desidade

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Tópico 2 Estática dos fluidos Bloco 1 1. Preliminares 2. Massa específica A Estática dos fluidos ou "Hidrostática" é a par- ou densidade absoluta (u) te da Mecânica que estuda os fluidos em equilíbrio. Fixadas a temperatura e a pressão, uma substância Classificamos como fluidos, indistintamente, os pura tem a propriedade fundamental de apresentar mas- líquidos e os gases. Numa primeira abordagem, os sa diretamente proporcional ao respectivo volume. quidos não têm forma própria, embora possuam volu- Sejam as massas de uma substância me definido. Já os gases, por sua vez, não têm forma pura, submetida a temperatura e pressão constantes. nem volume próprios. Sendo V, os respectivos volumes, podemos Um litro de água, por exemplo, não sofre mudan- verificar que: ça de volume quando o transferimos de uma panela para uma garrafa. Nesse caso, apenas sua forma é (constante) alterada. Já uma determinada massa de gás sempre tende a ocupar todo o volume que lhe é oferecido, Por definição, a constante u é a massa específica propriedade conhecida por expansibilidade. Deve- ou densidade absoluta da substância. mos dizer, ainda, que a forma de certa porção de gás Do exposto, temos que: é a do recipiente que a contém. Por apresentar maior utilidade prática, daremos Em pressão e temperatura constantes, uma subs- mais ênfase ao equilíbrio dos líquidos. Nesse estado, tância pura tem massa específica (u) constante e cal- as substâncias têm, de modo geral, uma configuração culada pela divisão da massa considerada (m) pelo estrutural em que as moléculas se mostram notada- volume correspondente (V): mente reunidas. Devido a essa característica micros- cópica, os líquidos oferecem grande resistência à m compressão. Em nosso curso, a pequena compressi- bilidade dos líquidos será negligenciada e os conside- raremos incompressíveis. As unidades de massa específica são obtidas pela di- A Estática dos fluidos está fundamentada em três visão da unidade de massa pela unidade de volume: teoremas (também chamados de leis). São eles: o Teorema de Stevin; unid (m) o Teorema de Pascal; unid (u) unid (V) o Teorema de Arquimedes.Tópico 2 Estática dos fluidos 407 No Sistema Internacional de Unidades (SI), a massa é medida em kg e o volume, em Assim: Outras unidades usuais: Água pura (1L) 1kg kg 10-3 kg kg Numa balança de travessão de braços iguais, 10-3 ou L L um litro de água contido em uma garrafa plástica de massa desprezível é equilibrado por um massor de um quilograma. kg = 3. Peso específico (p) Na tabela seguinte, fornecemos os valores usuais Consideremos várias porções de uma dada subs- das massas específicas de algumas substâncias. tância pura submetidas às mesmas condições de tem- peratura e pressão. Suponhamos, ainda, que todos esses corpos estejam em um mesmo local, em que a acelera- Material ção da gravidade é Sejam os pesos dos corpos e seus respectivos volumes. Alumínio 2,7 Latão 8,6 Cobre 8,9 Ouro 19,3 V1 V, Vn Gelo 0,92 Ferro 7,8 Chumbo 11,3 Platina 21,4 Podemos verificar que: Prata 10,5 Aço 7,8 = |P2| = = p (constante) Mercúrio 13,6 Por definição, a grandeza escalar constante p Álcool etílico 0,81 "rô") é o peso específico da substância nas condições Benzeno 0,90 de pressão e temperatura e no local considerados. Glicerina 1,26 Do exposto, temos que: Água 1,00 Sob pressão e temperatura constantes e num mes- mo local, uma substância pura tem peso específico (p) A água, à qual está subordinada a vida na Terra, é constante, calculado pela divisão do módulo do peso o líquido mais abundante do planeta, cobrindo prati- da porção considerada (P) pelo volume correspon- superfície terrestre. Por isso, o estudo da dente (V): Estática dos fluidos dá ênfase especial a essa substância. = V P É importante observar que, como a densidade ab- soluta da água é igual a 1 kg/L, existe paridade entre o número que mede a massa dessa substância em qui- Da definição, segue que: logramas e o número que mede seu volume em litros. Um quilograma de água, por exemplo, ocupa um vo- m = = lume de um litro408 PARTE III ESTÁTICA As unidades de peso específico são obtidas divi- 5. Densidade relativa dindo-se a unidade de peso (força) pela unidade de volume: Por definição, chama-se densidade de uma subs- tância A relativa a outra B o quociente das respectivas massas específicas das substâncias A e B quando à mesma temperatura e pressão: No SI, o peso é expresso em newton (N) e o volu- HA me, em Assim: Se os volumes das substâncias consideradas fo- rem iguais (VA = V), teremos: 4. Densidade de um corpo (d) Será que um corpo de ferro = 7,8 V pode ser menos denso que a água 1,0 V A resposta é sim. Para tanto, esse corpo deverá Nota: ser provido de descontinuidades internas (regiões A densidade relativa, por ser definida pelo quociente de de modo que sua massa total seja medida grandezas medidas nas mesmas unidades, é uma quanti- por um número, em gramas, menor que aquele que dade adimensional. mede, em o volume delimitado por sua super- fície externa. 6. 