geometria analitica e algebra linear exercicios 2

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1. 
 
 
Os planos podem apresentar diferentes posições relativas. Considerando os 
planos π1:2x−y+z−�1:2�−�+�− 1=01=0 e π2:x−12y+12z−9=0�2:�−12�+12�−9=0, 
assinale o correto sobre a posiçäo relativa dos planos π1�1 e π2�2. 
 
 
Paralelos reversos. 
 
Paralelos coincidentes. 
 
Transversais. 
 
Paralelos concorrentes. 
 
Paralelos distintos. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:47:03
 
Explicação: 
Comparando os coeficientes: 
π1:(a1,b1,c1,d1)=(2,−1,1,−1)π2:(a2,b2,c2,d2)=(1,−12,12,−9)(2,−1,1,−1)=α(1,−12,12,−9)⎧⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪⎨⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪ 
⎪⎩2=1∝→∞=2−1=−12∝→∞=21=12∝→∞=2−1=−9∝→∞=19�1:(�1,�1,�1,�1)=(2,−1,1,−1)�
2:(�2,�2,�2,�2)=(1,−12,12,−9)(2,−1,1,−1)=�(1,−12,12,−9){2=1∝→∞=2−1=−12∝→∞=2
1=12∝→∞=2−1=−9∝→∞=19 
Como os très primeiros coeficientes säo proporcionais, os planos säo paralelos distintos. 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em um sistema de coordenadas tridimensional, considere a 
reta r, definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6), e o plano α, 
dado pela equação 2x - y + 3z = 7. Determine qual das 
seguintes alternativas representa a relação correta entre a reta 
r e o plano α: 
 
 
A reta r e o plano α são coincidentes. 
 
A reta r é perpendicular ao plano α. 
 
A reta r é paralela ao plano α. 
 
A reta r intercepta o plano α em um único ponto. 
 
A reta r está contida no plano α. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:47:37
 
Explicação: 
Para determinar a relação entre a reta r e o plano α, podemos verificar se a reta intercepta o 
plano em algum ponto. Substituindo as coordenadas dos pontos A(1, 2, 3) e B(4, 5, 6) na 
equação do plano α, obtemos duas equações: 
2x - y + 3z = 7 
2(1) - 2 + 3(3) = 7 
2(4) - 5 + 3(6) = 7 
 
Simplificando, temos: 
3 = 7 (falso) 
19 = 7 (falso) 
 
Como nenhuma das equações é verdadeira, concluímos que a reta r não está contida no 
plano α. Portanto, a reta r intercepta o plano α em um único ponto. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A interpretação das posições relativas entre os planos vai 
depender dos coeficientes de suas equações. Considerando 
os planos π1: ax + by + 4z - 1 = 0 e π2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0, os 
valores de a e b, de modo que os planos sejam paralelos é, 
respectivamente: 
 
 
-6 e 10. 
 
-5 e 3. 
 
-1 e 5. 
 
3 e -5. 
 
6 e -10. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:48:06
 
Explicação: 
Temos que: 
π1:(a1,b1,c1,d1)=(a,b,4,−1)π2:(a2,b2,c2,d2)=(3,−5,−2,5)�1:(�1,�1,�1,�1)=(�,�,4,−1)�2:(�2,
�2,�2,�2)=(3,−5,−2,5) 
Para serem paralelos, pelo menos 3 coeficientes devem ser proporcionais: 
Igualando as coordenadas: 
(a,b,4,−1)=∝(3,−5,−2,5)(�,�,4,−1)=∝(3,−5,−2,5) 
x→a=3αy→b=−5∝z→4=−2∝→α=−2−1=∝5�→�=3��→�=−5∝�→4=−2∝→�=−2−1=∝5 
Substituindo α=−2�=−2, nas expressöes encontradas, temos: 
a=−6�=−6 
b=10−1≠−10�=10−1≠−10 
Para os planos serem paralelos, a=−6eb=10�=−6e�=10, mas como −1≠−10−1≠−10 sabemos que 
são paralelos distintos. 
 
