Prévia do material em texto

www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 i 
Apostila de Matemática Básica 
 
 
 
 
Assunto: 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Coleção Fundamental - volume 1/8 
 
 
 
 
 
 
Autor: 
 
 
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 
 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 i 
Sumário 
 
Unidade 1 – Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio ......................................... 04 
1.1 Apresentação ....................................................................................................................... 04 
1.2 Simbologia Matemática mais usual ..................................................................................... 04 
1.3 Conjuntos Numéricos .......................................................................................................... 05 
1.4 Operações com Números Relativos ..................................................................................... 07 
1.4.1 Soma ou Adição ....................................................................................................... 07 
1.4.2 Subtração ou Diferença ............................................................................................ 08 
1.4.3 Multiplicação ........................................................................................................... 09 
1.4.4 Divisão ..................................................................................................................... 09 
1.4.5 Potenciação .............................................................................................................. 10 
1.4.6 Radiciação ................................................................................................................ 11 
1.4.7 Produto ..................................................................................................................... 14 
1.4.8 Expoente Nulo ......................................................................................................... 15 
1.4.9 Expoente Negativo ................................................................................................... 15 
1.4.10 Expoente Fracionário ............................................................................................... 16 
1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos 
números ................................................................................................................... 16 
1.5 Produtos Notáveis ................................................................................................................ 16 
1.5.1 Quadrado de um binômio ........................................................................................ 16 
1.5.2 Produto da Soma de dois termos pela diferença entre eles ...................................... 17 
1.5.3 Cubo de um binômio ............................................................................................... 17 
1.6 Equações .............................................................................................................................. 19 
1.6.1 Equação do 1.º grau com uma Incógnita ................................................................. 19 
1.6.2 Equação do 2.º grau com uma Incógnita ................................................................. 20 
1.7 Progressão Aritmética (P. A.) .............................................................................................. 22 
1.7.1 Definição .................................................................................................................. 22 
1.7.2 Classificação ............................................................................................................ 22 
1.7.3 Termo Geral ............................................................................................................. 23 
1.7.4 Propriedades ............................................................................................................ 23 
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. A. ............................................................. 25 
1.8 Progressão Geométrica (P. G.) ............................................................................................ 28 
1.8.1 Definição .................................................................................................................. 28 
1.8.2 Classificação ............................................................................................................ 29 
1.8.3 Termo Geral ............................................................................................................. 29 
1.8.4 Propriedades ............................................................................................................ 30 
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. G. ............................................................. 32 
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano ...................................................................................... 35 
1.10 Equação reduzida da Reta .................................................................................................... 37 
1.11 Noção de Aplicação ............................................................................................................. 42 
1.12 Exercícios Propostos............................................................................................................ 43 
1.13 Respostas dos Exercícios Propostos .................................................................................... 46 
1.14 Números Complexos ........................................................................................................... 47 
1.14.1 Introdução ................................................................................................................ 47 
1.14.2 Potências de j ........................................................................................................... 50 
1.14.3 Representações e Formas de um Número Complexo .............................................. 51 
a) Representações .................................................................................................. 51 
b) As Fórmulas de Euler e suas decorrências ........................................................ 54 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 ii 
c) Formas ............................................................................................................... 55 
c.1) Cartesiana ou Retangular ............................................................................ 55 
c.2) Trigonométrica ........................................................................................... 55 
c.3) Exponencial ou de Euler ............................................................................. 55 
c.4) Polar ou de Steinmetz ................................................................................. 55 
c.5) Algumas Formas Polares Especiais ............................................................ 60 
c.6) Complexo Conjugado ................................................................................. 60 
1.14.4 Operações com Números Complexos ...................................................................... 62 
a) Igualdade ............................................................................................................ 62 
b) Adição e Subtração ............................................................................................ 62 
c) Multiplicação ..................................................................................................... 67 
d) Divisão ............................................................................................................... 69 
e) Potenciação ........................................................................................................71 
f) Radiciação .......................................................................................................... 74 
1.14.5 Desigualdade do Triângulo ...................................................................................... 82 
1.14.6 Curvas e Regiões no Plano Complexo ..................................................................... 84 
a) Circunferência .................................................................................................... 84 
b) Disco Fechado ................................................................................................... 86 
c) Disco Aberto ...................................................................................................... 87 
d) Exterior da Circunferência ................................................................................. 87 
e) Coroa Fechada ................................................................................................... 88 
f) Coroa Aberta ...................................................................................................... 88 
g) Circunferência Unitária ..................................................................................... 88 
h) Reta que une dois pontos ................................................................................... 89 
1.15 Exercícios Propostos sobre Números Complexos ............................................................... 90 
1.16 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Números Complexos ....................................... 97 
 
Unidade 2 – Somatórios, Produtórios e uma Introdução às Medidas de Posição ............... 115 
2.1 Introdução aos Somatórios ................................................................................................ 115 
2.2 Definição formal de somatório .......................................................................................... 116 
2.3 Propriedades dos Somatórios ............................................................................................ 118 
2.4 Somatório Duplo................................................................................................................ 125 
2.5 Propriedade dos Somatórios Duplos.................................................................................. 127 
2.6 Exercícios Propostos sobre Somatórios ............................................................................. 128 
2.7 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Somatórios ..................................................... 132 
2.8 Introdução aos Produtórios ................................................................................................ 134 
2.9 Definição Formal de Produtório ........................................................................................ 134 
2.10 Propriedades dos Produtórios ............................................................................................ 135 
2.11 Exercícios Propostos sobre Produtórios ............................................................................ 137 
2.12 Respostas dos Exercícios sobre Produtórios ..................................................................... 139 
2.13 Introdução às Medidas de Posição ..................................................................................... 140 
2.14 Média Aritmética – Dados Não-agrupados ....................................................................... 140 
2.15 Média Aritmética – Dados Agrupados .............................................................................. 141 
2.16 Média Geral ....................................................................................................................... 143 
2.17 Média Geométrica – Dados Não-agrupados ...................................................................... 143 
2.18 Média Geométrica – Dados Agrupados............................................................................. 144 
2.19 Média Harmônica – Dados Não-agrupados ....................................................................... 145 
2.20 Média Harmônica – Dados Agrupados ............................................................................. 146 
2.21 Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição ............................................................... 149 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 iii 
2.22 Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição ............................................................. 151 
2.23 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição ....................................... 152 
2.24 Respostas dos Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição ..................................... 152 
 
Unidade 3 – Matrizes, um primeiro enfoque .......................................................................... 153 
3.1. Apresentação ..................................................................................................................... 153 
3.2. Introdução Histórica .......................................................................................................... 153 
3.3. Conceitos Fundamentais .................................................................................................... 154 
3.4. Matrizes Especiais e Operações com Matrizes .................................................................. 160 
3.4.1 Matriz Linha .......................................................................................................... 161 
3.4.2 Matriz Coluna ........................................................................................................ 161 
3.4.3 Matriz Quadrada .................................................................................................... 161 
3.4.4 Matriz Triangular ................................................................................................... 164 
3.4.5 Matriz Diagonal ..................................................................................................... 164 
3.4.6 Matriz Escalar ........................................................................................................ 165 
3.4.7 Matriz Identidade ou Matriz Unidade .................................................................... 165 
3.4.8 Matriz Nula ou Matriz Zero ................................................................................... 166 
3.4.9 Igualdade de Matrizes ............................................................................................ 166 
3.4.10 Transposição de matrizes ....................................................................................... 167 
3.4.11 Matriz Oposta ........................................................................................................ 168 
3.4.12 Matriz Conjugada .................................................................................................. 169 
3.4.13 Matriz Simétrica .................................................................................................... 170 
3.4.14 Matriz Anti-simétrica ............................................................................................. 171 
3.4.15 Matriz Hermitiana .................................................................................................. 173 
3.4.16 Matriz Anti-hermitiana .......................................................................................... 173 
3.4.17 Soma ou Adição de Matrizes ................................................................................. 174 
3.4.18 Subtração ou Diferença de Matrizes ...................................................................... 178 
3.4.19 Produto de um Número Complexo por uma Matriz .............................................. 179 
3.4.20 Produto de Matrizes ............................................................................................... 186 
3.4.21 Matriz Periódica .....................................................................................................204 
3.4.22 Matriz Idempotente ................................................................................................ 205 
3.4.23 Matriz Nilpotente ou Nulipotente .......................................................................... 206 
3.4.24 Polinômio de uma Matriz ...................................................................................... 206 
3.4.25 Matrizes em Blocos ou Partição de Matrizes......................................................... 207 
3.5 Exercícios Propostos.......................................................................................................... 211 
3.6 Respostas dos Exercícios Propostos .................................................................................. 218 
 
 
 
 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 4 
Unidade 1
Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio 
 
1.1 Apresentação 
Esta é a primeira unidade da disciplina Matemática 1 dos cursos da área de Informática da 
Universidade Estácio de Sá. 
Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido várias turmas anteriores de 
experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos básicos que 
entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os 
estudantes que estejam fora do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam 
colocar suas idéias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares. 
 
1.2 Simbologia Matemática mais usual 
Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia: 
a) = (igual à) 
b) ≠ (diferente de) 
c) φ ou { } (conjunto vazio) 
d) ∈ (pertence à) 
e) ∉ (não pertence à) 
f) ⊂ (está contido) 
g) ⊄ (não está contido) 
h) ⊃ (contém) 
i) ⊃/ (não contém) 
j) ∃ (existe pelo menos um) 
k) ∃/ (não existe) 
l) ∃| (existe e é único) 
m) | (tal que / tais que) 
n) ∨ (ou) 
o) ∧ (e) 
p) BA∩ (interseção dos conjuntos A e B) 
q) BA∪ (união dos conjuntos A e B) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 5 
r) ∀ (para todo e qualquer, qualquer que seja) 
s) ⇒ (implica) 
t) ⇔ (implica e a recíproca é equivalente) 
u) ∴ (donde se conclui) 
 
1.3 Conjuntos Numéricos 
É lógico que, para a Matemática, os conjuntos de maior importância são aqueles formados 
por números, e certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades 
das operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam: 
a) N { } 4, 3, 2, 1, 0,= 
é o conjunto dos números inteiros não-negativos. 
b) Z { } 3, 2, 1, 0, 1, 2, , 3 , −−−= 
é o conjunto dos números inteiros. 
c) Q






==
q
pxx | sendo p ∈ Z, q ∈ Z e q ≠0. 
É o conjunto dos números racionais. 
São exemplos de números racionais: 
5
3
− , 
2
9
− , 
3
8
+ , etc. 
São exemplos de números irracionais: 14159,3=π (pi), 71828,2=e (base dos logaritmos 
neperianos), 41421,12 = , 73205,13 = , etc. 
d) R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais, e 
costumamos associar tais números aos pontos de uma reta que, por definição, é infinita em 
ambos os sentidos. 
∞+∞−
3
–3 –2 –1 0 1 2 3
2
2
2
1
1
3
 
Fig. 1.1 Representação gráfica de alguns elementos do conjunto R. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 6 
e) { }yxzz j+== |C , sendo x ∈ R, y ∈ R e é 1−=j , é o conjuntos dos números complexos 
(voltaremos a tal assunto na seção 1.14). 
Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do 
conjunto. Assim, temos: 
f) N* { } { ∈== xx |5, 4, 3, 2, 1,  N e }0≠x 
é o conjunto dos números naturais. 
g) Z* { ∈= xx | Z e }0≠x 
h) Q* { ∈= xx | Q e }0≠x 
i) R* { ∈= xx | R e }0≠x 
j) C* { ∈= xx | C e }0≠x 
Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os 
números negativos dos conjunto. 
k) Z + { ∈= xx | Z e }0≥x =N 
é o conjunto dos números inteiros não negativos. 
l) Q+ { ∈= xx | Q e }0≥x 
é o conjunto dos números racionais não negativos 
m) R+ { ∈= xx | R e }0≥x 
é o conjunto dos números reais não negativos. 
Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os 
números positivos do conjunto. Assim, temos: 
n) Z − { ∈= xx | Z e }0≤x 
é o conjunto dos números inteiros não positivos. 
o) Q− { ∈= xx | Q e }0≤x 
é o conjuntos dos números racionais não positivos. 
p) R− { ∈= xx | R e }0≤x 
é o conjunto dos números reais não positivos. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 7 
Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos Z + , Z − , Q+ , Q− , R+ , R− . Se excluímos o 
zero destes conjuntos, teremos: 
q) Z +
* { ∈= xx | Z e }0>x 
r) Z −
* { ∈= xx | Z e }0<x 
s) Q+
* { ∈= xx | Q e }0>x 
t) Q−
* { ∈= xx | Q e }0<x 
u) R+
* { ∈= xx | R e }0>x 
v) R−
* { ∈= xx | R e }0<x 
O conjunto R+
* é chamado conjunto dos números reais estritamente positivos e R−
* é o 
conjunto dos números reais estritamente negativos. Os outros têm nomes semelhantes. 
Notemos a propriedade: 
CRQZN ⊂⊂⊂⊂* 
isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real e 
todo número real é também complexo. 
 
1.4 Operações com Números Relativos 
• Ilustração 1.1: Números relativos 
3− 2− 1− 0 1 2 3∞− ∞+
 
 
1.4.1 Soma ou Adição 
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; 
quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o 
deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai 
alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes 
do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que 
o sinal será o de mais (+). 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 8 
• ILUSTRAÇÃO 1.2 
a) 12210)2()10( +=++=+++ 
b) 8210)2()10( +=−+=−++ 
c) 8210)2()10( −=+−=++− 
d) 12210)2()10( −=−−=−+− 
 
Quando devemos somar mais de dois números relativos o resultado é obtido somando 
o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última 
parcela. 
 
• ILUSTRAÇÃO 1.3 
=++++−+−++ )4()3()7()3()5( 
=++++−++= )4()3()7()2( 
=++++−= )4()3()5( 
=++−= )4()2( 2 
 
Podemos também adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as 
negativas e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos. 
 
• ILUSTRAÇÃO 1.4 
 Efetuando a soma do exemplo anterior, temos: 
— soma das parcelas positivas: 
— 12)4()3()5( +=+++++ 
— soma das parcelas negativas: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 9 
— 10)7()3( −=−+− 
— soma de ambos os resultados: 
— 2)10()12( +=−++ 
 
1.4.2 Subtração ou Diferença 
Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do 
número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior. 
 
• ILUSTRAÇÃO 1.5 
a) 8210)2()10( +=−+=+−+ 
b) 12210)2()10( +=++=−−+ 
c) 12210)2()10( −=−−=+−− 
d) 8210)2()10( −=+−=−−− 
 
Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a 
seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto 
que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”. 
 
1.4.3 Multiplicação 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 10 
• Ilustração 1.6 
a) 20)2()10( +=+×+ 
b) 20)2()10( −=−×+ 
c) 20)2()10(−=+×− 
d) 20)2()10( +=−×− 
 
1.4.4 Divisão 
• Ilustração 1.7 
a) 5)2()10( +=+÷+ 
b) 5)2()10( −=−÷+ 
c) 5)2()10( −=+÷− 
d) 5)2()10( +=−÷− 
 
 
1.4.5 Potenciação 
Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta 
operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de 
fatores iguais a este número, sendo representada por: 
 
pa 
Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, 
qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o 
sinal de base. 
 
→ expoente (n.º de repetições dos fatores iguais) 
→ base (é o número ou fator em questão) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 11 
• Ilustração 1.8 
a) ( ) ( ) ( ) ( ) 162)2(222 4 =+×+×+×+=+ 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 162222)2( 4 =−×−×−×−=− 
c) ( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 =+×+×+=+ 
d) ( ) ( ) ( ) 8222)2( 3 −=−×−×−=− 
 
Para executar a potenciação de um número relativo em uma minicalculadora, a seqüência 
de operações é simples: 
(a) Determinar 42 : 
1.º) Digitamos a base (2) 
2.º) Pressionamos a tecla exponencial 





 
xy 
 
yx 
(CASIO modelo fx-82LB) 
ou 
(CASIO modelo fx-6300 G) 



 , 
que depende do modelo da minicalculadora. 
3.º) Digitamos o expoente (4) 
4.º) Pressionamos a tecla exponencial 





 
= 
 
EXE 
(CASIO modelo fx – 82LB) 
ou 
(CASIO modelo fx – 6300G) 



, 
 que depende do modelo da minicalculadora. 
5.º) Vai aparecer o número 16 no visor da calculadora. 
(b) Determinar ( )42− : 
Primeiramente digitamos a base (–2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 – LB, 
por exemplo) digitamos o número 2 e depois apertamos a tecla −+ para trocar o 
sinal para menos. Em outras (CASIO fx – 6300G) apertamos a tecla – e depois 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 12 
digitamos o número 2. O restante da seqüência de operações é igual a do item a: tecla 
exponencial, expoente... 
 
A esta altura é interessante notar a diferença entre a potenciação seqüencial e 
a potenciação escalonada, que serão analisadas logo a seguir. 
 
• Ilustração 1.9 
 
a) Potenciação Seqüencial: 
[ ] [ ] 64 4 )2( 332 == , que também pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base 
e multiplicando-se os expoentes: 
6422 632 ==× 
b) Potenciação Escalonada: 
322 que pode ser entendida como 2
2
3
 , ou seja: 
25622 82
3
== 
 
1.4.6 Radiciação 
a) Raiz n-ésima de um número: 
Dizemos que um número “b” é a raiz n-ésima exata de um número “a” quando 
nba = 
e ela é representada por 
ban = 
Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número. Nas 
operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 13 
Temos então: 





radical do índice o é "" número O
radicando o é "" número O
radical o é sinal O
n
a 
Assim sendo 
39 = porque 932 = 
283 = porque 823 = 
No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical. 
No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica, mas este índice aparece no radical. 
 
b) Valor algébrico dos radicais: 
Se o radicando é considerado em valor absoluto (módulo), a radiciação é uma operação 
unívoca. No entanto, se este radicando é um número relativo a unicidade, em alguns casos, 
não estará mais garantida e por isso vamos considerar três casos: 
1.º) Índice par e radicando positivo. 
 Neste caso o radical admitirá duas raízes reais e simétricas no conjunto dos números 
reais, bem como um par complexo conjugado (vide exercício proposto 39, item j da seção 
1.15). 
 
2.º) Índice ímpar. 
 Sendo o índice do radical um número ímpar, temos uma raiz no conjunto dos 
números reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e (n – 1) raízes no conjunto dos números 
complexos (vide exercício proposto 38, item f, da seção 1.15). 
 
3.º) Índice para e radicando negativo. 
 Neste caso não existe nenhum valor do conjunto do números reais que elevado ao 
índice para seja igual ao radicando. Este assunto será abordado na seção 1.14. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 14 
• Ilustração 1.10 
 
1.º caso 
( )
( )
( )
( )









+=−
+=+
±=+



+=−
+=+
±=+
6255
6255 pois 5625
648
648 pois 864
4
4
4
2
 
2.º caso ( )
( )


−=−−=−
+=++=+
322 pois 232
322 pois 232
55
55
 
3.º caso 


 ±=−
1.14 seção na abordado será assunto tal
mencionado já conforme e, 4 j 
 
Observação: pelo que foi exposto, se alguém lhe perguntar qual é o valor de 9 , a resposta e 
simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algébrico do 9 teremos então ± 3. 
A determinação de raízes através de minicalculadoras é simples: 
a) Determinar 4 625 : 
a.1) Utilizando uma CASIO fx-82 LB: 
1.º) Digitamos o radicando 625 
2.º) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operação x y 
3.º) Digitamos o expoente 4 
4.º) Pressionamos a tecla = 
5.º) O número 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se 
desejamos o valor algébrico da raiz a resposta completa é ± 5. 
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G 
1.º) Digitamos o índice 4 
2.º) Pressionamos a tecla x 
3.º) Digitamos o radicando 625 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 15 
4.º) Pressionamos a tecla EXE 
5.º) O número 5 aparece no visor 
b) Determinar 5 32− : 
a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB 
1.º) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla −+ para trocar o seu sinal 
2.º) Pressionamos as teclas F nd2 e xy a fim de convocar a operação x y 
3.º) Digitamos o índice 5 
4.º) Pressionamos a tecla = 
5.º) O valor – 2 aparece no visor. 
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G 
1.º) Digitamos o índice 5 
2.º) Pressionamos a tecla x 
3.º) Pressionamos a tecla − e depois o valor 32 
4.º) Pressionamos a tecla EXE 
5.º) O valor – 2 aparece no visor. 
Observação: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas 
de modelos diferentes, são totalmente diferentes. O que não esperar de modelos de outros 
fabricantes? 
Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua própria calculadora, a fim de se 
familiarizar com o uso da mesma. 
 
1.4.7 Produto e Divisão de Potências de Mesma Base 
a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. 
b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do 
denominador do expoente do numerador. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 16 
• Ilustração 1.11 
a) 2
3
2
1423
2
1
423 aaaaaa ==×××
+−+− 
b) 3585
8
bb
b
b
== − 
c) 3525
2
−− == xx
x
x 
d) 7)4(34
3
II
I
I
== −−− 
 
1.4.8. Expoente Nulo 
 Toda potência de expoente nulo é igual à unidade. 
Ilustração 1.12 
10 =a 
 
Observação: 
São exceções 00 e 0∞ , que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de 
indeterminação, e são abordados em Análise Matemática na parte de Limites. 
 
1.4.9 Expoente Negativo 
Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e o 
denominador é a potência com o expoente positivo ou seja: n
n
a
a 1=− . (1) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 17 
• Ilustração 1.13 
a) 
16
1
2
12 4
4 ==− 
b) 
9
1
3
13 2
2 ==− 
 
Observações: 
1ª) Em conseqüência do exposto anteriormente temos: 
n
n
a
a −=
1
 (2) 
2ª) Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustração 11por outro caminho: 
743
4
3
III
I
I
=×=− 
 
1.4.10 Expoente Fracionário 
Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador da 
fração e cujo radicando é a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja: 
q pq
p
aa = (3) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 18 
• Ilustração 1.14 
 Determinar os valores algébricos das seguintes operações: 
a) 46488 33 23
2
=== 
b) 416162
1
±== 
c) 
2
1
4
1
4
14
2
1
2
1
±===
−
 
 
1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números 
• Ilustração 1.15 
 No Brasil: Nos E.U.A.: 
a) 3102000 2 ×= * —→ 3102000,2 ×= 
b) 6104000 000 4 ×= * —→ 6104000,000,4 ×= 
c) 41030003,0 −×= —→ 41030003.0 −×= 
d) 31025025,0 −×= —→ 31025025.0 −×= 
(*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhões, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. Já há alguns anos aboliram-se 
os pontos separatrizes de classes, mantendo-se agora um espaço entre as mesmas. 
 
1.5 Produtos Notáveis 
1.5.1 Quadrado de um binômio 
a) 2)( ba + : 
22222 2)( )()( babababababababa ++=+++=++=+ 
ou 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 19 
22
2
2
2 baba
bab
aba
ba
ba
++
++
+
+
+
 
222 2)( bababa ++=+ (4) 
b) 2)( ba − : 
22222 2)( )()( babababababababa +−=+−−=−−=− 
ou 
22
2
2
2 baba
bab
aba
ba
ba
+−
+−
−
−
−
 
222 2)( bababa +−=− (5) 
 
1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles 
)( )( baba −+ : 
2222)( )( babababababa −=−+−=−+ 
ou 
22
2
2
ba
bab
aba
ba
ba
−
+−
+
−
+
 
22)( )( bababa −=−+ (6) 
 
1.5.3 Cubo de um binômio 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 20 
a) =+++=++=+ )2)(())(()( 2223 babababababa 
=+++++= 322223 22 babbaabbaa 
3223 33 babbaa +++= 
ou 
3223
322
223
22
33
2
2
2
babbaa
babba
abbaa
ba
baba
+++
++
++
+
++
 
32233 33)( babbaaba +++=+ (7) 
b) =+−−=−−=− )2)(())(()( 2223 babababababa 
=−+−+−= 322223 22 babbaabbaa 
3223 33 babbaa −+−= 
ou 
3223
322
223
22
33
2
2
2
babbaa
babba
abbaa
ba
baba
−+−
−+−
+−
−
+−
 
( ) 32233 33 babbaaba −+−=− (8) 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 21 
• Ilustração 1.16 
a) ( ) ( ) ( ) ( ) =++=+ 222 55 25 xxaaxa 
22 2510 xaxa ++= 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−=− 222222 33 52535 yyxxyx 
224 93025 yyxx +−= 
c) ( )( ) ( ) ( ) yxyxyxyx −=−=−+ 22 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++=+ 32233 33 2 332 3232 yyxyxxyx 
3223 2754368 yxyyxx +++= 
e) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =−+−=− 32233 22 32 32 yyxyxxyx 
3223 8126 yxyyxx −+−= 
 
1.6 Equações 
1.6.1 Equação do 1º Grau com uma Incógnita 
Toda equação do 1º grau com uma incógnita pode ser reduzida a forma 
0=+ baz (9) 
em que 0≠a . 
Sua solução é: 
⇒−=⇒=+ bazbaz 0 
a
bz −= (10) 
 
EXEMPLO 1.1 
Resolver as seguintes equações do 1º grau: 
a) 3713 −=+ zz 
b) 
12
15
2
5
=
x
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 22 
c) 
4
6
2
3
=
−y
 
d) 0=+ qpz (sendo p ≠ 0) 
 
Solução: 
a) ∴−=+ 3713 zz 
1 
4
4
44
3173
=∴
−
−
=
∴−=−
∴−−=−
zz
z
zz
 
b) ∴= 
12
15
2
5
x
 
( )
2
30
60
6030
125152
=∴=
∴=
∴×=
xx
x
x
 
c) ∴=
−
 
4
6
2
3
y
 
( )
4
6
24
246
12126
4326
=∴=
∴=
∴=−
∴×=−
yy
y
y
y
 
d) ∴=+ 0qpz 
p
qz
qpz
−=
∴−= 
 
 
1.6.2 Equação do 2º Grau com uma Incógnita 
A forma geral da equação do 2º grau com uma incógnita é: 
02 =++ cbzaz (11) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 23 
onde 0≠a . 
Vamos então transformar a equação em outra equivalente, de modo que o primeiro 
membro seja um quadrado perfeito do tipo indicado na equação (4). 
a) Transpondo a constante para o segundo membro, vem: 
cbzaz −=+2 
b) Multiplicando por a4 , teremos: 
acabzza 444 22 −=+ 
c) Somando 2b aos dois membros, resulta: 
acbbabzza 444 2222 −=++ 
d) Verificando que o 1º membro é um quadrado perfeito, teremos: 
( ) acbbaz 42 22 −=+ 
e) Extraindo as raízes quadradas de ambos os membros, obtemos: 
∴−±−=
∴−±=+
 42
 42
2
2
acbbaz
acbbaz 
a
b
a
acbbz
22
42 ∆±−
=
−±−
= (12) 
que é a conhecida fórmula da Bhaskara, onde 
acb 42 −=∆ .....(13) 
é o discriminante da equação, e três casos podem ocorrer: 
1º) 0>∆ ⇒ teremos duas raízes reais e desiguais. 
2º) 0=∆ ⇒ teremos duas raízes reais e iguais. 
3º) 0<∆ ⇒ não teremos raízes no conjunto dos números reais, e este caso será abordado na 
seção 1.14. 
 
Exemplo 1.2 
Resolver as seguintes equações do 2º grau: 
a) 0352 2 =−+ zz 
b) 0144 2 =+− zz 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 24 
c) 01342 =++ zz 
Solução: 
a) 





−=
=
=
⇒=−+
3
5
2
0352 2
c
b
a
zz 
( ) 4932454 22 =−××−=−=∆ acb 
4
75
22
495
2
±−
=
×
±−
=
∆±−
=
a
bz 
2
1
4
2
4
75
1 ==
+−
=z 
3
4
12
4
75
2 −=
−
=
−−
=z 
b) 





=
−=
=
⇒=+−
1
4
4
0144 2
c
b
a
zz 
( ) 014444 22 =××−−=−=∆ acb 
( )
8
04
42
04
2
±
=
×
±−−
=
∆±−
=
a
bz 
dupla raiz 
2
1
8
04
2
1
8
04
2
1






=
−
=
=
+
=
z
z
 
c) 





=
=
=
⇒=++
13
4
1
01342
c
b
a
zz 
( ) 0365216131444 22 <−=−=××−=−=∆ acb 
e esta equação não admite raízes no campo real. Sua solução será apresentada na subseção 
1.14.1 ( 321 j+−=z e 322 j−−=z são as suas raízes). 
 
1.7 Progressão Aritmética (P.A.) 
1.7.1 Definição 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 25 
É uma sucessão de termos 
( , , , , , , , , , 1
 termos
14321   
 +− n
n
nn aaaaaaa ) 
finita ou infinita, sendo que, a partir do 2º termo inclusive, a diferença entre um termo 
qualquer e o seu antecedente é igual a uma quantidade constante r, denominada razão da 
progressão, ou seja: 
raaaaaaaa nnnn =−=−==−=− +− 112312  
As seguintes seqüências são exemplos de P.A.: 
a) ( 2 ) 22 17, 12, 7, 2, 1 =⇒ a e 5=r 
b) ( xatxtxtxx =⇒+++ 1 ) 6 ,4 ,2 ,  e tr 2= 
c) ( 5 ) 5 ,5 ,5 ,5 ,5 1 =⇒ a e 0=r 
d) 7 9 , 
2
17 ,8 ,
2
15 ,7 1 =⇒




 a e 
2
1
=r 
e) ( 8 ) 4 1, ,2 ,5 ,8 1 =⇒−− a e 3−=r 
 
1.7.2 Classificação 
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r: 
⇒> 0r P.A. crescente 
⇒= 0r P.A. constante ou estacionária 
⇒< 0r P.A. decrescente 
 
1.7.3 Termo geral 
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma: 
( )
( )
( )rnaraaraa
rarraraaraa
rarraraaraa
raaraa
nnnn 1 
32
2
111
113434
112323
1212
−+==+=⇒=−
+=++=+=⇒=−
+=++=+=⇒=−
+=⇒=−
−− 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 26 
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro um número de razões r igual 
à posição do termo menos uma unidade, ou seja: 
( )
( )
( )
( )rnaa
raraa
raraa
raraa
n 1
143
132
12
1
114
113
112
−+==
−+=+=
−+=+=
−+=+=

 
O termo de ordem n da P.A. é dado, portanto, pela fórmula a seguir: 
( )rnaan 11 −+= (14) 
que pode também ser obtida da seguinte maneira: 
( )rnaa
raa
raa
raa
raa
n
nn
11
1
34
23
12
−=−
=−
=−
=−
=−
−
 Somando membro a membro estas n – 1 igualdades obtemos a 
expressão do termo de ordem n. 
e 
( )rnaan 11 −+= (14) 
que é a mesma equação anteriormente encontrada. 
 
1.7.4 Propriedades 
I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o termo precedente e 
o termo seguinte.Com efeito, se 
 , , 11 +− nnn aaa 
são termos consecutivos de uma P.A., então podemos escrever: 
nnnn aaaa −=− +− 11 
ou seja, 
112 +− += nnn aaa 
e 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. I – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 27 
2
11 +− += nnn
aaa (15) 
 
II) Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é constante e 
igual à soma dos próprios extremos. 
Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razão r, e A e B os termos eqüidistantes dos 
extremos, conforme ilustrado a seguir: 
(
  

  

 termos
1
 termos
21 , , , , , , , , 
p
nn
p
aaBAaa − ) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 25 
Apostila de Matemática Básica 
 
 
 
 
Assunto: 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Coleção Fundamental - volume 2/8 
 
 
 
 
 
 
Autor: 
 
 
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 
 
 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 26 
Continuação .... 
Pela fórmula do termo geral, 
( )rpaA 11 −+= (16) 
Considerando agora a progressão 
  

 termos
1 , , , 
p
nn aaB − 
temos pela fórmula de termo geral, 
( )rpBan 1−+= (17) 
Subtraindo (17) de (16) resulta: 
BaaA n −=− 1 
o que nos conduz a 
naaBA +=+ 1 (18) C.Q.D 
 
I) Em uma P.A. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média aritmética 
dos extremos. 
Neste caso temos: 
(
  
  

  

 termos12 com P.A.
 termos
1
 termos
21 , , , , , , , , 
+=
−
pn
p
nn
p
aaBMAaa ) 
Pelas propriedades I e II temos: 
2
BAM += 
e 
naaBA +=+ 1 
Logo, 
2
1 naaM += (19) C.Q.D. 
 
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.A. 
Com relação a P.A.: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 27 
( , , , , , , , , 1
 termos
12321   
 +−− n
n
nnn aaaaaaa ) 
podemos escrever: 
nnnn aaaaaaS ++++++= −− 12321  (20) 
ou, invertendo-se a ordem das parcelas, 
12321 aaaaaaS nnnn ++++++= −−  (21) 
Somando (20) e (21) membro a membro obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1213223121 2 aaaaaaaaaaaaS nnnnnnn ++++++++++++= −−−−  , onde 
temos n parênteses. 
No entanto, pela propriedade II todos os parênteses são iguais a naa +1 . 
Logo, 
( )naaS nn += 12 
e 
( )
2
1 naaS nn
+
= (22) 
 
Observações: 
1) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos NSn > , sendo N um número arbitrariamente 
grande. 
Poremos: 
∞+= lim nS 
+∞→n 
ou 
∞+→ nS quando ∞+→ n 
 
2) No caso de uma progressão decrescente, ilimitada, teremos as seguintes condições: 
∞−= lim nS 
+∞→n 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 28 
ou 
∞−→ nS quando ∞+→ n 
 
Exemplo 1.3 
Calcule o 17: termo da P.A. (  ,31 ,8 ,3 ) 
Solução: 
Temos que: 
31 =a e 5=r 
Logo, 
( ) 83516316117 1117 =×+=+=−+= raraa 
 
Exemplo 1.4 
Calcule a soma dos doze primeiros números ímpares. 
 
Solução: 
Temos então: 
(  ,5 ,3 ,1 ) 
Donde, 
11 =a e 2=r , logo 
( ) 23211111112 1112 =×+=+=−+= raraa 
 
( ) ( ) 144
2
12231
2
12121
12 =
×+
=
×+
=
aaS 
 
Exemplo 1.5 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 29 
No depósito de uma firma de informática, costuma-se empilhar as caixas de um 
determinado equipamento em filas horizontais superpostas, conforme ilustrado na figura. Quantas 
dessas filas seriam necessárias para empilhar 171 dessas caixas? 
 
