-2019) Marcela percorreu 100km de carro em 2 horas. Mário percorreu a mesma distância, 
mas com uma velocidade média 20% menor do que a velocidade média de Marcela. Mário percorreu 
os 100km em
a) 2h20min b) 2h24min c) 2h30min d) 2h40min e) 2h45min
 8)(FGV-2019) Três impressoras iguais, trabalhando juntas, imprimiram todas as provas de um 
concurso em 12 horas. Quatro dessas impressoras, trabalhando juntas, realizariam o mesmo trabalho 
em
a) 16 horas b) 15 horas c) 10 horas d) 9 horas e) 8 horas 
 9)(FGV-2019) A uma velocidade média de 80 km/h percorre-se uma certa distância em 3 horas e 
15 minutos. A uma velocidade média de 60 km/h, a mesma distância é percorrida em:
a) 2 horas e 54 minutos b) 3 horas e 45 minutos c) 4 horas e 20 minutos 
d) 4 horas e 30 minutos e) 4 horas e 45 minutos.
 10)(FGV-2021) Três profissionais de enfermagem atendem, em média, 12 ocorrências em 2 horas. 
Com a mesma eficiência, duas profissionais de enfermagem atendem, em 4 horas, em média,
a) 8 ocorrências b) 9 ocorrências c) 12 ocorrências d) 15 ocorrências e) 16 ocorrências
Gabarito:
 
 MÍNIMO MULTIPLO COMUM
 1)(FGV-2021) Uma delegacia de polícia atende aos cidadãos todos os dias. O novo escrivão foi 
designado para fazer um relatório das atividades da delegacia de 4 em 4 dias. Em cada relatório ele 
deve registrar as ocorrências do dia e dos três dias anteriores, e o primeiro relatório que ele fez foi num 
sábado. O novo escrivão fez seu 40º relatório em uma:
a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) quinta-feira e) sexta-feira
 2)(FGV-2010) Olegário faz a barba de 3 em e dias. Hoje é domingo e Olegário está fazendo a sua 
barba. Ele voltará a se barbear num dia de domingo daqui a quantos dias?
a) 21 b) 18 c) 12 d) 14 e) 15
 3)(FGV-2016) Seja N o menor número natural de quatro algarismos que é divisível por 2, 3, 4, 5, 6 
e 7. A soma dos algarismos de N é 
a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16
 4)(FGV-2021) O número N é par, está entre 57 e 97, é múltiplo de 7, mas não é múltiplo de 5. A 
soma dos algarismos de N é
a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16
 5)(FGV-2021) O maior número múltiplo de 4, que é, também, múltiplo de 6 e é menor que 199, é
a) 190 b) 192 c) 194 d) 196 e) 198
Gabarito:
 
102
 MÉDIAS
 1) (FGV-2016) Após calcular a média das notas de seus N alunos de classe, um professor, 
Inadvertidamente, incluiu a média calculada ao conjunto das N notas dos alunos e calculou a média 
dos N+1 números obtidos. A razão entre a segunda média calculada pelo professor e a média correta é
a) 2 b) 1 c) 1/2 d) N/N + 1 e) N + 1/N
 2)(FGV-2021) Um grupo de 10 amigos, em que o mais novo tem 55 anos, constatou que a média 
de suas idades é 64 anos. Se o mais novo e o mais velho saírem do grupo, a média das idades dos oito 
restantes continua sendo 64.A idade do mais velho é 
a) 69 b) 70 c) 71 d) 72 e) 73 
 3)(FGV-2021) A média de 6 números é 33. Um deles foi retirado e a média dos outros passou a 
ser 31. Assinale a opção que indica o número que foi retirado.
a) 35 b) 37 c) 39 d) 41 e) 43
 4)(FGV-2019) Para a realização de uma olimpíada de Matemática uma escola reservou as salas 
de números 1, 2, 3, 4 e 5. No dia da prova, os alunos inscritos dirigiram-se, livremente, a essas salas e a 
quantidade de alunos, em cada sala, está indicada a seguir. Sala 1 = 29 alunos Sala 2 = 33 alunos Sala 3 
= 24 alunos Sala 4 = 37 alunos Sala 5 = 17 alunos O inspetor de alunos fez então algumas transferências 
de alunos de uma sala para outra de forma que as 5 salas ficassem com o mesmo número de alunos. É 
correto concluir que 
a) a sala 1 ganhou 1 aluno b) a sala 2 perdeu5 alunos c) a sala 3 ganhou 3 alunos
d) a sala 4 perdeu 10 alunos e) a sala 5 ganhou 10 alunos
 5)(FGV-2019) A média dos pesos de cinco crianças é de 33,6 kg. Quatro delas pesam, 
respectivamente, 31 kg, 34 kg, 38 kg e 30 kg.
A 5ª criança pesa
a) 32 kg b) 35 kg c) 36 kg d) 37 kg e) 38 kg
 6)(FGV-2017) Em determinado grupo de 4 pessoas, a média das idades é de 26 anos. Em outro, 
grupo de 6, pessoas a média das idades é de 21 anos. Se juntarmos os dois grupos, a média das idades 
das 10 pessoas será de
a) 21 anos b) 22 anos c) 23 anos d) 24 anos e) 25 anos
 7)(FGV-2019) Em uma pequena empresa, a média salarial dos 12 funcionários era de R$2400,00. 
Lúcio Mauro, que ganhava R$3000,00, se aposentou e para ocupar sua vaga foi contratado Felipe, com 
um salário de R$1800,00. Assinale a opção que indica a nova média salarial dos 12 funcionários dessa 
empresa.
a) R$2350,00 b) R$2300,00 c) R$2280,00 d) R$2250,00 e) R$2200,00
 8)(FGV-2018) Um casal pesou suas quatro malas no aeroporto para o embarque. As três 
primeiras malas pesaram 8 kg, 12 kg e 9 kg. Sabe-se que a média dos pesos das quatro malas foi de 11 
kg. O peso da quarta mala é
a) 12 kg b) 13 kg c) 14 kg d) 15 kg e) 16 kg
 9)(FGV-2018) A média de dez números diferentes é 8. A média dos quatro menores desses 
números é 5. A média dos seis maiores daqueles dez números é
a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8
 
 
 10)(FGV-2018) Em uma empresa, os funcionários são classificados em atendentes, técnicos ou 
gerentes. A tabela abaixo mostra a quantidade de funcionários de cada categoria e o salário que cada 
um recebe.
 
 
103
 Nessa empresa, o salário médio dos seus funcionários é de:
a) 2480 reais b) 2520 reais c) 2640 reais d) 2700 reais e) 3000 reais
Gabarito:
 
 PORCENTAGEM
 1)(FGV-2022) Secretaria de Segurança Pública do Estado do Amazonas registrou as ocorrências 
de roubo de veículos em Manaus nos últimos anos. No ano de 2019 foram 2440 ocorrências e no ano 
seguinte, 1880. Nesse período, as ocorrências de roubo de veículos em Manaus diminuíram em cerca 
de
a) 14% b) 17% c) 20% d) 23% e) 26%
 2) (FGV-2021) Em setembro de 2021, o litro da gasolina custava, em média, R$ 7,00 no Rio de 
Janeiro e R$ 5,40 no Amapá. O preço do litro de gasolina no Amapá é inferior ao preço no Rio de 
Janeiro em cerca de
a) 11% b) 14% c) 17% d) 20% e) 23%
 3)(FGV-2022) Considere que X representa 40% de Y. A porcentagem que Y representa de X é
a) 25% b) 60% c) 75% d) 150% e) 250%
 4)(FGV-2022) Em um grupo de pessoas, 40% delas são homens. Em relação ao número de 
homens, o número de mulheres representa
a) 60% b) 70% c) 75% d) 120% e) 150%
 5)(FGV-2021) Alfredo ganha 30% a menos do que Flávia que, por sua vez, ganha 25% a mais do 
que Beatriz. Em relação ao salário de Beatriz, Alfredo ganha
a) 2,5% a menos b) 5% a menos c) 7,5% a menos d) 12,5% a menos e) 15% a menos
 6)(FGV-2022) A tabela a seguir apresenta os preços de produtos que compõem a base de 
cálculo de um índice de preços hipotético.
 
Com base nos dados fornecidos, a inflação no período em questão, em valores %, é 
a) 10,0 b) 15,0 c) 20,0 d) 25,0 e) 32,5
 7) Em certo município do sul do Estado do Amazonas o índice pluviométrico no ano 2010 
foi 30% menor do que o do ano anterior e, em 2011, foi 40% maior do que o do ano anterior. Nesse 
município, o índice pluviométrico de 2011 foi, em relação ao índice de 2009
a) maior em 10% b) maior em 2% c) igual d) menor em 2% e) menor em 10%
104
 8)(FGV-2022) Um acionista investiu em quatro ações da carteira de energias renováveis e o 
quadro abaixo mostra o percentual investido em cada ação e o respectivo retorno anual.
 
O retorno anual esperado pelo acionista é de
a) –0,1% b) –0,75% c) –1,0% d) 2,0% e) 9,0%
 9)(FGV-2022) Norma comprou um vestido e pagou à vista, obtendo um desconto de 5% sobre o 
valor original. Sabendo que Norma pagou R$ 133,00, o preço do vestido sem o desconto era de 
a) R$ 139,25 b) R$ 139,65 c) R$ 140,00 d) R$ 141,50 e) R$ 142,25
 10)(FGV-2018) O salário de Jorge é 1/5 menor do que o salário de Isabel. O salário de Isabel é x% 
maior do que o salário de Jorge. O valor de x é:
a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 40
 11)(FGV-2018) Ana, Beatriz e Ciro contribuíram, respectivamente, com R$ 17.500,00, R$ 14.000,00 
e R$ 10.500,00 para comprarem, juntos, 1.200 ações da empresa WBMF4.
Todas essas ações foram posteriormente vendidas a R$ 38,00 a unidade e o lucro auferido com 
essa venda sofreu tributação de 15%. Se, após a tributação, todo o dinheiro restante foi dividido 
proporcionalmente à contribuição de cada um, Beatriz recebeu de volta:
a) R$ 1.020,00 b) R$ 3.060,00 c) R$ 11.265,00 d) R$ 15.020,00 e) R$ 15.200,00
 12)(FGV-2014) Em uma operação policial para combater o comércio ilegal de ambulantes, do 
total de ambulantes abordados, a razão entre o número de ambulantes irregulares para o número 
de ambulantes regulares foi de 3/2. Em relação ao total de ambulantes abordados, a porcentagem 
daqueles que estavam irregulares é:
a) 60% b) 50% c) 40% d) 30% e) 25%
Gabarito:
 
 
 SISTEMAS DE EQUAÇÕES
 1)(FGV-2017) Juvenal comprou, ao todo, 10 exemplares de dois livros de Jorge Amado: “Gabriela, 
Cravo e Canela” e “Tieta do Agreste”. Cada exemplar de “Gabriela, Cravo e Canela” custou R$ 30,00 e 
cada exemplar de “Tieta do Agreste” custou R$ 70,00. O valor total da compra foi de R$ 460,00. Assinale 
a opção que indica o número de exemplares de “Gabriela, Cravo e Canela” que Juvenal comprou.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
 2) (FGV-2018) Joana comprou para o escritório 2 resmas de papel e 3 caixas para arquivo e 
pagou o total de R$80,00. Sabe-se que uma resma de papel custa R$5,00 a mais do que uma caixa de 
arquivo. Uma resma de papel e uma caixa de arquivo custam, juntas:
a) R$31,00 b) R$32,00 c) R$33,00 d) R$34,00 e) R$35,00
105
 3)(FGV-2014) Em uma salada de frutas há 160 pedaços de frutas. Há apenas quatro tipos de 
frutas nessa salada: banana, laranja, maçã e melão. Há duas vezes mais pedaços de banana do que de 
laranja e três vezes mais pedaços de maçã do que de melão. O número de pedaços de laranja é quatro 
vezes o número de pedaços de melão. O número de pedaços de banana nessa salada de frutas é
a) 100 b) 96 c) 84 d) 80 e) 72
 4)(FGV-2014) Em um determinado mês, a diferença entre o maior e o menor consumo 
residencial de água, em uma determinada cidade, foi de 40.000 litros. Além disso, nesse mês, a média 
entre o maior e o menor consumo de água residencial, nessa cidade, foi de 25.000 litros. Nesse mês, o 
menor consumo residencial de água, nessa cidade, foi
a) 15.000 litros b) 10.000 litros c) 8.000 litros d) 6.000 litros e) 5.000 litros
 5)(FGV-2014) Valter participou de um treinamento e fez a prova final que tinha 20 perguntas. O 
critério de pontuação para cada questão era o seguinte:
• resposta correta: ganha 5 pontos;
• resposta errada ou sem resposta: perde 3 pontos.
Valter fez 52 pontos nessa prova. O número de perguntas que Valter acertou foi
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
 6)(FGV-2017) Fernando teve três filhos em três anos seguidos. Quando ele fez 39 anos reparou 
que essa sua idade era igual à soma das idades dos seus três filhos. Nesse dia, o seu filho mais velho 
tinha:
a) 12 anos b) 13 anos c) 14 anos d) 15 anos e) 16 anos
 7)(FGV-2017) O número de balas de menta que Júlia tinha era o dobro do número de balas de 
morango. Após dar 5 balas de cada um desses dois sabores para sua irmã, agora o número de balas de 
menta que Júliatem é o triplo do número de balas de morango. O número total de balas que Júlia 
tinha inicialmente era:
a) 42 b) 36 c) 30 d) 27 e) 24
 8)(FGV-2016) As meninas Alice, Beatriz e Celia brincam na balança. Alice e Beatriz juntas pesam 
100 kg, Alice e Celia juntas pesam 96 kg e Beatriz e Celia juntas pesam 108 kg. Beatriz pesa:
a) 48 kg b) 50 kg c) 52 kg d) 54 kg e) 56 kg
 9)(FGV-2015) A idade de Pedro hoje, em anos, é igual ao dobro da soma das idades de seus dois 
filhos, Paulo e Pierre. Pierre é três anos mais velho do que Paulo. Daqui a dez anos, a idade de Pierre 
será a metade da idade que Pedro tem hoje. A soma das idades que Pedro, Paulo e Pierre têm hoje é:
a)72 b) 69 c) 66 d) 63 e) 60
 10)(FGV-2014) Mauro comprou duas canetas e três borrachas por R$ 37,50. Fátima comprou, na 
mesma loja, três canetas e quatro borrachas por R$ 54,00. Nessa loja todas as canetas têm o mesmo 
preço; também têm o mesmo preço todas as borrachas. Nessa mesma loja, cinco canetas e duas 
borrachas custam:
a) R$ 87,50 b) R$ 82,00 c) R$ 77,00 d) R$ 74,50 e) R$ 69,00
 
 11)(FGV-2022) Sabe-se que
 
O valor de x + y é:
a) 16
b) 18
c) 24
d) 26
e) 30
 12)(FGV-2022) A tabela a seguir mostra o número de funcionários de uma empresa por sexo e 
por nível de escolaridade.
 
