Apostila - Matemática - Módulo 02_ MMC e MDC

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MATEMÁTICA SOLDADO DE CARREIRA MULTIPLOS E DIVISORES 
 
 
1 
Todas os exercícios da apostila que tiverem essa câmera , estão 
gravados em vídeo para você. Nossos professores resolveram as 
questões, comentando cada detalhe para te ajudar na hora de estudar. 
Muitas questões trazem dicas preciosas. Não deixe de assistir aos 
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Múltiplos e Divisores 
 
 
 
Como o resto da divisão de 18 por 9 é 0, então dizemos que 9 divide 18, 
ou 9 é divisor de 18, ou ainda 18 é múltiplo de 9. Que podemos 
representar por: 
 
 
Que significa 9 divide 18. 
 
Agora, na divisão 
 
 
 
Vemos que o resto da divisão de 34 por 7 é 6, e não 0. 
 
Sendo assim, 7 não divide 34, ou apenas: 
 
 
. Propriedades 
 
• Se 𝑎 ∣ 𝑏 e 𝑏 ∣ 𝑎, então 𝑎 = ± 𝑏. 
Exemplo: 𝑆𝑒 3 | 𝑥 𝑒 𝑥 | 3, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = ±3 
• Se 𝑐 ∣ 𝑏, então 𝑐 ∣ 𝑎𝑏. 
Exemplo: 3 | 6, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 3 | 12 
• Se b ∣ 𝑎, então 𝑏𝑐 ∣ 𝑎𝑐. 
Exemplo: 3 | 6 , 6 |12 , 9 | 18 
• Se 𝑐 ∣ 𝑏 e 𝑏 ∣ 𝑎, então 𝑐 ∣ 𝑎. 
Exemplo: 3 | 6 𝑒 6 | 24, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 3 | 24 
• Se 𝑐 ∣ 𝑎 e 𝑐 ∣ 𝑏, então 𝑐 ∣ (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦). 
Exemplo: 3 | 6 𝑒 3 | 9, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 3 | (6.2 + 9.5) 
 
MÚLTIPLOS 
 
É o produto entre qualquer quantidade e um inteiro. 
 
Exemplos: 
Múltiplos de 2: são quaisquer números que resultam da multiplicação por 
2 assim, M = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} 
 
OBS: ZERO é o menor múltiplo comum. 
 
DIVISORES 
 
Os divisores são os números utilizados na multiplicação dos múltiplos. 
 
Exemplos: 
10 é divisível por 2 pois 10 dividido por 2 é igual a 5. Assim dizemos que 
2 é divisor de 10. 
Se 12 é divisível por 3 temos que 3 é divisor de 12, logo 12 é múltiplo de 
3. 
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6 e 12} 
D (50) = {1, 2, 5, 10, 25 e 50} 
 
UM é o menor divisor comum a todos os números. 
O próprio número sempre é seu maior divisor; assim temos que o 
conjunto dos divisores é finito. 
ZERO não é divisor de nenhum número. 
 
observe os divisores de 19: 
𝐷𝐼𝑉(19) = {1, 19} 
 
Repare que, no caso do 19, apenas o 1 e ele mesmo são divisores. 
Quando um número possui apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo, o 
chamamos de número primo. 
 
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 = {2,3,5,7,11,13,17,19,23, … } 
 
1 não é número primo, porque ele tem apenas um divisor que é 
ele mesmo. 
2 é o único número primo que é par. 
 
CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE 
Um número é divisível por: 
2 se for par 
3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3 
4 se dois últimos algarismos da direita forem divisíveis por 4 
5 se terminar em 0 ou 5 
6 se for divisível por 2 e por 3 
8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 
9 se a soma dos seus algarismos for divisível por 9 
10 se terminar em zero 
 
Teorema fundamental da aritmética 
 
Todo número pode ser escrito como o produto de números primos: 
 
6 = 2 × 3 
12 = 22 × 3 
30 = 2 × 3 × 5 
 
Fatoração de um Número 
 
Consiste em fazer uma divisão sucessiva de um número por seus 
divisores primos. 
 
Exemplo: 
 
 
 
Logo 60 = 22 × 3 × 5 
 
Quantidade de divisores positivos de um número: 
 
Basta seguir os seguintes passos: 
• Somamos 1 a cada expoente da fatoração. 
• Multiplicamos os valores obtidos. 
Vejamos alguns Exemplos: 
 
Darwin Lucas Andrade Alves
darwingodric@gmail.com
MATEMÁTICA SOLDADO DE CARREIRA MULTIPLOS E DIVISORES 
 
 
2 
 
 
Quantidade de divisores pares de um número 
 
Particularmente, querendo descobrir quantos divisores naturais 
pares o 120 possui, basta utilizar o procedimento citado acima, sem 
adicionar 1 ao expoente do fator 2. 
Assim o 120 possui 3⋅(1+1)⋅(1+1)=12 divisores pares 
 
Dado um número natural não nulo n>1, cuja forma fatorada é 
n=2𝑥. 3𝑦. 5𝑧.⋯, 
a quantidade de divisores naturais pares de n será igual 
a x⋅(y+1)⋅(z+1)⋯. 
 
Quantidade de divisores ímpares de um número 
 
Particularmente, querendo descobrir quantos divisores naturais 
ímpares o 120 possui, basta utilizar o procedimento citado acima, sem 
adicionar o expoente do fator 2. 
Assim o 120 possui (1+1)⋅(1+1)= 4 divisores ímpares 
 
Dado um número natural não nulo n>1, cuja forma fatorada é 
n=2𝑥. 3𝑦. 5𝑧.⋯, 
a quantidade de divisores naturais ímpares de n será igual 
a (y+1)⋅(z+1)⋯. 
 
Maior Divisor Comum (M.D.C.) 
 
