Os sólidos platônicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes

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Os sólidos platônicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes. A sua designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C.. A existência destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitetura e noutros objetos que construíram.
Existem apenas cinco sólidos platónicos, que são os seguintes:
Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos tempos diversos significados místicos. Por exemplo, Kepler sentia uma grande admiração e reverência por eles (Porquê apenas cinco?) e chegou mesmo a tentar explicar os movimentos planetários a partir deles. Além disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão da seguinte forma: 
Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidos platônicos pode ser obtida através do processo da sua construção, como Platão fez num seu texto incluído no diálogo Timeu.
Para a construção dos sólidos platônicos, por definição, apenas podemos utilizar polígonos regulares congruentes. Comecemos por considerar o triângulo eqüilátero, que é o polígono regular com menos lados. Quantos poliedros, cujas faces são apenas este polígono, conseguimos construir? Para responder a esta pergunta, centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros (basta considerar apenas um, pois os restantes são idênticos).
Com dois triângulos eqüiláteros, não se consegue constituir um vértice de um poliedro, pois um ângulo sólido tem que ser constituído pelo menos por três planos. Com três triângulos eqüiláteros é possível constituir um vértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro. Esta possibilidade prende-se com fato de a soma das amplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulos adiantes, no vértice, ser inferior a 360º, exatamente 180º.
Se considerarmos quatro triângulos eqüiláteros, cuja soma das amplitudes dos ângulos internos adiantes no vértice é de 240º, obtemos o octaedro. Considerando cinco desses triângulos num vértice, essa soma é de 300º, ainda inferior a 360º, e obtemos o icosaedro. Passando para seis triângulos eqüiláteros, chegamos a uma impossibilidade. A soma das amplitudes dos ângulos internos adiantes no vértice é, neste caso, 360º, o que não permite "fechar" o vértice, isto é, formar um ângulo sólido, pois os triângulos ficam todos sobre o mesmo plano (formando uma pavimentação do plano em torno do suposto vértice). A consideração de um número maior de triângulos eqüiláteros em torno de um vértice, obviamente já não possibilita a construção de um poliedro.
O pressuposto de construção que tem estado a ser utilizado é o de que a formação de um ângulo sólido no vértice de um poliedro só é possível se a soma das amplitudes dos ângulos internos dos polígonos adjacentes no vértice for inferior a 360º.
Considerando o quadrado, e o pressuposto atrás enunciado, chegamos à conclusão de que apenas conseguimos construir o cubo. Com pentágonos, apenas conseguimos construir o dodecaedro.
Com hexágonos não se consegue construir nenhum sólido platónico. Basta verificar que três hexágonos adjacente em torno de um ponto (supostamente um vértice) pavimentam o plano, pois a soma das amplitudes dos ângulos internos desses hexágonos é precisamente 360º, o que não permite formar um ângulo sólido. Um número maior de hexágonos, obviamente, que também não permite a construção de um sólido platônico. Analogamente, com polígonos com um número maior de lados isso também não é possível.
Enumeremos então os sólidos que acabamos de construir: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo e dodecaedro. São precisamente cinco, como se queria demonstrar.
Outra forma demonstrar a existência de apenas cinco sólidos platônicos é através da fórmula de Euler, considerando as restrições relativas aos vértices, arestas e faces inerentes aos sólidos platônicos.
Um pouco de História:
Grandes filósofos e matemáticos dedicaram a vida ao estudo da geometria. Enquanto a escola pitagórica, por exemplo, tinha como lema "Tudo são números" a escola de Platão (a Academia) tinha escrito sobre a porta, "Não entre aqui ninguém que não seja geômetra".
Platão foi o primeiro matemático a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. A eles se referiu no seu dialogo "Timeu" pelo que esses cinco     poliedros regulares passaram a ser designados por sólidos platônicos.
O conhecimento destes sólidos parece ter sido desencadeado num encontro com Arquitas que, em viagem à Cecília, no sul de Itália, encontraria Platão. Para este, o Universo era formado por um corpo e uma alma, ou inteligência. Na matéria havia porções limitadas por triângulos ou quadrados, formando-se elementos que diferiam entre si pela natureza da forma das suas superfícies periféricas.
I. Se fossem quadradas, teríamos
o cubo - elemento terra.
II. Se fossem triângulos eqüiláteros, teríamos
o tetraedro - o elemento fogo.
o octaedro - o elemento ar.
o icosaedro - o elemento água.
III. Se fossem pentágonos, teríamos
o dodecaedro -  simbolizava o Universo.
Embora chamados Platônicos, Proclus atribuiu a construção destes poliedros a Pitágoras, supondo-se que é também a ele que se deve o teorema: Há somente cinco poliedros regulares.
Hoje sabe-se que o teorema só é verdadeiro para os poliedros regulares convexos. Alguns séculos mais tarde, em 1597 Kepler, inspira-se nos poliedros regulares para estudar o movimento dos seis planetas até então conhecidos (Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vénus e Mercúrio) e publica a sua obra "The Cosmographic Mystery", onde utiliza um modelo do sistema solar composto por esferas concêntricas, separadas umas das outras por um cubo, um tetraedro, um dodecaedro, um octaedro e um icosaedro para explicar as distâncias relativas dos planetas ao sol.
É também Kepler, que vai descobrir o primeiro poliedro regular côncavo, que é o dodecaedro estrelado, de faces regulares que resulta do prolongamento das faces do dodecaedro.
No séc. XVIII, Louis Poinsot descobriu três novos poliedros regulares não convexos.
Há nove poliedros regulares e Cauchy provou que não existem mais.
Apresentação dos sólidos platônicos:
Poliedros (poli = muitos; hedros = faces) são sólidos delimitados por regiões planas (polígonos) que constituem as denominadas faces. Os segmentos de reta que limitam as faces designam-se por arestas e os pontos de encontro destas por vértices.
Um poliedro diz-se convexo quando os ângulos diedros formados por duas faces consecutivas forem menores que 180º.
Sólidos Platônicos são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares (polígonos com os lados e ângulos  todos iguais)  e que têm o mesmo número de faces que se encontram em cada vértice.
	Sólidos Platônicos
	 