 
106
 13)(FGV-2022) Madalena comprou, numa certa semana, 2 kg de carne (patinho) e 1 kg de frango 
(coxas), e pagou R$ 92,00. Na semana seguinte, os preços ainda eram os mesmos e ela comprou 1 kg 
da mesma carne e 3 kg do mesmo frango, pagando R$ 76,00. Se Madalena comprasse 1 kg de carne e 1 
kg de frango pagaria
a) R$ 48,00 b) R$ 50,00 c) R$ 52.00 d) R$ 54,00 e) R$ 56,00 
 14)(FGV-2017) A soma de dois números é 47 e o dobro da diferença deles é 46. O menor desses 
dois números é
a) 11 b) 12 c) 15 d) 17 e) 23
 15)(FGV-2021) Em um teatro há preços diferenciados dos ingressos para adultos e crianças. Para 
assistir a certa peça, um pai acompanhando seus dois filhos pequenos pagou R$ 44,00 pelos ingressos 
e um casal acompanhando cinco crianças pagou R$ 100,00 pelos ingressos de todos.
O valor do ingresso para criança é:
a) R$ 10,00 b) R$ 12,00 c) R$ 14,00 d) R$ 16,00 e) R$ 20,00
Gabarito:
 
 EQUAÇÃO 1º GRAU
 1)(FGV-2017) As idades de Ângela e de Beatriz somam 27 anos. Daqui a 3 anos, Beatriz terá o 
dobro da idade de Ângela. Ângela é mais nova que Beatriz
a) 3 anos b) 5 anos c) 7 anos d) 9 anos e) 11 anos
 2)(FGV-2017) A soma de dois números é 47 e o dobro da diferença deles é 46. O menor desses 
dois números é
a) 11 b) 12 c) 15 d) 17 e) 23
 3)(FGV-2014) Carla tem R$ 5,00 a mais do que a metade da quantia de Solange. Solange tem R$ 
10,00 a menos do que o dobro da quantia de Marcos. Comparando-se as quantias de Carla e de Marcos, 
conclui-se que Marcos tem:
a) R$ 5,00 a mais b) R$ 5,00 a menos c) R$ 10,00 a mais d) R$ 10,00 a menos 
e) a mesma quantia de Carla.
 4)(FGV-2022) Uma delegacia recebeu camisetas para dividir igualmente entre seus policiais. O 
delegado Saraiva percebeu que, dando 3 camisetas a cada policial, sobravam ainda 13 camisetas, e que, 
dando 5 camisetas a cada policial, no final da distribuição, 3 policiais nada receberiam. O número de 
policiais dessa delegacia é: 
a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18
 5)(FGV-2022) João tem hoje 22 anos e lembrou que, há oito anos, nesse mesmo dia do ano, sua 
irmã Maria disse para ele: “Eu tenho a metade da sua idade”. Nesse mesmo dia do ano, quando Maria 
tiver 35 anos, João terá:
a) 42 anos b) 43 anos c) 57 anos d) 65 anos e) 70 anos
 6)(FGV-2017) Fernando teve três filhos em três anos seguidos. Quando ele fez 39 anos reparou 
que essa sua idade era igual à soma das idades dos seus três filhos. Nesse dia, o seu filho mais velho 
tinha:
a) 12 anos b) 13 anos c) 14 anos d) 15 anos e) 16 anos
107
 7)(FGV-2015) A idade de Pedro hoje, em anos, é igual ao dobro da soma das idades de seus dois 
filhos, Paulo e Pierre. Pierre é três anos mais velho do que Paulo. Daqui a dez anos, a idade de Pierre 
será a metade da idade que Pedro tem hoje. A soma das idades que Pedro, Paulo e Pierre têm hoje é:
a) 72 b) 69 c) 66 d) 63 e) 60
 8)(FGV 2022) Os alunos de uma turma estavam se preparando para um concurso. Constatou-
se que: a terça parte do total de alunos torce pelo Manaus FC, a quarta parte do total de alunos torce 
pelo Nacional-AM, e os 35 alunos restantes torcem por outros clubes ou não são ligados em futebol. O 
número de alunos dessa turma que torcem pelo Manaus FC é:
a) 21 b) 25 c) 26 d) 28 e) 35
 9)(FGV-2017) Daqui a 12 anos, Darlene terá o dobro da idade que tinha há 4 anos. Daqui a 6 anos, 
a idade de Darlene será:
a) 18 anos b) 22 anos c) 26 anos d) 28 anos e) 30 anos
 10)(FGV 2022) Paulo e Berenice possuem, respectivamente, R$ 47,30 e R$ 62,50. Para que 
Berenice fique com o triplo da quantia de Paulo, Paulo tem que dar a Berenice 
a) R$ 19,85 b) R$ 20,35 c) R$ 21,25 d) R$ 24,15 e) R$ 27,45
 11)(FGV 2022) Alberto tem dois filhos cujas idades têm 1 ano de diferença. Hoje, a idade do pai 
é o triplo da soma das idades dos filhos e daqui a 22 anos a idade do pai será igual à soma das idades 
dos filhos. Alberto tem hoje
a) 27 anos b) 33 anos c) 36 anos d) 39 anos e) 45 anos
 12)(FGV 2021) Há 3 anos, Nádia tinha o triplo da idade de sua irmã Deise. Há 6 anos, a idade de 
Nádia era o quádruplo da idade de Deise.
A idade de Nádia será o dobro da idade de Deise daqui a:
a) 2 anos b) 3 anos c) 4 anos d) 6 anos e) 8 anos
Gabarito:
 
 ÁREA DE FIGURAS PLANAS E PITÁGORAS
 1)(FGV-2013) Na figura a seguir, o quadrado ABCD tem 15% de sua área em comum com o 
retângulo ODEF. Este, por sua vez, tem 1/3 de sua área em comum com o quadrado ABCD. O ponto O é 
o centro do quadrado e OD é paralelo a AB.
 
A razão entre as medidas dos segmentos OF e OD, nesta ordem, é:
a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 2/5 e) 1/2
108
 2)(FGV-2014) Na composição da bandeira de Osasco, considere que os quatro quadrados iguais 
nos cantos da bandeira dividem a largura da bandeira em três partes iguais e que a faixa horizontal no 
meio da bandeira tem altura igual a 1/4 da medida do lado de um dos referidos quadrados.
 
A razão entre a área ocupada pelos quatro quadrados e a área total da bandeira é :
a) 12/20 b) 12/21 c) 12/25 d) 16/27 e) 16/31
 3)(FGV-2021) A densidade populacional de uma região (ou país) é a relação entre o seu número 
de habitantes e sua área em quilômetros quadrados. Uma escala de densidade populacional é dada a 
seguir.
 
O município de Paulínia tem 140 km2 e uma população de 112.000 habitantes. Na escala dada, a 
classe do município em relação à densidade populacional é:
a) muito alta b) alta c) média d) baixa e) muito baixa
 4)(FGV-2021) Observe a figura desenhada no plano cartesiano:
 
A área dessa figura é
a) 28 b) 29 c) 31 d) 33 e) 34
 5)(FGV-2021) A Figura 1 mostra uma placa retangular com 9 cm de base e 6 cm de altura. Dessa 
placa foram retirados quatro triângulos equiláteros de 3 cm de lado cada um, formando a Figura 2.
 
O perímetro da Figura 2, em cm, é:
a) 24 b) 30 c) 36 d) 42 e) 54
109
 6)(FGV-2016) Um armazém com formato de um paralelepípedo reto-retangular com 5 m de 
largura, 6 m de comprimento e 3,5 m de altura será pintado por dentro (exceto o chão) e por fora 
(exceto a parte de cima). A área total que será pintada, em m² , é
a) 107 b) 137 c) 154 d) 184 e) 214
 7)(FGV-2019) Na figura a seguir, cada pequeno quadrado representa 1 unidade de área. A áreada região sombreada é:
 
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
 8)(FGV-2018) Na figura a seguir os pontos A, B, C e D são vértices de um retângulo de centro O. 
Sabe-se que AB mede 8 m e BC mede 6m.
 
 
Partindo do ponto A e fazendo o percurso ABCODA, andando em linha reta entre cada ponto e o 
seguinte, a distância total percorrida é de:
a) 26m b) 28m c) 29m d) 30m e) 32m
 9)(FGV-2017) As telas das televisões são medidas em polegadas. Quando dizemos que 
uma televisão tem 20 polegadas, isto significa que a diagonal da tela mede 20 polegadas, ou seja, 
aproximadamente 50 cm.
 
Se a diagonal da tela de uma televisão mede 80 cm, podemos concluir que o aparelho tem:
a) 26 polegadas b) 28 polegadas c) 30 polegadas d) 32 polegadas e) 34 polegadas
 11)(FGV-2022) A base de um retângulo (que não aparece na figura abaixo) mede 14 m e sua área 
é igual a 112 m² . Desse retângulo foram retirados seis quadrados iguais de 2 m de lado e o resultado é 
o polígono P da figura a seguir.
 
110
 O perímetro desse polígono P é
a) 42 b) 44 c) 48 d) 50 e) 52
Gabarito:
 
 2ª bateria de exercícios
 1)(FGV-2021) Em uma caixa há peças de várias cores e formatos. Há 140 peças azuis e 80 peças 
triangulares. 70% das peças triangulares também são azuis. A porcentagem das peças azuis, que 
também são triangulares, é de:
a) 70%. b) 60%. c) 40%. d) 35%. e) 20%
 2)(FGV-2021) Alfredo comprou em uma promoção, com 15% de desconto, um celular e pagou R$ 
1360,00. Nessa compra, Alfredo economizou, em R$:
a) 260 b) 240 c) 224 d) 204 e)200
 3)(FGV-2021) A área de um retângulo aumentou 20% e sua base diminuiu 20%. Em relação à 
altura do retângulo original, a altura atual é
a) a mesma b) 20% maior c) 40% maior d) 50% maior e) 100% maior.
 4)(FGV-2021) Para cada R$ 2,00 que Pedro possui, Ana possui R$ 3,00. Para que Pedro e Ana 
fiquem com quantias iguais, Ana tem que dar uma fração do que possui para Pedro. Assinale a opção 
que indica essa fração.
a) 1/3 b) 1/6 c) 2/3 d) 2/5 e) ½
 5)(FGV-2021) Vera comprou uma mercadoria pagando R$ 150,00 no ato da compra e uma 
parcela de R$ 189,00 um mês após a compra. Sabe-se que a loja cobra juros de 5% ao mês sobre o saldo 
devedor. Se tivesse comprado a mercadoria à vista, Vera teria pago, em reais:
a) 320,00 b) 329,55 c)330,00 d)335,25 e)350,00
 6)(FGV-2021) Um grupo de 10 amigos, em que o mais novo tem 55 anos, constatou que a média 
de suas idades é 64 anos. Se o mais novo e o mais velho saírem do grupo, a média das idades dos oito 
restantes continua sendo 64. A idade do mais velho é
a) 69 b) 70 c) 71 d) 72 e) 73
 7)(FGV-2021) Joana deu 1/4 das cartas que possuía para Ângela. Das cartas que sobraram, ela 
deu 1/3 para Roberto. Finalmente, das cartas restantes ela deu a metade para Júlia. Em relação à 
quantidade inicial, assinale a opção que indica a quantidade de cartas, em porcentagem, que sobrou 
para Joana.
a)10 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35
 8)(FGV-2021) Carlos tem cartas azuis e vermelhas, apenas. O número de cartas azuis é o triplo do 
número de cartas vermelhas. Carlos dá 8 cartas
de cada cor para sua irmã Glória. Agora, o número de cartas azuis que Carlos tem é o quíntuplo do 
número de cartas vermelhas. O número de cartas azuis que Carlos tem agora é :
a)25 b)30 c) 35 d) 40 e) 45
 9)(FGV-2021) Duas urnas contêm a mesma quantidade de fichas. Nas duas urnas só há fichas 
vermelhas ou azuis. Na primeira urna, a razão do número de fichas vermelhas para o número de fichas 
azuis é de 5:1 e, na segunda urna, de 3:1. No total, há 45 fichas azuis. O total de fichas vermelhas é:
a) 180 b) 175 c) 171 d) 165 e) 162
111
 10)(FGV-2021) Na figura a seguir, todos os segmentos são iguais e todos os ângulos são retos.
 
 
O perímetro dessa figura é de 96 cm.A área dessa figura, em cm2, é
a) 300 b) 320 c)350 d) 360 e) 400
 11)(FGV-2021) Débora fez uma maquete de um condomínio na escala 1:150. No condomínio há 
uma praça quadrada com 900 m2 de área. Na maquete, essa praça é um quadrado de lado 
a) 30cm b) 27cm c) 25cm d) 20cm e) 15 cm
 
 12)(FGV-2021) Em um colégio, ¼ dos alunos da Turma A e 2/5 dos alunos da Turma B foram 
infectados com a Covid-19. Sabe-se que o número de alunos infectados da Turma A é igual ao número 
de alunos infectados da Turma B. Em relação ao total de alunos das Turmas A e B, os infectados com a 
Covid-19 representam:
a)13/20 b) 19/20 c) 2/9 d) 4/13 e) 9/20
 13)(FGV-2021) Renato pagava de aluguel 25% do seu salário. Certo dia ele foi promovido na 
empresa onde trabalha e passou a ganhar 40% amais do que ganhava antes. A porcentagem que o 
valor do aluguel representa do seu novo salário é de, aproximadamente:
a) 12% b)14% c) 16% d) 18% e) 20%
 14)(FGV-2021) No ano de 2023 o dia 01 de janeiro será um domingo. Nesse ano, o dia 10 de abril, 
que é o centésimo dia do ano, cairá em uma:
a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) sexta-feira e) quinta-feira
 15)(FGV-2021) No quadriculado abaixo um polígono foi desenhado no interior do retângulo.
 
