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Métodos Numéricos
Métodos numéricos para equações diferenciais 
ordinárias
Prof.Dr. Leandro Blass
• – Método de Euler
• – Método de Euler melhorado
• – Método de Euler modificado
2
3
• Método de Euler
– Método utilizado para aproximar EDOs do 1º grau
• A aproximação é feita por retas, ou seja, 
polinômios de grau 1.
– Equações:
Método de Euler
'
1 ( , )i i i iy y hf x y  
hxx ii +=1+
4
• Como determinar soluções pelo método de Euler
1º passo
• Determinar o intervalo de variação do eixo x
2º passo
• Calcular os valores de x0 até o valor xi
3º passo
• Calcular os valores de y0 até o valor yi
Método de Euler
5
Exemplo 1: Achar aproximações para a solução o problema de
valor inicial, na malha [0; 0,5] e h=0,1, dado por: y ' = x - y + 2
para y(0) = 2
   
 
 
'
0 0 1 1
1
1 1 0
2 2 1
3
0 ; 2 , 2
2 0,1 0 2 2 2 0,0 0,1 0,1
2 0,1 0,1 2 2 2,01 0,1 0,1 0,2
2,01 0,1 0,2
i i i i i i i i
i i
x y y y h f x y y y h x y
x x h
y x x h
y x x h
y
 

         
 
           
           
   
 
 
3 2
4 4 3
5 5 4
2,01 2 2,029 0, 2 0,1 0,3
2,029 0,1 0,3 2,029 2 2,0561 0,3 0,1 0,4
2,0561 0,1 0,4 2,0561 2 2,09049 0,4 0,1 0,5
x x h
y x x h
y x x h
        
           
           
6
Referências Bibliográficas
[1] BARROSO, Leônidas C. et. al., Cálculo Numérico (com Aplicações), 2a edição,
Editora Harbra, São
Paulo, 1987.
[2] CLAUDIO, Dalcidio M., MARINS, Jussara M., Cálculo Numérico Computacional,
2a edição, Atlas,
1994
[3] SANTOS, Vitoriano R. B., Curso de Cálculo Numérico, 4a edição, LTC, 1982.
[4] RUGGIERO, Márcia A. G., LOPES, Vera Lúcia R., Cálculo Numérico: Aspectos
Teóricos e
Computacionais, 2a edição, Makron Books, São Paulo, 1996.
[5] CAMPOS, R. J. A., Cálculo Numérico Básico. 1ª edição, Atlas, 1978
[6] CAMARGO, W. C. M., Apostila de Cálculo Numérico. Departamento de Informática.
UFPR.
Método de Euler modificado (2a ordem)
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No método de Euler modificado, a inclinação utilizada no cálculo do
valor de yi + 1 é modificada para incluir o efeito de variação desse
parâmetro ao longo do intervalo. A inclinação usada no método de
Euler modificado é a média da inclinação no início do intervalo e de
uma estimativa para a inclinação no final do intervalo. A inclinação
no início do intervalo é:
8
Método de Euler modificado
9
Exemplo 2: Utilize o Método de Euler Modificado para resolver 2'  yxy para 
2)0( y malha [0 ; 0,5], h=0,1. Os resultados parciais são apresentados a seguir de 
acordo com a sequência: 
 
 
1 0 0 0
1 0
0 0 1 1
1 0
0
'( , ) 2 0 2 2 0,1 2
0 0,1 0,1
'( , ) '( , )
2
(0 2 2) (0,1 2 2)
2 0,1 2,005
2
E
E
MO
i
y y f x y h
x x h
f x y f x y
y y h

        
    
  
   
    
  
1
1
' '
1 1
1
 1: '( , )
 2 :
( , ) ( , )
 3 :
2
E
i i i i
i i
E
i i i iMO
i i
Passo y y f x y h
Passo x x h
f x y f x y
Passo y y h


 

  
 
    
10
1
1
' '
1 1
1
 1: '( , )
 2 :
( , ) ( , )
 3 :
2
E
i i i i
i i
E
i i i iMO
i i
Passo y y f x y h
Passo x x h
f x y f x y
Passo y y h


 

  
 
    
   
 
1 1
2 1 1 1
2 1
1 1 2 2
2 1
1 2,005 0,1
2 2,005 0,1 0,1 2,005 2 2,0145
0,1 0,1 0,2
'( , ) '( , )
2
(0,1 2,005 2) (0, 2 2,0145 2)
2,005 0,1 2,01925
2
MO
E MO MO
MO E
MO MO
i y x
y y h x y
x x h
f x y f x y
y y h
    
        
    
     
    
  
11
3
3
4 4
5
5 5
5
 2  2.03712250000000  0.3
 2.04121762500000 
 
i 3  2.06709586250000  0.4
 2.07080195062500 
 
i 4   2.10372175556250  0.5
 2.10707576531563 
E
MO
E
MO
E
MO
i y x
y
y x
y
y x
y
   

