Geometria Analítica - Prova 2

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Exercício por
Temas
 avalie sua aprendizagem
Os planos podem apresentar diferentes posições relativas. Considerando os planos e 
, assinale o correto sobre a posiçäo relativa dos planos e .
LupaGEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
 Disc.: GEOM ANALIT ALG 
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O
mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se
familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
RETAS E PLANOS
1.
Paralelos reversos.
Paralelos coincidentes.
Paralelos distintos.
Paralelos concorrentes.
Transversais.
Data Resp.: 09/10/2023 17:46:06
Explicação:
Comparando os coeficientes:
π1 : 2x − y + z− 1 = 0
π2 : x − y + z − 9 = 012
1
2 π1 π2
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (2, −1, 1, −1)
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (1, − , , −9)
(2, −1, 1, −1) = α (1, − , , −9)
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
2 = 1∝→∞ = 2
−1 = − ∝→∞ = 2
1 = ∝→∞ = 2
−1 = −9∝→∞ =
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
9
javascript:voltar();
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javascript:diminui();
javascript:aumenta();
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp#
Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a reta r, definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o
plano α, dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das seguintes alternativas representa a relação correta
entre a reta r e o plano α:
A interpretação das posições relativas entre os planos vai depender dos coeficientes de suas equações. Considerando
os planos π1: ax + by + 4z - 1 = 0 e π2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0, os valores de a e b, de modo que os planos sejam
paralelos é, respectivamente:
Como os très primeiros coeficientes säo proporcionais, os planos säo paralelos distintos.
2.
A reta r é perpendicular ao plano α.
A reta r é paralela ao plano α.
A reta r e o plano α são coincidentes.
A reta r está contida no plano α.
A reta r intercepta o plano α em um único ponto.
Data Resp.: 09/10/2023 17:46:17
Explicação:
Para determinar a relação entre a reta r e o plano α, podemos verificar se a reta intercepta o plano em algum ponto.
Substituindo as coordenadas dos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6) na equação do plano α, obtemos duas equações:
2x - y + 3z = 7
2(1) - 2 + 3(3) = 7
2(4) - 5 + 3(6) = 7
Simplificando, temos:
3 = 7 (falso)
19 = 7 (falso)
Como nenhuma das equações é verdadeira, concluímos que a reta r não está contida no plano α. Portanto, a reta r
intercepta o plano α em um único ponto.
3.
-5 e 3.
-1 e 5.
-6 e 10.
6 e -10.
3 e -5.
Data Resp.: 09/10/2023 17:46:24
Explicação:
Temos que:
π1 : (a1, b1, c1, d1) = (a, b, 4, −1)
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O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a visibilidade dos motoristas, a capacidade de manobra e até
mesmo a estética urbana. Considere as retas e como as equaçöes de reta de
duas ruas que se cruzam. O ângulo formado entre as duas ruas é de:
Para serem paralelos, pelo menos 3 coeficientes devem ser proporcionais:
Igualando as coordenadas:
Substituindo , nas expressöes encontradas, temos:
Para os planos serem paralelos, , mas como sabemos que são paralelos distintos.
4.
120º.
60º.
90º.
30º.
45º.
Data Resp.: 09/10/2023 17:46:30
Explicação:
Sabemos que:
Do enunciado, tiramos:
Calculando o produto escalar:
π2 : (a2, b2, c2, d2) = (3, −5, −2, 5)
(a, b, 4, −1) =∝ (3, −5, −2, 5)
x → a = 3α
y → b = −5∝
z → 4 = −2∝→α = −2
−1 =∝ 5
α = −2
a = −6
b = 10
−1 ≠ −10
a = −6eb = 10 −1 ≠ −10
r1 :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
x = 3 + t
y = t
z = −1 − 2t
r1 : = y − 3 = 2x
+2
−2
cos θ =
∣∣
→r1 + →r2 ∣∣
∣∣
→r1 ∣∣ ∣∣
→r2 ∣∣
→r1 = (1, 1, −2)
→r2 = (−2, 1, 1)
→r1 ⋅→τ2 = (1, 1, −2) ⋅ (−2, 1, 1) = 1 × (−2) + 1 × 1 + (−2) × 1 = −3
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Quando a reta e o plano não são paralelos nem perpendiculares, a distância entre eles é medida ao longo de uma linha
perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1, 2)|t ∈
R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α.
Calculando os módulos:
Voltando, temos:
 anngulo cujo cosseno é 
 
5.
.
.
.
.
.
Data Resp.: 09/10/2023 17:46:41
Explicação:
Igualando as equaçōes para determinar a interseçăo entre a reta e o plano:
Onde: .
Substituindo:
Voltando
Logo,
 