	 
	
	 
	 
	tetraedro
	cubo
	octaedro
	icosaedro
	dodecaedro
Se considerarmos um qualquer sólido platônico e "unirmos" os pontos centrais de faces adjacentes, obtemos um novo sólido platônico. Estes dizem-se duais um do outro.
	Dualidade
	
	
	
	
	
	Dual do tetraedro
	Dual do cubo
	Dual do octaedro
	Dual do dodecaedro
	Dual do icosaedro
Será que todos os poliedros regulares são convexos?
Kepler descobriu dois poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos- o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado. Mais tarde, foi provado que existem apenas nove poliedros regulares, sendo cinco convexos (sólidos platônicos) e quatro não convexos (sólidos de Kepler-Poinsot).
	Poliedros de Kepler-Poinsot
	
	
	
	
	pequeno dodecaedro estrelado
	grande dodecaedro estrelado
	grande dodecaedro
	icosaedro estrelado
Planificações: 
Tetraedro:
É um poliedro regular com 4 faces sendo estas triângulos eqüiláteros, 4 vértices e 6 arestas. O Tetraedro pode formar-se a partir de um molde com quatro triângulos.
Hexaedro ou Cubo:
É um poliedro regular com 6 faces sendo estas quadrados, 8 vértices e 2 arestas. O cubo pode ser formado a partir de um molde com seis quadrados.
Octaedro:
É um poliedro regular com 8 faces sendo estas triângulos eqüiláteros, 6 vértices e 12 arestas.O octaedro pode ser formado a partir de um molde com oito triângulos eqüiláteros. 
Icosaedro:
É um poliedro regular com 20 faces que são triângulos eqüiláteros, 12 vértices e 30 arestas. O icosaedro pode ser formado a partir de um molde de vinte triângulos eqüiláteros.
Dodecaedro:
É um poliedro regular com 12 faces que são pentágonos, 20 vértices e 30 arestas. O dodecaedro pode formar-se a partir de um molde com vinte pentágonos.
Sólidos Platónicos
Na geometria e algumas antigas teorias físicas, um solido platônico é um poliedro convexo com:
. Todas as faces são polígonos congruentes
. O mesmo número de faces encontra-se em todos os vértices
Os cinco sólidos platônicos, são conhecidos desde a antiguidade clássica, e a prova que são os únicos poliedros regulares pode ser encontrada nos Elementos de Euclides.
Tabela
	Nome
	Imagem
	Faces
	Arestas
	Vértices
	Vértices
por face
	Encontros de faces
em cada vértice
	Configuração
vértices
	Grupo de Simetria
	tetraedro
	
