4 Aplicações de funções

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Aplicações de funções
Prof.º André Luís Corte Brochi
Descrição Cálculo das taxas de variação média entre duas grandezas e interpretá-
las. Interpretação de gráficos que representem a variação das funções
custo, receita e lucro em relação à quantidade produzida de certa
utilidade com o intuito de analisar o comportamento de cada uma delas
quanto ao seu crescimento e decrescimento.
Propósito Habituar o aluno ao uso de funções matemáticas, ilustrando com
exemplos que frequentemente surgem no dia a dia profissional.
Preparação Ao longo deste estudo, você precisará de uma calculadora.
Objetivos
Módulo 1 Módulo 2
Taxas de variação médias
Calcular taxas de variação médias entre
duas grandezas.
Taxas de variação em
gráficos
Relacionar as taxas de variação em gráficos
com períodos de crescimento e
decrescimento.
Módulo 3
Funções custo, receita e
lucro
Analisar as funções custo, receita e lucro,
bem como seus gráficos.
Módulo 4
Demanda e a oferta de
produtos
Analisar, por meio de funções, a demanda e
a oferta de produtos a partir do preço
praticado.
Introdução
A Matemática é uma das áreas mais amplas do conhecimento. Ela vai
desde análises abstratas até as aplicações mais corriqueiras do nosso
cotidiano. Praticamente qualquer fenômeno ao nosso redor pode ser
representado matematicamente, e muitas vezes essa representação nos
ajuda a aprender algo importante, ou a solucionar um problema concreto.
Neste estudo, veremos algumas aplicações, com ilustrações tanto teóricas
quanto práticas. Desse modo, você vai se habituar com uma linguagem
que poderá encontrar e usar ao longo dos seus estudos e da sua vida
profissional.
1 - Taxas de variação médias

Ao final deste módulo, você será capaz de calcular taxas de variação médias entre duas grandezas.
Vamos começar!
Os diversos usos das variáveis
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre os
diversos usos das variáveis. Vamos lá!
Taxa de variação média de em
relação a 
No estudo da relação entre variáveis, quando conseguimos quantificá-las,
utilizamos as funções matemáticas, como aquelas que você estudou no ensino
médio, em que, geralmente, expressamos o valor de uma variável em relação à
outra, que costumamos denotar por .

y
x
y
x
Variável dependente
A variável é comumente
chamada de variável dependente.
Variável independente
A variável é comumente
chamada de variável independente.
Para compreender melhor o comportamento da variável dependente em relação
à variável independente, muitas vezes, utilizamos o cálculo da taxa de variação
da primeira em relação à segunda, isto é, quanto que varia para cada unidade
de .
Vamos considerar uma variável dada em função de , ou seja:
A taxa de variação média de em relação a , em um intervalo (para 
 variando de até ), é dada por:
Essa expressão indica o quanto a variável dependente varia para cada unidade
aumentada na variável independente .
É comum representarmos a variação ocorrida em uma variável inserindo a letra
grega ("delta" maiúscula) antes da sua indicação. Por exemplo, a variação da
variável será notada por . Sendo assim, a taxa de variação de em relação
a poderá ser expressa por:
y x
y
x
y x
y = f(x)
y x a ! x ! b
x a b
f(b)"f(a)
b"a
y
x
#
x #x y
x
#y
#x =
f(b)"f(a)
b"a
Algumas vezes, para facilitar representação, os valores e das fórmulas acima
são indicados por e , respectivamente. De forma semelhante, escrevemos:
Utilizando esse tipo de notação, podemos escrever:
Exemplo 1
Dada a função , em que , vamos calcular, inicialmente,
a taxa de variação média de para variando de 2 a .
Nesse caso, consideramos:
 e 
Assim:
 
Consequentemente:
 
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
 
a b
x2 x1
y2 = f(b)$e$y1 = f(a)
#y
#x =
y2"y1
x2"x1
y = f(x) f(x) = 3 + 2x
y = f(x) x 5(2 ! x ! 5)
x1 = 2 x2 = 5
y1 = f (x1) = f(2) = 3 + 2.2 = 3 + 4 = 7
y2 = f (x2) = f(5) = 3 + 2.5 = 3 + 10 = 13
#y
#x =
y2"y1
x2"x1 =
13"7
5"2 =
6
2 = 2
Esse resultado nos diz que há um aumento de 2 unidades na variável para cada
aumento de uma unidade em .
Agora, vamos determinar a taxa de variação média para , variando de 2 a 4.
Nesse caso, temos:
 e 
Já vimos que:
Já o valor de será dado por:
 
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
 
Observe que não houve alteração na taxa média de variação de em relação a .
É que o tipo de relação entre tais variáveis é linear, pois é descrita por uma
função de primeiro grau. Nesse caso, a variação de em relação a é uma
constante. Experimente calcular as taxas médias para outros intervalos de e
note que o resultado será sempre o mesmo.
Exemplo 2
Vamos calcular algumas taxas médias de variação considerando a função:
y
x
x
x1 = 2 x2 = 4
y1 = f (x1) = f(2) = 7
y2
y2 = f (x2) = f(4) = 3 + 2.4 = 3 + 8 = 11
#y
#x =
y2"y1
x2"x1 =
11"7
4"2 =
4
2 = 2
y x
y x
x
y = f(x) = x2 + 2x
Taxa média de variação de em relação a no intervalo .
Comecemos determinando a taxa média de variação de em relação a no
intervalo .
Temos, portanto, e . Assim,
e
A taxa que queremos determinar, então, será dada por:
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Vamos calcular a taxa de variação média nesse caso.
Consideraremos e . Já vimos que e,
além disso, teremos:
Nesse caso, a taxa que queremos determinar será dada por:
y x 0 ! x ! 3
y x
0 ! x ! 3
x1 = 0 x2 = 3
y1 = f (x1) = f(0) = 02 + 2 % 0 = 0
y2 = f (x2) = f(3) =
32 + 2 % 3 = 9 + 6 = 15
#y
#x
=
y2 " y1
x2 " x1
=
15 " 0
3 " 0
=
15
3
= 5
0 ! x ! 2
x1 = 0 x2 = 2 y1 = f (x1) = f(0) = 0
y2 = f (x2) = f(2) =
22 + 2 % 2 = 4 + 4 = 8
O resultado, como vemos, não é o mesmo. Esse tipo de função não apresenta a
taxa de variação constante como a do exemplo anterior.
Exemplo 3
Uma função pode apresentar decrescimento em um trecho e, no outro,
crescimento. Considere a função:
Vamos calcular as taxas de variação média em diferentes intervalos.
Crescimento de em relação a no intervalo .
Vamos calcular a sua taxa de variação média no intervalo . Temos
que: е .
Daí:
e
#y
#x
=
y2 " y1
x2 " x1
=
8 " 0
2 " 0
=
8
2
= 4
f(x) = x3 " 3x2 + x + 3
y x 1 ! x ! 3
1 ! x ! 3
x1 = 1 x2 = 3
y1 = f (x1) = f(1) =
13 " 3 % 12 + 1 + 3 =
1 " 3 + 1 + 3 = 2
y3 = f (x2) = f(3) =
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Aqui, observa-se um crescimento de em relação a .
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Nesse caso, teremos: , .
E:
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Isso indica que houve, em média, decréscimo de uma unidade em quando 
aumentou uma unidade.
33 " 3 % 32 + 3 + 3 =
27 " 27 + 3 + 3 = 6
#y
#x
=
y2 " y1
x2 " x1
=
6 " 2
3 " 1
=
4
2
= 2
y x
1 ! x ! 2
x1 = 1, x2 = 2 y1 = f (x1) = f(1) = 2
y2 = f (x2) = f(2) =
23 " 3 % 22 + 2 + 3 =
8 " 12 + 2 + 3 = 1
#y
#x
=
y2 " y1
x2 " x1
=
1 " 2
2 " 1
=
"1
1
= "1
y x
Exemplo 4
Vejamos mais um exemplo que mostra o cálculo de taxas de variação média,
mas considerando também valores negativos para .
Considere a função:
Vamos determinar a taxa de variação média dessa função no intervalo 
.
Temos e . Daí:
e
Portanto, a taxa média de variação será dada por:
x
f(x) = x2 " 3x " 4
"3 ! x ! "1
x1 = "3 x2 = "1
y1 = f("3) =
("3)2 " 3("3) " 4 =
9 + 9 " 4 = 14
y2 = f("1) =
("1)2 " 3("1) " 4 =
1 + 3 " 4 = 0
#y
#x =
y2"y1
x2"x1 =
0"14
"1"("3)
Como é possível constatar, não há alteração no processo, porém será preciso
atentar-se aos sinais.
Mão na massa
Questão 1
Dada a função , a sua taxa de variação no intervalo 
 é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Considerando e , temos:
e
= "142 = "7

