analise combinatória e probabilidade

Prévia do material em texto

Ana´lise Combinato´ria e
Probabilidade
Francisco Oliveira de Lima
7 de maio de 2015
Ana´lise Combinato´ria e
Probabilidade
SIGLAS
UFS - SE - Universidade Federal de Sergipe.
UFPR - Universidade Federal do Parana´.
IFPA - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Para´
IFMA - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Maranha˜o.
UEPA - Universidade Estadual do Para´.
UFPA - Universidade Federal do Para´.
UFMA - Universidade Federal do Maranha˜o.
UEMA - Universidade Estadual do Maranha˜o.
IFAP - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Amapa´.
IFNMG - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Norte de Minas Gerais.
IFMG - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Minas Gerais.
UFU - MG - Universidade Federal de Uberlaˆndia.
UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais.
UEMG - Universdidade do Estado de Minas Gerais.
UFOP -MG - Universidade Federal de Ouro Preto.
UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro.
UF Rural - RJ - Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro.
UFF - RJ - Universidade Federal Fluminense.
IFF - RJ - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia Fluminense.
UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
CESGRANRIO - RJ - Fundac¸a˜o Cesgranrio.
IF Sul Minas - MG - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Sul de Minas
Gerais.
UNIVASF - Universidade Federal do Vale do Sa˜o Francisco.
UESC - BA - Universidade Estadual de Santa Cruz.
UFBA - Universidade Federal da Bahia.
UEFS - BA - Universidade Estadual de Feira de Santana.
IFBA - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia da Bahia.
IFES - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Espirito Santo.
UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo.
IFS - SE - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Sergipe.
IFPR - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Parana´.
UEPG - PR - Universidade Estadual de Ponta Grossa.
UEM - PR - Universidade Estadual de Maringa´.
UFC - CE - Universidade Federal do Ceara´.
IFCE - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Ceara´.
URCA - CE - Universidade Regional do Cariri.
UFGD - MS - Universidade Federal da Grande Dourados.
UFG - GO - Universidade Federal de Goia´s.
UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul.
OBMEP - Olimpiada Brasileira de Matema´tica das Escolas Pu´blicas.
CESPE - UNB - Centro de Selec¸a˜o e de Promoc¸a˜o de Eventos da Universidade de Bras´ılia.
UFT -TO - Universidade Federal do Tocantins.
IFTO - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Tocantins.
FCC - Fundac¸a˜o Carlos Chagas.
IFPE - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Pernambuco.
UFPE - Universidade Federal de Pernambuco.
UPE - Universidade de Pernambuco.
Mackenzie - SP - Universidade Presbiteriana Mackenzie.
IFAL - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Alagoas.
UFAL - Universidade Federal de Alagoas.
UFLA - MG - Universidade Federal de Lavras.
UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
IF Farroupilha - RS - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia Farroupilha.
UNICAMP - SP - Universidade Estadual de Campinas.
ITA - SP - Instituto Tecnolo´gico da Aerona´utica.
UNIFEI - MG - Universidade Federal de Itajuba´.
IFSP - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Sa˜o Paulo.
IFMT - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Mato grosso.
UFMT - Universidade Federal de Mato Grosso.
UNEMAT -MT - Universidade do Estado de Mato Grosso.
IFRN - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Rio Grande do Norte.
UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
UERN - Universidade do Estado do Rio Grande do Norte.
FGV - Fundac¸a˜o Getu´lio Vargas.
UFCG - PB - Universidade Federal de Campina Grande.
UFAM - Universidade Federal do Amazonas.
UEA - AM - Universidade do Estado do Amazonas.
UEAP - Universidade do Estado do Amapa´.
PUC - RJ - Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio de Janeiro.
PUC - MG - Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais.
PUC - RS - Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Rio Grande do Sul.
PUC - PR - Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Parana´.
PUC - SP - Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Sa˜o Paulo.
UNIVASF - Universidade Federal do Vale do Sa˜o Francisco.
UFV - MG - Universidade Federal de Vic¸osa.
UNIFESP - Universidade Federal de Sa˜o Paulo.
UNIR - RO - Universidade Federal de Rondoˆnia.
FEI - SP - Centro Universita´rio da FEI - Fundac¸a˜o Educacional Inaciana Pe. Sabo´ia de
Medeiros.
ULBRA - RS - Universidade Luterana do Brasil.
UCS - RS - Universidade de Caxias do Sul.
FURG - RS - Universidade Federal do Rio Grande.
IFRS - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Rio Grande do Sul.
UFSM - RS - Universidade Federal de Santa Maria.
FUVEST - SP - Fundac¸a˜o Universita´ria para o Vestibular.
VUNESP - SP - Fundac¸a˜o para o vestibular da Unesp.
UNESP - Universidade Estadual Paulista Ju´lio de Mesquita Filho.
UFTM - MG - Universidade Federal do Triaˆngulo Mineiro.
UFAC - Universidade Federal do Acre.
EsPCEx - SP - Escola Preparato´ria de Cadetes do Exe´rcito.
AFA - SP - Academia da Forc¸a Ae´rea.
NUCEPE - UESPI - Nu´cleo de Concursos e Promoc¸a˜o de eventos da Universidade Esta-
dual do Piau´ı.
UESPI -Universidade Estadual do Piau´ı.
IFPI - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Piau´ı.
UFPI - Universidade Federal do Piau´ı.
IFG - GO - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Goia´s.
Unimontes - MG - Universidade Estadual de Montes Claros.
Unirio - RJ - Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro.
Ufscar - SP - Universidade Federal de Sa˜o Carlos.
UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina.
UEMS - Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul.
UNIFOR - CE - Universidade de Fortaleza.
UNIFAL - MG - Universidade Federal de Alfenas.
IFRO - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia de Rondoˆnia.
IF Sudeste MG - Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Sudeste de Minas
Gerais.
UFRR - Universidade Federal de Roraima.
UEPB - Universidade Estadual da Para´ıba.
UFPB - Universidade Federal da Para´ıba.
UEG - GO - Universidade Estadual de Goia´s.
”A matema´tica e´ linda, igualmente um sorriso
estampado no rosto de uma crianc¸a sapeca”
Janua´rio Oliveira de Lima.
Prefa´cio
Esse texto foi produzido com o objetivo, de fornecer uma variedade de questo˜es
referentes ao estudo da Ana´lise Combinato´ria, Binoˆmio de Newton e a Probabilidade de
n´ıvel me´dio. Notamos que esse assunto apresenta grandes aplicac¸o˜es em problemas do
cotidiano. Desejo sucesso a todos os estudantes.
12 de abril de 2015.
Dom Eliseu - PA.
7
Suma´rio
Prefa´cio 7
1 Ana´lise Combinato´ria 10
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Permutac¸a˜o Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Permutac¸a˜o com repetic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Combinac¸a˜o Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9 Respostas das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.10 Respostas dos Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.11 Respostas dos Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 Binoˆmio de Newton 56
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.2 Triaˆngulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Termo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Polinoˆmio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.8 Respostas das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.9 Respostas dos Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.10 Respostas dos Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Probabilidade 82
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Distribuic¸a˜o Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8
SUMA´RIO 9
3.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.8 Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.9 Respostas das Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.10 Respostas dos Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.11 Respostas dos Exerc´ıcios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4 Questo˜es Resolvidas 147
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Refereˆncias Bibliogra´ficas 171
Cap´ıtulo 1
Ana´lise Combinato´ria
1.1 Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o 1.1.1. (Princ´ıpio da adic¸a˜o) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, onde A
tenha x elementos e B tenha y elementos. Enta˜o, o conjunto A∪B possui x+y elementos.
Exemplo 1.1.1. Na lanchonete da Dona Nete ela oferece 8 sabores de pizzas e 7 sabores
de vitaminas. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode escolher uma pizza e uma
vitamina ?
Soluc¸a˜o: Seja A o conjunto que representa os sabores de pizza e B o conjunto que
representa os sabores de vitamina. Notamos que os conjuntos A e B sa˜o disjuntos. Ou
seja, o conjunto A ∪ B possui 15 elementos. Logo, a pessoa podera´ fazer 15 pedidos
distintos.
Definic¸a˜o 1.1.2. (Princ´ıpio fundamental da contagem) Suponha que um trabalho
seja composto por duas etapas sucessivas; onde a primeira etapa pode ser realizada de m
maneiras diferentes e a segunda etapa pode ser realizada de n maneiras diferentes. Enta˜o,
o nu´mero de maneiras distintas de realizar esse trabalho e´ dado por m · n.
Observac¸a˜o 1.1.1. Na definic¸a˜o acima, esse princ´ıpio pode ser generalizado para um tra-
balho que tenha mais que 2 etapas.
Exemplo 1.1.2. Usando os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9. Quantos nu´meros com quatro
algarismos distintos podemos formar ?
Soluc¸a˜o: Observamos que os nu´meros de quatro algarismos tem a forma ABCD. Sabe-
mos que para a posic¸a˜o A existem 6 possibilidades, para a posic¸a˜o B existem 5 possibili-
dades, para a posic¸a˜o C existem 4 possibilidades e finalmente para a posic¸a˜o D existem 3
posssibilidades. Agora, pelo princ´ıpio fundamental da contagem, segue que a quantidade
de nu´meros vale 6 · 5 · 4 · 3 = 360. Ou seja, a resposta e´ 360 nu´meros.
Exemplo 1.1.3. Uma bandeira e´ formada por cinco faixas, que devem ser coloridas
usando apenas as cores preta, vermelha, azul e amarela, na˜o devendo faixas adjacentes
ter a mesma cor. De quantas maneira essa bandeira pode ser colorida?
10
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 11
Soluc¸a˜o: Notamos que a primeira faixa pode ser colorida de 5 modos, a segunda de
4 modos, a terceira de 4 modos, a quarta faixa de 3 modos e finalmente a u´ltima faixa
de 4 modos. Ou seja, usando o princ´ıpio fundamental da contagem, concluimos que essa
bandeira pode ser pintada de 5 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1280 maneiras diferentes.
Exemplo 1.1.4. (IFAL) Um professor deve elaborar uma avaliac¸a˜o com 4 questo˜es.
Cada questa˜o deve ter 5 alternativas, das quais somente uma e´ verdadeira. De quantos
modos distintos o professor pode compor o gabarito dessa prova?
a) 20
b) 120
c) 60
d) 480
e) 625
Soluc¸a˜o: Essa problema pode ser dividido em quatro etapas. Na primeira, existem 5
possibilidades; na segunda, existem 5 possibilidades; na terceira, existem 5 possibilidades
e na u´ltima existem 5 possibilidades. Portanto, pelo princ´ıpio fundamental da contagem,
temos 5 · 5 · 5 · 5 = 625 modos distintos de elaborar a prova.
Exemplo 1.1.5. (IFRO) Se uma sala tem 8 portas, enta˜o o nu´mero de maneiras dis-
tintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente e´?
a) 16
b) 40
c) 48
d) 56
e) 8
Soluc¸a˜o: Nesse problema existem duas etapas; a primeira, consiste em escolher uma
porta para entrar na sala (temos 8 possibilidades); na segunda etapa, consiste em esco-
lher uma porta para sair ( temos 7 possilidades, pois excluimos a porta onde aconteceu a
entrada). Portanto, pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos 8 · 7 = 56 possibili-
dades.
1.2 Arranjos
Definic¸a˜o 1.2.1. Seja um conjunto com n elementos distintos, chamamos de arranjo dos
n elementos, tomados p a p, a qualquer sequeˆncia ordenada formada por p elementos
escolhidas do conjunto. Onde, a notac¸a˜o de arranjo e´ An,p e representamos por
An,p =
n!
(n− p)! , n ≥ p.
Exemplo 1.2.1. Usando os algarismos 1, 2, 3, 7, 8 e 9. Quantos nu´meros de 3 algarismos
distintos podemos formar ?
Soluc¸a˜o: Nesse caso, vamos usar arranjos. Ou seja, devemos formar arranjos de 6
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 12
elementos tomados 3 a 3. Portanto, temos
A6,3 =
6!
(6− 3)! =
6!
3!
= 120.
Ou seja, podemos formar 120 nu´meros.
Exemplo 1.2.2. Juliana deseja formar uma senha com 4 caracteres diferentes. Sabe-se
que existem 12 caracteres diferentes para sua escolha. De quantas maneiras ela podera´
construir a senha ?
Soluc¸a˜o: Notamos que trata-se de um problema de arranjos. Logo, vamos formar
arranjos de 12 elementos tomados 4 a 4. Assim, segue que
A12,4 =
12!
(12− 4)! =
12!
8!
= 11880.
Ou seja, existem 11880 possibilidades.
1.3 Permutac¸a˜o Simples
Definic¸a˜o 1.3.1. Seja um conjunto com n elementos diferentes. Uma permutac¸a˜o simples
e´ um caso particular de arranjo simples, onde n = p. Ou seja, a permutac¸a˜o de n elementos
e´ um arranjo simples de n elementos tomandos n a n. Assim, vale a relac¸a˜o
Pn = An,n =
n!
(n− n)! = n!.
Exemplo 1.3.1. (ITA - SP) O nu´mero de anagramas da palavra V ESTIBULANDO,
que na˜o apresentam as cinco vogais juntas e´
a) 12!
b) (8!)(5!)
c) 12! - (8!)(5!)
d) 12! - 8!
e) 12! - (7!)(5!)
Soluc¸a˜o: Sabemos que a palavra V ESTIBULANDO possui 12 letras diferentes. Logo,
a quantidade de anagramas e´ P12 = 12!. Por outro lado, colocando as cinco vogais juntas,
obtemos P8 · P5 = 8! · 5! anagramas. Portanto, a quantidade de anagramas que na˜o
apresentam as cinco vogais juntas e´ P12 − P8 · P5 = 12! − 8! · 5!. Ou seja, a resposta e´ a
alternativa C.
Exemplo 1.3.2. (FCC) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA.
Quantos deles teˆm as vogais juntas ?
a) 36
b) 72
c) 120
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 13
d) 144
e) 180
Soluc¸a˜o:
Notamos que a palavra MORENA possui 6 letras diferentes. Agora, colocando as treˆs
vogais juntas, obtemos P4 · P3 = 4! · 3! = 24 · 6 = 144 anagramas. Portanto, a resposta e´
a alternativa D.
Exemplo 1.3.3. (UEFS - BA) O nu´mero de anagramas da palavra PROVA que na˜o
apresenta as duas vogais juntas e´
A) 24B) 36
C) 48
D) 60
E) 72
Soluc¸a˜o: Observamos que a palavra PROV A teˆm 5 letras distintas. Logo, possui
P5 = 5! anagramas. Ale´m disso, destes anagramas P2 · P4 = 2! · 4! possuem as vogais
juntas. Portanto, podemos dizer que P5−P2 ·P4 = 5!− 2! · 4! = 120− 48 = 72 anagramas
na˜o teˆm as vogais juntas. Ou seja, a resposta e´ a alternativa E.
1.4 Permutac¸a˜o com repetic¸a˜o
Definic¸a˜o 1.4.1. Seja um conjunto com n elementos. O total de permutac¸o˜es desses n
elementos com repetic¸o˜es, nos quais n1, n2, · · · , nk sa˜o as quantidades das repetic¸o˜es dos
diferentes elementos, tais que n1 + n2 + · · ·+ nk = n, vale
P n1,n2,··· ,nkn =
n!
n1! · n2! · · ·nk! .
Exemplo 1.4.1. (FURG - RS) Manoela decidiu escolher uma senha para seu e-mail
trocando de lugar as letras do seu nome. O nu´mero de maneiras como ela pode fazer isso,
considerando qua a senha escolhida deve ser diferente do pro´prio nome, e´:
a) 817
b) 48
c) 5039
d) 23
e) 2519
Soluc¸a˜o: Notamos que a palavra MANOELA, possui duas letras A e cinco letras
distintas. Portanto, o total de anagrama e´ dado por
P 27 =
7!
2!
= 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 2520.
Mas, sabemos que deve ser excluido o nome. Logo, temos 2520 − 1 = 2519. Ou seja, a
resposta e´ a alternativa E.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 14
Exemplo 1.4.2. Seja N = {0, 1, 2, 3, · · · } o conjunto dos nu´meros naturais. Calcule a
quantidadade de soluc¸o˜es naturais da equac¸a˜o x+ y + z = 9, onde x, y, z ∈ N.
Soluc¸a˜o: Vamos usar uma estrate´gia, com auxilio de bolas pretas e trac¸os verticais.
Agora, faremos algumas configurac¸o˜es, observemos a primeira:
• • • | • • •• | • • representa (3, 4, 2).
Na segunda configurac¸a˜o, temos
• • • • • || • • • • representa (5, 0, 4).
Na terceira configurac¸a˜o, temos
| • • • • • • •• | • representa (0, 8, 1).
Portanto, para obter a quantidade de soluc¸o˜es naturais, basta usarmos a permutac¸a˜o com
repetic¸a˜o. Ou seja, temos um total de 11 objetos, composto por 9 bolas pretas e 2 trac¸os
verticais. Portanto, resulta que
P 9,211 =
11!
9! · 2! = 55.
Ou seja, a equac¸a˜o possui 55 soluc¸o˜es naturais.
Exemplo 1.4.3. Um come´rcio vende 4 tipos de lata de tinta, nas marcas A, B, C e D.
Juliano deseja comprar 8 latas de tinta. De quantas maneiras distintas ele podera´ fazer
essa compra ?
Soluc¸a˜o: Consideremos a seguinte notac¸a˜o, onde:
x = quantidade de latas da marca A;
y = quantidade de latas da marca B;
z = quantidade de latas da marca C;
w = quantidade de latas da marca D.
Portanto, esse problema e´ equivalente a resolver x + y + z + w = 7, onde x, y, z, w ∈ N.
Enta˜o, usando a estrate´gia de bolas pretas e trac¸os verticais, temos a configurac¸a˜o
•• | • | • | • • • representa (2, 1, 1, 4).
Por outro lado, temos 10 objetos, sendo 7 bolas pretas e 3 trac¸os verticais. Logo, temos
P 7,310 =
10!
7! · 3! = 120.
Ou seja, existem 120 maneiras diferentes de Juliano realizar sua compra.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 15
Exemplo 1.4.4. Uma pastelaria vende paste´is de queijo e palmito. Enta˜o, a quantidade
de maneiras que uma possoa podera´ comprar 6 paste´is e´:
a) 7
b) 8
c) 12
d) 15
Soluc¸a˜o: Suponhamos que x = quantidade de paste´is de queijo e y = quantidade de
paste´is de palmito. Enta˜o, devemos resolver x+ y = 6, onde x, y ∈ N. Logo, resulta que
P 6,17 =
7!
6! · 1! = 7.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa A.
Exemplo 1.4.5. Seja Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, · · · } o conjunto dos nu´meros inteiros.
Ache o total de soluc¸o˜es inteiras e positivas da equac¸a˜o x+ y + z = 8, onde x, y, z ∈ Z.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, fazendo x = a + 1, y = b + 1 e z = c + 1, obteremos a equac¸a˜o
(a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = 8, que resulta em a + b + c = 5. Ou seja, esse problema
e´ equivalente a obter soluc¸o˜es inteiras e na˜o-negativas da equac¸a˜o a + b + c = 5, onde
a, b, c ∈ Z. Usando trac¸os verticais e bolas pretas, temos
P 2,57 =
7!
2! · 5! = 35.
Portanto, a equac¸a˜o possui 35 soluc¸o˜es positivas.
Exemplo 1.4.6. (IF Sudeste MG)Quantos sa˜o os anagramas da palavra PORTUGUEˆS?
a) 362880
b) 181440
c) 40320
d) 5040
e) 81
Soluc¸a˜o: Inicialmente, observamos que a palavra PORTUGUEˆS, possui 9 letras. Ale´m
disso, existe uma repetic¸a˜o de duas letras U. Portanto, para obter a quantidade de ana-
gramas, devemos usar a permutac¸a˜o com repetic¸a˜o. Logo, resulta
P 29 =
9!
2!
= 181440.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa B.
1.5 Combinac¸a˜o Simples
Definic¸a˜o 1.5.1. Seja um conjunto com n elementos distintos, denota-se combinac¸a˜o dos
n elementos, tomados p a p, a qualquer subconjunto com p elementos formado a partir
dos elementos do conjunto. Onde, a notac¸a˜o e´ Cn,p e representamos por
Cn,p =
(
n
p
)
=
n!
p! · (n− p)! , n ≥ p.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 16
Exemplo 1.5.1. Uma sorveteria oferece 9 sabores de sorvete a seus clientes. De quantas
maneiras uma pessoa pode escolher 4 sabores ?
Soluc¸a˜o: Notamos que se a pessoa escolhesse os sabores (A,B,C,D), seria o mesmo que
ela escolhesse os sabores (A,C,D,B). Portanto, observamos que a ordem na˜o e´ importante.
Ou seja, trata-se de um problema de combinac¸a˜o. Logo, temos
C9,4 =
9!
4! · (9− 4)! =
9!
4! · 5! = 126.
Portanto, existem 126 maneiras de fazer a escolha.
Exemplo 1.5.2. Uma escola tem uma diretoria formada por oito pessoas. Deve ser
formada uma comissa˜o de treˆs pessoas. Quantas comisso˜es diferentes podem ser formadas
?
a) 54
b) 56
c) 65
d) 68
e) 84
Soluc¸a˜o: Supomos que (A,B,C) seja uma comissa˜o. Logo, a sequeˆncia (A,C,B) trata-
se da mesma comissa˜o. Portanto, a ordem na˜o e´ importante. Dessa forma, esse problema
trata-se de combinac¸a˜o simples. Logo, resulta que
C8,3 =
8!
3! · (8− 3)! =
8!
3! · 5! = 56.
Portanto, a resposta e´ a alternativa B.
Exemplo 1.5.3. (UF Rural - RJ) Em uma sala esta˜o 6 rapazes e 5 moc¸as. Quantas
comisso˜es podemos formar, tendo em cada comissa˜o 3 rapazes e 2 moc¸as ?
(a) 50.
(b) 100.
(c) 150.
(d) 200.
(e) 250.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, vamos dividir esse problema em duas etapas: Na primeira, deve-
mos escolher 3 rapazes num total de 6, e a segunda etapa, consiste em escolher 2 moc¸as
num total de 5. Enta˜o, pelo principio fundamental da contagem, resulta que(
6
3
)
·
(
5
2
)
=
6!
3! · 3! ·
5!
2! · 3! = 200.
Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
Exemplo 1.5.4. (IFMA) No campeonato de xadrez do IFMA a regra e´ que cada
competidor jogue duas vezes com cada um dos outros. Sabendo que houve 110 partidas,
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 17
podemos afirmar que o nu´mero de competidores inscritos foi?
a) 11
b) 12
c) 10
d) 9
e) 13
Soluc¸a˜o: Nesse problema devemos usar combinac¸a˜o simples. Ou seja, fazer a combinac¸a˜o
N jogadores tomados dois a dois. Observamos que entre os 110 jogos existem jogos do
tipo AB e BA. Mas, devemos trabalhar com apenas um dos jogos. Pois, na combinac¸a˜o
a ordem na˜o faz diferenc¸a. Portanto, devemos dividir 110 por 2. Logo, vem(
N
2
)
= 55 =⇒ N !
2! · (N − 2)! = 55 =⇒
N · (N − 1)
2
= 55.
Simplificando, obtemos N2−N − 110 = 0. Resolvendo, encontramos as raizes N = 11 ou
N = −10. Logo, a resposta vale 11.
Exemplo 1.5.5. (UFBA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, mac¸a˜, mama˜o
e mela˜o, calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco usando-se treˆs
frutas distintas.
Soluc¸a˜o: Notamos que a sequeˆncia (abacaxi, acerola, goiaba) e´ equivalente a sequeˆncia
(abacaxi, goiaba, acerola). Portanto, concluimos que a ordem na˜o e´ importante. Ou seja,
trata-se de um problema de combinac¸a˜o. Logo, temos
C7,3 =
(
7
3
)
=
7!
3! · (7− 3)! =
7!
3! · 4! = 35.
Portanto, existem 35 maneiras distintas de preparar o suco.
Exemplo 1.5.6. (IFBA) Em um determinado setor de uma indu´stria, trabalham seis
engenheiros e oito te´cnicos.O nu´mero de equipes diferentes que podera˜o ser formadas
com treˆs engenheiros e quatro te´cnicos e´
A) 576
B) 1050
C) 1260
D) 1400
E) 2010
Soluc¸a˜o: Dividindo primeiramente esse problema em duas etapas: Na primeira, devemos
escolher 3 engenheiros num total de 6, e a segunda etapa, devemos escolher 4 te´cnicos
num total de 8. Logo, pelo principio fundamental da contagem, temos(
6
3
)
·
(
8
4
)
=
6!
3! · 3! ·
8!
4! · 4! = 1400.
Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 18
Exemplo 1.5.7. (UFRJ) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares do
livro ? Combinato´ria e´ fa´cil? e 5 exemplares de ? Combinato´ria na˜o e´ dif´ıcil?. Considere
que os livros com mesmo t´ıtulo sejam indistingu´ıveis. Determine de quantas maneiras
diferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de Com-
binato´ria na˜o e´ dif´ıcil nunca estejam juntos.
Soluc¸a˜o: Sejam as notac¸o˜es A = Livro de combinato´ria e´ fa´cil e B = Livro de combi-
nato´ria na˜o e´ dif´ıcil. Agora, consideremos a seguinte configurac¸a˜o
−A− A− A− A− A− A− A− A− A− A− A−
Notamos, que na representac¸a˜o acima, existem 10 espac¸os internos e 2 espac¸os externos.
Agora, devemos distribuir 5 livros nesses 12 espac¸os livres. Portanto, a resposta e´ igual a
C12,5 =
12!
5! · (12− 5)! =
12!
5! · 7! = 792.
Exemplo 1.5.8. (IFMA) Numa escola do ensino me´dio da rede Estadual de Sa˜o Lu´ıs
do Maranha˜o, existem 5 professores de Matema´tica e 4 de F´ısica. Quantas comisso˜es de
3 professores podemos formar, tendo cada uma delas 2 matema´ticos e um f´ısico?
a) 40
b) 45
c) 30
d) 14
e) 10
Soluc¸a˜o: Dividindo inicialmente esse problema em duas etapas: Notamos que a primeira
etapa consiste em escolher 2 matema´ticos entre 5 matema´ticos e a segunda etapa consiste
em escolher 1 f´ısico entre 4 f´ısicos. Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos(
5
2
)
·
(
4
1
)
= 40.
Assim, a resposta e´ a alternativa A.
Exemplo 1.5.9. (UCS - RS) Em uma escola, ha´ seis rapazes e quatro moc¸as dispostos
a participar de um congresso nacional. No entanto, a representac¸a˜o de cada instituic¸a˜o
devera´ restringir-se a seis estudantes. Se, no grupo de representantes, houver, pelo menos,
duas moc¸as, o nu´mero de possibilidades diferentes de selec¸a˜o sera´
a) 165.
b) 105.
c) 185.
d) 145.
e) 125.
Soluc¸a˜o: Notamos que cada grupo e´ formado por seis estudantes. Seja X o subconjunto
formado por seis estudantes de modo que, exista pelo menos duas moc¸as. Enta˜o, X
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 19
podera´ ser formado por: A) 2 moc¸as e 4 rapazes; B) 3 moc¸as e 3 rapazes; C) 4 moc¸as e 2
rapazes. Portanto, temos(
4
2
)
·
(
6
4
)
+
(
4
3
)
·
(
6
3
)
+
(
4
4
)
·
(
6
2
)
= 185.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa C.
Exemplo 1.5.10. (IFRN) Para discutir um poss´ıvel aumento nas passagens de oˆnibus
em uma cidade, o prefeito esta´ formando uma comissa˜o de 6 pessoas, sendo 2 escolhidas
entre os 6 representantes do setor de transporte coletivo, 2 entre os 8 membros do governo
municipal e 2 entre os 4 representantes da classe estudantil. A quantidade de comisso˜es
distintas que podem ser formadas com essa configurac¸a˜o e´ igual a
a) 1.260.
b) 2.520.
c) 3.080.
d) 5.040.
Soluc¸a˜o: Notamos que esse problema possui treˆs etapas; onde a primeira consiste em
escolher 2 pessoas entre 6 pessoas do setor de transporte coletivo; a segunda etapa, consiste
em escolher 2 pessoas entre 8 pessoas do governo municipal e finalmente, escolher 2 pessoas
entre 4 pessoas da classe estudantil. Pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos(
6
2
)
·
(
8
2
)
·
(
4
2
)
= 2520.
Portanto, a resposta e´ a alternativa B.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 20
1.6 Atividades
1. Quantos anagramas da palavra EDITORA possui as vogais juntas ?
2. Quantos anagramas da palavra EXTRA na˜o possui duas vogais juntas ?
3. Seja a equac¸a˜o x+ y+ z+w = 12, onde x, y, z, w ∈ Z. Encontre o total de soluc¸o˜es
inteiras na˜o-negativas.
4. Considere todos os anagramas da palavra AMOR. Colocando esses anagramas em
ordem alfabe´tica, qual a posic¸a˜o da palavra ”ROMA” ?
5. (PUC-SP) Determine a quantidade de nu´meros de treˆs algarismos, maiores que
500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9.
6. Colocando todos os anagramas da palavra CLARO em ordem alfabe´tica. Qual o
anagrama que ocupa a trige´sima posic¸a˜o ?
7. Fomando nu´meros com 4 algarismos distintos, usando os elementos do conjunto
{1, 2, 4, 8}. Colocando esses nu´meros em ordem crescente, qual a posic¸a˜o ocupada
pelo nu´mero 4281 ?
8. (UFMG) Considere formados e dispostos em ordem crescente todos os nu´meros que
se obteˆm permutando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9. Nessa disposic¸a˜o, que lugar ocupa
o nu´mero 75391 ?
9. Uma sala e´ formada por 8 meninos e 9 meninas. Quantos grupos com 5 pessoas
podem ser formados, de modo que cada grupo tenha no mı´nimo 4 meninos ?
10. Sejam A e B duas retas paralelas distintas. Marcam-se 13 pontos sobre a reta A e
12 pontos sobre a reta B. Quantos triaˆngulos podemos formar unindo treˆs pontos
quaisquer desses 25 pontos ?
11. (UFRJ) Quantos nu´meros de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo
2 aparece ao menos uma vez ?
12. (UFJF - MG) Um jornalista foi designado para cobrir uma reunia˜o de ministros
de estado. Ao chegar ao local da reunia˜o, descobriu que havia terminado. Ao
perguntar ao porteiro o nu´mero de ministros presentes, ele disse: ”Ao sa´ırem, todos
os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de ma˜o”.
Com base nessa informac¸a˜o, qual foi o nu´mero de ministros presentes ao encontro ?
13. (UEG - GO) Calcule de quantas maneiras podem ser dispostas 4 damas e 4 cava-
lheiros numa fila, de forma que na˜o fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 21
1.7 Exerc´ıcios Propostos
1. (IFMA) Permutam-se de todas as formas poss´ıveis os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e
escrevem-se os nu´meros formados em ordem crescente. A posic¸a˜o ocupada pelo
nu´mero 42167 e´ a:
a) 31a
b) 30a
c) 55a
d) 49a
e) 54a
2. (UECE) Quantos sa˜o os nu´meros inteiros positivos, divis´ıveis por 5, escritos com
quatro algarismos distintos escolhidos entre os elementos de {1, 3, 5, 7, 9} ?
A) 120.
B) 60.
C) 24.
D) 20.
3. (UEA - AM) A soma de todos os nu´meros de treˆs algarismos, na˜o repetidos, que
podem ser formados com os algarismos 1, 3 e 5 e´:
(A) 734.
(B) 1017.
(C) 1998.
(D) 3994.
(E) 5322.
4. (IFMA) Quantos sa˜o os nu´meros de treˆs d´ıgitos distintos que sa˜o ı´mpares?
a) 648
b) 405
c) 360
d) 729
e) 320
5. (NUCEPE - UESPI) Quantos sa˜o os nu´meros pares formados por treˆs algarismos
distintos?
a) 256.
b) 328.
c) 360.
d) 450.
e) 504.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 22
6. (IFES) Dos 16 policiais que va˜o sair em duplas para fazer ronda, 4 sa˜o do sexo fe-
minino. Se as duplas formadas por duas mulheres na˜o forem permitidas, de quantos
modos diferentes as duplas podera˜o ser formadas?
a) 144.
b) 132.
c) 120.
d) 114.
e) 66.
7. (OBMEP) Uma formiguinha esta´ no ponto A do quadriculado da figura e quer
chegar ao ponto B passando pelo ponto R, andando sobre os lados dos quadradinhos
e apenas para a direita ou para baixo. De quantas maneiras ela pode fazer esse
trajeto?