0 conceito de pressão Por definição, a densidade de um corpo (d) é o Suponha que você esteja comprimindo na palma quociente de sua massa (m) pelo volume delimitado de uma de suas mãos uma pelota de massa de modelar por sua superfície externa (Vext): com movimentos sucessivos de compressão e relaxa- mento. Cada vez que você aperta a pelota, seus dedos m exercem sobre ela certa pressão. A pressão é uma im- portante grandeza física que se destaca sobremaneira no estudo da Estática dos fluidos. F Gigante e flutuante! F Considere a ilustração acima, em que a superfície de área A, está sujeita a uma distribuição de forças cuja resultante é F é a componente de F tangencial a é a componente de F normal a Os navios modernos são metálicos, basicamente Por definição, a pressão média (pm) que F exer- construídos em aço. Por ser um material de elevada ce na superfície é obtida dividindo-se o módulo da densidade, o aço afunda rapidamente na água componente normal de F em relação a (F) pela cor- quando tomado em porções macicas. No entanto, os respondente área A: navios flutuam na água porque, sendo dotados de descontinuidades internas (partes locas), apresentam A densidade menor que a desse líquido.Tópico 2 - Estática dos fluidos 409 Convém destacar que apenas e tão-somente a componente normal da força exerce pressão na super- fície. A componente tangencial exerce outro efeito, denominado cisalhamento. As unidades de pressão decorrem da própria de- finição, isto é, são obtidas pela divisão da unidade de força pela unidade de área: No SI, a força é medida em newton (N) e a área, Nos calibradores de pneus encontrados nos postos de ga- em Assim: a pressão é geralmente expressa em psi. (Pa) 1 Outra unidade usual: Devido à atração gravitacional, a atmosfera terrestre pressiona a superfície da Terra. Verifica-se que, ao ní- kgf vel do mar, a pressão atmosférica é praticamente igual a atmosfera técnica métrica (atm) 1 atm ou 1 105 Pa. A pressão é uma grandeza que não tem orientação privi- legiada. Uma evidência disso é o fato de ela ser a mesma, em qualquer direção, num ponto situado no interior de um fluido em equilíbrio. Por isso, a pressão é uma gran- Logo: deza escalar, ficando plenamente definida pelo valor nu- mérico acompanhado da respectiva unidade de medida. 1 = Para uma mesma força normal, a pressão média exercida sobre uma superfície é inversamente proporcional à área considerada. Isso significa que um prego, por exemplo, Notas: comprimido sempre perpendicularmente a uma parede e Uma unidade inglesa de pressão bastante difundida no com a mesma intensidade, poderá exercer pressões dife- Brasil é o psi. rentes. Tudo dependerá do modo como ele entrar em con- tato com a superficie, pela ponta ou pela cabeça. No pri- libra-força lbf meiro caso, a força estará distribuída numa área menor, o que provocará maior pressão. Para vencer atolamento Em algumas praias é tradicional o passeio de buggy. Esse veículo é geralmente equipado com pneus que apresentam banda de rodagem de largura maior que o normal (pneus tala larga). Devido à maior área de contato com o solo, a pressão exercida pelos pneus sobre a areia torna- se menor, dificultando o atolamento. AUTORIZADO SETUR 348 MXK 9899410 PARTE III - ESTÁTICA NÍVEL 1 1 Em pressão e temperatura constantes, a massa específica de Resolução: uma substância pura: Em ambos os casos, a força normal de compressão exercida pelo pa- a) é diretamente proporcional à massa considerada; ralelepípedo sobre a superfície horizontal de apoio tem intensidade b) é inversamente proporcional ao volume considerado; igual à do seu peso. c) é constante somente para pequenas porções da substância; d) é calculada por meio do quociente da massa considerada pelo res- pectivo volume; e) pode ser medida em Mg 2 Num local em que a aceleração da gravidade tem intensidade 10 1,0 kg de água ocupa um volume de 1,0L Determine: a) a massa específica da água, em Mg b) o peso específico da água, em 3 Nas mesmas condições de pressão e temperatura, as massas Nota: específicas da água e da glicerina valem, respectivamente, 1,00 e Como a b Nesse caso, qual a densidade da glicerina em relação à água? 4 E.R. 5 Um paralelepípedo de dimensões lineares respectiva- Uma bailarina de massa 60 kg dança num palco plano e hori- mente iguais a a, b e é apoiado sobre uma superfície hori- zontal. Na situação representada na figura 1, a área de contato entre os conforme representam as figuras 1 e 2. seus pés e o solo vale enquanto na situação representada na figura 2 essa mesma área vale apenas 15 a b a b Figura 1 Figura 2 Sendo M a massa do paralelepípedo e g a intensidade da aceleração Figura 1 Figura 2 da gravidade, determine a pressão exercida por esse corpo sobre a superfície de apoio: Adotando = 10 calcule a pressão exercida pelo corpo da baila- a) no caso da figura 1; rina sobre o solo: b) no caso da figura 2. a) na situação da figura 1; b) na situação da figura 2. EXERCÍCIOS NÍVEL 2 6 (Fuvest-SP) Os chamados "Buracos negros", de elevada den- Resolução: (I) sidade, seriam regiões do Universo capazes de absorver matéria, que passaria a ter a densidade desses Se a Terra, com massa da ordem de g, fosse absorvida por um "Buraco negro" de densidade Em que: (II) igual a 1024 ocuparia um volume comparável ao: a) de um nêutron. (III) b) de uma gota Substituindo (II) e (III) em (I), vem: c) de uma bola de futebol. d) da Lua. e) do Sol. Nota: 7 E.R. Um volume VA de um líquido A é misturado com um vo- No caso particular em lume de um líquido B. Sejam HA e as massas específicas dos líquidos A e B. Desprezando qualquer contração do volume no siste- ma e supondo