Vamos olhar simultaneamente para os divisores de 30 e 40: 
 
 
 
Repare que 1, 2, 5 e 10 são divisores comuns de 30 e 40. Como o 10 é o 
maior divisor, então ele será o MDC entre eles. 
 
Podemos calcular o MDC de duas Formas: 
 
1- Fatoração (nesse caso você só vai usar os fatores primos que 
dividem os dois ao mesmo tempo) 
 
Nesse caso, apenas o 1º número 2 e o 5 conseguiram dividir ambos os 
números ao mesmo tempo, então o MDC será: 
 
𝑀𝐷𝐶(30,40) = 2 × 5 = 10 
 
2- Método das divisões sucessivas 
 
 
 
Como 10 foi o último divisor antes do resto 0, então ele será o MDC. 
 
Menor Múltiplo Comum (M.M.C.) 
 
Agora vamos olhar os múltiplos de 30 e 40: 
 
 
Repare que 120, 240, 360, … são múltiplos comuns de 30 e 40. Como 120 
é o menor deles então 𝑀𝑀𝐶(30,40) = 120. 
Além disso repare que eles possuirão múltiplos comuns a cada 120 
números, que é, justamente o MMC. 
Vamos ver como calculamos o MMC: 
 
 
 
Agora basta multiplicar todos os valores: 
 
2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120 
 
Relação entre o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum 
Já vimos que os conceitos de múltiplo e de divisor são semelhante, por 
conta disso, existe uma relação entre mmc e o mdc. 
Veja este exemplo, os números 4 e 6: mdc(4,6) = 2 e mmc(4,6) = 12. 
Se multiplicamos o mmc pelo mdc, temos como resultado precisamente 
o produto dos números em questão: 4.6 = 24. 
Observe: 
 
Entendemos esta propriedade assim: dados os números a e b: 
 
 
Se dois números são primos entre si, então seu mmc é seu produto 
Lembre-se que dois números são primos entre si se seu mdc é 1. Por 
exemplo, 12 e 25 são primos entre si porque mdc (12,25) = 1, se tiramos 
seu mmc veremos que mmc (12,25) = 300, que é precisamente o produto 
de 12 x 25. 
 
Se um número é múltiplo de outro então ele é o mmc dos dois 
Vejamos: 45 é múltiplo de 9 e conforme esta propriedade calculamos 
o mmc de 45 e 9 onde encontramos que é 45. 
 
Quando fazemos as decomposições destes números vemos que mmc 
(45,9) = 3²x5 = 45. 
 
Se multiplicamos ou dividimos dois números por um número k, seu 
mmc também fica multiplicado ou dividido por k 
Para ver melhor esta propriedade, usaremos os números 6 e 10: o mmc 
(6,10) = 30. Se multiplicamos estes dois números por exemplo, por 8, 
teremos 6 x 8 = 48 e 10 x 8 = 80. Observe que o mmc (48,80) = 240, que 
é precisamente o resultado de multiplicar o mmc de 6 e 10 também por 
8: 8 x 30 = 240. 
O mesmo acontece se em vez de multiplicar, dividimos por um 
mesmo número. 
Todo múltiplo comum de dois ou mais números é múltiplo do seu mmc 
Usemos os números 5 e 7 para exemplificar. O mmc de 5 e 7 é 35, onde 
se calculamos os múltiplos comuns destes dois números, obteremos 
múltiplos de 35: 
 
 
 
Darwin Lucas Andrade Alves
darwingodric@gmail.com
https://edu.gcfglobal.org/pt/multiplos-e-divisores/o-que-sao-multiplos/1/
https://edu.gcfglobal.org/pt/multiplos-e-divisores/o-que-sao-divisores/1/
https://edu.gcfglobal.org/pt/como-fazer-multiplicacao/comecando-a-multiplicar/1/
https://edu.gcfglobal.org/pt/como-fazer-multiplicacao/comecando-a-multiplicar/1/
MATEMÁTICA SOLDADO DE CARREIRA MULTIPLOS E DIVISORES 
 
 
3 
QUESTÃO DE FIXAÇÃO E TREINAMENTO 
 
1) 
Indique com V (para verdadeira) ou F (para falsa), as afirmativas abaixo. 
 
A) a) ( ) zero é um múltiplo universal. 
B) b) ( ) 50 é múltiplo de 25. 
C) c) ( ) 49 é múltiplo de 14. 
D) d) ( ) 10 é múltiplo de 20. 
E) e) ( ) 390 é múltiplo de 26. 
 
2) 
Dentre as afirmativas abaixo, marque apenas as que apresentam 
informações verdadeiras. 
 
A) 80 divide 40. 
B) o número 1 é divisor universal. 
C) 70 divide 100. 
D) 19 divide 57 
E) zero é capaz de dividir zero. 
F) zero é divisor universal. 
 
3) 
Quaise quantos são os números primos de 20 até 50? 
 
4) 
Determine a decomposição em fatores primos do números abaixo. 
 
A) 48 
B) 1989 
C) 2300 
D) 75 
 
5) 
Determine a quantidade de divisores que os números abaixo têm. 
 
A) 60 
B) 110 
C) 252 
D) 729 
 
6) 
Determine o MMC dos valores abaixo 
 
A) 𝑚𝑚𝑐(2,9,15) 
B) 𝑚𝑚𝑐(6, 20, 49) 
C) 𝑚𝑚𝑐(10, 13, 25) 
D) 𝑚𝑚𝑐(8, 12, 20) 
 
7) 
Determine o MDC dos valores abaixo 
 
A) 𝑚𝑑𝑐(60, 96) 
B) 𝑚𝑑𝑐(22, 40, 100) 
C) 𝑚𝑑𝑐(24, 36, 96) 
D) 𝑚𝑑𝑐(20, 32, 40) 
E) 𝑚𝑑𝑐(15, 37, 2000) 
 
8) 
Dados dois números 𝐴 = 25. 37. 53 𝑒 𝐵 = 24. 38. 72, qual o valor do 
𝑚𝑚𝑐(𝐴; 𝐵)? 
 
