aula 01 Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal

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Desenvolvimento do cálculo 
diferencial e infinitesimal
Apresentação
O cálculo diferencial e infinitesimal é uma das mais importantes ferramentas matemáticas, com 
aplicações em diversas áreas 
da ciência. Surgiu por meio de dois problemas matemáticos: 
o de encontrar a reta tangente a uma curva em um dado ponto 
e o de obter a área sob uma dada curva, conhecido como problema 
da quadratura. Embora diversos matemáticos renomados tenham contribuído para o seu 
desenvolvimento ao longo dos últimos séculos, sua descoberta é atribuída a dois famosos 
personagens, Isaac Newton 
e Gottfried Leibniz. 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você aprenderá a história do cálculo diferencial e infinitesimal a 
partir das contribuições e dos avanços de Newton e Leibniz. Além disso, estudará as influências do 
pensamento desses dois importantes matemáticos na forma como o cálculo é concebido e ensinado 
atualmente.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Analisar o cálculo diferencial e integral nas perspectivas de 
Newton e Leibniz.
•
Identificar as contribuições de Newton e Leibniz no desenvolvimento 
do cálculo diferencial e integral ensinado atualmente.
•
Demonstrar técnicas do cálculo de Newton e Leibniz na sala de 
aula de matemática.
•
Desafio
O problema de encontrar a equação da reta tangente a uma curva que representa o gráfico de uma 
função motivou o desenvolvimento do cálculo diferencial. De fato, a derivada é o coeficiente 
angular da reta tangente a ser obtida em um dado ponto da curva.
Imagine que você está lecionando cálculo para uma turma de licenciatura em matemática e 
explicando sobre aplicações de derivadas. Entre as inúmeras existentes, você cita a utilização das 
derivadas para obter pontos de máximo e mínimo de funções, aplicação explorada por Leibniz no 
século XVII.
Ao esboçar gráficos de algumas funções importantes para exemplificar a existência de pontos 
ótimos, como polinomiais, exponenciais e trigonométricas, você é levado às seguintes questões: 
a) Sabe-se que, para obter pontos de máximo e mínimo de uma função, procura-se inicialmente por 
pontos onde a derivada se anula, isto é, onde ela é igual a zero. Existe alguma justificativa 
geométrica para esse procedimento?
b) Sempre que a derivada se anula em certo ponto do gráfico da função, este ponto será máximo ou 
mínimo local?
Infográfico
O cálculo diferencial e integral foi desenvolvido em meados do século XVII e provocou uma 
revolução na matemática e na ciência de modo geral. Com o desenvolvimento dessa metodologia, 
foi possível calcular taxas de variação instantâneas, resolver problemas de otimização e obter áreas 
e volumes de figuras e objetos geométricos mais sofisticados. 
No Infográfico, você verá os dois problemas geométricos que motivaram o desenvolvimento do 
cálculo, assim como a ligação algébrica existente entre eles, descoberta por Newton e Leibniz. Além 
disso, observará que a solução dos problemas da tangente e da quadratura resultou em diversas 
outras aplicações das derivadas e integrais.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
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Conteúdo do livro
A história do desenvolvimento do cálculo passa por dois famosos personagens da 
matemática: Isaac Newton e Gottfried Leibniz. 
Eles chegaram aos mesmos importantes resultados sobre os 
problemas da tangente e da quadratura de forma independente 
um do outro. Entender a contribuição desses dois grandes 
matemáticos na concepção do cálculo diferencial e integral 
é de suma importância para a plena compreensão do significado conceitual e aplicado do cálculo.
No capítulo Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal, 
base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai acompanhar 
a evolução do cálculo diferencial e integral de acordo com os estudos 
e resultados de Newton e Leibniz, assim como estudar suas influências no ensino e na prática dessa 
importante disciplina na matemática e na ciência de forma geral. 
Boa leitura.
HISTÓRIA DA 
MATEMÁTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Analisar o cálculo diferencial e integral nas perspectivas de Newton e Leibniz.
 > Identificar as contribuições de Newton e Leibniz no desenvolvimento do 
cálculo diferencial e integral ensinado atualmente.