(A) 20
(B) 24
(C) 40
(D) 48
(E) 60
8. (IFMA) Observando as placas dos carros, nota-se que elas possuem treˆs letras e
quatro algarismos. Considerando que o alfabeto latino tem 26 letras, o nu´mero de
carros emplacados em que as placas iniciam sempre com a letra A e terminam com
o algarismo 3, e´:
a) 6 760 000
b) 17 576 000
c) 676 000
d) 600 000
e) 1 757 600
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 23
9. (FCC) A quantidadeexistente de nu´meros pares maiores que 1 500 e menores que
2 000, formados apenas por algarismos distintos, e´ igual a
(A) 89
(B) 161
(C) 201
(D) 250
(E) 304
10. (URCA - CE) Um atleta frequenta diariamente um clube para praticar seu esporte.
Tal clube fica distante de sua casa oito quarteiro˜es ao leste e cinco quarteiro˜es ao
norte, como descreve a figura abaixo:
De quantas maneiras distintas ele pode chegar ao clube, partindo de sua casa, se
movimentando apenas nas direc¸o˜es norte ou leste.
a) 1287
b) 1288
c) 1289
d) 1290
e) 1291
11. (UERN) Um jogo e´ formado por pec¸as de dois tipos de formas geome´tricas: cubos
e cones. Pretende-se formar um conjunto de 5 pec¸as com, no ma´ximo, 2 cones.
Sabendo-se que o jogo e´ formado por 8 cubos e 3 cones e todas pec¸as sa˜o de cores
distintas, enta˜o, o nu´mero de possibilidades para se formar esse conjunto e´
A) 56.
B) 168.
C) 210.
D) 434.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 24
12. (IFAP) Um professor de Matema´tica deseja formar uma equipe de quatro integran-
tes para disputar o campeonato estadual de xadrez. Seis meninos e quatro meninas
se inscreveram para participar da seletiva. Considerando que a equipe contara´ com
a participac¸a˜o de pelo menos uma menina, de quantos modos o professor podera´
fazer a escolha dos membros da equipe?
a) 240
b) 195
c) 194
d) 170
e) 80
13. (IFPE) Para ir da cidade A para a cidade D, A´lvaro obrigatoriamente passa pelas
cidades B e C, nessa ordem. Sabendo que existem cinco estradas diferentes de A
para B, quatro estradas diferentes de B para C e treˆs estradas diferentes de C para
D, quantos trajetos diferentes existem de A para D?
a) 12
b) 15
c) 30
d) 60
e) 120
14. (IFMG) Numa reunia˜o, esta˜o presentes 10 pessoas, dentre elas, Ana e treˆs desafetos
seus: Bruno, Carlos e Diogo. De quantas maneiras diferentes pode ser formada uma
comissa˜o com 5 pessoas desse grupo, se Ana na˜o admite estar em uma comissa˜o
com qualquer um de seus treˆs desafetos citados?
a) 128
b) 162
c) 141
d) 108
e) 157
15. (IFPA) Cinco amigos foram passar fe´rias num hotel fazenda na ilha do Mosqueiro,
distrito administrativo do munic´ıpio de Bele´m. Para tornar as noites mais movi-
mentadas, resolveram fazer um campeonato de natac¸a˜o com a participac¸a˜o de todos
num so´ turno, em que sera˜o premiados o campea˜o e o vicecampea˜o. Quantas sa˜o as
possibilidades de classificac¸a˜o nos dois primeiros lugares?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 25
16. (IFMA) O pentatlo moderno e´ uma modalidade ol´ımpica composta das seguintes
modalidades: corrida, tiro, hipismo, natac¸a˜o e esgrima Olimp´ıadas de Londres 2012,
a atleta brasileira Yane Marques ganhou a medalha de bronze. A fim de se prepa-
rar para essa prova, inicialmente ela programou um treinamento com treˆs dessas
modalidades. De quantas maneiras distintas Yane Marques poderia ter escolhido as
modalidades para esse treinamento inicial?
a) 15 maneiras
b) 6 maneiras
c) 3 maneiras
d) 2 maneiras
e) 10 maneiras
17. (NUCEPE - UESPI) Uma comissa˜o de 5 gerentes deve ser formada a partir de um
grupo de 10 pessoas, sendo 5 da empresa A, 3 da empresa B e 2 da empresa C.
Quantas diferentes comisso˜es de gerentes podem ser formadas se cada uma delas
deve conter pelo menos um representante de cada uma dessas empresas?
a) 135
b) 145
c) 155
d) 165
e) 175
18. (IFMT) Alguns truques com palavras tambe´m envolvem a Matema´tica. Observe
as letras da palavra AMOR, como esta˜o dispostas
A M O R
M O R
O R
R
O nu´mero de maneiras distintas que se pode obter com a palavra AMOR, partindo
sempre do A e indo para a direita e/ou para baixo e´:
a) 12
b) 10
c) 8
d) 7
e) 6
19. (IFRO) O sistema bina´rio e´ um sistema nume´rico que difere do decimal na quan-
tidade de s´ımbolos para representar os valores, o decimal possui dez s´ımbolos (0 a
9) enquanto no bina´rio apenas dois (0 e 1), seu uso e´ frequente na programac¸a˜o de
computadores, um exemplo, o byte, unidade de armazenamento com oito d´ıgitos,
ou seja, uma sequeˆncia de oito s´ımbolos (0 ou 1). Quantas formas diferentes podem
ter a configurac¸a˜o de um byte?
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 26
a) 80
b) 64
c) 256
d) 128
e) 100
20. (IFES) Os alunos Joa˜o e Pedro sa˜o membros atuantes do direto´rio acadeˆmico e
estudam Engenharia Metalu´rgica no IFES numa turma de 25 alunos. Essa turma
sera´ responsa´vel pela organizac¸a˜o da 1a Semana de Cieˆncia e Tecnologia e uma
comissa˜o com quatro membros devera´ ser formada para a organizac¸a˜o desse evento.
O nu´mero de comisso˜es que podem ser formadas de modo que Joa˜o e Pedro sejam
membros e´:
a) 12.650
b) 1.625
c) 3.036
d) 300
e) 253
21. (URCA - CE) Se marcarmos 27 pontos em um plano, sendo que 15 , e somente 15 ,
destes pontos sa˜o colineares, podemos afirmar que o nu´mero de triaˆngulos diferentes
que podemos formar com ve´rtices em quaisquer dos 27 pontos e´ igual a:
A) 2.925
B) 2.470
C) 455
D) 3.380
E) 525
22. (UEA - AM) Em uma danc¸a folclo´rica havia n pessoas dispostas em um c´ırculo, e
cada pessoa desse c´ırculo saudou todas as outras com um aperto de ma˜o, havendo,
assim, um total de 45 apertos de ma˜o. Conclui-se, enta˜o, que o nu´mero de pessoas
nessa roda e´
(A) 10.
(B) 12.
(C) 14.
(D) 16.
(E) 18.
23. (UEA - AM) Em um ritual ind´ıgena, dez pessoas, entre elas A e B, devem formar
uma fileira, colocando-se umas atra´s das outras. Considerando que A e B devem
ficar sempre juntas, o nu´mero ma´ximo de formac¸o˜es diferentes para essa fileira e´
(A) 2 · 10!
(B) 10!
(C) 2 · 9!
(D) 9!
(E) 2 · 8!
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 27
24. (UFAL) O diretor de um departamento de uma empresa quer selecionar equipes
formadas por 5 pessoas entre seus 12 empregados (que sa˜o 5 homens e 7 mulheres).
Quantas equipes ele podera´ formar se cada equipe deve conter pelo menos um homem
e pelo menos uma mulher?
A) 770
B) 760
C) 750
D) 740
E) 730
25. (UFAL) O comiteˆ gestor de uma escola e´ formado por um diretor, um vice-diretor,
um secreta´rio e um tesoureiro. O comiteˆ deve ser escolhido entre os professores da
escola, e um mesmo professor na˜o pode ocupar mais de um cargo. Se uma escola tem
15 professores, de quantas maneiras diferentes pode se escolher um comiteˆ gestor?
A) 32.740
B) 32.750
C) 32.760
D) 33.670
E) 34.076
26. (UFAL) Uma equipe, formada por cinco estudantes, deve ser escolhida em uma
turma com vinte estudantes, para participar de uma olimp´ıada. De quantas ma-
neiras a equipe pode ser escolhida, se o estudante que ganhou a olimp´ıada no ano
anterior, e que faz parte do grupo dos vinte estudantes, deve fazer parte da equipe?
A) 3.872
B) 3.874
C) 3.876
D) 3.878
E) 3.880
27. (NUCEPE - UESPI) O nu´mero de cinco algarismos que ocupa a 70a posic¸a˜o, obtido
ao permutar-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e escrever-se em ordem crescente sem
algarismos repetidos, e´
a) 35241.
b) 35412.
c) 35421.
d) 41235.
e) 41253.
28. (NUCEPE - UESPI) Com 7 homens e 5 mulheres, quantas comisso˜es de 5 pessoas,
com exatamente 2 mulheres, podem ser formadas?
a) 4200.
b) 2100.
c) 1050.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 28
d) 350.
e) 210.
29. (UFPA) No carta˜o da mega-sena existe a opc¸a˜o de aposta em que o apostador
marca oito nu´meros inteiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conhec¸a um pouco
de Ana´lise Combinato´ria e que ele percebeu que e´ mais vantajoso marcar um
determinado nu´mero de carto˜es, usando apenas os oito nu´meros, de modo que, se os
seis nu´meros sorteados estiverem entre os oito nu´meros escolhidos, ele ganha, ale´m
da sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita
usando apenas seis nu´meros, a quantidade de carto˜es que o apostador deve apostar
e´
(A) 8
(B) 25
(C) 28
(D) 19
(E) 17
30. (UESPI) De quantas maneiras podemos enfileirar 5 mulheres e 3 homens de tal
modo que os 3 homenspermanec¸am juntos?
A) 8!
B) 6!
C) 6!3!
D) 7!
E) 9!
31. (UNIVASF) O gerente de uma empresa dispo˜e de 10 funciona´rios, dentre eles Carlos
e Paulo. O nu´mero de comisso˜es de 6 funciona´rios que podera˜o ser formadas a partir
desses 10 funciona´rios e que na˜o tera˜o Carlos e Paulo juntos na mesma comissa˜o
sera´
A) 28
B) 84
C) 112
D) 140
E) 210
32. O nu´mero de anagramas da palavra JULIANE em que as vogais ficam juntas e´
igual a:
A) 120
B) 275
C) 390
D) 576
E) 865
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 29
33. (UECE) Se os conjuntos X e Y possuem, respectivamente, cinco e oito elementos,
quantas func¸o˜es, f : X → Y , injetivas e distintas, podem ser constru´ıdas?
A) 6680.
B) 6700.
C) 6720.
D) 6740.
34. (PUC - RS) O nu´mero de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam
lado a lado, e as consoantes tambe´m, e´
A) 24
B) 48
C) 96
D) 240
E) 720
35. (PUC - RS) Um foto´grafo foi contratado para tirar fotos de uma famı´lia composta
por pai, ma˜e e quatro filhos. Organizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos
entre os pais. Mantida essa configurac¸a˜o, o nu´mero de formas em que podera˜o se
posicionar para a foto e´
A) 4
B) 6
C) 24
D) 36
E) 48
36. (IFNMG) Quantos anagramas podemos formar com as letras que compo˜em a pa-
lavra FEDERAL ?
A) 1120
B) 2520
C) 360
D) 5040
37. (IF Sul Minas - MG) Em uma prova com 10 questo˜es de verdadeiro ou falso, quantos
gabaritos diferentes podemos fazer assinalando V para cinco questo˜es e F para as
outras cinco?
a) 832
b) 252
c) 102
d) 2
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 30
38. (IFTO) Considerando-se todos os anagramas que podem ser formados com as 4
letras da palavra IFTO e colocando-os em ordem alfabe´tica em que posic¸a˜o estara´
a palavra ”TOFI” ?
a) 22a
b) 23a
c) 16a
d) 17a
e) 20a
39. (UFF - RJ) O total de nu´meros naturais pares de treˆs d´ıgitos formados por alga-
rismos distintos do conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e´ igual a:
(A) 35
(B) 45
(C) 90
(D) 108
(E) 210
40. (IFAP) Para a selec¸a˜o brasileira foram convocados dois goleiros, 6 zagueiros, 7
meios de campo e 4 atacantes. De quantos modos e´ poss´ıvel escalar a selec¸a˜o com
1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de campo e 2 atacantes?
a) 7200
b) 4500
c) 6500
d) 5500
e) 6300
41. (IFRN) Uma reunia˜o pedago´gica conta com a participac¸a˜o de professores de treˆs
a´reas, sendo eles: 6 (seis) da a´rea de Cieˆncias Exatas, 5 (cinco) da a´rea de Cieˆncias
Humanas e 7 (sete) da a´rea de Cieˆncias Biome´dicas. No final da reunia˜o, o grupo
de professores decidiu formar uma comissa˜o com dois professores para representa´-
los em um evento internacional. Tendo sido estabelecido que os dois professores
deveriam ser de a´reas diferentes, o total de duplas de professores diferentes que
podem representar o grupo no evento internacional e´ igual a
a) 107
b) 87
c) 117
d) 18
42. (UFRN) Determinado produto e´ composto por oito caracter´ısticas espec´ıficas. Se
cinco ou mais dessas caracter´ısticas forem identificadas pelo setor de controle de
qualidade da empresa fabricante, ele esta´ em condic¸o˜es de ser comercializado. O
nu´mero de maneiras poss´ıveis de identificar um produto com qualidade para ser
comercializada e´
A) 217.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 31
B) 56.
C) 336.
D) 93.
43. (UFTM - MG) Uma pessoa possui 5 vasos, sendo que em cada um foi plantado um
tipo diferente de flor, e deseja coloca´-los sobre uma mureta. O nu´mero de maneiras
diferentes que esses vasos podem ser colocados, um ao lado do outro, e´
(A) 120.
(B) 80.
(C) 50.
(D) 20.
(E) 5.
44. (UFRR) Numa reunia˜o devem intervir 5 pessoas: A, B, C, D e E, com a condic¸a˜o
de que B na˜o deve intervir antes do que A. Sob esta restric¸a˜o e´ poss´ıvel definir:
(A) 24 listas diferentes de oradores.
(B) 96 listas diferentes de oradores.
(C) 114 listas diferentes de oradores.
(D) 60 listas diferentes de oradores.
(E) 40 listas diferentes de oradores.
45. (EsPCEx - SP) Num determinado setor de um hospital, trabalham 4 me´dicos e 8
enfermeiras. O nu´mero de equipes distintas, constitu´ıdas cada uma de 1 me´dico e
3 enfermeiras, que podem ser formadas nesse setor e´ de
(A) 60
(B) 224
(C) 495
(D) 1344
(E) 11880
46. (EsPCEx - SP) Sete livros dida´ticos, cada um de uma disciplina diferente, devem
ser posicionados lado a lado em uma estante, de forma que os livros de F´ısica, de
Qu´ımica e de Matema´tica estejam sempre juntos, em qualquer ordem. O nu´mero
de maneiras diferentes em que esses livros podem ser posicionados e´
(A) 720
(B) 1440
(C) 2160
(D) 2880
(E) 5040
47. (EsPCEx - SP) Os alunos de uma escola realizam experieˆncias no laborato´rio de
Qu´ımica utilizando 8 substaˆncias diferentes. O experimento consiste em mistu-
rar quantidades iguais de duas dessas substaˆncias e observar o produto obtido. O
professor recomenda, entretanto, que as substaˆncias S1, S2 e S3 na˜o devem ser mis-
turadas entre si, pois produzem como resultado o ga´s metano, de odor muito ruim.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 32
Assim, o nu´mero poss´ıvel de misturas diferentes que se pode obter, sem produzir o
ga´s metano e´
(A) 16
(B) 24
(C) 25
(D) 28
(E) 56
48. (OBMEP) Tio Paulo trouxe cinco presentes diferentes, entre os quais uma boneca,
para distribuir entre suas sobrinhas Ana, Bruna, Cec´ılia e Daniela. De quantos
modos ele pode distribuir os presentes entre as sobrinhas de modo que todas ganhem
pelo menos um presente e a boneca seja dada para Ana?
A) 20
B) 32
C) 60
D) 72
E) 120
49. (AFA - SP) Para evitar que Joa˜o acesse sites na˜o recomendados na internet, sua ma˜e
quer colocar uma senha no computador formada apenas por m letras A e tambe´m
m letras B (sendo m par). Tal senha, quando lida da esquerda para a direita ou
da direita para a esquerda, na˜o devera´ se alterar (Ex: ABBA). Com essas carac-
ter´ısticas, o nu´mero ma´ximo de senhas distintas que ela podera´ criar para depois
escolher uma e´ igual a:
a)
(2m)!
m! m!
b)
 m!(m
2
)
!
(m
2
)
!
2
c)
(2m)!(m
2
)
!
(
3m
2
)
!
d)
m!(m
2
)
!
(m
2
)
!
50. (ULBRA - RS) O nu´mero de anagramas da palavra COTIDIANO que iniciam com
a letra C e´:
(A) 6 720.
(B) 10 080.
(C) 20 160.
(D) 40 320.
(E) 362 880.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 33
51. (UNIFOR - CE) Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 vagas em certa empresa,
sabe-se que 18 sa˜o do sexo masculino, 13 dos candidatos sa˜o fumantes e 7 sa˜o as
mulheres que na˜o fumam. De quantos modos podem ser selecionados 2 homens e 2
mulheres entre os na˜o fumantes?
(A) 900
(B) 945
(C) 990
(D) 1035
(E) 1080
52. (UFPI) De quantos modos podemos comprar 4 sorvetes na Sorveteria ”Sonho Ge-
lado”, sabendo-se que a mesma os oferece em 7 sabores distintos?
(A) 35
(B) 126
(C) 168
(D) 189
(E) 210
53. (IFG - GO) Quantos nu´meros de quatro algarismos distintos maiores que 3000
pode-se formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 ?
a) 180
b) 60
c) 150
d) 120
e) 160
54. (EsPCEx - SP) Um gerente de um hotel, apo´s fazer alguns ca´lculos, chegou a`
conclusa˜o de que, para atingir a meta de economia de energia ele´trica, bastava
apagar 2 laˆmpadas de um corredor com 8 laˆmpadas alinhadas. Para manter um
mı´nimo de claridade ao longo do corredor, o gerente determinou que 2 laˆmpadas
adjacentes na˜o poderiam ficar apagadas ao mesmo tempo, e as 2 laˆmpadas das
extremidades deveriam permanecer acesas. Sendo assim, o nu´mero de maneiras que
este gerente pode apagar 2 laˆmpadas e´:
A) 24
B) 10
C) 15
D) 12
E) 6
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 34
55. (UFLA - MG) Uma equipe de voleibol e´ formada por 9 jogadores, dos quais apenas
2 sa˜o levantadores, e na˜o jogam em outras posic¸o˜es. De quantas maneiras podemos
formar o time titular com 1 levantador e mais 5 jogadores nas demais posic¸o˜es?
a) 21
b) 35
c) 42
d) 72
e) 162
56.(Unimontes - MG) O Co´digo Morse usa duas ”letras”, ponto e trac¸o, e as palavras
teˆm de 1 a 4 letras. O nu´mero total de palavras escritas com o Co´digo Morse e´
A) 24.
B) 26.
C) 28.
D) 30.
57. (Unimontes - MG) Um professor tinha 4 exemplares de um livro para distribuir
entre os alunos Pedro, Carlos, Joa˜o, Cleiton, Joaquim e Jose´. De quantos modos
essa distribuic¸a˜o podera´ ser realizada, se ele der os livros para 4 alunos distintos ?
A) 10 modos.
B) 15 modos.
C) 20 modos.
D) 24 modos.
58. (IFCE) No plano, sa˜o dados 12 pontos, treˆs a treˆs na˜o colineares. A quantidade de
triaˆngulos que podem ser formados, tendo como ve´rtices pontos dados, e´
A) 110.
B) 220.
C) 660.
D) 1320.
E) 36.
59. (Unimontes - MG) Considere um grupo de 12 moc¸as e 10 rapazes, no qual 3 moc¸as
e 2 rapazes sa˜o filhos da mesma ma˜e, e o restante na˜o tem parentesco entre eles. A
quantidade de casamentos poss´ıveis nesse grupo e´:
A) 110.
B) 114.
C) 120.
D) 116.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 35
60. (UFC - CE) Assinale a alternativa na qual consta a quantidade de nu´meros inteiros
formados por treˆs algarismos distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que sa˜o
maiores que 200 e menores que 800.
a) 30
b) 36
c) 42
d) 48
e) 54
61. (FUVEST - SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! =
720 ”palavras”(anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas ”palavras”forem
colocadas em ordem alfabe´tica, como num diciona´rio, a 250a ”palavra”comec¸a com:
a) EV
b) FU
c) FV
d) SE
e) SF
62. (UFV - MG) Para controlar o estoque de um produto, uma empresa usa etiquetas
formadas por uma parte literal e outra nume´rica, nesta ordem. A parte literal e´
formada de treˆs letras do nosso alfabeto, incluindo y, k, w, e a parte nume´rica e´
formada por quatro dos algarismos de 0 a 9. Sabendo-se que pode haver repetic¸a˜o
das letras e dos nu´meros, a quantidade do produto que pode ser etiquetado sem que
haja coincideˆncia de etiquetas e´:
a) 253 + 104
b) 253 · 94
c) 253 · 104
d) 263 · 104
e) 263 + 104
63. (UFF - RJ) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que
comec¸am por vogal e y anagramas que comec¸am e terminam por consoante. Os
valores de x e y sa˜o, respectivamente:
a) 48 e 36
b) 48 e 72
c) 72 e 36
d) 24 e 36
e) 72 e 24
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 36
64. (UNESP) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa
quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim,
ela caminhara´ sempre nos sentidos ”de baixo para cima”ou ”da esquerda para a
direita”. O nu´mero de percursos diferentes que essa pessoa podera´ fazer de A ate´
B e´:
A) 95 040.
B) 40 635.
C) 924.
D) 792.
E) 35
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 37
1.8 Exerc´ıcios Complementares
1. (UFCG - PB) Waldhycleuza esta´ fazendo um regime alimentar. Sua me´dica pres-
creveu um regime que consiste de treˆs grupos de alimentos:
GRUPO 1 6 tipos de alimento
GRUPO 2 7 tipos de alimento
GRUPO 3 3 tipos de alimento
Para variar o carda´pio a cada refeic¸a˜o, a jovem Waldhycleuza pode escolher 2 ali-
mentos do primeiro grupo, 5 alimentos do segundo grupo e 2 alimentos do terceiro
grupo. Com essas possibilidades, quantos carda´pios diferentes tem Waldhycleuza
ao seu dispor?
a) 6× 7× 3.
b) 2× 5× 2.
c) 15× 21× 3.
d) 7× 21× 9.
e) 3× 8× 1.
2. (UEAP) Quantos anagramas teˆm a palavra UEAP?
a) 720
b) 480
c) 120
d) 24
e) 12
3. (UEAP) Numa gincana escolar, cada atleta trocou um aperto de ma˜o com todos
os outros. Foram registrados 55 apertos de ma˜os. Enta˜o, o nu´mero de atletas que
participaram da gincana foi de:
(a) 21
(b) 16
(c) 15
(d) 11
(e) 10
4. (IFS - SE) De quantos modos podemos organizar uma fila com estudantes do IFS,
tendo 5 mulheres e 8 homens de modo que as mulheres permanec¸am juntas e os
homens tambe´m permanec¸am juntos.
a) 5!8!
b) 3!5!8!
c) 3!
d) 8!
e) 2!5!8!
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 38
5. (Mackenzie - SP) Na figura, o quadrado ABCD e´ formado por 9 quadrados con-
gruentes. O total de triaˆngulos distintos, que podem ser constru´ıdos, a partir dos
16 pontos, e´:
a) 516
b) 520
c) 526
d) 532
e) 546
6. (UFAM) Quantos anagramas distintos da palavra PSC2012 e´ poss´ıvel formar, de
modo que comecem por uma letra e terminem por um nu´mero ?
a) 9× 5!
2
b)
7!
2
c)
6!
2
d)
7!
4
e) 6!
7. (NUCEPE - UESPI) As permutac¸o˜es das letras da palavra UESPI foram listradas
em ordem alfabe´tica, como se fossem palavras de cinco letras em um diciona´rio. A
73a palavra nessa lista e´:
a) SIEPU.
b) SEIPU.
c) SUIEP.
d) UEIPS.
e) UIEPS.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 39
8. (NUCEPE - UESPI) Considere todos os nu´meros de treˆs algarismos distintos,
formados com os algarismos 0, 1, 2 ou 3. Quantos desses nu´meros sa˜o mu´ltiplos de
6?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
9. (UFAM) Quantas func¸o˜es f : A −→ B existem, sabendo-se que conjunto A possui
4 elementos e o conjunto B possui 3 elementos.
a) 64
b) 81
c) 12
d) 16
e) 9
10. (UEMG) Na Copa das Confederac¸o˜es de 2013, no Brasil, onde a selec¸a˜o brasileira
foi campea˜, o te´cnico Luiz Felipe Scolari tinha a` sua disposic¸a˜o 23 jogadores de
va´rias posic¸o˜es, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes.
Para formar seu time, com 11 jogadores, o te´cnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3
meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Ju´lio Ce´sar como goleiro e Fred como
atacante, o nu´mero de times distintos que o te´cnico podera´ formar e´
A) 14000
B) 480
C) 8! + 4!
D) 72000
11. (UEL - PR) Numa competic¸a˜o internacional, um pa´ıs obteve, no total, 10 medalhas
dentre as de ouro, prata e bronze. Sabendo-se que este pa´ıs recebeu pelo menos uma
medalha de ouro, uma de prata e uma de bronze, quantas sa˜o as possibilidades de
composic¸a˜o do quadro de medalhas deste pa´ıs ?
a) 10
b) 30
c) 36
d) 120
e) 132
12. Adriano pretende distribuir 13 bolas pretas ideˆnticas nas caixas A, B, C e D de
modo que cada caixa receba pelo menos uma bola. De quantas maneiras Adriano
podera´ fazer essa distribuic¸a˜o ?
A) 220
B) 340
C) 460
D) 580
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 40
13. (FURG - RS) Considerando que sa˜o usadas as letras A, B, C, D, E, para formar
senhas, enta˜o o nu´mero de senhas formado com 3 letras distintas e´ igual a
A) 10.
B) 60.
C) 72.
D) 120.
E) 360.
14. (FUVEST - SP) Em uma classe de 9 alunos, todos se da˜o bem, com excec¸a˜o de
Andre´ia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, sera´ constitu´ıda
uma comissa˜o de cinco alunos, com a exigeˆncia de que cada membro se relacione
bem com todos os outros. Quantas comisso˜es podem ser formadas ?
a) 71
b) 75
c) 80
d) 83
e) 87
15. (IFMG) De quantas maneiras e´ poss´ıvel organizar 6 homens e 3 mulheres em uma
fila, de modo que as mulheres fiquem separadas, ou seja, entre duas mulheres exista
pelo menos um homem?
a) 151.200
b) 362.880
c) 4.320
d) 30.240
e) 332.640
16. (UEL - PR) Gabi e Ana Paula sa˜o membros atuantes do Greˆmio Estudantil e esta˜o
se formando numa turma de 27 alunos, no total. Uma comissa˜o de formatura, com
cinco membros, deve ser formada para a organizac¸a˜o dos festejos. Quantas comisso˜es
podem ser formadas de modo que Gabi e Ana Paula sejam membros?
(A) 2300
(B) 9828
(C) 9288
(D) 3276
17. (IFAL) Quantos nu´meros pares de quatro algarismos distintos, maiores que 1999,
existem no nosso sistema de numerac¸a˜o?
A) 2012.
B) 2014.
C) 2016.
D) 2018.
E) 2020.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 41
18. (IFAL) Suponha que, em certo pa´ıs, o alfabeto tenha 15 letras. Nesse pa´ıs, as placas
dos carros sa˜o compostas por apenas 4 letras na˜o repetidas. Nessas condic¸o˜es, esse
pa´ıs pode emplacar, no ma´ximo,
A) 3.276 carros.
B) 31.760 carros.
C) 32.760 carros.
D) 46.225 carros.
E) 50.625 carros.
19. (IFAL) Um grupo, constitu´ıdode 10 alunos ira´ disputar uma prova que premia
os treˆs primeiros colocados. Sabe-se que Manoel e Carla fazem parte desse grupo.
Quantos resultados da prova podera˜o premiar Carla e Manoel?
a) 720.
b) 120.
c) 8.
d) 48.
e) 144.
20. (UFV - MG) Uma equipe de futebol de sala˜o de 5 membros e´ formada escolhendo-se
os jogadores de um grupo V, com 7 jogadores, e de um grupo W, com 6 jogadores. O
nu´mero de equipes diferentes que e´ poss´ıvel formar de modo que entre seus membros
haja, no mı´nimo, um jogador do grupo W e´:
a) 1266
b) 1356
c) 1246
d) 1376
21. (UFU - MG) Uma fa´brica de tintas necessita contratar uma equipe para desenvolver
e produzir um novo tipo de produto. A equipe deve ser formada por 4 qu´ımicos, 1
engenheiro ambiental e 2 engenheiros de produc¸a˜o. Se no processo final de selec¸a˜o
compareceram 6 qu´ımicos, 3 engenheiros ambientais e 4 engenheiros de produc¸a˜o,
o nu´mero de maneiras que a equipe podera´ ser formada e´ igual a (nos itens abaixo,
× denota multiplicac¸a˜o nume´rica):
A) 6!× 3
B) 6!× 18
C) 6!× 3/8
D) 6!× 3/4
22. (UEPA) Uma loja de um shopping Center na cidade de Manaus divulga inscric¸o˜es
para um torneio de Games. Para realizar essas inscric¸o˜es, a loja gerou um co´digo de
inscric¸a˜o com uma sequeˆncia de quatro d´ıgitos distintos, sendo o primeiro elemento
da sequeˆncia diferente de zero. A quantidade de co´digos de inscric¸a˜o que podem ser
gerados utilizando os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e´:
a) 4.500
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 42
b) 4.536
c) 4.684
d) 4.693
e) 5.000
23. (UFES) Uma rede de lojas de eletrodome´sticos tem 50 vendedores. Deseja-se esco-
lher 3 desses vendedores para trabalhar em 3 lojas, uma no bairro Jardim da Santa,
outra no bairro Praia da Beira e a outra no Centro. Cada uma das 3 lojas devera´
ficar com um, e apenas um, dos 3 vendedores. O nu´mero de poss´ıveis maneiras de
fazer essa escolha e´:
A) 300
B) 19600
C) 39200
D) 58800
E) 117600
24. (FEI - SP) Em uma sala ha´ seis matema´ticos e quatro engenheiros. Se X e´ o total
de maneiras de se formar uma comissa˜o com cinco membros, composta por pelo
menos treˆs matema´ticos, enta˜o:
(A) X = 206
(B) X = 194
(C) X = 200
(D) X = 178
(E) X = 186
25. (FEI - SP) Considere duas retas paralelas. Em uma delas sa˜o marcados cinco
pontos distintos e na outra sa˜o marcados sete pontos distintos. O nu´mero total
de triaˆngulos que podem ser obtidos unindo treˆs pontos quaisquer de todos esses
pontos e´ igual a:
(A) 175
(B) 200
(C) 35
(D) 20
(E) 135
26. (FEI - SP) No carda´pio de um restaurante, sa˜o oferecidos quatro tipos de carne,
treˆs saladas distintas, dois tipos de massa e cinco tipos de bebida. Uma pessoa
deseja comer uma carne, uma salada, um tipo de massa e tomar uma bebida. O
nu´mero total de diferentes pedidos que poderiam ser feitos e´ igual a:
(A) 14
(B) 120
(C) 150
(D) 98
(E) 10
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 43
27. (CESPE - UNB) A quantidade de anagramas que podem ser formados com a
palavra CUTIA e que comec¸am e terminam com consoante e´ igual a
A) 6.
B) 10.
C) 12.
D) 18.
28. (UNIR - RO) Para ganhar na MEGA-SENA deve-se acertar os 6 nu´meros sorteados
dentre os 60 primeiros nu´meros inteiros positivos, que sa˜o os nu´meros utilizados para
o sorteio. Cada jogo e´ feito marcando-se em um carta˜o 6, 7, 8, 9 ou 10 nu´meros dos
60 dados. Admitindo-se que o prec¸o de um carta˜o e´ proporcional a` quantidade de
combinac¸o˜es de 6 nu´meros presentes nele e que um carta˜o com 6 nu´meros custa R$
3,00, quanto custara´ um carta˜o com 8 nu´meros?
A) R$ 54,00
B) R$ 84,00
C) R$ 26,00
D) R$ 8,00
E) R$ 120,00
29. (IFF - RJ) A quantidade de nu´meros naturais ı´mpares de quatro algarismos distin-
tos que podem ser formados com os algarismos do conjunto S = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e´:
a) 120
b) 144
c) 180
d) 360
e) 540
30. (FEI - SP) Dois adultos e cinco crianc¸as sera˜o colocados lado a lado para uma foto.