 
A porcentagem que a área do polígono representa da área do retângulo é
a) 40% b) 42,5% c) 45% d) 47,5% e) 50%
 16)(FGV-2021) Maria recebeu certo valor em moeda corrente. Dessa quantia, ela depositou 25% 
na poupança e gastou a terça parte do restante em compras. Sabendo que Maria ficou com R$1870,00, 
a quantia que ela recebeu foi de
a) R$3560,00 b) R$3680,00 c) R$3800,00 d) R$3620,00 e) R$3740,00
 17)(FGV-2021) Em um jantar estão presentes 50 pessoas sentadas em mesas, algumas de 5 
lugares, outras de 6 lugares. O número de mesas de 5 lugares é
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
 18)(FGV-2021) Um posto de gasolina possui três tanques, A, B e C, de mesma capacidade. Em 
certo momento, o tanque A tinha 860 litros de gasolina, o tanque B tinha 1410 litros e o tanque C estava 
vazio. Chega, então, um caminhão tanque com 10.000 litros de gasolina e o gerente do posto pediu 
que esse combustível fosse distribuído pelos três tanques, de forma que os três tanques ficassem 
com a mesma quantidade de gasolina. Assinale a opção que indica a quantidade de gasolina que foi 
colocada no tanque B, em litros, foi:
a) 2460 b) 2680 c) 3230 d) 4090 e) 4743
112
 10)(FGV-2021) Na figura a seguir, todos os segmentos são iguais e todos os ângulos são retos.
 
 
O perímetro dessa figura é de 96 cm.A área dessa figura, em cm2, é
a) 300 b) 320 c)350 d) 360 e) 400
 11)(FGV-2021) Débora fez uma maquete de um condomínio na escala 1:150. No condomínio há 
uma praça quadrada com 900 m2 de área. Na maquete, essa praça é um quadrado de lado 
a) 30cm b) 27cm c) 25cm d) 20cm e) 15 cm
 
 12)(FGV-2021) Em um colégio, ¼ dos alunos da Turma A e 2/5 dos alunos da Turma B foram 
infectados com a Covid-19. Sabe-se que o número de alunos infectados da Turma A é igual ao número 
de alunos infectados da Turma B. Em relação ao total de alunos das Turmas A e B, os infectados com a 
Covid-19 representam:
a)13/20 b) 19/20 c) 2/9 d) 4/13 e) 9/20
 13)(FGV-2021) Renato pagava de aluguel 25% do seu salário. Certo dia ele foi promovido na 
empresa onde trabalha e passou a ganhar 40% amais do que ganhava antes. A porcentagem que o 
valor do aluguel representa do seu novo salário é de, aproximadamente:
a) 12% b)14% c) 16% d) 18% e) 20%
 14)(FGV-2021) No ano de 2023 o dia 01 de janeiro será um domingo. Nesse ano, o dia 10 de abril, 
que é o centésimo dia do ano, cairá em uma:
a) segunda-feira b) terça-feira c) quarta-feira d) sexta-feira1,7161=1,7. Veja: 
11
 
65,5 65,5 65,5
2 1,31 . 1,31 1
divisão
multi
,7161(1,31)
65,5 65,5 655 38
1,7
plicação
divisã
1,7 7
o
1
= = 

 = =


 
 Ex4.: Um retângulo possui área igual a 259,056 cm2. Sabendo que um de seus lados mede 15,42 
cm, qual é a medida do outro lado?
a)1,68cm b)16cm c)16,8cm d)168cm 
Sabe-se que por S= comprimento x largura.
259,05615,42 259,056
15,42
259,056 259056 16,8
15,42 10 5420
x lado lado
lado lado lado cm
= ∴ =
= ∴ = ∴ =
Transformar um número decimal em fração

 
3
númerosem vírgula 150,015
100... . 1 000
Nº de zeros = nº casas 3̀
c c
casas
asas
= =
Outros exemplos:
12 30,12 0,3
100 10
1154 124211,54 124,2
100 10
= =
= =
Dividir quando o denominador for fração: Repete o numerador e multiplica-se pelo 
inverso do denominador.
.valor bvalora a
b
=
 Ex: 
20 5 10020. 254 4 45
= = =
12
Veja esta questão: Dividir um número por 0,025 é o mesmo que multiplicá-lo por:
 
 a) 2,5 b) 4 c) 40 d) 400 e) 1000
Solução:
 
1000. .400250,025 25
1000
N N N N letra c= = =
Assim, podemos lembrar deste macete:
é maior que N
0,?
.0,? é que N
N O resultado
N O resultado menor
=
=
E se for 1,? 2,? 3,? .....
é que N
1,?
.1,? é que N
N O resultado menor
N O resultado maior
=
=
Vamos entender melhor este macete:

80 . 0,12 é menor que 80
80.0,12 80.12 960 9,60
80 é maior que 80
0,12
80, 8000 666
0,12 12
00
regras da
multiplicaçao
regras da
divisao
o resultado
o resultado
= = =
= =

Portanto, multiplicar nem sempre faz crescer e dividir, nem sempre faz diminuir.
 Ex. Na figura estão representados os n° reais O, X, Y e I. Qual a posição do número x.y?
 
 a) a esquerda de 0 d) entre 0 e x
 b) entre x e y e) entre y e 1
 c) a direita de 1 
Solução: Repare que x e y são números entra 0 e 1, isto é, 0,?. Vamos chutar valores
X=0,4 e y=0,8 Assim, a multiplicação de x.y é: 
. 0,8.0, 4 0,32 é menor que x e y
0,32é menor que0,40
x y
Lembrando que
= =
x.y está entre a e x. Resposta: LETRA D
13
Dízimas Periódicas passando para fração:
Lembrando que estão classificadas dentro do conjunto dos números racionais.
0,222... 0,125125.... 0,12555.....
0,151515... 0, 233.... 1, 222......
0,122525.... 2,355... 2,1212.....
Primeiro devemos conhecer a parte que se chama período: é a parcela de algarismos que se repete.
2 125 5
15 3
0,22 ... 0,125 .... 0,1255 .....
0,1515 ... 0, 23 .... 1, 22 ......
0,1325 .... 2,35 ... 2,12
2
25 5 12.....
E a parte chamada não período: é a parcela de algarismos que não repete.
0,222... 0,125125.... 0, 555.....
0,151515... 0, 33.... 222......
0, 2525.... 55..
12
2 1,
13 2,3 2. ,1212.....
Repare que quando existir só período, a dízima será simples e quando aparecer período e não período 
a dízima será composta.
Transformação em fração de dízima simples:
2 125
15 12
í ( ):
lg íodo
2 1250,22 0,125 ...
9 999
15 12500,15 ... 0,1250 ...
99 99 9
50
9
per odo n que repetesimples
a quantidade de noves correspondente
a quantidade de a arismos do per
°
= =
= =
Transformação em fração dízima composta:
( )não é multiplicação é
(não í ) ( í ) (não í )
lg
íodo e
lg
juntar os elementos
per odo per odo per odo
n de noves correspondente a quantidade de a arismos
formado pelo per n de zeros correspondente a
quantidade de a arismo
−
=
°
°

não í
23 2 21 123 12 1110, 33 ... 0, 3 ...
90 90 900 900
1325 13 13120, 25 ...
9900 9
2 3 12 3
13 2
900
5
s formado pelo per odo
− −
= = = =
−
= =
 Obs.: dízimas compostas contendo parte inteira: inteira não põe nada no denominador.
12 1,22 ... ( inteira não põe nada)
9
235-23 21255 ...= ( inteira não põe nada)
90 90
212-2 210,12 ...= ( inteira não põe nada)
9
1 2
2,3 5
2 12
9 99
a parte
a parte
a parte
−
=
=
=
14
 Ex. Resolva e expressão: 0,444...
Solução:
 
4 20,444...
9 3
= =
 
 Ex.(TJ CE – ESAF). Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646… em representação decimal?
a) 2.521 / 990 
b) 2.546 / 999 
c) 2.546 / 990 
d) 2.546 / 900 
e) 2.521 / 999
Solução:
2546 252,5 4 252146 ...
990 90
6
9
−
= =
Exercícios
1) Determine o valor das seguintes expressões numéricas:
a) 0,3 x 0,4 + 3,7 =
b) 1,5 x 2,4 - 1,6 =
c) 5,6 + 3,2 x 0,4 + 2,8 =
d) 1,2 x 3,5 + 2,1 x 0,9 =
e) (1,1)3=
f) (1,05)2=
2) Qual é o resultado da expressão (0,012 + 1,5) : 1,68? 
a) 1,512 b)1,3 c)0,9 d)0,68 e)0,027
3) Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05, obtém-se: 
a) 28 b) 35 c) 280 d) 560 e) 2,8
4) Uma pessoa comprou uma dúzia de enfeites. Pagou R$ 18,24 pela compra. Quanto pagou em cada 
enfeite?
a) 0,85 b) 1,12 c) 1,00 d) 1,52 e) 2,25
5) Para cobrir um piso de 8 metros quadrados foram usadas 32 lajotas de mesma área. Qual a área, em 
metros quadrados, de cada lajota?
a) 0,12 b) 0,25 c) 1,12 d) 1,50 e) 1,85
6) Um certo número de caixas foi colocado em uma balança. Todas as caixas têm o mesmo peso: 1,5 
quilograma. Se a balança marcou 24 quilogramas, quantas caixas foram colocadas na balança?
a) 5 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16
7) Em 1º de março de 2005, um dólar valia R$ 2,66. Se nessa época você comprasse 75 dólares, quantos 
reais você gastaria?
a) 199,50 b) 155,50 c) 169,50c d) 188,50
8) Alguns amigos resolvem comprar, em sociedade, uma mesa de ping-pong. Cada um deles possui, 
exatamente, R$ 85,50. Quantos deverão ser esses amigos se a mesa custar R$ 427,50?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
9) Um prédio tem 20 andares. Cada andar tem 3,75 m de altura. Qual é a altura do prédio?
a) 50 b) 65 c) 75 d) 95 e) 10
15
10) Num supermercado o preço do feijão é de R$ 2,35, o preço do arroz é de R$ 1,75e o preço da fari-
nha de mandioca é de R$ 2,08. Se forem adquiridos os três produtos e pagarmos com uma nota de R$ 
10,00, quanto se receberá de troco?
a) R$3,82 b) R$3,12 c) R$2,62 d) R$3,02
11) Um comerciante comprou 72 quilogramas de azeitonas. Para vende-las, colocou-as em baldes, 
cada um com 2,5 quilogramas de azeitonas. Fazendo isso, ainda sobraram alguns quilogramas.
a) Quantos baldes foram necessários para acondicionar as azeitonas?
b) As azeitonas que sobraram foram colocadas em outro recipiente. Quantos quilogramas foram 
acomodados nesse outro recipiente?
12) Resolva: [ (0,5)² ∙ (0,2)³] : (0,1)³
Gabarito: 
1: a) 3,82 b) 2 c) 9,68 d)6,09 e)1,331 f) 1,1025
2) C 3) A 4) D 5) B 6) E 7) A 8) A 9) C 10) A 11) 28 e 2 12) 2
16
RAZÃO ERAZÃO E
PROPORÇÃOPROPORÇÃO
17
 RAZÃO E PROPORÇÃO
 Agora que lembramos números, vamos entrar no primeiro tópico do edital do seu concurso.
Macete: Inicialmente, aprenderemos que as preposições de, do ou da, representam muitas vezes a mul-
tiplicação entre dois termos.
 Ex 1. Quanto vale? 4 $60,00
5
de R
ção:
4 240.60 $48,00
5 5
Solu
R= =
 
 Ex 2. Quanto vale 
2 3 $20,00
3 5
de de R
ção:
2 3 120. .20 $ 8,00
3 5 15
Solu
R= =
 Ex 3. Resolva 8% de 15% de 10% de R$ 5.000,00
ção:
8 15 10. . .5000 $6,00
100 100 100
Solu
R=
Razão
É uma fração em que o primeiro termo mencionado será o numerador (antecedente) e o segundo 
termo mencionado será o denominador (consequente).
Razão entre a (1º termo) e b (2º termo)= 
a
b
Ex4. Júnior comprou uma casa por R$ 36.000,00 e vendeu-a por R$ 42,000,00. A razão entre o lucro e o 
preço da venda dessa casa é de:
a) 6/7 b) 7/6 c) 1/7 d) 6 e) 7
Solução: O que foi mencionado em primeiro lugar foi lucro e mencionado em segundo o preço da 
venda. Logo, a razão será lucro sobre o preço da venda.
 
Macete: Agora, vamos resolver exercícios com fração por meio de uma técnica que faz eliminar as 
frações. Para isso, representaremos os elementos da razão (fração) da seguinte maneira:
A 1º palavra referenciada no exercício será representada pelo numerador com uma incógnita 
(usaremos a letra x) e a segunda palavra mencionada será representada pelo denominador com a 
mesma incógnita. Veja este exemplo para melhor entendimento:e) quinta-feira
 15)(FGV-2021) No quadriculado abaixo um polígono foi desenhado no interior do retângulo.
 