que os líquidos A e são miscíveis, determine a massa 2 específica da mistura.Tópico 2 - Estática dos fluidos 411 8 (UEL-PR) As densidades de dois líquidos A e B, que não reagem 12 Dois blocos cúbicos A B, extraídos de uma mesma rocha ma- quimicamente entre ciça e homogênea, têm arestas respectivamente iguais a e 3x e estão vamente. Fazendo-se a adição de volumes iguais dos dois líquidos, ob- apoiados sobre um solo plano e horizontal. Sendo PA e PB as pressões tém-se uma mistura cuja densidade é X. Adicionando-se massas iguais exercidas por A e na superfície de apoio, determine a relação de A e de B, a mistura obtida tem densidade y. Os valores de e em são, respectivamente, mais próximos de: 13 Um mesmo livro é mantido em repouso apoiado nos planos a) 1,1 e 1,1. d) 0,96 e 1,0. representados nos esquemas seguintes: b) 1,0 e 1,1. e) 0,96 e 0,96. c) 1,0 e 0,96. Plano inclinado 9 (UEL-PR) Um recipiente, quando completamente cheio de álcool (massa específica de 0,80 apresenta massa de 30 g e, quando Plano Plano completamente cheio de água (massa específica de 1,0 apre- horizontal 60° horizontal senta massa de 35 g. Qual a capacidade do recipiente em Situação 1 Situação 2 10 Um cubo, feito de material rígido e poroso, tem densidade igual a 0,40 Quando mergulhado em água, e após absorver Sendo a pressão exercida pelo livro sobre o plano de apoio na si- todo o líquido possível, sua densidade passa a ser de Sendo tuação 1 e a pressão exercida pelo livro sobre o plano de apoio na M a massa do cubo quando seco e M' a massa de água que ele absorve, situação 2, qual será o valor da relação responda: qual é a relação entre e M'? (Considere que o volume do cubo não se altera após absorver o líquido.) 14 Seja uma caixa-d'água de massa igual a kg apoiada em um plano horizontal. A caixa, que tem base quadrada de lado igual a 11 Com uma faca bem afiada, um açougueiro consegue tirar bifes 2,0 m, contém água = até a altura de 1,0 Consideran- de uma peça de carne com relativa facilidade. Com essa mesma faca do calcule, em e em atm, a pressão média exercida "cega" e com mesmo esforço, entretanto, a tarefa fica mais difícil. pelo sistema no plano de apoio. A melhor explicação para o fato é que: a) a faca afiada exerce sobre a carne uma pressão menor que a exerci- 15 (Unicamp-SP) Ao se usar um saca-rolhas, a força mínima que da pela faca "cega"; deve ser aplicada para que a rolha de uma garrafa comece a sair é igual b) a faca afiada exerce sobre a carne uma pressão maior que a exerci- a 3601 da pela faca "cega"; a) Sendo = coeficiente de atrito estático entre a rolha e o bocal c) o coeficiente de atrito cinético entre a faca afiada e a carne é menor da garrafa, encontre a força normal que a rolha exerce no bocal da que o coeficiente de atrito cinético entre a faca "cega" e a carne; garrafa. Despreze o peso da rolha. d) a área de contato entre a faca afiada e a carne é maior que a área de b) Calcule a pressão da rolha sobre o bocal da garrafa. Considere o contato entre a faca "cega" e a carne; raio interno do bocal da garrafa igual a 0,75 cm e o comprimento e) Nenhuma das anteriores explica satisfatoriamente o fato. da rolha igual a 4,0 cm. Adote = 3. Bloco 2 7. Pressão exercida por uma coluna líquida h Considere a figura a seguir, que representa um re- servatório contendo um líquido homogêneo de massa específica em equilíbrio sob a ação da gravidade (de intensidade g). Seja h a altura do nível do líquido no reservatório. Isolemos, no meio fluido, uma coluna Como a coluna é cilíndrica, seu volume é dado por: cilíndrica imaginária do próprio líquido, com peso de V=Ah (III) módulo P e área da base A. Substituindo (III) em (II), vem: A referida coluna exerce uma pressão média (p) P=uAhg (IV) na base do reservatório, que pode ser calculada por: Substituindo (IV) em (I), obtemos: p=uhg A mas: Notas: Assim: A pressão p independe da área A. P=uVg (II) Com constantes, p é diretamente proporcional a h.412 PARTE III ESTÁTICA Visando obter um dado importante para a análise de situações hidrostáticas, vamos calcular o acrésci- mo de pressão Ap registrado por um mergulhador que se aprofunda verticalmente Ah = 10 m na água de um lago, admitida homogênea e com massa específica Supondo que a aceleração da gravidade local seja temos: Ao jorrar pelos orifícios, a água adquire movimento inicial normal à superfície do balão. = 1,0 atm Chegamos, então, a uma importante conclusão: Assim, concluímos que, para cada 10 m acrescen- Um líquido em equilíbrio exerce nas paredes do re- tados à profundidade do mergulhador na água, há um cipiente que o contém forças perpendiculares a elas, aumento de 1,0 105 Pa ou 1,0 atm na pressão exerci- no sentido líquido parede. da sobre ele. Caso as paredes do recipiente sejam planas, pode- se verificar que: A intensidade (F) da força exercida por um líquido em equilíbrio contra uma parede plana do recipiente que o contém é igual ao produto da pressão no centro geométrico (C) da parede banhada pelo líquido pela área (A) Considere, por exemplo, a barragem representada na figura abaixo, em que o nível livre da água está a uma altura h. Admita que a região "molhada" seja retangular e tenha largura l. Supondo que o módulo Um mergulhador aprofunda-se na da aceleração da gravidade seja g, calculemos a inten- água agarrado a uma sidade F da resultante das forças