Se os adultos ocuparem as posic¸o˜es extremas e todas as crianc¸as ficarem entre os
dois adultos, de quantos modos distintos essas pessoas podem posar para a foto?
(A) 120
(B) 240
(C) 60
(D) 5
(E) 100
31. Camila deseja distribuir 17 bolas pretas ideˆnticas nas caixas A, B e C. De quantas
maneiras essa distribuic¸a˜o pode ser feita de modo que cada caixa receba pelo menos
duas bolas ?
A) 44
B) 52
C) 62
D) 78
E) 94
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 44
32. (FEI - SP) Em um grupo de dez pessoas, deseja-se formar comisso˜es com exatamente
quatro integrantes. Nesse grupo, ha´ duas pessoas, Saulo e Marli, que, por problemas
de relacionamento, na˜o podem participar da mesma comissa˜o. Nessas condic¸o˜es, de
quantas maneiras distintas e´ poss´ıvel formar comisso˜es desse tipo?
(A) 210
(B) 235
(C) 182
(D) 196
(E) 28
33. (UFT - TO) Numa cantina de uma escola sa˜o servidos bolos e salgadinhos. Cada
aluno recebera´ um prato com 2 bolos, dos 4 tipos dispon´ıveis e 3 salgadinhos, dos 6
tipos fabricados. Qual e´ o nu´mero total de possibilidades de escolha de 2 bolos e 3
salgadinhos de cada aluno?
(A) 360
(B) 120
(C) 100
(D) 20
(E) 18
34. (IF Farroupilha - RS) Um parque ambiental dispo˜e de apenas 5 vigilantes para
ocuparem 8 postos de vigilaˆncia. Considerando que, em cada posto, fica no ma´ximo
um vigilante e que o posto de entrada principal na˜o pode ficar desguarnecido, indique
a opc¸a˜o correspondente ao nu´mero de maneiras distintas em que o chefe de seguranc¸a
pode dispor para distribuir os vigilantes.
A) 840;
B) 4200;
C) 3360;
D) 2520;
E) 1680.
35. (FURG - RS) Existem cinco livros diferentes de Matema´tica, sete livros diferentes
de F´ısica e dez livros diferentes de Qu´ımica. O nu´mero de maneiras que podemos
escolher dois livros com a condic¸a˜o de que eles na˜o sejam da mesma mate´ria e´
A) 35
B) 50
C) 70
D) 155
E) 350
36. (UCS - RS) Treˆs integrantes de uma Comissa˜o Parlamentar de Inque´rito (CPI), na
Caˆmara dos Deputados, devem ser escolhidos para ocupar os cargos de Presidente,
Secreta´rio e Relator, cada qual de um partido diferente. Foram pre´-indicados 4
deputados do Partido A , 3 do partido B, e 2 do Partido C. De quantas maneiras
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 45
diferentes podem ser escolhidos os ocupantes desses treˆs cargos?
a) 24
b) 48
c) 72
d) 132
e) 144
37. (UNEMAT - MT) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sa˜o formados nu´meros de 5
algarismos distintos. Entre eles, sa˜o divis´ıveis por 5:
a) 120 nu´meros.
b) 30 nu´meros.
c) 60 nu´meros.
d) 20 nu´meros.
e) 180 nu´meros.
38. (UFRR) Numa cidade havia cinco candidatos a` prefeitura no primeiro turno e houve
segundo turno no processo eleitoral. Cada eleitor podia votar no candidato de sua
prefereˆncia, votar em branco ou votar nulo. Uma pessoa que compareceu a`s urnas
nos dois turnos dispoˆs (incluindo as duas votac¸o˜es) de um total de possibilidades
diferentes de escolha igual a:
(A) 7
(B) 10
(C) 28
(D) 240
(E) 120
39. (UCS - RS) Um designer de uma editora quer utilizar 3 figuras diferentes e alinhadas
para compor o motivo que fara´ parte da capa de um livro. Se o designer possuir 7
figuras diferentes relacionadas ao tema requerido, o nu´mero de composic¸o˜es distintas
que podera˜o ser criadas para o referido motivo e´ igual a
a) 42.
b) 128.
c) 240.
d) 36.
e) 210.
40. (UFRR) Cada candidato aprovado no vestibular 2010 da UFRR que realizar sua
matr´ıcula recebera´ um nu´mero que o identificara´. Este nu´mero sera´ composto por
9 nove algarismos, sendo que os quatro primeiros algarismos sa˜o fixos referentes ao
ano de ingresso, os da quinta e sexta posic¸a˜o tambe´m sa˜o fixos e referem-se ao curso
de ingresso e os treˆs u´ltimos podem ser qualquer algarismo entre 0 e 9. Quantas
maneiras distintas existem para constituic¸a˜o do nu´mero de matr´ıcula de um aluno?
(A) 109
(B) 729
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 46
(C) 1.000
(D) 27
(E)99
41. (PUC - RS) Uma melodia e´ uma sequeˆncia de notas musicais. Para compor um
trecho de treˆs notas musicais sem repeti-las, um mu´sico pode utilizar as sete notas
que existem na escala musical. O nu´mero de melodias diferentes poss´ıveis de serem
escritas e´:
A) 3
B) 21
C) 35
D) 210
E) 5040
42. (UCS - RS) O jogo da sena consiste no sorteio de seis nu´meros distintos, escolhidos
ao acaso, entre os nu´meros inteiros de 01 a 50. Uma aposta consiste na escolha de
seis nu´meros distintos entre os cinqu¨enta poss´ıveis. Um apostador que dispunha de
muito dinheiro para jogar escolheu quinze nu´meros entre os cinqu¨enta e fez todas
as apostas poss´ıveis com esses nu´meros. O apostador fez
a) 5005 apostas.
b) 4200 apostas.
c) 3603 apostas.
d) 789 apostas.
e) 501 apostas.
43. (UCS - RS) Uma pessoa participa de um jogo que consiste de oito apostas conse-
cutivas, sendo que em cada uma delas arrisca perder ou ganhar a metade do que ja´
ganhou durante o jogo. O nu´mero de poss´ıveis ordens em que a pessoa pode ganhar
quatro e perder quatro dessas apostas e´ igual a
a) 60.
b) 15.
c) 70.
d) 1680.
e) 8.
44. (IFRN) Para discutir as modificac¸o˜es curriculares no Projeto Pedago´gico dos Cursos
Te´cnicos Subsequentes, um Instituto Federal formou uma comissa˜o com nove inte-
grantes, sendo dois representantes dos professores, treˆs dos coordenadores de curso,
um dos estudantes, um da pro´-reitoria de ensino e dois dos diretores acadeˆmicos dos
caˆmpus do Instituto. A presideˆncia dessa comissa˜o ficou a cargo do representante
da pro´-reitoria de ensino. O vice-presidente e o relator seriam escolhidos entre os
outros participantes. A quantidade ma´xima de comisso˜es distintas que podem ser
formadas com essas caracter´ısticas e´
a) 28
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 47
b) 42
c) 56
d) 84
45. (CESPE - UNB) Considere que, em uma escola, 5 alunos tenham sido escolhidos
para representarem os demais alunos em comisso˜es responsa´veis pela organizac¸a˜o
dos jogos estudantis da regia˜o. Se o nu´mero de comisso˜es e´ igual a 5 e um aluno
so´ pode participar de um u´nica comissa˜o, assinale a opc¸a˜o que apresenta o nu´mero
de maneiras diferentes que os 5 alunos selecionados podem ser distribu´ıdos nas
comisso˜es.
A) 3.125
B) 120
C) 25
D) 15
46. (PUC - RS) Numa estante da Biblioteca, encontram-se cinco livros de F´ısica
Quaˆntica de autores diferentes, seis livros de F´ısica Me´dica de autores diferentes
e quatro livros de F´ısica Nuclear, tambe´m de autores diferentes. Um grupo de alu-
nos, para realizar uma pesquisa, precisa consultar dois livros de F´ısica Quaˆntica,
treˆs livros de F´ısica Me´dica e um livro de F´ısica Nuclear. O nu´mero de escolhas
poss´ıveis para essa consulta e´
A) 8400
B) 800
C) 204
D) 144
E) 34
47. (UCS - RS) Nas placas de automo´veis de um determinado munic´ıpio, constitu´ıdas
de treˆs letras iniciais, seguidas de 4 algarismos, podem ser utilizadas somente as
letras I, F e G. Quantos automo´veis registrados nesse munic´ıpio podem ter placa
em que aparecem os algarismos 0, 1, 2 e 3, sem repetic¸a˜o e na˜o necessariamente
nessa ordem ?
a) 108
b) 144
c) 648
d) 768
e) 6 912
48. (UCS - RS) Para uma feira de dois dias, da qual a UCS ira´ participar com um
estande, foi escolhido um aluno de cada uma das oito diferentes cidades em que a
UCS mante´m campus ou nu´cleo. Esta´ previsto que no estande ira˜o trabalhar no
primeiro dia quatro alunos e no segundo dia outros quatro. De quantas maneiras
pode ser organizada a escala ?
a) 8
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 48
b) 12
c) 24
d) 64
e) 70
49. (UFPR) Apo´s uma reunia˜o do conselho escolar de uma instituic¸a˜o, os 20 professores
presentes decidem formar grupos menores para aprofundar as discusso˜es e encami-
nhar propostas. De quantas formas diferentes esses 20 professores podem dividir-se
em grupos de 4 professores para iniciar as discusso˜es?
a) 4.845.
b) 1.140.
c) 15.504.
d) 116.280.
e) 190.
50. (IFS - SE) Ao ser infectada por certo v´ırus, uma pessoa pode desencadear 7 tipos
de sintomas diferentes. Os o´rga˜os de sau´de pu´blica definiram que, se um individuo
apresentasse 4 desses sintomas, seria submetido a tratamento me´dico preliminar
enquanto os resultados dos exames na˜o estivessem prontos. De quantas maneiras
diferentes um individuo pode manifestar sintomas suficientes para que seja encami-
nhado a tratamento me´dico preliminar?
a) 28 maneiras
b) 35 maneiras
c) 120 maneiras
d) 210 maneiras
e) 840 maneiras.
51. (UFOP - MG) O nu´mero de gabaritos poss´ıveis para uma prova com 10 questo˜es,
com quatro alternativas por questa˜o e apenas uma alternativa correta e´:
A) 40
B) 410
C) 104
D) 10
52. (UCS - RS) Esta prova de Matema´tica e´ composta por 12 questo˜es, cada uma com
5 alternativas. Assinalando uma u´nica alternativa em cada questa˜o, o nu´mero total
de possibilidades de preenchimento da folha de respostas e´
a) 512.
b) 125.
c) 12× 5.
d) 512 + 12.
e) 125 + 12.
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 49
53. (IF Farroupilha - RS) Um restaurante, preocupado com a sau´de nutricional de seus
clientes, resolveu modificar o carda´pio das sobremesas, disponibilizando 6 diferentes
variedades por dia. Sua doceira conhece a receita de 10 diferentes tipos de sobre-
mesas. De quantas maneiras diferentes podera´ ser composto o referido carda´pio?
A) 210
B) 5040
C) 25200
D) 2100
E) 187
54. (Unimontes - MG) Considere os algarismos 2, 3, 4, 5, 7, 9. Com esses algarismos,
quantos nu´meros pares de treˆs algarismos distintos podem ser formados ?
A) 20.
B) 30.
C) 40.
D) 60.
55. (Unimontes - MG) Dos 6 livros que esta˜o em promoc¸a˜o na livraria ”Leitor”, uma
pessoa comprara´ 3 para presentear 3 amigos. Quantas sa˜o as maneiras que essa
pessoa podera´ dispor para presentear com esses livros?
A) 20.
B) 30.
C) 60.
D) 120.
56. (UEMA) O prefeito da cidade Beta ira´ promover um torneio comemorativo do cen-
tena´rio da cidade. Participara˜o do torneio seis times e cada equipe jogara´ com todas
as outras em turno u´nico. Quantas partidas sera˜o disputadas durante o torneio?
a) 25 partidas
b) 15 partidas
c) 30 partidas
d) 36 partidas
e) 60 partidas
57. (UEG - GO) Uma pizzaria oferece a seus clientes um carda´pio com dez sabores
distintos. As pizzas podem ser compostas por um ou dois sabores entre os dez dis-
pon´ıveis. Dessa forma, de quantas maneiras um cliente pode escolher a sua pizza ?
a) 100
b) 55
c) 45
d) 10
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 50
58. (UEPA) Segundo a Revista VEJA (11/01/2012), cinco habilidades fundamentais
compo˜em a nova teoria da inteligeˆncia social: Comunicac¸a˜o; Empatia; Assertivi-
dade; Feedback e Autoapresentac¸a˜o. Dentre as habilidades que compo˜em a nova
teoria da inteligeˆncia social, o nu´mero de possibilidades distintas em que o setor de
Recursos Humanos de uma empresa pode eleger treˆs dessas habilidades e´:
a) 120
b) 60
c) 30
d) 20
e) 10
59. (Unimontes - MG) Um total de 28 apertos de ma˜o foram dados ao final de uma
festa. Se cada participante foi igualmente polido com relac¸a˜o aos demais, enta˜o o
nu´mero de pessoas na festa era
A) 4.
B) 6.
C) 7.
D) 8.
60. (IFNMG) Para cadastrar uma senha de acesso a um site de rede social, certa pessoa
usou 10 caracteres distintos. Sabendo que esses caracteres podem ser algarismos de
0 a 9 e letras de A a Z, o nu´mero ma´ximo de tentativas que uma pessoa que na˜o
conhece a senha devera´ fazer para acessar o site e´:
A) C36,10
B) P36
C) A36,10
D) P36 − P10
61. (Unimontes - MG) Sobre uma circunfereˆncia, marquei 6 pontos distintos. O nu´mero
de quadrila´teros convexos que posso formar, com ve´rtices nesses pontos, e´
A) 15.
B) 24.
C) 360.
D) 720.
62. (UFSM - RS) Sendo p o nu´mero de anagramas da palavra LULA e m o nu´mero de
anagramas da palavra ALCKMIN, o valor do determinante da matriz, e´
A =
[
m 240
p 1
]
a) −2160
b) −720c) 720
d) 2160
e) 2880
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 51
63. (Unirio - RJ) Uma famı´lia formada por 3 adultos e 2 crianc¸as vai viajar num
automo´vel de 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 atra´s. Sabendo-se que so´ 2 pessoas
podem dirigir e que as crianc¸as devem ir atra´s e na janela, o nu´mero total de
maneiras diferentes atrave´s das quais estas 5 pessoas podem ser posicionadas, na˜o
permitindo crianc¸as irem no colo de ningue´m, e´ igual a:
a) 120
b) 96
c) 48
d) 24
e) 8
64. (EsPCEx - SP) Numa classe de 30 alunos da EsPCEx, 10 sa˜o oriundos de Cole´gios
Militares (CM) e 20, de Cole´gios Civis (CC). Pretende-se formar grupos com treˆs
alunos, de tal forma que um seja oriundo de CM e dois de CC. O nu´mero de grupos
distintos que podem ser constitu´ıdos dessa forma e´
A) 200
B) 900
C) 1260
D) 1900
E) 4060
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 52
1.9 Respostas das Atividades
1. 576
2. 72
3. 455
4. 24a posic¸a˜o.
5. 100
6. CAROL
7. 16a posic¸a˜o.
8. 88a posic¸a˜o.
9. 686
10. 1794
11. 3168
12. 6
13. 1152
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 53
1.10 Respostas dos Exerc´ıcios Propostos
01) C 17) E 33) C 49) D
02) C 18) C 34) C 50) B
03) C 19) C 35) E 51) B
04) E 20) E 36) B 52) E
05) B 21) B 37) B 53) A
06) D 22) A 38) B 54) B
07) E 23) C 39) C 55) C
08) C 24) A 40) E 56) D
09) B 25) C 41) A 57) B
10) A 26) C 42) D 58) B
11) D 27) A 43) A 59) B
12) B 28) D 44) D 60) B
13) D 29) C 45) B 61) D
14) C 30) C 46) A 62) D
15) D 31) D 47) C 63) A
16) E 32) D 48) C 64) D
CAPI´TULO 1. ANA´LISE COMBINATO´RIA 54
1.11 Respostas dos Exerc´ıcios Complementares
01) C 17) C 33) B 49) A
02) D 18) C 34) B 50) B
03) D 19) D 35) D 51) B
04) E 20) A 36) E 52) A
05) A 21) C 37) A 53) A
06) E 22) B 38) C 54) C
07) B 23) E 39) E 55) D
08) D 24) E 40) C 56) B
09) B 25) A 41) D 57) B
10) A 26) B 42) A 58) E
11) C 27) C 43) C 59) D
12) A 28) B 44) C 60) C
13) B 29) B 45) B 61) A
14) A 30) B 46) B 62) D
15) A 31) D 47) C 63) E
16) A 32) C 48) E 64) D
Cap´ıtulo 2
Binoˆmio de Newton
2.1 Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o 2.1.1. O coeficiente binomial e´ dado por(
n
k
)
=
n!
k! · (n− k)! , com n ≥ k e k, n ∈ N.
2.2 Triaˆngulo de Pascal
Na matema´tica ba´sica, estuda-se as poteˆncias do tipo (p+ q)n, para n ∈ N. Notamos que
sa˜o va´lidas as igualdades do tipo:
(p+ q)0 = 1
(p+ q)1 = p+ q
(p+ q)2 = p2 + 2pq + q2
(p+ q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3
(p+ q)4 = p4 + 4p3q + 6p2q2 + 4pq3 + q4
Por outro lado, usando os coeficientes de cada igualdade acima, observamos que
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
55
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 56
os coeficientes dispostos acima e´ chamado de triaˆngulo de Pascal. Ale´m disso, o triaˆngulo
acima pode ser reescrito da seguinte maneira(
0
0
)
(
1
0
) (
1
1
)
(
2
0
) (
2
1
) (
2
2
)
(
3
0
) (
3
1
) (
3
2
) (
3
3
)
(
4
0
) (
4
1
) (
4
2
) (
4
3
) (
4
4
)
Teorema 2.2.1. (Relac¸a˜o de Stifel) A soma de dois elementos consecutivos de uma
mesma linha e´ igual ao elemento localizado abaixo da u´ltima parcela. Assim, temos(
n
k
)
+
(
n
k + 1
)
=
(
n+ 1
k + 1
)
,
va´lida para n e k naturais, com n ≥ 1 e k ≤ n.
Demonstrac¸a˜o. Com efeito, usando coeficientes binomiais, temos(
n
k
)
+
(
n
k + 1
)
=
n!
k!(n− k)! +
n!
(k + 1)!(n− k − 1)!
=
(k + 1)n! + (n− k)n!
(k + 1)!(n− k)!
=
(k + 1 + n− k)n!
(k + 1)!(n− k)!
=
(n+ 1)n!
(k + 1)!(n− k)!
=
(n+ 1)!
(k + 1)!(n− k)!
=
(
n+ 1
k + 1
)
2.3 Termo Geral
Teorema 2.3.1. Sejam p e q nu´meros reais e n ∈ N. Enta˜o, vale
(p+ q)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
· pn−k · qk. (2.1)
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 57
Observac¸a˜o 2.3.1. O termo geral do binoˆmio de Newton e´ dado por
Tk+1 =
(
n
k
)
· pn−k · qk. (2.2)
onde T1 representa o primeiro termo, T2 o segundo termo e assim por diante.
Exemplo 2.3.1. Ache o desenvolvimento do binoˆmio (2x+ 5)3.
Soluc¸a˜o: Aplicando a fo´rmula (2.1), obtemos
(2x+ 5)3 =
3∑
k=0
(
3
k
)
· (2x)3−k · 5k
=
(
3
0
)
(2x)350 +
(
3
1
)
(2x)251 +
(
3
2
)
(2x)152 +
(
3
3
)
(2x)053
= 8x3 + 60x2 + 150x+ 125.
Exemplo 2.3.2. Desenvolva o binoˆmio (x− 3)4.
Soluc¸a˜o: Aplicando a fo´rmula (2.1), obtemos
(x− 3)4 =
4∑
k=0
(
4
k
)
· x3−k · (−3)k
=
(
4
0
)
x4(−3)0 +
(
4
1
)
x3(−3)1 +
(
4
2
)
x2(−3)2 +
(
4
3
)
x1(−3)3 +
(
4
4
)
x0(−3)4
= x4 − 12x3 + 54x2 − 108x+ 81.
Exemplo 2.3.3. (UNIFOR - CE) No desenvolvimento do binoˆmio
(
x4 +
2
x
)8
, segundo
as poteˆncias decrescentes de x, o quarto termo e´:
a) 448x17
b) 56x17
c) 448x20
d) 56x20
e) 448x23
Soluc¸a˜o: Aplicando a fo´rmula (2.2), obtemos
Tk+1 =
(
8
k
)
· (x4)n−k · (2
x
)k
Para obtermos o quarto termo, basta fazer k = 3 na expressa˜o acima. Portanto, temos
T4 =
(
8
3
)
· x20 · 2
3
x3
=
(
8
3
)
· 8 · x17 = 448x17.
Logo, a resposta e´ a alternativa A.
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 58
Exemplo 2.3.4. O coeficiente de x6, no binoˆmio
(
x2 +
1
x
)9
e´ igual a:
A) 118
B) 126
C) 132
D) 145
Soluc¸a˜o: Aplicando a fo´rmula do termo geral da expansa˜o do binoˆmio de Newton, temos
Tk+1 =
(
9
k
)
.
(
x2
)9−k
.
(
1
x
)k
=
(
9
k
)
.x18−2k.x−k
=
(
9
k
)
.x18−3k
onde k ∈ {0, 1, 2, · · · , 9}. Por outro lado, fazendo 18 − 3k = 6, encontramos k = 4.
Finalmente, substituindo k = 4 no termo geral, resulta
T5 =
(
9
4
)
.
(
x2
)9−4
.
(
1
x
)4
=
(
9
4
)
.x6 = 126x6.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa B.
Exemplo 2.3.5. (PUC - SP) O termo no desenvolvimento de (2x2 − y3)8 que conte´m
x10 e´:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Soluc¸a˜o: Notamos que o termo geral desse binoˆmio e´
Tk+1 =
(
8
k
)
(2x2)8−k(−y3)k =
(
8
k
)
.28−k.x16−2k.(−y3)k.
Ale´m disso, para termos x10, devemos fazer 16 − 2k = 10. Logo, resulta que k = 3. Por
outro lado, substituindo no termo geral acima, temos
T4 =
(
8
3
)
(2x2)5(−y3)3 = −1792x10y9.
Ou seja, a resposta e´ o quarto termo. (alternativa C)
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 59
Exemplo 2.3.6. Ache o coeficiente de x, no desenvolvimento do binoˆmio
(
1
x2
+ 4
√
x
)13
.
Soluc¸a˜o: Aplicando a fo´rmula do termo geral da expansa˜o do binoˆmio de Newton, temos
Tk+1 =
(
13
k
)
.
(
1
x2
)13−k
.
(
4
√
x
)k
=
(
13
k
)
.
(
x−2
)13−k
.
(
x
1
4
)k
=
(
13
k
)
.x−26+2k.x
k
4
=
(
13
k
)
.x−26+2k+
k
4
=
(
13
k
)
.x
9k−104
4
onde k ∈ {0, 1, 2, · · · , 13}. Por outro lado, fazendo 9k − 104
4
= 1, encontramos k = 12.
Finalmente, substituindo k = 12 no termo geral, resulta
T13 =
(
13
12
)
.
(
1
x2
)13−12
.
(
4
√
x
)12
=
(
13
12
)
.x = 13x.
Portanto, resposta e´ igual a 13.
Exemplo 2.3.7. Ache o coeficiente do termo em x5 no polinoˆmio F (x) = (x+3).(x+2)8.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, percebemos que a expressa˜o desse termo e´ dada por
Termo em x5 = x · [termo em x4 de (x+ 2)8]+ 3 · [termo em x5 de (x+ 2)8]
= x
(
A · x4)+ 3 (B · x5)
= Ax5 + 3Bx5
= (A+ 3B)x5
Agora, devemos obter A,B ∈ R. Ale´m disso, o termo geral do binoˆmio (x+ 2)8 e´
Tk+1 =
(
8
k
)
x8−k2k (2.3)
Notamos que para obter o termo em x4, basta fazer k = 4 em (2.3). Logo, encontramos
1120x4. E o termo em x5, basta fazer k = 3 em (2.3). Assim, obtemos 448x5. Finalmente,
Termo em x5 = (1120 + 3 · 448)x5 = 2464x5
Ou seja, a resposta e´ 2464.
CAPI´TULO2. BINOˆMIO DE NEWTON 60
Exemplo 2.3.8. O termo independente de x no binoˆmio
(√
x+
1
x2
)10
e´:
a) 18
b) 45
c) 56
d) 74
e) 92
Soluc¸a˜o: Notamos que o termo geral desse binoˆmio e´ dado por
Tk+1 =
(
10
k
)
(
√
x)10−k
(
1
x2
)k
=
(
10
k
)
x
10−k
2 x−2k =
(
10
k
)
x
10− 5k
2 .
Fazendo
10− 5k
2
= 0, obtemos k = 2. Logo, substituindo no termo geral acima, temos
T3 =
(
10
2
)
x0 =
(
10
2
)
= 45.
Portanto, a resposta e´ a alternativa B.
Exemplo 2.3.9. (UEFS - BA) Desenvolvendo-se o binoˆmio
(
5x− 2
x4
)6
, obte´m-se uma
expressa˜o alge´brica cujo termo me´dio e´ igual a
A)
(−2 · 104)
x9
B)
(2 · 104)
x2
C)
(−5 · 103)
x4
D) (5 · 103)x5
E) 104x9
Soluc¸a˜o: Primeiramente, sabemos que a expressa˜o do termo geral e´ dado por
Tk+1 =
(
6
k
)
(5x)6−k
(−2
x4
)k
.
Esse binoˆmio possui 7 termos; T1 , T2 , T3, T4, T5 , T6 e T7. Portanto, o termo T4 e´ o que
ocupa a posic¸a˜o central. Logo, fazendo k = 3 na expressa˜o acima, temos
T4 =
(
6
3
)
(5x)3
(−2
x4
)3
= −2000
x9
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa A.
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 61
2.4 Polinoˆmio de Leibniz
Teorema 2.4.1. Sejam k1, k2, · · · , kp ∈ N com k1 + k2 + · · ·+ kp = n. Enta˜o,
(x1 + x2 + · · ·+ xp)n =
∑ n!
k1! k2! · · · kp!x
k1
1 x
k2
2 · · · xkpp (2.4)
Exemplo 2.4.1. Desenvolva o polinoˆmio (x2 − x+ 4)3.
Soluc¸a˜o: Usando a fo´rmula (2.4), temos
(x2 − x+ 4)3 =
∑ 3!
a! b! c!
(x2)a (−x)b (4)c
=
∑ 6
a! b! c!
x2a+b (−1)b (4)c
onde a, b, c ∈ N e a + b + c = 3. Por outro lado, atribuindo valores convenientes para as
constantes a , b e c, encontramos a seguinte tabela
a b c termos
0 0 3 64
0 3 0 −x3
3 0 0 x6
1 1 1 −24x3
2 1 0 −3x5
1 2 0 3x4
2 0 1 12x4
1 0 2 48x2
0 2 1 12x2
0 1 2 −48x
Somando os termos semelhantes, encontramos
(x2 − x+ 4)3 = x6 − 3x5 + 15x4 − 25x3 + 60x2 − 48x+ 64
Exemplo 2.4.2. Ache o coeficiente de x6 no polinoˆmio (x2 + x− 1)7.
Soluc¸a˜o: Usando a fo´rmula (2.4), temos
(x2 + x− 6)4 =
∑ 7!
a! b! c!
(x2)a (x)b (−1)c
=
∑ 7!
a! b! c!
x2a+b (−1)c
onde a, b, c ∈ N , a+ b+ c = 7 e 2a+ b = 6. Agora, atribuindo valores convenientes para
as constantes a , b e c, obtemos a tabela
a b c termos
0 6 1 −7x6
1 4 2 105x6
2 2 3 −210x6
3 0 4 35x6
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 62
Logo, o termo em x6 e´ (−7 + 105− 210 + 35)x6 = −77x6. Assim, a resposta e´ −77.
Exemplo 2.4.3. Determine o coeficiente de x5 no polinoˆmio (x3 − x2 + x− 2)6.
Soluc¸a˜o: Usando a fo´rmula (2.4), temos
(x3 − x2 + x− 2)6 =
∑ 6!
a! b! c! d!
(x3)a (−x2)b (x)c (−2)d
=
∑ 6!
a! b! c!
x3a+2b+c (−1)b+d 2d
onde a, b, c, d ∈ N , a + b + c = d = 6 e 3a + 2b + c = 5. Agora, atribuindo valores
convenientes para as constantes a , b , c e d, obtemos a tabela
a b c d termos
1 1 0 4 −480x5
1 0 2 3 −480x5
0 1 3 2 −240x5
0 2 1 3 −480x5
0 0 5 1 −12x5
Finalmente, o termo em x5 e´ igual a (−480 − 480 − 240 − 480 − 12)x5 = −1692x6. Ou
seja, a resposta e´ −1692.
Exemplo 2.4.4. (UESPI) Qual o coeficiente de x3 na expansa˜o multinomial de
(
1 +
1
x3
+ x2
)10
?
A) 1.380
B) 1.480
C) 1.580
D) 1.680
E) 1.780
Soluc¸a˜o: Usando a fo´rmula (2.4), temos(
1 +
1
x3
+ x2
)10
=
∑ 10!
a! b! c!
(1)a
(
1
x3
)b
(x2)c
=
∑ 10!
a! b! c!
x−3b x2c
=
∑ 10!
a! b! c!
x2c−3b
onde a, b, c ∈ N , a + b + c = 10 e 2c − 3b = 3. Agora, atribuindo valores convenientes
para as constantes a , b e c, obtemos a tabela
a b c termos
6 1 3 840x3
1 3 6 840x3
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 63
Logo, o termo em x3 e´ (840 + 840)x3 = 1680x3. Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
Exemplo 2.4.5. Na expansa˜o
(
x2 +
1
x
+ 1
)8
, o coeficiente de x4 e´ igual a:
A) 408
B) 555
C) 658
D) 855
Soluc¸a˜o: Usando a fo´rmula (2.4), temos(
x2 +
1
x
+ 1
)8
=
∑ 8!
a! b! c!
(x2)a
(
1
x
)b
(1)c
=
∑ 8!
a! b! c!
x2a x−b
=
∑ 8!
a! b! c!
x2a−b
onde a, b, c ∈ N , a+ b+ c = 8 e 2c− b = 4. Agora, atribuindo valores convenientes para
as constantes a , b e c, obtemos a tabela
a b c termos
4 4 0 70x4
3 2 3 560x4
2 0 6 28x4
Assim, o termo em x4 e´ (70 + 560 + 28)x4 = 658x4. Logo, a resposta e´ a alternativa C.
Exemplo 2.4.6. Na expansa˜o
(
x2 +
1
x2
+ 1
)9
, o termo independente de x e´:
A) 2481
B) 2582
C) 3040
D) 3139
Soluc¸a˜o: Usando a fo´rmula (2.4), temos(
x2 +
1
x2
+ 1
)8
=
∑ 9!
a! b! c!
(x2)a
(
1
x2
)b
(1)c
=
∑ 9!
a! b! c!
x2a x−2b
=
∑ 9!
a! b! c!
x2a−2b
onde a, b, c ∈ N , a + b + c = 9 e 2a − 2b = 0. Agora, atribuindo valores convenientes
para as constantes a , b e c, obtemos a tabela
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 64
a b c termos
0 0 9 1
1 1 7 72
2 2 5 756
3 3 3 1680
4 4 1 630
Portanto, o termo independente de x e´ 1+72+756+1680+630 = 3139. Logo, a resposta
e´ a alternativa D.
Exemplo 2.4.7. Em relac¸a˜o ao polinoˆmio P (x) =
(
x3 − 2x2 + 1)6, podemos afirmar que
o coeficiente de x6 e´ igual a:
A) −145
B) 225
C) −340
D) 490
Soluc¸a˜o: Usando a fo´rmula (2.4), temos
(
x3 − 2x2 + 1)6 = ∑ 6!
a! b! c!
(x3)a
(−2x2)b (1)c
=
∑ 6!
a! b! c!
(−2)b x3a x2b
=
∑ 6!
a! b! c!
(−2)b x3a+2b
onde a, b, c ∈ N , a + b + c = 6 e 3a + 2b = 6. Agora, atribuindo valores convenientes
para as constantes a , b e c, obtemos a tabela
a b c termos
2 0 4 15x6
0 3 3 −160x6
Ou seja, conclu´ımos que (15− 160)x6 = −145x6. Portanto, a resposta e´ a alternativa A.
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 65
2.5 Atividades
1. Desenvolvendo o binoˆmio (3x2 + 1)
8
, segundo as poteˆncias decrescentes de x. De-
termine o quarto termo.
