Razões Trigonométricas em Triângulos

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Instituto Universal Brasileiro Educação de Jovens e Adultos a Distância BRASILEIRO Curso a distância de: SUPLETIVO PREPARATÓRIO ENSINO MÉDIO 1° Série MatemáticaENSINO MÉDIO MATEMA TICA SÉRIE AULA 17 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE ÂNGULOS AGUDOS NO RETÂNGULO Consideraremos um ângulo agudo (ou cuja medida indicaremos por Traçaremos as perpendiculares ED e GF, conforme a figura abaixo. G E B A C D F Essas perpendiculares traçadas determinam triângulos retângulos semelhantes: Os lados correspondentes destes são proporcionais e ficam estabelecidas as seguintes razões iguais: CB DE FG = = = = razão constante. AB AE AG Dá-se o nome SENO do ângulo ao valor desta razão constante, e indicamos por sen â (onde é a medida do ângulo ou por sen Os segmentos: CB, DE, FG são catetos opostos ao ângulo nos triângulos ABC, AED e AGF, respectivamente. Os segmentos AB, AE e AG são as hipotenusas nos triângulos ABC, AED e AGF, respectivamente. Então, CB DE FG sen â medida do cateto oposto ao ângulo de medida = = = = AB AE AG medida da hipotenusa (Em qualquer dos triângulos) medida do cateto oposto ao ângulo da medida medida da hipotenusa Da mesma forma, dada a semelhança dos triângulos retângulos ABC, AED, AGF, determinam-se outras razões iguais, usando para tanto os demais lados correspondentes. As razões são: Cosseno do ângulo (indicamos por ou por cos AC AD AF = = = AB AE AG medida do cateto adjacente ao ângulo de medida cos = medida da hipotenusa Tangente do ângulo (indicamos por tg ou por tg CB DE FG = = AC AD AF medida do cateto oposto ao ângulo de medida tg = medida do cateto adjacente ao ângulo de medidaSENO, COSSENO E TANGENTE são chamadas RAZÕES Exemplo triângulo ABC abaixo é triângulo retângulo. C hipotenusa 5 3 cateto oposto ao ângulo A B 4 cateto adjacente ao ângulo As medidas dos lados desse triângulo são 3, 4 e 5. Calcularemos os valores das razões trigonométricas do ângulo agudo de medida (â). cateto oposto 3 sen = sen = sen = 0,60 hipotenusa 5 cateto adjacente 4 = = = 0,80 hipotenusa 5 cateto oposto 3 tg = 0,75 cateto adjacente 4 Considerando-se o ângulo agudo no triângulo retângulo dado, temos: C hipotenusa 5 3 cateto adjacente ao ângulo A B 4 cateto oposto ao ângulo cateto oposto 4 sen = = hipotenusa 5 cateto adjacente 3 = = cos = 0,60 hipotenusa 5 cateto oposto cateto adjacente 3 Os valores de seno e cosseno de um ângulo agudo são números reais maiores que zero e menores que 1. Então dado um ângulo agudo de medida temos: 0TÁBUA DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Ângulo Seno Cosseno Tangente Ângulo Seno Cosseno Tangente 1° 0,0175 0,9998 0,0175 46° 0,7193 0,6947 1,0355 2° 0,0349 0,9994 0,0349 47° 0,7314 0,6820 1,0724 3° 0,0523 0,9986 0,0524 48° 0,7431 0,6691 1,1106 4° 0,0698 0,9976 0,0699 49° 0,7547 0,6561 1,1504 5° 0,0872 0,9962 0,0875 50° 0,7660 0,6428 1,1918 6° 0,1045 0,9945 0,1051 51° 0,7771 0,6293 1,2349 7° 0,1219 0,9925 0,1228 52° 0,7880 0,6157 1,2799 8° 0,1392 0,9903 0,1405 53° 0,7986 0,6018 1,3270 9° 0,1564 0,9977 0,1584 54° 0,8090 0,5878 1,3764 10° 0,1736 0,9848 0,1763 55° 0,8192 0,5736 1,4281 11° 0,1908 0,9816 0,1944 56° 0,8290 0,5592 1,4826 12° 0,2079 0,9781 0,2126 57° 0,8387 0,5446 1,5399 13° 0,2250 0,9744 0,2309 58° 0,8480 0,5299 1,6003 14° 0,2419 0,9703 0,2493 59° 0,8572 0,5150 1,6643 15° 0,2588 0,9659 0,2679 60° 0,8660 0,5000 1,7321 16° 0,2756 0,9613 0,2867 61° 0,8746 0,4848 1,8040 17° 0,2924 0,9563 0,3057 62° 0,8829 0,4695 