 > Demonstrar técnicas do cálculo de Newton e Leibniz na sala de aula de 
Matemática.
Introdução
O desenvolvimento do cálculo diferencial e integral provocou um grande impacto na 
matemática e na ciência de forma geral. Com essa ferramenta, uma grande classe 
de problemas foi solucionada e novos resultados importantes na matemática 
surgiram como sua consequência. 
Grandes personagens da matemática foram responsáveis pela descoberta e 
evolução do cálculo diferencial e integral. Alguns deles são bastante populares 
até por descobertas em outras áreas, como Isaac Newton. Conhecer a história 
desses personagens e como eles desenvolveram esses importantes conceitos trará 
uma compreensão plena da essência do cálculo, além de auxiliar o professor da 
educação básica a ter uma visão mais ampla dos conteúdos a serem trabalhados 
em sala de aula com seus alunos.
Desenvolvimento do 
cálculo diferencial 
e infinitesimal
Alex Rodrigo dos Santos Sousa
Neste capítulo, você vai estudar o desenvolvimento do cálculo com base 
na história de seus dois principais autores, Isaac Newton e Gottfried Leibniz. 
As semelhanças e diferenças em seus estudos que resultaram na estrutura e na 
generalização do cálculo, assim como as suas influências na prática e no ensino 
dessa importante área da matemática também serão abordadas. 
O desenvolvimento do cálculo
O surgimento do cálculo ou cálculo infinitesimal como entendemos hoje 
ocorreu por meio de dois problemas importantes na matemática e na física 
dos séculos XVI e XVII, de acordo com Boyer e Merzbach (2012). O primeiro 
estava relacionado à obtenção da taxa de variação instantânea de uma 
quantidade em um dado instante, ou, em termos geométricos, a obtenção 
da reta tangente a uma curva em um dado ponto. Este problema levou ao 
desenvolvimento do cálculo diferencial. Já o segundo problema se preocupava 
com o que era chamado de quadratura, ou cálculo de áreas sob uma dada 
curva, e levou ao desenvolvimento do cálculo integral. Esses problemas estão 
ilustrados nas Figuras 1 e 2. 
Diversos matemáticos contribuíram para o desenvolvimento do cálculo, 
mas dois personagens foram de destacada importância por terem realizados 
trabalhos independentes que fundamentaram a área: Isaac Newton e Gottfried 
Wilhelm Leibniz.
Figura 1. O problema de obter a reta tangente a uma curva motivou o de-
senvolvimento do cálculo diferencial.
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal2
Figura 2. O problema de obter a área sob uma curva (qua-
dratura) motivou o desenvolvimento do cálculo integral.
O cálculo por Isaac Newton
O britânico Sir Isaac Newton (1642–1727) foi um dos mais conhecidos e in-
fluentes matemáticos e físicos de todos os tempos. Ocupou a cadeira de 
Matemática do Trinity College e na Universidade de Cambridge, e suas con-
tribuições na Física, desde as leis da mecânica, a teoria das cores até a teoria 
da gravitação universal, revolucionaram a área e serviram como alicerces de 
muitos desenvolvimentos nos séculos seguintes, a ponto de a física clássica 
ser muitas vezes denominada física newtoniana. 
Na matemática, entre outras contribuições, Newton desenvolveu a análise 
das séries infinitas, que impactaram no seu estudo sobre fluxões (taxas de 
variação) posteriormente. Foi fortemente influenciado pelo seu mentor, 
Isaac Barrow (1630–1677), e pela obra de John Wallis (1616–1703), Arithmetica 
infinitorum. Na época, as séries infinitas eram consideradas ferramentas de 
aproximação de funções. Newton descobriu que a análise e a álgebraneces-
sárias para lidar com séries infinitas eram as mesmas de séries finitas, e a 
noção de convergência de uma série infinita permitiu que tais séries deixassem 
de ser utilizadas apenas como ferramentas de aproximação. 