9) 
Dados dois números 𝐴 = 210. 36. 59 𝑒 𝐵 = 34. 52. 722. 119, qual o valor 
do 𝑚𝑑𝑐(𝐴; 𝐵)? 
 
 
10) 
Seja um número natural 𝑛 > 7, que ao ser dividido por 8 ou por 12, 
sempre deixa resto 7. Sendo assim, podemos afirmar que o menor valor 
de 𝑛 é 
 
A) 24 
B) 27 
C) 30 
D) 31 
E) 33 
 
11) 
Quantos múltiplos de 3 ou 5 há do intervalo dos números inteiros de 14 
até 305? 
 
A) 116 
B) 136 
C) 156 
D) 176 
E) 196 
 
12) 
Quantos múltiplos de 4 e 9 há no intervalo dos números inteiros entre 
211 e 692? 
 
A) 8 
B) 14 
C) 15 
D) 17 
E) 19 
 
13) 
Quantos múltiplos de 25 há no intervalo dos números inteiros 133 até 
2971? 
 
A) 118 
B) 116 
C) 115 
D) 114 
E) 113 
 
14) 
Dentre as alternativas abaixo, aquela que apresenta um número primo é 
 
A) 31 
B) 77 
C) 39 
D) 91 
E) 49 
 
15) 
Dentre as alternativas abaixo, aquela que apresenta um dos divisores do 
número 481 é 
 
A) 11 
B) 13 
C) 17 
D) 19 
E) 23 
 
16) 
Um número 𝑥 = 24. 32. 5𝑛 possui 60 divisores. Sendo assim, o valor de 
n é 
 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 Darwin Lucas Andrade Alves
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4 
17) 
A quantidade de divisores do número 31400 é 
 
A) 401 
B) 800 
C) 1200 
D) 399 
E) 245 
 
18) 
O 𝑀𝐷𝐶 (𝐴; 𝐵) é 9 e o 𝑀𝑀𝐶 (𝐴; 𝐵) é 540. Sabendo que um desses 
números é 60 vezes maior que o outro, a soma A + B, sabendo que A e B 
são positivos é: 
 
A) 540 
B) 99 
C) 54 
D) 9 
E) 549 
 
19) 
Três cometas A, B e C podem ser vistos a olho nu (sem auxílio de 
telescópio) em períodos diferentes. O cometa A pode ser visto dessa 
forma a cada 20 anos, o cometa B a cada 28 anos e o cometa C a cada 
48 anos. Em 2024 os três cometas serão vistos da Terra a olho nu. O 
próximo ano em que será possível tal fato ocorrer é: 
 
A) 840 
B) 1680 
C) 2864 
D) 3604 
E) 3704 
 
20) 
Um total de 300 profissionais, sendo 180 condutores de veículos de 
emergência, e os demais, enfermeiros, será dividido em grupos, 
compostos somente por condutores de veículos de emergência ou 
somente por enfermeiros, com o mesmo e maior número possível de 
profissionais, para participarem de um curso de formação. A diferença 
entre o número de grupos somente de condutores de veículos de 
emergência e o número de grupos somente de enfermeiros será igual a 
 
A) 5. 
B) 4. 
C) 3. 
D) 2. 
E) 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. 
Assinale a opção que corresponde à quantidade de números inteiros 
positivos que são fatores do número: 30 030. 
 
(A) 32 
(B) 34 
(C) 64 
(D) 66 
 
2. 
Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro relógio B bate a cada 20 
minutos, e um terceiro relógio C a cada 25 minutos. O menor intervalo de 
tempo decorrido entre duas batidas simultâneas dos três relógios, em 
horas, é igual a: 
 
(A) 3 
(B) 6 
(C) 4 
(D) 5 
(E) 7 
 
3. 
Uma gerente de loja e seu assistente viajam com frequência para São 
Paulo e voltam no mesmo dia. A gerente viaja a cada 24 dias e o 
assistente, a cada 16 dias, regularmente. Em um final de semana, eles 
viajaram juntos. Depois de x viagens da gerente e y viagens do assistente 
sozinhos, eles viajaram juntos novamente. 
O menor valor de x + y é: 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
 
4. 
A direção do Colégio Militar do Rio de Janeiro contratou uma empresa 
com o objetivo de construir uma nova sala para o Clube Literário. A sala 
terá 3,36m de largura e 4,00m de comprimento. No piso, o pedreiro vai 
colocar peças de cerâmica quadradas, do mesmo tamanho. Admitindo-
se que não haverá perda de material, a menor quantidade dessas peças, 
que ele vai usar para cobrir completamente o piso, é um número: 
 
(A) ímpar e menor que 500 
(B) múltiplo de 10 
(C) maior que 570 
(D) igual a 525 
(E) primo. 
 
5. 
A figura abaixo apresenta algumas obras do escritor Eça de Queirós que 
foram adaptadas para o cinema ou televisão. 
 
Na figura, os cinco números mencionados correspondem aos anos em 
que essas obras foram escritas. Sobre esses números, afirma-se que: 
 
 
Darwin Lucas Andrade Alves
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MATEMÁTICA SOLDADO DE CARREIRA MULTIPLOS E DIVISORES 
 
 
5 
I. Apenas dois são múltiplos de 3 
II. Apenas três são múltiplos de 4 
III. Apenas dois são primos. 
IV. O máximo divisor comum entre 1870 e 1880 é múltiplo de 10. 
V. Os múltiplos de 1875 possuem o número 5 como um de seus fatores 
primos. 
 