exercidas pela água corda. Para cada 10 m (massa específica contra a barragem. percorridos no movimento descendente vertical, acrescenta-se uma pressão u de 1,0 105 Pa ou 1,0 atm. h 2 h 8. Forças exercidas nas paredes h CP 3 do recipiente por um líquido em Temos que: equilíbrio mas: Suponhamos que o recipiente da figura a seguir (II) esteja cheio, por exemplo, de água, suposta em equi- líbrio e sob a ação da gravidade. Se no balão locali- e (III) zado à direita fizermos alguns furos, notaremos que Substituindo (II) e (III) em (I), vem: a água jorrará através deles, esguichando, de saída, radialmente (perpendicularmente) à superfície do ba- F = lão. Faça esse experimento.Tópico 2 Estática dos fluidos 413 Nota: A barragem é, para o "recipiente" que contém o líqui- do em questão, uma parede lateral. Por isso, embora no cálculo de F tenhamos utilizado a pressão em C (centro geométrico da área "molhada"), a resultante das ações do líquido contra a barragem não se aplica em C, e sim em (2) CP, ponto denominado centro de pressões. É possível que CP situa-se a uma altura h 3 em relação à base da Observe que, além de também atua no cilindro a força da gravidade P. 9. 0 Teorema de Stevin Como o líquido está em equilíbrio, o cilindro, que faz parte dele, também deve estar. Para que isso ocor- teorema que enunciaremos a seguir, também ra, devemos ter: conhecido por Lei Fundamental da Hidrostática, foi formulado por Simon Stevin: Ou, em módulo: A diferença de pressões entre dois pontos de um Dividindo todos os termos da igualdade anterior líquido homogêneo em equilíbrio sob a ação da gra- por A (área das bases do cilindro), obtemos: vidade é calculada pelo produto da massa específica do líquido pelo módulo da aceleração da gravidade F2 P no local e pelo desnível (diferença de cotas) entre os A A A mas: pontos considerados: F2 (pressão no ponto 2) (pressão no ponto 1) Demonstração: Assim: Considere o recipiente da figura a seguir, que con- tém um líquido homogêneo de massa específica mg A em equilíbrio sob a ação da gravidade (g). Admita, para efeito de demonstração do teorema, um cilindro Temos que: imaginário do próprio líquido, com área da base A e m=uV=uAh altura h. Substituindo, vem: A Uma mente inventiva Simon Stevin (1548-1620) 0 cilindro tem bases nasceu em Bruges, nos paralelas à superfície do Países Baixos (hoje, Bélgica), líquido. notabilizando-se como engenheiro militar. Estudou Pelo fato de estar envolvido pelo líquido, o cilin- os números fracionários e a dro recebe dele os conjuntos de forças indicados. queda livre de corpos com Pode-se constatar que, devido à simetria, as forças massas diferentes, constatando laterais ao cilindro (horizontais) equilibram-se duas a a igualdade de suas duas. As forças aplicadas segundo a vertical, no en- acelerações, e propôs alguns tanto, não se equilibram. Por isso, temos uma resultante inventos, como a carroça aplicada no ponto 1, na base superior do cilindro, movida a vela. Uma de suas funções era inspecionar as e uma resultante aplicada no ponto 2, na base in- condições de segurança dos diques holandeses, o que o ferior do cilindro. levou a importantes conclusões sobre hidrostática.414 PARTE III ESTÁTICA 10. do Teorema de Stevin Desprezando fenômenos relativos à tensão super- ficial, a superfície livre de um líquido em equilíbrio sob a ação da gravidade é plana e horizontal. Todos os pontos de um líquido em equilíbrio sob a ação da gravidade, situados em um mesmo nível Verificação: horizontal, suportam a mesma pressão, constituindo Suponhamos que no recipiente da figura abaixo uma região isobárica. exista um líquido em equilíbrio, sob a ação da gravi- dade. Sejam 1 e 2 pontos da superfície livre do líqui- do, desnivelados de uma altura h. Verificação: Consideremos a figura abaixo, na qual os pontos 1 (1) e 2 pertencem a um mesmo nível (mesma horizontal). líquido considerado é homogêneo e encontra-se em h (2) equilíbrio. u (1) Linha (2) Aplicando a esses pontos o Teorema de Stevin, de nível u obtemos: Como os pontos 1 e 2 estão expostos diretamente Aplicando o Teorema de Stevin aos pontos 1 ao ar, a pressão que se exerce sobre ambos é a pressão e 2, temos: atmosférica Então, temos: Assim: Entretanto, se os pontos estão no mesmo nível, o uhg=0 desnível entre eles (h) é nulo, levando-nos a escrever: Como o produto g h é nulo e tendo-se # 0 e g # 0, concluímos que: Nota: h=0 Do exposto, observamos que os pontos 1 e 2 não podem estar desnivelados, sendo, portanto, absurda a figura proposta. (1) (2) (3) Nota: Se o recipiente estiver em movimento acelerado, com ace- leração horizontal constante a superfície livre do líqui- do ficará inclinada de um ângulo 0, conforme representa a figura a seguir. Podemos obter o valor de 0, como está No aquário esquematizado acima, o peixe se submete- demonstrado a seguir, fazendo tg = a/g, em que g é o rá à mesma pressão, nos pontos 1, 2 e 3, situados no módulo da aceleração da gravidade. Isso ocorre porque, mesmo nível horizontal, não importando o fato de os devido à inércia, estabelece-se no interior do recipiente pontos 1 e 3 situarem-se abaixo das paredes laterais do recipiente e de o ponto 2 situar-se sob a superfície uma gravidade aparente perpendicular à superfície livre da água. livre do líquido, dada pela soma vetorialTópico 2 Estática dos fluidos 415 No triângulo retângulo