 
 
 
4. 
 
 
O ângulo entre duas ruas que se cruzam pode afetar a 
visibilidade dos motoristas, a capacidade de manobra e até 
mesmo a estética urbana. Considere as 
retas r1:⎧⎪⎨⎪⎩x=3+ty=tz=−1−2t�1:{�=3+��=��=−
1−2� e r1:x+2−2=y−3=2�1:�+2−2=�−3=2 como as 
equaçöes de reta de duas ruas que se cruzam. O ângulo 
formado entre as duas ruas é de: 
 
 
120º. 
 
90º. 
 
45º. 
 
60º. 
 
30º. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:48:54
 
Explicação: 
Sabemos que: 
cosθ=∣∣→r1+→r2∣∣∣∣→r1∣∣∣∣→r2∣∣cos �=|�1→+�2→||�1→||�2→| 
Do enunciado, tiramos: 
→r1=(1,1,−2)→r2=(−2,1,1)�1→=(1,1,−2)�2→=(−2,1,1) 
Calculando o produto escalar: 
→r1⋅→τ2=(1,1,−2)⋅(−2,1,1)=1×(−2)+1×1+(−2)×1=−3�1→⋅�2→=(1,1,−2)⋅(−2,1,1)=1×(−2)+1×1
+(−2)×1=−3 
Calculando os módulos: 
∣∣→r1∣∣=√ 12+12+(−2)2 =√ 6 ∣∣→r2∣∣=√ (−2)2+12+12 =√ 6 |�1→|=12+12+(−2)2=6|�2→|=(−2)2+
12+12=6 
Voltando, temos: 
cosθ=∣∣→r1⋅→r2∣∣∣∣→r1∣∣∣∣→r2∣∣=|−3|√ 6 ×√ 6 =36=12cos �=|�1→⋅�2→||�1→||�2→|=|−3|6
×6=36=12 
O� anngulo cujo cosseno é 12 é 60∘12 é 60∘ logo,θ=60∘����,�=60∘ 
 
 
 
 
5. 
 
 
Quando a reta e o plano não são paralelos nem 
perpendiculares, a distância entre eles é medida ao longo de 
uma linha perpendicular ao plano e que passa pelo ponto da 
reta mais próximo do plano. Considerando a reta r = {t(-1, 1, 
2)|t ∈ R} e o plano α: x + y + z = 1, determine r ∩ α. 
 
 
r∩α={−12,12,−1}�∩�={−12,12,−1}. 
 
r∩α={−12,−12,−1}�∩�={−12,−12,−1}. 
 
r∩α={12,12,1}�∩�={12,12,1}. 
 
r∩α={12,12,−1}�∩�={12,12,−1}. 
 
r∩α={−12,12,1}�∩�={−12,12,1}. 
Data Resp.: 03/10/2023 13:58:17
 
Explicação: 
Igualando as equaçōes para determinar a interseçăo entre a reta e o plano: 
Onde: x=−t,y=t,z=2t�=−�,�=�,�=2�. 
(−t,t,2t)(−�,�,2�) 
Substituindo: 
−t+t+2t=1t=1/2−�+�+2�=1�=1/2 
Voltando 
(−t,t,2t)(−12,12,1)(−�,�,2�)(−12,12,1) 
Logo, 
r∩α={−12,12,1}�∩�={−12,12,1} 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine o ponto de interseção da 
reta r:⎧⎪⎨⎪⎩x=1+γy=2−2γz=5−3γ�:{�=1+��
=2−2��=5−3� com o plano 2x-y+z-3=0. 
 
 
 
I(-11,6,1). 
 
I(1,-6,-11). 
 
I(6,6,11). 
 
I(-1,6,11). 
 