 
A porcentagem que a área do polígono representa da área do retângulo é
a) 40% b) 42,5% c) 45% d) 47,5% e) 50%
 16)(FGV-2021) Maria recebeu certo valor em moeda corrente. Dessa quantia, ela depositou 25% 
na poupança e gastou a terça parte do restante em compras. Sabendo que Maria ficou com R$1870,00, 
a quantia que ela recebeu foi de
a) R$3560,00 b) R$3680,00 c) R$3800,00 d) R$3620,00 e) R$3740,00
 17)(FGV-2021) Em um jantar estão presentes 50 pessoas sentadas em mesas, algumas de 5 
lugares, outras de 6 lugares. O número de mesas de 5 lugares é
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
 18)(FGV-2021) Um posto de gasolina possui três tanques, A, B e C, de mesma capacidade. Em 
certo momento, o tanque A tinha 860 litros de gasolina, o tanque B tinha 1410 litros e o tanque C estava 
vazio. Chega, então, um caminhão tanque com 10.000 litros de gasolina e o gerente do posto pediu 
que esse combustível fosse distribuído pelos três tanques, de forma que os três tanques ficassem 
com a mesma quantidade de gasolina. Assinale a opção que indica a quantidade de gasolina que foi 
colocada no tanque B, em litros, foi:
a) 2460 b) 2680 c) 3230 d) 4090 e) 4743
113
 19)(FGV-2021) Uma máquina trabalha continuamente produzindo 1 objeto a cada 22 minutos. O 
tempo necessário para que essa máquina produza 25 objetos é:
a) 7h32min b) 8h24min c) 8h48min d) 9h00min e) 9h10min
 20)(FGV-2022) Mário e Jorge jogam um jogo de perguntas e respostas. Cada jogador 
escolhe o número de perguntas que deseja responder e, a seguir, as perguntas são apresentadas 
sequencialmente. Para cada resposta certa, o jogador ganha 5 pontos, e para cada resposta errada ou 
pergunta não respondida, o jogador perde 3 pontos. Mário escolheu responder 20 perguntas e acertou 
exatamente 14 delas. Jorge escolheu responder 28 perguntas e fez o mesmo número de pontos que 
Mário. O número de perguntas que Jorge acertou foi: 
a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19
 21)(FGV-2022) Sabe-se que o número X representa 20% do número Y.A metade do número X, em 
relação ao dobro do número Y, representa: 
a)40% b) 25% c) 20% d) 10% e) 5%
 22)(FGV-2022) Um acionista investiu em quatro ações da carteira de energias renováveis e o 
quadro abaixo mostra o percentual investido em cada ação e o respectivo retorno anual. 
 
O retorno anual esperado pelo acionista é de:
a) –0,1% b) –0,75% c) –1,0% d) 2,0% e) 9,0%
 23)(FGV-2022) Um pote contém entre 150 e 200 balas. Miguel reparou que separando essas 
balas em grupos de 5 sobravam 2 balas, e que, separando em grupos de 7, sobravam também 2 balas.
Se Miguel separasse as balas em grupos de 9 balas, sobrariam
a) 0. b) 2. c) 4. d) 6. e) 8.
24) (FGV-2022) Rafael possui no bolso exatamente 16 notas, umas de 2 reais, as outras de 5 reais, 
totalizando a quantia de 53 reais.O número de notas de 2 reais que Rafael tem no bolso é
a) 5. b) 6. c) 7. d) 8. e) 9. 
25) (FGV-2022) A figura abaixo mostra um sombreado desenhado sobre um polígono quadriculado 
(papel coberto com linhas horizontais e verticais formando pequenos quadrados iguais).
 
O perímetro do polígono é de 132 cm.A área desse polígono, em cm2 , é igual a
a) 468 b) 504 c) 540 d) 576 e) 612
 26)(FGV-2022) Em certa quinta-feira o gerente de uma loja pediu ao seu funcionário para, com 
sua calculadora, multiplicar os preços de todos os produtos por 0,78, pois o dia seguinte seria a sexta-
feira dos descontos.O desconto que a loja estava oferecendo era de
a) 0,78% b) 78% c) 0,22% d) 22% e) 2,2%
 27)(FGV-2022) Em um saco há 180 bolinhas, umas brancas, outras pretas e não há bolinhas de 
outra cor. Das bolinhas do saco, 60% são pretas. São retiradas N bolinhas brancas do saco e, então a 
porcentagem de bolinhas pretas do saco passou a ser de 80%. O valor de N é:
a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 45
 
114
 28)(FGV-2022) Uma delegacia possui 12 carros para as patrulhas diárias e a garagem tem 
combustível suficiente para todos por 42 dias. Entretanto, soube-se que 2 carros estão com problemas 
mecânicos e não serão utilizados durante dois meses. O combustível que a garagem possui poderá 
abastecer todos os carros restantes por, no máximo, em dias:
a) 35 b) 42 c) 45 d) 50 e) 55
 29)(FGV-2022) A figura abaixo mostra uma linha poligonal desde o ponto A até o ponto B 
(desenhada sobre um quadriculado. O lado de cada quadradinho do quadriculado mede 1 unidade.
 
O comprimento dessa linha poligonal é:
a) 26 b) 28 c) 30 d) 31 e) 32
 30)(FGV-2022) A médica do hospital da corporação recebeu um lote de comprimidos de 
complementos vitamínicos que estimou ter mais que 150 e menos que 200 comprimidos. Ela decidiu 
separá-los em grupos pequenos e percebeu que, separando em grupos de 7 sobravam 3 comprimidos 
e, separando em grupos de 12 sobravam, também, 3 comprimidos.
O número de comprimidos desse lote era:
a) 164 b) 168 c) 171 d) 177 e) 182
 31)(FGV-2022) O polígono da figura abaixo tem todos os ângulos retos e representa a planta de 
uma casa construída junto a um muro.
 
No ponto A está o registro de entrada da água da rede de abastecimento e no ponto B a entrada para 
o abastecimento da cisterna. As medidas do desenho estão em metros e todos os elementos estão em 
um plano horizontal. O menor comprimento de uma mangueira que possa ligar os pontos A e B é de:
a)28m b) 29m c) 31m d) 33m e) 34m
 32)(FGV-2022) Ana, Beatriz e Clara pensam, cada uma, em um número racional. O número 
pensado por Ana é um a mais do que o triplo do número pensado por Beatriz. O número pensado por 
Beatriz é dois a menos do que o dobro do número pensado por Clara. O número pensado por Clara é 
dois a mais do que a metade do número pensado por Ana. A soma dos três números pensados por elas 
é:
a) 10 b) 5/2 c) –19/4 d) –13/2 e) −3
 33)(FGV-2022) João e Tereza estão saindo de uma festa ao mesmo tempo e ambos desejam 
pegar um táxi para voltar para casa. Consultando seus aplicativos, Tereza descobre que seu táxi 
custará R$ 24,00 e João é informado que seu táxi custará R$ 36,00. Como o caminho até a casa de João 
passa em frente à casa de Tereza, eles resolvem dividir um mesmo táxi e combinam a divisão do preço 
da corrida mais longa. O acordo é que o valor da corrida única será dividido proporcionalmente ao que 
cada um gastaria, caso fizessem corridas individuais. O valor, em reais, que Tereza tem que pagar para 
cumprir o acordo é:
a) 20,00 b)12,50 c) 21,10 d) 18,00 e) 14,40
115
 34) (FGV-2022) Um robô explorador de terreno foi programado para executar os seguintes passos: 
(1) Ande x metros em frente, em linha reta. 
(2) Colha uma amostra do terreno. 
(3) Gire 90° para a esquerda. 
(4) Modifique o valor de x para 2x. 
(5) Volte para o passo (1) e repita a seqüência de passos.
Antes de começar a exploração, o valor inicial de x é ajustado para 1. O robô inicia então sua exploração 
e, depois de colher 5 amostras do terreno, fica sem bateria e para. A distância, em metros, do ponto de 
partida ao de parada do robô situa-se entre:
a) 21 e 22 b)19 e 20 c)15 e 16 d)17 e 18 e)14 e 15
 35)(FGV-2022) Alda possui R$ 247,00 e seu irmão Mílton possui R$ 170,00.Alda, então, dá a Mílton 
a quantia de Q reais, de modo que Mílton passa a ter o dobro da quantia de Alda. O valor de Q, em 
reais, é:
a) 108 b) 247 c) 139 d) 119 e) 17
 36)(FGV-2022) Na academia de ginástica GinGym, há atualmente 200 alunos. Todos estão 
matriculados em Musculação ou Yoga. Desses, 110 estão matriculados apenas nas aulas de Musculação, 
e 70 estão matriculadosapenas nas aulas de Yoga. O mês corrente é o aniversário da GinGym e, 
para comemorar (e alavancar a academia nas redes sociais), será feito um sorteio, escolhendo se 
aleatoriamente um entre seus 200 alunos. Este aluno terá gratuidade por um ano em todas as 
atividades em que está atualmente matriculado. A probabilidade de que ele esteja matriculado nas 
duas atividades é: 
a) 5% b) 7% c) 10% d) 15% e) 20%
 37)(FGV-2022) Bob e seu canguru, Gordon, passeiam por uma estrada em linha reta onde há 
uma seqüência de postes igualmente espaçados. Bob dá 65passos para percorrer a distância entre 
2 postes consecutivos e Gordon dá 40 pulos para percorrer a mesma distância. A distância entre o 
primeiro poste e o vigésimo quinto poste é 1.248 metros. A diferença, em centímetros, entre um pulo 
de Gordon e um passo de Bob é:
a) 25 b) 50 c) 40 d) 55 e) 48
 38)(FGV-2022) Em certa pizzaria, utiliza-se 0,4 kg de farinha e 0,2 kg de queijo para fazer a 
pizza simples. Já para fazer a pizza especial utiliza-se 0,5 kg de farinha e 0,3 kg de queijo. Em certa 
noite foram feitas pizzas simples e especiais, mas os dados de vendas foram perdidos. No entanto, 
examinando o estoque, notou-se que naquela noite foram usados 40 kg de farinha e 22 kg de queijo. 
Supondo que as receitas de pizza simples e pizza especial tenham sido seguidas à risca, quantas pizzas 
simples foram vendidas naquela noite?
a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60
 39)(FGV-2022) Uma folha de papelão quadrada teve os cantos removidos para que pudesse ser 
dobrada de modo a formar uma caixa sem tampa, como mostra a figura. Cada canto removido é um 
quadradinho de lado 2,5 cm. A área da folha, já descartando os cantos removidos, é de 144 cm2. O valor 
de x, correspondente ao lado da base da caixa em centímetros, é:
 
 
a) 6 b) 9 c) 8 d) 7 e) 5
116
 40)(FGV-2022) Janaína tem um certo número de cartas de baralho. Mariana tem o dobro de 
Janaína e mais 3 cartas. Regina tem mais cartas do que Mariana e menos do que o triplo do que 
Janaína, mais uma. Se Mariana tem 7 cartas a mais do que Janaína, então o número de cartas que 
Regina tem é:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
Gabarito:
1- C 11- D 21- E 31- A
2- B 12- D 22- A 32- C
3- D 13- D 23- D 33- E
4- B 14- A 24- E 34- E
5- C 15- C 25- C 35- C
6- E 16- E 26- D 36- A
7- C 17- A 27- E 37- B
8- D 18- B 28- D 38- C
9- C 19- E 29- D 39- C
10- B 20- C 30- C 40- B
CONTEÚDO DIDÁTICO ELABORADO POR PROFº ADRIANO ARAÚJO
11718
Observe que Pedro foi mencionado primeiro e João foi mencionado em segundo. Logo, teremos as 
representações:
 
A mesma maneira quando a fração aparece no meio das duas palavras. Veja:
 
 
 Ex 5. Pedro e Paulo são irmãos. A razão entre as quantidades de dinheiro que cada um possui é 
igual a 3/5. Qual é a maior das quantias sabendo-se que a diferença entre elas é igual a R$36,00?
a) R$ 284 b) R$ 180 c) R$ 90 d) R$ 36
Solução: 
Vamos representar as quantias de Pedro e Paulo:
Pedro e Paulo são irmãos. A razão entre as quantidades de dinheiro que cada um possui é igual a 
3/5...
Observe que a questão informa a diferença entre eles vale R$ 36,00
 Ex 6. A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior 
deles vale:
a)9 b) 15 c) 24 d) 30 e) 55
 Solução: Representando os números mencionados por:
19
Encontramos um “x” que chamaremos de chave. Logo, os números serão encontrados substituindo a 
chave nas representações:
 
 
 Ex 7. Depois de transcorridos 2/5 de um programa de televisão, ainda faltavam 60 minutos para 
ele terminar. A duração total do programa foi de quantos minutos?
a) 36 b) 60 c) 80 d) 100 e)150
Solução: 
A 1º palavra mencionada foi transcorridos e a 2º palavra mencionada foi programa. Logo:
 
Proporção
É uma igualdade entre duas razões 
a
b
c
d
=
Termos : a e d -> extremos
 b e c -> meios
Propriedade Fundamental
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
 
a
b
c
d
=
 a . d = b . c
Não podemos esquecer que
 db
ca
d
c
b
a
±
±
==
Quarta proporcional
 x
C
B
A
=
 Obs.: Proporção contínua é aquela que tem os meios são idênticos C
B
B
A
=
20
Terceira proporcional.
 x
B
B
A
=
Grandezas diretamente proporcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando-se uma, a outra também 
aumenta na mesma razão, e vice-versa.
 Ex.: Tempo e Distância
 
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando-se uma, a outra diminui na 
mesma razão, e vice-versa.
 