Uma série infinita convergente pode ser vista como uma soma de uma 
quantidade infinita de números que progridem de acordo com um padrão 
matemático definido. Esta soma, à medida que mais termos são adicionados, 
se aproxima de um certo valor, de modo que se esse processo de adicionar 
termos for realizado infinitamente, a soma tornar-se-á igual a esse dado 
valor. A noção fundamental desse processo é de limites, que estruturam o 
cálculo diferencial e integral. 
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal 3
1. Uma série infinita convergente
Considere a progressão geométrica com termos =� �1
2 , n = 
1, 2, 3…. A soma dos termos dessa sequência constitui uma série infinita con-
vergente, uma vez que:
�1
2
∞
=1
= 1com a aplicação do teorema. 
Para mais detalhes históricos sobre os avanços de Newton e Leibniz no cálculo, 
ver Bardi (2008), e para detalhes técnicos, ver Stewart (2013).
A derivada também é aplicada para detectar pontos de mudança na 
curvatura (concavidade) de uma função. Esses pontos são chamados 
de pontos de inflexão de uma função (Figura 5).
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal8
Figura 5. Gráfico de uma função com seu ponto de inflexão destacado 
em verde. Observe que neste ponto há mudança de concavidade 
da curva.
Contexto histórico do cálculo na 
sala de aula
As motivações para o estudo do cálculo diferencial e integral, em muitas situa-
ções, são semelhantes às que levaram ao desenvolvimento da metodologia há 
séculos. O interesse no cálculo diferencial para cálculo de taxas instantâneas 
aparece em problemas físicos, biológicos, econômicos, estatísticos, entre 
outras áreas. O mesmo acontece para o estudo do cálculo integral, motivado 
pelo cálculo de áreas. 
Apesar da importante presença de recursos computacionais atualmente, 
com diversas implementações de ferramentas de cálculo que facilitaram 
aplicações e práticas, o olhar teórico e a interpretação dos elementos do 
cálculo desenvolvidos por Newton e Leibniz são fundamentais para uma 
completa compreensão da metodologia. 
Como já mencionado na seção anterior, Newton utilizou da abordagem 
física para chegar aos importantes resultados em cálculo diferencial, como 
no estudo do movimento. Essa abordagem é aplicada nos dias de hoje para 
trazer um cenário cotidiano para quem está com seus primeiros contatos 
na disciplina, uma vez que o impacto do cálculo é extremamente evidente 
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal 9
na cinemática. Na física do ensino médio, modelos de movimento retilíneo 
e uniforme (MRU) e retilíneo uniformemente variado (MRUV) são estudados. 
Neles, estuda-se o movimento sob a suposição de que a velocidade é constante 
no MRU ou varia com uma aceleração constante no MRUV. Quando ambas as 
taxas variam no decorrer do tempo, os modelos estabelecidos não descrevem 
o movimento na sua realidade. Nesse caso, a aplicação de derivadas torna-se 
uma importante saída para modelar tais movimentos. Dessa forma, fica bas-
tante evidente o impacto da ferramenta do cálculo diferencial nesse contexto, 
que foi utilizado como ponto de partida pelo próprio Newton no século XVII. 
Já Leibniz enfatiza a relação entre derivadas e integrais com diferenças e 
somas. A derivada é a razão de infinitésimos, isto é, variações ou diferenças 
muito pequenas de uma certa variável. Por outro lado, a integral pode ser 
vista como uma soma das partes infinitesimais que, no limite, resulta na área 
inteira dessas partes. Essa visão da integral é fundamental para a compreen-
são de sua definição e dos papéis da soma e do limite nesse procedimento. 
Portanto, apesar dos diversos avanços tecnológicos alcançados ao longo 
dos últimos séculos e dos diversos novos desafios matemáticos que surgiram 
com eles, o cálculo permanece como uma importante ferramenta matemática 
em diversas áreas, e as ideias de Newton e Leibniz estão sempre presentes 
tanto nos usos da metodologia como no seu ensino em sala de aula. 