destacado, temos: voltada para baixo (figura Com isso, parte do mer- cúrio do tubo escoa para a cuba, até que seja estabele- cido o equilíbrio fluidostático do sistema. Vamos chamar de a massa específica do mer- cúrio, g o módulo da aceleração da gravidade, a Superfície pressão atmosférica local e h a altura do nível do mer- livre cúrio no tubo em relação à superfície livre do mercú- rio na cuba (figura 2). a A Na figura 3, sejam e respectivamente, as pressões nos pontos 1 e 2. Pelo fato de o ponto 1 pertencer ao nível livre Quase vácuo do mercúrio na cuba e 11. A pressão atmosférica estar exposto diretamen- te à atmosfera, tem-se: e experimento de Torricelli A pressão atmosférica influi de maneira decisiva No ponto 2, a pres- h em muitas situações. Um litro de água, por exemplo, são se deve praticamen- pode ferver em maior ou em menor temperatura, depen- te à coluna de mercúrio Atmosfera dendo da pressão atmosférica do local. A cidade de São que aí se sobrepõe, pois 1 2 Paulo, por estar a 731 m acima do nível do mar, suporta acima do mercúrio do pressão atmosférica menor que Santos, no litoral. Por tubo temos quase o vá- esse motivo, em São Paulo a água ferve a 98 °C, aproxi- cuo (apenas vapor de madamente, enquanto em Santos ferve a 100 mercúrio muito rarefei- Figura 3 Sistema em equilíbrio. O cientista italiano Evangelista Torricelli (1608- to). Desse modo: 1647), aluno de Galileu, propôs um critério bastan- te simples para a obtenção experimental do valor da pressão atmosférica. aparato e o método utilizados Entretanto, no equilíbrio, as pressões nos pontos por ele estão descritos a 1 e 2 são iguais, pois os referidos pontos pertencem Considere uma cuba e um tubo, de aproximada- ao mesmo fluido (mercúrio) e estão no mesmo nível mente 1,0 m de comprimento, ambos contendo mer- (mesma região isobárica). cúrio (figura 1). Assim: ou seja: Mercúrio Quase vácuo Fazendo o experimento de Torricelli ao nível do mar (g ~ 9,81 e a 0 observamos para h um valor mais provável de 76,0 cm. Assim, sendo Tubo h obtemos, para Suporte Cuba Mercúrio m Figura 1 Figura 2 Inicialmente, o tubo encontra-se completamente tomado pelo fluido (mercúrio), até sua extremidade Na prática, para se evitar o incômodo da multipli- aberta. cação g h, é comum expressar-se a pressão atmos- Veda-se, então, a abertura do tubo e, posicionan- férica diretamente em cm ou mm de mercúrio. Assim, do-o de boca para baixo, introduz-se parte dele no ao nível do mar e a 0 °C, diz-se que a pressão atmos- mercúrio da cuba. Em seguida, destapa-se sua extre- férica tem o valor mais provável de 76,0 cm Hg ou midade, tomando-se o cuidado de mantê-la sempre 760 mm Hg416 PARTE III ESTÁTICA LEITURA 0 dispositivo de von Guericke dispositivo da figura abaixo representa, em corte, os hemisférios que o físico alemão Otto von Guericke (1602- 1686) usou em 1654, na localidade de Magdeburgo, para demonstrar um dos efeitos da pressão atmosférica. Os hemis- férios foram acoplados, e, em seguida, sugou-se praticamente todo o ar de seu interior, estabelecendo vácuo dentro da esfera. Devido às forças provenientes da pressão atmosférica (setas menores), dois grupos de oito cavalos cada, puxando os hemisférios em sentidos opostos (setas maiores, em azul), não conseguiram separar esses dois corpos. A atmosfera terrestre manto fundamental que en- volve o planeta Terra, viabilizando a vida, apresenta, dos gases que o cons- tituem, as seguintes porcentagens: nitrogênio 78,084%), oxigênio 20,948%), argônio (A: 0,934%), dióxido de carbono 0,031%), neônio (Ne: 0,001818%), hélio (He: 0,000524%), metano 0,0002%), criptônio (Kr: 0,000114%), hidrogênio 0,00005%) e xenônio (Xe: 0,0000087%). Além desses gases, há outras substâncias e também muito vapor d'água, um dos fatores determinantes do clima e dos fenômenos meteorológicos típicos de cada região. Camadas de nomes distintos e de diferentes constituições compõem a atmosfera da Terra. A camada mais baixa, que se estende do nível do mar até altitudes da ordem de 10 km, de- nomina-se troposfera. Aí se concen- Visão espacial da Terra, na qual podemos ver nuvens, que indicam a presença da tra praticamente todo o vapor d'água. atmosfera. Acima da troposfera, vem a estra- tosfera, de ar muito rarefeito, mas rica em ozônio. Essa camada, que alcança altitudes próximas de 50 km, bloqueia grande parte das radiações solares, nocivas aos organismos vivos. Sobre a estratosfera, vêm, respectivamente, a mesosfera, a ionosfera e a exosfera, sendo as duas últimas camadas as principais responsáveis pela desintegração diária de milhões de meteoritos e pequenos asteróides que, provenientes do espaço, submetem-se à atração gravitacional terrestre.Tópico 2 - Estática dos fluidos 417 No esquema abaixo, aparecem alguns dados interessantes sobre a atmosfera terrestre, como pressões e tempera- turas em diversas altitudes. : 40 km 0,2 cm Hg 40 km Sondas meteorológicas -20 °C 0,7 cm Hg 99% da atmosfera está abaixo deste nível 30 km 1,0 cm Hg 30 km Murray (1954) 2,4 cm Hg Stevens e Anderson (1935) 20 km -52 °C 20km Piccard (1934) 8,0 cm Hg 90% da atmosfera está abaixo Donatti (1934) deste nível Aviões estratosféricos 10km -40 °C Cirros 10 km 21 cm Hg Monte Everest (Nepal) -12 °C 55% da atmosfera está abaixo deste nível Pico da Neblina (Brasil) 20 C 76 cm Hg 0 (Ilustração com tamanhos fora de