Francielli_Aula_5_SCDM_Estudo_Sinais_1_Ordem_Critérios_Qualidade

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Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
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Análise da resposta transitória: 
Estudo de Sinais de 1° Ordem e seus 
Critérios de Qualidade
Resposta Transitória
• No estudo de sistemas dinâmicos e controle, a análise da resposta transitória 
desempenha um papel fundamental na compreensão do comportamento de um 
sistema diante de perturbações ou mudanças em sua entrada. 
• A resposta transitória é a fase inicial da resposta de um sistema antes de atingir o 
regime permanente, sendo influenciada diretamente pelos parâmetros do sistema e 
pelo tipo de entrada aplicada.
• Os sistemas de primeira ordem representam a classe mais simples de sistemas 
dinâmicos, caracterizados por uma equação diferencial linear de primeira ordem. 
• Esses sistemas são amplamente utilizados na modelagem de processos físicos, como 
circuitos elétricos de RC, sistemas térmicos e hidráulicos. 
2Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
• Um sistema de primeira ordem pode ser descrito genericamente pela função de 
transferência:
• onde K é o ganho do sistema e τ (constante de tempo) determina a velocidade da 
resposta transitória. 
• Quanto maior for τ, mais lenta será a resposta do sistema.
• A qualidade da resposta transitória pode ser analisada por meio de critérios como 
tempo de subida, tempo de acomodação, tempo de pico e erro em regime 
permanente. 
• Esses critérios são essenciais para avaliar o desempenho de um sistema de controle e 
garantir que ele atenda aos requisitos de projeto.
3Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Resposta Transitória
Exemplos de Aplicações 
1. Circuitos RC em Eletrônica Industrial:
– Na indústria eletrônica, circuitos resistor-capacitor (RC) são amplamente utilizados para filtragem de 
sinais e condicionamento de tensão. Um exemplo clássico é o filtro passa-baixa, que pode ser 
modelado como um sistema de primeira ordem.
– Quando uma tensão de entrada é aplicada repentinamente, a resposta transitória do capacitor é 
governada pelo tempo de carga τ=RC.
– O tempo de resposta deve ser otimizado para garantir que o sinal filtrado não sofra atrasos 
excessivos ou perda de informações essenciais.
2. Sistemas de Controle de Temperatura em Processos Industriais:
– Em sistemas térmicos industriais, como fornos elétricos ou máquinas de extrusão plástica, o 
controle da temperatura segue a dinâmica de sistemas de primeira ordem.
– O tempo necessário para um forno atingir a temperatura desejada após o acionamento do 
aquecimento depende da constante térmica do sistema.
– Se a resposta transitória for muito lenta, o processo pode se tornar ineficiente. Se for muito rápida, 
pode causar oscilações e instabilidade térmica.
4Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Exemplos de Aplicações 
3. Controle de Tensão em Fontes Chaveadas (Power Supply)
– Fontes de alimentação reguladas, utilizadas em sistemas industriais, devem fornecer uma tensão estável 
independentemente das variações na carga.
– Ao ligar a fonte, a tensão de saída não atinge imediatamente seu valor nominal; ela segue um comportamento 
transitório modelado por um sistema de primeira ordem.
– Critérios de qualidade, como tempo de subida e tempo de acomodação, são avaliados para garantir que a tensão 
estabilize rapidamente sem ultrapassar limites de segurança.
4. Controle de Velocidade em Motores DC
– Motores elétricos de corrente contínua (DC), utilizados em esteiras transportadoras e máquinas CNC, apresentam 
uma resposta transitória ao receberem um sinal de controle.
– A velocidade do motor não atinge instantaneamente o valor desejado ao ser acionado; há um tempo de resposta 
determinado pelo circuito de acionamento.
– A constante de tempo τ do sistema deve ser ajustada para evitar respostas lentas ou oscilações indesejadas.
5. Sistemas de Iluminação Inteligente
– No setor de automação predial e industrial, sistemas de iluminação inteligente utilizam circuitos eletrônicos para 
controlar a transição entre diferentes níveis de luminosidade.
– Quando um dimmer ajusta a intensidade de uma lâmpada LED, a resposta da corrente elétrica segue um 
comportamento transitório de primeira ordem.
5Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Resposta Transitória
• Uma vez determinado o modelo matemático via função de transferência, podemos 
então analisar o desempenho do sistema a partir de sua resposta.
• Os sinais típicos para se analisar a resposta são as seguintes funções:
– degrau, rampa, senoide.
• Resposta temporal: é a resposta de um sistema de controle e é constituída por duas 
partes: resposta transitória e resposta estacionária.
– Resposta Transitória: é a resposta que vai do estado inicial ao estado final.
– Resposta Estacionária: é o comportamento do sinal de saída do sistema à medida 
que t tende ao infinito.
• Assim, a resposta c(t) do sistema pode ser descrita como:
• c(t) = ctr (t) + css(t),
– sendo = ctr (t) a resposta transitória e css(t) a resposta estacionária.
• Cristiano, Curitiba
6Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
• Estabilidade Absoluta: em projetos de sistemas de controle, a estabilidade é o objetivo principal. 