2. Desenvolvendo o binoˆmio (x2 + y3)
6
, segundo as poteˆncias crescentes de y. Encontre
o terceiro termo.
3. No desenvolvimento de (x+ 2y2)9, encontre o coeficiente do termo em x6y6.
4. Determine o termo independente de x no binoˆmio
(√
x− 1
x
)6
.
5. Encontre o coeficiente de x8 no desenvolvimento de
(
4x+
x2
2
)6
.
6. (ITA - SP) Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x+ x2)9.
7. Ache o termo independente de x em
(
x3 +
2√
x
)7
.
8. Determine o coeficiente de x7 no binoˆmio (x+ 4)9.
9. Ache o termo central do binoˆmio (x− 2)8.
10. Calcule o coeficiente de x4 na expansa˜o de
(
x5 +
1
x2
+ 1
)12
.
11. Determine o coeficiente de x5 na expansa˜o de
(
x3 + x+ 1
)8
.
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 66
2.6 Exerc´ıcios Propostos
1. (IFNMG) O coeficiente do termo x12 no desenvolvimento de (x3 + 2)6 e´:
A) 60
B) 45
C) 80
D) 45
2. (URCA - CE) Considere o binoˆmio de Newton
(
x+
1
x2
)9
. Se p for o coeficiente
de x6 , q o coeficiente de x3 e s o termo independente, enta˜o p+ q + s vale:
a) 126
b) 127
c) 128
d) 129
e) 130
3. (UFOP - MG) No desenvolvimento de
(
x+
1
3
√
x
)6
, qual e´ o coeficiente do termo
em x2 ?
a) 20
b) 35
c) 56
d) 70
e) 15
4. (UESPI) Qual e´ o coeficiente independente de x na expansa˜o de (1 + x+ x2)10 ?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
5. (UESPI) Qual o coeficiente de x7 na expansa˜o de (2 + 3x+ x2)4 ?
A) 18
B) 16
C) 14
D) 12
E) 10
6. (UFRN) Para que exista um termo independente de x no desenvolvimento de(
2
x
− x2
)n
, n deve ser um nu´mero inteiro:
a) mu´ltiplo de 3.
b) par.
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 67
c) divis´ıvel por 5.
d) mu´ltiplo de 7.
e) divis´ıvel por 11.
7. No desenvolvimento de
(√
2 + x2
)8
, o coeficiente do termo central e´:
a) 125
b) 4
√
2
c) 280
d) 15
√
2
8. Em relac¸a˜o ao binoˆmio (x + ky)8. Sabe-se que o coeficiente do termo x6y2 e´ 252.
Enta˜o, o valor de k e´ igual a:
A) 1
B) 2C) 3
D) 4
9. (PUC - RJ) O coeficiente de a13 no binoˆmio (a+ 2)15 e´:
a) 105
b) 210
c) 360
d) 420
e) 480
10. (CESGRANRIO - RJ) O coeficiente de x4 no polinoˆmio P (x) = (x+ 2)6 e´:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
11. A soma dos coeficientes de todos os termos do desenvolvimento de (x+ 4y)4 e´:
a) 18
b) 95
c) 350
d) 480
e) 625
12. O coeficiente de x, no desenvolvimento de
(√
x+
1
3
√
x
)12
e´:
a) 648
b) 736
c) 872
d) 924
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 68
13. (PUC - RJ) O coeficiente de x no desenvolvimento
(
x+
1
x
)7
e´:
a) 10
b) 35
c) 15
d) 6
e) 20
14. (UNIFOR - CE) No desenvolvimento do binoˆmio
(
2x+
1
x
)4
, o termo independente
de x e´:
a) 24
b) 12
c) 8
d) 6
e) 4
15. (UFU - MG) O coeficiente de x5 no desenvolvimento de (
√
x+ 3
√
x)
12
e´:
a) 1
b) 66
c) 220
d) 792
e) 924
16. (UFC - CE) O coeficiente de x3 no polinoˆmio p(x) = (x− 1) · (x+ 3)5 e´:
a) 30
b) 50
c) 100
d) 120
e) 180
17. (NUCEPE - UESPI) Com relac¸a˜o ao desenvolvimento do binoˆmio (x + 3y)9 e´
CORRETO afirmar que
a) existem 9 termos.
b) o coeficiente de x5y4 e´ ı´mpar.
c) a soma dos coeficientes e´ menor que 1000.
d) o coeficiente de x2y7 e´ par.
e) o termo central tem coeficiente igual a 32.
18. (UFGD - MS) A soma dos termos de grau um e dois do desenvolvimento de (
√
2 +
2x)4 e´:
a) 32x(2 + 3x)
b) 16x((
√
2) + 3x)
c) 16x((
√
2) + 6x)
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 69
d) 8x((
√
6) + 6x)
e) 4x((
√
6) + 6x)
19. (UFAL) Qual o termo independente de x na expansa˜o de
(
x5 +
1
x3
)8
?
A) 52
B) 53
C) 54
D) 55
E) 56
20. (UFAL) Na expansa˜o de
(
x+
1
x2
)12
, qual o coeficiente independente de x ?
A) 491
B) 492
C) 493
D) 494
E) 495
21. (UFT - TO) Sabendo-se que o termo geral de um binoˆmio de Newton e´ (x + a)n,
com x ∈ R, a ∈ R e n ∈ N. E que o termo qualquer de ordem (p + 1), segundo os
expoentes decrescentes de x , e´ dado por Tp+1 =
(
n
p
)
ap xn−p. No desenvolvimento
de
(
4x2 +
1
2
)10
, o valor do termo independente de x vale
(A) 2−8
(B) 2−10
(C) 2−12
(D) 2−14
(E) 2−16
22. Na expansa˜o do binoˆmio
(
x+
1
x
)13
, o coeficiente do termo em x5 e´:
A) 715
B) 750
C) 838
D) 878
23. (UFMA) O coeficiente do termo em x8, no desenvolvimento de
(
x2 +
1
x2
)8
, e´:
a) 8!
b) 70
c) 28
d) 8
e) 112
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 70
24. Na expansa˜o do binoˆmio
(
x2 +
2
x2
)5
, o coeficiente do termo em x2 e´:
A) 24
B) 30
C) 35
D) 40
25. No desenvolvimento do binoˆmio
(√
x
2
+
16√
x
)10
, podemos afirmar que o coeficiente
de x3 e´ igual a:
A) 35
B) 45
C) 52
D) 62
26. (UECE) O valor do termo me´dio do desenvolvimento binomial de
(
x3 − 1
x2
)12
e´:
A)
(
13
6
)
x6
B)
(
13
6
)
x5
C)
(
12
6
)
x5
D)
(
12
6
)
x6
27. Desenvolvendo o binoˆmio
(
x3 + 2
)7
, segundo as poteˆncias decrescentes de x. Pode-
mos afirmar que o quinto termo e´ igual a:
A) 320x19
B) 395x16
C) 560x9
D) 765x6
28. (UECE) O coeficiente de x6 no desenvolvimento de
(√
2.x2 + 2
)5
e´:
a) 40
√
2
b) 48
√
2
c) 60
√
2
d) 80
√
2
29. No desenvolvimento de
(
x2 +
√
5
)8
, segundo as poteˆncias decrescentes de x. Pode-
mos afirmar que o coeficiente do termo central e´ igual a:
A) 10
√
5
B) 1750
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 71
C) 60
√
5
D) 3490
30. Na expansa˜o multinomial
(
x+
1
x
+ 2
)6
, o termo independente de x e´:
A) 141
B) 281
C) 384
D) 434
31. Em relac¸a˜o ao polinoˆmio P (x) =
(
2 + x− x2)4, podemos afirmar que o coeficiente
do termo em x6 e´:
A) −8
B) 6
C) −2
D) 4
32. No desenvolvimento do polinoˆmio M(x) =
(
1 + 3x+ x4
)5
, podemos afirmar que o
coeficiente do termo em x7 e´:
A) 225
B) 365
C) 420
D) 540
E) 642
33. Na expansa˜o
(√
x+
1
x2
+ 4
)6
, com x > 0, o termo independente de x e´:
A) 120
B) 235
C) 350
D) 475
E) 515
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 72
2.7 Exerc´ıcios Complementares
1. (UFAM) Sabendo que um dos termos do desenvolvimento de (x+ α)6 , com α ∈ R
e´ igual a 540x3, enta˜o o valor de α e´ igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
2. (UEPB) No desenvolvimento do binoˆmio
(
x+
1
x
)10
, a raza˜o entre o quarto e o
quinto termos e´:
a)
4
7
b)
4
7
x2
c)
5
7
x2
d)
4
5
x2
e)
4
7
x3
3. (IFAL) No desenvolvimento
[
x2 +
3
x
]n
, n ∈ N, os coeficientes binominais do quarto
e do de´cimo terceiro termos sa˜o iguais. Enta˜o o termo independente de x e´ o:
A) de´cimo.
B) de´cimo-primeiro.
C) nono.
D) de´cimo-segundo.
E) oitavo.
4. (UFU - MG) Considere o binoˆmio
(
x6 +
1
x4
)n
, em que n e´ um nu´mero natural
maior ou igual do que 1. Pode-se afirmar que o desenvolvimento desse binoˆmio
possui um termo independente de x sempre que:
A) n e´ mu´ltiplo de 5
B) n e´ mu´ltiplo de 2
C) n e´ mu´ltiplo de 7
D) n e´ mu´ltiplo de 3
5. No desenvolvimento do binoˆmio
(
2x+
1
x2
)9
, o termo independente de x e´ igual a:
A) 3264
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 73
B) 4648
C) 5376
D) 6412
6. (FEI - SP) No desenvolvimento do binoˆmio
(
x
2
+
1√
x
)9
, com x > 0, o valor do
termo independente de x e´:
(A)
84
3
(B) 84
(C)
21
2
(D) 21
(E)
14
3
7. Na expansa˜o de
(
x2 +
1
x3
− 1
)7
, o coeficiente de x5 e´ igual a:
A) 85
B) 90
C) 95
D) 105
8. (IFTO) Determine o coeficiente de m13 no desenvolvimento de (m+ 2)15.
a) 450
b) 120
c) 180
d) 420
e) 360
9. No desenvolvimento do binoˆmio
(
2x− 1
4x3
)8
, a expressa˜o do termo central e´:
A)
25
2x7
B)
35
8x8
C)
40
7x9
D)
50
9x10
10. (UERN) Considerando o desenvolvimento do binoˆmio (x+3)5, marque a alternativa
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 74
INCORRETA.
A) O 3◦ termo e´ 540x3.
B) O 4◦ termo e´ 540x2.
C) A raza˜o entre o 3◦ e o 4◦ termo e´ x.
D) A raza˜o entre o 1o e o 3o termo e´ 3x.
11. Em relac¸a˜o ao binoˆmio
(√
2 + x4
)8
. Podemos afirmar que o coeficiente do termo
em x16 e´ igual a:
A) 16
√
2
B) 280
C) 34
√
2
D) 490
12. No desenvolvimento de
(√
x+
1
4
)6
, com x > 0. Enta˜o, o coeficiente do termo em
x2 e´ igual a:
A)
9
13
B)
35
48
C)
12
25
D)
15
16
13. (UEM - PR) Considerando o polinoˆmio P (x) = (2x2 − 3x3)2006 , a soma dos seus
coeficientes e´
A) 2006.
B) −1.
C) 1.333.452.
D) 1.
E) 32.
14. (EsPCEx - SP) No desenvolvimento do binoˆmio
(
x2 +
k
x4
)9
, o termo independente
de x e´ igual a 672. Enta˜o k e´ um nu´mero
A) primo.
B) divis´ıvel por 3.
C) mu´ltiplo de 5.
D) inteiro quadrado perfeito.
E) inteiro cubo perfeito.
15. (AFA - SP) Com relac¸a˜o ao binoˆmio
(
x2 +
2
x
)n
e´ correto afirmar que:
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 75
a) se n e´ ı´mpar, seu desenvolvimento possui um nu´mero ı´mpar de termos.
b) possui termo independente de x, ∀n ∈ N∗.
c) a soma de seus coeficientes binomiais e´ igual a 64 quando esse binoˆmio possui
seis termos.
d) se o 5o termo do desenvolvimento desse binoˆmio, segundo as poteˆncias decres-
centes de x, e´ 560x2, enta˜o n e´ igual a 7.
16. Na expansa˜o
(
x+
√
x+ 1
)5
, com x > 0, o coeficiente do termo em x2 e´:
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
17. Na expansa˜o
(
x+
1√
x
+ 1
)6
, com x > 0, o coeficiente do termo em x3 e´:
A) 75
B) 80
C) 85
D) 90
18. Na expansa˜o multinomial
(
x2 − x+ 3)4, o coeficiente do termo em x3 e´ igual a:
A) −110
B) 115
C) −120
D) 140
19. Na expansa˜o multinomial
(
x2 +
x
2
+ 1
)5
, o coeficiente do termoem x2 e´ igual a:
A)
15
2
B)
17
4
C)
23
8
D)
39
16
20. Na expansa˜o multinomial
(
x+ 3
√
x− 2)6, o coeficiente do termo em x2 e´ igual a:
A) 274
B) 383
C) 462
D) 481
21. (UESPI) O coeficiente independente de x na expansa˜o de
(
1− 2x− x3)11 e´ igual a
a) 0
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 76
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
22. Na expansa˜o multinomial
(
x−√x+ 2)8, com x > 0, o coeficiente do termo inde-
pendente de x e´:
A) 64
B) 128
C) 256
D) 512
23. No desenvolvimento do binoˆmio
(
x2
3
+
1
x
)5
, o coeficiente do termo em x4 e´:
A)
10
27
B)
19
9
C)
11
81
D)
23
3
24. Em relac¸a˜o ao binoˆmio
(
β
2
+
1
x
)6
, sabe-se que o coeficiente do termo em x−3 e´ 20.
Assim, podemos afirmar que o valor de β e´ igual a:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
25. Em relac¸a˜o a expansa˜o
(
x+
1
x
+ 2
)9
, podemos afirmar que o coeficiente de x4 e´:
A) 2694
B) 3778
C) 4536
D) 5182
E) 6504
26. (IF Sudeste MG) O termo independente de x no desenvolvimento de
(
x− 2
x
)4
e´:
a) 8
b) 16
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 77
c) 18
d) 24
e) 32
27. Na aula de matema´tica o aluno perguntou: Professor qual a sua idade ? Enta˜o, ele
respondeu: A minha idade e´ igual ao coeficiente do termo em x6 no desenvolvimento
do binoˆmio (x+
√
2)8. Enta˜o, a idade desse professor e´:
A) 28 anos.
B) 34 anos.
C) 42 anos.
D) 56 anos.
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 78
2.8 Respostas das Atividades
1. 1512x6
2. 15x4y12
3. 672
4. 15
5. 960
6. 414
7. 448
8. 1344
9. 1120x4
10. 8415
11. 224
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 79
2.9 Respostas dos Exerc´ıcios Propostos
01) A 17) D 33) A 49)
02) D 18) B 34) 50)
03) A 19) E 35) 51)
04) B 20) E 36) 52)
05) D 21) B 37) 53)
06) A 22) A 38) 54)
07) C 23) C 39) 55)
08) C 24) D 40) 56)
09) D 25) B 41) 57)
10) B 26) D 42) 58)
11) E 27) C 43) 59)
12) D 28) D 44) 60)
13) B 29) B 45) 61)
14) A 30) A 46) 62)
15) E 31) C 47) 63)
16) E 32) D 48) 64)
CAPI´TULO 2. BINOˆMIO DE NEWTON 80
2.10 Respostas dos Exerc´ıcios Complementares
01) B 17) B 33) 49)
02) B 18) C 34) 50)
03) B 19) A 35) 51)
04) A 20) D 36) 52)
05) C 21) B 37) 53)
06) C 22) C 38) 54)
07) D 23) A 39) 55)
08) D 24) B 40) 56)
09) B 25) C 41) 57)
10) D 26) D 42) 58)
11) B 27) D 43) 59)
12) D 28) 44) 60)
13) D 29) 45) 61)
14) A 30) 46) 62)
15) D 31) 47) 63)
16) D 32) 48) 64)
Cap´ıtulo 3
Probabilidade
3.1 Introduc¸a˜o
Definic¸a˜o 3.1.1. Seja A um evento de um espac¸o amostral finito Ω, cujos elementos sa˜o
igualmente prova´veis. A probabilidade do evento A e´ dada pela raza˜o
P (A) =
N(A)
N(Ω)
onde N(A) representa o nu´mero de casos favora´veis e N(Ω) representa o nu´mero de casos
poss´ıveis.
Exemplo 3.1.1. (UFPB) A probabilidade de se escolher, no conjunto A = {n ∈ N | 1 ≤
n ≤ 21}, um nu´mero que seja divisor de 12 e de 16 e´
a) 5/7
b) 4/21
c) 1/7
d) 1/21
e) 4/7
Soluc¸a˜o: Suponhamos que D(k) represente o conjunto dos divisores de k ∈ N. Logo,
temos que D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} e D(16) = {1, 2, 4, 8, 16}. Agora, seja X o evento
formado pelos divisores de 12 e 16. Logo, segue que X = {1, 2, 4}. Sabe-se que o
espac¸o amostral S e´ formado por todos os nu´meros do conjunto A. Logo, obtemos S =
{1, 2, 3, · · · , 19, 20, 21}. Portanto, resulta que
P (X) =
N(X)
N(S)
=
3
21
=
1
7
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa C.
Exemplo 3.1.2. (Mackenzie - SP) Escolhidos, ao acaso, dois nu´meros distintos do con-
junto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, a probabilidade de que o produto deles seja ı´mpar e´:
a)
3
4
81
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 82
b)
1
2
c)
2
7
d)
2
9
e)
3
5
Soluc¸a˜o: Notamos que o espac¸o amostral Ω consiste em escolher dois nu´meros do con-
junto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Isso pode ser feito de
(
10
2
)
= 45 maneiras. Ale´m disso,
sabemos que o produto de dois nu´meros impares e´ um nu´mero ı´mpar. Seja o evento A,
que consiste em escolher dois nu´meros do conjunto {1, 3, 5, 7, 9}. Isso pode ser feito de(
5
2
)
= 10 maneiras. Portanto, resulta
P (A) =
N(A)
N(Ω)
=
10
45
=
2
9
Ou seja, a resposta e´ a alternativa D.
Exemplo 3.1.3. (UNEMAT - MT) Em uma competic¸a˜o ha´ sete candidatos, dois do
sexo masculino e cinco do sexo feminino. Para definir os dois primeiros candidatos que
ira˜o iniciar a competic¸a˜o, efetuam-se dois sorteios seguidos, sem reposic¸a˜o, a partir de
uma urna contendo fichas com os nomes de todos os candidatos. Nesta situac¸a˜o, a pro-
babilidade de os dois nomes sorteados serem do sexo feminino e´ de:
a)
10
21
b)
7
21
c)
2
5
d)
5
7
e)
5
14
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral que consiste em escolher 2 pessoas num grupo
formado por 7 pessoas. Logo, existem N(S) =
(
7
2
)
= 21 maneiras de fazer essa escolha.
Ale´m disso, seja X o evento que consiste em escolher 2 mulheres num total de 5 mulheres.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 83
Podemos fazer isso de N(X) =
(
5
2
)
= 10 maneiras. Portanto, encontramos
P (X) =
N(X)
N(S)
=
10
21
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa A.
Exemplo 3.1.4. Escolhendo ao acaso um dos anagramas da palavra PRETA. Qual a
probabilidade desse anagrama comec¸ar com a letra A?
(A)
1
5
(B)
1
6
(C)
1
12
(D)
1
18
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral formado por todos os anagramas da palavra PRETA.
Sabe-se que o nu´meros de anagramas e´ P5 = 5! = 120. Ou seja, N(S) = 120. Ale´m disso,
seja X o evento formado por todos anagramas que comec¸am com a letra A. Logo, devemos
fixar a letra A e permutar as letras restantes, de acordo a representac¸a˜o abaixo
A,−,−,−,−︸ ︷︷ ︸
4 espacos
Nesse caso, temos P4 = 4! = 24. Ou seja, N(X) = 24. Finalmente, a probabilidade e´
P (X) =
N(X)
N(S)
=
24
120
=
1
5
.
Assim, a resposta e´ a alternativa A.
Exemplo 3.1.5. Uma caixa teˆm 6 bolas verdes e 7 bolas pretas. Retiram-se 4 bolas dessa
caixa, sem reposic¸a˜o. Calcule a probabilidade de serem retiradas 2 bolas de cada cor.
Soluc¸a˜o: Notamos que retirar 4 bolas, sem reposic¸a˜o e´ equivalente a retirar 4 bolas
simultaneamente. Seja Ω o espac¸o amostral que consiste em retirar 4 bolas entre 13
bolas. Portanto, resulta que
N(Ω) =
(
13
4
)
=
13!
4! · 9! = 715.
Seja, A o evento composto por 4 bolas, sendo 2 verdes e 2 pretas. Enta˜o, temos que
N(A) =
(
6
2
)
·
(
7
2
)
=
6!
2! · 4! ·
7!
2! · 5! = 315.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 84
Logo, a probabilidade e´ dada por
P (A) =
N(A)
N(Ω)
=
315
715
=
63
143
.
Exemplo 3.1.6. Num caixa eletroˆnico de um banco existem somente notas de 2 e 5
reais. Sabe-se que Juliana retirou 20 reais. Qual a probabilidade da quantidade de notas
retiradas formarem um nu´mero par ?
Soluc¸a˜o: Inicialmente, usaremos a seguinte notac¸a˜o a = quantidade de notas de 2 reais
e b = quantidade de notas de 5 reais. Enta˜o, temos a relac¸a˜o 2a+ 5b = 20, onde a, b ∈ N.
Ale´m disso, vamos atribuir valores convenientes, com isso formamos a seguinte tabela
a a = (20− 5b)/2 a+ b
0 10 10 (par)
2 5 7 (´ımpar)
4 0 4 (par)
Ale´m disso, supomos que os casos possiveis acima sa˜o equiprova´veis. Portanto, temos treˆs
resultados poss´ıveis e dois casos favora´veis. Ou seja, a probabilidade e´ dada por
P =
2
3
.
Exemplo 3.1.7. Uma caixa teˆm 9 bolas verdes e 5 bolas amarelas. Quatro bolas sa˜o
retiradas ao acaso e sem reposic¸a˜o. Qual a probabilidade de que pelo menos duas sejam
amarelas?
Soluc¸a˜o: Seja Ω o espac¸o amostral formado por todas as combinac¸o˜es de 14 bolas,
tomadas 4 a 4. Portanto, temos
N(Ω) =
(
14
4
)
=
14!
4! · 10! = 1001.
Seja A o evento formadopor 4 bolas, onde pelo menos duas sa˜o amarelas. Nesse caso,
temos treˆs possibilidades; A primeira, consiste em 2 amarelas e 2 verdes; a segunda,
consiste em 3 amarelas e 1 verde e a terceira, consiste em 4 amarelas. Portanto, obtemos
N(A) =
(
9
2
)
·
(
5
2
)
+
(
9
3
)
·
(
5
1
)
+
(
5
4
)
= 785.
Logo, a probabilidade e´ dada por
P (A) =
N(A)
N(Ω)
=
785
1001
.
Exemplo 3.1.8. Uma caixa teˆm 7 bolas brancas e 9 bolas pretas. Cinco bolas sa˜o
selecionadas ao acaso e sem reposic¸a˜o. Qual a probabilidade de que no ma´ximo duas
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 85
bolas sejam pretas ?
Soluc¸a˜o: Seja Ω o espac¸o amostral formado por todas as combinac¸o˜es de 16 bolas,
tomadas 5 a 5. Portanto, temos
N(Ω) =
(
16
5
)
=
16!
5! · 11! = 4368.
Seja B o evento formado por 5 bolas, onde no ma´ximo 2 sa˜o pretas. Nesse evento, temos
treˆs casos; o primeiro, consiste em 5 brancas e nenhuma preta; o segundo, consiste em 4
brancas e 1 preta e o terceiro, consiste 3 brancas e 2 pretas. Logo, encontramos
N(B) =
(
7
5
)
+
(
7
4
)
·
(
9
1
)
+
(
7
3
)
·
(
9
2
)
= 1596.
Logo, a probabilidade e´ dada por
P (B) =
N(B)
N(Ω)
=
1596
4368
.
Exemplo 3.1.9. (IFAP) Uma urna conte´m 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas
bolas, escolhidas ao acaso, sa˜o sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposic¸a˜o. A
probabilidade de que ambas sejam brancas vale:
a) 1/6
b) 2/9
c) 4/9
d) 16/81
e) 20/81
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral que consiste em escolher 2 bolas entre 9 bolas,
podemos fazer isso de
(
9
2
)
= 36 formas diferentes. Agora, seja X o evento que consiste
em escolher 2 bolas brancas entre 4 bolas brancas, podemos fazer isso de
(
4
2
)
= 6 formas
diferentes. Portanto, resulta que
P (X) =
N(X)
N(S)
=
6
36
=
1
6
.
Assim, a resposta e´ a alternativa A.
Exemplo 3.1.10. Considere o lanc¸amento de dois dados na˜o - viciados. Qual a probabi-
lidade de se obter na soma dos pontos das faces voltadas para cima um nu´mero ı´mpar ?
A) 45%
B) 50%
C) 55%
D) 60%
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 86
Soluc¸a˜o: Um dado tem 6 faces numeradas de 1 ate´ 6. Assim, no lanc¸amento de dois
dados, o espac¸o amostral Ω e´ dado por
Ω =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja o evento A formado pelos pares ordenados de modo que a soma dos nu´meros seja
um nu´mero ı´mpar. Assim, temos que
A =

(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5)
(3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5)
(5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)

Portanto, a probabilidade e´ dada por
P (A) =
N(A)
N(Ω)
=
18
36
= 50%.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa B.
Exemplo 3.1.11. (UFRGS - RS) Dois dados perfeitos numerados de 1 a 6 sa˜o jogados
simultaneamente. Multiplicam-se os nu´meros sorteados. A probabilidade de que o pro-
duto seja par e´
(A) 25%
(B) 33%
(C) 50%
(D) 66%
(E) 75%
Soluc¸a˜o: Notamos que o espac¸o amostral S e´ dado pelo conjunto abaixo
S =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja o evento X formado pelos pares ordenados tais que o produto dos nu´meros forme
um nu´mero par. Portanto, temos
X =

(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 87
Logo, a probabilidade e´ dada por
P (X) =
N(X)
N(S)
=
27
36
= 75%.
Assim, a resposta e´ a alternativa E.
Exemplo 3.1.12. (PUC - RS) Dois dados sa˜o jogados simultaneamente. A probabili-
dade de se obter soma igual a 10 nas faces de cima e´
A)
1
18
B)
1
12
C)
1
10
D)
1
6
E)
1
5
Soluc¸a˜o: Notamos que o espac¸o amostral S e´ dado pelo conjunto abaixo
S =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja o evento X formado pelos pares ordenados tais que a soma e´ igual a 10. Assim,
temos
X =
{
(4, 6), (6, 4), (5, 5)
}
Logo, a probabilidade e´ dada por
P (X) =
N(X)
N(S)
=
3
36
=
1
12
.
Portanto, a resposta e´ a alternativa B.
Exemplo 3.1.13. Seja X o conjunto formado por todas as permutac¸o˜es de seis letras
da palavra CABELO. Sabendo que uma dessas permutac¸o˜es foi escolhida ao acaso. A
probabilidade de a escolhida comec¸ar com a letra A e terminar com a letra B e´:
(A)
1
10
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 88
(B)
1
20
(C)
1
30
(D)
1
40
(E)
1
50
Soluc¸a˜o: Sabemos que a palavra CABELO possui seis letras distintas. Logo, o to-
tal de permutac¸o˜es e´ 6! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720. Agora, fixando as letras A e B, e
permutando as letras restantes, obteremos 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 permutac¸o˜es. Portanto,
P =
24
720
=
1
30
.
Logo, a resposta e´ a alternativa C.
Exemplo 3.1.14. Num quartel, Andre´ e Carlos fazem parte de um grupo de 8 soldados
que ira˜o formar uma fila. Enta˜o, a probabilidade dessa fila ser formada de modo que entre
Andre´ e Carlos, exista, exatamente 4 soldados e´:
(A)
2
13
(B)
1
25
(C)
7
18
(D)
4
33
(E)
3
28
Soluc¸a˜o: Notamos que a quantidade de maneiras diferentes de formar uma fila com
oito pessoas e´ 8!. Ale´m disso, sabemos que Andre´ e Carlos podem ocupar as posic¸o˜es:
(primeiro e sexto), (segundo e se´timo) e (terceiro e oitavo). Ou seja, 3 posic¸o˜es diferentes.
No entanto, Andre´ e Carlos podem trocar de lugar entre si. Logo, teremos 3 · 6! · 2! filas
diferentes. Dessa forma, resulta que
P =
3 · 6! · 2!
8!
=
3
28
.
Logo, a resposta e´ a alternativa E.
Definic¸a˜o 3.1.2. Seja A um evento de um espac¸o amostral finito Ω. A probabilidade P
satisfaz
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 89
(1) 0 ≤ P (A) ≤ 1, com A ⊂ Ω ;
(2) P (Ω) = 1 ;
(3) P (A ∪B) = P (A) + P (B) , com A ∩B = ∅
Observac¸a˜o 3.1.1. Quando A ∩B = ∅, dizemos que A e B sa˜o mutuamente exclusivos.
Teorema 3.1.1. Sejam A e B eventos de um espac¸o amostral Ω. Enta˜o,
(1) P (∅) = 0 ;
(2) P (Ac) = 1− p(A), onde Ac e´ o complemento do evento A ;
(3) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Demonstrac¸a˜o. Em (1), notamos que A∪∅ = A e A∩∅ = ∅. Enta˜o, temos P (A∪∅) = P (A)
implica em P (A) + P (∅) = P (A). Portanto, obtemos P (∅) = 0.
Em (2), observamos que Ac ∪A = Ω e Ac ∩A = ∅. Portanto, P (Ac ∪A) = P (Ω) implica
em P (Ac) + P (A) = P (Ω). Ou seja, resulta que P (Ac) = 1− p(A).
Em (3), percebemos que A ∩ (Ac ∩B) = ∅ e A ∪B = A ∪ (Ac ∩B). Portanto,
P (A ∪B) = P (A ∪ (Ac ∩B)) = P (A) + P (Ac ∩B) (3.1)
Ale´m disso, sabemos que (A ∩B) ∩ (Ac ∩B) = ∅ e B = (A ∩B) ∪ (Ac ∩B). Portanto,
P (B) = P (A ∩B) + P (Ac ∩B) (3.2)
Logo, de (2.1) e (2.2) segue que P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Exemplo 3.1.15. Um nu´mero entre 1 e 90 e´ escolhido de forma aleato´ria. Determine a
probabilidade desse nu´mero ser divis´ıvel por 2 ou por 3.
Soluc¸a˜o: Seja A o evento formado por nu´meros divis´ıveis por 2 e B o eventoformado
por nu´meros divis´ıveis por 3. Sabemos que N(A) = 45 e N(B) = 30. Mas, existem
nu´meros que sa˜o divis´ıveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Assim, temos que obter os
nu´meros divisiveis por 6. Ou seja, resulta que N(A ∩B) = 15. Portanto, segue que
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
=
45
90
+
30
90
− 15
90
=
60
90
=
2
3
.
Exemplo 3.1.16. Patricia foi ao mercado. Sabe-se que a probabilidade dela comprar
treˆs ou mais objetos e´ 75% e a probabilidade dela comprar treˆs ou menos objetos e´ 38%.
Qual a probabilidade dela comprar exatamente treˆs objetos ?
A) 93%
B) 57%
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 90
C) 75%
D) 13%
Soluc¸a˜o: Sejam os eventos A = Patricia comprar treˆs ou mais objetos; B = Patricia
comprar treˆs ou menos objtos; A∩B = Patricia comprar exatamente treˆs objetos. Ale´m
disso, sabemos que A ∪ B = Espac¸o Amostral, que significa comprar menos que treˆs
objetos, ou comprar treˆs objetos, ou comprar mais que treˆs objetos. Portanto, resulta
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
1 = 0, 75 + 0, 38− P (A ∩B)
Logo, obtemos P (A ∩B) = 0, 13. Ou seja, a resposta e´ a alternativa D.
Exemplo 3.1.17. (UEPA) Os cursos ofertados pela UEPA no PROSEL e PRISE, no
munic´ıpio de IGARAPE´-AC¸U, com as respectivas vagas, constam na tabela abaixo :
CURSO OFERTADO PROSEL PRISE
Licenciatura em Letras 20 20
Licenciatura em Matematica 20 20
Supondo que todas as vagas sera˜o preenchidas, a probabilidade de sortearmos, ao acaso,
um aluno do Curso de Licenciatura em Matema´tica ou um aluno aprovado no PRISE e´
de:
a) 25%
b) 50%
c) 60%
d) 75%
e) 100%
Soluc¸a˜o: Inicialmente, consideremos os eventos A = aluno do curso de licenciatura em
matema´tica e B = aluno aprovado no PRISE. Usando a probabilidade da unia˜o de dois
eventos, temos
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
=
40
80
+
40
80
− 20
80
= 0, 75.
Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
3.2 Probabilidade condicional
Definic¸a˜o 3.2.1. Sejam os eventos A e B de um espac¸o amostral Ω. Denotamos por
P (B/A) a probabilidade condicional de B dado A e representamos por
P (B/A) =
P (A ∩B)
P (A)
, com P (A) > 0.
Usando a relac¸a˜o acima, podemos obter a fo´rmula do produto para dois eventos, dada
por P (A ∩ B) = P (A) · P (B/A). Por outro lado, sendo P (B) > 0, podemos ter a forma
P (B ∩ A) = P (B) · P (A/B).
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 91
Definic¸a˜o 3.2.2. Sejam os eventos B1, B2, · · · , Bn de um espac¸o amostral Ω. Dizemos
que eles formam uma partic¸a˜o de Ω, quando:
1) P (Bk) > 0, para cada k ∈ {1, 2, · · · , n} .
2) Bi ∩Bj = ∅, para i 6= j.
3)
⋃n
i=1Bi = Ω.
Teorema 3.2.1. (Teorema da probabilidade total) Se os eventos A1, A2, · · · , An
formam uma partic¸a˜o de Ω e B e´ um evento contido em
n⋃
i=1
Ai. Sabendo que P (Ai) > 0,
para cada i ∈ {1, 2, · · · , n}. Enta˜o, vale a relac¸a˜o
P (B) = P (A1) · P (B/A1) + P (A2) · P (B/A2) + · · ·+ P (An) · P (B/An)
Exemplo 3.2.1. Uma urna I teˆm 3 bolas boas e 2 defeituosas e na urna II teˆm 7 bolas
boas e 3 defeituosas. Escolhendo uma urna ao acaso e retirando uma bola.
a) Qual a probabilidade dela ser defeituosa ?
b) Qual a probabilidae dela ser boa ?
Soluc¸a˜o: No item a), seja D o evento formado por bola defeituosa. Ale´m disso, sabemos
que os conjuntos D∩ I e D∩ II sa˜o mutuamente exclusivos e que D = (D∩ I)∪ (D∩ II).
Portanto, temos que
P (D) = P (D ∩ I) + P (D ∩ II)
= P (I) · P (D/I) + P (II) · P (D/II)
=
1
2
· 2
5
+
1
2
· 3
10
=
7
20
.
No item b), seja B o evento formado por bola boa. Mas, sabemos que os conjuntos B ∩ I
e B ∩ II sa˜o mutuamente exclusivos e que B = (B ∩ I) ∪ (B ∩ II). Portanto, temos que
P (B) = P (B ∩ I) + P (B ∩ II)
= P (I) · P (B/I) + P (II) · P (B/II)
=
1
2
· 3
5
+
1
2
· 7
10
=
13
20
.
3.3 Eventos Independentes
Definic¸a˜o 3.3.1. Sejam os eventos A e B do espac¸o amostral Ω. Dizemos que esses
eventos A e B sa˜o independentes, quando P (B/A) = P (B) e P (A/B) = P (A).
Definic¸a˜o 3.3.2. Os eventos A e B sa˜o independentes, quando P (A∩B) = P (A) ·P (B).
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 92
Exemplo 3.3.1. A probabilidade de Adriana resolver um problema e´ P (A) =
1
6
e a
probabilidade de Bruno resolver esse problema e´ P (B) =
4
5
. Qual a probabilidade de
ambos resolverem o problema ?
Soluc¸a˜o: Sendo os eventos A e B independentes. Enta˜o, resulta que
P (A ∩B) = P (A) · P (B) = 1
6
· 4
5
=
4
30
Ou seja, a resposta e´ aproximadamente 13%.
Exemplo 3.3.2. Sabendo que A e B sa˜o eventos independentes. Mostre que AC e B sa˜o
independentes.
Soluc¸a˜o: Notamos que A∩B e AC∩B sa˜o disjuntos e B = (A∩B)∪(AC∩B). Portanto,
P (B) = P [(A ∩B) ∪ (AC ∩B)]
= P (A ∩B) + P (AC ∩B)
= P (A) · P (B) + P (AC ∩B)
Logo, obtemos P (B) = P (A) · P (B) + P (AC ∩B). Por outro lado, resulta que
P (AC ∩B) = P (B)− P (A) · P (B)
= P (B) · (1− P (A))
= P (B) · P (AC)
Portanto, mostramos que AC e B sa˜o independentes.
Exemplo 3.3.3. Sabendo que A e B sa˜o eventos independentes. Mostre que AC e BC
sa˜o independentes.
Soluc¸a˜o: Inicialmente, sabemos que vale a relac¸a˜o AC ∩BC = (A ∪B)C . Portanto,
P (AC ∩BC) = P ((A ∪B)C) = 1− P (A ∪B)
= 1− (P (A) + P (B)− P (A ∩B))
= 1− P (A)− P (B) + P (A ∩B)
= (1− P (A))− P (B) · (1− P (B))
= (1− P (A)) · (1− P (B))
= P (AC) · P (BC)
Logo, provamos que AC e BC sa˜o independentes.
Definic¸a˜o 3.3.3. Dizemos que os eventos A, B e C sa˜o independentes, quando:
1) P (A ∩B) = P (A) · P (B) ;
2) P (A ∩ C) = P (A) · P (C) ;
3) P (B ∩ C) = P (B) · P (C) ;
4) P (A ∩B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C)
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 93
Exemplo 3.3.4. As probabilidades de Adriano, Beatriz e Carlos resolverem um problema
sa˜o P (A) =
1
3
, P (B) =
2
5
e P (C) =
3
8
, respectivamente. Qual a probabilidade de somente
duas pessoas resolverem o problema ?
Soluc¸a˜o: SejaX o evento que consistem em somente duas pessoas resolverem o problema.
Ale´m disso, os eventos A, B e C independentes. Portanto, temos
P (X) = P (AC ∩B ∩ C) + P (A ∩BC ∩ C) + P (A ∩B ∩ CC)
= P (AC) · P (B) · P (C) + P (A) · P (BC) · P (C) + P (A) · P (B) · P (CC)
=
2
3
· 2
5
· 3
8
+
1
3
· 3
5
· 3
8
+
1
3
· 2
5
· 5
8
=
12
120
+
9
120
+
10
120
=
31
120
Logo, a resposta e´ aproximadamente 25%.
Exemplo 3.3.5. (IFTO) Supondo que a probabilidade de acertar esta questa˜o seja de
0,8 para o candidato A, que estudou e 0,2 para o candidato B, que na˜o estudou, qual a
probabilidade de ambos acertarem esta questa˜o?
a) 8%
b) 80%
c) 32%
d) 10%
e) 16%
Soluc¸a˜o: Sabemos que P (A) = 0, 8 e P (B) = 0, 2. Sendo os eventos independentes,
temos P (A ∩B) = P (A) · P (B) = 0, 8 · 0, 2 = 0, 16. Logo, a resposta e´ a alternativa E.
Exemplo 3.3.6. (UFPE) Oito rapazes e doze moc¸as concorrem ao sorteio de dois
preˆmios. Sera˜o sorteadas duas dessas pessoas, aleatoriamente, em duas etapas, de modo
que o sorteado na primeira etapa concorrera´ ao sorteio na segunda etapa. Qual a proba-
bilidade percentual de ser sorteado um par de pessoas de sexos diferentes?
Soluc¸a˜o: Sejam os eventos R = sortear um rapaz e M = sortear uma moc¸a. Sendo re-
tiradas com reposic¸a˜o, logo os eventos R e M sa˜o independentes. Agora, seja X o evento
que consiste em sair pessoas de sexos diferentes. Portanto, temos
P (X) = P (R ∩M) + P (M ∩R)
= P (R) · P (M) + P (M) · P (R)
=
8
20
· 12
20
+
12
20
· 8
20
=
192
400
= 0, 48.
Logo, a resposta e´ 48%.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 94
3.4 Teorema de Bayes
Teorema 3.4.1. (Teorema de Bayes) Se os eventos A1, A2, · · · , An formam uma
partic¸a˜o de Ω e B e´ um evento contido em
n⋃
i=1
Ai. Sabendo que P (Ai) > 0, para cada
i ∈ {1, 2, · · · , n}. Enta˜o, vale a relac¸a˜o
P (Ai/B) =
P (Ai) · P (B/Ai)
P (A1) · P (B/A1) + P (A2) ·P (B/A2) + · · ·+ P (An) · P (B/An)
Exemplo 3.4.1. Numa loja existem treˆs caixas A, B e C, cada uma possui uma certa
quantidade de bolas brancas, verdes e pretas. A distribuic¸a˜o da quantidade de bolas em
cada caixa e´ fornecida pela tabela
cores \ caixas Caixa A Caixa B Caixa C
Brancas 2 3 7
V erdes 1 2 5
Pretas 2 5 3
Escolheu-se uma caixa ao acaso e dela retirou-se uma bola ao acaso, em seguida verificou-
se que a bola era preta. Determine a probabilidade dela ter vindo da:
a) caixa A.
b) caixa B.
c) caixa C.
Soluc¸a˜o: Na parte (a), seja A = Caixa A, B = Caixa B e C = Caixa C. Ale´m disso,
sabemos que P (A) =
1
3
; P (B) =
1
3
e P (C) =
1
3
; P (preta/A) =
2
5
; P (preta/B) =
5
10
e
P (preta/C) =
3
15
. Agora, usando o Teorema de Bayes, temos
P (A/preta) =
P (A) · P (preta/A)
P (A) · P (preta/A) + P (B) · P (preta/B) + P (C) · P (preta/C)
=
1
3
· 2
5
1
3
· 2
5
+
1
3
· 5
10
+
1
3
· 3
15
=
2
15
33
90
=
4
11
Na parte (b), sabemos que P (A) =
1
3
; P (B) =
1
3
e P (C) =
1
3
; P (preta/A) =
2
5
;
P (preta/B) =
5
10
e P (preta/C) =
3
15
. Agora, usando o Teorema de Bayes, temos
P (B/preta) =
P (B) · P (preta/B)
P (A) · P (preta/A) + P (B) · P (preta/B) + P (C) · P (preta/C)
=
1
3
· 5
10
1
3
· 2
5
+
1
3
· 5
10
+
1
3
· 3
15
=
5
30
33
90
=
5
11
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 95
Na parte (c), sabemos que P (A) =
1
3
; P (B) =
1
3
e P (C) =
1
3
; P (preta/A) =
2
5
;
P (preta/B) =
5
10
e P (preta/C) =
3
15
. Agora, usando o Teorema de Bayes, temos
P (C/preta) =
P (C) · P (preta/C)
P (A) · P (preta/A) + P (B) · P (preta/B) + P (C) · P (preta/C)
=
1
3
· 3
15
1
3
· 2
5
+
1
3
· 5
10
+
1
3
· 3
15
=
3
45
33
90
=
2
11
Exemplo 3.4.2. Numa cidade o nu´mero de mulheres e´ triplo do nu´mero de homens.
Sabe-se que
2
9
das mulheres sa˜o francesas e
3
5
dos homens sa˜o franceses. Uma pessoa e´
selecionada ao acaso e verifica-se que tem nacionalidade francesa. Calcule a probabilidade
dessa pessoa ser homem.
Soluc¸a˜o: Sendo a quantidade de mulheres o triplo da quantidade homens. Enta˜o,
resulta que P (mulher) =
3
4
e P (homem) =
1
4
. Devemos calcular P (homem/F ), onde F
e´ o evento que representa nacionalidade francesa. Usando o Teorema de Bayes, temos
P (homem/F ) =
P (homem ∩ F )
P (F )
=
P (homem) · P (F/homem)
P (homem) · P (F/homem) + P (mulher) · P (F/mulher)
=
1
4
· 3
5
1
4
· 3
5
+
3
4
· 2
9
=
9
19
.
Exemplo 3.4.3. (UFPE) Um construtor compra 60% das suas telhas da Companhia A
e o restante da Companhia B. Suponha que 96% das telhas compradas de A sa˜o entregues
sem defeito, e o mesmo ocorre com 98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue com
defeito, calcule a probabilidade percentual p% de ter sido entregue pela Companhia A.
Indique p.
Soluc¸a˜o: Suponhamos que A = Companhia A e B = Companhia B. Ale´m disso,
sabemos que P (A) =
60
100
e P (B) =
40
100
. Sobre as telhas defeituosas, sabemos que
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 96
P (defeito/A) =
4
100
e P (defeito/B) =
2
100
. Pelo Teorema de Bayes, temos
P (A/defeito) =
P (A ∩ defeito)
P (defeito)
=
P (A) · P (defeito/A)
P (A) · P (defeito/A) + P (B) · P (defeito/B)
=
60
100
· 4
100
60
100
· 4
100
+
40
100
· 2
100
=
240
320
= 0, 75.
Ou seja, a resposta e´ p = 75%.
Exemplo 3.4.4. (UFRJ) Fernando e Cla´udio foram pescar num lago onde so´ existem
trutas e carpas. Fernando pescou, no total, o triplo da quantidade pescada por Cla´udio.
Fernando pescou duas vezes mais trutas do que carpas, enquanto Cla´udio pescou quanti-
dades iguais de carpas e trutas. Os peixes foram todos jogados num balaio e uma truta
foi escolhida ao acaso desse balaio. Determine a probabilidade de que esta truta tenha
sido pescada por Fernando.
Soluc¸a˜o: Seja F a quantidade de peixes pescado por Fernando e C a quantidade de
peixes pescado por Cla´udio. Enta˜o, temos a relac¸a˜o P (C) + 3P (C) = 1. Logo, encon-
tramos P (C) =
1
4
e P (F ) =
3
4
. Ale´m disso, Fernando pescou duas vezes mais trutas
do que carpas. Portanto, temos P (truta/F ) =
2
3
e P (carpa/F ) =
1
3
. Por outro lado,
Cla´udio pescou quantidades iguais de carpas e trutas. Logo, temos P (truta/C) =
1
2
e
P (carpa/C) =
1
2
. Pelo Teorema de Bayes, temos
P (F/truta) =
P (F ∩ truta)
P (truta)
=
P (F ) · P (truta/F )
P (F ) · P (truta/F ) + P (C) · P (truta/C)
=
3
4
· 2
3
3
4
· 2
3
+
1
4
· 1
2
=
4
5
= 0, 80.
Portanto, a resposta e´ 80%.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 97
3.5 Distribuic¸a˜o Binomial
Teorema 3.5.1. (Teorema Binomial) Seja um experimento binomial consistindo em
n provas independentes, e X representa a quantidade de sucessos. Enta˜o, a probabilidade
de ocorrer exatamente k sucessos e´ dada por
P (X = k) =
(
n
k
)
· pk · (1− p)n−k , com k = 0, 1, 2, · · · , n.
onde, p e´ a probabilidade de sucesso e 1− p e´ a probabilidade de fracasso.
Exemplo 3.5.1. Um atirador acerta no alvo, 30% dos tiros. Se ele da´ 4 tiros. Qual a
probabilidade dele acertar:
a) 2 tiros ?
b) no ma´ximo 2 tiros ?
Soluc¸a˜o: Usaremos o Teorema Binomial, com sucesso
(
p = 30% =
3
10
)
e fracasso(
q = 70% =
7
10
)
. Onde X representa a quantidade de acertos. Portanto, no item (a),
temos
P (X = 2) =
(
4
2
)
·
(
3
10
)2
·
(
7
10
)2
=
1323
5000
.
No item (b), temos
P (B) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
=
(
4
0
)
·
(
3
10
)0
·
(
7
10
)4
+
(
4
1
)
·
(
3
10
)1
·
(
7
10
)3
+
(
4
2
)
·
(
3
10
)2
·
(
7
10
)2
=
2401
10000
+
4116
10000
+
2646
10000
=
9163
10000
.
Exemplo 3.5.2. Adriano e Bruno disputam um se´rie de 4 partidas de jogos de xadrez.
A probabilidade de Adriano ganhar uma partida e´ de 45% e na˜o ha´ empate. Calcule a
probabilidade de Adriano ganhar a se´rie.
Soluc¸a˜o: Notamos que para Adriano ganhar essa se´rie de jogos, ele precisa vencer pelo
menos 3 jogos. Ou seja, basta vencer 3 ou 4 jogos. Usando o Teorema Binomial, temos
P (B) = P (X = 3) + P (X = 4)
=
(
4
3
)
·
(
9
20
)3
·
(
11
20
)1
+
(
4
4
)
·
(
9
20
)4
·
(
11
20
)0
=
32076
(20)4
+
6561
(20)4
=
38637
(20)4
.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 98
Exemplo 3.5.3. (IFRN) Um casal planeja ter 4 filhos. Sabendo que a chance ou a
probabilidade de cada um dos filhos nascer do sexo masculino ou feminino e´ a mesma, e´
correto afirmar que a probabilidade de que sejam todos do sexo feminino e´
a)
1
8
b)
1
16
c)
1
4
d)
1
2
Soluc¸a˜o: Sabendo que a probabilidades de nascerem homem ou mulher sejam iguais.
Assim, temos que P (homem) =
1
2
e P (mulher) =
1
2
. Suponha que X represente a
quantidade de crianc¸as do sexo femenino. Portanto, pelo Teorema Binomial, temos
P (X = 4) =
(
4
4
)
·
(
1
2
)4
·
(
1
2
)0
=
1
16
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa B.
Exemplo 3.5.4. (IFTO) Roberto faz treˆs lanc¸amentos de uma moeda honesta e ob-
serva suas faces, qual a probabilidade de que ocorra ao menos uma cara em um dos treˆs
lanc¸amentos?
a)
7
8
b)
3
16
c)
5
16
d)
7
9
e)
1
8
Soluc¸a˜o: Suponhamos que X represente a quantidade de caras. Ale´m disso, sabe-
mos que p(cara) =
1
2
e p(coroa) =
1
2
. Devemos calcular a probabilidade do evento
B = {1 cara, 2 caras, 3 caras}.Portanto, usando o Teorema Binomial, temos
P (B) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)
=
(
3
1
)
·
(
1
2
)1
·
(
1
2
)3
+
(
3
2
)
·
(
1
2
)2
·
(
1
2
)1
+
(
3
3
)
·
(
1
2
)3
·
(
1
2
)0
=
3
8
+
3
8
+
1
8
=
7
8
.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 99
Ou seja, a resposta e´ a alternativa A.
Exemplo 3.5.5. (Mackenzie - SP) No lanc¸amento de 4 moedas honestas, a probabili-
dade de ocorrerem duas caras e duas coroas e´:
a)
1
16
b)
3
16
c)
1
4
d)
3
8
e)
1
2
Soluc¸a˜o: Denotamos por sucesso a probabilidade de aparecer cara e fracasso a proba-
bilidade de aparecer coroa. Portanto, temos que o sucesso e´
(
p = 50% =
1
2
)
e o fracasso(
q = 50% =
1
2
)
. Suponhamos que X represente a quantidade de caras. Logo, usando o
Teorema Binomial, temos
P (X = 2) =
(
4
2
)
·
(
1
2
)2
·
(
1
2
)2
=
3
8
.
Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
Exemplo 3.5.6. (UPE) Carlos precisa fazer um teste psicote´cnico para ocupar uma
vaga em uma indu´stria de alimentos. O teste consta de 10 questo˜es do tipo verdadeiro
e falso. Carlos na˜o se preparou para este teste e na˜o sabe responder nenhuma pergunta,
resolvendo chutar todas as questo˜es. A probabilidade de Carlos acertar 5 questo˜es e´,
aproximadamente, de
A) 24%
B) 10%
C) 6%
D) 50%
E) 60%
Soluc¸a˜o: Denotamos por sucesso a probabilidade dele acertar uma questa˜o e fracasso
a probabilidade dele errar uma questa˜o. Portanto, temos que o sucesso e´
(
p = 50% =
1
2
)
e o fracasso
(
q = 50% =
1
2
)
. Suponhamos que X represente a quantidade de acertos.
Logo, usando o Teorema Binomial, temos
P (X = 5) =
(
10
5
)
·
(
1
2
)5
·
(
1
2
)5
=
252
1024
≈ 0, 24.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 100
Ou seja, a resposta e´ a alternativa A.
Exemplo 3.5.7. (UFPE) Suponha que: a probabilidade de cada pessoa, de um grupo de
quatro pessoas, ser aprovada no vestibular seja de 60%. Calcule a probabilidade percentual
de, exatamente, duas das quatro pessoas serem aprovadas no vestibular e indique a soma
de seus d´ıgitos.
Soluc¸a˜o: Denotamos por sucesso a probabilidade da pessoa ser aprovada no vestibular
e fracasso a probabilidade da pessoa ser reprovada no vestibular. Portanto, temos que o
sucesso e´
(
p = 60% =
3
5
)
e o fracasso
(
q = 40% =
2
5
)
. Suponhamos que X represente a
quantidade de pessoas aprovadas no vestibular. Logo, usando o Teorema Binomial, temos
P (X = 2) =
(
4
2
)
·
(
3
5
)2
·
(
2
5
)2
=
216
625
= 0, 3456.
Ou seja, a resposta e´ 34, 56% e a soma = 18 .
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 101
3.6 Atividades
1. (UNICAMP - SP) Uma loteria sorteia treˆs nu´meros distintos entre doze nu´meros
poss´ıveis.
a) Para uma aposta em treˆs nu´meros, qual e´ a probabilidade de acerto ?
b) Se a aposta em treˆs nu´meros custa R$ 2,00, quanto deveria custar uma aposta
em cinco nu´meros ?
2. Um estudante criou uma loteria que consiste em sortear 4 nu´meros de 1 a 30. Para
ganhar alguma premiac¸a˜o, o apostador deve acertar 2, 3 ou 4 nu´meros. Sabendo
que um apostador assinalou 4 nu´meros no carta˜o. Calcule a probabilidade desse
apostador acertar:
a) 4 nu´meros.
b) 3 nu´meros.
c) 2 nu´meros.
3. Uma empresa possui treˆs ma´quinas produzem o mesmo tipo de produto. A ma´quina
I produz 20% do total produzido, a ma´quina II produz 30% do total e a ma´quina
III produz 50% do total. Mas, sabe-se que a ma´quina I produz 90% de pec¸as boas,
a ma´quina II produz 80% de pec¸as boas e a ma´quina III produz 70% de pec¸as boas.
Uma pec¸a e´ escolhida ao acaso e verifica-se que e´ boa. Qual a probabilidade de que
tenha sido produzida pela ma´quina II ?
4. (UNIFEI - MG) Dispo˜e-se de um grupo de 10 pessoas para formar comisso˜es cons-
titu´ıdas por 4 pessoas. Pore´m, entre essas 10 pessoas, existe um casal (marido e
esposa) que na˜o pode participar, juntos, dessas comisso˜es. Pergunta-se:
a) De quantas maneiras distintas essas comisso˜es podem ser formadas?
b) Escolhendo-se, aleatoriamente, uma das comisso˜es formadas, qual e´ a probabili-
dade de que a esposa fac¸a parte dessa comissa˜o?
5. (UFMG) Vinte alunos de uma escola, entre os quais Gabriel, Mateus e Roger,
formam uma fila aleatoriamente.
a) Determine a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que Gabriel,
Mateus e Roger aparec¸am juntos, em qualquer ordem.
b) Determine a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que, entre Gabriel
e Mateus, haja, exatamente, cinco outros alunos.
6. (UFAL) Sabe-se que, de um lote de pec¸as produzidas por uma ma´quina, 10 estavam
perfeitas, 4 com pequenos defeitos e 2 com defeitos graves. Retirando-se ao acaso
duas dessas pec¸as, sem reposic¸a˜o, determinine a probabilidade de:
a) ambas serem perfeitas.
b) nenhuma delas ter defeitos graves.
7. (PUC - RJ) Em uma amostra de 20 pec¸as, existem exatamente quatro defeituosas.
Retirando-se ao acaso, sem reposic¸a˜o, 3 pec¸as, qual a probabilidade de todas as treˆs
serem perfeitas ?
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 102
8. (UFRJ) Em um jogo, cada partida consiste no lanc¸amento de uma moeda honesta
ate´ dez vezes. Se o nu´mero de caras obtidas atingir o valor cinco, voceˆ perde; caso
contra´rio, voceˆ ganha. Calcule a probabilidade de voceˆ ganhar uma partida desse
jogo.
9. (UFPE) Em um grupo de cinco torcedores, treˆs torcem pelo time A, e dois torcem
pelo time B. Escolhendo aleatoriamente treˆs torcedores do grupo, qual a probabili-
dade percentual de serem selecionados os dois torcedores do time B?
10. (UNIFESP) Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% das
vezes em que e´ colocado para despertar e o outro em 70% das vezes. Tendo um
compromisso para daqui a alguns dias e preocupado com a hora, o jovem pretende
colocar os dois relo´gios para despertar.
a) Qual e´ a probabilidade de que os dois relo´gios venham a despertar na hora pro-
gramada ?
b) Qual e´ a probabilidade de que nenhum dos dois relo´gios desperte na hora pro-
gramada ?
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 103
3.7 Exerc´ıcios Propostos
1. (IFRN) Escrevendo cada um dos anagramas da palavra ”protesto”, em carto˜es
ideˆnticos, a probabilidade de, ao sortearmos aleatoriamente um desses carto˜es, sair
um anagrama iniciado com a letra P, e´ de
a) 12, 5%
b) 13%
c) 13, 5%
d) 14%
2. (UNICAMP - SP) Um caixa eletroˆnico de certo banco dispo˜e apenas de ce´dulas
de 20 e 50 reais. No caso de um saque de 400 reais, a probabilidade do nu´mero de
ce´dulas entregue ser ı´mpar e´ igual a:
A)
1
4
B)
2
5
C)
2
3
D)
3
5
3. (NUCEPE - UESPI) Num lote de 20 pec¸as de uma empresa, temos 2 pec¸as defei-
tuosas. Se escolhermos ao acaso 3 dessas pec¸as, qual a probabilidade de nenhuma
ser defeituosa?
a)
68
95
b)
72
95
c)
32
95
d)
78
95
e)
88
95
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 104
4. Sejam dois dados, onde o primeiro teˆm 4 faces verdes e 2 pretas e o segundo teˆm 3
faces verdes e 3 pretas. Jogando os dois dados simultaneamente, qual a probabili-
dade de observarmos duas faces superiores da mesma cor ?
A)
5
36
B)
12
36
C)
18
36
D)
23
36
5. (OBMEP) Dois dados teˆm suas faces pintadas de vermelho ou azul. Ao joga´-los, a
probabilidade de observarmos duas faces superiores de mesma cor e´ 11/18. Se um
deles tem cinco faces vermelhas e uma azul, quantas faces vermelhas tem o outro ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6. (IFMG) Esta prova que voceˆ esta´ resolvendo conte´m 7 questo˜es de Matema´tica.
Essas questo˜es sa˜o de mu´ltipla escolha com quatro alternativas cada uma. Qual a
probabilidade de um candidato que vai ”chutar”essas sete questo˜es acertar todas
elas?
A)
1
4 · 7
B)1
74
C)
1
47
D)
7
4
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 105
7. (ITA - SP) Considere os seguintes resultados relativamente ao lanc¸amento de uma
moeda:
I. Ocorreˆncia de duas caras em dois lanc¸amentos.
II. Ocorreˆncia de treˆs caras e uma coroa em quatro lanc¸amentos.
III. Ocorreˆncia de cinco caras e treˆs coroas em oito lanc¸amentos.
Pode-se afirmar que
a) dos treˆs resultados, I e´ o mais prova´vel.
b) dos treˆs resultados, II e´ o mais prova´vel.
c) dos treˆs resultados, III e´ o mais prova´vel.
d) os resultados I e II sa˜o igualmente prova´veis.
e) os resultados II e III sa˜o igualmente prova´veis
8. Em um congresso participaram homens e mulheres de treˆs Estados Brasileiros, dis-
tribu´ıdos de acordo com a seguinte tabela
Estados Mulheres Homens
Pernambuco 10 12
Mato Grosso 20 13
Amazonas 30 15
Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dela ser mulher ou pertencer
ao estado do Mato Grosso.
A) 44%
B) 67%
C) 79%
D) 85%
9. (FUVEST - SP) No jogo da antiga sena seis nu´meros distintos eram sorteados
dentre os nu´meros 1, 2 , · · · , 50. A probabilidade de que, numa extrac¸a˜o, os seis
nu´meros sorteados fossem ı´mpares vale aproximadamente:
a) 50%
b) 1%
c) 25%
d) 10%
e) 5%
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 106
10. (NUCEPE - UESPI) No lanc¸amento simultaˆneo de dois dados, a possibilidade de
se obter soma maior que 7 e´ igual a
a)
5
12
b)
7
12
c)
3
8
d)
3
5
e) 1
11. (IFSP) Sandra comprou uma caixa de balas sortidas. Na caixa, havia 8 balas de
sabor menta, 6 balas de sabor morango, 6 balas de sabor caramelo e 4 balas de
sabor tangerina. A probabilidade de Sandra escolher na caixa, ao acaso, uma bala
de tangerina e´
A)
1
7
B)
1
6
C)
1
5
D)
1
4
E)
1
3
12. (IFSP) Numa festa, ha´ 10 crianc¸as que va˜o ganhar 10 presentes, que esta˜o empa-
cotados da mesma maneira. Elas sabem que os presentes consistem em 7 caixas de
bombons e em 3 jogos. Para a escolha dos presentes, os nomes das crianc¸as sera˜o
sorteados e a crianc¸a cujo nome for sorteado escolhera´ um dos pacotes, sem saber
o que ha´ dentro. O primeiro sorteado ganhou uma caixa de bombons e o segundo
sorteado ganhou um jogo. Se o terceiro sorteado quer ganhar um jogo, a probabili-
dade de ele consegui-lo e´ de
A)
1
4
B)
1
5
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 107
C)
1
8
D)
3
5
E)
3
10
13. (IFMT) No Brasil, os jovens menores de 16 anos na˜o podem votar. Ja´ para as
pessoas analfabetas ou maiores de 70 anos, ou com idade entre 16 e 18 anos, o voto
e´ facultativo. Para o restante da populac¸a˜o, o voto e´ obrigato´rio. Em um bairro,
45% da populac¸a˜o e´ de homens, sendo que desses 80% sa˜o obrigados a votar. A
probabilidade de uma pessoa desse bairro escolhida ao acaso ser homem e na˜o ser
obrigado a votar e´ de:
a) 55%
b) 20%
c) 16%
d) 9%
e) 12%
14. (FCC) O resultado de uma partida de futebol entre duas equipes A e B terminou
4 × 3 para a equipe A. Caso na˜o se saiba em qual ordem ocorreram os gols e se
escolha uma ao acaso, como, por exemplo, ABABABA, qual e´ a probabilidade de
que essa escolha corresponda a` ordem correta?
A)
1
35
B)
1
48
C)
1
84
D)
1
144
E)
1
5040
15. (CESPE - UNB) Uma professora entregou a seus alunos duas listas de exerc´ıcios
para serem resolvidos: a primeira, com 12 exerc´ıcios e a segunda, com 8. Simone
resolveu 5 exerc´ıcios da primeira lista e 2, da segunda. Tiago resolveu 3 exerc´ıcios da
primeira e 4, da segunda. Para compor um teste a professora sorteou um exerc´ıcio
da primeira lista e um da segunda lista. Se P (S) e P (T ) sa˜o, respectivamente, as
probabilidades de Simone e Tiago terem resolvido antecipadamente os dois exerc´ıcios
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 108
sorteados, enta˜o
P (S)
P (T )
e´ igual a
A)
6
5
B) 1
C)
8
9
D)
5
6
16. (OBMEP) Carolina tem treˆs carto˜es brancos numerados de 1 a 3 e treˆs carto˜es
pretos, tambe´m numerados de 1 a 3. Ela escolheu, ao acaso, um carta˜o branco e
um preto. Qual e´ a probabilidade de a soma dos nu´meros dos carto˜es escolhidos ser
par?
A)
3
5
B)
5
9
C)
1
2
D)
2
3
E)
3
4
17. (UERJ) Treˆs modelos de aparelhos de ar-condicionado, I, II e III, de diferentes
poteˆncias, sa˜o produzidos por um determinado fabricante. Uma consulta sobre
intenc¸a˜o de troca foi realizada com 1000 usua´rios desses produtos. Observe a matriz
A, na qual cada elemento aij representa o nu´mero daqueles que pretendem trocar
do modelo i para o modelo j.