Fig. 1.2 
Solução: 
Temos uma P.A. representada por 
(  ,3 ,2 ,1 ) 
onde, 11 =a e 1=r 
Desejamos saber o n para o qual temos 171=nS . 
Sabemos que: 
( ) ( )[ ] ( )[ ]
2
12
2
1
2
1111 nrnanrnaanaaS nn
×−+
=
−++
=
+
= 
Substituindo valores, 
( )[ ]
[ ]
[ ]
0342
,342
,1342
,12342
,
2
1112171
2
2
=−+
+=
+=
−+=
×−+×
=
nn
nn
nn
nn
nn
 
que é uma equação do 2º grau para a qual 1=a , 1=b e 342−=c . 
Assim sendo, 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 30 
( )
19
18
2
371
2
13691
12
3421411
2
4
"
'
22
−=
=
=
±−
=
±−
=
=
×
−××−±−
=
−±−
=
n
n
a
acbbn
 
Como não existe número de fileiras negativo, só a 1ª raiz tem significado físico. 
1.8 Progressão Geométrica (P.G.) 
1.8.1 Definição 
É uma sucessão de termos 
( , , , , , , , , , 1
 termos
14321   
 +− n
n
nn aaaaaaa ) 
finita ou infinita, sendo que , a partir do 2º termo inclusive, a razão entre um termo qualquer e o seu 
antecedente é igual a uma quantidade constante q, denominada razão da progressão, ou seja: 
q
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n ===== +
−
1
12
3
1
2  
As seqüências a seguir são exemplos de P.G.: 
a) (1 , 4 , 16 , 64 , ) ⇒ 11 =a e 4=q 
b) (x , 2xt , 4xt , 6xt , ) ⇒ xa =1 e 
2tq = 
c) (8 , 2 , 
2
1 , 
8
1 , ) ⇒ 81 =a e 4
1
=q 
d) (7 , 7 , 7 , 7 , ) ⇒ 71 =a e 1=q 
e) ( 4− , 8 , 16− , 32 , ) ⇒ 41 =a e 2−=q 
 
1.8.2 Classificação 





<<<
>>
10e 0
ou 
1 e 0
1
1
qa
qa
⇒ P.G. crescente 





<<>
><
10e 0
ou 
1 e 0
1
1
qa
qa
⇒ P.G. decrescente 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 31 
1a∀ e 0<q ⇒ P.G. alternante 
1a∀ e 0=q ⇒ P.G. constante ou estacionária 
 
1.8.3 Termo geral 
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.G. da seguinte forma: 
 
q
a
a
=
1
2 ⇒ qaa 12 = 
q
a
a
=
2
3 ⇒ ( ) 21123 qaqqaqaa === 
q
a
a
=
3
4 ⇒ ( ) 312134 qaqqaqaa === 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
q
a
a
n
n =
−1
⇒ 111 
−
− ===
n
nn qaqaa  
Observe que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é 
a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja: 
12
112 
−== qaqaa 
13
1
2
13
−== qaqaa 
14
1
3
14
−== qaqaa 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
1
1 
−== nn qaa  
O termo de ordem n da P.G. é dado, portanto, pela fórmula a seguir: 
1
1
−= nn qaa (23) 
que pode também ser obtida da seguinte maneira: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 32 











=
=
=
=
−
q
a
a
q
a
a
q
a
a
q
a
a
n
n
1
3
4
2
3
1
2
 Multiplicando membro a membro estas 1−n igualdades 
obtemos a expressão do termo de ordem n 
1
13
4
2
3
1
2 −
−
=×××× n
n
n q
a
a
a
a
a
a
a
a
 
Fazendo os cancelamentos, obtemos: 
1
1
−= nn q
a
a 
o que nos leva a 
1
1
−= nn qaa (23) 
conforme há havia sido deduzido anteriormente. 
 
1.8.4 Propriedades 
I) Numa P.G. cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo precedente e 
o termo seguinte. 
Realmente, se 
1−na , na , 1+na 
são termos consecutivos de uma P.G., então podemos escrever: 
n
n
n
n
a
a
a
a 1
1
+
−
= 
ou seja, 
11
2
+− ×= nnn aaa 
e 
11 +− ×±= nnn aaa . (24) C.Q.D. Onde os sinais (+) ou (–) são usados de acordo com as 
características da P.G. 
II) Numa P.G. limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao 
produto dos extremos. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 33 
 Seja então a P.G. limitada, com n termos, razão q, e A e B os termos eqüidistantes dos 
extremos, conforme mostrado logo a seguir: 
(
  

  
termos
1
 termos
21 , , , , , , , , 
p
nn
p
aaBAaa − ) 
Pela fórmula do termo geral, 
1
1
−= pqaA . (25) 
Considerando agora a progressão 
  

 termos
1 , , , 
p
nn aaB − 
temos pela fórmula do termo geral, 
1−= pn Bqa . (26) 
Dividindo as igualdades (25) e (26) membros a membro resulta: 
B
a
a
A
n
1= 
o que nos leva a: 
naaAB ×= 1 . (27) C.Q.D. 
III) Em uma P.G. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média geométrica 
dos extremos. 
Neste caso temos: 
(
  
  

  

 termos12 com P.G.
 termos
1
 termos
21 , , , , , , , , 
+=
−
pn
p
nn
p
aaBMAaa ) 
Pelas propriedades I e II temos: 
ABM = 
e 
naaAB ×= 1 
logo, 
naaM ×±= 1 . (28) C.Q.D. 
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.G. 
Com relação a P.G. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 34 
( , , , , , , , , , 1
 termos
12321   
 +−− n
n
nnn aaaaaaa ) 
podemos escrever: 
nnnn aaaaaaS ++++++= −− 12321  . (29) 
Multiplicando ambos os membros por q resulta: 
qaqaqaqaqaqaqS nnnn ++++++= −− 12321  
o que é equivalente a 
11432 +− ++++++= nnnn aaaaaaqS  (30) 
Subtraindo (30) de (29) temos: 
11 +−=− nnn aaqSS 
ou já que nn qaa 11 =+ , 
n
n qaaqS 11)1( −=− 
e 
( ) ( )1 ,
1
11 ≠
−
−
= q
q
qaS
n
n (31) 
 
Observações: 
1.ª) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos NSn > , sendo N um número arbitrariamente 
grande. Poremos, 
∞+= lim nS 
+∞→n 
ou 
∞+→ nS quando ∞+→ n 
 
2.ª) Na hipótese da progressão decrescente 1<q , 
( )
q
qa
q
a
q
qaS
nn
n −
−
−
=
−
−
=
111
1 111 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 35 
se admitirmos que +∞→n (cresça cada vez mais), a primeira parcela, 
q
a
−1
1 , não sofre qualquer 
modificação, enquanto que a segunda pode ser tomada tão próxima de zero quanto quisermos. 
Poremos: 
 lim 
∞+→ n q
a
Sn −
=
1
1 (32) 
 
 
 
Exemplo 1.6 
Determine o 10º termo da P.G. (1 , 2 , 4 , ) 
 
Solução: 
11 =a e 2=q 
Logo, 
( ) ( ) 5122 1 991110110 ==== − qaqaa 
 
Exemplo 1.7 
Determine a soma dos vinte primeiros termos da P.G. ( 22− , 12− , 02 , ) 
 
Solução: 
Temos: 
4
1
2
12 2
2
1 ===
−a e ( ) 222
2
2 2121
2
1
==== +−−−−−
−
q 
Logo, 
( ) ( )
=
−
−
=
−
−
=
21
21
4
1
1
1
20
20
1
20 q
qaS 
75,143 262= 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 36 
Exemplo 1.8 
Um barco patrulha está distante 65 milhas de um navio carregado de contrabando de armas 
pesadas. Sabendo-se que ambas as embarcações estão seguindo o mesmo rumo (movimentos na 
mesma direção e mesmo sentido) e que a velocidade do barco patrulha é o dobro da velocidade do 
navio, pede-se calcular a distância que o barco deve percorrer para alcançar o navio. 
 
Solução: 
mi 65
v
2
v
0 x
 
Fig. 1.3 
Quando o barco patrulha tiver percorrido as 65 milhas iniciais, o navio terá percorrido 
2
65 
milhas, uma vez que sua velocidade é a metade da do barco. Assim o barco terá que percorrer 
também 
2
65 milhas. Quando o barco tiver percorrido estas últimas 
2
65 milhas, o navio terá 
percorrido 
4
65 milhas, e assim por diante, de modo que a distância total a ser percorrida pelo barco 
é: 
+++= mi 
4
65 mi 
2
65 mi 65bx . 
Temos pois uma P.G. decrescente ilimitada, para qual a 651 =a mi e 2
1
=q . Logo, 
130
2
11
mi 65
1
1 =
−
=
−
=
q
axb mi. 
Claro, o estudante deve estar se perguntando: o problema não poderia ter sido pelos 
métodos da Cinemática aprendidos na Física do 2º grau? 
Sim, é claro! Senão vejamos: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 37 
As equações horárias dos movimentos são: 
Barco → vtxb= 
Navio → tvxn 2
65 += 
No encontro nb xx = 
e 
tvvt
2
65 += , 
65
2
=−
vtvt , 
65
2
=
vt 
e o tempo de encontro é: 
v
t 130= . 
Voltando à equação do barco, temos então: 
130130 =×==
v
vvtxb mi 
e concluímos, mais uma vez, que o barco deve percorrer 130 mi para alcançar o navio. 
Aí cabe uma outra pergunta: Por quê não termos utilizados diretamente o segundo método? 
A resposta é simples: esta foi apenas uma ilustração de soma de parcelas, que são termos 
de uma P.G., as quais vão se tornando cada vez menores. 
 
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 38 
Este nome é em homenagem ao grande matemático francês René Descartes (Renatus 
Cartesius em Latim). 
Aqui em nosso curso vamos utilizar apenas as coordenadas cartesianas planas (duas 
dimensões) e ortogonais, e isto nos leva a um sistema de eixos x e y, perpendiculares, que têm a 
mesma origem comum, conforme ilustrado a seguir: 
x
y
y
y
x
x
quadrante 2º quadrante 1º
quadrante 3º quadrante 4º
( )yxP ,
)(+
)(+)(−
0
)(−
( )π Plano
 
Fig. 1.4 
A localização de um ponto P qualquer de uma plano ( )π genérico, fica então perfeitamente 
determinada através de suas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada), e a representação genérica é 
( )yxP , . No caso presente o ponto genérico foi representado no 1º quadrante, onde 0>x e 0>y 
mas, de um modo geral temos: 







⇒<>
⇒<<
⇒><
⇒>>
quadrante º40 e 0
quadrante º30 e 0
quadrante º20 e 0
quadrante º10 e 0
yx
yx
yx
yx
 Temos também que se 
i) 0=x ⇒ ponto situado no eixo y 
ii) 0=y ⇒ ponto situado no eixo x 
iii) 0== yx ⇒ ponto situado origem 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 39 
Exemplo 9 
Marcar em um diagrama cartesiano as localizações dos pontos a seguir: 
( )3,41P ; ( )5,22 −P ; ( )4,33 −−P ; ( )6,24 −P ; ( )0,55P ; ( )4,06P 
 
Solução: 
x
y
0
1
2
3
4
5( )5 ,22 −P
( )4 ,33 −−P
( )4 ,06P
( )6 ,24 −P
( )3 ,41P
( )0 ,55P
1−2−3−
5−
6−
4−
1−
2−
3−
1 2 3 4 5
 
Fig. 1.5 
1.10 Equação Reduzida da Reta 
Em Geometria Analítica demonstra-se que toda equação do primeiro grau em x e y 
representa, no plano, uma reta, ou seja: 
pmxy += (33) 
onde tgαm = é coeficiente angular da reta, isto é, a tangente do ângulo que a mesma forma com a 
direção horizontal (paralela ao eixo x), e p é o coeficiente linear, sendo igual à ordenada do ponto 
onde a reta corta o eixo y. Por esta convenção teremos sempre 0 ≤ α < 180º. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 40 
Analisemos então algumas situações mostradas na figura 1.6. São evidentes as seguintes 
propriedades: 
1ª) Se α é agudo, então m é positivo, pois a tangente de um ângulo é sempre positiva no 1º 
quadrante. 
2ª) Se α é obtuso, então m é negativo, pois a tangente de uma ângulo do 2º quadrante é negativa. 
3ª) Se α é nulo, então m é nulo, pois a tg de 0 é nula e, neste caso, a equação da reta se reduz a 
constante=y , uma vez que ela é paralela ao eixo x. 
4ª) Se α é reto, então m não é definido, pois ∃/=º90tg , e neste caso a equação da reta tem a forma 
constante=x , uma vez que ela é paralela ao eixo y. 
º90=α
α
α
x
y
0
α é um
ângulo agudo
( )º900 << α
x
y
0
α é um
ângulo
obtuso
( )º180º90 << α
x
y
0 x
y
0
α é um
ângulo
reto
( )º90=α
0=α
 
Fig. 1.6 
 
 
É também oportuno, baseados no que se viu até então, listarmos algumas situações na 
figura 1.7, lembrando que, se p = 0, a reta passa pela origem, e sua equação é da forma y = mx. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 41 
x
y
0
( )0 e 02 =>pmR
α
α
α
p
( )0 e 03 <> pmR
( )0 e 01 >> pmR
α
α
α
( )0 e 04 >< pmR
( )0 e 05 =< pmR
( )0 e 06 << pmR
 
Fig. 1.7 
Exemplo 1.10 
Representar graficamente as seguintes retas: 
a) 1R : 12 += xy 
b) 2R : 12
+−=
xy 
c) 3R : xy 2= 
d) 4R : 4=y 
e) 5R : 5=x 
 
Solução: 
As representações das retas 4R e 5R são imediatas. Entretanto, para as retas 1R , 2R e 3R 
vamos construir as tabelas a seguir onde os valores assumidos para x, ao serem substituídos nas 
equações conduzem aos valores de y correspondentes. Bastaria um par de pontos para determinar 
cada reta, uma vez que, por dois pontos do plano passa tão somente uma reta ou, em outras 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 42 
palavras: dois pontos determinam uma reta. No entanto, a fim de que o estudante possa verificar, na 
prática, que uma equação do 1.º grau em x e y representa uma reta, optamos por eleger três pontos 
para cada uma delas, e concluir que, em cada caso, os três pontos estão alinhados ao longo de uma 
mesma direção, ou seja, pertencem a uma mesma reta. 
1R 2R 3R 
X y x y x y 
0 1 0 1 0 0 
1 3 1 2
1 1 2 
2 5 2 0 2 4 
 
x
y
0
1
2
3
4
5
1R
2
1
1 2 3 4 5
2R
3R
5R
4R
 
Fig. 1.8 
 
Exemplo 1.11 
Uma firma de projeto A cobra R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de trabalho e uma 
firma B cobra R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 43 
a) Representar em um mesmo diagrama cartesiano os custos dos serviços de ambas as empresas. 
b) Estabelecer um critério para a escolha da melhor firma pelo usuário, sob o ponto de vista 
financeiro, admitindo que, hipoteticamente, ambas tenham a mesma competência. 
 
Solução: 
a) Do enunciado vem que: 
Custo de A: ( ) ( )1000,00 R$600,00/dia R$ += dC A 
Custo de B: ( ) ( )400,00 R$800,00/dia R$ += dCB 
em que AC e BC representam, respectivamente, os custos dos serviços das empresas e d os dias 
trabalhados. 
Temos então as seguintes correspondências: 
dx ↔ 
Cy ↔ 
Tratam-se, portanto, das equações de duas retas e a reta A começa em um ponto de ordenada 
mais baixa (pA = 400) e a reta B em um ponto de ordenada mais alta (pB = 1000). No entanto, o 
coeficiente angular de B (mB = 800) é maior do que o coeficiente angular de A (mA = 600). Isto 
significa que tgαB > tgαA , ou seja αB > αA , e as retas vão se interceptar. Determinemos pois as 
coordenadas do ponto de intersecção: 
( ) ( ) ( ) ( )∴+=+⇒= 400,00 R$800,00/dia R$R$1000,00600,00/dia R$ ddCC BA 
 ( ) ( ) ∴−=− dd 600,00/dia R$800,00/dia R$400,00 R$1000,00 R$ 
 ( ) ∴= d200,00/dia R$600,00 R$ 
 2800,00 R$ dias 3 ==⇒= BA CCd 
Lembrando também que para 0=d temos 
1000,00 R$=AC 
e 
400,00 R$=BC 
podemos traçar as retas de custos. Assim sendo: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 44 
0 1 2 3 ( )dias d
2800,00 R$
( )custos , BA CC
1000,00 R$
400,00 R$
A
B
 
Fig. 1.9 
b) Uma rápida análise dos gráficos nos conduzem às seguintes conclusões: 
1.ª) d < 3 dias ⇒ B é mais econômica. 
2.ª) d = 3 dias ⇒ o custo é o mesmo. 
3.ª) d > 3 dias ⇒ A é mais econômica. 
 
1.11 Noção de Aplicação 
Dados dois conjuntos A e B, denominamos aplicação de A em B a toda correspondência 
em que a cada elemento x ∈ A temos associado um único y ∈ B. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 45 
Por exemplo: dados os conjuntos A = {5, 6, 7, 8} e B = {g, h, i, j, l} vamos apresentar a 
seguir algumas aplicações de A em B: 
87658765 8765
hg i l jhg i l jhg i l
(b)(a) (c) 
Fig. 1.10 
A flecha indica a correspondência entre os elementos de A e B. Na parte (a), a aplicação é 
o conjunto de pares ordenados. 
{(5, g), (6, h), (7, i), (8, j)} 
na parte (b) 
{(5, g), (6, i), (7, j), (8, l)} 
e na parte (c) 
{(5, g), (6, g), (7, i), (8, l)}. 
Devemos ressaltar que cada elemento de A é unido pela flecha a um só elemento de B. 
Assim sendo, do mesmo elemento x ∈ A não podem partir duas ou mais flechas. 
Deste modo a correspondência 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 46 
8765
jhg i l
 
Fig. 1.11 
não é uma aplicação. 
O conjunto A é denominado domínio da aplicação e o elemento y, correspondente de x, é 
denominado imagem de x. No exemplo (a) da figura 1.9 temos. 
 Elemento de A Imagem 
 5 → g 
 6 → h 
 7 → i 
 8 → j 
O conjunto das imagens de uma aplicação f de A em B denomina-se imagem da aplicação 
e será representado por f(A). Devemos notar que f(A) é uma sucessão, ou seja, um conjunto 
ordenado. Para o exemplo (a) da figura 1.9 temos: 
( ) ( )jihgA , ,, =f e não ( )

incorreta ordem
 , ,, ijgh 
 
1.12 Exercícios Propostos 
1) Calcular as seguintes expressões: 
a) ( ) ( )125 −++ 
b) ( ) ( )7,07,3 −++ 
c) ( ) ( )28,072,1 −++ 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )352472 ++−+++++−++ 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 47 
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )751269 ++−+−+−+−++ 
2) Calcular as seguintes expressões: 
a) ( ) ( )24 +−+ 
b) ( ) ( )410 +−+ 
c) ( ) ( )39 +−− 
d) ( ) ( )57 −−− 
e) ( ) ( )26 −−+ 
3) Calcular as seguintes expressões: 
a) ( ) ( )54 +×+ 
b) ( ) ( )54 −×− 
c) ( ) ( )12 +×− 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )52314 −×−×+×−×− 
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )54132 +×−×−×−×+ 
 
4) Calcular as seguintes expressões: 
a) ( ) ( )312 +÷+ 
b) ( ) ( )315 −÷− 
c) ( ) ( )436 −÷+ 
d) ( ) ( )642 +÷− 
e) ( ) ( )981 −÷− 
5) Calcular as seguintes potências: 
a) ( )52+ 
b) ( )33− 
c) ( )32− 
d) ( )37− 
e) ( )410+ 
6) Calcular os valores algébricos das seguintes raízes: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 48 
a) 4 625 
b) 3 8 
c) 4 81 
d) 3 27− 
e) 5 32 
7) Efetuar os seguintes produtos notáveis: 
a) ( )2343 52 mbym − 
b) 
2
52
4
3
3
2





 + xa 
c) ( )( )25 25 aa +− 
8) Resolver as seguintes equações do 1.º grau: 
a) 5
2
=
x 
b) ( ) ( ) ( ) 22132435 +−=+−− zzz 
c) yy =−−
5
526 
9) Resolver as seguintes equações do 2.º grau: 
a) 01582 =+− zz 
b) 0156 12 =+− −− zz 
c) ( ) 6
7
1
=
−zz 
d) 0442 =+− zz 
e) 0
3
12 =++ zz 
10) Calcular 13a na progressão aritmética 
: 1 , 5 , 9 ,  
11) Calcular 1a em uma progressão aritmética, sabendo-se que 4=r e 318 =a . 
12) Somar os 15 primeiros termos da progressão aritmética : 3 , 
2
7 , 4 ,  
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 49 
13) Quantas vezes bate um relógio em 24 horas, admitindo-se que apenas bata as horas? 
14) Calcular o 5.º e 8.º termos da progressão geométrica :: 2 , 4,  
15) Em uma progressão geométrica, sabemos que 1284 =a e 4=q . Achar 1a . 
16) Sendo x e y positivos, calcular os limites das expressões a seguir quando o número de radicais 
cresce indefinidamente. 
a) xxxx 
b) yxyx 
c) xxxx +++ 
 
1.13 Respostas dos Exercícios Propostos 
1) a) 7− ; b) 0,3+ ; c) 44,1+ ; d) 1− e) 2+ 
2) a) 2+ ; b) 6+ ; c) 12− ; d) 2− e) 8+ 
3) a) 20+ ; b) 20+ ; c) 2− ; d) 120+ e) 120− 
4) a) 4+ ; b) 5+ ; c) 9− ; d) 7− ; e) 9+ 
5) a) 32+ ; b) 27− ; c) 8− ; d) 343− ; e) 000.10+ 
6) a) 5± ; b) 2+ ; c) 3± ; d) 3− ; e) 2+ 
7) a) 2644386 25204 mbymbym +− 
 b) 10524
16
9
9
4 xxaa ++ 
 c) 2225 a− 
8) a) 10=x ; b) 4=z ; c) 5=y 
9) a) 31 =z ; 52 =z 
 b) 31 =x ; 22 =x 
 c) 71 =y ; 62 −=y 
 d) z = 2 
 
e) Não admite raízes no conjunto dos números reais. Voltaremos a esse assunto após 
estudar a seção1.14 (suas raízes são: 
6
3
2
1
1 j+−=z ; 6
3
2
1
2 j−−=z ). 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 50 
10) 4913 =a 
11) 31 =a 
12) 
2
195
15 =S 
13) 156 
14) 325 =a ; 2568 =a 
15) 21 =a 
16) a) x; b) 3 23
1
3
2
yxyx = c) 2
411 x++ 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 47 
Apostila de Matemática Básica 
 
 
 
 
Assunto: 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Coleção Fundamental - volume 3/8 
 
 
 
 
 
 
Autor: 
 
 
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 
 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 48 
1.14 Números Complexos 
1.14.1 Introdução 
(a) Do mesmo modo que a generalização da noção de raiz de índice qualquer para um número po-
sitivo exigiu a introdução do conceito de número irracional (p.ex.: 414,12 = , 732,13 = ), tam-
bém a impossibilidade da determinação de raízes de índice par de um número negativo levou à no-
ção de número imaginário. 
 
(b) Os números positivos e negativos recebem, em conjunto, o nome de números reais. 
Em contrapartida, denomina-se número imaginário ou número complexo à toda ex-
pressão de forma x + jy 1, na qual x e y são números reais e 1−=j é a unidade imaginária. 
 
(c) Conforme já vimos na subseção 1.6.2, as raízes de uma equação do 2º grau, 
 az2 + bz + c = 0 
são dadas pela conhecida fórmula 
a
acbbz
2
42 −±−
= . (12) 
Obtemos, então duas raízes reais e desiguais quando o discriminante é positivo e uma ra-
iz real dupla se ele for nulo. 
Quando o discriminante é negativo, a fórmula (12) não conduz a nenhuma raiz real e o 
trinômio az2 + bz + c = 0 é sempre diferente de zero qualquer que seja o valor real que se atribua à z. 
Por exemplo, se tentarmos resolver a equação 
z2 + 4z + 1 3 = 0 
que já havia sido abordada no Exemplo 2, item c, somos conduzidos a: 
2
364
12
131444 2 −±−
=
×
××−±−
=z 
que não representa nenhum número real. Por outro lado, se operarmos normalmente como se 1− 
fosse um número, teremos: 
 
1 Os matemáticos usam i no lugar do j e os eletricistas preferem a letra j minúscula normal, já que estes últimos usam a 
letra i para representar a corrente. No entanto, na Unidade 3, Matrizes, é quase que universal a notação ija para repre-
sentar o elemento genérico. Assim sendo optamos por j minúscula em negrita e itálica para representar a unidade imagi-
nária. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 49 
( )
132
2
164
2
1364
−±−=
−±−
=
−±−
=z 
ou seja 
1321 −+−=z 
e 
1321 −−−=z 
Vamos substituir tais “números” na equação original a fim de verificar se eles são real-
mente raízes. Ao procedermos desta forma devemos encarar o símbolo 1− como se ele fosse 
mesmo um número em especial, lembrando inclusive que o seu quadrado é: 
( ) 11 2 −=− . 
Temos então: 
( ) ( ) ( )
013112891124
131324132134
2
1
2
1
=+−+−−−−=
=+−+−+−+−=++ zz 
e 
( ) ( ) ( )
013112891124
131324132134
2
2
2
2
=+−−−−−+=
=+−−−+−−−=++ zz 
A partir de tais considerações conclui-se ser possível resolver a equação do 2º grau 
mesmo quando temos 042 <− acb , se operarmos com o símbolo 1−=j como se fosse um nú-
mero. Conforme já mencionado ele deve ter a propriedade de que 12 −=j , e deve operar ao lado 
dos números reais com as mesmas leis que regem formalmente tais números. Temos então os núme-
ros complexos da forma yx j+ onde, conforme já mencionado, x e y são reais e 1−=j , tais co-
mo: 
64 j+ , 2
3
1 j− , 
9
43 j+ , 
7
32 j−− 
onde o novo elemento 1−=j é denominado unidade imaginária. 
Utilizando tal notação, as raízes da equação que acabamos de resolver assumem as for-
mas seguintes: 
321 j+−=z 
e 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 50 
322 j−−=z 
e no final da subseção 1.14.3 veremos por que tais raízes constituem um par complexo conjugado. 
Temos então de forma geral: 
yxz j+= (34) 
onde as grandezas reais x e y são denominadas as partes real e imaginária de z, respectivamente. 
Podemos, inclusive, usar as notações )Re(z e )Im(z para representar tais partes, ou seja: 
)Re(zx = (35) 
e 
)Im(zy = (36) 
Em particular quando 0=x temos a expressão yj que será denominada número imagi-
nário puro ou simplesmente imaginário, reservando-se o nome número complexo para o caso 
geral. 
Quando y = 0 o número complexo reduz-se à sua parte real x. 
(d) Uma vez que os números complexos não pertencem ao corpo dos números reais, alguns “desa-
visados de plantão” podem pensar que tais soluções são meramente fictícias e não representam ne-
nhum fenômeno físico real. Para estes é bom mencionar que a corrente alternada que chega às in-
dústrias, hospitais e residências, é representada por funções senoidais ou cossenoidais, que têm a 
mesma representação gráfica a menos de uma defasagem de 90º. Acontece que o equacionamento 
de circuitos elétricos sob excitação harmônica (senoidal) é bem mais simples no domínio da fre-
qüência, no qual a solução para a corrente é dada por um “fasor” I , que é um número complexo. 
A fim de relacionarmos o domínio da freqüência com o domínio do tempo é utilizada a relação 
( ) ( )teIti ω= jRe 
i
mI
mI−
0 tωφ−
+ +
− −
corrente alternada
 
Fig. 1.12 
que é bem conhecida do pessoal da área da Eletricidade. Ora, a corrente alternada senoidal do tipo 
( ) ( )φ+ω= tIti m cos tem existência física real (qualquer dúvida é só tocar com um dedo no terminal 
da fase de uma tomada energizada!). Assim sendo, as soluções complexas ou imaginárias (sendo 
este último termo um tanto impróprio pois pode levar à conclusões erradas) estão bem longe de se-
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 51 
rem fictícias sendo, é bem verdade, artifícios engenhosos, nascidos no problema primordial de lidar 
com raízes de índices pares de números negativos. 
 
Exemplo 1.12 
Determine x ∈ R para que o número complexo ( ) 775 2 j+− xx seja imaginário puro. 
Solução: 
Para ele ser um número imaginário puro devemos ter parte real nula, ou seja: 
( )






=
=
∴=−∴=−
5
7
0
075075 2
x
ou
x
xxxx 
 
1.14.2 Potências de j 
As potências sucessivas de j reproduzem-se periodicamente de quatro em quatro, ou 
seja: 
10 +=j 
 
 
jj =1 
 
 
( ) 11 22 −=−=j 
 
jj jj −== .23 
 
 
( ) ( ) 111. 224 +=−−== j jj 
 
( ) ( ) jj j jj =−−== 1. 325 
 
( ) ( ) 1. 2336 −==−−== jj jj jj 
 
( ) ( ) jjjjj −=+−== 1 . 437 
 
( ) ( ) 111. 448 +=++== j jj 
 
( ) ( ) jj j jj =+== 1. 549 
 
......................................................... 
Podemos escrever em geral: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 52 
( ) 144 == pp jj 
( ) jjjj ==+ pp 414 
( ) 12424 −==+ jjj pp 
( ) jjjj −==+ 3434 pp 
Regra geral: para determinar o valor de uma potência de j qualquer, basta dividir o expoente 
da potência por 4 e elevar j à potência determinada pelo resto da divisão. 
Exemplo 1.13 
Efetuar as seguintes potências: 
a) 7j ; b) 513j ; c) 1998j ; d) 500j 
 
Solução: 
a) 7 4 → jjj −== 37 3 1 
 
 
b) ''' 315 4 → jj =513 
 11 128 
 33 
 1 
 
c) '''' 8991 4 → 121998 −== jj 
 39 499 
 38 
 2 
 
d) ''' 005 4 → 1jj 0500 == 
 10 125 
 20 
 0 
 
1.14.3 Representações e Formas de um Número Complexo: 
a) Representações: 
Um número complexo pode ser geometricamente representado por um ponto no pla-
no complexo ou plano de Argand-Gauss,conforme mostrado a seguir: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 53 
yxz j+=
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
xx
y
0
Complexo
Plano
 
Fig. 1.13 
Uma representação geométrica equivalente, conforme na próxima figura, é feita por 
um segmento orientado, da origem ao ponto yxz j+= . 
yxz j+=
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
xx
y
0
 
Fig. 1.14 
Assim a adição ou subtração de duas grandezas complexas pode ser realizada grafi-
camente, conforme ilustração nas partes (a) e (b) da figura 1.15, por meio das regras comumente 
usadas para a adição e subtração de vetores, já que tanto as grandezas complexas quanto os vetores 
podem ser representados por intermédio de segmentos orientados. 
Na figura 1.16 o símbolo | z | significa o comprimento do segmento orientado que re-
presenta z, ou seja, é a distância da origem até o ponto representado pelo complexo z, e é denomi-
nado módulo, norma ou valor absoluto de z. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 54 
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
x0
21 zz +
2z
1z
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
x0
2z
1z
21 zz −
2z−
 
Fig. 1.15 
O ângulo do segmento orientado, medido positivamente no sentido anti-horário e ne-
gativamente no sentido horário, a partir do semi-eixo real positivo, é notado por θ ou arg z, sendo 
chamado de ângulo polar, argumento ou fase de z. 
yxz j+=
)( imaginário
Eixo
y
)( real
Eixo
xx
y
0
z
θ
 
Fig. 1.16 
Da última figura depreende-se que: 
zzx ≤θ= cos (37) 
zzy ≤θ= sen (38) 
22 yxz += (39) 





=
x
yarc tgθ (40) 
Observações: 
(1ª) Nos livros de origem americana encontra-se, muitas vezes, a notação 1tg − ao invés de 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 55 
arc tg para a função inversa da tangente. Isto também ocorre nas calculadoras eletrônicas. 
(2ª) Para um dado 0≠z , o ângulo (argumento) θ é determinado a menos de múltiplos in-
teiros de 360º ( rad 2π ), ou seja, 
º3600 k+θ=θ ; 0=k , 1± , 2± . . . 
ou 
rad 20 π+θ=θ k ; 0=k , 1± , 2± . . . 
O valor de θ que existe no intervalo ( )rad rad º180º180 π≤θ<π−≤θ<− é 
chamado de valor principal do argumento de z, e notado por 0θ nas equações acima. Na 
prática, salvo observação em contrário, estaremos sempre trabalhando com o argumento 
principal. 
Face às orientações de ângulos já mencionadas e levando-se em conta os inter-
valos entre os limites º180− e 180º, teremos: 
- ângulos no 1º e 2º quadrantes ( )º1800 <θ< serão sempre positivos e orientados no 
sentido anti-horário a partir do semi-eixo real positivo. 
- ângulos no 3º e 4º quadrantes ( )0180 <θ<− serão sempre negativos e orientados no 
sentido horário a partir do semi-eixo real positivo. 
(3ª) Levando em conta tais convenções e limites, concluímos que quando z for um número 
real negativo o seu argumento principal será ( )º180rad π ao invés de ( )180rad −π− , uma 
vez que o valor º180− não está incluído no intervalo º180º180 ≤θ<− . 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 56 
b) As Fórmulas de Euler e suas decorrências: 
Antes de passarmos às diversas formas de um número complexo vamos instituir as 
fórmulas de Euler, que são de importância capital para o prosseguimento de nosso estudo. 
Admitindo que uma função ( )xF pode ser representada por uma série de potências 
de x, essa série deve ser da forma de McLaurin, 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  +−++
′′′+′′+′+= −
−
0
!1
0
!3
0
!2
00 1
132
n
n
F
n
xFxFxFxFxF 
em que a função e todas as suas derivadas existem para 0=x . 
Desenvolvendo θsen , θcos e θje em potências de θ pela série de McLaruin temos: 
+
θ
−
θ
+
θ
−θ=θ
!7!5!3
sen
753
 
+
θ
−
θ
+
θ
−=θ
!6!4!2
1cos
642
 
+
θ
−
θ
−
θ
+
θ
+
θ
−
θ
−θ+=θ
!7!6!5!4!3!2
1
765432
jjjjje 
Reagrupando os termos de θje , temos: 
θ+θ=





+
θ
−
θ
+
θ
−θ+





+
θ
−
θ
+
θ
−=θ sen cos
!7!5!3!6!4!2
1
753642
jjj e . 
Assim sendo temos: 
θ+θ=θ sen cos jje (41) 
e 
θ−θ=θ− sen cos jje (42) 
conhecidas como fórmula de Euler, bem como suas decorrências: 
2
cos
θ−θ +
=θ
jj ee
 (43) 
2
sen
j
jj θ−θ −
=θ
ee
 (44) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 57 
que são de grande utilidade no trato com os números complexos de um modo geral. 
 
c) Formas 
c.1) Cartesiana ou Retangular 
É a que já foi apresentada no início da presente seção, na equação (34), ou seja: 
yxz j+= . (34) 
 
c.2) Trigonométrica 
Substituindo (37) e (38) em (34) temos: 
θ+θ=+= sencos zzyxz jj 
o que implica em 
( )θ+θ= sencos jzz (45) 
que é forma trigonométrica. 
 
c.3) Exponencial ou de Euler 
Pela equações (41) e (45) temos que: 
θ= jezz (46) 
que é a forma exponencial ou de Euler. 
 
c.4) Polar ou de Steinmetz 
A equação (46) pode também ser colocada na forma polar ou de Steinmetz: 
θ= zz
 (47) 
Na realidade o símbolo θ é, simplesmente, uma notação abreviada para θje , 
muito utilizada pelas pessoas da área de Eletricidade em geral. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 58 
É importante notar que uma interpretação correta do fator θje necessita que o 
ângulo θ seja expresso em radianos. Na prática, o ângulo é muitas vezes apresentado em graus 
(lembrar que 1 grau = 1º 
180
π
= radiano 
180
π
= rad), mas toda vez que houver chance de confusão 
no emprego das equações (41) a (47), o ângulo θ deverá ser convertido de graus para radianos. A 
notação θje com θ expresso em graus é, normalmente, considerada uma prática inadequada, 
mas escrever θ com θ em graus é bastante usual. 
Observações: 
1ª) Ao passarmos um complexo da forma retangular (cartesiana) para a forma polar, devemos utili-
zar as equações (39) e (40). Acontece que quando esta última equação é utilizada, a determinação 
do quadrante onde se situa o complexo yxz j+= pode ser feita pela inspeção dos sinais de x e y, a 
não ser que a calculadora em uso já tenha as rotinas REC → POL e POL → REC, que já fazem as 
transformações diretamente. 
2ª) Cumpre ressaltar que no caso da transformação acima citada, as calculadoras científicas mais 
sofisticadas fornecem diretamente z e 0θ (argumento principal), seguindo para este último as re-
gras de orientação de ângulos já descritas na 2ª observação da subseção 1.14.3.a: 
- ângulos no 1º e 2º quadrantes ( º1800 <θ< ou rad 0 π<θ< ) sempre positivos, e orientados no 
sentido anti-horário a partir do semi-eixo real positivo. 
- Ângulos no 3º e 4º quadrantes ( 0º180 <θ<− ou 0rad <θ<π− ) sempre negativos, e orienta-
dos no sentido horário a partir do semi-eixo real positivo. 
 