f(x) = 5 " 3x
2 ! x ! 7
A -3
B 5
C -0,6
D -5
E -7
x1 = 2 x2 = 7
f (x1) = f(2) = 5 " 3 % 2 = 5 " 6 = "1
.
Daí:
.
Questão 2
Dada a função , sua taxa de variação no intervalo 
 é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Considerando e , temos:
f (x2) = f(7) = 5 " 3 % 7 = 5 " 21 = "16
#f
#f=
f(x2)"f(x1)
x2"x1
=
"16"("1)
7"2 =
"16+1
5 =
"15
5 = "3
f(x) = "3x2 + x " 4
"1 ! x ! 2
A -3
B -2
C -4
D 0
E 1
x1 = "1 x2 = 2
f (x1) = f("1) = "3 % ("1)2 + ("1) " 4 = "3 " 1 " 4 = "8
e
.
Daí:
.
Questão 3
Se a demanda de certo produto, em milhares de unidades, é dada em
função de seu preço unitário , a taxa de variação média de 
 para o intervalo é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Considere e reais. Assim, temos:
f (x2) = f(2) = "3 % 22 + 2 " 4 = "12 + 2 " 4 = "14
#f
#x =
f(x2)"f(x1)
x2"x1
=
"14"("8)
2"("1) =
"14+8
2+1 =
"6
3 = "2
D
D = 8.500 " 5p
D 500 ! p ! 1.000
A -8 unidades/real.
B 2 unidades/real.
C 5 unidades/real.
D -5 unidades/real.
E -2 unidades/real.
p1 = 500 p2 = 1.000
Portanto, a taxa média de variação da demanda , nesse intervalo, será dada
por:
-5 unidades/real.
Questão 4
Se a quantidade ofertada de certo bem, em toneladas, pode ser expressa
em função do seu preço unitário , em reais, na forma , o
quanto essa quantidade varia, em média, quando o preço sobe de R$150,00
para R$180,00?
D1 = 8.500 " 5.500 = 8.500 " 2.500 = 6.000
D2 = 8.500 " 5 % 1.000 = 8.500 " 5.000 = 3.500
D
#D
#p =
D2"D1
p2"p1 =
3.500"6.000
1.000"500 =
"2.500
500 =
S
p S = 2p " 240
A 240 unidades/real.
B 20 unidades/real.
C 2 unidades/real.
D 12 unidades/real.
E 31 reais/unidade.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Considere e reais. Assim, temos:
e
Portanto, a taxa média de variação da quantidade ofertada , nesse intervalo,
será dada por:
Questão 5
Quando uma função associa o custo de produção de certa utilidade à sua
quantidade produzida q, ela é denominada função custo total dessa utilidade.
A taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida, isto é,
considerando uma variação de 0 a quantidades produzidas, é denominada
custo variável médio de produção e é dada por 
, em que é o custo total para a
produção de unidades dessa utilidade.
Se a função custo total de uma utilidade é dada por 
, qual será o custo variável médio para a
produção de 200 unidades? Considere em unidades e em reais.
p1 = 150 p2 = 180
S1 = 2 % 150 " 240 = 300 " 240 = 60
S2 = 2 % 180 " 240 = 360 " 240 = 120
S
#S
#p =
S2"S1
p2"p1
=
120"60
180"150 =
60
30 = $$2$unidades/real.
CT
CV M(q) = CT(q)"C(0)
q"0 =
CT(q)"C(0)
q
CT(q)
q
CT(q) = 2.000 + q + 0, 1q2
q CT
Parabéns! A alternativa B está correta.
O custo variável médio para é a taxa de variação de para o
intervalo e é dado, nesse caso, por:
como
e
21 unidades/real.
A 20 reais/unidade.
B 21 reais/unidade.
C 18 reais/unidade.
D 16 reais/unidade.
E 56 reais/unidade.
q = 200 CT
0 ! q ! 200
CV M(200) =
CT(200)"C(0)
200
C(200) = 2.000 + 200 + 0, 1 % 2002 = 2.000 + 200 + 4.000 = 6.200$reais$
C(0) = 2.000 + 0 + 0, 1 % 02 = 2.000$reais,$
CV M(200) =
6.200 " 2.000
200
=
4.200
200
=
Questão 6
A população de uma cidade cresce ao ano. Em 2010, eram 40 mil
habitantes. O seu tamanho, anos após 2010, pode ser calculado pela
expressão .
A taxa média de crescimento (aproximada) dessa população entre os anos de
2012 e 2019 é:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para 2012, temos e, em 2019, anos. Então:
e
Portanto, a taxa média de variação da população dessa cidade, de 2012 a
2019, foi de, aproximadamente:
y 5%
x
y = 40.000 % (1 + 0, 05)x
A 1.875 hab/ano.
B 2.125 hab/ano.
C 2.565 hab/ano.
D 2.955 hab/ano.
E 3.150 hab/ano.
x1 = 2 x2 = 9
y1 = 40.000 % (1 + 0, 05)2 = 40.000 % 1, 052 = 40.000 % 1, 1025 = 44.100ha
y2 = 40.000 % (1 + 0, 05)9 = 40.000 % 1, 059 &40.000 % 1, 5513 = 62.052ha
2565 hab/ano.
Teoria na prática
Uma taxa de variação média à qual você certamente já se referiu diversas
vezes é a velocidade média. Ela corresponde à taxa média de variação da
posição de um objeto em relação ao tempo. Considere, por exemplo, um
objeto que se desloca de acordo com a equação (função horária) em que s
corresponde à sua posição, em metros, no instante segundos.
Para determinar sua velocidade média em determinado intervalo de tempo 
, basta calcular a variação média de sua posição nesse intervalo.
Veja como é o movimento desse objeto no vídeo a seguir, no qual vamos
calcular sua velocidade média entre os instantes 1 e 5 segundos.
Carro em movimento
#y
#x =
62.052"44.100
9"2 =
17.952
7 &
_black
t
s(t) = "t2 + 10t
(#t)

Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A taxa de variação média de em relação a , em determinado intervalo,
representa:
Parabéns! A alternativa A está correta.
A taxa de variação de uma variável em relação à outra variável indica
Mostrar solução
y x
A
Quantas unidades varia, em média, para cada aumento de
uma unidade em nesse intervalo.
y
x
B Quantas unidades variou no intervalo considerado.x
C Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.y
D Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.x
E
Quantas unidades varia, em média, para cada aumento de
uma unidade em nesse intervalo.
x
x
y x
quantas unidades aumentam ou diminuem, em média, cada vez que a
variável é aumentada em uma unidade.
Questão 2
Se a taxa de variação média de uma função com variando de 1 a 6 é
igual a 10, então é correto concluir que:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Então, .
y
x
f(x) x
A f(1) = 10
B f(6) = f(1) + 10
C f(6) " f(1) = 10
D f(6) " f(1) = 50
E f(6) = 10
f(6)"f(1)
6"1 = 10
f(6) " f(1) = 10 % (6 " 1) = 50
2 - Taxas de variação em gráficos
Ao final deste módulo, você será capaz de relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos
de crescimento e decrescimento.
Vamos começar!
Representando Funções em Gráficos
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre a
representação de funções em gráficos. Vamos lá!

