Exer 6 - Sistemas de Equações e Transformações Lineares

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A
B
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Determine os autovalores do sistema linear de equações { 8x − 2y = 0
2y + 4x = 3
2 e 6
4 e 5
Questão 1 de 10
Corretas (4)
Incorretas (6)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Sistemas De Equações e Transformações Lineares Sair
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C
D
E
1/4 e 1
1 e 4
3 e 7
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A resposta correta é: 1/4 e 1.
Por Gauss temos:
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Em um laboratório de física, um grupo de estudantes está realizando experimentos para
coletar dados e determinar relações lineares entre diferentes variáveis. Durante a análise
dos resultados, eles se deparam com a necessidade de resolver sistemas lineares para
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A
B
C
D
E
encontrar os coeficientes das equações. Nesse contexto, discutem as vantagens e
desvantagens da regra de Cramer em relação ao método Gauss-Jordan.
Considerando as características da regra de Cramer e sua relação com o método Gauss-
Jordan, qual é uma desvantagem específica da regra de Cramer para a resolução de
sistemas lineares?
A regra de Cramer garante uma solução única para qualquer sistema linear.
A regra de Cramer é menos suscetível a erros de arredondamento durante o
processo de cálculo.
A regra de Cramer resolve o sistema diretamente por um quociente de
determinantes.
A regra de Cramer é mais eficiente em termos de tempo de execução para
sistemas com muitas incógnitas.
A regra de Cramer normalmente requer o cálculo de todos os determinantes
necessários, o que pode ser trabalhoso.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
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A
B
C
Gabarito Comentado
Uma desvantagem específica da regra de Cramer em relação ao método Gauss-
Jordan é que ela normalmente requer o cálculo de todos os determinantes necessários
para resolver o sistema linear. Esse processo pode ser trabalhoso e demorado,
especialmente em sistemas com um grande número de incógnitas. Por outro lado, o
método Gauss-Jordan envolve a escalonamento da matriz completa do sistema, o que
geralmente é mais direto e menos exigente em termos de cálculos adicionais. Portanto,
a desvantagem da regra de Cramer é a necessidade de calcular todos os
determinantes envolvidos, o que pode ser mais trabalhoso em comparação com o
escalonamento da matriz do método Gauss-Jordan.
3 Marcar para revisão
Obtenha a imagem do vetor (3, 4) em relação à transformação linear definida por T:R
 R tal que T(x,y) = (2x - y, x + y).
2 →
2
(3, 4)
(1, 2)
(2, 7)
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D
E
(7, 2)
(3, 8)
Resposta correta
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Gabarito Comentado
Para encontrar a imagem do vetor (3, 4) sob a transformação linear T, substituímos as
coordenadas do vetor na definição de T.
Assim, T(3,4) = (2*3 - 4, 3 + 4). Simplificando, obtemos (6 - 4, 7), que resulta em (2,
7).
Portanto, a imagem do vetor (3, 4) sob a transformação T é (2, 7)
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Classifique o sistema de equações lineares  
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x − y + z = 3
x + y + z = 7
x + 2y − z = 7
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A
B
C
D
E
Impossível 
Possível e determinado com ( x, y , z ) = ( 2 ,2 , 1)
Possível e determinado com ( x, y , z ) = ( 4 ,2 , 1)
Possível e indeterminado com solução do tipo ( x,y, z) = ( k, 2 , 2 - k), k real
Possível e indeterminado com solução do tipo ( x,y, z) = ( k, 1 , 3 - k), k real
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A resposta correta é: Possível e determinado com ( x, y , z ) = ( 4 ,2 , 1)
Com o método da substituição temos:
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A
B
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Em uma competição de programação, os participantes foram desafiados a resolver um
sistema linear utilizando uma matriz completa escalonada reduzida.
Considerando um sistema linear representado por uma matriz completa escalonada
reduzida, qual é a principal vantagem visual dessa forma reduzida para determinar a
solução do sistema?
