CADTEO-MAT_V5_2023

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em período integral, 
com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totali-
zando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla, 
de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. Para melhorar a 
aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A seguir, apresentamos cada seção:
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desen-
volvida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e 
nos principais vestibulares voltados para o curso de Medicina 
em todo o território nacional.
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS 
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada co-
leção tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolu-
ção das questões propostas. Os textos dos livros são de fácil 
compreensão, completos e organizados. Além disso, contam 
com imagens ilustrativas que complementam as explicações 
dadas em sala de aula. Quadros, mapas e organogramas, em 
cores nítidas, também são usados e compõem um conjunto 
abrangente de informações para o aluno que vai se dedicar 
à rotina intensa de estudos.
TEORIA
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cui-
dadosa seleção de conteúdos multimídia para complementar 
o repertório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a 
compreensão, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, 
livros, etc. Tudo isso é encontrado em subcategorias que fa-
cilitam o aprofundamento nos temas estudados – há obras 
de arte, poemas, imagens, artigos e até sugestões de aplicati-
vos que facilitam os estudos, com conteúdos essenciais para 
ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, em uma 
seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
MULTIMÍDIA
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é 
elaborada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que 
trata de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares 
atuais não exigem mais dos candidatos apenas o puro co-
nhecimento dos conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abran-
gem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, 
como Biologia e Química, História e Geografia, Biologia e Ma-
temática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato 
com essa realidade por meio de explicações que relacionam 
a aula do dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de 
outros livros, sempre utilizando temas da atualidade. Assim, 
o aluno consegue entender que cada disciplina não existe de 
forma isolada, mas faz parte de uma grande engrenagem no 
mundo em que ele vive.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico 
é o seu distanciamento da realidade cotidiana, o que difi-
culta a compreensão de determinados conceitos e impede 
o aprofundamento nos temas para além da superficial me-
morização de fórmulas ou regras. Para evitar bloqueios na 
aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida a seção “Vi-
venciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma preo-
cupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações 
entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm 
contato em seu dia a dia.
VIVENCIANDO
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fa-
zem parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos 
compilados, deparamos-nos com modelos de exercícios re-
solvidos e comentados, fazendo com que aquilo que pareça 
abstrato e de difícil compreensão torne-se mais acessível e 
de bom entendimento aos olhos do aluno. Por meio dessas 
resoluções, é possível rever, a qualquer momento, as explica-
ções dadas em sala de aula.
APLICAÇÃO DO CONTEÚDO
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desem-
penho ao fim da escolaridade básica, organizamos essa 
seção para que o aluno conheça as diversas habilidades e 
competências abordadas na prova. Os livros da “Coleção 
Vestibulares de Medicina” contêm, a cada aula, algumas 
dessas habilidades. No compilado “Áreas de Conhecimento 
do Enem” há modelos de exercícios que não são apenas 
resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva e 
descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no 
dia. Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para 
ajudá-lo a apurar as questões na prática, a identificá-las na 
prova e a resolvê-las com tranquilidade.
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, 
criamos para os nossos alunos o máximo de recursos para 
orientá-los em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de 
Ideias”, para aqueles que aprendem visualmente os conte-
údos e processos por meio de esquemas cognitivos, mapas 
mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta 
aos principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a 
organização dos estudos e até a resolução dos exercícios.
DIAGRAMA DE IDEIAS
© Hexag SiStema de enSino, 2018
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MATEMÁTICA
ÁLGEBRA E SEQUÊNCIAS 5
AULAS 35 E 36: FUNÇÃO INVERSA E PARIDADE 007
AULAS 37 E 38: NOÇÕES DE SEQUÊNCIA E PROGRESSÃO ARITMÉTICA 013
AULAS 39 E 40: PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E SUA INTERPOLAÇÃO 020
AULAS 41 E 42: PROBLEMAS ENVOLVENDO PA E PG 029
AULAS 43 E 44: INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS COMPLEXOS 039
ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE 45
AULAS 35 E 36: COMBINAÇÃO SIMPLES 047
AULAS 37 E 38: BINÔMIO DE NEWTON E TRIÂNGULO DE PASCAL 054
AULAS 39 E 40: PROBABILIDADE: ADIÇÃO 062
AULAS 41 E 42: PROBABILIDADE CONDICIONAL 068
AULAS 43 E 44: ESTATÍSTICA 078
GEOMETRIAS ESPACIAL E ANALÍTICA 97
AULAS 35 E 36: ESFERAS 099
AULAS 37 E 38: INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 105
AULAS 39 E 40: GEOMETRIA ANALÍTICA: DISTÂNCIA E PONTO MÉDIO 108
AULAS 41 E 42: GEOMETRIA ANALÍTICA: INCLINAÇÃO DA RETA E COEFICIENTE ANGULAR 117
AULAS 43 E 44: GEOMETRIA ANALÍTICA: POSIÇÃO RELATIVA E PERPENDICULARISMO 124
SUMÁRIO
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 1
Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentosdeterminar n:
1.280x = 10x · 2n – 1 ⇒ 27 = 2n – 1 ⇒ n = 8
Sn = 
a1(q
n – 1)
 _______ 
q – 1
 ⇒ 7.650 = 
10x(28 – 1)
 _________ 
2 – 1
 ⇒ 
⇒ 7.650 = 10x · 255 ⇒ 7.650 = 2.550x ⇒  x = 3
Assim, x = 3.
4. Limite da soma dos 
termos de uma PG infinita
Considere a sequência (an) = ( 1 __ n ) com n [ N*, explicitada 
por:
1, 1 __ 
2
 , 1 __ 
3
 , 1 __ 
4
 , 1 __ 
5
 , 1 __ 
6
 , 1 __ 
7
 , 1 __ 
8
 , 1 __ 
9
 , 1 ___ 
10
 , ..., 1 ____ 
1000
 , ... 1 __ n , ...
Ou em representação decimal:
1; 0,5; 0,333...; 0,25; 0,2; 0,16...; 0,142...; 
0,125; 0,11...; 0,1;...;0,001; ...
Observe que, à medida que n cresce indefinidamente (ten-
dendo ao infinito), o termo an = 1 __ n tende a 0 (zero). Indica-
-se assim:
n → ` ⇒ 1 __ n → 0
Ou:
 lim 
n→`
 1 __ n = 0
 ( Lê-se: limite de 1 __ n quando n tende a infinito é igual a 0. ) 
Nas progressões geométricas em que –1= ± dXXXXXXXX (1 · 214)15 = ± 2105
Como, entre os quinze primeiros termos, 7 termos são negativos, 
o produto é negativo. Assim, P15 = –2105.
6. Problemas envolvendo PA e PG
Para completar o capítulo sobre progressões, a seguir se-
rão analisados problemas que envolvem simultaneamen-
te PA e PG.
Aplicação do conteúdo
1. São dados quatro números x, y, 6, 4, nessa ordem. 
Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três 
últimos estão em PG, determine x e y.
Resolução:
Se x, y, 6 estão em PA, tem-se y = x + 6 _____ 
 2
 .
Se y, 6, 4 estão em PG, tem-se 62 = 4y.
Deve-se resolver o sistema formado por essas duas equações:
y = x +6 __ 
2
 
4y = 36 ⇒ y = 9
9 = x + 6 _____ 
2
 ⇒ x + 6 = 18 ⇒ x = 12
Assim, x = 12 e y = 9.
36  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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2. A sequência (a, b, c) é uma PG crescente, e a sequên-
cia (a – 1, b,c) é uma PA. Sabendo que a + b + c = 19, 
determine os valores de a, b e c.
Resolução:
Se (a, b, c) é uma PG, tem-se b2 = ac.
Se (a – 1, b, c) é uma PA, tem-se:
b = a – 1 + c _______ 
2
 ⇒ 2b = a – 1 + c
Deve-se, então, resolver o sistema:
b2 = ac (I)
2b = a – 1 + c (II)
a + b + c =19 (III)
De (II), tem-se:
2b = a – 1 + c ⇒ a + c = 2b + 1 (IV)
De (III), tem-se:
a + b + c =19 ⇒ a + c = 19 – b (V)
Comparando (IV) e (V), tem-se:
2b + 1 = 19 – b ⇒ 2b + b = 19 – 1 ⇒ 3b = 18 ⇒ b = 6
Conhecido b = 6, tem-se um novo sistema:
36 = ac
a + c = 13
a + c = 13 ⇒ a = 13 – c
36 = (13 – c) c ⇒ 36 = 13c – c2 ⇒ c2 – 13c + 36 = 0
D = 25
c’ = 9 e c” = 4
 § c = 9 ⇒ a = 13 – 9 = 4
 § c = 4 ⇒ a = 13 – 4 = 9 
Como a PG (a, b, c) é crescente, tem-se a = 4, b = 6 e c = 9.
3. Numa situação em que há empréstimo de dinheiro 
para devolução, depois de certo número de períodos, 
e em que esse empréstimo é baseado no sistema de 
juros simples, os juros correspondentes a cada período 
são constantes e iguais ao valor calculado no fim do 1.º 
período. Dessa forma, no fim do 1.º período, os juros 
são acrescidos ao capital inicial, resultando no montan-
te M1. No fim do 2.º período, os juros são acrescidos ao 
montante M1, resultando no montante M2, e assim por 
diante, até o fim dos períodos contratados, em que o 
capital emprestado terá se transformado no montante 
Mn. Considere então um empréstimo de R$ 800,00 a ser 
pago em 6 meses, à taxa de juros simples de 4% a.m. 
No fim dos 6 meses, quanto deverá ser pago para a qui-
tação da dívida?
Resolução:
Os 4% de juros simples cobrados por mês significam 0,04 . 
800,00 = R$ 32,00 de acréscimo mensal. Essa é uma situa-
ção em que os valores devidos evoluem da seguinte forma:
Mês 0: 800,00
Mês 1: 800,00 + 32,00
Mês 2: 832,00 + 32,00
Mês 3: ...
Mês 4: ...
É possível representar a sequência de valores devidos por uma 
progressão aritmética usando, como 1.º termo, o valor devido 
após o 1.º período e, como razão, o valor constante a ser pago a 
título de juros simples:
r = juro do 1.º período = 0,04 . 800 = 32
an = a1 + (n – 1)r ⇒ Mn = 832 + (n – 1)32 ⇒ 
⇒ M6 = 832 + (6 – 1)32 = 992,00
É importante destacar que essa progressão poderia ser melhor re-
presentada usando-se a0 em vez de a1 no termo geral:
an = a0 + nr ⇒ Mn = 800 + 32n ⇒ 
⇒ M6 = 800 + 32 · 6 = 992,00.
No fim do 6.° mês, o valor a ser pago será R$ 992,00.
4. Numa outra situação, semelhante à anterior, em que 
há empréstimo de dinheiro para devolução depois de 
certo número de períodos, mas em que o empréstimo 
é baseado no sistema de juros compostos, os juros cor-
respondentes a cada período não são constantes e, por 
isso, precisam ser calculados no fim de cada período re-
lativo ao montante atual da dívida. Dessa forma, no fim 
do 1.º período, os juros são acrescidos ao capital inicial, 
resultando no montante M1. No fim do 2.º período, os 
juros são recalculados sobre o montante M1 e somados, 
resultando no montante M2 , e assim por diante, até o 
fim dos períodos contratados, em que o capital empres-
tado terá se transformado no montante Mn.
Considere então um empréstimo de R$ 800,00 a ser 
pago em 6 meses, à taxa de juros compostos de 4% 
a.m. No fim dos 6 meses, quanto deverá ser pago para 
a quitação da dívida?
Resolução:
Antes de iniciar a montagem da sequência de valores devidos, 
observe que, quando é preciso aumentar um valor em 4%, o 
novo valor é imediatamente obtido ao se multiplicar o valor an-
tigo por 1,04, pois:
x1 = x + 0,04x = x (1 + 0,04) = 1,04x
Denomina-se 1,04 de fator de atualização.
Essa é uma situação em que os valores devidos evoluem da se-
guinte forma:
Mês 0 : 800,00
Mês 1: 800 . 1,04 = 832,00
Mês 2: 832 . 1,04 = 800 . (1,04)2 = 865,28
Mês 3: 865,28 . 1,04 = 800 . (1,04)3 = ...
Mês 4: ...
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É possível representar a sequência de valores devidos por uma 
progressão geométrica usando, como 1.º termo, o valor devido 
após o 1.º período e, como razão, o valor do fator multiplicativo 
que permite a atualização do valor:
q = 1 + i = 1 + 0,04 = 1,04
an = a1 · q
n – 1 ⇒ Mn = 832 · (1,04)n – 1 ⇒ 
⇒ M6 = 832 · (1,04)6 – 1 = 1.012,25
Novamente, é importante salientar que essa progressão poderia 
ser melhor representada usando-se a0 em vez de a1 no termo 
geral. Assim, o capital inicial seria representado no termo geral:
an = a0 · q
n ⇒ Mn = 800 · (1,04)n ⇒ 
⇒ M6 = 800 · (1,04)6 = 1.012,25
No fim do 6.º mês, deverão ser pagos R$ 1.012,25.
5. Na matemática financeira, o valor presente (VP) é o 
valor de um bem na data zero, ou seja, no valor de hoje, 
e o valor futuro (VF) é o valor do mesmo bem daqui a n 
períodos. Assim, VP = VF ______ 
(1 + i)n
 , em que i é a taxa de juros 
por período (sistema de juros compostos). No cálculo 
do valor à vista de um bem, conhecidos o valor pago de 
entrada, o valor das parcelas e a taxa de juros cobrada 
no parcelamento, é preciso somar o valor presente da 
entrada E e de todas as n parcelas P. Note que a en-
trada já está no presente; portanto, o VP da entrada já 
está no presente; ou seja, o VP da entrada é o próprio 
valor. Então:
Valor à vista = 
E + P ______ 
(1 + i)1
 + P ______ 
(1 + i)2
 + P ______ 
(1 + i)3
 + .... + P ______ 
(1 + i)n
 
= E + P ( 1 _____ 
(1 +1)i
 + 1 ______ 
(1 + 1)2
 + .... + 1 ______ 
(1 +1)n
 ) 
Calcule o valor à vista de uma calça que é vendida em 
cinco vezes sem entrada, em parcelas iguais de R$ 30,00 
(a 1.ª parcela vence depois de um mês e as parcelas res-
tantes nos meses subsequentes), com juros de 6% a.m. 
Use sua calculadora para fazer as contas.
Resolução:
1 + i = 1 + 0,06 = 1,06
Valor à vista = 0 + 30 ( 1 ______ 
(1,06)1
 + 1 ______ 
(1,06)2
 + ... + 1 ______ 
(1,06)5
 ) 
Pode-se notar que 
 1 ______ 
(1,06)1
 + 1 ______ 
(1,06)2
 + ... + 1 _____ 
1,06)5
 é uma PG de razão 1 ____ 
1,06
 , então
 ( 1 ______ 
(1,06)1
 + 1 ______ 
(1,06)2
 + ... + 1 ______ 
(1,06)5
 ) é a soma
dos cinco primeiros termos dessa PG, ou seja:
 ( 1 ______ 
(1,06)1
 + 1 ______ 
(1,06)2
 + ... + 1 ______ 
(1, 06)5
 ) 
= 
 1 ____ 
1,06
 [ ( 1 ____ 
1,06
 ) 5 – 1 ] 
 ______________ 
 1 ____ 
1,06
 – 1
 = 
 1 ____ 
1,06
 [ 1 – (1,06)5
 ________ 
(1,06)5
 ] 
 ______________ 
 
1 – 1,06
 _______ 
1,06
 
 =
= – 1 ____ 
0,06
 [ 1 – (1,06)5
 ________ 
(1,06)5 ] =
– 1 ____ 
0,06
 [ 1 – 1,33382 __________ 
1, 3382
 ] 
 0,3382 ______ 
0,0803
 4,2117
~= ~=
~= ~=
Portanto, o valor à vista é:
V = 30 ( 1 ______ 
(1,06)1
 + 1 ______ 
(1,06)2
 + ... + 1 ______ 
(1,06)5
 ) = 
= 30 · 4,2124 = R$ 126,37
6. Um artesão esculpe carrancas utilizadas em embar-
cações que navegam no rio São Francisco. Ele tem em 
estoque 15 carrancas e recebe uma encomenda de 87 
carrancas. Sabendo que ele produz 2 carrancas por se-
mana, quantos meses serão necessários para o artesão 
atender à encomenda?
Resolução:
Como o artesão já tem em estoque 15 carrancas,ele deve produzir 
87 – 15 = 72 carrancas e, como produz 2 carrancas por semana, 
serão necessárias 72 ___ 
2
 = 36 semanas, ou seja, aproximadamente 
8 meses.
Tambem é possível resolver esse problema utilizando o conceito 
de progressão aritmética. Assim, a1 = 17 (lembre-se de que, no 
fim da primeira semana, ele terá as 15 carrancas de estoque mais 
as duas produzidas nessa semana), r = 2 (número de carrancas 
produzidas por semana) e an = 87, para que seja possível deter-
minar o valor de n. Assim:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 87 = 17 + (n – 1)2 ⇒ 70 = (n – 1)2 ⇒
⇒ 35 = n – 1 ⇒ n = 36 semanas > 8 meses.
38  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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DIAGRAMA DE IDEIAS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
SOMA DOS TERMOS
(a1 + an)nSn = 
2
Sn = a1 . 1 – qn
1 – q
S = a1
1 – q
Soma dos termos
PG FINITA
PG INFINITA
Produto dos Termos
PA Segunda ordem
Sequência na qual as 
diferenças (an + 1 − an) entre o 
termo e seu termo anterior 
formam uma PA
Pn = + (a1 
. an)
ndxxxxxxxxx
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1. Introdução
Entre os conjuntos numéricos já conhecidos, o primeiro de-
les é o conjunto dos números naturais:
N = {0, 1, 2, 3, ..., n, ...}
Para que a subtração fosse sempre possível, ele foi estendi-
do e obteve-se o conjunto dos números inteiros:
Z = {..., –n, ..., –2, –1, 0, 1, 2, ..., n, ...}
Para que também a divisão fosse possível, o conjunto foi 
estendido e obteve-se o conjunto dos números racionais, 
escritos na forma de fração, com numerador e denomina-
dor inteiros:
Q = { x = a __ 
b
 , com a [ Z, b [ Z e b ≠ 0 } 
Em Q, a única divisão impossível é a divisão por 0.
Em Q, a equação x2 = 2 não pode ser resolvida, isto é, 
as soluções x = dXX 2 e x = – dXX 2 não podem ser represen-
tadas por uma fração a __ 
b
 , com b ≠ 0 e a e b pertencentes 
a Z. dXX 2 e – dXX 2 são exemplos dos números denominados 
irracionais (I).
A união dos números racionais com os irracionais dá ori-
gem aos números reais (R):
R = Q ø I
Assim, pode-se identificar N como uma parte de Z, Z 
como uma parte de Q e Q como uma parte de R. É pos-
sível escrever:
N , Z , Q , R
Sabe-se que, se x [ R, x2 ≥ 0. Portanto, a equação 
x2 + 1 = 0 não tem solução em R, uma vez que:
x2 + 1 = 0 ä x = ± dXXX –1 
Não existe também um número real x que, elevado ao qua-
drado, resulte –1. Por isso, o conjunto dos números reais 
tem de ser estendido para que se obtenha um novo con-
junto denominado conjunto dos números complexos.
2. Conjunto dos 
números complexos
O conjunto C é um conjunto cujos elementos – os núme-
ros complexos – devem ser tais que possam ser somados 
e multiplicados. Os elementos também devem possibilitar 
a extração da raiz quadrada de um número negativo. Lo-
gicamente, os números reais precisam ser elementos des-
se conjunto C, e as operações de adição e multiplicação 
feitas sobre os números reais no conjunto C devem ser 
as mesmas já conhecidas. Observe que, se isso não fosse 
observado, o conjunto R não seria um subconjunto de C.
Ao longo do tempo, os elementos do conjunto C, os nú-
meros complexos, foram definidos de diversas maneiras. 
Gauss, por exemplo, definiu os números complexos como 
pares ordenados de números reais. Atualmente, a notação 
preferida para definir os elementos do conjunto complexo 
é a forma algébrica.
3. Forma algébrica
Todo número complexo z pode ser escrito de maneira única 
na forma:
z = a + bi (a [ R, b [ R e i2 = –1)
Essa é a forma algébrica ou forma binomial de escrever 
um número complexo. Observe que um número complexo 
escrito nessa forma possui duas partes:
z = a + b i
parTe real
de z
Re(z) = a 
parTe imaginária
de z
Im(z) = b
i é a unidade imaginária, tal que i2 = –1.
Como i2 = – 1, é comum encontrar quem defina i = dXXX –1 .
Neste livro continuará o uso de i2 = –1.
A existência do i permite que, no conjunto C, exista raiz de 
índice par de números negativos, se não bem definida no 
conjunto R.
INTRODUÇÃO 
AOS NÚMEROS 
COMPLEXOS
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19, 20, 21, 22 e 23
MT
AULAS 
43 E 44
40  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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Por exemplo, se x [ C e x2 = –25, x = ±5i, porque
–25 = (i2) · 25 = i2 52 = (5i)2.
Quando a unidade b do número complexo é não nula 
(ou seja, se b ≠ 0), ele é denominado número imaginário.
Observe também que, se b = 0, z = a (número real); se 
a = 0 e b ≠ 0, z = bi, que é um número imaginário puro.
Modelos:
 § Em z = 2 + 3i, Re(z) = 2 e Im(z) = 3.
 § Em z = 3, Re(z) = 3 e Im(z) = 0; portanto, z é um nú-
mero real.
 § Em z = –2i, Re(z) = 0 e Im(z) = –2; portanto, z é um 
número imaginário puro.
De acordo com a forma algébrica, as operações de adição, 
subtração e multiplicação são intuitivas. Na multiplicação, 
por exemplo, basta aplicar a mesma propriedade distribu-
tiva usada na multiplicação de binômios, desde que se ob-
serve que i2 é um número e vale –1. Não há necessidade 
alguma de decorar fórmulas.
Modelos:
 § (2 + 3i) + (–3 + 4i) = (2 – 3) + (3 + 4)i = –1 + 7i
 § (1 + 2i)(2 – 3i) = 2 – 3i + 4i – 6i2 = 2 + i – 6(–1) = 
2 + i + 6 = 8 + i
 § (1 + i) – (3 + 2i) = (1 – 3) + (1 – 2)i = –2 – 1i = –2 – i
Aplicação do conteúdo
1. Dados os números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = – 2 + i, 
calcule as operações indicadas nos itens abaixo:
z1 + z2
Resolução:
z1 + z2 = (1 + 3i) + (–2 + i) =
z1 + z2 = (1 – 2) + (3 + 1)i = –1 + 4i
z1 z2
Resolução:
z1z2 = (1 + 3i) (–2 + i) = –2 + i – 6i + 3i2 = 
z1z2 = –2 – 5i + 3(–1) = –5 – 5i
z 2 1 
Resolução:
z 2 1 = (1 + 3i)2 = 1 + 6i + 9i2 =
z 2 1 = 1 + 6i + 9 (–1) = –8 + 6i
z1 + z 2 2 
Resolução:
z1 + z 2 2 = (1 + 3i) + (–2 + i)2 =
z1 + z 2 2 = (1 + 3i) + [4 – 4i + i2] =
z1 + z 2 2 = (1 + 3i) + [4 – 4i + (–1)] =
 z1 + z 2 2 = (1 + 3i) + (3 – 4i) = 
z1 + z 2 2 = 1 + 3i + 3 – 4i =
z1 + z 2 2 = 4 – i
2. Determine o valor real de x para que o número com-
plexo:
z = (1 – 2x) + 3i seja um número imaginário puro.
Resolução:
Para que z seja um número imaginário puro, é necessário que 
Re(z) = 1 – 2x = 0 ä x = 1 __ 
2
 . 
Ao verificar, obtém-se:
z = (1 – 2x) + 3i = ( 1 – 2 · 1 __ 
2
 ) + 3i =
z = (1 – 1) + 3i =
z = 0 + 3i = 3i (número imaginário puro)
Assim, x = 1 __ 
2
 .
z = 6 – (3x – 5)i seja um número real.
Resolução:
Para que z seja real, é necessário que Im(z) = 0:
Im(z) = –(3x – 5) = 0 ä – 3x + 5 = 0 ä x = 5 __ 
3
 
Ao verificar, para x = 5 __ 
3
 :
z = 6 – ( 3 · 5 __ 
3
 – 5 ) i = 6 – (5 – 5)i =
z = 6 – 0i = 6 (número real)
Assim, x = 5 __ 
3
 .
3. Efetue as operações indicadas nos itens a seguir.
(1 + i)(1 – i)
Resolução:
(1 + i)(1 – i) = 1 · 1 – 1i + 1i – i2 = 
= 1 – i2 = 1 – (– 1) = 1 + 1 = 2
i1, i2, i3, i4, i5, i6, i7, i8
Resolução:
i1 = i
i2 = – 1
i3 = i2i = (–1)i = –i
i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1
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i5 = i4i = 1i = i
i6 = i4 i2 = 1(–1) = –1
i7 = i4 i3 = 1(–i) = –i
i8 = i4 i4 = 1 . 1 = 1
Observe que as potências de i repetem-se depois de i4. De modo 
geral:
i4n = (i4)n = 1
i4n + 1 = (i4)ni = 1 · i = i
i4n + 2 = (i4)ni2 = 1 · (–1) = –1
i4n + 3 = (i4)ni3 = 1 · i2 i = 1 · (–1) · i = – i
Ou seja:
i4n + p = ip
(2 – 3i)2 – (3 – i)2i
Resolução:
(2 – 3i)2 – (3 – i)2i = 
= 22 – 2 · 2 · 3i + (3i)2 – (6i – 2i2) ä
ä (2 – 3i)2 – (3 – i)2i = 
= 4 – 12i + 9i2 – 6i + 2i2 = 4 – 18i – 11 =
= –7 – 18i
4. Calcule o valor de:
i49
Resolução:
i49 = i48 · i = (i4)12 · i = i
Ou:
i49 = i48 · i = (i2)24i = (–1)24i = 1i = i
Assim, i49 = i.
i100
Resolução:
i100 = (12)50 = (–1)50 = 1
Ou:
i100 = (i4)25 · i0 = i0 = 1
Portanto, i100 = 1.
3i15 – i16
Resolução:
i15 = i14 · i = (i2)7 i = (–1)7 i = –1i = –i
i16 = (i2)8 = (–1)8 = 1
Assim:
3i15 – i16 = 3(–i) – 1 = –3i –1
Portanto:
3i15 – i16 = –1 – 3i
5. Resolva a equação x2 + 4x + 5 = 0.
Resolução:
x = –4 ± dXXXXXXX 16 – 20 ____________ 
2
 = –4 ± dXXX –4 ________ 
2
 
(Impossível em R)
Épossível resolvê-la em .
x = –4 ± dXXXXXXX 16 – 20 ____________ 
2
 = –4 ± dXXX –4 ________ 
2
 = –4 ± 2i ______ 
2
 ä 
ä x’ = –4 + 2i ______ 
2
 = –2 + i e x’’ = –4 – 2i ______ 
2
 = –2 – i
Ao verificar:
S = x’ + x” = (– 2 + i) + (– 2 – i) = – 4
P = x’x” = (–2 + i)(–2 – i) = 4 + 2i – 2i – i2 
= 4 – (–1) = 5
O que satisfaz x2 – Sx + P = 0, ou seja, x2 + 4x + 5 = 0.
6. Encontre em cada item o número complexo z indicado.
4z = z – (–9 + 6i)
Resolução:
4z = z – (–9 + 6i) ä 4z – z = – (–9 + 6i) ä ä 3z = 9 – 6i ä 
z = 3 – 2i
Assim, z = 3 – 2i.
z – i36 = i43 – z
Resolução:
z – i36 = i43 – z ä z + z = i43 + i36 ä 
ä 2z = –i + 1 ä z = 1 __ 
2
 – i __ 
2
 
Assim, z = 1 __ 
2
 – i __ 
2
 .
iz = z – 1 + 5i
Resolução:
Se z = a + bi:
i(a + bi) = a + bi – 1 + 5i ä – b + ai =
= (a – 1) + (b + 5)i ä { –b = a – 1 
a = b + 5
 
Portanto:
– b = b + 5 – 1 ä –2b = 4 ä b = –2
a = –2 + 5 = 3
Assim, z = 3 – 2i.
7. Calcule o valor de:
(1 + i)2
Resolução:
(1 + i)2 = 12 + 2i + i2 = 1 + 2i + (–1) = 2i
42  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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(1 + i)20
Resolução:
(1 + i)20 = [(1 + i)2]10 = [2i]10 = 210 · i10 = 1.024 · i2 = –1.024
(1 + i)21
Resolução:
(1 + i)21 = (1 + i)20 · (1 + i) = –1.024 · (1 + i) = –1.024 – 1.024i
4. Conjugado de um 
número complexo
A propriedade do inverso multiplicativo pode ser escrita 
assim: se z ≠ 0, há um único número complexo 1 __ z , tal que 
z · 1 __ z = 1.
Como é possível determinar o número 1 __ z na forma algébrica?
Primeiro, é necessário definir o que vem a ser o conjugado 
de um número complexo.
O conjugado de um número complexo z = a + bi é o nú-
mero complexo  z = a – bi.
Modelos:
 § Se z = 2 + 3i,  z = 2 – 3i.
 § Se z = – 3 – 4i,  z = –3 + 4i.
 § Se z = 2,  z = 2.
 § Se z = 5i,  z = –5i.
 § Se z = i,  z = –i.
 § Se z = 0, então  z = 0.
Aplicação do conteúdo
1. Determine o número complexo z, tal que 
2z – 1 =  z + i.
Resolução:
Considere z = a + bi.
2z – 1 =  z + i à 2(a + bi) – 1 = (a – bi) + i à
à 2a + 2 bi – 1 = a – bi + i à (2a – 1) + 2bi = 
= a + (–b + 1)i
Igualadas as partes reais e imaginárias, obtém-se:
2a – 1 = a ä a = 1
2b = – b + 1 ä b = 1 __ 
3
 
Assim, z = 1 + 1 __ 
3
 i.
4.1. Propriedades do conjugado
1. Se z = a + bi:
z ·  z = a2 + b2 (que é real, positivo ou nulo)
Dados ou hipóteses { z = a + bi 
  z = a – bi
 
Tese z  z = a2 + b2
Demonstração:
Efetuado o produto z  z , obtém-se:
z  z = (a + bi)(a – bi) = a2 – (bi)2 = a2 – (–b2) = a2 + b2
2. Para o número complexo z, obtém-se:
z =  z à z é número real
Demonstração:
Se z = a + bi:
z =  z à a + bi = a – bi à bi = –bi à b = 0 à z é real
3. Se z1 e z2 são números complexos:
  z1 + z2 =  z1 +  z2 (o conjugado da soma é igual à soma dos 
conjugados)
Demonstração:
Se z1 = a + bi e z2 = c + di:
  z1 + z2 = 

  (a + bi) + (c + di) = 

  (a + c) + (b + d)i 
= (a + c) – (b + d)i = a + c – bi – di =
= (a – bi) + (c – di) =  z1 +  z2 
4. Se z1 e z2 são números complexos:
  z1z2 =  z1 · 
 z2 (o conjugado de um produto indicado é igual 
ao produto dos conjugados)
Demonstração:
Se z1= a + bi e z2 = c + di:
z1z2 = (ac – bd) + (bc + ad)i ä  z1z2 =
= (ac – bd) – (bc + ad)i (I)
Sabe-se que:
  z1 = a – bi e 
  z2 = c – di
Portanto:
  z1 
 z2 = (a – bi)(c – di) = (ac – bd) – (bc + ad)i (II)
Comparados (I) e (II), conclui-se que:
  z1z2 =  z1 ∙ 
 z2 
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DIAGRAMA DE IDEIAS
Aplicação do conteúdo
1. Dado z ≠ 0, determine 1 __ z na forma a + bi, de tal modo 
que z · 1 __ 
z
 = 1.
Resolução:
Basta multiplicar o numerador e o denominador por  z , conjugado 
de z, que é diferente de 0, uma vez que z ≠ 0.
Portanto:
 1 __ z = 
 z __ 
z  z 
 ä 1 _____ 
a + bi
 = a – bi ___________ 
(a + bi)(a – bi)
 = a – bi ______ 
a2 + b2
 