Análises gráficas e representações
geométricas
Já vimos, no módulo anterior, como determinar a taxa de variação, isto é, de
crescimento ou decrescimento de uma variável em relação à outra por meio dos
valores calculados a partir das funções que as relacionam. No entanto, toda
função matemática pode ser representada graficamente e, por conseguinte, a
análise da taxa de variação também.
Veremos como é possível examinar a variação de uma variável em relação à
outra com base em análises gráficas e como representá-la geometricamente.
Considere uma função e um intervalo no qual ela está
definida.
A próxima imagem mostra a variação de e a variação de 
para o intervalo dado.
Os pontos A e B têm coordenadas e , respectivamente.
A reta que passa por esses pontos tem inclinação que muda de acordo
com a taxa de variação média da função em relação a no intervalo 
.
Seu coeficiente angular corresponde a essa taxa de variação. Se a taxa de
variação aumentar, por exemplo, a reta apresentará inclinação mais
acentuada.
Taxa de variação média: interpretação gráfica.
y = f(x) a ! x ! b
y(#y) x(#x)
(a, f(a)) (b, f(b))
f(x) x
a ! x ! b
Para determinar se um gráfico apresenta tendência de crescimento ou
decrescimento em um intervalo dado, basta calcular a taxa de variação média
nesse intervalo ou verificar se a reta que une os dois pontos correspondentes ao
intervalo é crescente (coeficiente angular positivo) ou decrescente (coeficiente
angular negativo).
Exemplo 1
Considere o gráfico abaixo.
Vamos determinar a taxa de variação média de em relação a , inicialmente,
para o intervalo Temos, nesse caso, e 
.
Logo, a taxa de variação média é:
Observe que, se considerarmos outro intervalo qualquer, como, por exemplo, 
, a taxa de variação média permanecerá igual, pois se trata de um
gráfico com comportamento linear.
Para esse último intervalo, temos e .
Portanto, a taxa de variação média é:
y x
2 ! x ! 6. #x = 6 " 2 = 4
#y = 6 " 4 = 2
#y
#x =
2
4 = 0, 5
2 ! x ! 4
#x = 4 " 2 = 2 #y = 5 " 4 = 1
#y
#x =
1
2 = 0, 5
Exemplo 2
Vamos calcular as taxas médias de variação apresentadas pelo gráfico a seguir
para os intervalos e .
Considerandoe , teremos e . Portanto, a taxa
média de variação de em relação a será dada por:
Agora, se considerarmos e , teremos e .
Portanto, a taxa média de variação de em relação a será dada por:
1 ! x ! 3 "1 ! x ! 2
x1 = 1 x2 = 3 y1 = 2 y2 = 6
y x
#y
#x
=
y2 " y1
x2 " x1
=
6 " 2
3 " 1
=
4
2
= 2
x1 = "1 x2 = 2 y1 = "2 y2 = 1
y x
#y
#x
=
y2 " y1
x2 " x1
=
1 " ("2)
2 " ("1)
=
3
3
= 1
Mão na massa
Questão 1
No gráfico apresentado, a taxa de variação de quando varia de —2 a 4 é:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para , temos e para , temos .
Portanto:

