5- Derivadas - Parte 1

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Derivadas
Reta Tangente
Reta Tangente
Reta Tangente
Reta Tangente
Reta Tangente
Reta tangente:
𝒎𝒕𝒈 = lim
Δ𝑥→0
Δ𝑦
Δ𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
𝚫𝒙→𝟎
𝒇 𝒙𝟎 + 𝚫𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝚫𝒙
= 𝑡𝑔(𝛼)
ou,
𝒎𝒕𝒈 = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝟎
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙 − 𝒙𝟎
E a equação da reta tangente é dada por
𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑚𝑡𝑔(𝑥 − 𝑥0)
Reta Tangente
Exemplo 1: use as duas definições para encontrar
uma equação para a reta tangente a função 𝑓 𝑥 =
𝑥2 no ponto P(1,1).
Exemplo 2: encontre uma equação para a reta
tangente a curva 𝑓 𝑥 = 2/𝑥 no ponto P(2,1).
Exemplo 3: encontre as inclinações das retas
tangentes à curva 𝑓 𝑥 = 𝑥 em 𝑥0 = 1, 𝑥0 =
4 e 𝑥0 = 9.
Velocidade
Velocidade
Se uma partícula em movimento retilíneo percorre o
eixo s de tal modo que a função da coordenada da
posição em termos do tempo t decorrido é
𝑠 = 𝑓 𝑡
então 𝑓 é chamada função posição da partícula.
A velocidade média da partícula em um intervalo
de tempo 𝑡0, 𝑡0 + ℎ é definida como
𝒗𝒎 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
=
𝒇 𝒕𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒕𝟎)
𝒉
Velocidade
Exemplo 4: Suponha que 𝑠 = 𝑓 𝑡 = 1 + 3𝑡 − 2𝑡2
seja a função posição de uma partícula, onde s está
em metros e t está em segundo. Encontre as
velocidades médias da partícula nos intervalos de
tempo.
a) [0, 1]
b) [1, 3]
Velocidade Instantânea
A velocidade instantânea descreve o
comportamento da partícula num instante de tempo
específico, ou seja, quando ℎ → 0.
Assim, a velocidade instantânea 𝑣𝑖 da partícula no
instante 𝑡0 é dado por
𝑣𝑖 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑡0 + ℎ − 𝑓(𝑡0)
ℎ
Geometricamente, a velocidade instantânea em 𝑡0 é
a inclinação da curva posição versus tempo no
ponto P(𝑡0, 𝑓(𝑡0)).
Taxas de Variação
A velocidade pode ser vista como uma taxa de
variação da posição em relação ao tempo.
Outros exemplos:
Taxas de Variação
Considere uma barra uniforme de 40cm de
comprimento, isolada em sua superfície lateral e
com as extremidades numa temperatura 25°C e
5°C:
O comportamento gráfico da temperatura nessa
barra é dado por
Taxas de Variação
A inclinação é dada por m=0,5. Ou seja, a
temperatura decresce a uma taxa 0,5°C por
centímetro.
Para uma reta y=mx+b a inclinação (taxa de
variação) é constante. Mas isso não é válido para
uma curva qualquer 𝑓 𝑥 .
Taxa de variação média de y em relação a x no
intervalo 𝑥0, 𝑥1 é dada por
𝑟𝑚 =
𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
Taxas de Variação
Taxa de variação instantânea de y em relação a x
é
𝑟𝑖 = lim
𝑥1→𝑥0
𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
Ou podemos reescrever, tomando ℎ = 𝑥1 − 𝑥0:
𝑟𝑚 =
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
𝑟𝑖 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
Taxas de Variação
Função Derivada
A inclinação da reta tangente a 𝑓(𝑥) no ponto 𝑥 = 𝑥0
ou a taxa de variação instantânea de y com relação
a 𝑥 em 𝑥 = 𝑥0 são limites importantes e possuem
uma notação especial:
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
Definição: a função 𝑓′ definida pela fórmula
𝒇′ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒉
é denominada derivada de f em relação a x. O
domínio de f’ consiste em todos os x do domínio de f
com os quais existe o limite.
Função Derivada
Exemplo 1: encontre a derivada da função em
relação a x de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥.
Exemplo 2: encontre a derivada da função em
relação a x de 𝑓 𝑥 = 𝑥. Encontre a inclinação da
reta tangente a 𝑦 = 𝑥 em 𝑥 = 9.
Notação
𝑓′(𝑥) é equivalente:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
• 𝐷𝑥[𝑓(𝑥)]
• 𝑦′(𝑥)
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Técnicas de Derivação
Derivadas de uma constante:
𝑓 𝑥 = 𝑐 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 0
Regra da Potência: para n inteiro,
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1
Exemplo: calcule a derivada de 𝑓 𝑥 = 4𝑥3.
Técnicas de Derivação
Derivadas de somas e diferenças:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑔(𝑥)
Exemplo: calcule
𝑑𝑦
𝑑𝑥
se 𝑦 = 3𝑥8 − 2𝑥5 + 6𝑥 + 1
Derivadas de ordens superiores
Técnicas de Derivação
Regra de um produto:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)]
Exemplo: encontre dy/dx se 𝑦 = 4𝑥2 − 1 7𝑥3 + 𝑥 .
Técnicas de Derivação
Regra de um quociente:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑔 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
[𝑔(𝑥)]
𝑔 𝑥 2
Exemplo: encontre dy/dx se 𝑦 =
𝑥3+2𝑥2−1
𝑥+5
.