2 Planos e retas

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<p>1</p><p>Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a reta r, definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o plano a, dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das seguintes alternativas representa a relação correta entre a reta r e o plano a:</p><p>A</p><p>A reta r é paralela ao plano a</p><p>B</p><p>A reta r é perpendicular ao plano a</p><p>C</p><p>A reta r está contida no plano a</p><p>D</p><p>A reta r intercepta o plano a em um único ponto</p><p>E</p><p>A reta r e o plano a são coincidentes</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Para determinar a telaçăo entre a reta r e o plano cc, podemos vetisicar se a reta intercepta o plano em aigum ponte. Substituindo as coordenadas dos pontos A(1,2,3)A(1,2,3) e B(4,5,6)B(4,5,6) na equaçzo do plano aa, abtemos duas equaçües:</p><p>2x−y+3z=72(1)−z+3(3)=72(4)−5+3(6)=72x−y+3z=72(1)−z+3(3)=72(4)−5+3(6)=7</p><p>Simplificando, temos:</p><p>3=7(fatso)19=7(falso)3=7(fatso)19=7(falso)</p><p>Como nenhuma das equaçēes è verdadeira, canclaimos que a reta rr não está contida no plano αα. Portanto, a reta r intercepta o plano a em um inico ponto.</p><p>2</p><p>Marcar para revisão</p><p>Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância entre eles é medida ao longo de uma linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1, 2)|t ∈ R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α.</p><p>A</p><p>r∩α={12,12,−1}r∩α={12,12,−1}.</p><p>B</p><p>r∩α={12,12,1}r∩α={12,12,1}.</p><p>C</p><p>r∩α={−12,12,−1}r∩α={−12,12,−1}.</p><p>D</p><p>r∩α={−12,−12,−1}r∩α={−12,−12,−1}.</p><p>E</p><p>r∩α={−12,12,1}r∩α={−12,12,1}.</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Igualando as equaçōes para determinar a interseçăo entre a reta e o plano:</p><p>Onde: x=−t,y=t,z=2tx=−t,y=t,z=2t.</p><p>(−t,t,2t)(−t,t,2t)</p><p>Substituindo:</p><p>−t+t+2t=1t=1/2−t+t+2t=1t=1/2</p><p>Voltando</p><p>(−t,t,2t)(−12,12,1)(−t,t,2t)(−12,12,1)</p><p>Logo,</p><p>r∩α={−12,12,1}r∩α={−12,12,1}</p><p>3</p><p>Marcar para revisão</p><p>A distância entre pontos é um conceito fundamental na geometria e na matemática em geral, e tem amplas aplicações em diversos campos, desde navegação e geografia até física e engenharia. Determine o valor de k, positivo, para que a distância entre os pontos A(2,−1,2)A(2,−1,2) e B(k,1,−2)B(k,1,−2) seja de 6.</p><p>A</p><p>6</p><p>B</p><p>5</p><p>C</p><p>4</p><p>D</p><p>3</p><p>E</p><p>2</p><p>Resposta correta</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A resposta correta é: 6</p><p>A distância pode ser calculada por:</p><p>d=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2</p><p>6=√(k−2)2+(1−(−1))2+(−2−2)26=(k−2)2+(1−(−1))2+(−2−2)2</p><p>6=√(k−2)2+4+166=(k−2)2+4+16</p><p>6=√(k−2)2+206=(k−2)2+20</p><p>62=(k−2)2+2062=(k−2)2+20</p><p>36=(k−2)2+2036=(k−2)2+20</p><p>(k−2)2=36−20(k−2)2=36−20</p><p>(k−2)2=16(k−2)2=16</p><p>k−2=±4k−2=±4</p><p>k′=2+4=6k′=2+4=6</p><p>k′′=2−4=−2k″=2−4=−2</p><p>Portanto, os possíveis valores de k são 6 e -2, como estamos procurando um valor positivo, a resposta é 6.