Estão corretas apenas as afirmativas: 
 
(A) I, II e IV. 
(B) I, IV e V. 
(C) II, III e V. 
(D) III, IV e V. 
 
Texto para as próximas 2 questões: 
 
O Brasil e a Fome 
 
 
 
São mais de 3 milhões de brasileiros que convivem com a fome de 
alguma forma todos os dias. É por isso que existe tanta campanha de 
doação de alimentos, para oferecer dignidade e um prato de comida para 
quem precisa. 
Disponível em: >Acesso em: 20 jul. 2018. (Adaptado) 
 
6. 
Para comemorar o sucesso da campanha de doação de alimentos, Maria 
resolve fazer bolinhos de coco para as amigas, revelando seu lado Master 
Chef. Em sua receita de 12 bolinhos, ela precisa de exatamente cem 
gramas de açúcar, cinquenta gramas de manteiga, meio litro de leite e 
quatrocentos gramas de farinha. Em seu armário de cozinha, há 
quinhentos gramas de açúcar, duzentos gramas de manteiga, quatro 
litros de leite e cinco quilogramas de farinha. Utilizando somente os 
ingredientes que ela possui, a maior quantidade desses bolinhos que 
pode ser feita é igual a: 
 
(A) 48 
(B) 60 
(C) 96 
(D) 120 
(E) 150 
 
7. 
O Colégio Militar do Rio de Janeiro (CMRJ) promoveu uma campanha 
junto a seus alunos com o intuito de angariar alimentos não perecíveis e 
doá-los a instituições assistenciais do bairro da Tijuca e entorno. Ao 
saber da campanha do colégio, Maria, aluna do 6º ano, prontificou-se a 
conscientizar todos os demais alunos do CMRJ da importância em se 
ajudar o próximo. No final da campanha, foram arrecadados 528 Kg de 
açúcar, 240 Kg de feijão e 2.016 Kg de arroz. 
 
Maria, então, sugeriu que esses alimentos fossem acondicionados em 
cestas e distribuídos de forma que cada cesta tivesse os três alimentos 
e que as quantidades de alimentos do mesmo tipo fossem as mesmas 
em todas as cestas. Sabendo que todos os alimentos foram doados de 
acordo com essa distribuição e o número de cestas era o maior possível, 
quantos quilos de arroz havia em cada uma das cestas? 
(A) 11 
(B) 20 
(C) 31 
(D) 42 
(E) 48 
 
8. 
Um torneio de xadrez terá alunos de escolas militares. O Colégio Militar 
de Campo Grande (CMCG) levará 120 alunos; o Colégio Militar do Rio de 
Janeiro (CMRJ), 180e o Colégio Militar de Brasília (CMB), 252.Esses 
alunos serão divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha 
representantes das três escolas, e que o número de alunos de cada 
escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de 
grupos que podem ser formados é: 
 
(A) 10 
(B) 12 
(C) 15 
(D) 21 
(E) 46 
 
9. 
 O Supermercado “Preço Baixo” deseja fazer uma doação ao Orfanato 
“Me Adote” e dispõe, para esta ação, 528 Kg de açúcar, 240 Kg de feijão 
e 2.016 Kg de arroz. Serão montados Kits contendo, cada um, as mesmas 
quantidades de açúcar, de feijão e de arroz.Quantos quilos de açúcar 
deve haver em cada um dos kits, se forem arrumados de forma a 
contemplar um número máximo para cada item? 
 
(A) 20 
(B) 11 
(C) 31 
(D) 42 
(E) 44 
 
10. 
O número tem 241 algarismos e 
xh (z w) .=  O MDC (x, 25) com x natural, 
resolvido pelo algoritmo das divisões sucessivas de Euclides, gera o 
esquema a seguir: 
 
 y 1 4  quocientes 
x 25 z w  dividendos e divisores 
z w 0  restos 
 
Sendo assim, é correto afirmar que a soma x y z w+ + + é igual a: 
 
(A) 274 
(B) 224 
(C) 199 
(D) 149 
(E) 99 
 
11. 
Roberto e João são amigos de infância e, sempre que podem, saem para 
pedalar juntos. Um dia, empolgados com a ideia de saberem mais sobre 
o desempenho da dupla, resolveram cronometrar o tempo que gastavam 
andando de bicicleta. Para tanto, decidiram pedalar numa pista circular, 
próxima à casa deles. 
Constataram, então, que Roberto dava uma volta completa em 24 
segundos, enquanto João demorava 28 segundos para fazer o mesmo 
percurso. Diante disso, João questionou: 
 
– Se sairmos juntos de um mesmo local e no mesmo momento, em 
quanto tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, neste 
mesmo ponto de largada? 
 
 
Darwin Lucas Andrade Alves
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MATEMÁTICA SOLDADO DE CARREIRA MULTIPLOS E DIVISORES 
 
 
6 
Assinale a alternativa CORRETA. 
 
(A) 3 min e 8 s 
(B) 2 min e 48 s 
(C) 1 min e 28 s 
(D) 2 min e 28 s 
(E) 1 min e 48 s 
 
12. 
Um torneio de xadrez terá alunos de 3 escolas. Uma das escolas levará 
120 alunos; outra, 180 alunos; e outra, 252 alunos. Esses alunos serão 
divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes das 
três escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada 
grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser 
formados é: 
 
(A) 12 
(B) 23 
(C) 46 
(D) 69 
 
13. 
 Rodrigo estava observando o pisca-pisca do enfeite natalino de sua 
casa. Ele é composto por lâmpadas nas cores amarelo, azul, verde e 
vermelho. Rodrigo notou que lâmpadas amarelas acendem a cada 45 
segundos, as lâmpadas verdes, a cada 60 segundos, as azuis, a cada 27 
segundos, e as vermelhas só acendem quando as lâmpadas das outras 
cores estão acesas ao mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, 
as lâmpadas vermelhas acendem? 
 
