AULA-03-BASES-MATEMÁTICAS-1

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BASES MATEMÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 03 – LIMITES, 
DERIVADAS E SUA 
APLICAÇÃO NA 
ADMINISTRAÇÃO 
Prezado (a) aluno (a), 
 
Tendo em vista os objetivos desta aula, o foco não será a compreensão 
profunda do cálculo diferencial e integral, mas sim, o conhecimento de seus 
conceitos básicos, abordando situações de utilização em processos administrativos. 
Portanto, buscamos atender às necessidades da ementa deste curso, com 
um conteúdo prático, trazendo a matemática para situações do cotidiano, 
demonstrando sua real utilidade. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao final desta aula, você será capaz de: 
• Entender o conceito de limites e derivadas de uma função; 
• Identificar aplicações do conceito de limites na administração e das 
aplicações simples da derivação de funções no dia a dia; 
• Estabelecer a fórmula para o Lote Econômico de Compra. 
 
 
 
 
 
3 LIMITES, DERIVADAS E SUA APLICAÇÃO NA ADMINISTRAÇÃO 
3.1 Limites 
A noção natural de limites tem a ver com a busca da tendência da variável 
dependente de uma função, quando a variável independente tende a um determinado 
ponto (SILVA; ABRÃO, 2017, p. 83). 
Os autores Morettin, Hazzan e Bussab (2017), completam que o estudo de 
limites é de grande utilidade na determinação do comportamento das funções, além 
do mais, seu conceito é utilizado em derivadas, que é o assunto da próxima seção. 
É considerado limite de uma função, quando (𝑥) tende a (𝑎) ao número (𝑦), 
que indica a tendência da função. 
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑦 
Exemplo 01: Seja a função 𝑦 = 2𝑥 + 4. O limite desta função, quando 𝑥 tende 
a 5 é 14. Para verificar essa afirmação, basta substituir o valor de 𝑥 por 5, então temos: 
𝑦 = 2 . 5 + 4 = 14. 
Essa foi uma exemplificação simples para determinação de um limite, mas nem 
sempre é possível calcular o limite dessa forma. 
Exemplo 02: Calcule o limite de y
𝑥→1
1
𝑥−1
. 
Se tentarmos fazer a substituição de 𝑥 por 1, tem-se 1 dividido por 0, o que não 
é possível de resolver. Então, é necessário calcular essa função utilizando os valores 
de 𝑥 próximos de 1, tanto à direita, quanto à esquerda. 
Temos então que para 𝑥 = 0,999999, temos 𝑦 = −1.000.000. 
Para 𝑥 = 1,000001, temos 𝑦 = +1.000.000. 
Podemos observar que, de acordo com que 𝑥 aproxima-se de 1, pela esquerda, 
obtém-se cada vez mais um número negativo menor, tendendo a −∞ (lê-se, menos 
infinito). E quando 𝑥 aproxima-se de 1 pela direita, o valor 𝑦 é cada vez maior, 
tendendo a +∞ (lê-se, mais infinito). 
Aqui é dito que o limite da função no ponto 𝑥 = 1 não existe, sendo justificado 
pelo fato de que os limites laterais à esquerda e à direita são diferentes. 
Agora que já lhe foi apresentado o básico de limite, vamos a uma aplicação em 
um caso real. 
 
 
 
3.1.1 Preço de venda 
Antes de dar início a aplicação, vamos a algumas fórmulas importantes: 
• Ponto de Equilíbrio Físico (𝑃𝐸) = A divisão do Custo Fixo (𝐶𝐹) pela 
Margem de Contribuição Unitária (𝑀𝐶𝑈) (𝑃𝐸 =
𝐶𝐹
𝑀𝐶𝑢
) 
• A Margem de Contribuição Unitária (𝑀𝐶𝑈) = A diferença entre o Preço 
de Venda (PV) e os Custos Variáveis Unitários (𝐶𝑉𝑢) (𝑀𝐶𝑢 = 𝑃𝑉 − 𝐶𝑉𝑢) 
Suponha que em um lava-jato, o 𝐶𝐹 é de R$ 1.692,00 e o 𝐶𝑉𝑢 é de R$4,40. 
Com essas informações, podemos escrever que: 
𝑃𝐸 =
1.692
𝑃𝑉 − 4,4
 
