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06/04/2025 20:33 Vetores: soma, subtração e decomposição - Toda Matéria
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Vetores: soma, subtração e decomposição
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
Vetores são setas que têm como características a direção, o módulo e o sentido. Na Física,
além dessas características, os vetores têm nomes. Isso porque eles representam grandezas
(força, aceleração, por exemplo). Se estivermos falando sobre o vetor aceleração, uma seta
(vetor) estará em cima da letra a.
Direção horizontal, módulo e sentido (da esquerda para a direita) do vetor aceleração
Soma de Vetores
A adição de vetores pode ser feita através de duas regras, seguindo os seguintes passos:
Regra do Paralelogramo
1.º Junte as origens dos vetores.
2.º Trace uma linha paralela a cada um dos vetores, formando um paralelogramo.
3.º Some a diagonal do paralelogramo.
Importa referir que nesta regra podemos somar apenas 2 vetores de cada vez. Para somar três
ou mais vetores, fazemos a soma de e, a resultante, somamos ao terceiro vetor
, e assim por diante.
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Módulo do Vetor Soma
O valor, módulo ou intensidade do vetor soma é o número obtido utilizando a lei dos cossenos.
Sendo r, a e b os módulos dos vetores, , e , r é dado por:
Onde é o ângulo formado entre os vetores e .
Regra da Poligonal
1.º Junte os vetores, um pela origem, outro pela extremidade (ponta). Faça assim
sucessivamente, conforme o número de vetores que precisa somar.
2.º Trace uma linha perpendicular entre a origem do 1.º vetor e a extremidade do último vetor.
3.º Some a linha perpendicular.
Importa referir que nesta regra podemos somar vários vetores por vez.
Vale a propriedade comutativa da adição, por isso, a ordem em que se somam os vetores, não
altera o resultado.
Caso a linha poligonal formada pelos vetores for fechada, o vetor resultante será nulo.
Subtração de Vetores
A operação de subtração de vetores pode ser feita pelas mesmas regras da adição.
Regra do Paralelogramo
1.º Faça linhas paralelas a cada um dos vetores, formando um paralelogramo.
2.º De seguida, faça o vetor resultante, o vetor que liga a extremidade do segundo para o
primeiro vetor.
3.º Faça a subtração, considerando que -B é o vetor oposto de B.
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Ao posicionar os dois vetores, com mesma origem e conservando as direções e sentidos, o
vetor resultante é o vetor que liga o �nal do segundo vetor na subtração (subtraendo), até o
�nal do primeiro (minuendo).
Módulo do Vetor Subtração
O valor, módulo ou intensidade do vetor subtração é o número obtido utilizando a lei dos
cossenos.
Sendo r, a e b os módulos dos vetores , e , r é dado por
Onde é o ângulo formado entre os vetores e .
Regra da Poligonal
1.º Junte os vetores, um pela origem, outro pela extremidade (ponta). Faça assim
sucessivamente, conforme o número de vetores que precisa somar.
2.º Faça uma linha perpendicular entre a origem do 1.º vetor e a extremidade do último vetor.
3.º Faça a subtração da linha perpendicular, considerando que -B é o vetor oposto de B.
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Decomposição de Vetores
Na decomposição vetorial, através de um único vetor podemos encontrar as componentes em
dois eixos. Esses componentes são a soma de dois vetores que resultam no vetor inicial.
A regra do paralelogramo também pode ser usada nessa operação:
1.º Trace dois eixos perpendiculares entre si com origem no vetor existente.
2.º Trace uma linha paralela a cada um dos vetores, formando um paralelogramo.
3.º Some as componentes e e veri�que que o seu resultado é igual ao do vetor que
havia inicialmente.
Neste caso, o módulo do vetor é obtido pelo teorema de Pitágoras.
Saiba mais:
Vetores
Força
Aceleração
Grandezas Vetoriais
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Exercícios
Exercício 1
(PUC-RJ) Os ponteiros de hora e minuto de um relógio suíço têm, respectivamente, 1 cm e 2
cm. Supondo que cada ponteiro do relógio é um vetor que sai do centro do relógio e aponta na
direção dos números na extremidade do relógio, determine o vetor resultante da soma dos
dois vetores correspondentes aos ponteiros de hora e minuto quando o relógio marca 6 horas.
a) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.
b) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.
c) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.
d) O vetor tem módulo 2 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.
e) O vetor tem módulo 1,5 cm e aponta na direção do número 6 do relógio.
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Exercício 2
(UFAL-AL) A localização de um lago, em relação a uma caverna pré-histórica, exigia que se
caminhasse 200 m numa certa direção e, a seguir, 480 m numa direção perpendicular à
primeira. A distância em linha reta, da caverna ao lago era, em metros,
a) O vetor tem módulo 1 cm e aponta na direção do número 12 do relógio.
Resolução
Ilustrando a situação
Adotando para cima como sentido positivo, o ponteiro dos minutos �ca positivo e o das
horas negativo. Somando os vetores:
2 + (-1) = 1 cm
Direção vertical, sentido para cima e módulo igual a 1 cm.
Vetor resultante
RespostaResposta
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a) 680
b) 600
c) 540
d) 520
e) 500
Exercício 3
(UDESC) Um "calouro" do Curso de Física recebeu como tarefa medir o deslocamento de uma
formiga que se movimenta em uma parede plana e vertical. A formiga realiza três
deslocamentos sucessivos:
1) um deslocamento de 20 cm na direção vertical, parede abaixo;
2) um deslocamento de 30 cm na direção horizontal, para a direita;
3) um deslocamento de 60 cm na direção vertical, parede acima.
No �nal dos três deslocamentos, podemos a�rmar que o deslocamento resultante da formiga
tem módulo igual a:
d) 520
Resolução
Representação esquemática
A distância entre a caverna e o lago está representada pelo vetor vermelho e o módulo é
obtido pelo teorema de Pitágoras.
Portando, a distância entre a caverna e o lago é de 520 metros.
RespostaResposta
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a) 110 cm
b) 50 cm
c) 160 cm
d) 10 cm
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b) 50 cm
Representação esquemática dos movimentos da formiga.
Utilizando a regra da poligonal, o vetor representado em vermelho é o vetor resultante.
Para o cálculo do módulo, percebemos que o vetor resultante, é idêntico ao vetor que
compõe o seguinte triângulo retângulo com os catetos azuis:
RespostaResposta
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Pratique com exercícios sobre vetores.
Para determinar o módulo, aplicamos o teorema de Pitágoras.
Portanto, concluímos que o deslocamento resultante da formiga foi de 50 cm.
Como citar?
ASTH, Rafael. Vetores: soma, subtração e decomposição. Toda Matéria, [s.d.].Disponível em:
https://www.todamateria.com.br/vetores-fisica-matematica/. Acesso em:
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística.
Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
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