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O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos motoristas, a
capacidade de manobra e até mesmo a estética urbana. Considere as retas
 e como as equaçöes de reta de duas ruas que
se cruzam. O ângulo formado entre as duas ruas é de:
r1 :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 3 + t
y = t
z = −1 − 2t
r1 : = y − 3 = 2x+2
−2
Questão 1 de 10
Corretas (3)
Incorretas (7)
Em branco (0)
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Lista de exercícios Retas e Planos Sair
21/04/2025, 20:59 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6806cc8e0967178810a64bc8/gabarito/
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A
B
C
D
E
30º.
45°
60°
90°
120°
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Sabemos que:
Do enunciado, tiramos:
cos θ =
∣
∣
→
r1 +
→
r2
∣
∣
∣
∣
→
r1
∣
∣
∣
∣
→
r2
∣
∣
21/04/2025, 20:59 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6806cc8e0967178810a64bc8/gabarito/
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Calculando o produto escalar:
Calculando os módulos:
Voltando, temos:
 anngulo cujo cosseno é 
→
r1 = (1, 1, −2)
→
r2 = (−2, 1, 1)
→
r1 ⋅
→
τ2 = (1, 1, −2) ⋅ (−2, 1, 1) = 1 × (−2) + 1 × 1 + (−2) × 1 = −3
∣
∣
→
r1
∣
∣ = √12 + 12 + (−2)2 = √6
∣
∣
→
r2
∣
∣ = √(−2)2 + 12 + 12 = √6
cos θ = = = =
∣
∣
→
r1 ⋅
→
r2
∣
∣
∣
∣
→
r1
∣
∣
∣
∣
→
r2
∣
∣
| − 3|
√6 × √6
3
6
1
2
O  é 60∘1
2 logo, θ = 60∘
2 Marcar para revisão
Determinar a distância entre um plano e um ponto no espaço tridimensional é um problema
comum na geometria analítica. Determine a distância entre o plano 2x + 2y - 3z + 1 = 0 e o
ponto P(1,1,1).
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A
B
C
D
E
.5√17
17
.4√17
17
.
3√17
17
.
2√17
17
.
√17
17
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: 
A fórmula para calcular a distância entre um plano e um ponto:
.
2√17
17
D =
|Ax0+By0+Cz0+D|
√A2+B2+C 2
D =
|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|
√22+22+(−3)2
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A
B
C
D =
|2+2−3+1|
√4+4+9
D =
|2|
√17
D = ⋅
|2|
√17
√17
√17
D =
2√17
17
3 Marcar para revisão
Determine a distância entre a reta  e o ponto P(0, 2, 0)= =x
2
y
2
z−1
1
4
3
2
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D
E
1
0
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Para encontrar a distância entre o ponto e a reta, primeiro temos que encontrar o vetor
diretor, que é:
Aora, precisamos determinar seu módulo:
Agora precisamos escolher um ponto R que pertença à reta. Olhando para a equação
da reta, podemos perceber facilmente o ponto:
Agora precisamos fazer a diferença entre o ponto R e o ponto P, logo:
Agora, precisamos determinar o produto vetorial  :
→v = (2, 2, 1)
|→v| = √22 + 22 + 12 = 3
R = (0, 0, 1)
→PR = R − P = (0 − 0, 0 − 2, 1 − 0) = (0, −2, 1)
→PR × →v
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Encontrando o vetor, após o produto vetorial, precisamos determinar o seu módulo,
logo:
Agora que sabemos o módulo do produto vetorial, e sabemos o módulo do vetor
diretor, a distância pode ser determinarada como:
→PR × →v =
⎛
⎜
⎝
→i →j →k
0 −2 1
2 2 1
⎞
⎟
⎠
= 4→i + 2→j + 4→k = (4, 2, 4)
| →PR × →v| = √42 + 42 + 22 = 6
dPR = = = 2
→PR×→v
→v
6
3
4 Marcar para revisão
Na área da astronomia e comunicações por satélite, é essencial determinar a distância
entre um satélite em órbita e o plano que representa a superfície da Terra. Essa medida é
crucial para calcular a cobertura de sinal e garantir uma comunicação eficiente. Um satélite
está sob orbita no ponto P = (-4, 2, 5) e precisa ajustar sua posição até o plano π: 2x + y -
2z + 8 = 0. Qual a distância que o satélite precisa percorrer, em unidades de comprimento?
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A
B
C
D
E
8
3
4
3
8
6
10
3
11
9
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
d(P ,π) =
d(P ,π) = = u. c.
|ax0 + by0 + cz0 + d|
√a2 + b2 + c2
|2 × (−4) + 1 × 2 + (−2) × 5 + 8|
√22 + 12 + 22
8
3
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A
B
C
D
E
5 Marcar para revisão
A distância entre pontos é um conceito fundamental na geometria e na matemática em
geral, e tem amplas aplicações em diversos campos, desde navegação e geografia até
física e engenharia. Determine o valor de k, positivo, para que a distância entre os pontos
 e seja de 6.A (2, −1, 2) B (k, 1, −2)
6
5
4
3
2
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
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A resposta correta é: 6
A distância pode ser calculada por:
Portanto, os possíveis valores de k são 6 e -2, como estamos procurando um valor
positivo, a resposta é 6.