Com essa função, calcularemos os seguintes limites: 
lim
𝑃𝑉→10
𝑃𝐸 =
1.692
𝑃𝑉 − 4,4
 
Aqui, sendo 𝑃𝑉 = 10, temos 𝑃𝐸 = 302,14, concluindo que o ponto de equilíbrio 
para um preço de vendas a R$ 10,00, é de aproximadamente 303 carros lavados, ou 
seja, esse é o limite do ponto de equilíbrio do lava-jato, para o valor de R$ 10,00. 
Agora, atribuindo 𝑃𝑉 = 4,4, observe o que acontece. 
lim
𝑃𝑉→4,4
𝑃𝐸 =
1.692
𝑃𝑉 − 4,4
 
Aqui, podemos observar a importância que a Margem de Contribuição Unitária 
tem. Ao aplicar o valor de 𝑃𝑉 = 4,4, temos 1.692 dividido por zero, o que é impossível 
de calcular. Mas, se substituirmos 𝑃𝑉 por um valor próximo a 4,4, como 4,41, veremos 
que o ponto de equilíbrio tende a ser um número muito grande. 
𝑃𝐸 =
1.692
4,41 − 4,4
=
1.692
0,01
= 162.200 
Agora, se atribuirmos um valor próximo a 4,4. mas pela esquerda, como 4,43, 
temos o seguinte: 
𝑃𝐸 =
1.692
4,43 − 4,4
=
1.692
−0,01
= −169.200 
Assim, concluímos que o limite lateral à direita do ponto de equilíbrio do lava-
jato em função do preço de vende é +∞, já o limite lateral à esquerda é −∞, sendo 
inexistente o limite no ponto. 
 
 
 
Essa análise do limite lateral à esquerda, deixa claro que trabalhar sem margem 
de contribuição, com preço de venda igual ou abaixo do custo variável unitário, leva a 
empresa a nunca ter ponto de equilíbrio. 
3.2 Derivada 
Se 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑥0, está no domínio de 𝑓 , então, pela taxa de variação 
instantânea de 𝑓 em 𝑥0, é dito que, o limite da taxa de variação média entre 𝑥0 e 𝑥0 +
𝛥𝑥 à medida em que 𝛥𝑥 tende a 0 é: 
lim
𝛥𝑥→0
𝛥𝑦
𝛥𝑥
= lim
𝛥𝑥→0
𝑓(𝑥0 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝛥𝑥
 
Contanto que esse limite exista. Tal limite também é chamado de derivada de 
𝑓 em 𝑥0 (AYRES; MENDELSON, 2013) 
Considerando a derivada de 𝑓 em um ponto arbitrário 𝑥 de seu domínio: 
lim
𝛥𝑥→0
𝛥𝑦
𝛥𝑥
= lim
𝛥𝑥→0
𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝛥𝑥
 
O valor da derivada é uma função de 𝑥 e será denotado por qualquer uma das 
expressões a seguir: 
𝐷𝑥𝑦 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = lim
𝛥𝑥→0
=
𝛥𝑦
𝛥𝑥
 
O valor 𝑓′(𝑎) da derivada 𝑓 em um ponto 𝑎 em particular é, algumas vezes, 
denotado por 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑥=𝑎
 
Exemplo 03: Encontre a derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥)
1
𝑥−2
 em 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3. 
𝛥𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑓(𝑥) =
1
(𝑥 + 𝛥𝑥) − 2
−
1
𝑥 − 2
=
(𝑥 − 2) − 𝑥(𝑥 + 𝛥𝑥 − 2)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 𝛥𝑥 − 2)
 
=
−𝛥𝑥
(𝑥 − 2)(𝑥 + 𝛥𝑥 − 2)
 
 
 
 
𝛥𝑦
𝛥𝑥
=
−1
(𝑥 − 2)(𝑥 + 𝛥𝑥 − 2)
 