</p><p>4</p><p>Marcar para revisão</p><p>O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos motoristas, a capacidade de manobra e até mesmo a estética urbana. Considere as retas r1:⎧⎪⎨⎪⎩x=3+ty=tz=−1−2tr1:{x=3+ty=tz=−1−2t e r1:x+2−2=y−3=2r1:x+2−2=y−3=2 como as equaçöes de reta de duas ruas que se cruzam. O ângulo formado entre as duas ruas é de:</p><p>A</p><p>30º.</p><p>B</p><p>45°</p><p>C</p><p>60°</p><p>D</p><p>90°</p><p>E</p><p>120°</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Sabemos que:cosθ=∣∣→r1+→r2∣∣∣∣→r1∣∣∣∣→r2∣∣cos⁡θ=|r1→+r2→||r1→||r2→|Do enunciado, tiramos:→r1=(1,1,−2)→r2=(−2,1,1)r1→=(1,1,−2)r2→=(−2,1,1)Calculando o produto escalar:→r1⋅→τ2=(1,1,−2)⋅(−2,1,1)=1×(−2)+1×1+(−2)×1=−3r1→⋅τ2→=(1,1,−2)⋅(−2,1,1)=1×(−2)+1×1+(−2)×1=−3Calculando os módulos:∣∣→r1∣∣=√12+12+(−2)2=√6∣∣→r2∣∣=√(−2)2+12+12=√6|r1→|=12+12+(−2)2=6|r2→|=(−2)2+12+12=6Voltando, temos:cosθ=∣∣→r1⋅→r2∣∣∣∣→r1∣∣∣∣→r2∣∣=|−3|√6×√6=36=12cos⁡θ=|r1→⋅r2→||r1→||r2→|=|−3|6×6=36=12OO anngulo cujo cosseno é 12 é 60∘12 é 60∘ logo,θ=60∘logo,θ=60∘</p><p>5</p><p>Marcar para revisão</p><p>Sejam o plano π:ax+by+cz+d=0π:ax+by+cz+d=0  e o plano μ:2x+y−z+2=0μ:2x+y−z+2=0 . Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de</p><p>( a + b + c + d), com a , b, c e d reais.</p><p>A</p><p>0</p><p>B</p><p>1</p><p>C</p><p>2</p><p>D</p><p>3</p><p>E</p><p>4</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A resposta correta é: 2</p><p>6</p><p>Marcar para revisão</p><p>A interpretação das posições relativas entre os planos vai depender dos coeficientes de suas equações. Considerando os planos π1: ax + by + 4z - 1 = 0 e π2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0, os valores de a e b, de modo que os planos sejam paralelos é, respectivamente:</p><p>A</p><p>3 e -5.</p><p>B</p><p>1 e -5</p><p>C</p><p>6 e -10</p><p>D</p><p>-6 e 10</p><p>E</p><p>-5 e 3</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Temos que:</p><p>π1:(a1,b1,c1,d1)=(a,b,4,−1)π2:(a2,b2,c2,d2)=(3,−5,−2,5)π1:(a1,b1,c1,d1)=(a,b,4,−1)π2:(a2,b2,c2,d2)=(3,−5,−2,5)</p><p>Para serem paralelos, pelo menos 3 coeficientes devem ser proporcionais:</p><p>Igualando as coordenadas:</p><p>(a,b,4,−1)=∝(3,−5,−2,5)(a,b,4,−1)=∝(3,−5,−2,5)</p><p>x→a=3αy→b=−5∝z→4=−2∝→α=−2−1=∝5x→a=3αy→b=−5∝z→4=−2∝→α=−2−1=∝5</p><p>Substituindo α=−2α=−2, nas expressöes encontradas, temos:</p><p>a=−6a=−6</p><p>b=10−1≠−10b=10−1≠−10</p><p>Para os planos serem paralelos, a=−6eb=10a=−6eb=10, mas como −1≠−10−1≠−10 sabemos que são paralelos distintos.</p><p>7</p><p>Marcar para revisão</p><p>Determine o ponto de interseção da reta r:⎧⎪⎨⎪⎩x=1+γy=2−2γz=5−3γr:{x=1+γy=2−2γz=5−3γ com o plano 2x-y+z-3=0.</p><p>A</p><p>I(-1,6,11).</p><p>B</p><p>I(1,-6,-11).</p><p>C</p><p>I(6,6,11).</p><p>D</p><p>I(-1,-6,-11).</p><p>E</p><p>I(-11,6,1).</p><p>Resposta correta</p><p>Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A opção correta é: I(-1,6,11).</p><p>2x−y+z−3=02x−y+z−3=0</p><p>2(1+γ)−(2−2γ)+5−3γ−3=02(1+γ)−(2−2γ)+5−3γ−3=0</p><p>2+2γ−2+2γ+5−3γ−3=02+2γ−2+2γ+5−3γ−3=0</p><p>γ=−2γ=−2</p><p>Determinando as coordenadas:</p><p>x=1+γ=1+(−2)=−1x=1+γ=1+(−2)=−1</p><p>y=2−2γ=2−2(−2)=6y=2−2γ=2−2(−2)=6</p><p>z=5−3γ=5−3(−2)=11z=5−3γ=5−3(−2)=11</p><p>O ponto de interseção é I(-1,6,11).