= a ______ 
a2 + b2
 – b ______ 
a2 + b2
 · i
Assim:
 1 __ z = a ______ 
a2 + b2
 – b ______ 
a2 + b2
 i =  z ______ 
a2 + b2
 
2. Dados z = 1 + 2i, encontre o inverso multiplicativo de 
z ( 1 __ z ou z –1 ) .
Resolução:
Primeira maneira:
 1 __ z = 1 _____ 
1 + 2i
 = 1 – 2i ____________ 
(1 + 2i)( 1 – 2i)
 
 1 __ z = 1 – 2i _______ 
12 – (2i)2
 = 1 – 2i _____ 
1 + 4
 = 1 – 2i _____ 
5
 = 1 __ 
5
 – 2 __ 
5
 i
Assim: 1 __ z = 1 __ 
5
 – 2 __ 
5
 i
Segunda maneira:
 1 __ z =  z ______ 
a2 + b2
 = 1 – 2i _____ 
1 + 4
 = 1 __ 
5
 – 2 __ 
5
 i
NÚMEROS COMPLEXOS C
Forma algébrica Potências de i
Unidade imaginária
Conjugado
Propriedades
z = a + bi
Onde ä a: parte real
 b: parte imaginária
Quando o expoen-
te for maior que 3, 
dividimos por 4 e 
elevamos ao resto
i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
i3 = – i
i4 = 1
}
Número real: b = 0
Número imaginário puro: a = 0 e b ≠ 0
i2 = –1
  z = a – bi
1) z  z = a2 + b2
2) z =  z, se z é um número real
3)  z1 + z2 =  z1 +  z2
4)   z1 . z2 =  z1 
.  z2
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ANOTAÇÕES
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ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
E PROBABILIDADE
MATEMÁTICA
LIVRO 
TEÓRICO
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
Para o Enem, probabilidades e combinação 
são temas essenciais em diversas questões. 
Os conceitos apresentados em números bi-
nomiais devem ser analisados para facilitar 
nas questões de probabilidade e estatística.
Combinação aliada a questões de proba-
bilidade são os temas mais abordados na 
prova.
A prova trará questões sobre combinação e 
probabilidades em suas duas fases. Proba-
bilidade condicional aliada ao método do 
binômio pode ser um grande artifício para 
o candidato.
Questões de estatística e probabilidade 
aparecerão na prova, de forma contextu-
alizada e com elevado grau de dificuldade.
A banca da Vunespcostuma trazer uma 
questão de estatística para a primeira fase. 
Não somente isso, questões de probabili-
dade podem ser abordadas em ambas as 
provas.
A prova mostra a contagem associada a 
problemas do dia a dia. Os conceitos de 
estatística podem ser os menos abordados 
nesse vestibular.
Apresentando questões do cotidiano cientí-
fico, a prova exigirá do seu candidato todos 
os temas deste livro.
A prova não deixará de lado os temas des-
te livro. Questões um pouco mais diretas e 
muito bem elaboradas aparecerão para o 
candidato.
O candidato deve atentar-se aos conceitos 
de probabilidade para fazer a prova com 
mais clareza.
A prova trará junto a uma análise de texto 
os conceitos de probabilidade e estatística.
Para a prova, o candidato deve estar muni-
do de todos os temas deste livro e com cla-
reza na parte de probabilidade e estatística.
Questões medianas e difíceis aparece-
rão nessa prova. O candidato deve estar 
atento a todos os processos de resolução 
para uma questão de combinação e pro-
babilidade.
A prova não deixará de lado questões so-
bre estatística e sempre abordará questões 
contextualizadas para o seu candidato.
A prova é bem direta abordando todos os 
conceitos deste livro.
Por meio de uma prova muito bem elabo-
rada e contextualizada, o candidato deve 
estar atento aos diversos problemas de 
probabilidade. Combinação simples tam-
bém deverá aparecer em sua prova.
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1. Introdução
O conceito de combinação está intuitivamente associado à 
noção de escolha de subconjuntos.
Por exemplo, para o seguinte conjunto A:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Caso o objetivo seja obter todos os subconjuntos de A que 
possuem 3 elementos, o resultado será:
{1,2,3} , {1,2,4} , {1,2,5} , {1,3,4} , {1,3,5} , 
{1,4,5} , {2,3,4} , {2,3,5} , {2,4,5}, {3,4,5}
Assim, se forem escolhidos elementos de 3 em 3 entre 5, 
será obtido um total de 10 subconjuntos. Observe que o 
subconjunto {3,2,1} não aparece na lista, pois é o mesmo 
subconjunto que {1,2,3}, isto é, quando são tomados 
os subconjuntos, a ordem dos elementos não importa. A 
quantidade de subconjuntos de p elementos de um con-
junto de n elementos é denominada combinação de n 
elementos escolhidos de p em p.
Observe com atenção os dois exemplos a seguir:
1. Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equi-
pe. Dois deles precisam representar a equipe em uma apre-
sentação. Quais e quantas são as possibilidades?
Ane será representada por A; Elisa, por E; Rosana, por R; 
Felipe, por F; e Gustavo, por G. É preciso determinar todos 
os subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elemen-
tos {A, E, R, F, G}. A ordem em que os elementos apare-
cem nesses subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por 
exemplo, é a mesma dupla que Elisa-Ane.
Assim, os subconjuntos de 2 elementos são: {A,E}, {A,R}, 
{A,F}, {A,G}, {E,R}, {E,F}, {E,G}, {R,F}, {R,G}, {F,G}. Esses sub-
conjuntos são denominados combinações simples de 5 
elementos tomados com 2 elementos ou tomados 2 a 2. 
Deve ser escrito: C5,2.
Como o número total dessas combinações é 10, escreve-se 
C5,2 = 10.
2. Considere um conjunto com 5 elementos e calcule o 
número de combinações simples de 3 elementos, ou seja, 
o número de subconjuntos com 3 elementos.
Conjunto com 5 elementos: {a, b, c, d, e}.
Combinações simples de 3 elementos: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, 
e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.
Cada combinação dessas dá origem a 6 arranjos, permu-
tando de todos os modos possíveis seus 3 elementos.
Por exemplo: ao permutar todos os elementos da com-
binação {a, b, c}, são encontrados os arranjos: (a, b, c), 
(a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Isso significa que 
o número de arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3 é seis 
vezes o número de combinações de 5 elementos tomados 3 
a 3, ou seja:
A5, 3 = 6C5,3
Como o 6 foi obtido a partir de permutações dos 3 elemen-
tos de, por exemplo, {a, b, c}, tem-se P3 = 6. Assim:
A5, 3 = P3 · C5,3
ou
C5, 3 = 
A5, 3 ___ 
P3
 = 
 5! ______ 
(5 –3)!
 
 ______ 
3!
 = 5! _______ 
3!(5 –3)!
 = 5 · 4 · 3! _______ 
3!2!
 = 20 ___ 
2
 = 10
A cada combinação de n elementos tomados p a p cor-
respondem p! arranjos, que são obtidos permutando-se os 
elementos da combinação, ou seja:
Cn, p = 
An, p ___ 
p!
 = 
 n! ______ 
(n – p)!
 
 ______ 
p!
 = n! ________ 
p!(n – p)!
 
Assim:
Cn, p = 
An, p ___ 
p!
 ou Cn, p = n! ________ 
p!(n – p)!
 
Combinações simples de n elementos tomados p a 
p (pe suas tecnologias  49
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5
 12 · 11 · 10 · 9 · 8 ______________ 
5!
 = 792
3. Em um plano são marcados 6 pontos distintos, dos 
quais 3 nunca estão em linha reta.
a) Quantos segmentos de reta podem ser traçados 
ligando-os 2 a 2?
Resolução:
Marcam-se 6 pontos num plano, em que não existem 3 
alinhados.
Como em cada segmento tem-se 2 extremos, e, por exem-
plo, o segmento 

 AD é o mesmo que o segmento 

 DA , o 
número de segmentos é C6, 2 = 6 · 5 ____ 
2
 = 15.
Assim, pode-se traçar 15 segmentos de retas.
b) Quantos triângulos é possível formar tendo sempre 
3 pontos, dos 6, como vértices?
Resolução:
Como cada triângulo fica determinado por 3 pontos não 
colineares, tem-se, independentemente da ordem deles:
C6, 3 = 6 · 5 · 4 ______ 
3 · 2 · 1
 = 5 · 4 = 20
Assim, é possível formar 20 triângulos.
4. Quantas diagonais tem um hexágono convexo?
Resolução:
O número de segmentos que unem 2 vértices é, como no 
exercícios anterior, C6, 2 = 15.
Nesses 15 segmentos, além das diagonais, estão incluídos 
os 6 lados do hexágono.
Então:
C6, 2 – 6 = 15 – 6 = 9
Assim, o número de diagonais do hexágono convexo é 9.
5. No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de 
um baralho de 40 cartas (são excluídas as cartas 8, 9 e 
10). De quantas maneiras diferentes um jogador pode 
receber suas 3 cartas?
Resolução:
As 3 cartas diferem entre si pela natureza delas e não pela 
ordem. Como a ordem não importa, o problema fica resol-
vido calculando:
C40, 3 = 40 · 39 · 38 _________ 
3 · 2 · 1
 = 9.880
Assim, cada jogador pode receber suas 3 cartas de 9.880 
maneiras diferentes.
6. O conselho desportivo de uma escola é formado por 
2 professores e 3 alunos. Candidataram-se 5 professo-
res e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse 
conselho pode ser eleito?
Resolução:
Se os professores forem escolhidos de x maneiras, e os 
alunos de y maneiras, pelo princípio fundamental da con-
tagem serão escolhidos os professores e alunos de xy ma-
neiras. Assim:
Escolha dos professores: 
C5, 2 = 5! ____ 
2!3!
 = 5 · 4 · 3! _______ 
2!3!
 = 5 · 4 ____ 
2 · 1
 = 10
Escolha dos alunos: C30, 3 = 30! _____ 
3!27!
 
= 30 · 29 · 28 · 27! _____________ 
3!27!
 = 30 · 29 · 28 _________ 
3 · 2
 = 4.060
Portanto:
C5, 2 · C30,3 = 10 · 4060 = 40.600
Assim, o conselho pode ser eleito de 40.600 maneiras di-
ferentes.
7. Num voo da ponte aérea Rio-São Paulo, há apenas 7 
lugares disponíveis, e um grupo de 10 pessoas preten-
de embarcar nesse voo. De quantas maneiras é possível 
lotar o avião?
Resolução:
Deve-se procurar todos os subconjuntos (combinações) de 
7 pessoas formados de um grupo de 10 pessoas. Assim:
C10, 7 = C10, 3 = 10 · 9 · 8 _______ 
3 · 2
 = 120
Portanto, há 120 maneiras possíveis de lotar o avião.
8. Depois de uma reunião de negócios, foram tro-
cados um total de 15 apertos de mão. Sabendo que 
cada executivo cumprimentou todos os outros, qual 
o número de executivos que estavam presentes nes-
sa reunião?
50  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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5
Resolução:
Trata-se de um problema inverso. Sabe-se que Cn, 2 = 15 e 
procura-se o valor de n:
 n! ________ 
2!(n – 2)!
 = n(n – 1)(n – 2)! ____________ 
2!(n – 2)!
 = n(n – 1) ______ 
2
 
= 15 ⇒ n2 – n – 30 = 0 ⇒ n = 6 ou n = –5
Assim, o número de executivos era 6 (n não pode ser ne-
gativo).
Para conferir, verifique C6, 2 = 15.
9. Dados 8 pontos num mesmo plano, 5 deles perten-
cem a uma reta, 3 pertencem a outra e nenhum deles 
pertence, simultaneamente, às duas retas citadas.
a) Quantas retas eles determinam?
Resolução:
Para cada ponto de r com um dos 5 pontos de s, tem-
-se C5, 1 retas. Como são 3 pontos em r, tem-se 3C5, 1. 
Considerando ainda as retas r e s, tem-se o total de 3C5,1 + 
2 retas, ou seja:
3 · 5! ____ 
1!4!
 + 2 = 3 · 5 + 2 = 17
Assim, ficam determinadas 17 retas.
Outra resolução:
5C3, 1 + 2 = 17
b) Quantos triângulos eles determinam?
Resolução:
Um triângulo fica determinado quando se tem:
I. Um ponto em r e dois em s;
II. Um ponto em s e dois em r.
Calculando essas duas possibilidades e somando:
I. Tem-se 5 pontos em s e precisamos de 2. É preciso com-
biná-los 2 a 2:
C5, 2 = 5! ____ 
2!3!
 = 10
Como em r há 3 pontos e pode-se considerar qualquer um 
deles, tem-se:
3C5, 2 = 3 · 10 = 30 possibilidades
II. Da mesma forma, tem-se 3 pontos em r e precisamos de 
2. Combinando-os 2 a 2, tem-se:
C3, 2 = 3! ____ 
2!1!
 = 3
Como em s há 5 pontos e pode-se considerar qualquer um 
deles, tem-se:
5C3, 2 = 5 · 3 = 15 possibilidades
Juntando as possibilidades, tem-se:
3C5, 2 + 5C3, 2 = 30 + 15 = 45
Assim, são determinados 45 triângulos com esses 8 pontos.
Outra resolução:
Os 8 pontos agrupados 3 a 3 formam
C8, 3 = 8 · 7 · 6 ______ 
3 · 2
 = 56
Os 3 pontos de r agrupados 3 a 3 formam C3, 3 = 1 (não é 
triângulo).
Os 5 pontos de s agrupados 3 a 3 formam
C5, 3 = 5 · 4 · 3 ______ 
3 · 2
 = 10 (não são triângulos).
Assim, o total de triângulos é:
56 – 1 – 10 = 45
10. De quantas maneiras é possível colocar 10 bolas em 
3 urnas, de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 
3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira? 
Resolução:
Há C10, 2 maneiras de escolher as 2 bolas que ficarão na primeira 
urna. Para cada maneira há C8, 3 possibilidades de escolher as 3 
bolas que ficarão na segunda urna. Pelo princípio fundamental da 
contagem há, então, C10, 2 · C8, 3 maneiras de distribuir as 2 bolas na 
primeira urna e as 3 bolas na segunda urna. Para cada uma dessas 
possibilidades, há C5, 5 maneiras de colocar as 5 bolas na terceira 
urna. Portanto, novamente pelo princípio fundamental da contagem, 
há C10, 2 · C8, 3 · C5, 5 maneiras diferentes de colocar 2 bolas na pri-
meira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira urna.
1.ª urna 2.ª urna 3.ª urna
2 bolas 3 bolas 5 bolas
em 10 em 8 em 5
C10, 2 C8, 3 C5, 5
C10,2 · C8,3 · C5,5 = 10! ____ 
2!8!
 · 8! ____ 
3!5!
 · 5! ____ 
5!0!
 =
= 10 · 9 · 8! ________ 
2 · 1 · 8!
 · 8 · 7 · 6 · 5! _________ 
3 · 2 · 1 · 5!
 · 1! __ 
0!
 = 45 · 56 ·1 =
= 2.520
Assim, existem 2.520 possibilidades de realizar essa dis-
tribuição.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  51



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5
2. Problemas que envolvem os 
vários tipos de agrupamento
Os exercícios a seguir são exemplos de aplicação dos vários 
tipos de agrupamentos estudados e das formas de calcular 
o número de agrupamentos. O último exercício é a resolu-
ção do problema da introdução desta aula.
Aplicação do conteúdo
1. Usando os algarismos 5, 6 e 8, quantos números de 3 
algarismos distintos é possível formar?
Resolução:
P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6 números.
2. Usando os algarismos 1, 3, 4, 6 e 9, quantos números 
de 3 algarismos distintos é possível formar?
Resolução:
A5, 3 = 5! __ 
2!
 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 ___________ 
2 · 1
 = 60 
ou A5, 3 = 5 · 4 · 3 = 60 números
3. Quantas comissões diferentes de 3 pessoas é possível 
formar para representar um grupo de 10 pessoas?
Resolução:
C10, 3 = 10! ____ 
3!7!
 = 10 · 9 · 8 · 7! __________ 
3 · 2 · 1 · 7!
 = 120 
ou C10, 3 = 
A10, 3
 ____ 
3!
 = 10 · 9 · 8 _______ 
3 · 2 · 1
 = 120 comissões
4. Quantos anagramas tem a palavra BANANA?
Resolução:
P6
3,2,1 = 6! ______ 
3!2!1!
 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 ______________ 
3 · 2 · 1 · 2 · 1 · 1
 = 60 anagramas
5. Quantos números naturais de 2 algarismos (distin-
tos ou não) é possível formar com os algarismos 4, 7, 
8 e 9?
Resolução:
4 possibilidades para o 1.º algarismo e 4 para o 2.º:
4 · 4 = 16 números.
6. Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, 
quantas placas diferentes de automóvel podem ser feitas 
de modo que, em cada uma, existam três letras (não repe-
tidas) seguidas de quatro algarismos (repetidos ou não)?
Resolução:
As 26 letras serão agrupadas de 3 em 3 sem repetição:26 · 25 · 24 = 15.600 agrupamentos de letras
Os 10 algarismos serão agrupados de 4 em 4, com repetição: 
10 · 10 · 10 · 10 = 10.000 agrupamentos de algarismos. Para 
cada agrupamento de letras é possível usar todos os agrupamen-
tos de algarismos. Então, o total de placas é?
15.600 · 10.000 = 156.000.000 placas
52  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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
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5
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 2
Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
Dentro das competências da área 1 do Enem, a habilidade 2 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos sobre análise combinatória.
MODELO 1
(Enem) Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de fute-
bol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. 
O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas 
jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro:
Quantidade de jogadores 2 3 4 5 6 7
Número de partidas 1 3 6 10 15 21
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas?
a) 64
b) 56
c) 49
d) 36
e) 28
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conhecimentos 
sobre análise combinatória para a sua resolução.
O número de partidas pode ser calculado pelo número de combinações de jogadores, 2 a 2.
Assim: C8, 2 = 8! ____ 
6!6!
 = 8 ∙ 7 ∙ 6! _________ 
2 ∙ 6!
 = 28 partidas
RESPOSTA Alternativa E
MATEMÁTICA e suas tecnologias  53


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5
DIAGRAMA DE IDEIAS
ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÃO SIMPLES
QUANDO A ORDEM 
NÃO IMPORTA
n!Cn.p= p!(n − p!)
n TOTAL DE ELEMENTOS
p N.º DE ELEMENTOS POR GRUPO
54  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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
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5
1. Introdução
Toda potência da forma (x + y)n, com x ∈ R, y ∈ R e n ∈ 
N, é conhecida como binômio de Newton.
O desenvolvimento do binômio de Newton é simples em 
casos como estes:
 § (5x – 7)0 = 1
 § (x + y)1 = x + y
 § (x + y)2 = (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2
 § (x + y)3 = (x + y)2 (x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Em casos como (x + y)7, (2x – y)5, (x + 2)10 e outros, deve-se 
aos conhecimentos adquiridos na análise combinatória.
Observe nos binômios de Newton desenvolvidos como são 
os coeficientes de cada termo:
1. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = 1x2y0 + 2x1y1 + 1x0y2 = 
2
0
x2y0 + 
2
1
x1y1 + 
2
2
x0y2
2. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = 1x3y0 + 3x2y1 + 3x1y2 + 1x0y3= 
3
0
x3y0 + 
3
1
x2y1 + 
3
2
x1y2 + 
3
3
x0y3
Note que os coeficientes dos desenvolvimentos são as linhas do triângulo de Pascal. Será que isso também acontece com (x + y)4?
De fato:
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 = 1x4y0 + 4x3y1 + 6x2y2 4x1y3 + 1x0y4 =
(x + y)4 = 
4
0
x4y0 + 
4
1
x3y1 + 
4
2
x2y2 + 
4
3
x1y3 + 
4
4
x0y4
Generalizando, pode-se escrever: para x e y ∈ R e n ∈ N:
(x + y)n = 
n
0
xn + 
n
1
xn – 1 y + 
n
2
xn – 2 y2 + … + 
n
k
xn – k yk + … + 
n
n
yn
Observe que os expoentes de x começam em n e decrescem de 1 em 1 até 0, enquanto os expoentes de y começam em 0 
e crescem de 1 em 1 até n.
Nota
Dados os números naturais n e p, com n ≥ p, o número 
n
p
 é denominado número binomial n sobre p.
Lembre-se:
Cn,p = 
n
p
 = n! ________ 
p!(n – p)!
 
BINÔMIO DE 
NEWTON E 
TRIÂNGULO 
DE PASCAL
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19, 20 e 21
MT
AULAS 
37 E 38
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


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Aplicação do conteúdo
1. Efetue o desenvolvimento do binômio em cada item:
a) (x + a)5
b) (2x – a)4
c) ( x – 1 __ 
2
 ) 
6
d) ( dXX 3 + dXX 5 ) 4
Resolução:
a) (x + a)5 = 
5
0
x5 + 
5
1
x4a + 
5
2
x3a2 + 
5
3
x2a3 + 
5
4
xa4 + 
5
5
a5
Assim:
(x + a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a2 + 10x2a3 + 5xa4 + a5
b) (2x – a)4 = [2x + (–a)]4 = 
4
0
(2x)4 + 
4
1
(2x)3(–a) + 
4
2
(2x)2(–a)2 + 
4
3
(2x)(–a)3 + 
4
4
(–a)4
Portanto:
(2x – a)4 = 1 ⋅ 16x4 + 4 ⋅ 8x3(–a) + 6 ⋅ 4x2a2 + 4 ⋅ 2x(–a)3 + 1a4 = 16x4 – 32x3a + 24x2a2 – 8xa3 + a4
c) ( x – 1 __ 
2
 ) 
6
 = [ x + ( – 1 __ 
2
 ) ] 
6
 = 
6
0
x6 + 
6
1
x5 ( – 1 __ 
2
 ) + 
6
2
x4 ( – 1 __ 
2
 ) 
2
 +
+ 
6
3
x3 ( – 1 __ 
2
 ) 
3
 + 
6
4
x2 ( – 1 __ 
2
 ) 
4
 + 
6
5
x ( – 1 __ 
2
 ) 
5
 + 
6
6
 ( – 1 __ 
2
 ) 
6
Calculando: 
6
0
 = 
6
6
 = 1; 
6
1
 = 
6
5
 = 6; 
6
2
 = 
6
4
 = 15; 
6
3
 = 20, tem-se:
 ( x – 1 __ 
2
 ) 
6
 = x6 – 6 __ 
2
 x5 + 15 ___ 
4
 x4 – 20 ___ 
8
 x3 + 15 ___ 
16
 x2 – 6 ___ 
32
 x + 1 ___ 
64
 = x6 – 3x5 + 15 ___ 
4
 x4 − 5 __ 
2
 x3 + 15 ___ 
16
 x2 – 3 ___ 
16
 x + 1 ___ 
64
 
d) ( dXX 3 + dXX 5 ) 4 = 
4
0
( dXX 3 )4 + 
4
1
( dXX 3 )3 dXX 5 + 
4
2
( dXX 3 )2( dXX 5 )2 + 
4
3
 dXX 3 ( dXX 5 )3 + 
4
4
( dXX 5 )4 =
= ( dXX 3 )4 + 4( dXX 3 )3 dXX 5 + 6( dXX 3 )2( dXX 5 )2 + 4 dXX 3 ( dXX 5 )3 + ( dXX 5 )4 =
= 9 + 12 dXX 3 · dXX 5 + 6 · 3 · 5 + 20 dXX 3 · dXX 5 + 25 = 124 + 32 dXXX 15 
2. Qual o valor da soma dos coeficientes do desenvolvimento de (3x – y)10?
Resolução:
Para obter apenas a soma dos coeficientes, basta fazer x = y = 1:
S = (3 ⋅ 1 – 1)10 = 210 = 1024
↓
1
↓
5
↓
10
↓
10
↓
5
↓
1
↓
1
↓
4
↓
6
↓
4
↓
1
56  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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3. Qual o valor de S = 
10
0
 + 
10
1
 ⋅ 3 + 
10
2
 ⋅ 32 + ... + 
10
9
 ⋅ 39 + 
10
10
 ⋅ 310?
Resolução:
Note que S pode ser reescrito como:
S = 
10
0
 ⋅ 110 ⋅ 30 + 
10
1
 ⋅ 19 ⋅ 31 + 
10
2
 ⋅ 18 ⋅ 32 + ... + 
10
10
 ⋅ 10 ⋅ 310 ⇒ S = (1 + 3)10 = 410
2. Termo geral do binômio
No desenvolvimento de (x + y)n, foi visto que:
(x + y)n = 
n
0
xn + 
n
1
xn – 1y + 
n
2
xn – 2y2 + ... + 
n
k
xn – kyk + ... + 
n
n
yn
Com isso, o termo geral é dado por:
Tk + 1 = 
n
k
xn – kyk
Observe que o desenvolvimento tem (n + 1) termos.
T1 T2 T3 Tk + 1
Tn + 1
Aplicação do conteúdo
1. Qual é o quinto termo do desenvolvimento de (x + 
3)5, de acordo com as potências decrescentes de x?
Resolução:
O valor de T5 é calculado assim: como 5 = k + 1 ⇒ k = 4, 
obtém-se:
T5 = 
5
4
x5 – 4 ⋅ 34 = 5! ____ 
4!1!
 x ⋅ 81 = 405x
Portanto, o quinto termo de (x + 3)5 é 405x.
2. Qual é o sexto termo do desenvolvimento de (x – 2)7?
Resolução:
O valor de T6 é calculado assim: como 6 = k + 1 ⇒ k = 5, 
obtém-se:
T6 = 
7
5
x7 – 5(–2)5 = –
7
5
25x2 
T6 = – 7! ____ 
5!2!
 ⋅ 32x2 = –672x2
Portanto, o sexto termo do desenvolvimento de (x – 2)7 é –672x2.
3. Calcule o termo independente de x no desenvolvi-
mento de ( x + 1 __ x ) 
6
.
Resolução:
Tk + 1 = 
6
k
x6 – k ⋅ ( 1 __ x ) k = 
6
k
x6 – k . x–k = 
6
k
x6 – 2k
O termo independente de x é o de x0, ou seja, se 6 – 2k = 0 ⇒ 
k = 3.
Assim, o termo independente de x é:
T4 = 
6
3
 = 6! ____ 
3!3!
 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! __________ 
3!3!
 = 20
4. Qual é o termo médio (ou central) no desenvolvimen-
to de (x – 3)6?
Resolução:
Como o binômio está elevado à sexta potência, o desenvolvi-
mento tem sete termos. É necessário procurar o quarto termo, o 
termo central:
k + 1 = 4 ⇒ k = 3
T4 = 
6
3
x6 – 3(–3)3 = –
6
3
27x3 = –20 ⋅ 27x3 
T4 = –540x3
MATEMÁTICA e suas tecnologias  57



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5
5. No desenvolvimento de (x – 2)50, determine os coefi-
cientes do quarto e do penúltimo termos.
Resolução:
O termo geral é dado por Tk + 1 = 
50
k
x50 – k (–2)k.
 § O quarto termo é o T4; portanto, k + 1 = 4 ⇒ k = 3.
T4 = 
50
3
 x50 – 3(–2)3 = –
50
3
8x47 
T4 = –156.800x47
 § O penúltimo termo é o T50; portanto, k + 1 = 50 ⇒ k = 49.
T50 = 
50
49
x50 – 49(–2)49 = –50 ⋅ 249 x
Portanto, os coeficientes do quarto e do penúltimo termos são 
–156.800 e –50 ⋅ 249, respectivamente.
6. Qual é o termo em x5 no desenvolvimento (x + 3)8?
Resolução:
O termo geral é dado por Tk + 1 = 
8
k
x8 – k ⋅ 3k
O termo em x5ocorre se 8 – k = 5, ou seja, se k = 3.
Assim, o termo em x5 é dado por:
T4 = 
8
3
x8 – 3 ⋅ 33 = 56 ⋅ 27x5 = 1.512x5
7. Desenvolvendo o binômio (x2 – 2)5, obtém-se 
(x2 – 2)5 = x10 + mx8 + 40x6 – 80x4 + 80x2 + n; portanto, 
m + n é:
a) +48. b) 42. c) –9. d) –42. e) –48.
Resolução:
Pretende-se determinar o segundo e o sexto termos.
Para isso, considere o termo geral:
Tk + 1 = 
5
k
 (x2)5 – k (–2)k = 
5
k
x10 – 2k ⋅ (–2)k
Portanto:
T2 = 
5
1
 x8 (–2) = –10x8
T6 = 
5
5
 x0 (–2)5 = –32
Assim, m = –10 e n = –32; logo, m + n = –42.
Alternativa D
3. Números binomiais e 
triângulo de Pascal
No Ensino Fundamental, foram estudados os produtos no-
táveis, conceito de grande aplicação na resolução de equa-
ções do segundo grau. Com eles, uma expressão passava 
da forma fatorada à forma parcelada e vice-versa.
Assim, a expressão (a + b)2, depois de desenvolvida, resul-
tava a2 + 2ab + b2, sua forma parcelada. A passagem des-
sa forma para a forma anterior correspondia à fatoração.
O cubo da soma (a + b)3 também pode ter sido estudado, 
mas potências iguais a 4 ou mais certamente não foram 
abordadas ainda.
Esta aula estuda o desenvolvimento de expressões como 
essas para qualquer valor natural do expoente.
3.1. Números binomiais
É denominado número binomial o número
n
p
 = n! ________ 
p!(n – p)!
 