Exemplo 1.14 
Exprimir cada um dos seguintes números complexos na forma polar: 
a) 420
πj
e ; b) 3
2
10
π
− j
e ; c) 6
5
2
πj
e 
 
Solução: 
a) 2020 4 =πje 4π 20= °45 
b) 1010 32 =π− je 32π− 10= °−120 
c) 22 65 =πje 65π 2= °150 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 59 
 
Exemplo 1.15 
Passar os seguintes números complexos da forma polar para a forma retangular: 
a) 0,53 °160 
b) 050,0 °− 20 
c) 156,0 °170 
Observação: se a sua calculadora tem as rotinas RET → POL e POL → RET você pode e deve 
fazer as transformações diretamente, e depois voltar à forma original a fim de checar seus resulta-
dos. 
Solução: 
Pelas equações (34), (37) e (38) temos que: 
a) 0,53 °160 1,188,49º160sen0,53º160cos0,53 jj +−=+= 
b) 050,0 °− 20 ( ) ( ) 017,0047,0º20sen050,0º20cos050,0 jj −=−+−= 
c) 156,0 °170 ( ) ( ) 027,0154,0º170sen156,0º170cos156,0jj +−=+= 
 
Exemplo 1.16 
Converter os seguintes números complexos da forma retangular para a polar: 
a) 43 j+ 
b) 43 j+− 
c) 43 j−− 
 
Solução: 
Se a sua calculadora não possuir as rotinas REC → POL e POL → REC, você deve 
tomar cuidado com os sinais das partes real e imaginária dos complexos, a fim de identificar com 
acerto o quadrante onde estão situados os números. A figura seguinte é de grande utilidade. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 60 
x
y
0
4−
3−
2−
1−
4
321
433 j−−=z
431 j+=z432 j+−=z
3
2
1
1−2−3−
5
5
5
3θ
2θ
1θ
α
β
 
Fig. 1.17 
a) Pelas equações (39) e (40) temos que: 
3
4 tgarc
543
1
22
1
=θ
=+=z
 
A tangente é positiva no 1º e 3º quadrantes. Uma vez que 0>x e 0>y , 1θ pertence ao 1º qua-
drante (vide figura 1.17). 
º1,531 =θ 
Temos então: 
=1z °1,53 
 
b) ( ) 543 222 =+−=z 
3
4 tgarc2 −
=θ 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 61 
A tangente é negativa no 2º e 4º quadrantes. Sendo 0<x e 0>y , 2θ pertence ao 2º quadrante. 
Da figura 1.16 temos, em módulo, 
3
4tg =α 
donde 
º1,53=α 
e 
º9,126º1,53º1802 =−=θ . 
Então, 
52 =z °9,126 
 
c) ( ) ( ) 543 223 =−+−=z 
3
4 tgarc3 −
−
=θ 
Temos 0<x e 0<y , logo 3θ é do 3º quadrante. Da mesma figura tiramos: 
3
4tg =β 
logo º1,53=β 
e 
º1,233º1803 =β+=θ 
o que implica em 
53 =z °1,233 , que não é uma forma usual, visto que o argumento principal deve estar entre os 
valores º180º180 ≤θ<− , o que nos leva então a escrever 53 =z °− 9,126 (que é a resposta da 
calculadora CASIO fx-82LB). 
Vamos a seguir apresentar as rotinas de operações para as transformações RET → POL e POL 
→ RET para duas minicalculadoras usuais no mercado 
1.º) CASIO fx-82LB 
a) RET → POL: 
 
(convocamos a transformação para polares → r θ) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 62 
 
x a y b F 2nd a |z| b θ 
 
 
b) POL → RET: 
 
 
|z| a θ b F 2nd b x b y 
 
 
2.º) CASIO fx-6300 G 
a) RET → POL: 
 
 
SHIFT + x SHIFT ( y ) EXE |z| ALFA ) EXE θ 
 
 
b) POL → RET: 
 
 
SHIFT − |z| SHIFT ( θ ) EXE x ALFA ) EXE y 
 
(*) Em Português → Retangular (RET) 
 Em Inglês → Rectangular (REC) 
c.5) Algumas Formas Polares Especiais 
As equações (41), (46) e (47) conduzem a uma nova interpretação para o número 
imaginário puro j, anteriormente definido como sendo 1−=j ou 1−=2j . Se 
2
π
=θ rad nas refe-
ridas equações, jj =π2e , de modo que j é um número complexo com módulo unitário e fase igual a 
90º, ou seja: 
12 == πe jj °9 0 (48) 
por outro lado, 
11 22 ==−==
π− jj
j
j
j
e °−90 (49) 
entradas saída 
entradas 
(convocamos a transformação para retangular → xy) 
saída 
convocamos a 
transformação POL ( 
convocamos 
a , 
entradas saída 
convocamos J 
convocamos a 
transformação REC* ( 
convocamos 
a , 
entradas 
convocamos J 
saída 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 63 
Finalmente, 
11= °0 (50) 
e 
11=− °180 (51) 
x
y
0
1−
j−
j
1−
1
1
º90−
º90º180
 
Fig. 1.18 
c-6) Complexo Conjugado: 
O complexo conjugado de yxz j+= é definido, na forma retangular, por 2 : 
yxz j−=* (52) 
e tem a mesma parte real que o complexo z, porém, a parte imaginária é simétrica. 
 
2 Alguns autores preferem usar z ao invés de *z para representar o complexo conjugado porém, na área da Eletricida-
de a notação *z é uma unanimidade. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 64 
yxz j+=
imaginário
Eixo
)( real
Eixo
x
x
y
0
y−
yxz j−=*
θ
θ−
 
Fig. 1.19 
Pela definição de módulo, 
( ) zyxyxz =+=−+= 2222* 
e da definição de fase fica claro que o ângulo de fase é simétrico. 
Assim sendo, temos também que: 
θ−= jezz* (53) 
zz =* θ− (54) 
( ) zz =** (55) 
• Ilustração 1.17 
a) 4343 *11 jj −=→+= zz 
b) 33 1010 *22
ππ
=→= −
jj
ezez 
c) 53 =z °3 0 5
*
3 =→ z °−30 
d) 24 =z → 2
*
4 =z 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 65 
Fica agora fácil entender que as raízes 321 j+−=z e 322 j−−=z da equação resolvida 
na subseção 1.14.1 constituem um par complexo conjugado. 
1.14.4 Operações com Números Complexos 
a) Igualdade: 
Dois números complexos 11111 1 zezyxz ==+=
θjj 1θ e 22222 2 zezyxz ==+=
θjj 2θ são 
iguais se, e somente se 21 xx = e 21 yy = ou, equivalentemente, 21 zz = e 21 θ=θ . 
b) Adição e Subtração: 
A adição e a subtração são facilmente efetuadas se os números estiverem na forma retangular, em-
bora as calculadoras mais sofisticadas (HP48GX por exemplo) sejam capazes de efetuarem tais ope-
rações quer os números estejam na forma polar ou na retangular, e ainda darem a opção de obter o 
resultado final em uma forma ou outra. Na forma retangular, 
( ) ( )
( ) ( )2121
2211221121
yyxx
yxyxyxyxzz
+++=
=+++=+++=+
j
jjjj
 
e 
( ) ( )
( ) ( )2121
2211221121
yyxx
yxyxyxyxzz
−+−=
=−−+=+−+=−
j
jjjj
 
ou seja, 
( ) ( )212121 yyxxzz +++=+ j (56) 
e 
( ) ( )212121 yyxxzz −+−=− j (57) 
A figura 1.20, logo a seguir, ilustra as operações realizadas graficamente. Na parte (b) 
da mesma é fácil verificar que 1221 zzzz −=− é a distância entre os pontos do plano complexo 
definidos, respectivamente, pelos complexos 1z e 2z . 
A partir das equações (56) e (57) decorre então que: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 66 
( ) ( ) xyxyxzz 2* =−++=+ jj 
e 
( ) ( ) yyxyxzz 2* jjj =−−+=− 
ilustradas na figura 1.21, 
x
y
0
21 yy +
1y
2y
21 xx +2x1x
1z
2z
21 zz +
x
y
0
1y
2y
21 xx −
1z
2z
21 zz +
21 zz −
21 zz −
2z−
(a) (b)
 
Fig. 1.20 
ou seja, 
( )zxzz Re22* ==+ (58a) → 2
*zzx += (58b) 
e 
( )zyzz Im22* jj ==− (59a) → 
2
*
j
zzx −= (59b) 
Temos também que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22112121*21 yxyxyyxxzz jjj −+−=+−+=+ 
ou seja: 
( ) *2*1*21 zzzz +=+ (60) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 67 
o que significa que o conjugado da soma é a soma dos conjugados. 
Similarmente, é fácil também mostrar que 
( ) *2*1*21 zzzz −=− (61) 
x
y
0
y
y−
x x2
yxz j+=
yxz j−=*
x
y
0
y
y−
x
x−
yxz j+=
yxz j−=*
y2
*z−
(a) (b)
 
Fig. 1.21 
 
Exemplo 1.17 
Somar os complexos a seguir tanto de forma analítica quanto gráfica, e comparar os resultados. 
a) 321 j+=z e 432 j−=z 
b) 23 =z °3 0 e 54 =z °7 0 
 
Solução: 
a) ( ) ( ) jj −=−++=+ 5433221 zz = 5,1 °− 3,1 1 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. III – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 68 
x
y
0
1−
2−
2
1
2z
1z
21 zz +
3−
3
4−
4 521 3
1,5
º3,11−
Valores obtidos
do gráfico
 
Fig. 1.22 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 65 
b) Passando inicialmente os números para a forma retangular, 
( ) ( )
698,5442,3
698,4000,1710,1732,1
698,4710,1º70sen5º70cos5
000,1732,1º30sen2º30cos2
43
4
3
j
j
jj
jj
+=
=+++=+
+=+=
+=+=
zz
z
z
 
Temos também que: 
( ) ( )
º9,58
442,3
698,5 tgarcθ
657,6698,5442,3 2243
=





=
=+=+ zz
 
x
y
0
3z
4z
43 zz +
5
2
º30
º70



gráfico do
obtidos Valores
6,7
59º
 
Fig. 1.23 
 
Exemplo 1.18 
Resolva a equação 21θ =−je para π≤θ<π− e verifique a solução geometricamente3 
 
Solução: 
Temos que: 
21θ =−je (*) 
onde θ+θ== sencosθ1 j
jez e 12 =z 
 
3A verificação geométrica da solução talvez seja melhor apreciada após o estudo da subseção 1.14.6. 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 66 
donde, 
( )
( )
( )
∴=θ++θ−θ
∴=θ+−θ
=θ+−θ
∴=θ+−θ∴=−θ+θ
2sen1cos2cos
2sen1cos
2sen1cos
2sen1cos21sencos
22
22
22
jj
 
 
 =1 



π=θ
=θ
=θ
∴=θ−
∴=θ−
rad 
0
 0cos
0cos2
2cos22
 
Substituindo na equação (*), verificamos que somente o valor rad π=θ é 
compatível. 
A verificação gráfica é imediata, visto que 21 zz − é a distância entre os pontos 
definidos pelos complexos 1z e 2z . 
Sendo θ1
jez = , temos que 11 =z , e o lugar geométrico representado por 1z , 
quando θ varia ao longo do intervalo π≤θ<π− , é uma circunferência de raio unitário centrada 
na origem. 
Sendo 12 =z , a situação é a representada na figura a seguir: 
x
y
0 12 =z
θ= jez1
21 zz −
θ
1
 
Fig. 1.24 
É fácil verificar que teremos 221 =− zz quando θ assumir o valor rad π . 
 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 67 
c) Multiplicação 
A multiplicação de grandezas na forma retangular é dada por: 
( )( ) ( ) ( )122121221221121 .. yxyxyyxxyxyxzz +++=++= jjjj 
Lembramos que 12 −=j segue-se que: 
( ) ( )1221212121. yxyxyyxxzz ++−= j (62) 
Já na forma exponencial, 
( )2121
212121 ..
θ+θθθ == jjj ezzezezzz 
o que nos permite então escrever: 
21 θ+θ
( )
212121
21. zzezzzz == θ+θj (63) 
 
Conclusões: 
1.ª) Da equação (63) temos que: 
2121 .. zzzz = (64) 
e 
21. 21
θ+θ=θ zz (65) 
 
2.ª) Para θ=+= jj ezyxz e θ−=−= jj ezyxz* vale então estabelecer a seguinte equação: 
θ−θ= jj ezezzz .. * 
ou seja, 
2*. zzz = (66) 
 
3.ª) Também não é difícil mostrar que 
( ) *2*1*21 zzzz = (67) 
 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 68 
Exemplo 1.19 
Multiplicar os seguintes números complexos: 
a) 321 j+=z e 312 j−−=z 
b) 353
π
= jez e 624
π−= jez 
c) 25 =z °3 0 e 56 =z °− 45 
Solução: 
 
a) ( )( ) 973132. 21 jjj −=−−+=zz 
b) ( )( ) 663 1025. 43 πππ == − jjj eeezz 
c) (2. 65 =zz °3 0 ) (5 °− 45 ) 10= °−15 
 
Exemplo 1.20 
 
Passar o número complexo 652 π− je para as formas polar e cartesiana. 
 
Solução: 
Este é uma excelente exemplo, pois, lembrando a forma exponencial de um complexo, θ= jezz , 
parece que estamos diante de um absurdo, qual seja um numero com módulo negativo. Acontece 
que aí não existe módulo negativo, mas sim uma “multiplicação implícita”, conforme veremos a 
seguir: 
 
22 65 −=− πje 65π 2−= º150 ( )( )21−= º150 
(1= º180 )(2 º150 ) 2= º330 2= º30− 
 










≤θ<− º180º180ter 
devemos pois
usual é não
 
que é a forma polar. 
A forma cartesiana é facilmente obtida à partir da forma polar, ou seja: 
2=z º30− ( ) ( ) =−+−= º30sen2º30cos2 j 
000,1732,1 j−= 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 69 
Observação: As calculadoras eletrônicas estão em um estágio de desenvolvimento tão elevado 
que, aquelas que tem as rotinas RET → POL e POL → RET, assimilariam a transformação 
2− º150 diretamente para a forma cartesiana, pois, quando se entra com 2−=z , o software da 
calculadora entende que isto não é simplesmente módulo, e que existe uma multiplicação 
implícita. Está duvidando? Pois então pegue uma e execute a operação! 
d) Divisão 
A divisão de duas grandezas complexas, 
2
1
3 z
zz = , é definida como 321 .zzz = se 02 ≠z . 
Em coordenadas retangulares temos: 






−
−






+
+
=
+
+
=
22
22
22
11
22
11
2
1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
z
z
j
j
j
j
j
j 
onde o processo de racionalização foi efetuado utilizando-se o complexo conjugado do denomi-
nador. 
Finalmente, 






+
−
+





+
+
= 2
2
2
2
2112
2
2
2
2
2121
2
1
yx
yxyx
yx
yyxx
z
z j (68) 
e na forma exponencial, 
( )21
2
1
2
1
2
1
2
1 θ−θ
θ
θ
== jj
j
e
z
z
ez
ez
z
z 
o que nos conduz a 
21 θ−θ
( )
2
1
2
1
2
1 21
z
z
e
z
z
z
z
== θ−θj (69) 
 
Conclusões: 
1ª) Da equação (69) concluímos que: 
2
1
2
1
z
z
z
z
= (70) 
e 
21
2
1
θ−θ=θ
z
z . (71) 
 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 70 
2ª) Não é difícil mostrar que 
*
2
*
1
*
2
1
z
z
z
z
=





, sendo 02 ≠z (72) 
 
3ª) Fica então evidente que a multiplicação e a divisão de grandezas complexas são mais 
facilmente efetuadas na forma polar, a menos que, conforme já dito anteriormente, se tenha uma 
calculadora eletrônica mais sofisticada. 
4ª) É importante notar que multiplicar uma grandeza complexa por 12 ==
πj
j e °9 0 não altera o 
seu módulo, mas soma 90º ao seu ângulo de fase. Raciocinando em termos da representação por 
meio de segmento orientado no plano complexo, a multiplicação por j gira o segmento orientado 
de 90º no sentido anti-horário. De modo análogo, a multiplicação por 12 ==−
π− j
j e °−90 
também não altera o módulo da grandeza mas, neste caso, há uma subtração de 90º na fase, ou 
seja, o segmento orientado é agora girado de 90º no sentido horário. 
5ª) Similarmente, se multiplicarmos um número complexo por 1=αje α , não alteramos o seu 
módulo; apenas acrescentamos α ao seu ângulo de fase ou, em outras palavras: giramos o 
segmento orientado que representa o complexo de um ângulo α no sentido anti-horário. Se a 
multiplicação for por 1=α− je α− o giro será no sentido horário. 
6ª) Das propriedades e definições vistas até então resultam as leis comutativa, associativa e 
distributiva usuais: 
1221 zzzz = (73) 
1221 zzzz +=+ (74) 
( ) ( ) 321321 .... zzzzzz = (75) 
( ) ( ) 321321 zzzzzz ++=++ (76) 
( ) 3121321 ... zzzzzzz +=+ (77) 
( ) 3231321 ... zzzzzzz +=+ (78) 
 
Exemplo 1.21 
Dividir os seguintes números complexos: 
a) 541 j−=z e 212 j+=z 
b) 33 4
π
=
j
ez e 64 2
π
=
j
ez 
c) 85 =z º30− e 26 =z º60− 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 71 
Solução: 
a) 
5
13
5
6
5
136
21
21
21
54
21
54
2
1 jj
j
j
j
j
j
j
−−=
−−
=





−
−






+
−
=
+
−
=
z
z 
b) 6
6
3
4
3 2
2
4 π
π
π
==
j
j
j
e
e
e
z
z 
c) 4º60 2
º30 8
6
5 =
−
−
=
z
z
°3 0
 
 
Exemplo 1.22 
Determinar o resultado da expressão 
( )( ) ( )( )
1000 30º 250
1000 30º 250
º30 2000500
 º30 2000500
+
+
−+
−
=z
 
 
Solução: 
Temos então: 
=
++
+
−+
−
=
000 11255,216
º30 000 250
000 1732 1500
º30 000 000 1
jj
z 
=
+
+
−
−
=
 1255,216 1
 º30 000 250
 000 1232 2
 º30 000 000 1
jj
 
=+
−
−
=
 º9,5 9,222 1
 º30 000 250
 º1,24 8,445 2
 º30 000 000 1 
=+−= º1,24 4,204 º9,5 9,408 
=++−= 5,836,186427,406 jj 
º4 8,5945413,593 =+= ,j 
 
e) Potenciação 
Consideremos, inicialmente, um número complexo genérico 
( )θ+θ== θ sencos jj zezz 
Procedamos agora a potenciação deste número, ou seja, 
nz . 
Temos então: 
[ ] ( )[ ]nnn zezz sencos θ+θ== θ jj 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 72 
Assim sendo vem que: 
( )nnnnn zezz θθθ sencos jj +== 
porém, da identidade de Euler, 
θ+θ=θ nne n sencos jj 
o que nos permite escrever 
( ) ( )
( )
  
*
j jj nnnnnn znnzezz θ+θ=θ+θ== θ sencossencos (79) 
Daí concluímos que se 
zezz == θj θ ( )θ+θ= sencos jz 
podemos exprimir a potência nas seguintes formas: 
θ= nnn ezz j (80) 
θ= nzz nn (81) 
( )θ+θ= nnzz nn sencos j (82), também conhecida como 1.ª fórmula de De Moivre. 
Considerando a parte assinalada com asterisco na equação (79), concluímos também que: 
( ) θ+θ=θ+θ nnn sencossencos jj (83), que é reconhecida como sendo a identidade 
de De Moivre. 
 
Exemplo 1.23 
Calcular ( )73 j+ utilizando (a) a forma exponencial e (b) a 1.ª fórmula de De Moivre. 
 
Solução: 
a) Temos que: 
( )





π
===θ
=+=
rad
6
º30
3
1 tgarc
213
2
z
 
Logo, 
( ) 623
π
=+
j
j e . 
Matemática 1 – ProfessorPaulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 73 
Assim sendo, 
( ) ( )
( )
( )jj
jj
j
jjj
+−=





+−=
=




 π+
π
π+π=
=





==+
π
π
π
364
2
1
2
3128
6
sen
6
cossencos128
223 676
777
ee
 
b) 




π
=θ
=
rad
6
2z
 
( )
( )j
jj
jjj
+−=
=





−−=










 π−+




 π−=
=










 π−π+




 π−π=


 π+
π
=+
364
2
1
2
3128
6
5sen
6
5cos128
6
52sen
6
52cos128
6
7sen
6
7cos23 7
7
 
 
Exemplo 1.24 
Calcular ( )1022 j+ utilizando (a) a forma exponencial e (b) a 1.ª fórmula de De Moivre. 
 
Solução: 
a) Temos que: 
( ) ( )





===
=+=
rad
4
º451 tgarc
222
22
πθ
z
 
Logo, 
4222
π
=+
j
j e 
Assim sendo, 
( ) ( )
( )
j
jj
j
jjjj
1024
2
sen
2
cos2sen2cos1024
22222 22102
5
104
10
1010
=
=










 π+




 ππ+π=
=





===+
π
π
ππ
eeee
 
b) 




π
=θ
=
rad
4
2z
 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 74 
( )
j1024
2
sen
2
cos1024
4
22sen
4
22cos1024
4
10sen
4
10cos222 10
10
=




 π+
π
=
=










 π+π+




 π+π=
=




 π+
π
=+
j
j
jj
 
 
Exemplo 1.25 
Determinar o resultado da expressão ( )( )( )jj
jj
−−+−
−
=
143
21100 2z tanto na forma polar quanto na 
retangular. 
 
Solução: 
Inicialmente vamos passar cada um dos fatores para a forma polar: 
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
3462 7,28 9,70
 135 2 9,126 5
 8,126 5 90 100
 135 2 9,126 5
 4,63 5 90 100
2
j−=°−=
=
°−°
°−°
=
°−°
°−°
=z
 
 
Solução Alternativa: 
Vamos manter os fatores na forma retangular e racionalizar a fração resultante: 
( ) ( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ( )
( ) 3462
149
1731100
7
7
7
34100
7
34100
7
43100
4433
441100
414313
22121100 22
jj
j
j
j
j
j
j
j
jj
jj
jj
jjjj
jjj
−=
+
−
=
=





+
+






−
−
=
−
−
=
=
−
−−
=
+−+
−−
=
=
−+−+−−+−−
+−
=z
 
 
f) Radiciação: 
Diz-se que um número w é a raiz n-ésima de um número complexo z se 
nzzw n 1== 
que é equivalente a 
zwn = . 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 75 
Para determinar as n raízes distintas do número z vamos considerá-lo em sua 
forma trigonométrica 
( )θ+θ= sencos jzz 
e representemos, também em forma trigonométrica, a raiz que desejamos encontrar: 
( )ϕ+ϕ= sencos jww . 
Utilizando a 1.ª fórmula de De Moivre, a equação nzn = assume a seguinte 
forma: 
( ) ( )θ+θ=ϕ+ϕ sencossencos jj znnw n . 
Uma vez que a igualdade dos números complexos requer a igualdade das partes 
reais e das partes imaginárias, separadamente, devemos ter: 
θ=ϕ coscos znw n 
e 
θ=ϕ sensen znw n 
Tais equações, por sua vez, são equivalentes a 
zw n = 
e 
πθϕ kn 2+= ( )1,,2 ,1 ,0 −= nk  
ou seja, 
n zw = e ( )1 ,,2 ,1 ,02 −=+= nk
n
k

πθϕ 
Seque-se então a expressão conhecida como 2ª fórmula de De Moivre: 
nn
k
nnn zez
n
k
n
kzzw ==










 π+θ+




 π+θ==





 π+θ 22sen2cos
j
j
n
kπ+θ 2 
sendo k = 0, 1, 2, ..., n – 1. 
 (84a) 
Que também pode ser expressa para o argumento em graus, 
nnn z
n
k
n
kzzw =










 +θ+




 +θ==
º360ºsenº360ºcos j
n
k °+°θ 360 
sendo k=0, 1, 2, ..., n – 1. 
 (84b) 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 76 
Esta fórmula produz n raízes distintas , ,, , , 1210 −nwwww  todas com o mesmo 
módulo e com argumentos 
n
k
n
k
k
º3602 0 +θ
=
π+θ
=ϕ , k = 0, 1, 2, ..., n – 1, 
que estão situadas sobre a circunferência centrada na origem e com raio n z , sendo os vértices 
de um polígono regular de n lados, conforme ilustrado a seguir: 
nn
º3602
=
π
=ϕ
0
y
x
nθ
ϕ
0w
1w2w
3w
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
1−nw
2−nw
 
Fig. 1.25 
 
Casos particulares: 
1º) Raízes da unidade: 
 Quando z = 1, o ângulo θ assume o valor zero e a fórmula (84) reduz-se a : 
1 2sen2cos n
2k
==




 π+
π
=





 πj
j e
n
k
n
kw
n
kπ2 1=
n
k º360 
sendo k= 0, 1, 2... n-1 
 (85) 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 77 
Considerando 
, 2sen2cos
2
ne
nn
π
=
π
+
π
=Ω
j
j 
e utilizando a identidade de De Moivre, vemos que as n-ésimas raízes da unidade são dadas por: 
12 ,,,,1 −ΩΩΩ n 
 
A figura 1.26 ilustra as raízes no caso n = 6, onde 
∗35
34
3
2
Ω=−==Ω
Ω−=−−==Ω
−==Ω
Ω=+−==Ω
=+=
3
+
3
=
6
+
6
=Ω
86605,0
86605,0
1
86605,0
86605,0sencos2sen2cos
5
4
*32
3
,e
,e
e
,e
e,
j
j
j
jjj
j
j
j
j
j
π
π
π
π
πππππ
 
2Ω
3Ω
4Ω 5Ω
Ω
1 x
y
0
 
Fig. 1.26 
 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 78 
2º) Raízes quadradas: 
=z 
 
zezw == θ20
j
2
θ z= 2ºθ
 
( ) zezw == θ+π 21
j
2
θ+π z= 2º180 θ+° 
 (86) 
3º) Raízes cúbicas: 
=3 z 
 
33
0
3 zezw ==
θj
3
θ 3 z= 3ºθ
 
( )
33
1
3 zezw ==
π+θ 2j ( )
3
2π+θ 3 z= ( )3360°+°θ
 
( )
33
2
3
4
zezw ==
π+θj ( )
3
4π+θ 3 z= ( )3720°+°θ 
 (87) 
 
Exemplo 1.26 
 Determine os valores das seguintes raízes: 
a) j ; b) 3 8 j− ; c) 8 1 d) ( )31
2
1 j+ 
e represente-as no plano complexo. 
 
Solução: 
a) j 
Temos que 





==θ
=
⇒==
π
π
º90
 
1
2
2 e
z
ez
j
j 
Pela expressão (86): 
10 =w °45 1= °45 = 7070707,0º45senº45cos ,jj +=+ 
11 =w °+° 45180 1= °225 1= °−135 = ( ) ( ) 707,0707,0º135senº135cos jj −−=+− 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 79 
º135−
0w
0
y
x
707,0
707,0−
1w
º45
1
707,0
707,0−
 
Fig. 1.27
 
b) 3 8 j− 





−==θ
=
⇒=−=
π−
π−
º90
e 
8
88 que Temos
2
2
z
 ez
j
j
 
Pela expressão (87), 
3
0 8=w °−30 ( ) ( )[ ] ( ) jjj −=−=°−+°−= 732,150866,0230sen30cos2 ,
 
3
1 8=w ( ) 3/36090 °+°− 2= °90 ( ) jj 290senº90cos2 =°+=
 
3
2 8=w ( ) 3/72090 °+°− 2= °210 2= °−150
 
( ) ( )[ ] ( ) jjj −−=−−=°−+°−= 732,15,0866,02150sen150cos2
 
0
y
x
º150−
732,1−
1w
1−
732,1
2w 0w
2
2
º30−
 
Fig. 1.28 
 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 80 
c) 8 1 : 
Temos que z = 1 e, pela expressão (85), com n = 8, 1=w =°
8
360k 
1= °45k sendo k = 0, 1, 2, ... , 7 no presente caso. 
Assim sendo, 
10 =w °0 1º0senº0cos =+= j 
11 =w °45 707,0707,0º45senº45cos jj +=+= 
12 =w °90 jj =+= º90senº90cos 
13 =w °135 707,0707,0º135senº135cos jj +−=+= 
14 =w °180 1º180senº180cos −=+= j 
15 =w °255 1= °−135 ( ) ( ) 707,0707,0º135senº135cos jj −−=−+−= 
16 =w °270 1= °−90 ( ) ( ) jj −=−+−= º90senº90cos 
17 =w °315 1= °− 45 ( ) ( ) 707,0707,0º45senº45cos jj −=−+−= 
0
y
x
4w 707,0
2w
7w
1
º45−1−
1−
1
0w
1w3w
5w
6w
º45707,0−
707,0
707,0−
1
 
Fig. 1.29 
d) ( )31
2
1 j+ : 
Temos que ( ) ( )




==θ
==+=⇒+=
π º60
11
2
3
2
1
3
2
2
32
2
1zz j 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 81 
Pela expressão (86), 
10 =w °30 5,0866,0º30senº30cos j j +=+= 
11 =w °+° 30180 1= °210 1= °−150 ( ) ( ) 5,0866,0º150senº150cos j j −−=−+−= 
0
y
x866,0
0w
º30
1w
5,0
5,0−
º150−
866,0−
 
Fig. 1.30 
 
Exemplo 1.27 
Determinar o conjunto-solução em C da equação 044 =+w . 
 
Solução: 
Temos: 
444 4404 −=⇔−=⇔=+ www 
isto significa que devemos calcular as raízes quartas de z = – 4. Temos então: 



=π=θ
=
⇒=−= π
º180
4
44
z
ez j 
Utilizando a expressão (84), com n = 4, 










 ++




 +=
4
º360º180sen
4
º360º180cos4 kkzw j , 
sendo k = 0, 1, 2, 3 no presente caso. Assim sendo, 
Matemática 1 – Professor Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 82 
20 =w °45 [ ] jjj +=





+=+= 1
2
2
2
22º45senº45cos2 
21 =w °135 [ ] jjj +−=





+−=+= 1
2
2
2
22º135senº135cos2 
22 =w °255 2= =°−135
( ) ( )[ ] jjj −−=





−−=−+−= 1
2
2
2
22º135senº135cos2 
23 =w °315 2= °− 45 ( ) ( )[ ] jjj −=





−=−+−= 1
2
2
2
22º45senº45cos2 
Logo o conjunto solução é: 
{ }jjjj −−−+−+= 1 ,1 ,1 ,1S 
 
1.13.5A Desigualdade do Triângulo 
Em alguns trabalhos sobre números complexos, este é um item que aparece logo 
no começo, visto que, no mais das vezes, é apresentada uma demonstração para ela baseada 
puramente em uma propriedade geométrica dos triângulos. Nesta oportunidade, vamos também 
apresentar uma demonstração analítica , pelo que optamos por aguardar um maior 
amadurecimento do estudante com relação aos vários conceitos básicos. 
Vamos então considerar dois pontos do plano complexo associados aos números 
 1z e 2z , conforme apresentado na figura 1.20. 
 Temos então: 
 2121 zzzz +≤+ (88) 
A demonstração geométrica segue o fato de que os pontos 211 z e ,z ,0 z+ são os 
vértices de um triângulo de lados 2121 z e z , zz + , e um lado não pode exceder a soma dos 
outros dois. 
 É também interessante notar que a desigualdade se torna uma igualdade 
quando os pontos 21 e ,z ,0 z são colineares. 
 Para demonstrar a desigualdade algebricamente vamos escrever, baseados 
nas expressões que envolvem complexos conjugados, que 
( )( ) ( )( ) ( ) *22*12*21*11**21*2121221 21 zzzzzzzzzzzzzzzzzz +++=++=++=+ 
porém 
( )**212*1*12 zzzzzz == 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 83 
Apostila de Matemática Básica 
 
 
 
 
Assunto: 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Coleção Fundamental - volume 5/8 
 
 
 
 
 
 
Autor: 
 
 
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 84 
logo 
2
2
**
21
*
21
2
1
*
22
**
21
*
21
*
11
2
21 ])([])([ zzzzzzzzzzzzzzzz +++=+++=+ 
porém 
( ) ( ) 21*1*21**21*21 22Re2 2 zzzzzzzzzz =≤=+ 
de modo que 
2
221
2
1
2
21 2 zzzzzz ++≤+ 
ou 
( )221221 zzzz +≤+ 
 Uma conseqüência imediata da desigualdade do triângulo é que 
2121 zzzz −≥+ (89) 
que pode ser demonstrada a partir de 
( ) ( ) , 2212211 zzzzzzz −++≤−++= 
o que nos leva a 
2121 zzzz −≥+ (90) 
que é a desigualdade (89) quando 21 zz ≥ . Se tivermos 21 zz < , basta trocar 1z e 2z na 
desigualdade (90) para obter 
( )2121 zzzz −−≥+ 
que é o resultado desejado. 
A desigualdade (89) traduz o fato de que o comprimento de um todo de um triângulo 
não pode ser menor que a diferença dos comprimentos dos outros dois lados. 
Podemos também obter formas alternativas úteis para as desigualdades (88) e (89) 
trocando 2z por 2z− : 
2121 zzzz +≤− (91) 
2121 zzzz −≥− (92) 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 85 
Exemplo 1.28 
Verificar a desigualdade do triângulo para 321 j−=z e j+−= 42z . 
Solução: 
Temos que: 
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )
( )
73,782,2
12,417144
61,3133232
82,2
2222221342
2121
22
22
22
11
22
2121
=+<=+
≅=+−=→+−=
≅=−+=→−=
≅
≅=−+−=+→−−=+−+−=+
zzzz
zz
zz
zzzz
j
j
jj
 
e está verificada a desigualdade. 
 
1.14.6 Curvas e Regiões no Plano Complexo 
Vamos considerar agora alguns tipos importantes de curvas e regiões no plano complexo e suas 
representações por meio de equações e desigualdades. 
a) Circunferência 
Conforme já visto em 1.14.4.b, a distância entre os pontos do plano definidos pelos complexos 1z e 
2z é 21 zz − . Segue-se então que uma circunferência C de raio ρ com centro em um ponto a (fig. 
1.31) pode ser representada sob a forma 
ρ=− az (93) 
0
y
x
z
a
ρ
 
Fig. 1.31 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 86 
Onde z é um ponto qualquer da circunferência. 
 
Exemplo 1.29 
Identificar o lugar geométrico representado por (a) 3=− jz ; (b) 432 =−+ jz . 
a) 
( )



=ρ
→+=
3
1,00 aa j
 
0
y
x
a
3
( )1 ,0
 
Fig. 1.32 
Trata-se pois de uma circunferência centrada em ( )1,0a e raio 3. 
b) 
( )



=ρ
−→+−=
4
3,232 aa j
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 87 
0
y
x
3
2
1
2− 1−
4
( )3,2−a
 
Fig. 1.33 
Temos então uma circunferência centrada em ( )3,2−a e raio 4. 
b) Disco Fechado 
Em conseqüência do que foi visto em (a), para um disco fechado de raio ρ e centro em a temos: 
ρ≤− az (94) 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 88 
Fig. 1.34 
 
Exemplo 1.30 
Identificar o lugar geométrico representado por 23 ≤++ jz . 
( )



=ρ
−−→−−=
2
1,33 aa j
 
 
Fig. 1.35 
c) Disco Aberto 
Para o disco aberto temos: 
ρ<− az (95) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 89 
 
Fig. 1.36 
 
d) Exterior da Circunferência 
Semelhantemente a desigualdade 
ρ>− az (96) 
Representa o exterior da circunferência de raio ρ centrada em a. 
 