y x
A -3,5
B -2,3
C -1,5
D -1,2
E -0,7
x1 = "2 y1 = 4 x2 = 4 y2 = "5
Questão 2
A taxa de variação da função, representada pelo gráfico, para variando de 2
a 5 é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
#y
#x =
y2"y1
x2"x1
=
"5"4
4"("2) =
"9
6 = "1, 5
x
A 0,5
B -0,4
C -0,25
D -0,5
E 0
Para , temos e para , temos .
Portanto:
.
Questão 3
A taxa de variação da função representada pelo gráfico acima para 
variando de -4 a -3 é:
x1 = 2 y1 = 1, 2 x2 = 5 y2 = 0
#y
#x =
y2"y1
x2"x1
=
0"1,2
5"2 =
"1,2
3 = "0, 4
x
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para , temos e para , temos .
Portanto:
.
Questão 4
No gráfico, considere os intervalos —1 ≤ ≤ 2 e 0 ≤ ≤ 3.
Suas taxas médias de crescimento são, respectivamente:
A -2,4
B 1,25
C -3,2
D -4,8
E 0
x1 = "4 y1 = "1 x2 = "3 y2 = "3, 4
#y
#x =
y2"y1
x2"x1
=
"3,4+1
"3+4 =
"2,4
1 = "2, 4
x x
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para analisarmos a maior taxa média de crescimento, uma das formas é
traçar as retas passando pelos pontos definidos pelos intervalos, como
mostrado no gráfico a seguir. Porém, observe que, aparentemente, não há
diferença nas inclinações dessas retas.
Para termos certeza de que há ou não diferença, determinaremos as taxas de
A 2 e 2
B 3 e 2
C 2 e 3
D 3 e 3
E 8 e 7
variação nesses dois casos. Para o intervalo —1 ≤ ≤ 2, temos:
 e .
A taxa de variação média é, portanto:
.
Para o intervalo 0 ≤ ≤ 3, temos:
 e .
A taxa de variação média é, portanto:
.
Questão 5
O gráfico representa a produção de aço de uma mineradora no período de
2013 a 2019.
A taxa média de variação aproximada na produção de aço nesse período é:
x
x1 = "1; x2 = 2; y1 = 3 y2 = 9
#y
#x =
9"3
2"("1) =
6
3 = 2
x
x1 = 0; x2 = 3; y1 = 1 y2 = 7
#y
#x =
7"1
3"0 =
6
3 = 2
Parabéns! A alternativa D está correta.
Em 2013, podemos considerar uma produção de 4,5 toneladas. Em 2019, ela
passa a ser de 5 toneladas. Sendo assim, a taxa média de variação nesse
período é dada por:
 0,083 ton/ano.
Questão 6
O gráfico mostra a evolução do consumo de certo cereal entre os anos de
2010 e 2015 em uma grande região.
Sabe-se que, de 2015 a 2019, houve uma redução de 20% na taxa média de
consumo, se comparada ao período 2010-2015. Sendo assim, qual foi a
quantidade consumida desse cereal em 2019?
A 0,75 ton/ano.
B -0,025 ton/ano.
C 0,097 ton/ano.
D 0,083 ton/ano.
E 0,5 ton/ano.
5,0$ton$"4,5$ton$
(2019"2013)$anos$ =
5,0$ton$"4,5$ton$
6$anos$ &
Parabéns! A alternativa B está correta.
Vemos que, de 2010 a 2015, houve um aumento de 0,75 ton no consumo
desse cereal. Como o período é de 5 anos, concluímos que a taxa média de
variação é:
 0,15 ton/ano.
Como, no período entre 2015 e 2019, houve diminuição da taxa média de
variação em 20%, concluímos que essa taxa foi de:
 ton ano.
A 1,87 ton.
B 2,98 ton.
C 3,15 ton.
D 3,75 ton.
E 2,00 ton.
0,75$ton$
5$anos$ =
(1 " 0, 20) % 0, 15 = 0, 80 % 0, 15 = 0, 12 /
Teoria na prática
O cálculo da taxa média de variação é utilizado em diversas situações das
mais diversas áreas. Inclusive, já vimos algumas dessas aplicações.
No campo da Economia e das Finanças, um conceito bastante utilizado é o de
custo marginal, que consiste na mudança no custo total de produção
resultante da variação em uma unidade da quantidade produzida.
Para melhor compreensão, apresentaremos, adiante, uma situação de análise
de custos.
Quando se produz certa utilidade, é importante analisar os custos de
produção e a receita gerada pela sua comercialização. Dessa forma, torna-se
possível a avaliação dos lucros obtidos em tal processo. Dois dos principais
conceitos que devem ser considerados nessa análise são: custo variável
médio e custo marginal.
Em situações em que se conhece a função que modela o custo de produção,
utilizamos um conceito que foge ao escopo desse texto, que é o de derivada
de uma função para definir e obter o custo marginal. Porém, quando os custos
são analisados com base em tabelas que os relacionam com a quantidade
produzida, esse conceito remete ao uso da taxa de variação média.
Quantidade de garrafas Custo total (R$)
0 5.000,00
1.000 11.000,00
1.500 12.000,00
1.800 14.000,00
2.000 17.000,00
_black
O gráfico a seguir representa os dados dessa tabela.
Como seria o cálculo do custo fixo, custo variável médio e custo marginal
médio?
Quantidade de
garrafas
Custo total (R$) Custo marginal
0 5.000 -
1.000 11.000 6.000
1.500 12.000 1.000
1.800 14.000 2.000
2.000 17.000 3.000
Mostrar solução
Note que, quando aumentamos a quantidade produzida de 1.000 para 1.500
unidades, o custo total varia R$1.000,00, ou seja, cada unidade produzida a mais,
nesse intervalo, gera um aumento de R$2,00 no custo total.
Esse é o custo marginal médio do intervalo, e é o menor dos valores
apresentados. Entretanto, quando a produção passa de 1.800 para 2.000
unidades, o custo marginal é demasiadamente grande.
Isso indica que o cenário é mais favorável à produção quando a quantidade
produzida gira em torno de 1.500 unidades, e menos favorável quando ela se
aproxima de 2.000 unidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considerando dois pontos e em um gráfico, a
taxa de variação média de para o intervalo é dada por:
A = (x1, y1) B = (x2, y2)
y x1 ! x ! x2
Parabéns! A alternativa C está correta.
A taxa de variação de uma variável em relação à outra variável indica
quantas unidades aumentam ou diminuem, em média, cada vez que a
variável é aumentada em uma unidade. Portanto, ela será dada por:
.
Questão 2
Considere o gráfico a seguir, que mostra os custos totais de produção de
certa utilidade para determinadas quantidades produzidas.
O custo variável médio quando são produzidos 40kg dessa utilidade é:
A
y2
y1
B
y2
x2
C
y2"y1
x2"x1
D
x2"x1
y2"y1
E
y2"x2
y1"x1
y x
y
x
y2"y1
x2"x1
Parabéns! A alternativa B está correta.
O custo variável médio para certa quantidade é a taxa de variação do custo
total quando a produção varia de 0 a essa quantidade. Portanto, a solução
será dada por:
A 180 R$/kg.
B 160 R$/kg.
C 72,00 R$/kg.
D 32,50 R$/kg.
E 175 R$/kg.
7.200"800
40"0 =
6.400
40 = 160R$/kg.$
3 - Funções custo, receita e lucro
Ao final deste módulo, você será capaz de analisar as funções custo, receita e lucro, bem como seu
gráficos.
Vamos começar!
Funções Matemáticas Aplicadas à Área
Financeira
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre as
funções matemáticas aplicadas à área financeira. Vamos lá!