(n é o numerador e p é a classe do número binomial).
Exemplo
5
2
 = 5! ________ 
2!(5 – 2)!
 = 5! _____ 
2! ⋅ 3!
 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3! _______ 
2 ⋅ 1 ⋅ 3!
 = 10
3.1.1. Propriedade
Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo 
numerador e:
 § se suas classes forem iguais; ou
 § se a soma de suas classes for igual ao numerador (bi-
nomiais complementares).
Aplicação do conteúdo
1. Obtenha o valor de x, sabendo que
 
7
3
 = 
7
x
.
Resolução:
Sabe-se que a igualdade acontece nessas situações: x = 3 
ou 3 + x = 7.
Se 3 + x = 7, logo x = 4.
Assim, os valores de x são x = 3 ou x = 4.
58  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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E 
5
3.2. Triângulo de Pascal
É possível dispor os números binomiais em formações triangulares como esta:
0
0
1
0
 
1
1
2
0
 
2
1
 
2
2
3
0
 
3
1
 
3
2
 
3
3
4
0
 
4
1
 
4
2
 
4
3
 
4
4
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
n
0
 
n
1
 
n
2
 
n
3
 ... 
n
n
ou
0
0
1
0
 
1
1
2
0
 
2
1
 
2
2
3
0
 
3
1
 
3
2
 
3
3
4
0
 
4
1
 
4
2
 
4
3
 
4
4
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
n
0
 
n
1
 
n
2
 
n
3
 ... 
n
n
MATEMÁTICA e suas tecnologias  59



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5
Calculando cada número binomial, obtém-se:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
ou
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Essa maneira de dispor tais números é conhecida como triângulo de Pascal.
3.3. Propriedades dos números binomiais
Observando o triângulo de Pascal, é possível tirar as seguintes propriedades:
1. Por exemplo: 
 
3
1
 = 
3
2
 ⇒ 1 + 2 = 3
4
1
 = 
4
3
 ⇒ 1 + 3 = 4
5
2
 = 
5
3
 ⇒ 2 + 3 = 5
De modo geral, como visto no item anterior:
n
a
 = 
n
b
, pois a + b = n (binomiais complementares)
60  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
2. Observe: 
3
1
 + 
3
2
 = 
4
2
3
2
 + 
3
3
 = 
4
3
4
2
 + 
4
3
 = 
5
3
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
De modo geral:
n – 1
p – 1
 + 
n – 1
p
 = 
n
p
 (relação de Stifel)
3. Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no triângulo de Pascal:
0
0
 = 1 = 20
1
0
 + 
1
1
 = 1 + 1 = 2 = 21
2
0
 + 
2
1
 + 
2
2
 = 1 + 2 + 1 = 4 = 22
3
0
 + 
3
1
 + 
3
2
 + 
3
3
 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23
4
0
 + 
4
1
 + 
4
2
 + 
4
3
 + 
4
4
 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24
Qual seria o valor de 
6
0
 + 
6
1
 + 
6
2
 + 
6
3
 + 
6
4
 + 
6
5
 + 
6
6
?
De modo geral, obtém-se:
n
0
 + 
n
1
 + 
n
2
 + 
n
3
 + ... + 
n
n – 1
 + 
n
n
 = 2n
MATEMÁTICA e suas tecnologias  61



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5
DIAGRAMA DE IDEIAS
4. Embora menos importantes do que as anteriores, existem também as seguintes propriedades: 
 § A soma dos n primeiros elementos de uma coluna é igual ao binomial situado imediatamente à direita e abaixo do 
último elemento considerado.
De modo geral, obtém-se:
p
p
 + 
p + 1
p
 + 
p + 2
p
 + ... + 
n
p
 = 
n + 1
p + 1
 § A soma dos n primeiros elementos de uma diagonal é igual ao binomial situado imediatamente abaixo do último ele-
mento considerado.
De modo geral, obtém-se:
n
0
 + 
n + 1
1
 + 
n + 2
2
 + ... + 
n + p
p
 = 
n + p + 1
p
BINÔMIO DE
NEWTON
TRIÂNGULO DE
PASCAL
TERMO GERAL
Tk + 1 = ( n 
k
 ) xn – k · yk
NÚMERO BINOMIAL
( n 
p
 ) = n! _________ 
p! (n - p)!
PROPRIEDADES
Dois números binomiais são iguais 
se tiverem o mesmo numerador e:
• as classes forem iguais; ou
• a soma de suas classes 
for igual ao numerador PROPRIEDADES
1) ( n 
a
 ) = ( n 
b
 )
a + b = n
2) Relação de Stifel
( n - 1 
p - 1
 ) + ( n - 1 
p
 ) = ( n 
p
 )
3) ( n 
0
 ) + ( n 
1
 ) + ( n 
2
 ) + ( n 
3
 ) + ... + ( n 
n - 1
 ) + ( n 
n
 ) = 2n
Disposição de números
binomiais em formações
triangulares 
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
62  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
1. Definição teórica 
de probabilidade 
Considere o fenômeno aleatório do lançamento de uma 
moeda perfeita.
W = {C, 

 C } ⇒ p(W) = 1
 § Os subconjuntos de W são: ∅, {C}, { 

 C } e {C, 

 C }.
P(∅) = 0 p({C}) = 1 __ 
2
 
p({ 

 C }) = 1 __ 
2
 p({C, 

 C }) = 1
p(A) > 0 para todo A ⊂ W.
 § Considerando A = {C} e B = { 

 C }, A ∩ B = ∅ e 
p(A ∪ B) = p({C} ∪ { 

 C }) = p {(C, 

 C )} = p(W) = 1 = 1 __ 
2
 + 1 __ 
2
 = 
= p({C}) + p({ 

 C }) = p(A) + p(B).
Portanto, pode-se teoricamente considerar a probabilida-
de como uma função definida nas partes de um conjunto 
(espaço amostral W) com valores reais que satisfaz as se-
guintes propriedades:
 § P1: p(A) > 0, para qualquer A ⊂ W
 § P2: p(W) = 1
 § P3: p(A ∪ B) = p(A) + p(B), se A ∩ B = ∅ (eventos 
mutuamente exclusivos)
Observe que essas três propriedades aparecem no exem-
plo anterior.
1.1. Consequência da definição
Como consequência da definição teórica de probabilidade, 
as propriedades são as seguintes:
1. Impossibilidade ou p(∅) = 0
Uma vez que um evento qualquer A (A subconjunto de W) 
pode ser escrito como A ∪ ∅ = ∅, a propriedade P3 pode 
ser aplicada:
p(A) = p(A ∪ ∅) = p(A) + p(∅) ⇒ p(∅) = 0
p(∅) = 0
2. Probabilidade do evento complementar
Observe que, se 

 A é a notação para “complementar de A”:
A ∪ 

 A = W e A ∩ 

 A = ∅
Assim:
p(W) = p(A ∪ 

 A )
Aplicadas P2 e P3, obtém-se:
1 = p(A) + p( 

 A ) ou, equivalentemente,
p( 

 A ) = 1 – p(A)
3. Propriedade da união de dois eventos
São conhecidas as probabilidades de ocorrência de dois 
eventos quaisquer A e B. O que se busca é a probabilidade 
de que ocorra o evento A ∪ B, ou seja, de que p(A) e p(B) 
sejam conhecidas e de que se encontre uma expressão 
para p(A ∪ B).
Graças à propriedade P3, sabe-se que, se A ∩ B = ∅, 
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) e que se A e B são conjuntos quais-
quer, obtém-se:
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩   B ) (I)
B = (A ∩ B) ∪ ( 

 A ∩ B) (II)
A ∪ B = (A ∩ 

 B ) ∪ (A ∩ B) ∪ ( 

 A ∩ B)
Uma vez que (A ∩ 

 B ), (A ∩ B) e ( 

 A ∩ B) são dois a dois 
disjuntos, pode-se aplicar P3 e obter:
p(A ∪ B) = p(A ∩ 

 B ) + p(A ∩ B) + p( 

 A ∩ B) (III)
PROBABILIDADE: 
ADIÇÃO
COMPETÊNCIA(s)
7
HABILIDADE(s)
27, 28, 29 e 30
MT
AULAS 
39 E 40
MATEMÁTICA e suas tecnologias  63



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5
Considerando as probabilidades dos eventos A e B em (I) e (II), obtém-se:
p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∩ 

 B ) ⇔ p(A ∩ 

 B ) = p(A) – p(A ∩ B) (IV)
p(B) = p(A ∩ B)+ p( 

 A ∩ B) ⇔ p( 

 A ∩ B) = p(B) – p(A ∩ B) (V)
Substituídos (IV) e (V) por (III), conclui-se que:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) ⇒ 
⇒ probabilidade da união de dois eventos
Aplicação do conteúdo
1. No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é a probabilidade de que não saia soma 5?
Resolução:
Nesse caso, como já visto, W tem 36 elementos:
W = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6, 6)} ⇒ n(W) = 36
Seja A o evento “sair soma 5”:
A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} ⇒ n(A) = 4
p(A) = 
n(A)
 ____ 
n(W)
 = 4 ___ 
36
 = 1 __ 
9
 e p( 

 A ) = 1 – p(A) = 1 – 1 __ 
9
 = 8 __ 
9
 
A probabilidade de não sair soma 5 é de 8 __ 
9
 .
2. No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é a probabilidade de que se obtenha soma 
par ou soma múltipla de 3?
Resolução:
Nesse caso, já se sabe que:
W = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6, 6)} ⇒ n(W) = 36
Evento A: “sair soma par”:
A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2),(4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
Portanto, n(A) = 18.
Evento B: “sair soma múltipla de 3”:
B = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}
Portanto, n(B) = 12.
A intersecção dos eventos A e B representa o evento “sair soma par e múltiplo de 3”. Se feita a intersecção dos conjuntos, obtém-se:
A ∩ B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 6)} ⇒ n(A ∩ B) = 6
Assim:
p(A) = 18 ___ 
36
 = 1 __ 
2
 p(B) = 12 ___ 
36
 = 1 __ 
3
 p(A ∩ B) = 6 ___ 
36
 = 1 __ 
6
 
A probabilidade de se obter “soma par ou soma múltipla de 3” é dada por:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) =
probabilidade de se 
obter soma múltipla 
de 3
probabilidade de se 
obter soma par e 
múltipla de 3
probabilidade de se 
obter soma par
= 1 __ 
2
 + 1 __ 
3
 – 1 __ 
6
 
= 3 __ 
6
 + 2 __ 
6
 – 1 __ 
6
 = 4 __ 
6
 = 2 __ 
3
 
64  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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
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5
3. Ao retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás?
Resolução:
Evento V: “a carta é vermelha”; evento A: “a carta é ás”.
Evento (V ∪ A): “a carta é vermelha ou ás”
p(V ∪ A) = p(V) + p(A) – p(V ∩ A)
Num baralho com 52 cartas, há 26 cartas vermelhas e 26 cartas pretas. Há também 4 ases, dos quais 2 são vermelhos.
Portanto:
p(V) = 26 ___ 
52
 = 1 __ 
2
 p(A) = 4 ___ 
52
 = 1 ___ 
13
 p(V ∩ A) = 2 ___ 
52
 = 1 ___ 
26
 
Assim:
P(V ∪ A) = 1 __ 
2
 + 1 ___ 
13
 – 1 ___ 
26
 = 14 ___ 
26
 = 7 ___ 
13
 
A probabilidade de a carta retirada ser vermelha ou um ás é de 7 ___ 
13
 .
4. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos e p(A) = 0,25 e p(B) = 0,5, determine:
a) p( 

 A ∪ B ).
b) p(A ∪ B).
c) p( 

 A ).
d) p( 

 B ).
e) A probabilidade do evento “A mas não B”.
Resolução:
a) p( 

 A ∪ B ) = 1 – p(A ∪ B) = 
1 – [p(A) + p(B) – p(A ∩ B)]
p( 

 A ∪ B ) = 1 – (0,25 + 0,5) = 0,25
Pois p(A ∩ B) = 0, já que (A ∩ B) = ∅ (mutuamente exclusivos).
b) p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
= 0,25 + 0,5 – 0 = 0,75.
c) p( 

 A ) = 1 – p(A) = 1 – 0,25 = 0,75.
d) p( 

 B ) = 1 – p(B) = 1 – 0,5 = 0,5.
e) “A mas não B” é equivalente a “A e não B”: A ∩ 

 B .
Uma vez que A ∩ 

 B = A – (A ∩ B), obtém-se 
P(A ∩ 

 B ) = p(A) – p(A ∩ B) = 0,25 – 0 = 0,25.
5. Certa máquina produziu 50 parafusos, dos quais 5 eram defeituosos. Ao retirar ao acaso 3 parafusos, qual é a pro-
babilidade de que:
a) Os três sejam perfeitos?
b) Os três parafusos sejam defeituosos?
c) Pelo menos dois sejam defeituosos?
d) Pelos menos um seja defeituoso?
Resolução:
a) Calculando o número de elementos do espaço amostral, n(W) = número de 50 elementos tomados 3 a 3.
n(W) = 
50
3
 = 50! _____ 
3!47!
 = 50 · 49 · 48 · 47! _____________ 
3 · 2 · 47!
 
= 50 · 49 · 8
MATEMÁTICA e suas tecnologias  65



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5
Evento A: os três parafusos são perfeitos
n(A) = 
45
3
 = 45! _____ 
3!42!
 = 45 · 44 · 43 · 42! _____________ 
3 · 2 · 42!
 
= 15 · 22 · 43
p(A) = 
n(A)
 ____ 
n(W)
 = 15 ⋅ 22 ⋅ 43 _________ 
50 ⋅ 49 ⋅ 8
 ≈ 0,72398
b) Evento B: os três parafusos defeituosos podem 
ocorrer de 
5
3
 maneiras.
Assim:
n(B) = 
5
3
 = 5! ____ 
3!2!
 = 5 · 2 = 10
p(B) = 
n(B)
 ____ 
n(W)
 = 10 ________ 
50 ⋅ 49 ⋅ 8
 ≈ 0,0005
c) Evento C: pelo menos 2 parafusos são defeituo-
sos, ou seja, ou 2 ou 3 são defeituosos. Chamando de 
D o evento “2 são defeituosos” e de B o evento “três 
são defeituosos”, obtém-se C = D ∪ B.
p(C) = p(D ∪ B) = p(D) + p(B) – p(D ∩ B)
Como D ∩ B = ∅, p(D ∩ B) = 0, logo:
p(C) = p(D) + p(B).
Basta calcular p(D).
Para cada 
5
2
 escolhas de 2 defeituosos, há 
45
1
 possi-
bilidades para o outro parafuso ser perfeito, ou seja:
n(D) = 
5
2
45
1
Assim:
p(D) = 
5
2
45
1
50
3
 = 
5
2
45
1
50
3
 =
 
 5! ____ 
2!3!
 ⋅ 45! ___ 
44!
 
 ________ 
 50! _____ 
3!47!
 
 = 9 ___ 
392
 ≈ 0,02296
p(C) = p(D) + p(B) ≈ 0,02296 + 0,0005 
= 0,02346.
d) Evento E: “pelo menos um é defeituoso”, que é 
o complementar do evento A: “os três são perfeitos” 
(que é o mesmo de “nenhum é defeituoso”).
Assim:
p(E) = p( 

 A ) = 1 – p(A) = 1 – 0,72398 = 0,27602.
6. Se a probabilidade de sair cara com uma moeda vi-
ciada é o dobro da probabilidade de sair coroa, qual é a 
probabilidade de sair cara?
Resolução:
Se a moeda é viciada, os eventos elementares não são equipro-
váveis. Sabe-se, no entanto, que P(W) = 1. Desse modo: P(C) = 
2P( 

 C ) (enunciado).
Portanto:
3 ⋅ P( 

 C ) = 1 e P( 

 C ) = 1 __ 
3
 
Assim:
P(C) = 1 – P( 

 C ) = 2 __ 
3
 
1.2. Resumo das probabilidades calculadas
Evento Probabilidade
A p(A) = n(A) ____ 
n(W)
 
  A 1 – p(A)
A ∪ B p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
  A ∩  B p( 
 A ∪ B )
  A ∪  B p( 
 A ∩ B )
A ∩  B p(A) – p(A ∩ B)
FonTe: YouTube
Probabilidade básica
multimídia: vídeo
https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/prob-
-comb/basic-prob-precalc/v/basic-probability
multimídia: site
66  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 28
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
Dentro das competências da área 7 do Enem, a habilidade 28 exige do aluno a capacidade de resolver uma situ-
ação proposta a partir de conhecimentos sobre probabilidade.
MODELO 1
(Enem) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das 
senhas é sorteada ao acaso.
Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?
a) 1/100
b) 19/100
c) 20/100
d) 21/100
e) 80/100
ANÁLISE EXPOSITIVA
A senha que se deseja sortear deve ter números de 1 a 20. Então, tem-se vinte números desejáveis em cem 
casos totais. Como probabilidade é a razão entre o que desejamos e o todo, o resultado será 20/100.
RESPOSTA Alternativa C
O tópico de probabilidade tem grande afinidade com a biologia, mais especificamente com a genética. Os exemplos são 
inúmeros, desde a probabilidade de herdar uma doença dos ancestrais e a probabilidade de compatibilidade do material 
genético para teste de paternidade até exemplos de casos verificados pela primeira Lei de Mendel (lei de segregação de 
fatores). Assim, classificar primeiro os indivíduos entre homozigóticos e heterozigóticos, alelos dominantes e recessivos, 
e definir o seu espaço amostral, é um passo fundamental para partir para os cálculos probabilísticos.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  67



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5
DIAGRAMA DE IDEIAS
PROBABILIDADE
ESPAÇO AMOSTRAL W
Conjunto de todos os casos possíveis de um 
experimento aleatório
EVENTO E
Subconjunto do espaço amostral
EVENTO COMPLEMENTARDois ou mais eventos são complementares se 
juntos formam um espaço amostral
CÁLCULOS DAS PROBABILIDADES
Evento Probabilidade
A p(A) = n(A) ____ 
n(W)
 
  A 1 – p(A)
A ∪ B p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
  A ∩  B p( 
 A ∪ B )
  A ∪  B p( 
 A ∩ B )
A ∩  B p(A) – p(A ∩ B)
EVENTOS PROVÁVEIS
P (E) = n(E) ____ 
n(W)
 = n.o de casos favoráveis
n.o de casos possíveis
 
68  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
1. Probabilidade condicional
Considere a situação a seguir:
Uma moeda foi lançada três vezes. Foi visto que, nesse 
caso, o espaço amostral é:
V = {CCC, CC 

 C , C 

 C C, C 

 C 

 C , 

 C CC, 

 C C 

 C , 

 C 

 C C, 

 C 

 C 

 C }
Considere o evento A: o resultado foi cara exatamente 
duas vezes.
A = {CC 

 C , C 

 C C, 

 C CC} é p(A) = 3 __ 
8
 
Agora, considere que, ao ser lançada a moeda três vezes, 
“o resultado do primeiro lançamento foi cara”. Qual é a 
probabilidade de resultar cara exatamente duas vezes?
O espaço amostral passa a ser B com:
B = {CCC, CC 

 C , C 

 C C, C 

 C 

 C } e A’ = {CC 

 C , C 

 C C}
Do qual A’ = A > B, e a probabilidade pedida é:
P(A’) = n(A’) ____ 
n(B’)
 = 2 __ 
4
 = 1 __ 
2
 
A probabilidade do evento “sair cara em ambos os lança-
mentos” foi modificada pela presença do evento condicio-
nante “o resultado do primeiro lançamento foi cara”.
Definindo:
 § evento A: exatamente dois dos três lançamentos dão 
cara é A = {CC 

 C , C 

 C C, 

 C CC}
 § evento B: o primeiro lançamento dá cara é B = {CCC, 
CC 

 C , C 

 C C, C 

 C 

 C }
Denota-se por A/B o “evento A condicionado ao fato de 
que o evento B já ocorreu”, e, por P(A/B), denota-se a pro-
babilidade condicional de ocorrer A, uma vez ocorrido B.
Nesse exemplo, P(A/B) é a probabilidade de sair cara exa-
tamente duas vezes, dado que saiu cara no primeiro lan-
çamento.
Foi visto que:
p(A/B) = p(A’) = 1 __ 
2
 
Assim:
p(A/B) = n(A’) ____ 
n(B’)
 = n(A > B) _______ 
n(B)
 
Ao dividir ambos os termos da fração por n(V) ≠ 0, ob-
tém-se:
p(A/B) = 
 n(A > B) _______ 
n(V)
 
 _______ 
 n(B) ____ 
n(V)
 
 = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 
Portanto:
p(A/B) = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 ou p(A > B) = p(A/B) · p(B)
Aplicação do conteúdo
1. Ao retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, qual 
é a probabilidade de sair um ás vermelho de copas?
Resolução:
Nesse caso, n(V) = 52.
Evento A: sair ás vermelho
Evento B: sair copas
O que o problema pede é p(A/B), ou seja, a probabilidade de sair 
ás vermelho de copas.
Evento A: {ás de copas, ás de ouros}
Evento B: {cartas de copas} ä n(B) = 13
A > B = {ás de copas} ä n(A > B) = 1
Assim, p(A > B) = 1 ___ 
52
 e p(B) = 13 ___ 
52
 .
Portanto:
P(A/B) = 
 1 ___ 
52
 
 ___ 
 13 ___ 
52
 
 = 1 ___ 
13
 
Assim, ao retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, a pro-
babilidade de sair ás vermelho de copas é de 1 ___ 
13
 .
2. Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabi-
lidade de que a família tenha 3 homens, uma vez que a 
primeira criança que nasceu é homem?
PROBABILIDADE 
CONDICIONAL
COMPETÊNCIA(s)
7
HABILIDADE(s)
27, 28, 29 e 30
MT
AULAS 
41 E 42
MATEMÁTICA e suas tecnologias  69



 V
O
LU
M
E 
5
Resolução:
Nesse caso, ao classificar M de mulher e H de homem, obtém-se:
V = {HHH, HHM, HMM, MMM, MMH, 
MHH, HMH, MHM} ä n(V) = 8
Evento A: a família tem 3 homens ä A = {HHH}
Evento B: a primeira criança é homem ä 
ä B = {HHH, HHM, HMH, HMM}
A > B = {HHH}; p(A > B) = 1 __ 
8
 ; p(B) = 4 __ 
8
 = 1 __ 
2
 
P(A/B) = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 = 
 1 __ 
8
 
 __ 
 1 __ 
2
 
 = 1 __ 
4
 
3. Dois dados perfeitos são lançados. Qual é a probabi-
lidade de sair soma 8, uma vez que, no primeiro dado, 
ocorreu o 3?
Resolução:
V = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 5), (6, 6)} ä n(V) = 36
Evento A: sair soma 8 ä A = {(2, 6), (3, 5), 
(4, 4), (5, 3), (6, 2)}
Evento B: sair 3 no primeiro dado ä B = {(3, 1), (3,2), (3,3), 
(3,4), (3,5), (3,6)}
A > B = {(3,5)}: p(A > B) = 1 ___ 
36
 ; p(B) = 6 ___ 
36
 = 1 __ 
6
 
P(A/B) = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 = 
 1 ___ 
36
 
 ___ 
 1 __ 
6
 
 = 1 __ 
6
 
4. Numa população de 500 pessoas, 280 são mulheres 
e 60 exercem a profissão de advogado, 20 das quais 
do sexo feminino. Tomando ao acaso uma dessas pes-
soas, qual é a probabilidade de que, se for mulher, seja 
advogada?
Resolução:
Evento A: a pessoa exerce advocacia 
Evento B: a pessoa é do sexo feminino
Procurando p(A/B)
De outro modo: em vez de estudar toda a população, é possí-
vel se restringir às mulheres e perguntar qual é a probabilidade 
de que uma mulher tomada ao acaso seja advogada. Assim:
P(A/B) = 20 ___ 
280
 = 1 ___ 
14
 
1.1. Eventos independentes
O conceito de independência de eventos é muito relevante 
em probabilidade. Analisando um exemplo, será definido o 
que são eventos independentes.
Considere o experimento “lançar dois dados perfeitos de 
cores diferentes”. Seja A o evento “sair o 6 no primeiro 
dado”, e B, “sair o 3 no segundo dado”.
Observe que:
 § n(V) = 36
 § A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
 § B = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)}
 § p(A) = 6 ___ 
36
 = 1 __ 
6
 
 § p(B) = 6 ___ 
36
 = 1 __ 
6
 
 § A > B = {(6, 3)} ä p(A > B) = 1 ___ 
36
 
 § p(B/A) = P(B > A)/P(A) = 
 1 ___ 
36
 
 ___ 
 1 __ 
6
 
 = 1 __ 
6
 
Dessa forma, p(B) = p(B/A) = 1 __ 
6
 , isto é, a probabilidade de 
“sair 3 no segundo dado” não foi afetada pelo fato de 
“sair 6 no primeiro dado”. Em outras palavras: a probabili-
dade de ocorrer B não dependeu da ocorrência de A.
Nesse caso, afirma-se que A e B são eventos independen-
tes. A probabilidade de ocorrer um deles não depende do 
fato de ter ou não ocorrido o outro.
Desse modo, também é verdade que p(A) = p(A/B).
Portanto, como p(A/B) = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 , obtém-se:
p(A > B) = p(A/B) · p(B) = p(A) · p(B)
 p(A)
Assim, o fato de A e B serem eventos independentes é 
equivalente a dizer que p(A > B) = p(A) · p(B).
Em razão disso, a definição é:
Dois eventos A e B de um espaço amostral V (com 
p(A) ≠ 0 e p(B) ≠ 0) são independentes somente se 
p(A/B) = p(A). De modo equivalente:
p(A > B) = p(A) · p(B)
Pode-se afirmar, portanto, que dois eventos A e B são de-
pendentes se p(A > B) ≠ p(A) · p(B).
70  MATEMÁTICA e suas tecnologias



 V
O
LU
M
E 
5
Aplicação do conteúdo
1. Considere uma cria de cachorros com 3 filhotes. Se-
jam os eventos A (obtenção de pelo menos dois ma-
chos) e B (obtenção de pelo menos um de cada sexo). 
Os eventos A e B são independentes? Por quê?
Resolução:
m: macho; f: fêmea
V = {mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff}
A = {mmm, mmf, mfm, fmm} ä p(A) = 1 __ 
2
 
B = {mmf, mfm, fmm, fmf, ffm} ä p(B) = 3 __ 
4
 
A > B = {mmf, mfm, fmm} ä p(A > B) = 3 __ 
8
 
Assim: 3 __ 
8
 = 1 __ 
2
 · 3 __ 
4
 .
Uma vez que p(A > B) = p(A) · p(B), A e B são independentes. 
2. Uma fábrica produz três produtos, A, B e C. Qual é a 
probabilidade de se selecionar, ao acaso, um produto de-
feituoso A, se 30% dos produtos produzidos pela fábrica 
são produtos A e 5% dos produtos A são defeituosos?
Resolução:
D: selecionar produto defeituoso
D > A: selecionar produto defeituoso A
p(A) = 30 ___ 
100
 = 3 ___ 
10
 p(D/A) = 5 ___ 
100
 = 1 ___ 
20
 
p(D > A) = p(D/A) · p(A) = 1 ___ 
20
 · 3 ___ 
10
 =
= 3 ___ 
200
 = 1,5%
Portanto, p(D > A) = 1,5%.
3. São realizados dois lançamentos sucessivos de um 
dado perfeito. Qual é a probabilidade de ocorrer o nú-
mero 5?
Resolução:
A: ocorrência de 5 no primeiro lançamento ä p(A) = 1 __ 
6
 
B: ocorrência de 5 no segundo lançamento ä p(B) = 1 __ 
6
 
A e B são independentes. Procurando p(A > B).
p(A > B) = p(A) · p(B) = 1 __ 
6
 · 1 __ 
6
 = 1 ___numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 2 Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 3
Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 4 Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 5
Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 6 Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extra-
polação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Co
m
pe
tê
n
Ci
a
 7
Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determi-
nação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não 
em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
MATRIZ DE REFERÊNCIA DO ENEM 
ÁLGEBRA 
E SEQUÊNCIAS
MATEMÁTICA
LIVRO 
TEÓRICO
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
O Enem exigirá conceitos básicos de 
logaritmos e exponenciais em situações-
-problema, nas quais o raciocínio lógico 
matemático será explorado. Questões de 
função do 2.º grau ocorrem cada vez mais 
nessa prova.
Todos os temas deste caderno são impor-
tantes para a primeira e segunda fases, 
portanto, deve-se ter ampla habilidade em 
interpretação de gráficos polinomiais do 2.º 
grau, exponenciais e logaritmos.
Função polinomial do 2.º grau tem grande 
incidência, com questões médias e difíceis, 
portanto, deve-se saber as condições de 
existência de logaritmos.
Em sua segunda fase, possui questões 
difíceis para todos os temas deste cader-
no. Funções exponenciais e logarítmicas 
possuem incidência menor que funções 
do 2.º grau.
Questões de logaritmos e exponenciais têm 
alta incidência na prova, portanto, deve-se 
saber relacionar todas as propriedades de 
logaritmos e exponenciais.
Funções exponenciais e logarítmicas não 
possuem grande incidência em sua prova; 
porém, serão cobradas as propriedades e 
será exigido o modo de trabalhá-las. 
A prova exigirá grande habilidade com 
logaritmos e exponenciais. Funções do 2.º 
grau podem ser cobradas com interpreta-
ção de texto.
A prova exigirá firme análise das proprieda-
des de logaritmos e exponenciais, podendo 
ocorrer questões de funções nessas áreas.
Ocorrem questões elevadas para todos os 
temas deste caderno; portanto, deve-se 
possuir grande habilidade nas proprieda-
des logarítmicas.
A prova pode cobrar questões medianas 
e difíceis de funções em todos os temas 
deste caderno.
A prova possui questões dissertativas e 
objetivas com alto grau de dificuldade; 
portanto, deve-se saber resolver logaritmos 
e exponenciais.
A Faculdade de Ciências Médicas de Minas 
Gerais, por possuir uma quantidade de 
questões menor, pode exigir diversas áreas 
da matemática dentro de uma questão. 
Saber os conceitos deste caderno é fun-
damental.
Oscila em relação ao grau de exigência 
para as questões de logaritmos e de ex-
ponenciais. Funções do 2.º grau são muito 
bem exploradas nessa prova.
O processo seletivo exigirá grande conheci-
mento de funções do 2.º grau.
A prova cobra habilidade em resolução de 
problemas do 2.º grau junto com as pro-
priedades de logaritmos.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  7



 V
O
LU
M
E 
5
1. Função inversa
1.1. Definição
É denominada função inversa da função bijetora f: A → B a 
função f –1: B → A, em que os elementos de todos os pares 
ordenados da função f trocam de posição:
f = {(1,2), (2,4), (3,6)}
f -1 = {(2,1), (4,2), (6,3)}
No exemplo, é possível observar que a função f associa 
cada valor de seu domínio ao seu respectivo dobro no 
contradomínio. Por outro lado, a função f –1 associa cada 
valor de seu domínio à respectiva metade do seu con-
tradomínio.
Observe as funções f e g de domínio real dadas por f(x) = 
3x e g(x) = x __ 
3
 , sendo que g(x) é a função inversa de f(x).
Inicialmente, são dados alguns valores para x e determina-
das suas imagens pela função f, formando pares ordenados 
(x, f(x)):
x f(x)
par ordenado 
(x, f(x))
–5 3 · (–5) = –15 (–5, –15)
0 3 · 0 = 0 (0, 0)
1 3 · 1 = 3 (1, 3)
Em seguida, tomam-se os valores obtidos como ima-
gens pela função f e determinam-se as suas imagens 
pela função g:
x f(x)
par ordenado 
(x, g(x))
–15 − 15 ___ 
3
 = –5 (–15, –5)
0 0 __ 
3
 = 0 (0, 0)
3 3 __ 
3
 = 1 (3, 1)
Nesse caso, afirma-se que g é a função inversa da função f 
e é representada por g(x) = f –1 (x).
Assim, se f(x) = 3x, f –1(x) = x __ 
3
 .
Observe que f –1(x) “desfaz” a transformação feita por f(x). 
Dessa forma, segue que:
f[f –1(x)] = f o f –1 = x
Ou seja, a composta de f em f –1 é sempre x. Observe um 
exemplo:
f(x) = 2x – 1 _____ 
3
 e f –1(x) = 3x + 1 _____ 
2
 
Calculando f[f –1(x)], tem-se:
f[f –1(x)] = 
2 ( 3x + 1 _____ 
2
 ) – 1 
 ___________ 
3
 = 3x + 1 – 1 ________ 
3
 = 3x __ 
3
 = x
Na função f considerada, é possível destacar duas caracte-
rísticas importantes:
 § o contradomínio de f coincide com sua imagem, isto é, 
todo elemento do contradomínio é correspondente de 
algum elemento do domínio (f é sobrejetora);
 § cada elemento do contradomínio de f é imagem de um36
 
1.2. O método binomial
O método do produto de probabilidade é aplicado para 
calcular a probabilidade de todas as crianças de uma 
família serem meninos ou todas serem meninas. Se um 
casal planejou ter 4 filhos, a probabilidade de que todos 
sejam meninos é:
 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 ___ 
16
 
Caso ocorra mistura de sexos, por exemplo, 3 meninos e 1 
menina, 2 meninos e 2 meninas, etc., e se não for especifi-
cada a ordem de ocorrência, aplica-se o método binomial. 
Para isso, é preciso retomar as potências do binômio (a + b)n, 
conhecidas como binômio de Newton:
(a + b)1 = 1a + 1b
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + 
ba + b2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = 1a3 + 3a2 b + 3ab2 + 1b3 
(a + b)4 = (a + b)3 (a + b) = 1a4 + 
4 a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
(a + b)5 = (a + b)4(a + b) = 1a5 + 5a4b 
+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
Os coeficientes são os elementos do triângulo de Pascal, 
conhecidos como números binomiais:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Pode ser escrito assim:
 ( 0 __ 
0
 ) 
 ( 1 __ 
0
 ) ( 1 __ 
1
 ) 
 ( 2 __ 
0
 ) ( 2 __ 
1
 ) ( 2 __ 
2
 ) 
 ( 3 __ 
0
 ) ( 3 __ 
1
 ) ( 3 __ 
2
 ) ( 3 __ 
3
 ) 
 ( 4 __ 
0
 ) ( 4 __ 
1
 ) ( 4 __ 
2
 ) ( 4 __ 
3
 ) ( 4 __ 
4
 ) 
 ( 5 __ 
0
 ) ( 5 __ 
1
 ) ( 5 __ 
2
 ) ( 5 __ 
3
 ) ( 5 __ 
4
 ) ( 5 __ 
5
 ) 
Em que, como já foi visto:
 ( n __ 
k
 ) = n! ________ 
k!(n – k)!
 ou ( n __ 
k
 ) = 
An,k ___ 
k!
 