A =
 50 150 2000 100 300
0 0 200

Escolhendo-se aleatoriamente um dos usua´rios consultados, a probabilidade de que
ele na˜o pretenda trocar seu modelo de ar-condicionado e´ igual a:
(A) 20%
(B) 35%
(C) 40%
(D) 65%
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 109
18. (UFAL) Os times X e Y disputam um jogo nos peˆnaltis. A probabilidade de o
goleiro do time X defender o peˆnalti e´ 1/8, e a probabilidade de o goleiro do time
Y defender o peˆnalti e´ 1/5. Se cada time tera´ direito a um peˆnalti, qual a probabi-
lidade de exatamente um dos goleiros defender o peˆnalti, e, assim, vencer o time do
goleiro que defendeu o peˆnalti?
A) 1/4
B) 11/40
C) 13/40
D) 7/20
E) 3/8
19. (UEA - AM) As ma´quinas A, B e C produziram, respectivamente, 20%, 50% e
30% do total de pec¸as de um determinado lote. Sabe-se que 6% das pec¸as produ-
zidas em A, 3% das produzidas em B e 3, 5% das produzidas em C apresentaram
defeitos. Retirou-se aleatoriamente uma pec¸a do lote produzido, e constatou-se que
era defeituosa. A probabilidade de que essa pec¸a defeituosa tenha sido produzida
na ma´quina A e´ de
(A) 30%
(B) 32%
(C) 36%
(D) 38%
(E) 40%
20. (UFPA) De um refrigerador que tem em seu interior 3 refrigerantes da marca A, 4
refrigerantes da marca B e 5 refrigerantes da marca C, retiram-se dois refrigerantes
sem observar a marca. A probabilidade de que os dois retirados sejam da mesma
marca e´:
(A) 1/6
(B) 5/33
(C) 19/66
(D) 7/22
(E) 3/11
21. (UFRGS) O resultado de uma partida de futebol foi 3x2. A probabilidade de que
o time vencedor tenha marcado os dois primeiros gols e´
(A) 15%.
(B) 20%.
(C) 30%.
(D) 40%.
(E) 45%.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 110
22. (UFGD - MS) A Boutique TT tem em estoque 400 camisas da marca X das quais
50 apresentam defeitos e 200 da marca Y das quais 15 sa˜o defeituosas. Se um cliente
comprou uma camisa nesta loja, a probabilidade de ela ser da marca Y ou defeituosa
e´:
(A) 0,025
(B) 0,358
(C) 0,417
(D) 0,500
(E) 0,892
23. (UNIFAL - MG) Aos serem lanc¸ados dois dados na˜o viciados, qual a probabilidade
de que a soma dos resultados obtidos seja igual a 7?
a) 13, 65%
b) 14, 76%
c) 14, 98%
d) 15, 05%
e) 16, 67%
24. (UNIFAL - MG) De uma caixa, retira-se um bilhete aleatoriamente. Sabe-se que
existiam 40 bilhetes numerados de 1 a 40. Qual a probabilidade do bilhete retirado
ser um nu´mero primo?
a) 20%
b) 30%
c) 45%
d) 70%
e) 85%
25. (Mackenzie - SP) Sempre que joga, um time tem probabilidade
2
3
de vencer uma
partida. Em quatro jogos, a probabilidade de esse time vencer, exatamente dois
deles, e´
(A)
4
27
(B)
16
81
(C)
8
27
(D)
4
81
(E)
16
27
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 111
26. (FGV - SP) Uma caixa conte´m 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bolinha
e´ sorteada. A probabilidade de a bolinha sorteada ter um nu´mero mu´ltiplo de 7 e´:
a) 0,139
b) 0,140
c) 0,141
d) 0,142
e) 0,143
27. (FURG - RS) A prova de Matema´tica do vestibular da Universidade Federal do Rio
Grande (FURG) e´ composta por 15 questo˜es de mu´ltipla escolha, cada uma com
5 alternativas, sendo apenas 1 correta. A probabilidade de um candidato, respon-
dendo a prova de forma aleato´ria, acertar todas as questo˜es e´:
A) 0
B)
1
515
C)
1
5
D)
1
75
E)
1
155
28. Numa sala existemtreˆs caixas A, B e C, cada uma possui uma certa quantidade de
bolas vermelhas e amarelas. A distribuic¸a˜o da quantidade de bolas em cada caixa e´
fornecida pela tabela
cores \ caixas Caixa A Caixa B Caixa C
V ermelha 5 6 1
Amarela 3 2 7
Escolhendo uma caixa ao acaso e dela retirando uma bola ao acaso, em seguida
verificou-se que a bola era amarela. Enta˜o, a probabilidade dela ter vindo da caixa
B e´ igual a:
(A)
1
5
(B)
1
6
(C)
11
12
(D)
5
24
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 112
29. (UFAM) Em uma determinada cidade, existe um hotel que possui 100 apartamen-
tos, cuja numerac¸a˜o vai de 1 a 100 . A probabilidade de um ho´spede deste hotel
(suponha que o hotel esteja lotado), escolhido ao acaso, esteja alojado em um apar-
tamento cujo nu´mero seja um mu´ltiplo de 5 ou de 7, e´:
a) 32%
b) 30%
c) 25%
d) 40%
e) 28%
30. (UEAP) Numa urna com 50 bolas numeradas de 1 a 50, escolhem-se ao acaso duas
bolas. Qual e´ a probabilidade de que o produto dos nu´meros dessas bolas seja um
nu´mero ı´mpar?
a)
2
50
b)
1
25
c)
2
25
d)
1
2
e)
12
49
31. (IFAP) Em um munic´ıpio amapaense foi realizada uma pesquisa de opinia˜o sobre
um projeto de lei proposto pela caˆmara dos vereadores. Uma amostra significativa
de pessoas adultas entrevistadas revelou que 44% delas na˜o quiseram opinar, 360
eram a favor do projeto e 480 contra. Uma estimativa da probabilidade de uma
pessoa selecionada nessa amostra ser favora´vel ao projeto e´ da ordem de:
a) 18%
b) 20%
c) 21%
d) 24%
e) 27%
32. (IFRN) Uma urna conte´m cinco bolas verdes e duas bolas amarelas. Treˆs bolas sa˜o
retiradas sucessivamente e sem reposic¸a˜o. A probabilidade de retirarmos treˆs bolas
verdes e´:
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 113
a)
2
5
b)
2
7
c)
1
7
d)
3
5
33. (Mackenzie - SP) Um casal planeja ter 4 filhos; admitindo probabilidades iguais
para ambos os sexos, a probabilidade de esse casal ter 2 meninos e 2 meninas, em
qualquer ordem,
a)
3
8
b)
3
4
c)
1
2
d)
1
16
e)
3
16
34. (IFRN) Em uma cidade do interior, um grupo de 10 estudantes de uma escola
pu´blica decidiu formar uma comissa˜o de treˆs alunos para tentar uma audieˆncia
com o prefeito da cidade. O objetivo era reivindicar melhores condic¸o˜es para a
escola. Como todos queriam estar na comissa˜o, a direc¸a˜o optou por formar todas as
comisso˜es distintas poss´ıveis e sortear aleatoriamente uma das comisso˜es formadas.
Se Maria fazia parte do grupo dos 10 estudantes, a probabilidade de ela estar na
comissa˜o sorteada e´ de
a) 0,3.
b) 0,6.
c) 0,1.
d) 0,2.
35. (VUNESP - SP) Em um condomı´nio residencial, ha´ 120 casas e 230 terrenos sem
edificac¸o˜es. Em um determinado meˆs, entre as casas, 20% dos proprieta´rios associ-
ados a cada casa esta˜o com as taxas de condomı´nio atrasadas, enquanto que, entre
os proprieta´rios associados a cada terreno, esse percentual e´ de 10%. De posse de
todos os boletos individuais de cobranc¸a das taxas em atraso do meˆs, o adminis-
trador do empreendimento escolhe um boleto ao acaso. A probabilidade de que o
boleto escolhido seja de um proprieta´rio de terreno sem edificac¸a˜o e´ de
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 114
a)
24
350
b)
24
47
c)
47
350
d)
23
350
e)
23
47
36. (OBMEP) Um dado foi constru´ıdo usando a planificac¸a˜o da figura. Qual e´ a
probabilidade de obtermos dois resultados diferentes quando jogamos esse dado
duas vezes ?
A)
1
2
B)
11
18
C)
2
3
D)
5
6
E)
31
36
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 115
37. (UFRN) Em um rebanho de uma fazenda do estado do Rio Grande do Norte
com 300 bois e 500 vacas, a probabilidade de um animal de um desses grupos
estar com febre aftosa e´ de 0,04 e 0,08, respectivamente. Se, em uma visita de
fiscalizac¸a˜o, um desses animais do rebanho e´ escolhido ao acaso e esta´ com febre
aftosa, a probabilidade de que seja um boi e´ de, aproximadamente,
A) 23% .
B) 12% .
C) 4% .
D) 27% .
38. (UFLA - MG) Joa˜o ama Tereza, Pedro ama Camila e Antoˆnio ama Joana. Em
uma festa, os seis se encontram e formam casais ao acaso. A probabilidade de todos
os rapazes formarem casal com suas amadas e´ de:
(A) 1/3
(B) 1/6
(C) 1/12
(D) 1/24
39. (OBMEP) Treˆs amigas possuem, cada uma, treˆs blusas: uma amarela, uma branca
e uma preta. Se cada amiga escolher ao acaso uma de suas blusas, qual e´ a proba-
bilidade de que as cores das blusas escolhidas sejam todas diferentes?
A)
1
9
B)
1
8
C)
2
9
D)
3
8
E)
3
4
40. (OBMEP) Uma caixa conte´m cinco bolas numeradas de 1 a 5. Dela sa˜o retiradas
ao acaso duas bolas. Qual a probabilidade de que o maior nu´mero assim escolhido
seja o 4?
A)
1
10
B)
1
5
C)
3
10
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 116
D)
2
5
E)
1
2
41. (Unimontes - MG) Numa escola de idiomas com 200 alunos, 80 estudam so´ ingleˆs,
60 estudam so´ espanhol e 40 estudam ingleˆs e espanhol. A probabilidade de um
aluno, que ja´ estuda ingleˆs, estudar tambe´m espanhol, e´:
A)
1
3
B)
2
3
C)
3
5
D)
2
5
42. (Unimontes - MG) Treˆs moedas sa˜o lanc¸adas ao mesmo tempo. Qual e´ a probabi-
lidade de sa´ırem uma cara e duas coroas viradas para cima?
A)
1
12
B)
1
3
C)
3
8
D)
1
6
43. (UFTM - MG) Uma caixa conte´m 50 basto˜es de giz, sendo 22 de cor amarela, dos
quais 5 apresentam defeitos; 13 de cor verde, sendo 4 com defeitos; os restantes sa˜o
brancos, dos quais 20% tambe´m teˆm defeitos. Se uma pessoa escolher um basta˜o
de giz ao acaso, a probabilidade de que ele apresente defeitos e´
(A) 12/25.
(B) 11/25.
(C) 13/50.
(D) 6/25.
(E) 11/50.
44. (UNEMAT - MT) Uma loja de eletrodome´stico tem uma venda mensal de sessenta
ventiladores. Sabe-se que, desse total, seis apresentam algum tipo de problema
nos primeiros seis meses e precisam ser levados para o conserto em um servic¸o
autorizado. Um cliente comprou dois ventiladores. A probabilidade de que ambos
na˜o apresentem problemas nos seis primeiros meses e´ de aproximadamente:
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 117
(A) 90%
(B) 81%
(C) 54%
(D) 11%
(E) 89%
45. (CESPE - UNB) Muitas pessoas teˆm buscado na atividade f´ısica uma sa´ıda para
o estresse da vida moderna. Em uma pesquisa, solicitou-se a 220 pessoas que res-
pondessem a` seguinte pergunta: Voceˆ pratica algum tipo de atividade f´ısica? Os
resultados da pesquisa esta˜o descritos na tabela abaixo.
SEXO SIM NAO
femenino 46 82
masculino 38 54
Considerando essa amostra e escolhendo-se ao acaso uma pessoa que pratica alguma
atividade f´ısica, a probabilidade de ela ser do sexo feminino
A) e´ inferior a 42%.
B) esta´ entre 42% e 46%.
C) esta´ entre 47% e 51%.
D) esta´ entre 52% e 56%.
E) e´ superior a 56%.
46. (UCS - RS) Uma caixa conte´m 150 pec¸as das quais treˆs sa˜o defeituosas. Retirando-
se, ao acaso, uma pec¸a da caixa, a probabilidade de ela ser perfeita e´ de
a) 20%.
b) 80%.
c) 50%.
d) 98%.
e) 97%.
47. (Unimontes - MG) Uma urna conte´m 10 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. Retirando-
se uma bola, qual e´ a probabilidade de essa bola ser preta?
A)
1
3
B)
2
3
C)
1
15
D)
4
15
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 118
48. A probabilidade de fechamento de cada rele´ do circuito a seguir e´ igual a p, onde
0 < p < 1. Se todos os rele´s funcionarem independentemente. Enta˜o, a probabili-
dade de que haja corrente entre os pontos X e Y e´ igual a:
A) p2 − 5p4
B) p3 + 4p4 + p5
C) 2p4 − 2p5 − 8p6 + p7
D) p+ 2p2 − 2p3 − p4 + p5
49. (Unimontes - MG) Duas ma´quinas, A e B, produzem 3000 pec¸as em um dia. A
ma´quina A produz 1000 pec¸as, das quais 3% sa˜o defeituosas. A ma´quina B produz
as 2000 pec¸as restantes, sendo 1% de pec¸as defeituosas. Da produc¸a˜o total de um
dia, uma pec¸a e´ escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que ela e´defeitu-
osa. A probabilidade de que ela tenha sido produzida pela ma´quina A e´
A)
1
3
B)
2
3
C)
3
5
D)
2
5
50. (FGV - SP) A a´rea da superf´ıcie da Terra e´ aproximadamente 510 milho˜es de km2.
Um sate´lite artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade
de ele cair numa cidade cuja superf´ıcie tem a´rea igual a 102 km2 ?
a) 2 · 10−9
b) 2 · 10−8
c) 2 · 10−7
d) 2 · 10−6
e) 2 · 10−5
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 119
51. (UFPE) Um saco conte´m 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuis
devem ser colocadas no saco, de modo que a probabilidade de retirarmos dele,
aleatoriamente, uma bola azul, seja
2
3
?
a) 5
b) 10
c) 20
d) 30
e) 40
52. (FGV - SP) Uma pesquisa com treˆs marcas concorrentes de refrigerantes, A, B e
C, mostrou que 60% das pessoas entrevistadas gostam de A, 50% gostam de B, 57%
gostam de C, 35% gostam de A e C, 18% gostam de A e B, 24% gostam de B e C,
2% gostam das treˆs marcas e, o restante das pessoas, na˜o gosta de nenhuma das treˆs.
Sorteando-se aleatoriamente uma dessas pessoas entrevistadas, a probabilidade de
que ela goste de uma u´nica marca de refrigerante ou na˜o goste de marca alguma e´
de:
a) 16%
b) 17%
c) 20%
d) 25%
e) 27%
53. (UFF - RJ) Em uma bandeja ha´ dez paste´is, dos quais treˆs sa˜o de carne, treˆs de
queijo e quatro de camara˜o. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposic¸a˜o,
dois paste´is dessa bandeja, a probabilidade de os dois paste´is selecionados serem de
camara˜o e´:
a)
3
25
b)
4
25
c)
2
15
d)
2
5
e)
4
5
54. (Ufscar - SP) Gustavo e sua irma˜ Caroline viajaram de fe´rias para cidades distin-
tas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A ex-
perieˆncia em fe´rias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem
esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar e´ 0, 6 e a probabilidade
de Caroline telefonar e´ 0, 8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contactar
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 120
os pais e´:
a) 0, 20
b) 0, 48
c) 0, 64
d) 0, 86
e) 0, 92
55. A probabilidade de Juliano acertar um alvo e´ 80%. Sabendo que ele atirou 5 vezes,
qual a probabilidade dele ter acertado no ma´ximo um tiro ?
a) 4, 2 · (0, 2)4
b) 4, 2 · (0, 8)4
c) 3, 5 · (0, 2)5
d) 3, 5 · (0, 8)5
e) 6, 1 · (0, 2)3
56. Uma caixa teˆm 8 bolas amarelas e 2 bolas verdes. Retirando-se 2 bolas dessa caixa
e sem reposic¸a˜o. Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas amarelas ?
A)
7
10
B)
47
90
C)
28
45
D)
17
90
E)
19
45
57. (UFPE) Um casal planeja ter 4 filhos. Supondo igual a chance de um filho nascer
do sexo masculino ou do sexo femenino, qual a probabilidade de o casal vir a ter,
no mı´nimo, dois filhos do sexo masculino ?
a) 0, 6871
b) 0, 6872
c) 0, 6873
d) 0, 6874
e) 0, 6875
58. (UFSC) Em uma caixa ha´ 28 bombons, todos com forma, massa e aspecto exterior
exatamente iguais. Desses bombons, 7 teˆm recheio de coco, 4 de nozes e 17 sa˜o
recheados com ameˆndoas. Se retirarmos da caixa 3 bombons simultaneamente, a
probabilidade de se retirar um bombom de cada sabor e´, aproximadamente:
a) 7, 5%
b) 11%
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 121
c) 12, 5%
d) 13%
e) 14, 5%
59. (CESGRANRIO - RJ) Em uma amostra de 500 pec¸as, existem exatamente quatro
defeituosas. Retirando-se, ao acaso, uma pec¸a dessa amostra, a probabilidade de
ela ser perfeita e´ de:
a) 99, 0%
b) 99, 1%
c) 99, 2%
d) 99, 3%
e) 99, 4%
60. (VUNESP - SP) Tomando-se, ao acaso, uma das retas determinadas pelos ve´rtices
de um penta´gono regular, a probabilidade de que a reta tomada ligue dois ve´rtices
consecutivos e´:
A)
1
2
B)
4
5
C)
1
5
D)
2
5
E)
3
5
61. (CESGRANRIO - RJ) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma jo-
alheria apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1, 2, 3, 4)
e quatro letras (x, y, z, w). O segredo do cofre e´ uma sequ¨eˆncia de treˆs algarismos
seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa, numa u´nica tentativa,
ao acaso, abrir o cofre ?
a)
1
7200
b)
1
2000
c)
1
1500
d)
1
720
e)
1
200
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 122
62. (I F Sudeste MG) Dois dados ”honestos”, com faces numeradas de 1 a 6, sa˜o
lanc¸ados simultaneamente. A probabilidade de serem obtidos nu´meros iguais e´:
a)
1
6
b)
1
2
c)
1
3
d)
2
3
e)
1
4
63. Seja X o conjunto formado por todos os anagramas da palavra PROV A. Reti-
rando um anagrama ao acaso desse conjunto. Qual a probabilidade de ser retirado
um anagrama que tenha as consoantes juntas ?
A)
1
12
B)
5
7
C)
4
5
D)
4
7
E)
3
10
64. (I F Sudeste MG) Os pontos A, B, C, D, E e F sa˜o ve´rtices consecutivos de um
hexa´gono regular. Com esses pontos, podemos construir va´rios triaˆngulos. Um
deles, por exemplo, e´ o triaˆngulo que passa pelos pontos A, B e C. Escolhendo-se
aleatoriamente um desses triaˆngulos, a probabilidade de ele ser equila´tero e´:
a) 30%
b) 20%
c) 10%
d) 5%
e) 2%
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 123
3.8 Exerc´ıcios Complementares
1. (UNEMAT - MT) Um grupo de crianc¸as foi a uma sorveteria e entre picole´s e
sorvetes gastaram o valor de R$ 29,00. O prec¸o de cada picole´ e´ R$ 1,00 e o de cada
sorvete, R$ 3,00. A probabilidade de que essas crianc¸as tenham comprado mais
sorvetes do que picole´s e´ igual a:
a) 10%
b) 20%
c) 50%
d) 75%
e) 80%
2. (UFAM) Duzentos profissionais fundaram uma cooperativa, sendo 60 me´dicos, 50
dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhido ao acaso um dos pro-
fissionais dessa cooperativa, qual a probabilidade de que ele seja me´dico ou dentista?
a)
3
10
b)
11
20
c)
1
4
d)
4
25
e)
1
5
3. (UFAC) Um dado e uma urna contendo 10 bolas enumeradas de 1 a 10 sa˜o postos
sobre uma mesa ampla. O dado e´ lanc¸ado sobre a mesa e o nu´mero m, da face que
fica voltada para cima, e´ anotado. Em seguida, uma bola e´ retirada aleatoriamente
da urna e o seu nu´mero n e´ tambe´m anotado. A probabilidade de m + n ser um
nu´mero primo e´ igual a:
a)
1
10
b)
1
13
c)
7
30
d)
13
60
e)
23
60
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 124
4. (UEAP) Sabe-se que a probabilidade do pescador FULANO fisgar um peixe com
uma lanc¸a em cada tentativa e´ de 0,9. Dentre quatro tentativas para fisgar o peixe,
a probabilidade de o pescador acertar a lanc¸a apenas no u´ltimo lanc¸amento, e´ de:
a) 0,004
b) 0,0004
c) 0,0001
d) 0,0009
e) 0,0018
5. (IFS - SE) Para a retirada da primeira Carteira Nacional de Habilitac¸a˜o (CNH),
os candidatos devem ser considerados aptos nos exames me´dicos, psicolo´gicos, de
legislac¸a˜o de traˆnsito e de direc¸a˜o. A primeira CNH somente pode ser solicitada
nas categorias A ou B, para conduc¸a˜o de motocicletas de duas ou treˆs rodas e
ve´ıculos que na˜o contenham mais de 8 lugares (exclu´ıdo o do motorista) e que na˜o
ultrapassem 3, 5t , respectivamente. Em certo munic´ıpio, em uma semana, dos 120
candidatos que realizaram os exames me´dicos e psicolo´gicos, 112 foram aprovados
no exame me´dico, 104 foram considerados aptos no exame psicolo´gico e apenas 6
na˜o foram aprovados em nenhum desses exames. Qual e´ a probabilidade de, ao se
escolher ao acaso uma das 120 pessoas, ela ter sido aprovada em ambos os exames?
a) 60%
b) 70%
c) 80%
d) 85%
e) 95%
6. (IFS - SE) Num grupo de 100 crianc¸as cadastradas no servic¸o de sau´de da famı´lia
”Sau´de para Todos”constatou-se que 42 delas possu´ıam infecc¸a˜o viral, 48 delas tive-
ram diarre´ia e 20 delas na˜o possu´ıam infecc¸a˜o viral nem tiveram diarre´ia. Escolhida
uma crianc¸a ao acaso desse grupo, qual a probabilidade dela ter sofrido infecc¸a˜o
viral e ter tido diarre´ia?
a) 50%
b) 25%
c) 20%
d) 10%
e) 40%
7. (UEMG) O jogo da Mega Senaconsiste no sorteio de 6 nu´meros distintos de 1 a 60.
Um apostador, depois de va´rios anos de ana´lise, deduziu que, no pro´ximo sorteio,
os 6 nu´meros sorteados estariam entre os 10 nu´meros que tinha escolhido. Sendo
assim, com a intenc¸a˜o de garantir seu preˆmio na Sena, ele resolveu fazer todos os
poss´ıveis jogos com 6 nu´meros entre os 10 nu´meros escolhidos. Quantos reais ele
gastara´ para fazeˆ-los, sabendo que cada jogo com 6 nu´meros custa R$ 2,00 ?
A) R$ 540,00.
B) R$ 302.400,00.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 125
C) R$ 420,00.
D) R$ 5.040,00.
8. (Mackenzie - SP) Em um determinado jogo, sa˜o sorteados 3 nu´meros entre os 30
que esta˜o no volante de apostas. O apostador, que assinala 6 nu´meros no volante,
ganha se todos os 3 nu´meros sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A proba-
bilidade de o apostador ganhar e´:
A)
1
203
B)
1
507
C)
1
456
D)
1
280
E)
1
98
9. (PUC - RJ) Uma prova de mu´ltipla escolha tem 10 questo˜es, com treˆs alternativas
em cada questa˜o. Um aluno que nada sabe da mate´ria vai responder a todas as
questo˜es ao acaso, e a probabilidade que ele tem de na˜o tirar zero e´:
a) maior do que 96%.
b) entre 94% e 96%
c) entre 92% e 94%
d) entre 90% e 92%
e) menor do que 90%
10. (UEL - PR) Numa loteria, sa˜o sorteados 5 nu´meros de 1 a 20, e e´ poss´ıvel ganhar
com 3, 4 ou 5 acertos. Cada apostador so´ pode escolher 5 nu´meros. Qual a proba-
bilidade de um apostador acertar 4 dos 5 nu´meros sorteados ?
a)
1
504
b)
4
504
c)
75
15504
d)
15
15504
e)
5
15504
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 126
11. (PUC - RS) Um nu´mero e´ escolhido aleatoriamente dentre os inteiros de 1 a 50. A
probabilidade de que ele seja divis´ıvel por 2 ou por 5 e´
A)
3
5
B)
4
5
C)
7
5
D)
1
10
E)
7
10
12. (PUC - RS) Um baralho comum de 52 cartas tem treˆs figuras (valete, dama e rei)
de cada um dos quatro naipes (paus, ouros, espadas e copas). Ao se retirar uma
carta do baralho, a probabilidade de ser uma carta que apresente figura de paus e´
A)
1
52
B)
3
52
C)
7
52
D)
12
52
E)
13
52
13. (PUC - RJ) As cartas de um baralho sa˜o amontoadas aleatoriamente. Qual e´ a
probabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo tambe´m ? O baralho e´
formado por 52 cartas de 4 naipes diferentes (13 de cada naipe).
A)
1
17
B)
1
25
C)
1
27
D)
1
36
E)
1
45
14. (FUVEST - SP) Dois dados cu´bicos, na˜o viciados, com faces numeradas de 1 a
6, sera˜o lanc¸ados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 127
nu´meros consecutivos, cuja soma seja um nu´mero primo, e´ de
a)
2
9
b)
1
3
c)
4
9
d)
5
9
e)
2
3
15. (UNIVASF) Uma urna conte´m bolas semelhantes, nas cores preta e vermelha, cada
uma marcada com A ou B. Existem 38 bolas pretas marcadas com A, 14 bolas pretas
marcadas com B, 22 bolas vermelhas marcadas com A e 26 bolas vermelhas marcadas
com B. Se escolhermos, aleatoriamente, uma bola na urna, qual a probabilidade de
ela ser vermelha ou estar marcada com B?
A) 0,62
B) 0,76
C) 0,88
D) 0,90
E) 0,92
16. (UEPB) Seja o conjunto M = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Defina a partir de M o conjunto
MxM = {(x, y) tal que x, y ∈M} e escolha ao acaso um par ordenado de MxM. A
probabilidade de o par escolhido apresentar x > y e´:
a)
1
2
b)
7
12
c)
1
12
d)
11
12
e)
5
12
17. (IFAL) Um casal planeja ter 4 crianc¸as. A probabilidade de que o casal tenha
exatamente 3 meninos, dado que a primeira crianc¸a que nasceu e´ menina e´:
A)
1
4
B)
1
8
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 128
C)
1
3
D)
1
2
E)
1
5
18. (PUC - PR) No jogo da Mega Sena, um apostador pode assinalar entre 6 e 15
nu´meros, de um total de 60 opc¸o˜es dispon´ıveis. O valor da aposta e´ igual a R$ 2,00
multiplicado pelo nu´mero de sequencias de seis nu´meros que sa˜o poss´ıveis, a partir
daqueles nu´meros assinalados pelo apostador.
Por exemplo: se o apostador assinala 6 nu´meros, tem apenas uma sequencia fa-
vora´vel e paga R$ 2,00 pela aposta. Se o apostador assinala 7 nu´meros, tem sete
sequencias favora´veis, ou seja, e´ poss´ıvel formar sete sequencias de seis nu´meros a
partir dos sete nu´meros escolhidos. Neste caso, o valor da aposta e´ R$ 14,00.
Considerando que se trata de uma aplicac¸a˜o de matema´tica, sem apologia a qual-
quer tipo de jogo, assinale a u´nica alternativa CORRETA.
A) A aposta ma´xima custara´ R$ 5.005,00.
B) Uma aposta com 14 nu´meros assinalados custara´ entre R$ 3.000,00 e R$ 3.050,00.
C) Apostar dois carto˜es com dez nu´meros assinalados, ou cinco carto˜es com nove
nu´meros assinalados, sa˜o opc¸o˜es equivalentes em termos de custo e de chance de ser
ganhador do preˆmio ma´ximo.
D) O custo de uma aposta com 12 nu´meros assinalados sera´ inferior a R$ 1.830,00.
E) Apostar um carta˜o com 13 nu´meros assinalados custara´ o dobro da aposta de
um carta˜o com 12 nu´meros assinalados.
19. (UNIFESP) Duzentos e cinqu¨enta candidatos submeteram-se a uma prova com 5
questo˜es de mu´ltipla escolha, cada questa˜o com 3 alternativas e uma u´nica resposta
correta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada questa˜o, uma
u´nica resposta, pode-se afirmar que pelo menos:
a) um candidato errou todas as respostas.
b) dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas.
c) um candidato acertou todas as respostas.
d) a metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas.
e) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas.
20. (IFNMG) Uma urna conte´m 6 bolas brancas e 4 vermelhas. Qual a probabilidade
de retirarmos, sem reposic¸a˜o, uma bola branca e, em seguida, uma vermelha?
A)
2
15
B)
6
25
C)
4
25
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 129
D)
4
15
21. (UEPA) Numa pesquisa foram entrevistadas 550 pessoas sobre o novo ha´bito de
assistir televisa˜o. Trezentas delas responderam que assistem a` televisa˜o na telinha
do telefone porta´til, 500 responderam que assistem a` televisa˜o no computador, por
meio de sites e 250 responderam que assistem a` televisa˜o no telefone porta´til e no
computador. A probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionadas aleatoria-
mente, utilize somente o telefone porta´til para assistir a` televisa˜o e´:
a)
7
11
b)
6
11
c)
5
11
d)
3
11
e)
1
11
22. (FEI - SP) Dois dados ”honestos”com faces numeradas de 1 a 6 sa˜o lanc¸ados simul-
taneamente. Se a soma dos pontos obtidos e´ um nu´mero par, enta˜o a probabilidade
de ter ocorrido face 5 nos dois dados e´ igual a:
(A)
1
36
(B)
1
6
(C)
1
18
(D)
2
9
(E)
1
12
23. (UEPA) Um grupo de 12 artistas analisou duas obras de artes, 10 deles gostaram
da primeira obra; 6 deles gostaram da segunda obra e 4 deles gostaram da primeira
e da segunda obra. A probabilidade, ao acaso, de um desses artistas, gostar so´ da
segunda obra e´:
a)
1
6
b)
1
5
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 130
c)
1
4
d)
1
3
e)
1
2
24. (FEI - SP) Em uma sala, ha´ 20 pessoas, sendo 4 homens que cursam Medicina,
7 homens que cursam Biologia, 6 mulheres que cursam Medicina e 3 mulheres que
cursam Biologia. Se uma pessoa e´ escolhida ao acaso desse grupo e cursa Medicina,
a probabilidade da pessoa escolhida ser uma mulher e´ igual a:
(A)
9
20
(B)
7
20
(C)
3
10
(D)
3
20
(E)
3
5
25. (FEI - SP) Uma urna conte´m 40 bolas numeradas de 1 a 40. Retirando-se uma
bola ao acaso, a probabilidade de que seu nu´mero seja mu´ltiplo de 4 ou de 5 e´ igual
a:
(A)
9
20
(B)
2
5
(C)
17
40
(D)
13
40
(E)
11
40
26. (IF Sul Minas - MG) Atualmente o corpo docente do Caˆmpus de Pouso Alegre e´
composto por 32 professores, sendo que 9 sa˜o doutores e 18 mestres. Selecionando-se aleatoriamente um professor desse Caˆmpus, a probabilidade de ele ser mestre ou
doutor e´ de:
a) 0, 7010
b) 0.84375
c)
9
18
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 131
d) Nenhuma das alternativas acima.
27. (IFF - RJ) Em uma urna esta˜o 4 bolas vermelhas e 6 bolas pretas. A probabilidade
de retirar, sem reposic¸a˜o, uma bola vermelha e uma bola preta e´:
A)
2
15
B)
1
5
C)
3
10
D)
4
15
E)
7
15
28. (FEI - SP) A urna A conte´m 4 bolas vermelhas e 6 pretas. A urna B conte´m 2
bolas vermelhas e 8 pretas. Uma bola de cada urna e´ escolhida aleatoriamente. A
probabilidade de obter duas bolas de mesma cor e´ de:
(A) 56%
(B) 48%
(C) 8%
(D) 12%
(E) 20%
29. (FEI - SP) A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um u´nico tiro e´ de
0,1. Com apenas treˆs tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo no
ma´ximo duas vezes?