    

    

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Referências Bibliográficas
[1] BARROSO, Leônidas C. et. al., Cálculo Numérico (com Aplicações), 2a edição,
Editora Harbra, São
Paulo, 1987.
[2] CLAUDIO, Dalcidio M., MARINS, Jussara M., Cálculo Numérico Computacional,
2a edição, Atlas,
1994
[3] SANTOS, Vitoriano R. B., Curso de Cálculo Numérico, 4a edição, LTC, 1982.
[4] RUGGIERO, Márcia A. G., LOPES, Vera Lúcia R., Cálculo Numérico: Aspectos
Teóricos e
Computacionais, 2a edição, Makron Books, São Paulo, 1996.
[5] CAMPOS, R. J. A., Cálculo Numérico Básico. 1ª edição, Atlas, 1978
[6] CAMARGO, W. C. M., Apostila de Cálculo Numérico. Departamento de Informática.
UFPR.
Método de Euler melhorado (2a ordem)
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Para melhorar a qualidade da estimativa, a tangente a ser considerada não é 
a do ponto inicial do intervalo, mas no ponto médio. 
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Utilizando o Método de Euler, calcula-se o valor 2/1iy , no meio do 
intervalo, a partir da tangente ),( ii yxf : 
2
),(2/1
h
yxfyy iiii 
Com os valores 2/1ix e 2/1iy , determina-se a reta tangente no meio do 
intervalo: 
),( 2/12/1
'
2/1   iii yxfy 
 
Esse valor é assumido representar uma inclinação média do intervalo 
inteiro. Assim, determina-se o valor de y no ponto 1ix : 
 
hyyhyxfyy iiiiii  
'
2/12/12/11 ),( 
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Observe que a diferença em relação ao Método de Euler normal é a 
utilização da inclinação no meio do intervalo. 
Exemplo 2: Utilize o Método de Euler Melhorado para resolver 2'  yxy para 
2)0( y malha [0 ; 0,5], h=0,1. Os resultados parciais são apresentados a seguir de 
acordo com a sequência: 
 
1
2
1
2
'
1 1 1
2 2
1
 1:  
2
 2 : ,
2
 3 : , y
 4 :
i
i
i i i
i
Me
i i
i i
i i
h
Passo x x
h
Passo y y f x y
Passo y y f x h
Passo x x h



 

 
  
 
   
 
 
16
 
 
 
0 1/2 0
0 1/2 0 0 0
'
1 0 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2
1
1 0
0 
0,1
 0 0,05 
2 2
( , ) 2 0 2 2 0,05 2
2
( , ) 2
2 0,05 2 2 0,1 2,005
0 0,1 0,1
Me
Me
i
h
x x
h
y y f x y
y y f x y h y x y h
y
x x h


 

    
       
      
     
    
17
 
 
 
1 1
3/2 1
3/2 1 1 1
'
2 1 3/2 3/2 1 1 3/2 3/2
2
2 1
1 2,005; 0,1;
0,1
0,1 0,15 
2 2
( , ) 2,005 0,1 2,005 2 0,05 2,00975
2
( , ) 2
2,005 0,15 2,00975 2 0,1 2,019025
0,
Me
Me Me
Me
i y x
h
x x
h
y y f x y
y y f x y h y y x y h
y
x x h
   
    
       
       
     
   1 0,1 0,2 
18
5/2 5/2
7/2 7/2
9/2 9
3 3
4
5
2
4
/
 2 : 0.25  2.02807375000000
 2.04121762500000  0.3 
 
 3 : 0.35   2.05415674375000
 2.07080195062500  0.4 
 
 
 4 : 0.45   2.08726185309375
Me
Me
Me
i x y
y x
i x y
y x
i x y
y
   
  
   
  
   
52.10707576531563  0.5 x  
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Referências Bibliográficas
[1] BARROSO, Leônidas C. et. al., Cálculo Numérico (com Aplicações), 2a edição,
Editora Harbra, São
Paulo, 1987.
[2] CLAUDIO, Dalcidio M., MARINS, Jussara M., Cálculo Numérico Computacional,
2a edição, Atlas,
1994
[3] SANTOS, Vitoriano R. B., Curso de Cálculo Numérico, 4a edição, LTC, 1982.
[4] RUGGIERO, Márcia A. G., LOPES, Vera Lúcia R., Cálculo Numérico: Aspectos
Teóricos e
Computacionais, 2a edição, Makron Books, São Paulo, 1996.
[5] CAMPOS, R. J. A., Cálculo Numérico Básico. 1ª edição, Atlas, 1978
[6] CAMARGO, W. C. M., Apostila de Cálculo Numérico. Departamento de Informática.
UFPR.