É possível deduzir as fórmulas de velocidade e aceleração do MRU 
e MRUV por meio de derivadas. Vejamos:
1. (MRU) Considere a função posição de um objeto pontual em movimento 
retilíneo e uniforme (MRU):
S(t) = S0 + vt,
em que S0 é a posição inicial, v é a velocidade constante e t é o tempo. Observe 
que:
S' (t) = v,
isto é, a derivada da função posição do objeto é igual à sua velocidade, que 
nesse modelo é constante. 
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal10
2. (MRUV) Considere agora a função posição de um objeto em movimento 
retilíneo uniformemente variado (MRUV)
( ) = 0 + 0 +
²
2 , 
em que v0 é a velocidade inicial e a é a aceleração constante. Sendo assim, 
temos que
′ ( ) = 0 +
2
2
= 0 + = ( ) 
ou seja, a partir da função posição, obtemos a fórmula da função velocidade 
por meio da primeira derivada de S(t). Além disso, 
S'' (t) = v' (t) = a,
isto é, a segunda derivada da função posição é a aceleração do objeto, que 
neste modelo é constante. 
Considere um móvel em movimento retilíneo cuja posição S é de-
terminada em função do tempo t pelo modelo: 
S(t) = 7t3.
Assim, sua velocidade é dada pela derivada da função posição, 
v(t) = S' (t) = 21t²,
e sua aceleração é dada pela derivada da função velocidade ou segunda derivada 
da função posição
a(t) = v' (t) = S'' (t) = 42t.
Observe que tanto velocidade quanto aceleração variam ao longo do tempo, 
o que difere dos modelos de movimentos estudados no ensino médio, como 
MRU e MRUV. 
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal 11
Assim como em diversos conteúdos da física, fórmulas importantes da 
matemática também podem ser obtidas por derivação. O exemplo a seguir 
mostra como o vértice do gráfico de uma função quadrática pode ser calculado 
por meio de derivada.
Considere uma função quadrática genérica:
y = ax2 + bx + c,
a ≠ 0. Vamos deduzir as fórmulas do vértice (xv, yv) da parábola que descreve 
graficamente a função dada. Note que o vértice é um ponto ótimo (máximo ou 
mínimo) do gráfico. Obtendo a derivada da função, temos que:
y' = 2ax + b
Para obter o ponto ótimo, fazemos:
′ = 0 ⇒ 2 + = 0 ⇒ =
−
2
, 
que é a fórmula da abscissa do vértice, isto é, = −
2 . 
A ordenada pode ser obtida substituindo a expressão da abscissa na função 
genérica, 
=
−
2
2
+
−
2 + =
²
4 ² −
2
2 + =
2 − 2 2 + 4
4 =
− 2 + 4
4 ⇒ = −
∆
4 � � � �
em que ∆ = b2 – 4ac. Assim, obtemos a fórmula da ordenada do vértice, = − ∆
4 . 
Os exemplos anteriores ilustram bem a presença do cálculo em tópicos 
de matemática e física que são ensinados na educação básica. Outras situ-
ações em diversas áreas podem ser citadas, como o estudo da velocidade 
de reações químicas ou a taxa de variação do volume de um gás em química, 
ou a taxa de infecção de uma doença contagiosa na biologia, e assim por 
diante. Esses exemplos apresentam a importância e o alcance das ideias de 
Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal12
Newton e Leibniz no século XVII que culminaram na consolidação do cálculo 
diferencial e integral como ferramental matemático fundamental nas mais 
diversas áreas do conhecimento.
Referências
BARDI, J. S. A guerra do cálculo. Rio de Janeiro: Record, 2008.
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 2012.
FLOOD, R.; WILSON, R. Os grandes matemáticos. São Paulo: M. Books, 2013.
ROONEY, A. A história da matemática. São Paulo: M. Books, 2012.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1.
TAVORA, M. The calculus according to Leibniz. 2020. Disponível em: https://towardsda-
tascience.com/the-calculus-according-to-leibniz-5ee1e485a5a2. Acesso em: 5 fev. 2021.
Leitura recomendada
SILVA, W. M. A descoberta do cálculo sob as perspectivas de Newton e Leibniz. 2015. 