(A) 6 
(B) 9 
(C) 12 
(D) 15 
(E) 18 
 
14. 
Considerando que x e y são números naturais, tais que, m.m.c (x,y) = 
102 e m.d.c (x,y) = 17 e marque a alternativa incorreta: 
 
(A) x + y > 80 
(B) x e y são números pares. 
(C) xy é um número divisível por três. 
(D) xy é um número maior que 1.500 
 
15. 
Como forma de incentivo à cultura, um museu disponibilizou ingressos 
gratuitos para serem distribuídos a estudantes de escolas públicas. A 
secretaria de educação distribui 12 ingressos por escola e sobraram 4 
ingressos. Ao ser lembrada de que duas novas escolas haviam sido 
inauguradas, a secretaria redistribuiu os ingressos, ficando cada escola 
com 10 ingressos, sem sobras. O número de ingressos disponibilizados 
pelo museu foi: 
 
(A) 76 
(B) 64 
(C) 52 
(D) 100 
(E) 88 
 
16. 
As divisões exatas de a e b por 4 e 6, respectivamente são iguais. 
Multiplicando-se o mínimo múltiplo comum de a e b pelo máximo divisor 
comum de a e b, obtém0se 1536. A diferença a-b é igual a: 
 
(A) -18 
(B) -16 
(C) -14 
(D) -12 
(E) -10 
 
17. 
Um número inteiro positivo q, maior do que um, é chamado de primo se 
seus únicos divisores positivos são o número um e o próprio número q. 
Note que o número 101101 possui n divisores positivos sendo m deles 
números primos. Assim, é correto afirmar que o valor de n-m é igual a: 
 
(A) 11 
(B) 9 
(C) 12 
(D) 10 
(E) 8 
 
18. 
João e seu irmão dividem o aluguel de um apartamento em Goiânia, para 
onde voltam sempre nos dias de folga. João trabalha 8 dias e folga no 
nono. Seu irmão trabalha 20 dias e folga no vigésimo primeiro dia. Se 
eles folgaram juntos hoje, eles vão se encontrar no apartamento 
novamente daqui a: 
 
(A) 40 dias 
(B) 50 dias 
(C) 52 dias 
(D) 63 dias 
(E) 65 dias 
 
19. 
Coincidentemente no dia doze de fevereiro do ano passado, Luiz e Laura 
foram pela primeira vez ao mesmo shopping e desde então eles 
passaram a visitar esse shopping com certa frequência. Se Luiz passou 
a frequentá-lo a cada doze dias e Laura, a cada nove dias, regularmente, 
em exatamente quantas datas daquele ano coincidiu de ambos terem ido 
àquele shopping? 
 
(A) 10 
(B) 9 
(C) 11 
(D) 8 
(E) 36 
 
20. 
João decide retornar até sua casa, mas como não dispõe de muito 
dinheiro, decide economizar na reforma contratando o carpinteiro José 
para reaproveitar as tábuas de madeira retiradas da casa. José tem à sua 
disposição 40 tábuas de 5,4metros, 30 tábuas de 8,10 metros e 10 tábuas 
de 10,80 metros todas de mesma espessura e largura. Para atender as 
especificidades da reforma da casa de João, José decide cortar as 
tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras e de 
modo que as novas peças fiquem com o maior tamanho possível, mas de 
comprimento menor que 2 metros. Qual a quantidade de tábuas que José 
conseguiu produzir? 
 
(A) 395 tabuas 
(B) 399 tabuas 
(C) 412 tabuas 
(D) 420 tabuas 
(E) 429 tabuas 
 
21. 
O número 9xyz2 é o produto de 3 números pares consecutivos, onde x, y 
e z são algarismos ocultos. O valor da soma x+y+z é: 
 
(A) 13 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 16 
(E) 19 Darwin Lucas Andrade Alves
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7 
22. 
Um médico, ao prescrever uma receita, determina que dois 
medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte 
escala de horários: remédio A, de 6 em 6 horas, remédio B, de 3 em 3 
horas. Caso o paciente utilize os dois remédios às 10 horas da manhã, 
então a próxima ingestão dos dois juntos será às: 
 
(A) 17h 
(B) 14h 
(C) 15h 
(D) 13h 
(E) 16h 
 
23. 
Seja n um número inteiro positivo. Se os três menores divisores positivos 
de n são os números 1,3 e 13 e se a soma dos três maiores divisores de 
n é igual a 3905, então n é igual a: 
 
(A) 2535 
(B) 2847 
(C) 2769 
(D) 2028 
(E) 2646 
 
24. 
Ana listou em ordem crescente os primeiros 30 números naturais N que 
satisfazem às três condições a seguir: 
 
I) N deixa resto 7 na divisão por 24 
II) N deixa resto 7 na divisão por 32 
III) N é maior que 20 
 
O primeiro número listado por Ana tem soma dos algarismos iguais a: 
 
(A) 4 
(B) 9 
(C) 11 
(D) 12 
(E) 15 
 
25. 
Os povos indígenas têm uma forte relação com a natureza. Suponha que 
a tribo indígena Kayapó Gorotire, do Norte do Brasil, celebre o Ritual do 
Sol de 20 em 20 dias, o Ritual da Chuva de 66 em 66 dias e o Ritual da 
Terra de 30 em 30 dias. Se os três rituais acontecerem hoje, 10 de 
setembro de 2017, que é um domingo, o próximo dia da semana que os 
três rituais serão celebrados juntos novamente será: 
 