Trata-se do número total de combinações de n objetos to-
mados k a k, ou seja, é o número de subconjuntos de k 
elementos tomados de um conjunto com n elementos.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  71



 V
O
LU
M
E 
5
Observe a seguir como aplicar o método binomial.
1. Considere uma família com duas crianças.
Seja M o nascimento de um menino e F o nascimento de 
uma menina:
 § p(M) = p = 1 __ 
2
 
 § p(F) = q = 1 __ 
2
 
 § V = {MM, MF, FM, FF}
Uma vez que é sabido, experimentalmente, que cada 
nascimento é independente de nascimentos anteriores, 
obtém-se:
 § p(MM) = p(M) · p(M) = p · p = p2 = 1 __ 
4
 
 § p(MF) = p(M) · p(F) = p · q = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
 § p(FM) = p(F) · p(M) = q · p = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
 § p(FF) = p(F) · p(F) = q · q · q2 = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
Observe que a probabilidade total é igual a 1:
 1 __ 
4
 + 1 __ 
4
 + 1 __ 
4
 + 1 __ 
4
 = 1
Sem considerar a ordem dos nascimentos, pode-se escrever:
 p2 + 2pq + q2 = 1
probabilidade de 
nascerem dois 
meninos
MM
 
probabilidade de 
nascerem 
1 menino e 
1 menina 
MF + FM
probabilidade de 
nascerem duas 
meninas
FF
Assim:
 § a probabilidade de nascerem dois meninos é p2, ou 
seja:
 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
 § a probabilidade de nascer um menino e uma menina 
(sem considerar a ordem) é 2pq, ou seja:
2 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
2
 
 § a probabilidade de nascerem duas meninas q2, ou seja:
 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
Observe que:
1p2 + 2pq + 1q2 = ( 2 __ 
0
 ) p2 + ( 2 __ 
1
 ) pq + ( 2 __ 
2
 ) q2
 = (p + q)2 = 12 = 1
2. Considere o nascimento de três crianças e as mesmas 
representações do exemplo anterior.
Nesse caso, as possibilidades de nascimento são dadas por:
V = {MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}
p + q = 1
Assim:
 § p(MMM) = p(M) · p(M) · p(M) = p · p · p = p3
 § p(MMF) = ppq = p2q
 § p(MFM) = pqp = p2q
 § p(FMM) = q ·p ·p = p2q
 § p(MFF) = pqq = pq2
 § p(FMF) = qpq = pq2
 § p(FFM) = qqp = pq2
 § p(FFF) = qqq = q3
Desconsiderada a ordem do nascimento, as possibilidades 
se reduzem para MMM, MMF, MFF e FFF, e as probabilida-
des correspondentes se reduzem para:
 § p(MMM) = p3
 § p(MMF) = 3p2q
 § p(MFF) = 3pq2
 § p(FFF) = q3
Essas probabilidades podem ser escritas da seguinte ma-
neira:
p3 + 3p2q + 3pq2 + q3 = 1
Trata-se da expressão do binômio (p + q)3 = 1.
Portanto, é possível dizer que:
 § A probabilidade de que as 3 crianças sejam meninos é:
p3 = p · p · p = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
8
 
 § A probabilidade de que nasçam 2 meninos e 1 menina é:
3p2q = 3ppq = 3 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 3 __ 
8
 
 § A probabilidade de que nasçam 1 menino e 2 meninas é:
3pq2 = 3pqq = 3 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 3 __ 
8
 
 § A probabilidade de que nasçam 3 meninas é:
q3 = qqq = 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
8
 
Observe que:
 1 __ 
8
 + 3 __ 
8
 + 3 __ 
8
 + 1 __ 
8
 = 8 __ 
8
 = 1
Note também que:
1p3 + 3p2q + 3 pq2 + 1q3 
= ( 3 __ 
0
 ) p3 + ( 3 __ 
1
 ) p2q + ( 3 __ 
2
 ) pq2 + ( 3 __ 
3
 ) q3
72  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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Generalizando, a probabilidade de nascerem n crianças, 
das quais k sejam meninos e n – k sejam meninas numa 
família, é dada por:
p(k meninos, n – k meninas) = ( n __ 
k
 ) pkqn – k
Ao aplicar essa fórmula, está sendo utilizado o método 
binomial.
Essa probabilidade é um termo da expansão binomial 
(p + q)n.
Aplicação do conteúdo
1. Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a 
probabilidade de nascerem:
a) 4 meninos;
b) 3 meninos e 1 menina;
c) 2 meninos e 2 meninas;
d) 1 menino e 3 meninas; e
e) 4 meninas.
Resolução:
Nesse caso, n = 4. Há duas maneiras de resolver o problema.
Primeira maneira: desenvolver (p + q)4 para obter p4 + 
4p3q + 6 p2q2 + 4pq3 + q4 e efetuar os cálculos.
a) 4 meninos. A probabilidade é dada por p4.
Uma vez que p = 1 __ 
2
 , obtém-se ( 1 __ 
2
 ) 
4
 = ( 1 ___ 
16
 ) .
b) 3 meninos e 1 menina. A probabilidade é dada por 
4p3q. Observe a correspondência:
3 meninos e 1 menina
ç ç
o expoente do p é 3 o expoente do q é 1
Uma vez que p = q = 1 __ 
2
 , obtém-se 4p3q 
= 4 ( 1 __ 
2
 ) 
3
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 .
c) 2 meninos e 2 meninas. A probabilidade é dada 
por 6p2q2.
Observe a correspondência outra vez. Isso sempre 
ocorre.
Uma vez que p = q = 1 __ 
2
 , obtém-se 6p2q2 
= 6 ( 1 __ 
2
 ) 
2
 ( 1 __ 
2
 ) 
2
 = 3 __ 
8
 .
d) 1 menino e 3 meninas. A probabilidade é dada por
4pq3 = 4 ( 1 __ 
2
 ) ( 1 __ 
2
 ) 
3
 = 1 __ 
4
 
e) 4 meninas. A probabilidade é dada por
q4 = ( 1 __ 
2
 ) 
4
 = 1 ___ 
16
 
Observe que:
 1 ___ 
16
 + 1 __ 
4
 + 3 __ 
8
 + 1 __ 
4
 + 1 ___ 
16
 = 1
Segunda maneira: realizar as devidas substituições na fórmula 
geral e os cálculos.
Para exemplificar, observe a resolução do item b. Qual é a proba-
bilidade de nascerem 3 meninos e 1 menina?
n = 4, k = 3, n – k = 4 – 3 = 1 e p = q = 1 __ 
2
 
Assim: P(3M, 1F) = ( 4 __ 
3
 ) ( 1 __ 
2
 ) 
3
 ( 1 __ 
2
 ) = 4! ________ 
3!(4 – 3)!
 · 1 __ 
8
 · 1 __ 
2
 = 1 __ 
4
 
1.3. Outras aplicações do 
método binomial
O método binominal pode ser aplicado em problemas 
cujas estruturas sejam análogas às estruturas dos seguin-
tes exemplos:
1. Um dado é jogado 7 vezes. Qual é a probabilidade de 
sair o número 5 quatro vezes?
Probabilidade de sair o 5 em cada jogada: p = 1 __ 
6
 
Probabilidade de não sair o 5 em cada jogada: q = 1 – p = 5 __ 
6
 
Probabilidade de sair o 5 em 4 das 7 jogadas: ( 7 __ 
4
 ) ( 1 __ 
6
 ) 
4
 ( 5 __ 
6
 ) 
3
 
= 5
4 · 7 _____ 
67 = 1,56%
2. Uma prova é constituída de 10 exercícios em forma de 
teste com 5 alternativas em cada teste. Caso um aluno 
“chute” todas as respostas, qual será a probabilidade de 
ele acertar 6 exercícios?
Probabilidade de acertar uma questão: p = 1 __ 
5
 
Probabilidade de errar (não acertar) uma questão: 
q = 1 – p = 4 __ 
5Probabilidade de acertar 6 das 10 questões: ( 10 ___ 
6
 ) ( 1 __ 
5
 ) 
6
 ( 4 __ 
5
 ) 
4
Generalizando:
 § Uma experiência é realizada n vezes, independente-
mente.
 § Em cada uma das n vezes, um evento A tem probabi-
lidade p de ocorrer.
 § A probabilidade de A não ocorrer em cada vez é dada 
por q = 1 – p.
 § A probabilidade de A ocorrer em k das n vezes é dada 
por ( n __ 
k
 ) pkqn – k.
Aplicação do conteúdo
1. Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual é a probabilidade 
de sair cara 5 vezes?
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
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Resolução:
Em cada lançamento:
 § a probabilidade de sair cara é p = 1 __ 
2
 ; e
 § a probabilidade de não sair cara é q = 1 – 1 __ 
2
 = 1 __ 
2
 .
Assim, a probabilidade de sair cara 5 vezes é:
 ( 8 __ 
5
 ) ( 1 __ 
2
 ) 
5
 ( 1 __ 
2
 ) 
3
 = 8! ____ 
5!3!
 · 1 ___ 
32
 · 1 __ 
8
 = 7 ___ 
32
 = 0,21875 = 21,875%
Portanto, ao lançar uma moeda 8 vezes, a probabilidade de sair cara 5 vezes é de 7 ___ 
32
 (aproximadamente 22%).
2. Aplicações de probabilidade à genética
A genética é provavelmente o ramo da Biologia que mais utiliza conceitos matemáticos da teoria das probabilidades. Consi-
derando que a probabilidade trabalha com eventos aleatórios, não há nada mais aleatório do que o encontro de dois tipos 
de gametas com genes determinantes. Um indivíduo heterozigoto para determinada característica (Aa) forma dois tipos de 
espermatozoides: A e a. Se uma mulher também for heterozigota, poderá formar óvulos A e a. O fato de o espermatozoide 
A ou a ser o responsável pela fecundação depende apenas do acaso, bem como depende apenas do acaso o fato de a célula 
feminina A ou a ser a fecundada.
Recorde o esquema.
Recorde o quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades.
Aplicação do conteúdo
1. Um casal heterozigoto com pigmentação normal teve como primeiro descendente uma criança albina.
a) Qual é a probabilidade de que seus próximos dois filhos sejam albinos?
Resolução:
O fato de a primeira criança ser albina não influenciará a hereditariedade das futuras crianças. Trata-se, portanto, de eventos inde-
pendentes. Lembre-se de que o albinismo é determinado por um gene recessivo a.
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Portanto, a probabilidade de cada criança ser albina, 
em qualquer nascimento, é de 1 __ 
4
 ou 25%. Assim:
p(segunda criança será albina) = 1 __ 
4
 
p(terceira criança será albina) = 1 __ 
4
 
p(segunda e terceira crianças serão albinas) = 1 __ 
4
 · 1 __ 
4
 = 1 ___ 
16
 ou 
6,2%
b) Qual é a probabilidade de que seus próximos dois 
filhos tenham pigmentação normal?
Resolução:
A probabilidade de que cada um dos seus próximos dois fi-
lhos tenha pigmentação normal é de 3 __ 
4
 ou 75%, uma vez 
que 1 __ 
4
 AA + 1 __ 
2
 Aa, ou seja, 1 __ 
4
 + 1 __ 
2
 = 3 __ 
4
 .
Assim:
p(segunda e terceira crianças terão pigmentação normal) 
= 3 __ 
4
 · 3 __ 
4
 = 9 ___ 
16
 ou 56%
c) Qual é a probabilidade de pelo menos um dos seus 
próximos dois filhos ser albino e menino?
Resolução:
A probabilidade de pelo menos um dos próximos dois filhos 
ser albino é:
1 – 9 ___ 
16
 = 7 ___ 
16
 ou 43%
Uma vez que a probabilidade de ser menino é de 1 __ 
2
 , a pro-
babilidade de pelo menos uma criança ser menino e albina é:
 1 __ 
2
 · 7 ___ 
16
 = 7 ___ 
32
 ou 21%
2. Num cruzamento Aa x Aa, sabe-se que as combina-
ções AA, Aa, aA e aa são igualmente prováveis, cada 
uma com probabilidade de 1 __ 
4
 . Sabe-se também que Aa 
e aA não podem ser distinguidas biologicamente. Qual 
é a probabilidade de ocorrer Aa ou aA?
Resolução:
Dado que: P(Aa) = 1 __ 
4
 ; p(aA) = 1 __ 
4
 .
Aa e aA são mutuamente exclusivos ä p(Aa > aA) = 0. Assim:
p(Aa ou aA) = 1 __ 
4
 + 1 __ 
4
 – 0 = 2 __ 
4
 = 1 __ 
2
 
3. Numa população humana, a probabilidade de mudos 
é estimada em 0,005, a probabilidade de cegos, em 
0,0085, e a probabilidade de mudos e cegos, em 0,0006. 
Qual é a probabilidade que um indivíduo, tomado ao 
acaso, seja mudo ou cego?
Resolução:
Nesse caso, “ser mudo” não exclui a possibilidade de “ser cego”; 
portanto, os eventos não são mutuamente exclusivos.
Assim:
P(ser mudo ou ser cego) = p(A ou B) 
= p(A) + p(B) – p(A e B) 
= 0,0050 + 0,0085 – 0,0006 
= 0,0129
4. João e sua esposa Maria têm pigmentação normal. 
João é filho de um homem de pigmentação normal e 
de mulher albina; Maria é filha de uma mulher de pig-
mentação normal e de pai albino. Qual é a probabilida-
de de João e Maria terem uma criança albina do sexo 
masculino?
Resolução
Assim:
p(criança albina) = 1 __ 
4
 e p(sexo masculino) = 1 __ 
2
 
Uma vez que os eventos “ser criança albina” e “ser do sexo mas-
culino” são independentes, obtém-se:
p(ser criança albina do sexo masculino) = 1 __ 
2
 · 1 __ 
4
 = 1 __ 
8
 ou 12,5 %.
5. A queratose (anomalia na pele) é causada por um 
gene dominante Q. Uma mulher com queratose, cujo 
pai não possuía a anomalia, casa-se com um homem 
com queratose, cuja mãe não apresentava queratose. 
Se esse casal tiver dois filhos, qual será a probabilidade 
de os dois apresentarem queratose?
Resolução:
Portanto, p(cada criança ter queratose) = 3 __ 
4
 . Como o evento “pri-
meira criança ter queratose” é independente do evento “segun-
da criança ter queratose”, obtém-se:
p(as duas crianças terem queratose) = 3 __ 
4
 · 3 __ 
4
 = 9 ___ 
16
 ou 56%
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6. No homem, o albinismo é determinado por um gene 
recessivo a, ao passo que a pele normal é determinada 
pelo alelo dominante A. Um casal de pigmentação normal 
tem um filho albino. Calcule o que se pede em cada item:
a) Qual a probabilidade de aparecer na descendência 
uma filha de pigmentação normal?
Resolução:
Situação genética:
Pai × Mãe
Aa Aa
 1 __ 
4
 AA 2 __ 
4
 Aa 1 __ 
4
 aa
 
 3 __ 
4
 normais albino
Probabilidade de ser do sexo feminino = 1 __ 
2
 
Probabilidade de ser de pigmentação normal = 3 __ 
4
 
Probabilidade combinada = 3 __ 
4
 · 1 __ 
2
 = 3 __ 
8
 
b) Se o casal tiver quatro filhos, qual a probabilida-
de de três serem de pigmentação normais e um ser 
albino?
Resolução:
(p + q)4 = p4 + 4p3q + 6 p2q2 + 4 pq3 + q4
4p3q = 4 ( 3 __ 
4
 ) 
3
 · 1 __ 
4
 = 4 · 27 ___ 
64
 · 1 __ 
4
 = 27 ___ 
64
 
ou
 ( 4 __ 
3
 ) ( 3 __ 
4
 ) 
3
 ( 1 __ 
4
 ) 
1
 = 4 · 27 ___ 
64
 · 1 __ 
4
 = 27 ___ 
64
 
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ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 28
Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
Dentro das competências da área 7 do Enem, a habilidade 28 exige do aluno a capacidade de resolver uma situ-
ação proposta a partir de conhecimentos sobre probabilidade.
MODELO 1
(Enem) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas 
línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
Nessa pesquisa, constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um 
desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de 
que esse aluno fale espanhol?
a) 1/2 b) 5/8 c) 1/4 d) 5/6 e) 5/14
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conhecimentos 
sobre probabilidade para a sua resolução.
Total de alunos = 1200
A partir do diagrama de Venn, tem-se:
(600 – x) + x + (500 – x) + 300 = 1200
⇒ –x = 1200 – 600 – 500 – 300
x = 200
Assim, os alunos que não falam inglês somam: 300 + 300 = 600.
A probabilidade de um aluno que não fala inglês falar espanholé:
300/600 = 1/2
RESPOSTA Alternativa A
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DIAGRAMA DE IDEIAS
PROBABILIDADE 
CONDICIONAL
EVENTOS INDEPENDENTES
A e B são eventos independentes 
se um deles não depende do fato 
de ter ou não ocorrido o outro
P(A>B) = P(A) . P(B)
Probabilidade de ocorrer 
um evento A, sabendo-se 
que já ocorreu o evento B
P(A>B)
P(B)
P(A/B) =
78  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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1. Introdução
Pesquisas são muito comuns em diversas atividades hu-
manas.
 § As indústrias costumam realizar pesquisas entre os 
consumidores antes do lançamento de um novo pro-
duto no mercado.
 § As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que 
os candidatos direcionem a campanha.
 § A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes 
em uma partida ou em um campeonato interfere no 
planejamento dos treinamentos.
 § Para organizar sua programação, emissoras de TV 
utilizam pesquisas que mostram a preferência dos 
espectadores.
A realização de uma pesquisa compreende muitas etapas, 
como escolha da atmosfera, coleta e organização de da-
dos (informações), resumo dos dados (em tabelas, gráficos, 
etc.) e interpretação dos resultados.
A parte da Matemática que trata desses assuntos é a Estatística. A seguir, serão estudadas noções de Estatística, como a cons-
trução e a interpretação de gráficos como estes:
Intenção de voto por escolaridade do eleitor (em %)
2. Termos de uma pesquisa estatística
2.1. População e amostra
Caso se deseje saber qual a disciplina favorita entre os alunos de uma classe, é possível consultar todos os alunos dessa classe.
No entanto, isso não é possível quando se pretende pesquisar sobre a intenção de voto dos eleitores do estado de São Paulo, 
uma vez que não é possível consultar todos os eleitores que constituem o universo estatístico.
Recorre-se, então, ao que se chama de atmosfera, ou seja, um grupo de eleitores que, consultado, permite que se chegue ao 
resultado mais próximo possível da realidade.
É comum aparecer na publicação das pesquisas quantos eleitores foram consultados, uma vez que a escolha da atmosfera 
(quantos e quais eleitores) é fundamental para o resultado.
Será chamado de U o universo estatístico e de A uma amostra:
A , U
ESTATÍSTICA
COMPETÊNCIA(s)
7
HABILIDADE(s)
27, 28, 29 e 30
MT
AULAS 
43 E 44
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2.2. Indivíduo ou objeto
Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou ob-
jeto. Na pesquisa de intenção de voto, os indivíduos são pesso-
as. Se uma pesquisa considerar marcas de lâmpadas para tes-
tar sua durabilidade, cada marca será um objeto da pesquisa.
2.3. Variável
Uma indústria automobilística que pretende lançar um 
novo modelo de carro faz uma pesquisa para sondar a pre-
ferência dos consumidores sobre o tipo de combustível, o 
número de portas, a potência do motor, o preço, a cor, o 
tamanho, etc. Cada uma dessas características é uma vari-
ável da pesquisa.
Na variável “tipo de combustível”, a escolha pode ser entre 
álcool e gasolina. Esses são valores ou realizações da vari-
ável “tipo de combustível”.
2.4. Variável qualitativa
Numa pesquisa com pessoas, as variáveis consideradas 
podem ser sexo, cor de cabelo, esporte favorito e grau de 
instrução. Nesse caso, as variáveis, que são qualitativas, 
apresentam como possíveis valores uma qualidade (ou 
atributo) dos indivíduos pesquisados.
As variáveis qualitativas também podem ser ordinais, caso 
exista uma ordem nesses valores, ou nominais, caso não 
ocorra essa ordem. “Grau de instrução” é uma variável 
qualitativa ordinal, uma vez que seus valores podem ser 
ordenados (fundamental, médio, superior, etc.).
2.5. Variável quantitativa
As variáveis de uma pesquisa, como altura, peso, idade em 
anos e números de irmãos são quantitativas, uma vez que 
seus possíveis valores são númericos.
As variáveis quantitativas podem ser discretas, tratando-se 
de contagem (números inteiros), ou contínuas, tratando-se 
de medida (números reais).
 § “Número de irmãos” é uma variável quantitativa dis-
creta que pode ser contada (0, 1, 2, etc.).
 § “Altura” é uma variável quantitativa contínua que pode 
ser medida (1,55 m, 1,80 m, 1,73 m, etc.).
Quadro-resumo dos tipos de 
variáveis de uma pesquisa
Aplicação do conteúdo
1. Observe a pesquisa (enquete), encontrada em um site 
de esportes, em 12 de junho de 2007, sobre a expecta-
tiva dos internautas a respeito da ausência de alguns 
jogadores na Copa América.
Nota: o resultado dessa enquete promovida pelo UOL Espor-
te refere-se a frequentadores do site e não tem valor científico.
Por que o aviso de que o resultado da enquete não tem 
valor científico?
Resolução:
Porque a pesquisa não foi feita com um universo estatís-
tico (população) generalizável, de modo que seu resulta-
do é muito específico. Ela se refere apenas à população 
de usuários da internet, aos frequentadores do site. Seria 
inadequado dizer que aproximadamente 61% da popula-
ção brasileira acredita que Kaká fará muita falta na Copa 
América, sabendo que o perfil da população brasileira é 
diferente do perfil dos usuários da internet.
2.6. Frequência absoluta e 
frequência relativa
Considere que entre um grupo de turistas em excursão te-
nha sido realizada uma pesquisa sobre a nacionalidade de 
cada um e que o resultado dela tenha sido o seguinte:
Pedro: brasileiro; Ana: brasileira; Ramón: espanhol; Laura: 
espanhola; Cláudia: brasileira; Sérgio: brasileiro; Raul: argen-
tino; Nelson: brasileiro; Silvia: brasileira; Pablo: espanhol.
O número de vezes que um valor variável é citado repre-
senta a frequência absoluta desse valor.
No exemplo, a variável é “nacionalidade”, e a frequência 
absoluta de cada um de seus valores é: brasileira: 6; espa-
nhola: 3; e argentina: 1.
Há também a frequência relativa, que registra a frequência 
absoluta em relação ao total de citações.
No exemplo, tem-se:
 § frequência relativa da nacionalidade brasileira: 6 em 10 
ou 6 ___ 
10
 ou 3 __ 
5
 ou 0,6 ou 60%;
80  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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 § frequência relativa da nacionalidade espanhola: 3 em 
10 ou 3 ___ 
10
 ou 0,3 ou 30%; e
 § frequência relativa da nacionalidade argentina: 1 em 
10 ou 1 ___ 
10
 ou 0,1 ou 10%.
É possível associar a frequência relativa de um evento à 
probabilidade de que ele ocorra. Quando o número total 
de citações é suficientemente grande, a frequência relativa 
se estabiliza em torno de um número que expressa a pro-
babilidade de ocorrência desse evento.
2.7. Tabela de frequências
A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), 
com as frequências absoluta (FA) e relativa (FR), é denomi-
nada tabela de frequências.
Nacionalidade FA FR
Brasileira 6 60%
Espanhola 3 30%
Argentina 1 10%
Total 10 100%
2.8. Tabelas de frequências das 
variáveis quantitativas
Como foi visto, a variável quantitativa tem seus possíveis 
valores indicados por números. Na elaboração dessas tabe-
las de frequências, podem ocorrer duas situações.
Considere como exemplo um grupo de alunos. Eles tiveram 
as idades (em anos), o “peso” (em quilogramas) e a altura 
(em metros) registrados:
Alberto: 14 a., 49,0 kg e 1,73 m
Alexandre: 14 a., 46,5 kg e 1,66 m
Carlos: 16 a., 53,0 kg e 1,78 m
Cláudio: 15 a., 50,0 kg e 1,75 m
Eduardo: 14 a., 51,0 kg e 1,68 m
Flávio: 15 a., 49,0 kg e 1,70 m
Geraldo: 14 a., 44,0 kg e 1,62 m
Gilberto: 15 a., 51,0 kg e 1,72 m
Hélio: 14 a., 48,3 kg e 1,68 m
José Carlos: 16 a., 52,0 kg e 1,79 m
José Luís: 14 a., 49,0 kg e 1,74 m
Lúcio: 14 a., 46,5 kg e 1,65 m
Marcos: 15 a., 48,0 kg e 1,63 m
Mário: 14 a., 48,5 kg e 1,69 m
Maurício: 16 a., 50,0 kg e 1,70 m
Milton: 14 a., 52,0 kg e 1,75 m
Renato: 14 a., 46,0 kg e 1,72 m
Roberto: 14 a., 47,0 kg e 1,69 m
Saul: 14 a., 51,0 kg e 1,73 m
Sérgio: 14 a., 49,0 kg e 1,66 m
2.8.1. Primeira situação
Ao elaborar a tabela de frequência da variável “idade”, apa-
recem como possíveis valores 14 anos,15 anos e 16 anos.
Idade 
(anos)
Contagem FA
FR
(fração)
FR
(%)
14
 
13 13 ___ 
20
 65
15 4 4 ___ 
20
 = 1 __ 
5
 20
16 3 3 ___ 
20
 15
Total 20 1 100
2.8.2. Segunda situação
Para a variável “altura”, aparecem muitos valores diferen-
tes, o que torna inviável que conste na tabela uma linha 
para cada valor. Em casos como esse, agrupam-se os valo-
res em intervalos (ou classes).
1. Calcula-se a diferença entre a maior e a menor altura re-
gistrada para obter-se a amplitude total (1,79 – 1,62 m = 
0,17 m).
2. Escolhe-se o número de intervalos (geralmente superior a 
quatro) conveniente (um pouco acima da amplitude total) e 
determina-se a amplitude de cada intervalo (classe). Nesse 
caso, para 6 intervalos registra-se 0,18 m : 6 = 0,03 m.
3. Elabora-se a tabela de frequências:
Altura
(em classes)
Contagem FA
FR
(decimal)
FR
(%)
1,62 1,65 2 0,10 10
1,65 1,68 3 0,15 15
1,68 1,71
 
6 0,30 30
1,71 1,74 4 0,20 20
1,74 1,77 3 0,15 15
1,77 1,80 2 0,10 10
Total 20 1,00 100
MATEMÁTICA e suas tecnologias  81



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LU
M
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5
Nota
As classes (intervalos) foram obtidas a partir de 1,62 m, aos quais foram adicionados 0,03 (1,62 + 0,03 = 1,65, 1,65 + 0,03 
= 1,68, e assim por diante).
O símbolo indica intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. A altura 1,68 m, por exemplo, não foi registrada 
no intervalo 1,65 1,68 m, mas foi colocada no intervalo 1,68 1,71 m.
Retomando os termos de estatística em estudo.
Foi realizada uma pesquisa para traçar o perfil dos alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola com 5 classes, 
cada uma com 45 alunos. Para tanto, foram selecionados 5 alunos de cada classe, que responderam a um questionário, a 
partir do qual foi elaborada a seguinte tabela:
Nome Sexo
Idade 
(anos/ 
meses)
Altura 
(cm)
Peso
(kg)
Número 
de
irmãos
Cor de 
cabelo
Hobby
Número 
do 
sapato
Manequim
Desempenho 
em 
Matemática
Antônio M 15 a 4 m 156 49 2 Castanho Esporte 36 38 ótimo
Arthur M 14 a 7 m 166 48 0 Castanho Esporte 39 38 bom
Áurea F 15 a 2 m 165 66 1 Castanho Música 36 42 insuficiente
Bruno M 14 a 8 m 175 63 0 Castanho Patinação 40 42 regular
Carla F 14 a 5 m 165 57 2 Loiro Música 36 40 regular
Cláudia F 15 a 3 m 164 50 2 Loiro Dança 36 38 bom
Domingos M 14 a 6 m 163 51 1 Castanho Esporte 36 38 bom
Edite F 14 a 7 m 160 60 3 Castanho Música 36 40 ótimo
Esther F 14 a 7 m 175 65 1 Castanho Esporte 37 42 bom
Fabio M 14 a 5 m 150 38 1 Ruivo Esporte 34 36 insuficiente
Fernando M 15 a 11 m 146 38 0 Castanho Aeromodelismo 34 36 regular
José M 14 a 10 m 165 52 1 Castanho Dança 38 38 regular
Laura F 14 a 0 m 165 53 2 Castanho Dança 36 38 bom
Lúcia F 14 a 8 m 167 65 2 Castanho Música 37 42 bom
Mário M 15 a 4 m 165 50 3 Loiro Patinação 36 38 insuficiente
Mauro M 14 a 11 m 163 54 4 Castanho Esporte 38 40 ótimo
Nívea F 15 a 2 m 164 63 1 Loiro Esporte 38 42 bom
Orlando M 14 a 8 m 159 64 2 Castanho Música 37 42 regular
Patrícia F 15 a 1 m 158 43 1 Loiro Dança 36 36 insuficiente
Paula F 14 a 11 m 163 53 1 Castanho Dança 36 38 bom
Renata F 14 a 3 m 162 52 1 Castanho Dança 36 38 ótimo
Roberto M 14 a 2 m 167 53 0 Castanho Esporte 40 38 ótimo
Sandra F 14 a 10 m 167 58 1 Loiro Dança 40 40 ótimo
Teresa F 15 a 9 m 155 49 0 Castanho Patinação 35 36 ótimo
Vânia F 15 a 2 m 152 41 3 Castanho Música 34 36 bom
A partir da tabela dada, pode-se afirmar que:
1. O universo estatístico é constituído de 225 alunos.
2. A amostra dessa pesquisa é constituída de 25 alunos.
3. “Cor de cabelo” é uma variável qualitativa nominal.
4. “Número de irmãos” é uma variável quantitativa discreta.
5. “Desempenho em Matemática” é uma variável qualitativa ordinal.
6. “Altura” é uma variável quantitativa contínua.
7. “Dança” é um valor da variável “hobby”, cuja frequência absoluta é 7 e cuja frequência relativa é 7 ___ 
25
 ou 0,28 ou 28%.
8. A tabela de frequências da variável “número de irmãos” é esta:
82  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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Irmãos Contagem FA FR FR
0 5 5 ___ 
25
 = 0,2 20%
1
 
10 10 ___ 
25
 = 0,4 40%
2
 
6 6 ___ 
25
 = 0,24 24%
3 3 3 ___ 
25
 = 0,12 12%
4 1 1 ___ 
25
 = 0,04 4%
Total 25 1 100%
9. A tabela de frequência da variável “peso” (em quilogra-
mas), com os valores em classes, mostra:
Amplitude total: 66 – 38 = 28
Número de intervalos: 5
Amplitude relativa: 30 : 5 = 6
Peso (kg) Contagem FA FR
38 44 4 16%
44 50 3 12%
50 56
 