	4
	6
	4
	3
	3
	3.3.3
	Td
	cubo (hexaedro)
	
	6
	12
	8
	4
	3
	4.4.4
	Oh
	octaedro
	
	8
	12
	6
	3
	4
	3.3.3.3
	Oh
	dodecaedro
	
	12
	30
	20
	5
	3
	5.5.5
	Ih
	icosaedro
	
	20
	30
	12
	3
	5
	3.3.3.3.3
	Ih
Resumo
Os alunos serão guiados a resolver alguns desafios mencionados ao longo do texto. Ao construir poliedros regulares, os alunos irão encontrar a fórmula de Euler, que quando aplicada a um dado poliedro regular convexo se conclui que esse poliedro terá de ser um dos cinco Sólidos Platônicos.
Discute-se o aparecimento de poliedros em estruturas moleculares da Biologia/Química. Finalmente introduz-se a noção de simetria e calcula-se o grupo das simetrias do tetraedro. Dado o uso de animações estas notas devem ser lidas usando a ligação via internet da página do encontro.
Conteúdo
1. Introdução
2. Construção dos Sólidos Platônicos e a fórmula de Euler
3. Classificação dos Poliedros regulares
4. Simetrias
5. Bibliografia
1 Introdução
Os poliedros são estudados desde a Grécia Antiga na escola de Pitágoras, 600 aC, embora haja evidencia de que os Povos Neolíticos que viveram na Escócia tinham esculpidos alguns destes sólidos 1000 anos antes. Alguns destes modelos, ver figura 1, encontram-se no Museu Ashmolean em Oxford, Reino Unido.
FIG 1: Modelos Neolíticos dos Sólidos Platônicos
Os poliedros ilustrados na figura 2 tiveram um papel crucial na Filosofia de Platão, que serão os nossos objetos de estudo.
FIG 2: Tetraedro     Cubo (Hexaedro)     Octaedro       Dodecaedro      Icosaedro
Na sua admiração e entusiasmo (porquê só cinco?) pela Geometria, Euclides e a Grécia Antiga, chamou a estes os Sólidos Platônicos associando-os aos átomos do universo. Da mesma forma que hoje nós acreditamos que toda a matéria é feita de combinações de átomos, também na Grécia Antiga se acreditava que a matéria era feita com os sólidos Platônicos.
Também se acreditava que toda a matéria também tinha o lado místico. Assim, no diálogo Timaios, Platão associou o tetraedro ao elemento fogo, o cubo à terra, o icosaedro à água e finalmente o dodecaedro ao quinto elemento (o universo).
                    Pitágoras (569? aC—475 aC)           Platão (427 aC—347 aC)          Euclides (325 aC—265 aC)
O cubo, tetraedro e o dodecaedro tinham sido considerados pelos pitagóricos, e os restantes por Theætetus – amigo de Platão -- que pensava que o universo estava envolvido por um dodecaedro gigante.
Os pitagóricos sabiam que existiam apenas cinco regular sólidos regulares convexos e que cada um podia ser rigorosamente circunscrito por uma esfera. Euclides descreve estes sólidos no seu livro Elementos, parte XIII, da proposição 13 à proposição 17, onde se encontra o argumento heurístico de que estes são os únicos sólidos regulares. O matemático Euler fez a demonstração deste resultado no séc. XVIII.
Kepler no início do séc. XVII, sugeriu associar os Sólidos Platônico aos planetas conhecidos nessa altura: Mercúrio, Vénus, Marte, Júpiter e Saturno.
Euler (1707---1783                   Kepler (1571---1630)
2 Construção dos Sólidos Platônicos e a formula de Euler