1,8807 18° 0,3090 0,9511 0,3249 63° 0,8910 0,4540 1,9626 19° 0,3256 0,9455 0,3443 64° 0,8988 0,4384 2,0503 20° 0,3420 0,9397 0,3640 65° 0,9063 0,4226 2,1445 21° 0,3584 0,9336 0,3839 66° 0,9135 0,4067 2,2460 0,3746 0,9272 0,4040 67° 0,9205 0,3907 2,3559 23° 0,3907 0,9205 0,4245 68° 0,9272 0,3746 2,4751 24° 0,4067 0,9135 0,4452 69° 0,9336 0,3584 2,6051 25° 0,4226 0,9063 0,4663 70° 0,9397 0,3420 2,7475 26° 0,4384 0,8988 0,4877 71° 0,9455 0,3256 2,9042 0,4540 0,8910 0,5095 72° 0,9511 0,3090 3,0777 28° 0,4695 0,8829 0,5317 73° 0,9563 0,2924 3,2709 29° 0,4848 0,8746 0,5543 74° 0,9613 0,2756 3,4874 30° 0,5000 0,8660 0,5774 75° 0,9659 0,2588 3,7321 31° 0,5150 0,8572 0,6009 76° 0,9703 0,2419 4,0108 32° 0,5299 0,8480 0,6249 77° 0,9741 0,2250 4,3315 33° 0,5446 0,8387 0,6494 78° 0,9781 0,2079 4,7046 34° 0,5592 0,8290 0,6745 79° 0,9816 0,1908 5,1446 35° 0,5736 0,8192 0,7002 80° 0,9848 0,1736 5,6713 36° 0,5878 0,8090 0,7265 81° 0,9877 0,1564 6,3138 37° 0,6018 0,7986 0,7536 82° 0,9903 0,1392 7,1154 38° 0,6157 0,7880 0,7813 83° 0,9925 0,1219 8,1443 39° 0,6293 0,7771 0,8098 84° 0,9945 0,1045 9,5144 40° 0,6428 0,7660 0,8391 85° 0,9962 0,0872 11,4301 41° 0,6561 0,7547 0,8693 86° 0,9976 0,0698 14,3007 42° 0,6691 0,7431 0,9004 87° 0,9986 0,0523 19,0811 43° 0,6820 0,7314 0,9325 88° 0,9994 0,0349 28,6363 44° 0,6947 0,7193 0,9657 89° 0,9998 0,0175 57,2900 45° 0,7071 0,7071 10000EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Dado o triângulo retângulo abaixo e considerando o Comentário: Verificando a tabela, temos: ângulo C, dê a nomenclatura dos lados AB, BC e AC. Ângulo Seno Cosseno Tangente B lado AB cateto oposto 30° 0,5000 0,8660 0,5774 lado BC hipotenusa lado AC cateto adjacente Portanto, como os valores obtidos no exercício anterior são valores próximos das razões trigonométricas do A C ângulo de medida 30°, a medida do ângulo agudo é 2. Observe o triângulo retângulo ABC abaixo e dê as medidas da hipotenusa, do cateto oposto ao ângulo e Repare que 0,8660 0,87 do cateto adjacente ao ângulo 5. Consulte a tabela trigonométrica e dê os valores: medida da hipotenusa = 10 C medida do cateto oposto = 6 a) sen 15° 8 medida do cateto adjacente = 8 b) 60° 6 c) sen 75° d) tg 45° A B 10 e) 30° sen 60° 3. Dado o triângulo retângulo abaixo, determine valor g) tg de seno, cosseno e tangente do ângulo h) 25° B Respostas: a) sen 15° = 0,2588 b) = 0,5 10 c) sen 75° 0,9659 5 = 1 A C e) = 0,8660 75 8,7 sen 60° = 0,8660 Resolução: Em relação ao ângulo agudo temos: g) = 0,3640 { hipotenusa 10 h) = 0,9063 cateto oposto 5 cateto adjacente Observações: Observando a tabela pode-se verificar que: cateto oposto 5 sen = 1 sen = Se dois ângulos são complementares entre si, isto hipotenusa 10 é, a soma de suas medidas é igual a 90°, o valor do se- no de um deles é igual ao valor do cosseno do outro. cateto adjacente 75 8,7 = = = hipotenusa 10 10 Exemplo = 0,87 (aproximadamente) cateto oposto 5 30° e são complementares, pois 30° + tg = 0,57 cateto adjacente 8,7 sen 30° = 0,5 (aproximadamente) sen 30° = 60° = 0,5 4. No exercício anterior foram obtidos os seguintes valores: 30° = 0,8660 30° = : = 0,87 tg 0,57 sen 60° = 0,8660 (aproximadamente) (aproximadamente) Verifique a tábua das razões trigonométricas e determine 2 A tangente de um ângulo qualquer é igual ao quo- a medida do ângulo ciente entre os valores do seno e cosseno desse ângulo:Exemplos Veja o cálculo: sen 45° = 0,7071 sen 45° 0,7071 = = 1 45° 45° = 0,7071 0,7071 sen 45° tg tg 45° = cos 45° APLICAÇÃO DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Conhecendo-se