9 36%
56 62 3 12%
62 68
 
6 24%
Total 25 100%
3. Representação gráfica
A representação gráfica fornece uma visão de conjunto 
mais rápida do que a observação dos dados numéricos. Por 
isso, os meios de comunicação oferecem com frequência a 
informação estatística por meio de gráficos.
Considere uma situação em que, na votação para repre-
sentante e vice-representante do primeiro ano do Ensino 
Médio, um aluno anota os votos com um “x” ao lado do 
nome do candidato, enquanto seus colegas votam. Ao ter-
minar a votação, pode-se observar o seguinte “desenho”.
Adriano x x x x x x x x x x x x x
Letícia x x x x x x x
Luciana x x x x x x x x x x
Marino x x x x x x
Magda x x x x
Não é preciso contar os votos para saber quem foi eleito. 
Pela quantidade de marcações, nota-se que Adriano foi es-
colhido para representante, e Luciana, para vice.
Com uma simples olhada, obtém-se a informação desejada. 
Essa é uma característica importante dos gráficos estatísticos.
3.1. Gráfico de segmentos
A tabela mostra a venda de livros em uma livraria no se-
gundo semestre de determinado ano:
Meses Livros vendidos
Julho 350
Agosto 300
Setembro 400
Outubro 400
Novembro 450
Dezembro 500
A situação do exemplo estabelece uma correspondência 
que pode ser expressa por pares ordenados (julho, 350), 
(agosto, 300), etc. Aplicando eixos cartesianos, é possível 
localizar os pares ordenados e construir um gráfico de 
segmentos. Os gráficos de segmentos são utilizados, prin-
cipalmente, para mostrar a evolução das frequências dos 
valores de uma variável durante certo período.
A posição de cada segmento indica crescimento, decrésci-
mo ou estabilidade. A inclinação do segmento, por sua vez, 
sinaliza a intensidade do crescimento ou do decréscimo.
A partir do gráfico, pode-se afirmar que:
 § de julho para agosto, as vendas caíram;
 § de setembro para outubro, as vendas permaneceram 
estáveis;
 § o crescimento de agosto para setembro foi maior que o 
de outubro para novembro;
 § o mês com maior número de vendas foi dezembro; e
 § no mês de outubro, foram vendidos 400 livros.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  83


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Exemplos
1. Crescimento da população brasileira de 1940 a 2000:
2. Saldo da balança comercial brasileira em 2006:
3.2. Gráfico de barras
A partir do “desempenho em Química” demonstrado 
pelos alunos de uma classe, um professor elaborou a se-
guinte tabela:
Desempenho em Química FA FR
Insuficiente 6 15%
Regular 10 25%
Bom 14 35%
Ótimo 10 25%
Total 40 100%
Com os dados da tabela, é possível construir o gráfico 
de barras:
O sinal e o ruído: por que tantas previsões 
falham e outras não – Nate Silver
Livro do estatístico estadunidense que conseguiu pre-
ver a vitória do Barack Obama para a presidência dos 
EUA. No livro, o autor conta como conseguiu prever a 
vitória por meio de complexas análises estatísticas das 
pesquisas de voto.
multimídia: livro
84  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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Exemplos
1. Consumo de energia um uma residência em 2006:
2. Inflação acumulada de alguns países em 2006:
FonTe: revisTa veja, 23 maio 2007.
3.3. Gráfico de setores
Em um shopping center há três salas de cinema. O núme-
ro de espectadores em cada uma delas, num determina-
do dia da semana, foi de 300 na sala A, 200 na sala B e 
500 na sala C.
Situação representada em uma tabela de frequência e, de-
pois, em gráficos de setores.
Sala FA FR
A 300 300 ____ 
1000
 = 3 ___ 
10
 30%
B 200 2 ___ 
10
 = 1__ 
5
 20%
C 500 5 ___ 
10
 = 1 __ 
2
 50%
Em cada gráfico de setores, o círculo todo indica o total 
(1.000 espectadores ou 100%), e cada setor indica a ocu-
pação de uma sala. No traçado do gráfico de setores, de-
termina-se o ângulo correspondente a cada setor, por regra 
de três. Observe o caso da sala A.
Ao aplicar a frequência absoluta, obtém-se:
 300 ____ 
1000
 = x ____ 
360°
 ä 1000x = 108000º ä x = 108º
Ao aplicar a frequência relativa (em %), obtém-se:
 30 ____ 
100
 = x ____ 
360°
 ä 100x = 10800º ä x = 108º
Exemplos
1. Leitores de um jornal avaliam a manchete do dia anterior:
2. Número de cheques compensados e de cartões de cré-
dito (1991-2006):
3. Remuneração média, em maio de 2007, por ramo de 
atividade:
MATEMÁTICA e suas tecnologias  85



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Aplicação do conteúdo
1. Este gráfico mostra a distribuição da população bra-
sileira por regiões, de acordo com o Pnad 2007.
Considerando que a população total do Brasil registra-
da foi de aproximadamente 184 milhões de habitantes 
e que no gráfico o ângulo da região Centro-Oeste é de 
25º, calcule a população da região Centro-Oeste, em 
porcentagem e em número de habitantes.
Resolução:
360º — 100%
25º — x
x = 7%
7% de 184.000.000 = 13.000.000
Assim, a população da região Centro-Oeste para 2007 corres-
ponde a aproximadamente 7% da população do Brasil, ou seja, 
13.000.000 de habitantes.
3.4. Histograma
Quando uma variável tem seus valores indicados por clas-
ses (intervalos), é comum o uso de um tipo de gráfico de-
nominado histograma.
Exemplo
 § Considere a “altura” (em centímetros) dos alunos de 
uma classe, agrupada em intervalos, e os gráficos cor-
respondentes às frequências absolutas e relativas:
Altura (cm) FA FR
140 150 6 15%
150 160 10 26%
160 170 12 30%
170 180 8 20%
180 190 4 10%
 § Histograma com as classes (intervalos) relacionadas às 
frequências absolutas:
 § Histograma com as classes relacionadas às frequências 
relativas (em porcentagem):
É frequente o uso, como representante de cada classe, do 
valor médio correspondente (por exemplo, 155 representa 
a classe 150 160).
Os segmentos que ligam em sequência os pontos médios 
das classes superiores formam um gráfico de segmentos 
denominado polígono de histograma, que será usado em 
assuntos posteriores.
86  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
Exemplo
 § Gols marcados em vários momentos de uma partida, 
nas quatro primeiras rodadas de um campeonato bra-
sileiro de futebol
Foi visto como os vários tipos de gráficos são utilizados para 
representar e interpretar dados estatísticos. É importante 
escolher sempre qual deles é o mais adequado à situação 
analisada.
Em revistas e jornais, é comum a ilustração de diversos ti-
pos de gráficos com figuras relacionadas ao assunto, para 
torná-los mais atraentes. São os pictogramas.
Exemplos
 
Aplicação do conteúdo
1. Construa a tabela de frequências e os gráficos de barras e de setores para a variável hobby desta tabela.
Resolução:
Hobby Contagem FA FR
Esporte (E)
 
8 8 ___ 
25
 =0,32 32%
Música (M)
 
6 6 ___ 
25
 = 0,24 24%
Patinação (F) 3 3 ___ 
25
 = 0,12 12%
Dança (D)
 
7 7 ___ 
25
 = 0,28 28%
Aeromodelismo (A) 1 1 ___ 
25
 = 0,04 4%
Total 25 1 100%
 4 ___ 
100
 = x ____ 
360°
 ä 100x = 1440° ä x = 14,4°
A cada 4%, corresponde um setor de 14,4º.
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


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M
E 
5
E: 32% (8 · 4%) é 8 · 14,4º = 115,2
M: 24% (6 · 4%) é 6 · 14,4º = 86,4º
P: 12% (3 · 4%) é 3 · 14,4º = 43,2º
D: 28% (7 · 4%) é 7 · 14,4º = 100,8º
A: 4% é 14,4º
Assim:
115,2 + 86,4 + 43,2 + 100,8 + 14, 4 = 360,0º
2. Numa prova, foi anotado o tempo que cada aluno 
gastou para concluí-la (em minutos): 56; 57; 49; 51; 46; 
50; 50; 47; 44; 57; 53; 50; 43; 55; 48; 56; 49; 51; 47; 46; 
54; 52; 55; 45; 49; 50; 48; 51. A partir desses dados, cons-
trua o que se pede em cada item.
a) Tabela de frequências com os valores em 5 classes.
Resolução: 
Substituindo o menor valor pelo maior valor, a amplitude 
total será:
57 – 43 = 14
Sabendo que são 5 classes e escolhendo o número 15, a 
amplitude de cada classe será:
15 : 5 = 3
Tempo (min) Contagem FA FR
43 46 3 10%
46 49
 
6 20%
49 52
 
12 40%
52 55 3 10%
55 58
 
6 20%
Total 30 100%
b) Histograma relacionando as classes e suas frequên-
cias absolutas
Resolução:
4. Medidas de 
tendência central
A partir da idade das pessoas de um grupo, é possível es-
tabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo.
Considerando a temperatura de vários momentos em um 
mês qualquer, pode-se determinar uma só temperatura 
que forneça uma ideia aproximada de todo o período.
Avaliando as notas dos vários trabalhos de um aluno no 
bimestre, é possível registrar com apenas uma nota seu 
aproveitamento no bimestre.
Em situações como essas, o número obtido é a medida 
da tendência central dos vários números empregados. A 
média aritmética é a mais conhecida entre as medidas de 
tendência central. Além dela, serão estudadas também a 
mediana e a moda.
88  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
4.1. Média aritmética (MA)
Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 
20 anos, observa-se que:
MA = 22 + 20 + 21 + 24 + 20 ___________________ 
5
 = 107 ___ 
5
 = 21,4
A média aritmética, ou simplesmente a média de idade do 
grupo, é 21,4 anos.
Se, ao medir de hora em hora a temperatura em deter-
minado local, registraram-se 14 ºC às 6h; 15 ºC às 7h; 
15 ºC às 8h; 18 ºC às 9h; 20 ºC às 10h; e 23 ºC às 11h, 
observa-se que:
MA = 14 + 15 + 15 + 18 + 20 + 23 _______________________ 
6
 = 105 ___ 
6
 = 17,5
No período das 6h às 11h, a temperatura média foi de 
17,5 ºC.
Para um aluno que fez vários trabalhos durante o bimestre e 
obteve as notas 7,5; 8,5; 10,0; e 7,0, observa-se que:
MA = 7,5 + 8,5 + 10,0 + 7, 0 __________________ 
4
 = 33 ___ 
4
 = 8,25
Nesse bimestre, o aluno teve média de 8,25.
Generalizando, pode-se afirmar que, dados os n valores x1, 
x2, x3, ..., xn de uma variável, a média aritmética é o número 
obtido da seguinte maneira:
MA = 
x1 + x2 + x3 +...+ xn _______________ n = 
 ∑ 
i = 1
 
n 
 xi 
n
4.2. Média aritmética ponderada
Considere o caso de um aluno que faz vários trabalhos com 
pesos diferentes, ou seja, com graus de importância dife-
rentes. Se, no decorrer do bimestre, ele obteve 6,5 na prova 
(peso 2), 7,0 na pesquisa (peso 3), 6,0 no debate (peso 1) e 
7,0 no trabalho de equipe (peso 2), a média dele, que nes-
se caso é denominada média aritmética ponderada, será:
MP = 2 · 6,5 + 3 · 7,0 + 1 · 6,0 + 2 · 7,0 __________________________ 
2 + 3 + 1 + 2
 ä 
ä 13 + 21 + 6 + 14 ______________ 
8
 = 54 ___ 
8
 = 6,75
É possível simplificar quando se calcula a média aritmética 
de números que se repetem. Para obter a média aritmética 
de 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11 e 11, observa-se que:
MP = 3 · 7 + 5 · 9 + 2 · 11 ________________ 
3 + 5 + 2
 ä 21 + 45 + 22 ___________ 
10
 ä
ä 88 ___ 
10
 ä 8,8
Portanto, 8,8 é a média aritmética dos números 7, 9 e 11, 
com frequência 3, 5 e 2, respectivamente.
Observe que esse também é um exemplo de média ponde-
rada, cujos pesos são as frequências 3, 5 e 2.
A média aritmética é empregada como medida de ten-
dência central, isto é, como forma de, mediante um único 
número, dar uma ideia das características de determinado 
grupo de números. Entretanto, convém ressaltar que em al-
gumas situações a presença de um valor bem maior ou bem 
menor que os demais faz com que a média aritmética não 
consiga traçar o perfil correto do grupo.
Considere um grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 
50 anos. A média de idade, que é de 10 anos, não caracteriza 
a idade desse grupo. Em casos como esse, são usadas outras 
medidas de tendência central, como a moda e a mediana.
4.3. Moda (Mo)
Em Estatística, modaé a medida de tendência central defi-
nida como o valor mais frequente de um grupo de valores 
observados.
No grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, 
a moda é 2 anos (Mo = 2) e demonstra mais eficiência 
para caracterizar o grupo do que a média aritmética.
Se a temperatura medida de hora em hora, das 6h às 
11h, apresentou os resultados 15 ºC, 15 ºC, 18 ºC, 
20 ºC e 25 ºC, afirma-se que, nesse período, a moda foi 
15 ºC, ou seja, Mo = 15 ºC.
No caso de um aluno que anotou durante dez dias o tem-
po gasto em minutos para ir de sua casa à escola e cujos 
registros foram 15 min, 14 min, 18 min, 15 min, 14 min, 25 
min, 16 min, 15 min, 15 min e 16 min, a moda é 15 min, 
ou seja, Mo = 15 min.
Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0; e 
6,0, afirma-se que a moda é 6,0 e 7,5 e que a distribuição 
é bimodal.
Nota
Se não houver repetição de números, como 7, 9, 4, 5 e 
8, não haverá moda.
4.4. Mediana (Me)
A mediana é outra medida de tendência central.
Dados n números em ordem crescente ou decrescente, a 
mediana será:
 § o número que ocupar a posição central se n for ímpar; e
 § a média aritmética dos dois números que estiverem no 
centro se n for par.
Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período 
de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 7, 0, 2, 3, 4, 7 e 5.
Em ordem crescente, tem-se:
0,0,1,2,2,2,3 3, 3,4,4,5,5,7,7
 ç 
7 valores Me 7 valores
MATEMÁTICA e suas tecnologias  89



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Exemplos:
 § Uma vez que 15 é ímpar, o termo médio é o oitavo.
Assim, a mediana é 3, simbolicamente Me = 3.
 § As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 
12, 13, 16, 16 e 17 anos.
Para determinar a mediana desses valores, deve-se ogani-
zá-los na ordem crescente (ou decrescente).
12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17
 
 As duas
 posições
 centrais
Uma vez que se obteve um número par de valores (8), de-
ve-se calcular a média aritmética entre os dois centrais, que 
são o quarto e o quinto termos.
Assim, a média é dada por:
Me = 14 + 16 _______ 
2
 = 30 ___ 
2
 = 15
Simbolicamente, Me = 15 anos.
4.5. Média aritmética, moda e mediana 
a partir de tabelas de frequências
Utilizando os valores (números ou intervalos) e as frequências 
absolutas das tabelas de frequências das variáveis quantita-
tivas, é possível calcular a MA, a Mo e a Me de seus valores.
Exemplos:
 § Pesquisa sobre “número de irmãos” de cada aluno de 
uma classe.
Número de irmãos FA
0 8
1 15
2 12
3 5
Total 40
Média aritmética:
MA = 8 · 0 + 15 · 1 + 12 · 2 + 5 · 3 ______________________ 
40
 ä
ä 0 + 15 + 24 + 15 ______________ 
40
 = 54 ___ 
40
 = 1,35 irmão
Nota
Embora 1,35 irmão pareça absurdo, é correto um va-
lor desse tipo, assim como 1,5 gol por partida, 7,2 me-
dalhas por Olimpíada, etc. A média aritmética é uma 
medida de tendência.
Moda:
A maior frequência é 15, que corresponde ao valor 1 irmão. 
Assim, Mo = 1 irmão.
Mediana:
Uma vez que o total de frequências é 40 (número par), 
os valores centrais são o vigésimo e o vigésimo primeiro 
( 40 ___ 
2
 = 20 e 21 ) .
Se dispostos na ordem crescente, virão os 8 valores cor-
respondentes a 0 irmão, seguidos dos 15 valores de 1 
irmão, e assim por diante. Portanto, o vigésimo e o vi-
gésimo primeiro valores serão, ambos, 1 irmão. Assim, 
Me = 1 + 1 _____ 
2
 = 1 irmão.
 § Pesquisa sobre “peso” (em quilogramas) de um grupo 
de pessoas:
Peso (kg) FA
40 44 1
44 48 3
48 52 7
52 56 6
56 60 3
Total 20
A partir da tabela em que os pesos estão agrupados em 
classes, considere em cada classe o valor médio (VM) e 
anexe uma nova coluna à tabela:
44 – 40 = 48 – 44 = 52 – 48 – 56 – 52 
= 60 – 56 = 4 ä 4 __ 
2
 = 2
40 + 2 = 42 (frequência 1)
44 + 2 = 46 (frequência 3)
48 + 2 = 50 (frequência 7)
52 + 2 = 54 (frequência 6)
56 + 2 = 48 (frequência 3)
Peso (kg) FA VM
40 44 1 42
44 48 3 46
48 52 7 50
52 56 6 54
56 60 3 58
Total 20
90  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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LU
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5
Calcule MA, Mo e Me usando valores médios e suas fre-
quências.
Média aritmética:
MA = 1 · 42 + 3 · 46 + 7 · 50 + 6 · 54 + 3 · 58 _______________________________ 
20
 
= 42 + 138 + 350 + 324 + 174 _______________________ 
20
 = 1028 ____ 
20
 
= 51,4 kg
Moda:
A frequência maior 7 indica o intervalo 48 – 52, represen-
tado por 50, que é o ponto médio. Assim, Mo = 50 kg.
Mediana:
Uma vez que o total das frequências é 20 (número par), 
os dois valores centrais são o décimo e o décimo primei-
ro. Dispostos os valores médios em ordem crescente e de 
acordo com suas frequências, o décimo é 50 kg, e o décimo 
primeiro, também. Assim, Me = 50 + 50 _______ 
2
 = 50 kg.
5. Medidas de dispersão
As medidas de tendência central mais usadas são a média 
aritmética, a moda e a mediana, cujo objetivo é concentrar 
em um único número os diversos valores de uma variável 
quantitativa.
Neste item, serão estudados casos em que elas são insufi-
cientes.
Considere a seguinte situação:
O critério de aprovação em um concurso estabelece que o 
candidato deve realizar 3 provas e obter com suas notas 
média igual ou maior que 6,0. Nesse caso, a informação de 
que o candidato obteve média 7,5 é suficiente para concluir 
que ele está aprovado.
Considere, agora, outra situação:
Uma pessoa é encarregada de dirigir atividades de lazer para 
um grupo de 8 pessoas, cuja média de idade é 20 anos. Nes-
se caso, apenas a informação da média não é suficiente para 
planejar as atividades, uma vez que há grupos com média 
de idade de 20 anos e características totalmente diferentes.
Observe alguns grupos possíveis:
 § Grupo A: 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 
20 anos
Ma = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 _______________________ 
6
 = 120 ___ 
6
 = 20 anos
 § Grupo B: 22 anos, 23 anos,18 anos, 19 anos, 20 anos, 
18 anos
Ma = 22 + 23 + 18 + 19 + 20 + 18 _______________________ 
6
 = 120 ___ 
6
 = 20 anos
 § Grupo C: 6 anos, 62 anos, 39 anos, 4 anos, 8 anos, 1 ano
Ma = 6 + 62 + 39 + 4 + 8 + 1 ___________________ 
6
 = 120 ___ 
6
 = 20 anos
Uma vez que a medida de tendência central não é suficien-
te para caracterizar o grupo C, é conveniente utilizar medi-
das que expressem o grau de dispersão de um conjunto de 
dados. As mais usadas são a variância e o desvio padrão.
5.1. Variância (V)
A ideia básica de variância é tomar os desvios dos valores 
x1 em relação à média aritmética (x – MA). No entanto, a 
soma desses desvios é igual a 0 (graças a uma proprieda-
de da média). Uma opção possível é considerar o total dos 
quadrados dos desvios ∑ 
i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 e expressar a variância 
(V) como a medida dos quadrados dos desvios, ou seja: 
n
 ∑ 
i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 
.
Exemplo:
Descobrir a variância nos grupos A, B e C, citados anterior-
mente.
 § Grupo A (20; 20; 20; 20; 20; 20)
MA = 20
Desvios: 20 – 20 = 0; todos iguais a 0.
V = 0
Quando todos os valores são iguais, afirma-se que não 
houve dispersão; por isso, a variância é 0.
 § Grupo B (22; 23; 18; 19; 20; 18)
MA = 20
Desvios: 22 – 20 = 2; 23 – 20 = 3
18 – 20 = –2; 19 – 20 = –1
20 – 20 = 0; 18 – 20 = –2
V = 2
2 + 32 + (–2)2 + (–1)2 + 02 + (–2)2 
 ___________________________ 
6
 
= 4 +9 + 4 + 1 + 0 + 4 _________________ 
6
 = 22 ___ 
6
 = 3,6
 § Grupo C (6; 62; 39; 4; 8; 1)
MA = 20
Desvios: 6 – 20 = - 14; 62 – 20 = 42; 
39 – 20 = 19
MATEMÁTICA e suas tecnologias  91



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5
4 – 20 = –16; 8 – 20 = –12; 1 – 20 = –19
V = (–14)2 + 422 + 192 + (–16)2 + (–12)2 + (–19)2 
 __________________________________ 
6
 = 196 +1764 + 361 + 256 + 144 + 361 ___________________________ 
6
 = 3082 ___ 
6
 = 513,6
A variância é suficiente para diferenciara dispersão dos grupos: o grupo A não tem dispersão (V = 0) e o grupo C tem uma 
dispersão maior que a do grupo B (513,6 > 3,6).
Entretanto, não é possível expressar a variância na mesma unidade dos valores da variável, uma vez que os desvios são 
elevados ao quadrado. Por isso, definiu-se que a medida de dispersão é denominada desvio padrão.
5.2. Desvio padrão (DP)
O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da variância. Ele facilita a interpretação dos dados, uma vez que é expresso na mes-
ma unidade dos valores observados (conjunto de dados). No exemplo que está sendo analisado, tem-se:
 § Grupo A: DP = dXX 0 = 0 anos
 § Grupo B: DP = dXXX 3,6 = 1,9 anos
 § Grupo C: DP = dXXXXX 513,6 = 22,6 anos
Resumindo: se x1, x2, x3, ..., xn são os n valores de uma variável quantidade x, tem-se:
 § A média aritmética dos valores de x: MA = 
n
 ∑ 
i – 1
 
n 
 xi 
 § A variação de x: V = 
n
 ∑ 
i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 
 § O desvio padrão de x: DP = dXX V 
Nota
1. Se todos os valores da variável forem iguais, o desvio padrão será 0.
2. Quanto mais próximo de 0 for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores da variável.
3. O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.
Aplicação do conteúdo
1. Num treinamento de salto em altura, os atletas realizam 4 saltos cada um. Veja as marcas obtidas por três atletas:
 § atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm;
 § atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm;
 § atleta C: 146 cm. 151 cm, 143 cm e 160 cm.
Com base nesses dados, responda aos seguintes itens:
a) Qual deles obteve melhor média?
Resolução:
Ao calcular a média de cada atleta, obtém-se:
Atleta A
MA = 148 + 170 + 155 + 131 ___________________ 
4
 = 604 ___ 
4
 = 151 cm
92  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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Atleta B
MA = 145 + 151 + 150 + 152 ___________________ 
4
 = 598 ___ 
4
 = 149,5 cm
Atleta C
MA = 146 + 151 + 143 + 160 ___________________ 
4
 = 600 ___ 
4
 = 150 cm
Assim, o atleta A obteve a maior média: 151 cm.
b) Qual deles foi mais regular?
Resolução:
A maior regularidade será verificada a partir do desvio padrão.
Atleta A
V = 
(148 – 151)2 + (170 – 151)2 + (155 – 151)2 + (131 – 151)2
 ____________________________________________ 
4
 = 9 + 361 + 16 + 400 ________________ 
4
 = 786 ___ 
4
 = 196,5 cm
DP = dXXXXX 196,5 = 14 cm
Atleta B
V = 
(–4,5)2 + (1,5)2 + (0,5)2 + (2,5)2 
 ________________________ 
4
 = 
20,25 + 2,25 + 0,25 + 6,25 
 _____________________ 
4
 = 29 ___ 
4
 = 7,25
DP = dXXXX 7,25 = 2,7 cm 
Atleta C
V = 
(–4)2 + 12 + (–7)2 + 102
 __________________ 
4
 = 16 + 1 + 49 + 100 _______________ 
4
 = = 166 ___ 
4
 = 41,5
DP = dXXXX 41,5 = 6,4 cm 
Assim, o atleta B foi o mais regular, uma vez que seu desvio padrão é o menor: aproximadamente 2,7 cm.
2. O histograma mostra o resultado de uma pesquisa sobre altura (em centímetros) entre os alunos de uma classe. 
Calcule o desvio padrão dessa variável.
Resolução:
No histograma, os valores da variável são intervalos; por isso, é preciso usar seus pontos médios:
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Média aritmética:
MA = 2 · 156 + 5 · 162 + 8 · 168 + 6 · 174 + 4 · 180 ____________________________________ 
2 + 5 + 8 + 6 + 4
 ⇒ 
⇒ MA = 312 + 810 + 1344 + 1044 + 720 __________________________ 
25
 = 4230 ____ 
25
 
 = 169,2 cm
Desvios (xi – MA):
156 – 169,2 = – 13,2; 162 – 169,2 = – 7,2
168 – 169,2 = – 1,2; 174 – 169,2 = 4,8
180 – 169,2 = 10,8
Variância:
V = 
2(–13,2)2 + 5(–7,2)2 + 8(–1,2)2 + 6(4,8)2 + 4(10,8)2 
 _______________________________________ 
25
 
V = 
348,48 + 259,2 + 11,52 + 138,24 + 456,56 
 __________________________________ 
25
 
V = 1214 ____ 
25
 = 48,56 cm
Desvio padrão
DP = dXXXXX 48,96 = 6,97 cm
6. Estatística e probabilidade
A estatística também é utilizada para estimar a probabilidade 
de ocorrência de um evento, principalmente se ela não puder 
ser calculada teoricamente pela razão P = evento ____________ espaço amostral . 
Se, como se diz, a probabilidade de ocorrer um acidente de 
avião é de uma em um milhão, é porque a frequência re-
lativa de ocorrência de acidentes é de um acidente a cada 
um milhão de decolagens. Ao longo dos anos, ocorrerão 
mais decolagens, o que pode mudar essa probabilidade. 
Dos anos 1960 para cá, a frequência relativa de acidentes 
aéreos no mundo diminuiu cerca de 15 vezes. Isso significa 
que a probabilidade de ocorrer um acidente nos anos 1960 
era 15 vezes maior do que agora.
Quanto maior for a quantidade de experimentos, melhor 
será a estimativa da probabilidade ao empregar a frequên-
cia relativa. Ao jogar uma moeda duas vezes, é possível que 
ocorra duas vezes cara. Seria absurdo afirmar que a probabi-
lidade de ocorrer cara é de 100%, uma vez que a quantida-
de de experimentos é muito pequena e insuficiente para que 
se faça tal afirmação. Contudo, ao jogar uma moeda 200 
vezes, é possível observar algo como 94 caras e 106 coroas; 
se jogada 2.000 vezes, 1.034 caras e 966 coroas; 20.000 
vezes, 10.091 caras e 9.909 coroas.
Na tabela a seguir, percebe-se que a frequência relativa ten-
de ao valor teórico de 50% para a probabilidade de ocorrer 
cara ou coroa, o que é chamado de lei dos grandes números.
Previsões do tempo, resultados eleitorais, mortalidade cau-
sada por doenças, entre outras, são probabilidades calcu-
ladas por frequências relativas de pesquisas estatísticas. 
Nesses casos, quanto maior for o histórico de dados a ser 
analisado, melhor será a previsão.
Número de jogadas FA (cara) FR (cara)
2 2 100%
200 94 47%
2.000 1.034 51,7%
20.000 10.091 50,45%
Aplicação do conteúdo
1. Um dado foi lançado 1.200 vezes, com o seguinte re-
sultado:
Face Número de vezes
1 248
2 355
3 175
4 180
5 126
6 116
a) Trace uma tabela de frequências relativas 
que expresse os resultados em porcentagem.
Resolução:
Face Número de vezes Frequência relativa
1 248 20,7%
2 355 29,6%
3 175 14,6%
4 180 15,0%
5 126 10,5%
6 116 9,7%
b) Na sua opinião, o dado jogado é honesto? 
Justifique sua resposta.
Resolução:
Aparentemente, há uma tendência maior em sair as faces 1 e 
2 do que as outras. Como 1.200 é um número razoavelmen-
te grande, a frequência relativa deveria ser aproximadamen-
te igual ao valor teórico da probabilidade (que é de 16,6%). 
Com 1.200 jogadas, o resultado teórico esperado seria o de 
sair cerca de 200 vezes cada face. Pode-se afirmar, portanto, 
que o dado aparenta não ser honesto.
94  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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2. “O número de acidentes aéreos no Brasil entre 1979 
e 1998 caiu muito. Foram registrados 403 acidentes, em 
1979, contra 71, em 1998. No mesmo período, o número 
de voos aumentou cinco vezes”. Segundo essa afirma-
ção, se a probabilidade de ocorrer um acidente aéreo 
em 1998 era P, qual foi essa probabilidade em 1979?
Resolução:
Suponha que o número de voos, em 1979, seja x:
P = 71 ___ 
5x
 ä x = 71 ___ 
5P
 
Em 1979, a probabilidade era:
P2 = 403 ___ x ä x = 403 ___ 
P2
 
Assim:
 71 ___ 
5P
 = 403 ___ 
P2
 ä P2 = 403 · 5P _______ 
71
 
= 28,4P cerca de 28 vezes maior)
3. Em uma garrafa opaca fechada existem 20 bolinhas 
distribuídas entre três cores: preta, vermelha e amarela. 
Não é possível ver as bolinhas dentro da garrafa, exce-
to quando ela é virada de ponta-cabeça, quando uma 
das bolinhas vai para o gargalo e é possível ver sua cor. 
Ao longo de vários dias, repetiram-se 2.000 vezes a se-
guinte operação: chacoalhava-se e tombava-se a garra-
fa para então anotar a cor da bolinha que aparecia no 
gargalo. Os resultados obtidos foram:
Cor da bolinha Número de vezes
Preta 396
Vermelha 910
Amarela 694
Qual deve ser a quantidade de cada bolinha dentro da 
garrafa?
Resolução:
Uma vez que a quantidadede experimentos é grande, pode-se 
esperar que a frequência relativa seja aproximadamente igual à 
probabilidade teórica. A tabela de frequências relativas é:
Cor da 
bolinha
Número 
de vezes
Frequências 
relativas
Preta 396 0,198
Vermelha 910 0,455
Amarela 694 0,347
Portanto, se tivermos x bolinhas pretas, y bolinhas vermelhas 
e z bolinhas amarelas, as probabilidades teóricas serão:
P(preta) = x ___ 
20
 
P(vermelha) = 
y
 ___ 
20
 
P(amarela) = z ___ 
20
 
Ao igualarem-se as probabilidades teóricas com as respectivas 
frequências relativas, obtém-se:
 x ___ 
20
 = 0,198 ä x = 3,96
 
y
 ___ 
20
 = 0,455 ä y = 9,10
 z ___ 
20
 = 0,347 ä z = 6,94
Uma vez que as quantidades x, y e z de bolinhas são números 
inteiros, x = 4, y = 9 e z = 7.
https://pt.khanacademy.org/math/probability
multimídia: site
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ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela 
de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos.
Dentro das competências da área 7 do Enem, a habilidade 27 exige do aluno a capacidade de resolver uma situ-
ação proposta a partir de análise de dados de gráficos ou tabelas e cálculos estatísticos.
MODELO 1
(Enem) O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %) para o período de março de 2008 a abril de 2009, 
obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de 
Janeiro, São Paulo e Porto Alegre.
ibge. pesquisa mensal de emprego. disponível em: www.ibge.gov.br. acesso em: 30 jul. 2012 (adapTado).
A mediana dessa taxa de desemprego, no período de março de 2008 a abril de 2009, foi de:
a) 8,1%.
b) 8,0%.
c) 7,9%.
d) 7,7%.
e) 7,6%.
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conhecimentos 
sobre estatística para a sua resolução.
A mediana será dada pela média entre a sétima e a oitava taxa. Em ordem crescente, a mediana será:
6,8 – 7,5 – 7,6 – 7,6 – 7,7 – 7,9 – 7,9 – 8,1 – 8,2 – 8,5 – 8,5 – 8,6 – 8,9 – 9,0
 