Funções custo, receita e lucro
totais
As funções matemáticas, das mais elementares às mais complexas, são
utilizadas nas análises de variação de duas grandezas, uma em relação à outra,
em vários cenários e têm uma infinidade de aplicações práticas. Neste módulo,
serão abordadas as funções custo, receita e lucro totais.
Elas são largamente utilizadas na Administração, Economia, nas Ciências
Contábeis e em áreas afins.
A função custo total de uma utilidade relaciona o seu custo total de
produção com a quantidade produzida que é dada pela soma dos
custos fixos e dos custos variáveis , como a seguir:
Os custos variáveis, geralmente, são obtidos pela multiplicação do custo
unitário pela quantidade produzida q. Dessa forma, a função custo total
pode ser expressa por:
Observe que esse é o formato de uma funçãode primeiro grau. Apesar de
poder assumir outras formas, a função custo total geralmente apresenta
Função custo total 
CT
CF CV
CT = CF + CV
c
CT = CF + c % q
esse tipo de comportamento linear.
Os custos fixos são aqueles que não estão diretamente relacionados à
produção. Eles são compostos, por exemplo, pelo aluguel que a empresa
paga pela instalação, pelos salários de seus colaboradores etc. Mesmo
que, em determinado período, não seja produzida nenhuma unidade do
produto, o custo fixo ocorre. Já o custo variável é aquele que tende a
variar de forma direta à quantidade produzida: quanto mais se produz,
maior é o custo variável (total). Se nenhuma unidade for produzida, o
custo variável será nulo.
A função receita total de uma utilidade relaciona o valor total recebido 
 pela comercialização de unidades dessa utilidade e é expressa pelo
produto entre o seu preço unitário e a quantidade comercializada, como
a seguir:
Apesar de expressa em relação a duas variáveis (preço e quantidade),
conseguimos representá-la com função apenas da variável . Isso porque
o preço pode ser fixado ou expresso em relação à quantidade. Quando o
preço é fixo, a função receita tem comportamento linear. Porém,
quando o preço se relaciona com a quantidade (por meio de uma função
de demanda, como veremos no próximo módulo), assume outras formas,
como, por exemplo, a de uma função quadrática, cujo gráfico é uma
parábola.
O ponto no qual o custo se iguala à receita é denominado ponto de
nivelamento. Ele é importante na determinação da meta de produção e
venda, pois, a partir dele, começa-se a verificar a ocorrência de lucro.
A função denominada função lucro total associa, a cada
Função receita total 
RT q
p
RT = p % q
q
p
Função lucro total 
(LT)
quantidade q produzida e comercializada, a diferença entre as
respectivas funções receita total e o custo total. Sua forma é:
Ela fornece o lucro obtido com a produção e comercialização de q
unidades de uma utilidade, podendo assumir valores negativos (prejuízo),
positivos (lucro), ou até mesmo ser nula. Neste último caso,
consideramos que custo e receita se igualam.
Exemplo
Para produzir certa utilidade, uma fábrica gasta R$10,00 por unidade, além de
uma despesa fixa (que independe da quantidade produzida) de R$800,00. Cada
unidade produzida é vendida por R$14,00.Temos:
Custo fixo: = R$800,00.
Custo unitário: = R$10,00.
Preço unitário de venda: = R$14,00.
Para expressar o custo total em relação à quantidade produzida ,
colocamos esses valores na expressão:
Assim, temos:
A função receita total tem a forma:
LT = RT " CT
CF
c
p
CT q
CT = CF + c % q
CT = 800 + 10 % q
Nesse caso, ela é expressa por:
O ponto de nivelamento é aquele em que custos e receita se igualam. Para
determiná-lo, começamos resolvendo a equação:
Concluímos, portanto, que, quando são produzidas e comercializadas 200
unidades, não há lucro nem prejuízo, pois receita e custo assumem o mesmo
valor.
Para determinar esse valor, basta substituir q por 200 na função custo ou receita.
Veja:
ou
Logo, o ponto de nivelamento será dado por (200, 2.800).
A seguir, veja o gráfico com as funções custo e receita e com o ponto de
nivelamento.
RT = p % q
RT = 14 % q
RT = CT
14q = 800 + 10q
14q " 10q = 800
4q = 800
q =
800
4
q = 200
CT(200) = 800 + 10 % 200 = 800 + 2.000 = 2.800$reais$
RT(200) = 14 % 200 = 2.800$reais$
Observe, no gráfico, que o encontro dos segmentos que representam as funções
custo e receita ocorre quando . À esquerda desse ponto, o custo supera
a receita, indicando, portanto, que, para (quantidades inferiores a 200
unidades), ocorre prejuízo. À direita, é a receita que supera o custo, indicando
que, para , ocorre lucro.
A função lucro total pode ser obtida considerando:
Daí, temos:
Inserindo a representação dessa função no mesmo gráfico em que estão
representadas as funções custo total e receita total, podemos comparar as
variações dessas três funções. Veja a seguir:
q = 200
q < 200
q > 200
LT
LT = RT " CT
LT = 14q " (800 + 10q)
LT = 14q " 800 " 10q
LT = 4q " 800
Note que o segmento que representa a função lucro total intercepta o eixo
horizontal no valor = 200 (isso significa que o lucro é igual a zero quando a
quantidade é igual a 200), que é a mesma quantidade do ponto de nivelamento,
pois, quando receita e custo se igualam, o lucro é nulo.
A função lucro total pode ser utilizada para estimar o lucro obtido com a venda
de certa quantidade q dessa utilidade e para determinar qual quantidade deve
ser produzida e vendida para que determinada meta de lucro seja alcançada. Por
exemplo, se queremos determinar o lucro quando são produzidas e
comercializadas 500 unidades, fazemos:
Agora, se pretendemos determinar qual quantidade deve ser produzida para que
o lucro seja de, por exemplo, R$3.000,00, devemos resolver a equação:
Isto é:
Mão na massa
q
LT(500) = 4.500 " 800 = 2.000 " 800 = 1.200$reais$
LT(q) = 3.000
4q " 800 = 3.000
4q = 3.000 + 800
4q = 3.800
q = 3.8004
q = 950