Fig. 1.37 
 
e) Coroa Fechada 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 90 
A região entre duas circunferências concêntricas de raios 1ρ e 2ρ , sendo 1ρ>ρ2 , pode ser 
representada por: 
2ρ≤−≤ρ az1 (97) 
 
Fig. 1.38 
 
f) Coroa Aberta 
Temos então: 
21 ρ<−<ρ az (98) 
 
Fig. 1.39 
g) Circunferência Unitária 
A equação 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 91 
1=z (99) 
representa a chamada circunferência unitária, ou seja, a circunferência de raio 1 e centro na origem, 
que representa papel importante na seqüência do estudo de variáveis complexas. 
0
y
x
1
 
Fig. 1.40 
 
h) Reta que une dois pontos 
0
y
x
1z
z
2z
P
12 zz −=21PP
1P PP1
2P
 
Fig. 1.41 
Sejam 111 yxz j+= e 222 yxz j+= os complexos representando dois pontos quaisquer 1P e 2P do 
plano, conforme aparece na figura 1.41, e z o complexo representando um ponto P qualquer da reta 
que passa pelos dois pontos inicialmente mencionados. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 92 
Da figura em questão percebe-se que: 
AP+= 1zz 
Sendo AP e AB segmentos orientados paralelos temos: 
AP = kAB 
o que nos permite escrever: 
1zz = + kAB 
No entanto, 
AB 12 zz −= 
o que nos conduz a: 
( )121 zzkzz −+= (100a) 
( ) 211 kzzkz +−= (100a) 
Se queremos representar qualquer ponto da reta devemos ter ∞<<∞− k mas, se queremos 
representar apenas os pontos do segmento que une os pontos 1P e 2P devemos ter 10 ≤≤ k . 
1.15. Exercícios Propostos sobre Números Complexos 
1. Determine R∈x para que o número complexo ( ) ( )123 −−+ xx j seja real. 
2. Determine os valores reais de a para os quais ( )4j+a é um número real. 
3. Efetuar as seguintes potências: 
a) 12j 
b) ( )76j− 
c) 77j 
d) ( )*2 Nnn ∈j 
e) ( )*34 Nnn ∈+j 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 93 
f) ( )*12 Nnn ∈+j 
4. Calcular 303210 ... jjjjj  . 
5. Calcule o módulo e o argumento dos seguintes números complexos: 
a) j+=11z 
b) 22 j=z 
c) 33 =z 
d) 314 j+=z 
e) 35 j−=z 
f) j−= 36z 
6. Exprimir cada um dos seguintes números complexos na forma polar: 
a) 4πje15 
b) 325 π− je 
c) 6
5
10
π− j
e 
7. Passar os seguintes números complexos da forma polar para a forma retangular: 
a) 3,12 °30 
b) 25 °− 45 
c) 86 °−115 
8. Escrever na forma trigonométrica os seguintes números complexos e representá-los no plano de 
Argand-Gauss: 
a) j+1 
b) 5− 
c) 22 j+− 
9. Determinar x e y ∈ R de modo que ( ) ( ) 10742 jjj +=−−+ yxyx . 
10. Determine x e y ∈ R tais que yx jjjj +=++ 37104250 2 . 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo CesarPfaltzgraff Ferreira 
 
 94 
11. Calcule o valor de n sabendo-se que ( ) ( ) jjj 1612 2 −=++ nn . 
12. Calcular 
a) ( ) ( )( )42.131 2 jjj +−−+− 
b) ( ) ( )3532 jj ++− 
c) 233
3
2
2
1 jjjj −+




 −+




 + 
d) ( )31 j− 
e) ( )( )jj ++− 3434 
f) ( )( )3232 jj +− 
g) ( )53 jj + 
h) ( )( )jj +− 187 
13. Se 251
πj
ez = e 422
π−= jez calcular 21.zz . 
14. Calcular os seguintes produtos: 
a) (3 °20 ) (2 °− 45 ) 
b) ( )( )11,253,455,85,23 jj −+ 
15. Sendo 3π−= jez 5,2 calcular *.zz . 
16. Sendo 10=z °− 40 calcular *.zz . 
17. Expressar na forma polar os seguintes complexos: 
a) 6π− 54 je 
b) 2318 π−− je 
18. Calcular: 
a) 
j
j
j
j
+
+
+
1
1 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 95 
b) 
j+1
2 
c) 
j
j
−
+
1
1 
d) 
22
24
j
j
−
+ 
e) 
53
8
j
j
+
− 
f) 
j
j
j
j
−
−
+
1
1 
g) ( )( )( ) 231
4623
jj
jj
+−
−+ 
h) 
j
j
j
j
−
−
+
+
+
3
23
2
3 
19. Determinar o número real x tal que o produto 21.zz , onde 341 j+=z e 62 j−= xz , seja também 
um número real. 
20. Determine o número complexo z tal que jzz 22 = . 
21. Determine a ∈ R para que 
32
9
j
j
+
+− a seja imaginário puro. 
22. Determinar o resultado da expressão 
21
21.
zz
zzz
+
= sendo 95,3101 j+=z e 71552 ,z j+= . 
23. Sendo 1z e 2z dois números complexos, resolver o sistema 



−=−
+=+
j
j
52
4
21
21
zz
zz
. 
24. Calcule o argumento do complexo ( ) ( )jj +÷− 11 . 
25. Sendo 





4
π
+
4
π
= sencos21 jz e 




 π+
π
=
2
sen
2
cos32 jz calcular 21.zz apresentando o resultado 
na forma trigonométrica. 
26. Dados 
2
3
2
1
1 j+=z e j+=12z determine: 
a) 21.zz 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 96 
b) *21.zz 
c) 2
*
1 .zz 
d) ( )*21.zz 
e) 21z 
f) 22z 
g) *2
*
11. zzz + 
 
27. Dados 211 j+=z , j−−= 22z e 433 j−=z , calcular: 
a) 21 zz + 
b) 21 zz + 
c) *
3
*
2
*
1
z
zz − 
d) ( )( )3121 zzzz ++ 
e) *12
*
21 .. zzzz + 
28. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são α e β. Calcule o valor do produto 
( )( )β+βα+α sencossencos jj . 
29. Calcular ( )81 j− . 
30. Dado o número complexo j+=1z calcular 20z . 
31. Calcular 
7
2
3
2
1






− j . 
32. Calcular 
( )201
1
j−
. 
33. Achar o conjugado do complexo 2z onde ( )α+α= sencos jaz , com 2=a e rad
8
π
=α . 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 97 
34. Calcular o menor valor natural n para o qual ( )nj+− 3 é um imaginário puro. 
35. Calcule o valor da expressão ( ) ( )
( ) ( )49100
50101
1.1
1.1
jj
jj
+−−−
−+ . 
36. Calcule o resultado de 
15
1
1






−
+
j
j . 
37. Dados os complexos 
125
125
j
j
+
−
=u e j−=1v calcule o valor de 8vu + . 
38. Calcular as seguintes raízes e representá-las no plano complexo: 
a) 68 j+ 
b) 3 j 
c) 4 1 
d) 25− 
e) 4 1− 
f) 7 128− 
g) 6 1− 
h) 31 j− 
i) 3 1 j+ 
39. Determinar o conjunto-solução em C para cada uma das seguintes equações: 
a) 012 =+w 
b) 013 =+w 
c) 014 =+w 
d) 02 =+ jw 
e) 012 =++ ww 
f) 05342 =+− ww 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 98 
g) ( ) ( ) 0322 =−+−+ jj ww 
h) 023 24 =+− ww 
i) 043 24 =−+ ww 
j) 0164 =−w 
 
40. Demonstre, por indução matemática, a desigualdade seguinte, e interprete o resultado 
graficamente. 
nn zzzzzz +++≤+++  2121 ( ),3 ,2=n 
41. Estabelecer as equações cartesianas, identificar e traçar os gráficos dos lugares geométricos 
representados por: 
a) 33 =+z 
b) 24 ≤− jz 
c) 422 ≤−≤ z 
d) 2* =+ zz 
e) 22 zzz =+ 
f) j=− *zz 
g) ( ) 2Im ≥z 
h) ( ) 2Im 2 ≤z 
i) ( ) 1Re 2 ≤z 
j) º45arg <z 
k) ( ) 1Re5 <<− z 
l) 11 <
z
 
m) 22 j−=− zz 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 99 
n) 2
1
1
=
−
+
z
z 
o) 3
2
2
=
−
+
j
j
z
z 
p) 1=
−
+
j
j
z
z 
q) 1
1
1
=
−
+
z
z 
r) 1
2
6
≥
−
+
z
z j 
s) ( ) 03Re ≥−z 
t) ( ) 0Im <− jjz 
u) 11Re >





z
 
v) 311 =++− zz 
w) 11Im0 <




<
z
 
x) 1044 =++− jj zz 
y) ( ) 22*2 =+ zz 
z) 21 zzz β+α= , sendo 1z e 2z números complexos quaisquer, α e β reais e não negativos e 
1=β+α . 
 
1.16. Resposta dos Exercícios Propostos sobre Números Complexos: 
1. 1=x 
2. 0; 1 e 1− 
3. a) 1; b) 1; c) j; d) 1 para n par e 1− para n ímpar; e) j− ; f) j par n par e j− para n ímpar. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 100 
4. j 
5. a) 1,414 e 45º; b) 2 e 90º; c) 3 e 0; d) 2 e 60º; e) 3 e – 90º; f) 2 e – 30º. 
6. a) 15 °45 ; b) 5 °−120 ; c) 10 °−150 
7. a) 15,665,10 j+ ; b) 7,177,17 j− ; c) 9,773,36 j−− 
8. a) 




 +=
4
sen
4
cos2 ππ jz 
0
y
x
j+1
1
rad4π
1
 
b) ( )π+π= sencos5 jz 
0
y
x5−
radπ
 
c) 22 j+−=z 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. V – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 101 
0
y
x2−
rad43π
22 j+−
1−
2
1
 
9. x = 7, y = 2 
10. x = 0, y = 2 
11. n = 3 
12. a) 126 j−− ; b) 7; c) 3167,2 j− ; d) 22 j−− ; e) – 16; f) 5; g) – 5 + j3; h) 15 – j 
13. 410 πje 
14. a) 6 °− 25 ; b) 12586,105,124 =− j °−5 
15. 6,25 
16. 100 
17. a) 4 °−30 ; b) 18 °−90 
18. a) 1,5 – j0,5; b) 1– j; c) j; d) 1 + j1,414; 
e) – 1,176 – j0,117; f) 1,5 – j1,5; g) – 3,9 + j1,3 ; h) 2,5 – j0,5. 
19. x = 8 
20. 0 e j2 
21. a = 6 
22. 17,7 °3,41 73,439,5 j+= 
23. 31 =z e j+=12z 
24. rad2
π− 
25. 





4
π
+
4
π 3sen3cos6 j 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 99 
Apostila de Matemática Básica 
 
 
 
 
Assunto: 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Coleção Fundamental - volume 6/8 
 
 
 
 
 
 
Autor: 
 
 
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 
 
 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 100 
26. a) – 0,366 + j1,366 
b) 1,366 + j0,366 
c) 1,366 – j0,366 
d) – 0,366 – j1,366 
e) – 0,5 + j0,866 
f) j2 
g) 2 – j 
26. a)1,414; b) 4,472; c) 0,849; d) 6,325; e) 8 
27. j 
28. 16 
29. – 1024 
30. 86605,0 ,j− 
31. 
1024
1
− 
32. 828,2828,2 j− 
33. n = 3 
34. – 2 
35. – j 
36. 17 
37. a) j+= 30w ; j−−= 31w 
x
y
0
0w
1w
1−
3−
3
º57,161−
º43,18
1
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 101 
b) 5,0866,00 j +=w ; 5,0866,01 j +−=w ; j−=2w 
x
y
0
0w1w
º1 5 0
º30
2w
 
c) 10 =w ; j=2w ; 13 −=w ; j−=4w 
x
y
0
0w
1w 1
1−
3w
2w
1−
1
 
d) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 102 
x
y
0
0w
1w
5+
5−
 
e) 707,0707,00 j+=w ; 707,0707,01 j+−=w ; 707,0707,02 j−−=w ; 
707,0707,03 j−=w 
x
y
0w1w
707,0−2w 3w
0
707,0
707,0− 707,0
º135
º45
º45−
º135−
 
f) 868,0802,10 j+=w ; 950,1445,01 j+=w ; 5641247,12 ,j+−=w ; 23 −=w ; 
;564,1247,14 j−−=w 950,1445,05 j−−=w ; 868,0802,16 j+=w 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 103 
x
y
0w
1w
2w
3w
0
º71,25
4w
5w
º43,51
6w
 
 
g) 50866,00 ,w j+= ; j=1w ; 50866,02 ,j+−=w ; 50866,03 ,j−−=w ; j−=4w ; 
50866,05 ,w j−= 
x
y
0w
1w
2w
3w
0
º30
4w
5w
º60
º30−
1−
1
866,0866,0−
5,0
5,0−
 
h) 7070225,10 ,w j−= ; 7070225,11 ,w j+−= 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira104 
x
y
0w
1w
0
º150
º30−
2
 
i) 316,0181,10 j+=w ; 864,0864,01 j+−=w ; 181,1316,02 j+−=w 
x
y
0w
1w
0
º135
º105−
º15
2w
122,1
 
 
39. a) { }jj −, ; 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 105 
b) { }8660,50 ;1 ;86605,0 ,, jj −−+ 
c) { }707,0707,0 ;707,0707,0 ;707,0707,0 ;707,0707,0 jjjj −−−+−+ 
d) { }707,0707,0 ;707,0707,0 jj −+− 
e) { }86605,0 ;86605,0 ,, jj −−+− 
f) { }72 ;72 jj −+ 
g) { }2-1 ;1 jj+ 
h) { }2 ;2 ;1 ;1 −− 
i) { }2 ;2 ;1 ;1 jj −− 
j) {2; – 2; j2; –j2} 
 
41. a) ( ) 93 22 =++ yx → circunferência centrada em ( )0 ,3− e raio 3. 
0
y
x2− 1−3−
( )0 ,3−
3
 
 
b) ( ) 44 22 ≤−+ yx → disco fechado centrado em ( )4 ,0 e raio 2. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 106 
 
 
c) ( ) 1624 22 ≤+−≤ yx → coroa fechada centrada em ( )0 ,2 , raio interno 2 e raio externo 4. 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 107 
 
d) x = 1 → reta que passa pelo ponto (1, 0) e é paralela ao eixo y. 
0
y
x1
 
e) ( ) 11 22 =+− yx → circunferência centrada em (1, 0) e raio 1. 
0
y
x1
( )0 ,1
 
f) 
2
1
=y → reta que passa pelo ponto ( )21 ,0 e é paralela ao eixo x. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 108 
0
y
x
21
 
g) 2≥y → semiplano situado acima da reta y = 2 e incluindo a mesma. 
 
h) 1≤xy → região delimitada pela hipérbole equilátera xy = 1 conforme aparece na figura a 
seguir 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 109 
 
 
i) 122 ≤− yx → região entre os ramos da hipérbole 122 =− yx incluindo tais ramos. 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 110 
j) º45º45 <θ− → região entre as retas xy −= e y = x no 1.º e 4.º quadrantes. 
 
k) 
 
l) 122 >+ yx → região exterior à circunferência 122 =+ yx . 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 111 
 
m) Reta bissetriz do 1.º e 3.º quadrantes. 
0
y
x
º45
xy =
 
 
n) 
2
2
2
3
4
3
5





=+




 − yx → circunferência de centro ( )0 ,35a e raio 34 . 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 112 
0
y
x( )0 ,35
34
a
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 113 
o) 
22
2
2
3
2
5





=




 −+ yx → circunferência de centro ( )25 ,0a e raio 23 . 
0
y
x
( )25 ,0a23
 
p) y = 0 → eixos dos x. 
y
x0
 
q) x = 0 → eixos dos y. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 114 
y
x0
 
r) 083 ≥++ yx → que inclui o semiplano e a reta(r) assinalados na figura. 
 
s) 3≥x → que inclui o semiplano e a reta r assinalados na figura. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 115 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 116 
t) 1−<x → que representa o semiplano assinalado. 
 
u) 
2
2
2
2
1
2
1





<+




 − yx → disco aberto de centro ( )0 ,21a e raio 21 . 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 117 
v) 1
4
5
4
9
22
=+
yx
→ elipse centrada na origem, com eixo maior = 3, eixo menor = 
5 , e distância focal = 2. 
y
( )25,0
0 x( )0,1− ( )0,1 ( )0,23
( )25,0 −
( )0,23−
F A
B
B′
F ′A′
 
w) As equações que definem o lugar geométrico são y < 0 e 
22
2
2
1
2
1





>




 ++ yx . Logo 
temos o todo semiplano a esquerda do eixo y = 0 a menos da parte do disco fechado de 
centro 




 −
2
1 0,a e raio 
2
1 situada nesta região. 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 118 
x) 1
259
22
=+
yx
→ elipse centrada na origem, com eixo maior = 10, eixo menor = 6, e 
distância focal = 8. 
y
( )5,0
0 x( )0,3−′B ( )0,3B
( )4,0 −
F
A
F ′
A′ ( )5,0 −
( )4,0
 
y) 122 =− yx → que é uma hipérbole equilátera, centrada na origem, cujo eixo real = 2, e 
eixo imaginário = 2, e a distância focal = 22 . 
y
x
F
0
º45º45F ′
B
B
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )0,2 ,0,2
0,1 ,1,0
0,1 ,0,1
−′
−′
−′
FF
BB
AA
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VI – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 119 
z) 21 zzz β+α= → sendo 1=β+α , representa o segmento que une os pontos determinados 
por 1z e 2z . 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 115 
Apostila de Matemática Básica 
 
 
 
 
Assunto: 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Coleção Fundamental - volume 7/8 
 
 
 
 
 
 
Autor: 
 
 
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 
 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 116 
 
Unidade 2 
Somatórios, Produtórios e uma Introdução às Medidas de Posição: 
2.1. Introdução aos Somatórios 
Muitas vezes precisamos escrever expressões que envolvem somas com um grande 
número de parcelas e, para facilitar, vamos intoduzir o conceito de somatório ou, como preferem 
alguns autores, a notação sigma. Tal notação envolve o uso do símbolo Σ, que é a letra sigma 
maiúscula do alfabeto grego, e corresponde ao nosso S, que é a primeira letra da palavra 
“Soma”,é claro! 
Tal notação é bastante útil para o Cálculo Integral, Estatística, Telecomunicações, 
Informática4, etc. 
Por exemplo, a soma 
naaaa ++++ 321 
com n termos (parcelas), pode ser sintetizada por meio do conceito de somatório. 
Simbolizaremos por ia o i-ésimo termo da soma, pois, 1a é o primeiro termo, 2a é o segundo, 
3a , o terceiro, e daí por diante até chegarmos a na . Temos então: 
∑ ∑
=
= =
==+++
ni
i
n
i
iin aaaaa
1 1
21  
e convém ressaltar as seguintes partes: 
 
 
 
 
 
Fig. 2.1 
Temos também que i = 1 é o limite inferior, i = n é o limite superior, sendo “i” o índice 
do somatório, e lê-se: “Somatório de ai , para i variando de 1 a n”. 
Não é absolutamente necessário, conforme veremos nos exemplos subsequentes, que i se 
restrinja sempre ao intervalo 1 ≤ i ≤ n (ilustração 1-a). Na realidade podemos ter – ∞ < i < + 
 
4 Vide seção 2.1 (Base Teórica da Comunicação de Dados), equação 2.1 do livro Redes de Computadores, de An-
drew S. Tanenbaun, publicado pela Editora Campus. 
i
a∑
n
1=i
o último elemento dos 
termos a serem somados 
a instrução 
para somar termo geral do somatório 
i é uma observação 
individual da série o primeiro elemento dos 
termos a serem somados 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 117 
∞ (ilustração 1-b), mas i deve assumir sempre valores inteiros e variar de um em um no sentido 
crescente. 
• ILUSTRAÇÃO 2.1 
→n  →1 2 3 4 1 2 3 43−4− 2− 1− 0i i
← ∞−  → crescente sentido → crescente sentido → ∞− 
 (a) (b) 
 
Convém também ressaltar que i é um “símbolo mudo”, pois qualquer outra letra pode ser 
usada para este propósito. Alguns exemplos da notação sigma são dados na ilustração a seguir: 
 
 
• ILUSTRAÇÃO 2.2 
(a) 222222
6
1
2 654321 +++++=∑
=i
i 
(b) 
( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 1185214]2)3(3[223213
203213223)23(
3
2
++++−+−=++++++
++++−++−=+∑
−=i
i
 
(c) 3333
1
3 321 nj
n
j
++++=∑
=
 
(d) 
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
118
2
++++++=∑
=k k
 
 
 
2.2. Definição Formal de Somatório 
 
Expandindo as considerações iniciais temos então : 
 
)()1()2()1()()( nFnFmFmFmFiF
n
mi
+−++++++=∑
=
 (1) 
 
onde F( i ) , que é a função geradora do somatório, é uma função da variável i ( ou de outra 
que seja escolhida ), m e n são números inteiros, sendo nm ≤ , e i varia de um em um, desde o 
valor m até o valor n. 
 
O lado direito de (1) consiste na soma de 1+− mn termos , o primeiro dos mesmos sen-
do obtido substituindo-se i por m em F( i ) , o segundo substituindo-se i por 1+m em F(i), e 
assim sucessivamente, até que o último termo seja obtido substituindo-se i por n em F( i ). É 
fácil de se concluir que o número m é o limite inferior da soma, n é o limite superior, e a função 
F( i ) é o termo geral, sendo i sua variável. Embora já tenha sido dito, e a ilustração (2) seja bem 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 118 
clara, nunca é demais relembrar que i é um "símbolo mudo", pois qualquer outra letra pode ser 
empregada para este fim. 
Por exemplo, 
 
222226
2
2
65432 ++++=∑
=i
i 
 
é equivalente a 
 
222226
2
2
65432 ++++=∑
=k
k 
 
A ilustração seguinte evidencia mais algumas aplicações do conceito de somatório : 
 
 
• ILUSTRAÇÃO 2.3 
(a) 50321
50
1
xxxxx
i
i ++++=∑
=
 
(b) 6655443322
6
2
yxyxyxyxyxyx
k
kk ++++=∑
=
 
(c) 
2
500
2
2
2
1
500
1
2
)()()()( xxxxxxxx
j
j −++−+−=−∑
=
 ,sendo x =constante 
(d) 20210)1()2()3()4()5(
20
5
+++++−+−+−+−+−=∑
−=

i
i 
(e) 
3
5
3
3
3
1
3
122
0
++=
+∑
=k
k 
(f) 
7
36
6
25
5
16
4
9
16
6
15
5
14
4
13
3
1
22226
3
2
+++=
+
+
+
+
+
+
+
=
+∑=i i
i 
 e de modo inverso, 
(g) ∑
=
=++++
1001
1
)2(2002642
i
i ou ∑
=
+
1000
0
)22(
i
i ou ∑
=
−
1002
2
)22(
i
i 
(h) ∑
=
+=++++
50
0
)12(101531
i
i ou ∑
=
−
51
1
)12(
i
i ou ∑
=
−
52
2
)32(
i
i 
 
 
Também já vimos que os termos da soma podem envolver subíndices, porém a ilustração 
4 a seguir ajudará a sedimentar tal fato, até porque podemos ter também expoentes. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 119 
 
 
• ILUSTRAÇÃO 2.4 
(a) 1054
10
4
1054 bbbkb
k
k +++=∑
=
 
(b) nn
n
i
ii xxfxxfxxfxxf ∆++∆+∆=∆∑
=
)()()()( 2211
1
 
 e também de modo inverso, 
(c) ∑
=
++
=+++
n
j
j
j
n
n babababa
1
113
2
2
1  
 
 
2.3. Propriedades dos Somatórios 
 
Propriedade (a): distributiva com relação à adição 
 
[ ] ∑∑∑
===
+=+
n
i
n
i
n
i
iGiFiGiF
111
)()()()( (2) 
 
Demonstração: 
 
[ ]
[ ]
[ ] ∑∑
∑
==
=
+=++++
++++=++
+++++=+
n
i
n
i
n
i
iGiFnGGG
nFFFnGnF
GFGFiGiF
11
1
)()()()2()1(
)()2()1()()(
)2()2()1()1()()(



 
 
Esta propriedade pode ser estendida à soma de um número qualquer de funções. 
 
Propriedade (b): distributiva com relação à subtração 
 
[ ] ∑∑∑
===
−=−
n
i
n
i
n
i
iGiFiGiF
111
)()()()( (3) 
 
A demonstração é análoga à anterior. 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 120 
Propriedade (c): 
 
∑∑
==
=
n
i
n
i
iFKiKF
11
)()( , sendo K = constante (4) 
Demonstração : 
 
[ ] ∑
∑
=
=
=+++=
=+++=
n
i
n
i
iFKnFFFK
nKFKFKFiKF
1
1
)()()2()1(
)()2()1()(


 
 
Propriedade (d): 
 
nKK
n
i
=∑
=1
, sendo K = constante (5) 
 
 
Demonstração: 
 
 Temos que : 
 
  

termos n
n
i
nFFFiF )()2()1()(
1
+++=∑
=
 
 
Fazendo F(i) = K obtemos: 
 
KnFFF ==== )()2()1(  
e 
nKKKKKiF
n
i
n
i
=+++== ∑∑
==
   
n termos11
)( 
 
 
 A propriedade (d) pode ser estendida para o caso do limite inferior não ser necessaria-
mente 1, ou seja: 
 
Propriedade (e): 
 
KmnK
n
mi
)1( +−=∑
=
, sendo K = constante (6) 
 
Demonstração: 
 
Fazendo F( i ) = K em (1) obtemos: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 121 
 
KnFmFmF ===+= )()1()(  
e 
KmnKKKKiF
n
mi
n
mi
)1()(
 termos1m-n
+−=+++==
+==
∑∑     
 A seguir continuaremos a apresentar uma série de propriedades cujas demonstrações fica-
rão a cargo do estudante como forma de exercitação. 
 
Propriedade (f): 
 
[ ]∑∑
==
≠




 n
i
n
i
iFiF
1
2
2
1
)()( (7) 
 
 
Propriedade (g): 
 
∑∑∑
===
≠
n
i
n
i
n
i
iGiFiGiF
111
)()()()( (8) 
Propriedade (h): 
 
∑
∑
∑
=
=
=
≠ n
i
n
i
n
i iG
iF
iG
iF
1
1
1 )(
)(
)(
)( (9) 
 
 
Propriedade (i): se n é um inteiro positivo então 
 
( )
2
1
1
+
=∑
=
nni
n
i
 (10) 
 
( )( )
6
121
1
2 ++
=∑
=
nnni
n
i
 (11) 
 
( )
4
1 2
2
1
3 +
=∑
=
nni
n
i
 (12) 
 
30
)196)(1(
23
1
4 −+++
=∑
=
nnnnni
n
i
 (13) 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 122 
 
EXEMPLO 2.1 
 
Escreva os termos de∑
=
+
5
1
)32(
i
i e ache a soma. 
 
 
Solução: 
 
Temos que: 
 
451311975)32(
 termos5 e 2 razão de
aritmética progressão
5
1
=++++=+∑
=
  
i
i 
 
 Aliás, o valor acima poderia ter sido obtido sem que fosse necessário somar todas as par-
celas; bastando observar que as mesmas constituem uma progressão aritmética, e que para tal 
tipo de sucessão a soma dos termos é dada pela fórmula: ( )
2
1 naaS nn
+
= . Logo, 
( ) 45
2
5135
5 =
×+
=S 
 
Uma alternativa de solução é utilizando, primeiramente, a propriedade (a): 
 
=+=+ ∑∑∑
===
5
1
5
1
5
1
32)32(
iii
ii 
 
A primeira parcela é trivial, e a segunda pode ser determinada por meio propriedade (d), 
ou seja : 
 
( )
( )
4515303554321 2
1) razão de (P.A. 
2
551
=+=×+++++=
×+
=
  
 
 
 
EXEMPLO 2.2 
 
Sendo x = { 7, 3, 9, 5, 6 } calcular ∑
=
5
1i
ix . 
 
 
Solução: 
 
306593754321
5
1
=++++=++++=∑
=
xxxxxx
i
i 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 123 
EXEMPLO 2.3 
 
Calcule os somatórios a seguir escrevendo as parcelas e determinando a soma. Verificar 
os resultados por meio das equações de ( 10 ) a ( 13 ). 
 
(a) ∑
=
4
1i
i ; (b) ∑
=
4
1
2
i
i ; (c) ∑
=
4
1
3
i
i ; (d) ∑
=
4
1
4
i
i 
Solução: 
 
(a) 104321
4
1
=+++=∑
=i
i 
 
Da fórmula (10), com n = 4, 
 
10
2
)54(
2
)14(44
1
=
×
=
+
=∑
=i
i 
 
(b) 304321
22224
1
2
=+++=∑
=i
i 
 
Da fórmula (11) , com n = 4 , 
 
30
6
954
6
)18)(14(44
1
2
=
××
=
++
=∑
=i
i 
(c) 1004321
33334
1
3
=+++=∑
=i
i 
 
Da fórmula (12) , com n = 4, 
100
4
2516
4
)14(4
224
1
3
=
×
=
+
=∑
=i
i 
(d) 3544321
44444
1
4
=+++=∑
=i
i 
Da fórmula (13), com n = 4 
354
30
53154
30
)144946)(14(4
234
1
4
=
××
=
+−×+×+
=∑
=i
i 
 
 
EXEMPLO 2.4 
Calcule ∑
=
+−
n
i
ii
1
2
)5212( 
 
 
Solução: 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 124 
Pela propriedade (a) temos: 
 
=+−=+− ∑∑∑∑
====
n
i
n
i
n
i
n
i
iiii
111
2
1
2
5212)5212( 
Pela propriedade (c), 
=+−= ∑∑∑
===
n
i
n
i
n
i
ii
111
2
5212 
Utilizando as equações (11) e (10) e a propriedade (d), 
 
nnn
nnnnnn
nnnnnn
654
5264
5
2
)1(2
6
)12)(1(12
23
223
++=
=+−−++=
=+
+
−
++
=
 
 
 
EXEMPLO 2.5 
 
Simplifique o seguinte somatório: 
∑
= 












 −++
n
i n
i
n1
211300501 
 
 
Solução: 
 
Aplicando as propriedades (a) e (c) e rearranjando o que está dentro do parênteses, obte-
mos : 
 
( )
=
−+
+= ∑ ∑
= =
n
i
n
i n
in
nn 1 1 2
21300501 
 
Aplicando a propriedade(d) as primeiro somatório, a propriedade (c) ao segundo somató-
rio e desenvolvendo no mesmo o quadrado, temos : 
 
∑
=
=−−++++=
n
i
inniin
n
n
n 1
22
3 )2221(
300)50(1 
 
Aplicando mais uma vez a propriedade (a) segue-se que : 
 
=





+−+−++= ∑ ∑ ∑
= = =
n
i
n
i
n
i
nnini
n 1 1 1
22
3 )12()22(
30050 
 
Aplicando a propriedade (c) ao segundo somatório e a propriedade (d) ao terceiro, vem 
que: 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 125 
=





+−+−++= ∑ ∑
= =
n
i
n
i
nnnini
n 1 1
22
3 )12()22(
30050 
 
 
Aplicando a fórmula (11) ao primeiro somatório, a fórmula (10) ao segundo, temos: 
 
2
2
23
3
233
23
3
2
3
50450750
5045070050
6
1
2
3
3
730050
2
6
3230050
)12(
2
)1()1(2
6
)12)(1(30050
nn
nn
nnn
n
nnnnnnnn
n
nnnnnnnnn
n
+−=
=+−+=


 +−+=
=








+−+−+
++
+=
=


 +−+
+−
+
++
+=
 
 
 
EXEMPLO 2.6 
 
Sabendo-se que 700
70
1
=∑
=i
ix e que 680
69
2
=∑
=i
ix , calcular 10 % de )( 701 xx + . 
 
Solução: 
Temos que : 
 
70070
680
6921
70
1 69
2
=+
∑
+++=
=
=
=
∑ xxxxx
i
ix
i
i 
 
e então, 
 
700680 701 =++ xx 
 
donde, 
 
20680700701 =−=+ xx 
 
Assim sendo, 10% de )( 701 xx + = 10% de 20 = 2 
 
 
EXEMPLO 2.7 
 
Determine o valor do "n" inteiro para que 3150)13(
1
=+∑
=
n
i
i . 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 126 
 
Solução: 
 
Temos que : 
3150)13(1074)13(
n termos e 3 razão
de aritmética progressão1
=+++++=+∑
=
  
 ni
n
i
 
Lembrando, mais uma vez, que para tal progressão ( )
2
1 naaS nn
+
= , segue-se: 
 
3150
2
)134(
=
++ nn 
Desenvolvendo obtemos: 
 
0630053 2 =−+ nn 
 
Lembrando que para a equação 
02 =++ cbnan , 
a
acbbn
2
42 −±−
= , obtemos: 
 
45'=n e 
3
140'' −=n 
 
Uma vez que o número de termos deve ser inteiro e positivo temos: 45=n 
 
 
2.4. Somatório Duplo 
 
 Acontece com freqüência, na apresentação de dados estatísticos , o emprego de tabelas de 
dupla entrada, nas quais os valores são expressos em função de duas variáveis: uma variável li-
nha e uma variável coluna. 
 Desta maneira podemos representar: estado civil (solteiro, casado, outros) x sexo (masculino 
e feminino), faixas etárias × rendas , componentes ×modelos , etc. 
 Assim, a indicação da soma dos elementos das tabelas de dupla entrada pode ser feita median-
te o emprego do somatório duplo. 
 Seja então ija um elemento genérico pertinente à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela a 
seguir : 
 
 j 1 2 3 . . . n i 
1 11a 12a 13a . . . na1 
2 21a 22a 23a . . . na2 
3 31a 32a 33a . . . na3 
1 
3 
2 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 127 
 
m 1ma 2ma 3ma . . . mna 
 
 
 
 
• ILUSTRAÇÃO 2.5 
(a) 
∑∑
= =
=++++
++++++++++++
m
i
n
j
ijmnmm
nnn
aaaa
aaaaaaaaa
1 1
21
332312222111211


 
(soma de todos os termos interiores ao retângulo 1) 
 
(b) 
∑∑
= =
=+++++++
m
i
n
j
ijmnmn aaaaaa
3 3
222
3
2
3
2
34
2
33  
(soma dos quadrados dos termos interiores ao retângulo 2) 
 
(c) 
∑
=
=++++
m
i
im aaaaa
1
33332313  
(soma dos termos interiores ao retângulo 3) 
 
 
EXEMPLO 2.8 
 
 Temos que ija representa o elemento sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela: 
 
 j 1 2 3 4 i 
1 6 -3 0 -1 
2 2 1 5 3 
3 1 4 2 5 
 
 
Calcular: 
 
(a) 
2552413512)1(0)3(6
343332312423222114131211
3
1
4
1
=++++++++−++−+=
=+++++++++++=∑∑
= =
aaaaaaaaaaaaa
i j
ij 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 128 
(b) 12524134333231
4
1
3 =+++=+++=∑
=
aaaaa
j
j 
(c) 753)1(342414
3
1
4 =++−=++=∑
=
aaaa
i
i 
(d) 2855235
33333
34
3
33
3
24
3
23
3
2
4
3
3
=+++=+++=∑∑
= =
aaaaa
i j
ij 
(e) 
[ ]
9312)25(2131
1252413512)1(0)3(625
2413512)1(0)3(6
)1)(4)(3()
(2
12
)12()1(
2
22222222222
343332312423
222114131211
2
34
2
33
2
32
2
31
2
24
2
23
2
22
2
21
2
14
2
13
2
12
2
11
3
1
4
1
3
1
4
1
3
1
4
1
2
3
1
4
1
2
3
1
4
1
2
=+−=
=+++++++++−++−+−+
+++++++−++−+=
=+++++++
++++++−+++
+++++++++=
=+−=
=+−=−
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
= == == =
= == =
aaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aa
aaa
i ji j
ij
i j
ij
i j
ijij
i j
ij
 
 
 
2.5. Propriedade dos Somatórios Duplos 
 
∑∑∑∑
=== =
=
n
j
m
i
m
i
n
j
jGiFjGiF
111 1
)()()()( (14) 
 
 
Demonstração: 
 
[ ]
[ ]
[ ][ ]
∑∑
∑
∑∑∑
==
=
== =
=
=++++++=
=+++=
=+++=
n
j
m
i
m
i
m
i
m
i
n
j
jGiF
nGGGmFFF
nGGGiF
nGiFGiFGiFjGiF
11
1
11 1
)()(
)()2()1()()2()1(
)()2()1()(
)()()2()()1()()()(



 
 
 
EXEMPLO 2.9 
 Calcular o somatório ∑∑
= =
+
2
1
3
1
)3)(2(
i j
ji . 
 