⇒ 7,9 + 8,1 _______ 2 = 8
RESPOSTA Alternativa B
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DIAGRAMA DE IDEIAS
TERMOS
MEDIDAS DE 
TENDÊNCIA CENTRAL
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA MEDIDAS DE DISPERSÃO
ESTATÍSTICA
População
Média aritmética
(MA)
Moda
Se N for ímpar Se N for par
Mediana
(ME)
Variância (V) Desvio padrão
Valor mais
frequente dos
dados observados
O número que
ocupa a posição
central
Média aritmética
ponderada
Gráfico de
segmento
Gráfico de
barra
Gráfico de
setores
Histograma
Média aritmética
dos dois números
centrais
Qualitativa Quantitativa
Variável
Nominal Discreta
Absoluta
Amostra
Objeto
Ordinal Contínua
Relativa
Indivíduo Frequência
MA = x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
V = S
n
i=1 (x1 – MA)2
n
DP = √xxxxV
GEOMETRIAS 
ESPACIAL E 
ANALÍTICA
MATEMÁTICA
LIVRO 
TEÓRICO
INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS
O Enem abordará questões sobre a geo-
metria de uma esfera e aplicará a questões 
do nosso cotidiano. A parte de geometria 
analítica é abordada de forma mais fácil.
O aluno deve esperar uma questão com 
elevado grau para esferas e questões dire-
tas sobre os temas da geometria analítica. 
Ambos os temas podem aparecer na pri-
meira e segunda fases.
A prova pode trazer questões muito bem 
elaboradas sobre sólidos inscritos e cir-
cunscritos. Além disso, todos os conceitos 
de geometria analítica deste livro devem 
estar bem claros para os candidatos.
A prova apresentará para seus candidatos 
questões sobre geometria analítica, com 
elevado grau de dificuldade.
Por apresentar uma prova contextualizada 
em grande parte, a Vunesp poderá trazer 
questões medianas sobre os temas deste 
livro e do próximo para geometria analítica.
O vestibular buscará de seu candidato 
todos os temas deste livro, com questões 
medianas e difíceis.
A prova abordará a geometria de uma es-
fera, de forma contextualizada e mediana. 
Todos os conhecimentos sobre geometria 
analítica devem ser absorvidos pelo can-
didato.
Esse vestibular compõe sua prova com 
questões elevadas para todos as aulas 
deste livro.
A prova apresentará questões de elevado 
grau aos seus candidatos. Associar todos os 
itens de geometria plana para a espacial e 
analítica é fundamental.
O candidato deve estar atento a todos os 
temas abordados sobre geometria ana-
lítica.
A prova exige do seu candidato a parte da 
geometria analítica com elevado grau em 
suas questões. Associar a geometria plana 
com a analítica também é essencial.
A prova exigirá uma boa análise da geo-
metria espacial com questões elevadas. 
Além disso, o candidato deve trazer todos 
os conceitos de geometria analítica deste 
livro e do próximo.
As questões de geometria analítica apre-
sentarão alta dificuldade e podem ser ou 
não apresentadas de forma direta.
De forma objetiva, a prova abordará todos 
os temas deste livro. Questões medianas 
e elevadas podem aparecer para os can-
didatos.
A prova tem alta incidência de geometria 
analítica, com questões muito bem elabo-
radas.
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1. Introdução
Considere um ponto C e um número real positivo R qualquer.
A esfera de centro C e raio R forma o conjunto de todos 
os pontos do espaço que estão a uma distância menor ou 
igual a R do ponto C.
A “casquinha” ou a fronteira da esfera é denominada su-
perfície esférica.
C = centro da esfera
CP = raio da esfera 
PQ = diâmetro da esfera
R = medida do raio da esfera
2. Área da superfície esférica
Na figura a seguir, estão desenhados três círculos máximos. 
A área da superfície esférica é dada pelo quádruplo da área 
de um dos círculos máximos, ou seja:
A = 4pR2
Por exemplo, se o raio de uma esfera é 9 cm, a área da 
superfície esférica é dada, aproximadamente, por:
A = 4pR2 = 4 · 3,14 · 92 = 1017,36 cm2
Essa fórmula será justificada depois da análise do cálculo 
do volume da esfera.
3. Volume da esfera
Observe a figura a seguir, em que aparece a secção deter-
minada em uma esfera de raio R por plano b.
A intersecção do plano b com a esfera é um círculo de raio 
r. Se d é a distância de O (centro da esfera) ao plano b, 
tem-se:
R2 = d2 + r2 ⇒ r2 = R2 – d2
Assim, a área da secção é dada por:
p(R2 – d2)
O volume da esfera será determinado a partir do princípio 
de Cavalieri. Para isso, considere inicialmente um sólido S 
que será obtido da seguinte maneira: de um cilindro equi-
látero de raio R e altura 2R retiram-se dois cones de raio R, 
altura R e vértice P.
O volume do sólido S é tal que:
volume de S = pR2 · 2R – 2 · 1 __ 
3
 pR2 · R = 2pR3 – 2 __ 
3
 pR3 
= 4 __ 
3
 pR3
Agora, é possível considerar, apoiados em um plano a, o 
sólido S e uma esfera E de raio R, conforme mostra a figura 
a seguir:
cilindro
2 cones
ESFERAS
COMPETÊNCIA(s)
2 e 3
HABILIDADE(s)
6, 7, 8, 9 e 14
MT
AULAS 
35 E 36
100  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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Se um plano b, paralelo a a, seccionar a esfera E, a área 
da secção será p(R2 – d2), conforme foi visto. Além disso, 
se b também seccionar o sólido S, a secção será uma coroa 
circular de raios R e d e também de área igual a p(R2 – d2).
A igualdade das áreas das secções permite concluir, pelo 
princípio de Cavalieri, que a esfera E tem o mesmo volume 
que o sólido S: 4 __ 
3
 pR3.
Pode-se então concluir que, se uma esfera tem raio R, seu 
volume é:
V = 4 __ 
3
 pR3
Aplicação do conteúdo
1. Responda às questões dos itens a seguir relativas ao 
planeta Terra:
a) Qual é seu volume e qual é a área de sua superfície?
Resolução:
Sabe-se que a linha do equador tem aproximadamente 
40.000 km.
modelo maTemáTico
Considerando a Terra uma figura de forma esférica, tem-se: 
V = 4 __ 
3
 pR3.
Como C = 40.000 km e C = 2pR, deve-se determinar R, 
considerando p = 3,14:
40.000 = 2pR⇒ R = 40000 __.___ 
2p
 =~ 6.369 km
V = 4 __ 
3
 pR3 =~ 4 __ 
3
 · 3,14 · 6.3693 =~ 1,08 · 1012 km3
A área da superfície da esfera é dada por A = 4pR2. No 
caso do planeta Terra, como R =~ 6.369 km, tem-se:
A =~ 4 ·3,14 · 6.3692 =~ 509.485.862 km2
Portanto, o volume aproximado da Terra é 1,08 · 1012 km3, 
e sua área aproximada é 5,09 · 108 km2.
b) Qual é a área coberta de água (em km2) em sua 
superfície?
Resolução:
A área coberta de água é:
 3 __ 
4
 A =~ 3 __ 
4
 · 5,09 · 108 =~ 3,82 · 108 km2
A área coberta de água é aproximadamente de:
3,82 · 108 km2.
2. Quantos mililitros cabem, aproximadamente, na va-
silha abaixo?
Resolução:
Calculando:
 § o volume do cilindro no qual
r = 2,5 cm e h = 8 cm:
v = pr2h = p(2,5)2 · 8 = 50p cm3
 § o volume da esfera na qual R = 7 cm
V = 4 __ 
3
 pR3 = 4 __ 
3
 p(7)3 = 1372p ______ 
3
 cm3
 § o volume da vasilha
V = 50p + 1372p ______ 
3
 = 1522p ______ 
3
 cm3
Considerando p = 3,14, tem-se:
V = 1.593 cm3.
Como 1 cm3 = 1mø, o volume da vasilha é aproximada-
mente 1.593 mø.
esfera
MATEMÁTICA e suas tecnologias  101



 V
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E 
5
3. Uma esfera é seccionada por um plano a distante 
12 cm de seu centro. O raio da secção obtida é 9 cm. 
Calcule o volume da esfera.
Resolução:
Cálculo do raio R da esfera:
R2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225 ⇒ R = 15 cm
Cálculo do volume:
V = 4 __ 
3
 pR3 = 4 __ 
3
 p(15)3 = V = 4.500p cm3
Portanto, o volume da esfera é 4.500p cm3.
4. Um cone equilátero está inscrito em uma esfera. O 
raio da base do cone é 2 cm. Calcule o volume da esfera.
Resolução:
cos 30º = 2 __ 
R
 ⇒ √
__
 3 ___ 
2
 = 2 __ 
R
 ⇒ R = 4 ___ 
 √
__
 3 
 = 4 √
__
 3 ____ 
3
 
Calculando o volume da esfera:
V = 4 __ 
3
 pR3 = 4 __ 
3
 p ( 4 √
__
 3 ____ 
3
 ) 3 = 4 __ 
3
 p · 192 √
__
 3 ______ 
27
 
= 256p √
__
 3 _______ 
27
 cm3
Assim, o volume da esfera é 256p √
__
 3 _______ 
27
 cm3.
5. Sabe-se que foram utilizados 36p m2 de tinta para 
pintar completamente a esfera de um reservatório de 
água esférico. Calcule o volume de água, em m³, que o 
reservatório pode armazenar.
Resolução:
Sabe-se que a área de uma esfera é dada por:
A = 4pr2
Assim:
A = 4pr2 = 36p
r2 = 9
r = 3 m
Portanto, seu volume, em m³, será:
v = 4 __ 
3
 pr3 = 4 __ 
3
 p(3)3 = 36pm3 
4. Fuso esférico
Quando uma semicircunferência é rotacionada ao redor 
do eixo que passa pelo diâmetro por um ângulo, obtém-se 
uma superfície denominada fuso esférico:
É possível calcular sua área da mesma forma que são cal-
culadas as áreas de setores circulares, ou seja, por meio de 
uma proporção. Se o ângulo u fosse 360°, haveria uma 
circunferência completa de área 4pr2. Assim:
 360º ____ 
u
 = 4pr2
 ____ 
Afuso
 
Afuso = u ____ 
360º
 ∙ 4pr2
5. Cunha esférica
Da mesma forma que se obtém uma superfície ao se ro-
tacionar uma semicircunferência, também se obtém um 
sólido denominado cunha esférica.
Do mesmo modo que uma proporção é utilizada para o 
cálculo da área do fuso, utiliza-se uma proporção para o 
cálculo do volume da cunha esférica:
 360º ____ θ = 
 4 __ 
3
 πr3
 ____ 
Vcunha
 
Vcunha = u ____ 
360º
 ∙ 4 __ 
3
 pr3
102  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
Aplicação do conteúdo
1. Dado que um fuso esférico tem área de 3p ___ 
2
 m2 e ân-
gulo central de 60°, calcule o volume da cunha esférica 
determinada por esse fuso.
Resolução:
Como o ângulo central e a área são conhecidos, é possível 
calcular o raio da esfera:
Afuso = u ____ 
360º
 ∙ 4pr2
 3 __ 
2
 p = 60º ____ 
360°
 ∙ 4pr2
 3 __ 
2
 p = 1 __ 
6
 ∙ 4pr2
r2 = 9 __ 
4
 
r = 3 __ 
2
 m
Assim, seu volume é dado por:
Vcunha = u ____ 
360º
 ∙ 4 __ 
3
 pr3 
Vcunha = 60º ____ 
360°
 ∙ 4 __ 
3
 p ( 3 __ 2 ) 3
Vcunha = 1 __ 
6
 ∙ 4 __ 
3
 p 27 ___ 
8
 
Vcunha = 3 __ 
4
 pm3
MATEMÁTICA e suas tecnologias  103



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5
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 14
Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a gran-
dezas e medidas.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 14 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta com conhecimentos de geometria.
MODELO 1
(Enem) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com 
uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas 
por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o 
raio de acordo com o volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse 
medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da 
máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para p.
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a:
a) 168.
b) 304.
c) 306.
d) 378.
e) 514.
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema utilizando cálculos de volume de sólidos 
geométricos (cilindros e esferas) para a sua resolução.
Uma pílula é formada por um cilindro de raio R e altura h e duas semiesferas também de raio R; assim, seu 
volume será de:
V = 4/3 ∙ p ∙ R3 + p ∙ R2 ∙ h
Para p = 3, fazendo as diferenças das pílulas com os raios diferentes, tem-se:
Pílula de raio 5 mm = 4/3 ∙ 3 ∙ 5³ + 3 ∙ 5² ∙ 10 = 1.250 mm³
Pílula de raio 4 mm = 4/3 ∙ 3 ∙ 4³ + 3 ∙ 4² ∙ 10 = 736 mm³
Assim, a redução do volume será de 1.250 – 736 = 514 mm³.
RESPOSTA Alternativa E
104  MATEMÁTICA e suas tecnologias


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5
DIAGRAMA DE IDEIAS
ESFERAS
ELEMENTOS ÁREA VOLUME
FUSO 
ESFÉRICO
CUNHA 
ESFÉRICA
Q C
R
P
C CENTRO DA ESFERA
CP RAIO DA ESFERA
QP DIÂMETRO DA 
ESFERA
R MEDIDA DO RAIO 
DA ESFERA
A = 4 p R2 V = 4 p R3
3
0
FUSO
CUNHA
AFUSO = u . 4 p R2
360
VCUNHA = u . 4 p R3
360 3
MATEMÁTICA e suas tecnologias  105



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5
No triângulo com lados ABC, tem-se: g² = h² + R²
Ao comparar o triângulo ADO, retângulo em D, pode-se 
notar uma semelhança com o triângulo ABC, retângulo 
em B. Da conformidade desses triângulos, nota-se que 
AO= h-r. Assim:
 r ___ 
R
 = h - r _____ g 
2.2. Cone inscrito na esfera
A esfera inscrita no cone de raio R possui r como raio e h 
como altura.
Quando os sólidos são divididos em partes e colocados em 
um plano, o plano apresenta um triângulo com dois lados 
iguais VAB de base 2r e altura h no raio R. Assim:
Na figura:
 § (O) = o ponto central da esfera.
 § (M) = centro da base do cone. 
Considerando que o triangulo OMA é retângulo, tem-se: 
R2 = r2 + (h - R)2
1. Introdução
A seguir, serão analisadas as relações geométricas entre 
os sólidos mais utilizados nas provas dos vestibulares. Na 
maior parte dos casos, serão realizadas a inscrição e a cir-
cunscrição do par estudado. Durante o desenvolvimento, é 
fundamental perceber a utilização de cortes estratégicos 
para a elaboração das equações. Os sólidos utilizados se-
rão: esfera, cone, pirâmide quadrada, cubo e cilindro. 
2. Esfera e cone
2.1. Circunscrição da esfera 
Considerando que a esfera inscrita no cone possui r como 
raio, h como altura e g como geratriz, tem-se:
Quando o cone é dividido em partes em um plano que 
contém seu eixo, o plano apresenta um círculo de raio r 
inscrito num triângulo com dois lados iguais com medidas 
2r e altura h proporcionais a g.
INSCRIÇÃO E 
CIRCUNSCRIÇÃO 
DE SÓLIDOS
COMPETÊNCIA(s)
2 e 5
HABILIDADE(s)
6, 7, 8, 9, 20, 21, 22 e 23
MT
AULAS 
37 E 38
106  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
3. Cilindro e cubo 
3.1. Cilindro inscrito no cubo
O raio da base do cilindro será R, e h será a sua altura. O 
cubo possui a como aresta.Assim:
R = a ___ 
2
 e h = a
3.2. Cubo inscrito no cilindro
A medida (altura) do cilindro é idêntica à aresta do cubo. O 
raio R da base do cilindro, por sua vez, representa a meta-
de da diagonal de um quadrado de lado a.
R = a √
__
 2 ____ 
2 
 e h = a
4. Esfera e cilindro
4.1. Esfera inscrita no cilindro
A esfera inscrita num cilindro possui r como raio e h como 
altura.
 § O raio da base do cilindro é igual ao raio da esfera (R = r). 
 § A altura do cilindro é duas vezes maior do que a altura 
da esfera (h = 2R). 
4.2. Cilindro inscrito na esfera
Considere h a altura e r o raio da base do cilindro locali-
zado na esfera de raio r. Quando o cilindro é dividido em 
partes e colocado em um plano, o plano apresenta um re-
tângulo com medidas 2r e h inscrito no círculo de raio R.
(2R)2 = (2r)2 + h2
5. Esfera e cubo 
5.1. Esfera inscrita no cubo
Considerando um cubo ABCDEFGH num raio r com ares-
ta a, tem-se:
Quando um cubo é dividido por uma superfície que possui 
os pontos AB, DC, EF e HG, obtém-se um círculo com raio 
r num quadrado MNPQ:
MATEMÁTICA e suas tecnologias  107



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E 
5
5.2. Cubo inscrito na esfera
Considerando um cubo ABCDEFGH num raio r com ares-
ta a, tem-se:
Uma seção do cubo possui pontos A e C, e o centro possui 
os pontos ACGE de tamanhos a√2 e a num círculo com 
raio r:
O triângulo retângulo possui os pontos EGC de catetos 
a√2 e a e hipotenusa 2R. Ao se empregar o teorema de 
Pitágoras nesse triângulo, tem-se:
(2R)2 = (a√
__
 2 )2 + a2 ⇒ 4R2 = 3a2 ⇒ R = a √
__
 3 ____ 
2
 
6. Esfera e pirâmide quadrada 
6.1 Inscrição da esfera 
A esfera inscrita na pirâmide possui r como raio de uma 
base quadrada, l como base e h como altura. 
Quando um sólido é dividido em partes por um plano que 
contém o vértice V da pirâmide, os pontos médios M e N 
e os lados BC e AD, o plano apresenta um círculo num 
triângulo com dois lados iguais com medidas l, h e raio r.
I
Possuindo um triângulo retângulo VAM, com hipotenusa 
g e catetos h e l/2, tem-se:
g2 = h2 + ( l __ 2 ) 2
O triângulo VPO, retângulo em P, é considerado seme-
lhante ao triângulo VAM, retângulo em A. A partir dessa 
comparação, percebe-se que VM = g e VO = h – r:
 r ___ 
1/2
 = h - r _____ 
 g = 2r ___ 
l
 = h - r _____ 
 g ⇒ l = 
2gr _____ 
h - r
 
 
108  MATEMÁTICA e suas tecnologias



 V
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E 
5
1. Introdução
Esse segmento da Matemática, como o próprio nome su-
gere, associa elementos geométricos a expressões algébri-
cas, proporcionando uma exatidão nas medidas que geral-
mente não é alcançada em resolução geométrica. Observe 
o problema a seguir.
Na Geometria plana, o centro de gravidade de um triân-
gulo, denominado baricentro, é o ponto de intersecção das 
medianas do triângulo e pode ser obtido geometricamente 
com o uso de régua e compasso.
O campo da Matemática que será estudado agora propõe 
outro recurso para a resolução desse problema, o algébri-
co, segundo o qual, situados os vértices do triângulo num 
sistema para a referência, denominado sistema cartesiano 
ortogonal, e aplicadas as propriedades já deduzidas na Ge-
ometria plana, pode-se obter o ponto procurado represen-
tado por suas coordenadas.
Acompanhe a seguir as definições dos conceitos necessá-
rios para essa aplicação.
2. Sistema cartesiano ortogonal
Há uma correspondência biunívoca entre os pontos de um 
plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais, 
ou seja, a cada ponto do plano corresponde um único par 
ordenado (x, y), e a cada par ordenado (x, y) está associado 
um único ponto do plano. A relação biunívoca não é única 
e depende do sistema de eixos ortogonais adotado.
Para estabelecer uma dessas correspondências biunívocas, 
são usados dois eixos ortogonais (eixo x e eixo y), cuja 
intersecção é o ponto O, denominado origem do sistema.
Exemplo
Ao par ordenado de números reais:
 § (0, 0) está associado o ponto O (origem);
 § (3, 2) está associado o ponto A;
 § (–1, 4) está associado o ponto B;
 § (–2,–3) está associado o ponto C;
 § (2, –1) está associado o ponto D.
Considerando o ponto A (3, 2), afirma-se que o número 3 é 
a coordenada x ou a abscissa do ponto A e que o número 
2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.
Notas
1. Os eixos x e y são denominados eixos coordenados e 
dividem o plano em quatro regiões chamadas de qua-
drantes, cuja identificação é realizada como mostra a 
figura.
GEOMETRIA 
ANALÍTICA: 
DISTÂNCIA E 
PONTO MÉDIO
COMPETÊNCIA(s)
2 e 5
HABILIDADE(s)
6, 7, 8, 9, 20, 21, 22 e 23
MT
AULAS 
39 E 40
MATEMÁTICA e suas tecnologias  109



 V
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E 
5
O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada 
varia de acordo com o quadrante.
2. Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas 
são (a, 0), com a ∈ R.
3. Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas 
são (0, b), com b ∈ R.
4. Se o ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, suas coordenadas possuem ordenada igual à 
abscissa, isto é, são do tipo (a, a), com a ∈ R.
5. Se o ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes 
pares, suas coordenadas possuem abscissa e ordenada 
opostas, isto é, são do tipo (a, –a), com a ∈ R.
3. Distância entre dois pontos
Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será 
indicada por d(A, B), é a medida do segmento de extremi-
dades A e B.
Exemplos
1.
d(A, B) = 3 – 1 = 2
2.
-1-2
-1
d(A, B) = 3 + 2 = 5
3.
d(A, B) = 2 + 4 = 6
4.
d(A, B) = 4 – 1 = 3
110  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
5.
[d(A, B)]2 = 32 + 22 ⇒ d(A, B) = dXXX 13 
6.
[d(A, B)]2 = 32 + 52 ⇒ d(A, B) = dXXX 34 
É possível determinar uma expressão que indica a distância 
entre A e B, quaisquer que sejam A(xA, yA) e B(xB, yB).
O triângulo ABC é retângulo em C, assim, pode-se usar a 
relação de Pitágoras:
yA
yB
xA xB
[d(A,B)]2 = (xB – xA)
2 + (yB – yA)
2 ⇒ d(A,B) = dXXXXXXXXXXXXX XX (xB – xA)
2 +(yB – yA)
2 
Nota
A expressão obtida para a distância entre dois pontos A e B independe da localização de A e B, ou seja, vale para quais-
quer A e B. É o caso do segundo, quarto e sexto exemplos analisados anteriormente:
A(–2, –1) e B(3, –1) ⇒ d(A, B) = dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX [3 – (–2)]2 + [(–1) – (–1)]2 = dXXXXXXX 52 + 02 = dXXX 25 = 5 
A(–2, 1) e B(–2, 4) ⇒ d(A, B) = dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX [– 2 – (– 2)]2 + (4 – 1)2 = dXXXXXX 02 + 3 2 = dXX 9 = 3
A(–2, 2) e B(1, –3) ⇒ d(A, B) = dXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX [1 – (–2)]2 + [(–3) – 2]2 = dXXXXXXXXX 32 + (–5)2 = dXXX 34 
Conclusão: a distância entre dois pontos A e B quaisquer do plano, tal que A(xA, yA) e B(xB, yB), é:
d(A, B) = dXXXXXXXXXXXXXXXXXX (xB – xA)
2 + (yB – yA)
2 
Aplicação do conteúdo
1. Um ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcule a abscissa do ponto P.
Resolução:
Como P é equidistante de A e B:
d(P, A) = d(P, B) ⇒ dXXXXXXXXXXXXXX (3 – a)2 + (1 – 2)2 = dXXXXXXXXXXXXXX (2 – a)2 + (4 – 2)2 ⇒ dXXXXXXXXXX (3 – a)2 + 1 = dXXXXXXXXXX (2 – a)2 + 4 ⇒
⇒ (3 – a)2 + 1 = (2 – a)2 + 4 ⇒ 9 – 6a + a2 + 1 = 4 – 4a + a2 + 4 ⇒ –6a + 4a = 4 + 4 – 9 – 1 ⇒
⇒ –2a = –2 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1
MATEMÁTICA e suas tecnologias  111



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5
Verificando:
a = 1 ⇒ 
d(P, A) = √
_____________
 (3 – 1)2 + (1 – 2)2 = √
__
 5 
d(P, B) = √
_____________
 (2 – 1)2 + (4 – 2)2 = √
__
 5 
Assim, a abscissa do ponto P é 1.
2. Demonstre que o triângulo com vértices A(–2, 4), 
B(–5, 1) e C(–6, 5) é isósceles.
Um triângulo é isósceles se tiver dois lados con-
gruentes (medidas iguais). Calcule as medidas dos 
lados do triângulo ABC.
Resolução:
d(A, B) = dXXXXXXXXXXXXXXXX (–5 + 2)2 + (1 – 4)2 = dXXXXX 9 + 9 
= dXXX 18 = 3 dXX 2 
d(A, C) = dXXXXXXXXXXXXXXXX (– 6 + 2)2 + (5 – 4)2 = dXXXXXX 16 + 1 
= dXXX 17 
d(B, C) = dXXXXXXXXXXXXXXXX (–6 + 5)2 + (5 – 1)2 = dXXXXXX 1 + 16único elemento do domínio (f é injetora);
 § É necessário que a função satisfaça essa duas condi-
ções para que ela seja invertível, ou seja, possua in-
versa. As funções que satisfazem essas duas condições 
são denominadas funções bijetoras. Portanto, ape-
nas as funções bijetoras possuem inversa.
Observe a seguir uma função que não é bijetora.
Seja a função real f(x) = x2 – 2.
FUNÇÃO 
INVERSA E 
PARIDADE
COMPETÊNCIA(s)
5
HABILIDADE(s)
19, 20 e 21
MT
AULAS 
35 E 36
8  MATEMÁTICA e suas tecnologias



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5
Considere os elementos x = 3 e x = –3 do domínio de f :
x = 3 ⇒ f(3) = 7 (3, 7)
x = –3 ⇒ f(–3) = 7 (–3, 7)
Essa não é uma função bijetora, pois o elemento 7 do con-
tradomínio de f é imagem de dois elementos, 3 e -3, do seu 
domínio. Caso essa função possuísse inversa g, o elemento 
7 possuiria duas imagens (3 e -3), e, como foi visto, para 
uma relação ser função, é necessário que cada elemento 
do domínio tenha uma única imagem.
Assim, a função real f(x) = x2 – 2 não possui inversa.
1.2. Determinando a função inversa
Para se obter a inversa de uma função (caso a função 
admita inversa, isto é, seja bijetora), deve-se proce-
der da seguinte maneira:
 § Troca-se x por y e y por x.
 § Coloca-se o novo y em função do novo x.
Modelos:
1. Obter a lei da função inversa da função f dada por 
y = x + 2.
y = x + 2
↓   ↓
x = y + 2 → trocando y por x e x por y
y = x – 2 → isolando y
Assim, y = x – 2 é a lei da função inversa da função dada 
por y = x + 2.
2. Se g(x) = 2x + 1 e f[g(x)] = 4x² + 1, encontre a função f(x).
Se for calculada g –1(x), é possível utilizá-la para encontrar 
f(x) usando a propriedade g[g –1(x)] = x:
g(x) = y = 2x + 1
Trocando x por y e isolando y, tem-se:
x = 2y + 1 y = x – 1 ____ 
2
 
Assim, g –1(x) = x − 1 _____ 
2
 
Então, utiliza-se g –1(x) em f[g(x)], substituindo x por g –1(x):
f[g(x)] = 4x2 + 1
f [ g ( g–1(x) ) ] = 4 [ g–1(x) ] 2 + 1
 x – 1 ____ 
2
 x
f(x) = 4 ( x – 1 ____ 
2
 ) 
2
 + 1
f(x) = 4 x
2 – 2x + 1 _________ 
4
 + 1 = x2 – 2x + 2
3. Encontre a função inversa f-1(x) sendo f(x) = 3x -1 ____ 
2
 
Também é possível encontrar a função inversa de uma fun-
ção afim montando uma tabela de operações e fazendo 
a inversa de cada operação. Na função f(x) = 3x - 1 _____ 
2
 , se 
for calculado, por exemplo, f(5), a primeira operação será 
a multiplicação por 3; em seguida, deve-se subtrair de 1 
e, por fim, dividir por 2. Para encontrar a inversa, deve-se 
partir da variável x realizando as operações inversas (a ope-
ração inversa da soma é a subtração, e a da multiplicação é 
a divisão) a partir da última operação.
Multiplicação 
por 3
Subtração 
por 1
Divisão 
por 2
x 3x 3x-1 3x - 1 _____ 
2
 
Multiplicação 
por 2
Adição por 1 Divisão 
por 3
x 2x 2x+1 2x + 1 _____ 
3
 
Assim, f -1(x) = 2x + 1 _____ 
3
 .
Se f admite inversa, afirma-se que f é invertível. Nesse caso, 
a função inversa é única.
Observe que o gráfico de f –1 é obtido a partir do gráfico de 
f por simetria em relação à reta y = x (função identidade).
Notas
 § As transformações feitas pela função f são desfeitas 
pela função f -1.
 § O contradomínio de f é igual ao domínio de f –1.
 § O domínio de f é igual ao contradomínio de f –1.
Pela simetria do gráfico em relação à reta y = x, é 
possível observar por que uma função não bijetora não 
é invertível.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  9



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M
E 
5
Observe o gráfico da função f(x) = x² + 2, com f: R → R e 
a figura simétrica em relação à reta y = x:
Note que f(x) não é injetora (pois, para valores diferentes de 
x, associa-se um mesmo valor de f(x), como f(-1) = 3 e 
f(1) = 3). A função f(x) também não é sobrejetora, pois seu 
contradomínio é R, e seu conjunto imagem é {x [ R | x > 2} .
Perceba que a figura formada não representa uma fun-
ção, pois, para um mesmo valor de x > 2, tem-se associa-
dos dois valores distintos de f(x). Observe também que, se 
f possuísse inversa, seu domínio seria R (pois o contrado-
mínio de f é R), o que também não é compatível com a 
definição de função, dado que uma função deve associar 
todos os valores de seu domínio a pelo menos um valor do 
contradomínio – o que não é verdade, pois para x= dXXX 17 
Uma vez que d(A, C) = d(B, C), o triângulo ABC é isósceles.
4. Ponto divisor
Considere A, B e P três pontos do plano cartesiano, de 
maneira que P divide o segmento 

 AB numa razão r = AP ___ 
PB
 
denominada razão de secção. Observe na figura que os tri-
ângulos APC e PBD são semelhantes.
Assim:
r = AP ___ 
PB
 = 
xA – xP _____ xP – xB
 = 
yA – yP _____ yP – yB
 
5. Coordenadas do ponto médio 
de um segmento de reta
Dado um segmento de reta 

 AB , tal que A(xA, yA) e B(xB, yB), 
determine as coordenadas de M, o ponto médio de 

 AB .
O ponto M é o ponto divisor que divide o segmento em 
duas partes iguais. Se A e B são os pontos extremos do 
segmento 

 AB , com ponto médio M, obtém-se AM ___ 
MB
 = 1. 
Assim:
 § AM ___ 
MB
 = 
xA – xM ______ xM – xB
 ⇒ 1 = 
xA – xM ______ xM – xB
 ⇒
⇒ 2xM = xA + xB ⇒ xM = 
xA + xB ______ 
2
 
 § AM ___ 
MB
 = 
yA – yM ______ yM – yB
 ⇒ 1 = 
yA – yM ______ yM – yB
 ⇒
⇒ 2yM = yA + yB ⇒ yM = 
yA + yB _____ 
2
 