escala.)418 PARTE III ESTÁTICA EXERCÍCIOS NÍVEL 1 16 (Ufop-MG) Considere o reservatório hermeticamente fechado 19 E.R. tanque representado na figura seguinte con- esquematizado na figura: tém água (u = 1,0 em equilíbrio sob a ação da gravidade Vácuo A Mercúrio h H 1 3,0 m B D d 1,0 m Registro fechado Registro fechado 2 Determine, em unidades do Sistema Internacional: a) a diferença de pressão entre os pontos B e A indicados; No equilíbrio hidrostático, determine a relação entre as pressões p b) a intensidade da força resultante devido à água na parede do fun- e P, respectivamente, na entrada dos tubos 1 (diâmetro d) e 2 do do tanque, cuja área vale 2,0 (diâmetro D): p d p h Resolução: a) = c) = D P H e) p P = DH a) A diferença de pressão entre os pontos e A pode ser calculada P p D H pelo Teorema de Stevin: p b) d) P d Fazendo 17 (Unesp-SP) Um vaso de flores, cuja forma está representada na figura, está cheio de água. Três posições, A, B e C. estão indicadas e na figura. Ap: A b) A intensidade F da força resultante que a água exerce na parede do fundo do tanque é dada por: C B A relação entre as pressões PA PB exercidas pela água respectiva- mente nos pontos A, e C, pode ser descrita como: a) 20 (PUC-RJ) Em um vaso em forma de cone truncado, são colo- b) cados três líquidos menos denso ocupa um volume cuja altura vale 2,0 cm; o de densidade intermediária ocupa um volume 18 Considere os recipientes A, B e da figura, cujas áreas das pa- de altura igual a 4,0 cm, e o mais denso ocupa um volume de altu- redes do fundo são iguais. Os recipientes contêm mesmo líquido ho- ra igual a 6,0 cm. Supondo que as densidades dos líquidos sejam mogêneo em equilíbrio, e em todos eles nível livre do líquido atinge 1,5 2,0 e 4,0 respectivamente, responda: qual é a a altura h. força extra exercida sobre o fundo do vaso devido à presença dos líqui- dos? A área da superfície inferior do vaso é 20 e a área da superfície livre do líquido que está na primeira camada superior vale 40 A h aceleração gravitacional local é A B 2,0 cm Sejam PA PB e e e respectivamente, as pressões e as in- 4,0 cm tensidades das forças exercidas pelo líquido nas paredes do fundo dos recipientes A, e C. Compare: a) b)Tópico 2 Estática dos fluidos 419 21 E.R. Um longo tubo de vidro, fechado em sua extremida 22 (Unesp-SP) Emborca-se um tubo de ensaio em uma vasilha de superior, é cuidadosamente mergulhado nas águas de um lago com água, conforme a figura. Com respeito à pressão nos pontos 1, 2, 1,0 com seu eixo longitudinal coincidente com a 3, 4, 5 e 6, qual das opções abaixo é válida? direção vertical, conforme representa a figura. Ar Ar 1 2 h 3 4 5 6 Água No local, a pressão atmosférica vale atm e adota-se a) d) b) Se o nível da água no interior do tubo sobe até uma profundidade c) h medida em relação à superfície livre do lago, qual é a pres- são do ar contido no interior do tubo? 23 A medição da pressão atmosférica reinante no interior de um laboratório de Física foi realizada utilizando-se o dispositivo represen- Resolução: tado na figura: 0 Medidor de pressão absoluta h 1 131 cm Mercúrio Gás 55 cm Aplicando Teorema de Stevin aos pontos temos: Sabendo que a pressão exercida pelo gás, lida no medidor, é de 136 cm Hg, determine o valor da pressão atmosférica no local. Concluímos, então, que a pressão total no ponto 1 é constituída por duas parcelas: 24 (Faap-SP) Manômetro é um instrumento utilizado para medir g h, que é a pressão efetiva exercida pela água, e que é a pressões. A figura a seguir ilustra um tipo de manômetro, que consiste pressão atmosférica. em um tubo em forma de U, contendo mercúrio (Hg), que está sendo É importante notar que a pressão atmosférica manifesta-se não ape- utilizado para medir a pressão do gás dentro do botijão. nas na superfície livre da água, mas também em todos os pontos do seu interior, como será demonstrado no item 13. No ponto 2, temos: Ar Gás Como os pontos 1 e 2 pertencem à água e estão situados no mesmo nível horizontal (mesma região isobárica), suportam pressões iguais. 50 cm Assim: A B = Hg Se a pressão atmosférica local é igual a 72 cm Hg, qual é a pressão exer- cida pelo gás?420 PARTE III ESTÁTICA EXERCÍCIOS NÍVEL 2 25 (UFRJ) A figura a seguir ilustra dois recipientes de formas dife- 28 E.R. Se o experimento de Torricelli para a determinação da rentes, mas de volumes iguais, abertos e apoiados em uma mesa hori- pressão atmosférica (p) fosse realizado com água zontal. Os dois recipientes têm a mesma altura h e estão cheios, até a no lugar de mercúrio, que altura da coluna de água no tubo (em re- borda, com água. lação ao nível livre da água na cuba) faria o equilíbrio hidrostático ser estabelecido no barômetro? Desprezar a pressão exercida pelo vapor d'água e adotar, nos cálculos, A pressão atmosférica local vale = 1,0 atm. Resolução: h Na figura seguinte, está representado o barômetro de Torricelli. Vácuo Calcule a razão entre os módulos das forças exercidas pela água sobre o fundo do recipiente e sobre o fundo do recipiente II h sabendo que as áreas das bases dos recipientes e valem, respecti- vamente, A e 4A. 26 (UFRJ) Um recipiente cilíndrico contém água em equilíbrio hi- drostático (figura 1). Introduz-se na água uma esfera metálica macica de volume igual a suspensa, por um fio ideal de volume desprezível, de um suporte externo. A esfera fica