 Ex.: Velocidade e Tempo
Macete: 
Representação dos elementos de uma proporção. É a mesma ideia. O “x” é como se fosse Pedro e y 
como se fosse Paulo no exemplo 5 da página anterior.
 Ex 8. Dadas as razoes 852
zyx
==
 achar y sabendo-se que 5x+2y+3z = 440
a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 50
 
Veja mais exemplos de como representar proporcionalidades.
 • Um número é 2/3 do outro 
As representações são dadas por 2X e 3X
Obs. No exemplo acima, usaremos o mesmo macete aplicado nas questões, lembra?
A 1º palavra ganha o numerador (nº de cima) e a segunda palavra ganha o denominador (nº de baixo)
 
21
Logo, João = 4X e Maria= 5X
 Ex 9. A idade de João é ¾ da idade de Maria. Qual a idade de João se a diferença entre as idades 
é igual a 12.
Solução: Representando as idades teremos:
João = 4X Maria= 5X 
Logo, Esta é a chave para as respostas que, substituindo em João e Maria, teremos 48 anos e 60 
anos.
João = 4X ------> 4 . 12 = 48 anos 
Maria= 5X ------> 5 . 12 = 60 anos
Obs. Alguns livros representam as idades de João e Maria por x e y, ocasionando um sistema do 1º grau.
Mais exemplos frases e suas representações de proporcionalidades:
 • Um número é proporcional a 5 = 5.X
 • Um número é proporcional a 12000= 12.X
Neste último exemplo, não há necessidade de colocar 12000X como proporcionalidade.
Veja estas questões de regra da sociedade:
 Ex 10. Dois sócios tiveram um lucro de R$ 9000,00. O primeiro entrou para a sociedade com R$ 
20.000,00 e o segundo com 5.000 reais a mais que o primeiro. Determine o lucro do maior aplicador.
a) 2000 b) 4000 c) 5000 d) 6000 e) 6500
 
Representaremos o capital de cada um por:
 
O maior aplicador (25x) receberá de lucro R$5000,00. Resposta letra C
 Ex 11. Duas pessoas constituíram uma sociedade: a primeira entrou com um capital de R$ 
5.000.00 e a segunda com R$ 6.000.00 . Um ano depois admitiram um terceiro sócio, que entrou com 
um capital de R$ 10.000.00 . Decorridos 18 meses desde o inicio da sociedade a firma teve um lucro de 
R$ 12.900.00. A parte do lucro que caberá ao terceiro sócio é : 
a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000
Solução
 
22
 Questões que envolve idade de pessoas: 
Macete: A diferença entre as idades de duas pessoas será sempre a mesma no passado, presente e 
futuro. 
Por exemplo: 
Hoje, João tem 15 anos e Alice tem 12 anos. Logo, a diferença de 3 anos será sempre igual no passado, 
no presente e no futuro. 
Esta é a ideia para resolver questões sobre idade. Veja este exemplo:
 Ex 12. A razão entre a idade de um pai e seu filho é de 5/2. Se o pai tinha 21 anos quando o filho 
nasceu, a idade do filho é:
a) 14 b) 16 c) 24 d) 28 e) 35
 
Solução: Representando as idades do pai e do filho:
 
 Mais macetes: Representações de múltiplos.
 • Um número é o dobro do outro: as representações são dadas por X e 2X
 • Um número é o triplo do outro: as representações são dadas por X e 3X
 • Um número é a metade do outro: as representações são dadas por X e 2X
 Obs. Alguns livros representam por X e X/2 ou representam por
 • Um número é um terço do outro: as representações são dadas por X e 3X
 • Um número é um quinto do outro: as representações são dadas por X e 5X
 • Um número está para o outro assim como 3 está para 7: as representações são dadas por 3X e 
7X
 • Um número é proporcional a 1,2: a representação é dada por 12X
 
 
Neste caso, as representações são dadas por: 
 
 Andei=3x Estrada=5x
Segue o mesmo raciocínio das questões anteriores.
23
 Questões que envolve idade de pessoas: 
Macete: A diferença entre as idades de duas pessoas será sempre a mesma no passado, presente e 
futuro. 
Por exemplo: 
Hoje, João tem 15 anos e Alice tem 12 anos. Logo, a diferença de 3 anos será sempre igual no passado, 
no presente e no futuro. 
Esta é a ideia para resolver questões sobre idade. Veja este exemplo:
 Ex 12. A razão entre a idade de um pai e seu filho é de 5/2. Se o pai tinha 21 anos quando o filho 
nasceu, a idade do filho é:
a) 14 b) 16 c) 24 d) 28 e) 35
 
Solução: Representando as idades do pai e do filho:
 
 Mais macetes: Representações de múltiplos.
 • Um número é o dobro do outro: as representações são dadas por X e 2X
 • Um número é o triplo do outro: as representações são dadas por X e 3X
 • Um número é a metade do outro: as representações são dadas por X e 2X
 Obs. Alguns livros representam por X e X/2 ou representam por
 • Um número é um terço do outro: as representações são dadas por X e 3X
 • Um número é um quinto do outro: as representações são dadas por X e 5X
 • Um número está para o outro assim como 3 está para 7: as representações são dadas por 3X e 
7X
 • Um número é proporcional a 1,2: a representação é dada por 12X
 
 
Neste caso, as representações são dadas por: 
 
 Andei=3x Estrada=5x
Segue o mesmo raciocínio das questões anteriores.
24
 Ex 12. A altura de um retângulo é 1/5 de sua base. Se o perímetro do retângulo é igual a 48 cm. 
Calcule a área desse retângulo.
Solução: 
Lembrando que perímetro de figura plana é a soma de todos os lados.
Representando a base e a altura por:
 
 
Até aqui, vimos questões que envolvem apenas 1 fração. Agora, passemos a entender exercícios com 
duas ou mais frações.
Proporcionalidades entre duas ou mais frações:
Obs. Este macete é aplicado em questões com duas ou mais frações e não informa o “todo”. Mas o que 
é este “todo”? 
Vamos entender o fragmento de uma questão:
“Gastei 2/5 do meu salário e depois gastei 1/3....”
Como representar o “todo” (meu salário)?
Para calcular o “todo” da questão, basta multiplicar os denominadores (5 e 3) das frações.
 Todo (salário) = 15xAinda podemos representar as partes que eu gastei: o 1° gasto e 2° gasto
 
(salário) = 15x
21º .15 6
5
12º .15 5
3
Todo
gasto x x
gasto x x
= =
= =
 • Lembrando que a maneira normal que encontramos em livros é da forma:
 
2 1. . ( 5 3)
5 3
x x deve se usar mmc entre e+ −
Vamos em mais um exemplo de fragmento de uma questão:
“Andei 3/7 do meu salário e depois gastei 1/3...”
Veja: Para calcular o todo da questão, basta multiplicar os denominadores das frações.
25
 
Todo (estrada)= 21x
3Andei = .21x (1ºparte da caminhada) = 6x
7
1Andei = .21x (2ºparte da caminhada) = 7x
3
Lembrando que de, do ou da é o mesmo 
que multiplicação.
Vamos em questões para ver na prática.
 Ex 13. Uma pessoa foi ao mercado com uma certa quantia. Gastou 1/5 em verduras e 2/3 em 
frutas. Voltou para casa com R$ 30,00. Qual a quantia inicial dessa pessoa?
a) 75 b) 100 c) 150 d) 205 e) 225
Solução:
 
Obs. Este método nos dá a possibilidade de encontrar outras perguntas. Basta, inserir a chave no local 
que ele perguntar. 
 Por exemplo:
 Qual o valor gasto em verduras? 
 
Resposta: 3X, ou seja, 3x15 que é igual a R$45,00
 Qual o valor gasto em frutas? 
Resposta: 10X ou seja, 10 vezes chave=R$150,00
Muito cuidado: 
Às vezes, a segunda fração aparece antes das seguintes expressões: “ do restante”, “do que lhe sobra”, 
“do que falta”, etc...
Veja este fragmento de uma questão:
26
 
 Ex 14. Uma pessoa gasta 1/3 do dinheiro que tem; em seguida gasta 3/4 do que lhe sobra. 
Sabendo-se que ainda ficou com R$12,00, podemos afirmar que tinha inicialmente:
a) menos do que R$ 50 
b) mais do que R$ 80
c) mais do que R$ 100 
d) menos do que R$ 90
Solução:
 
Importante: Como transformar, em fração, um “pedaço” de um todo?
 
 Ex 13. João comeu 1/3 de um bolo e Maria comeu 2/5 do resto. A fração que sobrou do bolo é:
a) 3/5 b) 4/15 c) 2/5 d) 11/15
27
Solução:
 
 Ex. Uma loja vendeu 2/5 de uma peça de tecido e depois 5/12 do restante. O que sobrou foi 
vendido por R$ 1400,00. Sabendo-se que o tecido foi vendido a R$ 5,00 o metro, o comprimento inicial 
da peça era de?
a) 200m b) 400m c) 800m d)1200m e)1600m
Solução:
 
" "( )
60 ( denominadores)
21º .60 24
5
60 24 36 39
52º .36 15
12
21 ( :60 39 )
Vamos representar o total comprimento inicial
tecido x multiplicaçao dos
venda x x
resta x x x todas as vendas x
venda x x
sobrou x total menos as vendas x x
→
= = 

= − = 

= =

= −
:Aquestao fala que foi vendido o que sobrou por
 
1400 4021 .5 1400 105 1400
105 3
13,33
:
.
40. ( )
3
4060 60.
3
800
x x x
x
macete Não use a chave em
forma de dízima Quando não for inteira
coloque em forma de fração x chave
O comprimento inicial é x total
total metros
= ∴ = ∴ = =
=
=
→ =
=
 
 Ex.Zeca pescou um dourado que “só de rabo, media 22 cm!!” A cabeça era a quarta parte do 
corpo mais o corpo. O corpo era a quarta parte da cabeça mais o rabo. Afinal, de que tamanho era o 
dourado que o Zeca pescou?
a) 34cm b) 40cm c) 42cm d) 48cm e) 94cm
28
Veja a solução:
1 1:
4 4
" " .
16 .
1 .16 16 4 16 20
4
1 .20 22 5 22
4
, :
2216 5 22 11 22 2
11
Percebemos que tem duas frações e
informou quarta parte duas vezes
O corpo x
A cabeça x x z x x
O corpo x x
igualando as duas formas decorpo temos
x x x x x
Tam

 =

 = + ⇒ + =

 = + ⇒ +
= + ⇒ = ⇒ = ∴ =
36 22
36.2 22 72 22 94
2120 6 2
anho do peixe
Tamanho do peixe x
Tamanho do pei
corp
xe cm
rabcabeça oo
xx
= + +
= + + = +
= + = + =
 Ex. Numa caminhada, Marli percorreu 5/8 do percurso até uma primeira parada. Em seguida, 
ela percorreu mais 1/4 do percurso até uma segunda parada. Sabendo que Marli já percorreu 2.450m, 
quantos metros ainda faltam ser percorridos até o final do percurso?
a) 340 b) 350 c) 360 d) 370 e) 380
 
32
51º .32 20
8
12º .32 8
4
4
2.450 :
2450 17528 2450 ( )
28 2
4
1754.
2
Total do percurso x
parada x x
percorreu
parada x x
falta para terminar x
Já percorreu m igualando temos
x x x chave
falta para terminar x
falta para terminar
=
 = =

 = =

=
∴
= ∴ = ⇒ =
=
= 350m=
 Ex. Duas jarras iguais contêm misturas de álcool e água nas proporções de 3:7 na 1º jarra e 3:5 
na 2º jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras, obteremos uma mistura de álcool e água na 
proporção de:
a) 9:35 b) 3:5 c) 7:13 d) 21:35 e) 27:53
 
29
Exercícios
 1) O perímetro de um retângulo é 80cm e a base é os 5/3 de sua altura. A área desse retângulo, 
em cm2, é:
a) 25 b) 125 c) 375 d) 625 e) 850
 2) Uma pessoa gastou 5/8 de seu dinheiro e ainda ficou com R$ 600,00. Essa possuía, em 
cruzeiros reais, quantia de:
a) R$ 1.600,00 b) R$ 1.800,00 c) R$ 2.000,00 d) R$ 2.400,00 e) R$ 2.800,00 
 3) A capacidade do tanque de combustível de um carro é de 56 litros. As figuras mostram o 
medidor nos momentos de partida e chegada de uma viagem feita por esse veículo cuja média de 
consumo, na estrada, foi de 14 km/l.
A distância percorrida pelo carro, em km, foi de:
a) 380 b) 450 c) 490 d) 550
 4) Numa escola , o número de rapazes é o triplo do números moças e este é nove vezes o 
número professores . Se , nesta escola , há 1152 alunos, incluindo moças e rapazes , o número de 
professores é igual a:
a)32 b) 64 c) 70 d) 128 e) 288
 5) Paulo ficou de sua vida como civil, como militar na ativa e ainda viveu 7 anos. Com que 
idade Paulo faleceu ? 
a) 84 anos b) 72 anos c) 68 anos d) 62 anos e) 56 anos
 6) A razão entre o número de homens e de mulheres , funcionários da firma W , é 3/5 . Sendo 
N o número total de funcionários ( números de homens mais o números de mulheres ) , um possível 
valor para N é :
a) 46 b) 49 c) 50 d) 54 e) 56
 7) Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas :a primeira recebeu 1/4 do valor do 
prêmio , a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$1.000,00. Então , o valor desse prêmio , em reais, 
era de :
a) R$ 2.400,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 1.400,00 d) R$ 2.200,00 e) R$ 1.800,00 
 8) Os funcionários de uma repartição pública realizaram a análise de um lote de processos 
em três dias. No primeiro dia, foram analisados 1/4 do total de processos no lote. No segundo dia, 
foram analisados 2/7 do restante. No terceiro dia, restou a análise de 105 processos. O número total de 
processos analisados nesses três dias foi de:
a) 140 b) 294 c) 196 d) 147 e) 210
 9) Em um tanque, havia jacarés e peixes, na proporção de 2 jacarés para 7 peixes, totalizando 
504 animais. Em um determinado momento, cada jacaré se alimentou de um peixe. Quantos peixes 
sobreviveram?
a) 360 b) 336 c) 339 d) 112 e) 280
 10) Um adolescente dorme 1/3 do dia e passa 1/6 do dia na escola. Ela gasta, fazendo os deveres, 
a metade do tempo que passa na escola menos meia hora. Quanto tempo esse adolescente tem para 
as outras atividades, durante uma semana de 2ª a 6ª feira, inclusive?
a) 52h e 30 min b) 52h e 50 min c) 55h e 30 min d)57h e 50 min 58h
30
 11) A secretaria de uma escola devia telefonar para todos os professores avisando-os de uma 
reunião de emergência. Pela manhã ela fez 1/3 dos telefonemas; à tarde conseguiu fazer 3/5 dos 
restantes. Que fração dos professores não foi avisada?
a) 1/15 b) 2/5 c) 4/15 d) 1/3 e) 11/15
 12) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 
20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. 
Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada 
sócio receberá, respectivamente:
a) R$5.000,00; R$10.000,00 e R$25.000,00
b) R$7.000,00; R$11.000,00 e R$22.000,00
c) R$8.000,00; R$12.000,00 e R$20.000,00
d) R$10.000,00; R$10.000,00 e R$20.000,00e) R$12.000,00; R$13.000,00 e R$15.000,00
 13) Em um fichário com 400 folhas, a razão entre o número de folhas preenchidas e o número 
total de folhas é 3/8
Preenchendo mais 10 folhas desse fichário, a razão entre o número de folhas preenchidas e o número 
de folhas não preenchidas será de:
a) 3/4 b) 2/3 c) 3/5 d) 1/3 e) 1/4
 14) Um produtor de leite engarrafa diariamente toda a produção de leite de sua fazenda. Depois 
de tirado, o leite segue para um tanque de forma cilíndrica e então é engarrafado, conforme vemos na 
figura a seguir. Na tabela vemos a quantidade de garrafas que foram enchidas e o nível do leite dentro 
do tanque. Depois de quantas garrafas serem enchidas o tanque ficará vazio?
 
a) 1000 b) 1050 c) 1100 d) 1150 e) 1200
 15) Observe a seqüência de cartelas construídas segundo um certo
padrão. Cada cartela representa uma fração.
 