Aplicação do conteúdo
1. Se A(1, 3) e B(3,5) são extremos de um diâmetro de 
uma circunferência, encontre as coordenadas do centro 
da circunferência e seu raio.
Resolução:
Como A e B são extremos do diâmetro, o ponto médio do seg-
mento AB é o centro C, assim:
xc = 1 +3 ____ 
2
 = 2
yc = 3 + 5 _____ 
2
 = 4
Portanto, o centro C é o ponto (2, 4). O raio pode ser encontrado 
calculando a distância entre C e A:
d(C ,A) √
_____________
 (2 – 1)2 + (4 – 3)2 = √
__
 2 = R
2. Sendo os pontos A(2,2), B(1,1) e C(6,8) vértices con-
secutivos de um paraelogramo, encontre a coordenada 
do quarto vértice D.
112  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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5
Resolução:
Como A e C são vértices opostos, o ponto médio M entre A e C 
é o encontro das duas diagonais:
A(2,2)
B(1,1)
C(6,8)M
Dy
x
M ( 2 + 6 _____ 
2
 , 2 + 8 _____ 
2
 ) = M(4,5)
No entanto, M também é ponto médio da diagonal BD, 
assim:
Mx = 
Dx + 1
 _____ 
2 
 = 4 My = 
Dy + 1
 _____ 
2
 = 5
Resolvendo as equações, tem-se: Dx = 7 e Dy = 9, assim, o 
ponto D é dado por (7, 9).
6. Coordenadas do baricentro 
de um triângulo
Dado um triângulo ABC de vértice A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), 
determine as coordenadas de G, baricentro do triângulo ABC.
Seja M o ponto médio do lado BC. Portanto, xM = 
xB + xC ______ 
2
 e 
yM = 
yB + yC _____ 
2
 .
Seja G o baricentro do triângulo que divide a mediana AM 
em duas partes, uma das quais é o dobro da outra. Nesse 
caso, AG ___ 
GM
 = 2.
Assim:
 § AG ___ 
GM
 = 2 = 
xA – xG ______ xG – xM
 ⇒ 3xG = xA + 2xM 
⇒ 3xG = xA + 2 
xB + xC ______ 
2
 ⇒ 3xG = xA + xB + xC 
⇒ xG = 
xA + xB + xC _________ 
3
 
 § AG ___ 
GM
 = 2 = 
yA – yG ______ yG – yM
 ⇒ 3yG = yA + 2yM 
⇒ 3yG = yA + 2 
yB + yC _____ 
2
 ⇒ 3yG = yA + yB + yC 
⇒ yG = 
yA + yB + yC _________ 
3
 
Aplicação do conteúdo
1. Determine M, ponto médio de 

 AB , nos seguintes casos:
a) A(3, –2) e B(–1, –6)
b) A(0, 7) e B(6, 0)
Resolução:
a) Considerando M(xM, yM), obtém-se:
xM = 
3 + (–1)
 _______ 
2
 = 2 __ 
2
 = 1
yM = 
–2 + ( –6)
 ________ 
2
 = –8 ___ 
2
 = –4
M(1, –4)
b) 
xM = 0 + 6 _____ 
2
 = 6 __ 
2
 = 3
yM = 7 + 0 _____ 
2
 = 7 __ 
2
 
M ( 3, 7 __ 
2
 ) ou M(3; 3,5)
2. Uma das extremidades de um segmento é o ponto 
A(7, 13), e a outra é o ponto B(x, y). Se M(–3, 24) é o 
ponto médio, determine as coordenadas da extremida-
de B do segmento.
Resolução:
Uma vez que M ( x1 + x2 _____ 
2
 , 
y1 + y2 _____ 
2
 ) :
–3 = 7 + x _____ 
2
 ⇒ 7 + x = – 6 ⇒ x = –13
24 = 
13 + y
 _____ 
2
 ⇒ 13 + y = 48 ⇒ y = 35
Assim, B(–13, 35).
3. Calcule o comprimento das medianas de um triângu-
lo de vértices A(2, –6), B(–4, 2) e C(0, 4).
MATEMÁTICA e suas tecnologias  113


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5
Resolução:
Ao observar a figura, constata-se que:
M1 é o ponto médio do lado 

 AB ;
M2 é o ponto médio do lado 

 AC ;
M3 é o ponto médio do lado 

 BC .
Cálculo das coordenadas de M1:
x = –4 + 2 ______ 
2
 = – 1
y = 2 – 6 ____ 
2
 = – 2
Cálculo das coordenadas de M2:
x = 0 + 2 _____ 
2
 = 1 
y = 4 – 6 ____ 
2
 = –1
Cálculo das coordenadas de M3:
x = –4 + 0 ______ 
2
 = –2
y = 2 + 4 _____ 
2
 = 3 
Calculando o comprimento das medianas:
Mediana 

 AM3 , com A(2, –6) e M3 (–2, 3):
d(A, M3) = dXXXXXXXXXXXXXXXX (–2 – 2)2 + (3 + 6)2 = dXXXXXXX 16 + 81 = dXXX 97 
Mediana 

 BM2 , com B(–4, 2) e M2(1, –1):
d(A, M2) = √
_______________ 
 (1 + 4)2 + (-1 – 2)2 = dXXXXXX 25 + 9 = dXXX 34 
Mediana 

 CM1 , com C(0, 4) e M1(–1, –2):
d(C, M1) = √
_______________ 
 (-1 – 0)2 + (-2 – 4)2 = dXXXXXX 1 + 36 = dXXX 37 
4. Dados os pontos A(5, 12) e B(15, –3), determine o 
ponto P do segmento AB, tal que a razão entre as medi-
das de 

 AP e 

 PB seja igual a 2 __ 
3
 .
Resolução:
 AP ___ 
PB
 = 2 __ 
3
 
Ao fazer P(x, y),obtém-se:
 § 2 __ 
3
 = 
xA – xP _____ xP – xB
 = 5 – x _____ 
x – 15
 ⇒ 2(x – 15) = 3(5 – x) 
⇒ 2x – 30 = 15 – 3x ⇒ 5x = 45 ⇒ x = 9
 § 2 __ 
3
 = 
yA – yP _____ yP – yB
 = 
12 – y
 _______ 
y – (– 3)
 ⇒ 2(y + 3) = 3(12 – y) 
⇒ 2y + 6 = 36 – 3y ⇒ 5y = 30 ⇒ y = 6
Assim, P(9, 6).
5. De volta à questão proposta na introdução deste capítulo:
Resolução:
Se os vértices de um triângulo são os pontos A(1, 1), B(–2, 3) 
e C(–4, –2), determine as coordenadas do baricentro desse tri-
ângulo.
Os pontos A, B e C estão representados no sistema cartesiano 
ortogonal do esquema a seguir.
G: baricentro (ponto de encontro das medianas)
Sabe-se que xG = 
xA + xB + xC _________ 
3
 e yG = 
yA + yB + yC _________ 
3
 . Assim:
xG = 1+ (– 2) + (– 4) ____________ 
3
 = –5 ___ 
3
 
yG = 1 + 3 +(– 2) __________ 
3
 = 2 __ 
3
 
Dessa forma, as coordenadas do baricentro são –5 ___ 
3
 e 2 __ 
3
 , ou 
seja, G = ( –5 ___ 
3
 , 2 __ 
3
 ) .
7. Condição de alinhamento 
de três pontos
Quando uma reta passa por três pontos distintos, esses três 
pontos estão alinhados ou são colineares.
a, B e C são três Pontos alinhados.
O que ocorre se três pontos A, B e C estiverem alinhados?
114  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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5
Pelo teorema de Tales:
 AB ___ 
AC
 = 
A1B1 ____ 
A1C1
 ⇒ AB ___ 
AC
 = 
x2 – x1 _____ x3 – x1
 (I)
 AB ___ 
AC
 = 
A2B2 ____ 
A2C2
 ⇒ AB ___ 
AC
 = 
y2 – y1 _____ y3 – y1
 (II)
Se comparados I e II, obtém-se:
 
x2 – x1 _____ x3 – x1
 = 
y2 – y1 _____ y3 – y1
 ⇒ 
y2 – y1 ______ x2 – x1
 = 
y3 – y1 _____ x3 – x1
 
⇒ 
y2 – y1 ______ x2 – x1
 – 
y3 – y1 _____ x3 – x1
 = 0 ⇒
⇒ (x3 – x1)(y2 – y1) – (x2 – x1)(y3 – y1) = 0 ⇒
 x3y2 – x3y1 – x1y2 + x1y1 – x2y3 + x2y1 + x1y3 – x1y1 = 0 ⇒
⇒ x1y2 – x1y3 + x2y3 – x2y1 + x3y1 – x3y2 = 0
O primeiro termo da igualdade corresponde ao determinante
 
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
Por esse motivo, pode-se dizer que, se três pontos A(x1, y1), 
B(x2, y2) e C(x3, y3) estiverem alinhados:
D = 
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
 = 0.
Nota
Quando é realizado o caminho inverso, verifica-se 
também que:
se D = 
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
 = 0, A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) 
são pontos colineares (recíproca da propriedade anterior).
Aplicação do conteúdo
1. Verifique se os pontos A (–3, 5), B (1, 1) e C (3, –1) 
estão alinhados.
Resolução:
Calculando o determinante a partir das coordenadas:
D = 
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
= –3 + 15 – 1 – 3 – 5 – 3 
= +15 – 15 = 0
Como D = 0, os pontos dados estão alinhados.
Nota
A figura ilustra geometricamente que os pontos da-
dos estão numa mesma reta, isto é, estão alinhados; 
assim, o processo analítico garante a propriedade.
2. Determine o valor de x de modo que os pontos A (–3, 
1), B (x, 2) e C (–3, –1) sejam os vértices de um mesmotriângulo.
Resolução:
Para que A, B e C sejam os vértices de um triângulo, eles não 
devem estar alinhados.
Portanto:
–3 1 1
x 2 1
–3 –1 1
 ≠ 0 ⇒ –6 – 3 – x + 6 – x – 3 ≠ 0 ⇒ 
–x – x ≠ 3 + 3 ⇒ 2x ≠ –6 ⇒ x ≠ –3
Assim, x ≠ –3.
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5
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 22
Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Dentro das competências da área 5 do Enem, a habilidade 22 exige do aluno a capacidade de resolver uma situ-
ação proposta a partir de conhecimentos básicos de geometria analítica.
MODELO 1
(Enem) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de 
imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico 
para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar 
esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, 
que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão represen-
tadas no plano cartesiano:
80 90
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas:
a) (65; 35).
b) (53; 30).
c) (45; 35).
d) (50; 20).
e) (50; 30).
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema utilizando conhecimentos sobre geo-
metria analítica para sua resolução.
O ponto procurado é o circuncentro do triângulo ABC.
Os pontos médios dos lados AB e BC são, respectivamente, MC = (50; 20) e Ma = (65; 35). Além disso, o 
coeficiente angular da reta ——
 BC é dado por:
m — BC = 
yB – yC ______ xB – xC
 
= 20 – 50 _______ 
70 – 60
 
= –3
116  MATEMÁTICA e suas tecnologias

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5
DIAGRAMA DE IDEIAS
A equação da mediatriz do lado BC é tal que:
y – yMC
 = –1; m — BC (x – xMC
) ⇔ y – 35 = – 1 __ -3 (x – 65)
 ⇔ y = 1 __ 
3
 x – 65 ___ 
3
 + 35
Como AB é paralelo ao eixo das abscissas, segue-se que a equação da mediatriz do lado AB é x = xMC
 = 50.
Desse modo, a ordenada do circuncentro de ABC é dada por:
y – 1 __ 
3 
 . 50 – 65 ___ 
3
 + 35 = 30
Portanto, o resultado pedido é (50; 30).
RESPOSTA Alternativa E
GEOMETRIA ANALÍTICA
DISTÂNCIA ENTRE 
DOIS PONTOS
CONDIÇÃO DE 
ALINHAMENTO DE 
TRÊS PONTOS
PONTO MÉDIOSISTEMA CARTESIANO 
ORTOGONAL
COORDENADAS 
DO BARICENTRO 
DO TRIÂNGULO
2.o Quadrante 
( - , +)
1.o Quadrante 
( + , +)
4.o Quadrante 
( + , -)
3.o Quadrante 
( - , - )
d2
(A, B) = (XB - XA)
2 + (YB - YA)
2
YA
XA XB
YB
B(XB,YB)
A (XA,YA)
XM = 
xA + xB ______ 
2 
 YM = 
YA + YB ______ 
2
B(XB,YB)
A (XA,YA)
M (XM,YM)
B(XB,YB)
A (XA,YA)
C (XC,YC)
XA YA 1
XB YB 1
XC YC 1
D= = 0
A(XA,YA)
PC(XC,YC)
N
XG = 
xA + xB + xc __________ 
2 
 YG = 
YA + YB + Yc __________ 
2 
 
G
M
B(XB,YB)
MATEMÁTICA e suas tecnologias  117


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5
1. Inclinação de uma reta
Considere a a medida do ângulo que a reta r forma com 
o eixo x. A medida a do ângulo é considerada do eixo x 
para a reta r, em sentido anti-horário, e é denominada in-
clinação da reta r.
Quanto à inclinação de retas não paralelas ao eixo x, 
existem:
 
 0º 0 ä m > 0.
3.
Para 90ºa equação da reta que passa pelo ponto A 
(–1, 4) e tem coeficiente angular 2.
Resolução:
Recorrendo à equação (y – y0) = m(x – x0), tem-se:
y – 4 = 2 (x – (–1)) ä y – 4 = 2(x + 1) 
ä y – 4 = 2x + 2 ä –2x + y – 6 = 0 
ä 2x – y + 6 = 0
A equação procurada é 2x – y + 6 = 0.
2. Determine a equação da reta que passa pelos pontos 
A (–1, –2) e B(5, 2).
Resolução:
Calcule o coeficiente angular da reta determinada pelos pontos 
A (–1, –2) e B(5, 2):
m = 
yB – yA _____ xB – xA
 = 2 + 2 _____ 
5 + 1
 = 4 __ 
6
 = 2 __ 
3
 
Usando o ponto A(–1, –2), obtém-se:
y – (–2) = 2 __ 
3
 (x – (–1)) ä y + 2 = 2 __ 
3
 (x + 1) 
ä 3y + 6 = 2x + 2 ä 2x – 3y – 4 = 0
A equação da reta AB é 2x – 3y – 4 = 0.
Outro modo de resolver:
Chamando de P (x, y) um ponto genérico da reta AB, pode-se 
afirmar que P, A e B estão alinhados. Portanto:
x y 1
–1 –2 1
5 2 1
ä – 2x + 5y – 2 + 10 + y – 2x 
= 0 ä – 4x + 6y + 8 = 0 ä 4x – 6y – 8
ä 2x – 3y – 4 = 0
A equação da reta AB é 2x – 3y – 4 = 0.
3. Determine a equação da reta nestes casos.
a) r passa por (4, 7) e é paralela ao eixo x.
Resolução:
Os pontos de r têm ordenada 7, seja qual for a abscissa.
Assim, a equação de r é y = 7.
Também pode ser justificado assim: se r é paralela ao eixo x, 
seu coeficiente angular é m = 0.
Assim, y – 7 = 0 (x – 4) ä y – 7 = 0 ä y = 7.
120  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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b) r passa por (4, 7) e é paralela ao eixo y.
Resolução:
Se r é paralela ao eixo y, seus pontos têm abscissa 4, seja 
qual for a ordenada.
Assim, a equação da reta r é x = 4.
4. Encontre a equação da reta a seguir:
Resolução:
Como temos o ângulo que a reta faz com o eixo x, segue que a 
inclinação da reta é 60° (não 120°, pois a inclinação é dada no 
sentido anti-horário a partir do eixo x). Assim, tem-se que m = 
tg(60º) = √
__
 3 .
Agora, tem-se o coeficiente angular e um ponto P da reta, por-
tanto:
y – y0 = m(x – x0)
y – 1 = √
__
 3 (x – 0)
 √
__
 3 x – y + 1 = 0
4. Forma reduzida da 
equação da reta
Foi visto que a equação da reta que passa por um ponto 
A(x0, y0) com declividade m é dada por:
y – y0 = m(x – x0)
Se for escolhido o ponto particular (0, n), ou seja, o ponto 
em que a reta intersecta o eixo y, para o ponto (x0, y0), 
será obtido:
y – n = m (x – 0) ä y – n = mx ä y = mx + n
O número real n, que é a ordenada do ponto em que a reta 
intersecta o eixo y, é denominado coeficiente linear da reta.
y = mx + n
 ↑ ↑
 coeficiente angular coeficiente linear
Essa forma é especialmente importante porque permite 
obter o coeficiente angular de uma reta a partir de uma 
equação, além de expressar claramente a coordenada y 
em função de x. Ela é conhecida como forma reduzida da 
equação da reta.
Aplicação do conteúdo
1. Determine o coeficiente angular e o coeficiente line-
ar da reta de equação 2x + 3y = 1.
Resolução:
2x + 3y = 1 ä 3y = –2x + 1 ä y = – 2 __ 
3
 x + 1 __ 
3
 
Assim, o coeficiente angular é m = – 2 __ 
3
 e o coeficiente linear é 
n = 1 __ 
3
 .
2. Determine a forma reduzida da equação da reta que 
passa pelos pontos A(–1, 5) e B(–3, –1).
Resolução:
Calculando o coeficiente angular da reta:
m = 
y2 – y1 _____ x2 – x1
 = –1 – 5 ______ 
–3 + 1
 = –6 ___ 
–2
 = 3
Usando o ponto A(–1, 5), obtém-se:
y – y1 = m (x – x1) ä y – 5 = 3(x + 1) ä
ä y – 5 = 3x + 3 ä y = 3x + 8
Assim, a equação procurada é y = 3x + 8.
Outro modo de resolver:
A equação reduzida da reta é da forma y = mx + n.
Uma vez que ela passa por (–1, 5), obtém-se:
5 = m(– 1) + n
Uma vez que ela também passa por (–3, –1), resulta em: –1 = 
m (–3) + n.
Os valores de m e n serão calculados pela resolução do sistema:
Substituindo m = 3 na primeira equação, obtém-se: 
3 – n = – 5 ä –n = –8 ä n = 8.
Assim, a equação correspondente é y = 3x + 8.
MATEMÁTICA e suas tecnologias  121
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5. Forma segmentária 
da equação da reta
Considere uma reta r que não passa por (0, 0), intersecta 
o eixo x no ponto A (a, 0) e intersecta o eixo y no ponto 
B (0, b).
Calculando o coeficiente angular, obtém-se:
m = 0 – b ____ 
a – 0
 ä m = – b __ a 
Usando a forma reduzida y = mx + n , da qual m = – b __ a e 
n = b:
y = – b __ a x + b ä ay = –bx + ab ä bx + ay = ab
Dividindo os dois membros por ab (a ≠ 0 e b ≠ 0), obtém-se:
 bx __ 
ab
 + 
ay
 __ 
ab
 = ab __ 
ab
 ä x __ a + 
y
 __ 
b
 = 1
Essa é a forma segmentária da equação da reta que não 
passa por (0, 0) e intersecta os eixos nos pontos (a, 0) e 
(0, b).
Exemplos:
1. A forma segmentária da equação da reta que corta os 
eixos em (5, 0) e (0, –2) é x __ 
5
 + 
y
 ___ 
–2
 = 1.
2. A reta cuja equação na forma segmentária é x __ 
5
 + 
y
 __ 
2
 = 1 
corta os eixos em (5, 0) e (0, 2).
3. Se y = 2x – 5 é a equação de uma reta na forma reduzi-
da, pode-se chegar à forma segmentária:
y = 2x – 5 ä 2x – y = 5 ä 2x __ 
5
 – 
y
 __ 
5
 = 1 ä x __ 
 5 __ 
2
 
 + 
y
 ___ 
–5
 = 1
Essa reta conta os eixos em ( 5 __ 
2
 , 0 ) e (0, –5).
Aplicação do conteúdo
1. Escreva na forma segmentária a equação da reta que 
passa pelos pontos (3, –1) e (–2, –4).
Resolução:
Determinando o coeficiente angular:
m = –4 + 1 ______ 
–2 – 3
 = –3 ___ 
–5
 = 3 __ 
5
 
Usando o ponto (3, –1), obtém-se:
y + 1 = 3 __ 
5
 (x – 3)
Obtendo a equação na forma segmentária:
y + 1 = 3 __ 
5
 (x – 3) ä 5y + 5 = 3x – 9 ä
ä 3x – 5y = 14 ä 3x ___ 
14
 – 
5y
 ___ 
14
 = 1 ä x ___ 
 14 ___ 
3
 
 + 
y
 ____ 
 –14 ____ 
5
 
 = 1
Outro modo de resolver:
Considere o ponto genérico P(x, y) e faça:
x y 1
3 –1 1
–2 –4 1
 = 0 ä –x – 2y – 12 – 2 – 3y + 4x = 0 ä 3x 
– 5y = 14 ä x ___ 
 14 ___ 
3
 
 + 
y
 ____ 
 –14 ____ 
5
 
 = 1
122  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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5
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 22
Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Dentro das competências da área 5 do Enem, a habilidade 22 exige do aluno a capacidade de resolver uma situ-
ação proposta a partir de conhecimentos básicos de geometria analítica.
MODELO 1
(Enem) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lança-
dos. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando 
esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, 
enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas 
por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo 
fosse alcançado.
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá:
a) diminuir em 2 unidades;
b) diminuir em 4 unidades;
c) aumentar em 2 unidades;
d) aumentar em 4 unidades;
e) aumentar em 8 unidades.
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar o problema utilizando conhecimentos sobre geo-
metria analítica para sua resolução.
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0, 0) e (6, 10) é 12 ___ 
6
 = 2. Portanto, sendo 16 ___ 
4
 = 4 o 
coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0, 0) e (4, 16), pode-se concluir que o coeficiente 
angular deverá aumentar em 4 – 2 = 2 unidades.
RESPOSTA Alternativa C
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5
DIAGRAMA DE IDEIAS
GEOMETRIA ANALÍTICA
EQUAÇÃO DA RETA
INCLINAÇÃO DA RETA E 
COEFICIENTE ANGULAR
y
y y
y
0
0 0
0
r
r
r
x
x x
x
a
a
a
m = tg a
y = mx + n
Forma reduzida Forma segmentada
m = coeficiente angular
n = coeficiente linear
0 0
90m = tg a
mangulares forem iguais (m1 = m2).
MATEMÁTICA e suas tecnologias  127
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
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5
Nota
1. Quando as duas retas são paralelas ao mesmo eixo, 
elas são paralelas entre si. Nesse caso, não há necessi-
dade de recorrer ao coeficiente m.
r//s
a//b
Exemplos
1.
 § As retas de equações x = 4 e x = –1 são paralelas.
 § As retas de equações y = 2 e y = 7 são paralelas.
2. Um caminho prático de verificar o paralelismo de 
duas retas é comparar suas equações gerais. Dadas 
duas retas, r e s, tal que r: ax + by + c = 0 e s: a’x + b’x 
+ c = 0; basta comparar estas razões: a __ 
a'
 , b __ 
b'
 e c __ 
c'
 .
 § Se a __ 
a'
 = b __ 
b'
 = c __ 
c'
 , trata-se de duas retas paralelas coinci-
dentes (r = s), ou seja, a mesma reta representada de 
duas formas diferentes.
 § Se a __ 
a'
 = b __ 
b'
 ≠ c __ 
c'
 , trata-se de duas retas paralelas dis-
tintas.
 § Se a __ 
a'
 ≠ b __ 
b'
 , trata-se de duas retas concorrentes.
3. É possivel dizer que, se duas retas r: ax + by + c = 0 
e s: a’x + b’y + c’ = 0 são tais que a __ 
a'
 = b __ 
b'
 , ou seja, ab’ = 
a’b, elas são paralelas e vice-versa.
É necessário compreender que, se duas retas são ditas 
“paralelas iguais” ou “paralelas coincidentes”, signifi-
ca que elas são uma só reta que pode ser representada 
de duas formas diferentes.
4. Duas retas do mesmo plano com coeficientes angula-
res diferentes não são paralelas; logo, são concorrentes.
 
Com 0º– 8 = 0
Equação da mediatriz (⊥ 
‹
 
___
 
›
 AB ):
5x + 6y + k = 0
M ∈ mediatriz:
5 ( 1 __ 
2
 ) + 6(–1) + k = 0 ⇒ k = 7 __ 
2
 
Portanto, uma equação da mediatriz é 
5x + 6y + 7 __ 
2
 = 0 ou 10x + 12y + 7 = 0.
130  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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4. Considerando o ponto P(4, 6) e a reta r de equação 
x + y – 1 = 0, determine as coordenadas da projeção 
ortogonal de P sobre a reta r.
Resolução:
A figura mostra o ponto P’, projeção ortogonal de P sobre a reta 
r. P’ é o ponto de encontro da reta r com a reta s, perpendicular 
a r pelo P.
Cálculo do coeficiente angular m1 da reta r:
x + y – 1 = 0 ⇒ y = –x + 1
m1 = –1
Cálculo do coeficiente angular m2 da reta s:
m2 = – 1 ___ m1
 = – 1 ___ 
–1
 = 1
Equação da reta que passa por P (4, 6) e tem coeficiente angular 
1:
y – y1 = m2(x – x1) ⇒ y – 6 = 1(x – 4) ⇒
⇒ y – 6 = x – 4 ⇒ x – y + 2 = 0
Cálculo das coordenadas do ponto P’ 
(intersecção de s com r):
x+ y – 1 = 0
x – y + 2 = 0
2x + 1 = 0 ⇒ x = – 1 __ 
2
 
– 1 __ 
2
 + y – 1 = 0 ⇒ y = 1 + 1 __ 
2
 = 3 __ 
2
 
Assim, as coordenadas do ponto P’ são – 1 __ 
2
 e 3 __ 
2
 , 
ou seja, P ( – 1 __ 
2
 , 3 __ 
2
 ) .
MATEMÁTICA e suas tecnologias  131
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5
DIAGRAMA DE IDEIAS
GEOMETRIA ANALÍTICA EQUAÇÃO DA RETA
Posições relativas
Paralelas
Iguais Distintas Perpendiculares
Os coeficientes angulares 
das retas serão iguais
Oblíquas
Concorrentes
Considere as retas r e s com 
coeficientes angulares m1 e m2. 
As retas serão perpendi-
culares somente se: 
m2 . m1 = –1
Forma geral Forma paramétrica
ax + by + c = 0 Coordenadas x e y são 
todas em função de 
uma terceira variável t
Ex: | x = t + 1
 | y = 2t
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
ANOTAÇÕES
132  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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5a2 = 2.º termo;
a3 = 3.º termo;
...
an = “n-ésimo” termo.
1.1. Determinação dos termos 
de uma sequência
Com o objetivo de descrever uma sequência, em vez de 
escrevê-la de forma explícita, pode-se utilizar uma lei de 
formação, isto é, uma expressão matemática que permite 
determinar qualquer termo da sequência. Há principalmen-
te duas formas de lei de formação de uma sequência: a 
fórmula em função da posição e a fórmula de re-
corrência.
 § Em função da posição: quando uma fórmula per-
mite calcular qualquer termo an em função de sua 
posição n.
Aplicação do conteúdo
1. Determine os cinco primeiros termos da sequência 
definida pela seguinte fórmula de formação:
an = 2n + 1, n ∈ N*
Resolução:
Observe que “n” representa a posição de um determinado 
termo an da sequência. Ou seja, para determinar o 1.º ter-
mo, deve-se substituir n por 1, e assim por diante:
1.º termo: a1 = 2 · 1 + 1 = 3
2.º termo: a2 = 2 · 2 + 1 = 5
3.º termo: a3 = 2 · 3 + 1 = 7
4.º termo: a4 = 2 · 4 + 1 = 9
5.º termo: a5 = 2 · 5 + 1 = 11
Assim, a sequência pedida é: (3, 5, 7, 9, 11).
1. Noções de sequência e 
progressão aritmética
Um conjunto ordenado de elementos é chamado de 
sequência. No cotidiano ocorrem diversos exemplos de 
sequência:
 § dias da semana: (domingo, segunda-feira, terça-fei-
ra, ... , sábado);
 § meses do ano: (janeiro, fevereiro, março, ... , dezembro);
 § anos bissextos de 2000 a 2020: (2000, 2004, 2008, 
2012, 2016, 2020).
Observe a seguinte sequência que representa os primeiros 
10 números primos ordenados de maneira crescente:
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29)
É possível notar que o elemento 2 é o primeiro termo 
da sequência, enquanto o 3 é o segundo termo, e assim 
sucessivamente:
1.º termo: 2
2.º termo: 3
3.º termo: 5
...
10.º termo: 29
Uma sequência pode ser finita ou infinita. A sequência 
que representa os números naturais, por exemplo, é um 
conjunto infinito:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... )
NOÇÕES DE 
SEQUÊNCIA E 
PROGRESSÃO 
ARITMÉTICA
COMPETÊNCIA(s)
1, 5 e 6
HABILIDADE(s)
2, 3, 21, 24 e 26
MT
AULAS 
37 E 38
14  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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2. Dada a sequência definida pela lei de formação 
an = 5n – 7, n ∈ N*, faça o que se pede em cada item:
a) Determine o vigésimo termo da sequência.
Resolução: Pede-se o termo a20 de posição n = 20; 
portanto:
a20 = 5 · 20 – 7 = 93
b) Determine se o número 43 faz parte da sequência.
Resolução: Como n deve ser um número natural, an 
é substituído por 43; em seguida, deve-se analisar:
43 = 5n – 7 ⇒ 5n = 50 ⇒ n = 10
Assim, 43 faz parte da sequência, sendo o décimo 
termo.
c) Determine se o número 66 faz parte da sequência.
Resolução: De modo semelhante ao item anterior, an 
é substituído por 66:
66 = 5n – 7 ⇒ 5n = 73 ⇒ n = 73 ___ 
5
 
Como 73/5 ∉ N*, o número 66 não pertence à se-
quência an.
 § Pela fórmula de recorrência: quando se expressa 
um termo an qualquer da sequência em função do termo 
imediatamente anterior an-1, dado o primeiro termo a1.
Aplicação do conteúdo
1. Determine os quatro primeiros termos da sequência 
Resolução: 
Observe que, quando ocorre a fórmula de recorrência, não é pos-
sível determinar de imediato qualquer termo da sequência, dife-
rentemente da lei de formação em função da posição. É preciso 
calcular cada termo na sequência:
1.º termo: a1 = 3
2.º termo: a2 = a1 + 5 = 3 + 5 = 8
3.º termo: a3 = a2 + 5 = 8 + 5 = 13
4.º termo: a4 = a3 + 5 = 13 + 5 = 18
Assim, os quatro primeiros termos são
(3, 8, 13, 18).
2. Uma famosa sequência matemática é definida pela 
sua fórmula de recorrência – a sequência de Fibonacci. 
Ela pode ser definida como se mostra a seguir:
Fn = 
F1 = 1, F2 = 1
Fn = Fn–1 + Fn-2', n ∈ N*
a1 = 3
an = an–1 + 5, onde n ∈ N*
Determine os seis primeiros termos da sequência.
Resolução: 
Observe que a expressão Fn = Fn–1 + Fn–2 indica que um termo 
qualquer Fn da sequência é dado pela soma dos seus dois termos 
imediatamente anteriores, Fn–1 e Fn–2. É preciso determinar os ter-
mos da expressão:
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 1 + 1 = 2
F4 = 2 + 1 = 3
F5 = 3 + 2 = 5
F6 = 5 + 3 = 8
Continuando o processo, tem-se:
(1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...)
2. Progressão aritmética (PA)
Uma progressão aritmética é um tipo especial de sequên-
cia, isto é, nem toda sequência é uma PA. 
2.1. Definição
Uma progressão aritmética é uma sequência definida por: 
a1 = k
an = an–1 + r, ∀n ∈ N, n ≥ 2,
Em que k ∈ R é o primeiro termo da sequência, e r ∈ R 
é a razão da PA. Essa definição por recorrência determina 
que um termo qualquer an da sequência é igual à soma do 
termo imediatamente anterior com um valor real r.
Da definição, tem-se:
an = an–1 + r ⇒ r = an – an–1
Portanto, em uma PA:
A diferença entre um termo qualquer e seu antecessor 
é sempre constante e igual à razão r.
Observe a sequência a seguir:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)
Trata-se de uma PA, pois a diferença entre dois termos con-
secutivos é sempre igual:
a2 – a1 = 3 – 1 = 2
a3 – a2 = 5 – 3 = 2
...
a7 – a6 = 13 – 11 = 2
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Assim, a razão r da PA é igual a 2. 
Observe alguns exemplos de PA:
 § (0, 5, 10, 15, 20, 25) a1 = 0 r = 5
 § ( 1 __ 
2
 , 1, 3 ___ 
2
 , 2, 5 ___ 
2
 , 3, 7 ___ 
2
 ) a1 = 1 __ 
2
 r = 1 __ 
2
 