totalmente submersa na água sem tocar as paredes do recipiente (figura 2). Tendo em conta o equilíbrio hidrostático do sistema, podemos afir- mar que a pressão exercida pela coluna de água de altura h em sua base é igual à pressão atmosférica Em que: calculemos a altura Figura 1 Figura 2 Restabelecido o equilíbrio hidrostático, verifica-se que a introdução da h=10m esfera na água provocou um acréscimo de pressão Ap no fundo do re- cipiente. A densidade da água é igual a a área da base do recipiente é igual a 2,0 10-3 Considere 29 Calcule o acréscimo de pressão Ap. Numa região ao nível do mar, a pressão atmosférica vale e Repete-se o experimento de Torricelli, 27 A figura representa um recipiente contendo álcool (densidade dispondo-se o tubo do barômetro conforme representa a figura. relativa = 0,8) e dois pontos A e B, cuja diferença de cotas é igual a 17 cm. Adote g = e a densidade relativa do mercúrio igual Vácuo a Sendo a pressão no ponto igual a 780 mmHg, podemos dizer 1 que a pressão no ponto A é de: L Atmosfera A 2 B Mercúrio a) 760 mm Hg. d) 775 mm Hg. A distância L entre os pontos 1 e 2 vale 151 cm e a massa específica do b) 765 mm Hg. e) 790 mm Hg. mercúrio é = Estando sistema em equilíbrio, calcule o c) 770 mm Hg. valor aproximado do ângulo a que o tubo forma com a direção vertical.Tópico 2 Estática dos fluidos 421 30 (Cesgranrio-RJ) Um rapaz aspira ao mesmo tempo água e Dados: pressão atmosférica = 1,0 atm; densidade absoluta da óleo, por meio de dois canudos de refrigerante, como mostra a figura. água = intensidade da aceleração da gravidade = Ele consegue equilibrar os líquidos nos canudos com uma altura de Qual o nível da água na garrafa, depois de estabelecido equilíbrio 8,0 cm de água e de 10,0 cm de óleo. hidrostático? a) A b) B c) C d) D e) E 32 Os três aparelhos abaixo estão situados no interior da mesma sala: Vácuo Vácuo 70 cm 10,0 cm 8,0 cm M N Hg Hg Hg Água Óleo Fundamentado nas indicações das figuras, determine as pressões exer- cidas pelos gases contidos em M e N. Qual a relação entre as massas específicas do óleo e da água? 33 31 sistema da figura encontra-se em equilíbrio sob a ação da Considere o experimento descrito a seguir: gravidade, cuja intensidade vale 10 Figura 1: Uma garrafa de vidro de altura igual a 40 cm é conectada a uma bomba de vácuo, que suga todo o do seu interior. Uma rolha de borracha obtura o gargalo, impedindo a entrada de ar. Figura 2: A garrafa é emborcada em um recipiente contendo água e a rolha é retirada. Gás h A B Mercúrio D Bomba E de vácuo Dados: pressão atmosférica 1,0 atm; massa específica do mercúrio = 50 cm. Considerando 1,0 atm = calcu- Figura 1 Figura 2 le, em atm, a pressão do gás contido no reservatório. LEITURA A sucção impossível Não há nada melhor para os momentos em que sentimos calor e sede que tomar uma bebida bem gelada! Nessas ocasiões, é comum utilizarmos canudinhos, que permitem a ingestão do líquido de maneira confortável e gradual. Os canudinhos encontrados no comércio têm comprimento próximo de 25 cm, sendo adequados para canalizar líquidos aquosos de massa específica em torno de 1,0 de copos ou garrafas até a boca das pessoas. Todavia, qual seria o comprimento máximo de um canudinho que, colocado na vertical, teoricamente permitiria a alguém sugar um líquido aquoso até o nível da sua boca? Para responder a essa questão, considere o esquema a seguir, em que um garoto se utiliza de um longo canudinho, de comprimento maior que 10 m, com a pretensão de sorver o refrigerante contido em um recipiente aberto ao ar. À medida que ele for aspirando o ar contido no canudinho, o refrigerante irá subindo ao longo do duto, empurrado pelas forças devidas à pressão atmosférica. A subida do refrigerante, entretanto, cessará quando o garoto tiver retirado todo o ar do canudinho (supondo que isso fosse possível), provocando praticamente o vácuo entre sua boca e a superfície livre do líquido já elevado.422 PARTE III ESTÁTICA Chamemos de e as pressões totais nos pontos 1 e 2, indicados na figura. Essas pressões ficam determinadas por: em que: a massa específica do refrigerante g é a intensidade da aceleração da gra- vidade é a pressão atmosférica local Pa). Como os pontos 1 e 2 pertencem ao mes- mo nível horizontal (mesma região isobárica), suportam pressões iguais. Assim: h Substituindo os dados numéricos apre- sentados, calculemos a altura máxima h pro- curada: h=10m (1) (2) Concluímos, então, que o garoto consegui- ria elevar o refrigerante, no máximo, até uma altura de 10 m a contar da superfície livre do líquido no recipiente. Bombas hidráulicas que eventualmente recalcam água de poços com profundidades maiores que 10 m não desem- penham essa tarefa por simples sucção, já que isso seria impossível, como acabamos de demonstrar. Para isso, há um compressor que aumenta a pressão do ar sobre a água a ser elevada, favorecendo a operação. Nota: Em situações reais, uma pessoa, por melhor que fosse sua capacidade de sucção, jamais conseguiria elevar, por meio de um canudi- nho, líquidos aquosos a alturas próximas de 10 m. Bloco 3 12. 