(A) 0,09
(B) 0,027
(C) 0,271
(D) 0,999
(E) 0,009
30. (ULBRA - RS) Um laborato´rio farmaceˆutico, apo´s examinar um grande nu´mero de
casos, concluiu que 20% das pessoas apresentaram reac¸o˜es ale´rgicas ao medicamento
”A”. A probabilidade de quatro pessoas, selecionadas ao acaso, serem ale´rgicas ao
medicamento ”A”e´ de:
(A)
1
625
(B)
1
5
(C)
1
25
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 132
(D)
1
2
(E)
1
32
31. (FEI - SP) Em uma urna existem dez bolas, sendo cinco vermelhas, treˆs azuis e
duas brancas. Escolhendo ao acaso e por um processo sem reposic¸a˜o quatro bolas
desta urna, a probabilidade de obtermos duas vermelhas, uma azul e uma branca e´
igual a:
(A)
1
42
(B)
2
7
(C)
3
200
(D)
4
7
(E)
11
40
32. (PUC - RS) Uma empresa de turismo portuguesa ofereceu ao estudante brasileiro
roteiros diferentes numerados de 1 a 6, dos quais ele deveria escolher dois. A pro-
babilidade de Tales escolher os roteiros de nu´meros 3 e 4 e´
A) 1/6
B) 1/12
C) 1/15
D) 1/30
E) 1/36
33. (UEMS) Sabendo que um dado e´ viciado de tal maneira que um nu´mero ı´mpar tem
duas vezes mais probabilidade de aparecer do que qualquer nu´mero par, pode-se se
afirmar que a probabilidade de um nu´mero primo aparecer e´:
a)
5
9
b)
8
9
c)
3
9
d)
4
9
e)
6
9
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 133
34. (IFMA) Em uma determinada brincadeira, sera˜o sorteados dois preˆmios consecuti-
vos com reposic¸a˜o dos bilhetes premiados. Sabe-se que, em virtude da quantidade
de bilhetes adquiridos, a chance de Karine ser sorteada e´ de 30% em cada sorteio.
Qual a probabilidade de Karine ganhar em pelo menos um dos sorteios?
a) 0,51
b) 0,09
c) 0,49
d) 0,21
e) 0,3
35. (UERJ) Um pesquisador possui em seu laborato´rio um recipiente contendo 100
exemplos de Aedes aegypti, cada um deles contaminado com apenas um dos tipos
de v´ırus, de acordo com a seguinte tabela
Tipo Quantidade de mosquitos
DEN 1 30
DEN 2 60
DEN 3 10
Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos desse recipiente, a proba-
bilidade de que pelos menos um esteja contaminado com o tipo DEN 3 equivale a:
(A)
8
81
(B)
10
99
(C)
11
100
(D)
21
110
36. (PUC - RS) Considere todas as permutac¸o˜es de cinco letras da sigla PUCRS. Uma
dessas permutac¸o˜es foi escolhida ao acaso. A probabilidade de a escolhida terminar
com a letra C e comec¸ar com a letra P e´:
(A)
1
5
(B)
2
5
(C)
1
12
(D)
1
20
(E) 6
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 134
37. (UESPI) Uma gaveta conte´m 6 meias azuis e 4 meias pretas. Escolhendo, aleatori-
amente, 4 meias da gaveta, qual a probabilidade de elas formarem um par de meias
azuis e outro de meias pretas?
A) 1/9
B) 1/7
C) 2/7
D) 3/7
E) 1/5
38. (IFRS) Em uma determinada avenida, existem 4 sema´foros, cujos tempos sa˜o de
37, 3 e 20 segundos para as cores verde, amarela e vermelha, respectivamente. Qual
a probabilidade de que uma pessoa, ao transitar de carro por essa avenida, encontre
todos os sinais vermelhos, desprezando-se a velocidade do ve´ıculo e considerando-se
apenas os tempos de cada sema´foro?
(A)
1
2
(B)
1
3
(C)
1
16
(D)
1
81
(E)
16
81
39. (IFRS) Em uma urna sa˜o depositadas 5 bolas vermelhas, 6 bolas azuis e 4 bolas
amarelas, todas com mesmo formato e tamanho. Se duas bolas forem retiradas
sucessivamente, sem reposic¸a˜o, a probabilidade de que elas sejam de mesma cor e´
mais pro´xima de
(A) 10%
(B) 15%
(C) 30%
(D) 45%
(E) 60%
40. (UNEMAT - MT) Numa fa´brica de calc¸ados constata-se que:
A: 4% dos pares de sapatos apresentam defeito de colagem.
B: 3% dos pares de sapatos apresentam defeito no couro.
Decide-se vender, em liquidac¸a˜o, os sapatos que apresentarem pelo menos um dos
defeitos. Admitindo-se que os acontecimentos A e B sa˜o independentes, determine
a probabilidade de um par de sapatos apresentar os dois defeitos.
a) 0, 12%
b) 0, 7%
c) 0, 9%
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 135
d) 1, 2%
e) 7%
41. (UEFS - BA) Ao se analisarem os resultados obtidos por uma turma de um deter-
minado curso, levou-se em considerac¸a˜o, dentre outros fatores, a frequeˆncia a`s aulas.
Considerando-se uma amostra aleato´ria de 10 alunos, constatou-se que o nu´mero
total de faltas, no decorrer do curso, foi 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6. Sorteando-se, ao
acaso, um desses alunos, a probabilidade de o nu´mero de faltas ser maior do que 4,
e´ igual a
A) 0,3
B) 0,4
C) 0,5
D) 0,6
E) 0,7
42. (UNEMAT - MT) Numa ageˆncia de emprego havia 15 candidatos pleiteando 06
vagas de vendedor. A probabilidade de cada um conseguir a vaga sera´ de:
a) 20%
b) 50%
c) 30%
d) 60%
e) 40%
43. (UNEMAT - MT) A Copa do Mundo realizada na Alemanha teve a participac¸a˜o de
32 (trinta e duas) selec¸o˜es, das quais 04 (quatro) sa˜o sul-americanas e 03 africanas.
Portanto e´ CORRETO afirmar que:
a) a probabilidade matema´tica de uma equipe Africana ser campea˜ e´ de aproxima-
damente 9, 4%.
b) a probabilidade matema´tica de uma equipe sul-americana ser campea˜ e´ de 20%.
c) desconsiderando as diferenc¸as te´cnicas entre as equipes, a probabilidade de qual-
quer equipe ser campea˜ e´ de aproximadamente 6%.
d) independente das diferenc¸as te´cnicas, a probabilidade da Alemanha ser campea˜
e´ maior que a da Argentina.
e) a possibilidade da final ser Alemanha e Brasil e´ de 2−12.
44. (UNEMAT - MT) No almoxarifado de uma oficina de conserto de eletrodome´sticos
existe um estoque de 50 pec¸as novas e 10 usadas. Uma pec¸a e´ retirada ao acaso
e, em seguida, sem a reposic¸a˜o da primeira, outra e´ retirada. A probabilidade das
duas pec¸as serem usadas nas duas retiradas e´:
a) 1/60
b) 3/118
c) 9/60
d) 6/68
e) N.d.a.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 136
45. (PUC - MG) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria apre-
senta um teclado com 8 teclas, quatro delas identificadas pelos algarismos {1, 2, 3, 4}
e quatro outras pelas letras {a, b, c, d}. O segredo do cofre e´ uma sequeˆncia de treˆs
algarismos distintos seguida por uma sequeˆncia de duas letras distintas. A proba-
bilidade de uma pessoa, numa u´nica tentativa, feita ao acaso, abrir esse cofre e´:
a)
1
576
b)
1
288
c)
1
256
d)
1
144
46. Numa sala existem duas caixas A e B, cada uma possui uma certa quantidade de
bolas brancas, vermelhas, pretas e amarelas. A distribuic¸a˜o da quantidade de bolas
em cada caixa e´ fornecida pela tabela
cores \ caixas Caixa A Caixa B
Branca 1 5
V ermelha 4 2
Preta 3 2
Amarela 2 1
Escolhendo uma caixa ao acaso e dela retirando uma bola ao acaso, em seguida
verificou-se que a bola era preta. Enta˜o, a probabilidade dela ter vindo da caixa A
e´ igual a:
(A)
17
20
(B)
13
20
(C)
7
10
(D)
3
10
47. (UFMS) Utilizando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 formamos todos os nu´meros
com 4 algarismos distintos. Sendo P a probabilidade de sortear, ao acaso, um dos
nu´meros formados e esse nu´mero ser divis´ıvelpor 5, enta˜o e´ correto afirmar que P
esta´
(A) entre 40% e 50%.
(B) entre 30% e 40%.
(C) entre 20% e 30%.
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 137
(D) entre 10% e 20%.
(E) entre 1% e 10%.
48. (UFTM - MG) Uma urna conte´m cinco fichas numeradas de 1 a 5. Felipe ira´ retirar
ao acaso treˆs fichas dessa urna, sucessivamente e sem reposic¸a˜o, e com elas formar
uma sequ¨eˆncia nume´rica, conforme ilustrado a seguir.
(︸ ︷︷ ︸
1a ficha retirada
, ︸ ︷︷ ︸
2a ficha retirada
, ︸ ︷︷ ︸
3a ficha retirada
)
A probabilidade de que a sequ¨eˆncia assim obtida seja uma progressa˜o aritme´tica e´
igual a
(A)
1
30
.
(B)
1
15
.
(C)
1
10
.
(D)
2
15
.
(E)
1
6
.
49. (EsPCEx - SP) Dispondo-se de duas urnas, com 4 fichas cada uma, numeradas de
1 a 4, realiza-se o experimento de retirar aleatoriamente uma ficha de cada urna
e somar os nu´meros indicados nas duas fichas sorteadas. Nessas condic¸o˜es, a pro-
babilidade de, em uma retirada, obter-se para a soma dos nu´meros das fichas um
nu´mero primo e´ de:
A)
1
4
B)
5
16
C)
9
16
D)
3
8
E)
3
4
50. (Unimontes - MG) Ao lanc¸ar um dado duas vezes, qual e´ a probabilidade de se
obter a soma 6 ?
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 138
A)
6
36
B)
4
36
C)
5
36
D)
7
36
51. (Unimontes - MG) Na escolha de um nu´mero de 1 a 50, qual e´ a probabilidade de
que seja sorteado um mu´ltiplo de 6 ?
A)
2
25
B)
4
25
C)
6
25
D)
8
25
52. (EsPCEx - SP) Num determinado jogo, e´ realizado um sorteio de 05 nu´meros num
universo de 25 nu´meros. Pode-se participar do jogo comprando bilhetes contendo de
06 a 10 nu´meros e ganhara´ o preˆmio aquele que acertar os 05 nu´meros sorteados. A
probabilidade de um jogador ganhar o preˆmio participando do sorteio com apenas
um bilhete de 10 nu´meros e´:
A)
5!
25!
B)
10!
25!
C)
1
625
D)
5
625
E)
6
1265
53. (UFMA) Dois dados na˜o viciados sa˜o lanc¸ados ao acaso. A probabilidade de que a
soma dos resultados observados seja maior que 2 e menor ou igual a 5 e´:
a) 22%
b) 50%
c) 25%
d) 30%
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 139
e) 18%
54. (AFA - SP) No lanc¸amento de um dado viciado, a face 6 ocorre com o dobro da
probabilidade da face 1, e as outras faces ocorrem com a probabilidade esperada em
um dado na˜o viciado de 6 faces numeradas de 1 a 6. Dessa forma, a probabilidade
de ocorrer a face 1 nesse dado viciado e´
a)
1
9
b)
2
3
c)
1
3
d)
2
9
55. (Unimontes - MG) Ao retirarmos uma bola de uma urna que conte´m 15 bolas nu-
meradas de 1 a 15, a probabilidade de a bola ser um mu´ltiplo de 2 ou de 3 e´
A)
4
5
B)
2
3
C)
1
3
D)
1
5
56. (UNIFOR - CE) Uma urna conte´m 5 bolas vermelhas, 3 azuis, 4 amarelas, 2 verdes
e 1 preta, distingu´ıveis somente pela cor. Ao acaso, foram retiradas sucessivamente
treˆs bolas dessa urna, com reposic¸a˜o da bola apo´s cada retirada. A probabilidade
de que as treˆs bolas retiradas sejam da mesma cor e´
(A)
8
125
(B)
36
455
(C)
12
125
(D)
8
25
(E)
12
5
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 140
57. (Unirio - RJ) As probabilidades de treˆs jogadores marcarem um gol cobrando um
peˆnalti sa˜o, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. se cada um bater um u´nico peˆnalti, a
probabilidade de todos errarem e´ igual a:
a) 3%
b) 5%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
58. A probabilidade de fechamento de cada rele´ do circuito a seguir e´ igual a p, onde
0 < p < 1. Se todos os rele´s funcionarem independentemente. Enta˜o, a probabili-
dade de que haja corrente entre os pontos X e Y e´ igual a:
A) p2 − p4
B) 3p2 − 2p5
C) 4p4 − 4p5 + p6
D) p2 + 5p5 − 4p6
59. (EsPCEx - SP) Se escolhermos, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores
inteiros positivos do nu´mero 360, a probabilidade de esse elemento ser um nu´mero
mu´ltiplo de 12 e´:
(A)
1
2
(B)
3
5
(C)
1
3
(D)
2
3
(E)
3
8
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 141
60. A probabilidade de fechamento de cada rele´ do circuito a seguir e´ igual a p, onde
0 < p < 1. Se todos os rele´s funcionarem independentemente. Enta˜o, a probabili-
dade de que haja corrente entre os pontos X e Y e´ igual a:
A) p3 − 5p5
B) 2p2 − p4
C) p4 − 8p5 − 2p6
D) 4p2 + 2p3 + 3p4
61. (Unimontes - MG) Treˆs atiradores acertam o alvo uma vez a cada treˆs disparos. Se
os treˆs dispararem simultaneamente no mesmo alvo, a probabilidade de o alvo ser
atingido pelo menos uma vez e´ igual a
A)
8
27
B)
19
27
C)
16
27
D)
23
27
62. (Unirio - RJ) Em uma fa´brica de parafusos, a probabilidade de um parafuso ser
perfeito e´ de 96%. Se retirarmos da produc¸a˜o, aleatoriamente, treˆs parafusos, a
probabilidade de todos eles serem defeituosos e´ igual a:
a) 5−2
b) 5−3
c) 5−4
d) 5−5
e) 5−6
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 142
63. Sabe-se que a probabilidade de fechamento de cada rele´ do circuito abaixo e´ 20%.
Se todos os rele´s funcionarem independentemente. Enta˜o, a probabilidade de que
haja corrente entre os pontos X e Y e´ igual a:
A) 5, 4%
B) 6, 5%
C) 7, 2%
D) 8, 1%
E) 9, 3%
64. (PUC - RJ) De sua turma de 30 alunos, e´ escolhida uma comissa˜o de 3 represen-
tantes. Qual a probabilidade de voceˆ fazer parte da comissa˜o ?
a)
1
10
b)
1
12
c)
5
24
d)
1
3
e)
2
9
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 143
3.9 Respostas das Atividades
1. a)
1
66
b) R$ 20,00.
2. a)
1
23490
b)
52
11745
c)
65
783
3.
24
77
4. a) 182 b)
4
13
5. a)
3
190
b)
7
95
6. a)
3
8
b)
91
120
7.
28
57
8.
193
512
9. 30%
10. a) 56% b) 6%
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 144
3.10 Respostas dos Exerc´ıcios Propostos
01) A 17) B 33) A 49) C
02) B 18) B 34) A 50) C
03) A 19) B 35) E 51) E
04) C 20) C 36) B 52) E
05) D 21) C 37) A 53) C
06) C 22) C 38) B 54) E
07) D 23) E 39) C 55) A
08) C 24) B 40) C 56) C
09) B 25) C 41) A 57) E
10) A 26) D 42) C 58) E
11) B 27) B 43) D 59) C
12) A 28) B 44) B 60) A
13) D 29) A 45) D 61) B
14) A 30) E 46) D 62) A
15) D 31) D 47) A 63) E
16) B 32) B 48) D 64) C
CAPI´TULO 3. PROBABILIDADE 145
3.11 Respostas dos Exerc´ıcios Complementares
01) B 17) B 33) A 49) C
02) B 18) C 34) A 50) C
03) E 19) C 35) D 51) B
04) D 20) C 36) D 52) E
05) D 21) E 37) D 53) C
06) D 22) C 38) D 54) A
07) C 23) A 39) C 55) B
08) A 24) E 40) A 56) A
09) A 25) B 41) A 57) B
10) C 26) B 42) E 58) C
11) A 27) D 43) A 59) C
12) B 28) A 44) B 60) B
13) A 29) D 45) B 61) B
14) A 30) A 46) D 62) E
15) A 31) B 47) B 63) C
16) E 32) C 48) D 64) A
Cap´ıtulo 4
Questo˜es Resolvidas
4.1 Introduc¸a˜o
1. (IFS - SE) Para fazer o sorteio de um livro de Histo´ria da matema´tica entre todos
os alunos das turmas do 2o ano de uma escola, o professor reproduziu todos os ana-
gramas da palavra LIV RO em pedac¸os de papel, distribuiu aos alunos e colocou
uma co´pia em uma urna, onde seria realizado o sorteio. Nessas condic¸o˜es, a proba-
bilidade de ser sorteado um anagrama que contenha todas as vogais juntas e´:
a) 20%
b) 30%
c) 40%
d) 50%
e) 60%
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral formado por todos os anagramas da palavra
LIV RO. Portanto, temos N(S) = 5! = 120. Agora, seja X o evento formado
pelos anagramas da palavra LIV RO que teˆm as vogais juntas. Logo, encontra-se
N(X) = 2 · 4! = 48. Ou seja, resulta que
P (X) =
N(X)
N(S)
=
48
120
= 0, 4.
Assim, a resposta e´ a alternativa C.
2. (IFS - SE) Manoel vai ao esta´dio assistir a uma partida de futebol. La´ ele deve
escolher uma entre quatro opc¸o˜es para entrar, a saber, os porto˜es A, B, C e D. No
intervalo da partida, ele fara´ um lanche. Suas opc¸o˜es de lanche sa˜o cachorro quente,
churrasquinho, pastel, pipoca e sandu´ıche. Qual e´ a probabilidade de Manoel entrar
pelo porta˜o B e no intervalocomer um sandu´ıche?
a) 2%
b) 5%
c) 9%
d) 12%
146
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 147
e) 20%
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral formado por todas as maneiras distintas de
escolher um porta˜o num total de 4 porto˜es, e em seguida escolher um lanche num
total de 5 lanches. Logo, pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos 20 possi-
bilidades. Ou seja, N(S) = 20. Agora, seja X o evento que consiste em entrar por
B e em seguida, comer sandu´ıche. Logo, temos N(X) = 1. Portanto, resulta
P (X) =
N(X)
N(S)
=
1
20
= 0, 05.
Assim, a resposta e´ a alternativa B.
3. (PUC - MG) No desenvolvimento de (x+1)10, o termo de grau treˆs tem coeficiente:
a) 80
b) 95
c) 100
d) 120
e) 135
Soluc¸a˜o: Inicialmente, sabemos que o termo geral desse binoˆnio e´ dado por
Tk+1 =
(
10
k
)
(x)10−k1k =
(
10
k
)
x10−k.
Para obter o termo de grau treˆs, basta fazer k = 7. Portanto, resulta que
T7 =
(
10
7
)
x3 = 120x3.
Assim, a resposta e´ a alternativa D.
4. (UESPI) Ju´nior ja´ leu treˆs livros de sua colec¸a˜o de 12 livros. Escolhendo ao acaso
treˆs livros da colec¸a˜o, qual a probabilidade de Ju´nior na˜o ter lido nenhum dos treˆs?
A) 31/55
B) 29/55
C) 27/55
D) 23/55
E) 21/55
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral formada pela quantidade de maneiras de es-
colher 3 livros num total de 12 livros. Logo, resulta que N(S) =
(
12
3
)
= 220.
Agora, seja W o evento que consiste em escolher 3 livros num total de 9 livros(pois
excluimos os 3 livros que ele ja´ leu). Logo, temos N(W ) =
(
9
3
)
= 84. Portanto,
P (W ) =
N(W )
N(S)
=
84
220
=
21
55
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa E.
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 148
5. (UESPI) De quantas maneiras podemos formar 5 casais (com pessoas de sexos dife-
rentes e na˜o ordenados) a partir de um grupo formado por 5 homens e 5 mulheres?
Desconsidere a ordem dos 5 casais.
A) 60
B) 80
C) 100
D) 120
E) 140
Soluc¸a˜o: Vamos representar os homens por H1, H2, H3, H4 e H5 e as mulheres
por M1, M2, M3, M4 e M5. Agora, consideremos a seguinte configurac¸a˜o
H1−H2−H3−H4−H5−
Para formar os casais, basta permutar as 5 mulheres nos 5 espac¸os acima. Podemos
fazer isso de P5 = 5! = 120 formas diferentes. Ou seja, a resposta e´ a alternativa D
6. (UESPI) Um corretor de seguros vendeu seguros para 5 pessoas. Suponha que a
probabilidade de uma dessas pessoas viver mais trinta anos seja de 3/5. Qual a
probabilidade percentual de exatamente 3 das pessoas estarem vivas daqui a trinta
anos?
A) 24, 56%
B) 34, 56%
C) 44, 56%
D) 54, 56%
E) 64, 56%
Soluc¸a˜o: Supondo que o evento A represente o sucesso e B represente o fracasso.
Portanto, temos P (A) =
3
5
e P (B) =
2
5
. Suponha que X represente a quantidade
de pessoas que vivam mais que trinta anos. Pelo Teorema Binomial, temos
P (X = 3) =
(
5
3
)
·
(
3
5
)3
·
(
2
5
)2
=
1080
3125
= 0, 3456.
Portanto, a resposta e´ a alternativa B
7. (UFMT) A Copa do Mundo de Futebol, que sera´ realizada na Alemanha a partir
de junho de 2006, contara´ com a participac¸a˜o de 32 selec¸o˜es divididas em 8 grupos
com 4 equipes cada, na primeira fase. Dado que, em cada grupo, as selec¸o˜es jogara˜o
entre si uma u´nica vez, qual o total de jogos previstos para a primeira fase?
A) 32
B) 40
C) 48
D) 44
E) 96
Soluc¸a˜o: Cada grupo temos 4 equipes, logo a quantidade de jogos em cada grupo
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 149
e´ igual a
(
4
2
)
= 6. Ale´m disso, temos 8 grupos. Portanto, resulta em 6 · 8 = 48
jogos. Ou seja, a resposta e´ a alternativa C
8. (UFAL) Um atirador de dardos acerta o alvo com probabilidade 0, 6. Quantas
vezes, no mı´nimo, ele deve atirar, para que se tenha garantia de que acertara´ o alvo,
pelo menos uma vez, com probabilidade superior a 97% ?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Soluc¸a˜o: Notamos que sucesso = p = 0, 6 e fracasso = q = 0, 4. Portanto, temos(
n
0
)
· (0, 6)0 · (0, 4)n +
n∑
k=1
(
n
k
)
· (0, 6)k · (0, 4)n−k = 1
Logo, resulta que
n∑
k=1
(
n
k
)
· (0, 6)k · (0, 4)n−k = 1−
(
n
0
)
· (0, 6)0 · (0, 4)n
= 1− (0, 4)n > 0, 97.
Portanto, basta resolver a inequac¸a˜o (0, 4)n < 0, 03. Resolvendo, observamos que
cada um dos valores, n = 4, 5, 6, · · · satisfaz essa inequac¸a˜o. Mas, estamos procu-
rando o valor mı´nimo. Portanto, a resposta e´ n = 4, (alternativa B).
9. (UFPI) Em uma caixa ha´ 5 bolas amarelas e 4 bolas azuis, todas de mesmo tama-
nho e feitas do mesmo material. Retiramos duas bolas sucessivamente da caixa, sem
fazermos reposic¸o˜es. A probabilidade de que sejam retiradas duas bolas amarelas e´:
A)
1
6
B)
1
36
C)
2
9
D)
5
18
E)
2
5
Soluc¸a˜o: O espac¸o amostral S consiste em retirar duas bolas entre 9 bolas. Isso
pode ser feito de N(S) =
(
9
2
)
= 36 maneiras. E o evento X consiste em retirar duas
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 150
bolas amarelas entre 5 bolas amarelas. Isso pode ser feito de N(X) =
(
5
2
)
= 10
maneiras. Logo, temos
P (X) =
N(X)
N(S)
=
10
36
=
5
18
.
Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
10. (PUC - RS) Em uma sala existem 10 pessoas, sendo 8 mulheres e 2 homens. O
nu´mero de possibilidades de formar, com essas 10 pessoas, um grupo que contenha
exatamente 3 mulheres e 2 homens e´
A) C38
B) C510
C) 2C38
D) A510
E) A38
Soluc¸a˜o: Dividimos esse problema em duas etapas: a primeira consiste em es-
colher 3 mulheres entre 8 mulheres e a segunda etapa consiste em escolher 2 homens
entre 2 homens. Portanto, temos(
8
3
)
·
(
2
2
)
=
(
8
3
)
= C38 .
Portanto, a resposta e´ a alternativa A.
11. (PUC - RS) Com 8 frutas diferentes, o nu´mero de saladas que podem ser feitas
contendo exatamente 3 dessas frutas e´
A) 24
B) 54
C) 56
D) 112
E) 336
Soluc¸a˜o: Notamos que existem 8 frutas e devemos escolher 3 frutas. Ou seja, vamos
formar um subconjunto com 3 elementos. Portanto, formaremos combinac¸o˜es de 8
elementos tomados 3 a 3. Assim, resulta que(
8
3
)
=
8!
3! · 5! = 56.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa C.
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 151
12. (PUC - RS) Nas Olimp´ıadas PUCRS 2009, foram inscritas 12 equipes de futsal
feminino. O nu´mero de resultados diferentes para os dois primeiros colocados e´:
A) 6
B) 12
C) 66
D) 132
E) 264
Soluc¸a˜o: Observamos que para duas pessoas A e B ocuparem as duas primeiras
posic¸o˜es (a ordem e´ importante). Portanto, devemos fazer o arranjo de 12 elementos
tomados 2 a 2. Ou seja, resulta
A12,2 =
12!
10!
= 12 · 11 = 132.
Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
13. (UEMA) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de
30, a probabilidade de que esse elemento seja primo e´:
a)
3
5
b)
1
3
c)
2
3
d)
4
7
e)
3
8
Soluc¸a˜o: Sabemos os divisores de 30 e´ formado pelos elementos do conjunto
A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Notamos que os primos e´ formado pelos elementos
do conjunto B = {2, 3, 5}. Portanto, a probabilidade e´ dada por
P (B) =
N(B)
N(A)
=
3
8
.
Assim, a resposta e´ a alternativa E.
14. (UEMA) Um jovem foi convidado para uma festa de aniversa´rio e, ao abrir seu
guarda-roupas, verificou que nele haviam 3 calc¸as, 4 camisas, 2 pares de sapatos, 4
pares de meias e 6 cuecas. De quantos modos diferentes esse jovem podera´ se vestir
para ir a` festa de aniversa´rio ?
a) 576
b) 600
c) 780
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 152
d) 470
e) 300
Soluc¸a˜o: Esse problema possui 5 etapas; onde a primeira consiste em escolher
uma calc¸a (3 possibilidades); a segunda etapa consiste em escolher uma camisa (4
possibilidades); a terceira etapa consiste em escolher um par de sapato (2 possibi-
lidades); a quartaetapa consiste em escolher um par de meia (4 possibilidades) e
a u´ltima etapa consiste em escolher uma cueca (6 possibilidades). Portanto, pelo
princ´ıpio fundamental da contagem, temos
3 · 4 · 2 · 4 · 6 = 576.
Logo, a resposta e´ a alternativa A.
15. (IFMG) Oito amigos va˜o acampar e levam 4 barracas ideˆnticas. De quantos modos
eles podem se distribuir, ficando dois por barraca?
a) 50
b) 2520
c) 40320
d) 20160
e) 105
Soluc¸a˜o: Primeiramente vamos escolher dois amigos para a primeira barraca,
ou seja, temos
(
8
2
)
maneiras. Em seguida, escolher dois para a segunda barraca.
Logo, temos
(
6
2
)
maneiras. Depois, escolher dois para a terceira. Logo, temos
(
4
2
)
maneiras. Finalmente, escolher dois amigos para a u´ltima barraca. Assim, temos(
2
2
)
maneiras. Portanto, pelo princ´ıpio fundamental da contagem, temos
(
8
2
)
·
(
6
2
)
·
(
4
2
)
·
(
2
2
)
= 2520.
Por outro lado, sabemos que as barracas sa˜o ideˆnticas. Dessa forma, o nu´mero
acima foi contado 4! vezes. Portanto, a quantidade de maneiras e´ dada por
2520
4!
=
2520
24
= 105.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa E.
16. (UFC - CE) Oito pessoas, sendo 5 homens e 3 mulheres, sera˜o organizadas em uma
fila. A probabilidade de as pessoas do mesmo sexo ficarem juntas e´:
a)
1
28
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 153
b)
1
18
c)
3
28
d)
5
18
e)
1
38
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral que consiste no total de maneiras que 8 pessoas
podem ocupar os lugares em uma fila. Isso pode ser feito de P8 = 8! maneiras.
Agora, seja X o evento que consiste em 5 homens e 3 mulheres ocuparem os lugares
em uma fila de modo que as pessoas do mesmo sexo fiquem juntas. Assim, temos
M,M,M︸ ︷︷ ︸
3 mulheres
5 homens︷ ︸︸ ︷
H,H,H,H,H e H,H,H,H,H︸ ︷︷ ︸
5 homens
3 mulheres︷ ︸︸ ︷
M,M,M
No primeiro caso, temos P3 ·P5 = 3! ·5! maneiras, e no segundo caso, temos P5 ·P3 =
5! · 3! maneiras. Portanto, resulta que
P (X) =
N(X)
N(S)
=
2 · 5! · 3!
8!
=
1
28
.
Logo, a resposta e´ a alternativa A.
17. (Mackenzie - SP) 4 homens e 4 mulheres devem ocupar os 8 lugares de um banco.
A probabilidade de que nunca fiquem lado a lado duas pessoas do mesmo sexo e´:
a)
1
56
b) 1
c)
1
16
d)
1
32
e)
1
35
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral que consiste no total de maneiras que 8 pessoas
podem ocupar os 8 lugares de um banco, isso pode ser feito de P8 = 8! maneiras.
Agora, seja B o evento que consiste em 4 homens e 4 mulheres ocuparem um banco
de 8 lugares de modo que duas pessoas do mesmo sexo na˜o fiquem juntas. Assim,
temos dois casos: No primeiro, temos MHMHMHMH, (P4 ·P4 = 4! ·4! maneiras).
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 154
O outro caso HMHMHMHM , (P4 · P4 = 4! · 4! maneiras). Portanto, segue que
P (B) =
N(B)
N(S)
=
2 · 4! · 4!
8!
=
1
35
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa E.
18. (UFRGS - RS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres,
treˆs pessoas sa˜o escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um
homem e duas mulheres e´ de:
a) 25%
b) 30%
c) 33%
d) 50%
e) 60%
Soluc¸a˜o: Seja S espac¸o amostral que consiste em escolher 3 pessoas num total de
6 pesssoas, podemos fazer isso de
(
6
3
)
=
6!
3! · 3! = 20 maneiras. Ale´m disso, seja A
o evento que consistem em escolher um homem e duas mulheres, podemos fezer isso
de
(
2
1
)
·
(
4
2
)
= 12 maneiras. Portanto, resulta que
P (A) =
N(A)
N(S)
=
12
20
.
Logo, a resposta e´ a alternativa E.
19. (UNIVASF - UFPE) De quantas maneiras seis pessoas podem ser colocadas em
fila, se duas delas se recusam a ficar em posic¸o˜es adjacentes?
A) 460
B) 470
C) 480
D) 490
E) 500
Soluc¸a˜o: Notamos que 6 pessoas, podem ser colocadas numa fila de P6 = 6! = 720
maneiras. Ale´m disso, suponhamos que as pessoas A e B podem ficar juntas de
P2 · P5 = 2 · 5! = 240 maneiras. Por outro lado, o total de maneiras que as pessoas
A e B na˜o fiquem juntas na fila e´ 720− 240 = 480 maneiras. Ou seja, a resposta e´
a alternativa C.
20. (VUNESP - SP) Um exame possui 10 questo˜es de mu´ltipla escolha com 3 alterna-
tivas por questa˜o. O nu´mero de gabaritos poss´ıveis em que a primeira e a segunda
alternativas aparecem, cada uma, em exatamente 3 questo˜es e´
(A) 4 200.
(B) 4 820.
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 155
(C) 6 240.
(D) 7 280.
(E) 8 400.
Soluc¸a˜o: Fazendo X = primeira alternativa, Y = segunda alternativa e W =
terceira alternativa. Agora, devemos permutar as letras
X,X,X︸ ︷︷ ︸
3 vezes
3 vezes︷ ︸︸ ︷
Y, Y, Y W,W,W,W︸ ︷︷ ︸
4 vezes
Notamos que trata-se de permutac¸a˜o com repetic¸a˜o. Portanto, obtemos
P 3,3,410 =
10!