Permite a identificação imediata das linhas linearmente independentes do
sistema.
Indica diretamente os valores dos coeficientes desconhecidos do sistema.
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C
D
E
Revela as coordenadas dos pontos de interseção das retas representadas pelo
sistema.
Apresenta a solução em formato gráfico, facilitando a visualização das raízes.
Mostra as possíveis combinações lineares das variáveis envolvidas no sistema.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
A matriz completa escalonada reduzida apresenta um formato em que as linhas
linearmente independentes são facilmente identificáveis. Essa característica é
importante porque as linhas linearmente independentes representam as equações do
sistema que são relevantes para determinar a solução. Dessa forma, a forma reduzida
da matriz fornece uma visualização clara das linhas independentes e ajuda a identificar
o número de soluções do sistema.
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A
B
C
D
E
Em um sistema de equações lineares, o método da eliminação de Gauss-Jordan é utilizado
para encontrar as soluções.
Considerando essa técnica, assinale a alternativa correta:
O método da eliminação de Gauss-Jordan é utilizado exclusivamente para
sistemas lineares homogêneos.
O método da eliminação de Gauss-Jordan é um método iterativo que requer várias
iterações para obter a solução final.
O método da eliminação de Gauss-Jordan é restrito apenas a sistemas lineares
com três equações.
O método da eliminação de Gauss-Jordan não é aplicável a sistemas lineares com
coeficientes complexos.
O método da eliminação de Gauss-Jordan transforma o sistema em uma forma
escalonada reduzida, facilitando a identificação das soluções.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
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O método da eliminação de Gauss-Jordan é uma técnica utilizada para resolver
sistemas de equações lineares, independentemente de serem homogêneos ou não. Ele
é aplicável a sistemas com qualquer número de equações. O método consiste em
realizar operações elementares nas equações para transformá-las em uma forma
escalonada reduzida, facilitando a identificação das soluções. As demais alternativas
estão incorretas, pois limitam o método a certos tipos de sistemas ou fornecem
informações errôneas sobre o método.
7 Marcar para revisão
Um grupo de arquitetos está projetando um complexo residencial em uma área urbana. Eles
estão analisando as posições relativas de diferentes blocos de apartamentos para garantir
que não haja superposição ou espaços vazios indesejados. Para isso, eles utilizam
sistemas de equações lineares com três variáveis para representar os planos de cada
bloco.
Sobre a analogia entre a solução de sistemas de três variáveis e a posição relativa de
planos na geometria analítica, assinale a alternativa correta:
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A
B
C
D
E
Um sistema possível e determinado corresponde à situação em que os planos dos
blocos de apartamentos se interceptam em um único ponto, garantindo uma
posição precisa para cada bloco.
Um sistema possível e determinado corresponde à situação em que os planos dos
blocos de apartamentos são paralelos e não se interceptam, resultando em uma
distribuição desejada dos espaços.
Um sistema possível e indeterminado corresponde à situação em que os planos
dos blocos de apartamentos se interceptam em uma reta comum, permitindo
diferentes combinações de posicionamento dos blocos.
Um sistema possível e indeterminado corresponde à situação em que os planos
dos blocos de apartamentos não têm pontos de interseção, resultando em um
projeto arquitetônico impossível de ser concretizado.
Um sistema impossível corresponde à situação em que os planos dos blocos de
apartamentos se interceptam em diferentes pontos, gerando sobreposições
indesejadas e inviabilizando a construção do complexo residencial.
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
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A
B
C
Ao considerar sistemas de equações lineares com três variáveis para representar os
planos dos blocos de apartamentos, uma solução possível e indeterminada ocorre
quando esses planos se interceptam em uma reta comum. Isso significa que existem
diferentes combinações de posicionamento dos blocos que são viáveis, resultando em
infinitas soluções para o sistema. As demais alternativas apresentam interpretações
incorretas sobre os sistemas possíveis e determinados, sistemas impossíveis ou
sistemas possíveis e indeterminados relacionados à posição relativa dos planos na
geometria analítica.
