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Fórmulas de Teste de Hipóteses - PME 
Docente: Rodrigues Fazenda rzfazenda@gmail.com 1
TESTE DE HIPÓTESES 
 
A. Teste de Hipóteses para variáveis Quantitativas 
 
Hipótese: É uma sentença sobre o valor de um parâmetro populacional 
desenvolvida para o propósito de teste. Em geral as hipóteses resultam de 
questionamento de um valor achado hipotético, com o objectivo de conhecer as 
razões essenciais de se rejeitar enquanto está correcto (erro de tipo I- α ) ou de 
não rejeitar enquanto estiver errado (erro de tipo II - β ). 
 
Exemplos de hipóteses, ou sentenças, feitas acerca de um parâmetro 
populacional são: 
 
1) O Rendimento médio mensal proveniente de todas as vendas de Mapatana 
em 5 lojas é de 300.000.000,00Mt. Na formulação de hipótese admitiríamos que 
as 5 lojas não tivessem tido exactamente 300.000.000,00Mt de rendimento 
mensal 
 
2) 10 % da produção do fósforo numa certa região é viciada. 
Nós iríamos testar a hipótese de que a produção do fósforo naquela região não é 
viciada. 
 
i. Hipóteses Estatísticas 
 
Denomina-se hipótese nula, aquela hipótese que se pretende testar e 
abreviadamente escreve-se oH . A hipótese contrária à hipótese nula denomina-
se hipótese alternativa, abreviada por 1H . 
 
 
ii. Definição 
 
Teste de Hipóteses: é um procedimento, baseado na evidência amostral e na 
teoria da probabilidade, usado para determinar se a hipótese é uma afirmação 
razoável e não seria rejeitada, ou é não razoável e seria rejeitada. 
 
Os 5 (cinco) passos essenciais para um teste de hipóteses: 
 
 
Passo 1: Estabeleça a Hipótese Nula (Ho) e a Hipótese Alternativa (H1) 
Passo 2: Selecione um nível de significância (α ) 
Passo 3: Identifique a Estatística de teste ( pSSX ;;; 2 ) 
Passo 4: Formule uma regra de decisão 
Passo 5: Tome uma amostra e obtenha uma decisão: (Não rejeitar H0) ou 
(rejeitar H0 e admitir H1) 
 
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Hipótese Nula H0: Uma afirmação (sentença) sobre o valor de um parâmetro 
populacional. Revela aquilo que pretendemos testar. 
 
Hipótese Alternativa H1: Uma afirmação (sentença) que é aceite se os dados 
amostrais fornecem evidência de que a hipótese nula é falsa e pode ser 
rejeitada. 
 
Nível de Significância: A probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é 
efectivamente verdadeira, ou seja, valor de α (alfa). 
 
Erro Tipo I: Rejeitar a Hipótese Nula, H0, quando ela é efectivamente 
verdadeira. A probabilidade do erro tipo I é igual ao nível de significância, α 
(alfa). 
 
Erro Tipo II: Aceitar a Hipótese Nula, H0, quando é efectivamente falsa. A 
probabilidade do erro tipo II é igual a β (beta) 
 
Região Aceitável (RA) – é o conjunto de valores que não rejeitam Ho 
 
Região Crítica (RC) – é o conjunto de valores que rejeitam Ho 
 
 
Exemplo: Mrs. Llair é uma conhecida figura da sociedade que é célebre por 
pretender que é capaz de provar um chá e dizer com 65 % de segurança se foi 
adoçado antes ou depois do leite ter sido acrescentado. Uma senhora pouco 
delicada (talvez uma estrangeira....) resolveu pôr em dúvida as fenomenais 
capacidades gostativas de Mrs. Llair e propôs ingenuamente que lhe fossem 
dadas as provas, por uma ordem escolhida ao acaso, 10 chávenas de chá de 
preparação conhecida dos organizadores. O número de respostas erradas será a 
variável aleatória X. 
a) Explique os conceitos de hipótese nula, hipótese alternativa, região crítica, 
erro de tipo I e erro de tipo II, utilizando esta situação concreta. 
 