Questão 1
Para certa utilidade, a função custo total, em reais, para uma quantidade
produzida q, em quilogramas, é dada por C(q) = 3.000 + 50q.
Analise os gráficos a seguir e marque a alternativa com o gráfico que
representa essa função no intervalo 0 ≤ q ≤ 200 é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Como a função é de primeiro grau, seu gráfico é parte de uma reta. Portanto,
basta tomarmos dois pontos para traçá-lo. Vamos considerar, para obtê-los,
as quantidades limites 0 e 200.
 reais
 reais
Considerando os pontos obtidos anteriormente, temos:
A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
D Imagem 4
E Imagem 5
q = 0 ' C(0) = 3.000 + 50 % 0 = 3.000
q = 200 ' C(200) = 3.000 + 50 % 200 = 3.000 + 10.000 = 13.000
Questão 2
As funções custo total e receita total referentes a certo componente
eletrônico são:
e
O seu ponto de nivelamento é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
O ponto de nivelamento é aquele em que . Portanto, obtemos a
quantidade (q) desse ponto resolvendo a equação abaixo:
.
CT = 4.000 + 12q
RT = 20q
A (125; 2.500)
B (600; 12.000)
C (600; 12.000)
D (500; 10.000)
E (125,1.500)
RT = CT
RT = CT
20q = 4.000 + 12q
8q = 4.000
q = 500
Substituindo esse valor na função receita total (pode ser também na função
custo total), chegamos a:
 reais.
Logo, o ponto de nivelamento será dado por: (500; 10.000).
Questão 3
O gráfico representa a função custo total referente a certo bem.
O custo fixo de produção desse bem e o seu custo unitário (variável) são,
respectivamente:
RT(500) = 20.500 = 10.000
Parabéns! A alternativa C está correta.
O custo fixo corresponde ao valor do custo total quando . Observe, no
gráfico, que esse valor é R$1.000,00 (valor do eixo vertical).
Já o custo variável unitário é a taxa de variação média (quando a função é de
primeiro grau) do custo para q variando de 0 até qualquer outro valor positivo.
Observe, no gráfico, que, quando , temos reais e, quando 
, temos reais. Portanto, a taxa de variação será dada por:
25 reais/unidade.
Questão 4
A R$1.000,00 e R$50,00.
B R$5.000,00 e R$10,00.
C R$1.000,00 e R$25,00.
D R$5.000,00 e R$50,00.
E R$0,00 e R$30,00.
q = 0
q = 0 CT = 1.000
q = 200 CT = 6.000
#CT
#q =
6.000"1.000
200"0 =
5.000
200 =
Dadas as funções custo total e receita total e 
, o gráfico de sua função lucro total no intervalo é:
CT = 2.500 + 150q
RT = 280q 0 ! q ! 100
Parabéns! A alternativa C está correta.
Primeiro, vamos obter a expressão que fornece o lucro total desse produto
em relação à sua quantidade produzida e vendida. Temos:
.
Escolhendo valores arbitrários para , tais como e , temos:
 reais
e
reais.
A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
D Imagem 4
E Imagem 5
LT = RT " CT
LT = 280q " (2.500 + 150q)
LT = 280q " 2.500 " 150q
LT = 130q " 2.500
q q = 0 q = 100
LT(0) = 130 % 0 " 2.500 = 0 " 2.500 = "2.500
LT(1.000) = 130 % 100 " 2.500 = 13.000 " 2.500 = 10.500
Localizando essesdois pontos no gráfico e traçando um segmento por eles,
obtemos o gráfico a seguir:
Questão 5
Uma empresa fabrica apenas um modelo de camiseta e sabe-se que, no mês
em que são fabricadas 500 camisetas, o custo total de produção é de
R$22.000,00. Já no mês em que são fabricadas 1.000 camisetas, esse custo
passa a ser de R$30.000,00.
Considerando que o custo total é representado por uma função de primeiro
grau, é correto concluir que o custo fixo de produção desse modelo de
camiseta é:
A R$14.000,00
B R$22.000,00
C R$12.000,00
D R$8.000,00
E R$16.000,00
Parabéns! A alternativa A está correta.
O custo total tem a forma . Como a função é de primeiro grau,
temos . , e o custo unitário , nesse caso, é dado pela taxa de
variação média do custo total para qualquer intervalo. Considerando o
intervalo , temos:
Agora, considerando, por exemplo, que o custo total para produzir 500
camisetas foi de R$22.000,00, temos:
 reais.
Questão 6
As funções custo total e receita total, dadas em reais, para determinado bem
são, respectivamente:
 e 
Onde (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada. Qual deve
ser a quantidade (aproximada) produzida e comercializada desse bem para
que o lucro seja igual a R$60.000?
CT = CF + CV
CV = c q c
500 ! q ! 1.000
C = #CT#q =
30.000"22.000
1.000"500 =
8.000
500 = 16
CF + 16 % 500 = 22.000
CF + 8.000 = 22.000
CF = 14.000
C = 50.000 + 400q R = 700q
q
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para determinarmos a função lucro desse bem, devemos subtrair o custo da
receita:
.
Igualando-se o lucro a R$60.000 e resolvendo a equação resultante,
chegamos ao valor solicitado:
 ton (aprox.).
A 367 ton.
B 350 ton.
C 338 ton.
D 383 ton.
E 393 ton.
L = R " C
L = 700q " (50.000 + 400q)
L = 700q " 50.000 " 400q
L = 300q " 50.000
300q " 50.000 = 60.000
300q = 110.000
q = 367
Teoria na prática
Os custos de produção são avaliados em diversas situações, como, por
exemplo, no estudo da viabilidade de instalação de produção em
determinadas filiais ou regiões. Assim, as funções custo e receita são
primordiais nesse tipo de estudo.
(Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – 2012 – Administração –
Questão 13) As decisões sobre a localização de empresas são estratégicas e
integram o planejamento global do negócio. Considerando que o preço de
venda da grande maioria dos bens produzidos é estabelecido pelo mercado, é
preciso que as empresas conheçam em detalhes os custos nos quais
incorrerão em determinada localidade. O modelo padrão custo-volume-lucro é
útil na decisão de localização. A figura a seguir apresenta, em um único
gráfico, as curvas de custo total versus a quantidade produzida mensalmente
para as cidades de Brasília, São Paulo e Goiânia, as quais foram previamente
selecionadas para receber uma nova fábrica de brinquedos. Sabe-se que a
receita total é a mesma para as três localidades e que a decisão com base no
lucro esperado em cada localidade varia com a quantidade produzida.
A análise do modelo de custo-volume-lucro apresentado no gráfico revela que:
A) São Paulo é a localidade que proporcionará maior lucro para a nova fábrica,
se a quantidade mensal a ser produzida variar entre 5.000 e 10.000 unidades,
considerando a estrutura de custos apresentada.
B) São Paulo é a cidade na qual deve ser instalada a nova unidade produtiva,
se a quantidade a ser produzida mensalmente for maior que 7.500 unidades,
pois, a partir desse volume de produção, é a localidade que proporcionará
maior lucro.
_black
C) Brasília é a localidade mais indicada para receber a nova fábrica para
volumes de produção mensal inferiores a 5.000 unidades, pois é a cidade que
viabilizará maior lucro.
D) Goiânia deve receber a instalação da nova fábrica, se a quantidade
produzida mensalmente for superior a 10.000 unidades, tendo em vista que,
nas condições apresentadas, é a cidade que poderá dar maior lucro.
E) Tanto Goiânia quanto Brasília podem receber a nova fábrica, se o objetivo é
produzir uma quantidade mensal exatamente igual a 5.000 unidades,
considerando que o lucro será o mesmo nas duas localidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(Enade 2015 – Tecnologia em Gestão da Qualidade – adaptada) Suponha que
uma empresa – cujo faturamento anual é de R$840 milhões, o custo unitário
do produto é de R$350,00 e o preço de venda é de R$420,00 por unidade –
esteja estudando alterar o processo de gestão de qualidade a fim de gerar um
aumento de 10% na quantidade de produtos vendidos. Considerando esse
novo cenário de vendas, o incremento no valor do lucro final é de:
Mostrar solução
Parabéns! A alternativa B está correta.
Se o preço de venda é de e o faturamento (receita total) é de
R$$40.000.000,00, então a quantidade vendida é igual a 2. 
 unidades ao ano. Com um aumento de nessa quantidade, a
empresa espera vender unidades, o que proporcionará um
aumento de também no faturamento, que deverá ir para
R$924.000.000,00.
Antes, o custo variável era de 350 · 2.000.000 = 700.000.000 reais.
Ocorrendo o aumento esperado de 10% na quantidade vendida (e produzida),
o custo variável irá para 350·2.200.000 = 770.000.000 reais.
Observe que se espera um incremento de 84 milhões no faturamento e de 70
milhões no custo. No lucro, portanto, o incremento será de 14 milhões.
Questão 2
(Enade 2006 – Administração – Questão 32 – adaptada)
A R$2 milhões
B R$14 milhões
C R$16,8 milhões
D R$70 milhões
E R$84 milhões
R$420, 00
840.000.000
420 =
000. 000 10%
2.200.000
10%
A figura a seguir representa os custos de diferentes formas de processos de
produção (celular, automatizada e intermitente) e a receita de vendas de
determinado produto.
Considerando a figura, analise as afirmações a seguir:
I. Se for esperado um volume de produção abaixo de 10.000, a manufatura
intermitente é a preferível; entre 10.000 e 43.000, a manufatura celular é a
preferível; acima de 43.000, a manufatura automatizada é a preferível.
Porque
II. Os pontos de equilíbrio (quantidade/valor para os quais as receitas igualam
os custos) são de 27.000, 30.000 e 40.000, respectivamente, para as
manufaturas celular, automatizada e intermitente. A respeito das informações
anteriores, conclui-se que:
Parabéns! A alternativa B está correta.
A primeira afirmação é correta, pois podemos notar que, para cada um dos
intervalos citados, as formas de produção que geram menor custo são
aquelas cujos gráficos de custo estão abaixo dos demais, o que significa que
geram maior lucro (já que a função receita independe, nesse caso, da forma
de produção).
A segunda também está correta, pois os pontos de equilíbrio para as
diferentes formas de produção são aqueles em que os gráficos das
respectivas funções custo interceptam o gráfico da função receita.
No entanto, a segunda afirmativa não justifica a primeira, porque os pontos de
equilíbrio comparam cada modelo de produção com a receita e não entre si.
A
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a
primeira.
B
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica
a primeira.
C A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
D A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
E Ambas as afirmações são falsas.
4 - Demanda e a oferta de produtos
Ao final deste módulo, você será capaz de analisar, por meio de funções, a demanda e a oferta de
produtos a partir do preço praticado.
Vamos começar!
Definições das Funções: Demanda, Oferta
e Preço de Equilíbrio
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre as
definições das funções: demanda, oferta e preço de equilíbrio. Vamos lá!