(A) Sábado 
(B) terça-feira 
(C) quinta-feira 
(D) quarta-feira 
(E) sexta-feira 
 
26. 
Uma mulher tem três filhas matriculadas regularmente no ensino 
fundamental. O produto da sua idade com as idades de suas 3 filhas é 
37037. Desta forma, pode-se afirmar que a diferença entre as idades de 
sua filha mais velha e sua filha mais nova é: 
 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
27. 
Um feirante deseja distribuir 576 goiabadas, 432 laranjas e 504 maçãs 
entre várias famílias de um bairro carente. A exigência do feirante é que 
a distribuição seja feira de modo que cada família receba a mesma e o 
menor número possível de frutas de uma mesma espécie. A quantidade 
total de frutas recebida por cada família representa um número: 
 
(A) divisível por 9 
(B) múltiplo de 7 
(C) múltiplo de 12 
(D) entre 40 e 50 
 
28. 
O número 2x. 3. 6. 20 possui exatamente 96 divisores inteiros positivos 
quando x é um número natural igual a: 
 
(A) 20 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 18 
(E) 12 
 
29. 
Se m é a quantidade de números primosentre 10 e 20 e n é a quantidade 
de números primos entre 20 e 30, então é verdade que m²+n² é igual a: 
 
(A) 20 
(B) 30 
(C) 32 
(D) 50 
(E) 25 
 
30. 
Na Escola Pierre de Fermat, foi realizada uma gincana com o objetivo de 
arrecadar alimentos para a montagem e a doação de cestas básicas. Ao 
fim de gincana, foram arrecadados 144 pacotes de feijão, 96 pacotes de 
açúcar, 192 pacotes de arroz e 240 pacotes de fubá. Na montagem das 
cestas, a diretora exigiu que fosse montado o maior número de cestas 
possível, de forma que não sobrasse nenhum pacote de alimento e 
nenhum pacote fosse partido. Seguindo a exigência da diretora, quantos 
pacotes de feijão teremos em cada cestas? 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
31. 
 Um estudante recebeu um kit para montagem de minirrobôs. Para a 
parte eletrônica, havia peças de três tipos diferentes, com as seguintes 
quantidades: 
 
 
 
O estudante distribuiu as peças em saquinhos, colocando um único tipo 
de peça em cada um deles, de modo que todos os saquinhos ficassem 
com a mesma quantidade de peças. 
Foram necessários para distribuir todas as peças, no mínimo: 
 
(A) 17 saquinhos. 
(B) 13 saquinhos. 
(C) 9 saquinhos. 
(D) 5 saquinhos. 
 
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8 
32. 
 O transporte intermunicipal por ônibus é bastante comum na região 
de Limeira e há algumas empresas que disponibilizam o serviço para as 
mesmas rotas, mas em horários distintos. A empresa A possui ônibus de 
Limeira para Campinas a cada uma hora e vinte minutos (1h20min) já a 
empresa B faz esse mesmo itinerário de duas em duas horas 2h. 
Sabendo-se que partem ônibus das duas empresas às 6h da manhã, 
quantas vezes, ao longo do dia, partirão, ao mesmo tempo, ônibus das 
empresas A e B juntos, considerando-se que as viagens se encerram às 
23 horas? 
 
(A) 5 vezes 
(B) 4 vezes 
(C) 7 vezes 
(D) 6 vezes 
 
33. 
 Maria adora séries de televisão e pretende assistir, durante um ano, 
a todos os episódios (de todas as temporadas e sem pular nenhum 
episódio) das suas três séries preferidas. Para isso, ela assistirá a três 
episódios por dia, sendo um de cada série. Sabe-se que cada temporada 
da série A tem 20 episódios, da série B tem 24 episódios e da série C tem 
18 episódios. Nenhuma das três séries tem mais que 365 episódios ao 
todo. Ela decidiu que começará, hoje, a assistir ao 1º episódio da 1ª 
temporada de cada uma dessas três séries. Maria também sabe que 
haverá um certo dia X em que conseguirá, coincidentemente, assistir ao 
último episódio de alguma temporada das três séries. 
 
Ao final do dia X, Maria já terá assistido, ao todo: 
 
(A) 12 temporadas completas das três séries. 
(B) 15 temporadas completas da série A. 
(C) 18 temporadas completas da série B. 
(D) 20 temporadas completas da série C. 
 
34. 
 
 
 
Maria e Paula são amigas de infância e, sempre que podem, saem para 
pedalar juntas em torno do Estádio do Maracanã. Um dia, empolgadas 
com a ideia de saberem mais sobre o desempenho da dupla, resolveram 
cronometrar o tempo que cada uma levava para dar uma volta completa 
em torno do estádio. Constataram que Maria dava uma volta completa 
em 6 minutos e 40 segundos, enquanto Paula demorava 8 minutos para 
fazer o mesmo percurso, ambas com velocidades constantes. Paula, 
então, questionou o seguinte: “Se sairmos juntas de um mesmo local, no 
mesmo momento, mas em sentidos contrários, em quanto tempo 
voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, no mesmo ponto de 
partida?” 
 
A resposta correta para a pergunta de Paula está presente na alternativa: 
 
(A) 48 minutos 
(B) 40 minutos 
(C) 32 minutos 
(D) 26 minutos e 40 segundos 
(E) 33 minutos e 20 segundos 
 
35. 
 Na tabela abaixo, estão indicadas três possibilidades de arrumar n 
cadernos em pacotes: 
 
Nº de pacotes 
Nº de cadernos por 
pacotes 
Nº de cadernos que 
sobram 
X 12 11 
Y 20 19 
Z 18 17 
 
Se n é menor do que 1200, a soma dos algarismos do maior valor de n é: 
 
(A) 12 
(B) 17 
(C) 21 
(D) 26 
 
36. 
Uma gerente de loja e seu assistente viajam com frequência para São 
Paulo e voltam no mesmo dia. A gerente viaja a cada 24 dias e o 
assistente, a cada 16 dias, regularmente. Em um final de semana, eles 
viajaram juntos. Depois de x viagens da gerente e y viagens do 
assistente, sozinhos, eles viajaram juntos novamente. 
 