 § (100, 80, 60, 40, 20) a1 = 100 r = –20
 § (7, 7, 7, 7, 7, 7) a1 = 7 r = 0
De acordo com a razão, é possível classificar as progressões 
aritméticas em três tipos:
 § PA crescente: uma PA é crescente quando a razão r é 
positiva e não nula.
Modelo: (1, 4, 7, 10, 13, 16), em que r = 3.
 § PA decrescente: uma PA é decrescente quando a ra-
zão r é negativa e não nula.
Modelo: (15, 13, 11, 9, 7, 5), em que r = –2.
 § PA constante: uma PA é constante quando a razão r 
é igual a zero.
Modelo: (2, 2, 2, 2, 2, 2), em que r = 0.
Observação: se a sequência (a, b, c) é uma PA de razão r, 
ocorre o seguinte:
b – a = r
c – b = r
b – a = c – b ⇒ 2b = a + c
b = a + c ____ 
2
 
Ou seja, dados três termos consecutivos de uma PA, o se-
gundo termo é igual à média aritmética entre o pri-
meiro e o terceiro.
Aplicação do conteúdo
1. Determine o valor de x para que a sequência 
( x __ 
2
 – 2, x, 2x – 1 ) seja uma PA.
Resolução: 
Dada uma PA de três termos consecutivos, o termo do meio é 
igual à média aritmética dos outros dois:
X = 
( x __ 
2
 – 2) + (2x – 1)
2
Resolvendo a equação:
2x = x __ 
2
 – 2 + 2x – 1 ⇒ 2x = x __ 
2
 + 2x – 3 
⇒  4x = x + 4x – 6 ⇒ x = 6
2. Se a sequência (2x, x
2
 __ 
2
 , 3) é uma PA crescente, deter-
mine o valor de x.
Resolução: 
Novamente, tem-se a seguinte propriedade em três termos con-
secutivos de uma PA:
 x
2
 __ 
2
 = 
(2x) +(3) 
 _______ 
2
 
x2 = 2x + 3 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ 
x1 = –1
x2 = 3
Substituindo os valores obtidos de x na sequência:
 § para x = -1:
 ( 2 · (–1), 
(–1)2
 ____ 
2
 ,3 ) ⇒ ( –2, 1 ___ 
2
 , 3 ) 
r = 3 – 1 __ 
2
 = 5 __ 
2
 
 § para x = 3:
 ( 2 · (3), 
(3)2
 ___ 
2
 ,3 ) ⇒  ( 6, 9 ___ 
2
 , 3 ) 
r = 9 __ 
2
 – 6 = – 3 __ 
2
 
Observe que ambas as sequências obtidas são progressões arit-
méticas; no entanto, somente para x = –1 a PA é crescente, 
pois r = 5 __ 
2
 > 0. Portanto: x = –1.
2.2. Representações especiais
Em alguns casos, é adequado representar uma PA em fun-
ção de sua razão. As representações a seguir são especial-
mente úteis caso o valor da soma S de todos os termos 
envolvidos seja conhecido:
 § Três termos consecutivos de uma PA:
(x – r, x, x + r)
S = (x – r) + x+ (x – r) = 3x
 § Cinco termos consecutivos de uma PA:
(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
S = (x – 2r) + (x – r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 5x
 § Quatro termos consecutivos de uma PA:
Nesse caso, é preciso utilizar uma substituição para ga-
rantir a representação simétrica da progressão.
(x – 3y, x – y, x + y, x + 3y)
Em que r = 2y
S = (x – 3y) + (x – y) +(x + y) + (x + 3y) = 4x
16  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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5
Aplicação do conteúdo
1. Um triângulo retângulo, de perímetro igual a 12 cm, 
possui o comprimento e seus lados em progressão arit-
mética. Determine os comprimentos dos lados.
Resolução: 
Como há três termos consecutivos de uma PA, é possível repre-
sentá-los da seguinte maneira:
(x – r, x, x + r)
Representando esquematicamente, tem-se:
Observe que foi atribuído à hipotenusa o comprimento x + r; as-
sim, define-se que a progressão aritmética será crescente, pois, 
em um triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre o maior lado. 
Essa representação é especialmente útil quando a soma de todos 
os termos é conhecida; no caso, o perímetro do triângulo:
(x – r) + x + (x + r) = 12
3x = 12
x = 4 cm
Assim, obtém-se um dos lados do triângulo. Aplicando o Teore-
ma de Pitágoras, tem-se:
(x – r)2 + x2 = (x + r)2
(4 – r)2 + 42 = (4 + r)2
16 – 8r + r2 + 16 = 16 + 8r + r2
16 = 16r
r = 1 cm
Uma vez que a razão e um dos termos da PA são conhecidos, 
devem ser calculados os termos restantes:
(x – r, x, x + r) ⇒ (4 – 1, 4, 4 + 1) ⇒ (3, 4, 5)
Portanto, os lados do triângulo são: 3 cm, 4 cm e 5 cm.
2. Determine quatro números em progressão aritmética 
crescente, sabendo que sua soma é –2 e a soma de seus 
quadrados é 6.
Resolução: 
Utilizando o artifício sugerido, os dois termos centrais serão cha-
mados de x – y e x + y; assim, a razão passa a ser:
(x + y) – (x – y) = x + y – x + y = 2y
Logo, r = 2y.
Portanto, a PA é dada por 
(x – 3y, x – y, x + y, x + 3y), com as seguintes condições:
(x – 3y) + (x – y) + (x + y) + (x + 3y) = –2
(x – 3y)2 + (x – y)2 + (x + y)2 + (x + 3y)2 = 6
Efetuando os cálculos, tem-se:
4x = –2
4x2 + 20y2 = 6
4x = –2 ⇒ x = – 1 __ 
2
 
4x2 + 20y2 = 6 ⇒ 4 ( – 1 __ 
2
 ) 
2
+ 20y2 = 6 ⇒
⇒ 1 + 20y2 = 6 ⇒ 20y2 = 5 ⇒ y2 = 1 __ 
4
 ⇒
⇒ y = ± 1 __ 
2
 
Como a PA é crescente, então y é positivo.
Assim, x = – 1 __ 
2
 e y = 1 __ 
2
 . Daí, vem:
x – 3y = – 2; x – y = – 1; x + y = 0; x + 3y = 1
Portanto, a PA é dada por (–2 –1, 0, 1) e sua razão é r = 1.
3. Determine a PA decrescente de três termos, de forma 
que sua soma seja 12 e seu produto seja 28.
Resolução: 
Representando os três termos da PA em função do termo central 
e da razão, tem-se:
(x – r, x, x + r)
(x – r) + x + (x + r) = 12 (I)
(x – r) (x) (x + r) = 28 (II)
Da equação (I), tem-se:
(x – r) + x + (x + r) = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
Substituindo na equação (II):
(x – r) (x) (x + r) = 28 ⇒ (4 – r) (4) (4 + r) = 28
(4 – r) (4 + r) = 7
(42 – r2) = 7
16 – r2 = 7
r2 = 9 ⇒ r = ± 3
Como a PA é decrescente, sua razão deve ser negativa, portanto, 
r = –3.
Assim, a PA procurada é:
(4 – (–3), 4, 4 + (–3))
(7, 4, 1)
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2.3. Fórmula do termo geral da PA
O primeiro termo e a razão de uma PA são todos os dados 
necessários para encontrar qualquer termo an da progres-
são. O segundo termo a2 é a soma do primeiro termo a1 
com a razão r:
a2 = a1 + r
O terceiro termo é a soma de a2 com a razão r:
a3 = a2 + r
Como já foi visto, a2 = a1 + r; portanto:
a3 = a1 + r + r ⇒ a3 = a1 + 2r
Assim, é possível escrever:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r
a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r
...
Observe que, para se obter o sexto termo a6, toma-se a soma 
entre o primeiro termo a1 e (6 – 1)r = 5r. De modo geral, 
pode-se dizer que, em uma progressão aritmética, tem-se:
an = a1 + (n – 1)r
Em que:
 § an é o termo de posição n;
 § a1 é o primeiro termo;
 § n é a posição do termo an;
 § r é a razão.
Caso o objetivo seja relacionar dois termos quaisquer an e 
ap da PA, também é possível utilizar diretamente a relação:
an = ap + (n – p)r
an = a1 + (n – 1)r ⇒ an = a1 + nr – r (I)
ap = a1 + (p – 1)r ⇒ ap = a1 + pr – r (II)
Fazendo (I) – (II):
an – ap = nr – pr
an – ap = (n – p)r
an = ap + (n – p)r
Aplicação do conteúdo
1. Dê a fórmula do termo geral da PA (5, 9,...).
Resolução: 
Na PA dada, tem-se a1 = 5 e r = 4.
Daí:
an = a1 + (n – 1)r = 5 + (n – 1) ∙ 4 = 5 + 4n – 4 = 4n + 1
Assim, a fórmula do termo geral é an = 4n + 1.
2. Qual é o 20.º termo da PA (2, 8,...)?
Resolução:
Dados: 
a1 = 2
r = 6
n = 20
a20 = a1 + 19r = 2 + 19 . 6 = 116
Assim, a20 = 116.
3. Qual é o 1.º termo de uma PA em que a10 = 39 e r = 4?
Resolução:
Dados: 
a10 = 39
r = 4
n = 10
a10 = a1 + 9r ⇒ 39 = a1 + 9 . 4 ⇒ 
⇒ 39 = a1 + 36 ⇒ a1 = 3
Então, a1 = 3 e a PA é (3, 7, 11,...).
4. Numa PA de 14 termos, o 1.º termo é 2 e o último é 28.
Calcule a razão dessa PA.
Resolução:
Dados: 
a1 = 2
a14 = 28
n = 14
a14 = a1 + 13r ⇒ 28 = 2 + 13r ⇒ 13r = 26 ⇒ 
⇒ r = 2
Portanto, r = 2 e a PA é (2, 4, 6, 8,..., 28).
5. Quantos elementos tem a PA finita (–2, 3,..., 43)?
Resolução:
Dados: 
a1 = –2
an = 43
r = 5
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 43 = – 2 + (n – 1) · 5 ⇒
⇒ 43 = – 2 + 5n – 5 ⇒ 5n = 50 ⇒ n = 10
Assim, a PA dada tem 10 elementos.
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6. Numa PA, a10 = –3 e a12 = 11. Calcule o 1.º termo a1 e 
a razão r dessa PA.
Resolução:
a12 = a10 + 2r ⇒ 11 = – 3 + 2r ⇒ r = 7
a12 = a1 + 11r ⇒ 11 = a1 + 11 . 7 ⇒ a1 = –66
Então, a1 = – 66, r = 7 e a PA é 
(– 66, – 59, – 52, – 45,...)
7. Numa PA crescente, a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35. Deter-
mine o 1.º termo a1 e a razão r dessa PA.
Resolução:
a2 = a1 + r
a6 = a1 + 5r
a4 = a1 + 3r
a9 = a1 + 8r
⇒ a2 + a6 = (a1 + r) + (a1 + 5r) 
 ⇒ a2 + a6 = 2a1 + 6r
⇒ a4 + a9 = (a1 + 3r) + (a1 + 8r) 
 ⇒ a4 + a9 = 2a1 + 11r
Resolvendo o sistema a partir dos dados do problema:
2a1 + 6r = 20
2a1 + 11r = 35
–2a1 – 6r = –20 (I)
2a1 + 11r = 35 (II)
⇒
Fazendo (I) + (II), tem-se: 5r = 15 ⇒ r = 3.
Substituindo r = 3 na equação (I):
– 2a1 – 6(3) = – 20 ⇒ 2a1 = 20 – 18 ⇒
⇒ a1 = 2 __ 
2
 ⇒ a1 = 1
Assim, a1 = 1 e r = 3. A PA é (1, 4, 7, 10, 13,...).
8. Quantos são os múltiplos de 8 compreendidos entre 
100 e 1.000?
Resolução:
 § O primeiro número múltiplo de 8 e maior do que 100 é 104.
 § O último número múltiplo de 8 e menor do que 1.000 é 992.
Então, os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1.000 cons-
tituem a PA (104, 112,..., 992)
Nessa PA, tem-se: 
a1 = 104
r = 8
an = 992
Deve-se calcular o número n de termos da PA:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 992 = 104 + (n – 1) 8 ⇒
⇒ 992 = 104 + 8n – 8 ⇒ 
⇒ 8n = 992 – 104 + 8 ⇒ 8n = 896 ⇒ n = 112
Portanto, existem 112 múltiplos de 8 compreendidos entre 100 
e 1.000.
9. Determine o valor de x para que os números x2, 
(x + 2)2 e (x + 3)2 sejam, nessa ordem, os três primeiros 
termos de uma PA.
Resolução:
Pelo problema, tem-se 
a1 = x2
a2 = (x + 2)2
a3 = (x + 3)2
Como a2 = 
a1 + a3 ______ 
2
 , tem-se:
(x + 2)2 = 
x2 + (x + 3)2 
 __________ 
2
 (equação em x)
Resolvendo a equação:
x2 + 4x + 4 = x
2 + x2 + 6x + 9 ____________ 
2
 ⇒
⇒ 2x2 + 8x + 8 = x2 + x2 + 6x + 9 ⇒
⇒ 8x – 6x = – 8 + 9 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 1 __ 
2
 
Verificação:
 ( 1 __ 
2
 ) 
2
, ( 1 __ 
2
 + 2 ) 
2
, ( 1 __ 
2
 + 3 ) 
2
 ⇒ ( 1 __ 
2
 ) 
2
, ( 5 __ 
2
 ) 
2
, ( 7 __ 
2
 ) 
2
PA: ( 1 __ 
4
 , 25 ___ 
4
 , 49 ___ 
4
 ) ; razão: 24 ___ 
4
 = 6
Portanto, o valor procurado é x = 1 __ 
2
 .
10. Um corpo caindo livremente (desprezando-se a 
resistência do ar) tem, no final do primeiro segundo, 
velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final 
do segundo seguinte; de 29,4 m/s no final do terceiro 
segundo; e assim por diante. Continuando nesse ritmo, 
qual será sua velocidade no final do décimo segundo?
Resolução:
É preciso estabelecer a PA (9,8; 19,6; 29,4;...), na qual 
a1 = 9,8 e r = 9,8, e determinar o termo a10:
an = a1 + (n – 1) r ⇒ a10 = 9,8 + 9 . 9,8 
⇒ a10 = 98 m/s
Assim, no final do décimo segundo, sua velocidade será de 
98 m/s.
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DIAGRAMA DE IDEIAS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
REPRESENTAÇÕESESPECIAIS
CLASSIFICAÇÕES
PARA 3 TERMOS
(x - r , x , x + r)
S = x - r + x + x + r = 3x
PA CRESCENTE
r > 0
TERMO GERAL
an = a1 + (n - 1)r
RAZÃO
r = an + 1 - an
TERMO GERAL CONHECENDO 
QUALQUER TERMO
an = ap + (n - p)r
PA DECRESCENTE
rdessa PG e a taxa de crescimento dos seus termos.
Resolução:
Tem-se a1 = 1 __ 
2
 e a2 = 1 __ 
6
 
Então:
q = 
a2 __ a1
 ⇒ q = 
 1 __ 
6
 
 __ 
 1 __ 
2
 
 ⇒ q = 1 __ 
6
 · 2 __ 
1
 = 1 __ 
3
 
Assim, q = 1 __ 
3
 .
Taxa de crescimento: 
i = 
 1 __ 
6
 – 1 __ 
2
 
 _____ 
1/2
 = 
1/2
6
1 − 3
= 
3 31
1 22 = = 
= ~=− 0,666... − 66,66%
1.3. Classificação das 
progressões geométricas
Dependendo da razão q, uma PG pode ser:
 § Crescente: a PG é crescente quando q > 1 e os ter-
mos são positivos ou quando 0 1 e os 
termos são negativos ou quando 0Resolução:
Valor no 1.º ano = V
Valor no 2.º ano = 70% de V = 0,7V (diminuição de 30%)
Valor no 3.º ano = 70% de (0,7V) = 0,7 (0,7V) = (0,7)2V
Tem-se, então, uma PG na qual a1 = V e q = 0,7.
Deve-se calcular a8.
an = a1 · q
n – 1 ⇒ a8 = a1 · q
7 ⇒ a8 = V(0,7)7
Assim, o valor do carro no 8.º ano será (0,7)7V.
11. Em uma progressão geométrica, o 4.º termo vale 7 
e o 7.º termo vale 189. Quanto vale o 6.º termo dessa 
progressão?
Resolução:
a7 = a4 · q
3, pois, ao passar do 4.º termo para o 7.º, avançamos 
três termos. Assim:
189 = 7 · q3 ⇒ q3 = 27 ⇒ q = 3
Analogamente:
a6 = a4 · q
2 ⇒ a6 = 7 · 32 ⇒ a6 = 63 ou
a6 = a7 : q ⇒ a6 = 189 : 3 ⇒ a6 = 63
Portanto, o 6.º termo vale 63.
3. Interpretação 
geométrica de uma PG
Já foi visto que o termo geral de uma progressão ge-
ométrica é dado por an = a1 
. qn – 1 ou por an = a0 
. 
qn, quando a enumeração dos termos é iniciada por a0. 
Nesse caso, é possível pensar em uma progressão geo-
métrica como uma função que associa a cada número 
natural n o valor dado por an = a0 
. qn. Essa função é a 
restrição aos números naturais da função exponencial 
a(x) = a0q
x. O gráfico dessa função é formado por uma 
sequência de pontos pertencentes ao gráfico de uma 
exponencial.
Observe o exemplo de an = a0 · q
n, com a0 = 1 __ 
4
 e q = 3 e o 
esboço do gráfico da função correspondente:
PG ( 1 __ 
4
 , 3 __ 
4
 , 9 __ 
4
 , 27 ___ 
4
 , ... ) 
4. Interpolação geométrica
Considere o seguinte problema:
No primeiro semestre de 2019, a produção mensal de 
uma indústria cresceu em PG. Em janeiro, a produção foi 
de 1.500 unidades e, em junho, foi de 48.000 unidades. 
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Qual foi a produção dessa indústria nos meses de fevereiro, 
março, abril e maio?
Nessas condições, o problema consiste em formar uma PG 
em que:
a1 (produção em janeiro) = 1.500
a6 (produção em junho) = 48.000
n = 6
Inicialmente, deve-se calcular o valor da razão q:
an = a1 · q
n – 1 ⇒ 48.000 = 1500 · q5 ⇒ 
⇒ q5 = 32 ⇒ q = 5 √
___
 32 ⇒ q = 2
Então, tem-se:
(1.500, 3.000, 6.000, 12.000, 24.000, 48.000)
Daí, pode-se dizer que:
a2 = produção em fevereiro = 3.000 unidades
a3 = produção em março = 6.000 unidades
a4 = produção em abril = 12.000 unidades
a5 = produção em maio = 24.000 unidades
Na realidade, foi realizada a inserção ou interpolação de 
quatro meios geométricos entre 1.500 e 48.000.
Aplicação do conteúdo
1. Insira três meios geométricos entre 3 e 48.
Resolução:
Para inserir três meios geométricos entre 3 e 48, é preciso formar 
a PG (3, ____, ____, ____, 48), na qual:
a1 = 3
n = 2 + 3 = 5 
a5 = 48 
a5 = a1 · q
4 ⇒ 48 = 3q4 ⇒ q4 = 16 ⇒ 
⇒ q = ±4 √
___
 16 ⇒ ⇒ q = ± 2
Assim, tem-se:
 § Para q = 2 a PG (3, 6, 12, 24, 48)
 § Para q = −2, a PG (3, –6, 12, –24, 48)
2. Quantos meios geométricos é preciso inserir entre 1 ___ 
16
 
e 64, de modo que a sequência obtida tenha razão 4?
Dados: 
a1 = 1 ___ 
16
 
an = 64
q = 4
Resolução:
Deve-se, então, calcular n:
an = a1 · q
n – 1 ⇒ 64 = 1 ___ 
16
 · 4n – 1 ⇒
⇒ 43 = 4–2 · 4n – 1 ⇒ 43 = 4n – 3 ⇒ n – 3 = 3 ⇒
⇒ n = 6
Assim, a PG deve ter 6 termos, ou seja, é preciso inserir 4 meios 
geométricos.
pt.khanacademy.org/math/algebra/sequences/introduc-
tion-to-geometric-sequences/v/geometric-sequences-
-introduction
multimídia: site
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ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
HABILIDADE 21
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação 
proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
MODELO 1
(Enem) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atra-
ções culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no 
evento é triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.
Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é:
a) 3 × 345.
b) (3 + 3 + 3) × 345.
c) 33 × 345.
d) 3 × 4 × 345.
e) 34 × 345.
ANÁLISE EXPOSITIVA
O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conhecimentos 
sobre progressões geométricas para a sua resolução.
Tem-se aqui uma PG de razão 3 e a1 = 345. É preciso desecobrir o a4.
a4 = a1 ∙ q
(n – 1)
a4 = 345 ∙3(4 – 1)
a4 = 345 ∙ 33
RESPOSTA Alternativa C
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DIAGRAMA DE IDEIAS
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
CLASSIFICAÇÕES
PARA 3 TERMOS
 x ____ q , x, xq
PG CRESCENTE
q > 1
termos positivos
ou
0 1
termos negativos
ou
0primeiros termos da PA (2, 6, 
...). Nessa PA infinita, os 50 primeiros termos formam 
uma PA finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n = 50.
Resolução:
Deve-se calcular an (ou seja, a50):
an = a50 = a1 + (n – 1)r ⇒ a50 = 2 + 49(4) ⇒ 
⇒ a50 = 2 + 196 ⇒ a50 = 198
Aplicando a fórmula, tem-se:
Sn = 
(a1 + an)n ________ 
2
 ⇒ S50 = 
(2 + 198) ⋅ 50 
 ___________ 
2
 ⇒
⇒ S50 = 5.000
A soma procurada é igual a 5.000.
3. A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1.º 
termo dessa PA é 2, calcule a razão r da PA.
Resolução:
Nessa PA, sabe-se que S10 = 200, a1 = 2 e n = 10.
Deve-se calcular a10 aplicando a fórmula da soma:
Sn = 
10(a1 + a10) _________ 
2
 ⇒ 200 = 
10(2 + a10) ______________ 
2
 ⇒
⇒ 20 + 10a10 = 400 ⇒ 10a10 = 380 ⇒ 
⇒ a10 = 38
Calculando r:
a10 = a1 + 9r ⇒ 38 = 2 + 9r = 36 ⇒ r = 4
Assim, a razão procurada é 4.
4. A soma dos cinco números de uma PA é 295. Determi-
ne o termo do meio.
Resolução:
É possível escrever 5 números em PA assim:
x – 2r, x – r, x, x + r e x + 2r
Somando:
x – 2r + x – r + x + x + r + x + 2r = 295 ⇒
⇒ 5x = 295 ⇒ x = 59
Portanto, o termo do meio é 59.
Nota
Outra maneira de resolver seria utilizando a fórmula:
Sn = 
5(x – 2r + x +2r)
 _____________ 
2
 ⇒ 5 · 2x _____ 
2
 = 295 ⇒ x = 59
5. A soma Sn dos n primeiros termos de uma PA é 3n2, 
qualquer que seja n. Calcule o 5.° termo dessa progressão.
Resolução:
Nessa PA, sabe-se que Sn = 3n2. Então:
Para n = 1: S1 = a1 ⇒ 3n2 = a1 ⇒ 
⇒ 3(1)2 = a1 ⇒ a1 = 3
Para n = 2: S2 = a1 + a2 = 3n2 = 3 + a2 ⇒
⇒ 3(2)2 = 3 + a2 ⇒ a2 = 9
É possível, então, determinar o valor da razão:
r = a2 – a1 = 9 – 3 = 6
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5
Determinando o 5.º termo da PA:
a5 = 3 + (5 – 1) · 6 = 27
Assim, o 5.º termo dessa PA é 27.
6. Determine o valor de x na igualdade 
2 + 7 + ... + 2x = 198, sabendo que as parcelas do 1.º 
membro formam uma PA.
Resolução:
Nessa PA, tem-se Sn = 198, a1 = 2, an = 2x e r = 7 – 2 = 5.
Determinando n em função de x:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 2x = 2 + (n – 1)5 ⇒
⇒ 2x = 2 + 5n – 5 ⇒ 5n = 2x + 3 ⇒ n = 2x + 3 _____ 
5
 
Aplicando a fórmula da soma, tem-se:
Sn = 
n(a1 + an) ________ 
2
 ⇒198 = 
 ( 2x + 3 _____ 
5
 ) (2 + 2x) 
 _____________ 
2
 ⇒
⇒ ( 2x + 3 _____ 
5
 ) (2 + 2x) = 396 ⇒
⇒ 4x + 4x2 + 6 + 6x ______________ 
5
 = 396 ⇒
⇒ 4x2 + 10x + 6 = 1.980 ⇒ 2x2 + 5x – 987 = 0
Resolvendo a equação do 2.º grau:
2x2 + 5x – 987 = 0
D = (5)2 – 4(2) (–987) = 25 + 7.896 = 7.921
x = - 5 ± 89 ______ 
4
 ⇒ x’ = 21 e x” = – 47 ___ 
2
 
Como a PA é crescente, segue que x = 21.
7. Determine o valor de:
a) S = ∑ i = 1 
5 (2i) 
Resolução:
O símbolo Σ significa somatório, isto é, deve-se efetuar a 
seguinte soma:
 ∑ i = 1 
5 (2i) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 
Observe que o símbolo da somatória ∑ i = 1 
5 (2i) significa que 
serão somados os termos 2i com o valor de i indo de 1 até 
n = 5.
b) S = ∑ i = 1 
30 (1 + i) 
Resolução:
S = (1 + 1) + (1 + 2) + ... + (1 + 29) 
+ (1 + 30) = 2 + 3 + ... + 31
Assim, tem-se uma PA em que a1 = 2 e a30 = 31.
Aplicando a fórmula, tem-se:
S = (2 + 31) 30 ___ 
2
 = 495
8. Sabendo que em uma PA a12 vale 13 e a5 vale 7, obte-
nha o valor de a8 + a9.
Resolução:
Deve-se escrever a PA:
(7, a6 , a7, a8 , a9, a10 , a11, 13)
Observe que a8 e a9 são equidistantes dos termos a5 e a12, por-
tanto, pela propriedade vista na dedução da fórmula da soma, 
segue que: 
a8 + a9 = a5 + a12 = 20.
2. Progressões aritméticas 
de segunda ordem
Da sequência (an) = (0, 3, 8, 15, 24, 35, ...), pode-se formar 
uma progressão aritmética tomando as diferenças.
3, 5, 7, 9, 11, ...
2.1. Definição
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma se-
quência (an) na qual, tomando-se as diferenças (an + 1 – an) 
entre cada termo e o termo anterior, forma-se uma pro-
gressão aritmética não estacionária.
Assim, a sequência (an) = (0, 3, 8, 15, 24, 35,..., n2 – 1, ...).
2.2. Caracterização
É possível provar que toda sequência na qual o termo 
de ordem n é um produto em n do segundo grau é uma 
progressão aritmética de segunda ordem. Da mesma 
forma, se (an) é uma progressão aritmética de segunda 
ordem, então an é um polinômio do segundo grau em n. 
Assim, se o domínio de uma função quadrática for uma PA, 
então sua imagem será uma PA de segunda ordem.
Aplicação do conteúdo
1. Dada a PA de 2.ª ordem, 4, 7, 12 ,19..., determine o 
polinômio de 2.º grau que expressa o termo geral.
Resolução:
Observe que:
a1 = 4
a2 = 7 = 4 + 3
a3 =12 = 4 + 3 + 5
a4 = 19 = 4 + 3 + 5 + 7
soma dos 3
termos Pa (3, 5 e 7)
32  MATEMÁTICA e suas tecnologias
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5
 a8 = 4 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +13 + 15
soma dos 7 termos Pa (3, 5, 7, ...)
an = 4 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + ...
soma dos n termos Pa (3, 5, 7, 9, ...)
Assim:
bn-1 = 3 + (n – 1 – 1) . 2 = 3 + 2n – 4 = 
= 2n – 1, em que bn é a PA (3, 5, 7, ..., bn)
Então:
3 + 5 + 7 + ... + bn – 1 = 
(3 + 2n – 1)(n – 1)
 ______________ 
2
 
 
(2 + 2n)(n – 1)
 ____________ 
2
 = (n + 1)(n – 1) = n2 – 1
Portanto:
an = 4 + n2 – 1 ⇒ an = n2 + 3
3. Fórmula da soma 
dos n primeiros termos 
de uma PG finita
A soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica (an ) de razão q ≠ 1 é Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 .
3.1. Demonstração
Considere a PG finita (a1, a 2, a3, ..., an – 1, an ), sendo Sn a 
soma de seus termos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 1 + a n (I)
Multiplique os dois membros dessa igualdade pela razão 
q, obtendo:
qSn =a1q
a2

+ a2q
a3

+ a3q
a4

+...+an–1q
an

+anq
ou
qSn = a2 + a3 + a4 + ... + an + anq (II)
Fazendo (I) – (II), obtém-se:
Sn – qSn = a1 − anq
Como an = a1q
n – 1, então anq = a1q
n – 1 q = a1q
n
Portanto: Sn = a1 · 
1–qn
 ____ 
1 – q
 para q ≠ 1.
Aplicação do conteúdo
1. Uma empresa produziu 10.000 unidades de certo 
produto em 2015. A cada ano, ela produziu 20% a mais 
desse produto em relação ao ano anterior. Quantas uni-
dades desse produto a empresa produziu no período de 
2015 a 2019?
Resolução:
1.ª maneira:
Ano
Produção 
(em unidades)
2015 10.000
2016 12.000 120% de 10.000 = 12.000
2017 14.400 120% de 12.000 = 14.400, etc..
2018 17.280
2019 20.736
No período de 2015 a 2019, a empresa produziu:
10.000 + 12.000 + 14.400 + 17.280 + 20.736 = 74.416 unidades
As parcelas formam uma PG finita de razão q = 1,20.
Assim, a soma dos cinco primeiros termos é 74.416.
2.ª maneira:
Usando a fórmula:
Como se trata uma PG na qual a1 = 10.000, q = 1,20 e n = 5, 
tem-se:
Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 ⇒ S5 = 10.000 · 
1 – (1, 20)5
 _________ 
1 – 1,20
 
= 10.000 · 
–1,48832
 ________ 
–0,20
 = 74.416
Assim, no período de 2015 a 2019, a empresa produziu 74.416 
unidades do produto.
2. Determine a soma:
a) dos dez primeiros termos da PG (3, 6, ...).
Resolução:
Nessa PG, são conhecidos: a1 = 3, q = 2 e n = 10.
Aplicando a fórmula:
Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 ⇒ S10 = 3 · 1 – 210
 ______ 
1 – 2
 
S10 = 3 · 1 – 1024 _______ 
 –1
 = 3.069
A soma pedida é 3.069.
b) dos termos da PG (2, 22, ..., 210):
Resolução:
Nessa PG, tem-se a1 = 2, q = 2 e n = 10.
S10 = 2 · 1 – 210
 ______ 
1 – 2
 = 2 · 1 – 1024 _______ 
 –1
 = 2.046
MATEMÁTICA e suas tecnologias  33



 V
O
LU
M
E 
5
3. A soma dos termos de uma PG finita é 728. 
Sabendo que an = 486 e q = 3, calcule o primeiro termo 
dessa sequência.
Resolução:
Nessa PG, são conhecidos: Sn = 728, an = 486 e q = 3.
Aplicando a fórmula Sn = 
an q – a1 _______ 
q – 1
 para calcular a1:
728 = 
486 · 3 – a1 _________ 
3 – 1
 ⇒ 728 = 
1458 – a1 ________ 
 2
 ⇒
 ⇒ 1.458 – a1 = 1.456 ⇒ a1 = 1.458 – 1.456 ⇒
 ⇒ a1 = 2 
Portanto, o primeiro termo da PG dada é a1 = 2.
4. Calcule o valor de x na igualdade 10x + 20x + ... + 
1.280x = 7.650, sabendo que os termos do 1.º membro 
formam uma PG.
Resolução:
Nesse caso, a1 = 10x, q = 2, an = 1.280x e Sn = 7.650.
Inicialmente, deve-se