Matematica-A05

Prévia do material em texto

Instituto Universal Brasileiro Educação de Jovens e Adultos a Distância BRASILEIRO Curso a distância de: SUPLETIVO PREPARATÓRIO ENSINO MÉDIO 1° Série MatemáticaENSINO MÉDIO TICA SÉRIE AULA 5 GRÁFICO DAS FUNÇÕES Assim como é possível localizar-se exatamente a posição de um ponto numa reta numerada, mediante um número real denominado abcissa, pode-se também localizar a posição exata de um ponto no plano, por intermédio de duas retas numeradas (chamadas, também de eixos), que se interceptam num ponto 0, chamado origem. Geralmente, consideram-se dois eixos perpendiculares entre si. eixo horizontal denomina-se eixo das abcissas ou eixo X, e o vertical, eixo das ordenadas, ou eixo y. y y 4 3 2 das 1 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 X -1 Eixo das abscissas X -2 -3 -4 Ao sistema de dois eixos X e y, damos o nome de sistema cartesiano. Chama-se plano cartesiano um plano que contém um sistema cartesiano. plano cartesiano é um conjunto infini- to de pontos, representados por pares ordenados. Então cada ponto do plano cartesiano é representado por um par ordenado (x, y), onde é chamado abcissa do ponto e y é chamado ordenada do ponto; X e y são números reais. - A abcissa X indica a posição relativa do ponto em relação ao eixo das abscissas. - A ordenada y indica a posição relativa do ponto em relação ao eixo y das ordenadas. Exemplo ponto tem abscissa e ordenada (y) 4, e será determinado no plano através da inter- secção da abscissa com a ordenada. y 5 4 3 2 1 + 0 -5 -4 -3 -2 2 5 -1 -2 -3EXERCÍCIOS PARA VOCÊ ESTUDAR 1. Colocar no gráfico os seguintes pontos: 4° ponto 5° ponto -E(3,0) a) A (6,2) -3) b) B (3,-2) y 5 Soluções: (0,4) 4 1° ponto - A(6,2) logo, X = 3 y 2 6 1 E(3,0) 5 0 4 -1 3 -2 A (6,2) 2 -3 1 -4 0 -6 -5 -4 -3 -2 1 X -5 -1 -2 2. Represente num mesmo plano cartesiano, os -3 seguintes pontos: -4 -5 A(2,3) H(-5,0) -6 2° ponto - logo, X = (0,0) (4,5) y E(5,-2) M(-3,7) 6 5 N(3,-5) 4 G(0,4) 3 2 y 1 8 + 0 -1 X M 7 -1 B (3,-2) 6 2 5 L -3 G 4 -4 3 A -5 2 -6 1 H J 3° ponto - -3) logo, -7 0 1 X 1 y -2 E 4 -3 3 -4 2 D -5 N 1 -6 0 -4 -3 -1 1 2 X -1 -2 3 -4CONCEITO DE GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Gráfico de uma função é o conjunto de pontos de um plano cartesiano que obedecem uma equação que é a "lei de associação". Considerando que são infinitos os pontos (x,y) pertencentes a uma função definida em IR, uma vez que o con- junto IR dos números reais é infinito, apresentamos então alguns pontos que representam alguns pares ordenados perten- centes à função dada. Depois ligamos os pontos obtidos. Dessa forma estaremos construindo gráfico de uma função. - Para determinar alguns pontos do gráfico de uma função, atribui-se alguns valores para e encontra-se os respectivos valores de y ou vice-versa. - Para traçar o gráfico da função, devemos marcar os pontos no plano cartesiano e depois ligá-los. 1° Exemplo Construiremos gráfico