O menor valor de x + y é: 
 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
 
 
37. 
A quantidade de números naturais que são divisores do máximo divisor 
comum entre os números 540, 720 e 1800 é igual a: 
 
(A) 75 
(B) 18 
(C) 30 
(D) 24 
(E) 60 
 
38. 
Com relação ao movimento dos cometas no universo, sabemos que 
muitos deles passam pelo planeta Terra em períodos de anos definidos. 
Os comentas A e B passam de 20 em 20 anos e 25 em 35 anos 
respectivamente, e suas últimas aparições na Terra ocorreram em 1930. 
 
A próxima passagem dos dois pela Terra acontecerá no ano de: 
 
(A) 2072 
(B) 2060 
(C) 2075 
(D) 2070 
(E) 2065 
 
39. 
Considere a sequência 
PERSPECTIVACBMERJPERSPECTIVACBMERJPERSPECTIVACBMERJ... 
Qual é a letra que ocupa a 2023ª posição dessa sequência? 
 
(A) C 
(B) M 
(C) P 
(D) T 
(E) J 
 
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9 
40. 
O número de divisores positivos do produto das raízes da equação 2x²-
114x+56=0 é: 
 
(A) 12 
(B) 10 
(C) 8 
(D) 6 
(E) 4 
 
41. 
 
No shopping “Boa Compra” existe um cinema com 3 salas de projeção, 
sendo conhecidas como sala 1, 2 e 3. Considere que nos finais de 
semana, os filmes começam a ser exibidos simultaneamente às 8 horas 
da manhã e que os intervalos entre o início de uma sessão e o início da 
sessão seguinte seja de 1 hora e 40 minutos para a sala 1; 2 horas e 30 
minutos para sala 2 e de 3 horas para a sala 3. Após a primeira sessão, 
a que horas do dia as 3 salas começarão a exibir os filmes, 
simultaneamente? 
 
(A) 22 horas e 30 minutos. 
(B) 22 horas e 40 minutos. 
(C) 23 horas e 30 minutos. 
(D) 23 horas. 
(E) 23 horas e 20 minutos. 
 
42. 
Maria foi desafiada a calcular quantos números naturais que sejam 
múltiplos de 3 ou de 7 existem entre 1000 e 2000. 
Maria refletiu um pouco e respondeu corretamente: 
 
(A) 47 
(B) 284 
(C) 369 
(D) 428 
(E) 512 
 
43. 
A prefeitura de certo município, em uma tentativa de incentivar a leitura, 
planeja premiar seus estudantes que se destacarem enquanto leitores. 
Para tanto, conta com 56 obras renomadas, sendo 36 títulos estrangeiros 
e 20 títulos nacionais. No entanto, por não se tratar de uma disputa, 
decidiu que todos receberiam uma mesma quantidade de livros do 
mesmo tipo (só estrangeiros ou só nacionais). Por meio de uma consulta 
aos participantes, decidiu que cada leitor receberia a maior quantidade 
possível de títulos, respeitando a disponibilidade de livros e a condição 
de serem todos do mesmo tipo. Nessas condições, quantos estudantes, 
no total, poderiam ser premiados? 
 
(A) 9 
(B) 14 
(C) 5 
(D) 4 
(E) 11 
 
44. 
Na reforma de uma obra, há rolos de fio elétrico com medidas de 160, 
140 e 220 metros. Será preciso cortar o fio em pedaços iguais, maiores 
possíveis e, não sobrar nada. O comprimento máximo de cada fio será 
de: 
 
(A) 14 metros 
(B) 22 metros. 
(C) 20 metros. 
(D) 18 metros. 
(E) 16 metros. 
 
 
45. 
Visando presentear alguns de seus alunos, uma professora comprou 50 
brigadeiros, 40 beijinhos e 25 cajuzinhos. Como a maioria de seus alunos 
preferia brigadeiros, decidiu-se evitar qualquer tipo de brigas propondo 
uma disputa em que os prêmios seriam kits exatamente iguais montados 
a partir dos doces disponíveis, ainda que apenas alguns alunos ganhem 
tais kits. De acordo com o descrito, quantos serão os premiados e 
quantos doces compõem cada kit, respectivamente? 
 
(A) 5 e 23. 
(B) 8 e 13. 
(C) 10 e 11. 
(D) 13 e 8. 
(E) 15 e 5. 
 
46. 
A prescriçãode três remédios para um paciente é a seguinte: remédio A, 
a cada 2 horas, remédio B a cada 1,5 hora e o remédio C sempre que 
coincidir o horário em que os remédios A e B são administrados 
simultaneamente. Sabendo que no dia inicial do tratamento o remédio A 
foi administrado pela primeira vez às 7 horas e o remédio B foi 
administrado pela primeira vez às 8 horas, o horário em que o remédio C 
foi administrado pela terceira vez foi às: 
 
(A) 23h. 
(B) 17h. 
(C) 21h. 
(D) 14h 30min. 
(E) 19h 30min. 
 
47. 
No acervo da biblioteca pela qual Adriana é responsável, há 90 livros da 
área de Filosofia, 225 da área de Literatura e 315 da área de Ciências 
Exatas. Adriana vai acomodar todos esses livros em prateleiras, de modo 
que em uma mesma prateleira, não sejam misturados livros de áreas 
distintas. Além disso, em todas as prateleiras, deve haver a mesma 
quantidade de livros, independentemente da área a qual o livro pertença, 
e por fim, Adriana deseja acomodar, em cada prateleira, o maior número 
possível de livros. Feita a acomodação de todos os livros nessas 
condições, o número total de prateleiras que serão usadas é igual a: 
 
(A) 12. 
(B) 13. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
48. 
Um número N, quando dividido por 7, deixa resto 2. Um número M, menor 
que N, quando dividido por 7, deixa resto 5. 
 