Considerando que a quantidade de círculos corresponde ao numerador de cada fração, é correto 
afirmar que a fração que representa a Cartela 9:
a)vale 10/27 b) é uma fração decimal c) é maior que 1/5
d) é equivalente à fração que representa a Cartela 4 e) vale 9/37
 16) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50 , as dimensões de uma sala 
retangular são 10cm e 8cm. Calcule a área real da sala projetada.
a) 20 cm² b) 20 m² c)200 cm² d)2000 cm² e) 0,20 m²
31
 17) O valor de um carro novo é de R$9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$4.000,00. Supondo 
que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é:
a)R$8.250 b)R$8.000 c)R$7.750 d)R$7.500 e)R$7.000
 18) Paula comprou dois potes de sorvete, ambos com a mesma quantidade do produto.
Um dos potes continha quantidades iguais dos sabores chocolate, creme e morango; e o outro, 
quantidades iguais dos sabores chocolate e baunilha.
Então, é CORRETO afirmar que, nessa compra, a fração correspondente à quantidade de sorvete do 
sabor chocolate foi:
a) 2/5 b) 3/5 c) 5/12 d) 5/6
 19) A tabela abaixo registra os horários em que os carros 1 e 2, participantes de um rali, passaram 
pelos postos A e B, seguindo em direção ao posto C. Além disso, os dois carros mantiveram constantes 
suas velocidades no percurso de A para C, e o mais veloz nesse trecho passou por C às 15 horas, 
conforme anotado na tabela. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o carro 1 passou 
pelo posto C às:
 
 
a) 15h 10 min b) 15h 20 min c) 15h 30 min d) 15h 40 min
 20) Segundo dados recentes do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, a população 
brasileira apresentou taxa de crescimento de 1,3% entre 2011 e 2012 o que significou 2,2 milhões de 
pessoas a mais no país. Para facilitar a compreensão dos grandes números, o ritmo de
crescimento da sociedade é o seguinte:
 
 
Consultando a tabela, é correto afirmar que nascem:
a) 300 pessoas em menos de uma hora.
b) 5 000 pessoas a cada 15 horas e 50 minutos.
c) 40 000 pessoas a cada 6 dias e 15 horas, aproximadamente.
d) 200 000 pessoas em menos de um mês.
e) meio milhão de pessoas em pouco mais de 3 meses.
Gabarito: 
1) C 2) A 3) C 4) A 5) D 6) E 7) A 8) C 9) E 10) A
11) C 12) C 13) B 14) B 15) A 16) B 17) C 18) C 19) D 20) C
32
REGRA DE TRÊSREGRA DE TRÊS
SIMPLES E SIMPLES E 
COMPOSTACOMPOSTA
33
 REGRA DE TRÊS SIMPLES
 Vamos adotar um macete comum a todos os métodos. Veja exemplo:
 Ex 1: Se 12 pedreiros fazem uma casa em 5 dias, quantos dias 10 pedreiros farão a mesma casa?
Macete: Siga esses passos
1º) Monte a regra de três normalmente como os métodos convencionais.
 
2º) Use a frase abaixo colocando nos pontinhos as grandezas que a questão se refere. No caso, as 
grandezas são: pedreiros e dias
Frase: “Quanto mais ..... mais ou menos...”
Quanto mais pedreiros para fazer casas, mais dias ou menos dias para construir casas? 
Resposta: mais pedreiros menos dias precisarão para afazer casas. 
 Vamos adotar esse procedimento: 
Sempre que na resposta for pronunciado a palavra mais (a mão sobe) e se for pronunciado a palavra 
menos (a mão desce).
 
 
Se as duas mão subirem, multiplique as grandezas em x.
 
 
 Em outras palavras: As grandezas são diretamente proporcionais, isto é, quando aumenta uma, 
a outra também aumentará na mesma razão, e vice-versa.
 Exemplo: Tempo e Distância.
Se uma mão subir e a outra descer, multiplique as grandezas em paralelo.
 
Vamos voltar à questão:
Se 12 pedreiros fazem uma casa em 5 dias, quantos dias 10 pedreiros farão a mesma casa?
34
Solução:
Quanto mais pedreiros menos dias serão gastos. Uma mão subiu e a outra mão desceu.
 
 Logo multiplicaremos em paralelo
 
 
Em outras palavras: 
As grandezas são inversamente proporcionais, pois quando aumenta uma, a outra 
diminui na mesma razão, e vice-versa.
 
Ex.: Velocidade e Tempo
 Ex 2. Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma 
certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um ou-
tro auto cuja velocidade é de 120 km/h?
a) 2h b) 3h c) 4h d) 5h e) 6h 
Solução:
 
 
 
Uma mão subiu e outra desceu.
Logo, multiplicaremos em paralelo.
 
 
35
 Ex 3. Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a 
energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, 
qual será a energia produzida?
a) 200w b)300w c) 400w d) 500w e) 600w 
 
 
Uma mão subiu e outra também subiu. Logo, multiplicaremos em X.
 
Exercícios
 1) José limpa o vestiário de um clube de futebol em 30 minutos, enquanto seu irmão, Jair, limpa 
o mesmo vestiário em 45 minutos. Quanto tempo levarão os dois para limpar o vestiário juntos?
a) 15 minutos e 30 segundos b) 18 minutos c) 20 minutos d) 36 minutos 
e) 37 minutos e 30 segundos
 2) Com a mesma capacidade de trabalho, 12 costureiras fabricam certo número de uniformes 
encomendados pelo Exército, em 60 dias. Igualmente capazes, 15 costureiras cumprem essa mesma 
tarefa em dias :
a) 48 b) 52 c) 72 d) 75
 3) Uma roda de 30 dentes engrena com outra de 25 dentes. Quantas voltas dará esta última 
quando a primeira der 175 voltas.
a) 10 b) 110 c) 210 d) 310 e) 410 
 4) Doze carteiros gastam 60 dias para entregar todas as correspondências de uma pequena 
cidade. Trabalhando no mesmo ritmo, quantos dias gastariam 15 carteiros para entregar a mesma 
quantidade de correspondência na mesma cidade?
a) 3 dias b)4 dias c)18 dias d) 40 dias e) 48 dias
 5) Um navio tem alimentação para 124 pessoas, durante 9 dias. Aumentando o número de pes-
soas em 50%, a alimentação dará para:
a)12 d b) 8 d c) 6 d d) 5 d e) 4 d
 6) Se um operário constrói 2/3 de um muro em 4 horas, em quanto, tempo ele construirá 4/5 do 
mesmo muro?
a) 4h 24 min b) 4h 36 min c) 4h 48 min d) 5h e) 5h 12 min
 7) Tenho comida para 12 galinhas durante 20 dias. Depois de 5 dias ganhei mais 3 galinhas. 
Quantos dias durou a comida existente?
a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
 8) A pizzaria Mama Italiana oferece dois tamanhos de pizza, pequena e grande. Se uma pizza 
pequena de calabresa custa R$ 7,50, qual deve ser o preço de uma pizza grande de calabresa, sabendo 
que esta tem o dobro do diâmetro da pequena? Considere que as pizzas têm formato circular e que o 
preço é diretamente proporcional à área das mesmas.
a) R$30 b) R$15 c) R$25 d) R$12,50 e) R$10
36
 9) Um elevador pode levar 20 adultos ou 24 crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas 
crianças podem ainda entrar?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
 10) Quinze operários levaram 8 dias para realizar uma determinada obra. Quantos dias levarão 5 
operários para a realização da mesma obra ?
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
 11) A figura abaixo sugere quatro rodasdentadas A, B, C e D montada sobre três eixos. A roda A 
é fixa na B e ambas giram juntas no mesmo eixo.
 
O número de dentes de cada engrenagem é dado:
Engrenagem Nº de dentes
 A 60
 B 15
 C 30
 D 15
A roda C gira no sentido horário e D é acionada girando também nesse mesmo sentido. Quando C dá 
uma volta então o número de voltas por D é igual a:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
 12) Quando num relógio são 12 horas e 15 minutos, o ângulo formado pelos ponteiros é igual a:
a) 90º b) 85º30’ c) 82º30’ d) 89º30’
 13) Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em 
quanto tempo ela leria o mesmo livro?
a) 6 b) 8 c) 10 d) 18 e) 20
 14) Um arquivo de 6 MB foi “baixado” a uma velocidade média de 120 kB por segundo. Se a velo-
cidade de download fosse de 80 kB por segundo, quanto desse mesmo arquivo teria sido “baixado” no 
mesmo intervalo de tempo?
a) 6MB b) 5MB c) 4MB d) 3MB e) 2MB
 15) A concentração de um soluto é a razão entre a massa dessa substância e o volume do sol-
vente. Considere que foram dissolvidos cinco gramas de sal de cozinha em 500 mL de água.
Ao acrescentar 250 mL de água, qual será a nova concentração do sal, em0,007 g/mL?
a) 1 b) 0,1 c) 0,18 d) 0,20 e) 0,25
Gabarito: 
 
37
MMC:MMC:
MÍNIMO MULTIPLOMÍNIMO MULTIPLO
COMUMCOMUM
38
 MMC: MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
 Em concurso público, este assunto é muito cobrado. 
 Obs. Não abordaremos MMC e MDC de polinômios e frações, por entender que estes saem de 
nosso foco: Casa da Moeda, Correios, Petrobrás, Bombeiros e Polícias Militares e similares.
Importante: As questões deste tema são identificadas quando abordam dois tipos de interpretações.
1º) Quando pedir na questão uma coincidência de freqüência.
Ex.1: João toma um remédio do tipo A de 8 em 8 horas (frequência) e outro remédio do tipo B de 6 em 
6 horas (outra frequência. Quando João tomará os dois remédios ao mesmo tempo (coincidência)?
Repare que as frequências são: 6h em 6h e 8h em 8h. A coincidência será a resposta. 
Vamos lembrar como calcular MMC entre 6 e 8:
 
Logo, João tomará os dois remédios ao mesmo tempo de 24 em 24 horas (coincidências).
 Ex 2: O policiamento em torno de um estádio se faz com dois policiais montados a cavalo. Um 
deles percorre o contorno do estádio em 30 min e o outro em 40 min. Depois que começaram a ronda, 
partindo do mesmo ponto às 8h , e deslocando-se no mesmo sentido, voltarão a se encontrar, pela 
segunda vez, às:
a) 10h b) 11h c) 12h d) 13h e) 15h
Solução:
 
Logo, eles se encontrarão de 2 em 2 horas.
Como partiram juntos ás 8 horas, eles se encontrarão as 10h pela 1º vez, às 12h pela segunda vez, às 
14Horas pela 3ª vez e assim em diante. 
O exercício pede pela 2ª vez. Resposta 12h
39
2º) Quando separar um “todo” de “tanto” em “tanto” sobrando ou não resto.
 Ex. João consegue separar suas bolas de gude de 8 em 8 unidades, de 10 em 10 ou de 15 em 15, 
sem sobrar resto algum. Quantas bolas de gude João tem?
Solução: 
Basta calcular o MMC entre 8 , 10 e 15.
 
Logo, o número de bolas de gude que João pode ter, são os seguintes valores: 120 , 240 , 360 , 480 ....
Todos os valores são possíveis respostas. A questão terá que informar qual delas que se encaixa na 
história.
Poderia falar: “ Quantas bolas de gude João tem sabendo que está entre 350 e 400. Assim, a resposta 
será 360.
Importante:. Caso sobre sempre o mesmo resto no final das divisões, basta somar este resto com os 
possíveis valores de resposta. Veja exemplo abaixo.
 Ex. João consegue separar suas bolas de gude de 8 em 8, de 10 em 10 ou de 15 em 15, sempre 
sobrando 5 bolas como resto. Quantas bolas de gude João tem sabendo que está entre 350 e 400?
Solução:
Sabemos que o mmc (8 ,10 ,15) = 120
Logo as respostas serão: 
120 + 5 ou 240 + 5 ou 360 + 5 ou 480 + 5...
Assim, a resposta deste exemplo é 365
Cuidado: Nível difícil
Para restos diferentes, aplicaremos o seguinte macete:
Ex.: João consegue separar suas bolas de gude de 8 em 8, de 10 em 10 ou de 15 em 15, sobrando res-
pectivamente restos iguais a 1 , 5 ou 10. Quantas bolas de gude João pode ter, sabendo que está entre 
300 e 400?
Solução: 
Abriremos o 8 , 10 ou 15 quantas vezes for necessário para somar com os restos 1 , 5 ou 10 e obter restos 
iguais. Veja:
 
40
Após isso, calcular o mmc entre 8,10 e 15 e somaremos com este novo resto. 
Logo as respostas serão: 
120+25 ou 240+25 ou 360+25 ou 480+25 ....
 