8 Marcar para revisão
(AGIRH/2022 - Adaptado) A representação gráfica de um sistema de 1º grau, cujo resultado
é possível e indeterminado é dado por:
Duas retas concorrentes.
Duas retas paralelas.
Duas retas sobrepostas.
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D
E
Duas retas perpendiculares ortogonais.
Duas retas ortogonais em R3.
Resposta correta
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Gabarito Comentado
A alternativa correta é: Duas retas sobrepostas. A representação gráfica de um
sistema de equações lineares de 1º grau com uma incógnita é dada por uma reta no
plano cartesiano. Quando o sistema apresenta uma única solução, a reta passa por um
único ponto, que representa a solução do sistema. No caso de o sistema não possuir
solução, as retas são paralelas e não se cruzam. Contudo, quando o sistema tem
infinitas soluções, as retas são coincidentes, ou seja, estão sobrepostas, e se cruzam
em todo o seu comprimento. Portanto, para um sistema de 1º grau cujo resultado é
possível e indeterminado, a representação gráfica é dada por duas retas sobrepostas.
9 Marcar para revisão
Dadas as equações lineares 3x + 4y = 8 e y = 2x - 1, utilize o método da substituição para
encontrar o valor de x e y.
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A
B
C
D
E
x = 11/10 e y = 13/11
x = 12/11 e y = 13/11
x = 14/10 e y = 11/12
x = 14 e y = 11
x = 12 e y = 13
Resposta correta
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Gabarito Comentado
O método da substituição é uma técnica utilizada para resolver sistemas de equações
lineares. Neste método, uma das variáveis de uma equação é substituída pela
expressão que a representa na outra equação.
Primeiramente, substituímos y na primeira equação pela expressão 2x - 1, que é o
valor de y na segunda equação. A equação se torna: 3x + 4(2x - 1) = 8. Simplificando,
obtemos: 3x + 8x - 4 = 8, que se simplifica ainda mais para 11x - 4 = 8. Resolvendo
para x, obtemos x = 12/11.
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A
B
C
Em seguida, substituímos o valor encontrado para x na segunda equação, que é y = 2x
- 1. Substituindo x por 12/11, obtemos y = 2(12/11) - 1. Simplificando, obtemos y = 24/11
- 1, que se simplifica para y = 13/11.
Portanto, a solução para o sistema de equações é x = 12/11 e y = 13/11
10 Marcar para revisão
Uma empresa de produção de alimentos está analisando seu estoque de ingredientes para
garantir a eficiência na produção. Para isso, eles precisam resolver um sistema de
equações lineares para determinar a quantidade necessária de cada ingrediente em
diferentes receitas.
Sobre a definição e classificação do sistema de equações lineares, assinale a alternativa
correta:
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde todas as
incógnitas têm expoentes iguais a 1 e representam retas no plano cartesiano.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde as incógnitas
são elevadas a diferentes potências e representam curvas no plano cartesiano.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde as incógnitas
são elevadas a potências maiores que 1 e representam parábolas no plano
cartesiano.
21/04/2025, 21:15 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6806df950967178810ab0f33/gabarito/
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D
E
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde as incógnitas
são lineares, ou seja, elevadas a expoentes iguais a 1 e representam retas no
plano cartesiano.
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde todas as
incógnitas são constantes e representam pontos no plano cartesiano.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
No contexto das equações lineares, uma equação linear é aquela em que as incógnitas
aparecem apenas com expoentes iguais a 1. Portanto, um sistema de equações
lineares é composto por equações lineares, e as incógnitas representam retas no plano
cartesiano. As outras alternativas mencionam equações com potências diferentes de 1,
o que não corresponde à definição de um sistema de equações lineares.
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