– Caso, o projeto não consiga obter a estabilidade absoluta, o sistema será instável.
• O erro de regime estacionário pode ser observado quando a resposta em regime apresenta um erro em relação 
ao sinal de entrada.
• Será analisado a resposta de sistemas de primeira, segunda ordem e ordem superior.
7Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Resposta Transitória
Sistemas de Primeira Ordem
• Considere o circuito ilustrado a seguir:
• Fisicamente, o diagrama de blocos ilustrado acima representa um circuito RC, um 
sistema térmico, ou algo semelhante.
• A relação entrada e saída pode ser descrita como:
8Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
1. Resposta ao Degrau Unitário
9Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Sistemas de Primeira Ordem
• Analisando-se (4) podemos observar que em t = 0,
– c(0) = 0. Por outro lado para t →∞, c(t) = 1.
• Em t = T , temos:
– c(t) = 1 − e−1 = 0, 632.
• Note que quanto menor a constante de tempo T , mais rapidamente o sistema 
responde.
• A curva exponencial da resposta possui uma inclinação da linha tangente em t 
= 0 de 1/T , pois,
10Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Sistemas de Primeira Ordem
Resposta de um Sistema de Primeira Ordem
11Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
• A equação: 
• c(t) = cf(t) + cn(t) = 1 – e-at
É representada graficamente 
na figura ao lado.
12Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Sistemas de Primeira Ordem
• Considerando a função de transferência:
• Temos o seguinte mapeamento de polos e zeros. 
13Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Resposta de um Sistema de Primeira Ordem
Polos, Zeros e a Resposta do Sistema
• A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a 
resposta natural.
• Embora muitas técnicas, como a solução de uma equação diferencial ou a aplicação da 
transformada inversa de Laplace, permitam que calculemos essa resposta de saída, essas 
técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo. 
• A produtividade é auxiliada por técnicas de análise e projeto que fornecem resultados em 
um tempo mínimo. 
• Se a técnica for tão rápida que sentimos que deduzimos os resultados desejados por 
inspeção, algumas vezes utilizamos o atributo qualitativo para descrever o método. 
• A utilização dos polos e zeros e de sua relação com a resposta no domínio do tempo de um 
sistema é uma técnica deste tipo. 
• O aprendizado dessa relação nos dá uma “visão” qualitativa dos problemas. 
• O conceito de polos e zeros, fundamental para análise e projeto de sistemas de controle, 
simplifica o cálculo da resposta de um sistema.
14Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Polos de uma Função de Transferência
• Os polos de uma função de transferência são os valores da 
variável da transformada de Laplace, s, que fazem com que a 
função de transferência se torne infinita, ou quaisquer raízes do 
denominador da função de transferênciaque são comuns às 
raízes do numerador.
15Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Zeros de uma Função de Transferência
• Os zeros de uma função de transferência são os valores da 
variável da transformada de Laplace, s, que fazem com que a 
função de transferência se torne zero, ou quaisquer raízes do 
numerador da função de transferência que são comuns às 
raízes do denominador.
16Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Polos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem: 
um Exemplo
• Para a função de transferência abaixo, ache os polos e zeros, trace o diagrama e encontre 
c(t).
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• Resolução:
• Existe um polo em s = –5 e um zero em s = – 2. Esses valores são representados graficamente no 
plano s complexo na figura abaixo, utilizando-se um “×” para o polo e um para “o” zero. 
• Para mostrar as propriedades dos polos e dos zeros, vamos determinar a resposta ao degrau unitário 
(1/s) do sistema. 
• Multiplicando a função de transferência acima por uma função degrau (1/s) resulta :
Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
• Utilizando o método dos resíduos:
18Sistemas de Controle Clássico
• Assim:
• A partir do desenvolvimento resumido na 
figura ao lado, tiramos as seguintes conclusões:
• Um polo da função de entrada gera a forma 
da resposta forçada (isto é, o polo na origem 
gerou uma função degrau na saída).
• Um polo da função de transferência gera a 
forma da resposta natural (isto é, o polo em –
5 gerou e–5t).
• Um polo no eixo real gera uma resposta 
exponencial da forma e–αt, em que – α é a 
posição do polo no eixo real. Assim, quanto 
mais à esquerda um polo estiver no eixo real 
negativo, mais rápido a resposta transitória 
exponencial decairá para zero (novamente, o 
polo em –5 gerou e–5t.
• Os zeros e os polos geram as amplitudes para 
ambas as respostas, forçada e natural, isso 
pode ser observado a partir dos cálculos de A 
e B. 19Sistemas de Controle Clássico
• Da função de transferência do sistema de primeira ordem podemos tirar outras conclusões, então, 
considere novamente a função de transferência de um sistema de primeira ordem:
• O inverso da constante de tempo é homogêneo a 1/segundos, ou seja, a frequência. A função de 
transferência do sistema de primeira ordem também pode ser escrito como: 
• Assim, podemos chamar o parâmetro a de frequência exponencial.
• A constante de tempo também pode ser obtida a partir dos pólos.