 
Solução: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 129 
 
 j 1 2 3 i 
1 
8
4211
=
=×=a 
10
5212
=
=×=a 
12
6213
=
=×=a 
2 
16
4421
=
=×=a 
20
5422
=
=×=a 
24
6423
=
=×=a 
Assim sendo, 
9024201612108)3)(2( 232221131211
2
1
3
1
=+++++=+++++=+∑∑
= =
aaaaaaji
i j
 
 
Alternativamente, aplicando-se a propriedade dos somatórios duplos obtemos: 
 
90156)654)(42()3()2(
3
1
2
1
=×=+++=+∑∑
== ji
ji 
o que é bem mais fácil, é claro! 
 
 
2.6. Exercícios Propostos sobre Somatórios 
 
(1) Escreva as somas abaixo utilizando a notação de somatório: 
(a) nn pxpxpx +++ 2211 (f) 
24
2
3
1
2
0
+
++++
n
nbabababa  
(b) )()()( 21 xxxxxx k −++−+−  , sendo 
x = constante. 
(g) 
2
4
2
3
2
2
2
1 )2()2()2()2( +++++++ xxxx 
(c) 
3021
111
yyy
+++  
(h) 
2
1010
2
22
2
11 )()()( bymbymbym −++−+−  
(d) 
n
nn
xxx
pxpxpx
+++
+++


21
2211 (i) 
3
15
15
3
2
2
3
1
1 444 





−++





−+





−
y
x
y
x
y
x
 
(e) 3001296 ++++  (j) )24()24()24( 2211 nn yxyxyx −++−+−  
 
(2) Desenvolva os somatórios e efetue as simplificações: 
 
(a) ∑
=
−
6
2
)13(
i
i (g) ∑
−=
3
2
2
i
i
 
(b) ∑
=
−
6
1
)23(
i
i (h) ∑
=






+
3
0
21
1
i i
 
(c) ∑
=





 +4
1 2
1
i
i (i) ∑
=
+







 −4
1
1
)1(
k
k
k
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 130 
(d) ∑
=
+
7
1
2
)1(
i
i (j) ∑
−=






+
3
2 3k k
k 
(e) ∑
=






−
5
2 1i i
i (l) ∑
=
11
2j
K , sendo K = constante 
(f) ∑
=






−
6
3 )2(
2
j jj
 (m) ∑
=
−−
n
i
ii aa
1
1)( 
 (n) ∑∑
==
−
100
5
100
3 ii
ii 
 
(3) Sendo x = {7, 3, 9, 5, 6} e y = {3, 2, 8, 1, 1} calcular: 
 
(a) ∑
=
5
1i
iy (h) ∑
=
−+
5
1
)3)(1(
i
ii yx 
(b) ∑
=
5
1
2
i
ix (i) ∑
=
+
5
1
2
)2(
i
ix 
(c) ∑
=
5
1
2
i
iy (j) 
∑
∑
=
=
+
+
5
1
5
1
)4(
)4(
i
i
i
i
y
x
 
(d) ∑
=
5
1i
ii yx (l) ∑
= +
+5
1 )4(
)4(
i i
i
y
x 
(e) ∑
=
+
5
1
)2(
i
ix (m) ∑
=
−
5
1
)(
i
ii yx 
(f) ∑
=
+
5
1
)(
i
ii yx (n) ∑
=
5
1i i
i
y
x 
(g) ∑
=
−
5
1
)2(
i
ix (o) ∑
=
5
1i i
i
x
y 
 
(4) Sendo x = {10, 12, 15, 9, 7} e y = {2, 1, 3, 7, 4} verifique a expressão (2). 
 
 
(5) Sendo x = {13, 10, 9, 3} e y = {15, 8, 10, 4} verifique a expressão (3). 
 
 
(6) Sendo x = {4, 5, 2, 3, 7} e K = 3 verifique a expressão (4). 
 
(7) Utilizando a expressão (5), calcule ∑
=
5
1i
K sendo K = 10 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 131 
 
(8) Utilizando a expressão (6), calcule ∑
=
11
5i
K sendo K = 2. 
 
(9) Sendo x = {7, 6, 2} verifique a expressão (7). 
 
(10) Sendo x = {3, 5, 7, 9} e y = {2, 1, 8, 10} verifique a expressão (8). 
 
 
(11)Sendo x = {6, 8, 10, 14} e y = {3, 4, 5, 7} verifique a expressão (9). 
 
 
(12) Calcule os seguintes somatórios: 
 
(a) ∑
=
++
30
1
2
)13(
i
ii (e) ∑
=
++
n
i
ii
1
3
)5( 
(b) ∑
=
+−
40
1
2
)142(
i
ii (f) ∑
=
−−
n
i
ii
1
2
)534( 
(c) [ ]∑
=
−
25
1
)1(2
i
ii (g) [ ]∑
=
−
n
i
ii
1
2
)2(4 
(d) [ ]∑
=
+
20
1
2
)2(3
i
ii (h) [ ]∑
=
+
n
i
ii
1
2
)1(2 
 
(13) Sabendo-se que 800
80
1
=∑
=i
ix e que 780
79
2
=∑
=i
ix , calcular 20% de 801 xx + . 
(14) Sabendo-se que 30)(2
20
1
=∑
=i
iF , determinar [ ]∑
=
+
20
1
2)(3
i
iF . 
(15) Determinar o valor do inteiro “n” para que 5550)13(
1
=+∑
=
n
i
i . 
 
(16) Seja ija um elemento genérico sujeito à i-ésima linha à j-ésima coluna da tabela a seguir: 
 
 j 1 2 3 i 
1 4 1 -1 
2 3 2 -2 
3 -1 4 0 
4 0 3 4 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 132 
(A) Quais são os elementos 22a , 32a , 13a , 31a , 
2
43a ? 
 
(B) Calcular: 
 
(a) ∑∑
= =
4
1
3
1i j
ija (b) ∑∑
= =
4
2
3
2i j
ija (c) ∑
=
3
1
2
j
ja 
(d) ∑
=
4
1
3
i
ia (e) ∑∑
= =
4
1
3
1
2
i j
ija (f) ∑
=
+
4
1
2
2 )1(
i
ia 
(g) ∑∑
= =
+
4
1
3
1
2
)2(
i j
ija (h) ∑∑
= =
4
1
3
1
3
i j
ija (i) ∑∑
= =
+
4
1
3
1
)4(
i j
ija 
 
(17) O elemento ija representa o número de pessoas que estão sujeitas à i-ésima faixa etária e à 
j-ésima faixa de renda. 
 
 Idade (anos) 1 
18 |— 24 
2 
 
24 |— 30 
3 
 
30 |— 36 
4 
 
36 |— 42 
5 
 
42 |— 48 Rendas (R$ mil) 
1 8 |— 18 18 10 5 4 1 
2 18 |— 28 12 8 4 3 5 
3 28 |— 38 10 9 8 7 8 
4 38 |— 48 7 7 10 15 10 
5 48 |— 58 5 8 13 12 15 
6 58 |— 128 3 10 15 18 20 
(A) Calcular: 
 
(a) ∑∑
= =
6
1
5
1i j
ija (b) ∑
=
6
1
3
i
ia (c) ∑
=
5
1
2
j
ja 
(d) ∑∑
= =
6
3
5
2i j
ija (e) ∑
=
−
6
1
4 )1(
i
ia (f) ∑
=
5
1
32
j
ja 
(g) 
2
6
1
5
1






∑∑
= =i j
ija (h) ∑∑
= =
+
6
1
5
1
)2(
i j
ija (i) ∑
=






∑








=
4
1
5
2
5
1
i
a
j
ij
 
 
(B) (a) Escreva simbolicamente a soma dos elementos com renda maior ou igual a R$28000,00 e 
que tenham idade maior ou igual a 30 anos. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 133 
 (b) Escreva simbolicamente a soma dos elementos com renda na faixa 48 |— 58. 
 (c) Escreva simbolicamente a soma dos elementos que estão na faixa etária 36 |— 42. 
(18) Calcular 
(a) ∑∑
= =
5
1
2
1
2
2
i j
j
i (b) ∑∑
= =
n
i
n
j
ij
1 1
 
(19) Sendo x = {2, 3} e j = {4, 7, 9} verifique a expressão (14). 
 
 
2.7. Respostas dos Exercícios Propostos sobre Somatórios 
 
(1) (a) ∑
=
n
i
ii px
1
 (b) ∑
=
−
k
i
i xx
1
)( (c) ∑
=
30
1
1
i iy
 (d) 
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
ii
x
px
1
1 
 
(e) ∑
=
100
2
3
i
i ou 
∑
=
+
99
1
)33(
i
i 
(f) ∑
=
+n
i
i
iba
0
2
 (g) ∑
=
+
4
1
2
)2(
i
ix (h) ∑
=
−
10
1
2)(
i
ii bym 
 (i) ∑
=






−
15
1
3
4
i i
i
y
x (j) ∑
=
−
n
i
ii yx
1
)24( 
 
(2) (a) 55 (b) 51 (c) 7 (d) 203 
 (e) 08,6
12
73
≅ (f) 13,1
15
17
≅ (g) 75,15
4
63
= (h) 8,1
5
9
= 
 (i) 58,0
12
7
≅ (j) 35,1
60
81
−=− (l) 10K (m) 0aan − 
 (n) 7 
 
(3) (a) 15 (b) 200 (c) 79 (d) 110 
 (e) 40 (f) 45 (g) 20 (h) 20 
 
(i) 340 (j) 43,1
7
10
≅ (l) 62,7
420
3201
≅ (m) 15 
 (n) 96,15
24
383
≅ (o) 35,2
630
1481
≅ 
 
 
(4) 70)(
5
1
5
1
5
1
=+=+ ∑∑∑
=== i
i
i
i
i
ii yxyx 
 
(5) 2)(
4
1
4
1
4
1
−=−=− ∑∑∑
=== i
i
i
i
i
ii yxyx 
 
(6) 63
5
1
5
1
== ∑∑
== i
i
i
i xKKx 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 134 
 
(7) 50 
 
(8) 14 
 
(9) 89225
3
1
2
23
1
=≠=




 ∑∑
== i
i
i
i xx 
 
(10) 157504
4
1
4
1
4
1
=≠= ∑∑∑
=== i
ii
i
i
i
i yxyx 
 
(11) 28 4
1
4
1
4
1
=≠=
∑
∑
∑
=
=
=
i
i
i
i
i i
i
y
x
y
x 
 
(12) (a) 10.880 (b) 41.040 (c) 10.400 
 
(d) 133.560 
(e) 
4
2232
234
nnnn +++ ; (f) 
6
3538
23
nnn −+ ; 
 
(g) 
3
4923 234 nnnn −−− ; (h) 
2
232
234
nnnn +++ 
 
 
(13) 4 
 
(14) 85 
 
(15) 60 
 
(16) (A) 2; 4; -1; -1; 16 
 (B) (a) 17; (b) 11; (c) 3; (d) 1; (e) 77; (f) 54; (g) 193; (h) 51; (i) 65 
 
(17) (A) (a) 280; (b) 55; (c) 32; (d) 185; (e) 53; 
 (f) 84; (g) 78.400; (h) 340; (i) 5
798.13 
 (B) (a) ∑∑
= =
6
3
5
3i j
ija ; (b) ∑
=
5
1
5
j
ja ; (c) ∑
=
6
1
4
j
ia 
 
(18) (a) 330; (b) 
2
2
)1(



 + nn 
 
(19) 100
2
1
3
1
2
1
3
1
∑ ∑∑∑
= == =
==
i j
ii
i j
ii yxyx 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 135 
2.8. Introdução aos Produtórios 
 
 Analogamente ao que foi visto no somatório, o qual representa a soma de termos, pode se 
fazer necessária a representação do produto de termos de uma sucessão. 
 O produto 
naaaa ×××× 321 
 
com n termos (fatores) pode ser sintetizado por meio do conceito de produtório. Temos 
então: 
∏
=
=××××
n
i
in aaaaa
1
321  
 e é interessante ressaltar as partes principais: 
 
 
Fig. 2.2 
 
 O símbolo Π é a letra grega pi maiúscula, e corresponde ao nosso P, sendo esta a primei-
ra letra da palavra PRODUTO. 
 
• ILUSTRAÇÃO 2.6 
(a) ∏
=
=××××××
21
1
)2(42108642
i
i ou ∏
=
+
20
0
)22(
i
i ou ∏
=
−
22
2
)22(
i
i 
(b) ∏
=
=××××××
50
1
5054321
k
k ou ∏
=
−
51
2
)1(
k
k ou ∏
=
+
49
0
)1(
k
k 
(c) ∏
−=
=×××−×−×−
71
10
7170)8()9()10(
j
j ou ∏
−=
−
72
9
)1(
j
j ou ∏
−=
+
70
11
)1(
j
j 
 
e devemos reparar que, do mesmo modo que no somatório, não é necessário que o índice inferior 
seja 1. 
 
2.9. Definição Formal de Produtório 
 
 Dando seqüência aos conceitos podemos escrever: 
 
o último elemento dos termos 
a serem multiplicados 
a instrução para 
multiplicar 
i é uma observação 
individual da série 
i
a∏
n
1=i
o primeiro elemento dos ter-
mos a serem multiplicados 
termo geral do produtório 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 136 
∏
=
×−××+×+×=
n
mi
nFnFmFmFmFiF )()1()2()1()()(  (15) 
 onde F(i) é uma função da variável i (ou de outra que seja escolhida), m e n são núme-
ros inteiros, sendo nm ≤ , e i varia de um em um, desde o valor m até o valor n. 
 
 O lado direito de (15) consiste no produto de 1+− mn termos, o primeiro dos mesmos 
sendo obtido substituindo-se i por m em F(i), o segundo substituindo-se i por 1+m em F(i), e 
assim por diante, até obter-se o último termo substituindo-se i por n em F(i). Logicamente F(i) é 
o termo geral, sendo i a variável escolhida, que pode ser também qualquer outra conforme apare-
ce na ilustração 6. 
 
 
2.10. Propriedades dos Produtórios 
 
Propriedade (a): 
 
∏∏
==
=
n
i
n
n
i
iFKiKF
11
)()( , sendo K = constante (16) 
 
 
Demonstração: 
 
[ ] ∏
∏
=
=
=×××=
=×××=
n
i
nn
termos n
n
i
iFKnFFFK
nKFKFKFiKF
1
1
)()()2()1(
)()2()1()(

  

 
 
 Esta propriedade pode ser estendida para o caso do limite inferior não ser necessariamen-
te 1, ou seja: 
 
Propriedade (b): 
 
∏∏
=
+−
=
=
n
mi
mn
n
mi
iFKiKF )()( 1 , sendo K = constante (17) 
 
 
Demonstração: 
 
[ ]
∏
∏
=
+−
+−
+=
=
=××+×=
=××+×=
n
mi
mn
mn
n
mi
iFK
nFmFmFK
nKFmKFmKFiKF
)(
)()1()(
)()1()()(
1
1
 termos1m-n

  

 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 137 
Propriedade (c): 
 
nn
i
KK =∏
=1
, sendo K = constante (18) 
 
 
Demonstração: 
 
 Temos que: 
 
  

termos 1m-n
n
i
nFFFiF
+=
×××=∏ )()2()1()(
1
 
 
 Fazendo KiF =)( obtemos: 
KnFFF ==== )()2()1(  
 e 
∏∏
==
=×××==
n
i
nn
i
KKKKKiF
1 n termos1
)(     
 
Esta propriedade também pode ser estendidapara o caso do limite inferior não ser 1. 
 
Propriedade (d): 
 
∏
=
+−
=
n
mi
mn
KK
1
, sendo K = constante (19) 
 
 
Demonstração: 
 
Fazendo KiF =)( em (15) obtemos: 
 
KnFmFmF ===+= )()1()(  
e 
1
 termos1
)(
+−
+−==
=×××== ∏∏
mn
mn
n
mi
n
mi
KKKKKiF     
 
 
Propriedade (e): 
 
[ ]∏ ∏∏
= ==






×





=×
n
i
n
i
n
i
iGiFiGiF
1 11
)()()()( (20) 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 138 
Demonstração: 
 
[ ]
[ ] [ ]






×





=
=×××××××=
=××××××=×
∏∏
∏
==
=
n
i
n
i
n
i
iGiF
nGGGnFFF
nGnFGFGFiGiF
11
1
)()(
)()2()1()()2()1(
)()()2()2()1()1()()(


 
 
EXEMPLO 2.10 
 
 Desenvolver os seguintes produtórios: 
(a) ∏
=
+
10
0
)1(
i
i 
(b) ∏
=
−6
2
2
)(
j
j
j 
 
Solução: 
 
(a) 1110987654321)1(
10
0
××××××××××=+∏
=i
i 
(b) 
432106
2
2
65432)( ××××=∏
=
−
j
j
j 
 
Exemplo 2.11 
 
Calcular o produtório ∏
=
++
5
1
2
)1(
k
kk . 
 
 
Solução: 
 
723.17731211373)1(
5
1
2 =××××=++∏
=k
kk 
 
2.11. Exercícios Propostos sobre Produtórios 
 
(1) Escreva os seguintes produtos sob a forma de produtório: 
 
(a) 51216842 ×××××  
 
(b) 6312963 ×××××  
 
(c) 337531 ×××××  
 
(d) yyyyy ×××××  (produto de n fatores iguais) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 139 
(e) 
n
n××××× 
4321
4321 
 
(f) 8321 zzzz ××××  
 
(g) nn xaxaxaxa ×××× 332211 
 
(h) p
f
p
fff
xxxx ×××× 321 321 
 
(i) 
20
20
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
b
a
××××  
 
(j) 
1
2020
1
33
1
22
1
11
−−−−
×××× babababa  
 
(l) 
3
1
3
3
3
2
3
1 −×××× naaaa  
 
(2) Desenvolver os seguintes produtórios: 
 
(a) ∏
=
−
6
1
)12(
y
y 
 
(b) ∏
=
10
1
)5(
t
t 
 
(c) ∏
=
+
5
1
)35(
k
k 
 
(d) ∏
=
5
1
)3(
i
i
i 
 
(e) ∏
=
p
i
ijx
1
 
 
(3) Calcular os seguintes produtórios: 
 
(a) ∏
=
+
4
1
2
)23(
i
i 
 
(b) ∏
=
+
6
0
)13(
j
j 
 
(c) ∏
=
5
1
3
k
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 140 
2.12. Respostas dos Exercícios Propostos sobre Produtórios 
 
(1) (a) 
∏
=
9
1
)2(
i
i
; 
(b) 
∏
=
21
1
)3(
i
i ; 
(c) ∏
=
−
17
1
)12(
i
i ; (d) ∏
=
n
i
y
1
; 
 (e) 
∏
=
n
i
i
i
1
)( ; 
(f) 
∏
=
8
1i
iz ; 
(g) ∏
=
n
i
ii xa
1
)( ; (h) ∏
=
p
i
f
i
ix
1
)( ; 
 (i) 
∏
=
20
1
)(
i i
i
b
a ; 
(j) 
∏∏
==
− =
20
1
20
1
1 )()(
i i
i
i
ii b
aba ; (l) ∏
−
=
1
1
3
)(
n
i
ia ou ∏
=
−
n
i
ia
2
3
1)( 
(2) (a) 1197531 ××××× ; (b) 5015105 ××××  ; 
 (c) 282318138 ×××× ; (d) )53()43()33()23()13(
54321
××××××××× 
 (e) pjjjj xxxx ×××× 321 
(3) (a) 101 500; (b) 1 106 560; (c) 243 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 141 
2.13. Introdução às Medidas de Posição 
 
 Nesta seção vamos aprender o cálculo de medidas que viabilizem a representação de um 
conjunto de dados relativos à observação de determinando fenômeno de maneira resumida. Tra-
ta-se das medidas de posição ou medidas de tendência central, uma vez que representam os fe-
nômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a se concentrar os dados. 
 
 
 
2.14. Média Aritmética – Dados Não-agrupados 
 
 Sejam 1x , 2x , 3x ,, e nx valores da variável x. A média aritmética simples de x, repre-
sentada por x , é definida por: 
 
1 2 3 1
n
i
n i
x
x x x xx
n n
=+ + + += =
∑ (21) 
 
onde n é o número de elementos da amostra de dados. 
 
 
EXEMPLO 2.12 
 
 Determinar a média aritmética dos seguintes valores: 
 
(a) 3; 4; 1; 8; 2; 5; 7. 
 
(b) 3; 7; 8; 10; 11 
 
 
Solução: 
 
(a) 3,4
7
7528143
7
7654321 ≅
++++++
=
++++++
=
xxxxxxxx 
 
(b) 8,7
5
1110873
5
54321 =
++++
=
++++
=
xxxxxx 
 
 
EXEMPLO 2.13 
 
Dados 11 =x , 32 =x , 43 =x e 24 =x , calcular ∑
=
−
4
1
)(
i
i xx . 
 
Solução: 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 142 
5,2
4
2431
4
4321 =
+++
=
+++
=
xxxxx 
0)5,22()5,24()5,23()5,21(
)()()()()(
4
1
4321
=−+−+−+−=
=−+−+−+−=−∑
=i
i xxxxxxxxxx 
 Com isto podemos observar que o somatório dos desvios com relação à média aritmética 
é zero. Para uma generalização do presente exemplo vide exercício proposto n.º 3. 
 
2.15. Média Aritmética – Dados Agrupados (Média Aritmética Ponderada) 
 Quando os dados se agruparem numa distribuição de freqüência (dados diversos repetidos 
ou dados genéricos não repetidos mas com “pesos” diferentes), calcularemos a média aritmética 
dos valores 1x , 2x , 3x ,, e nx “ponderados” pelas respectivas freqüências, ou pesos, 1F , 
2F ,, e nF . As freqüências, ou os pesos, são os “fatores de ponderação”, é claro. Temos então: 
∑
∑
=
==
++++
= n
i
i
n
i
ii
nn
F
Fx
N
FxfxFxFx
x
1
1332211  (22) 
onde NF
n
i
i =∑
=1
 
 
EXEMPLO 2.14 
Dada a seguinte distribuição amostral: 
ix 2 3 5 4 
iF 1 4 6 2 
determinar a média aritmética. 
 
Solução: 
 No exemplo em questão o dado 21 =x aparece uma vez, 32 =x quatro vezes, 53 =x 
seis vezes e 44 =x duas vezes. A fim de facilitar a solução vamos compor a tabela a seguir: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 143 
ix iF ii Fx 
4
13
52
4
1
4
1 ===
∑
∑
=
=
i
i
i
ii
F
Fx
x 
2 1 2 
3 4 12 
5 6 30 
4 2 8 
Σ 13 52 
 
EXEMPLO 2.15 
 
 Em uma determinada escola a média de cada disciplina ao longo de um período é calcu-
lada a partir dos graus obtidos em 3 provas: 1P , 2P e 3P . As duas primeiras notas têm peso 1, e a 
terceira peso 2, por ser a prova parcial e incluir toda a matéria do período. Sabendo-se que um 
aluno obteve em Matemática, respectivamente, graus: 7,0 ; 7,5 e 6,5 ; pede-se calcular sua média 
no período. 
 
Solução: 
 
 Temos então: 
ix iF ii Fx 
9,6
4
5,27
3
1
3
1 ≅==
∑
∑
=
=
i
i
i
ii
F
Fx
x 
7,0 1 7,0 
7,5 1 7,5 
6,5 2 13,0 
Σ 4 27,5 
 
EXEMPLO 2.16 
 
Dadas as alturas de 200 alunos, formou-se a distribuição de freqüência a seguir: 
Alturas (m) 1,40 1,45 1,45 1,50 1,50 1,55 1,55 1,60 1,60 1,65 1,65 1,70 1,70 1,75 1,75 1,80 1,80 1,85 
N.º de Alunos 3 12 15 58 40 27 30 9 6 
 
Calcular a altura média. 
 
Solução: 
 
Neste caso as alturas nos diversos intervalos são representadas pelos seus pontos médios. 
Alturas 
(m) 
ix (P.M.) 
(m) i
F ii Fx 
626,1
200
1,325
9
1
9
1 ===
∑
∑
=
=
i
i
i
ii
F
Fx
x m 
1,40 1,45 1,425 3 4,275 
1,45 1,50 1,475 12 17,7 
1,50 1,55 1,525 15 22,875 
1,55 1,60 1,575 58 91,35 
1,60 1,65 1,625 40 65 
1,65 1,70 1,675 27 45,225 
1,70 1,75 1,725 30 51,75 
1,75 1,80 1,775 9 15,975 
1,80 1,85 1,825 6 10,95 
Σ 200 325,1 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 144 
2.16. Média Geral 
 
 Sejam 1x , 2x ,, px , as médias aritméticas de “p” séries e 1n , 2n ,, pn , os números 
de termos destas séries, respectivamente. A média aritmética formada pelos termos das séries é 
dada por: 
 
p
pp
p
i
i
p
i
ii
G nnn
xnxnxn
n
xn
x
+++
+++
==
∑
∑
=
=


21
2211
1
1 (23) 
 
EXEMPLO 2.17 
 
Sejam as séries: 
 
1.ª) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 onde 71 =n e 91 =x 
2.ª) 1, 2, 3, 4, 5 onde 52 =n e 32 =x 
3.ª) 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 onde 93 =n e 173 =x 
 
A média geral é: 
 
11
957
1793597
321
332211
1
1 =
++
×+×+×
=
++
++
==
∑
∑
=
=
nnn
xnxnxn
n
xn
x p
i
i
p
i
ii
G 
 
 
2.17. Média Geométrica – Dados Não-agrupados 
 
 Sejam 1x , 2x , 3x ,, e nx , n valores da variável x. A média geométrica simples de x, 
representada por gx , é definida por: 
 
1 2 3
1
n
n ng n i
i
xx x x x x
=
= × × × × = ∏ (24) 
 
onde n é o número de elementos da amostra de dados. 
 
 
EXEMPLO 2.18 
 
Calcular a média geométrica dos seguintes valores: 3, 6, 12, 24, 48, 96 e 192. 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 145 
Solução: 
Temos que: 
24)424.471.586.4(424.471.586.41929648241263 7
1
77 ===××××××=gx 
 
2.18. Média Geométrica – Dados Agrupados (Média Geométrica Ponderada) 
 Analogamente ao que ocorre com a média aritmética, quando os dados se agruparem em 
uma distribuição de freqüência, teremos: 
N
n
i
Fi
i
N Fn
n
FFF
g xxxxxx ∏
=
=××××=
1
3
3
2
2
1
1  
 (25) 
onde NF
n
i
i =∑
=1
 
 
EXEMPLO 2.19 
Calcular a média geométrica para a seguinte distribuição amostral: 
ix 1,5 2 3 5 
iF 8 6 5 3 
 
Solução: 
1
228 6 5 322 22(1,5) 2 3 5 49 822 593,75 (49 822 593,75) 2,2381gx = × × × = = = 
 Observação: A média geométrica deve ser utilizada quando os dados crescem geome-
tricamente, não necessariamente com uma razão constante como em uma P. G., conforme pode 
ocorrer com os preços em um período de inflação galopante. 
 
EXEMPLO 2.20 
 Em um período inflacionário o preço de um certo produto e o seu respectivo consumo 
estão descritos a seguir. Calcular o preço médio ao longo do trimestre. 
Meses Consumo (caixas) 
Preço 
(R$) 
1.º 200 20,00 
2.º 100 20,00 
3.º 300 150,00 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 146 
Solução: 
 
 Repare que o preço por caixa passa de 0,10 para 0,20 , e depois para 0,50 e, embora os 
aumentos não sejam constantes, justificam o uso da média geométrica. Assim, 
 
77,5415020201502020 600
300
600
100
600
200600 300100200 =××=××=gx 
 
 Observação: Optamos diretamente pelos expoentes fracionários pois o número sob o 
radical é muito grande e extrapola a capacidade de armazenamento das calculadoras. 
 
 
 
2.19. Média Harmônica – Dados Não-agrupados 
 
 Para n valores da variável x, a média harmônica é definida como sendo o inverso de mé-
dia aritmética dos inversos, ou seja: 
 
∑
=
=
++++
=
++++
= n
i inn
h
x
n
xxxx
n
n
xxxx
x
1321321
111111111
1

 ...(26) 
 
 
 
EXEMPLO 2.21 
 
 Calcular a média harmônica dos seguintes conjuntos de valores: 
 
(a) 3, 6 e 9 
(b) 1; 0,5 e 0,333... 
 
 
 
 
Solução: 
 
(a) 91,4
9
1
6
1
3
1
3
≅
++
=hx 
 
(b) 
2
1
10
55,0 == ; 
3
1
9
3...333,0 == 
 
5,011
1
1
3
3
1
2
1
=
++
=hx 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 147 
 
2.20. Média Harmônica – Dados Agrupados (Média Harmônica Ponderada): 
 
 Temos então, 
 
∑
∑
=
==
++++
= n
i i
i
n
i
i
n
n
h
x
F
F
x
F
x
F
x
F
x
F
Nx
1
1
3
3
2
2
1
1 
 
(27) 
onde NF
n
i
i =∑
=1
 
 
 Observação: A média harmônica é útil quando temos séries de valores inversamente 
proporcionais, como é o caso do cálculo da velocidade média, do tempo médio de escoamento 
de estoques, do custo médio de bens adquiridos por uma quantia fixa, etc. 
 
 
EXEMPLO 2.22 
 
 Um carro se desloca de uma cidade A para uma cidade B com uma velocidade média de 
60km/h e retorna com uma velocidade média de 80km/h. Determinar a velocidade média de toda 
a viagem. 
 
Solução: 
 
 Sendo ∆ s a distância entre as duas cidades temos que o tempo de ida é: 
 
60
s
v
st
AB
AB
AB
∆
=
∆
=∆ , 
e o tempo de volta é: 
80
s
v
st
BA
BA
BA
∆
=
∆
=∆ 
Logo o tempo total da viagem é: 
8060
ssttt BAABtotal
∆
+
∆
=∆+∆=∆ 
Pela definição de velocidade média temos: 
8060
2
ss
s
t
sv
total
total
total ∆
+
∆
∆
=
∆
∆
= 
 Repare que cancelando a grandeza s∆ obtemos: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 148 
hkmvtotal /57,68
80
1
60
1
2
=
+
= 
que é obviamente a média harmônica entre os valores 60km/h e 80 km/h. 
 
EXEMPLO 2.23 
 Calcular a velocidade média para o seguinte trajeto: 
hkmv AB /50= hkmvBC /70=
hkmvCD /90=
km90 km80
km60
B
C
D
A
 
Fig. 2.3 
Solução: 
 O tempo total é dado por: 
90
60
70
80
50
90
++=∆ totalt 
 A velocidade média é: 
hkm
t
s
v
total
total
total /7,63
90
60
70
80
50
90
608090
=
++
++
=
∆
∆
= 
e vemos que se as distâncias percorridas não são iguais, devemos calcular a média harmônica 
ponderada onde os fatores de ponderação serão as respectivas distâncias. 
 
EXEMPLO 2.24 
 A Casa & Vídeo possui um estoque de 100 televisores na filial Méier e de 200 televisores 
na filial Copacabana. O primeiro esgota-se em 2 meses e o segundo em 5 meses. Determinar o 
tempo médio de escoamento de ambos os estoques. 
A
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 149 
Solução: 
33,3
5
200
2
100
200100
 totaldemanda
 totalestoque
≅
+
+
==ht meses 
 
EXEMPLO 2.25 
 Em uma pesquisa sobre a duração de um certo sabonete junto a 55 famílias com o mesmo 
número de pessoas e a mesma classe social, obtivemos os resultados a seguir. Calcular a duração 
média do sabonete. 
Dias N.º famílias Duração Média 
12/14 9 13 
14/16 13 15 
16/18 21 17 
18/20 12 19 
 
Solução: 
1,16
19
12
17
21
15
13
13
9
1221139
≅
+++
+++
=ht dias 
 
EXEMPLO 2.26 
 Um consumidor comprou em três meses consecutivos carne aos seguintes preços: 
R$4,00; R$5,00 e R$7,00 por quilograma respectivamente. Determinar o custo médio por quin-
zena em todo o trimestre. 
 
Solução: 
 Para determinarmos o custo médio devemos lembrar que: 
custo totalcusto médio por quilograma
quantidade total adquirida
= 
1.ª hipótese: Vamos considerar que o consumidor adquiriu o mesmo número de quilogramas (por 
exemplo 15kg) a cada mês. Assim sendo: 
custo médio por 
quilograma 
(15kg) (R$ 4,00/kg) (15kg) (R$ 5,00/kg) (15kg) (R$ 7,00/kg) R$ 5,33/kg
45kg
+ +
= ≅ 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 150 
sendo interessante verificar que este valor corresponde à média aritmética dos preços por quilo-
grama: 
5,33/kg R$
3
7,00/kg R$5,00/kg R$4,00/kg R$
≅
++
=x 
2.ª hipótese: Vamos considerar que a pessoa tenha gasto a mesma quantia (por exemplo 
R$60,00) em cada um dos meses. 
/kg06,5R$
/kg0,7R$
00,60R$
/kg00,5R$
00,60R$
/kg00,4R$
00,60R$
00,081R$quilogramapor médio custo ≅
++
= 
 
que corresponde à média harmônica dos preços: 
 
5,06/kg R$
7,00/kg R$
1
5,00/kg R$
1
4,00/kg R$
1
3
≅
++
=hx 
 
 É importante notar que ambos os métodos utilizados para o cálculo do custo médio por 
quilograma estão certos, tendo sido cada um deles referido à uma situação diferente de consumo. 
Devemos também observar que se o número de quilogramas adquiridos variar de mês para mês, 
deveremos utilizar a média aritmética ponderada, porém, se a quantia disponível variar de mês 
para mês, deveremos usar a média harmônica ponderada. 
 
2.21. Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição 
(1) Determinar a média aritmética dos seguintes valores: 
(a) 6; 8; 9; 10; 12 
(b) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90 
(c) 3,20; 4,00; 0,75; 5,00; 2,13; 4,75 
(d) 1; 3; 0,5; 1,5 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 151 
(2) A média mínima para aprovação em determinada matéria é 5,0. Se um estudante obteve os 
graus 6,5; 9,0; 4,5; 5,0; 3,5; 1,0; 6,5 e 3,0 nas diversas avaliações de desempenho ao longo do 
período letivo, perguntamos se ele foi ou não aprovado. 
(3) sabendo-se que 
n
x
x
n
i
i∑
== 1 , mostrar que ∑
=
=−
n
i
i xx
1
0)( 
(4) Calcular a média aritmética para cada uma das distribuições de freqüência a seguir: 
(a) ix 3 4 7 8 12 (b) ix 85 87 88 89 90 
 iF 2 5 8 4 3 iF 5 1 10 3 5 
 
(c) ix 2 3 4 5 6 
 iF 3 9 19 25 28(5) Determinar a renda média da distribuição populacional a seguir: 
Renda Familiar 
(R$) 200 400 400 600 600 800 800 1000 
N.º de famílias 5 10 14 7 
(6) A nota média de uma turma de 50 alunos foi 6,1; sendo 6,0 a média dos meninos e 7,0 a das 
meninas. Qual o número de meninos e meninas na turma? 
(7) O salário médio pago aos empregados de uma indústria é R$710,00. Sabendo-se que os salá-
rios médios pagos aos empregados especializados e não-especializados são, respectivamente, 
R$800,00 e R$500,00; pede-se determinar os percentuais de empregados especializados e não-
especializados. 
(8) Calcular a média geométrica para os seguintes conjuntos de valores: 
(a) 9; 15; 10; 16 
(b) 3; 4; 6; 7; 8 
(c) 3,2; 8,4; 7,5; 15,2; 20,3 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 152 
(9) Calcular a média harmônica para as séries 
(a) 5; 7; 12; 15 
(b) ix 2 3 4 5 6 
 iF 3 4 6 5 2 
(10) Tivemos R$200,00 disponíveis, mensalmente, para comprar determinado artigo que custou 
nos meses de setembro, outubro, e novembro, respectivamente, R$20,00; R$50,00 e R$70,00 por 
unidade. Qual foi o custo médio unitário do artigo nesses 3 meses? 
(11) Gastamos em agosto R$500,00 para comprar um produto que custou R$5,00 a unidade. Em 
setembro gastamos R$1200,00 para comprar o mesmo produto a um preço unitário de R$6,00. 
Determinar o custo médio unitário do produto nesses dois meses. 
(12) Uma firma de eletrodomésticos tem um mesmo estoque de fogões em quatro lojas diferentes 
(A, B, C e D). Na loja A o estoque se esgota em 8 meses; na loja B, em 15 meses; na loja C, em 
6 meses; e na loja D, em 20 meses. Determinar o tempo médio de escoamento de todos os esto-
ques da firma. 
 
