Introdução à lógica matemática

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Matemática Discreta
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Neste tópico, faremos um breve passeio histórico, desde a criação da Lógica por 
Aristóteles até o seu desenvolvimento e perspectiva nos dias atuais, a fim de mostrar a 
você, caro(a) aluno(a), a importância da Lógica Matemática para a própria Matemática 
como também para outras áreas que se utilizam de suas bases teóricas.
Tradicionalmente, diz-
se que a Lógica é a ciência 
do raciocínio ou que está 
preocupada com o estudo 
do raciocínio. São objetos de 
estudo da Lógica os métodos 
e princípios usados para 
decidir pela validez ou não das 
conclusões e pela correção 
ou não dos raciocínios. Para 
Aristóteles, a Lógica seria uma 
ferramenta para a busca da 
verdade (ABE; SCALZITTI; SILVA 
FILHO, 2001; PEREIRA, 2001; 
MUNDIM, 2002). 
Tópico 1
 �
 � Reconhecer a Lógica em uma perspectiva de valor histórico
 � Compreender a importância da Lógica e de seu ensino
OBJETIVOS
Introdução à lógica matemática
Lógica deriva do termo 
grego logos (λόγος), que 
possui vários significados 
em português, sendo 
os mais básicos e 
usados inicialmente “palavra” e “verbo”. 
São também frequentemente associados 
ao termo significados como: “estudo”, 
“discurso”, “linguagem”, “princípio”, “ideia” 
e “explicação”. À época de filósofos gregos 
como Heráclito (535 – 475 a.C.), logos passou 
a ter o sentido mais amplo de “pensamento” 
e “razão” (GALINARI, 2011; CABRAL, 2013; 
http://queconceito.com.br/logos; https://
pt.wikipedia.org/wiki/Logos).
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Aula 1 | Tópico 1
Segundo Copi (1978, p. 19), “O estudo da lógica é o estudo dos métodos e 
princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto”. Salmon (1978, p. 
13), por sua vez, afirma que “A lógica trata, portanto, de argumentos e inferências. Um 
de seus propósitos básicos é apresentar métodos capazes de identificar os argumentos 
logicamente válidos, distinguindo-os dos que não são logicamente válidos”.
Inicialmente reconhecida como ramo comum da Filosofia e da Matemática, 
a enorme dimensão e diversidade 
alcançadas pela Lógica garantiram 
seu sucesso como ciência própria. 
Sua relevância é evidenciada 
principalmente por ter seus padrões de 
análise e crítica aplicáveis a qualquer 
área de estudo em que a inferência 
e o argumento sejam necessários, 
ou seja, a qualquer campo em que 
as conclusões devam basear-se em 
provas. Por estas razões, os princípios 
fundamentais da Lógica constituem a 
base da Matemática.
A Lógica é útil a qualquer área que exija raciocínios elaborados, bem como em 
casos práticos do nosso dia a dia. Conforme figura 1, o conhecimento básico de Lógica 
é indispensável, por exemplo, para estudantes de Matemática, Filosofia, Ciências, 
Línguas ou Direito, dentre outras áreas.
Figura 1 − Áreas / situações em que a Lógica está presente
Fonte: DEaD | IFCE..
Inferência é uma 
palavra que deriva 
do termo em latim 
inferentia e diz 
respeito ao ato de 
inferir ou tirar conclusão. A palavra 
argumento também vem do latim, 
do termo argumentu e corresponde 
a um raciocínio pelo qual se tira uma 
conclusão.
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Seu aprendizado auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de 
conceitos básicos e na verificação formal de provas, preparando para o entendimento 
dos conteúdos de tópicos mais avançados.
1.1 Um pouco de história
As raízes da Lógica encontram-se na antiga Grécia, com as concepções de alguns 
filósofos, entre eles Sócrates e Platão. Entretanto, no sentido mais geral da palavra, o 
estudo da Lógica remonta ao século IV a.C. e teve início com Aristóteles (384 – 322 a.C.), 
filósofo de Estagira. Ele criou a ciência da Lógica baseada na Teoria do Silogismo (certa 
forma de argumento válido) e suas principais contribuições foram reunidas em uma 
obra denominada Organon (palavra grega que significa Instrumento), revelando que 
a Lógica seria uma ferramenta básica para as descobertas na Ciência (ARISTÓTELES, 
1985; ARISTÓTELES, 2005). Dentre essas contribuições, destacamos:
 i) A separação da validade formal do pensamento e do discurso da sua verdade 
material;
 ii) A criação de termos fundamentais para analisar a lógica do discurso: Válido, 
Não Válido, Contraditório, Universal, Particular.
A Lógica Aristotélica ou Lógica Clássica era bastante rígida, mas permaneceu 
quase inalterada até o século XVI. Esse primeiro período é também conhecido como 
Período Aristotélico, o que mostra a influência das ideias de Aristóteles.