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
6 = √(k − 2)2 + (1 − (−1))2 + (−2 − 2)2
6 = √(k − 2)2 + 4 + 16
6 = √(k − 2)2 + 20
62 = (k − 2)2 + 20
36 = (k − 2)2 + 20
(k − 2)2 = 36 − 20
(k − 2)2 = 16
k − 2 = ±4
k′ = 2 + 4 = 6
k′′ = 2 − 4 = −2
6 Marcar para revisão
Sejam o plano  e o plano . Sabe que os
planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o
π : ax + by + cz + d = 0 μ : 2x + y − z + 2 = 0
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A
B
C
D
E
valor de
( a + b + c + d), com a , b, c e d reais.
0
1
2
3
4
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A resposta correta é: 2
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A
B
C
D
E
7 Marcar para revisão
Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância entre eles é
medida ao longo de uma linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da reta mais
próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1, 2)|t ∈ R} e o plano α: x + y + z = 1,
determine r ∩ α.
.r ∩ α = { , , −1}1
2
1
2
.r ∩ α = { , , 1}1
2
1
2
.r ∩ α = {− , , −1}1
2
1
2
.r ∩ α = {− , − , −1}1
2
1
2
.r ∩ α = {− , , 1}1
2
1
2
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
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Igualando as equaçōes para determinar a interseçăoentre a reta e o plano:
Onde: .
Substituindo:
Voltando
Logo,
x = −t, y = t, z = 2t
(−t, t, 2t)
−t + t + 2t = 1
t = 1/2
(−t, t, 2t)
(− , , 1)1
2
1
2
r ∩ α = {− , , 1}
1
2
1
2
8 Marcar para revisão
Em uma competição de design arquitetônico, participantes foram desafiados a criar uma
estrutura que incorporasse elementos geométricos complexos utilizando apenas retas e
planos. Um dos projetos mais impressionantes utilizou a equação da reta em diversas
formas - simétrica, geral, reduzida, vetorial e paramétrica - para definir as arestas da
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A
B
C
estrutura de maneira que capturassem a luz de formas únicas ao longo do dia. Este
aproveitamento criativo das propriedades das retas na geometria analítica ilustrou uma
fusão entre arte e matemática, evidenciando como equações simples podem resultar em
criações de grande beleza e funcionalidade.
Considerando o texto acima, analise as assertivas abaixo:
Asserção I: A utilização de diferentes formas da equação da reta permite uma ampla
gama de aplicações práticas e artísticas.
Porque
Asserção II: As equações paramétricas e vetoriais são particularmente úteis na criação
de estruturas que variam sua aparência com a mudança da luz devido à facilidade de
manipulação de seus elementos.
Considerando as assertivas acima, assinale a opção correta:
Ambas as assertivas são verdadeiras, e a assertiva II é uma justificativa correta da
assertiva I.
Ambas as assertivas são verdadeiras, mas a assertiva II não é uma justificativa
correta da assertiva I.
A assertiva I é verdadeira, mas a assertiva II é falsa.
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D
E
A assertiva I é falsa, mas a assertiva II é verdadeira.
Ambas as assertivas são falsas.
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A opção correta é A. Ambas as assertivas são verdadeiras e diretamente
relacionadas. A capacidade de utilizar diversas formas da equação da reta abre um
vasto leque de possibilidades práticas e artísticas na arquitetura e no design. A
assertiva II destaca o valor das formas paramétricas e vetoriais na adaptação das
estruturas à variação da luz, um aspecto crítico na criação de designs que
interagem dinamicamente com seu ambiente.
9 Marcar para revisão
Os planos podem apresentar diferentes posições relativas. Considerando os planos
 e , assinale o correto sobre a
posiça relativa dos planos .
π1 : 2x − y + z− 1 = 0 π2 : x − y + z − 9 = 01
2
1
2
π1eπ2
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A
B
C
D
E
Paralelos concorrentes
Paralelos coincidentes
Paralelos distintos
Paralelos reversos
Transversais
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Comparando os coeficientes:
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Como os três primeiros coeficientes säo proporcionais, os planos são paralelos
distintos.
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (2, −1, 1, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (1, − , , −9)
(2, −1, 1, −1) = α(1, − , , −9)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2 = 1 ∝→ α = 2
−1 = − α → ∞ = 2
1 = ∝→ α = 2
−1 = −9 ∝→ ∞ =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
9
10 Marcar para revisão
A interpretação das posições relativas entre os planos vai depender dos coeficientes de
suas equações. Considerando os planos π : ax + by + 4z - 1 = 0 e π : 3x - 5y - 2z + 5 = 0,
os valores de a e b, de modo que os planos sejam paralelos é, respectivamente:
1 2
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A
B
C
D
E
3 e -5.
1 e -5
6 e -10
-6 e 10
-5 e 3
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Temos que:
Para serem paralelos, pelo menos 3 coeficientes devem ser proporcionais:
Igualando as coordenadas:
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (a, b, 4, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (3, −5, −2, 5)
21/04/2025, 20:59 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6806cc8e0967178810a64bc8/gabarito/
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Substituindo , nas expressöes encontradas, temos:
Para os planos serem paralelos, , mas como sabemos que
são paralelos distintos.
(a, b, 4, −1) =∝ (3, −5, −2, 5)
x → a = 3α
y → b = −5 ∝
z → 4 = −2 ∝→ α = −2
−1 =∝ 5
α = −2
a = −6
b = 10
−1 ≠ −10
a = −6eb = 10 −1 ≠ −10
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