Como foi dado um intervalo entre 300 e 400, a resposta será 360+25. Resposta 385
Exercícios:
 1) De uma estação rodoviária, partem ônibus para São Paulo, de 18 em 18 minutos e para Belo 
Horizonte, de 15 em 15 minutos. Sabendo-se que ás 7 horas e 20 minutos partiram juntos os ônibus 
das duas linhas, a que horas partirão novamente?
a) 8 horas e 20 minutos b) 8 horas e 30 minutos 
c) 8 horas e 40 minutos d) 8 horas e 50 minutos e) 9 horas
 2) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. O primeiro dá cada volta em 4 
minutos; o segundo em 5 minutos e o terceiro em 6 minutos. No fim de quanto tempo voltarão os três 
automóveis a se encontrar no início da pista, se eles partiram juntos?
a) 45 min b) 1 hora c) 1 hora e 20 min d) 2 horas e) n.r.a.
 3) André, Carlos e Gustavo são três soldados do CBMERJ que moram em Niteroi, Petrópolis e 
Barra Mansa, respectivamente. Carlos visita André a cada 6 meses e Gustavo visita André a cada 4 me-
ses. Coincidentemente hoje, André recebeu a visita dos dois amigos. A próxima vez que André recebe-
rá a visita simultânea de Carlos e Gustavo será daqui a ... 
a) 10 dias b) 12 dias c) 15 dias d) 20 dias e) 24 dias 
 4) Dois cometas, um aparecendo em cada 20 anos, e o outro em cada 30 anos. Se em 1960 tives-
sem ambos aparecido, pergunta-se: Quantas novas coincidências haverão até o ano de 2500 ?
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
 5) De uma estação rodoviária, partem ônibus para São Paulo a cada 30 minutos, para Araraqua-
ra a cada 6 horas e para Ribeirão Preto a cada 8 horas. No dia 05/12/99, às 7h, partiram ônibus para as 
três cidades. Essa coincidência deverá ter ocorrido uma outra vez às
a) 19h do dia 05/12/99 b) 23h do dia 06/12/99 c) 12h do dia 06/12/99 d) 15h do dia 06/12/99
e) 7h do dia 07/12/99
 6) Em um autódromo, três pilotos partem juntos de um mesmo ponto e no mesmo sentido. O 
primeiro completa cada volta em 0,6 minutos, o segundo em 0,8 minutos e o terceiro em 1,2 minutos. 
Os três vão estar juntos outra vez em:
a) 288seg b) 144seg c) 172seg d) 432seg e) 216seg
 7) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os senado-
res 6 anos e os deputados 3 anos. Nessa república houve eleição para os três cargos em 1989. A próxi-
ma eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em:
a) 1995 b) 1999 c) 2001 d) 2002 e) 2005
 8) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 
segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 se-
gundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois 
sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: 
a) 150 b) 160 c) 190 d) 200
 9)O policiamento em torno de um estádio se faz com dois policiais montados a cavalo. Um de-
les percorre o contorno do estádio em 30 min e o outro em 40 min. Depois que começaram a ronda, 
partindo do mesmo ponto às 8h , e deslocando-se no mesmo sentido, voltarão a se encontrar, pela 
segunda vez, às:
a) 10h b) 11h c) 12h d) 13h e) 15h
41
 10) Em um pequeno mercado, o dono resolveu fazeruma promoção. Para tanto, cada uma das 
3 caixas registradoras foi programada para acender uma luz, em intervalos de tempo regulares: na 
caixa 1, a luz acendia a cada 15 minutos; na caixa 2, a cada 30 minutos; e na caixa 3, a luz acendia a cada 
45 minutos. Toda vez que a luz de uma caixa acendia, o cliente que estava nela era premiado com um 
desconto de 3% sobre o valor da compra e, quando as 3 luzes acendiam, ao mesmo tempo, esse des-
conto era de 5%. Se, exatamente às 9 horas de um determinado dia, as luzes das 3 caixas acenderam 
ao mesmo tempo, então é verdade que o número máximo de premiações de 5% de desconto que esse 
mercado poderia ter dado aos seus clientes, das 9 horas às 21 horas e 30 minutos daquele dia, seria 
igual a
a) 8 
b) 10 
c) 21 
d) 27 
e) 33
 11) Para iniciar uma visita monitorada a um museu, 96 alunos do 8º ano e 84 alunos do 9º ano de 
certa escola foram divididos em grupos, todos com o mesmo número de alunos, sendo esse número o 
maior possível, de modo que cada grupo tivesse somente alunos de um único ano e que não restasse 
nenhum aluno fora de um grupo. Nessas condições, é correto afirmar que o número total de grupos 
formados foi
a) 8 
b) 12 
c) 13 
d) 15
e) 18
 12) Gilberto e Guilherme treinam bicicleta juntos em um circuito de 3240 metros de extensão. 
Após o aquecimento, saem juntos do início do trajeto às 9:00h e encerram o treinamento após se en-
contrarem outras seis vezes no início do trajeto. Supondo que durante todo o treinamento, a cada se-
gundo, Gilberto e Guilherme percorrem 6 metros e 9 metros, respectivamente, então é correto afirmar 
que o treino se encerrará às
a) 11h 
b) 10h 48min 
c) 10h 32min. 
d) 10h 25min 
e) 10h 04min
 13) Para a montagem de molduras, três barras de alumínio deverão ser cortadas em pedaços de 
comprimento igual, sendo este o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço nas barras. 
Se as barras medem 1,5 m, 2,4 m e 3 m, então o número máximo de molduras quadradas que podem 
ser montadas com os pedaços obtidos é
a) 3
b) 6
c) 4
d) 5
e) 7
Gabarito:
 
42
MÉDIASMÉDIAS
43
 Média aritmética:
 A média aritmética simples é obtida dividindo a soma de todos os valores que temos pela quan-
tidade de valores. Suponhamos que existam n de dados (x1, x2, x3, ..., xn) . A média entre esses dados 
será:
 
 
1 2 3... nx x x xMa
n
+ +
=
 Ex 1: Um aluno obteve as seguintes notas durante um bimestre: 9.2, 8.5 e 8.4. Qual será a média 
de suas notas?
Solução: Temos 3 notas. Basta somá-las e dividir este resultado por 3:
 
9, 2 8,5 8,4 21,1 8,7
3 3
Ma Ma Ma+ +
= ∴ = ∴ =
 Média aritmética ponderada:
 A média ponderada considera “pesos” para cada item, ou seja, em um conjunto de dados, cada 
item recebe uma importância. Vamos supor que tenhamos um conjunto com n dados ( ), onde cada 
dado receberá um peso, respectivamente 1 2 3... np p p p+ + .
Cada item será multiplicado pelo seu peso. A média será dada pela divisão entre esta soma e a soma 
dos pesos considerados. 
 
1 1 2 2 3 3
1 2 3
. . . .... .
...
n n
n
x p x p x p x pMp
p p p p
+ +
=
+ +
 Ex 3: Uma aluna fez uma prova e obteve nota 9.1 e um trabalho 8,7. A média considera que a 
prova tenha peso 6 e o trabalho peso 4. Assim, a média dessa aluna será:
 
9,1 . 6 8,7 . 4
6 4
54,6 34,8 89,4 8,94
10 10
Mp
Mp Mp Mp
+
=
+
+
= = =
 Média geométrica:
 A média geométrica entre um conjunto de n dados é a raiz n-ésima da multiplicação desses 
dados. Considere um conjunto de n dados 1 2 3, , .... nx x x x
A média geométrica entre estes dados será: 1 2 3. . ....n
nx x x x
 Ex: Qual a média geométrica entre 2, 8 e 32?
Solução: Temos três dados, então a média geométrica será a raiz cúbica da multiplicação desses 
números.
 
3 9 33 32.8.32 512 2 2 8= = = =
 Média harmônica:
 A média harmônica de um conjunto de n dados é obtida dividindo a quantidade de dados pela 
soma dos inversos dos dados. Considerando um conjunto de n dados
 1 2 3, , .... nx x x x
 
44
A média harmônica entre esses dados, indicada por H, será:
 
 1 2 3
1 1 1 1...
n
nMh
x x x x
=
+ +
 Ex: qual a média harmônica entre 2, 5 e 10?
 
3 ( )1 1 1
2 5 10
3 3 103. 3,755 2 1 8 8
10 10
Mh aplica o mmc
Mh Mh Mh Mh
=
+ +
= ∴ = ∴ = ∴ =
+ +
 Ex. Calcular a média aritmética Ma, a média geométrica Mg e a média harmônica Mh dos 
números 2 e 8. Compare os três resultados
 
2 2
2 8 5
2
2.8 16 4
2 2 3,21 1 5
2 8 8
Ma Ma
Mg Mg Mg
Mh Mh Mh
+
= ∴ =
= ∴ = ∴ =
= ∴ = ∴ =
+
Exercícios Resolvidos:
 Ex. As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca 
avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro 
da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de 
atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média 
aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.
 
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas 
atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é:
a) 0,25 ponto maior.
b) 1,00 ponto maior.
c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior.
e) 2,00 pontos menor.
45
Solução: Média sem retirada de notas e com as retiradas das duas notas (1 e 19):
 
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 14 + 16 + 12+1+19
10
140 14
10
Re (1 19).
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 14 + 16 + 12
8
120 15
8
Ma
Ma Ma
tirando as duas notas e
Ma
Ma Ma
letra b
=
= ∴ =
=
= =
 Ex. A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco 
microempresas (ME) que se encontram à venda.
 
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da 
receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior 
média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são:
a) Balas W e Pizzaria Y. b) Chocolates X e Tecelagem Z. c) Pizzaria Y e Alfinetes V.
d) Pizzaria Y e Chocolates X. e) Tecelagem Z e Alfinetes V.
Solução: Para descobrir quais são as microempresas com maior média anual, vamos analisar as médias 
de cada empresa:
 
200 220 240 220
3
200 230 200 210
3
250 210 215 225
3
230 230 230 230
3
160 210 245 205
3
Mav
Maw
Max
May
Maz
+ +
= =
+ +
= =
+ +
= =
+ +
= =
+ +
= =
Podemos constatar que as microempresas que apresentam as maiores médias anuais são a 
Chocolates X e Pizzaria Y, portanto, a alternativa que apresenta a porcentagem correta é a letra d.
46
 Ex. Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota 
mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que 8 alunos foram reprovados. A 
média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após 
a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu 
atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 
80 e a dos reprovados 68,8. Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos 
cinco pontos extras.
 
8
8
12
12
8 12 20
20 20
65 520
8
77 924
12
924 520 1440
1440 72,2
20turma turma
Soma Soma
Soma Soma
Soma Soma Soma
Soma Soma
Ma Ma
= ∴ =
= ∴ =
+ =
= + ∴ =
= ∴ =
 Ex. Suponha que o país A receba de volta uma parte de seu território T, que por certo tempo 
esteve sob a administração do país B, devido a um tratado entre A e B. Estimemos a população de A, 
antes de receber T, em 1,2 bilhão de habitantes, e a de T em 6 milhões de habitantes. Se as médias de 
idade das populações A e T, antes de se reunirem, eram, respectivamente, 30 anos e 25 anos, mostre 
que a média de idade após a reunião é superior a 29,9 anos.
 
30
1,2
30 36000
1200
30 180
6
36180 30
1206 1206
A
T
geral geral
Soma idades AM
bi de pessoas
Soma idades A Somaidades A mi
mi de pessoas
Soma idadesTM SomaidadesT mi
mi de pessoas
Soma idadesTA miM M
mi de pessoas mi
= =
= ∴ =
= = ∴ =
+
= ∴ = =
 Ex. Sabe-se que os números x e y fazem parte de um conjunto de 100 números, cuja média 
aritmética é 9,83. Retirando-se x e y desse conjunto, a média aritmética dos números restantes será 8,5. 
Se 3x – 2y = 125, então:
a) x=75 b) y=55 c) x=85 d) y=56 e) x=95
 
47
 Ex. Sabe-se que a média harmônica entre o raio e a altura de um cilindro de revolução vale 4. 
Quanto valerá a razão entre o volume e a área total do cilindro?
a) 1 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 3,5
 
2
2 2
2
2 2 2
2 2 24 4 4 21 1
.
volumedocilindrorazão=
área total do cilindro
r .razão= ( )
r r 2 .
r . . .razão=
r r 2 . 2 r 2 .
. .razão= razão=
2 (r ) 2(r
rh rh
h r h r h r
r h r h
h veja geometria espacial
r h
h r rh
r h r h
r rh rh
r h
π
π π π
π π
π π π π π
π
π
= ∴= = ∴ = ∴ =
+ + ++
+ +
=
+ + +
∴
+ )
2razão= razão= razão=1
2(r ) 2
h
rh
h
+
∴ ∴
+
 Exercícios Resolvidos:
Ex. As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era 
composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca 
atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação 
e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média 
aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.
 
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas 
atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é:
a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor.
d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor.
Solução: Média sem retirada de notas e com as retiradas das duas notas (1 e 19):
 
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 14 + 16 + 12+1+19
10
140 14
10
Re (1 19).
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 14 + 16 + 12
8
120 15
8
Ma
Ma Ma
tirando as duas notas e
Ma
Ma Ma
letra b
=
= ∴ =
=
= =
48
 Ex. A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco 
microempresas (ME) que se encontram à venda.
 
 
 Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a 
média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de 
maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são
a) Balas W e Pizzaria Y. b) Chocolates X e Tecelagem Z. c) Pizzaria Y e Alfinetes V.
d) Pizzaria Y e Chocolates X. e) Tecelagem Z e Alfinetes V.
Solução: Para descobrir quais são as microempresas com maior média anual, vamos analisar as médias 
de cada empresa:
 
200 220 240 220
3
200 230 200 210
3
250 210 215 225
3
230 230 230 230
3
160 210 245 205
3
Mav
Maw
Max
May
Maz
+ +
= =
+ +
= =
+ +
= =
+ +
= =
+ +
= =
Podemos constatar que as microempresas que apresentam as maiores médias anuais são a 
Chocolates X e Pizzaria Y, portanto, a alternativa que apresenta a porcentagem correta é a letra d.
 Ex. Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota 
mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que 8 alunos foram reprovados. A 
média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após 
a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu 
atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 
80 e a dos reprovados 68,8. Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos 
cinco pontos extras.
 