O período seguinte ao aristotélico é marcado por inovações que foram sendo 
acrescentadas ao sistema clássico e que, apesar de não introduzirem mudanças 
dramáticas em sua estrutura, o tornaram mais operacional e coerente. Nasce então, 
a Lógica Moderna, também designada como Lógica Simbólica, Lógica Matemática ou 
Logística, que pretendia, através da construção de linguagens simbólicas artificiais, 
expressar de forma rigorosa os conceitos e as operações do pensamento matemático, 
livrando, assim, a Lógica da demasiada dependência da linguagem natural e tornando-a 
mais formal.
Dentre vários filósofos e matemáticos de renome, destacam-se as contribuições 
para a Lógica Matemática de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), George Boole 
(1815 – 1864), Augustus de Morgan (1806 – 1871) e, mais recentemente, Bertrand Russel 
(1872 – 1970), Kurt Gödel (1906 – 1975) e Alfred Tarski (1902 – 1983).
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Aula 1 | Tópico 1
A Lógica Matemática tem hoje aplicações concretas extremamente relevantes 
em diversos domínios. Uma aplicação notadamente importante da Lógica na vida 
moderna é seu uso como fundamentação para a Computação e, em especial, para a 
Inteligência Artificial. A Lógica é utilizada no planejamento dos modernos computadores 
eletrônicos e é por meio dela que se justifica a “inteligência” dos computadores atuais.
Figura 2 − Robô “pensando”
Fonte: http://pt.freeimages.com/search/robot/3
Um pouco mais sobre os fundamentos da Lógica, sua história 
e classificações podem ser visto nos livros:
ABE, Jair Minoro; SCALZITTI, Alexandre e DA SILVA FILHO, 
João Inácio. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. São Paulo: 
Editora Arte & Ciência, 2001.
DA COSTA, Newton Carneiro Afonso. Ensaio sobre os Fundamentos da 
Lógica. 3. ed. São Paulo: Hucitec, 2008.
COPI, Irving Marmer. 2. ed. Introdução à Lógica. Tradução de Álvaro Cabral. 
São Paulo: Mestre Jou, 1978.
SALMON, Wesley C. Lógica. 4. ed. Tradução Leonidas Hegenberg e Octanny 
Silveira da Mota. Rio de Janeiro: Zahar, 1978.
Ou pesquisando nos sítios:
http://www.pucsp.br/~logica
http://www.filorbis.pt/filosofia/Hist.htm
https://sites.google.com/site/filosofarliberta/areas-disciplinas-da-filosofia/
logica
http://fabiopestanaramos.blogspot.com.br/2011/10/introducao-logica-
aristotelica.html
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Embora a lógica seja um tema com ricas conexões interdisciplinares e que 
se percebe até mesmo nas conversas informais ou na leitura de jornais ou revistas, 
seu ensino, em particular a nível básico, enfrenta sérias dificuldades, como sugere a 
ilustração a seguir.
Figura 3 − Charge sobre ensino e aprendizagem da Lógica
 Fonte: DEaD | IFCE.
A Lógica tem sido tradicionalmente apresentada de forma abstrata, sem 
exemplos concretos ligados a temas matemáticos específicos. Druck (1990, p. 10) 
destaca um componente bastante prático da Lógica Matemática, o qual é pouco 
explorado no ensino básico:
[...] o desenvolvimento da capacidade de usar e entender um discurso 
correto, identificando construções falaciosas, ou seja, incorretas, 
mas com a aparência de correção lógica. [...] a capacidade de 
argumentar e compreender argumentos, bem como a capacidade 
de criticar argumentações ou textos.
Do que expomos até aqui, fica evidenciado que uma das principais funções 
da Lógica Matemática é servir de fundamento ao raciocínio matemático, evitando 
ambiguidades e contradições por possibilitar determinar, com absoluta precisão e 
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Aula 1 | Tópico 1
rigor, quando umraciocínio matemático é válido e quando ele não o é, ou seja, ela 
fornece técnicas adequadas para a análise de argumentos. Nesse contexto, está 
pressuposta a ideia de provas ou demonstrações – essencial para sua formação como 
professor de Matemática, bem como são fornecidas as bases para a compreensão e 
resolução de problemas.
Além de ser uma ferramenta básica que nos auxilia na apropriação de objetos 
matemáticos (definições, representações, teoremas e demonstrações), a Lógica é um 
poderoso recurso na organização do pensamento humano.
Bem, caro(a) aluno(a), neste tópico, vimos um pouco da perspectiva histórica 
da Lógica, seu surgimento e florescimento, e conhecemos alguns dos estudiosos 
que deram contribuições para o seu desenvolvimento. Evidenciamos, também, a 
importância da Lógica nos dias atuais e apontamos dificuldades encontradas em 
seu ensino. No seguinte, veremos que a argumentação correta, por dedução ou por 
indução, é a técnica formal adotada pela Lógica Matemática para a descoberta de 
novos resultados.