</p><p>8</p><p>Marcar para revisão</p><p>Os planos podem apresentar diferentes posições relativas. Considerando os planos π1:2x−y+z−π1:2x−y+z− 1=01=0 e π2:x−12y+12z−9=0π2:x−12y+12z−9=0, assinale o correto sobre a posiça relativa dos planos π1eπ2π1eπ2.</p><p>A</p><p>Paralelos concorrentes</p><p>B</p><p>Paralelos coincidentes</p><p>C</p><p>Paralelos distintos</p><p>D</p><p>Paralelos reversos</p><p>E</p><p>Transversais</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Comparando os coeficientes:</p><p>π1:(a1,b1,c1,d1)=(2,−1,1,−1)π2:(a2,b2,c2,d2)=(1,−12,12,−9)(2,−1,1,−1)=α(1,−12,12,−9)⎧⎪</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪⎨⎪</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪⎩2=1∝→α=2−1=−12α→∞=21=12∝→α=2−1=−9∝→∞=19π1:(a1,b1,c1,d1)=(2,−1,1,−1)π2:(a2,b2,c2,d2)=(1,−12,12,−9)(2,−1,1,−1)=α(1,−12,12,−9){2=1∝→α=2−1=−12α→∞=21=12∝→α=2−1=−9∝→∞=19</p><p>Como os três primeiros coeficientes säo proporcionais, os planos são paralelos distintos.</p><p>9</p><p>Marcar para revisão</p><p>Determinar a distância entre um plano e um ponto no espaço tridimensional é um problema comum na geometria analítica. Determine a distância entre o plano 2x + 2y - 3z + 1 = 0 e o ponto P(1,1,1).</p><p>A</p><p>5√1717.51717.</p><p>B</p><p>4√1717.41717.</p><p>C</p><p>3√1717.31717.</p><p>D</p><p>2√1717.21717.</p><p>E</p><p>√1717.1717.</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>A resposta correta é: 2√1717.21717.</p><p>A fórmula para calcular a distância entre um plano e um ponto:</p><p>D=|Ax0+By0+Cz0+D|√A2+B2+C2D=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2</p><p>D=|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|√22+22+(−3)2D=|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|22+22+(−3)2</p><p>D=|2+2−3+1|√4+4+9D=|2+2−3+1|4+4+9</p><p>D=|2|√17D=|2|17</p><p>D=|2|√17⋅√17√17D=|2|17⋅1717</p><p>D=2√1717D=21717</p><p>10</p><p>Marcar para revisão</p><p>Determine a distância entre a reta x2=y2=z−11x2=y2=z−11 e o ponto P(0, 2, 0)</p><p>A</p><p>4</p><p>B</p><p>3</p><p>C</p><p>2</p><p>D</p><p>1</p><p>E</p><p>0</p><p>Resposta incorreta</p><p>Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!</p><p>Gabarito Comentado</p><p>Para encontrar a distância entre o ponto e a reta, primeiro temos que encontrar o vetor diretor, que é:</p><p>→v=(2,2,1)v→=(2,2,1)</p><p>Aora, precisamos determinar seu módulo:</p><p>|→v|=√22+22+12=3|v→|=22+22+12=3</p><p>Agora precisamos escolher um ponto R que pertença à reta. Olhando para a equação da reta, podemos perceber facilmente o ponto:</p><p>R=(0,0,1)R=(0,0,1)</p><p>Agora precisamos fazer a diferença entre o ponto R</p><p>e o ponto P, logo:</p><p>→PR=R−P=(0−0,0−2,1−0)=(0,−2,1)PR→=R−P=(0−0,0−2,1−0)=(0,−2,1)</p><p>Agora, precisamos determinar o produto vetorial →PR×→vPR→×v→:</p><p>→PR×→v=⎛⎜⎝→i→j→k0−21221⎞⎟⎠=4→i+2→j+4→k=(4,2,4)PR→×v→=(i→j→k→0−21221)=4i→+2j→+4k→=(4,2,4)</p><p>Encontrando o vetor, após o produto vetorial, precisamos determinar o seu módulo, logo:</p><p>|→PR×→v|=√42+42+22=6|PR→×v→|=42+42+22=6</p><p>Agora que sabemos o módulo do produto vetorial, e sabemos o módulo do vetor diretor, a distância pode ser determinarada como:</p><p>dPR=→PR×→v→v=63=2dPR=PR→×v→v→=63=2</p>