 
8
8
12
12
8 12 20
20 20
65 520
8
77 924
12
924 520 1440
1440 72,2
20turma turma
Soma Soma
Soma Soma
Soma Soma Soma
Soma Soma
Ma Ma
= ∴ =
= ∴ =
+ =
= + ∴ =
= ∴ =
49
 Ex. Suponha que o país A receba de volta uma parte de seu território T, que por certo tempo 
esteve sob a administração do país B, devido a um tratado entre A e B. Estimemos a população de A, 
antes de receber T, em 1,2 bilhão de habitantes, e a de T em 6 milhões de habitantes. Se as médias de 
idade das populações A e T, antes de se reunirem, eram, respectivamente, 30 anos e 25 anos, mostre 
que a média de idade após a reunião é superior a 29,9 anos.
 
30
1,2
30 36000
1200
30 180
6
36180 30
1206 1206
A
T
geral geral
Soma idades AM
bi de pessoas
Soma idades A Somaidades A mi
mi de pessoas
Soma idadesTM SomaidadesT mi
mi de pessoas
Soma idadesT A miM M
mi de pessoas mi
= =
= ∴ =
= = ∴ =
+
= ∴ = =
Exercícios
 1) Em uma escola, a média final a ser alcançada por qualquer aluno no intuito de obter 
aprovação é 7,0. Carlos obteve as seguintes notas na disciplina de Matemática durante o ano letivo:
1º Bim 5,5 2º Bim 7,0 3º Bim 9,0 4º Bim 8,0
Concluímos que a média final de Carlos foi aproximadamente 7,4, sendo aprovado na disciplina de 
Matemática. ( )Certo ( )Errado
 2) A tabela informa a cotação do dólar durante uma determinada semana. De acordo com a 
tabela informativa, determine o valor médio da moeda estrangeira na semana, sempre lembrando que 
esse valor é cotado de acordo com a moeda nacional: o Real.
 
 3) Em uma sequência de 8 jogos amistosos, o time A obteve os seguintes resultados: 4x2, 3x0, 
4x2, 0x1, 2x2, 3x0, 4x4, 2x0. Qual a média de gols marcados pelo time A nesses jogos amistosos? E a 
média de gols sofridos?
a) 2,75 e 1,37 b)2,21 e 2,45 c)1,15 e 2,50 
d)1,37 e 2,75 e)2,75 e 1,90
 
 4) As notas de uma turma de alunos no teste de matemática foram 10, 10, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 4 e 2. 
Qual a média da turma?
a) 8,5 b)8,2 c)8,0 d)7,8 e)7,3
 5) Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando 
ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá 
comprar, analisa o lucro (em milhões reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) 
de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual. 
O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de 
existência de cada empresa.
50
 
 a) F b) G c) H d) M e) P 
 6) O dono de um restaurante comprou oito caixas, cada uma contendo doze latas de doce em 
calda por R$6,00 a lata. Em cada caixa, duas latas se estragaram e foram jogadas fora. Por quanto ele 
deve vender cada lata para ter um lucro total de R$72,00?
a) R$ 7,00 b) R$ 7,50 c) R$ 8,10 d) R$ 8,50 e) R$ 9,00 
 7) Foi feita uma pesquisa sobre a qualidade do doce de abóbora da empresa Bora-Bora. Cada 
entrevistado dava ao produto uma nota de 0 a 10. Na primeira etapa da pesquisa foram entrevistados 
1000 consumidores e a média das notas foi igual a 7. Após a realização da segunda etapa da pesquisa, 
constatou-se que a média das notas dadas pelos entrevistados nas duas etapas foi igual a 8. O número 
de entrevistados na segunda etapa foi no mínimo igual a:
a) 300 b) 400 c) 500 d) 700 e) 850 
 8) Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada, passando 
a ser 7,5. Considerando-se que a média da turma aumentou em 0,1, a nota do aluno antes da revisão 
era:
a) 7,6 b)7,0 c)7,4 d)6,0 e)6,4
 9) Uma atleta participou das três provas de uma determinada competição. Suas notas, nas 
duas últimas provas, foram, respectivamente, o dobro e o triplo da nota da primeira. Sabendo-se que a 
média aritmética das três notas foi 28,6pontos, é correto afirmar que a nota da primeira prova foi:
a) 12 b)9,2 c)10,5 d) 15 e)14,3
 10) Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulheres e 6 são homens. A média das notas das 
mulheres no final do semestre ficou 1 ponto acima da média da classe. A soma das notas dos homens 
foi metade da soma das notas das mulheres. Então, a média das notas dos homens ficou mais próxima 
de:
a) 4,3 b)4,3 c) 4,7 d) 4,9 e)5,1
 11) Numa turma deinclusão de jovens e adultos na educação formal profissional (Proeja), a 
média aritmética das idades dos seus dez alunos é de 32 anos. Em determinado dia, o aluno mais velho 
da turma faltou e, com isso, a média aritmética das idades dos nove alunos presentes foi de 30 anos.
Qual é a idade do aluno que faltou?
a) 18 b) 20 c) 31 d) 50 e) 62
 12) Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba a São Paulo a uma velocidade 
média de 50 Km por hora; após, retorna de São Paulo para Curitiba a uma velocidade média de 75 
Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade média, em Km/h foi de:
a) 60 b) 62,5 c) 65 d) 70 e) 72,5
 13) Um aluno deve atingir 70 pontos para ser aprovado. Esse total de pontos é resultado de uma 
média ponderada de 3 notas, N1, N2 e N3, cujos pesos são, respectivamente, 1, 2, 2.
As suas notas, N1 e N2, são, respectivamente, em um total de 100 pontos distribuídos em cada uma, 50 
e 65. Para ser aprovado, a sua nota N3 (em 100 pontos distribuídos) deverá ser:
a) Maior ou igual a 70 pontos. b) Maior que 70 pontos. c) Maior que 85 pontos.
d) Maior ou igual a 85 pontos. e) Maior ou igual a 80 pontos.
51
 14) Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a R$ 1,50 e 2 doces a R$ 2,00 cada. O preço 
médio, por doce, foi de:
a) R$ 1,75 b) R$ 1,85 c) R$ 1,9 d) R$ 2,00 e) R$ 2,40
 15) Uma classe de estudantes fez um prova e a média aritmética das notas obtidas foi 6,5. 
Escolheu-se um grupo de estudantes e verificou-se que a média aritmética das notas obtidas por 
esses estudantes nessa prova foi 80. Nessas condições, a média aritmética das notas obtidas nessa 
prova pelos outros estudantes da classe foi:
a) 5,0 b) 6,0 c) 6,125 d) 6,25 e) 6,5
Gabarito:
 
52
PORCENTAGEMPORCENTAGEM
53
 PORCENTAGEM
 Definição: Símbolo % transformação para fração. Veja:
 
Para passar um número decimal para porcentagem, basta movimentar duas casas para a direita.
 
Macete: 
Normalmente, em questões de porcentagem ou de frações, o significado de de, do ou da equivalem a 
multiplicação.
Veja os exemplos abaixo:
 Ex. Calcule 20% de 5% de 8% de R$ 120.000,00.
Solução: Vamos transformar o símbolo % em fração e a proporção que for aparecendo os de, 
colocaremos multiplicação.
 
 obs. São 3 “de”
Sabemos quando há várias frações que se multiplicam, não fazemos MMC. Multiplicamos os 
numeradores e denominadores. Como se fosse uma única fração.
 
Obs: Cuidado com a diferença entre os dois exercícios abaixo e a sutileza do enunciado.
 Ex. Quanto é 8% de R$ 125,00?
Solução: Lembrando que o de significa multiplicação.
 
Ex. 8% de quanto é igual a R$ 125,00?
 
54
Outro Cuidado: Cuidado com o símbolo %. Apesar de ser símbolo é um número (fração).
 Ex. Resolva (20%)2
a) 4% b) 8% c) 40% d) 80% e) 400%
Solução:
 
Mais um outro cuidado: 
Cuidado com porcentagem de porcentagem. 
 Ex. Calcule 20% de 30% ?
Solução: lembrando que o de é multiplicação
 
 
 Ex. Calcule 2% de 8% ?
Solução:
 
 
Movimente duas casas para a direita
Questões comuns em concurso:
 Ex 3: Uma sala de aula, 30% dos alunos são estrangeiros, destes 40% são meninos. Qual a 
porcentagem de meninas estrangeiras na sala de aula?
Solução: 
Cuidado com a palavra destes. Destes quem?
Resposta: destes 30% de estrangeiros.
 
Se há 40% de meninos, concluímos que teremos 60% de meninas dentro deste universo de 30%. 
Como ele quer meninas dentro do universo estrangeiros, então, a solução é dada por 60% de 30%
 
Ex4. Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma floresta. Considerando-se que 20% 
da área total da floresta, é constituída de rios e lagos e o restante somente de mata virgem, calcule o 
percentual da área destruída pelo fogo.
a) 20 % b) 24 % c) 30 % d) 44 % e) 50%
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Solução:
 
Passemos, agora, um método de resolver questões de porcentagem que mencionam as palavras 
“aumento” ou “desconto” ou seus respectivos sinônimos. 
O método é por meio da chamada tabela financeira a qual funciona do seguinte modo:
 
Tudo que aumenta “tantos %”, você representará pelo fator 1,? (a interrogação será a porcentagem de 
aumento. 
E tudo que diminui “tantos %” será representado pelo fator 0,(100-%).
Veja os exemplos: 
Se o número N aumentou 3%, logo representaremos o novo número por N.1,03. 
Se o número N diminuiu 3%, logo representaremos o novo número por N.0,(100-3) ou N.0,97
Veja a representação de vários exemplos na tabela.
 
Veja um exemplo de aplicação da tabela:
 Ex. João recebe de salário R$1200,00 e acaba de ganhar um aumento de 8%. Quanto passará a 
ser o salário de João?
56
Solução:
 
 Observe que pelo método normal, faz-se mais cálculos.
Vamos aplicar a tabela em outro modelo de questão de porcentagem:
Veja: Para saber a diferença em porcentagem entre dois valores, usaremos o seguinte macete. Muitas 
pessoas usam regra de três, embora não há problema algum.
Veja o macete:
 
Após a divisão, usa-se a tabela financeira para encontrar a porcentagem de aumento ou de redução de 
uma valor. Veja a questão abaixo.
 Ex. Em uma determinada cidade, o preço da gasolina por litro era de R$ 2,75 e baixou para R$ 
2,20. Nesse contexto, o preço da gasolina foi reduzido em:
a) 15% b) 17% c) 18% d) 20% e) 25%
 
Solução: Veja que é redução.
 
Agora, um cuidado especial:
Cuidado que há exercícios em que a porcentagem é aplicada em cima de uma incógnita. Muitos 
concursos cobram questões que não informam o preço normal de um produto, ou seja, o preço que 
está na vitrine, na etiqueta do produto ou na tabela de preços. O aluno deve atentar quanto a isso. Veja 
este exemplo:
 Ex. Bruno foi a uma loja comprar uma blusa que na vitrine mostrava “à vista ganhe 20% de 
desconto”. Passou pelo caixa e pagou pela blusa R$ 40,00.
Qual o valor sem desconto, ou seja, o valor da vitrine.
Solução:
O desconto é aplicado em cima do preço sem desconto. Vamos resolver esta questão de duas 
maneiras:
Maneira normal e usando a tabela:
57
 
 
Solução: Usando a tabela teremos:
 
 Ex. João ganhou 20% de aumento sobre seu salário, porém o imposto de renda descontou 15%. 
O aumento real que João recebeu é equivalente a:
a) 1% b) 2% c) 5% d) 8% e) 10%
Solução:
 
 Ex. O preço da fita adesiva sofreu dois aumentos consecutivos 10% e 20%. Se, atualmente, a fita 
adesiva custa R$ 1,98, pode-se concluir que, antes dos aumentos, custava: 
a) 1,80 b) 1,65 c) 1,50 d) 1,45 e)1,40
Solução. As porcentagens estão sendo aplicadas em cima do valor original, ou seja, em cima da 
incógnita. Já falamos sobre isso.
 
58
Mais um exemplo de uso da tabela:
Ex. O computador que Ricardo quer comprar é R$ 125,00 mais caro na loja A do que na loja B. Ao 
negociar um preço mais baixo, conseguiu, na loja A, um desconto de 20% para compra à vista, 
enquanto que, na loja B, conseguiu, para compra à vista, um desconto de 10%. Ao fazer as contas, 
Ricardo verificou que as propostas nas duas lojas resultavam em um mesmo preço final para o 
computador, no valor de
a) R$ 1.125,00. b) R$ 1.000,00. c) R$ 900,00. d) R$ 1.500,00. e) R$ 1.250,00.
Solução:
 
$125
0,80( 125) 0,90.
0,80 100 0,90 0,10 100
100, $1000
0,10
loja A loja B
X R X
X x
x x x
Logo x x R
+
+ =
+ = ∴ =
= ∴ =
Cuidado com a expressão poder de compra. A resolução é feita fazendo a razão entre
 
 Ex. Se o seu salário subiu 56%, e os preços subiram 30%, de quanto aumentou o seu poder de 
compra?
a) 20% b) 21% c) 23% d) 25% e) 26 %
Solução:
 
Cuidado: Em exercícios sobre lucros e prejuízos, a solução é dada, se possível, usando a tabela 
financeira seguida das regras abaixo:
VENDA = CUSTO + LUCRO ou VENDA = CUSTO - PREJUÍZO
 Ex. Comprei um objeto por R$ 450,00 e o vendi com um lucro de 10% sobre a venda?
Solução: 
Muito cuidado: Os 10% estão caindo sobre a venda e não sobre a compra de R$ 450,00