b) Calcule o número de chávenas de chá que Mrs. Llair teria de provar para 
que, simultaneamente, não pudesse falhar o teste com mais de 1% de 
probabilidade, caso a sua reindivicação fosse verdadeira, e não pudesse passar 
com mais de 1% de probabilidade, caso as suas respostas fossem fruto do 
acaso. Pode usar a aproximação por uma distribuição normal. 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
a) Hipótese nula oH : Mrs. Llair falha com probabilidade 35,0=op a previsão 
da ordem de adição do açúcar e do leite; 
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Hipótese alternativa 1H : Mrs. Llair responde ao acaso e "prevê" com 
probabilidade 5,01 =p a ordem de adição do açúcar e do leite; 
 
Região crítica : escolhendo como estatística do teste o número de respostas 
erradas X para um dado número n de chávenas provadas, será o intervalo 
[ ]nXR cC ,= tal que se X ∈ CR , oH é rejeitada; 
 
O erro de tipo I consiste em rejeitar erradamente oH , porque o número de 
falhanços X caiu dentro da região crítica (X∈ CR ). 
O erro de tipo II consiste em aceitar erradamente oH , porque o número de 
falhanços X não caiu dentro da região crítica (X CR∉ ), apesar de ser verdadeira 
1H . 
 
 
 
 
iii. Tipos de Erros 
 
Tabela 5.4 – Tabela de Decisão em Relação Ho 
 
Tipos de Decisão Situação de Ho 
Aceita H0 Rejeita H0 
H0 é verdadeira Decisão Correcta Erro Tipo I - α 
H0 é falsa Erro Tipo II - β Decisão Correcta 
 
 
Estatística de Teste (ou z efectivo, valor de t ou 2χ ): É um valor, determinado 
a partir da informação amostral, usado para determinar se devemos ou não 
rejeitar a hipótese nula. 
Valor Crítico (ou z crítico, valor de t ou 2χ ): O ponto divisor entre a região onde 
a hipótese nula é rejeitada (RC) e a região onde ela não é rejeitada (RA). Este 
valor é obtido a partir da tabela de z (normal padrão), da tabela de t (t de 
Student) ou da tabela de 2χ (qui-quadrado). 
 
 
Testes de significância unicaudais 
Um teste é unicaudal quando a hipótese alternativa, H1, estabelece uma 
direcção que nos leve ao uso de digualdade > - maior, 30, o z efectivo pode ser 
aproximado com 
n
s
Xz µ−
= . s é obtido apartir da amostra. 
 
 
2-b) Quanto menor for o tamanho amostral, n 30≤ , z efetivo pode ser 
aproximado com 
)1(~ −
−
= nt
n
s
XT µ
 com n-1 graus de liberdade. 
 
 
II Teste de hipóteses: duas médias populacionais 
Assumamos que os parâmetros para duas Populações são: 2121 e ,, σσµµ . 
 
Caso I: Quando 21 ,σσ são conhecidos, o valor de Z será dado por: 
0
21
2
2
2
1
2
1
21 =⇒
+
−
= − xx
nn
XXz µ
σσ
 
 
Caso II: Quando 21 ,σσ não são conhecidos mas os tamanhos amostrais n1 e 
n2 são maiores 30, a estatística de teste (Z efetivo) é: 
 
 
2
2
2
1
2
1
21
n
s
n
s
XXz
+
−
=
 
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Caso III: Quando 21 ,σσ não são conhecidos mas os tamanhos amostrais n1 e 
n2 são menores ou iguais a 30: 
 
2
)1()1(
)11(
21
2
22
2
11
21
21
−+
−+−
+
−
=
nn
SnSn
nn
XX
T
 
 
 
II Testes referentes à proporção 
 
 Proporção: Uma fracção ou percentagem que indica uma parte da População 
ou amostra que tem um particular traço de interesse. A proporção amostral é 
denotada por p onde: 
amostrada
amostra na sucessos de 
tamanho
númerop = O valor de teste é 
n
pp
ppz
)1( −
−
= p≡ proporçãopopulacional e ≡p proporção amostral 
 
III- Teste de diferença entre duas proporções populacionais 
 
( ) ( )
B
BB
A
AA
BABA
cal
n
qp
n
qp
ppppZ
****
**
+
−−−
= como calZZ