2.22. Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição 
(1) Em uma certa empresa a evolução das vendas apresentou, nos últimos três meses, os seguin-
tes resultados: 119,31%; 135,42% e 115,32%. Determinar qual foi o aumento médio percentual 
ao longo do período. 
(2) Durante um surto de gripe em uma certa localidade o número de casos aumentou de 500 para 
2000 em três dias. Qual foi a porcentagem média de crescimento por dia? 
(3) Em 1960 a população de uma certa cidade era de 5000 habitantes. Em 1970 a população já 
era de 15000 habitantes. Qual o aumento médio percentual por ano? 
(4) Encontrar dois números cuja média aritmética é 9,0 e a média geométrica é 7,2. 
(5) Encontrar dois números cuja média aritmética é 
2
51 e a média geométrica é 12. 
(6) Encontrar dois números cuja média aritmética é 50 e a média harmônica é 32. 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 153 
2.23. Respostas dos Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição 
(1) (a) 9; (b) 79,4; (c) 3,31; (d) 1,5 
(2) x = 4,9 < 5,0 logo ele não foi aprovado 
(4) (a) 6,82; (b) 87,88; (c) 4,79 
(5) R$627,80 
(6) 45 meninos e 5 meninas 
(7) 70% especializados e 30% não-especializados 
(8) (a) 12,13; (b) 5,26; (c) 9,09 
(9) (a) 8,12; (b) 3,53 
(10) R$35,59/unidade 
(11) R$5,67/unidade 
(12) 9,8 meses 
 
2.24. Respostas dos Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição 
(1) 23,35% 
(2) 58,74% 
(3) 11,61% 
(4) 3,6 e 14,4 
(5) 3 e 48 
(6) 20 e 80 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 153 
Apostila de Matemática Básica 
 
 
 
 
Assunto: 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Coleção Fundamental - volume 8/8 
 
 
 
 
 
 
Autor: 
 
 
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 
 
 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 154 
Unidade 3 
 
Matrizes, um primeiro enfoque 
 
3.1. Apresentação 
Esta é a terceira unidade de um curso que temos ministrado no Instituto Politécnico da 
Universidade Estácio de Sá e vamos, inicialmente, justificar a expressão “um primeiro enfoque” do 
título do trabalho. Nesta oportunidade apresentaremos a parte básica das matrizes: conceitos fun-
damentais, tipos especiais e operações. No seguimento de nossos estudos as matrizes serão nova-
mente abordadas, em associação com outros assuntos tais como determinantes e sistemas lineares. 
Face a uma quase universalidade nas notações aij, bjk, cik, para elementos genéricos de ma-
trizes, com preferência para a primeira, e por abordarmos também matrizes com números comple-
xos, optamos pela notação j (em negrito e itálico) para representar a unidade imaginária, ou seja j 
= 1− , diferentemente dos textos de matemática pura, que preferem utilizar i = 1− . A nossa nota-
ção é a mesma empregada pelo pessoal da área da eletricidade, onde tivemos nossa formação pri-
mordial, visto que em eletricidade a letra “i” é reservada para a corrente elétrica. 
Os modernos aplicativos para PC’s tais como o MATLAB, por exemplo, já aceitam ambas 
as notações i = 1− e j = 1− para a unidade imaginária, a fim de atender sem “prioridades” a to-
dos os usuários. 
 
3.2. Introdução Histórica 
Somente uma canalização de energia superior, totalmente intangível a nossa falha compre-
ensão humana, pode ter inspirado Isaac Newton e Gottfried Wilhem Leibniz a “criarem” algo tão 
fantástico e poderoso para o desenvolvimento das ciências exatas quanto o Cálculo Diferencial e 
Integral, e o que é mais interessante: na mesma época, em lugares diferentes – Laibniz na Alema-
nha e Newton na Inglaterra e de forma independente, até porque os métodos de abordagem foram 
diferentes. Gerou-se então uma grande polêmica entre os discípulos desses dois sábios pela reivin-
dicação da primazia na criação do Cálculo. Embora o lado de Newton tivesse levado vantagem na 
disputa, as conseqüências foram desastrosas para a ciência britânica pois, nos cem anos subseqüen-
tes ao episódio, os matemáticos ingleses, fiéis ao seu mais eminente cientista, concentraram-se nos 
métodos geométricos puros, preferidos de Newton, ao invés de nos métodos analíticos, que são bem 
mais produtivos. Uma vez que os demais matemáticos da Europa Continental exploravam tais mé-
todos de modo eficaz, a matemática inglesa acabou ficando para trás no citado período. 
No entanto, terminou havendo uma reação e os ingleses acabaram voltando ao primeiro es-
calão no século 19, e um dos maiores responsáveis por esta reviravolta foi Arthur Cayley, que entre 
suas muitas criações originais consta a das matrizes em 1855. No século 20 acharam-se inúmeras 
aplicações para este poderosos e compactador instrumento matemático. Só para formar idéias per-
guntamos: você conseguiria imaginar o mundo atual sem energia elétrica? Pois bem, enquanto o 
desenvolvimento de fontes alternativas geradoras de energia elétrica não atingir um estágio de apli-
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 155 
cação mais ampla, continuaremos a depender dos atuais sistemas: usinas geradoras, subestações 
elevadores, linhas de transmissão, subestações abaixadoras e linhas de distribuição. E o que os en-
genheiros que cuidam da operacionabilidade e estabilidade de tais sistemas fariam sem as matrizes 
para mapeá-los? A resposta é uma só: nada! Face às dimensões de tais sistemas nos dias atuais seri-
am impossíveis os cálculos de fluxo de carga e de curto-circuito sem o emprego do Cálculo Matri-
cial às matrizes do tipo impedância de barra [ ]barraZ e admitância de barra [ ]barraY . 
Não, não é só em Engenharia Elétrica que esta ferramenta matemática é fundamental. Exis-
tem inúmeras aplicações em outros campos, como sistemas de referência em Mecânica, cálculos 
estruturais de grande porte, curvas de ajustamento em Estatística, etc. A propósito: as planilhas ge-
radas no Excel também são exemplos de matrizes. 
As matrizes são úteis porque elas nos permitem considerar uma tabela (quadro) de muitos 
números como sendo apenas um único objeto,denotado por um símbolo simples, e executar cálcu-
los com estes símbolos de forma bem compacta. 
 
3.3. Conceitos Fundamentais 
O conceito de matriz surge associado às relações lineares tais como transformações linea-
res e sistemas de equações lineares. 
Consideremos, por exemplo, a transformação linear 



+=
+=
2221212
2121111
xaxay
xaxay
 
onde a11, a12, a21 e a22 são números dados, enquanto que x1, x2, bem como y1, y2 são grandezas va-
riáveis. Por exemplo: as coordenadas de um ponto no plano xy em dois sistemas de referência dis-
tintos. 
Dispondo os coeficientes da maneira pela qual eles ocorrem na transformação e encerran-
do-os entre colchetes, por exemplo, obtemos a tabela 






2221
1211
aa
aa
 
que é um exemplo de matriz. 
Ampliando a definição podemos dizer que denomina-se matriz retangular ou simples-
mente matriz m × n toda aplicação f de I × J em C, ou seja, é uma correspondência em que associ-
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 156 
amos ao elemento (i, j) ∈ I × J um único elemento aij pertencente ao conjunto C dos números com-
plexos5, sendo que o número aij é denominado imagem do par (i, j). 
Por exemplo: 
a11 é uma imagem do par (1, 1) 
a12 é uma imagem do par (1, 2) 
 
amn é uma imagem do par (m, n) 
 I × J C 
(1, 1) a11 
(1, 2) a12 
(1, 3) a13 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
(m, n) amn 
 
 Fig. 3.1 
Assim sendo a imagem de aplicação6 
f : I × J → C 
é o conjunto de números 
{ 11a , a12, a13, … , }mna 
pertencente ao corpo dos números complexos C, e os elementos deste conjunto são justamente os 
elementos da matriz. 
Representamos então uma matriz [ ]A retangular, tamanho, tipo ou ordem7 m × n (lê-se m 
por n), por intermédio de uma tabela, com m × n elementos, onde os elementos aij são distribuídos 
por m linhas e n colunas, sendo que o elemento genérico aij situa-se na interseção da linha de ordem 
i (i-ésima linha) com a coluna de ordem j (j-ésima coluna). 
A linha de ordem i é o conjunto dos elementos aij em que i é fixo e j varre todo o conjunto 
J = {1, 2, 3, … , }n . 
Por exemplo: a 2.ª linha da matriz é: 
 
5 De um modo geral uma matriz é uma tabela formada por números complexos. Lembrando que o conjunto dos núme-
ros reais está incluído no conjunto dos números complexos, podemos dizer que uma matriz é formada por números reais 
e/ou complexos 
6 Para o conceito de aplicação volte à seção 1.11 da Unidade 1. 
7 Os três termos são utilizados, porém, o mais freqüente é tipo. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 157 
{ 21a , a22, a23, … , }na2 
conforme pode-se ver também na Fig. 3.2. 
A coluna de ordem j é o conjunto dos elementos aij em que j é fixo e i varre todo o conjun-
to I = {1, 2, 3, … , }m . 
Por exemplo: a 3.ª coluna da matriz é: 
{ 13a , a23, a33, … , }3ma 
 colunas 
linhas 
[ ]=A 
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
 m linhas 
 n colunas 
[ ]=A 
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
 
 ↓ ↓ ↓ ↓ 
 1.ª col. 2.ª col. 3.ª col. n.ª col 
Fig. 3.2 
 
Elemento Genérico: 
ija










→
→
. até 1 de direita, a para esquerda da
numeradas são colunas as elemento; o
pertence qual à coluna da ordem 
. até 1 de baixo para cima
 numeradas são linhas as elemento; o
pertence qual à linha da ordem 
n
j
m
i
 
nm×
nm×
linha .ª
linha 3.ª
linha 2.ª
linha 1.ª 
m→
→
→
→
1 ≤ i ≤ m 
1 ≤ j ≤ n 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 158 
Fig. 3.3 
 
• Ilustração 3.1 
Sejam as tabelas a seguir: 
a) 




 −
30
253
3
4
 é matriz tipo 2 × 3. 
b) 










+−
+
+
231
654
362
j
j
j
 é matriz tipo 3 × 2, e j = 1− é o número imaginário puro. 
c) [ ]41230 − é matriz tipo 1 × 5. 
d) 












−
+
2
26
4
5
j
 é matriz tipo 4 × 1. 
e) 




 −
13
25 é matriz tipo 2 × 2. 
f) [ ]2 é matriz tipo 1 × 1, ou matriz de um único elemento, e trata-se de um caso bem parti-
cular. 
 
• Ilustração 3.2 
Uma tabela contendo informações sobre os moradores de uma determinada vila de ca-
sas do tipo 
Número da Casa Número de Residentes 
Renda Familiar 
(R$) 
Tempo de 
Residência (anos) 
Canal Favorito de 
TV 
1 4 2000 1 4 
2 3 1800 4 4 
3 6 3200 7 11 
4 5 2000 2 9 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 159 
5 2 800 9 11 
6 7 2500 8 6 
7 1 800 5 11 
pode ser colocada sob forma matricial 






















11580017
68250076
11980025
92200054
117320063
44180032
41200041
 
e as informações passadas adiante sob forma mais compacta, porém, é necessário que quem 
vai recebê-las saiba exatamente o papel representado por cada linha e por cada coluna. 
• Ilustração 3.3 
Um outro exemplo bem usual é a bem conhecida matriz origem-destino de passagei-
ros. Uma matriz desta natureza é construída a partir de uma tabela listando o número de pas-
sageiros que, partindo de uma determinada cidade, dirigem-se a uma outra. Por exemplo. 
Destino 
Origem 
Belém São Paulo Belo Horizonte Manaus 
Brasília 150 1200 800 700 
Porto Alegre 5 300 20 100 
Recife 10 150 5 20 
Rio 60 1500 500 100 
Temos então: 
[ ]












=
100500150060
20515010
100203005
7008001200150
A 
 
• Ilustração 3.4 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 160 
Produto 
Venda diária 
Loja 1 Loja 2 Loja 3 Loja4 
Computadores 20 15 12 25 
Impressoras 18 20 10 13 
Periféricos 9 10 12 6 
[ ]










=
612109
13102018
25121520
A 
 
• Ilustração 3.5 
[ ]





−=−==
===
−===
←
→










−−
−
=
3 ;7 ;8
9 ;5 ;3
4 ;1 ;2
378
953
412
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
Além da forma padrão já apresentada 
[ ]
















=
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





321
3333231
2232221
1131211
 
são também possíveis as seguintes representações: 
( )
















=
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





321
3333231
2232221
1131211
, 
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





321
3333231
2232221
1131211
= , [ ] ijaA = , 
i ∈ {1, 2, 3, … , }m e j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
ou simplesmente 
[ ] ( )
nmij
aA
×
= . 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 161 
 
EXEMPLO 3.1 
Indique claramente os elementos da matriz [ ] ( )
33×
= ijaA tal que aij = 3i – j. 
 
Solução: 
a11 = 3 × 1 – 1 = 2; a12 = 3 × 1 – 2 = 1; a13 = 3 × 1 – 3 = 0 
a21 = 3 × 2 – 1 = 5; a22 = 3 × 2 – 2 = 4; a23 = 3 × 2 – 3 = 3 
a31 = 3 × 3 – 1 = 8; a32 = 3 × 3 – 2 = 7; a33 = 3 × 3 – 3 = 6 
Logo, 
[ ]










=
678
345
012
A 
EXEMPLO 3.2 
Uma confecção vai fabricar 4 tipos de roupa utilizando também 4 tipos de material diferen-
tes. Seja a matriz [ ] ( )
44×
= ijaA onde aij representa quantas unidades do material j serão empregadas 
para produzir uma roupa do tipo i. 
[ ]












=
7239
8152
2403
1641
A 
a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas para confeccionar uma roupa do tipo 4? 
b) Calcule o total de unidades do material 4 que serão necessárias para fabricar 3 roupas do tipo 1, 
5 roupas do tipo 2, 2 roupas do tipo 3 e 4 roupas do tipo 4. 
 
Solução: 
a) Da definição de elemento genérico e do enunciado vem que 



→
→
material de tipoe coluna 
roupa de tipoe linha 
ji
aij 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 162 
Se i = 4 e j = 3 o elemento em questão é a43, cujo valor é 2, ou seja, 2 unidades. 
 
b) Neste caso, 
i = 1, 2, 3 e 4; j = 4. 
Logo, 
3 × ( )114 =a = 3 
5 × ( )224 =a = 10 
2 × ( )834 =a = 16 
4 × ( )744 =a = 57
28 
e o total procurado é 57 unidades. 
 
3.4. Matrizes Especiais e Operações com Matrizes 
Há matrizes que por apresentarem certas peculiaridades recebem nomes especiais. Os con-
ceitos que envolvem tais matrizes estão tão intimamente interligados com as operações matriciais 
que não há como apresentar todo um assunto primeiro e depois o outro. Optamos então por interca-
lá-los em uma ordem que a nossa experiência didática nos mostrou ser a mais eficiente, sem com 
isso querermos afirmar ser a nossa a única seqüência possível e válida. 
3.4.1. Matriz Linha 
Uma matriz 
[ ]naaa 11211  
do tipo 1 × n, que possui somente uma linha, é chamada matriz em linha ou um vetor em linha. 
• Ilustração 3.6 
Temos a seguir uma matriz linha 1 × 5: 
[ ] [ ]24751 −=A 
 
3.4.2. Matriz Coluna 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 163 
Uma matriz 
[ ]












=
1
21
11
ma
a
a
A

 
do tipo m × 1, que tem apenas uma coluna, denomina-se matriz em coluna ou um vetor em colu-
na. 
• Ilustração 3.7 
A matriz a seguir é uma matriz coluna 6 × 1: 
[ ]




















−
−
+
=
7
1
8
4
3
32
j
j
A 
 
3.4.3. Matriz Quadrada 
(A) Definição: 
A matriz que possui o mesmo número de linha e colunas é chamada matriz quadrada, e o 
número de linhas é igual a sua ordem8. 
Seja então [ ] ( )
nnij
aA
×
= uma matriz quadrada de ordem n, com n × n = n2 elementos: 
[ ]
















=
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





321
3333231
2232221
1131211
 
Nesta matriz devemos destacar dois conjuntos de elementos: a diagonal principal e a dia-
gonal secundária. 
 
 
8 No caso da matriz quadrada não utilizamos as expressões tamanho e tipo, conforme na matriz retangular; usamos 
apenas ordem. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 164 
(B) Diagonal Principal: 
É o conjunto dos n elementos aij para os quais i = j, isto é: 
{ }jiaij =| = { 11a , a22 , a33 , … , }nna 
(C) Diagonal Secundária: 
É o conjunto dos n elementos aij para os quais i + j = n + 1, ou seja: 
{ }1| +=+ njiaij = { na1 ; a2, n – 1 ; a3, n – 2 ; … ; }1na 
 
(D) Elementos Não-Diagnonais: 
Resumindo a situação: temos então que uma matriz quadrada de ordem n tem ao todo n2 
elementos, sendo n situados na diagonal principal e n na secundária. 
Para determinar o número de elementos situados fora de ambas as diagonais devemos levar 
em conta dois casos: 
(i) n par: não existe elemento comum a ambas as diagonais. 
n.º elementos não-diagonais = n.º total de elementos – n.º de elementos da diagonal 
principal (n) – n.º de elementos da diagonal secundária (n) = nnnnn 222 −=−− 
n.º elem n/d = n2 – 2n (1) 
 
(ii) n ímpar: existe um elemento comum a ambas as diagonais. 
n.º elementos não-diagonais = n.º total de elementos – n.º de elementos da diagonal 
principal (n) – n.º de elementos da diagonal secundária (n – 1, pois o elemento comum 
a ambas já foi computado na principal) = ( ) 121 22 +−=−−− nnnnn . 
n.º elem n/d = 122 +− nn (2) 
 
(E) Traço 
O traço de uma matriz quadrada é definido como sendo a soma dos elementos de sua dia-
gonal principal, ou seja: 
[ ] ∑
=
=++++=
n
i
iinn aaaaaAtr
1
332211  (3) 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 165 
• Ilustração 3.8 
Consideremos as seguintes matrizes: 
a) A matriz [ ]










−−
−
−
=
1091
375
248
A é quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal é {8 , 7, }10− , 
sua diagonal secundária é { 2− ,7, }1− , e temos 4 elementos fora de ambas as diagonais 
( )413232 =+×− , que são {4 , – 3, 9, }5 . Seu traço é [ ]Atr = 8 + 7 – 10 = 5. 
 
b) A matriz [ ]






−
+
−−
=
74
223
131
51
j
j
B 






− 62
94
75
68
é quadrada de ordem 4. Sua diagonal principal 
é {1, – 1, 4, }6− , sua diagonal secundária é {6 , 5, 2 + j2, }4 , e temos 8 elementos fora de 
ambas as diagonais ( )84242 =×− , que são {5 , 8, 7, 9, 2, –7, 1– }3j . Seu traço é 
[ ] 1 1 4 6 2tr A = − + − = − . 
 
EXEMPLO 3.3 
Dada a matriz [ ] ( )
44×
= ijaA tal que 



<
≥+
=
ji
jiji
aij se 1
 se 32
, calcular a diferença entre o pro-
duto dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária. 
 
Solução: 
Diagonal principal: 
11
22
33
44
2 1 3 1 5
2 2 3 2 10
2 3 3 3 15
2 4 3 4 20
a
a
a
a
= × + × = 
= × + × = 
= × + × = 
= × + × = 
 { }jiaij =| 
Diagonal secundária: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 166 







=×+×=
=×+×=
=
=
111342
122332
1
1
41
32
23
14
a
a
a
a
 { }5141| =+=+=+ njiaij 
Assim sendo temos: 
5 × 10 × 15 × 20 – 1 × 1 × 12 × 11 = 14.868 
 
3.4.4. Matriz Triangular 
Uma matriz quadrada [ ]A , cujos elementos aij = 0, para i > j é chamada triangular superi-
or, enquanto que aquela cujos elementos aij = 0, para i < j, é chamada triangular inferior. Assim 
sendo, 
















nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa





000
00
0
333
22322
1131211
 é triangular superior e 
















nnnnn aaaa
aaa
aa
a





321
333231
2221
11
0
00
000
 é triangular inferior. 
• Ilustração 3.9 
a) 










−
205
043
001
 
 (triangular inferior) 
b) 












−−
−
9000
14100
20670
4532
 
 (triangular superior) 
 
3.4.5. Matriz Diagonal 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 167 
A matriz [ ]
















=
nna
a
a
a
A





000
000
000
000
33
22
11
 cujos elementos ija são nulos para i ≠ j 
que é ao mesmo tempo triangular superior e triangular inferior é chamada de matriz diagonal. Ela 
também pode ser representada por 
[ ]A = diag ( 11a , a22, a33, … , )nna 
• Ilustração 3.10 
As seguintes matrizes são diagonais: 
a) [ ]









−
=
500
020
001
A 
b) [ ]












=
+−
9000
000
0040
0002
61 j
B 
 
3.4.6. Matriz Escalar 
Se na matriz diagonal tivermos a11 = a22 = a33 =  = ann = k, ela é chamada de matriz es-
calar. 
• Ilustração 3.11 
As seguintes matrizes são escalares: 
a) [ ]










=
200
020
002
A 
 (k = 2) 
b) [ ]












−
−
−
−
=
8000
0800
0080
0008
B 
 (k = – 8) 
 
3.4.7. Matriz Identidade ou Matriz Unidade 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 168 
Se na matriz diagonal tivermos a11 = a22 = a33 =  = ann = 1, dizemos que ela é uma ma-
triz identidade de ordem n, indicada por [ ]nI . 
Uma outra maneira de se indicar a matriz identidade é 
[ ] [ ]ijnI δ= 
sendo δij o símbolo de Kronecker ou delta de Kronecker, isto é: 
δij = 1 se i = j com i, j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
δij = 1 se i ≠ j com i, j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
• Ilustração 3.12 
Temos as seguintes matrizes identidades: 
a) matriz identidade de ordem 1 → [ ] [ ]11 =I 
b) matriz identidade de ordem 2 → [ ] 





=
10
01
2I 
c) matriz identidade de ordem 3 → [ ]










=
100
010
001
3I 
d) matriz identidade de ordem n → [ ]
















=
1000
0100
0010
0001




nI 
 
3.4.8. Matriz Nula ou Matriz Zero 
É toda matriz cujos elementos em sua totalidade são nulos. 
• Ilustração 3.13 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 169 
a) [ ] 32 0000
000
×=




 é matriz nula do tipo 2 × 3. 
b) [ ] 22 000
00
×=




 é matriz nula de ordem 2. 
c) [ ] [ ] 51 000000 ×= é matriz nula do tipo 1 × 5. 
 
3.4.9. Igualdade de Matrizes 
Duas matrizes [ ] ( )
nmij
aA
×
= e [ ] ( )
nmij
bB
×
= são iguais quando apresentarem todos os 
elementos correspondentes iguais, ou seja, quando aij = bij ∀ i ∈ {1, 2, 3, … , }m e ∀ j ∈ 
{1, 2, 3, … , }n . 
• Ilustração 3.14 
a) 










−
−
−
=










−
−
−
042
171
323
042
171
323
 pois todos os elementos correspondentes são iguais. 
b) 





−
−
≠





−
−
57
31
47
31
 pois a22 ≠ b22 o que evidencia o fato de que basta apenas dois ele-
mentos correspondentes não serem iguais para que não se verifique a igualdade de duas 
matrizes. 
 
EXEMPLO 3.4 
Determine x e y de modo que se tenha 






−−
=





−−
+
15
13
5
1
yx
yx
 
 
Solução: 
Devemos ter: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 170 



−=−
=+
1
3
yx
yx
 
Somando membro as equações, obtemos: 
2x = 2 ∴ x = 1 
Substituindo o valor de x em uma das equações encontramos 
y = 2. 
 
3.4.10. Transposição de Matrizes 
(A) Definição: 
Chama-se matriz transposta de [ ] ( )
nmij
aA
×
= a matriz [ ] ( )
mnji
t aA
×
′= tal que ijji aa =′ 
∀ i ∈ {1, 2, 3, … , }m e ∀ j ∈ {1, 2, 3, … , }n . Isto significa que, por exemplo 11a′ , 21a′ , 
31a′ , … , 1na′ são respectivamente iguais a a11 , a12 , a13 , …, a1 n , valendo dizer que a 1.ª 
coluna de [ ] tA é igual a 1.ª linha de [ ]A . Repetindo o raciocínio chegaríamos a conclusão 
de que as colunas de [ ] tA são, ordenadamente, iguais às linhas de [ ]A . 
• Ilustração 3.15 
Temos as matrizes a seguir e suas respectivas transpostas: 
a) [ ] [ ] 





=→










=
613
042
60
14
32
 tAA 
b) [ ] [ ] [ ]












−
=→−=
8
4
3
1
8431 tBB 
c) [ ] [ ]










−+
−−
−
=→










−−−
+
−
=
43210
162
341
4313
2164
021
 
jjj
j tCC 
 
(B) Propriedade: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 171 
[ ]{ } [ ]AA tt = 
 
Demonstração: 
[ ] ijjit aaA =′= 
[ ]{ } [ ]{ } [ ]AAaaaA ttijjiijtt =⇒=′=′′= 
Observação: No decorrer da apresentação de outros assuntos serão apresentadas outras 
propriedades envolvendo a transposição de matrizes. 
 
3.4.11. Matriz Oposta 
Dadas duas matrizes [ ] ( )
nmij
aA
×
= e [ ] ( )
nmij
bB
×
= , dizemos que [ ]B é matriz oposta de [ ]A 
se todos os elementos de [ ]B são os opostos9 dos elementos correspondentes de [ ]A , ou seja: 
[ ] [ ]AB −= ⇔ bij = – aij ∀ i ∈ {1, 2, 3, … , }m e ∀ j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
• Ilustração 3.16 
Temos as matrizes a seguir e suas respectivas opostas: 
a) [ ] [ ] [ ] 





−−
−
=−=⇔




 −
=
37
41
37
41
ABA 
b) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5032150321 −+−−=−=⇔−= jj CDC 
 
3.4.12. Matriz Conjugada 
(A) Definição: 
Chama-se matriz conjugada de [ ] ( )
nmij
aA
×
= a matriz [ ] ( )
nmij
aA
×
= ** em que cada elemento 
*
ija é o conjugado do elemento correspondente na matriz [ ]A . 
 
 
9 Em Álgebra dizemos que dois números são opostos ou simétricos quando eles têm mesmo módulo mas sinais contrá-
rios. Por exemplo: 2 e – 2; – 5 e 5; etc. 
Em matrizes, utilizamos o termo oposta para indicar oposição de sinais, visto que o termo simétrica será guardado para 
uma próxima aplicação. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 172 
(B) Propriedade: 
[ ]{ } [ ]{ }tt AA * * = 
 
Demonstração: 
Temos que 
[ ] tA ⇒ jia′ = aij = x +jy 
[ ]{ } ( ) yxaaaA ijjijit j−==′=′′⇒ ** * (1) 
[ ] yxaaA ijij j−==′⇒ ** 
[ ]{ } yxaaaA ijijjitt j−==′=′′⇒ * (2) 
De (1) (e) vem que 
[ ]{ } [ ]{ }tt AA * * = 
 
(C) Notação Especial: 
Use-se a notação especial [ ]HA para a transposta conjugada de [ ]A , e deve-se notar que se 
[ ]A é uma matriz real então [ ] [ ] tH AA = . 
• Ilustração 3.17 
a) [ ] [ ] 





−+−
++−
=⇔





+−
−−+
=
23416
743582
23416
743582 * 
jjj
jjj
jjj
jjj
AA 
b) [ ] [ ] [ ] [ ]8452384523 * jjjj −+=⇔+−= BB 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 173 
 
EXEMPLO 3.5 
Dada a matriz [ ]










−−
−−
+−
=
56
734
8532
jj
j
jj
A determinar [ ]HA . 
 
Solução: 
Sabemos que [ ] [ ]{ }* tH AA = logo, 
[ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=





−+
−−−−
=





−+
−−−−
= ***
**** 
 
57385
6432
57385
6432
jjj
jj
jjj
jjHA 






−+−
+−−+
=
57385
6432
jjj
jj
 
 
3.4.13. Matriz Simétrica 
Conforme já mencionado na seção 3.2 os elementos de uma matriz podem ser números 
reais e ou complexos. Se todos os elementos da matriz são reais, ela é dita real. 
A matriz quadrada real é dita simétrica se ela é igual a sua transposta, isto é, se 
[ ] [ ]AA t = 
decorrendo da definição que se [ ] ( )ijaA = é uma matriz simétrica, temos: 
aij = aji, ∀ i, ∀ j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
isto é os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são iguais. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 174 
Ilustração 3.18 
São simétricas as seguintes matrizes: 
a) [ ] 





−
−
=
43
31
A 
b) [ ]










=
364
652
421
B 
c) [ ]










=
fec
edb
cba
C 
 
3.4.14. Matriz Anti-Simétrica 
Denomina-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada real [ ]A tal que 
[ ] [ ]AA t −= 
decorrendo da definição que se [ ] ( )ijaA = é uma matriz anti-simétrica, temos: 
aij = – aji, ∀ i, ∀ j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos, e 
os elementos dessa diagonal são nulos, pois para i = j temos aii = – aii, o que só é possível se aii = 
0 ∀ i. 
• Ilustração 3.19 
São anti-simétricas as seguintes matrizes: 
a) [ ] 





−
=
01
10
A 
b) [ ]










−
−
−
=
054
501
410
B 
c) [ ]










−−
−=
0
0
0
cb
ca
ba
C 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 175 
d) [ ]












−−−
−−
−
=
0
0
0
0
fec
fdb
eda
cba
D 
EXEMPLO 3.6 
Determinar x, y e z para que a matriz 
[ ]










−
−
=
02
10
240
zy
zxA 
seja anti-simétrica. 
 
Solução: 
Da definição de matriz anti-simétrica vem 
( )



−=∴−=∴−−=
−=
=
11212
2
4
zzzzz
y
x
 
EXEMPLO 3.7 
Determinar os elementos incógnitos da matriz a seguir sabendo-se que a mesma é anti-
simétrica. 
[ ]










−−
−−
+
=
4
3
1
2
ccb
ba
a
A 

 
Solução: 
Da definição de matriz anti-simétrica temos: 





=→=−
=→=−
−=→=+
404
3
10
3
1
202
cc
bb
aa
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 176 
Temos também que: 





==
−=−=
−==
4
3
1
2
23
13
12
ca
ba
aa
 
 
3.4.15. Matriz Hermitiana 
Denomina-se matriz hermitiana a toda matriz quadrada complexa [ ]A tal que 
[ ]{ } [ ]AA t =* , ou seja, que é igual a sua transposta conjugada. Neste caso a matriz recebe uma no-
tação especial, já vista subseção 3.3.12, 
[ ] [ ]{ } [ ]Ht AAA * == 
Decorreentão da definição que se [ ] ( )ijaA = é uma matriz hermitiana, temos: 
( )*jiij aa = , ∀ i, ∀ j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são conjuga-
dos, e os elementos dessa diagonal devem ser reais, pois para i = j devemos ter *iiii aa = , o que só 
é possível se aii ∈ R ∀ i. 
Observação: A notação [ ] [ ]{ }* tH AA = , conforme já havíamos afirmado na subseção 
3.3.12, não significa que a matriz em questão seja necessariamente hermitiana. No exemplo 5 temos 
uma situação na qual [ ] [ ]AA H ≠ , o que nos leva a concluir que aquele exemplo a matriz [ ]A não é 
hermitiana. 
• Ilustração 3.20 
As seguintes matrizes são hermitianas: 
a) [ ]










+
−
−+
=
5061
0332
61321
j
j
jj
A 
b) [ ]










−
−−+
+−
=
2274
2421
74213
jj
jj
jj
B 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 177 
c) [ ]










−
+
−
=
02
31
211
j
jj
j
C 
 
3.4.16. Matriz Anti-Hermitiana 
Denomina-se matriz anti-hermitiana toda matriz quadrada complexa [ ]A tal que 
[ ]{ } [ ]AA t −=* , ou seja, que é igual à oposta de sua transposta conjugada, e podemos escrever 
[ ] [ ]{ } [ ]Ht AAA * −=−= 
Da definição temos pois que se [ ] ( )ijaA = é uma matriz anti-hermitiana devemos ter: 
( )*jiij aa −= , ∀ i, ∀ j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos 
conjugados, e os elementos dessa diagonal devem ser nulos ou imaginários puros, pois, para i 
= j , temos ( )*iiii aa −= , o que só é possível se aii = 0 ou aii = jy (imaginário puro) ∀i. 
• Ilustração 3.21 
São anti-hermitianas as seguintes matrizes: 
a) [ ] 





+−
+
=
052
520
j
j
A 
b) [ ]










−
−+
+−
=
054
5023
4230
jj
jj
jj
B 
c) [ ]










−
−−
−
=
02
321
221
j
jjj
jj
C 
 
3.4.17. Soma ou Adição de Matrizes 
(A) Definição: 
Dadas duas matrizes [ ] ( )
nmij
aA
×
= e [ ] ( )
nmij
bB
×
= denomina-se soma [ ]A + [ ]B a matriz 
[ ] ( )
nmij
cC
×
= tal que cij = aij + bij , ∀ i, ∀ j. Isto equivale a dizer que a soma de duas matrizes [ ]A e 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 178 
[ ]B do tipo m × n é uma matriz [ ]C do mesmo tipo, em que cada elemento é a soma dos elementos 
correspondentes em [ ]A e [ ]B . 
• Ilustração 3.22 
a) 
( )
( ) 




−
−
=





+−++
++−+
=





−
−
+





865
17131
178250
1169432
185
1193
720
642
 
b) ( )
( ) 











−
=












+−
+
−+
+
=












−
+












− 1
9
5
89
1
211
05
8
1
2
0
9
11
5
4
7
4
3
4
3
 
c) 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )






+−
+−+
=
=





+++−+−
+−+++
=





++−
+−
+





−
+
jj
jj
jjj
jjj
jj
jj
j
j
25
8172
114393
843252
143
842
1 93
3 52
 
(B) Propriedades: 
A adição de matrizes possui as seguintes propriedades: 
(1.ª) Comutativa: [ ] [ ] [ ] [ ]ABBA +=+ 
(2.ª) Associativa: [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ]CBACBA ++=++ 
(3.ª) Elemento Neutro: [ ] [ ] [ ]AA =+ 0 
(4.ª) Elemento Oposto: [ ] [ ] [ ]0=−+ AA 
(5.ª) Transposição: [ ] [ ]{ } [ ] [ ] ttt BABA +=+ 
onde [ ]A , [ ]B , [ ]C e [ ]0 são matrizes do tipo m × n. Estas propriedades são conseqüências de pro-
priedades análogas da adição no conjunto dos números complexos. Assim, ∀ i ∈ {1, 2, 3, … , }m e ∀ j 
∈ {1, 2, 3, … , }n . 
 