Análise das funções demanda e
oferta
Duas funções matemáticas largamente utilizadas no campo da Economia são a
demanda e a oferta. Delas deriva o preço de equilíbrio de mercado, que é peça
fundamental em diversas análises econômicas.
Demanda ou quantidade demandada 
A demandaou quantidade demandada de certa utilidade (bem ou serviço) a
um preço unitário é a soma das quantidades que todos os compradores do
mercado desejam e estão aptos a adquirir a esse preço em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e de uma utilidade é
denominada função demanda dessa utilidade.
A tendência que, geralmente, se observa é que, se o preço aumenta, a
quantidade demandada cai, pois o produto torna-se menos interessante para o
consumidor.
QD
QD
P
QD P
Porém, se o preço cai, a demanda tende a subir.
Oferta e preço são grandezas que costumam variar no mesmo sentido.
Oferta ou quantidade ofertada 
A oferta ou quantidade ofertada de uma utilidade (bem ou serviço) a um
preço unitário é a soma das quantidades que todos os fornecedores ou
produtores estão aptos e dispostos a vender desse produto ao preço em certo
período.
A função matemática que relaciona as variáveis e é denominada função
oferta dessa utilidade.
Com relação ao estudo da quantidade ofertada e do preço, a tendência que
geralmente se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade ofertada
aumenta, pois o produto torna-se mais atrativo para quem o fornece. Porém, se o
preço cai, a oferta também tende a cair.
Preço 
O preço P de uma utilidade para a qual as quantidades demandada e ofertada se
igualam é denominado preço de equilíbrio de mercado ou, simplesmente, preço
de equilíbrio.
QO
Q0
P
P
Q0 P
P
Preço superior ao de
equilíbrio
Se o preço praticado for superior ao de
equilibrio, a demanda será inferior à
oferta e, dessa forma, haverá sobra do
produto no mercado.
Preço inferior ao de
equilibrio
Se o preço praticado for inferior ao de
equilíbrio, a oferta será maior que a
demanda, provocando falta ou
escassez do produto no mercado.
Por tais motivos, é desejável um preço que se aproxime do preço de equilíbrio.
Representação gráfica
Recorrer à representação gráfica das funções demanda e oferta é bastante útil
para facilitar suas análises e a do ponto de equilíbrio. O gráfico a seguir mostra
uma situação genérica que representa tais elementos.
Exemplo
Certo produto tem sua quantidade demanda e sua quantidade ofertada 
dadas, respectivamente, por:
e
QD Q0
QD = 10.000 " 15p
 é o preço unitário de venda e varia de 100 a 500 reais.
Nesse caso, as duas funções são de primeiro grau, isto é, são representadas
graficamente por um segmento de reta no intervalo designado. Portanto, para
traçá-las, podemos tomar apenas dois pontos de cada.
Vamos considerar os preços R$100 e R$500, que são os extremos do intervalo
considerado, para calcular os valores apresentados na tabela a seguir.
Preço (R$)
Quantidade
Demandada
Quantidade
Ofertada
100 8.500 1.300
500 2.500 11.300
Tabela: Preço / Quantidade demandada / Quantidade ofertada.
André Luís Corte Brochi.
Outro ponto que já podemos localizar no gráfico é o ponto de equilíbrio. Para
obtê-lo algebricamente, basta resolver a equação a seguir:
Q0 = "1.200 + 25p
P
Qo = QD
"1.200 + 25p = 10.000 " 15p
25p + 15p = 10.000 + 1.200
40p = 11.200
p = 11.20040
p = 280$reais
Esse é, portanto, o preço de equilíbrio.
A quantidade de equilíbrio pode ser obtida substituindo esse valor em qualquer
uma das funções, demanda ou oferta. Substituindo-o na função demanda,
temos:
Logo, o ponto de equilíbrio é a interseção entre 280 e 5.800. Esse ponto, bem
como as funções demanda e oferta, é apresentado no gráfico a seguir.
Pela análise do gráfico, podemos concluir que:
Falta
À medida que os preços vão se
afastando de R$280,00 para
valores menores, a tendência é que
haja falta do produto no mercado,
já que a demanda superará a
oferta.
Sobra
No caso de preços maiores que o
preço de equilíbrio, a oferta deverá
superar a demanda, portanto
haverá sobra desse produto no
mercado.
QD = 10.000 " 15.280 = 10.000 " 4.200 = 5.800$unidades$
As funções demanda nem sempre são representadas por segmentos de reta.
Elas podem ser de outros tipos, como quadráticas, exponenciais, logarítmicas,
entre outros formatos. Contudo, o tipo de análise gráfica que fizemos há pouco
pode ser realizado quaisquer que sejam os tipos de funções que caracterizam
essas duas variáveis em relação ao preço.
Na prática, diferentemente das funções custo, receita e lucro que vimos no
módulo anterior, as funções demanda e oferta são obtidas por meio de
processos estatísticos. Esses, por sua vez, obtêm equações relacionando duas
variáveis a partir de levantamentos, para, assim, obter valores associados
dessas variáveis.
Mão na massa
Questão 1
1. A função demanda , em toneladas, de certo produto é dada por 
, em que é o seu preço por tonelada. O seu preço atual 
proporciona demanda de 80 toneladas. O valor de :