a medida de um dos lados de um triângulo retângulo e a medida de um de seus ângulos agudos, podemos calcular as medidas dos outros dois lados, utilizando as razões Procure revê-las: cateto oposto sen = hipotenusa Atenção! cateto adjacente cos â = hipotenusa Procure memorizar essas Razões Trigonométricas. cateto oposto = cateto adjacente Exemplos Calcularemos a medida X nos triângulos retângulos a seguir. a) Dados: hipotenusa 10 sen 30° = 0,5 X cateto oposto ao 30° ângulo de 30° = 0,86 tg 30° = 0,57 Comentário: A razão entre o cateto oposto e a hipotenusa é o seno. Portanto nesse exemplo usaremos sen 30° para podermos calcular X. Resolução: cateto oposto sen 30° = hipotenusa X 10 Portanto b) Dados: 8 cateto adjacente ao ângulo de 60° { sen 60° = 0,86 hipotenusa = 0,5 Comentário: Nesse exemplo temos cateto adjacente e hipotenusa. Portanto a razão trigonométrica que uti- lizaremos para calcular o será cosResolução: cateto adjacente X COS 60° = 60° = hipotenusa 8 X 0,5 8 Portanto c) X cateto oposto ao ângulo de 60° 60° 10 cateto adjacente ao ângulo de 60° Comentário: No triângulo desse exemplo temos: cateto oposto e cateto adjacente. Usaremos então tg 60°. cateto oposto X tg 60° = tg 60° = cateto adjacente 10 X 1,73 = 10 Logo, EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Determine o valor da medida no triângulo retângulo ângulo de 60°, calcule o comprimento X da sombra pro- abaixo. jetada por um poste de 10 m de altura. Dados: sen 20° = 0,34 C 5 20° = 0,94 Dados: 20° = 0,36 sen 60° = 0,86 poste 60° = 0,5 (10 m) { 5 cateto oposto ao ângulo de hipotenusa Resolução: A 60° . B = 1,73 Sombra (x) A razão entre o cateto oposto e a hipotenusa é o seno. Usamos então sen 20° para calcular X. Resolução: Considerando que o poste esteja perpendi- cular ao plano do solo, o triângulo ABC da figura é um sen 20° = cateto oposto sen 20° = 5 triângulo retângulo. hipotenusa X X cateto adjacente cateto oposto 5 tg 60° = 10 cateto oposto cateto adjacente X 5 10 0,34 C X (aproximadamente) 1,73 X = 10 10 Observação: 5 0,34 = 500 34 10 60° 1,73 A B X 2. Resolver o problema: "Em um local onde numa determinada hora do dia os raios solares atingem o solo formando com este um Portanto a sombra mede 5,78 m.EXERCÍCIOS PARA VOCÊ RESOLVER 1. Calcule as medidas e y no triângulo ABC: 12 cm. Determine o seno de seus ângulos agudos. B Dados: sen 65° = 0,91 5. Qual é a altura h do poste da figura abaixo = 0,42 Dados: = 2,14 sen 40° = 0,64 9 h 40° = 0,76 tg 40° = 0,84 40° 10 m 65° A . C y 6. Um triângulo retângulo tem dois catetos com mesma 2. Determine a medida X do lado BC no triângulo abaixo: medida. Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos C ângulos agudos. Dados: 1 sen 30° = 2 7. valor de X na figura abaixo está indicado em uma 10 3 das alternativas a seguir. Marque com um (X), a alterna- 30° = 2 tiva que representar X. Dados: 3 C = 30° 3 sen 15° = 0,25 A B 15° = 0,96 3 cm D tg 15° = 0,26 3. A No triângulo retângulo abaixo o valor de cos â é B A a) ( ) X = 5,20 cm b) ( ) X = 20 cm â 12 c) ( ) X = 19,23 cm 9 d) ( ) X = 4,8 cm B C 63 8. Os degraus de uma escada têm 15 cm de altura e 12 a) ( ) ou 1,33 30 cm de comprimento. Determine o valor aproximado 9 do ângulo de inclinação dessa escada. (Consulte a ta- 9 bela trigonométrica). b) ( ) ou 0,75 12 c) ( ) V 63 ou 7,93 9 63 d) ou 1,13 63 T 15 cm 4. Os catetos de um triângulo retângulo medem 9 cm e â = ângulo de inclinação da escada.CHAVE DE RESPOSTAS 1. Calcule as medidas no triângulo ABC: X hipotenusa B Dados: 