Então, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
𝛥𝑥→0
−1
(𝑥−2)(𝑥+𝛥𝑥−2)
=
1
(𝑥−2)² 
 
Em 𝑥 = 1, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−1
(1−2)²
= −1. 
Em 𝑥 = 3, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−1
(𝑥−2)²
= −1. 
3.2.1 Encontrando a função derivada 
Para realizar o cálculo de uma função derivada, normalmente regras de 
derivação e propriedades são utilizadas, adiante são apresentadas algumas regras. 
Caso você tenha conhecimento acerca deste conteúdo, verá que não serão 
abordadas todas as regras e propriedades das derivadas, visto que é um conteúdo 
que extrapola nossos objetivos. 
1ª Regra: A derivada de uma função constante é igual a zero. 
Se 𝑦 = 𝑐, então, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0, ou seja, se 𝑦 = 5, 𝑦′ = 0. 
2ª Regra: A derivada de uma função potência do tipo 𝑦 = 𝑥𝑛 será: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛. 𝑥𝑛−1 
Assim, se 𝑦 = 𝑥², 𝑦′ = 2𝑥. 
3ª Regra: A derivada de um produto de uma constante por uma função será a 
constante multiplicada pela derivada da função. 
Se 𝑦 = 𝑘. 𝑓(𝑥), então, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑘. 𝑓′(𝑥). 
Assim, se 𝑦 = 3. 𝑥2, então, 𝑦′ = 3 . 2𝑥 = 6. 𝑥 
4ª Regra: A derivada de uma soma de funções é igual à soma das respectivas 
derivadas. 
Se 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥), então 𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) + ℎ′(𝑥) 
Assim, se 𝑦 = 3 . 𝑥2 + 6 . 𝑥 + 4, então, 𝑦′ = 3 . 2 . 𝑥 + 6 + 0 = 6. 𝑥 + 6 
 
 
 
5ª Regra: A derivada de um produto de duas funções é igual à soma da primeira 
função multiplicada pela derivada da segunda, mais a derivada da primeira função 
multiplicada pela segunda função. 
Se 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥), então, 𝑦′ = 𝑓(𝑥). 𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥). 𝑔(𝑥) 
Assim, se 𝑦 = 3𝑥2. (6𝑥 + 1), então: 
𝑦′ = 3𝑥2. 6 + 6 . 𝑥 (6𝑥 + 1) 
𝑦′ = 18𝑥2 + 36𝑥2 + 6𝑥 
𝑦′ = 54𝑥2 + 6𝑥 
6ª Regra: A derivada de um quociente de duas funções é igual à diferença da 
derivada da primeira multiplicada pela segunda função e a primeira função 
multiplicada pela derivada da segunda. Esta diferença é dividida pelo quadrado da 
segunda função. 
Se 𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, então, 𝑦′ =
𝑓′(𝑥).𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥).𝑔′(𝑥)
𝑔(𝑥)²
 
Assim, se𝑦 =
3𝑥2
6𝑥+1
, então: 
𝑦′ =
6𝑥. (6𝑥 + 1) − 3𝑥2. 6
36𝑥2 + 12𝑥 + 1
=
36𝑥2 + 6𝑥 − 18𝑥2
36𝑥2 + 12𝑥 + 1
 
=
18𝑥2 + 6𝑥
36𝑥2 + 12𝑥 + 1
=
6. (3𝑥2 + 1)
36𝑥2 + 12𝑥 + 1
 
7ª Regra: A derivada da função logarítmica de 𝑥 é igual ao inverso de 𝑥. 
Se 𝑦 = 𝐿𝑛(𝑥), então, 𝑦′ =
1
𝑥
. 
Assim, se 𝑦 = 𝐿𝑛(𝑥 + 1), então, 𝑦′ =
1
𝑥+1
. 
8ª Regra: A derivada da função exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥, com 𝑎 > 0 e ≠ 1, é igual a 
𝑎𝑥 multiplicado por ln (𝑎). Assim, se 𝑦 = 3𝑥 , então: 
𝑦′ = 3𝑥 ln(3) ≈ 1,099 ∙ 3𝑥 . 
 