Para resolver os seguintes desafios, será necessário fazer vários recortes dos seguintes polígonos:
          FIG 3:   Triângulo Eqüilátero     Quadrado     Pentágono Regular    Hexágono Regular        
Desafio 1:
a) Cole três triângulos com um vértice comum. A partir daqui construa um sólido com o mesmo tipo de vértice. Qual foi o sólido que obteve?
b) Repita o processo descrito em a) com quatro triângulos à volta do mesmo vértice, depois com cinco, seis, etc. O que está obtêm?
Desafio 2:
ala) Cole três quadrados à volta do mesmo vértice. A partir daqui construa um sólido com o mesmo tipo de vértice. O que obteve?
b) Repita este processo com quatro, cinco,... quadrados à volta do mesmo vértice. Qual é a conclusão?
Desafio 3:
a) Ligue três pentágonos à volta do mesmo vértice. A partir daqui construa um sólido com o mesmo tipo de vértice. O que obteve?
b) Repita este processo com quatro, cinco,... pentágonos à volta do mesmo vértice. Qual é a conclusão?
Desafio 4:
a) Cole três hexágonos à volta do mesmo vértice. A partir daqui construa um sólido com o mesmo tipo de vértice. O que obteve? Conseguiu construir um sólido?
Obtém-se assim os cinco Sólidos Platônico e facilmente se conclui a seguinte tabela (como exercício, use a planificação destes sólidos para preencher esta tabela).
	Propriedades básicas dos Sólidos Platônicos
	Sólido
	Faces
	Arestas que
concorrem em cada Face
	Vértices
	Arestas
 por Vértice
	Arestas
	Sólido Dual
	Tetraedro
	4
	3
	4
	3
	6
	Tetraedro
	Cubo
	6
	4
	8
	3
	12
	Octaedro
	Octaedro
	8
	3
	6
	4
	12
	Cubo
	Dodecaedro
	12
	5
	20
	3
	30
	Icosaedro
	Icosaedro
	20
	3
	12
	5
	30
	Dodecaedro
. Tetraedro (4 vértices, 6 arestas, 4 faces (triângulos eqüiláteros)
. Cubo ou hexaedro (8 vértices, 12 arestas, 6 faces (quadrados)
. Octaedro (6 vértices, 12 arestas, 8 faces (triângulos eqüiláteros)
. Dodecaedro (20 vértices, 30 arestas, 12 faces (pentágonos)
. Icosaedro (12 vértices, 30 arestas, 20 faces (triângulos eqüiláteros).
	Sólidos Platónicos (clique em cima de cada imagem e faça rotações)
	 
	 
	 
	 
	 
	Tetraedro
	Cubo
	Octaedro
	Icosaedro
	Dodecaedro
Formula de Euler (fato elementar da moderna topologia algébrica – ramo da Matemática): Seja P um poliedro convexo (não necessariamente regular), então temos:
onde F, A e V, denotam o número total de faces, arestas e vértices (respectivamente) do poliedro. Notamos que a primeira prova desta fórmula foi feita por Cauchy.
Desafio 5:
Verifique a validade da fórmula de Euler em cada um dos sólidos Platônicos!
Ligando os centros de todos as faces adjacentes de cada Sólido Platônico obtém-se assim um outro sólido (mais pequeno) que é novamente um Sólido Platônico. Designa-se por sólido dual a este sólido que se obteve a partir do inicial.
FIG 4:  O dual do Cubo é o Octaedro
Como exemplo, temos que o Octaedro é o sólido dual do Cubo, como ilustra a figura 4.
Como o número de faces (vértices) do sólido dual é por construção igual ao número de vértices (faces) do sólido original, podemos então concluir a validade da última coluna da Tabela preenchida em cima.
	Dualidade (clique em cima de cada imagem para fazer rotações)
	