QD
QD = 200 " 3p p pO
pO
A é menor do que R$30,00.
B é maior do que R$50,00.
C está entre R$32,00 e R$37,00.
D está entre R$39,00 e R$45,00.
E está entre R$30,00 e R$32,00.
Parabéns! A alternativa D está correta.
Igualando a demanda a 80 toneladas, temos:
.
Questão 2
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por:
e
O ponto de equilíbrio desse produto é:
200 " 3p = 80
"3p = "120
p = "120"3
p = 40
QD = 3.600 " 28p
QO = 20p " 1.200
A (100; 800)
B (120; 560)
C (800; 100)
D (560; 120)
E (560; 120)
Parabéns! A alternativa A está correta.
Igualando a demanda e a oferta, o preço de equilíbrio pode ser obtido da
seguinte forma:
.
A quantidade de equilíbrio pode ser dada pelo valor da demanda ou da oferta
quando .
Substituindo esse valor na função oferta, temos:
Portanto, o ponto de equilíbrio será: (100; 800).
Questão 3
A demanda de um produto é de 1.300 unidades quando seu preço é de
R$42,00. Sabe-se que a função que relaciona sua quantidade demanda com
seu preço é do primeiro grau. Além disso, cada aumento de R$1,00 em seu
preço unitário causa uma queda de 25 unidades na sua demanda. Denotando
por D sua quantidade demandada e por p seu preço unitário de venda, a
função que representa corretamente a relação entre essas duas variáveis é:
QO = QD
20p " 1.200 = 3.600 " 28p
20p + 28p = 3.600 + 1.200
48p = 4.800
p = 100
p = 100
Q0 = 20 % 100 " 1.200 = 2.000 " 1.200 = 800
Parabéns! A alternativa B está correta.
.
Nessa forma, a é seu coeficiente angular e , seu intercepto. Como a função
cai 25 unidades para cada aumento de R$1,00 no preço, então .
Além disso, sabe-se que quando . Então:
.
Logo, a função procurada é: .
Questão 4
A relação entre a quantidade vendida de certo produto relaciona-se com seu
preço de forma linear. Sabe-se que a redução no preço de R$50,00 para
A D = "p + 1.300
B D = "25p + 2.350
C D = 25p " 2.350
D D = p " 1.300
E D = 21p + 6.500
D = ap + b
b
a = "25
D = 1.300 p = 42
1.300 = "25 % 42 + b
1.300 = "25 % 42 + b
1.300 + 1.050 = b
b = 2.350
D = "25p + 2.350
R$40,00 aumenta a quantidade vendida de 200 para 250 unidades. Se
denotarmos por a quantidade vendida e por o preço do produto, a
expressão que relaciona corretamente essas variáveis é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
O coeficiente angular dessa reta (função do primeiro grau) é a taxa de
variação da quantidade em relação ao preço. Então:
.
Como a equação dessa reta tem a forma , com e
considerando que é um de seus pontos, podemos escrever:
.
A expressão que relaciona corretamente as variáveis (p) e (q) para esse
q p
A q = "10p + 50
B q = 5p " 450
C q = 10p " 50
D q = "5p + 450
E q = 10p + 450
a
a = 250"20040"50 =
50
"10 = "5
q = ap + b a = "5
(40, 250)
250 = "5.40 + b
250 = "200 + b
b = 450
produto é, portanto:
.
Questão 5
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente,
por:
e
Considerando que as quantidades e são positivas, os valores de preço
para os quais haverá sobra desse bem no mercado será dado pelo intervalo:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Igualando as funções dadas, temos:
q = "5p + 450
D S
D = 80 " 5p
S = 3p " 18
D S
A (0 < p < 16)
B (12,25 ≤ p < 16)C (0 < p < 12,25)
D (3 < p < 5).
E (0 < p < 3)
.
Para que a demanda seja positiva, o preço tem de ser menor que 16.
Sendo assim, o intervalo para o qual haverá sobra desse bem no mercado (a
demanda será menor que a oferta), a ponto de as duas funções, e , serem
positivas é .
Questão 6
Dadas (demanda) e (oferta), o preço de
equilíbrio é igual a:
Parabéns! A alternativa C está correta.
Para determinar o preço de equilíbrio, devemos igualar as funções oferta e
demanda:
.
3p " 18 = 80 " 5p
8p = 98
p = 12, 25
D p
D S
(12, 25 ! p < 16)
D = "p2 " 2p + 80 S = 7p " 10
A 4
B 5
C 6
D 7
E 8
7p " 10 = "p2 " 2p + 80
Assim, chegaremos à equação de segundo grau que possui as raízes — 15 e
6:
.
Como só nos interessa a raiz positiva, pois ela indicará o preço do produto,
então o preço de equilíbrio é igual a 6.
Teoria na prática
No módulo anterior, você estudou a função receita referente à venda de certa
utilidade dada em relação à sua quantidade vendida. Essa função pode ser
expressa na forma:
Em que:
 é o seu preço de venda unitário.
 é a quantidade comercializada.
Vejamos, a seguir, alguns pontos importantes para a análise:
Quando o preço p é fixo, como já vimos, o gráfico dessa função será
representado por uma semirreta. Nesse caso, quanto maior for a quantidade
vendida, maior será o lucro. E, se a função custo dessa utilidade também for
de primeiro grau, podemos concluir que, quanto maior for a quantidade
produzida e vendida, maior será o lucro obtido.
Nem sempre o preço é fixo; na maior parte dos casos, o preço do produto
varia. Essa variação geralmente pode ser expressa por uma função demanda.
Nesse caso, você sabe que, geralmente, as variáveis preço e quantidade
variam em sentidos inversos. Se a demanda está abaixo do esperado para um
produto, seus fornecedores tendem a diminuir seu preço, a fim de que o
p2 + 9p " 90 = 0
_black
RT = p % q
p
q
número de consumidores dispostos a consumi-lo aumente. De modo
semelhante, se a demanda está alta, pode ser que que haja aumento no
preço.
A variação do preço logicamente interferirá na receita da empresa. Podemos
pensar que o aumento do preço, por exemplo, aumentará a receita. Porém, se
a quantidade demandada do produto diminuir, o que garantirá o aumento da
receita? Da mesma forma, a diminuição do preço poderia nos levar a concluir
pela diminuição da receita. No entanto, se o aumento da quantidade vendida
resultante dessa queda no preço tiver mais peso sobre a receita, o que
podemos concluir?
Isso mostra que nem sempre o lucro aumentará se a quantidade produzida e
vendida também aumentar. Se o aumento do preço provoca diminuição na
quantidade vendida, é preciso avaliar esse tipo de relação matematicamente
para obter as conclusões corretas. Nesse caso, podemos utilizar a função
demanda para obter a função receita de uma utilidade.
Vamos considerar o exemplo a seguir para ilustrar como ocorre esse tipo de
análise e qual sua importância na determinação de um nível de produção e
venda que pode levar ao maior lucro possível.
Considere um produto que tenha custo fixo de R$6.000,00 e custo variável
unitário de R$80,00. A sua quantidade demanda q, em unidades, relaciona-se
com seu preço de venda unitário p, em reais, através da função demanda:
Com as informações dadas, podemos escrever sua função custo total na
forma:
Com relação à função receita total RT, como não temos um preço fixo, vamos
obtê-lo a partir da sua relação com a quantidade q dada pela função
demanda. Tomando essa função, podemos isolar a variável p, isto é, escrever
p em função de q. Assim, teremos:
q = 400 " p
CT = 6.000 + 80q
q + p = 400
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A função de demanda para certo produto é , onde caixas
são demandadas quando é o preço por caixa.
A receita gerada pela venda de 200 caixas é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para obter a função receita total em função da quantidade , devemos, em
primeiro lugar, escrever a função demanda isolando a variável .
Mostrar solução
q = 8.000 " p q
p
A R$1.560.000
B R$720.000
C R$1.980.000
D R$875.000
E R$8.000
q
p
Temos, então: 
.
Substituindo essa expressão na função (receita total) e aplicando a
propriedade distributiva, temos:
.
Para uma quantidade igual a 200 caixas, temos a receita dada por:
 reais.
Questão 2
O lucro referente à produção e venda de unidades de certo produto é dado
por reais, para variando entre 0 e 80
unidades. Segundo tal função, o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:
p = 8.000 " q
R = p % q
R = (8.000 " q) % q
R = 8.000q " q2
R = 8.000 % 200 " 2002 = 1.560.000
q
L(q) = "q2 + 150q" 3.000 q
Parabéns! A alternativa B está correta.
Como o lucro é expresso por uma função quadrática com , ou seja, seu
gráfico é uma parábola com concavidade voltada para baixo , seu valor
máximo é a coordenada do vértice . Portanto, o lucro máximo pode ser
obtido da seguinte forma:
A R$2.000,00
B R$2.625,00
C R$3.000,00
D R$3.775,00
E R$4.250,00
a < 0
(()
y (yv)
yv =
"#
4a
=
" b
2 " 4ac
4a
"
1502 " 4 % ("1) % ("3.000)
4 % ("1)
= $2.625$reais.
Considerações finais
Entender taxas de variação é uma importante habilidade de qualquer
profissional, em especial daqueles em cargo de gestão. Essas taxas nos ajudam
a estimar o que acontece com uma grandeza quando outra grandeza relacionada
varia. Podemos reconhecer os períodos de crescimento ou decrescimento de
uma grandeza que acompanhamos. Em especial para os gestores, podemos
descrever inúmeras situações onde esse conhecimento é aplicado. Neste
estudo, vimos a aplicação direta nas situações com custo de produção, receita e
lucro (algo bem presente na vida de muitos profissionais!). Também vimos a
aplicação direta na relação de oferta de demanda, onde, para cada preço, temos
uma demanda.
Essas são algumas das aplicações desses conceitos fundamentais da
Matemática, mas existem muitas outras! O importante é que, utilizando esses
conhecimentos como ferramentas, podemos tomar decisões mais acertadas em
situações futuras.
Podcast
Para encerrar, ouça um breve resumo dos principais tópicos que foram
abordados ao longo dos módulos.
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
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Se quiser gerar gráficos como usamos neste estudo, veja o software Geogebra,
um dos mais simples e mais usados em matemática.
Referências
GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I. Matemática aplicada. 10. ed. Porto
Alegre: Bookman, 2006.
LEITE, A. Aplicações da matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática: para os cursos de
Economia, Administração e Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas, 1997.
TAN, S. T. Aplicada à administração e economia. 2. ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2012.
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