 
 
9ª Regra: A derivada de uma função composto do tipo, 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) é 𝑦′ =
𝑓′(𝑥). 𝑔′(𝑥) 
Assim, 𝑦 = 2 . (3𝑥2 + 2𝑥 + 1)², então, 
𝑦 = 𝑓(2𝑢2) 
𝑢 = 3𝑥2 + 2𝑥 + 1 
𝑦′ = 4. 𝑢. 𝑢 
𝑦′ = 4(3𝑥2 + 2𝑥 + 1) . (6𝑥 + 2) 
𝑦′ = (12𝑥2 + 8𝑥 + 4) . (6𝑥 + 2) 
𝑦′ = 72𝑥3 + 24𝑥2 + 48𝑥216𝑥 + 24𝑥 + 8 
𝑦′ = 72𝑥3 + 72𝑥2 + 40𝑥 + 8 
3.3 Aplicações da derivada em administração 
Dentre as áreas em que as derivadas podem ser aplicadas na administração, 
esta seção será voltada ao custo marginal, receita marginal, lucro marginal e o Lote 
Econômico de Compra (LEC). 
 
3.3.1 Custo marginal, receita marginal e lucro marginal 
Seja 𝐶𝑇 = 𝐶𝑇(𝑥), 𝑥 ≥ 0, o custo total para produção de 𝑥 unidade de um 
produto em específico. Supondo que a atual produção é de 𝑥 unidades e, devido ao 
esperado aumento de demanda, a empresa iniciou um estudo para verificar a 
possibilidade de aumentar a produção em 𝛥𝑥 unidades. 
Um ponto importante que a empresa precisa verificar é qual será, em média, o 
custo extra ou marginal que sucederá desse aumento na produção de cada uma das 
unidades. O custo extra médio é o custo marginal médio no nível de produção 𝑥 e 
relativo ao acréscimo 𝛥𝑥 é indicado por 𝐶𝑀𝐺𝑚. 
 
 
 
O custo marginal médio no nível 𝑥 de produção e relativo ao acréscimo 𝛥𝑥, é 
dado por: 
𝐶𝑀𝐺𝑚 =
𝐶𝑇(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝐶𝑇(𝑥)
𝛥𝑥
=
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜
 
O curso marginal (𝐶𝑀𝐺) em cálculo, corresponde ao limite para 𝛥𝑥 tendendo a 
zero do curso marginal médio, em outras palavras, o custo marginal é a derivada do 
custo total. 
𝐶𝑀𝐺(𝑥) = lim
𝛥𝑥→0
𝐶𝑇(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝐶𝑇(𝑥)
𝛥𝑥
 
= 𝐶𝑀𝐺(𝑥) = 𝐶𝑇′(𝑥) =
𝑑𝐶𝑇
𝑑𝑥
 
Dessa forma, podemos considerar o custo marginal como a velocidade com 
que o custo total está variando no nível 𝑥 de produção. A velocidade com que o custo 
total está variando no nível 𝑥 de produção é de 
𝑑𝐶𝑇
𝑑𝑥
 (sendo considerado como reais 
por unidade produzida). 
Conforme Guidorizzi (2010), ao pensar em termos de diferenciais, 𝑑𝐶𝑇 =
𝐶𝑇′(𝑥)𝑑𝑥. Então, para 𝑑𝑥 suficientemente pequeno, 𝑑𝐶𝑇 será um valor aproximado 
para o custo extra, ou marginal que a empresa terá com a produção dessas 𝑑𝑥 
unidades extras. Ao considerar que 𝑑𝑥 é suficientemente pequeno, significa 
considerar que 𝑑𝑥 é uma pequena fração da unidade. 
Exemplo 04: Para um acréscimo na produção de 𝑑𝑥 = 0,0000001 unidade, a 
variação no custo total será de aproximadamente, 𝐶𝑇′(𝑥) = 0,0000001. 
Trazendo essa teoria para o cotidiano, quando se deseja avaliar o custo extra 
correspondente a um acréscimo de 𝛥𝑥 unidades na produção, utiliza-se o custo 
marginal médio. Quando 𝛥𝑥 = 1, é comum administradores e economistas referirem-
se a este custo marginal médio simplesmente como custo marginal. Para diferenciar 
o custo marginal do que foi definido anteriormente, este será chamado de custo 
marginal do administrador e será indicado por 𝐶𝑀𝐺𝐴. 
Assim, o custo marginal do administrador no nível de produção 𝑥 é o custo 
extra, ou marginal em virtude do aumento de uma unidade na produção. 
 