3! · 3! · 4! = 4200
Logo, a resposta e´ a alternativa A.
21. (VUNESP - SP) Uma urna conte´m 3 bolas pretas e 2 brancas. Duas bolas sa˜o
retiradas da urna, sem reposic¸a˜o. A probabilidade de a segunda bola ser branca e´
de
(A) 0,25.
(B) 0,30.
(C) 0,40.
(D) 0,50.
(E) 0,60.
Soluc¸a˜o: Notamos que existem duas formas: A primeira consiste em sair (branca−
branca) e a segunda maneira, sair (preta − branca). Seja X o evento que consiste
em sair uma segunda bola branca. Portanto, temos
P (X) = P (branca e branca) + P (preta e branca)
= P (branca) · P (branca/branca) + P (preta) · P (branca/preta)
=
2
5
· 1
4
+
3
5
· 2
4
=
8
20
= 0, 40
Logo, a resposta e´ a alternativa C.
22. (VUNESP - SP) Em um lote de 20 pec¸as, 5 sa˜o defeituosas. Sorteando-se 3 pec¸as
desse lote, ao acaso, sem reposic¸a˜o, a probabilidade de que nenhuma delas seja
defeituosa e´, aproximadamente, de
(A) 0,412.
(B) 0,399.
(C) 0,324.
(D) 0,298.
(E) 0,247.
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral que consiste em escolher 3 pec¸as num total de
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 156
20 pec¸as. Logo, resulta que N(S) =
(
20
3
)
= 1140 possibilidades. Ale´m disso, seja
X o evento que consiste em escolher 3 pec¸as boas num total de 15 pec¸as. Logo,
resulta que N(X) =
(
15
3
)
= 455 possibilidades. Portanto, temos
P (X) =
N(X)
N(S)
=
455
1140
= 0, 3991.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa B.
23. (CESGRANRIO - RJ) O gerente de vendas de certa empresa tem 32 funciona´rios
em sua equipe, dos quais 12 sa˜o mulheres. Se esse gerente escolher aleatoriamente
um dos integrantes da sua equipe, qual a probabilidade de que a pessoa escolhida
seja do sexo masculino?
A)
11
16
B)
5
8
C)
3
8
D)
3
4
E)
1
4
Soluc¸a˜o: Seja X o evento formado somente por homens e S o espac¸o amostral
formado por todos os funciona´rios. Notamos que N(X) = 32 − 12 = 20 homens e
N(S) = 32 funciona´rios. Portanto, temos
P (X) =
N(X)
N(S)
=
20
32
=
5
8
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa B.
24. (UFAL) Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} formam-se nu´meros de 4
algarismos distintos. Quantos dos nu´meros formados na˜o sa˜o divis´ıveis por 5 ?
A) 15
B) 120
C) 343
D) 720
E) 840
Soluc¸a˜o: Notamos que os nu´meros de 4 algarismos tem a forma ABCD. Mas, os
algarismos sa˜o distintos, enta˜o podemos formar A7,4 =
7!
3!
= 840 nu´meros. Agora,
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 157
vamos obter os nu´meros que sa˜o divis´ıveis por 5. Para isso, vamos fixar D = 5, e
em seguida, escolher 3 algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4, 6, 7}. Ou seja, os nu´meros
divis´ıveis por 5 vale A6,3 =
6!
3!
= 120. Portanto, a quantidade de nu´meros que na˜o
sa˜o divis´ıveis por 5 e´ igual a 840− 120 = 720. Ou seja, a resposta e´ a alternativa D.
25. (UESC - BA) Seis pessoas formam uma fila indiana para percorrer uma trilha em
uma floresta. Se uma delas e´ medrosa e na˜o quer ser nem a primeira nem a u´ltima
da fila, enta˜o o nu´mero de modos de que essa fila pode serformada e´
01) 120
02) 480
03) 600
04) 720
05) 930
Soluc¸a˜o: Notamos que com 6 pessoas e´ poss´ıvel formar P6 = 6! = 720 filas
indianas. Por outro lado, a pessoa medrosa na˜o pode ficar nas extremidades da fila.
Ou seja, devemos excluir as duas possibilidades abaixo
medrosa,
5 pessoas︷ ︸︸ ︷
A,B,C,D,E e A,B,C,D,E︸ ︷︷ ︸
5 pessoas
,medrosa
Em ambos os casos temos P5 = 5! = 120 possibilidades. Portanto, a quantidade
de organizar essa fila e´ 720 − 120 − 120 = 480 maneiras. Assim, a resposta e´ a
alternativa 02.
26. Considere dois dados honestos numerados de 1 a 6. Jogando esses dados simultane-
amente e multiplicando os nu´meros das faces superiores. Qual a probabilidade de
obtermos um nu´mero ı´mpar ?
A) 15%
B) 20%
C) 25%
D) 65%
Soluc¸a˜o: Notamos que o espac¸o amostral S e´ dado pelo conjunto abaixo
S =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

Seja o evento X formado pelos pares ordenados tais que o produto dos nu´meros
forme um nu´mero ı´mpar. Portanto, temos
X =
{
(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (3, 5), (5, 3), (5, 5)
}
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 158
Logo, a probabilidade e´ dada por
P (X) =
N(X)
N(S)
=
9
36
= 25%.
Assim, a resposta e´ a alternativa C.
27. (FEI - SP) Numa sala ha´ 5 engenheiros e 6 bio´logos. Sendo X a quantidade de
grupos que podem ser formados com 2 engenheiros e 3 bio´logos, tem-se que:
(A) X = 200
(B) X = 320
(C) X = 240
(D) X = 270
(E) X = 84
Soluc¸a˜o: Esse problema possui etapas, a primeira consiste em escolher 2 engenhei-
ros entre 5 engenheiros e a segunda consiste em escolher 3 bio´logos entre 6 bio´logos.
Portanto, pelo principio fundamental da contagem, temos
X =
(
5
2
)
·
(
6
3
)
= 200.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa A.
28. (UESC - BA) No conjunto A = {x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 25}, pode-se escolher dois
nu´meros distintos, tais que a sua soma seja um nu´mero par. Nessas condic¸o˜es, o
nu´mero de modos de que essa escolha pode ser feita e´ igual a
01) 300
02) 169
03) 156
04) 144
05) 132
Soluc¸a˜o: Observamos que existem 13 nu´meros ı´mpares e 12 nu´meros pares. Ale´m
disso, notamos que a soma de dois nu´meros e´ ı´mpares e´ um nu´mero par e que a
soma de dois pares e´ um par. Portanto, a quantidade de fazer essa escolha e´(
13
2
)
+
(
12
2
)
= 144.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa 04.
29. Uma moeda e´ viciada de modo que a probabilidade de aparecer cara e´ o triplo da
probabilidade de aparecer coroa. Lanc¸ando essa moeda 5 vezes. Qual a probabili-
dade de aparecer no ma´ximo 2 caras ?
Soluc¸a˜o: Sabemos que P (cara) = 3 · P (coroa). Portanto, vale a seguinte relac¸a˜o
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 159
P (coroa) + 3P (coroa) = 1. Resolvendo, obtemos P (coroa) =
1
4
e P (cara) =
3
4
.
Seja B o evento formado por, B = {0 cara, 1 cara, 2 caras}. Portanto, temos
P (B) = P (0 cara) + P (1 cara) + P (2 caras)
=
(
5
0
)
·
(
3
4
)0
·
(
1
4
)5
+
(
5
1
)
·
(
3
4
)1
·
(
1
4
)4
+
(
5
2
)
·
(
3
4
)2
·
(
1
4
)3
=
1
1024
+
15
1024
+
90
1024
=
53
512
.
Assim, a resposta e´ aproximadamente 10, 35%.
30. (UNEMAT - MT) Em uma caixa esta˜o acondicionados uma du´zia e meia de ovos.
Sabe-se, pore´m, que treˆs deles esta˜o impro´prios para o consumo. Se forem escolhidos
dois ovos ao acaso, qual a probabilidade de ambos estarem estragados ?
(A) 2/153
(B) 1/9
(C) 1/51
(D) 1/3
(E) 4/3
Soluc¸a˜o: Notamos que existem 15 ovos bons e 3 estragados. Seja, S o espac¸o
amostral que consiste em escolher 2 ovos entre 18 ovos. Isso pode ser feito de(
18
2
)
= 153 maneiras. Ale´m disso, seja X o evento que consiste em escolher 2 ovos
estragados entre 3 estragados. Isso pode ser feito de
(
3
2
)
= 3 maneiras. Portanto,
P (X) =
N(X)
N(S)
=
3
153
=
1
51
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa C.
31. (UNEMAT - MT) Numa escola do Ensino Me´dio ha´ treˆs turmas de terceiro ano.
Cada turma tem, respectivamente, 20, 22 e 24 alunos. Na tentativa de criar comissa˜o
para formatura, foi perguntado aos 66 alunos quem gostaria de fazer parte. Cinco
rapazes e quatro moc¸as manifestaram interesse. A comissa˜o devera´ ser composta
por cinco alunos. Quantas comisso˜es de 5 alunos com exatamente 3 rapazes podem
ser formadas?
(A) 126 comisso˜es.
(B) 13 comisso˜es.
(C) 45 comisso˜es.
(D) 16 comisso˜es.
(E) 60 comisso˜es
Soluc¸a˜o: Dividimos esse problema em duas etapas; a primeira etapa consiste em
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 160
escolher 3 rapazes entre 5 rapazes e a segunda etapa consiste em escolher 2 moc¸as
entre 4 moc¸as. Usando o princ´ıpio fundamental da contagem, temos(
5
3
)
·
(
4
2
)
= 60.
Portanto, a resposta e´ a alternativa E.
32. (UNEMAT - MT) Um casal pretende ter quatro filhos. Qual a probabilidade desses
filhos serem duas meninas e dois meninos?
a) 1/16
b) 3/16
c) 5/16
d) 3/8
e) 5/8
Soluc¸a˜o: Sabemos que P (menino) =
1
2
e P (menino) =
1
2
. Agora, seja X o evento
formado pela quantidade de meninos. Portanto, pelo teorema binomial, temos
P (X = 2) =
(
4
2
)
·
(
1
2
)2
·
(
1
2
)2
=
3
8
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa D.
33. (UCS - RS) Dois dados sa˜o jogados simultaneamente uma u´nica vez. A probabili-
dade de que a soma dos nu´meros mostrados nas faces que ficam voltadas para cima
seja igual a 6 e´
a)
1
6
b)
5
36
c)
5
6
d)
1
36
e)
6
5
Soluc¸a˜o: Observamos que o espac¸o amostral S e´ dado pelo conjunto abaixo
S =

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 161
Seja o evento X formado pelos pares ordenados tais que a soma dos pontos de cima
seja 6. Logo, resulta que
X =
{
(1, 5), (5, 1), (3, 3), (2, 4), (4, 2)
}
Logo, a probabilidade e´ dada por
P (X) =
N(X)
N(S)
=
5
36
.
Assim, a resposta e´ a alternativa B.
34. Uma caixa teˆm 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Retirando-se 3 bolas ao acaso e
sem reposic¸a˜o. Qual a probabilidade de ser retirada 3 bolas da mesma cor ?
A) 10%
B) 15%
C) 20%
D) 25%
E) 30%
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral que consiste em escolher 3 bolas entre 10 bolas.
Ou seja, podemos fazer essa retirada de
(
10
3
)
= 120 maneiras. Ale´m disso, seja
X o evento que consiste em retirar 3 bolas brancas entre 4 bolas brancas. Ou seja,
podemos fazer essa retirada de
(
4
3
)
= 4 maneiras, e Y o evento que consiste em
retirar 3 bolas pretas entre 6 bolas pretas. Ou seja, podemos fazer isso de
(
6
3
)
= 20
maneiras. Notamos que os eventos X e Y sa˜o mutuamente exclusivos. Portanto,
P (X ∪ Y ) = P (X) + P (Y ) = N(X)
N(S)
+
N(Y )
N(S)
=
4
120
+
20
120
=
1
5
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa C.
35. (UFRGS - RS) Uma parteira preveˆ, com 50% de chance de acerto, o sexo de cada
crianc¸a que vai nascer. Num conjunto de treˆs crianc¸as, a probabilidade de ela acertar
pelo menos duas previso˜es e´ de:
a) 12, 5%
b) 25%
c) 37, 5%
d) 50%
e) 66, 6%
Soluc¸a˜o: Suponhamos que sucesso= saber o sexo da crianc¸a e fracasso= errar
o sexo da crianc¸a. Assim, temos que P (sucesso) =
1
2
e P(fracasso) =
1
2
. Agora,
suponha que X represente a quantidade de acertos e B o evento que consiste em
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 162
a parteira acertar pelo menos duas vezes. Ou seja, esse evento e´ formado por
B = {X = 2, X = 3}. Finalmente, usando o teorema binomial, temos
P (B) = P (X = 2) + P (X = 3)
=
(
3
2
)
·
(
1
2
)2
·
(
1
2
)1
+
(
3
3
)
·
(
1
2
)3
·
(
1
2
)0
=
3
8
+
1
8
=
4
8
.
Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
36. (VUNESP - SP) Numa gaiola esta˜o 9 camundongos rotulados, 1, 2, 3, · · · , 9. Selecio-
nando-se conjuntamente 2 camundongos ao acaso (todos teˆm igual possibilidade de
serem escolhidos), a probabilidade de que na selec¸a˜o ambos os camundongos tenham
ro´tulo ı´mpar e´:
(A) 0,3777...
(B) 0,47
(C) 0,17
(D) 0,2777...
(E) 0,1333...
Soluc¸a˜o: Seja S o espac¸o amostral que consiste em selecionar 2 camundongos
entre 9 camundongos, isso pode ser feito de
(
9
2
)
= 36 formas. Ale´m disso, seja A
o evento que consiste em selecionar 2 camundongos ı´mpares, isso pode ser feito de(
5
2
)
= 10 formas. Portanto, resulta que
P (A) =
N(A)
N(S)
=
10
36
= 0, 2777 · · · .
Assim, a resposta e´ a alternativa D.
37. Um casal quer ter 6 filhos. Enta˜o, a probabilidade aproximada de nascer 4 homens
e´ igual a:
a) 14%
b) 19%
c) 23%
d) 36%
Soluc¸a˜o: Supondo que a probabilidades de nascerem homem ou mulher sejam
iguais. Assim, temos que P (homem) =
1
2
e P (mulher) =
1
2
. Suponha que X
represente a quantidade de homens. Portanto, pelo teorema binomial, temos
P (X = 4) =
(
6
4
)
·
(
1
2
)4
·
(
1
2
)2
=
15
64
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa C.
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 163
38. (UCS - RS) Um candidato aprovado no vestibular da UCS ira´ se matricular em 3
disciplinas, D1, D2 e D3, tendo a possibilidade de cursa´-las no Campus de Bento
Gonc¸alves ou na Cidade Universita´ria, em Caxias do Sul. Qual e´ a probabilidade
de o aluno vir a cursar exatamente 2 dessas disciplinas na Cidade Universita´ria, em
Caxias do Sul ?
a)
3
8
b)
1
4
c)
2
3
d)
1
2
e)
1
3
Soluc¸a˜o: Inicialmente, sabemos que o aluno podera´ cursar essas treˆs disciplinas
em dois campus poss´ıveis. Dessa forma, podemos construir a seguinte tabela:
Bento Goncalves Caxias do Sul
D1, D2 e D3 Nenhuma
Nenhuma D1, D2 e D3
D1 e D2 D3
D1 e D3 D2
D2 e D3 D1
D1 D2 e D3
D2 D1 e D3
D3 D1 e D2
Notamos que existem 8 possibilidades poss´ıveis e 3 casos favora´veis. Portanto,
P =
3
8
.
Logo, a resposta e´ a alternativa A.
39. (UEPG - PR) Assinale o que for correto.
01) O coeficiente do termo x−3 no desenvolvimento do binoˆmio
(
1
x
+
√
x
)6
e´ 15.
02) Se ”A” e´ o nu´mero de arranjos de 8 elementos tomados 3 a 3, ”P” e´ o nu´mero
de permutac¸o˜es de 5 elementos e ”C” e´ o nu´mero de combinac¸o˜es de 10 elementos
tomados 4 a 4, enta˜o A+ P − C = 246.
04) Se C15,p = C15,p+1 enta˜o p e´ um nu´mero par.
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 164
08) Se treˆs laˆmpadas sa˜o escolhidas ao acaso e sem reposic¸a˜o, num grupo de 12
laˆmpadas, das quais 5 sa˜o defeituosas, enta˜o, a probabilidade de que exatamente
uma destas laˆmpadas seja defeituosa e´
7
44
.
Soluc¸a˜o: Para resolver 01), vamos usar a fo´rmula do termo geral, onde
Tk+1 =
(
6
k
)(
1
x
)k
(
√
x)6−k =
(
6
k
)
x−kx
6−k
2 =
(
6
k
)
x
6−3k
2
Para obtermos o termo em x−3, devemos ter k = 4. Portanto, resulta que
T5 =
(
6
4
)
x−3 = 15x−3.
Ou seja, o item 01) e´ correto. Para resolver 02), temos A8,3 =
8!
5!
= 8 · 7 · 6 = 336,
P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 e C10,4 = 10!
4! · 6! = 210. Portanto, segue que A+ P − C =
336 + 120 − 210 = 246. Ou seja, o item 02) e´ verdadeiro. Na parte 04), temos a
equac¸a˜o binomial
(
15
p
)
=
(
15
p+ 1
)
. Agora, basta resolver p = p+1 ou p+p+1 = 15.
Ou seja, a soluc¸a˜o e´ p = 7. Portanto, o item 04) e´ falso. Para resolver 08), seja
S o espac¸o amostral que consiste em retirar 3 laˆmpadas entre 12 laˆmpadas. Isso
pode ser feito de
(
12
3
)
= 220 maneiras. Ale´m disso, seja X o evento que consiste
em retirar 3 laˆmpadas nas quais um e´ defeituosa. Notamos que X e´ composto de
duas etapas; onde a primeira, consiste em retirar uma laˆmpada defeituosa entre 5
laˆmpadas, e a segunda, consiste em retirar duas laˆmpadas entre 7 laˆmpadas. Logo,
existem N(X) =
(
5
1
)
·
(
7
2
)
= 105 maneiras. Portanto, segue que
P (X) =
N(X)
N(S)
=
105
220
=
21
44
.
Ou seja, o item 08) e´ falso. Portanto, conclu´ımos que os item 01) e 02) sa˜o verda-
deiros.
40. (UEPG - PR) Sabendo que o quarto termo do desenvolvimento de (2x + ky)n e´
−1080x2y3, assinale o que for correto.
01) n e´ um nu´mero primo.
02) A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binoˆmio e´ um nu´mero negativo.
04) O coeficiente do terceiro termo do desenvolvimento e´ 720.
08) O valor de k e´ −3.
Soluc¸a˜o: Primeiramente, sabe-se que o termo geral e´ dado por
Tp+1 =
(
n
p
)
(2x)n−p (ky)p
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 165
Ale´m disso, sabemos que T4 = −1080x2y3. Portanto, conclu´ımos que p = 3. Assim,
T4 =
(
n
3
)
(2x)n−3 (ky)3 = −1080x2y3.
Logo, encontramos n− 3 = 2. Ou seja, n = 5 (nu´mero primo). Portanto, temos(
5
3
)
(2x)2 (ky)3 = 40k3x2y3 = −1080x2y3.
Ou seja, encontramos k = −3. Agora, para obter a soma dos coeficientes do binoˆmio
(2x − 3y)5, basta fazer x = y = 1. Assim, temos (2 · 1 − 3 · 1)5 = (2 − 3)5 = −1.
Portanto, a soma dos coeficientes e´ um nu´mero negativo. Agora, vamos obter o
terceiro termo desse binoˆmio. Ou seja, fazendo p = 2, no termo geral acima, resulta
T3 =
(
5
2
)
(2x)3 (−3y)2 = 720x3y2.
Portanto, 720 e´ o coeficiente do terceiro termo. Logo, todos os itens sa˜o verdadeiros.
41. Luciano comprou seis presentes diferentes, ele pretende distribuir entre cinco crianc¸as.
De quantas maneiras ele pode distribuir os presentes entre as crianc¸as de modo que
todas ganhem pelo menos um presente?
A) 1800
B) 1900
C) 2200
D) 3600
E) 4500
Soluc¸a˜o: Supomos que os presentes sejam A, B, C, D, E e F . Agora, vamos
considerar o seguinte caso: Uma das crianc¸as ira´ receber dois presentes (AB) e as
demais crianc¸as recebera˜o as restantes. Dessa forma, temos a configurac¸a˜o
AB,−,−,−,−︸ ︷︷ ︸
5 elementos
Logo, o total de permutac¸o˜es e´ P5 = 5! = 120. Ale´m disso, sabemos que o procedi-
mento acima, pode ser feito de C6,2 =
6!
2! · 4! = 15 maneiras. Ou seja, conclu´ımos
que existem 15 · 120 = 1800 maneiras de realizar essa distribuic¸a˜o. Portanto, a
resposta e´ a alternativa A.
42. Luciano comprou seis presentes diferentes, ele pretende distribuir entre cinco crianc¸as.
De quantas maneiras ele pode distribuir os presentes entre as crianc¸as de modo que
todas ganhem pelo menos um presente ?
A) 1800
B) 1900
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 166
C) 2200
D) 3600
E) 4500
Soluc¸a˜o: Suponhamos que os presentes sejam A, B, C, D, E e F . Agora, vamos
considerar o seguinte caso: Suponhamos que a primeira crianc¸a receba dois presentes
(AB) e que cada crianc¸a restante receba apenas um presente. Assim, temos
AB,−,−,−,−︸ ︷︷ ︸
4 elementos
Logo, o total de permutac¸o˜es e´ P4 = 4! = 24. Ale´m disso, sabemos que o proce-
dimento acima, pode ser feito de C6,2 =
6!
2! · 4! = 15 maneiras. Ou seja, quando
a primeira crianc¸a recebe dois presentes e as demais apenas um presente, temos
um total de 24 · 15 = 360 possibilidades de distribuic¸a˜o. Mas, existem 5 crianc¸as.
Portanto, existem 5 · 360 = 1800 formas de distribuic¸a˜o. Assim, a resposta e´ a
alternativa A.
43. A probabilidade de fechamento de cada rele´ do circuitoa seguir e´ igual a p, onde
0 < p < 1. Se todos os rele´s funcionarem independentemente. Enta˜o, a probabili-
dade de que haja corrente entre os pontos X e Y e´ igual a:
A) p3 − p4
B) 3p2 + 2p5
C) 2p4 − 2p5 + p6
D) 4p2 − 4p3 + p4
Soluc¸a˜o: Seja W o evento que consiste em existir corrente entre os pontos X e Y .
Notamos que para circular corrente entre X e Y e´ necessa´rio que pelo menos um
rele´ entre A e C esteja fechado e pelo menos um rele´ entre B e D esteja fechado.
Portanto, obtemos X = (A ∪ C) ∩ (B ∪D). Logo, resulta em
P (W ) = P ((A ∪ C) ∩ (B ∪D)) = P (A ∪ C) · P (B ∪D)
= (P (A) + P (C)− P (A ∩ C)) · (P (B) + P (D)− P (B ∩D))
= (p+ p− p2) · (p+ p− p2) = 4p2 − 4p3 + p4.
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 167
Ou seja, a resposta e´ a alternativa D.
44. (FURG - RS) O termo independente de x no desenvolvimento de
(
2
x2
+ x
)6
e´:
a) 4
b) 15
c) 30
d) 60
e) inexistente
Soluc¸a˜o: Primeiramente, sabemos que o termo geral desse binoˆmio e´ dado por
Tk+1 =
(
6
k
)
·
(
2
x2
)6−k
· (x)k =
(
6
k
)
· 26−k · x3k−12.
Para obter o termo independente de x, basta fazer 3k − 12 = 0. Assim, resulta em
k = 4. Finalmente, substituindo na fo´rmula do termo geral, temos
T5 =
(
6
4
)
· 22 = 60.
Logo, a resposta e´ a alternativa D.
45. (UFG - GO) O CPTEC/INPE (Centro de Previsa˜o de Tempo e Estudos Clima´ticos
do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais) faz uma previsa˜o de chuva em deter-
minada cidade, indicando em cada dia a probabilidade de ocorreˆncia de um volume
de chuva acima de 5 mm. A tabela a seguir mostra essas probabilidades para quatro
dias, na cidade de Goiaˆnia.
Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4
Probabilidade 30
100
80
100
40
100
25
100
Considere que a probabilidade de chover em determinado dia e´ independente da
ocorreˆncia ou na˜o de chuva nos demais dias apresentados na tabela acima e calcule
a probabilidade de na˜o chover acima de 5 mm em cada um dos quatro dias.
Soluc¸a˜o: Notamos que vale a igualdade P (A) + P (AC) = 1, onde AC e´ o comple-
mentar de A. Dessa forma, podemos construir a seguinte tabela
Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4
P (A) 30
100
80
100
40
100
25
100
P (AC) 70
100
20
100
60
100
75
100
Portanto, a resposta e´ P1 =
70
100
, P2 =
20
100
, P3 =
60
100
e P4 =
75
100
.
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 168
46. (Unimontes - MG) Um dado e´ lanc¸ado ao acaso. Qual e´ a probabilidade de que o
nu´mero da face superior seja um divisor de 6?
A)
1
2
B)
1
3
C)
2
3
D)
1
6
Soluc¸a˜o: Sabe-se que o espac¸o amostral desse problema e´ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Agora, considere A o evento que consiste em sair um nu´mero que seja divisor de 6.
Logo, temos A = {1, 2, 3, 6}. Portanto, resulta
P (A) =
N(A)
N(S)
=
4
6
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa C.
47. (Unimontes - MG) No desenvolvimento do binoˆmio
(
x+
1
x
)15
, o termo indepen-
dente de x
A) na˜o existe.
B) e´ 1.
C) e´ 5.
D) e´
1
5
Soluc¸a˜o: Inicialmente, notamos que o termo geral desse binoˆmio e´ fornecido por
Tk+1 =
(
15
k
)
· (x)15−k ·
(
1
x
)k
=
(
15
k
)
· x15−2k.
Para obter o termo independente de x, faremos 15 − 2k = 0. Assim, resulta em
k =
15
2
. Mas, k /∈ {0, 1, 2, · · · , 15}. Portanto, conclu´ımos que o termo independente
na˜o existe. Ou seja, a resposta e´ a alternativa A.
48. (Ufscar - SP) Num acampamento, esta˜o 14 jovens, sendo 6 paulistas, 4 cariocas
e 4 mineiros. Para fazer a limpeza do acampamento, sera´ formada uma equipe
com 2 paulistas, 1 carioca e 1 mineiro, escolhidos ao acaso. O nu´mero de maneiras
poss´ıveis para se formar essa equipe de limpeza e´:
a) 96
b) 182
c) 212
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 169
d) 240
e) 256
Soluc¸a˜o: Seja N a quantidade de maneiras poss´ıveis de formar essa equipe, sa-
bemos que existem 6 paulistas, 4 cariocas e 4 mineiros. Enta˜o, usando o princ´ıpio
fundamental da contagem, temos
N =
(
6
2
)
·
(
4
1
)
·
(
4
1
)
= 240.
Portanto, a resposta e´ a alternativa D.
49. O coeficiente de x6 no desenvolvimento do polinoˆmio P (x) = x · (x− 1)9 e´:
A) 105
B) 126
C) 204
D) 238
Soluc¸a˜o: Inicialmente, vamos obter o coeficiente do termo em x5 na expansa˜o do
binoˆmio (x− 1)9. Para isso, sabemos que o termo geral e´ dado por
Tk+1 =
(
9
k
)
· (x)9−k · (−1)k
Para obter o termo em x5, basta fazer 9 − k = 5, assim obtemos k = 4. Agora,
substituindo esse valor, obtemos 126x5. Ale´m disso, multiplicando por x, obtemos
126x6. Portanto, a resposta e´ a alternativa B.
50. Considere P o conjunto formado por todos os anagramas da palavra CLARO. Re-
tirando um anagrama ao acaso desse conjunto. Qual a probabilidade de ser retirado
um anagrama que tenha as vogais juntas ?
A) 12%
B) 19%
C) 30%
D) 40%
E) 48%
Soluc¸a˜o: Seja P o espac¸o amostral formado por todos os anagramas da palavra
CLARO. Sabemos que o total de anagramas e´ P5 = 5! = 120. Ou seja, N(P ) = 120.
Por outro lado, denotemos por X o evento formado por todos anagramas que te-
nham as vogais juntas. Observamos que o par AO funciona como se fosse somente
uma letra. Portanto, temos as duas configurac¸o˜es abaixo
AO,C, L,R︸ ︷︷ ︸
4 letras
e OA,C, L,R︸ ︷︷ ︸
4 letras
Em ambos os casos, temos P4 = 4! = 24. Ou seja, N(X) = 2 · 24 = 48. Logo, temos
P (X) =
N(X)
N(P )
=
48
120
=
2
5
= 0, 40.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa D.
CAPI´TULO 4. QUESTO˜ES RESOLVIDAS 170
51. Seja F o conjunto formado por todos os anagramas da palavra CADERNO. Esco-
lhendo um anagrama ao acaso. Qual a probabilidade desse anagrama comec¸ar com
a letra E e terminar com a letra R ?
A)
1
28
B)
1
30
C)
1
42
D)
1
56
Soluc¸a˜o: Seja F o espac¸o amostral formado por todos os anagramas da pala-
vra CADERNO. Sabemos que essa palavra teˆm 7 letras distintas. Assim, o total
de anagramas e´ P7 = 7!. Ou seja, N(F ) = 7!. Ale´m disso, seja X o evento formado
pelos anagramas que comec¸am com a letra E e termina com a letra R. Assim, temos
E,C,A,D,N,O︸ ︷︷ ︸
5 letras
, R
Permutando as cinco letras acima, temos P5 = 5!. Ou seja, N(X) = 5!. Logo, temos
P (X) =
N(X)
N(F )
=
5!
7 · 6 · 5! =
1
42
.
Ou seja, a resposta e´ a alternativa C.
52. (Unimontes - MG) De quantas maneiras podemos distribuir 6 livros entre 2 pessoas,
de modo que cada um receba pelo menos um livro?
A) 64.
B) 60.
C) 32.
D) 62.
Soluc¸a˜o: Primeiramente, denotemos os livros por A,B,C,D,E e F , e as duas
pessoas por X e Y . Agora, vamos construir a seguinte tabela
Pessoa X Pessoa Y Possibilidades
A B,C,D,E, F 6
A,B C,D,E, F 15
A,B,C D,E, F 20
A,B,C,D E, F 15
A,B,C,D,E F 6
Portanto, a quantidade de possibilidades e´ 6 + 15 + 20 + 15 + 6 = 62. Ou seja, a
reposta e´ a alternativa D.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] Meyer, Paul L. Probabilidade: Aplicac¸o˜es a` estat´ıstica. LTC, 2a edic¸a˜o. Rio de
Janeiro - RJ. 1982.
[2] Figueiredo, Luiz Manoel & Silva, Ma´rio de Olivero & Cunha, Marisa Ortegoza. Ma-
tema´tica Discreta, vol 1 e 2 . CEDERJ - UFPA, 2005.
[3] Morgado, Augusto Ce´sar de Oliveira & Carvalho, Joa˜o Bosco Pitombeira de & Car-
valho, Paulo Cezar Pinto & Fernandez, Pedro. Ana´lise Combinato´ria e Proba-
bilidade. SBM - Rio de Janeiro - RJ. 2004.
[4] Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matema´tica Elementar: Combinato´ria e
Probabilidade, vol.5 . Atual Editora, 7a edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, 2004.
[5] Neto, Costa & Cymbalista. Probabilidades. Editora Edgard Blucher, 2a edic¸a˜o,
Sa˜o Paulo, 2005.
171
	Prefácio
	Análise Combinatória
	Introdução
	Arranjos
	Permutação Simples
	Permutação com repetição
	Combinação Simples
	Atividades
	Exercícios Propostos
	Exercícios Complementares
	Respostas das Atividades
	Respostas dos ExercíciosPropostos
	Respostas dos Exercícios Complementares
	Binômio de Newton
	Introdução
	Triângulo de Pascal
	Termo Geral
	Polinômio de Leibniz
	Atividades
	Exercícios Propostos
	Exercícios Complementares
	Respostas das Atividades
	Respostas dos Exercícios Propostos
	Respostas dos Exercícios Complementares
	Probabilidade
	Introdução
	Probabilidade condicional
	Eventos Independentes
	Teorema de Bayes
	Distribuição Binomial
	Atividades
	Exercícios Propostos
	Exercícios Complementares
	Respostas das Atividades
	Respostas dos Exercícios Propostos
	Respostas dos Exercícios Complementares
	Questões Resolvidas
	Introdução
	Referências Bibliográficas