	
	
	
	
	Dual do tetraedro
	Dual do cubo
	Dual do octaedro
	Dual do dodecaedro
	Dual do icosaedro
Nota 1
Os Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são, grosso modo, poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos e são todos obtidos por operações sobre os Sólidos Platônicos. A título de exemplo, um deles designa-se por Icosaedro truncado e que é usada na moderna bola de futebol: 32 faces, 12 pentágonos, 20 hexágonos:
FIG 7: Construção da bola de futebol a partir do Icosaedro
Obtém-se assim a (moderna) bola de futebol:
FIG 8: Icosaedro truncado(ou bola de futebol ou ainda a molécula do futeboleno C60)
O Icosaedro truncado reencontrou novas e interessantes aplicações com a descoberta da molécula do futeboleno C60 (buckminsterfullereno ou buckyball) que foi comunicada num artigo da revista Nature, em 1985, por H. W. Kroto, J. R. Heath, S. C. O'Brien, R. F. Curl e R. E. Smalley.  O primeiro e os dois últimos foram galardoados com o prêmio Nobel da Química de 1996. Esta descoberta marca o início de uma nova área do conhecimento: a nanotecnologia. A molécula tem uma estrutura semelhante a uma bola de futebol. É constituída por 60 átomos de carbono, que formam 12 pentágonos e 20 hexágonos. Faz-se notar que se descobriu recentemente que muitos vírus, p.ex. o vírus da herpes, têm a forma de icosaedro!
Aliás, a ligação entre a estrutura geométrica dos átomos e alguns sólidos já tinha sido referida pelo próprio Platão, por exemplo: o sal mineral, i.e. cloreto de sódio NaSl, aparece na forma de cristais cúbicos; floreto de cálcio CaF2 na forma de octaedro e a pirite, i.e. Disulfito de Ferro FeS2 na forma de dodecaedros. 
Os duais dos Sólidos de Arquimedes são designados por Sólidos de Catalan e a fórmula de Euler é válida para os poliedros convexos!
Nota 2
Uma vez que todos os poliedros convexos estão classificados é natural perguntar se haverá poliedros convexos que não sejam regulares?
Kepler, em 1619, descobriu dois poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos: o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado.
Dois séculos mais tarde provar-se-ia que existem apenas nove poliedros regulares: os cinco sólidos platônicos e quatro poliedros regulares não convexos - os Poliedros de Kepler-Poinsot. 
Um Poliedro de Kepler-Poinsot é um poliedro regular não convexo. Todas as suas faces são polígonos regulares iguais. E em todos os vértices encontram-se o mesmo número de faces (comparar com Sólidos Platônicos).
Existem quatro Poliedros de Kepler-Poinsot:
	Poliedro de Kepler-Poinsot
	Imagem
(clique em cima de cada
imagem para fazer rotações)
	Faces
	Vértices
	Arestas
	Pequeno dodecaedro estrelado
	