10 cateto oposto ao ângulo de 30°. sen 65° = 0,91 sen 30° = hipotenusa oposto cateto 65° = 0,42 tg 65° = 2,14 X 9 1 10 = 1 2 65° . A C y 3. Resolução: hipotenusa 9 No triângulo retângulo abaixo o valor de cos é: cateto oposto ao ângulo de 65° X A cateto adjacente ao ângulo de y Cálculo de X: 12 cateto oposto 9 sen 65° = hipotenusa B C sen 65° = 63 9 X 9 9 9 b) (X) ou 0,75 12 Resolução: { cateto adjacente ao ângulo 9 de y: hipotenusa 12 cateto adjacente 65° = hipotenusa adjacente = 12 9 cateto = hipotenusa y 65° = 9 9 ou cos = 0,75 12 y y = 0,42 9 9 9 = 0,75 12 2. Determine a medida do lado BC no triângulo abaixo: 4. Os catetos de um triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. Determine o seno de seus ângulos agudos. Dados: A 1 sen 30° = C (hipotenusa) 2 (cateto) 9 3 30° = B . 2 C 12 (cateto) 3 X tg 30° = 10 3 Comentário: e são os ângulos agudos. 30° A BA altura h do poste é 8,4 m. cateto oposto sen = hipotenusa 6. Um triângulo retângulo tem dois catetos com mesma medida. Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos. cateto oposto 12 Em relação ao ângulo â cateto adjacente 9 Indicaremos por a medida dos dois catetos. hipotenusa ? Indicaremos por h a medida da hipotenusa. Veja a figura: B Mas sabe-se que: hipot2 (Teorema de X b h = 92 + Pitágoras) = 81 + 144 A C X = 225 Já que os catetos AB e AC têm a mesma medida, con- hipot = V 225 clui-se que os ângulos e C têm também a mesma me- dida. Portanto Então, Precisamos calcular h em função de para depois cal- sen = cateto = cular as razões trigonométricas dos ângulos b e c. Veja o hipotenusa 15 cálculo. sen â = 15 12 15.3 4 5 = (Teorema de = Pitágoras) 4 Portanto, = 2x2 5 h = Em relação ao ângulo { cateto oposto 9 hipotenusa 15 2 sen = cateto hipotenusa oposto = 15 9 Daí temos, = 9 = = 3 { catetos X (oposto e adjacente) 15 15.3 5 hipotenusa X V 2 3 Portanto, 5 = hipotenusa oposto cateto sen b = 2 = 1 2 = 5. Qual é a altura h do poste da figura abaixo? 1 2 2 Dados: = = 2 2 2 { sen 40° = 0,64 40° = 0,76 h sen = tg 40° = 0,84 b 2 2 = 1,414 2 40° h cateto oposto 10 m Portanto, sen b = 0,7071 10 cateto adjacente Resolução: cateto cateto oposto h tg 40° = = = hipotenusa = cateto adjacente 10 h = = 1 = = 2 10 h h 0,84 10 = = 2 2 = 0,7071 10 h Logo,= cateto oposto cateto adjacente x = 1 Daí, cateto adjacente 15° = Então, hipotenusa 5 Como = b = 0,7071 15° = X = = = 5 X Verificando a tabela Nota-se que o ângu- 5 lo cujas razões trigonométricas, são as encontradas, é o 0,96 ângulo de X = 5,20 cm Portanto, e 8. Os degraus de uma escada têm 15 cm de altura e 7. 30 cm de comprimento. Determine o valor aproximado C do ângulo de inclinação dessa escada. (Consulte a ta- bela trigonométrica). 3 cm D Dados: . A B sen 15° = 0,25 4 cm 15° = 0,96 . = 0,26 T 15 cm 15 cm a) (X) X = 5,20 cm â 30 cm Comentários: - Os triângulos ABC e BCD são triângulos = ângulo de inclinação da escada. Para calcular precisamos da medida do lado BC. 30 cm Em relação ao ângulo BC é a hipotenusa do A ABC 15 cateto oposto 15 cm 30 cateto adjacente No A ABC, temos: C = cat2 + cat2 A relação entre cateto oposto e cateto adjacente é a tangente. hipot 3 cm = cateto oposto Então = = cateto adjacente A = BC = V 25 4 cm 15 BC = 5 cm 30 1 No A BCD, temos: ou 2 D { X hipotenusa 5 cateto adjacente Consultando a tabela trigonométrica vemos que o ângulo cuja tangente é um valor próximo de 0,5 é o ângulo de 15° C B pois tg = 5 cm ângulo de inclinação da escada mede aproximada- A relação entre cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno. mente