Demonstrações: 
(1.ª) 
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YXyxabyABY
baxBAX
ijij
ijijij
ijijij =⇒=⇒






+=⇒+=
+=⇒+=
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 179 
(2.ª) 
[ ] [ ] [ ] [ ]{ } ( )
[ ] [ ] [ ]{ } [ ] ( ) [ ] [ ]YXyxcbaxCBAY
cbaxCBAX
ijij
ijijijij
ijijijij =⇒=⇒






++=⇒++=
++=⇒++=
 
 
 
(3.ª) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]AXaaxAX ijijij =⇒=+=⇒+= 00 
(4.ª) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]00 =⇒=−=⇒−+= XaaxAAX ijijij 
Devido à propriedade associativa, a definição de adição pode ser generalizada para n ≥ 2 ma-
trizes. Por exemplo, temos: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) DCBAXXDCBA +++=⇔=+++ 
 já definidas 
5.ª) Sendo [ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] ( )
mnji
t aA
×
′= , [ ] ( )
nmij
bB
×
= , [ ] ( )
mnji
t bB
×
′= , [ ] [ ] ( )
nmij
cBA
×
=+ e 
[ ] [ ]{ } ( )
mnji
t cBA
×
′=+ 
 temos que: 
 [ ] [ ]{ } [ ] [ ] tttjijijiijijjiijji BABAbacbaccc +=+⇒′+′=′⇒+=′⇒=′ 
• Ilustração 3.23 
Sejam 
[ ] 




 −
=
72
31
A , [ ] 





=
46
82
B 
Temos então: 
[ ] [ ] [ ] [ ]{ } 





=+⇒





=+
115
83
 
118
53 tBABA 
Logo, [ ] [ ]{ } [ ] [ ] ttt BABA +=+ 
[ ]
[ ]
[ ] [ ] 





=+













=






−
=
115
83
48
62
73
21
 
 
 
tt
t
t
BA
B
A
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 180 
 
EXEMPLO 3.8 
Determinar α, β, γ e δ de modo a que se tenha 






=





−
+





δγ
βα 15
40
3
21
1
 
Solução: 
Devemos ter: 
α + 3 = 5 ∴ α = 2 
1 + β =1 ∴β = 0 
1 + 0 = γ ∴ γ = 1 
2 – 4 = δ ∴δ = –2 
EXEMPLO 3.9 
Determine x e y de modo que se tenha 






−
=




−
+




−
+





110
15
22
11
24
3
2
2
2
3
xy
xy
xy
xy
 
 
Solução: 
Devemos por definição satisfazer ao sistema: 
 0651 33 =−−→=−− yyyy 10 
 0821022 22 =−+→=++ yyyy 
 y = 2 



=
−=±−
=
+±−
=
(*)2
4
2
62
2
3242
y
y
y 
 
10 A solução da equação cúbica y3 – y – 6 = 0 está além do nível deste curso, mas existe uma alternativa: calcular as 
raízes da equação seguinte, y2 + 2y – 8 = 0, que são y = 2 e y = 4 e, voltando na equação cúbica, verificar que apenas a 
raiz y = 2 verifica ambas as equações. 
Ao estudante interessado, que pretenda aprofundar seus estudos, adiantamos que as raízes da equação cúbica em ques-
tão são: 2, – 1 + j 2 e – 1 – j 2 . 



www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 181 
( )




=++→−=++



−=
=
=+→=+→=++
034124
3
0
0303113
22
22
xxxx
x
x
xxxxxx 
 x = – 3 
 



−=
−=±−
=
−±−
=
1
3
2
24
2
12164
x
x
x 
 
EXEMPLO 3.10 
Uma fábrica produz um certo refrigerante. Os custos relativos à compra e transporte de 
quantidades específicas dos ingredientes necessários para a sua produção, adquiridas em duas loca-
lidades (fornecedoras) distintas são dadas respectivamente pelas seguintes matrizes: 
Ingredientes Preço de Compra Custo de Transporte 
c
b
a
 





3
14
8
 [ ]A=





3
4
12
 
 
Ingredientes Preço de Compra Custo de Transporte 
c
b
a
 





4
17
6
 [ ]B=





2
5
11
 
Determinar a matriz que representa os custos totais de compra e de transporte dos ingredi-
entes a, b e c. 
Solução: 
[ ] [ ] [ ]










=










++
++
++
=+=
57
931
2314
2343
541714
111268
BAC 
 
3.4.18. Subtração ou Diferença de Matrizes 
Definição: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 182 
Dadas duas matrizes [ ] ( )
nmij
aA
×
= e [ ] ( )
nmij
bB
×
= , denomina-se diferença [ ] [ ]BA − a ma-
triz [ ] ( )
nmij
cC
×
= tal que cij = aij – bij, ∀i e ∀j. Isto equivale a dizer que a diferença entre duas ma-
trizes [ ]A e [ ]B do tipo m × n é uma matriz [ ]C do mesmo tipo, em que cada elemento é a diferença 
dos elementos correspondentes em [ ]A e [ ]B . 
• Ilustração 3.24 
a) 
( ) ( )
( ) 




−
−−−
=





−−−−−−
−−−−−−−
=
=




−
−−
−





−
−
11841
11013
56174834
89732152
5143
8725
6784
9312
 
b) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 




−−+−
++
=





+−++−+
−−−−−−+
=
=





++
−−−
−





−−+
−+
jj
jj
jjjj
jjjj
jj
jj
jj
jj
331
41116
35222251
113748432
3522
11384
4251
7432
 
 
EXEMPLO 3.11 
Calcular [ ] [ ] [ ]CBA +− sabendo-se que [ ] 





=
23
45
A , [ ] 





−
−
=
01
23
B e [ ] 





−
−
=
42
15
C 
 
Solução: 
[ ] [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( ) 




−
=





−+−+−−
−+−+−−
=+−
26
113
402213
124535
CBA 
3.4.19. Produto de um Número Complexo por uma Matriz 
(A) Definição: 
Dada a matriz [ ] ( )
nmij
aA
×
= e o número complexo z, chama-se produto de z por [ ]A , que 
se indica por z [ ]A , a matriz [ ] ( )
nmij
bB
×
= cujos elementos são iguais aos elementos correspondentes 
de [ ]A multiplicados por z. Em símbolos: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 183 
[ ]B = z [ ]A ⇔ bij = zaij, ∀i ∈ {1, 2, 3, … , }m e ∀j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
• Ilustração 3.25 
a) ( ) 




−
=





−××
××
=





− 123
96
4313
3323
41
32
3 
b) ( ) ( ) 




−−
=





×−×−×
×××
=





−− 431
012
862
024
862
024
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
 
c) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 









−
−−
=










×−
−×−
+×−
=










−
+
−
8
6
42
42
32
212
4
3
21
2
jjj
 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 




+
−
=





×+×+
−−×++×+
=




 −−+
+
01510
5113
032532
1322332
05
123
32
j
jj
jj
jjjjjj
j 
(os cálculos intermediários deste item da ilustração vêm logo a seguir) 
 
É claro que os números complexos podem ser multiplicados tanto na forma retangular 
quanto na polar, embora tal operação nesta última forma seja mais fácil. A menos que o estudante 
possua uma calculadora HP apropriada, que executa o produto, diretamente, tanto em uma forma 
quanto em outra. Uma calculadora dessa natureza admite até que cada número esteja em uma for-
ma, e dá a opção de resposta em ambas as formas. 
No entanto, vamos partir do pressuposto que poucos possuam uma calculadora com 
tais recursos, e que a disponível faça, no máximo, as conversões polar → retangular e retangu-
lar → polar. 
Temos então duas opções: 
1.ª) Trabalhar na forma retangular e converter a forma polar no final: 
3 + j2 
2 + j3 
6 + j4 
6 + j9 – 6 
6 +j13 = 13 90º 
– 1 – j 
– 2 + j3 
– 2 – j2 
– 2 – j3 + 3 
– 1 – j5 = 5,0990 – 78,69º 
2 + j3 
2 + 5 
10 + j15 = 18,0280 56,31º 
 
 e o resultado do produto é: 





 −
=





+
−
0º31,56 0280,18
º69,78 0990,5º90 13
01510
5113
j
jj
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 184 
2.ª) Converter os números para a forma polar, efetuar as multiplicações, e depois voltar à 
forma retangular: 
2 + j3 = 3,6056 56,31º ; 5 = 5 0º 
3 + j2 = 3,6056 33,69º 
– 1 – j = 1,4142 – 135º 
1 – j5 = 5,0990 –78,69º 
 
Efetuando os produtos obtemos: 
( ) º31,56 6056,3 ( ) º69,33 6056,3 = 13 90º = j13 
( ) º31,56 6056,3 ( ) º135 4142,1 − = 5,0990 –78,69º = 1 – j5 
( ) º31,56 6056,3 ( ) º0 5 = 18,0280 56,31º = 10 + j15 
 
Finalmente, 






+
−
=




 −
01510
5113
0º31,56 0280,18
º69,78 0990,5º90 13
j
jj
 
 
(B) Propriedades: 
O produto de um número complexo por uma matriz goza das seguintes propriedades: 
1.ª) [ ]( ) ( )[ ]AzzAzz 2121 = 
2.ª) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]BzAzBAz 111 +=+ 
3.ª) ( )[ ] [ ] [ ]AzAzAzz 2121 +=+ 
4.ª) [ ] [ ]AA =1 
5.ª) [ ]{ } [ ] tt AzAz 1 1 = 
onde [ ]A e [ ]B são matrizes do tipo m × n e z1 e z2 são números complexos. 
Estas propriedades também são conseqüências de propriedades análogas da multiplicação 
no corpo complexo. Suas demonstrações são imediatas. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 185 
 
EXEMPLO 3.12 
Resolver a equação matricial 
[ ] 





−−
−





−−−
=





−
+
401
254
131
076
197
531
X 
 
Solução: 
Temos que: 
[ ] 





−
−





−−
−





−−−
=
197
531
401
254
131
076
X 
ou seja, 
[ ] ( ) ( ) ( )




−−−−−−−−−−−−
−−−−−−
=
141903711
520357146
X 
Finalmente, 
[ ] 





−−
−−
=
4127
711
X 
 
EXEMPLO 3.13 
Resolver a equação matricial 
[ ] [ ] [ ] [ ]BACX 32 +=+ 
sendo dadas: 
[ ]












−
=
71
20
53
41
A , [ ]












=
31
31
21
21
B e [ ]












=
311
27
15
14
C 
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 186 
Solução: 
Temos então: 
[ ] [ ] [ ] [ ]CBAX −+= 32 
ou seja, 
[ ]
[ ] [ ] [ ]












−+−+−
−+−+
−+−+
−+−+
=












−












+












−
=
===
39141132
294730
1610536
168432
311
27
15
14
93
93
63
63
142
40
106
82
32

CBA
X 
Finalmente, 
[ ]












−
−
=
2010
114
154
131
X 
 
EXEMPLO 3.14 
Resolver o sistema de equações matriciais 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]

−=−
+=+
BAYX
BAYX
4
32
 
sendo dadas as matrizes 
[ ]










=
91
24
73
A e [ ]










−=
73
51
42
B 
 
Solução: 
Somando membro a membro as equações do sistema, temos: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]BAXBAX +=⇒+= 3262 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 187 
Subtraindo membro a membro as equações do sistema, temos: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ABYBAY −=⇒+−= 2422 
Assim sendo, 
[ ]
[ ] [ ]










=










−+










=
==
346
1111
2511
73
51
42
273
612
219
3

BA
X 
 [ ]
[ ] [ ]










−=










+










−=
==
55
86
11
91
24
73
146
102
84
2

AB
Y 
 
EXEMPLO 3.15 
a) Se [ ]A é uma matriz simétrica e k é um escalar, demonstre que k [ ]A também é uma matriz si-
métrica. 
b) Se [ ]A é uma matriz anti-simétrica e k é um escalar, demonstre que k [ ]A também é uma matriz 
anti-simétrica. 
 
Demonstração: 
a) Se [ ]A é simétrica temos [ ] [ ]AA t = o que implica em aij = aji , ∀ i, ∀ j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
Temos que k [ ]A é de tal forma que 
ijij kaa =′ e jiji kaa =′ 
Uma vez que aij = aji temos também que jiij aa ′=′ , o que evidencia o fato de k [ ]A ser também 
simétrica. 
 
b) Se [ ]A é anti-simétrica temos [ ] [ ]AA t −= o que implica em aij = – aji , ∀ i, ∀ j ∈ {1, 2, 3, … , }n 
Temos que k [ ]A é de tal forma que 
[ ]
[ ] [ ]










−=










−










−=
==
55
86
11
91
24
73
146
102
84
2

AB
Y
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 188 
ijij kaa =′ e jiji kaa =′ 
Uma vez que aij = – aji temos também que jiij aa ′−=′ , o que evidencia o fato de que k [ ]A ser 
também anti-simétrica. 
 
EXEMPLO 3.16 
a) Sabendo-se que [ ]A é uma matriz quadrada demonstre que [ ] [ ] tAA + é uma matriz simétrica. 
b) Sabendo-se que [ ]A é uma matriz quadrada demonstre que [ ] [ ] tAA − é uma matriz anti-
simétrica. 
c) Escreva a matriz [ ] 





=
87
32
A como a soma de uma matriz simétrica [ ]B e uma anti-simétrica 
[ ]C . 
 
Solução: 
a) Se [ ] [ ] tAA + for simétrica então devemos ter [ ] [ ]{ } [ ] [ ] ttt AAAA +=+ 
Determinaçãode [ ] [ ]{ }ttAA + : 
[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ] tttt AAAAAA +=+=+ 
e está demonstrado que [ ] [ ] tAA + é simétrica. 
 
b) Se [ ] [ ] tAA − for simétrica então devemos ter [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }ttt AAAA −−=− . 
Determinação [ ] [ ]{ }ttAA − : 
[ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]{ }tttt AAAAAA −−=−=− 
e está demonstrado que [ ] [ ] tAA − é anti-simétrica. 
 
c) Do item (a) sabemos que [ ] [ ] tAA + é uma matriz simétrica, logo: 
[ ] [ ] 





=





+





=+
1610
104
83
72
87
32 tAA 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 189 
De forma semelhante (pelo item (b)) sabemos que [ ] [ ] tAA − é uma matriz anti-simétrica, de 
modo que: 
[ ] [ ] 




 −
=





−





=−
04
40
83
72
87
32 tAA 
Somando [ ] [ ]tAA + + [ ] [ ]tAA − obtemos 2 [ ]A , logo 
 
 
 
Finalmente: 
[ ] 





=





=
85
52
1610
104
2
1B 
e 
[ ] 




 −
=




 −
=
02
20
04
40
2
1C 
 
EXEMPLO 3.17 
a) Sabendo-se que [ ]A é uma matriz quadrada complexa demonstre que [ ] [ ]{ }* tAA + é uma matriz 
hermitiana. 
b) Sabendo-se que [ ]A é uma matriz quadrada complexa demonstre que [ ] [ ]{ }* tAA − é uma matriz 
anti-hermitiana. 
c) Escreva a matriz [ ] 





−−
++
=
249
3562
jj
jj
A como a soma de uma matriz hermitiana [ ]B e uma anti-
hermitiana [ ]C . 
 
Solução: 
a) Se [ ] [ ]{ }* tAA + for hermitiana devemos ter [ ] [ ]{ }{ } [ ]AAA tt =





 +
* * 
Determinação de [ ] [ ]{ }{ } * * 





 +
t
tAA : 
[ ] [ ] [ ]{ }
[ ]
[ ] [ ]{ }
[ ]

C
t
B
t AAAAA 
2
1 
2
1
−++=
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 190 
[ ] [ ]{ }{ } [ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ }* * * * * * ttttt AAAAAAAA +=+=+=





 + 
e está demonstrado que [ ] [ ]{ }* tAA + é hermitiana. 
 
b) Se [ ] [ ]{ }* tAA − for anti-hermitiana devemos ter [ ] [ ]{ }{ } [ ] [ ]{ }{ }* * * ttt AAAA −−=





 − 
Determinação de [ ] [ ]{ }{ } * * 





 −
t
tAA : 
[ ] [ ]{ }{ } [ ] [ ]{ } [ ]{ } [ ] [ ] [ ]{ }{ }* * * * * * ttttt AAAAAAAA −−=−=−=





 − 
c) Do item (a) sabemos que [ ] [ ]{ }* tAA + é uma matriz hermitiana, logo: 
[ ] [ ]{ } ( ) ( )
( ) ( )






−
+
=





+−
+−
+





−−
++
=
=





−+
−+
+





−−
++
=+
8414
4144
2435
962
249
3562
2435
962
249
3562
 **
**
* 
j
j
jj
jj
jj
jj
jj
jj
jj
jjtAA
 
De forma semelhante (pelo item (b)) sabemos que [ ] [ ]{ }* tAA − é uma matriz anti-hermitiana, de 
modo que: 
[ ] [ ]{ } ( ) ( )
( ) ( )






−+
+−
=





+−
+−
−





−−
++
=
=





−+
−+
+





−−
++
=−
424
2412
2435
962
249
3562
2435
962
249
3562
 **
**
* 
jj
jj
jj
jj
jj
jj
jj
jj
jj
jjtAA
 
Somando [ ] [ ]{ }* tAA + + [ ] [ ]{ }* tAA − obtemos 2 [ ]A , de modo que 
 [ ] [ ] [ ]{ }{ }
[ ]
[ ] [ ]{ }{ }
[ ]
    
C
t
B
t AAAAA
**
2
1
2
1
−++= 
Finalmente: 
[ ] 





−
+
=





−
+
=
427
272
8414
4144
2
1
j
j
j
j
B 
[ ] [ ] [ ]{ }{ }
[ ]
[ ] [ ]{ }{ }
[ ]
    
C
t
B
t AAAAA
* * 
2
1 
2
1
−++=
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 191 
[ ] 





−+
+−
=





−+
+−
=
22
26
424
2412
2
1
jj
jj
jj
jj
C 
 
3.4.20. Produto de Matrizes: 
(A) Definição: dadas duas matrizes [ ] ( )
nmij
aA
×
= e [ ] ( )
pnjk
bB
×
= , chama-se produto 
[ ]A [ ]B a matriz [ ] ( ) pmikcC ×= tal que: 
∑
=
=++++=
n
j
jkijnkinkikikiik bababababac
1
332211  
para todo i = {1, 2, 3, … , }m e todo k= {1, 2, 3, … , }p . 
 
(B) Da presente definição concluímos que: 
1.º) O produto [ ]A [ ]B existe tão somente se o número de colunas da matriz [ ]A for igual ao número 
de linhas da matriz [ ]B , ou seja: 
[ ]A é do tipo m × n 
e 
[ ]B é do tipo n × p 
 
2.º) A matriz produto tem o número de linhas da matriz [ ]A e o número de colunas da matriz [ ]B , 
pois [ ]C = [ ]A [ ]B é do tipo m × p. 
Tais observações podem ser resumidas e melhor compreendida através do esquema a seguir: 
[ ]A . [ ]B = [ ]C 
 m × n n × p m × p 
Fig. 3.3 
Assim, por exemplo, existem os produtos de matrizes 
obs 1.ª
obs 2.ª
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 192 
a) 
[ ]A
23× por 
[ ]B
42× ⇒ 
[ ] [ ][ ]BAC =
× 43 
b) 5×3 por 3×6 ⇒ 5×6 
c) 4×1 por 1×3 ⇒ 4×3 
d) 8×9 por 9×1 ⇒ 8×1 
porém não são definidos produtos tais como: 
e) 
[ ]A
52× por 
[ ]B
34× ⇒ 
[ ] [ ][ ]BAC =
∃/ 
f) 3×4 por 6×8 ⇒ ∃/ 
 
3.º) Se [ ]A e [ ]B forem matrizes quadradas, a matriz [ ]C = [ ]A [ ]B existirá se, e somente se, [ ]A e 
[ ]B forem da mesma ordem, a qual será também a ordem de [ ]C . Por exemplo: 
a) 
[ ]A
22× por 
[ ]B
22× ⇒ 
[ ] [ ][ ]BAC =
× 22 
b) 5×5 por 5×5 ⇒ 5×5 
(C) Algoritmos de Obtenção da Matriz Produto: 
Observando a expressão do elemento genérico 
nkinkikikiik babababac ++++= 332211 
que foi apresentada na definição, concluímos que foram utilizadas na sua obtenção a i-ésima linha 
da matriz [ ]A . 
[ ]
  

colunas portanto, tendo,
 tipodo é pois elementos, com
321
n
nmAn
iniii aaaa
×
 
e a k-ésima coluna da matriz [ ]B 
[ ] linhas portanto, tendo, tipodo é pois elementos, com3
2
1
npnBn
nk
k
k
k
b
b
b
b
×









 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 193 
Concluímos também que houve uma multiplicação entre elementos correspondentes, e de-
pois uma soma, ou seja: 
nkinkikiki
nkin
ki
ki
ki
babababa
ba
ba
ba
ba
++++
×
×
×
×


332211
33
22
11
 
Tal fato nos sugere os algoritmos a seguir 
Algoritmo 1: 
1.º passo: com as duas matrizes [ ]A e [ ]B lado a lado selecionamos a i-ésima linha da matriz [ ]A e a 
k-ésima coluna da matriz [ ]B , correspondentes ao elemento cik ; 
2.º passo: transportamos a k-ésima coluna da matriz [ ]B para uma posição horizontal sobre a ma-
triz [ ]A ; 
3.º passo: calculamos os n produtos dos elementos correspondentes (que ficam uns sobre os outros); 
4.º passo: somamos estes n produtos obtendo o elemento cik da matriz produto. 
A figura a seguir ilustra o processo. 
 b1k b2k b3k  bnk 
nm
iniii
ik
aaaa
nkinkikii aabababa
×















 ××××
321
33221 1
2
3 elementos 
k
k
k
nk n p
n
b
b
b
b
×
 
 
  
 
 
  

= 
pm
ikc
×



















 
 
 
Fig. 3.4 
k-ésima coluna 
i-é
si
m
a 
lin
ha
 
 
  
elementos 
 
n
[ ]
  
A
 
[ ]
  
B
 
[ ]
  
C
 
+ + ++ 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 194 
Este processo é interessante pois permite calcular qualquer elemento de [ ]C , sem nenhu-
ma ordenação pré-estabelecida. No entanto, se pretendemos calcular todos os elementos [ ]C é con-
veniente seguir a seqüência abaixo: 
1.º) selecionamos a 1.ª linha de [ ]A e a 1.ª coluna de [ ]B ; 
2.º) transportamos a 1.ª coluna de [ ]B para uma posição horizontal sobre a matriz []A ; 
3.º) efetuamos os produtos dos elementos correspondentes; 
4.º) somamos estes produtos e determinamos c11; 
5.º) aproveitamos que a 1.ª coluna de [ ]B já está re-posicionada sobre [ ]A e selecionamos, agora, 
a 2.ª linha de [ ]A ; 
6.º) efetuamos os produtos dos elementos correspondentes; 
7.º) somamos estes produtos e determinamos c21; 
8.º) continuamos com a 1.ª coluna de [ ]B até que havíamos varrido todas as linhas de [ ]A e, em 
conseqüência, obtido toda a 1.ª coluna de [ ]C ; 
9.º) transpomos agora a 2.ª coluna de [ ]B e com a mesma varremos todas as linhas de [ ]A obten-
do, deste modo, a 2.ª coluna de [ ]C ; 
10º) o processo continua até que a última coluna de [ ]B tenha varrido todas as linhas de [ ]A quan-
do, então, a matriz [ ]C estará completa. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 195 
• Ilustração 3.26 
a) Determinar o elemento c23 do produto matricial a seguir: 
[ ] A









 −
43
22
11
[ ] B






− 154
321
 
 
Pelo esquema acima concluímos que o produto matricial é possível, e vai resultar em uma 
matriz 3 × 3. No entanto estamos interessados, por enquanto, no elemento c23, logo: 
c23 3 1 
 (×) (+) (×) 8123223 =×+×=c 
 2 2 
 
b) Determinar todos os elementos do produto matricial [ ]C = [ ]A [ ]B indicado no item a. 
Vamos posicionar as colunas da matriz [ ]B sobre a matriz [ ]A e seguir seqüência já men-
cionada: 
 









 −
43
22
11






− 154
321
=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )


















=+=
=×+×
−=−=
=−×+×
=+=
=×+×
=+=
=×+×
−=−=
=−×+×
=−=
=×−+×
=+=
=−×−+×
=+=
=×+×
−=−=
=×−+×
1349
1433
14206
5423
19163
4413
826
1232
6104
5222
213
1131
752
5121
1082
4212
341
4111
 
O resultado final é: 
[ ]










−
−
−
=
131419
8610
273
C 
Com o tempo o estudante não vai mais precisar escrever as colunas de [ ]B em posi-
3.ª coluna 
de [ ]B que 
deve ser 
posicionada 
sobre a 
2.ª linha de [ ]A 
3 × 2 
2 × 3 
41
52
13
−
(1.ª) 
(2.ª) 
(3.ª) 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 196 
ções horizontais sobre [ ]A . Não, isto já vai ser feito mentalmente. Você duvida? Então é hora 
de você, que não sabia digitação, se lembrar de como começou a digitar dados no computa-
dor; e hoje consegue bater sem olhar para o teclado. A comparação é a mesma. 
Algoritmo 2: 
1.º passo: com as três matrizes [ ]A , [ ]B e [ ]C nas posições indicadas a seguir, selecionamos a i-
ésima linha de [ ]A e a k-ésima coluna de [ ]B ; 
2.º passo: efetuamos os n produtos dos elementos correspondentes.; 
3.º passo: somamos estes n produtos obtendo o elemento genérico cik da matriz produto. 
 
[ ]   

B
nk
k
k
k
b
b
b
b
















3
2
1
 
[ ]
  

A
iniii aaaa
















321 
[ ]
  
C
ikc
















 
 
   colunas p
















 
  
elementos 
 
n
elementos n








k-ésima coluna 
m × n m × p 
n × p 
i-ésima linha 
1ia
)(×
kb1
2ia
)(×
kb2
3ia
)(×
kb3
ina
)(×
nkb
linhas m








linhas n
















linhas m


[ ]A
[ ]B
[ ] [ ][ ]BAC =
ikc
k-ésima coluna 
i-ésima linha 
soma 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 197 
  
colunas n
















 
  
colunas p
















 
Fig. 3.5 
 
• Ilustração 3.27 
Vamos agora calcular alguns elementos do produto matricial da ilustração anterior uti-
lizando este segundo algoritmo. 
 
 
Observação: 
1.ª) Este segundo algoritmo apresenta algumas vantagens sobre o primeiro; 
a) Se for mantido um espaçamento constante entre elementos adjacentes das matrizes [ ]A e 
[ ]B , a própria montagem do algoritmo já garante a obtenção da matriz produto com as 
dimensões apropriadas. 
1 
1 
2 
2 
1 
–1 
2 
3 
3 4 
4 –5 
1×1 + ( – 1 ) × 4 = 
= 1 – 4 = – 3 
2×2 + 2× ( – 5 ) = 
= 4 – 1 0 = – 6 
1 (×) 1 
2 (×) 2 
(– 1) (×) 4 
2 (×) (– 5) 
= 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 198 
b) A própria disposição física do algoritmo já indica para cada elemento de [ ]C qual a linha 
de [ ]A e a coluna de [ ]B que devem ser utilizadas. 
2.ª) Antes de prosseguirmos é bom não esquecer nunca que a matriz [ ]A entra com as linhas e 
a matriz [ ]B com as colunas. 
 
EXEMPLO 3.18 
Calcular os seguintes produtos matriciais: 
a) 





01
10






32
74
 ; b) 










430
022
110










021
100
741
 ; c) 





− 741
251










−
−
03
32
11
 ; 
d) 




 −
1732
0511












11
13
12
11
 ; e) 










3
2
1
[ ]2113 
 
Solução: 
Vamos utilizar apenas o segundo algoritmo que é, pelo nosso ponto de vista, o mais imedi-
ato. 
a) 
22 32
74
×





 
22 01
10
×





 
22 74
32
×





 
 
b) 
33
021
100
741
×










 
33
430
022
110
×










 
33
384
1682
121
×










 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 199 
 
c) 
23
03
32
11
×










−
−
 
32741
251
×






−
 
221314
145
×






−
 
 
d) 
2411
13
12
11
×












 
421732
0511
×





 − 
221330
514
×





 
e) [ ] 41 2113 × 
13
3
2
1
×










 
43
6339
4226
2113
×










 
 
EXEMPLO 3.19 
Considere as matrizes [ ] ( )
43×
= ijaA e [ ] ( ) 54×= jkbB tais que aij = 2i + 3j e bjk = 3j – 4k. de-
termine o elemento c35 da matriz [ ]C = [ ]A [ ]B . 
 
Solução: 
Já sabemos que [ ]A entra com as linhas e [ ]B com as colunas, a fim de obter a ma-
triz [ ]C = [ ]A [ ]B . Uma vez que desejamos determinar o elemento c35, devemos utilizar a 3.ª linha de 
[ ]A e a 5.ª coluna de [ ]B : 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 200 
 
 
EXEMPLO 3.20 
A matriz [ ]C fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados em um 
restaurante: 
 Custos 
[ ] [ ]
Salada
Carne
Arroz
2
3
1
custos porções










=×=C 
A matriz [ ]P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição 
dos pratos P1, P2 e P3 desse restaurante. 
 Arroz Carne Salada 
[ ] [ ]
3
2
1
 Prato
 Prato
 Prato
022
121
112
porções pratos
P
P
P
P










=×= 
Ache a matriz que fornece, em reais, os custos de produção dos pratos P1, P2 e P3. 
 
Solução: 
Para calcularmos o custo de produção de um determinado prato poderíamos usar a seguinte 
fórmula: 
Uma vez que a matriz 
[ ]B é do tipo 4 × 5, cada 
coluna deve ter 4 elementos 
17541315 −=×−×=b
14542325 −=×−×=b
11543335 −=×−×=b
8544345 −=×−×=b
( ) ( ) ( )+−×+−×+−×= 1115141217935c
( ) 630818 −=−×+ Sendo a matriz [ ]A do tipo 3 × 4, cada 
linha deve ter 4 elementos 
=×+×= 133231a ; 
=9 
=×+×= 233232a ; 
=12 
=×+×= 333233a ; 
=15 
=×+×= 433234a ; 
=18 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 201 
+ (n.º de porções de arroz) . (custo da porção de arroz) + 
+ (n.º de porções de carne) . (custo da porção decarne) + 
+ (n.º de porções de salada) . (custo da porção de salada) 
O custo de produção do prato P1, por exemplo, é: 
custo P1 = 2 . 1 + 1 . 3 + 1 . 2 = 7 
No entanto é mais elegante e operacional trabalharmos com matrizes onde o custo de cada 
prato será interpretado como o produto da respectiva linha da matriz [ ]porções pratos× pela matriz 
coluna [ ]custos porções× , ou seja: 
[ ]porções pratos× . [ ]custos porções× = [ ]custos pratos× 
 
 
 Custos 
[ ]
3
2
1
1333
 Prato
 Prato
 Prato
8
9
7
2
3
1
022
121
112
custos pratos
P
P
P










=




















=×
××
 
 
O exemplo a seguir demonstra utilidade semelhante para o produto matricial. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 202 
EXEMPLO 3.21 
Uma indústria de informática produz computadores X e Y nas versões Pentium II, Pentium 
III e Pentium IV. Componentes A, B e C são utilizados na montagem desses computadores. Para um 
certo plano de montagem são dadas as seguintes informações: 
 Computadores 
Componentes X Y 
A 4 3 
B 3 5 
C 6 2 
 
 Versões 
Computadores Pentium II Pentium III Pentium IV 
X 2 4 3 
Y 3 2 5 
 
Determine as seguintes matrizes: 
a) componentes × computadores; 
b) computadores × versões; 
c) componentes × versões. 
 
Solução: 
a) [componentes × computadores] = 










26
53
34
 
b) [computadores × versões] = 





523
342
 
c) [componentes × computadores] . [computadores × versões] = [componentes × versões] 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 203 
[componentes × versões] = 










26
53
34






523
342
 = 










282818
342221
272217
 
EXEMPLO 3.22 
Ao se estudar um sistema de energias elétrica obteve-se a seguinte equação matricial para 
as correntes nas fases a, b e c: 










−
−
−
=










25,05,0
5,025,0
5,05,02
jjj
jjj
jjj
c
b
a
I
I
I










−
0
º60 1
0
 
Pode-se determinar as expressões de Ia , Ib e Ic. 
 
Solução: 
Aplicando um dos algoritmos anteriores, obtemos: 
( ) ( ) ( ) ( ) 25,0433,0º30 5,0º60 1 º90 5,0º60 1 5,0 jj +==−=−=aI 
( ) ( ) ( ) ( ) jj −−=−=−−=−−= 732,1150 2º60 1 º90 2º60 1 2bI 
( ) ( ) 25,0433,0º30 5,0º60 1 5,0 jj +==−=cI 
 
EXEMPLO 3.23 
Para um determinado sistema de energia elétrica obteve-se a seguinte equação matricial: 
















−
−
−
+−−










=










º 
V
aa
aa
I
I
I n
c
b
a
180
3
5,2
º06 
3
5,2
º60 
3
1
 
1
1
111
2
2
j
j
jj
 
Sabendo-se que a = 1 120º , a2 = 1 240º = 1 – 120º , e que, em conseqüência, 1 
+ a + a2 = 0, e que Ia + Ib + I c = 0, pede-se determinar Vn . 
 