Se N – M for dividido por 7, o resto da divisão será 
 
(A) 5. 
(B) 4. 
(C) 3. 
(D) 2. 
 
49. 
Considere o conjunto A de todos os números inteiros positivos menores 
do que 2023. Seja B o conjunto dos elementos de A que são divisíveis 
por 3 ou por 5. 
O número de elementos do conjunto 𝐴 − 𝐵 é: 
 
(A) 1078; 
(B) 1036; 
(C) 944; 
(D) 912; 
(E) 900. 
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10 
50. 
Duas máquinas funcionam continuamente. Uma delas necessita de 
vistoria a cada 15 dias e a outra necessita de vistoria a cada 25 dias. As 
duas máquinas foram vistoriadas no dia 1º de março. O próximo dia em 
que as máquinas receberão vistoria simultaneamente será: 
 
(A) 9 de abril; 
(B) 19 de abril; 
(C) 2 de maio; 
(D) 14 de maio; 
(E) 15 de maio. 
 
51. 
Ao longo de uma avenida foram colocados tapumes de proteção para a 
execução de uma obra. Ao todo foram colocados 90 tapumes, seguindo 
sempre o seguinte padrão de cores: 5 tapumes brancos seguidos de um 
tapume laranja. Nessas condições, e sabendo que o primeiro tapume 
colocado era branco, o número total de tapumes laranja colocados foi 
 
(A) 12. 
(B) 15. 
(C) 18. 
(D) 21. 
 
52. 
Uma pasta sanfonada será escolhida para guardar alguns boletos, sendo 
que, em cada divisória, deverá ser colocada a mesma quantidade de 
boletos. Na empresa, existem dois tipos de pastas sanfonadas, de 12 e 
15 divisórias e, utilizando qualquer uma delas, todos os boletos 
conseguirão ser guardados sem sobrar nenhum. 
 
Sabendo que o número de boletos a serem guardados é um número 
inferior a 100, então, a diferença entre o número de boletos colocados 
em cada divisória, caso a escolha seja a pasta com 12 divisórias, e o 
número de boletos colocados em cada divisória, caso escolha-se a pasta 
com 15 divisórias, é de: 
 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 4. 
 
53. 
Uma pessoa precisa atualizar determinado número de fichas cadastrais. 
Se ela atualizar 8 fichas por dia, levará 2 dias a mais do que se atualizar 
9 fichas por dia. O número total de fichas cadastrais que essa pessoa 
precisa atualizar é: 
 
(A) 144. 
(B) 136. 
(C) 148. 
(D) 152. 
(E) 160. 
 
54. 
Uma viatura policial precisa percorrer 288 quilômetros para chegar ao 
local da ocorrência. Em função das condições de trânsito, ela percorreu 
os primeiros 72 quilômetros em 45 minutos. Dessa forma, se for mantida 
a velocidade média da viatura, qual será a duração total do deslocamento 
até o local da ocorrência? 
 
(A) 2 horas 
(B) 4 horas 
(C) 3 horas e meia 
(D) 2 horas e meia 
(E) 3 horas 
 
 
 
55. 
Considere que uma pessoa execute, rigorosamente, uma tarefa A a cada 
2 dias, uma tarefa B a cada 4 dias, e uma tarefa C a cada 5 dias, e que 
hoje ela executará as três tarefas. Logo, de hoje até o próximo dia em 
que essa pessoa executar essas três tarefas em um mesmo dia, 
inclusive, a soma do número total de vezes em que ela terá executado a 
tarefa A com o número total de vezes em que ela terá executado a tarefa 
C será igual a 
 
(A) 14. 
(B) 15. 
(C) 16. 
(D) 17. 
(E) 18. 
 
56. 
Uma professora, ao realizar uma atividade lúdica com os alunos de sua 
classe, distribuiu igualmente entre eles 68 fichas amarelas, 102 fichas 
azuis e 170 fichas vermelhas e não sobrou nenhuma ficha. A soma dos 
algarismos do número de alunos dessa classe é: 
 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 6. 
(D) 7. 
(E) 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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11 
GABARITO QUESTÃO DE TREINAMENTO E FIXAÇÃO 
1) 
a) V 
b) V 
c) F 
d) F 
e) V 
2) 
b), d), e) 
3) 
São sete números primos e eles são 
os números 
23,29,31,37,41,43 𝑒 47. 
4) 
a) 24. 3 
b) 32. 13.17 
c) 22. 52. 23 
d) 3.52 
5) 
a) 12 
b) 8 
c) 18 
d) 7 
6) 
a) 90 
b) 2940 
c) 650 
d) 120 
7) 
a) 12 
b) 2 
c) 12 
d) 4 
e) 1 
8) 25. 38. 53. 72 
9) 34. 52 
10) D 
11) B 
12) B 
13) E 
14) A 
15) B 
16) B 
17) A 
18) E 
19) E 
20) E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO DE EXERCICIOS 
1. C 
2. D 
3. C 
4. D 
5. B 
6. A 
7. D 
8. B 
9. B 
10. D 
11. B 
12. A 
13. B 
14. B 
15. D 
16. B 
17. C 
18. D 
19. B 
20. D 
21. A 
22. E 
23. C 
24. A 
25. B 
26. C 
27. B 
28. E 
29. A 
30. C 
31. B 
32. A 
33. D 
34. B 
35. B 
36. C 
37. B 
38. D 
39. E 
40. E 
41. D 
42. D 
43. B 
44. C 
45. A 
46. A 
47. C 
48. B 
49. A 
50. E 
51. B 
52. A 
53. A 
54. E 
55. C 
56. D 
 
 
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