 
 
𝐶𝑀𝐺𝐴(𝑥) = 𝐶𝑇(𝑥 + 1) − 𝐶𝑇(𝑥) 
Portanto, o custo marginal do administrador no nível de produção 𝑥, é o custo 
extra que a empresa terá pela produção de uma unidade extra. 
Geralmente, o custo marginal, dado pela derivada do custo total, difere do custo 
marginal do administrador. Quando o custo total for linear, eles serão iguais, mas, ao 
raciocinar com o custo marginal, sempre é bom pensá-lo como o custo marginal do 
administrador, pois assim que você vai fazer quando se tornar administrador. 
De modo análoga, é definido como Receita Marginal (RMG), a Receita Marginal 
do Administrador (RMGA), o lucro marginal (LMG), e o Lucro Marginal do 
Administrador (LMGA). 
A RMG é a derivada da receita 𝑅 = 𝑅(𝑥), sendo, 
𝑅𝑀𝐺(𝑥) = 𝑅′(𝑥) =
𝑑𝑅
𝑑𝑥
 
A RMGA é a receita extra ou marginal pela primeira venda de uma unidade 
extra, sendo: 
𝑅𝑀𝐺𝐴(𝑥) = 𝑅(𝑥 + 1) − 𝑅(𝑥) 
Por outro lado, o Lucro Marginal (LMG) é a derivada do lucro 𝐿 = 𝐿(𝑥), e é 
representado como: 
𝐿𝑀𝐺(𝑥) = 𝐿′(𝑥) =
𝑑𝐿
𝑑𝑥
 
O Lucro Marginal do Administrador (LMGA) é a variação no lucro (que poderá 
ser positiva ou negativa) em virtude do acréscimo na produção de uma unidade extra, 
e é representado como: 
𝐿𝑀𝐺𝐴(𝑥) = 𝐿(𝑥 + 1) − 𝐿(𝑥) 
Visto que o lucro é a diferença entre a receita e o custo total, 𝐿 = 𝑅 − 𝐶𝑇 e a 
derivada de uma soma é a soma das derivadas, temos a seguinte relação entre o lucro 
marginal, a receita marginal e o custo marginal: 
𝑑𝐿
𝑑𝑥
=
𝑑𝑅
𝑑𝑥
−
𝑑𝐶𝑇
𝑑𝑥
 
Conforme Guidorizzi (2010), na visão de um administrador, o custo marginal, 
no nível de produção 𝑥, é o custo extra que a empresa terá com a produção de uma 
 
 
 
unidade a mais, a receita marginal é o mesmo que o preço de venda desta unidade 
extra, e o lucro marginal é o que a empresa lucrará na venda. 
Assim, se a receita marginal for maior que o custo marginal, com o aumento na 
produção, consequentemente, o lucro aumentará, mas se em um nível de produção 
𝑥, a receita marginal for menor que o custo marginal, o lucro marginal será negativo, 
consequentemente, o lucro da empresa estará diminuindo. 
Nível de produção que maximiza o lucro 
Suponhamos que as funções 𝐶𝑇 = 𝐶𝑇(𝑥) e 𝑅 = 𝑅(𝑥), sejam deriváveis no intervalo [0, 𝑏], em 
que 𝑏 é o nível máximo de produção que a empresa comporta. Seja 𝑥𝑚á𝑥 o nível de produção 
que torna o lucro 𝐿 = 𝐿(𝑥) máximo. Se 𝑥𝑚á𝑥 
𝑑𝐶𝑇
𝑑𝑥
 para todo 𝑥 no intervalo [0, 𝑏], teremos 𝐿′(𝑥) > 0, para 0 ≤
𝑥 ≤ 𝑏, logo, o lucro será crescente neste intervalo e, então, o lucro máximo ocorrerá no nível 
máximo de produção que é 𝑥 = 𝑏 (GUIDORIZZI, 2010). 
 