∣∣
→r1 ∣∣ = √12 + 12 + (−2)2 = √6
∣∣
→r2 ∣∣ = √(−2)2 + 12 + 12 = √6
cos θ = = = =
∣∣
→r1 ⋅→r2 ∣∣
∣∣
→r1 ∣∣ ∣∣
→r2 ∣∣
| − 3|
√6 × √6
3
6
1
2
O é 60∘12 logo, θ = 60
∘
r ∩ α = { , , 1}12
1
2
r ∩ α = {− , , 1}12
1
2
r ∩ α = { , , −1}12
1
2
r ∩ α = {− , , −1}12
1
2
r ∩ α = {− , − , −1}12
1
2
x = −t, y = t, z = 2t
(−t, t, 2t)
−t + t + 2t = 1
t = 1/2
(−t, t, 2t)
(− , , 1)1
2
1
2
r ∩ α = {− , , 1}12
1
2
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Determinar a distância entre um plano e um ponto no espaço tridimensional é um problema comum na
geometria analítica. Determine a distância entre o plano 2x + 2y - 3z + 1 = 0 e o ponto P(1,1,1).
Determine a distância entre a reta e o ponto P(0, 2, 0)
Sejam o plano e o plano . Sabe que os planos são
paralelos e que o plano π passa na origem do sistema cartesiano. Determine o valor de
( a + b + c + d), com a , b, c e d reais.
6.
Data Resp.: 09/10/2023 17:46:45
Explicação:
A resposta correta é: 
A fórmula para calcular a distância entre um plano e um ponto:
7.
4
1
3
0
2
Data Resp.: 09/10/2023 17:46:52
Explicação:
A resposta correta é: 2
8.
4
.3√1717
.√1717
.5√1717
.2√1717
.4√1717
.2√1717
D =
|Ax0+By0+Cz0+D|
√A2+B2+C 2
D =
|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|
√22+22+(−3)2
D =
|2+2−3+1|
√4+4+9
D =
|2|
√17
D = ⋅
|2|
√17
√17
√17
D =
2√17
17
= =x
2
y
2
z−1
1
π : ax + by + cz + d = 0 μ : 2x + y − z + 2 = 0
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A distância entre pontos é um conceito fundamental na geometria e na matemática em geral, e tem
amplas aplicações em diversos campos, desde navegação e geografia até física e engenharia.
Determine o valor de k, positivo, para que a distância entre os pontos e seja
de 6.
0
3
1
2
Data Resp.: 09/10/2023 17:47:07
Explicação:
A resposta correta é: 2
9.
6.
5.
3.
2.
4.
Data Resp.: 09/10/2023 17:47:11
Explicação:
A resposta correta é: 6
A distância pode ser calculada por:
Portanto, os possíveis valores de k são 6 e -2, como estamos procurando um valor positivo,
a resposta é 6.
10.
A (2,−1,2) B (k,1,−2)
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
6 = √(k − 2)2 + (1 − (−1))2 + (−2 − 2)2
6 = √(k − 2)2 + 4 + 16
6 = √(k − 2)2 + 20
62 = (k − 2)2 + 20
36 = (k − 2)2 + 20
(k − 2)2 = 36 − 20
(k − 2)2 = 16
k − 2 = ±4
k′ = 2 + 4 = 6
k′′ = 2 − 4 = −2
x = 1 + γ
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Determine o ponto de interseção da reta com o plano 2x-y+z-3=0.
I(1,-6,-11).
I(-11,6,1).
I(6,6,11).
I(-1,-6,-11).
I(-1,6,11).
Data Resp.: 09/10/2023 17:47:20
Explicação:
A opção correta é: I(-1,6,11).
Determinando as coordenadas:
O ponto de interseção é I(-1,6,11).
Não Respondida Não Gravada Gravada
 Exercício por Temas inciado em 09/10/2023 17:46:00. 
r :
⎧⎪
⎨
⎪⎩
y = 2 − 2γ
z = 5 − 3γ
2x − y + z − 3 = 0
2(1 + γ) − (2 − 2γ) + 5 − 3γ − 3 = 0
2 + 2γ − 2 + 2γ + 5 − 3γ − 3 = 0
γ = −2
x = 1 + γ = 1 + (−2) = −1
y = 2 − 2γ = 2 − 2(−2) = 6
z = 5 − 3γ = 5 − 3(−2) = 11
	luKDEpLmh0bWwjYW5jb3JhXzEwAA==: 
	form: 
	ME_1: 0
	ME_2: 0
	ME_3: 0
	ME_4: 0
	ME_5: 0
	ME_6: 0
	ME_7: 0
	ME_8: 0
	ME_9: 0
	ME_10: 0