Solução: 
Efetuando-se a multiplicação matricial, obtemos: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 204 
º180 
3
5,2º60 
3
5,2º60 
3
1
−−−+−−=
jjjj na VI 
º180 
3
5,2º60 
3
5,2º60 
3
1 2 −−−+−−= jjjj aaVI nb 
º180 
3
5,2º60 
3
5,2º60 
3
1 2 −−−+−−= jjjj aaVI nc 
Somando-se as três equações membro a membro, temos: 
( )
( ) 

enunciado) (pelo
enunciado) (pelo
0
2
enunciado pelo
0
2
 0 1 º180 
3
5,2
1 º60 
3
5,23º60 
3
1 .3
=++−−
−++−+




 −−=++
=
=
aa
aaVIII ncba
j
jjj
 
Assim sendo, 
( ) 03º60 1 =+−− jnV 
o que implica em 
289,0167,0º60 
3
1 j−=−=nV 
 
(D) Cumpre notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas ma-
trizes quaisquer [ ]A e [ ]B , nem sempre [ ]A [ ]B = [ ]B [ ]A . 
(D1) Temos casos em que existe [ ]A [ ]B e não existe [ ]B [ ]A . Isto acontece quando [ ]A é 
do tipo m × n, [ ]B é do tipo n × p e m ≠ p: 
[ ] nmA × e [ ] pnB × ⇒ ∃ [ ]A [ ]B = [ ] pmC × 
[ ] pnB × e [ ] nmA × ⇒ ∃/ [ ]B [ ]A 
 
(D2) Temos casos em que existem [ ]A [ ]B e [ ]B [ ]A , mas são no entanto matrizes de tipos 
diferentes e, em decorrência, [ ]A [ ]B ≠ [ ]B [ ]A . Isto acontece quando [ ]A é do tipo m × n, [ ]B é do 
tipo n × m e m ≠ n: 
[ ] nmA × e [ ] mnB × ⇒ ∃ [ ]A [ ]B = [ ] mmC × 
=
=
≠
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 205 
[ ] mnB × e [ ] nmA × ⇒ ∃[ ]B [ ]A = [ ] nnD × 
 
(D3) Mesmo nos casos em que [ ]A [ ]B e [ ]B [ ]A são do mesmo tipo – o que ocorre quando 
[ ]A e [ ]B são quadradas e de mesma ordem – temos quase sempre [ ]A [ ]B ≠ [ ]B [ ]A . 
• Ilustração 3.28 
[ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ] 





=






=













=






=
5431
3822
 
5847
2218
 
87
64
53
21
AB
BA
B
A
 
 
(E) Quando [ ]A e [ ]B são tais que [ ]A [ ]B = [ ]B [ ]A , dizemos que [ ]A e [ ]B comutam ou 
então que são comutativas. Devemos notar que uma condição necessária, mas não suficiente, para 
que [ ]A e [ ]B sejam comutativas é que elas sejam quadradas e de mesma ordem. 
Quando [ ]A e [ ]B são tais que [ ]A [ ]B = – [ ]B [ ]A , dizemos que elas são anti-
comutativas. 
• Ilustração 3.29 
a) 
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
  
scomutativa são e 
 
10
01
BA
dc
ba
ABBA
B
dc
ba
A






==













=






=
 
b) 
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
  
scomutativa são e 
00
00
 
00
00
CA
ACCA
C
dc
ba
A






==













=






=
 
c) 
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
  
scomutativa são e 
0
0
 
DA
bcad
bcad
ADDA
ac
bd
D
dc
ba
A






−
−
==













−
−
=






=
 
=
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 206 
d) 
[ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
  
scomutativa-anti são e 
 
32
23
 
32
23
 
14
11
12
11
FE
EFFE
EF
FE
F
E
−=













−
−
=






−
−
=













−
=






−
−
=
 
 
EXEMPLO 3.24 
Sendo [ ] 




 −
=
20
10
A , qual das matrizes a seguir comuta com [ ]A ? 
[ ] 





=
3
2
B [ ] 





=
154
231
C [ ] 





=
01
00
D [ ] 





=
30
25
E 
 
Solução: 
Para que duas matrizes comutem é necessário que elas sejam quadradas e de mesma or-
dem, o que já exclui as matrizes [ ]B e [ ]C . Temos então: 
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ]ADDA
AD
DA
 
11
00
20
11
 
01
00
 
02
01
01
00
 
20
11
 
≠













−
=




 −






=





−
=










 −
=
 
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
  
comutam e 
 
60
15
20
11
 
30
25
 
60
15
30
25
 
20
11
 
EA
AEEA
AE
EA
=












 −
=




 −






=





 −
=










 −
=
 
 
(F) É também importante notar que a implicação 
[ ]A [ ]B ⇒ [ ]A = 0, [ ]B = 0 ou [ ]A = [ ]B = 0 
não é válida no caso de matrizes, uma vez que é possível haver duas matrizes não nulas cujo produ-
to seja a matriz nula. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 207 
• Ilustração 3.30 
[ ]
[ ]
[ ][ ] 





=











=













=






=
00
00
10
00
 
00
01
 
10
00
00
01
BA
B
A
 
 
(G) Se [ ]A e [ ]B são matrizes simétricas temos também que [ ]A + [ ]B e [ ]Ak são simétri-
cas, conforme já vimos nos exemplos 15 e 16. Entretanto, [ ]A [ ]B não é necessariamente simétrica. 
• Ilustração 3.31 
Sejam 
 
[ ][ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]

















−
=+





−
=






−−
−−
=





−=






=
+
  
  
simétrica é 
simétrica é 
55
53
83
32
15 10
10 5
5
32
21
simétricas são
 e 
BA
Ak
BAB
Ak
k
A
BA
 
[ ][ ]
[ ][ ]
  
simétrica é não 
1813
138
 
83
32
 
32
21
 
BA
BA 





−
−






−




= 
 
(H) Se [ ] ( )
nmij
aA
×
= então temos que: 
(1.º) [ ][ ] [ ]AIA n = 
(2.º) [ ][ ] [ ]AAI m = 
Demonstração: 
(1.º) Sendo [ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] [ ] [ ] ( )
nmijnnnnm
bBIA
×××
== e [ ] ( )
nnpjn
cI
×
= temos: 
bij = ai1 c1j + ai2 c2j + ai3 c3j+  + aij cjj +  + ain cnj 
de onde se obtem: 
≠
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 208 
bij = ai1 . 0 + ai2 . 0 + ai3 . 0 +  + aij . 1 +  + ain . 0 = aij 
o que permite escrever: 
[ ][ ] [ ]AIA n = 
 
(2.º) Sendo [ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] [ ] [ ] ( )
nmijnmmmm
bBAI
×××
== e [ ] ( )
mmipm
cI
×
= temos: 
bij = ci1 a1j + ci2 a2j + ci3 a3j+  + cii aij +  + cim amj 
de onde se tiramos: 
bij = 0 . a1j + 0 . a2j + 0 . a3j +  + 1 . aij +  + 0 . amj = aij 
o que nos leva a: 
[ ][ ] [ ]AAI m = 
(I) A multiplicação de matrizes goza das seguintes propriedades: 
(1.ª) Associativa: [ ][ ]{ }[ ] [ ] [ ][ ]{ } CBACBA = 
 quaisquer que sejam as matrizes [ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] ( )
pnjk
bB
×
= e [ ] ( ) rpklcC ×= ; 
 
(2.ª) Distributiva à direita: [ ] [ ]{ }[ ] [ ][ ] [ ][ ]CBCACBA +=+ 
 quaisquer que sejam as matrizes [ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] ( )
nmij
bB
×
= e [ ] ( )
pnjk
cC
×
= ; 
 
(3.ª) Distributiva à esquerda: [ ] [ ] [ ]{ } [ ][ ] [ ][ ]BCACBAC +=+ 
 quaisquer que sejam as matrizes [ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] ( )
nmij
bB
×
= e [ ] ( ) mpkicC ×= ; 
 
(4.ª) [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ][ ]{ } BAzBzAAz == 
 onde z é um número complexo e [ ] ( )
nmij
aA
×
= e [ ] ( )
pnjk
bB
×
= duas matrizes genéricas. 
 
(5.ª) [ ][ ]{ } [ ] [ ] ttt ABBA = sendo [ ] ( )
nmij
aA
×
= e [ ] ( )
pnjk
bB
×
= duas matrizes genéricas. 
 
Demonstração 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 209 
(1.ª) Sejam 
 [ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] ( )
pnjk
bB
×
= , [ ] ( ) rpklcC ×= , 
[ ] [ ][ ] ( ) pmikdBAD ×== , [ ] [ ][ ]{ }[ ] ( ) rmileCBAE ×== e [ ] [ ][ ] ( ) rnjlfCBF ×== 
onde temos: 
1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ k ≤ p e 1 ≤ l ≤ r. 
Temos então: 
∑
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑∑
=
= == =
= ==
=
=





=





=
=





==
n
j
jlij
n
j
p
k
kljkij
p
k
n
j
kljkij
p
k
kl
n
j
jkij
p
k
klikil
fa
cbacba
cbacde
1
1 11 1
1 11
 
de modo que, 
[ ][ ]{ }[ ] [ ] [ ][ ]{ } CBACBA = 
(2.ª) Sejam [ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] ( )
nmij
bB
×
= , [ ] ( )
pnjk
cC
×
= e [ ] [ ] [ ]{ }[ ] ( ) pmikdCBAD ×=+= 
onde temos: 
1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ k ≤ p. 
Temos então: 
( ) ( )
∑∑
∑∑
==
==
+=
=+=+=
n
j
jkij
n
j
jkij
n
j
jkijjkij
n
j
jkijijik
cbca
cbcacbad
11
11
 
 
de modo que, 
[ ] [ ]{ }[ ] [ ][ ] [ ][ ]CBCACBA +=+ 
 
(3.ª) A demonstração é semelhante à 2.ª 
(4.ª) Sejam 
[ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] ( )
pnjk
bB
×
= , [ ] [ ] ( )
nmij
cAzC
×
== , 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 210 
[ ] [ ] ( )
pnjk
dBzD
×
== , [ ] [ ][ ] ( ) pmikeBAE ×== e z = x + jy 
onde temos: 
1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ k ≤ p. 
Temos então: 
( ) ∑∑∑
===
==
n
j
jkij
n
j
jkij
n
j
jkij bazbzabc
111
 
e 
( ) ∑∑∑
===
==
n
j
jiij
n
j
jkij
n
j
jkij bazzbada
111
 
de modo que, 
[ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ][ ]{ } BAzBzAAz == 
 
(5.ª) Sejam [ ] ( )
nmij
aA
×
= , [ ] ( )
pnjk
bB
×
= , [ ][ ] ( ) pmikcBA ×= e [ ][ ]{ } ( ) mpkit cBA ×′= 
onde temos: 
1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ k ≤ p. 
Temos que: 
Pela definição de produto, 
∑
=
=
n
j
jkijik bac
1
 
pela definição de matriz transposta, 
ikki cc =′ 
o que nos permite escrever: 
∑
=
=′
n
j
jkijki bac
1
 
mas, pela propriedade comutativa dos números complexos, 
aij bjk = bjk aij 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 211 
logo, 
ij
n
j
jkki abc ∑
=
=′
1
 
No entanto, temos também que: 
[ ] ( ) ijjimnjit aaaA =′⇒′= × 
e 
[ ] ( ) jkkjkjt bbbB =′⇒′= 
o que nos leva a colocar então, 
ji
n
j
kjki abc ′′=′ ∑
=1
 
e concluir que: 
[ ][ ]{ } [ ] [ ] ttt ABBA = 
 
3.4.21. Matriz Periódica 
Uma matriz quadrada [ ]A é periódica se [ ] [ ]AA k =+1 , onde k é um inteiro positivo. Se k é o 
menor inteiro para o qual [ ] [ ]AA k =+1 dizemos que o período de [ ]A é k. 
• Ilustração 3.32 
[ ]










−
−
−−
=
302
923
621
A 
[ ]
[ ] [ ]










−−−
−−−
=










−
−
−−










−
−
−−
=
344
9109
665
302
923
621
 
302
923
621
A
2 
    
A
A 
 
 [ ]
[ ] [ ]
[ ]AA
A
=










−
−
−−
=










−
−
−−










−−−
−−−
=
302
923
621
302
923
621
 
344
9109
665
A
 3
2 
    
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 212 
 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ] 


=
=
+ 1 
3 
AA
AA
k k = 2 (menor inteiro) 
Assim [ ]A é periódica de período 2. 
 
3.4.22. Matriz Idempotente 
Se na matriz periódica tivermos k = 1, teremos que [ ]A 2 = [ ]A , e dizemos que [ ]A é idem-
potente. 
• Ilustração 3.33 
a) [ ]










−−
−
−−
=
321
431
422
A 
 
b) 
 
[ ]
[ ]n
n
I
I
=
=
















=
































=
1000
0100
0010
0001
1000
0100
0010
0001
 
1000
0100
0010
0001
2 















 
Logo a matriz identidade de ordem n é idempotente. 
3.4.23. Matriz Nilpotente ou Nulipotente 
Dizemos que uma matriz [ ]A é nilpotente ou nulipotente se existir um número positivo p 
tal que [ ]A p = 0. Se p é menor inteiro positivo tal que [ ]A p = 0, dizemos que [ ]A é nilpotente de 
índice ou classe p. No entanto temos [ ]A p – 1 = 0 
• Ilustração 3.34 
[ ]
[ ] [ ]
[ ]AA
AA
=










−−
−
−−
=










−−
−
−−










−−
−
−−
=
321
433
422
321
433
422
 
321
433
422
2 
    
[ ] 





=











= 933
000
625
311
 625
311
2 A
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 213 
[ ]










−−−
=
312
625
311
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo [ ]A é nilpotente de índice 3. 
 
3.4.24. Polinômio de uma Matriz 
A operação polinômio de uma matriz quadrada [ ]A é definida para qualquer polinômio 
( ) nn xaxaxaaxf ++++= 2210 
onde os coeficientes são escalares. 
( )Af é a matriz 
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]nnk AaAaAaIaAf 2 210 ++++=  
sendo [ ]kI a matriz identidade de mesma ordem k que a matriz [ ]A . 
Note-se que ( )Af é obtida de ( )xf substituindo a variável x pela matriz [ ]A e o escalar a0 
pela matriz [ ]kIa0 . 
Se ( )Af for igual a matriz nula, a matriz [ ]A é chamada zero ou raiz do polinômio ( )xf . 
EXEMPLO 3.25 
Sendo ( )xf = 5 – 3x + 2x2 e [ ] 





−
=
43
21
A calcular ( )Af . 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 214 
 
Solução: 
( )






−
−
=
=





−
−
+





−
−
=





−
−
+




−
−
=
=





−




−
+





−
−−
+





=
=





−
+





−
−





=
6127
1816
4418
1214
179
62
229
67
2
179
62
43
21
43
21
2
129
63
50
05
43
21
43
21
3
10
01
5
2
Af
 
 
3.4.25. Matrizes em Blocos ou Partição de Matrizes 
Uma matriz [ ]A pode ser particionada em matrizes menores, chamadas blocos ou células 
de [ ]A , por meio de linhas tracejadas horizontais e verticais. Logicamente que uma matriz [ ]A pode 
ser dividida em blocos de várias maneiras, como por exemplo: 










−−−
−
=










−−−
−
=










−−−
−
1110267
90514
48532
1110267
90514
48532
1110267
90514
48532
 
A vantagem da partição em blocos é que o resultado das operações sobre matrizes particio-
nadas pode ser obtido trabalhando-se com os blocos tal como se fossem, efetivamente, os elementos 
das matrizes. Quando as matrizes são muito grandes para serem armazenadas na memória de um 
computador, elas são particionadas, permitindo que o computador opere apenas com duas ou três 
submatrizes de cada vez. Algumas matrizes, como as relativas a grandes Sistemas de Potência11, 
mesmo em computadores de grande porte, devem ser particionadas. 
Seja então [ ]A uma matriz genérica particionada em blocos, a seguir, 
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]















=
mnmmm
n
n
n
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
A





321
3333231
2232221
1131211
 
Se multiplicarmos cada bloco por um número complexo z, cada elemento de [ ]A ficará 
multiplicado por z, ou seja: 
 
11 Sistemas de potência = Sistemas de energia elétrica: geradores, transformadores, linhas de transmissão, cargas, etc. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 215 
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]















=
mnmmm
n
n
n
AzAzAzAz
AzAzAzAz
AzAzAzAz
AzAzAzAz
A





321
3333231
2232221
1131211
 
Consideremos agora um matriz [ ]B que tenha sido particionada da mesma maneira que 
[ ]A , conforme ilustrado a seguir: 
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]















=
mnmmm
n
n
n
BBBB
BBBB
BBBB
BBBB
B





321
3333231
2232221
1131211
 
Se os blocos correspondentes de [ ]A e [ ]B tiverem o mesmo tamanho e somarmos estes 
blocos, estaremos somando os elementos correspondestes de [ ]A e [ ]B . Em conseqüência, 
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]















++++
++++
++++
++++
=
mnmnmmmmmm
nn
nn
nn
BABABABA
BABABABA
BABABABA
BABABABA
A





332211
33333332323131
22232322222121
11131312121111
 
A multiplicação matricial é menos óbvia, mas mesmo assim é possível. Sejam pois as ma-
trizes [ ]A e [ ]B particionadas em blocos conforme a seguir: 
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]


















=
mpmmm
ipiii
p
p
AAAA
AAAA
AAAA
AAAA
A






321
321
2232221
1131211
 
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]















=
pnpkpp
nk
nk
nk
BBBB
BBBB
BBBB
BBBB
B





21
333231
222221
111211
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 216 
de tal modo que o número de colunas de cada bloco Aij seja igual ao número de linhas de cada bloco 
Bjk. Então temos: 
[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]pkipkikikiik BABABABAC 332211 ++++=  
 
EXEMPLO 3.26 
Calcule [ ]A [ ]B utilizando multiplicação em bloco, com 
[ ]










=
200
043
121
A e [ ]










=
1000
1654
1321
B 
 
Solução: 
O produto matricial [ ]A [ ]B é dado por: 
[ ][ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]
=








++
++
=
=
















=
2222122121221121
2212121121121111
2221
1211
2221
1211
 
 
 
BABABABA
BABABABA
BB
BB
AA
AA
BA
 
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]2201 2
1
1
 00 
000000000
000 2
654
321
 00 
7
4
0
1
7
3
1 
0
1
1
1
 
43
21
 
332619
15129
00 
0
1
654
321
 
43
21
 
22221221
21221121
22121211
21121111
=+=+





=+
=+=
=+





=+






=





+





=





+











=+






=
=





+











=+=
BABA
BABA
BABA
BABA
 
Finalmente, 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 217 
[ ][ ]










=










=
2000
7332619
415129
2000
7332619
415129
 BA 
 
EXEMPLO 3.27 
Calcule [ ]C [ ]D utilizando multiplicação em bloco, sendo 
[ ]










−−
−−
=
15420
12031
20112
C e [ ]
















−
−−
=
25
12
41
21
23
D 
 
Solução: 
Preparando as partições de [ ]C e [ ]D para que a multiplicação em blocos seja possível te-
mos: 
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]




=










−−
−−
=
2221
1211
15420
12031
20112
CC
CC
C 
e 
[ ] [ ][ ]




=
















−
−−
=
21
11
25
12
41
21
23
D
D
D 
Logo o produto matricial [ ]C [ ]D é dado por: 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 218 
[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ]
[ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]239315206
25
12
 15
41
21
23
 420 
01
62
41
410
40
108
25
12
 
12
20
41
21
23
 
031
112
 
 
 
 
21221121
21121111
21221121
21121111
21
11
2221
1211
−=−+=
=




−
−+










−−−=+





−
=




 −−
+





−
=
=




−





 −
+










−−




 −
=+






+
+
=











=
DCDC
DCDC
DCDC
DCDC
D
D
CC
CC
DC
 
Finalmente, 
[ ][ ]










−
−
=










−
−
=
239
01
62
239
01
62
 DC 
 
3.5. Exercícios Propostos: 
1) Uma indústria possui 3 fábricas I, II e III, que produzem por mês 30, 40 e 60 unidades, respecti-
vamente, do produto A e 15, 20 e 10 unidades do produto B. Forme a matriz fábricas × produtos 
e indique o tipo dessa matriz. 
2) Quantos elementos possui a matriz: 
(a) 3 × 2 
(b) 4 × 4 
(c) p × q 
(d) linha de 3 colunas 
(e) quadrada de ordem 3 
(f) coluna de 4 linhas 
3) Uma matriz possui 6 elementos. Quais os seus possíveis tipos? 
4) Escreva explicitamente as seguintes matrizes: 
(a) [ ] ( )
4 4ij
A a
×
= onde aij = i + j 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 219 
(b) [ ] ( )
31×
= ijbB onde bij = 3i + 2j 
(c) [ ] ( )
44×
= ijcC onde cij = 



≠
=
ji
ji
 se 0
 se 1
 
(d) [ ] ( )
32×
= ijdD onde dij = 



=
≠++
ji
jiji
 se 0 
 se 12
 
(e) [ ] ( )
22×
= ijeE onde eij = 



>
≤
ji
ji
 se 2
 se 1
 
5) Quantos elementos não pertencem à diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem 10? 
6) Quantos elementos não pertencem às diagonais de uma matriz quadrada de ordem 2k – 1 onde 
K ∈ N* e K ≥ 2? 
7) Quantos elementos estão situados abaixo da diagonal principal de uma matriz quadrada de or-
dem n? 
8) Um conjunto de dados são todos os elementos de uma matriz quadrada de ordem101. Sabendo-
se que um usuário deseja uma tabulação contendo todos os dados (elementos da matriz) situados 
fora de ambas as diagonais e que deverá pagar R$ 0,70 por dado tabulado qual será o custo des-
ta tabulação para este usuário? 
9) Os números inteiros positivos são dispostos em matrizes seqüênciais da seguinte forma: 












16151413
1211109
8765
4321
 , 












32313029
28272625
24232221
20191817
 , 















33
  
Determine a linha e a coluna em que se encontra o número 1955. 
10) Calcular o traço da matriz quadrada [ ] ( )
33×
= ijaA definida por aij = 



≠−
=+
jij i
jiji
 se
 se 
. 
11) O técnico de um time de basquetebol descreveu o desempenho dos titulares de sua equipe, em 
seus jogos, através da matriz 
[ ]
















=
18172014121819
23221820202218
22141421201920
18212218181615
20182117181718
A 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 220 
Cada elemento aij dessa matriz é o número de pontos marcados pelo jogador de número i no jo-
go j. Pergunta-se: 
(a) Quantos pontos marcou o jogador de número 3 no jogo 5? 
(b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4? 
(c) Quantos pontos marcou o jogador de número 2 em todos os jogos? 
12) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto 
no domingo. 
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: 
[ ]










=
513
020
414
S e [ ]










=
312
030
355
D 
[ ]S refere-se às despesas de sábado e [ ]D às de domingo. 
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, 
Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de ca-
da matriz). 
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de 
Cláudio (primeira linha da matriz [ ]S ). 
(a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? 
(b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo a Antônio? 
13) Um conglomerado é composto por cinco lojas numeradas de 1 a 5. A matriz a seguir apresenta o 
faturamento em dólares de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro: 
[ ]
















=
1950204020201800
2680230024202500
3050270028003010
1680174018201500
1950180020301950
A 
Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j. 
(a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? 
(b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3? 
(c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias? 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 221 
14) Uma figura geométrica tem 4 vértices ∨1, ∨2, ∨3 e ∨4. Forma-se a matriz [ ] ( ) 44×= ijaA , onde aij 
= distância (∨i , ∨j) para 1 ≤ i ≤ 4 e 1 ≤ j ≤ 4, de sorte que 
[ ]












=
0111
1011
1101
1110
A . Pergunta-se: qual é a figura de vértices ∨1, ∨2, ∨3 e ∨4? 
15) De que tipo é a transposta de uma matriz coluna? 
16) Quantos elementos possui a transposta de uma matriz 5 × 7? 
17) Dada uma matriz [ ]A qualquer. O que se obtêm ao calcular [ ]{ }ttA ? 
18) Ache a transposta da matriz [ ] ( )
22×
= ijaA tal que 




+




=
6
cos
3
sen ππ jiaij . 
19) Dada a matriz [ ] ( )
23×
= ijaA tal que aij = i + j, obter o elemento b23 da matriz [ ] ( )ijbB = transposta 
de [ ]A . 
20) Determinar x, y e z para que a matriz [ ]










−
−=
3
472
51
zy
x
A seja simétrica. 
21) Sabendo-se que a matriz [ ]










−
−
=
234
10
212
zx
y
A é simétrica, pede-se calcular x + y + z. 
22) Sabendo-se que a matriz a seguir é anti-simétrica, pede-se determinar os elementos incógnitos 
(a12 , a13 e a23). 
[ ]










+
+
+
=
82
2
4
ccb
ba
a
A 

 
23) Calcule a, b e c de modo que a matriz a seguir seja anti-simétrica. 
[ ] 




 +−
=
bc
ca
A
2
11
 
24) Achar a conjugada da matriz [ ] 





+−−
+−+
=
65926
84532
jjj
jjj
A 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 222 
25) achar x, y e z tais que as matrizes a seguir sejam hermitianas: 
(a) [ ] 





+
+
=
03
3
z
yx
A
j
j
 ; (c) [ ]










−−
+−
+
=
11
1023
23
xy
z
yx
B
jj
jj
jj
 
26) Encontrar x, y, z e w para que se tenha 





=





−−
++
210
64
yxwz
wzyx
. 
27) Determinar x e y de modo que tenhamos 





+
+
=





43
21
43
32
y
yxyx
. 
28) Determinar x, y, z e w para que se tenha 





=





wwz
xx
w
yxx
5
3
54
2
2
2
. 
29) Se [ ]










=
7
4
1
A e [ ]










=
8
7
4
B , calcular [ ] [ ]BA + e [ ] [ ]BA − . 
30) Se [ ]










=
54
02
31
A , [ ]










=
60
23
12
B e [ ]










=
27
32
41
C 
resolver a equação matricial [ ] [ ] [ ] [ ]CBAX =−+ . 
31) Se [ ] 





=
24
32
A , calcular as matrizes [ ]A2 , [ ]A3 e [ ]A5− . 
32) Utilizando as matrizes [ ]A , [ ]B e [ ]C do problema 30, resolver o seguinte sistema de equações: 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]

−=−
−+=+
CAYX
CBAYX
 
33) Dadas as matrizes [ ]










=
30
42
31
A e [ ] 





−
=
021
210
B , calcular [ ] [ ]{ }BA t − . 
34) Calcular os seguintes produtos matriciais: 
(a) [ ]










−
5
3
1
 412 (b) 









−





 −
11
25
23
 
032
114
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 223 
(c) 





−



 −
26
54
 
52
14
 
(d) 





−




− 21
63
 
32
14
 
(e) 




 −










41
32
 
71
42
35
 
(f) 










−





−
2
1
3
 
314
512
 
(g) [ ]251 
4
1
2
−










 
(h) 











−
−
11
11
 
22
22
 
(i) 










−
−
−










−
131
420
321
 
210
713
125
 
(j) 




















−
−
−−
212
201
122
 
221
322
432
 
35) Calcular os seguintes produtos matriciais: 
(a) [ ]5401 
2
1
3
 
116
321















 
(b) 






















43
32
21
 
012
301
 
12
11
 
36) Em cada caso determinar [ ][ ]BA e, se existirem, [ ][ ]AB , [ ] 2 A e [ ] 2 B : 
(a) [ ] 





=
13
11
A e [ ] 




 −
=
32
10
B 
(b) [ ]










−
=
111
002
031
A e [ ]










=
21
21
21
B 
(c) [ ] [ ]211=A e [ ]










=
3
0
2
B (d) [ ] 




−
=
754
523
A e [ ]










=
1
2
1
B 
37) Em quais dos casos abaixo é válida a propriedade comutativa da multiplicação, isto é, 
[ ][ ] [ ][ ]ABBA = 
(a) [ ] 





=
01
21
A e [ ] 





=
11
03
B 
(b) [ ] 




 −
=
297
321
A e [ ]










−
=
5
2
3
B 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 224 
(c) [ ] 





−
=
13
31
A e [ ] 





−
=
21
12
B 
(d) [ ]










−=
300
040
101
A e [ ]










=
200
040
002
B 
 
38) 1c
3c
2c
4c
1b
2b
1a
2a
1
1
1
1
2
2 2
4
2
 
 Fig. 3.6 
A figura 3.6 mostra um diagrama esquematizado das intercomunicação entre os aeroportos 
em três países diferentes a, b e c cujos aeroportos são denotados por ai , bj e ck , respectiva-
mente, onde i, j = 1, 2 e k = 1, 2, 3, 4. Os números ao lado das linhas deunião indicam o nú-
mero de possíveis escolhas de linhas aéreas para cada trajeto. Por exemplo, o número 2 ao 
lado da conexão a1 – b1 indica que duas companhias de aviação voam ao longo dessa rota. A 
informação pode ser expressa nas seguintes tabelas: 
 21 bb 4321 cccc 
2
1
a
a
 [ ]A=





04
22
 
2
1
b
b
 [ ]B=





2 0 0 2
1 1 1 1
 
 
Sem utilizar a figura 3.6, porém utilizando tais tabelas, pede-se montar o quadro que dá o 
número de escolhas de rotas entre os aeroportos dos países a e c. 
39) Encontre as matrizes quadradas de ordem 2 que comutam com [ ] 





=
10
11
A . 
40) Encontre as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com [ ]










=
100
110
011
A . 
41) Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com [ ]










=
a
a
a
A
00
10
01
. 
42) Determinar uma matriz [ ]A , de ordem 2 e não nula, tal que [ ] 02 =A . 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 225 
43) Calcule o produto [ ][ ]XA sabendo-se que [ ] 





=
cb
ba
A e [ ] 





=
2
1
x
x
X . 
44) Demonstre que, se [ ]A e [ ]B são matrizes quadradas de ordem n, então [ ]A e [ ]B comutam 
se, e somente se, [ ] [ ]IkA − e [ ] [ ]IkB − comutam para cada escalar K. 
45) Mostre que as matrizes 





01
10
, 




 −
0
0
j
j
 e 





− j
j
0
0
 são anti-comutativas duas a duas. 
46) Para um determinado sistema de energia elétrica obteve-se a seguinte equação matricial para 
as correntes nas fases a, b e c: 










−
−










=










−−
−
º30 
º30 
º150 
 
1
1
011
3
35,2
3
5,2
3
1
2
3
2
1
2
3
2
1
c
b
a
I
I
I
 
Pede-se determinar as expressões de Ia, Ib e Ic. 
47) Ao se estudar um sistema de energia elétrica, obteve-se a seguinte equação matricial para as 
correntes nas fases a, b e c. 










∨−
∨−
∨−










−
−
−
=










n
n
n
c
b
a
I
I
I
 º60 1
25,05,0
5,025,0
5,05,02
jjj
jjj
jjj
 
Sabendo-se que Ia + Ib + Ic = 0, pede-se determinar ∨n. 
48) Mostre que as matrizes a seguir são idempotentes. 
(a) [ ]










−−
−
−−
=
431
541
532
A (b) [ ]










−
−−
−
=
531
531
531
B 
49) Mostre que, se [ ][ ] [ ]ABA = e [ ][ ] [ ]BAB = , então [ ]A e [ ]B são idempotentes. 
50) Se [ ]A é idempotente, mostre que [ ] [ ] [ ]AIB −= é idempotente e que [ ][ ] [ ][ ] 0 == ABBA . 
51) Mostre que a matriz a seguir é nilpotente de índice 2. 
[ ]










−−
−
−−
=
431
431
431
A 
52) Se [ ]A é nilpotente de índice 2, mostre que [ ] [ ] [ ]{ } [ ]AAIA n =± , para qualquer inteiro posi-
tivo n. 
53) Seja [ ]A nilpotente de índice p. mostre que [ ] 0 =qA para q > p, mas [ ] 0 ≠qA se q < p. 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 226 
54) Sendo g(x) = – 8 – x + x2 e [ ] 





−
=
13
22
A , determine g(A). 
55) Calcule [ ][ ]BA utilizando multiplicação em bloco, com 
[ ]












=
14300
21500
00043
00021
A e [ ]
















−
−
−
=
1400
3200
2100
0042
0023
B 
 
3.6. Respostas dos Exercícios Propostos 
1) 
32
1060
2040
1530
×










 
2) (a) 6 ; (b) 16 ; (c) p . q ; (d) 3 ; (e) 9 ; (f) 4 
3) 2 × 3 , 3 × 2 , 6 × 1 , 1 × 6 
4) (a) [ ]












=
8765
7654
6543
5432
A ; (b) [ ] [ ]311 −−=B ; (c) [ ]












=
1000
0100
0010
0001
C ; 
(d) [ ] 





=
806
650
D ; (e) [ ] 





=
12
11
E 
5) 90 
6) (2k – 2)2 
7) (n2 – 2n)/2 
8) R$ 7.000,00 
9) 1.ª linha e 3.ª coluna 
10) 12 
11) (a)14 ; (b) 90 ; (c) 128 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 227 
12) (a) Cláudio bebeu mais chope ; (b) Cláudio ficou devendo 2 chopes a Antônio 
13) (a) 2800 ; (b) 10.580 ; (c) 7730 
14) uma vez que a distância entre dois vértices distintos é sempre igual a 1 a figura é um tetrae-
dro. 
15) matriz linha 
16) 35 
17) [ ]A (a própria matriz original) 
18) 








++
2
13
2
13
33
 
19) 5 
20) x = 2 ; y = 5 ; z = – 4 
21) 5 
22) a12 = 4 ; a13 = 2 ; a23 = 4 
23) a = 1 ; b = 0 ; c = 
3
1
− 
24) 





−++
−+−
65926
84532
jjj
jjj
 
25) (a) x é um n.º real qualquer, y = 0 e z = 0 
(b) x = 3 , y = 0 , z = 3 
26) x = 3 , y = 1 , z = 8 , w = – 2 
27) x = 1 , y = 0 
28) x = 0 , y = 3 , z = 3 , w = 1 
29) 










15
11
5
 ; 










−
−
−
1
3
3
 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 228 
30) 










33
53
22
 
31) [ ] 





=
48
64
2 A 
[ ] 





=
612
96
3 A 
[ ] 





−−
−−
=−
1020
1510
5 A 
32) [ ]










−
−=
−
63
2
1
2
3
2
1
X ; [ ]










=
30
1
1
2
3
2
1
Y 
33) 




 −
324
211
 
34) (a) [ ]19 ; (b) 




−
109
716
 ; (c) 





− 2022
1822
 ; (d) 





−− 183
2213
 ; (e) 









 −
259
108
313
 
(f) 





19
15
 ; (g) 










−
−
−
8204
251
4102
 ; (h) 





00
00
 ; (i) 










−
−
−
682
20294
636
 ; (j) 










100
010
001
 
35) (a) 





10584021
5544011
 ; (b) 





3524
2114
 
36) (a) [ ][ ] 





=
02
22
 BA ; [ ] 





=
46
242 A ; [ ][ ] 




 −−
=
511
13
 AB ; [ ] 




 −−
=
76
322 B 
(b) [ ][ ]










=
21
42
84
 BA ; [ ]










=
120
062
037
2 A ; [ ][ ]AB ∃/ ; [ ]2 B∃/ 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 229 
(c) [ ][ ] [ ]8 =BA ; [ ]2 A∃/ ; [ ][ ]










=
633
000
422
 AB ; [ ]2 B∃/ 
(d) [ ][ ] 





=
21
6
BA ; [ ]2 A∃/ ; [ ][ ]A B ∃/ ; [ ]2 B∃/ 
37) (c) e (d) 
38) 4321 cccc 
 (Isto é, simplesmente, a matriz produto [ ][ ]BA ) 
2
1
a
a
 





4 4 4 4
6 2 2 6
 
39) 





a
ba
0
 ∀a , ∀b ∈ C 
40) 










a
ba
cba
00
0 ∀a , ∀b , ∀c ∈ C 
41) 










p
qp
rqp
00
0 ∀p , ∀q , ∀r ∈ C 
42) 





−− a
ba
b
a2 ∀a , ∀b ∈ C – {0} 
43) 





+
+
21
21
cxbx
bxax
 
46) 5,025,0325,0 =+= jaI 30º 
23 =−−= jbI – 150º 
5,025,0325,0 =+= jcI 30º 
47) 
3
1
=∨ n – 60º 
48) Basta verificar que (a) [ ] [ ]AA =2 e (b) [ ] [ ]BB =2 
www.ResumosConcursos.hpg.com.br 
Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira 
 230 
51) Basta verificar que [ ] [ ] 332 0 ×=A 
54) ( ) 





=
00
00
Ag 
55) [ ][ ]












−
−
=
5700
9100
001017
0067
 BA 
	Apostila_Matematica_ColFundamental_1_8
	Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
	2.1 Introdução aos Somatórios 115
	2.2 Definição formal de somatório 116
	2.3 Propriedades dos Somatórios 118
	( Ilustração 1.6
	( Ilustração 1.7
	( Ilustração 1.8
	( Ilustração 1.9
	( Ilustração 1.10
	( Ilustração 1.11
	Ilustração 1.12
	( Ilustração 1.13
	( Ilustração 1.14
	( Ilustração 1.15
	( Ilustração 1.16
	Apostila_Matematica_ColFundamental_2_8
	Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
	Apostila_Matematica_ColFundamental_3_8
	Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
	Temos então de forma geral:Fig. 1.12
	Exemplo 1.13
	Exemplo 1.14
	Solução:
	Exemplo 1.15
	Solução:
	Exemplo 1.16
	Solução:
	Similarmente, é fácil também mostrar que
	Exemplo 1.17
	Apostila_Matemática_ColFundamental_4_8
	Exemplo 1.18
	Exemplo 1.19
	Exemplo 1.20
	Exemplo 1.21
	Solução:
	Exemplo 1.22
	Exemplo 1.23
	Exemplo 1.24
	Exemplo 1.25
	Exemplo 1.26
	Temos:
	Apostila_Matematica_ColFundamental_5_8
	Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
	Uma conseqüência imediata da desigualdade do triângulo é que
	Exemplo 1.28
	Exemplo 1.29
	Exemplo 1.30
	Fig. 1.36
	Apostila_Matematica_ColFundamental_6_8
	Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
	Apostila_Matematica_ColFundamental_7_8
	Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
	Unidade 2
	Fig. 2.1
	Exemplo 2.1
	Exemplo 2.2
	Exemplo 2.3
	Exemplo 2.4
	Exemplo 2.6
	Exemplo 2.7
	Exemplo 2.8
	Exemplo 2.9
	Exemplo 2.10
	Exemplo 2.11
	Exemplo 2.12
	Exemplo 2.13
	Exemplo 2.14
	Exemplo 2.15
	Exemplo 2.16
	Exemplo 2.18
	Exemplo 2.19
	Exemplo 2.20
	Exemplo 2.21
	Exemplo 2.23
	Exemplo 2.24
	Exemplo 2.26
	n
	Apostila_Matematica_ColFundamental_8_8
	Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
	Matrizes, um primeiro enfoque
	Fig. 3.3
	EXEMPLO 3.1
	Número de 
	Origem
	Belém
	Venda diária
	Ilustração 3.18
	Ingredientes
	Preço de Compra
	Custo de Transporte
	Ingredientes
	Preço de Compra
	Custo de Transporte
	Ilustração 3.26
	Componentes
	Computadores
	EXEMPLO 3.2
	Exemplo 3.3
	3.4.4. Matriz Triangular
	Exemplo 3.4
	Exemplo 3.5
	EXEMPLO 3.6
	exemplo 3.7
	Exemplo 3.8
	exemplo 3.9
	EXEMPLO 3.10
	EXEMPLO 3.12
	EXEMPLO 3.13
	EXEMPLO 3.14
	EXEMPLO 3.15
	EXEMPLO 3.16
	EXEMPLO 3.17
	Fig. 3.3
	EXEMPLO 3.18
	EXEMPLO 3.19
	EXEMPLO 3.20
	EXEMPLO 3.21
	EXEMPLO 3.22
	EXEMPLO 3.23
	EXEMPLO 3.24
	EXEMPLO 3.25