Exemplo 05: Uma empresa produz um único produto com a seguinte função 
de custo total: 𝐶𝑇 = 𝑥2 + 𝑥 + 50, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, em que 𝑏, é o nível máximo de produção 
que a empresa comporta. Sabe-se que o produto é vendido a R$ 35,00 a unidade, e 
que já mercado para toda produção. 
a) Qual o custo marginal? 
𝐶𝑀𝐺 =
𝑑𝐶𝑇
𝑑𝑥
= (𝑥2 + 𝑥 + 50)′ = 2𝑥 + 1 
Assim, no nível de produção 𝑥 o custo marginal é 𝐶𝑀𝐺(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
b) Qual a receita? E a receita marginal? 
𝑅 = 35𝑥, 𝑥 ≥ 0. 
 
 
 
A receita marginal é a derivada da receita, portanto, 
𝑅′ = (35𝑥)′ = 35. 
Assim, a receita marginal é 𝑅𝑀𝐺(𝑥) = 35. 
c) Qual o lucro? Qual o lucro marginal? 
𝐿 = 𝑅 − 𝐶𝑇, ou seja, 𝐿 = 35𝑥 − (𝑥2 + 𝑥 + 5) e, portanto, 
𝐿 = −𝑥2 + 34𝑥 − 5, com 𝑥 ≥ 0. 
O lucro marginal é a derivada do lucro, assim, 
𝐿𝐺𝑀 = 𝐿′ = −2𝑥 + 34 
d) Supondo 𝑏 = 20, em que nível de produção o lucro será máximo? Qual o 
lucro máximo? 
O nível 𝑥 de produção, com 𝑥de 𝑥 teremos: 
𝐿 = −172 + 34 . 17 − 5 = −289 + 578 − 5 = 284. 
O nível de produção que maximiza o lucro é 𝑥 = 17 e o lucro máximo é R$ 
284,00. 
3.3.2 Lote Econômico de Compra (LEC) 
Suponhamos que um supermercado venda mensalmente (mês de 30 
dias), 𝑀 kg de arroz e que a venda seja uniforme ao longo do mês. Para que o 
supermercado possa vender este arroz, antes terá que adquiri-lo junto a um 
fornecedor. Estes 𝑀 kg poderão ser adquiridos em um único lote de 𝑀 kg, no início do 
 
 
 