0 Teorema de Pascal Demonstração: A Blaise Pascal devemos o teorema enunciado a Consideremos o cilindro da figura a seguir, que seguir, que encontra várias aplicações práticas. contém um líquido homogêneo, incompressível e em equilíbrio sob a ação da líquido encon- Um incremento de pressão comunicado a um ponto tra-se aprisionado por um êmbolo livre, de peso P. qualquer de um líquido incompressível em equilíbrio Consideremos dois pontos no líquido: o ponto 1, situa- transmite-se integralmente a todos os demais pontos do imediatamente sob o êmbolo, e o ponto 2. situado do líquido, bem como às paredes do recipiente. a uma profundidade h em relação a 1.Tópico 2 - Estática dos fluidos 423 Aplicando o Teorema de Stevin aos pontos 1 e 2, temos: (1) Em que: h (2) u Se um corpo pesado for depositado sobre o êmbo- lo, a pressão no ponto 1 será incrementada de Ap. Tendo em vista esse incremento de pressão Ap, a Mecanismo hidráulico de abaixamento e recolhimento de trem de nova pressão no ponto 1 será dada por: pouso de aviões. Ap Com base na expressão indicada por (I), podemos constatar que a variação de (1) TOP acarreta também uma variação em já que a h parcela g h não se altera (h = constante, pois o líquido (2) é incompressível). Calcule- mos, então, a nova pressão (p') exercida no ponto 2: Multiplicadores hidráulicos de forças em concluímos que: 0 coração tem razões... Esse último resultado permite-nos verificar que o incremento de pressão Ap, dado ao ponto 1, transmi- tiu-se, manifestando-se também no ponto 2. Vejamos a seguir exemplos de mecanismos que se baseiam no Teorema de Pascal. Blaise Pascal (1623-1662) nasceu em Clermont-Ferrand, França, tendo manifestado, ainda criança, grande habilidade em Matemática. Estudou geometria, probabilidades e Física, chegando a importantes descobertas. Aos dezenove anos, depois de dois anos de trabalho intenso, terminou a construção de uma revolucionária calculadora mecânica que permitia a realização de operações aritméticas sem que o usuário precisasse saber os respectivos algoritmos. Buscando outros conhecimentos, embrenhou-se na Filosofia e na Teologia, tendo legado uma frase memorável, em que deixou clara sua insatisfação com as coisas meramente racionais: coração tem razões que a própria razão Elevador hidráulico de automóveis (prensa hidráulica). desconhece".424 PARTE III ESTÁTICA 13. Se destamparmos o recipiente, a pressão no ponto 1 ficará incrementada de que é a pressão do Teorema de Pascal atmosférica do local. A nova pressão p' no ponto 1 será dada por: Todos os pontos de um líquido em equilíbrio ex- posto à atmosfera ficam submetidos à pressão atmos- férica. Conforme o Teorema de Pascal, entretanto, esse incremento de pressão deverá transmitir-se integral- Verificação: mente também ao ponto 2. Por a nova pressão No esquema a seguir, temos um líquido em equili- no ponto 2 será dada por: brio dentro de um recipiente fechado por uma tampa. Atmosfera Vimos que uma camada (ou coluna) de água de espessura (ou altura) 10 m exerce em sua base uma pressão equivalente a 1,0 105 Pa ou 1,0 atm. Vácuo Assim, a uma profundidade de 30 m, por exem- (1) plo, um mergulhador submerso em um lago detec- tará uma pressão total de 4,0 sendo 3,0 atm h exercidas pela água e 1,0 atm exercida pelo ar externo. Você seria capaz de determinar a profundidade de (2) um mergulhador que, submerso nas águas de um lago, detectasse uma pressão total de 3,8 atm? Se você disse 28 m, acertou, pois, das 3,8 atm Admitamos, por hipótese, que entre a base da tam- mencionadas, 2,8 atm são devidas à água, o que cor- pa e a superfície livre do líquido haja vácuo. Sejam responde a uma profundidade de 28 m. pontos 1 e 2, pertencentes ao líquido, tal que 1 se en- contre na superfície livre e 2, a uma profundidade h. Nas condições descritas, a pressão no ponto 1 é 14. Pressão absoluta e pressão nula, pois a esse ponto sobrepõe-se o vácuo. Assim: efetiva Vamos admitir um recipiente como o representa- No ponto 2, a pressão deve-se exclusivamente à do a seguir, aberto, contendo um líquido homogêneo camada líquida de altura h. Então: em equilíbrio sob a ação da gravidade. Seja um pon- to A situado a uma profundidade h. Sem se livrar da pressão atmosférica Nesse tranqüilo mergulho oceânico, a pressão total sofrida pelo mergulhador é obtida somando-se a pressão hidrostática que a água exerce sobre ele com a pressão atmosférica, que se manifesta em todos os pontos do líquido.Tópico 2 - Estática dos fluidos 425 Graficamente, temos a seguinte representação: Atmosfera 0 h h (+) H A Conceituaremos a seguir a pressão absoluta e a pressão efetiva em A. H Pressão absoluta É a pressão total verificada no ponto A. Em outras 0 H h palavras, é a soma da pressão exercida pela coluna quida com a pressão atmosférica (transmitida até esse ponto). 15. Vasos comunicantes Um líquido em equilíbrio Graficamente, temos a seguinte representação: Considere os recipientes da figura a seguir, que se comunicam pelas bases. Admita que um mesmo líquido homogêneo preencha os três ramos existen- tes no sistema, suposto em equilíbrio. Os ramos têm Atmosfera diâmetros suficientemente grandes, de modo que os 0 efeitos ligados à capilaridade possam ser considera- h dos desprezíveis. (+) H Em relação à linha de nível indicada, sejam e respectivamente, as alturas das colunas líquidas nos ramos (1), (2) e (3). As pressões absolutas nos pontos 1, 2 e 3 são calculadas por: Pabs = g 0 H h (1) (2) (3) Pressão efetiva (ou hidrostática) u É a pressão exercida exclusivamente pela camada h, líquida que se sobrepõe ao referido ponto: (1) (2) (3) Pef=ugh