	12 Pentagramas regulares
	12
	30
	Grande dodecaedro estrelado
	
	12 Pentagramas regulares
	20
	30
	Grande dodecaedro
	
	12 Pentágonos regulares
	12
	30
	Icosaedro estrelado
	
	20 Triângulos eqüiláteros
	12
	30
Mitologia Grega: Os quatro elementos 
Um filósofo grego chamado Empédocles acreditava que toda matéria fosse composta de quatro elementos: terra, ar, fogo e água. Ele também considerava que esses elementos eram essências espirituais e os associava a quatro deusas e deuses gregos. Empédocles viveu na Sicília e estava tão longe do centro da geografia grega antiga quanto da corrente principal da civilização grega. Encontrar um elemento da natureza na arte grega é a exceção, não a regra.
A arte grega antiga
Pense sobre as representações dos elementos da natureza na arte e você provavelmente pensará nas pinturas. A arte grega era principalmente a arquitetura e a escultura. Eles não produziam pinturas como pensamos hoje ou coisas que penduraríamos na parede. Os artistas gregos pintavam murais, mas, na maior parte das vezes, decoravam cerâmicas, principalmente os vasos. Na maioria da vezes, os personagens eram pessoas com um animal qualquer na escultura. Os gregos são famosos por suas formas de arquitetura.
Os quatro elementos
Os quatro elementos básicos -- terra, ar, fogo e água -- foram importantes na Babilônia e nas civilizações gregas clássicas. Os gregos passaram esses valores através da Idade Média até o Renascimento na Europa e influenciaram o pensamento ocidental. Na Grécia, os elementos naturais foram estudados mais como parte da ciência do que da arte. Aristóteles descreveu os elementos e observou que as estrelas eram provavelmente compostas de algo diferente. O éter foi identificado como o quinto elemento.
Mais ciência do que arte
O papel dos quatro elementos no pensamento ocidental retornou da Grécia através da Arábia. Um alquimista era em parte cientista e em parte filósofo. Geralmente, os alquimistas são considerados pessoas que acreditavam que outros elementos poderiam ser transformados em ouro. Um alquimista árabe adicionou mercúrio e enxofre a outros elementos. Isso, combinado com o pensamento aristotélico, trouxe uma classificação dos elementos, sendo identificados os que se assemelhavam à tabela periódica moderna. Embora a ciência e a arte tenham se desenvolvido em conjunto durante o Renascimento, isso não era uma característica da Grécia antiga.
Nike: A exceção
A estátua de Nike de Samotrácia, também chamada Vitória Alada, é uma famosa obra de arte da Grécia que mostra a influência de um elemento. A deusa encontra-se na proa de um navio e envolta em vestes que são claramente sopradas pelo vento. Provavelmente, a estátua foi esculpida por um artista de Rhodes e comemorava a vitória triunfal sobre Antíoco, o Grande, por Eudamos de Rhodes em 190 antes de cristo.
Como se caracterizar de Deus grego?
· Vai precisar de:
Conjunto de arco e flecha
· Ramo de oliveira
· Roupa de cama lisa marfim, tamanho queen size
· Fita dourada
· Tecido transparente dourado
· Alfinetes de segurança
· Pulseiras finas douradas
· Sandálias gladiador em estilo romano
Dobre o lençol marfim ao meio na horizontal. Certifique-se de usar um tecido grosso o suficiente para que não fique transparente.
1. 
Enrole o lençol em torno de sua cintura uma ou duas vezes, dependendo da sua medida. Para um traje de Ártemis, a parte inferior do lençol deve bater em seus joelhos.
2. 
Prenda a saia da toga com um alfinete de segurança onde as duas extremidades se encontram.
3. 
Drapeie o restante do lençol sobre o busto e em um dos ombros. Esse é o tecido que não foi usado para criar a saia.
4. 
Utilize um alfinete de segurança para prender sua toga na parte de trás da saia. Essa área é composta de tecido drapeado que foi puxado acima do seu ombro para criar a frente da toga. Nessa etapa, será feito apenas um acabamento da parte de cima, puxando o tecido sobre seu ombro e prendendo-o na parte de trás de sua saia.
5. 
Cubra sua toga marfim com um tecido dourado transparente da mesma forma. Prenda ambos em seu ombro, amarrando-os firmemente com uma fita dourada. Adicione um toque régio ao traje de Ártemis envolvendo uma fita dourada em torno de sua cintura, como um cinto. Isso também irá cobrir os alfinetes de segurança.
6. 
Corte um ramo de oliveira, verdadeiro ou falso, e coloque-o em torno de sua cabeça, como uma tiara. Se necessário, fixe-o no lugar com grampos.
7. 
Termine sua fantasia acrescentando acessórios como sandálias gladiador no estilo romano, pulseiras finas e douradas em seus pulsos e um conjunto de arco e flecha sobre seu ombro.
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