mês, e estocado, ou poderão ser feitos pedidos em lotes de 
𝑀
2
 kg a cada 15 dias, 
ou 
𝑀
3
 𝑘𝑔 a cada 10 dias etc. 
Supõe-se que, um pouco antes de o estoque zerar, é feito o pedido de 
reposição e que esta reposição ocorra simultaneamente com a venda da última 
unidade estocada. Bom, a decisão da gerência do supermercado de quanto comprar 
por vez, levará em consideração, os custos que incorrerão. 
Dois tipos de custos são considerados: o custo 𝐶𝑚 (em reais) de manutenção 
de uma unidade em estoque por 30 dias e o custo 𝐶𝑝 (custo de pedido) que ocorre 
cada vez que um pedido de compra é colocado. Supondo que o custo de manutenção 
é proporcional ao tempo que o produto permanece estocado, a quantidade 𝑄 que 
deverá ser pedida de cada vez é aquela que minimizará a soma dos custos com 
estocagem e com pedidos. Esta quantidade 𝑄 é o nosso Lote Econômico de Compra 
(LEC). 
Para determinar O LEC, primeiramente, é preciso saber como calcular os 
gastos com pedidos e com a manutenção. Supondo que no período de 30 dias sejam 
feitos 𝑛 pedidos em lotes de 𝑄 unidades: O gasto com os pedidos será então 𝐶𝑝. 𝑛. 
Como devemos ter 𝑛. 𝑄 = 𝑀, resultando 𝑛 =
𝑀
𝑄
. Então, o custo com os pedidos será 
𝑀𝐶𝑝
𝑄
. 
Agora é necessário calcular o gasto com a estocagem, para isso, basta 
determinar quantas unidades, em média, vão ficar estocadas no período de 30 dias. 
Se o estoque for reposto 𝑛 vezes no período, estoque médio, ao longo do período de 
30 dias, será 
𝑀
2𝑛
, como 𝑛 =
𝑀
𝑄
, resulta que o estoque médio é, 
𝑄
2
. Visto que a 
manutenção de uma unidade, no decorrer de 30 dias, custa 𝐶𝑚, resulta que o custo 
de manutenção com 
𝑄
2
 unidades será de 
𝐶𝑚𝑄
2
. 
Agora já é possível estabelecer a fórmula para o calculo do LEC. Sendo 𝑄 a 
quantidade pedida de cada vez, o LEC será o valor de 𝑄, que tornará mínima a soma 
dos custos com pedidos e manutenção. A soma dos custos é chamada de custo total 
com o estoque, sendo indicado por C, teremos: 
𝐶 =
𝐶𝑚𝑄
2
+
𝑀𝐶𝑝
𝑄
, 0 0 para 𝑄 > 0. 
O gráfico do custo total 𝐶 tem sua concavidade para cima, portanto, para o 𝑄 
encontrado, o valor de 𝐶 será mínimo, então, o valor de 𝑄 será valor do lote 
econômico de compra. 
 
 
 
𝐿𝐸𝐶 = √
2𝑀𝐶𝑝
𝐶𝑚
 
Exemplo 06: Um supermercado vende 3.000 kg de arroz por mês (mês de 30 
dias) e a venda, ao longo do mês, é uniforme. O custo com pedido de reposição de 
estoque é de R$30,00 e o custo de manutenção é de R$0,20 por kg e por mês. 
a) Expresse o custo total com o estoque em função da quantidade pedida de 
cada vez e construa uma tabela considerando as possibilidades de 1 a 5 pedidos no 
mês. 
O custo com o pedido é 𝐶𝑝 = 30 e o custo de manutenção é 𝐶𝑚 = 0,20, temos 
que: 
𝐶 =
0,20 𝑄
2
+
30 .3.000
𝑄
, ou seja, 𝐶 = 0,10 𝑄 +
90.000
𝑄
, 𝑄 > 0. 
 
Repondo o estoque cinco vezes e, portanto, em lotes de 600 kg, o custo total 
com o estoque será de R$210,00, repondo 4 vezes, em lotes de 750 kg, o custo total 
será de R$195,00 etc. Pela tabela, entre as possibilidades sugeridas, a melhor opção 
será três reposições, em lotes de 1.000 kg, pois, neste caso, o custo total de R$190,00 
é o menor. 
b) Qual o lote econômico de compra? 
𝐿𝐸𝐶 = √
2 . 3.000 . 30
0,20
≅ 948,68 
Para este valor de 𝑄 o custo total é de R$189,74. Pedindo lotes de 1.000 kg o 
custo total de R$190,00 difere muito pouco de R$189,74. Para simplificar as 
operações é preferível repor em lotes de 1.000 kg, embora o LEC seja 948,68. Na 
prática é assim que se procede. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
AYRES, F. MENDELSON, R. Cálculo. Tradução: Adonai Shlup Sant'Anna. 5 ed. São 
Paulo: Bookman, 2013. 
 
 
 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Matemática para administração. Rio de Janeiro: LTC, 
2010. 
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton O. Introdução ao cálculo 
para administração, economia e contabilidade. 2. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. 
SILVA, F. C. M.; ABRÃO, M. Matemática básica para decisões administrativas 2 
ed. São Paulo: Atlas, 2017.