• Como o pólo da função de transferência é −a, podemos dizer que o pólo fica localizado no inverso 
da constante de tempo.
• Quanto mais longe do eixo imaginário ele se situe, mais rápida será a resposta transitória.
20Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Resposta de um Sistema de Primeira Ordem
• Vamos examinar o significado do parâmetro a, o único parâmetro 
necessário para descrever a resposta transitória. Quando t = 1/a,
• e-at|t=1/a = e-1 = 0,37
• c(t)| t=1/a = 1 - e-at |t=1/a = 1 -0,37 = 0,63
• Utilizamos agora as equações para definir três especificações de 
desempenho da resposta transitória.
21Sistemas de Controle Clássico
Sistemas de Primeira Ordem
Constante de Tempo
• Chamamos 1/a de constante de tempo 
da resposta. 
• A partir da equação e-at|t=1/a = e-1 = 0,37 
a constante de tempo pode ser descrita 
como o tempo para e–at decair para 37% 
de seu valor inicial. 
• Alternativamente, a partir da equação 
c(t)| t=1/a = 1 - e-at |t=1/a = 1 -0,37 = 
0,63
• A constante de tempo é o tempo 
necessário para a resposta ao degrau 
atingir 63% de seu valor final;
22Sistemas de Controle Clássico
• O inverso da constante de tempo tem a unidade (1/segundos), ou frequência. 
• Assim, podemos chamar o parâmetro a de frequência exponencial. 
• Uma vez que a derivada de e–at é –a quando t = 0, a é a taxa inicial de variação da 
exponencial em t = 0. 
• A constante de tempo pode ser considerada uma especificação da resposta transitória para 
um sistema de primeira ordem, uma vez que ela está relacionada à velocidade com a qual 
o sistema responde a uma entrada em degrau.
• A constante de tempo também pode ser calculada a partir do diagrama do polo;
23Sistemas de Controle Clássico
Constante de Tempo
Constante de Tempo
• Uma vez que o polo da função de 
transferência está em –a, podemos 
dizer que o polo está localizado no 
inverso da constante de tempo, e 
quanto mais afastado o polo estiver do 
eixo imaginário, mais rápida será a 
resposta transitória.
• Vamos considerar outras especificações 
da resposta transitória, como o tempo 
de subida, Tr, e o tempo de 
acomodação, Ts, como mostrado na ao 
lado.
24Sistemas de Controle Clássico
Tempo de Subida, Tr
25Sistemas de Controle Clássico
Tempo de Acomodação, Ts
26Sistemas de Controle Clássico
Resposta a Entrada Rampa para Sistemas de Primeira Ordem
• A transformada de Laplace para uma entrada rampa é dada da seguinte forma:
• Então a saída de um sistema de primeira ordem é:
• Expandindo C(s) temos:
• Aplicando-se a transformada inversa 
de Laplace em temos: c(t) = t − T + te− t/T
• Então, o sinal de erro é: 
• e(t) = r (t) − c(t),
• e(t) = T (1 − e− t/T).
27Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Resposta de Sistemas de Primeira Ordem a uma Entrada Impulso Unitária
• Para uma entrada impulso unitária (s) = 1 a um sistema de primeira ordem, a 
resposta obtida é:
• Aplicando a transformada inversa de Laplace tem-se:
28Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Exercício 1
• Obtenha a resposta de saída, c(t), para cada um dos sistemas mostrados abaixo. Além 
disso, obtenha a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação para 
cada caso.
29Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
30Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Exercício 1
• Obtenha a resposta de saída, c(t), para cada um dos sistemas mostrados abaixo. Além 
disso, obtenha a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de acomodação para 
cada caso.
• Resposta:
a) Tc = 0,2 s
Tr = 0,44 s
Ts = 0,8 s
b) Tc = 0,05 s
Tr = 0,11 s
Ts = 0,2 s
31Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
• Obtenha a resposta de saída, c(t), para G(s) abaixo. Além disso, 
obtenha a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de 
acomodação para cada caso.
Exercício 2
32Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Exercício 2 (resolvido)
33Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Desafio Remunerado
• Obtenha a resposta de saída, c(t), para G(s) abaixo considerando a resposta ao degrau 
unitário. Além disso, obtenha a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de 
acomodação para cada caso. Traga os gráficos (excel/octave) e trace uma comparação 
entre os dois sinais.
A) B) 
34Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
• Sistema 1 G(s) = 10 / (s+10): Responde rapidamente e atinge o valor final de 10 em 0,4 s.
• Sistema 2 G(s) = 7 / (s+3): Tem uma resposta mais lenta, atingindo o valor final de 7 em 1,33 s.
• Ambos seguem a característica típica dos sistemas de primeira ordem, aproximando-se 
assintoticamente do valor final. 
35Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno
Busca Ativa
• Ler capítulo 4, pg 109 a 142:
• OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 
5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. E-book. 
Disponível em: 
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicaca
o/2376
• https://app.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9
788521638285/epubcfi/6/26%5B%3Bvnd.vst.idref%
3Dchapter05%5D!/4/56/11:190%5B%20si%2Cnal%5
D
36Sistemas de Controle Dinâmico e Moderno