Trabalho de Conclusão de Curso (Especialização em Matemática) – Programa de Pós-
-Graduação em Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 
2015. Disponível em: https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/BUOS-A44GV3/1/
monografia_warley.pdf. Acesso em: 5 fev. 2021.
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Desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal 13
Dica do professor
A derivada pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea de certa quantidade em 
relação à outra quantidade. A obtenção desse tipo de taxa era um grande problema em meados do 
século XVII, solucionadopor Newton com seu método das fluxões e por Leibniz. Nesse sentido, 
saber interpretar uma taxa de variação instantânea e diferenciá-la da variação média é fundamental 
no cálculo diferencial.
Nesta Dica do Professor, você verá as diferenças entre a taxa de variação média e a taxa de 
variação instantânea ou derivada, do ponto de vista algébrico, geométrico e de interpretação. 
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Exercícios
1) Na matemática, é muito comum que problemas aparentemente simples e desconexos pelos 
seus enunciados se tornem pilares para o desenvolvimento de uma nova metodologia ou 
teoria. O desenvolvimento do cálculo diferencial e infinitesimal se deu pela existência de 
dois problemas importantes da matemática dos séculos XVI e XVII. A que se referem esses 
problemas?
A) Cálculo da reta secante a uma curva e obtenção da área de figuras geométricas conhecidas, 
como losango e trapézio. 
B) Cálculo das raízes da equação de terceiro grau e cálculo de volumes de sólidos importantes, 
como cilindro e cone.
C) Cálculo da reta tangente a uma curva em um dado ponto e cálculo da área de figuras 
geométricas desconhecidas.
D) Cálculo do comprimento e da área de figuras geométricas como elipses, hipérboles e círculos.
E) Cálculo da taxa de variação média de quantidades e da área de figuras geométricas elípticas.
2) Em paralelo ao desenvolvimento do cálculo, Isaac Newton fez contribuições para a análise 
de séries infinitas. Um conceito importante por ele utilizado em séries infinitas é o de limite, 
sobre o qual podemos afirmar que:
A) não tem relação com os cálculos diferencial e integral, uma vez que sua aplicação restringe-se 
às séries infinitas.
B) tem relação com o cálculo diferencial, porém não se aplica ao cálculo integral, visto que a 
derivada é definida em termos de limite, mas a integral não.
C) tem relação com o cálculo integral, porém não se aplica ao cálculo diferencial, visto que a 
integral é definida em termos de limite e a derivada não.
D) tem relação com os cálculos diferencial e integral, uma vez que tanto a derivada quanto a 
integral são definidas em termos de limites.
E) não tem relação com os cálculos diferencial e integral, uma vez que suas aplicações estão 
restritas a conceitos geométricos. 
Tanto a derivada quanto a integral são definidas em termos de limites, sendo a derivada o limite das retas secantes a uma função em um dado ponto e a integral o limite da soma das áreas de retângulos sob uma dada curva. Assim, o conceito de limite não está restrito à análise de séries infinitas ou geometria, mas se aplica em diversas áreas da matemática.
Os dois problemas se referem à obtenção da taxa de variação instantânea ou reta tangente a uma curva em um dado ponto,que levou à técnica de diferenciação, e ao problema da quadratura, isto é, cálculo da área de figuras geométricas desconhecidas por meio de figuras conhecidas, como retângulos. Áreas de figuras geométricas conhecidas, como losango, trapézios e cônicas, já dispunham de fórmulas estabelecidas na época, assim como volumes de sólidos como cones e cilindros. 
3) Uma importante característica do cálculo é a sua notação universal, tanto para derivadas 
quanto para integrais. As notações para derivadas e integrais utilizadas até hoje foram 
estabelecidas por qual matemático?
A) Gottfried Leibniz.
B) René Descartes.
C) Isaac Newton.
D) Jacques Bernoulli.
E) Blaise Pascal.
4) Um dos principais resultados descobertos por Newton e Leibniz sobre cálculo diferencial e 
integral é o que se chama hoje de teorema fundamental do cálculo. Sobre a importância 
conceitual desse teorema, podemos afirmar que:
A) apresenta a relação de inversão entre as operações da derivada e da integral.