da função definida em IR pela equação - Atribui-se alguns valores para X, por exemplo: - 2, - e calcula-se os respectivos valores de y: y = para y =-2+2-> 4 (x,y) (2,4) y para y -2 0 (-2,0) (1,3) 3 -1 1 y = (-1,1) para 0 2 (0,2) (0,2) 2 para y 1 3 (1,3) 2 4 (2,4) para y = 1 (-2,0) X -2 0 1 2 2° Exemplo Construiremos gráfico da função - Atribui-se alguns valores para X: - 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 para y para y = 12 4 = 12 y para para y =4-4 y=0 para para para y = 9 4 y para = para y = 0 y = y = 16 4 y = 12- Transportando os dados obtidos nos cálculos efetuados para a tabela, identificamos os pares ordenados da função = y (x,y) 4 12 (-4,12) y -3 5 (-3,5) -2 0 (-2,0) 12 -3 (-1,-3) 11 0 (0,-4) 10 1 -3 (1,-3) 9 2 0 (2,0) 8 3 5 (3,5) 7 4 12 (4,12) 6 5 4 3 2 1 0 X -5 -4 -3 -2 1 1 3 4 5 1 2 3 4 -5 3° Exemplo Representaremos graficamente função a X y (x,y) (-4,-1) para = -4 - -2 -2 (-2,-2) -1 -4 (-1,-4) 0 ? para y 1 4 (1,4) 2 2 (2,2) 4 1 1) para - = para y é indeterminado Comentário: indeterminado. Lembre-se de que o denominador de uma para fração deve ser diferente de = 1 = y = 4 zero. Por isso, Df = IR* para y 4 = 2 = y = 2 para = 4 = y = 1 4y 4 3 2 1 0 X -4 -3 -2 1 2 3 4 - 1 -2 3 4 EXERCÍCIOS PARA VOCÊ RESOLVER OBSERVAÇÃO: Todos os cálculos dos exercícios devem ser feitos num caderno. 1. Marque com um (X), as alternativas que representam d) ( ) a A diagramas de funções. b B a) ( ) a A b C C C C A B d D A B 2. diagrama abaixo representa a função f: A B / y = + b) ( ) a A 2 1 B 1 b 0 C 3 D 2 4 C k A B 3 7 A 8 c) ( ) A B a B a) Dê o Domínio da função; b) Dê o valor de f (0); C c) Dê o conjunto Imagem da função; A B d) Determine o valor de k;3. Nas funções abaixo calcular f (0), f - 8. Construa o gráfico da função IR X y y a) f: IR -2 b) f: IR IR 3 -1 c) (x) = f: IR IR 0 2 1 4. Na função = + 9: 2 1 (A tabela com os valores a) Calcule dados é sugestão) -2 -1 0 1 2 X b) Calcule f c) Determinar X de modo = 9. Observe o gráfico abaixo e dê as coordenadas dos pontos representados: 5. Assinale a alternativa correta: par ordenado (2,5) pertence a função: A ( ) E ( ) a) ( ) y = B ( ) F ( ) b) ( ) C ( ) G ( ) c) ( ) D ( ) H ( ) d) ( ) y = 5x + 2 F 6 6. Determine o domínio das seguintes funções: A 5 4 a) f(x) = V C 3 2 b) 1 E H B X -3 -2 -1 1 2 3 G 1 2 10. Assinale a alternativa correta : 7. Construa o gráfico da função f (x) = 2x - 1 gráfico abaixo representa a função: (Sugestão: atribuir para X os valores 0, 1 a) ( ) y y y b) ( ) 0 3 c) ( ) 2x + 2 1 d) ( ) nenhuma das anteriores 2 2 y 1 0 -3 -2 -1 1 2 X 1 -1 1 X -1 -2 -3CHAVE DE RESPOSTAS 1. Marque com um (X), as alternativas que representam Comentário: É uma função, pois cada elemento de A diagramas de funções. tem uma única imagem em B. Mesmo que seja o mesmo elemento B. a) ( ) a A 2. diagrama abaixo representa a função b f: A C C 2 d D 1 A B 0 3 2 4 Comentário: Só é função a relação que obedecer as k seguintes condições: 3 7 Todo