I(-1,-6,-11). 
Data Resp.: 03/10/2023 14:01:12
 
Explicação: 
A opção correta é: I(-1,6,11). 
2x−y+z−3=02�−�+�−3=0 
2(1+γ)−(2−2γ)+5−3γ−3=02(1+�)−(2−2�)+5−3�−3=0 
2+2γ−2+2γ+5−3γ−3=02+2�−2+2�+5−3�−3=0 
γ=−2�=−2 
Determinando as coordenadas: 
x=1+γ=1+(−2)=−1�=1+�=1+(−2)=−1 
y=2−2γ=2−2(−2)=6�=2−2�=2−2(−2)=6 
z=5−3γ=5−3(−2)=11�=5−3�=5−3(−2)=11 
O ponto de interseção é I(-1,6,11). 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a distância entre a 
reta x2=y2=z−11�2=�2=�−11 e o ponto P(0, 2, 0) 
 
 
0 
 
1 
 
3 
 
2 
 
4 
Data Resp.: 03/10/2023 13:58:53
 
Explicação: 
A resposta correta é: 2 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sejam o 
plano π:ax+by+cz+d=0�:��+��+��+�=0 
e o plano μ:2x+y−z+2=0�:2�+�−�+2=0 . Sabe 
que os planos são paralelos e que o plano π passa na 
origem do sistema cartesiano. Determine o valor de
( a + b + c + d), com a , b, c e d reais. 
 
 
4 
 
3 
 
1 
 
2 
 
0 
Data Resp.: 03/10/2023 13:59:41
 
Explicação: 
A resposta correta é: 2 
 
 
 
 
9. 
 
 
A distância entre pontos é um conceito fundamental 
na geometria e na matemática em geral, e tem 
amplas aplicações em diversos campos, desde 
navegação e geografia até física e engenharia. 
Determine o valor de k, positivo, para que a distância 
entre os 
pontos A(2,−1,2)�(2,−1,2) e B(k,1,−2)�(�,1,−2)
 seja de 6. 
 
 
5. 
 
2. 
 
3. 
 
6. 
 
4. 
Data Resp.: 03/10/2023 14:00:57
 
Explicação: 
A resposta correta é: 6 
A distância pode ser calculada por: 
d=√ (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 �=(�2−�1)2+(�2−�1)2+(�2−�1)2 
6=√ (k−2)2+(1−(−1))2+(−2−2)2 6=(�−2)2+(1−(−1))2+(−2−2)2 
6=√ (k−2)2+4+16 6=(�−2)2+4+16 
6=√ (k−2)2+20 6=(�−2)2+20 
62=(k−2)2+2062=(�−2)2+20 
36=(k−2)2+2036=(�−2)2+20 
(k−2)2=36−20(�−2)2=36−20 
(k−2)2=16(�−2)2=16 
k−2=±4�−2=±4 
k′=2+4=6�′=2+4=6 
k′′=2−4=−2�″=2−4=−2 
Portanto, os possíveis valores de k são 6 e -2, como estamos procurando 
um valor positivo, a resposta é 6. 
 
 
 
 
10. 
 
 
Determinar a distância entre um plano e um ponto no 
espaço tridimensional é um problema comum na 
geometria analítica. Determine a distância entre o 
plano 2x + 2y - 3z + 1 = 0 e o ponto P(1,1,1). 
 
 
√ 17 17.1717. 
 
5√ 17 17.51717. 
 
3√ 17 17.31717. 
 
4√ 17 17.41717. 
 
2√ 17 17.21717. 
Data Resp.: 03/10/2023 14:00:46
 
Explicação: 
A resposta correta é: 2√ 17 17.21717. 
A fórmula para calcular a distância entre um plano e um ponto: 
D=|Ax0+By0+Cz0+D|√ A2+B2+C2�=|��0+��0+��0+�|�2+�2+�2 
D=|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|√ 22+22+(−3)2 �=|2⋅1+2⋅1−3⋅1+1|22+22+(−3)2 
D=|2+2−3+1|√ 4+4+9�=|2+2−3+1|4+4+9 
D=|2|√ 17�=|2|17 
D=|2|√ 17 ⋅√ 17 √ 17�=|2|17⋅1717 
D=2√ 17 17�=21717