B) apresenta uma regra geral para obter derivadas de funções polinomiais.
C) apresenta a associação entre derivadas e integrais com limites.
D) apresenta a relação entre a geometria analítica e a álgebra incluídas no cálculo.
E) apresenta a não correlação entre as operações da derivada e da integral.
5) Isaac Newton contextualizou o problema das fluxões na física, principalmente no estudo do 
movimento. O desenvolvimento do cálculo diferencial foi fundamental para essa área da 
física, uma vez que permite em objetos em movimento:
A) os cálculos das posições e de velocidades médias.
B) os cálculos das posições e de acelerações médias.
C) os cálculos de velocidades e de acelerações médias.
D) os cálculos de velocidades e de acelerações instantâneas.
E) os cálculos de velocidades médias e de energias cinéticas.
O matemático alemão Gottfried Leibniz foi o autor das notações, utilizadas até hoje para derivadas e integrais. Ele estabeleceu as notações em meados do século XVII. Apesar do desenvolvimento do cálculo de forma independente de Leibniz, as notações utilizadas por Newton não foram perpetuadas por serem mais complexas em relação às de Leibniz. Já Descartes, Bernoulli e Pascal foram responsáveis por grandes contribuições na matemática, como em geometria analítica, equações diferenciais e teoria das probabilidades, respectivamente, mas não se notabilizaram pela inserção de novas notações matemáticas.
De fato, o teorema fundamental do cálculo (TFC) enuncia que a integral de uma função pode ser obtida a partir de uma antiderivada dessa função, isto é, a integral é a operação inversa da derivada quando aplicada em uma dada função. O TFC apresenta, portanto, a relação entre os operadores matemáticos de derivação e integração por meio da inversão. Apesar de a derivada e a integral serem definidas em termos de limite, o TFC não apresenta essa relação, tampouco uma regra para derivação de uma função propriamente dita, como as polinomiais, o que é feito pela própria definição de derivadas. Por fim, o TFC pode ser interpretado como uma conexão geométrica e algébrica envolvendo derivadas e integrais, mas não abrange a geometria analítica. 
O cálculo diferencial permite a obtenção de taxas de variação instantâneas entre quantidades. No caso da cinemática, a velocidade instantânea é a derivada da função de posição do objeto e a aceleração instantânea é a derivada da velocidade ou segunda derivada da função posição. Para o cálculo de taxas médias, por não envolverem infinitésimos, não há necessidade de aplicação de derivada.
Na prática
A utilização de notações universais é de extrema importância na matemática, uma vez que facilita a 
comunicação entre as pessoas, independentemente da região ou do idioma. No cálculo diferencial e 
integral especificamente, as notações adotadas até hoje são atribuídas 
a Leibniz, no século XVII. 
Neste Na Prática, você vai conhecer o caso de uma professora que 
está lecionando sobre cálculo. Ela apresenta aos alunos as possíveis notações para derivada e indica 
as vantagens do uso de cada uma 
das notações aplicadas.
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Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Revista Brasileira de História da Matemática
Neste site, você terá acesso a artigos de diversas edições da Revista Brasileira de História da 
Matemática. Dessa forma, poderá aprofundar seus conhecimentos sobre o surgimento de cálculos e 
teorias.
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Vivenciando a metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação 
por meio da resolução de problemas nas aulas de cálculo 
diferencial e integral
Nesta tese, você poderá observar melhor a aplicação de uma resolução para problemas no ensino-
aprendizagem-avaliação ligados ao cálculo diferencial e integral.
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Tecnologia digital, cálculo integral e abstração reflexionante
Neste artigo, você verá um estudo científicosobre a construção do conceito de cálculo integral 
considerando a teoria da abstração reflexionante, estabelecendo uma relação com a aplicação das 
tecnologias digitais.
https://www.rbhm.org.br/index.php/RBHM
http://repositorium.sdum.uminho.pt/handle/1822/65615
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://publicacoes.rexlab.ufsc.br/old/index.php/sited/article/view/282/146