elemento de A tem uma imagem correspondente A 8 em B. Cada elemento de A tem uma única imagem cor- B a) Dê o Domínio da função; respondente em B. Como no conjunto A "sobra" o b) Dê o valor de f (0); elemento b sem correspondente em B, esta relação c) Dê o conjunto Imagem da função; não é função. d) Determine o valor de k; b) (X) Resoluções: a A B b a) Domínio da função: C C D b) Valor de f (0) A B Comentário: Observa-se que ao 0 (zero) do conjunto A Comentário: É função mesmo "sobrando"elementos de B. está correspondendo o elemento 3 do conjunto B. Portanto c) ( ) A c) Imagem da função: (Im) Comentário: Sabe-se que é o subconjunto de B for- a B mado pelos elementos que são correspondentes aos elementos do conjunto A C A B d) Valor de k Comentário: Não é função porque cada elemento de A Comentário: Observa-se no diagrama que k = f(2). A não tem uma única imagem em B. E neste caso o ele- função é y = X + 3, a qual também pode ser escrita mento a tem 3 imagens: A, B e C. como (x) = X + 3. d) (X) = k a A b B = (2) 5 Substituíndo f (2) por k: C C A B k = 53. Nas funções abaixo calcular - IR IR f: IR IR Resoluções: c) Determinar de modo f(x) 1 ou 1 = (3) = 3 1 (3) = 2 (0) = 4 f(0) = 4 4 5. Assinale a alternativa correta: par ordenado (2,5) pertence a função: (3) (3) = 4 a) ( ) y (X) y = c) ( d) ( ) y = 5x + 2 IR. Comentário: par ordenado (2,5) é do tipo (x,y) isto é, = =V3 , IR. X = valores na função dada em cada alternativa, substituindo X por 2 e y por 5: 4. Na função = a) y = a) Calcule = = sentença falsa f(3) = 3 b) Calcule y = 3x 1 = sentença verdadeira Logo, a alternativa b é a correta.6. Determine o domínio das seguintes funções: X 1 X = Condições: { Denominador # 0 = Radicando > (Mas o radicando está no denominador e por isso ele + 2 não pode ser zero.) = Então fica somente Radicando > 0 como condição única: = X Radicando 0 Resoluções: ou = Condição: Radicando > 0 (Lembrando que R* significa: conjunto dos números reais positivos, excluindo-se zero.) 7. Construa o gráfico da função 4 2 para para = X 1 - y=2-1 Condição: Denominador 0 para y (x,y) y ou 0 -1 (0,-1) 3 (2,3) 1 1 (1,1) 2 2 3 c) (2,3) 2 = 3 1 (1,1) Condição: Denominador # 0 + -3 -2 -1 0 1 2 X 1 (0,-1) 2 ou -38. Construa o gráfico da função F 6 y (x,y) para A 2 3 (-2,3) +4 0 (-1,0) C 3 0 1 (0,-1) 2 1 0 (1,0) 1 2 3 (2,3) E H B X para G -1 D -2 10. Assinale a alternativa correta : para gráfico abaixo representa a função: a) (X) b) ( ) c) ( ) y = 2x + 2 para d) ( ) nenhuma das anteriores. y para 1 1 X -1 y 4 ( -2,3) (2,3) 3 Os pontos pertencentes ao gráfico da função que estão marcados são: , 2 Testando esses dois pontos nas funções dadas em cada alternativa: 1 (1.0) a) X 0 -2 1 1 2 ( 1) y (0,-1) 2 X y -1 ( verdade ) 3 ( - = - 9. Observe gráfico abaixo e dê as coordenadas dos pontos representados: (verdade ) A (2,5) B (3,0) (0,6) Verificando que os dois pontos marcados no gráfico per- tencem à função y = - X, a alternativa a é a correta.